автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Использование преемственности в изучении преобразований и векторов на плоскости и в пространстве для решения стереометрических задач

Автореферат диссертации по теме "Использование преемственности в изучении преобразований и векторов на плоскости и в пространстве для решения стереометрических задач"

МОСКОВСКИ!! ОРДЕНА ЛЕНИНА II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.16

На правах рукописи

УСМАНОВ Отад;кои Хашшович

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ В ИЗУЧЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ II ВЕКТОРОВ

НА ПЛОСКОСТИ II В ПРОСТРАНСТВЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Специальность 13.00.02 — методика преподавания математики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой стеиенн кандидата педагогических паук

Москва 1992

Работа выполнена в Худжапдском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор педагогических наук, профессор В. А. ГУСЕВ

Официальные о и попситы:

доктор педагогических наук, профессор ГЛЕЙЗЕР Г. Д.

капдндат педагогических наук ВЕРЧЕПКО А. И.

Ведущая организация — Московский педагогический университет.

Защита диссертации состоится «............»..............................1992 г.

в ............ часов на заседании специализированного Совета

К 053.01.16 по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических паук в Московском ордена Ленина и ордена Трудового -Красного Знамени педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., 14, математический факультет МИГУ им. В. И. Ленина.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке МПГУ имени В. И. Ленина но адресу: 119882, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1, МПГУ им. В. И. Ленина.

Автореферат разослан «............»........................1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета "Л Э. И. КУЗНЕЦОВ

г>

- 3 -

Обдая ха2актеристика_исслезоватш .

В настоящее вреда неизмеримо выросла роль математики в современной жизни, она применяется во всех областях науки и производства. Это ставит перед школой проблему - приблизить содержание школьного математического образования к уровни развития современной ыатоматики-наукн, к ее важнейшим приложениям. Одним из основных понятий современной математику является понятие функции, сино-ниыом которой в геометрии являются геометрические преобразования.

Идея построения геометрии на основе геометрических преобразований била высказана еце Ф.Клейном з его "Эрлангенской программе". Он опроделил геометрию как предмет, изучающий инварианты в некоторой группе преобразований. Следовательно, цожно сказать, что в основе научного определения геометрии и ее классификации лежат геометрические преобразования.

Вопросы изучения геометрических преобразований и векторов в школьном курса геометрии затрагивались в работах: В.Г.Болтянского, З.А.Гусева, В.У.Клопского, А.Н.Колмогорова, Ю.М.Колягнна, Л.И.Кузнецовой, Г.Г.Ласловой, В.И.Мишина, З.А.Скопеца, С.Т.Тхама-фокозой, Т.И.Уткиной, А.И.Фетисова, ИЛ.Яглоаа и др. В этих работах рассматривались вопросы методики излояэния геометрических преобразований и векторов на плоскости и в пространстве, частные виды преобразований и связи между ними.

Одним из путей более всестороннего изучения учебного предмета является установление внутрипредмегных и иежпредметных связей, которые "содействуют более глубокому пониманию данного предмета в развитии и в его действии с практикой". '

Психолого-педагогические аспекты преемственности в учебно-воспитательном процесса исследовались Б.Г.Ананьевым, А.К.Бушлей, Ш.И.Ганелиныи, А.А.Любинской, А.И.Пышкало и др.

Анализ этих работ показывает, что преемственность рассматривается, во-первых, в связи с другими принципами дидактики; во-вторых, как развитие знаний, умений и навыков, приобретенных обучающимися; в-трэтьих, как связь между отдельными предметами, изучаемыми в школе (межпредматные связи); э-чегвертых, как пра-

I) Ганелин Ш.И. О преемственности и иежпредметных связях. - В ни.: Преемственность в обучении и взаимосвязь иежэт учебными предметами в У-УП классах.-и.:Изд-во АПН РСФСР, 1961.-С.13

емственные связи ыекду отдельными разделами учебного предмета (внутрилредметные связи); в-пятых, как связь иеяду отдельными этапами (звеньями или ступенями) обучения.

Мы в своей работе преемственность рассматриваем как связь между отдельными разделами учебного предмета геометрии (планиметрии и стереометрии) и использование этой связи для решения стереометрических задач.

