Задачи как средство уровневой дифференциации процесса обучения доказательству в школьном курсе алгебры

Диденко, Ольга Павловна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Задачи как средство уровневой дифференциации процесса обучения доказательству в школьном курсе алгебры

Автореферат

Автор научной работы: Диденко, Ольга Павловна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Омск
Год защиты: 2003
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Задачи как средство уровневой дифференциации процесса обучения доказательству в школьном курсе алгебры"

На правах рукописи

ДИДЕНКО Ольга Павловна

ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО УРОВНЕВОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ

13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень общего среднего образования)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук

Омск 2003

Диссертация выполнена на кафедре теории и методики обучения математике Омского государственного педагогического университета

Научный руководитель:

доктор педагогических наук профессор В.А. Далингер

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук профессор О.Б. Епишева; кандидат педагогических наук Л.М. Нуриева

Ведущая организация:

Красноярский государственный педагогический университет

Защита состоится 17 июня 2003 г. в 12.00 на заседании диссертационного совета Д 212.177.01 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора педагогических наук в Омском государственном педагогическом университете по адресу: 644099, г. Омск, наб. Тухачевского, 14, ауд. 212.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан «#>> мая 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

2.00 ?-Д

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Современная тенденция гуманизации образования предполагает всестороннее развитие личности ученика, в том числе развитие его мышления, что невозможно без формирования одного из важнейших интеллектуальных умений - умения доказывать. Основным предметом школьного учебного плана, выполняющим функцию обучения учащихся доказательству, является математика. Изучая математику, школьники должны получать представление о ней как о дедуктивной науке.

В научных работах, посвященных исследованию проблемы обучения доказательству, отражены следующие аспекты:

- обучение доказательным рассуждениям в пропедевтическом курсе алгебры (К.О. Ананченко, В.А. Далингер, А.Н. Капиносов и др.);

- обучение приемам работы над формулировкой и доказательством теоремы (Я.И. Груденов, М.Б. Волович, В.А. Далингер, Ф.Ф. Притуло, A.A. Столяр и др.);

- выделение уровней обучения доказательству (Э.И. Айвазян, О.Н. Журавлева, К. Поппер, З.И. Слепкань и др.);

- формирование понятийного аппарата как основы обучения доказательству (В.А. Далингер, С.С. Салыков, С.Б. Суворова и др.);

- взаимосвязь логического и интуитивного компонентов мышления (Дж. Брунер, Т.С. Маликов, Дж. Пойа и др.);

- психологические основы обучения доказательству (Я.И. Груденов, В.А. Крутецкий, Э.Л. Торндайк, И.С. Якиманская и др.);

~ функции примеров и контрпримеров (H.A. Курдюмова, И. Лакатос и др.);

- методы доказательства (Н.П. Комов, Г.Н. Солтан и др.).

Для большинства исследователей проблемы обучения доказательству объектом изучения является процесс обучения геометрии. Однако в трудах Я.С. Дубнова и других ученых не раз высказывалось мнение, что процесс обучения алгебре имеет в плане обучения доказательству не меньшие потенциальные возможности. A.A. Блох считает, что попытки, предпринимаемые в направлении положительного решения проблемы усиления доказательной линии в курсе алгебры, могут иметь определенный педагогический эффект, поскольку, например, любое задание на упрощение выражения является, в сущности, задачей на доказательство, только не выраженной явно в условии.

Анализ школьной практики показал, что умение доказывать в курсе алгебры формируется целенаправленно и систематически лишь в классах математического профиля, а в классах других профилей и обычных классах это формирование происходит стихийно и, следовательно, на низком уровне. Поэтому большинство учащихся таких клас-

i РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ { БИБЛИОТЕКА

сов воспринимают курс алгебры как набор не связанных между собой правил, которые заучиваются для применения их к решению задач.

Знания учащихся по алгебре носят, в основном, формальный характер. Школьники не владеют такими умениями, как подведение объекта под понятие, выведение следствий из факта принадлежности объекта объему понятия; не умеют правильно использовать примеры и контрпримеры; не справляются с заданиями на доказательство утверждений, за исключением несложных тождеств; лишь около 20 % учащихся могут отличить определение понятия от формулировки теоремы.

Причин тому несколько. Это и специфика курса алгебры (отсутствие аксиоматической структуры, наличие относительно небольшого количества теорем), и содержание учебников, и недостаточная методическая подготовка учителей к обучению доказательству (например, лишь 30 % опрошенных нами учителей математики смогли назвать некоторые общие методы доказательства).

Большое количество ошибок учащихся и абитуриентов при решении алгебраических задач является результатом недостаточного внимания на уроках алгебры к аргументации рассуждений, слишком раннего выпадения обосновывающего компонента при формировании умения применять то или иное теоретическое знание при решении задач, тогда как осознание правила или определяет действия, или, по крайней мере, их контролирует. Знание правила необходимо и для того, чтобы осуществить проверку решения и дать его обоснование, т. е. доказать, что решение выполнено верно.

При обучении математике и, в частности, обучении доказательству большое значение традиционно придается логическому компоненту и его развитию. Ряд исследователей (A.A. Столяр, О.И. Марты-щук и др.) пытались решить задачу обучения доказательству при помощи обучения элементам формальной логики. Однако этот подход не нашел применения в школьной практике. На наш взгляд, обучение доказательству в курсе алгебры должно происходить в основном через систему задач, с помощью которой решается и проблема формирования у школьников таких общих приемов умственной деятельности, как сравнение, обобщение, абстрагирование и др.

развития математики и, следовательно, создает для учащихся методологическую основу процесса познания.

И.С. Якиманская выделяет три типа учеников: «гуманитарий», «алгебраист» и «геометр», в зависимости от преимущественного использования ими определенной формы выражения теоретического знания - словесной, символической или графической, поэтому на уроках алгебры необходимо знакомить учащихся со всеми формами выражения конкретного теоретического знания, чтобы каждый из них мог выбрать наиболее удобную для себя форму.

Обучение доказательству включает в себя не только работу с теоремами и задачами на доказательство, но и работу, связанную с тождественными преобразованиями выражений, решением уравнений, неравенств и т. д., при выполнении которой учащимся требуется обосновать то или иное действие.

Нельзя не учитывать перспективу перехода средних школ всех регионов России к единому государственному экзамену по математике. Умение выпускника школы логически рассуждать, обосновывать свои действия при решении алгебраических задач, которые составляют подавляющее большинство в тексте экзаменационной работы, будет являться необходимым условием получения выпускником высокого балла.

Все вышесказанное обусловило актуальность проблемы исследования.

Проблема исследования состоит в разрешении противоречия между потенциальными возможностями курса алгебры в процессе обучения доказательству как через изучение теории, так и посредством решения задач, и сложившейся практикой обучения в средней общеобразовательной школе, где этот процесс идет не систематично, нецеленаправленно, без учета способностей учащихся.

Цель исследования: разработать теоретические основы и методику обучения доказательству в курсе алгебры средней общеобразовательной школы посредством разноуровневой системы задач.

Объект исследования: процесс обучения алгебре в средней общеобразовательной школе.

Предмет исследования: содержание и методические особенности обучения школьников доказательству посредством системы задач, обеспечивающей уровневую дифференциацию.

модействия между содержательно-методическими линиями), так и способности учащихся, то это обеспечит дифференциацию указанного процесса, позволит развить у школьников логическое мышление, сформировать у них умение использовать знания в нестандартных ситуациях.

Проблема, цель и гипотеза исследования обусловили следующие частные задачи:

1) выявить психолого-педагогические основы учебно-познавательной деятельности учащихся и дидактико-методические особенности обучающей деятельности учителя по формированию умения доказывать в курсе алгебры;

2) определить роль и место доказательства в процессе обучения алгебре;

3) определить содержание понятия «умение доказывать» и разработать критерии, выявляющие сформированность этого умения на разных уровнях;

4) выявить требования к системе задач, направленной на формирование умения доказывать, разработать разноуровневую систему таких задач и методику обучения их решению в курсе алгебры.

Теоретико-методологической основой исследования являются труды отечественных и зарубежных философов, психологов, занимавшихся изучением проблем мышления, способностей человека (Л.С. Выготский, Я.И. Груденов, З.И. Калмыкова, В.А. Крутецкий, Э.Л. Торн-дайк, И.С. Якиманская и др.), педагогов и методистов по теории познания, воспитания и обучения (В.А. Далингер, Я.С. Дубнов, Л.Я. Зорина, О.Б. Епишева, Ю.М. Колягин, H.A. Курдюмова, И. Лакатос, H.A. Мен-чинская, Г!И. Саранцев, З.И. Слепкань, A.A. Столяр и др.). В работе также использованы исследования, посвященные проблеме совершенствования процесса обучения алгебре (А.Я. Блох, С.Б. Суворова и др.).

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической, методической литературы по проблеме исследования; анализ программ, стандартов и учебных пособий по курсу алгебры средней общеобразовательной школы; изучение практики обучения доказательству на уроках алгебры, беседы с учителями и учащимися; анкетирование учителей; констатирующий, поисковый и обучающий эксперименты, статистическая обработка их результатов.

Научная новизна исследования состоит в том, что выявлены возможности курса алгебры в формировании у школьников умения доказывать и разработана методика, позволяющая дифференцированно строить процесс обучения доказательству посредством разработанной системы задач, адекватно отражающей структуру учебной деятельности

учащихся, включающей три этапа: мотивационно-ориентировочиый, исполнительно-операционный и контрольно-оценочный.

