автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Формирование пространственного воображенияучащихся при обучении математике в средней школе(с учетом специфики школы Республики Польша)

Автореферат диссертации по теме "Формирование пространственного воображенияучащихся при обучении математике в средней школе(с учетом специфики школы Республики Польша)"

Российская Академия образования Институт общеобразовательной школы

<га-:-

< | /,,.. . На правах рукописи

иг,; '--о УДК 372.851

ПАРДАЛА АНТОН И

Формирование пространственного воображения учащихся при обучении математике в средней школе (с учетом специфики школы Республики Польша)

13.00.02 - методика преподавания математики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук

Москва 1993

Рабата выполнена в Институте общеобразовательной школы Российской академии образования

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАО, доктор педагогических наук,

профессор А.М.Пышкало

доктор педагогических наук,

профессор В.И.Крупич

доктор физико-математических наук,

профессор В АСкворцов

Ведущее учреждение: Московский институт развития образовательных систем

Защита состоится 5 ноября 1993 на заседании специализированного Совета Д 018.06.01 в Институте общеобразовательной школы РАО по адресу: 119903 Москва, Погодинская ул., д.8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИОШ.

Автореферат разослан " " октября 1993 года.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор физико-математических наук, профессор

* " Г.В.Дорофеев

ВВЕДЕНИЕ

Мотивация выбора и актуальность темы исследования

Современное состояние школьного математического образования во всем мире и направления его развития определяются в настоящее время следующими основными факторами.

А. Отход от существовавшей до начала 80-х годов во многих странах мира бурбакистской ориентации обучения математике, которая в настоящее время признается ошибочной, по мнению Х.Фрейденталя, "ошибкой века".

Б. Идея демократизации и гуманизации школьного образования, в частности, математического образования, в качестве главного направления которой рассматривается "переориентация методической системы обучения математике на приоритет развивающей функции обучения по отношению к его образовательной, информационной функции, ... переход от экстенсивного обучения к интенсивному" (Г.В.Дорофеев, 1990).

В. Стремление к созданию методической системы обучения математике, ориентированной не только на общность тех или иных математических теорий, на логическую строгость их изложения в школе, но также и, возможно, прежде всего, на развитие наглядно-интуитивной основы математики, ее понятий, утверждений и задач во взаимосвязи с соответствующим восприятием ребенком окружающего мира, со способами мышления учащихся.

Г. Компьютеризация широкого круга человеческой деятельности и его составная часть - внедрение компьютерной технологии и обучение, обеспечивающей в целом более рациональные, по сравнению с традиционными, условия для восприятия учащимися необходимого содержания.

Д. Открытие в 1981 г. американским неврологом П.Сперри функциональной асимметрии головного мозга, которое привело к необходимости переоценки и корректировки устоявшихся взглядов на систему математического образования в направлении развития образного мышления учащихся.

Е. Новое направление в философии математики, связанное с именами И.Лакатоша и Р.Л.Уайлдера, поставившее в центр внимания в сфере образования образ математики in statu nasccndi, науки живой и развивающейся, а не замкнутой системы формали-

юнанных систем, потребовало устранения безраздельного осподства формализма, глобальной дедукции, логической строгости I повышения роли интуиции и воображения как основ математического мышления и обучения математике.

С другой стороны, в результате уяснения недостатков и >шибок, допущенных в течение трех последних мировых "волн" сформирования обучения математике в 1960-90 гг. возникли и эбострились важные дидактические проблемы, над которыми в настоящее время работает мировое сообщество специалистов по ишактике математики. Их исследования концентрируются вокруг следующих проблем:

(1) Что представляет собой "математика для всех"?

(2) Какой должна быть система обучения математике в условиях ориентации на всеобщее обучение одновременно с подготовкой учащихся, проявляющих интерес к математике и математические способности?

(3) Какими должны быть цели и задачи обучения в отдельных разделах школьного курса математики, и прежде всего, геометрии, наиболее "пострадавшей" в результате бурбакизации обучения математике?

Исправление ошибок, допущенных при внедрении бурбакистских концепций математики в практику обучения, не должны, однако, быть простым возвращением к существовавшей ранее системе обучения, переходом от лозунга "Долой Евклида!" к лозунгу "Назад к Евклиду" - за последние десятилетия социокультурные параметры современного общества существенно изменились.

Напротив, в настоящее время требуется создание качественно новой концепции школьного математического образования, основанной на новых принципах, новых целях и задачах обучения и учитывающей последние достижения психологии, педагогики, физиологии, философии математики. Как пишет Р.Сперри, система образования и все общество в целом, с его сильным акцентом на способы общения и ранним обучением чтению, письму и счету, несправедливо к целой половине человеческого мозга, и хотя несловесное, нематематическое полушарие обладает своими собственными способами восприятия и оценки событий, современная сегодняшняя школа уделяет его возможностям минимальное внимание по сравнению с тем, что расточается другому - левому, доминантному, речевому.

Проблема ликвидации отмеченного здесь жесткого неравноправия двух качественно различных сфер человеческого мышления и является, на наш взгляд, своеобразным отражением очерченных выше общих проблем, стоящих перед школьным математическим образованием, суть которых состоит именно в том, что обучение математике должно в равной степени использовать обе качественно различные сферы человеческого мышления.

Предстоящие в 90-х гг. изменения в школьном математическом образовании, описываемые исследователями США, России, Франции, Польши и других стран, в значительной степени касаются вопросов совершенствования формирования и развития пространственного воображения учащихся. Актуальность соответствующей исследовательской проблемы подтверждается в работах Г.Д.Глейзера, Х.Купера, Б.Паржнша и ярко выражена в последних работах Л.Н.Ерганжиевой и И.Ф.Шарыгина, подчеркивающих фундаментальное значение геометрической компоненты школьного образования для формирования интеллекта современного человека.

Однако на фоне новых достижений в области психологии и сенсорной физиологии, усиления тенденции к визуализации человеческой деятельности (в частности, внедрения компьютерных технологий), содержательной модернизации учебных программ современное состояние дидактического аспекта теории зрительного восприятия пространства не может быть признано удовлетворительным, поскольку многие положения требует существенной корректировки. Особая острота и значимость вопроса вынуждает педагогическую общественность искать новые пути его решения, которые, как нам кажется, находятся на стыке психологии, физиологии, философии и дитактики математики.

Предпринятую в нашем следовании попытку решения проблемы обучения геометрии в школе мы проводим на основе введенного нами понятия - феномена "математического видения", или, еще более общо, феномена "видеть", включающего в себя одновременно и физиологический процесс видения, и психологические процессы восприятия и осознания видимого, а также воображения ранее виденного или создаваемого на основе ранее виденного, а также интуицию как способность мышления интегрировать и проявлять накопленный опыт видения.

Проблема исследования феномена "видеть" имеет достаточно длительную историю, но в настоящее время в ней возникает но-

ый нажный аспект, связанный с "компьютерной революцией". )бучение с применением компьютерной графики существенно 1змсняет условия обучения математике, и в особенности геометрии ( заставляет по-новому ставить соответствующие дидактические |роблемы.