Математические задачи являются важнейшим средством формирования у школьников высокой математической культуры. В процессе решения различных задач у учащихся закрепляется система знаний, умений и навыков.

Анализ научно-методической литературы показывает, что недостаточно исследована методика решения стереометрических задач с использованием преобразований и векторов и практически не разработана методика решения стереометрических задач, учитывающая умения и навыки учащихся, приобретенные ими при решении соответствующих планиметрических задач. Кроме того, одной из причин, определяющих низкий уровень геометрического развития учапдахся средней школы, является недостаточное использование преемственности в изучении преобразований и векторов на плоскости и в пространства при решении стереометрических задач.

Составление плана решения задач есть один из этапов деятельности учащихся в процессе решения задач. Опора на знания, умения и навыки учащихся, приобретенные при решении планиметрических задач с использованием преобразований и векторов для решения стереометрических задач, помогает более осмысленному и прочному усвоению понятий, Ъахонденкю способов решения стереометрических задач.

Вышесказанное обосновывает1 актуальность выбранной нами теш.

Проблема исследования состоит в разработке методики решения стереометрических задач, опирающейся на преемственность в изучении преобразований и векторов на плоскости и в- пространстве в курсе геометрии средней школы и при различных формах ее дифференцированного изучения. '•

Объектом исстедования является процесс обучения стереометрии в стерших классах средней шкож.

Предметом исследования является выявление особенностей негодики решения стереометрических задач с использованием преобразо-

ваний и векторов, опирающихся на преемственность в обучении данного материала на плоскости и в пространстве.

Цель работы - совершенствование обучения решению стереометрических задач методой преобразований и векторов с помощью разработки классификации стереометрических задач, учитывающей знания, умения и павшей, приобретенные при решении соответствующих плани-иетрических задач.

Наше исследование опиравтоя на гипотозу о тон, что определении одинаковых и различающих свойств соответствующих преобразований и векторов на плоскости и в пространстве, усиление внимания на различающих свойствах и использование взаимосвязи меаду соответствующими свойствами при решении стереометрических задач позволяет повысить эффективность обучения решению стереометрических задач, решаемых с использованием преобразований и векторов.

Основными задачами исследования являются;

1. Зскрыть единство и различия в характере изучения различных видов преобразований и векторов на плоскости и в пространстве на разных ступенях обучения.

2. Разработать методику ремения стереометрических задач с использованием преобразований и векторов, опирающуюся на умения и навыки решения соответствующих планиметрических задач.

3. Разработать систему стереометрических задач, обеспечивающих осуществление преемственности в изучении геометрических преобразований и векторов.

Л. Экспериментально проверить предлагаемую методику.

Для решения поставленных задач мы использовали следуюцие методы исследования: I) изучение научно-методической и психологической литературы, связанной с проблемой исследований; 2) проведение обследования учителей математики икол г. Ленинабада и Лени-набадской области; 3) организация и проведение педагогического эксперимента, включающего констатирующий и поисковый этап, проведение обучающих занятий с учащимися и Факультативных занятий по теме исследования.

Теоретическая новизна нашего исследования сосюит в следующей:

- разработана классификация стереометрических задач, решаемых с использованием преобразований и векторов;'

- разработана методика решения стереометрических задач, опирающаяся на принципы преемственности в изучении преобразований и векторов на плоскости и в пространстве.

Практическая значимость работы заключается в разработке конкретных мотодич'еских рекомендаций, которые могут быть использованы учителями при обучении математике, преподавателями педагогических институтов в процессе подготовки студентов к преподаванию геометрии в школе, методистами при разработке учебно-методических пособий для учителей.

Апробация работы. Основные положений и результаты исследования докладывались и обсуждались на Всесоюзной научной конференции по проблеме мекпредмотных связей в подготовке учителей мате-иатики и физики в педагогических институтах (г.Душанбе, 1978), на курсах повышения квалификации учителей математики при ЛОИУУ (г.Ленинабад, 1977-1990 гг.), на конференциях учителей г. Ленина -бада (1977-1990 гг.), на конференциях молодых ученых Ленинабад-ского-пединститута (1977-1990 гг.), на Кировских чтениях (г.Ленинабад, 1977-1990 гг.), на заседаниях кафедры методики преподавания математики ЛГПИ им.С.и.Кирова (1977-1990 гг.).

