Теория и методика обучения элементам топологии в основной школе

Сангалова, Марина Евгеньевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Теория и методика обучения элементам топологии в основной школе

Автореферат

Автор научной работы: Сангалова, Марина Евгеньевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Арзамас
Год защиты: 2003
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Теория и методика обучения элементам топологии в основной школе"

На правах рукописи

САНГАЛОВА Марина Евгеньевна

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ ТОПОЛОГИИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

13.00.02 Теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Саранск-2003

Работа выполнена на кафедре теории и методики обучения математике Арзамасского государственного педагогического института

Научный руководитель: член-корреспондент РАО,

доктор педагогических наук, профессор Саранцев Геннадий Иванович

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук,

профессор Дорофеев Сергей Николаевич

кандидат педагогических наук, доцент Лялькина Анна Трофимовна

Ведущая организация: Нижегородский государственный

педагогический университет

Защита состоится «•//#> 2003 г. в часов на заседании

диссертационного совета ДМ 212.118.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Мордовском государственном педагогическом институте имени М.Е. Евсевьева по адресу: 430007, г.Саранск, ул. Студенческая, 11а, ауд. 320.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного педагогического института имени М.Е. Евсевьева.

Автореферат разослан « & »/¿¿\Я^а€-2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета . Л.С. Капкаева

2ооЗА

оуо

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В настоящее время на фоне динамики процессов изменения структуры, содержания и даже самой концепции школьною математического образования особенно остро стоит вопрос повышения качества, а значит, и глубины математических знаний учащихся.

В связи с этим одним из исходных положений, определяющих специфику методической системы обучения математике, является природа математических (в том числе и геометрических) знаний.

Элементарная геометрия имеет дело с величинами (расстояния, углы, площади), которые не меняют своих значений при движении фигур, тогда как проективная геометрия занимается такими понятиями (точка, прямая, отношение инцидентности, двойное отношение), которые сохраняются при более широкой группе проективных преобразований. Однако и движения, и подобия, и проективные преобразования - только очень частные случаи гораздо более общих топологических преобразований. Топология изучает наиболее общие свойства геометрических фигур, связанные с "прикосновением" друг к другу частей фигуры и с "непрерывностью" в самом общем виде.

Топологические свойства фигур представляют большой интерес: в известном смысле это самУе глубокие, самые Основные геометрические свойства, так как они сохраняются при самых "резких" преобразованиях.

В настоящее время геометрию понимают как теорию структур более богатых, чем структура топологического многообразия. То есть все пространства, изучаемые в геометрии, прежде всего топологические пространства. Более того, это топологические многообразия с обогащенной структурой. Такой взгляд на геометрию является существенным обобщением известной точки зрения Феликса Клейна, сформулированной более ста лет назад.

С топологическими понятиями школьнику постоянно приходится иметь дело в курсе геометрии: граничные и внутренние точки, геометрическое тело, его поверхность и т.п. Такие фундаментальные топологические понятия как "внутренняя область", "внешняя область", "граница" лежат в основе понимания любой двумерной или трехмерной фигуры, изучаемой в школьном курсе планиметрии и стереометрии, и определяемой как часть плоскости или пространства, ограниченной определенной линией или поверхностью соответственно.

На современном этапе развития математического образования к исходным положениям, определяющим специфику методической системы обучения математике, следует отнести психологическую структуру личности, закономерности её развития. То есть, необходимо иметь некоторую модель, описывающую возрастные и индивидуальные особенности математического мышления школьников, чтобы в соответствии с ней строить процесс обучения. Такая модель построена Ж. Пиаже и далее развита в трудах П.-Х. Ван Хилле, J1.M. Веккера, Н. Винера, А.Н. Колмогорова, В.А. Крутецкого и других. Она базируется на положении об изоморфизме основных математических структур (выделенных Н. Бурбаки: алгебраические, метрические, порядковые, проективные и топологические) структурам мышления ребёнка. Причем, топологическая структура является первичной по отношению к проективной и метрической подструктурам мышления. Топологические пространственные представления лежат в основе восприятия объектов, в том числе и геометрических фигур, и создают базу для развития у учащихся проективных и метрических пространственных представлений. Следовательно, и обучение должно строиться согласно развитию математического мышления обучаемых.

Однако ни в одном из действующих учебников "Математика 5,6" не прослеживается топологическая линия. Элементарные топологические представления присутствуют, однако они бессистемны, "случайны", играют вспомогательную роль, не имеют развития.

Необходимость обучения элементам топологии отмечают математики: А.Н.Колмогоров, А.Д.Александров, А.Л.Вернер. Разработкой внеклассных мероприятий по топологии занимались методисты: Ю.М.Колягин, С.Н.Дорофеев, И.Ф.Шарыгин, В.И.Рыжик, Б.Е.Кантор, С.А.Франгулов, А.А.Саркисян, А.Ибраев, Ф.Р.Усманов, И.Я.Каплуно-вич, Н.С.Подходова и др.

Подходы к этой проблеме отличаются различными аспектами: глубиной, характером и организацией изложения топологического материала, возрастной группой учащихся, для которой предназначается то или иное пособие.

Большинство авторов рассматривают обучение элементам топологии лишь для кружков, факультативов или для классов и школ с углубленным изучением математики. При этом они ограничиваются рассмотрением узкого класса топологических задач (например, задач, решаемых с помощью графов) или просто предлагают топологические задачи как занимательные.

Очевидно, что обучение элементам топологии невозможно рассматривать без учета особенностей современного курса математики основной школы и динамики процесса его изменения, протекающего в настоящее время. Одной из таких тенденций является сокращение количества часов, отводимых на изучение математики (а, следовательно, и геометрии). С 80-х по 1995 год математика потеряла 25,4% времени.

Учитывая эти факторы, оптимальным способом организации учебного процесса представляется пара " урок - внеклассное мероприятие" (Г.И. Саранцев, Е.В.Востокова). Внеклассное мероприятие пролонгирует, развивает урок. Такой подход позволяет выявить наиболее глубокие (топологические) свойства геометрических объектов, изучаемых на уроке, то есть делает знания учащихся более основательными, развивает их творческие способности и интерес к математике как к предмету. Знание топологических свойств и закономерностей способствует более успешному усвоению теоретического материала и решению задач по геометрии школьного курса. То есть существует и обратная связь: внеклассное мероприятие - урок.

Ряд авторов (А.Л.Вернер, Б.Е.Кантор, С.А.Франгулов) высказывают мнение, что изучение топологических свойств геометрических объектов наиболее целесообразно начинать в старшей школе.

Однако, на наш взгляд, наиболее приемлемым для выделения топологической линии является среднее звено (5-6 классы). Так как, с одной стороны, сообразуясь с вышеизложенными идеями, для развития математического мышления необходимо как можно более ранее знакомство с топологией. А с другой стороны, в среднем звене учащиеся уже имеют первичные навыки вычислений, оперирования числовыми и буквенными выражениями, начальные понятия о геометрических фигурах, что представляет возможности для рассмотрения более широких классов топологических задач.

Все вышесказанное обуславливает актуальность проблемы поиска путей и средств реализации идеи обучения элементам топологии в курсе математики основной школы.

Цель исследования заключается в разработке теоретических основ и методического обеспечения обучения элементам топологии в курсе математики основной школы.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в основной школе, а его предметом - методическая система, включающая цели, содержание, методы, средства и формы обучения элементам топологии.

В основу исследования положена гипотеза: если в процесс обучения математике в основной школе органично включить обучение элементам топологии в форме "урок - внеклассное мероприятие", то это приведет к повышению качества знаний и умений школьников.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

• выполнить анализ существующих подходов к введению элементов топологии в школьный курс математики;

• выявить роль и место элементарных топологических представлений в математическом образовании учащихся и уточнение их сущности:

• исследовать возможности школьного курса математики для развития топологических представлений учащихся;

• разработать систему принципов отбора и конструирования содержания топологического материала;

• осуществить отбор содержания топологического материала для изучения с учетом принципов отбора;

• выделить методы топологии и действия их составляющие;

• разработать методику проведения пар "урок - внеклассное мероприятие" (методическое обеспечение введения элементов топологии в курс основной школы):

• экспериментально проверить разработанную методику обучения элементам топологии..