Теоретическая значимость исследования заключается в следующем:

• уточнен категориально-понятийный аппарат, связанный с обучением школьников доказательству в курсе алгебры, а именно: выявлены виды определений понятий, правила вывода; расширено представление об общих методах доказательства (вместо четырех традиционно используемых методов: синтетического, аналитического, от противного, полной индукции, рассматриваются одиннадцать методов, включающие, в частности, метод перебора, метод исключения и др.);

• с целью реализации уровневой дифференциации определены уровни овладения умением доказывать в курсе алгебры, что позволяет строить процесс обучения на сочетании репродуктивного и продуктивного видов деятельности учащихся;

• выявлены особенности курса алгебры (конгломератность учебного материала, превалирование компонента «способы деятельности» над компонентом «научные знания», специфика взаимодействия между содержательно-методическими линиями), которые были учтены при разработке требований к системе задач, направленной на обучение доказательству в курсе алгебры. Указанная система должна содержать задачи, которые:

1) способствуют мотивации введения теоремы;

2) способствуют поиску закономерности, выдвижению гипотезы;

3) способствуют пониманию логической структуры, усвоению содержания теоремы; пониманию значения каждого слова, смысла символов в формулировке теоремы; обеспечивают прочное и осознанное запоминание формулировки теоремы;

4) актуализируют теоретические положения, необходимые для построения доказательства теоремы;

5) способствуют формированию умения выводить следствия из определения понятия или заданных условий, характеризующих математические объекты;

6) обеспечивают восприятие идеи доказательства, раскрывают приемы доказательства, подготавливают к восприятию логической структуры доказательства;

7) способствуют распознаванию ситуаций, удовлетворяющих теореме;

8) демонстрируют применение теоремы в стандартных ситуациях;

9) демонстрируют применение теоремы в нестандартных ситуациях;

10) способствуют выявлению дополнительных условий, при которых некоторые неверные утверждения становятся верными;

11) способствуют формированию умения использовать примеры и контрпримеры при доказательстве;

12) способствуют формированию умения опровергать неверные доказательства;

13) раскрывают взаимосвязи изученной теоремы с другими теоремами;

14) направлены на выявление связей между содержательно-методическими линиями курса алгебры;

15) предполагают использование различных форм представления информации, преобразование одной формы в другую;

16) направлены на осуществление логической реорганизации учебного материала.

Практическая значимость исследования заключается в следующем:

• разработана система задач для обучения доказательству в школьном курсе алгебры, обеспечивающая достижение учащимися стандартного и продвинутого уровней овладения знаниями, умениями и навыками, с учетом способностей учащихся;

• разработана методика обучения методам доказательства, основу которой составляет деятельность учителя по формированию у школьников умений использовать различные формы математического языка, составлять и использовать алгоритмические предписания по осуществлению доказательства;

• разработанные дидактические материалы и методика обучения доказательству в курсе алгебры могут быть использованы авторами учебных пособий по математике, при обучении студентов педвузов теории" и методике обучения математике, а также на курсах повышения квалификации учителей математики.

Обоснованность и достоверность результатов обеспечены непротиворечивостью полученных основных результатов положениям, сформулированным в исследованиях психологов, педагогов и методистов, касающихся поставленной проблемы; анализом научных воззрений на проблему исследования; выбором методов исследования, адекватных поставленным цели и задачам, а также проведением педагогического эксперимента и применением математических методов обработки его результатов.

Апробация и внедрение результатов исследования.

Основные теоретические положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором и обсуждались на засе-

даниях кафедры м ;тодики преподавания математики ОмГПУ (Омск, 1994-1996 гг.), а тжже докладывались на областной научно-практической конференции «Проблемы развития естественноматематичес-кого и профессиош льного образования» (Омск, 1994 г.), на Герценов-ских чтениях (С.-Г.'етербург, 1996 г.), на II Всероссийской научно-методической конференции «Образование XXI века: инновационные технологии, диагностика и управление в условиях информатизации и гуманизации» (Красноярск, 2000 г.). По теме исследования имеется шесть публикаций.

Экспериментальная проверка теоретических положений диссертации и их внедрение осуществлялись в 1994-2002 гг. на базе школ № 58, 89, 134, 141, 142 г. Омска, а также на занятиях по математике со слушателями подготовительного отделения Омского государственного института сервиса (ОГИС).

Положения, выносимые на защиту.

1. Процесс обучения доказательству, строящийся с учетом особенностей курса алгебры (конгломератность учебного материала, доминирование компонента «способы деятельности» над компонентом «научные знания», специфика взаимодействия содержательно-методических линий), позволяет: разработать такую методику обучения учащихся доказательству, которая обеспечивает более полную реализацию связей между содержательно-методическими линиями курса алгебры; формировать у школьников умение представлять информацию на естественном, символическом и геометрическом языках и переводить ее с одного языка на другой.

2. Обучение доказательству в курсе алгебры способствует формированию у школьников умения оперировать семантическими и синтаксическими конструкциями математического языка и позволяет развивать такие качества мышления учащихся, как логичность и гибкость.

3. Построенная на основе разработанных требований система задач, направленная на обучение доказательству в курсе алгебры, позволяет осуществлять уровневую дифференциацию процесса обучения, вооружать учащихся различными методами доказательства, вырабатывать у них такие умения, как подведение объекта под понятие, выведение следствий, правильное использование примеров и контрпримеров, а также рефлексивных умений, связанных с поиском и осознанием ошибки в «доказательстве» софизма.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка литературы и приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РА БОТЫ

Во введении обосновывается актуальность исследования, формулируются проблема, цель, гипотеза, определя! этся объект, предмет, задачи и методы исследования, раскрываются н ;>визна, теоретическая и практическая значимость работы, излагаются основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе «Теоретические основ'?! процесса обучения доказательству в школьном курсе алгебрп посредством задач» рассматриваются философский, психолого-п гдагогический аспекты понятий «мышление», «способности», вопрос о соотношении логики и интуиции с точки зрения обучения доказателы тву.

Психологи установили, что когнитивнь е качества личности ученика включают, в частности, логичность, обоа юванность, способность к анализу и синтезу, способность использовать различные формы доказательств. Креативные качества личности ученика включают, в частности, формулирование гипотез, выявление закономер ностей, интуицию.

Формирование у школьников культуры доказательных рассуждений, овладение ими общими умственными действиями (сравнением, аналогией, анализом, синтезом и т. д.), осознание роли теоретических знаний при изучении математики выступают как общие цели развития личности, поэтому в преподавании алгебры следует уделять больше внимания рассуждениям, обоснованиям. Термин «теорема» не должен быть специфичным лишь для предмета геометрии, поскольку является общематематическим.

В работе уточнен категориально-понятийный аппарат, связанный с понятием доказательства. В частности, взяв за основу исследования В.А. Далингера, мы установили, что наряду с традиционными методами доказательства на уроках алгебры и внеурочных занятиях следует изучать и другие методы, а именно: метод перебора, метод конструирования, метод бесконечного исключения, метод математической индукции, метод малых изменений, геометрический метод. Нельзя обучить владению всеми этими методами каждого школьника, но можно расширить представление учащихся о методах доказательства в соответствии с зоной актуального развития каждого из них.

Анализ научной и методической литературы показал, что в ней в основном выделяются три или четыре уровня овладения умением доказывать. Мы же выделяем следующие уровни:

1) умение понять доказательство, предложенное учителем;

2) умение повторить готовое доказательство;

3) умение самостоятельно провести доказательство методом, указанным учителем;

4) умение найти ошибку в «доказательстве» софизма;

5) умение самостоятельно найти метод доказательства и применить его.

С целью осуществления дифференцированного подхода к обучению мы выделяем три уровня усвоения учащимися содержания обучения: А - базовый (обязательный), Б - повышенный, В - высокий.

В нашем исследовании мы установили соответствие уровней овладения умением доказывать уровням усвоения содержания обучения (табл.). Знаком «+» обозначено полное овладение учащимся соответствующим уровнем умения доказывать, знаком «±» -частичное; знак «-» обозначает, что ученик не овладел умением на указанном уровне. Критерии достижения учащимися уровней овладения умением доказывать показаны на рис. 1.

Таблица

Уровни овладения Умение Умение Умение Умение Умение

^.умением дока- понять повто- применить найти найти и

^ч. зывать доказа- рить метод ошибку в применить

тельство доказа- доказа- «доказа- метод дока-

Уровни тельство тельства тельстве» зательства

усвоения

содержания обучения^

А (базовый) + + ± ± -

Б (повышенный) + + ± ± ±

В (высокий) + + + + ±

В главе охарактеризован подход Л.Я. Зориной к типологии предметов учебного плана. В соответствии с ним алгебра является предметом с ведущим компонентом «способы деятельности», который в основном предполагает решение задач, поэтому целесообразно осуществлять обучение доказательству посредством системы задач. На основе анализа научно-методической литературы, с учетом особенностей курса алгебры, нами разработаны указанные выше требования, которым должна удовлетворять эта система.

Во второй главе «Методика реализации уровневой дифференциации процесса обучения учащихся доказательству в курсе алгебры» описаны обучающая деятельность учителя и учебно-познавательная деятельность учащихся в процессе обучения доказательству в соответствии с требованиями, которые предъявляются к системе задач, направленной на обучение доказательству.