На защиту выносятся следующие положения:

- обоснование классификации стереоиетрических задач, решаемых с использованием'преобразований и векторов с целью совершенствования обучения решению стереометрических задач;

- доказательство необходимости установления одинаковых и различающих свойств соответствующих преобразований и векторов на плоскости и в пространстве для глубокого и прочного усвоения этого материала Ъ применения его при решении стереометрических задач;

- доказательство необходимости разработки методики решения стереоиетрических задач, опирающейся на методы решения соответствующих планиметрических задач с целью совершенствования обучения решению стеореометричесних задач;

- разработанная нами система стереометрических задач.

СТРУКТУРА И ОСНОЗН0Е_С0ДЕРрНИ2 ?АБ0Й1_

Последовательность решения сформулированных задач определила содержание и структуру диссертации, которая состоит из введения, двух глвв, заключения, списка литературы и приложения.

- ? -

Во введении обоснована актуальность теш, сформулированы проблема, ноль, задачи и гипотеза исследования, раскрывается новизна, практическая значимость исследования и положения, выносимые на защиту.

3 первой г.^аве "Геометрические преобразования и векторы, преемственность в их изучении" проведен обзор учебников для общеобразовательной лкольг, содержащих геометрические преобразования и векторы, рассмотрена проблема преемственности в учебно- методической и психолого-педагогической литературе, а также в изучении преобразовании и векторов на плоскости и э пространство.

Идоя геометрических преобразований как основа геометрии выросла на базе теории групп. В конце XIX- начале XX века в свет вышли учебники геометрии П.Мерз, Э.Бореля, Б.А.Марковича, пронизанные идеей геометрических преобразований. Б них рассматривались некоторые виды преобразований плоскости и пространстве, по о методике изучения их з средней аколе не было и речи.

Начиная с 60-х годов в напей стране ыирится двизение за реформу математического образования в средней дколе. Необходимость реформы преподавания математики з средней школе следует за развитием самой математики и смежных наук, о тамге явного несоответствия знаний, даваемых пколой с потребностями гизни. Работы Н.Бурба-ки влияли на реформу преподавания аатеиатики, появились идеи сближения школьного курса математики и математики - науки.

На основе движения по модернизации акольного курса математики били созданы учебные пособия по геометрии для 6-8 классов под редакцией А.Н.Колмогорова , учебное пособие по геометрии для 9-10 классов под редакцией З.А.Скопеца2-', пробный учебник по геометрии для.6-8 классов авторов ¿.Г.Болтянского, И.Б.Золознча» А.Д.Семушина. Эти учебники построены на основе геометрических преобразований. Б них рассматривались конкретные виды прэобрззоаанаЗ: и векторы на плоскости или в пространстве. Преобразования и гек-

1) Колмогоров А.Н., Семенович А.О., Черкасов P.C. Геометрия: Учебное пособие для 6-8 классов средней пколы. - и.:Лросве-пение, 1981. - 383 с.

2) Клопский 3.J., Скопец З.А., Ягодовский U.U. Геометрия: Учебное пособие для 9-10 классов. Под ред. З.А.Сковеца. - 3-е-изд. - П.: Просзецение, 1983. - 255 с.

3) Болтянский З.Г., Золович И.Б., Секупин А.Д. Геометрия: Нооб-ний учебник для 6-8 классов. - 'J.: Просвещение, I9/9.-I75 с.

торы используются в этих учебниках длл доказательства теорем и решения задач.

Несомненно, что такой способ изложения геометрии оказался нопривычним для учителей, и вызвал у них значительные трудности. Практика работы по указанным учебникам показала, что предлагавши метод наложения материала скорее подходит для углубленного изучения геометрии, чем для массовой школы.

В связи с этим многими математиками было выдвинуто требование о том, что не следует строить школьный курс геометрии на основе теории отображений. Это требование было осуществлено в учебнике А.В.Погорелова . Но насмотри на это, некоторые стереометрические задачи, предложенные в этом учебнике, можно решать с использованием преобразований и векторов.