с углубленным изучением математики; изучение и анализ опыта работы учителей математики, работающих в среднем школьном звене; интервьюирование и беседа с учителями и анализ продуктов учебной деятельности школьников; констатирующий, поисковый и обучающий эксперименты; статистическая обработка и анализ результатов экспериментов.

Методологической основой исследования явились: структура личности и закономерности ее развития; концепция математического образования; диалектика и системный анализ; деятельностный подход (в контексте выделения действий, составляющих методы топологии); основные положения теории использования задач в обучении математике (формирование понятий, методов, работа с теоремами).

Организаиия исследования. Исследование проводилось с 1998 по 2003 год и включало несколько этапов. На первом этапе осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования, фиксировалось состояние методической работы по данному вопросу; анализировался опыт учителей; проводился констатирующий эксперимент. На втором этапе разрабатывались теоретические основы обучения элементам топологии в основной школе; создавалось соответствующее методическое обеспечение, и проходила его первичная проверка. На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности и корректировки разработанной методики. Полученные результаты были проанализированы и обработаны средствами математической статистики, что позволило подтвердить справедливость теоретических выводов и эффективность разработанного методического обеспечения.

Научная новизна исследования заключается в том. что проблема обучения элементам топологии в основной школе решается на принципиально новой основе, которую составляет совместное формирование взаимосвязанных понятий и методов курса геометрии основной школы и топологи в контексте формы учебного процесса «урок - внеклассное мероприятие».

Теоретическая значимость исследования заключается в выявлении роли топологических представлений в математическом образовании школьников; выделении принципов отбора и конструирования содержания топологического материала: выделении методов топологии и составляющих их действий, а также выявлении этапов процесса формирования этих действий: обосновании целесообразно-

сти построения методического обеспечения обучения элементам топологии в форме "урок - внеклассное мероприятие".

Практическая ценность результатов исследования состоит в том, что созданное методическое обеспечение обучения элементам топологии может быть использовано в практике обучения математике в основной школе. Результаты исследования могут быть использованы также при составлении учебно-методических пособий для учителей, учащихся и студентов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспеченна опорой на методологические основы теории и методики обучения математике с учетом современных положений психологии обучения; применением методов исследования, адекватных его целям, задачам и логике; а также проведенным экспериментом.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Обучение элементам топологии строится на основе системного рассмотрения: действий, адекватных методам топологии; методики их формирования и программного содержания математики в контексте формы обучения "урок - внеклассное мероприятие".

2. Отбор топологического материала осуществляется с помощью следующей совокупности принципов: единство содержания и методов топологии, гармоническое развитие личности средствами содержания, соответствие содержания форме обучения "урок - внеклассное мероприятие" и так далее.

3. Метод топологических преобриюаиний составляется такими действиями: перевод вербального языка на топологический и обратно: видение (построение) топологической структуры, соответствующей условиям задачи; использование топологических свойств объектов, топологических закономерностей и теорем, справедливых для объектов определенной природы; видение (построение) фигуры, топологически эквивалентной данной: исследование задачи.

При решении задачи данный метод конкретизируется, и в зависимости от условий и требований задачи, преобразуется в один из методов совокупности: метод графового моделирования, метод объемного моделирования, метод математической индукции по топологическим инвариантам, метод решения лабиринтов, метод раскраски карт.

4. Важным средством • обучения учащихся методам топологии являются циклы задач, отражающие особенности каждого из методов

топологии, а также особенности процесса усвоения учащимися отдельных действий, составляющих данный метод.

На защиту также выносится методическое обеспечение, включающее задачи для формирования у учащихся методов топологии.

Апробация основных положений и результатов настоящего исследования осуществлялась в виде докладов и выступлений на заседании семинара аспирантов кафедры теории и методики обучения математике Арзамасского государственною педагогического института (2003 г.), на заседании семинара аспирантов кафедры методики обучения математике Мордовского государственного педагогического института (2003 г.), на VII сессии молодых ученых Нижегородской области (2002 г.), на Всероссийских, региональных и межвузовских научно-практических конференциях в Саранске (2002 г.), Нижнем Новгороде (2002 г.), Арзамасе (2002 г., 2003 г.).

Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось в ходе экспериментальной проверки разработанного методического обеспечения обучения элементам топологи в процессе преподавания математики в школе-гимназии и школе № 1 г. Арзамаса.

По теме исследования имеется 10 публикаций.

Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемой литературы. Основное содержание работы изложено на 174 страницах машинописного текста. Работа иллюстрирована 70 рисунками и содержит 84 задачи.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулированы его проблема, цель, определены объекк предмет, гипотеза и задачи, описаны методы и основные этапы исследования, раскрыты научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, сформулированы положения, выносимые на защиту.

Первая глава работы посвящена изложению теоретических основ формирования топологических представлений у учащихся основной школы.

В курсе математики основной школы учащиеся встречаются с такими терминами, связанными с тополо!ией как "вне", "внутри", "граница", но эти термины зачастую "привязаны" к какой-либо конкретной геометрической фигуре и в дальнейшем "не работают". В

топологических структурах с точки зрения математики отражаются представления об окрестности, пределе, непрерывности, об области, как части пространства или плоскости, обладающей свойством непрерывности к которым приводит само окружающее нас пространство. Именно эти понятия будут активно использоваться в дальнейшем при определении геометрических фигур и отношений между ними.

Итак, роль топологических знаний в математическом образовании учащихся определяется:

• их основополагающим значением для геометрических знаний учащихся (все пространства, изучаемые в геометрии -это топологические многообразия с обогащенной структурой):

• первичностью топологической структуры в формировании математического мышления школьников (подробнее в § 1 первой главы);

• развивающими функциями топологических задач, которые предполагают развитие исследовательских навыков, навыков самоконтроля и креативности учащихся:

• их большим воспитательным потенциалом, проявляющимся, прежде всего, в эстетическом воспитании учащихся, формировании их научного мировоззрения, а также многих ценных личностных качеств (самостоятельность, активность, трудолюбие и так далее).

Как было уже отмечено выше, необходимость выделения топологической линии в школьном курсе математики обуславливается рядом предпосылок:

1. Психологическая. Топологическая структура является первичной по отношению к проективной и метрической подструктурам. Следовательно, и обучение должно строиться согласно развитию математического мышления учащихся.

2. Мировоззренческая. В настоящее время геометрию понимают как теорию структур, более богатых, чем структура топологического многообразия. То есть все пространства, изучаемые в геометрии, прежде всего топологические пространства.

Исходя из изложенных предпосылок и общих целей обучения математике, сформулируем цели изучения элементов топологии. Общеобразовательные цели.

Овладение системой математических знаний, умений и навыков, дающей представление о предмете топологии, ее языке и символике,

топологическом моделировании, топологических методах и приемах связанных с ними, о развитии топологии.

Воспитательные ife.m.

Формирование мировоззрения учащихся, формирование логической и эвристической составляющей мышления, формирование алгоритмической культуры, приобщение к творческой деятельности, воспитание нравственности, культуры общения, самостоятельности, активности, эстетическое воспитание школьников, воспитание трудолюбия.

Практические ие.ш

Формирование умения строить топологические модели простейших реальных объектов и явлений, исследовать их по заданным моделям, конструировать приложения моделям, ознакомление с ролью топологии.

В настоящее время всё больше методистов приходят к необходимости введения элементов топологии в школьный курс геометрии. На данный момент существуют следующие подходы.

1. Включение в систематический курс математики, начиная с начальной школы, теории графов и её приложений. (М.М. Тоненкова, Е.Е. Белокурова, Л.Г. Петерсон, C.B. Сурикова, М.В. Анисимова и др.)

2. Некоторые задачи топологического характера включаются в основное содержание курса математики с пометкой "для учеников, увлекающихся математикой". Этот подход характерен для большинства действующих учебников по математике для 5-6 классов. (Н.Я. Виленкин. В.И. Жохов, A.C. Чесноков. С.И.Шварцбург. Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин).