Уровень 5) Уровень 4)

Уровень 3)

Уровень 2)_

Уровень 1) - ученик осознает, что понял доказательство

Ученик может:

- формулировать теорему;

- выделить условие и заключение теоремы;

- заполнить пропуски в формулировке теоремы;

- воспроизвести доказательство теоремы;

- применять теорему в стандартных ситуациях;

- составить план доказательства;

- провести доказательство с новыми обозначениями;

- описать метод (способ) доказательства;

- указать теоремы, которые доказывались тем же методом (способом);

- применять метод (способ) доказательства в нестандарта ситуациях по указанию учителя;

- исправить искаженную формулировку теоремы;

- отыскать ошибку в «доказательстве» софизма и объяснить, в чем она заключается;

- применять различные методы доказательства в стандартных и нестандартных ситуациях без указаний учителя.

Рис. 1. Критерии достижения учащимися уровней овладения умением доказывать

Анализ учебников алгебры показывает, что в них почти отсутствуют задания, которые позволяют учащимся на достаточном количестве материала выявить некоторую закономерность перед введением теоремы, отражающей эту закономерность, что приводит к формальному усвоению теоремы. В работе мы используем ряд задач, направ-

ленных на устранение указанного недостатка. Примером такой задачи является следующая (8 класс): «Дано верное неравенство 2>-1. Запишите верные неравенства, которые получатся умножением каждой части данного неравенства поочередно на числа: 10; 2; -3; -1. Какой вывод вы можете сделать?». Решая такие задачи, учащиеся учатся проводить исследования, формулировать гипотезы, которые затем нужно доказать или опровергнуть дедуктивными рассуждениями.

В разработанной нами системе ряд задач направлен на использование различных форм представления информации, содержащейся в условии задачи. Чтобы решить задачу, от учащихся требуется переводить информацию из одной формы математического языка в другую, что является одним из способов позитивного изменения характера их обученности. Приведем пример соответствующей задачи: «При каких значениях параметра а система уравнений \~ах ~ 7аУ - 3, имеет более

[а + 4у = 5 ах

двух решений?». Чтобы решить эту задачу, ученик должен неявно использовать геометрический образ каждого уравнения системы - прямую. Решение же других задач предполагает явное использование геометрических образов - графиков функций. Так, задачу: «При каких

значениях а уравнение 2х +

-а — х2 имеет единственный ко-

рень?» можно решить при помощи анализа взаимного расположения графиков функций _ 2х + и у = а-х2 при различных значениях

параметра а. Явные геометрические образы используются также при реализации геометрического метода доказательства. Установление взаимосвязей между различными формами представления информации особенно эффективно при обобщении и систематизации учебного материала.

Известно, что изучив ту или иную теорему, ученик должен научиться ее применять, для чего ему нужно вначале уметь распознавать ситуации, удовлетворяющие теореме. Мы разработали ряд задач, направленных на формирование этого умения; примером такой задачи может служить следующая: «Даны уравнения и неравенства:

(*-1)2=52; 4х+6=1; 4х<5; \%(2Х + 1) = \%4\ к^хсО-

Ы 27

Какие из них можно решить, используя свойство монотонности соответствующей функции?».

Ряд задач направлен на обучение школьников приему подведения под понятие, и в работе описана обобщенная схема этого приема.

С целью осознания учащимися всех достаточных признаков понятия следует предлагать им задания на поиск ошибок в неверном определении понятия, на дополнение к существенным признакам понятия дополнительных условий (или удаление таковых) и выведение следствий из полученной совокупности условий.

Указанная система задач содержит ряд задач, направленных на осознание учащимися понятий «уравнение-следствие», «неравенство-следствие», «равносильные уравнения», «равносильные неравенства», г

а также на овладение понятиями «следует», «не следует», «равносильно», «неравносильно», «необходимое условие», «достаточное уело- I вие». При решении задач целесообразно использовать такие графиче- 4 ские формы представления информации, как таблицы, круги Эйлера и I блок-схемы.

Развитию гибкости ума учащихся служат задачи, решение кото- 1

рых требует применения теоремы в нестандартной ситуации. При решении таких задач необходим перенос знаний, умений и навыков, который рассматривается психологами как показатель развития и условие развития учащихся. При решении, например, нестандартных уравнений от учащихся требуется применение большого количества теоре- I тических сведений. Например, чтобы решить задачу: «Доказать, что

уравнение . л _ + 1оё|х| 3 не имеет корней», учащимся

х1 -2х + Ъ 2-41

следует применить следующие теоретические знания: свойства функций у = 5тх> у = ах2 +Ьх + с, у = 1оёа х', понятие [х|; свойства лога- |

рифма числа; методы решения тригонометрических и логарифмических уравнений; свойство взаимно-обратных положительных выражений: д + 2_>2- В работе показано, каким образом учащимся следует а

использовать эти знания для решения задачи.

В контексте реализации внутрипредметных связей между со- '

держательно-методическими линиями курса алгебры показана целесо- '

образность превращения теоремы из предмета изучения в средство изучения на примере теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух положительных чисел, с помощью которой мож- *

но решить ряд задач из различных тем курса алгебры. Особое внимание в системе задач уделено уравнениям, имеющим единственный корень, при решении которых единственность корня обосновывается | применением таких свойств функций, как область определения, монотонность, четность/нечетность и др. Некоторые традиционные задачи были дидактически преобразованы в задачи на доказательство. На-

пример, задача на упрощение дробно-иррационального выражения переформулирована так: «Докажите, что значение выражения

а4а + Ь-1Ь -(д А) | ^^ ' где а2 + Ь2 ^ 0, является це-

к -у[а+л[Ь ) л[а+л[Е

лым числом».

Критичность ума школьника, проявляющуюся в подростковом возрасте, следует направлять на решение задач, способствующих формированию умения опровергать неверные доказательства. Это умение характеризует повышенный и высокий уровни обучения доказательству, однако некоторые несложные задачи доступны и учащимся с базовым уровнем обучения. Задачи на опровержение неверных доказательств служат инструментом преодоления формализма в знаниях учащихся, являются инструментом проверки степени осознанности усвоения ими учебного материала.

Обучение методам доказательства осуществляется в основном на примерах решения задач на доказательство. Учитель демонстрирует идею метода, доказывая одно-два утверждения, а затем учащиеся осваивают метод, решая аналогичные задачи. Для овладения учащимися доказательством тем или иным методом, учитель составляет вместе с ними алгоритмические предписания. В качестве примера приведем алгоритмическое предписание для проведения доказательства методом от противного.

1. Выделить условие А и заключение В доказываемого утверждения, подчеркнув условие одной чертой, а заключение - двумя.

2. Составить предложение, отрицающее заключение В, то есть предложение «не В».

3. Выводить следствия С/, С?, ... из совокупности известных предложений, условия А и предложения «не В» до тех пор, пока не получится противоречие с условием А или другим истинным высказыванием.

4. Сделать вывод о том, что предложение «не В» является неверным, следовательно, верным является предложение В, что и доказывает данное утверждение.

При этом внимание учащихся обращается не столько на результат действий, сколько на сам способ осуществления действий. Одной из форм обучения школьников умению доказывать является «урок-бенефис» одной задачи на доказательство, для решения которой применяются различные методы.

В заключении второй главы приводится описание педагогического эксперимента и статистическая обработка его результатов. Педагогический эксперимент проводился в соответствии с целями и задачами исследования и состоял из трех этапов.

На этапе констатирующего эксперимента (1994-1996 гг.) проводился анализ философской, психолого-педагогической, методической и учебной литературы с целью выяснить состояние решения проблемы обучения школьников доказательству в курсе алгебры. Проводились анкетирование учителей, беседы с учащимися и учителями, , проведены контрольные срезы в 7-10 классах школ № 58, 89, 134, 141, 142 г. Омска, а также на подготовительном отделении ОГИС. Всего в них участвовало 411 учащихся и 56 абитуриентов. Цель контрольных срезов состояла в выяснении уровня сформированное™ у учащихся и выпускников средних школ умения доказывать в курсе алгебры. Кон- 1 трольные срезы содержали задания, в которых требовалось: ;

1) отличить определения от теорем;

2) установить, является ли данное утверждение верным или неверным и обосновать свой ответ;

3) найти допустимые значения переменных в выражении или равенстве;

4) доказать утверждение;

5) найти ошибку в доказательстве;

6) решить нестандартное уравнение (неравенство);

7) показать понимание смысла символических записей;

8) продемонстрировать умение применять примеры и контр- 1 примеры для доказательства утверждений;

9) продемонстрировать умение подводить объект под понятие;

10) провести классификацию объектов по предложенному основанию;

11) провести исследование и сделать вывод.

В работе показано, что результаты выполнения учащимися заданий контрольных срезов оказались низкими.

Результаты констатирующего этапа эксперимента позволили сформулировать на этапе поискового эксперимента (1996-1998 гг.) гипотезу исследования. На этом же этапе осуществлялась разработка требований к системе задач как средству обучения доказательству и обоснованию в курсе алгебры, создавалась соответствующая система задач.

Обучающий эксперимент проводился автором в 8-9 классах школы №58 г. Омска (1998-2000 гг.), а также в группе слушателей V

подготовительного отделения ОГИС (2001-2002 гг.). В нем принимали участие 32 школьника и 27 слушателей подготовительного отделения.

Перед началом эксперимента учащиеся 8 класса выполняли контрольную работу №1, в которой требовалось:

1) установить, является ли данное утверждение верным или неверным и обосновать ответ;

2) найти допустимые значения переменных, входящих в выражение;

3) решить стандартную задачу на применение теоремы;

4) доказать тождество;

5) решить задачу на доказательство методом конструирования на числовом материале.

В конце обучения в 9 классе те же учащиеся выполняли контрольную работу №2, в которой предлагались задания, аналогичные указанным заданиям 1) и 2), а также задания, в которых требовалось:

- найти ошибку в доказательстве утверждения и объяснить, в чем она заключается;

- доказать два утверждения.

