автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Научно-методические принципы построения курса геометрии в современной девятилетней школе

Автореферат диссертации по теме "Научно-методические принципы построения курса геометрии в современной девятилетней школе"

V * На правах рукописи

ВАГАНЯН Виктор Оганесович

НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ КУРСА ГЕОМЕТРИИ В СОВРЕМЕННОЙ ДЕВЯТИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения

математике

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва 1997

Работа выполнена в Институте общего образования Министерства общего и профессионального образования

Российской Федерации

1

Научный руководитель: кандидат педагогических наук, ~т "старший научный сотрудник БОКОВНЕВ О.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, ! профессор БУТУЗОВ В.Ф.

кандидат педагогических наук, БЕРЕЗИНА Л.Ю.

Ведущая организация: Московский педагогический университет.

Защита состоится (2 1997 г.в час. на

заседании; Диссертационного совета К.113.39.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата педагогических наук при: Институте общего и профессионального образования Российской Федерации по адресу: 109044, Москва, ул. Крутицкий вал, 24.

С диссертацией можно познакомиться в библиотеке Института.

Автореферат разослан "__"__1997 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат педагогических наук,-старщий научный сотрудник

БОКОВНЕВ О.А.

Общая характеристика работы Актуальность исследования. Проблема создания учебника

актуальна во все времена. Эта проблема особо обострилась после

ухода из советской "школы знаменитого учебника геометрии

А.П.Киселева. До этого мы расстались с другим великим учебником -

"Началами Евклида". Однако между учебниками Евклида и Киселева

сохранилась преемственность. Учебник Киселева "вырос" из "начал"

Евклида как его естественный плод. Но посткиселевские учебники

математики (особенно, геометрии) у нас (под редакцией

А.Н.Колмогорова) и аналогичные учебники за рубежом, преследуя

благородную цель, ¿"свершили чрезмерно большой методологический

скачок, который в целом не сумела преодолеть общеобразовательная

школа, что дало повод к их критике (В.С.Владимиров, Л.С.Понтрягин,

А.Н.Тихонов и др.) и созданию новых проектов и учебников

(А.В.Погорелов, А .Д. Александров, Д-.Н.Тихонов, В.Г. Болтянский,

А.С.Атанасян и др.). В последующих учебниках, в частности, в

учебниках геометрии (А.В.Погорел'ова, Л.С.Атанасяна и др.)

методология была достаточно умеренной и даже был сделан шаг назад

(отказ от теоретико-множественного подхода и т.п.). Такая ситуация

созревала и возникла вполне естественная тенденция "возврата" к

Киселеву (не в буквальном смысле к учебнику Киселева, но к

эволюционному, а не скачкообразному развитию концепции великого

педагога). На фоне создавшейся ситуации и в результате открытого

конкурса школьных: учебников появилось множество учебников, все

они обладали определенными достоинствами, (и, разумеется,

недостатками). Общество поступило бы неразумно, если бы так или

иначе не использовало весь этот научно-методический урожай.

В начале 90-х годов возникли новые реалии и в системе образования. Возникла необходимость в создании новых альтернативных и различных специальных учебников. Поэтому данная работа, касающаяся методической системы конкурсного учебника 'Теометр11я 7-9""автора7 прдставляется вполне актуальной. '

Цель исследования - усовершенствование методики курса геометрии девятилетней школы в соответствии с методической системой конкурсного учебника "Геометрия" 7-9".

Объект исследования - процесс обучения геометрии в 7-9 классах школы и способы построения учебников геометрии для этих классов.

Предмет исследования - пути развития методов обучения геометрии в 7-9 классах средней общеобразовательной школы и направления усовершенствования методических принципов построения учебников геометрии для 7-9 классов.

Основная гипотеза исследования состоит в том, что для общеобразовательной школы возможно написать максимально доступный учебник ("Геометрия" 7-9"), который одновременно сохранил бы необходимый научный уровень.

Задачи исследования:

1. Обоснование -историко-педагогической необходимости построения учебника "Геометрия 7-9" и выявление принципов., его создания.