3. Топологический материал предлагается для внеклассной работы в 5-6-ых классах, причём он выделен в отдельный блок (И.Ф.Шарыгин, Л.Н.Ерганжиева, И.И.Баженов, А.Г.Порошкин,

A.Ю.Тимофеев, В.Д.Яковлев, М.Н.Ерохина).

4. Отдельные темы предлагаются для 10-11-ых классов с углублённым изучением математики (А.Д.Александров А.Л.Вернер,

B.И.Рыжик. А.Л. Вернер. Б.Е. Кантор. С.А. Франгулов, "Математика", сост. Г.В. Пичурина).

5. Некоторые вопросы топологии предлагаются для внеклассной работы в старших классах (10-11 классы) (А.А.Саркисян, Ю.М.Колягин).

Выводы из анализа этих подходов были обозначены выше и обуславливают актуальность проблемы исследования.

Одной из основных задач диссертационного исследования является разработка системы принципов отбора и конструирования содержания топологического материала.

В ходе решения этой задачи были проанализированы принципы отбора, структурирования, а также критерии отбора и характеристики содержания учебного материала, выделяемые различными авторами: (Г.В. Дорофеев. В.А. Оганесян. В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер, Р.С.Черкасов, М.Н. Скаткин, B.C. Леднев, Т.А. Иванова, Н.С.Под-ходова, Е.В. Востокова, Е.Ю. Миганова, С.П. Амутнова и другие). Анализ проводился с позиций удобства и простоты применения принципов к отбору содержания, а также с учетом специфики данного исследования (принципы должны соответствовать целям обучения топологии). В результате выделены следующие принципы отбора и построения содержания материала по топологии:

1. Принцип единства содержания и методов топологии.

2. Принцип внутренней взаимосвязи. системности и последовательности построения содержания.

3. Принцип соответствия возрастным особенностям учащихся.

4. Принцип соответствия имеющемуся времени.

5. Принцип гармонического развития личности.

6. Принцип преемственности и непрерывности содержания на каждой ступени обучения.

7. Принцип единства пары "урок - внеклассное мероприятие".

8. Принцип воспитывающего характера содержания.

9. Принцип соответствия современному уровню развития теории и методики обучения математике.

10. Принцип соответствия диагностико-прогностической функции содержания.

11. Принцип соответствия содержания учебно-методической и материально-технической базе образовательного учреждения.

Следующей задачей исследования явилось исследование возможностей школьного курса математики для развития топологических представлений учащихся.

Оно проводилось на основе анализа к\рса математики 5-6 классов, а также систематического курса геометрии 7-9 класса обозначенного в "Программах для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11". Это исследование имело своей целью выявление тем школьного курса, содержащих топологические понятия или представляющих возможность для их введения и рассмотрения.

Были получены следующие результаты:

• Курс математики 5-6 классов обладает большим топологическим потенциалом (в контексте формы обучения "урок -внеклассное мероприятие") ввиду наличия тем. связанных с определением простейших геометрических фигур, а также простейших логических и комбинаторных задач.

• Топологический потенциал курса геометрии 7-9 классов минимален, так как данный курс предполагает изучение метрических свойств геометрических фигур. Поэтому для этих классов целесообразно разработать спецкурс "Элементы топологии", позволяющий укрепить и развить топологические знания, полученные в 5-6 классах. Связь с урочным материалом осуществляется, если имеется такая возможность.

Учитывая сформулированные принципы, топологическое содержание должно формироваться исходя из топологического потенциала отдельных тем, составляющих курс математики основной школы. А также должен осуществляться плавный переход между урочным и внеурочным материалом по топологии. Это потребовало более подробного анализа геометрического материала 5-6 классов предусматриваемого программой. Для анализа использовались учебники математики под редакцией Г.В. Дорофеева. И.Ф. Шарыгина (как один из вариантов изложения программного материала). В результате разработано примерное планирование пар "урок - внеклассное мероприятие" адаптированное к учебникам вышеназванного авторского коллектива.

5 класс

Урочные часы Кружковые часы

Линии. Углы. (10 часов) Чем занимается топология? Уникурсальные фигуры. Лабиринты. (4 часа)

Многоугольники. (10 часов) Геометрия нитей. Теорема Эйлера о плоском графе. Полные графы, плоские графы. Полные плоские графы. Задача об электро-водо-газо- снабжении. (4часа)

Равенство фигур. (5 часов) Топологические инварианты. Топологически эквивалентные фигуры. (2 час)

Многограннйки. (5 часов) Эйлерова характеристика многогранников. Пять Платоновых тел. (2 час)

6 класс

Урочные часы Кружковые часы

Взаимное расположение прямых, прямой и окружности, двух окружностей. (10 часов) Применение формул теории графов к решению задач. (4 часа)

Симметрия. Правильные многоугольники. (5 часов) Проблема раскраски карт. Паркеты. (2 час)

Комбинаторика. (10 часов) Задачи, решаемые с помощью графов. (4 часа)

Фигуры на плоскости и в пространстве. Развертки. (15 часов) Поверхности и их классификация. Топологические модели. (4 часа) Контрольная работа. (1 час)

Во второй главе работы излагаются основные вопросы методики изучения элементов топологии.

Обучение топологии предпола[ае1. прежде всего, овладение специальными методами данной науки - топологическими (принцип единства содержания и методов топологии). Поэлементное овладение некоторым методом осуществляется в процессе усвоения его компонентов и их совокупностей, то есть действий составляющих метод.

Анализ решения наиболее типичных задач из разделов и тем топологии, отобранных в соответствии с принципами отбора (теория графов, теория раскраски карт, моделирование топологических поверхностей, решение лабиринтов, топологические инварианты), позволил выделить действия, овладение которыми необходимо для использования топологических преобразований и характерных для них закономерностей в различных конкретных ситуациях. Выделенные действия и их совокупности специфичны для перечисленных разделов. Поэтому имеет смысл говорить о топологических методах и составляющих их действиях.

1. Метод графового моделирования составляют следующие компоненты: перевод вербального языка на язык теории графов и обратно; построение графа, соответствующего условиям задачи, это действие включает (если это необходимо) иллюстрирование разного рода отношений разными цветами, а также выделение направлений: видение топологических характеристик данного графа, а также нахождение этих характеристик из известных закономерностей для плоских и пространственных фигур: использование свойств графов, теорем и формул теории графов, соответствующих известным характеристикам графа и требованиям конкретной задачи; исследование задачи; построение простейшего графа топологически эквивалентного данному.

2. Метод математической индукции по топологическим инвариантам составляют действия: построение фигуры из одного элемента; построение фигуры из к элементов путем добавления еще одного элемента к фигуре из к-1 элементов; видение топологического(ких) инварианта(ов) - основания сравнения; нахождение определенных топологических инвариантов построенной фигуры (например, количества вершин определенного индекса): сравнение топологических инвариантов построенной фигуры с инвариантами других фигур из к элементов; выделение по результатам сравнения топологически неэквивалентных фигур.

3. Метод объемного моделирования состоит из следующих компонент: изготовление модели исследуемой фигуры (поверхности); анализ модели: выделение существенных и несущественных признаков, выделение топологического строения поверхности: использование топологических свойств поверхности: сравнение топологических свойств различных поверхностей: эксперимент с моделью, подтвер-

ждающий правильность проведенного анализа; классификация поверхностей.

4. Метод решения лабиринтов составляют действия: создание лабиринта; закрашивание тупиков: проведение линии, не пересекающей границы фигуры (лабиринта) от одного объекта, оговоренного в условии задачи, к другому: выделение внешней и внутренней области фигуры (лабиринта); топологическое преобразование контура лабиринта; применение алгоритма М.Тремо.

5. Метод раскраски карт составляют действия: построение карты, соответствующей условиям задачи; нахождение числа четных и нечетных вершин карты; применение соответствующей теоремы теории раскраски карт или вывод о неприменимости теорем к ситуации задачи; раскрашивание карты в соответствии с выводом из теорем теории раскраски карт; исследование задачи.