Выполнение заданий контрольных работ требовало от учащихся не только применить предметные знания, но и выполнить такие умственные действия, как анализ, синтез, сравнение, аналогия и т. д., которые являются составляющими логического мышления, а также требовало продемонстрировать умение применять знания в нестандартных ситуациях (задания в основном являлись нестандартными). Результаты выполнения работ позволили нам судить о степени сформированное™ у учащихся логического мышления.

Работы оценивались по 10-балльной шкале (рис. 2). Для проверки эффективности разработанной методики обучения доказательству была использована статистика, называемая критерием. Так как

полученное нами %2 „а6л = 10,83 оказалось больше ^2крит = 7,81, то на уровне значимости а = о,05 был сделан вывод о том, что предлагаемая методика оказала влияние на уровень сформированное™ у школьников умения доказывать.

Количество баллов

0 Результаты контрольной работы №1

■ Результаты контрольной работы №2

Рис. 2. Результаты контрольных работ 17

Обучающий эксперимент на подготовительном отделении имел следующие особенности. Поскольку основной целью обучения на подготовительном отделении является подготовка абитуриентов к письменному экзамену по математике, в который, как правило, не входят задачи на доказательство, за исключением задач на доказательство тождеств, то мы применяли лишь некоторые компоненты методики обучения доказательству, а именно: формирование умения обосновывать действия при решении уравнений, неравенств и их систем, в частности с параметрами; при этом формировались действия по представлению информации в различных формах, применению теоретических знаний при решении нестандартных задач. Также проводилась работа по формированию умения подводить объект под понятие, отыскивать ошибки в искаженных определениях, формулировках теорем и «доказательствах» софизмов.

Перед началом эксперимента мы предложили абитуриентам задание на отыскание ошибки в «доказательстве» софизма. Дали верный ответ и обосновали его лишь 16,7% абитуриентов. В конце обучения мы предложили решить той же группе абитуриентов задачу на отыскание ошибки в решении нестандартного уравнения, которая была связана с его неверным преобразованием. Верно и обоснованно выполнили задание уже 65,2% абитуриентов, что свидетельствует о позитивной динамике формирования у них умения доказывать.

В ходе исследования получены следующие основные результаты и выводы.

1. На основе анализа философской, психолого-педагогической и методической литературы, а также опыта преподавания выявлены психолого-педагогические основы учебно-познавательной деятельности учащихся и дидактико-методические особенности обучающей деятельности учителя в процессе обучения доказательству в алгебре.

2. Установлено, что логическая линия пронизывает все содержательно-методические линии курса алгебры, поэтому обучение доказательству следует начинать еще в 5-6 классах на числовом материале и проводить на протяжении всего обучения алгебре. Выявлены особенности курса алгебры: конгломератность учебного материала, спе- * цифика взаимодействия между содержательно-методическими линиями, превалирование компонента «способы деятельности» над компонентом «научные знания», которые необходимо учитывать при разработке методики обучения доказательству. Установлено, что обучение доказательству в курсе алгебры следует осуществлять не столько через

изучение теории, сколько посредством системы задач. (

3. В процессе обучения доказательству учащиеся могут достигать следующие уровни овладения умением доказывать: умение понять дока' зательство, предложенное учителем; умение повторить готовое доказательство; умение самостоятельно провести доказательство методом, указанным учителем; умение найти ошибку в «доказательстве» софизма; умение самостоятельно найти метод доказательства и применить его. Определены критерии овладения учащимися умением доказывать на каждом из указанных уровней; установлено, что критерии более высокого уровня включают в себя критерии более низкого уровня.

4. Разработаны требования к системе задач, направленной на обучение доказательству в алгебре, реализуемые на всех этапах учебной деятельности учащихся: мотивационно-ориентировочном, исполнительно-операционном и контрольно-оценочном.

' 5. Разработана разноуровневая система задач, направленная на

обучение доказательству в алгебре, и методика ее использования в процессе обучения, которая позволяет дифференцированно строить этот процесс. Основу методики составляет деятельность учителя по формированию у школьников умений использовать различные формы математического языка, составлять и использовать алгоритмические предписания по осуществлению доказательства. Экспериментальная проверка методики в ходе обучающего эксперимента подтвердила ее эффективность.

Исследование проблемы обучения доказательству в курсе алгебры может быть продолжено в направлении совершенствования системы задач, установления внутри предметных связей между алгеброй и геометрией в плане обучения доказательству.

Основное содержание диссертационного исследования отражено в следующих публикациях:

1. Диденко О.П. О готовности учителей математики к формированию у учащихся умения доказывать в курсе алгебры // Инновационные процессы в образовательных учреждениях: Проблемы развития ес-тественноматематического и профессионального образования: Тезисы областной научно-практической конференции 14-16 декабря 1994 г. /

»' Под ред. А.П. Медведицкого, Е.С. Буяновской, В.А. Шелонцева и др.: В

4-х частях,- Омск: Изд-во ОмИПКРО, 1994. - Ч. III. - С. 44 - 46.

2. Диденко О.П. Знако-символьные схемы как средство обучения учащихся доказательству в курсе алгебры // Инновационные процессы в образовательных учреждениях: Проблемы развития естествен-номатематического и профессионального образования: Тезисы областной научно-практической конференции, 14-16 декабря 1994 г. / Под

ред. А.П. Медведицкого, Е.С. Буяновской, В.А. Шелонцева и др.: В 4-х частях.. - Омск: Изд-во ОмИПКРО, 1994. - Ч. III - С. 65 - 66.

3. Диденко О.П. К вопросу об обучении доказательству в школьном курсе алгебры // Сборник научных работ аспирантов и студентов,- Омск: Изд-во ОГПУ, 1995 - С. 130 - 132.

4. Диденко О.П. Уровневая дифференциация при обучении доказательству в курсе алгебры // Особенности обучения математике в профильной школе и подготовка учителя к работе в ней: Тезисы докладов на Герценовских чтениях - С.-Петербург: Образование, 1996- С. 19.

5. Диденко О.П. Об обучении учащихся доказательству в курсе алгебры // Образование XXI века: инновационные технологии, диагностика и управление в условиях информатизации и гуманизации: Материалы II Всероссийской научно-методической конференции (Красноярск, 16-17 мая 2000 г.). - Красноярск: РИО КГПУ, 2000.- С. 35 - 36.

6. Диденко О.П. Доказательство и задачи на доказательство в курсе алгебры средней школы: Учебное издание.- Омск: ООИПКРО, 2002. - 36 с.

Лицензия ЛР № 020074

Подписано в печать 07.05.03 Бумага офсетная Усл. печ. л. 1,25 Тираж 100 экз.

Формат 60x84/16 Печать оперативная Уч.-изд. л. 1,16 Заказ RE 018-03

Издательство ОмГПУ, 644099, г. Омск, наб. Тухачевского, 14, к. 254 Отпечатано в типографии "Издательство Наука-Омск"

'(oi4\ Р10141

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Диденко, Ольга Павловна, 2003 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ ПОСРЕДСТВОМ ЗАДАЧ.

1.1. Психолого-педагогические основы обучения умению доказывать.

1.2. Доказательство, его роль и место в обучении алгебре

1.3. Дидактико-методические особенности школьного курса алгебры и возможности обучения доказательству средствами этого курса.

1.4. Требования к системе задач, направленной на формирование умения доказывать в курсе алгебры.

Выводы по главе

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА РЕАЛИЗАЦИИ УРОВНЕВОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ.

2.1. Задачи как средство обучения доказательству и методика обучения учащихся их решению.

2.2. Методика обучения учащихся методам доказательства, обеспечивающая уровень стандартных требований и уровень повышенных требований.

2.3. Организация и результаты педагогического эксперимента.

Выводы по главе

Введение диссертации по педагогике, на тему "Задачи как средство уровневой дифференциации процесса обучения доказательству в школьном курсе алгебры"

В научных исследованиях проблемы обучения доказательству отражены следующие аспекты:

- обучение доказательным рассуждениям в пропедевтическом курсе алгебры (К.О. Ананченко [7], В.А. Далингер [39], А.Н. Капиносов [61, 62] и др.);

- обучение приемам работы над формулировкой и доказательством теоремы (Я.И. Груденов [32], М.Б. Волович [26], В.А. Далингер [36], Ф.Ф. При-туло [120], A.A. Столяр [138] и др.);

- выделение уровней обучения доказательству (Э.И. Айвазян [1], О.Н. Журавлева [51 ], К. Поппер [77], З.И. Слепкань [134] и др.);

- формирование понятийного аппарата как основы обучения доказательству (В.А. Далингер [37, 38], С.С. Салыков [127], С.Б. Суворова [141] и др.);

- взаимосвязь логического и интуитивного компонентов мышления (Дж. Брунер [22], Т.С. Маликов [82], Дж. Пойа [118] и др.);

- психологические основы обучения доказательству (Я.И. Груденов [33], В.А. Крутецкий [73], Э.Л. Торндайк [148], И.С. Якиманская [168] и др.);

- функции примеров и контрпримеров (H.A. Курдюмова [76], И. Лакатос [77] и др.);

- методы доказательства (Н.П. Комов [70], Г.Н. Солтан [137] и др.).

