Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы

Лукьянова, Елена Викторовна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы

Автореферат

Автор научной работы: Лукьянова, Елена Викторовна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Москва
Год защиты: 2008
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы"

На правах рукописи

ЛУКЬЯНОВА Елена Викторовна

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДСТВ ЕСТЕСТВЕННОГО ВЫВОДА ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА МАТЕМАТИКИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания

(математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва - 2008

о О Г • ; 1 ~ ~ ~

003459536

Работа выполнена на кафедре математического анализа математического факультета Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Московский педагогический государственный университет"

Научный руководитель: доктор педагогических наук, доцент

ТИМОФЕЕВА Ирина Леонидовна

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАО,

доктор педагогических наук, профессор САРАНЦЕВ Геннадий Иванович

кандидат педагогических наук, доцент НЕИСКАШОВА Елена Валентиновна

Ведущая организация: ГОУ ВПО "Московский городской

педагогический университет"

Защита диссертации состоится « 20 » февраля 2009 г. в __часов на

заседании Диссертационного совета Д 212.154.18 при ГОУ ВПО "Московский педагогический государственный университет" по адресу: 107140, г. Москва, Краснопрудная ул., д. 14, математический факультет МИГУ, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, Малая Пироговская ул., д. 1.

Автореферат разослан « /5"» иЕи&а.2009 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Одной из наиболее актуальных задач современной общеобразовательной школы является интеллектуальное развитие учащихся. Уровень развития мыслительных способностей учащихся неразрывно связан с умением логически правильно рассуждать. Это дает основание полагать, что одной из основных задач обучения, в первую очередь обучения математике, является развитие логического мышления учащихся.

Логическим проблемам обучения математике в школе и вузе уделяли внимание известные отечественные и зарубежные математики-педагоги, такие как В.Г. Болтянский, A.B. Гладкий, Б.В. Гнеденко, Г.В. Дорофеев, JI.A. Калужнин, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, А.И. Маркушевич, В.Л. Матросов,

A.Г. Мордкович, П.С Новиков, Д. Пойа, Г. Фройденталь, А.Я. Хинчин, Е.А. Щегольков и др. Эти проблемы исследованы в диссертационных работах

B.М. Аганисьян, О.В. Алексеевой, Т.П. Варламовой, М.Е. Драбкиной, В.Г. Ежковой, А.Л. Жохова, В.И. Игошина, A.B. Камышова, А.Н. Капиносова, Т.А. Кондрашенковой, H.A. Курдюмовой, Е.П. Маланюк, Т.С. Маликова, В.Н. Медведской, Г.Л. Муравьевой, И.Л. Никольской, A.A. Столяра, В А. Тестова, И.Л. Тимофеевой, В.М. Туркиной, И.Б. Юдиной и др.

Специалисты в области методики преподавания математики сходятся во мнении, что изучение математики имеет исключительное значение в развитии дедуктивного мышления учащихся в силу той особой роли, которую играют доказательства в математике и в обучении математике. Однако обучение доказательству без объяснения того, как мы доказываем, не позволяет в полной мере использовать возможности этого обучения. Для повышения эффективности обучения доказательству должна быть организована специальная работа по разъяснению того, что такое доказательство и как оно устроено.

Проблемы обучения доказательству в школьном курсе математики исследовали В.М. Брадис, Н.И. Бурда, Н.Я. Виленкин, М.Б. Волович, Ю.А. Глазков, Ф.Н. Грноболин, Я.И. Груденов, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, Я.С. Дубнов, Л.А. Калужнин, Ю.М. Колягин, И. Лакатос, И.Л. Никольская, Б.Д. Пайсон, Д. Пойа, Л.Г. Петерсон, Г.И. Саранцев, З.И. Слепкань, И.М. Смирнова, A.A. Столяр, И.Л. Тимофеева и др.