2. Выявление особенностей и методики изложения доказательств в первый год обучения геометрии, а также методики введения понятий "аксиома", "теорема", "доказательство".

3. Разработка методики изучения образования неосновных геометрических понятий из основных.

4. Разработка методики введение понятий об аксиоматическом

**

методе.

Методологической основой исследования являются труды по философским проблемам науки, в особенности, труды по философии, математике, логике и основаниям математики, в частности, труды по основаниям геометрий, по педагогическим и психологическим проблемам преподавания математики и т.п.

Значительный вклад в усовершенствование школьного курса математики внесли П.С.Александров, А.Н.Колмогоров, Ю.М.Колягин, А.И.Маркушевич, Л.С.Понтрягин, А.Н.Тихонов, В.Я.Владимиров, А.В.Погорелов, А.Д. Александров, В Ф. Бутузов, Э.Г.Поздняк, Г.Н.Яковлев.

Особая роль в создании параллельных учебников математики принадлежит группе математиков и методистов ИОО МОПО РФ, работавших под руководством академика РАО Ю.М.Колягина: Ш.А.Алимов, Л.С.Атанасян, Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин, Л.М.Короткова, Н.Е.Федорова, М.В.Ткачева, Г.Л.Луканкин; и лаборатория . обучения математике: И.Н.Антипов, О.А.Боковнев, В.А.Оганесян.

Были изучены вопросы непрерывности образования, вопросы преемственности' обучения математике, внутри и межпредметные связи.

Исследование Опирается, в частности, на работы по этим проблемам известных педагогов, психологов и методистов: А.А.Менчинской, В.А.Крутецкого, fI'-Я.Гальперина, Н.Ф.Талызиной, А.И.Иванова, В.В.Фирсова, "ЕИ.Саранцева, Г.Д.Глейзера, А.М.Абрамова, В.А.Гусева.

Методы исследования: теоретический анализ отечественных и ряда зарубежных учебников геометрии; изучение соответствующей научно-методической, педагогико-псдхологическоп и философской литературы, изучение передового педагогического опыта,

преподавание математики и, в частности, геометрии с использованием разных учебников, отдельных тем, вопросов, методологического подхода и методических принципов построения конкурсного учебника автора исследования; педагогический эксперимент; педагогическая коррекция".

Экспериментальная база исследования: Цхалтбиасская средняя школа Ахалцихского района (Грузия), средняя школа №5 г.Раздан (Армения) и Октябрьская средняя школа Ажсайского района Ростовской области (Россия).

- Основные этапы исследования: 1977-1990 гг. - изучение- математической, философской,

методической, педагогической и психологической литературы по теме

■

исследования; изучение диссертационных работ по методике преподавания математики; теоретико-методический анализ учебников геометрии; -изучение опыта передовых педагогов; преподавание математики ■ в Цхатбиаской средней-школе-Ахалцихского района Грузии, поисковый эксперимент по методике преподавания геометрии и поиск способов построения курса геометрии девятилетней школы; выступления на Республиканских и Всесоюзных научно-методических конференциях и семинарах; публикация полученных результатов в научно-методических журналах Москвы, Еревана и Тбилиси; формирование собственной концепции построения курса геометрии девятилетней школы/ создание соответствующего учебника и участие во Всесоюзном конкурсе школьных учебников. . .

1990-1991 гг. - практическое преподавание геометрии по разработанному конкурсному учебнику в средней школе №5 г.Раздан (Армения). Доработка учебника на основании выводов, полученных в результате преподавания; публикации в методических журналах и выступления на конференциях.

1991-1994 гг. - оформление диссертационной работы, продолжение преподавания и экспериментирования в Цхалтбиаской средней школе; публикации в методических изданиях и выступления на конференциях.

" 1994-1997 гг. - преподавание математики в 'Октябрьской средней школе Ростовской области, новые исследования и эксперименты; пересмотр и переоценка проделанной работы; публикации в методических изданиях и выступления на конференциях.

Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключаются в обосновании новых методических принципов построения курса геометрии девятилетней школы, сформированных в этом исследовании и использованных в конкурсном учебнике автора.