В этой главе дается подробный анализ данного учебника в связи с изложением в нем материалов о преобразованиях н векторах.

Как видим, геометрические преобразования и векторы при всех изменениях программ по математике для средней школы сохраняют свое место в курсе геометрии.

Конечно, в зависимости от идейных установок авторов это место мозет бить центральным, а мохет быть более скромным, но нельзя себе представить курс геометрии .вовсе без рассмотрения и применения преобразований и векторов.

Заканчивается первый ервой главы анализом учебного

углубленным изучением математики, где достаточно подробно изучаются следующие преобразования в пространстве: параллельный перенос, центральная симметрия, отражение в плоскости (зеркальная симметрия), поророг вокруг прямой. Осевая симметрия пространства в этом пособии рассмотрена как частный случай поворота вокруг прямой. Кроме того, при классификации перемещений приведены определения : винтового перемещения, зеркального поворота, вокруг оси и скользящего отражения. 3 этом учебном пособии вакяв.подробно изучаются векторы, операции над ними (сложение векторов, уцно-ление

1) Погорелов А.В, Геометрия: учебник для 7-11 классов средней аколн. .'¿.: Просвещение, 1990. - 384 с. •

2) Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 9-Ю классов средней школы. Учебное пособие для школ и классов с углубленный изучением математики. - Ц.: Поосвещение, 1984. -

пособия А.Л.Александрова

учащихся акол и классов с

вектора па число, скалярное произведение зпкторов) и разлоконие вектора на составляющие.

В действующей программе и учебниках геометрические преобразования и векторы на плоскости изучаются в 8-9 классах, а геометрические преобразования и повтори в пространства - з 10 классе. Курс стереометрии долхсн быть естественным продолжением планиметрии. Этого мо::сно добиться лишь в том случае, если при изучении стереометрии будем опираться но соответствующие знания, умения и навыки, приобретенные при изучении планиметрии, т.е. если будем прн-доркизатьс«*принципа преемственности. Преемственность имеет много аспектов. 3 результате исследований Б.Г.Ананьина, '/'.И.Ганелина, А.Л.Люблинской, К.II.Золотарь и др. было установлено, что одним из аспектов преемственности является взаимосвязь между новыми и старики знаниями, в результате которой развиваются знания, умения и навыки учащихся. В соответствии с этим преемственность в изучении геометрии внутрипредметная. Она рассматривается но только с точки зрения систематичности, последовательности в расположении материала и пдкрепленпя знании новыми, но и в перспективном плане.

В осуществлении преемственности большое значение имеет повторение предыдущего материала, связанного с изучением нового материала. Преемственность в обучении геометрии требует согласованности в построении программ и учебников курсов планиметрии и стереометрии, Преемственность в изучении преобразований и векторов на плоскости и в пространстве требует решения следующих задач:

а) согласование обеих определений преобразований и векторов на плоскости и в пространстве;

б) установление общих свойств преобразований и векторов на плоскости и в пространстве;

в) установление дополнительных свойств преобразований и векторов в пространстве;

г) согласование определений отдельных видов преобразований;

д) установление одинаковых свойств одноименных преобразований плоскости и пространства;

е) установление отличительных свойств одноименных преобразований плоскости и пространства;

я) установление аналогии в свойствах конкретных видов преобразований плоскости и пространства.

3 роботе подробно охарактеризованы указанные вгае задачи.

Практика построения учебников геометрии средней школы показала, что при изложении материала по геометрическим преобразованиям не содержится общего определения преобразований плоскости и пространства.

Анализ учебных пособий по геометрии под редакцией А.Н.Колмогорова и З.А.Скопеца, а такяе учебника по геометрии А.З.Погорело-ва показывает, что авторы придерживаются принципа преемственности в формулировках определений осевой симметрии, параллельного переноса, гомотетии и вектора на плоскости и в .пространстве. Авторы учебных пособии под редакцией А.И.Колмогорова и З.А.Скопоца не придерживаются принципа преемственности в формулировке определения центральной симметрии плоскости и пространства.