Для большинства исследователей проблемы обучения доказательству объектом изучения является процесс обучения геометрии. Однако в трудах Я.С. Дубнова и других ученых не раз высказывалось мнение, что процесс обучения алгебре имеет в плане обучения доказательству не меньшие потенциальные возможности. Я.С. Дубнов по этому поводу писал, что «школьная геометрия должна отказаться от претензии служить «привилегированной школой дедукции», дедуктивное мышление можно и следует воспитывать также в преподавании арифметики, алгебры, реже - физики» [ 48, с. 53 ]. А .Я. Блох считает, что попытки в направлении положительного решения проблемы усиления доказательной линии в курсе алгебры могут иметь определенный педагогический эффект, поскольку, «например, любое задание на упрощение выражения является, в сущности, задачей на доказательство, только не выраженной явно в условии» [ 17, с. 31 ].

Анализ школьной практики показал, что умение доказывать в курсе алгебры формируется целенаправленно и систематически лишь в классах математического профиля, а в классах других профилей и обычных классах такое формирование происходит стихийно, и, следовательно, на низком уровне. Поэтому большинство учащихся таких классов воспринимают курс алгебры как набор не связанных между собой правил, которые заучиваются для применения их к решению задач.

Знания учащихся по алгебре носят в основном формальный характер. Учащиеся не владеют такими умениями, как: подведение объекта под понятие, выведение следствий из заданных условий, правильное использование примеров и контрпримеров; не справляются с заданиями на доказательство утверждений, за исключением несложных тождеств; лишь около 20 % учащихся могут отличить определение понятия от формулировки теоремы.

Большое количество ошибок учащихся и абитуриентов при решении алгебраических задач является результатом недостаточного внимания на уроках алгебры к аргументации рассуждений, слишком раннего выпадения обосновывающего компонента при формировании умения применять то или иное теоретическое знание при решении задач, тогда как «осознание правила или определяет действия или, по крайней мере, их контролирует. Знание правила необходимо и для того, чтобы осуществить проверку решения и дать его обоснование, т. е. доказать, что решение выполнено верно» [57, с. 108].

Основная же причина отсутствия у учащихся умения доказывать, а в более широком смысле - обосновывать те или иные математические действия, заключается в том, что перед ними, как правило, учитель не ставит цель научиться этому умению, то есть не ставит соответствующую учебную задачу. «Умение логически обрабатывать материал. развивается у способных учащихся стихийно., у менее способных может быть не развито совсем» [34, с. 115].

При обучении математике и, в частности, обучении доказательству, большое значение традиционно придается логическому компоненту и его развитию. Ряд исследователей (A.A. Столяр, О.И. Мартыщук [96] и др.) пытались решить задачу обучения доказательству при помощи обучения элементам формальной логики. Однако этот подход не нашел применения в школьной практике.

Анализ показал, что обучение доказательству в курсе алгебры должно происходить в основном через специальную систему задач, с помощью которой решается также и проблема формирования у школьников общих приемов умственной деятельности, таких как сравнение, обобщение, абстрагирование и др.

Мы придаем большое значение развитию интуиции, формированию умения выдвигать гипотезы, поскольку выдвижение гипотез, а затем их доказательство или опровержение является движущей силой развития математики и, следовательно, создает для учащихся методологическую основу процесса познания.

И.С. Якиманская [168] выделяет три типа учеников: «гуманитарий», «алгебраист» и «геометр» в зависимости от преимущественного использования ими определенной формы выражения теоретического знания - словесной, символической или графической, поэтому на уроках алгебры необходимо знакомить учащихся со всеми формами выражения конкретного теоретического знания, чтобы каждый из них мог выбрать наиболее удобную для себя форму. Выступая на Герценовских чтениях в 1996 г. по проблеме профильной и уровневой дифференциации, И.С. Якиманская высказала мнение, что ученик из гуманитарного класса может быть ближе к «алгебраисту», чем «геометр» к «алгебраисту». Следовательно, дифференциация должна проводиться не по научным областям, а по виду мышления.

Под обучением доказательству мы понимаем не только обучение доказательству теорем и решению задач на доказательство, но и обучение обоснованию выполнения того или иного действия при решении задач на тождественные преобразования выражений, решении уравнений, неравенств и т. д.

1) умение понять доказательство, предложенное учителем;

2) умение повторить готовое доказательство;

3) умение самостоятельно провести доказательство методом, указанным учителем;

4) умение найти ошибку в «доказательстве» софизма;

5) умение самостоятельно найти метод доказательства и применить его.

Задача учителя состоит в том, чтобы определить, до какого из уровней следует формировать умение доказывать по отношению к конкретному ученику, учитывая индивидуальную траекторию развития последнего.

Однако наши исследования показывают, что учителя математики недостаточно владеют методикой обучения доказательству. В связи с этим приведем слова Н.Ф. Талызиной: «Например, математик успешно может осуществить доказательство теоремы методом от противного. Но он не сможет указать содержания и последовательности выполняемых при этом умственных действий и операций; в силу этого он не может целенаправленно строить деятельность по доказательству теорем у своих учеников» [144, с. 38].

Все вышесказанное обусловило актуальность проблемы исследования.

Проблема исследования состоит в разрешении противоречия между потенциальными возможностями курса алгебры в процессе обучения доказательству, как через изучение теории, так и посредством решения задач, и сложившейся практикой обучения в средней общеобразовательной школе, где этот процесс идет несистематично, нецеленаправленно, без учета способностей учащихся.

Объект исследования: процесс обучения алгебре в средней общеобразовательной школе.

Гипотеза исследования: если осуществлять процесс обучения доказательству в школьном курсе алгебры посредством специально разработанной разноуровневой системы задач, при построении которой учтены как специфические особенности курса алгебры (конгломератность учебного материала, превалирование компонента «способы деятельности» над компонентом «научные знания», специфика взаимодействия между содержательно-методическими линиями), так и способности учащихся, то это обеспечит дифференциацию указанного процесса, позволит развить у школьников логическое мышление, сформировать у них умение использовать знания в нестандартных ситуациях.

Проблема, цель и гипотеза исследования обусловили следующие частные задачи:

1 ) выявить психолого-педагогические основы учебно-познавательной деятельности учащихся и дидактико-методические особенности обучающей деятельности учителя по формированию умения доказывать в курсе алгебры;

2) определить роль и место доказательства в процессе обучения алгебре;

Теоретико-методологической основой исследования являются труды отечественных и зарубежных философов, психологов, занимавшихся изучением проблем мышления, способностей человека (JI.C. Выготский, Я.И. Груденов, И. Лакатос, З.И. Калмыкова, В.А. Крутецкий, Э.Л. Торндайк, И.С. Якиманская и др.), педагогов и методистов по теории познания, воспитания и обучения (В.А. Далингер, Я.С. Дубнов, Л.Я. Зорина, О.Б. Епишева, Ю.М. Колягин, H.A. Курдюмова, И. Лакатос, H.A. Менчинская, Г.И. Саранцев, З.И. Слепкань, A.A. Столяр и др.). В работе также использованы исследования, посвященные проблеме совершенствования обучения в курсе алгебры (А.Я. Блох, С.Б. Суворова и др.).

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической, методической литературы по проблеме исследования; анализ программ, стандартов и учебных пособий по курсу алгебры средней школы; изучение практики обучения доказательству на уроках алгебры, беседы с учителями и учащимися; анкетирование учителей; констатирующий, поисковый и обучающий эксперименты, статистическая обработка их результатов.

На констатирующем этапе исследования было проведено изучение философской, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, практики преподавания школьного курса алгебры в плане обучения доказательству, анкетирование учителей.

На поисковом этапе уточнялось содержание понятий «обучение доказательству» и «умение доказывать» в школьном курсе алгебры в условиях уров-невой дифференциации; выдвигалась гипотеза исследования, создавалась система задач как методическая основа, соответствующая этому содержанию, и разрабатывалась методика обучения.

На этапе обучающего эксперимента проводилась проверка эффективности построенной системы задач и разработанной методики обучения умению доказывать на основе этой системы.

Теоретическая значимость исследования заключается в следующем:

• с целью реализации уровневой дифференциации, определены уровни овладения умением доказывать в курсе алгебры, что позволяет строить процесс обучения на сочетании репродуктивного и продуктивного видов деятельности учащихся;

1) способствуют мотивации введения теоремы;

2) способствуют поиску закономерности, выдвижению гипотезы;

4) актуализируют теоретические положения, необходимые для построения доказательства теоремы;

6) обеспечивают восприятие идеи доказательства, раскрывают приемы доказательства, подготавливать к восприятию логической структуры доказательства;

7) способствуют распознаванию ситуаций, удовлетворяющих теореме;

8) демонстрируют применение теоремы в стандартных ситуациях;

9) демонстрируют применение теоремы в нестандартных ситуациях;

11) способствуют формированию умения использовать примеры и контрпримеры при доказательстве;

12) способствуют формированию умения опровергать неверные доказательства;

13) раскрывают взаимосвязи изученной теоремы с другими теоремами;

14) направлены на выявление связей между содержательно-методическими линиями курса алгебры;

15) предполагают использование различных форм представления информации, ее перевод из одной формы в другую;

16) направлены на осуществление логической реорганизации учебного материала.

Практическая значимость исследования заключается в следующем:

• разработанные дидактические материалы и методика обучения доказательству в курсе алгебры могут быть использованы авторами учебных пособий по математике, при обучении студентов педвузов теории и методике обучения математике, а также на курсах повышения квалификации учителей математики.

Обоснованность и достоверность результатов обеспечены непротиворечивостью полученных основных результатов положениям, сформулированным в исследованиях психологов, педагогов и методистов, касающихся поставленной проблемы, глубоким анализом научных воззрений на проблему исследования, выбором методов исследования, адекватных поставленным цели и задачам, а также проведением педагогического эксперимента и применением математических методов обработки его результатов.