Практическая значимость состоит в том, что разработана новая концепция изложения курса геометрии девятилетней школы, которую медао использовать при:

-создании новых учебников;

- формировании новых методических концепций и разработок;

- преподавании геометрии.

На защиту выносятся:

1. Определение особенностей построения школьного курса геометрии в первый год обучения (П класс), определение места и методики введения понятий "аксиома", "теорема", "доказательство".

2. Методика введения векторного исчисления.

3. Методика изучения образования неосновных геометрических понятий из основных и интуитивных понятий.

Апробация и внедрение диссертационного исследования осуществлялись в ходе проведения многочисленных открытых/уроков всех уровней. Результаты исследования^эыли доложены на: ;;

1. Профессорско-преподавательской межинститутской научной сессии. Тбилиси, 1981.

2. Республиканской научной конференции молодых ученых и аспирантов педагогических институтов. Тбилиси, 1982.

3. Всесоюзном шучн^методическом семинаре ~ кафедр математики. Казань. 1982.

4. Профессорско-преподавательской научной сессии. Тбилиси, 1984. ' : "

5. Профессорско-преподавательской научной сессии. Тбилиси, 1986. ' |

6. Научной сессии молодых ученых и аспирантов. Тбилиси, 1987.

7. Республиканских педагогических чтениях.

8. Научной сессии молодых ученых и аспирантов. Тбилиси, 1989.

9. Всесоюзной конференции Всесоюзной ассоциации учителей математики. Геленджик, 1991.

Ю. Научно-практическом семинаре. Ростов-на-Дону, 1995.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Основное содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы, ^е цель, формируются гипотеза, проблемы и задачи исследования, представляются методы и этапы' работы. Раскрывается научная новизна, практическая значимость работы.

Первая глава "Методические условия построения школьного курса геометрий". ^ Историческое развитие математики А.Н.Колмогоров делил на четыре периода. Первый период -зарождение математики (до У1-У вв. до н.э.). Это был период накопления математических фактов, полученных в основном опытным путем. Второй период - период элементарной математики (до XVIII

в.). В этот период понятия математики начинают ' систематизироваться, обобщаться. Завершается этот период созданием буквенного алгебраического исчисления. Третий период - период математики переменных величин (до XIX в.). Понятия переменной вёлйчины"фу нкщш7про изв о дн о й, интеграла и т.п; определяют суть третьего периода. Четвертый период - современная математика или математика переменных отношений - начался в конце XVIII в. Этот период характеризуется объединяющими - обобщающими понятиями и теориями, которые часто не являются непосредственными отражениями опыта, а представляют из себя потребности внутреннего развития математики, как, например, теория групп, теория функции комплексного переменного, теория множеств, математическая логика, неевклидовы геометрии и т.п.

Содержание учебника А.Н.Киселева включает материал в основном из II периода исторического развития математики. Методология этого учебника также соответствует в основном этому периоду. Содержание учебников А.Н.Колмогоров соответствует в основном III периоду, а его методология - IV периоду. Содержание учебников геометрии

A.В.Погорелова, Л.С.Атанасяна и др. соответствуют в основном III периоду. (На эту ситуацию впервые обратил внимание

B.Г.Болтянский). Содержание и методология конкурсного учебника автора исследования также соответствует в основном III периоду. ( см. таблицу) Продвижение в содержании и методологии школьного курса математики было назревшей - необходимостью, но для двойного скачка в методологии не было предпосылок.

Обоснование анализа, открытие неевклидовой геометрии, теории множеств, развитие обобщающих алгебраических систем привело к строгому научному пересмотру оснований, основных методов и

д.

методологии математики. Стремление к строгости, научной

Таблица.