Определение симметрии относительно плоскости, данное в учебном пособии под редакцией З.А.Скопеца, аналогично определению осевой симметрии, данному в учебном пособии под редакцией А.Н.Колмогорова. В учебнике А.В.Погорелова такие определение симметрии относительно плоскости и осевой симметрии плоскости аналогичны.

Для поворота-на плоскости нет одноименного преобразования в пространстве. Вместе с тем очень интересно рассмотреть взаимосвязи поворота на плоскости и вращение вокруг оси в пространстве. Изучение преобразования вращения вокруг оси не входит в обязательную программу для средней школы и потому для его рассмотрения' в работе использовались различные источники.

Использование преемственности при изучении преобразований и векторов в курсе стереометрии будет способствовать лучшему усвоению курса геометрии. Кроме того, использование преемственности обеспечивает перенос знаний из одной области в другую и помогает найти способ решения стереометрических задач. Решение новых задач опирается на решение ранее решенных и методы решения новых задач находятся при помощи методов решения старых задач.

Таким образом, использование преемственности в изучении преобразований и векторов на плоскости и в пространстве икеет ряд аспектов: • '

1) средство повторения и закрепления материала;

2) средство установления взаимосвязей мезду двумя ступенями курса геометрии;

3) средство лучшего осознания многогранности геометрических

- II -

преобразований, их сущности и функций; .

'♦) сродство решения более сложных задач с помощью методов ранее решенных задач.

3 данном исследовании главным образом рассмотрено использование преемственности в изучении преобразовании н векторов на плоскости и в пространстве при релонии стереометрических задач.

Во второй главе "Методика решения стереометрических' задач о использованием преобразований и векторов" излоаонн общая методика использования геометрических преобразований и векторов для решения стереометрических задач, организация и результаты экспериментального исследования. '

Для того, чтобы установить, какие стереометрические задачи . могут бить реаени с использованием преобразований и векторов в работе проанализированы условия различных стереометрических задач. В результате проведенного исследования эти задачи можно разбить на следующие виды:

а) задачи, условия которых явно содоркат какое-то преобразование или векторы;

б) задачи, условия которых явно не содержат про,образования или векторы, но в решении которых они используются. .

Дальнейшее исследование задач указанных видов позволило сделать вывод о том, что стереометрические задачи, решаемые с использованием преобразований и векторов можно разбить на следующие виды: '

I. Стереометрические задачи, формулировка которых одинаково с соответствующими планиметрическими задачами.

П. Стереометрические задачи, являющиеся аналогами соответствующих планиметрических задач.

Ш. Стереометрические задач, не имеющие аналогов на плоскости.

Далее в работе сформулированы некоторые общие правила решения стереометрических задач.с помощью геометрических преобразований и векторов:

1. Если условие или требование задачи содеряит указание на какое-то преобразование, или векторы, .то задача решается при мо-мощи указанного преобразования или с использованием векторов.

2. Если условие задачи явно не содержит преобразования или эектор'ов,. но соответствующие задачи на плоскости решаются с ис-

- тг -

пользованием преобразований или векторов, то мо:хно предположить, что она и в пространство решается с использованием преобразований или векторов.

3. Если задача не имеет планиметрического аналога, то единого предписания доть новозможно. Вместе с теп здесь иоэмоани всякие эвристики,' связанные с использованием различных преобразований или векторов.

Указанные правила носят эвристический характер, но они помогают учащимся в поиске способа решения стереометрических задач. .Стереометрические задачи, Формулировки которых одинаковы с соответствующими планиметрическими задачами, решаемым» с использованной преобразований и векторов, мозно разбить на следуэдие виды:

а) задачи, решаемые но. плоскости и в пространстве одинаковы;

б) задачи, сводимые к плоскостным; .

в) задачи, трабуюцие учета трехмерности пространства;

г) задачи, которые после некоторого преобразования, сводятся 1; плоскостным.

Далее в работе подробно рассматривается кандый из указанных видов стереометрических, задач.

Применение аналогии для решения стереометрических задач требует установления аналогии между плоской и пространственной фигурами.

Аналогия менду пространственной и плоскостной фигурами способствует переходу от стереометрической задачи к плашшетричво кой, л то но время'решение планиметрической задачи даег направление 'к нахождению способа решения стереометрической задачи.