При всей эффективности компьютерной технологии с точки рения расширения возможностей учащихся реально "видеть" »азнообразные изучаемые объекты, нельзя, однако, не учитывать ого, что такое видение чаще всего, по крайней мере, при нынешнем состоянии методики обучения математике и ее связей с жформатикой, имеет пассивный характер, вследствие чего может 1меть даже негативные последствия для развития пространственного !00бражения учащихся, являющегося одной из главных целей икольного обучения геометрии и представляющего существенную юрту общего интеллекта человека.

Эта проблема обсуждалась на V Международном конгрессе по математическому образованию в Аделаиде, где был высказан нирокий спектр мнений о позитивной и негативной роли сомпьютерной технологии в развитии пространственного юображения учащихся. В этой связи отметим также появившуюся в {сдавнсс время созданную в Гренобле обучающую программу 'Геометрия Кабри", в которой, на наш взгляд, весьма удачно хлшется проблема соотношения активного и пассивного еомстричсского видения в деятельности учащихся.

По нашему мнению, и традиционная, и компьютерная гсхнологня имеют свои собственные цели и соответствующие :феры применения, в особенности в аспекте дифференцированного обучения, и поэтому в обучении математике в школе не конкурируют, а дополняют друг друга, играя существенно разную [юль на разных ступенях обучения. Наша работа находится в традиционном русле дидактических исследований, и мы не затрагиваем компьютерной технологии, поскольку дидактика математики и практика школьного обучения еще не накопили достаточно опыта для каких-либо вполне определенных выводов о соотношении традиционной и компьютерной технологий в решении проблемы формирования и развития пространственного воображения учащихся.

Методологическую основу нашего исследования составляют классические работы по сенсорной физиологии И.П.Павлова и И.М.Сеченова, труды современных физиологов, изучающих вопросы

асимметрии человеческого мозга, связи зрительной информации с мышлением и речью, строения систем зрительного аппарата (В.Д.Глезер, А.М.Иваницкий и др.), исследования психологов, посвященные перцептивной деятельности, развитию пространственного мышления школьников, описанию типов оперирования пространственными образами (И.Я.Каплунович, Е.Н.Кабанова-Меллер), Б.ФЛомов, Ж. Пиаже, И.С.Якиманская и др.), исследования, связанные с проблемой искусственного интеллекта в плане изучения механизма создания образа, создания информационной теории зрения, построения автоматизированной системы распознавания и анализа изображений (И.Б.Гуревич, Ю.И.Журавлев, А.Г.Ивахненко, П.Линсдей, Д.Норман, Д.Марр и др.), фундаментальные работы по дидактике геометрии и черчения, касающиеся сущности пространственных представлений, исследования методов формирования и развития образного мышления учащихся (А.Д.Бот-винников, Г.Д.Глейзер, З.Крыговска, В.Н.Литвиненко, А.М.Пыш-кало, Н.Ф.Четверухин и др.).

Специально вопрос о разработке теории феномена "видеть" и развития его у учащихся с учетом новых откртыий в психологии и физиологии в дидактике еще не ставился, хотя отдельные аспекты этой проблемы рассматривались в диссертационных исследованиях Н.Ф.Мацько, С.Г.Корнфельд (развитие образного мышления, геометрического видения и пространственных представлений), Р.А.Аракеляна, А.Т.Зверевой (формирование графических умений и навыков, связанных с пространственными представлениями, И.М.Смирновой (формирование графических образов

пространственных объектов, использование компьютерной графики для развития визуального мышления) и др.

В настоящее время в подходах к решению рассматриваемой проблемы выделяются четыре основных направления:

(1) Изучение самого понятия пространственного воображения как феномена, в частности, установление взаимосвязей между различными составляющими геометрического мышления - интуитивной, пространственной, логической, метрической, конструктивной, символической; роль каждой из этих составляющих в познавательной деятельности учащихся, причем не только в области математики; разработка эффективных методов формирования и развитая пространственного воображения учащихся и соответствующей диагностики их достижений;

(2) Формирование и развитие пространственного воображения в условиях дифференцированного обучения математике;

(3) Исследование эффективности формирования и развития пространственного воображения учащихся, в частности, разработка измерителей, средств контроля и оценивания пространственного воображения учащихся на каждом уровне обучения, а также определение эффективности применяемых методов, выявление и устранение причин выявляемых недостатков;

(4) Компьютерная поддержка формирования, развития и диагностики пространственного воображения учащихся.

Резюмируя вышеизложенное, можно утверждать, что проблема формирования и развития пространственного воображения учащихся является, несомненно, актуальной и требует для своего решения расширения общих подходов, выхода за рамки "чистой дидактики", учета современных достижений не только психологии и педагогики, но и философии математики и физиологии, создания общей концепции формирования и развития пространственного воображения учащихся на более широкой теоретической основе, чем это принято в настоящее время.

Общая цель исследования

Цель исследования - разработка теоретических основ феномена "математического видения" и создание методической системы обучения математике, и прежде всего, геометрии в средней школе, ориентированной на создание в обучении математике содержательно-методической "линии воображения", на развитие у учащихся "математического видения", в частности,

1) развитие наглядно-интуитивных основ в обучении и изучении математики (геометрии),

2) развитие пространственного воображения и геометрической интуиции учащихся,

3) формирование у учащихся геометрических методов познания окружающего мира.

Проблема исследования

Проблема исследования определена противоречием между необходимостью высокого уровня развития пространственного воображения для современного человека и несоответствующей этой задаче методической системой обучения геометрии, и вообще, математике в польской школе.

Объект исследования - общий феномен "видеть", понятие "математического видения" как основа прстранственного воображения. Предмет исследования - формирование и развитие пространственного воображения учащихся в процессе обучения математике в школе.

Гипотеза исследования

Рабочая гипотеза настоящего исследования состоит в следующем: формирование, развитие и диагностика умения "видеть", в частности, пространственного воображения учащихся окажется более эффективным, если соответствующая система обучения будет опираться на теоретические положения, вытекающие из современных исследований феномена "видеть" в области психологии, педагогики, физиологии и философии математики, и учитывать различные аспекты этого феномена: психологический, физиологический, социокультурный, философский, дидактический и предметный.

В соответствии с целями и общей проблемой в исследовании были поставлены следующие задачи:

(1) установить теоретические основы феномена "видеть", в частности, в применении к пространственному воображению учащихся;

(2) определить эффективность формирования и развития пространственного воображения учащихся в аспекте действующих в настоящее время программ обучения математике и общего состояния геометрического образования в средней школе;

(3) изучить практику формирования и развития пространственного воображения учащихся в обучении математике в средней школе;

(4) разработать общую концепцию формирования и развития пространственного воображения учащихся в условиях дифференцированного обучения математике в средней школе Республики Польша.

Методы исследования

Для решения поставленных теоретических и практических задач применялись следующие методы исследования:

I) Теоретический анализ литературы по теме исследования с целью создания общей мировой картины исследований, относя-

щихся к становлению и эволюции взглядов на феномен "видеть", и применения результатов этих исследований к анализу проблемы в психолого-педагогическом, физиологическом, социокультурном, философском, дидактическом и предметном аспектах;

2) Критический качественный дидактический анализ программ обучения математике (геометрии), действовавших в 60-90-х гг. в Республике Польша, и соответствующей геометрической подготовки учащихся в аспекте эффективности формирования и развития пространственного воображения учащихся;

3) Изучение практики формирования и развития пространственного воображения учащихся в польской основной и средней школе путем непосредственного наблюдения и анализа in vivo уроков, индивидуальных бесед и дискуссий с учителями математики и учащимися, а также лично проведенного эксперимента in vitro с целью апробации разработанной методики (¡нормирования, развития и диагностики пространственного воображения учащихся на основе визуализации, графической репрезентации геометрических объектов и математической символики;

4) Наблюдение за работой учителей и учащихся, студентов-математиков Высшей педагогической школы, индивидуальные беседы и дискуссии с ними в аспекте поставленных в исследовании задач.