Сравнительная характеристика некоторых учебников геометрии. -

Параметры Учебники Со, нш ;ержа- • Методология j Доступность Наглядность Практичность Развитие математического аппарата: Развитие аксиоматического метода "Экологическая ' чистота"

Киселев А.П. Ни ист ког раз мач ки ериод оричес-0 вития емати- II период исторического развития математики достаточно доступный достаточно наглядный практичный недостаточно развит не развит достаточно чистый

Колмогоров А.Н. и др. III период IV период труднодоступный недостаточно наглядный . не практичный сильно развит сильно развит средней чистоты

Погорелов A.B. III лериод III период средне-доступный недостаточно наглядный практичный достаточно развит достаточно развит достаточно чистый

Атанасян Л.С. и др. III ¡период III период достаточно доступный достаточно наглядный практичный достаточно развит достаточно развит средней чистоты

Предлагае -мый учебник III лериод III период достаточно доступный достаточно наглядный практичный достаточно развит достаточно развит достаточно чистый

обоснованности и системности в математике отразилось на преподавании математики. Практические шаги к модернизации математического образования предпринимались во второй половине XIX века и в начале XX века. По этому поводу итальянский педагог-математик Ф.Энриквес писал: "В настоящее время поднялось широкое движение против традиционного строя школы и традиционных педагогических систем. Фактором этого движения являются с одной стороны более высокие и разнообразные потребности практической жизни и связанные с ними более широкое распространение и демократизация культуры, а с другой стороны, новое понимание науки, которое правильнее оценило значение наблюдения и опыта по сравнению с логическими процессами". Эти мысли актуальны и сегодня.

После некоторого спада теоретизации школьного курса , математики в начале века, началось новое модернистское движение. В настоящее время это движение пошло на спад. Наступил период снижения теоретического уровня щкрльного курса математики и усиления его наглядности, доступности и практической значимости. Возможно, со временем будет допущен перегиб в сторону наглядности и нанесен ущерб научности. Тогда опять начнется движение за

. усиление строгости и приведения курса математики в соответствие с

»

научно-техническим прогрессом. Движение в начале века за наглядность, доступность и практичность в построении и преподавании школьного курса математики - предыдущий цикл аналогичного современного движения. Поэтому тогдашние принципы созвучны, но не идентичны современным принципам, выработанным "на более высокой базе".

Вторая глава - "Методика, изучения курса геометрии девятилетней школы".

Изложение школьного курса геометрии для первого года обучения, когда ученик только знакомится с новым и сложным предметом, должно существенно отличаться от изложения материала в последующих классах, когда уже есть опыт изучения геометрии, соответствующие знания и, что также немаловажно", ученики стали на год старше. В современных школьных учебниках геометрии понятия аксиомы, теоремы и доказательства вводятся, как правило, в начале курса геометрии Или сначала аксиомы называются основными свойствами, а в дальнейшем аксиомами, и курс строится так, как принято в математике - приводится система аксиом и последовательно излагаются теоремы и их доказательства. Это настолько привычно и естественно в математике, что обычно не ставится под сомнение целесообразность такого же порядка изложения геометрии в общеобразовательной школе. Фактически мы идем аксиоматическим путем. Очевидно, проще строить школьный курс математики аналогично вузовским курсам, так как сохраняется единство метода построения курса в школе и вузе. Этот существенный момент должен учитываться при любом способе построения школьного курса математики. Но преемственность метода требует аксиоматического подхода и в школьном курсе математики, поскольку серьезные вузовские курсы математики полагается строить по научному образцу - т.е. аксиоматически. В школьном курсе математики, в особенности в школьном курсе геометрии, видимо, требуется некоторое сочетание методов. Если при построении школьного курса геометрии делать упор в основном на наглядность, то создается огромная пропасть между общеобразовательными и научными курсами математики. Этим искусственно создается отставание от математической науки, от научно-технического прогресса. С другой стороны, следование в общеобразовательном курсе геометрии главным образом

аксиоматической концепции создает серьезные педагогические трудности в плане доступности излагаемого материала. Мы возражаем против крайностей: в школьном курсе геометрии требуется умелое, тонкое сочетание наглядности и аксиоматического подхода. Игнорирование любого из этих методов "чревато глубокими отрицательными педагогическими и научными последствиями. Излишний акцент в учебниках геометрии А.Н.Колмогорова на аксиоматический метод - одна из причин неудач. Как сочетать наглядность и аксиоматичность в самом построении курса геометрии, чтобы это сказывалось положительно на доступности учебника и не влияло отрицательно на его научную перспективность? Правильные ответы на эти вопросы должны открыть возможности для усовершенствования учебников.