Анализируя действия, составляющие методы топологии, были выделены действия, входящие, по сути, в каждый из методов. Эти инвариантные действия образуют некоторое ядро. Следовательно, имеет смысл говорить об обобщенном методе топологических преобразований.

Следующей задачей исследования явилась разработка методики проведения пар "урок - внеклассное мероприятие", обеспечивающая формирование методов топологии (методическое обеспечение обучения элементам топологии в курсе основной школы).

В ходе решения этой задачи разработано методическое обеспечение процесса формирования методов топологии, построенное на основе циклов задач, состоящих из блоков задач, обеспечивающих усвоение конкретных действий, составляющих тот или иной метод. Такие блоки задач должны учитывать специфику формируемого действия (этапы его усвоения). Например, рассмотрим цикл задач, обеспечивающий формирование метода объемного моделирования. Этот цикл состоит из блоков задач, формирующих конкретное действие:

1) задачи, формирующие действие изготовления модели исследуемой фигуры (поверхности);

Ключевым моментом в усвоении этого действия учащимися является усвоение понятия топологической модели. Для этого полезно решать задачи на разграничение понятий метрической и топологической модели. Приведем пример.

Задача 1. Какие из ниже перечисленных предметов можно рассматривать как топологические модели плоскости: а) смятый в комок лист бумаги; б) резиновый мяч с прорезанной в нем дырой: в) треугольник; г) банка; д) прямоугольный параллелепипед: е) лист бумаги с двумя дырами?

В формировании понятия топологической модели поверхности у учащихся важно, чтобы они не путали эту модель с метрической (то есть отображающую метрические свойства поверхности). Для этого, в частности, нужны упражнения на варьирование несущественными признаками (различными метрическими свойствами и прямолинейностью). Метрической моделью плоскости является лист бумаги (с допущением, что он имеет бесконечное продолжение во все стороны). Но смятый в комок лист бумаги все равно остается двусторонней поверхностью с одним краем, то есть является топологической моделью плоскости. Это же относится и к вариантам б), в), г). Прямоугольный параллелепипед не отображает свойство наличия краев, лист бумаги с двумя отверстиями имеет три края, что также не характеризует плоскость. •

2) задачи, формирующие действие анализа модели: выделение существенных и несугцественных признаков, выделение топологического строения поверхности;

На начальном уровне сформированности это действие выглядит как анализ готовой модели (рассматриваются вопросы: какие свойства модели существенны и несущественны с точки зрения топологии, что надо изменить в модели, чтобы получить новую топологическую поверхность, что можно менять, не нарушая тополо!ии поверхности). На высшем уровне сформированности - это анализ мысленно созданной модели (правильность этого анализа может быть проверенна с помощью изготовления модели). Приведем примеры.

Задача 2. Дана модель листа Мебиуса. Назовите топологические свойства этой поверхности. Какие манипуляции с моделью: а) не изменят ее топологическую структуру, б) изменят топологическую структуру. Как из этой модели получить модель плоскости?

Задача 3. Изготовить из бумаги модель для исследования топологических свойств сферы.

Такая модель должна обладать теми же топологическими свойствами, что и сфера: имеет две стороны, 0 краев, не имеет сквозных отверстий и ручек .(выделение топологического строения поверхности) Несущественными с точки зрения топологии являются метриче-

ские свойства и прямолинейность .(выделение несущественных признаков) Проведенный анализ позволяет выяснить, что в качестве требуемой модели может быть использована модель любого многогранника, изучаемого в школьном курсе геометрии: например, тетраэдра или куба.

3) задачи, формирующие действие использования топологических свойств поверхности;

Действие применения определений, теорем, формул, свойств начинает формироваться уже в начальной школе. В данном случае отличие заключается лишь в топологическом-характере этих определений, теорем и свойств.

Задача 4. В парке развлечений рельсы американских горок проложены в форме гигантского листа Мебиуса (смотри рис. 1). Катание заканчивается, когда поезд вновь пребывает к старту Рис. 1

(фиксирует красный флажок). Какой

путь проделают катающиеся на аттракционе, если каркас сооружения имеет протяженность 860 единиц? Смогут ли они увидеть фигурку дядюшки Скруджа, установленную симметрично флажку старта относительно рельсового полотна? Какую часть пути поезд преодолеет к этому времени?

4) задачи, формирующие действие сравнения топологических свойств различных поверхностей;

При сравнении ключевым является выделение топологического инварианта - основания для сравнения. А для этого необходимо развивать математическую интуицию, которая зачастую и указывает путь к решению. На начальном уровне это действие формируется на задачах на выбор основания для сравнения из некого перечня. При дальнейшей работе по усвоению учащимися данного действия основание для сравнения находится ими самостоятельно. Приведем пример.

Задача 5. Ученик, посещающий кружок, получил задание раскрасить модели поверхностей плоскости (прямоугольник), цилиндра, тора, сферы и листа Мебиуса. Причем красить он должен, не отрывая кисточку от бумаги, а, если переходит через край, менять цвет краски. Ученик также должен ограничиться минимальным количеством красок. Какие результаты он получит?

Задача 6. Какие виды топологических поверхностей могут быть использованы в качестве надувной игрушки для ребенка?

5) задачи, формирующие действие эксперимента с моделью;

На начальном уровне сформированнности действие 'эксперимента с моделью выглядит как эксперимент с реальной моделью, на высшем же уровне - это мысленный эксперимент с мысленно представимой моделью. Проиллюстрируем работу по усвоению этого действия на конкретных задачах.

Задача 7. Склейте лист Мебиуса шириной 5 см. Что получится, если его разрезать вдоль, отступив от края сначала на 1 см, затем на 2 см, на 3 см. на 4 см?

Данная задача формирует действие эксперимента с моделью на элементарном уровне - эксперимент проводится в действительности, без предварительного анализа, а затем оцениваются результаты эксперимента.

Задача 8. Приготовьте два бумажных креста. У первого из крестов противоположные концы склейте один раз без, а один раз с перекручиванием. У второго креста - оба раз с перекручиванием . Полученные фигуры являются неполными моделями бутылки Клейна и проективной плоскости соответственно. Разрежьте их вдоль пунктирных линий. Оцените результат разрезания.

В данном случае эксперимент позволяет обнаружить число Бетти исследуемых поверхностей. В случае бутылки Клейна модель распадается на две части (число Бетти равно 2). в случае проективной плоскости получим контур квадрата (число Бетти равно 1).

Задача 9. На модели бутылки Клейна показать разрез, при котором получаются два листа Мёбиуса, являющихся зеркальным отображением друг друга (левый и правый листы). Как нужно провести разрез, чтобы образовался всего один лист Мёбиуса?

Решение первой части задачи находится довольно легко с помощью эксперимента: разрез нужно провести вертикальной плоскостью. (эксперимент с моделью) Рассмотрев бумажную модель бутылки Клейна, можно заметить, что линии сгиба образуют замкнутую двойную петлю в форме восьмёрки. Если бутылку Клейна разрезать вдоль любой из "половин" восьмёрки, получится лист Мёбиуса.Выбор половинки восьмёрки будет сказываться лишь на том, в какую сторону "закручен" получающийся лист Мёбиуса.

6) задачи, формирующие действие классификации поверхностей.

Действие классификации уже знакомо учащимся по задачам основного курса математики 5-6 класса. Особенностью же формирования данного действия является то, что основаниями для классификации являются топологические свойства фигур. Действие классификации формируется на итоговых занятиях.

Задача 10. Проведите классификацию шести основных топологических поверхностей по возможно большему количеству оснований.

Данная задача является обобщающей и систематизирующей для изучения топологических поверхностей и решается на последнем занятии по этой теме. Поэтому свойства, которые могут быть взяты в качестве основания для классификации, уже встречались учащимся ранее при решении задач - это число сторон, число краев, число Бетти, хроматическое число.

Лист Мебиуса

' Бутылка ! Клейна

Тор Гт —> 7 т 1

2 0

Г 1

I 1

2 I

-1-и.