Научная новизна исследования

Научная новизна результатов исследования состоит в том, что в диссертации

1. Определены теоретические основы феномена "видеть" и содержательно-методической "линии воображения" в обучении математике в средней школе в психолого-педагогическом, физиологическом, социокультурном, философском, дидактическом и предметном аспектах.

2. Предложены адекватные рассматриваемой проблеме характеристики понятий интуиции, воображения, геометрического воображения, пространственного воображения, развития пространственного воображения.

3. Описаны этапы формирования умения "видеть" в отношении некоторых геометрических понятий в ходе их изучения, функционирование"учдтельских" тестов и контрольных заданий в практике обучения математике, методика формирования приемов

визуализации и графической репрезентации геометрических объектов и соответствующей символики;

4. Разработана общая концепция формирования и развития пространственного воображения учащихся в условиях дифференцированного обучения математике, ориентация и типы этого формирования.

5. Разработан банк задач для формирования и развития пространственного воображения учащихся, описаны содержащиеся в нем типы заданий.

Теоретическая значимость исследования

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в диссертации определены теоретические основы нового подхода к проблеме формирования пространственного воображения, открывающее перспективы дальнейших исследований проблемы в условиях дифференцированного обучения математике на базе введенного в рассмотрение понятие феномена "видеть".

Разработанная общая концепция формирования и развития пространственного воображения учащихся создает возможность оценивать, сравнивать и исследовать возникающие проблемы, различные по сущности, методологии и методике подходы к соответствующей ориентации обучения математике, а также анализировать и оценивать влияние различных факторов на реализацию концепции, определять и анализировать цели, содержание, методы и средства обучения, в частности, задачи, предназначенные для формирования и развития пространственного воображения учащихся, а также минимальные требования с точки зрения ориентации обучения на достижение этой цели.

Практическая значимость исследования

Практическая значимость исследования состоит в разработке методического подхода к обучению математике (геометрии) в основной и в средней школе Польши, основанного на содержательно-методической "линии воображения". Результаты исследования могут быть использованы при выработке новой концепции школьного математического образования, новых программ обучения математике, создании новых учебников и учебных пособий по

математике в основной и в средней школе, выработке методических рекомендаций для учителей математики, методистов-математиков, аля студентов педагогических учебных заведений, непосредственном обучении математике в школе.

Кроме того, внедрение предложенного подхода обеспечивает вовлечение учащихся в разнообразные виды познавательной деятельности, связанной с ориентацией школьного курса математики и практики обучения математике на развитие пространственного воображения учащихся.

Обоснованность и достоверность

Обоснованность и достоверность результатов настоящего исследования обеспечивается опорой на фундаментальные исследования из областей физиологии, психологии, педагогики, ди шктики математики и философии математики, на анализе »мпирического дидактического материала и сопоставлении юлученных результатов с результатами собственного жепериментального обучения, на соответствии полученных результатов общим тенденциям в мировой дидактике математики.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся

1. Введение теоретического понятия феномена "видеть", угкрывающего широкое поле дальнейших исследований проблемы {нормирования и развития пространственного воображения.

2. Концепция теоретических основ феномена "видеть", в ыстности, пространственного воображения, и его формирования в 1роцсссе обучения математике в основной и в средней школе, а акже условия развития этой концепции и ее конкретизации:

(1) ориентация процесса обучения математике в школе и при юдготовке учителей математики на содержательно-методическую линию воображения",

(2) реализация "линии воображения" в программе обучения, в 'чебниках и учебных пособиях, в сборниках задач, в частности,

а) соответствующее формирование математических понятий с 1ктшшым использованием их наглядно-интуитивной основы в :оотвстствии с темпами и уровнем развития мышления учащих-

ся, с использованием богатого набора дидактических средств (например, большого числа контекстов, включающих данное понятие), обоснованный выбор дидактических путей формирования понятия (схематизация формируемого понятия, различные его конкретизации, в том числе и до его формального и даже описательного определения);

б) систематическое использование развивающих задач, формирующих пространственное воображение как путь к решению задачи.

(3) насыщение процесса обучения задачами, предназначенными для формирования, развития и диагностики пространственного воображения учащихся, служащими также достижению широко понимаемых целей школьного математического образования.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях лаборатории математического образования Института общеобразовательной шкоты РАО (1988-1993), на международных конгрессах и общепольских научных конференциях (Краков,1984; Жешув,1985; Будапешт, 1988; Селпья,1986), на научных семинарах отдела дидактики математики Высшей педагогической школы г.Жешува (1980-1992), на методических конференциях для учителей и методистов по математике (1980-1992). По теме диссертации имеется 22 публикации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

I. В главе I диссертации анализируются результаты исследований феномена "видеть" и формирования соответствующего умения в процессе обучения математике, проведенных до 1992 г., в психолого-педагогическом, физиологическом, социокультурном, философском, дидактическом и предметном аспектах и дается очерк эволюции взглядов на этот феномен в исследованиях из различных областей. Одновременно на фоне уже проведенных исследований мы описываем и мотивируем некоторые дальнейшие проблемы, требующие решения в свете рассмотренных здесь аспектов и частично изучающиеся в последующих главах диссертации.

В последние 10-15 лет в психологии и нейрофизиологии бы-

ли получены новые данные о работе зрительного аппарата человека и роли полушарий головного мозга в опознании зрительных образов, которые не только приблизили разгадку механизма природного феномена "видеть", но и привели к необходимости существенного пересмотра теоретических представлений дидактики о

(}юрмировании и развитии пространственого воображения.

Так, в результате исследований установлено, что во время оглядывания предмета глаз не обводит его контуры, а совершает сложные движения, имеющие, на первый взгляд, хаотичный характер. При этом обнаружены многочисленные наложения этих дни же ним и выявлены следующие закономерности:

1) Наибольшее внимание уделяется значащим центрам изображения, устанавливается их иерархия: лицо человека значит для нас больше, чем фигура, а фигура - больше, чем детали окружающей се обстановки.

2) Движение глаза отражает процессы, происходящие в головном мозге человека.

3) Последовательность движений глаза оказывается исключительно индивидуальной, но постоянной для каждого испытуемого. При первом оглядывании человек как бы "ощупывает" предмет взглядом, и в процессе этой деятельности в зрительную память "закладываются" характерные особенности предмета, а в моторной памяти остаются сигналы для мышц, управляющих движениями глазного яблока.

4) Важнейшую функцию выполняют точки максимальной кривизны и точки пересечения контуров. Эти точки оказываются наиболее существенными для получения информации о предметах и пространстве. Установлено восемь типов узлов, исчерпывающих иссвозможныс виды пересечения контуров.