В аспекте аксиоматического построения курса геометрии основные претензии мы предъявляем к первому году обучения. Именно тогда необходимо отказаться от привычного порядка изложения аксиом, теорем и доказательств. Термины "аксиома", "теорема" и "доказательство" должны быть введены не в начале, а в конце учебного года, когда уже накоплен достаточный геометрический материал, когда известны многие геометрические факты и способы их обоснования. Вот здесь-то и нужно раскрыть свойства фигур, которые были обоснованы посредством рассуждений, называть теоремами; обосновывающие их рассуждения -доказательствами, и все это комментировать на уже известном материале. Годичный опыт изучения геометрии создаст все предпосылки для содержательного усвоения понятий "аксиома", "теорема", "доказательство". Эти понятия вводятся в конце курса 7 класса, в главе "Понятие об аксиомах и теоремах". Первый год изучения геометрии самый трудный и ответственный. Делая акцент на

наглядности и естественно-логическим подходе, на следуемые из этого доступность и естественность предмета, можно сберечь многих учеников от отчуждения к математике. Наш опыт и эксперимент показывают, что это не имеет существенного значения ни для очень слабых, ни для 0ч"ень~~сшаных~учащихся^ но имеет существенное значение для средних учеников, которых большинство. Такой подход активизирует именно эту часть учащихся, приобщая ее к математике. В" век научно-технического прогресса, широкой математизации, в частности применения ЭВМ, эта часть учащихся дает обществу будущих учителей, программистов и т.п.

В учебниках, как правило, рисунок дается в законченном, завершенном виде. Ученику предлагается итог, результат, а не процесс. Ему трудно понять такой рисунок, особенно в первый год обучения геометрии. Рисунки ( в первый год обучения - все, а в дальнейшем - сложные) следовало бы заменить несколькими, которые последовательно приводят к конечному рисунку т.е. преподносить рисунок ученику в процессе его выполнения, подобно диафильму. А первое время, когда можно и нужно опираться главным образом на наглядность, целесообразно каждый шаг построения представить отдельным рисунком.

. Программа требует знакомить учащихся с элементами векторного исчисления на основе координатного метода. Представляя векторы парами чисел и вводя операции между ними, мы фактически употребляем язщ обобщенных алгебраических систем, т.е. методологически входим в IV период исторического развития математики. Здесь содержание (векторы, координатный метод) относится к III периоду развития математики, а методология - k IV периоду. Наглядно-чертежное определение векторного исчисления -абстракция \ первого порядка. Здесь мы производим лишь первую

абстракцию от реальных векторных величин. Коориднатное определение векторного исчисления - абстракция второго порядка. Это - двойная абстракция. Здесь мы абстрагируемся не от реальных некоторых величин, а от-их первой наглядно-чертежной абстракции. В школе доступны в основном абстракцш перво'го порядка. АбстракЩй же второго порядка, как правило, в общеобразовательных школах воспринимаются трудно. Если же невозможно в школе их полностью избежать, то необходимо для определений, использующих абстракции второго порядка, иметь эквивалентные им и предшествующие им определения абстракций первого порядка. Иначе можно лишь добиться формального заучивания, а не содержательного понимания. Возможно, как исключение, в некоторых простых случаях, использовать некоторые крупицы из содержания и методологии современной математики. Но это, во-первых, должно быть редчайшим, вынужденным исключением, во-вторых, методически должно быть- достаточно отработанным. Основываясь на этих соображениях и на опыте практического преподавания, мы пришли к. выводу, что векторам должны быть посвящены две главы учебника. В первой главе векторы изучаются на наглядно-чертежном уровне. Здесь дается определение вектора, всех, предусмотренных программой операций с ними,. решается множество задач, т.е. усваивается на

I

уровне методологии III периода исторического развития математики. После этого, полагаем, имеются все необходимые предпосылки для изучения векторов на более высоком уровне абстракции -координатным методом. Во второй глав? векторы изучаются координатным методом. Они не определяются заново, посредством операций между парами чисел, а выражаются через операции, данные на наглядно-чертежном уровне. Этим добиваемся более глубокого и с практической точки зрения, бйлее эффективного понимания темы. И

' . . Ч«-'* : ' ' /

' ■ ? ' :

фактически избегаем методологии IV периода исторического развита математики. Теперь мы имеем дело не с определениями операци между парами чисел, а всего лишь с некоторой записью операци: между векторами через их координаты. Методология здесь по форм 1 соответствует- современной-математшсег^^о"сущесгауот1Госится 1 предыдущему периоду развития математики.