Методика изучения конкретных вопросов топологии должна строиться в соответствии с основными этапами работы с понятиями и задачами, а также в тесной взаимосвязи с изучением программного материала. Методика проведения пар "урок - внеклассное мероприятие" должна учитывать специфику конкретного класса, в котором проводится занятие: уровень математической подготовки учащихся; количество часов, отводимых на математику в неделю и тому подобное. В зависимости от этого учителем определяется объем и глубина изучения топологического материала на уроке и на внеклассном занятии. В данном исследовании детально разработана методика изучения темы "Топологически эквивалентные фигуры. Топологические инварианты". Одним из ключевых положений изучения этой темы является параллельное усвоение понятий равенства и топологической эквивалентности фигур соответственно на уроке и внеклассном мероприятии.

Последней из задач исследования явилась экспериментальная проверка разработанного методического обеспечения. В ходе эксперимента были получены результаты, подтверждающие эффективность как предложенного способа организации обучения топологии, так и разработанного методического обеспечения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с его целями и задачами сделаны основные выводы и получены следующие результаты:

1. Роль топологических знаний в математическом образовании учащихся адекватна научным представлениям о топологии как о фундаменте геометрии, психологическим представлениям о топологической структуре, как первичной в формировании математического мышления школьников.

2. Составы действий топологических методов целесообразно определять посредством выделений действий по решению конкретных топологических задач, их анализа, нахождения общих характеристик, охватывающих все особенности действий по решению топологических задач каждого отдельного вида. На основе этого подхода выделены составы каждого из топологических методов (метод объемного моделирования, метод графового моделирования, методы

решения лабиринтов, метод раскраски карт, метод математической индукции по топологическим инвариантам).

3. В результате исследования по соответствующему вопросу были сформированы принципы отбора содержания материала по топологии:

• принцип единства содержания и методов топологии;

• принцип внутренней взаимосвязи, системности и последовательности построения содержания;

• принцип соответствия возрастным особенностям учащихся;

• принцип соответствия имеющемуся времени;

• принцип гармонического развития личности;

• принцип преемственности и непрерывности содержания на каждой ступени обучения;

• принцип единства пары "урок - внеклассное мероприятие":

• принцип воспитывающего харамера содержания;

• принцип соответствия современному уровню развития теории и методики обучения математике;

• принцип соответствия диагностико-прогностической функции содержания;

• принцип соответствия содержания учебно-методической и материально-технической базе образовательного учреждения.

4. Методическое обеспечение процесса формирования методов топологии целесообразно строить

• на основе циклов, состоящих из блоков (направленных на усвоение учащимися конкретного действия) взаимосвязанных задач

• в форме пары "урок - внеклассное мероприятие".

5. Экспериментальное обучение доказало что эффективность обучения математике в средней школе можег быть существенно повышена, если в его основу будет положено обучение топологии (базирующееся на формировании методов топологии) в соотнесении с основными разделами математики средней школы, что подтвердило гипотезу исследования.

Основные положения исследования отражены в следующих публикациях:

1. Сангалова М.Е. Психолого-педагогические аспекты введения топологии в школьный курс математики // Материалы конф. молодых ученых АГПИ- Арзамас: Арзамас, гос. пед. ин-т. 2000. - С. 95 - 99.

2. Сангалова М.Е. Принципы отбора содержания внеклассной работы по топологии // Математика и информатика: наука и

образование. Межвуз. сб. науч. трудов. Ежегодник. Выпуск 1. - Омск: Изд-во ОмГПУ. 2001.-С. 150- 154.

3. Сангалова М.Е. Принципы отбора топологического материала для школьного курса математики // Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении: сб. науч. и метод, работ, представленных на регион, науч.-практ. конф. - Арзамас: Арзамас, гос. лед. ин-т. 2002.-С. 81-86.

4. Сангалова М.Е. Методы топологии и их структура // Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика: Материалы Всероссийской науч. конф. 18-20 сентября 2002 г. / Мордов. гос. пед. ин-т. - Саранск. 2002. -С. 90-93.

5. Сангалова М.Е. Моделирование и исследование свойств простейших топологических поверхностей // Перспектива 2. Сб. науч. тр. аспирантов, соискателей и молодых ученых АГПИ и АФ НГТУ. -Арзамас: Арзамас, гос. пед. ин-т. 2002. - С. 46 - 50.

6. Сангалова М.Е. Введение топологической линии как способ гуманитаризации школьного математического образования // Гуманитаризация математического образования в школе и вузе: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 2. - Саранск: Приволжск. отд. РАО, Мордов. гос. пед. ин-т. 2002. - С. 64 - 69.

7. Сангалова М.Е. Деятельностиый подход к формированию топологических методов как основа обучения топологии в средней школе в условиях гуманитаризации // Седьмая нижегородская сессия молодых ученых: Тез. док. - Н.Новгород. 2002. - С. 43 - 44.

8. Сангалова М.Е. Формирование метода графового моделирования // Перспектива 3. Межвуз. сб. науч. тр. молодых ученых. - Арзамас: Арзамас, гос. пед. ин-т. 2003. - С. 151 - 154.

9. Сангалова М.Е. Эстетический потенциал топологических задач // Духовный мир молодого человека и будущее России: Регион, межвуз. науч.-практ. конф. 17-18 апреля 2003 г.: Сб. статей. -Арзамас: Арзамас, гос. пед. ин-т. 2003. - С. 453 - 456.

10. Сангалова М.Е. Элективный курс "Элементы топологии" для естественно-математического профиля средней школы // Профильная сельская школа: модели, содержание и технология обучения: сб. науч. и метод, работ, представленных на Всероссийскую науч.-практ. конф. - Арзамас: Арзамас, гос. пед. ин-т. 2003. — С. 216 — 219.

* 1 8 0 9 О

Подписано в печать 3.11.2003 Формат 60\84/16. Ус.!, печ листов 1.0 1 и раж 100 ж! Чинм! № 226

Участок опсршинпой иечаш Л! ПИ 607220. г.Арзамас Нижегородской об.[. >.1. К.Маркса. 36

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Сангалова, Марина Евгеньевна, 2003 год

Ъ ВВЕДЕНИЕ.

Г Л А В А 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ.

§ 1. Предпосылки совершенствования обучения математике в основной школе (топологический аспект).

§ 2. Анализ проблемы исследования в учебно-методической литературе.

§ 3. Принципы отбора содержания учебного материала по топологии

§ 4. Содержание учебного материала и распределение его по годам обучения.

ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ.

Г Л А В А 2. ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТОПОЛОГИИ.

§ 1. Методы топологии, их структура.

§ 2. Формирование методов топологии.

2.1. Формирование метода графового моделирования.

2.2. Формирование метода математической индукции по топологическим инвариантам.

2.3. Формирование метода объемного моделирования.

2.4. Формирование методов решения лабиринтов.

2.5. Формирование метода раскраски карт.

§ 3. Методика изучения темы "Топологически эквивалентные фигуры.

Топологические инварианты".

§ 4. Постановка педагогического эксперимента и его результаты.

I ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Теория и методика обучения элементам топологии в основной школе"

В настоящее время на фоне динамики процессов изменения структуры, содержания и даже самой концепции школьного математического образования особенно остро стоит вопрос повышения качества, а значит и глубины математических знаний учащихся.

В связи с этим актуально рассмотрение вопроса природы математических, в том числе и геометрических знаний.

Элементарная геометрия имеет дело с величинами (расстояния, углы, площади), которые не меняют своих значений при движении фигур, тогда как проективная геометрия занимается такими понятиями (точка, прямая, отношение инцидентности, двойное отношение), которые сохраняются при более широкой группе проективных преобразований. Однако и движения, и подобия, и проективные преобразования - только частные случаи гораздо более общих топологических преобразований. Топология изучает наиболее общие свойства геометрических фигур, связанные с "прикосновением" друг к другу частей фигуры и с "непрерывностью" в самом общем виде [15].

Топологические свойства фигур представляют большой интерес: в известном смысле это самые глубокие, самые основные геометрические свойства, так как они сохраняются при самых "резких" преобразованиях [48].