Взгляд человека задерживается только на некоторых фрагментах изображения, поставляющих максимум информации, поскольку комплекс движений глаза ограничен общими пределами насыщения нашего органа зрения информацией из окружающего мира. Зрение ас л ит целостный пространственный объект на большое вдело отдельных фрагментов (подобразов), а эти подобразы, в свою эчередь, делятся далее на фрагменты.

Выявленное в физиологии качественное различие между двумя полушариями человеческого мозга оказывает существенное влияние на склад мышления человека, на его гармоничность, что

является чрезвычайно важным в контексте феномена "видеть", в условиях необходимости развития у учащихся образного мышления.

Феномен "видеть", умение человека "видеть" прошло определенный путь эволюции, в котором выделяются процессы биологического развития органа зрения человека, развития исторического опыта видения и индивидуального развития мышления человека. В процессе видения главным, очевидно, является не то, что механически воспринимает наш глаз, но то, что осознает в ходе и результате этого процесса человек. Нарастание опыта видения характеризуется следующими стадиями: 1) контурное видение, 2) силуэтное видение,3) объемное видение, 4) светотеневое видение, 5) подвижное видение, 6) аккомодационное видение. Это нарастание сопровождается расширением объема математических знаний, повышения графической культуры.

Не менее важное значение имеет нарастание индивидуального опыта видения в ходе развития мышления ребенка, в частности, в период обучения в школе. Этот путь эволюционного "дозревания" опыта видения находит отражение равным образом и в познании ребенком окружающего пространства, и в его собственной деятельности (например, в рисовании), в его мышлении. Детское рисование как спонтанная деятельность, претерпевая качественные изменения, продолжается зачастую до 15 лет и оказывает заметное влияние на формирование у него абстрактных понятий, в частности, математических. Это индивидуальное спонтанное нарастание графической культуры учащихся должно быть использовано в процессе обучения математике, служить опорой их математического образования.

Пространство, окружающая среда и культурный круг также оказывают существенное влияние на умение человека "видеть", на формирование у него понятий. Обнаружено, что дети, принадлежащие европейской цивилизации, по сравнению с африканскими детьми, живущими в буше, показывают лучшее понимание плоских форм, тогда как последние лучше ориентируются в пространственных формах.

Ж. Пиаже, работы которого оказали огромное влияние на развитие современной дидактики математики, рассматривает мыслительные операции как основную составляющую математического мышления. Иных воззрений придерживается традиционная дидакти-

ка, опирающаяся на классическую психологию, согласно которой в сознании человека отражаются вещи и процессы внешнего мира. В действительности Ж.Пиаже вовсе не отрицал существование образов, однако отводил им иную функцию, рассматривая не как основу, но лишь как опору мышления, зачастую, несомненно, полезную и необходимую, однако всегда ограниченную, на что обращал внимание, в частности, Х.Эбли.

Это положение имеет большое значение для определения роли геометрии в современной школе. Геометрические понятия касаются, прежде всего, пространственных отношений, и их усвоение существенным образом связано с особенностями восприятия. Сам процесс восприятия содержит в себе выделение черт объекта (локальное восприятие) и интерпретацию выделенных черт в контексте целостного объекта (глобальное восприятие).

Однако и восприятие само по себе, и соответствующие мыслительные образы недостаточны для формирования геометрических понятий, каждое из которых отражает целый класс однородных образов, и уже по этой причине не может быть выведено из одного образа. Важное значение в процессе формирования геометрических понятий имеет и база наглядных представлений учащихся, которая изменяется с возрастом и имеет индивидуальный характер, о чем свидетельствуют исследования И.С.Якиманской.

С другой стороны, геометрия как учебный предмет обладает большим потенциалом, содержащимся в задачном материале, для развития образной и логической составляющих мышления, для гармонизации деятельности полушарий головного мозга. Устанавливая цели обучения геометрии в школе, следует обращать внимание на создание для учащихся широких возможностей приобретения геометрического опыта. Их геометрическая деятельность должна быть организована таким образом, чтобы познание учениками геометрических объектов требовало от них не только участия зрения и слуха, но и осязания, работы рук, и конечно, работы мысли. Это требование имеет особое значение в связи с внедрением в практику обучения математике компьютеров и других технических средств: их одностороннее использование, опирающееся в целом на дедуктивную логику и зрительное восприятие объекта, нарушает глобальность и целостность этого восприятия.

Открытие асимметрии полушарий головного мозга сделало

необходимым перенесение в обучении акцентов на формирование образного мышления учащихся, что подчеркивает актуальность выделения "линии воображения" в методической системе школьного математического образования. На это обращается внимание в документах по образованию, вышедших в США и описывающих направления реформы школьного курса математики в 90-х гг. В этих документах четко обозначен приоритет развития пространственных представлений в одном ряду с развитием исследовательских способностей и логического мышления в рамках геометрии.

Философия математики уделяет феномену "видеть" значительное внимание, в современных направлениях которой интуиция рассматривается как форма видения "в сознании". В дидактическом плане соответствующие исследования рассматривают функции интуиции в самых разнообразных аспектах, и характеризуют ее прежде всего как источник идей и гипотез, генератор образов, схем и других визуализаций математического содержания; "акселератор" математического мышления, направляющий и стимулирующий дедукцию, сокращающий процесс обучения математике. Существенным является также и то, что интуиция всегда является потенциальным источником познавательного конфликта между представлением об объекте и его реальностью. Следует подчеркнуть при этом, что в высказываниях многих выдающихся математиков и дадактов математики понятие интуиции часто фактически отождествляется с понятием воображения, в том числе пространственного, геометрического.

В психолого-педагогических исследованиях понятие воображения рассматривается и как психический процесс, и как свойство психики человека. При этом выделяются два типа воображения: представление-воспоминание (исполнительное), при котором возникает образ предмета, непосредственно воздействовавшего ранее на чувства человека, и представление-воображение (продуктивное, творческое), при котором образ предмета возникает в результате чисто мыслительной деятельности осознания предмета без соответствующего физического раздражителя.

Уровень развития воображения оценивается на основе некоторых качественных черт представлений и действий человека - таких, как легкость образования понятий, детальность, глубина и интенсивность воображения, умение выполнять операции над понятиями, прочность усвоения понятий, восприимчивость к

рлздражитслям, ведущим к понятию.

В процессе психического развития воображение подвергается качественным изменениям. Например, доминирующее в дошкольном возрасте произвольное воображение уступает место воображению осознанному, вызывающемуся усилием воли, становящемуся в дальнейшем вспомогательным инструментом мыслительной деятельности.

Воображение можно также анализировать с точки зрения характера возникающих в этом процессе образов. Они могут быть статичными, воспроизводящими впечатление оглядывания неподвижного объекта, или динамичными, воспроизводящими образ движения или деформаций воображаемых объектов. Воображение может иметь также характер дополнения по отношению к актуальному восприятию действительности.

Для определения подхода к понятию пространственного воображения следует подчеркнуть, в процессе психического развития, в частности, развития языка и мышления легкий и свободный бег воображения, воображение конкретных понятий или явлений все чаще уступает место воображению (зрительному, чаще слуховому) слов как представителей понятий, на что обращает внимание И.Петер.