Своевременные школьные курсы геометрии, как правило строятся на аксиоматической основе." Это" предъявляет повышенные требования к методике создания у учащихся представлений об аксиоматическом методе. Эта проблема имеет много аспектов. В школьном курсе геометрии обычно ограничиваются созданием у учащихся представлений об аксиоме, теореме и доказательстве. Эти представления углубляются и утверждаются на многочисленных доказательствах теорем. Но почти игнорируется другой важный для ученика аспект проблемы - создание у него представлений о механизме образования понятий. Ученику предлагается готовое определение, т.е. дается словесное выражение понятия в законченном, завершенном виде, но не показывается процесс образования понятия. Такой подход делает ученика более или менее пассивным наблюдателем. А как развивать у учащихся творческую активность, как учить их мыслить? Мы применяем так называемые структурные схемы. В определениях, помимо основных и неосновных понятий фигурируют и другие математические понятия, а также общеязыковые и логические понятия. Математические понятия, которые в данном курсе геометрии не Являются основными и не определяются, называем интуитивными. В нашем курсе геометрии основными понятиями являются точка, прямая, плоскость, отрезок, длина отрезка, фигура. Рассмотрим, например,; определение окружности: "Окружностью называется фигура, точками которой являются все точки плоскости, находящиеся

на данном расстоянии от данной точки". В определении окружности использованы основные понятия "фигура",' "точка", "плоскость", неосновное понятие "расстояние", "интуитивные понятия "находиться", "на данном", "от данной". "Длина отрезка АВ называется расстоянием между" точками" А и В". В Определений расстояния использованы основные понятия "длина отрезка", "точка", интуитивное понятие "между". После этого разбора можно построить структурную схему окружности. В этих схемах основные понятия записываем в кругах, неосновные понятия - в прямоугольниках, интуитивные - в треугольниках. Для простоты в схемы не включаем понятия языка - "называться", "который", "из", "их", и т.д. А также понятия логики - "не", "и", "или" и др. В выборе интуитивных понятий могут быть расхождения, но этому не следует придавать принципиального значения.

Структурные схемы в общеобразовательной школе методический прием, а не строгий научный метод. Здесь важнее понимание самой идеи, а не точность ее реализации. Тем более, что структурные схемы - методический прием, а не обязательный программный материал. Наш эксперимент дает основание утверждать; что посредством структурных схем: 1. Развиваются аксиоматические представления у учащихся: образование неосновных понятий из основных - один из признаков аксиоматически построенной теории; ясное представление процесса образования неосновных понятий из основных способствует лучшему пониманию сущности аксиоматического метода. 2. Проводится интересное, увлекательное повторение определений. При построении структурных схем речь не идет о повторении, но фактически определения повторяются. Причем это повторение . связано с глубоким мыслительным актом, с поиском нового. Такое активное, творческое

повторение намного эффективнее буквального повторения. 3 Развивается абстрактное мышление, повышается математическая культура учащихся; составление структурных схем учит мыслить, приучает к теоретическим поискам. 4. Развивается алгоритмическое мышлениегвыделение7^последовательнбеи~в^определёк1Г6 включение понятий в структурные схемы вырабатывает навыки, необходимые при составлении программ. Это делает структурные схемы хорошим вспомогательным материалом к курсу информатики. 5. Осуществляется качественный скачок в научном уровне учащихся: составление двух-трех десятков структурных схем позволяет видеть предмет шире, геометрия начинает осознаваться учениками как единая, четко слаженная конструкция.