В настоящее время геометрию понимают как теорию структур более богатых, чем структура топологического пространства. То есть все пространства, изучаемые в геометрии, прежде всего топологические пространства. Более того, это топологические пространства с обогащенной структурой. Такой взгляд на геометрию является обобщением точки зрения Ф.Клейна, сформулированной более ста лет назад [7].

С топологическими понятиями школьнику постоянно приходится иметь дело в курсе геометрии: граничные и внутренние точки, геометрическое тело, его поверхность и тому подобные. Такие фундаментальные топологические понятия как "внутренняя область", "внешняя область", "граница" лежат в основе восприятия любой двумерной или трехмерной фигуры, изучаемой в школьном курсе планиметрии и стереометрии, и определяемой как часть плоскости или пространства, ограниченной некоторой линией или поверхностью, соответственно.

На современном этапе развития математического образования к исходным положениям, определяющим специфику методической системы обучения математике, также следует относить психологическую структуру личности, закономерности её развития. То есть, необходимо иметь некоторую модель, описывающую возрастные и индивидуальные особенности математического мышления школьников, чтобы в соответствии с ней строить процесс обучения. Такая модель построена Ж. Пиаже [68] и далее развита в трудах П.-Х. Ван Хилле, Л.М. Веккера [12, 13], Н. Винера [14], А.Н. Колмогорова [44], В.А. Крутецкого [46] и других. Она базируется на положении об изоморфизме основных математических структур (выделенных Н. Бурбаки: алгебраические, метрические, порядковые, проективные и топологические) структурам мышления ребёнка. Причем, топологическая структура является первичной по отношению к проективной и метрической подструктурам мышления. Топологические пространственные представления лежат в основе восприятия объектов, в том числе и геометрических фигур, и создают базу для развития у учащихся проективных и метрических пространственных представлений. Следовательно, и обучение должно строиться согласно развитию математического мышления обучаемых.

Проблемой введения элементов топологии в школьный курс математики в разные годы занимались: А.Н. Колмогоров [44], И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ер-ганжиева [91], А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик [2], Б.Е. Кантор,

С.А. Франгулов [15], A.A. Саркисян, Ю.М. Колягин [79], А. Ибраев [34], Ф.Р.

Усманов [86], И.Я. Каплунович [37], Н.С. Подходова [69] и др.

В диссертационном исследовании проанализированы следующие подходы.

1. Включение в систематический курс математики теории графов и её приложений. Для начальной школы (1-3 классы) этот вопрос обсуждается в [82] (C.B. Сурикова, М.В. Анисимова "Использование графовых моделей при решении задач"). Сторонники этой точки зрения (М.М. Тоненкова, Е.Е. Белокурова, Л.Г. Петерсон и др.) обращают внимание на доступность, наглядность и, что немаловажно, широкое применение теории графов к решению задач (арифметических, логических, задач на сравнение числа элементов множеств, комбинаторных задач).

2. Некоторые задачи топологического характера включаются в основное содержание курса математики с пометкой "для учеников, увлекающихся математикой" (Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов,

A.C. Чесноков, С.И. Шварцбург [56, 57], Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин [54,55]).

3. Топологический материал предлагается для внеклассной работы в 5-6-ых классах, причём он выделен в отдельный блок (И.Ф. Шарыгин, J1.H. Ерганжиева [91], И.И.Баженов, А.Г. По-рошкин, А.Ю. Тимофеев, В.Д. Яковлев [6], М.Н. Ерохина [32]).

4. Отдельные темы предлагаются для 10-11-ых классов с углублённым изучением математики (А.Д. Александров, A.JI. Вернер,

B.И. Рыжик [2], АЛ. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов [15], "Математика", сост. Г.В. Пичурина [53]).

5. Некоторые вопросы топологии предлагаются для внеклассной работы в старших классах (10-11 классы) (A.A. Саркисян, Ю.М. Колягин [79]).

Большинство авторов рассматривают обучение элементам топологии лишь для кружков, факультативов или для классов и школ с углубленным изучением математики. При этом они ограничиваются рассмотрением узкого класса топологических задач (например, задач решаемых с помощью графов) или отдельных топологических задач как занимательных.

Основным недостатком кружковых и факультативных занятий, описанных в существующих пособиях, является их слабая связь с материалом, который изучается на уроках. Это ведёт к тому, что топологические свойства различных объектов воспринимаются в отрыве от остальных их свойств. При этом у учащихся складывается впечатление, что топология - это нечто совершенно иное, нежели геометрия. Учитывая эти факторы, оптимальным способом организации учебного процесса представляется пара "урок - внеклассное мероприятие" (впервые выделена Г.И. Саранцевым). Внеклассное мероприятие пролонгирует, развивает урок. Такой подход позволяет выявить наиболее глубокие (топологические) свойства геометрических объектов, изучаемых на уроке, то есть делает знания учащихся более основательными, развивает их творческие способности и интерес к математике как к предмету.

Ряд авторов (А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов [15]) высказывают мнение, что изучение топологических свойств геометрических объектов наиболее целесообразно начинать в старшей школе.

Однако, наиболее приемлемым для введения топологической линии является среднее звено (5-6 классы). Действительно, с одной стороны, сообразуясь с вышеизложенными идеями, необходимо как можно более ранее знакомство с топологией. А с другой стороны, учащиеся уже имеют первичные навыки вычислений, оперирования числовыми и буквенными выражениями, начальные понятия о геометрических фигурах, что представляет возможности для рассмотрения более широких классов топологических задач.

Все вышесказанное обуславливает актуальность проблемы поиска условий и средств реализации обучения элементам топологии в курсе математики основной школы.

В основу исследования положена гипотеза', если в процесс обучения математике в основной школе органично включить обучение элементам топологии в форме пар "урок - внеклассное мероприятие", то это приведет к повышению качества знаний и умений школьников.

1) анализ существующих подходов к введению элементов топологии в школьный курс математики;

2) выявление роли и места элементарных топологических представлений в математическом образовании учащихся и уточнение их сущности;

3) исследование возможностей школьного курса математики для развития топологических представлений учащихся;

4) разработка системы принципов отбора и конструирования содержания топологического материала;

5) отбор содержания топологического материала для изучения с учетом принципов отбора;

6) выделение методов топологии и действий их составляющих;

7) разработка методики проведения пар "урок - внеклассное меро-> приятие" (методическое обеспечение введения элементов топологии в курс основной школы);

8) экспериментальная проверка разработанного методического обеспечения.

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов педагогического исследования: изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования; сравнительный анализ программ, учебников и учебных пособий для общеобразовательных школ и школ (классов) с углубленным изучением математики; изучение и анализ опыта учителей математики, работающих в среднем школьном звене; беседа с учителями и анализ продуктов учебной деятельности школьников; констатирующий, поисковый и обучающий эксперименты; статистическая обработка и анализ результатов экспериментов.

Методологической основой исследования явились: 0 • структура личности и закономерности ее развития;

• концепция математического образования;

• диалектика и системный анализ;

• • деятельностный подход (в контексте выделения действий, составляющих методы топологии);

• основные положения теории использования задач в обучении математике (формирование понятий, методов, работа с теоремами).

Исследование проводилось поэтапно. На первом этапе осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования, фиксировалось состояние методической работы по данному вопросу; анализировался опыт учителей; проводился констатирующий эксперимент. На втором этапе разрабатывались теоретические основы введения элементов топологии в среднюю школу; создавалось соответствующее методическое обеспечение и проходила его первичная проверка. На третьем этапе проводился обучающий эксперимент. Полученные результаты были проанализированы и обработаны средствами математической статистики, что позволило подтвердить справедливость теоретических выводов и эффективность разработанного методического обеспечения.

Научная новизна исследования: проблема обучения элементам топологии решается на принципиально новой основе, которую составляет совместное формирование взаимосвязанных понятий и методов курса геометрии основной школы и топологии в контексте формы учебного процесса "урок — внеклассное мероприятие".