В диссертационных работах К.О. Ананченко, О.П. Диденко, В.А. Илякова, Л.А. Латотина, О.И. Мартыщук, Г.Н. Солтан и др. предложены различные методики обучения доказательству учащихся средней школы на уроках алгебры. В диссертационных работах Э.И. Айвазяна, Е.Б. Арутюнян, Ю.А. Бурлева, О.Н. Журавлевой, Н.Б. Мурадовой, Е. Тоцки, К.Я. Хабибуллина и др. предложены различные методики обучения доказательству учащихся средней школы на уроках геометрии. .

Несмотря на большое количество работ, посвященных обучению доказательству, возможности использования логических средств в этом обучении недостаточно исследованы. Среди немногих работ, в которых при обучении доказательству предлагается использовать средства математической логики, можно назвать работы A.A. Столяра и И.Л. Тимофеевой.

В исследованиях A.A. Столяра определен комплекс проблем, названных им "логическими проблемами преподавания". Особое внимание в работах A.A. Столяра уделяется обучению дедуктивным выводам, умению осуществлять цепочки дедуктивных умозаключений и т.п. A.A. Столяр предложил методику формирования понятия доказательства. Однако, как отмечают специалисты в области методики преподавания математики, среди которых Л.А. Калужнин я Г.И. Саранцев, указанная методика не привела к успеху. Одной из причин неудач при обучении доказательству но методике A.A. Столяра, по мнению Л.А. Калужнина, И.Л. Тимофеевой и др., было использование понятия' линейного доказательства, В линейном доказательстве предложения - члены доказательства - упорядочены в виде последовательности. Такое упорядочивание членов доказательства не отражает логических взаимосвязей между ними. Л.А. Калужнин высказал предположение: возможно, что для обучения доказательству в школе следовало бы адаптировать нечто близкое естественному выводу, разработанному Г. Генценом.

В настоящее время в математической логике разработаны два основных типа математических моделей доказательств, соответствующих двум типам логических исчислений. Модели первого типа - линейные выводы (выводы в виде последовательности) в аксиоматических исчислениях гильбертовского типа. Модели второго типа - деревья вывода (выводы в виде дерева) в исчислениях ген-ценовского типа (в первую очередь, в системах естественного вывода). В соответствии с этими моделями разработаны дидактические модели понятия доказательства - понятие линейного доказательства (A.A. Столяр) и понятие доказательства в виде дерева (И.Л. Тимофеева).

И.Л. Тимофеевой разработаны теоретические основы использования средств естественного вывода при обучении доказательству: предложена дидактическая модель понятия доказательства - понятие доказательства в виде дерева; проведен анализ методов доказательства и логической структуры доказательства средствами естественного вывода; разработаны логические эвристики построения доказательств.

Несмотря на большое внимание специалистов в области методики преподавания математики к проблеме обучения школьников доказательству, владение учащимися соответствующими умениями и навыками находится, в целом, на недостаточно высоком уровне, что отмечается в многочисленных публикациях. Многие выпускники средней школы:

- не понимают, что такое доказательство, нередко сводят изучение предложенного доказательства к заучиванию его наизусть (В. А. Далингер, Л.Д. Кудрявцев, Г.И. Саранцев, A.A. Столяр и др.);

- не осознают, какие методы используются при построении доказательств, и не могут объяснить их сути (Г.И. Саранцев, A.A. Столяр, И.Л. Тимофеева и др.);

- не умеют строить доказательство: не знают, с чего начать, или, начав построение доказательства, не доводят его до конца (М.Б. Волович, В.А. Далингер, Д. Пойа, И.Л. Тимофеева и др.).

Проведенный анализ литературы по тематике нашего исследования показал, что в настоящее время имеется ряд противоречий, связанных с обучением до-

казательству учащихся средней, в частности основной, школы. Выделим, прежде всего, следующие противоречия:

- между потребностями современного общества в интеллектуально развитых, способных лопино мыслить и доказательно рассуждать выпускниках средней школы и недостаточно высоким реальным уровнем развития у них. указанных качеств;

- между исключительным значением доказательств в обучении математике и недостаточной сформкрованностью у учащихся соответствующих знаний и умений;

- между большим значением логической составляющей обучения доказательству и недостаточным вниманием к ней при традиционном обучении;

- между существованием естественных логических средств обучения доказательству и отсутствием методики использования этих средств в обучении математике в средней школе.