Анализ применения способа рецения аналогичных планиметрических задач при решении стереометрических задач показывает, что решение стереометрических задач, являющихся аналогами соответствующую планиметрических задач, необходимо проводить в следующей последовательности: -

1) по аналогии перейти от стереометрической задачи к соответствующей планиметрической задаче;

2) найти (восстановить в памяти) решение соответствующей планиметрической задачи;

3) осуществить обрат&Ш переход, т.е. попытаться аналогичным образом ренигь,. стереометрическую задачу.

4 Стереометрические задачи, являющиеся аналогами соответствую цих планиметрических задач, модно сгруппировать в следующие виды:

- ГЗ -

а) задачи, сводимые к плоскостном способом сечо<ия,

б) задачи, решаемые по апологии с соогветсвуэдими планиметрическими задачами.

Для'упрощения решения задач вида з) ¿юрмулировку 3-го этапа решения стереометрической задачи можно заменить следующей формулировкой: установить, что существует (ил.! аогшо провести) плоскость, в которой требование данной стореометрической задачи совпадает с требованием соответствующей планиметрической задачи.

Анализ стереометрических задач вида б) показывает, что: а) если соответствующая планиметрическая задача реиаотся с использованием центральной симметрии, параллельного переноса или гомо- . тетией, то стореомлричоская задача реаается с использованием одноименного преобразования пространства; б) вели соответствующая планиметрическая задача реиаотся с использованием по$рота, то стереометрическая задача решается о использованием вращения вокруг оси; в) если соответствующая планиметрическая задача решается с использованием осевой симметрии, то стереометрическая задача реаается с использованием осевой симметрии пространства или симметрии относительно плоскости.

Стереометрические задачи, являющиеся аналогами соответствую с;их планиметрических задач, решаемые с использованием .преобразований и векторов, развивают пространственное мышление учащихся. Методика их решения помогает формировать у учащихся: аналогию между пространственными и плоскостными Лигурами;пути перехода от сторооч метрической задачи к соответствующей планиметрической и обратно; взаимосвязь кезду преобразованиями плоскости и пространства; нахождение способа решения стореометрической задачи с опорой на решения соответствующей планиметрической задачи; аналогию процессов' решения различных задач.

3 этом параграфе и в приложении рассматривается методика решения больного числа.конкретных.задач этого вида.

3 § 4 данной главы рассмотрены стереометрические задачи, не имеющие аналогов на плоскости, решение которых требует высокого уровня развития пространственного мышления.

Среди нестандартных- .стереометрических задач, кз имеюдах аналогов на плоскости,, особое место занимают задачи, которые могут быть решены с .использованием преобразований и векторов. Сложность решения Зтих задач заключается презде всего в том, что учащиеся практически не видят, что их можно реаить с использованием прооб-

- и -

разований и векторов.

Стереометрические задачи, не имеющие аналогов на плоскости, которые могут о'ыть решены с использованием преобразований, можно разделить на два вида:

а) задачи, в формулировки которых входит то или иное преобразование; '

б) задачи, в формулировки которых не входят преобразования и возможности их применения нужно выяснять.

Среди стереометрических задач, не имеющих аналогов на плоскости, решаемых с использованием векторов,мы выделяем'три основных вида:

а) задачи, решения которых сводится к нахождению угла между скрещивающимися прямыми;

б) задачи, реаение которых сводится к нахождению расстояния мекду скрещивающимися пряшми;

в) задачи, решение которых сводится к нахождению' компланарности направляющих векторов данных прямых.

С помощью геометрических преобразований и векторов можно решить большое число различных стереометрических задач. При этом 'в большинстве случаев использование преемственности в изучении преобразований и векторов на плоскости и в пространстве весьма э,йфектпвно помогает в нахождении способа решения таких задач.

Завершается глава'описанишэксперимента. Экспериментальная Ьроверка основных положений диссертации проводиласьв1980-1989 гг» в средних школах й I', 19 и г.Ленинабада и в средней школе ■К; I села Ява Ходяентского района Лешшабадской области.