Теоретическая значимость исследования заключается в выявлении роли топологических представлений в математическом образовании школьников; выделении принципов отбора и конструирования содержания топологического материала; выделении методов топологии и составляющих их действий, а также выявлении этапов процесса формирования этих действий; обосновании целесообразности построения методического обеспечения обучения топологии в форме "урок - внеклассное мероприятие".

Практическая ценность результатов исследования состоит в том, что I разработанное методическое обеспечение обучения элементам топологии в курсе основной школы может применяться в практике обучения математике в основной школе. Результаты исследования могут быть использованы также при составлении учебно-методических пособий для учителей, учащихся и студентов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечена опорой на методологические основы теории и методики обучения математике с учетом современных положений психологии обучения; применением методов исследования, адекватных его целям, задачам и логике; а также проведенным экспериментом.

На защиту выносятся следующие положения:

3. К действиями, адекватными методу топологических преобразований, относятся следующие: перевод вербального языка на топологический и обратно; видение (построение) топологической структуры соответствующей условиям задачи; использование топологических свойств объектов, топологических закономерностей и теорем, справедливых для объектов определенной природы; видение (построение) фигуры топологически эквивалентной данной; исследование задачи.

4. Важным средством обучения учащихся методам топологии являются циклы задач, отражающие особенности каждого из методов топологии, а также особенности процесса усвоения учащимися отдельных действий, составляющих данный метод.

Апробация основных положений и результатов настоящего исследования проводилась в форме докладов на заседании семинара аспирантов кафедры теории и методики обучения математике АГПИ (2003 г.), на заседании семинара аспирантов кафедры методики обучения математике Мордовского педагогического института (2003 г.), на Всероссийских, региональных и межвузовских научно-практических конференциях в Саранске (2002 г.), Нижнем Новгороде (2002 г.), Арзамасе (2002 г.).

Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось в ходе экспериментальной проверки разработанного методического обеспечения введения элементов топологии в курс математики основной школы.

По теме исследования имеется 10 публикаций.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ.

1. На основе заданного материала отобранных разделов и тем топологии в диссертационном исследовании выделены следующие методы топологии:

• метод объемного моделирования;

• метод графового моделирования;

• методы решения лабиринтов;

• метод раскраски карт;

• метод математической индукции по топологическим инвариантам.

2. Методическое обеспечение процесса формирования методов топологии целесообразно строить на основе циклов задач, состоящих из блоков задач, обеспечивающих усвоение действий, составляющих конкретный метод. Такие блоки задач должны учитывать специфику формируемого действия.

3. Методика изучения конкретных вопросов топологии должна строиться в соответствии с основными этапами работы с понятиями и задачами, а также в тесной взаимосвязи с изучением программного материала.

4. В ходе эксперимента было установлено, что эффективность обучения математике в средней школе может быть существенно повышена, если в его основу будет положено обучение топологии (базирующееся на формировании методов топологии) в соотнесении с основными разделами математики средней школы. Гипотеза исследования получила экспериментальное подтверждение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Роль топологических знаний в математическом образовании учащихся определяется

• их основополагающим значением для геометрических знаний учащихся (все пространства, изучаемые в геометрии - это топологические многообразия с обогащенной структурой)

• первичностью топологической структуры в формировании математического мышления школьников (подробнее в § 1 первой главы)

• развивающими функциями топологических задач, которые предполагают развитие исследовательских навыков, навыков самоконтроля и креативности учащихся

3. В результате исследования по соответствующему вопросу были сформированы следующие принципы отбора содержания:

• принцип единства содержания и методов топологии;

• принцип внутренней взаимосвязи, системности и последовательности построения содержания;

• принцип соответствия возрастным особенностям учащихся;

• принцип соответствия имеющемуся времени;

• принцип гармонического развития личности;

• принцип преемственности и непрерывности содержания на каждой ступени обучения;

• принцип единства пары "урок - внеклассное мероприятие";

• принцип воспитывающего характера содержания;

• принцип соответствия современному уровню развития теории и методики обучения математики;

• принцип соответствия диагностико-прогностической функции содержания;

• принцип соответствия содержания учебно-методической и материально-технической базе образовательного учреждения

4. Методическое обеспечение процесса формирования методов топологии целесообразно строить

• в форме пары "урок - внеклассное мероприятие". Экспериментальное обучение доказало что эффективность обучения математике в основной школе может быть существенно повышена, если в его основу будет положено обучение топологии (базирующееся на формировании методов топологии) в соотнесении с основными разделами математики средней школы, что подтвердило гипотезу исследования.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Сангалова, Марина Евгеньевна, Арзамас

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики: Пер. с франц. -М.: Советское радио, 1970. - 152 с.

2. Александров А.Д. и др. Начала стереометрии: 9. Пробный учебник. Материалы для ознакомления/ А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Ры-жик. М.: Просвещение, 1981. - 224 с.

3. Александров П.С. Комбинаторная топология. М.: ГИТТЛ, 1947.

4. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Ч.2.- М.: Просвещение, 1987. 352 с.

5. Баженов И.И., Порошкин А.Г., Тимофеев А.Ю., Яковлев В.Д. Задачи для школьных математических кружков. Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т, 1994. - 167 с.

6. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1975. - 367 с.

7. Барр С. Россыпи головоломок. М.: Мир, 1978. - 415 с.

8. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. М.: Наука, 1983.-157 с.

9. Ю.Бурбаки Н. Архитектура математики// Очерки по истории математики. -М.:ИЛ, 1965.-С. 245-259.

10. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Физматгиз, 1958.

11. Веккер JI.M. Восприятие и основы его моделирования. Л.: Изд-во ЛГУ, 1964.-194 с.

12. П.Веккер Л.М. Психические процессы. Т.1. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974. - 334 с.

13. Винер Н. Я математик. Пер. с англ. - М.: Наука, 1964. - 355 с.

14. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. 4.2. Учебное пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. 4.2 С.-П: Специальная литература, 1997.-320 с.

15. Востокова Е.В. Внеурочная работа по математике с младшими школьниками: проблемы подготовки учителя; аспекты реализации. -Арзамас: Изд-во АГПИ, 2001.-160 с.

16. Выготский Л.С. Педагогическая психология. М.: Педагогика, 1991. -480 с.

17. Гарднер М. Крестики-нолики. -М.: Мир, 1988. 151 с.

18. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. — М.: Мир, 1971.-507 с.

19. Гарднер М. Математические досуги. М.: Мир, 1972. - 495 с.

20. Гарднер М. Математические новеллы. -М.: Мир, 1974. 453 с.

21. Геометрия для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/ А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. М.: Просвещение, 1991. - 415 с.

22. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 1999. -335 с.

23. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред, шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 1993. - 207 с.

24. Глейзер Г.Д. Методы формирования и развития пространственных представлений взрослых в процессе обучения геометрии в средней школе: Дис. канд. пед. наук. М., 1984.

25. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. М.: Педагогика., 1987. - 136 с.

26. Гусев А. Геометрия-6. Эксперимент, учебник. — М.: Авангард, 1995. 124 с.

27. Дьюдени Г. Кентерберийские головоломки. М.: Мир, 1979. - 351 с.

28. Дьюдени Г. 520 головоломок. М.: Мир, 1975. - 341 с.

29. Дорофеев Г.В. Гуманитарно-ориентированный курс основа учебного предмета "Математика" в общеобразовательной школе// Математика в школе.- 1997.- № 4.- С. 50-66.

30. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математичес-кого образования// Математика в школе. 1990. - № 6-С. 2-5.

31. Ерохина М.Н. Простейшие топологические задачи// Математика в школе 1999.- № 1- С. 66-68.

32. ЗЗ.Зайкин М.И., Подходова Н.С., Матушкина Рабочие тетради по математики для 5-6 классов. М.: Владос, 1996.

33. Ибраев А. К вопросу о преподавании элементов топологии в старших классах средней школы. Дис. . канд. пед. наук. -М., 1971.

34. Иванова Т.А. Гуманизация общего математического образования. -Нижний Новгород: Изд-во НГПУ, 1998 206 с.

35. Кабанова-Меллер E.H. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся.- М.: Просвещение, 1968.- 288 с.