Апробация и внедрение результатов исследования.

Основные теоретические положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором и обсуждались на заседаниях кафедры методики преподавания математики ОмГПУ (Омск, 1994-1996 гг.), а также докладывались на областной научно-практической конференции «Проблемы развития естественно-математического и профессионального образования» (Омск,

1994 г.), на Герценовских чтениях (С.-Петербург, 1996 г.), на II Всероссийской научно-методической конференции «Образование XXI века: инновационные технологии, диагностика и управление в условиях информатизации и гуманизации» (Красноярск, 2000 г.). По теме исследования имеется 6 публикаций.

Экспериментальная проверка теоретических положений диссертации и их внедрение осуществлялись в 1994-2002 гг. на базе школ №№ 58, 89, 134, 141, 142 г. Омска, а также на занятиях по математике со слушателями подготовительного отделения Омского государственного института сервиса (ОГИС).

Положения, выносимые на защиту.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по главе 2

1. В данной главе представлена реализация требований к системе задач, направленной на обучение доказательству в алгебре, которые были разработаны в первой главе. Показана методика, с помощью которой осуществляется дифференциация процесса обучения доказательству через систему задач различного содержания. Одни задачи разработанной системы направлены на изучение теоретического материала, при решении других задач теоретический материал выступает как средство обоснования решения или определяет способ решения. Показано использование карточек-указаний с целью оказания помощи учащимся при усвоении ими содержания обучения.

2. Описана методика использования различных форм представления учебного материала; методика формирования у учащихся умения переводить информацию, представленную в одной из форм, в другую форму и формирования умения использовать при решении задач явные и неявные геометрические образы.

3. Показано, что при обучении доказательству нестандартные задачи играют значительную роль, поскольку при их решении учащимся необходимо применять большое количество теоретических знаний (определения понятий; теоремы; методы (способы, приемы) решения конкретных классов задач). Показано, каким образом учащимся следует использовать эти знания; представлены обобщенные приемы решения некоторых классов нестандартных задач.

4. Описана методика обучения учащихся методам доказательства, которые включают не только методы, традиционно изучаемые в школе: синтетический, аналитический, от противного, но и такие, как метод перебора, метод конструирования, метод бесконечного исключения и др. Показана деятельность учителя и учащихся по составлению алгоритмических предписаний для проведения доказательства конкретным методом.

5. Описаны организация и проведение педагогического эксперимента, представлены его результаты. Статистическая обработка результатов обучающего эксперимента показала эффективность применяемой методики обучения доказательству.

145

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе диссертационного исследования получены следующие основные результаты и выводы.

1. Анализ научной литературы показывает, что изучены лишь некоторые аспекты проблемы обучения доказательству в школьном курсе алгебры; в практике средней общеобразовательной школы эта проблема не решена, что выражается в неумении большинства учащихся доказывать утверждения, обосновывать свои действия при решении задач; все это и обусловило актуальность данной работы.

2. На основе анализа философской, психолого-педагогической и методической литературы установлено, что психолого-педагогическими основами учебно-познавательной деятельности учащихся в процессе обучения доказательству являются: возрастные особенности (логическое мышление формируется к 7 годам, в 11-15 лет подросток приобретает способность к гипотетико-дедуктивным рассуждениям); математические способности, включающие логический компонент, выражающийся, в частности, в умении проводить доказательные рассуждения; когнитивные, креативные и методологические качества личности ученика; его принадлежность к одному из трех типов в зависимости от преимущественного использования определенной формы теоретического знания (словесной, символической, графической).

3. Выявлено, что дидактико-методические особенности обучающей деятельности учителя в процессе обучения доказательству в курсе алгебры обусловлены особенностями курса алгебры (конгломератность учебного материала, специфика взаимодействия между содержательно-методическими линиями, превалирование компонента «способы деятельности» над компонентом «научные знания», многообразие методов доказательства), а также возрастными и индивидуальными особенностями учащихся.

4. Уточнен категориально-понятийный аппарат, связанный с обучением доказательству в курсе алгебры, а именно: виды определений понятий; правила вывода; методы доказательства, которые включают не только традиционные (синтетический, аналитический, от противного, метод полной индукции), но и ряд других (метод перебора, метод исключения, метод бесконечного исключения, метод конструирования, метод математической индукции, метод малых изменений, геометрический метод).

5. Установлено, что изучение алгебры имеет не меньшие потенциальные возможности в плане обучения доказательству, чем изучение геометрии. Логическая линия пронизывает все содержательно-методические линии курса алгебры, поэтому обучение доказательству следует начинать еще в 5-6 классах на числовом материале и проводить на протяжении всего обучения алгебре. Установлено, что, в силу особенностей предмета алгебры, обучение доказательству следует осуществлять не столько через изучение теории, сколько посредством системы задач.

6. В процессе обучения доказательству учащиеся могут достигать следующие уровни овладения умением доказывать: умение понять доказательство, предложенное учителем; умение повторить готовое доказательство; умение самостоятельно провести доказательство методом, указанным учителем; умение найти ошибку в «доказательстве» софизма; умение самостоятельно найти метод доказательства и применить его. Определены критерии овладения учащимися умением доказывать на каждом из указанных уровней; установлено, что критерии более высокого уровня включают в себя критерии более низкого уровня.

7. Разработаны требования к системе задач, направленной на обучение доказательству в алгебре, реализуемые на всех этапах учебной деятельности учащихся: мотивационно-ориентировочном, исполнительно-операционном и контрольно-оценочном.

8. Разработана разноуровневая система задач, направленная на обучение доказательству в алгебре, и методика ее использования в процессе обучения, которая позволяет дифференцированно строить этот процесс. Основу методики составляет деятельность учителя по формированию у школьников умений использовать различные формы математического языка, составлять и использовать алгоритмические предписания по осуществлению доказательства. Экспериментальная проверка методики в ходе обучающего эксперимента подтвердила ее эффективность.

Таким образом, поставленные в исследовании задачи решены, гипотеза исследования подтверждена.

Исследование проблемы обучения доказательству в курсе алгебры может быть продолжено, в частности, как в направлении совершенствования системы задач, так и установления внутрипредметных связей между алгеброй и геометрией.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Диденко, Ольга Павловна, Омск

1. Айвазян Э.И. Планирование обязательного уровня усвоения методов геометрических доказательств: Автореф. дис. .канд. пед. наук. М., 1986. -15 с.

2. Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред, шк./ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 191 с.

3. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред, шк./ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1994. - 239 с.

4. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред, шк./ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. М.: Просвещение, 1992. - 223 с.

5. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред, шк./ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. М.: Просвещение, 1993. - 254 с.

6. Ананченко К.О. Задания для учащихся 6 кл. (Тождественные преобразования алгебраических выражений).— М., 1978.-21 с.

7. Ананченко К.О. Логические упражнения на алгебраическом материале (задания для учащихся 6-8 кл.). М., 1978. - 32 с.

8. Андреев В.И. Диалектика воспитания и самовоспитания творческой личности. Изд-во Казанского унив-та, 1988. — 238 с.

9. Бабанский Ю.К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе. — М.: Просвещение, 1985. — 208 с.

10. Ю.Батехина Н.В. Совершенствование методики обучения алгебре в 7-9 кл. на основе усиления взаимосвязи формального и содержательного аспектов: Автореф. дис. .канд. пед. наук. -М., 1990. 16 с.

11. П.Баранова И.В., Ляпин С.Е. Задачи на доказательство по алгебре-Л., Учпедгиз, 1954. -160 с.

12. Башмаков М.И., Резник H.A. Развитие визуального мышления на уроках математики // Математика в школе. -№1.-1991- С. 6.

13. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики-М.: Изд-во МГУ, 1981. -215 с.

14. Н.Березин В.Н. Методические функции наглядности в обучении математике: Автореф. дис. .канд. пед. наук. -М., 1975.-29 с.

15. Билибин Н. Алгебра С.-Петербург. Издание И.И. Билибина, 1989 - 582 с.

16. Блинова Н.В. Методика обучению установлению взаимосвязей теоретических знаний и алгебраических задач на этапе поиска решения: Автореф. дис. .канд. пед. наук. Л., 1989. - 16 с.

17. Блох А.Я. Школьный курс алгебры: Методические разработки для слушателей ФПК. Ч. 1. М.: Изд-во МГПИ, 1985. - 92 с.

18. Блох А.Я. Курс алгебры средней школы: Методические разработки для слушателей ФПК. М.: Изд-во МГПИ, 1986. - 80 с.

19. Блох А.Я., Павленкова И.А., Попова Е.К. Некоторые возможности совершенствования учебников алгебры // Математика в школе-1991. №4.-С. 13-16.

20. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие для пед. ин-тов и гос. ун-тов.- 3-е изд.- М.: Учпедгиз, 1954. 504 с.

21. Брадис В.М., Минковский В.Л., Харчева А.К. Ошибки в математических рассуждениях. Пособие для учителей. -М.: Просвещение, 1967. 191 с.

22. Брунер Дж. Психология познания. Пер. с англ. М.: Педагогика, 1977.

23. Брунер Дж. Процесс обучения.-М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. 84 с.

24. Бурда М.И. Формирование у учащихся 4-8 кл. умений доказывать геометрические утверждения: Автореф. дис. .канд. пед. наук. Киев, 1980. - 21 с.

25. Вертгеймер М. Продуктивное мышление: перев. с англ. М.: Прогресс, 1987.-335 с.

26. Волович М.Б. Математика без перегрузок-М.: Педагогика, 1991 144 с.

27. Выготский Л.С. Педагогическая психология. М.: Педагогика, 1991 - 480 с.