На первом этапе констатирующего эксперимента изучались особенности усвоения преобразований и векторов на плоскости и в пространстве и возмонности их использования при решении стереометрических задач. >

В результате констатирующего эксперимента .было выявлено, отсутствие целенаправленной работы по установлению взаимосвязей мезду•одноименными видами преобразований плоскости и пространства. Это относится к векторам и их свойствам.

3 1582-1984 гг. был проведен поисковый*эксперимент, основной цель» которого явились апробация классификации .стереометрических задач, решаемых ,с использованием преобразований и векторов флорой

иа знания и умения, приобретенные при изучении преобразование) и зекторов на плоскости, составлена система задач и мг-тодическив рекомендации по их решении.

Обучающий эксперимент (1984-1939 гг.) был разделен на две части: I) на уроках геометрии проверялась методика решения стереометрических задач с использованием преобразований и векторов на уровне, соответствующем материалу, изложенному в школьных'учебниках; 2) на факультативных занятиях проверялись возможности учащихся по решению более сложных задач, допускающих решение с использованием преобразований.и векторов.

Исходя из общих целей экспериментального исследования,мы определили задачи обучающего эксперимента.

Уточнить систему стереометрических задач, решаемых с использованием преобразовзний и векторов и установить:

а) могут ли учащиеся применить знания, умения и навыки, выработанные при изучении преобразований и векторов на плоскости к решению стореометрических задач;

б) целесообразность классификации стереометричческих задач • по нашей методике;

в) могут ли учащиеся различать свойства соответствующих преобразований и векторов на плоскости и в пространстве; . • - .

г) могут ли учащиеся определить область поиска решения стереометрических задач;

д) могут ли они определить метод (о!особ) решения задачи.

Наблюдения за работой учащихся на уроках, результаты устных

опросов, сравнительные результаты контрольных работ в экспериментальных и контрольных классах позволяют сделать вывод об эффективности предлагаемой нами методики обучения решению стереометрических задач с опорой на знания и умения, приобретенные ими в курсе планиметрии.

Таким обрззом, проведенное .исследование позволяет сделать следующие выводы:

1. Учащимся 10-11 классов доступно использование преем-' ственности в изучении преобразований и векторов на плоскости и в пространстве при решении стереометрических задач.

2. Необходимо в. школе широко использовать методику репения . стерЬометрических задач с использованием преобразований и векторов, опирающуюся на- умен;:я и навыки решения соответствующих плэнимотри-

чвских задач. Этот процэсс необходимо осуществлять о учетом

индивидуальных особенностей и способностей учащихся.

3. Для успешного применения преобразований и векторов, при решении стереометрических задач необходимо деление стереометрических задач, решаемых с использованием преобразований и векторов, на следующие агрн вида:

а) стереометрические задачи, формулировки которых одинаковы с соответствующими планиметрическими задачами;

б) стереометрические задачи, являющиеся аналогами соответствующих планиметрических задач!

в) стереометрические задачи, не имеющие аналогов на плоскости.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях автора:

1. Отракение взаимосвязи в изложении преобразований плоскости и пространства в процессе изучения курса методики математики//. Проблемы ыекпредметных связей в подготовке учителей математики и физики в педагогических институтах. Тезисы всесоюзной научной конференции. - Душанбе, 1978,- С. 146-147.

2. Взаимосвязь между преобразованием поворота на плоскости и ' вращением вокруг оси в пространстве // Проблемы повышения эффективности обучения математики в иколе. - Душанбе, 1979. - С.74-83.

3. Взаимосвязь центральной симметрии плоскости и пространства Ц 1.1актаби совети. 1979, N° II. - С.51-53 (на таджикской язы-'ке). •

4. Преемственность в изучении преобразований плоскости и пространства // Преподавание геометрии в 9-10 классах. - П.: Просвещение, 1980. - С.65-96 (в соавторстве).

5. Взаимосвязь осевой симметрии плоскости и пространства // Такиили процесси таълиш математика. - Душанбе, 1981. - С. 25-34 (на таджикском языхе). . •

6. Образцы вариантов вотупительных экзаменов по математике (анализ и указания). Методические'рекомендации. -Ленииабад, 1990,

-48 е.- (в соавторстве).