36. Каплунович И.Я. Гуманизация обучения математике: некоторые подходы // Педагогика.- 1999 № 1- С. 44-50.

37. Каплунович И.Я. Формирование структуры пространственного мышления учащихся при решении математических задач: Дис.канд. психолог, наук. Москва, 1978.

38. Касьян A.A. Гуманитаризация образования: некоторые теоретические предпосылки// Педагогика.- 1998 № 2. - С. 17-22.

39. Келли Дж. Л. Общая топология. М.: Наука, 1968.

40. Кириллова C.B. Из опыта проведения зачета по геометрическому материалу в 5-6 классах// Еженед. учеб.-метод. приложение к газете "Первое сентября".- 2000.- № 18 С. 4-6.

41. Краснянская К.А., Кузнецова Л.В. Оценка математической подготовки школьников (по результатам международного тестирования). М.: Просвещение, 1995.-95 с.

42. Краснянская К.А. Содержание и результаты проверки математической подготовки выпускников средней школы, изучавших общеобразователь-ный курс математики// Математика в школе — 1999,-№9.-С. 8-13.

43. Колмогоров А.Н. Математика наука и профессия. - М.: Наука, 1988-280 с.

44. Коменский Я.А. Избранные педагогические сочинения. М.: Педагогика, 1955-651с.

45. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968 - 432с.

46. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука, 1980.- 143 с.

47. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967.-558 с.

48. Лекции по теории графов / Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. М.: Наука, 1990. - 384 с.

49. Математика// Большой энциклопедический словарь/ Гл. ред. Ю.В. Про-хоров. 3-е изд. - М.: БРЭ, 1998.

50. Математика/ Сост. Г.Б. Пичурина. Н. Новгород: Нижегородский гума-нитарный центр, 1995.- 46 с.

51. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учр./ под ред. Г.В. Дорофе-ева, И.Ф. Шарыгина. М.: Просвещение, 1994 - 272 с.

52. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учр./ под ред. Г.В. Дорофе-ева, И.Ф. Шарыгина. М.: Дрофа, 1995.- 416 с.

53. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, A.C. Чесноков, С.И. Шварцбург. М.: Мнемозина, 1997 - 384 с.

54. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, A.C. Чесноков, С.И.Шварцбург. М.: Мнемозина, 1997 - 304 с.

55. Мельников О.И. Занимательные задачи по теории графов. Мн.: Тетрасистемс, 2001. - 144 с.

56. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учебное пособие для ст. физ.-мат. факультетов пед. институтов/ Под ред. Ю.М. Колягина, В.А. Оганесяна и др. М.: Просвещение, 1975.

57. Панчищина В.А., Гельфман Э.Г., Ксенева В.Н., Лобаненко Н.Б. Геомет-рия для младших школьников: Учебное пособие по геометрии. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1994.- 136 с.

58. Педагогическая энциклопедия. Т. 4. — М.: Советская энциклопедия,1968.

59. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. Психология интеллекта. Генезис числа у ребенка. Логика и психология. М.: Просвещение,1969.-659 с.

60. Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия// Мироненко В.В. Хрестоматия по психологии. М.: Просвещение, 1977.

61. Пиаже Ж. Структуры математические и операторные структуры мышле-ния // Преподавание математики. Сборник статей. М.: Учпедгиз, 1960. С. 10-30.

62. Подходова Н.С. Теоретические основы построения курса геометрии 16 классов: Дис. докт. пед. наук. С.-П. 1999.

63. Повышение эффективности обучения математике в школе: Кн. для учите-ля: Из опыта работы/ Сост. Г.Д. Глейзер. М.: Просвещение, 1989.- 240 с.

64. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования. М., 1986.- С. 42.

65. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Матема-тика, 5-11/ Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. М.: Дрофа, 2000.- 320 с.

66. Психологический словарь/ Под ред. Н.В. Давыдова, A.B. Запорожца, Б.Ф. Ломова. НИИ ОПП АПН СССР. М.: Педагогика, 1983.

67. Саранцев Г.И. Методика преподавания геометрии в девятилетней школе. Саранск: Морд. гос. пед. ин-т, 1992 - 130 с.

68. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математике. -Саранск: Тип. "Крас. Окт.", 2001.- 144 с.

69. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов. -Саранск: Тип. "Крас. Окт.", 1999,- 208 с.

70. Саранцев Г.И. Эстетическая мотивация в обучении математике. ПО РАО, Мордов. пед. ин-т. - Саранск, 2003- 136 с.

71. Саркисян A.A. Изучение простейших понятий топологии на внеклассных занятиях по математике. Дис. . канд. пед. наук. М., 1968.

72. Саркисян A.A., Колягин Ю.М. Познакомьтесь с топологией (на подступах к топологии). Книга для внеклассного чтения 8-10 классы. -М.: Просве-щение, 1976.

73. Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики. М.: Педагогика, 1984,- 96 с.

74. Стинрод Н., Чинн У. Первые понятия топологии. М.: Мир. 1967-221с.

75. Сурикова C.B., Анисимова М.В. Использование графовых моделей при решении задач// Нач. школа.- 2000 № 4 - С. 56-62.

76. Тестов В.А. Математические структуры как научно-методическая основа построения математических курсов в системе непрерывного образования (школа вуз). Дис. . д-ра пед. наук. - Вологда, 1998.404 с.

77. Тестов В.А., Уханова Л.Д. Развитие познавательных способностей у школьников в условиях уровневой дифференциации// Нач. школа-1999.-№ 2.-С.32-41.

78. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977 - 202 с.

79. Усманов Ф.Р. Методические принципы изучения топологии в 8-9 классах средней школы. Дис. канд. пед. наук. Ташкент, 1980.

80. Ушинский К.Д. Собрание сочинений. Т.1. М.-Л.: Педагогика, 1950584 с.

81. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире. М.: Изд-во МГУ, 1992 - 228 с.

82. Ходот Т. Курс геометрии 5-6 в структуре непрерывного геометрического образования// Еженед. учеб.-метод. приложение к газете "Первое сентя-бря".- 2000 № 18 - С. 11-14.

83. Четвертая соросовская олимпиада школьников 1997-1998. М.: МЦНМО, 1998.

84. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для 5-6 классов. М.: МИРОС, КПЦ "Марта", 1992 - 208 с.

85. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин. -М.: Педагогика, 1989.- 352 с.

86. Якиманская И.С. Принципы построения образовательных программ и личностное развитие учащихся// Вопросы психологии 1999- № 3.

87. Список публикаций автора по теме исследования:

88. Сангалова М.Е. Психолого-педагогические аспекты введения топологии в школьный курс математики // Материалы конференции молодых ученых АГПИ.- Арзамас: АГПИ, 2000. С. 95 - 99.

89. Сангалова М.Е. Принципы отбора содержания внеклассной работы по топологии // Математика и информатика: наука и образование. Межвузовский сборник научных трудов. Ежегодник. Выпуск 1. Омск:

90. Изд-во ОмГПУ, 2001. С. 150 - 154.

91. Сангалова М.Е. Моделирование и исследование свойств простейших топологических поверхностей // Перспектива 2. Сборник научных трудов аспирантов, соискателей и молодых ученых АГПИ и АФ НГТУ. Арзамас: АГПИ, 2002. - С. 46 - 50.

92. Сангалова М.Е. Деятельностный подход к формированию топологических методов как основа обучения топологии в средней школе в условиях гу-манитаризации // Седьмая нижегородская сессия молодых ученых: Тезисы докладов. Н.Новгород, 2002. - С. 43 - 44.

93. Сангалова М.Е. Формирование метода графового моделирования// Перспектива 3. Межвузовский сборник научных трудов молодых ученых. -Арзамас: АГПИ, 2003. С. 151 - 154.

94. Сангалова М.Е. Эстетический потенциал топологических задач// Духовный мир молодого человека и будущее России: Региональная межвузовская научно-практическая конференция 17-18 апреля 2003 г. Сборник статей. Арзамас: АГПИ, 2003. - С. 453 - 456.