Однако пространственное восприятие геометрической формы, за которым идет восприятие образов, их пассивное отражение в мышлении, еще недостаточно для правильного формирования геометрических, и вообще математических понятий, для формирования их "видения".

Пространственное воображение можно понимать в предметном смысле как живую и динамичную способность человека к деятельному конструированию и реконструированию образов, являющихся отражением линейных, плоских и пространственных форм действительности - физического пространства. Оно связано с физическим пространством и способствует "изучению" объектов и отношений этого пространства, в частности, геометрическими средствами, а также иными математическими средствами. Эти средства (понятия, утверждения, методы, язык) являются производными по отношению к физическому пространству, но равным образом используются для его математического, в частности, геометрического моделирования.

С точки зрения дидактики математики, в частности, прак-

тики обучения, нас интересует не только "желаемое состояние" обладания пространственным воображением и его использования, но также и "путь" к этому состоянию, т.е. получение его результата - формирование при обучении математике в школе. Под обладанием и использованием пространственного воображения мы понимаем конструирование и реконструирование изучаемых образов реальных объектов и выполнение с ними некоторых мыслительных операций, связанных с физическим и с геометрическим "оглядыванием" этих образов.

Это могут быть оценка величины, абсолютной и относительной, пространственное упорядочение, различение предметов и явлений с точки зрения их геометрических свойств, их положения в пространстве, определение составляющих элементов, сходства и различий между ними, практическое рассуждение, на основе структуры и аналогий, описание вида некоторых разверток, представление об инвариантности или неинвариантности некоторых их свойств в результате гипотетического преобразования.

При таком понимании пространственного воображения его следует отличать от понятия геометрического воображения, на что обратил внимание Е.Тоцки (}.Тос1а,1992). Геометрическое воображение можно, таким образом, понимать как способность применению геометрического моделирования в других разделах математики ("геометрического видения") и к созданию собственных точных образов абстрактных геометрических объектов без апелляции к физическому пространству.

Указанное разделение понятий пространственного воображения и геометрического воображения учащихся имеет только предметный характер. Здесь выделяется физическое пространство, которое на некотором этапе математического образования учащихся подвергается "исследованию" в форме абстрагированного от него идеального геометрического пространства, и при этом происходит разделение феноменов "видеть" и "знать". Практика показывает, что с точки зрения дидактического использования феномен "знать" может быть связан со знанием различных деталей, однако не сопровождаться усвоением сформированных и функционирующих здесь онтологических связей.

В дальнейшем понятие пространственного воображения понимается в широком смысле, как живая, динамическая способность активного конструирования и реконструирования образов, являю-

щихся отражением пространственных, плоских и линейных форм действительности - физического пространства, а также математических объектов, полученных с помощью абстрагирования при идеализации математизации этого пространства, как способность представления этих образов с помощью соответствующих мыслительных операций.

В дидактическом аспекте феномена "видеть", т.е. при решении проблемы формирования и развития пространственного воображения при обучении математике и, в частности, геометрии, возникает необходимость решения многочисленных проблем (например, разработка концепции курса школьной геометрии, методов формирования и развития пространственного воображения в процессе обучения геометрии).

Возникает также, можно сказать, основная дилемма, на которую указывал, например, А.Д.Александров: интуиция и воображени или строгость и формализм в геометрии и ее преподавании? Геометрия как наука разрешила эту дилемму не выбором одной из указанных альтернатив, но их соединением.

В поисках пути разрешения этой дилеммы в обучении геометрии может оказаться полезным расширенный принцип параллелизма, высказанный рядом выдающихся математиков, среди которых Ф.Клейн, А.Пуанкаре, Дж.Пойа, Р.Том, Х.Фрейденталь. Возможность увязывания ее как генетически и методологически обоснованной директивы с результатами психологических исследований превращает эту дилемму в инструмент дидактики математики. Из этого принципа следует глобальное методологическое положение: наилучший путь к усвоению того или иного понятия или утверждения зачастую состоит в повторении (хотя бы в неявном виде) исторического пути его возникновения.

Мы должны преодолевать в себе убежденность в необходимости формулировании определений геометрических понятий и утверждений сразу же в рафинированной форме, к которой современная математическая мысль пришла в сложном процессе эволюции, и которая для еще не подготовленного сознания учащихся может оказаться слишком трудной. Это дополнительно усиливает необходимость и принципиальную важность формирования и развития воображения при обучении математике.

Важная роль в решении соответствующих проблем принадле-

жит также учителю математики. Именно в результате его активной работы в процессе обучения математике пространственное воображение учащихся формируется, развивается и совершенствуется, становится существенной структурной компонентой познавательной деятельности учащихся. Постепенное формирование пространственного воображения расширяет круг интеллектуальных способностей учащихся, является адаптивным фактором для подготовки их к использованию новых технологий.

В свете исследований, проведенных Г.Д.Глейзером, развитие пространственного воображения имеет этапный характер: создание образа, оперирование созданным образом в односложных связях и в измененных условиях, творческое конструирование образов. Оно протекает как процесс качественных изменений, охарактеризованных следующими уровнями: элементарный, фрагментарный, статично-динамический, динамический и творческий. Следует добавить, что процесс качественных изменений в реальности конкретного учащегося может натолкнуться на определенные препятствия, связанные с недоразвитием правого мозгового полушария или с негармоничной деятельностью полушарий, с социальной средой учащегося, с недостатками развития самого феномена "видеть" в процессе обучения математике.

II. В главе II проводится характеризация основных черт воображения, рассматриваются различные аспекты понятия пространственного воображения, устанавливается его понимание в узком и в широком смыслах. Здесь на основе анализа программ обучения математике, действовавших в Польше в 1966-90 гг., а также состояния практики обучения геометрии учащихся польской средней школы формулируются выводы о критериях эффективности методического подхода к решению проблемы формирования и развития пространственного воображения, указываются причины неэффективности этого процесса, причины выявленного "антигеометрического синдрома", а также причины недостаточного усвоения учащимися геометрического содержания.

В результате анализа изменений программ обучения математике с точки зрения формирования и развития пространственного воображения выявлены две несовместимые тенденции: с одной стороны, происходило явное сокращение времени на обучение геометрии и соответствующее, однако несколько меньшее, сокращение изучаемого материала, а с другой стороны, все более от-

четливо высказывалась идея необходимости развития интуитивной основы при обучения геометрии, интуитивного уровня формирования пространственного воображения учащихся, вплоть до явного высказывания о необходимости "линии воображения" в обучении математике. Разрешение этой дидактической дилеммы имеет решающее значение для повышения уровня пространственного воображения учащихся.

На основе изучения реализации программы обучения геометрии 1966 г., опирающейся на комплект учебников З.Крыговской, и практики обучения геометрии, в частности, формирования пространственного воображения учащихся, установлены причины неэффективности геометрического образования, общие особенности системы работы учителей математики, недостатки практики проведения уроков математики.

К примеру, главными причинами неэффективности формирования и развития пространственного воображения являются, на наш взгляд, дисбаланс теории и практики в обучении геометрии; перегрузка программы, связанная с чисто дедуктивным подходом в обучении геометрии; неэффективность принятых в настоящее время принципов обучения и изучения геометрии.