Нужно составлять те важнейшие структурные схемы понятий, на которых строится основное здание школьного курса геометрии (например, структурные схемы окружности, круга, угла, треугольника, прямоугольника, параллелограмма и т.д.). При нехватке времени это можно делать на внеклассных занятиях. Наш опыт показывает, что большинство учащихся с удовольствием и без особого труда

Г : 'V

составляют структурные схемы. Отметим также, что структурные схемы мы составляем на материале учебника геометрии А.Н.Колмогорова, а потом - учебников А.В.Погорелова, Л.С-,Атанасяна и др. Впоследствии также и на материале конкурсного учебника автора.

Основные результаты исследования:

1. Для доступности предмета целесообразно в 7 классе (в первый год обучения геометрии) изменить традиционный порядок изложения геометрии на основе аксиоматического метода и отдать предпочтение наглядности и естественно-логическому подходу . (без явцого представления аксиоматического метода; понятия "аксиома",

"теорема", "доказательство" вводить лишь в конце первого года изучения геометрии; в дальнейшем, начиная с 8 класса, вернуться к традиционному способу изложения предмета на основе явного аксиоматического метрда).

2. Изучение- векторов проводить" в" два этапа. На первом -понятие вектора и операций с векторами проходит на наглядно-чертежном уровне, а на втором - на уровне координатного метода.

3. Сложные рисунки, особенно в первый год обучения (7 класс) представлять несколькими последовательно усложняющимися рисунками.

4. Для творческого и активного повторения определений и создания представлений об аксиоматическом методе в конце курса планиметрии дать ученикам представление о структурных схемах, отражающих процесс и структуру образования неосновных понятий.

. Основное содержание диссертации опубликовано в следующих статьях:

1. Ожидаемые изменения в курсе геометрии восьмилетней школы.

■ - Материалы профессорско-преподавательской межинст'итутской

научной сессии. - Тбилиси, 1981.

2. Размышления о понятии "совпадающие прямые". -"Математика и физика в школе" (на арм. языке) - Ереван, 1982, №6.

3. Теоретико-методическая характеристика учебного пособия А.В.Погорелова "Геометрия 6-10". - Республиканская .научная конференция, молодых ученых н аспирантов педагогических институтов Груз.ССР (тезисы доклада). - Тбилиси, 1982.

4. О методике Изучения геометрических понятий. - Материалы профессорско-преподавательской межинститутской научной сессии. -Тбилиси,1984.

5. О методике изучения операций с векторами по учебнику А.В.Погорелова "Геометрия 6-10". - Тезисы доклада на профессорско-преподавательской межинститутской научной сессии. Тбилиси, 1986.

6. Некоторые вопросы аксиоматического построения школьного курсаТпланимегрии. - Научная сессия молодых-ученыхи аспирантов (тезисы).- Тбилиси, 1987.

■ 7. Структурные схемы. - "Физика и математика в школе" (на груз. яз.). - Тбилиси, 1987, №3.

8.0 развитии логического мышления учащихся. - "Математика в школе", М., 1988, №4.

, 9. Некоторые соображения о построении школьного курса геометрии. - "Физика и математика в школе" (на груз .яз.). Тбилиси, 1988, №4. .

Ю.Некоторые принципы построения школьного курса геометрии по точке зрения Ф.Энриквеса. - "Математика и физика в школе" ( на 'арм.яз.^тЕреван, 1988,№6.'

11. ' О методике введения понятий "аксиома", "теорема", "доказательство" в курс школьной математики. - Труды педагргических институтов Груз ССР (серия: Математика). - Тбилиси, 198ё.

Об одном варианте построения школьного курса геометрии. -. Тезисы научной сессии молодых ученых и аспирантов. - Тбилиси, 198?.

. 13. О методике создания аксиоматических представлений у учащихся. - "Математика и физика в школе" (на арм. яз.). - Ереван, 1990,, №6.

14. Об одной концепции построения школьного курса геометрии. - Труды НИИ педагогики (на арм. яз.). - Ереван, 1992.

15. О конкурсном учебнике "Геометрия 7-9". - Научно-практический семинар (тезисы). - Ростов-на-Дону, 1995.

16. Основания математики с параметром времени (математико-философское исследование). "Экспертное бюро? - Ростов-на-Дону, 19967