28. Ганеев Х.Ж. Теоретические основы развивающего обучения математике в средней школе: Автореф. дис. . .докт. пед. наук. — С.-Петербург, 1997. — 34 с.

29. Гингулис Э.Ж. Развитие математических способностей учащихся // Математика в школе.-1990.-№1.-С. 14-17.

30. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / J1.C. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 5-е изд. - М.: Просвещение, 1995. -335 с.

31. Гнеденко Б.В. Математика в современном мире и математическое образование // Математика в школе-1991. —№1-С. 3.

32. Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем. М.: Просвещение, 1981.- 96 с.

33. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. — М.: Педагогика, 1987 160 с.

34. Губа С.Г. Варьирование задач на доказательство как средство активизации математической деятельности учащихся и развития у них интереса к предмету: Автореф. дис. . .канд. пед. наук. Ярославль, 1972. - 20 с.

35. Гузеев В.В. Лекции по педагогической технологии. М.: Знание, 1992 - 42 с.

36. Далингер В. А. Обучение учащихся доказательству теорем: Учебное пособие.- Омск: Изд-во ОмГПУ, 1990.-127 с.

37. Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике. -М.: Просвещение, 1991 80 с.

38. Далингер В.А. Совершенствование процесса обучения математике на основе целенаправленной реализации внутрипредметных связей.- Омск: Изд-во ОмИПКРО, 1993.-323 с.

39. Далингер В.А. Пропедевтика обучения учащихся доказательству теорем: Книга для учителя/ ОмИПКРО, 1996. 127 с.

40. Далингер В.А., Князева О.О., Муравская О.И. Арифметические прогрессии с переменными разностями: Учебное пособие Омск: Изд-во ОГПУ, 1998. -100 с.

41. Диденко О.П. К вопросу об обучении доказательству в школьном курсе алгебры // Сборник научных работ аспирантов и студентов- Омск: Изд-во ОГПУ, 1995 .-С. 130-132.

42. Диденко О.П. Уровневая дифференциация при обучении доказательству в курсе алгебры // Особенности обучения математике в профильной школе и подготовка учителя к работе в ней: Тезисы докладов на Герценовских чтениях-С.-Петербург: Образование, 1996-С. 19.

43. Диденко О.П. Доказательство и задачи на доказательство в курсе алгебры средней школы: Учебное издание.- Омск: ООИПКРО, 2002. 36 с.

44. Драбкина М.Е. О системе целенаправленных упражнений для формирования некоторых логических понятий при изучении математики в средней школе и педагогическом вузе: Автореф. дис. .канд. пед. наук. Минск, 1971. - 24 с.

45. Дубнов Я.С. Беседы о преподавании математики М.: Просвещение, 1965236 с.

46. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике. М.: Просвещение, 1990.- 128 с.

47. Журавлев И.К. Через доказательства к убеждениям. М.: Знание, 198096 с.

48. Захарова В. Психологические корни логических ошибок учащихся при изучении алгебры в 6-7 кл. : Автореф. дис. .канд. пед. наук. Казань, 1964. -20 с.

49. Иванова Т.А. Теоретические основы гуманитаризации общего математического образования: Автореф. дис. .докт. пед. наук. М., 1998. - 41 с.

50. Ильясов И.И. Структура процесса учения. М.: Изд-во МГУ, 1986 - 200 с.

51. Ительсон Л.Б. Математические и кибернетические методы в педагогике. -М.: Просвещение, 1964.-248 с.

52. Ительсон Л.Б. Психологические теории научения и модели процесса обучения // Советская педагогика. 1973- №3- С. 83-95.

53. Кабанова-Меллер E.H. Роль обобщения в переносе // Вопросы психологии. -1972. -№2- С. 55-56.

54. Калмыкова З.И. Психологичесие принципы развивающего обучения М.: Знание, 1979.- 48 с.

55. Капиносов А.Н. Учись рассуждать: Учебные задания по математике для 4-5 (5-6) кл. М.: 1986.- 15 с.

56. Капиносов А.Н. Обучение доказательным рассуждениям: Методические указания для учителей математики. М.: 1987. - 16 с.

57. Капиносов А.Н. Методика формирования умений проводить доказательные рассуждения при обучении математике в 4-5 (5-6) кл.: Автореф. дис. .канд. пед. наук. М., 1988. - 16 с.

58. Кларин М.В. Педагогическая технология в учебном процессе. М.: Знание, 1989.- 76 с.

59. Козлова Т.А. Дидактические приемы обучения учащихся старших классов знанию взаимосвязи теории и фактов (при изучении естественнонаучных предметов): Автореф. дис. .канд. пед. наук. М., 1978. - 20 с.

60. Колягин Ю.М. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. -М.: Просвещение, 1975. 462 с.

61. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике, ч. 1. М.: Просвещение, 1977.- 110 с.

62. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике, ч. 2. М.: Просвещение, 1977.- 144 с.

63. Комов Н.П. Обучение учащихся доказательству и решению неравенств на геометрическом материале: Автореф. дис. .канд. пед. наук. Ярославль, 1970.- 14 с.

64. Кондрушенко Е.М. Развитие интуиции на уроках стереометрии // Математика в школе.-1991. -№5- С. 14-15.

65. Крупич В.И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе: Методические разработки по спецкурсу для слушателей ФПК. М.: Изд-во МГПИ, 1985. - 118 с.

66. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. -М.: Просвещение, 1968 432 с.

67. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел-М.: Высш. школа,1979. 559 с.

68. Курдюмова H.A. Числовые примеры как способ самоконтроля и развития логического мышления // Математика в школе-1986 №5. - С. 36-40.

69. Курдюмова H.A. Методические функции примеров и контрпримеров в обучении математике (на материале математики 8-9 кл.): Автореф. дис. .канд. пед. наук. М., 1990. - 16 с.

70. Лакатос И. Доказательства и опровержения: Как доказываются теоремы — М.: Наука, 1967.- 153 с.

71. Латотин J1.A. Развитие логического мышления учащихся 4-7 кл. на алгебраическом материале: Автореф. дис. .канд. пед. наук. -М., 1982. 16 с.

72. Лизогуб Т.А. О системе упражнений в курсе алгебры восьмилетней школы: Автореф. дис. .канд. пед. наук. Киев, 1970. - 23 с.

73. Литцман В. Где ошибка? М., Физматгиз, 1962. - 192 с.

74. Маланюк Е.П. Формирование логической грамотности учащихся 1-5 классов в процессе обучения математике: Автореф. дис. .канд. пед. наук. Киев, 1979.-24 с.

75. Маликов Т.С. Логический и индуктивный компоненты в определениях математических понятий // Математика в школе-1987 -№1. С. 44-48.

76. Маликов Т.С. Индуктивные и дедуктивные рассуждения как средство развития активности и критичности мышления учащихся при изучении математики: Автореф. дис. .канд. пед. наук. М., 1990. - 18 с.

77. Малютин Б.И. Формирование теоретического мышления на образной основе // Вопросы психологии 1981.- №10.- С. 90-99.

78. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, A.C. Чесноков, С.И. Шварцбурд- 6-е изд.-М.: Мнемозина, 2000.-384 с.

79. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, A.C. Чесноков, С.И. Шварцбурд- 6-е изд.-М.: Мнемозина, 1998.-304 с.

80. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыги-на. М.: Просвещение, 1998. - 368 с.

81. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват, учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Ша-рыгина. 4-е изд. - М.: Дрофа, 1999. - 416 с.

82. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева.- М.: Дрофа, 1997. 288 с.

83. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева.- М.: Дрофа, 1999. 304 с.

84. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева.- М.: Дрофа, 2000. 352 с.

85. Математика. 6 класс. Часть 2: Дидакт. матер, по курсу математики для 6 кл. ср. шк. / Под ред. Е.Г. Васютиной. СПб., СВЕТ, 1996. - 108 с.

86. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов, т. 2 — Д-Коо. М.: «Советская энциклопедия», 1979. - 1104 столб.

87. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. М.: Советская энциклопедия.- Т. 4.— Ок-Сло.- 1984. - 1216 столб.

88. Марголите П.С. Подготовка учителя к доказательству теорем на уроке // Математика в школе-1985 №2. - С. 25-28.

89. Мартыщук О.И. Доказательства и обобщения в школьном курсе алгебры и элементарных функций: Автореф. дис. . .канд. пед. наук. Киев, 1969. - 28 с.

90. Махмутов М.И. Организация проблемного обучения в школе. Книга для учителей.- М.: Просвещение, 1977 240 с.

91. Менчинская H.A. Проблемы учения и умственного развития школьников-М.: Педагогика, 1989. 224 с.

92. Медведская В.Н. Обучение младших школьников доказательству математических предложений: Автореф. дис. .канд. пед. наук. Минск, 1988. — 16 с.

93. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики- М.: Просвещение, 1969. 303 с.

94. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики.- М.: Школа-пресс, 1995.- 272 с.

95. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл. : Учеб. для общеобразоват. учреждений -2-е изд.-М.: Мнемозина, 1999. 160 с.

96. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл. : Учеб. для общеобразоват. учреждений -М.: Мнемозина, 1998. 237 с.

97. Мордкович А.Г. и др. Алгебра. 9 кл. : Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Е.Е. Тульчинская, Т.Н. Мишустина 2-е изд.- М.: Мнемозина, 2000. - 144 с.

98. Муравин Г.К. Принципы построения системы упражнений по алгебре в неполной средней школе: Автореф. дис. .канд. пед. наук. М., 1990. - 14 с.