Так, концепция, реализованная в программах и учебниках геометрии, в частности, крен обучения геометрии в направлении построения теории, а не решения задач, привели к тому, что шкальная геометрия оказалась "в опале" и возник своего рода "антигеометрический синдром", проявляющийся в общепризнанном явлении "бегства" учащихся от решения геометрических задач, в сокращении времени, отводимого на изучение геометрии, до ничтожного уровня и предпочтение учителем других разделов школьной математики, в ошибочном, но широко распространенном убеждении, что школьную геометрию можно изучать только как чисто дедуктивную систему.

Изучение практики обучения показало, что чрезмерный объем содержания и вытекающее отсюда требование высокого темпа обучения, темпа урока вынуждали учителя отказываться от изучения части программного материала. Более того, постоянная "гонка" из-за опасения не выполнить программу приводила к формальному и поверхностному подходу к изучению геометрии, к вынужденному занижению потенциальных возможностей геометрического материала для математического образования учащихся, к

резкому снижению интереса к изучению геометрии, прежде всего, у учителей, а одновременно и у учащихся, а вслед за этим к постоянному снижению уровня их геометрического образования.

Сложившийся в польской школе стиль обучения и изучения геометрии был конкретизацией бурбакистской ориентации обучения математике, уделявшей особое внимание структуре изучаемого содержания, а не развитию его интуитивных и наглядных основ, которые, можно сказать, вообще в ней игнорировались.

Наиболее существенными ошибками мы считаем:

1) бурбакистскую ориентацию обучения и изучения геометрии, при которой интуиция и наглядность в принципе не рассматриваются как основа синтетической геометрии и формирования пространственного воображения и которая "сверхинтеллектуализировала" содержание школьной геометрии и его изучение,

2) переоценку потенциальных возможностей учащихся в восприятии геометрического содержания при обучении, учитывающем только логический критерий,

3) фетишизацию дедукции при обучении геометрии в школе,

4) отторжение учащихся от интуиции, воображения, материального опыта, крайне необходимых в процессе изучения школьного курса геометрии,

5) невнимание к дидактическому обеспечению формирования, развития и диагностики пространственного воображения, его стимулирования в процессе обучения математике.

III. В главе III диссертации приводятся и анализируются примеры, иллюстрирующие практику формирования, развития и диагностики пространственного воображения учащихся в процессе обучения математике в основной школе с точки зрения изложенной теории. Мы раскрываем вопросы практической реализации "линии воображения" на этом уровне на примерах: формирования понятий - периметра геометрической фигуры, призмы , осевой и центральной симметрий, и применения инструментов изучения сформированное™ пространственного воображения учащихся, функционирования применямых визуализаций математических понятий, а также их графических и символических репрезентаций.

Особое внимание в этой главе обращается внимание на формирующую роль школьной геометрии и высказывается идея реализации в школьном математическом образовании пути развития пространственного воображения учащихся,

характеризущегося следующим основными чертами:

1) адекватное формирование математических понятий, в частности, использование наглядно-интуитивного подхода в соответствии с темпом развития мышления учащихся с применением соответствующих дидактических средств, богатых контекстов, надлежащий выбор дидактического пути формирования математического понятия (схематизация формируемого понятия, различные его конкретизации, только после этого его формальное определение и т.д.);

2) ориентация математического образования на решение задач (формирование пространственного воображения с помощью постановки и решения задач);

3) методика формирования и развития пространственного воображения не должна ограничиваться "разглядыванием" и "отражением" лишь возникающих в опыте учащихся образов математических понятий, но, напротив, должна быть направлена на создание таких образов, на "работу" пространственного воображения".

В результате проведенного качественного анализа используемых в практике обучения геометрии контрольных работ и "самодеятельных" учительских тестов установлено, что подбор заданий для основной школы, с точки зрения теории формирования пространственного воображения не учитывает ни уровней геометрического мышления и понимания учащихся в соответствии с исследованием ван Хиле, ни уровней пространственного воображения и динамики его формирования по Г.Д.Глейзсру, не дает никакой информации об ошибках учащихся при представлении образов геометрических объектов и при оперировании с ними, о фактах и причинах неправильного "видения" геометрических объектов.

Проведенное исследование выявило также сохранение знаний учащимися VIII класса основной школы графических репрезентаций некоторых изученных ранее геометрических объектов, а также "обратное" явление: создание этих репрезентаций на основе пространственного воображения и "видения".

При репрезентации геометрических объектов в практике

обучения встречаются и такие представления учеников, которые не имеют математического обоснования и основаны на явных или неявных договоренностях. Так, плоскость представляется в виде прямоугольника или параллелограмма, хотя это в действительности вовсе не плоскость, а лишь ее часть, используемая для решения задачи, и кроме того, геометрические тела, как правило, изображаются в соответствии с правилами косой параллельной проекции, хотя возможны и другие представления, например, с помощью одноточечной или двухточечной проекции.

Проведенный дидактический анализ показал, что повышение эффективности формирования и развития пространственного воображения учащихся обуславливается, наряду с прочими моментами, статусом рисунка в пространственной геометрии, который должен быть четким и логичным и опираться на выполнение правил перспективы. Сама параллельная проекция (параллельная перспектива) является эффективным средством решения геометрических задач, а рисунки, т.е. выполненные для этого графические репрезентации, приобретают технический характер (указывают некоторую информацию и помогают поиску идеи решения).

Описанные выше результаты локального исследования открывают перспективы дальнейших дидактических исследований, проблематику которых можно очертить следующим образом:

1) формирование и развитие "математического видения", и в частности, пространственного воображения учащихся в ходе овладения математическими понятиями,

2) конструирование инструментов изучения формирования, развития и диагностики "математического видения", и в частности, пространственного воображения учащихся при обучении математике,

3) кодирование и декодирование математической информации в аспекте формирования и развития "математического видения", и в частности, пространственного воображения учащихся основной и средней школы.

IV. В последней главе IV диссертации представлена концепция ((юрмирования пространственного воображения учащихся в условиях дифференцированного обучения математике. Здесь описывается понимание самого этого термина, аккумулирующего зарождение, развитие и диагностику пространственного воображе-

ния, и выделяются два важных в этом аспекте вида ориентации обучения на формирование и развитие пространственного воображения, связанные соответственно с материалом обучения и с процессом обучения, характеризуются способы их реализации. Некоторые из них, например, проблемы подбора задач для форми рования пространственного воображения, подробно анализируются. Представлен вариативный подход к их решению, представляющийся адекватным для современного состояния и перспектив математического образования в Польше.

Выделенные варианты подбора заданий характеризуются в свете существующей практики обучения и иллюстрируются примерами. В результате представлена некоторая концепция "банка" заданий для формирования пространственного воображения, где определяющую роль играет математическое содержание, а сами задачи по форме предъявления могут быть весьма разнообразными - игры и развлечения, упражнения и задачи. Учитывается также и методика их решения и использования на уроках математики. Таким образом, формирование пространственного воображения рассматривается в широком математическом контексте.

Остановимся более подробно на двух видах ориентации обучения на формирование пространственного воображения учащихся. Под ориентацией материала обучения мы понимаем наличие системы математических понятий, утверждений и задач, способствующую установлению взаимосвязей феноменов "видеть" и "знать" в ходе изучения математического содержания, решения задач и т.п., а ориентация процесса обучения математике понимается как система действий учителя, каждое из которых направлено на достижение одной или нескольких частных целей, связанных с формированием, развитием и диагностикой пространственного воображения, а вся система в целом ориентирована на развитие математической культуры учащихся.

Из выделенных двух параметров решения проблемы формирования пространственного воображения учащихся в реальном учебном процессе могут осуществляться оба, один из них или ни один из них. Соответствующие методические подходы, определяющие степень реализации содержательно-методической "линии воображения", могут быть охарактеризованы как полный, асимметричный и "антивоображенченский".

В последнем случае обучение математике никаким образом

не направлено на формирование пространственного воображения, и примером здесь может служить обучение в бурбакистском стиле, ориентированном и при отборе содержания, и в практике обучения на изучение математических структур - алгебраических, топологических и порядковых, но без учета интуиции, наглядности и воображения. Противоположное сочетание параметров - полный методический подход, т.е. одновременная ориентация и материала, и процесса обучения на формирование пространственного воображения учащихся - и должно являться направлением перестройки математического образования в аспекте

рассматриваемой проблемы.

Одно из двух возможных асимметричных сочетаний параметров -ориентация процесса обучения на формирование пространственного воображения при отсутствии соответствующей ориентации материала обучения - представляется не только неэффективным, но в современных условиях, при возможности варьирования программы обучения и маловероятным: постановка цели определяет выбор средств ее достижения.В то же время второй вариант в определенном смысле стихийно, но явно недостаточно реализовывался в практике обучения, когда учитель ориентировал процесс обучения на формирование пространственного воображения без должного внимания к этой цели в содержании обучения.

Поэтому определяющая роль здесь принадлежит именно учителю, который может и должен одновременно и вырабатывать, и корректировать "стереотипы воображения" учащихся, например, видение геометрических объектов, определенных в физическом, а не в геометрическом пространстве. В своем исследовании мы рассматривали следующий пример:"На плоскости заданы точки А и В. Найти множество таких точек М, для которых треугольник АВМ является равнобедренным".

Мы убедились, что испытуемые, независимо от своего математического опыта (учащиеся основной и средней школы, студенты-математики, учителя математики) изображают отрезок АВ "горизонтально" и приводят в качестве решения этой задачи медиатрису отрезка АВ (без середины отрезка), т.е основанием треугольника АВМ является АВ, но забывают о случае, когда основанием является AM или ВМ, а точка М лежит на одной из окружностей с центрами А и В и с радиусом АВ.

Мы видим, таким образом, 'по ключевое значение в решении

проблемы формирования пространственного воображения учащихся приобретает методологическая база концепции школьного математического (геометрического) образования, учитывающая или игнорирующая необходимость соответствующей ориентации содержания обучения и процесса обучения. В частности, эта база должна учитывать общие положения дидактической теории в сфере формирования пространственного воображения, основанные на результатах психологических и физиологических, а также педагогических и методических исследований.

Процесс формирования пространственного воображения требует, наряду с многими условиями, соответственно подобранного задачного материала. В настоящее время понятие математической задачи трактуется весьма широко, а методика решения задач направлена на "качество", а не только на "количество" решаемых задач. Более того, обучение и учение через решение задач являются не только "лозунгом" и проблемой дидактической теории, но находят всеобщее признание в практике обучения математике, в том числе и в Польше. Учитывая современное состояние и перспективы математического образования в Польше, мы выделяем три варианта подбора задач - традиционный, оперативный и уровневый.

В традиционном варианте задания подбираются в рамках реализации программного содержания. Оперативный вариант предполагает, что формирование пространственного воображения проводится через задачи с явной ориентацией на выработку соответствующих умений. Про уровне вом подборе задач формирование пространственного воображения учитывает уже достигнутый уровень его сформированное™ ( элементарный, фрагментарный, статично-динамический, динамический и творческий).

Выделенные в исследовании типы заданий, с одной стороны, систематизируют задачный материал, с другой стороны, в определенном смысле очерчивают способ его каталогизации. Этот подход открывает возможность дальнейшей систематизации задачного материала в соответствии со следующими критериями: уровень обучения, уровень сформированное™ пространственного воображения, степень трудности задачи, существование и сущность указания к задаче.

Итоги и выводы

В ходе проведенного теоретико-экспериментального исследования решены все поставленные задачи и получены следующие основные результаты.

1. Разработана концепция построения содержательно-методической "линии воображения" в курсе школьной математики, предусматривающая: ориентацию курса на развитие у учащихся "математического видения"; овладение учащимися приемами визуализации, графической репрезентации и математической символикой; использование эффективных форм контроля; внедрение специально разработанного банка задач.

2. Комплексный подход к рассмотрению феномена "видеть" в различных его аспектах - физиологическом, социокультурном, психологическом, философском, дидактическом и предметном, -затрагивающим сущность этого явления, обусловленную потребностями обучения математике, позволило выявить и обосновать главные психолого-педагогические факторы, составляющие основу построения "линии воображения" в школьном курсе математики: особенности работы органа зрения - глаза - в ходе разглядывания предмета; качественные изменения в развитии зрительного восприятия в историческом и индивидуальном измерении; основные объективные показатели некоторых нарушений в развитии пространственного воображения школьников.

3. Анализ таких психических феноменов, как ощущение, восприятие, представление, интуиция, воображение, позволил определить категорию пространственного воображения (в широком и узком смысле) как способность человека к деятельному конструированию и реконструированию зрительных образов, являющихся отражением форм действительности. Такая дефиниция дала возможность выделить основные операции, характеризующие геометрическое воображение: создание точных представлений о форме основных геометрических объектов без использования их пространственных моделей и рисунков, мысленное изучение структуры этих основных объектов, описание составляющих их элементов, самостоятельное, без использования рисунка или модели, представление частных случаев геометрических объектов и отношений и др.

4. На основе анализа практики обучения математике в школе, исследования программ по математике для польской ос-

новной школы (за последние 40 лет) установлены причины неэффективности современного школьного математического образования вообще и традиционной методики формирования пространственного воображения в частности (к ним относятся: бурбакистская ориентация обучения геометрии, переоценка потенциальных логических возможностей учащихся, фетишизация дедукции при изучении геометрии в школе, отторжение учащихся от интуиции, воображения, геометрического опыта, ослабление задачного арсенала школьного курса геометрии и др.).

5. Изучение опыта работы учителей по формированию геометрических понятий и совершенствованию умений "математического видения" дало возможность выявить и обосновать пять ведущих параметров, определяющих специфику и эффективность педагогического подхода к решению проблемы пространственного воображения: выбор "точки старта" формирования понятия; выбор используемых дидактических средств и приемов; подбор задач и способов их решения; использование в обучении межпредметных связей и практических навыков учащихся; выбор организационных форм работы с учениками.

6. Разработана поэтапная методика формирования геометрических понятий и умения их "видения", предполагающая такую организацию процесса обучения, при которой учитель не преподносит содержание в готовом виде, а лишь регулирует мыслительную и вербальную деятельность учащихся, направляя их тем самым к самостоятельному описанию новых представлений и понятий. Показана практическая реализуемость этой методики на примере формирования понятий призмы, центральной и осевой симметрий.

7. Установлена педагогическая целесообразность использования школьной практики тестов для исследования пространственного воображения учащихся наряду с традиционными формами проверки знаний, сформулированы требования, предъявляемые к тестовым формам контроля.