99. Недошивкин Е.Ф. Внутрипредметные связи при изучении уравнений и неравенств в курсе математики 4-8 кл.: Автореф. дис. .канд. пед. наук. -М., 1989.- 16 с.

100. Немов P.C. Психология: Учеб. для студ. высш. пед. учеб.заведений. Кн. 3.- М.: ВЛАДОС, 2000. 640 с.

101. Никольская И.Л., Семенов Е.Е. Учимся рассуждать и доказывать: Кн. Для учащихся 6-10 кл. сред. шк. -М.: Просвещение, 1989. 192 с.

102. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк. 2-е изд.- М.: Просвещение, 1990. 304 с.

103. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика: Учеб. для 6 кл. сред. шк. 2-е изд.- М.: Просвещение, 1991. 224 с.

104. Особенности обучения и психического развития школьников 13-17 лет / Под ред. И.В. Дубровиной, Б.С. Кругловой М.: Педагогика, 1988. - 192 с.

105. Оценка сложности учебных математических текстов (сост. Пехлецкая А.Н. и др.). Пермь, 1982. - 41 с.

106. Паламарчук В.Ф. Школа учит мыслить: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1979. - 144 с.

107. Пасечник Я.А. Классификации и их использование в школьном курсе математики: Автореф. дис. . .канд. пед. наук. Киев, 1975. - 34 с.

108. Пестерева В.Л. Формирование исследовательских умений учащихся при изучении функций в курсе алгебры восьмилетней школы: Диссертация . канд. пед. наук. Л., 1987. - 177 с.

109. Петров Ю.А., Столяр A.A. О педагогическом аспекте семиотического анализа вопросов // Логика и проблемы обучения / Под ред. Б.В. Бирюкова и В.Г. Фарбера. М.: Педагогика, 1977. - 216 с.

110. Пивоварук Т.В. Обучение поиску решения нестандартных задач по алгебре в 6-8 кл. : Автореф. дис. .канд. пед. наук. Минск, 1985. - 16 с.

111. Пойа Дж. Математическое открытие М.: Наука, 1976. - 448 с.

112. Пономарева H.H. Реорганизация теоретического учебного материала для обучения поиску решения задач по стереометрии: Автореф. дис. .канд. пед. наук. Л.: Изд-во ЛГПИ, 1989. - 18 с.

113. Притуло Ф.Ф. Математические предложения и методы доказательств в средней школе Дзауджикау, 1952. - 48 с.

114. Психологические особенности систематизации математических понятий: Методические рекомендации в помощь учителям 8-летней школы (сост. И.Д. Пасечник). Ровно, 1977.- 20 с.

115. Пуанкаре А. О науке.- М.: Наука, 1983. 560 с.

116. Пушкина Т.А. О системе школьных задач и психологических принципах ее структурирования // Вопросы психологии 1981 - №2 - С. 111-115.

117. Развитие творческой активности школьников / Под ред. А.М. Матюшки-на.-М.: Педагогика, 1991. 160 с.

118. Рогов Е.И. Психология познания М.: Владос, 1998. -174 с.

119. Родионов М.А. Систематизация знаний учащихся в процессе обучения алгебре (7-9кл.): Автореф. дис. .канд. пед. наук. М., 1990. - 16 с.

120. Салыков С.С. Формирование математических понятий у учащихся 4-5 кл.: Автореф. дис. .канд. пед. наук. Киев, 1987. - 19 с.

121. Саранцев Г.И. Теоретические основы методики упражнений по математике в средней школе: Автореф. дис. .докт. пед. наук. Л., 1987. -36 с.

122. Саранцев Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики // Математика в школе-1995.-№5. С. 36-39.

123. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995.-240 с.

124. Саранцев Г.И. Методика обучения математике на рубеже веков // Математика в школе—2000 №7. - С. 2-5.

125. Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики. М.: Педагогика, 1984. -96 с.

126. Скрыпник Д.А. Математические ошибки в рассуждениях, их предупреждение и методика исправления: Автореф. дис. .канд. пед. наук. Киев, 1971.-24 с.

127. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике: Метод пособие.— Киев: Радянска школа, 1983.— 190 с.

128. Словарь русского языка / Под ред. Н.Ю. Шведовой.-М.: Рус. яз., 1990.921 с.

129. Солодухина H.A. Моделирование как метод обучения физике в средней школе: Автореф. дис. .канд. пед. наук. -М., 1971.-23 с.

130. Солтан Г.Н. Методика обучения доказательству неравенств в курсе математики средней школы: Автореф. дис. . .канд. пед. наук. Минск, 1983. - 16 с.

131. Столяр A.A. Логические конструкции школьной алгебры // Логика и проблемы обучения / Под ред. Б.В. Бирюкова и В.Г. Фарбера. М.: Педагогика, 1977.-216 с.

132. Столяр A.A. О некоторых применениях логики в педагогике математики // Логика и проблемы обучения / Под ред. Б.В. Бирюкова и В.Г. Фарбера. -М.: Педагогика, 1977. 216 с.

133. Стратегия модернизации содержания общего образования: Материалы для разработки документов по обновлению общего образования.- М.: ООО «Мир книги», 2001 95 с.

134. Суворова С.Б. Упражнения в обучении алгебре (6-8 классы): Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1977. - 47 с.

135. Суворова С.Б. Упражнения как средство организации учебной деятельности при обучении алгебре в 6-8 классах: Автореф. дис. .канд. пед. наук. -М., 1982.-24 с.

136. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний.- М.: Изд-во МГУ, 1975.-343 с.

137. Таточенко В.И. Методика формирования у учащихся 6-8 классов приемов умственной деятельности при обучении математике: Автореф. дис. .канд. пед. наук. Киев, 1989. - 19 с.

138. Тимофеева И.Л. Некоторые замечания о методе доказательства от противного // Математика в школе-1994 №3. - С. 36-38.

139. Ткачева М.В. Формирование функциональных умений учащихся в процессе изучения алгебры в средней школе: Автореф. дис. .канд. пед. наук. -М., 1987.- 16 с.

140. Торндайк Э.Л. Вопросы преподавания алгебры. М.: Учпедгиз, 1934192 с.

141. Торндайк Э.Л. Процесс учения у человека.- М.: Учпедгиз, 1935.- 160 с.

142. Тоцки Е. Методические основы локально-дедуктивного обучения геометрии в средних школах: Автореф. дис. .докт. пед. наук. М., 1993. - 32 с.

143. Тригонометрические функции. Дидакт. матер, по курсу алгебры и начал анализа для 10-11 кл. ср. шк. / Под ред. М.И. Башмакова. СПб., СВЕТ, 1997.-66 с.

144. Турсунов Р.К. Формирование знаний учащихся восьмилетней школы о математических понятиях, суждениях и умозаключениях: Автореф. дис. .канд. пед. наук.-Киев, 1984.-21 с.

145. Уемов А.И. Аналогия и учебный процесс // Логика и проблемы обучения. Под ред. Б.В. Бирюкова и В.Г. Фарбера М.: Педагогика, 1977 - 216 с.

146. Унанян Г.М. Проблема повышения эффективности математического аппарата, формируемого у школьника: Автореф. дис. .канд. пед. наук. М., 1982. - 16 с.

147. Уравнения и неравенства. Дидакт. матер, по курсу алгебры и начал анализа для 10-11 кл. ср. шк. / Под ред. М.И. Башмакова. СПб., СВЕТ, 1995. -80 с.

148. Учебные стандарты школ России. Кн.2. Математика. Естественнонаучные дисциплины / Под ред. B.C. Леднева, Н.Д. Никандровой, М.Н. Jla-зутовой. М.: творческий центр «Сфера», «Прометей», 1998 - 336 с.

149. Фрейверт Д.М. Логико-дидактическое исследование доказательств теорем школьного курса геометрии (на материале теорем 6-8 кл.): Автореф. дис. .канд. пед. наук. Минск, 1986. - 18 с.

150. Фридман Л.М., Волков К.Н. Психологическая наука учителю. — М.: Просвещение, 1985 - 224 с.

151. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. 4.1. М.: Просвещение, 1983 - 208 с.

152. Хитрина H.A. О применении контрпримеров // Математика в школе — 1974.-№6.-С. 34-41.

153. Хромой Я.В. Теория неравенств как один из узловых разделов школьного курса математики, ее значение для логического мышления: Автореф. дис. .канд. пед. наук. Киев, 1956. - 12 с.

154. Хуторской A.B. Современная дидактика: Учебник для вузов. СПб: Питер, 2001.-544 с.

155. Чекалева Н.В. Современные теории и технологии образования: Учебное пособие.- Омск: ОмГПУ, 1993. 71 с.

156. Черных Л.А. Совершенствование методики объяснения геометрических понятий и теорем: Автореф. дис. .канд. пед. наук. Киев, 1986. - 20 с.

157. Чукотаев М.Н. Устойчивые ошибки учащихся по алгебре и началам анализа и способы их устранения: Автореф. дис. . .канд. пед. наук. М., 1992. — 23 с.

158. Чуранова Р. Формирование приемов мышления учащихся средней школы: Автореф. дис. .канд. пед. наук. М., 1974. - 24 с.

159. Шеварев Ю.А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьника. -М.: Изд. АПН РСФСР, 1959. 303 с.

160. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. М. Педагогика, 1977.-216 с.

161. Якиманская И.С. Знание и мышление школьника- М.: Знание, 1985.80 с.

162. Ярыгин А.Н. Методика решения уравнений в повторительном курсе ма тематики: Автореф. дис. .канд. пед. наук. М., 1983. - 18 с.162