Обобщены различные типологии тестов, используемые в польской школе (пороговые и дифференцирующие тесты, тесты узкого и широкого использования, тесты с выбором ответа, нормализованные и ненормализованные тесты и др.), проанализированы "учительские" тесты для диагностики достижений в формировании и развитии пространственного воображения учащихся 11-15 лет

(IV-VIII классы), выявлены их достоинства и недостатки.

8. Разработаны приемы интенсификации процесса развития пространственного воображения учащихся, основанные на применении разнообразных визуализаций геометрических объектов, графической репрезентации и математической символики. Теоретически и экспериментально подтверждены последовательность в формировании приемов визуализации и методика организации работы с учениками по овладению соответствующим содержанием.

Выявлены основные функции применения способов визуализации в обучении математике с точки зрения развития пространственного воображения учащихся. Выявлены и раскрыты основные типы ошибок и затруднений учащихся в кодировании и декодировании математической информации, содержащейся в графических репрезентациях геометрических объектов.

9. Обоснована необходимость ориентации школьной математики на "линию воображения", выявлены два основных вида этой ориентации (ориентация материала обучения на формирование, развитие и диагностику пространственного воображения учащихся и ориентация процесса обучения математике на формирование, развитие и диагностику пространственного воображения учащихся, проанализированы различные варианты (симметричные и асимметричные) соотношения этих вариантов в практике обучения, соответствующие, в частности, "полной" и "антивоображенческой" ориентации обучения.

10. Установлены и раскрыты три основных подхода к подбору задач для формирования пространственного воображения (традиционный, оперативный и уровневый) и показаны возможные варианты их реализации в практике обучения.

11. Разработана типология задач, основным дидактическим назначением которых является формирование. развитие и диагностика пространственного воображения (математические игры, конструктивные задачи, проекционно-стереометрические задачи и т.д.), сформулированы основные положения по созданию банка задач "на воображение" и методические условия его использования в практике обучения.

12. Создана типология указаний к решению задач со стороны учителя, выявлены психолого-педагогические факторы, определяющие специфику методически целесообразных указаний к решению задач.

Авторские публикации по теме исследования

Основные положения и результаты исследования опубликованы в следующих работах:

¡.Функции и линейные преобразования в программе по математике средней школы, Математика 3.4/32 /Научно-дидакт. ежегодник, Издательство Жешувского пединститута, Жешув, 1977 г.-16 с.(на пальск.яз.).

2. Формы математической активности учителя математики в процессе обучения и учения, Материалы для обучения математике //Под ред.Т.Румака./ Научно-дидакт.ежегодник, Издательство Жешувского пединститута, Жешув, 1977 г. - 17 с. (на польск.яз.).

3. Формы вмешательства учителя в процессе обучения математике на примере решения задач учащимися, Математика /Научно-дидакт.ежегодник, Издательство Жешувского пединститута, Жешув, 1979 г. - 12 с. (на польск.яз.).

4. Рекомендации по решению задач, Математика, 4(1982), Научное издательство, Варшава - 6 с. (на польск.яз.).

5. Обучение теории вероятностей в школе, Математика 5,6 (1984). Научное издательство, Варшава - 13 с. (на польск.яз.).

6. Дидактические проблемы, связанные с вмешательством учителя в процесс решения математических задач, Издательство Жешувского пединститута,Жешув,1985 г. - 142 с.(на польск.яз.).

7. Концепция исследования реализации обучения геометрии в средних общеобразовательных школах по учебнику геометрии З.Крыговской, Издательство Жешувского пединститута, Жешув, 1985 г. - 7 с. (на польск.яз.).

8. Пилотажное исследование эффективности обучения учителей на математических отделениях вузов на примере Жешувского пединститута (в соавт.), Доклады и экспериментальные материалы //Под ред.проф.Б.Немерко, Издательство Быдгощского пединститута, Быдгощ, 1987 г. - 24 с. (на польск.яз.).

9. Программа по дидактике математики, се реализация и результаты студентов в умении решать задачи на аттестат зрелости, Доклады и экспериментальные материалы //Под ред. проф. Б.Немерко, Издательство Быдгощского пединститута, Быдгощ, 1987 г. - 10 с.(на польск.яз.).

10. Примеры действий учителя математики, связанные с

ошибками учащихся, во время введения планиметрических понятий, Труды VI Междун.конгр. по преп.математики, Будапешт,1988 г.- 12 с. (на англ. яз.).

11. Примерная реализация упражнений по дидактике математики семинарским методом, Доклады и экспериментальные материалы //Под ред. проф.Б.Рабевской, Издательство Вроцлавского университета, 1988 г. - 10 с. (на польск.яз.).

12. Реализация избранных математических предметов и их усвоение студентами, математические знания студентов, заканчивающих вуз, и эффективность обучения учителей математики (в соавт.), Доклады и экспериментальные материалы //Под ред. проф.Б.Немерко, Издательство Быдгощского пединститута, Быдгощ,1988г.- 63 с. (на польск.яз.).

13. Из исследований подготовки студентов-математиков к ведению уроков, Доклады и экспериментальные материалы //Под ред.проф.Б.Немерко, Издательство Быдгощского пединститута, Быдгощ, 1988г.- 43 с. (на польск.яз.).

14. Из исследований эффективности математического обучения студентов математики (в соавт.), Доклады и экспериментальные материалы //Под ред.проф.Б.Немерко, Издательство Быдгощского пединститута, Быдгощ, 1989 г.- 50 с. (на польск.яз.).

15. Эффективность обучения студентов математического отделения в Жешувском пединституте, Дидактика высшей школы, 3-4 (1990), Научное издательство, Варшава - 17 с. (на польск.яз.).

16. Доклад о реализации исследовательских задач: Программы по отдельным предметам на математических отделениях вузов, их реализация и усвоение студентами в 1986-1990 гг. Доклады и экспериментальные материалы //Под ред.проф.Б.Немерко, Издательство Быдгощского пединститута, Быдгощ, 1990г.- 27 с. (на польск.яз.).

17. Уроки математики в настоящее время и в будущем -наблюдения и выводы из практики в школе, Научно-дидакт. ежегодник, 9(1993), Издательство Жешувского пединститута, Жешув - 40 с. (на польск.яз.).

18. О системе задач для формирования пространственных представлений, Математика в школе, 5(1993) - 8 с.

19. О некоторых ошибках, допускаемых при выполнении и использовании геометрических чертежей (в соавт.), Математика в школе, 1993 г. - 6 с. (принята к печати).

20. Методические проблемы отбора задач по формированию пространственного воображения в условиях дифференцированного обучения математике в школе, Издательство Жешувского политехнического института, Жешув,1993 г. - 27с. (принята к печати) (на польск.яз.).

21. Формирование пространственного воображения в условиях дифференцированного обучения математике в школе, Издательство Жешувского пединститута, Жешув, 1993 г. - 327 с. (принята к печати) (на польск.яз.).

22. О некоторых проблемах формирования пространственного воображения в условиях дифференцированного обучения математике в школе, Научно-дидакт.ежегодник, Издательство Жешувского пединститута, Жешув, 1993 г.- 26 с. (принята к печати) (на польск.яз.).