Поскольку наше внимание направлено на основную школу, указанные противоречия позволили сформулировать проблему исследования: какой должна быть методика обучения доказательству учащихся основной школы, использующая средства естественного вывода.

Изучение геометрии вносит основной вклад в формирование понятия доказательства и овладение дедуктивными средствами построения доказательств. Обучение доказательству на уроках геометрии позволяет сочетать формирование у школьников теоретических знаний о математическйх доказательствах с практикой дедуктивных рассуждений. В первые годы обучения геометрии (7-8 классы) учащиеся имеют дело с доказательствами достаточно простой логической структуры, что дает возможность учителю на конкретных примерах формировать у учащихся понятие доказательства и способность к анализу дедуктивных средств, используемых при построении доказательств.

Использование: средств естественного вывода при обучении доказательству открывает широкие возможности в привлечении инновационных технических (компьютерных) средств к этому обучению. Применение компьютера при обучении доказательству позволяет в большей степени опираться на наглядные образы. Более того, появляется возможность моделировать процесс построения доказательства.

Все изложенное подтверждает актуальность научно-методического исследования, посвященного проблеме обучения доказательству с помощью средстз естественного вывода в курсе математики основной школы.

Объектом исследования является процесс обучения доказательству при изучении курса математики основной школы.

Предметом исследования является процесс обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы.

Основная цель исследования состоит в разработке научно-обоснованной методики обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы.

В ходе работы принята следующая гипотеза исследования: использование средств естественного вывода при обучении доказательству учащихся основной школы будет способствовать повышению эффективности этого обучения, а также положительно повлияет на качество обучения математике в целом.

Цель исследования и его гипотеза определили задачи исследования-.

- выявить возможности использования средств естественного вывода в процессе обучения доказательству в школьном курсе математики;

- адаптировать понятие доказательства в виде дерева к школьному курсу математики;

- разработать методику формирования понятия доказательства в виде дерева у учащихся основной школы;

- разработать методику обучения учащихся основной школы анализу логической структуры доказательства;

- выявить возможности использования компьютера при обучении доказательству;

- экспериментально проверить сформулированную гипотезу исследования.

Для решения поставленных задач использованы следующие методы исследования:

- изучение и анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы, а также диссертационных работ, связанных с тематикой данного исследования;

- анализ школьных учебников, учебных пособий, действующих государственных стандартов основного общего образования и полного общего образования, примерных программ по математике для общеобразовательных школ, составленных на основе федерального компонента государственных стандартов;

- посещение и анализ уроков математики в школе, наблюдение за учебным процессом и учебной деятельностью учащихся;

- изучение и анализ письменных работ учащихся по математике, беседы и анкетирование школьников и учителей;

- анализ, сравнение, обобщение и систематизация опыта работы учителей математики Северо-Восточного административного округа г. Москвы и собственного опыта преподавания математики в средней школе;

- педагогический эксперимент по проверке эффективности основных положений исследования и эффективности разработанной методики, статистическая обработка результатов эксперимента.

Научная новшиа исследования заключается в следующем:

- создана концепция обучения доказательству с использованием средств естественного вывода, которая позволяет по-новому оценить возможности использования логических средств при обучении доказательству в курсе математики средней школы;

- предложено представление доказательств в виде дедуктивных схем, являющихся адаптированными к школьному курсу математики моделями доказательств в виде дерева;

- разработана методика использования дедуктивных схем при обучении доказательству учащихся основной школы, а именно: при анализе логической структуры доказательств, построении доказательств, формировании понятия доказательства;

- разработан комплекс дедуктивных задач (логико-ориентированных задач, направленных на формирование дедуктивной деятельности учащихся) и методические рекомендации по их использованию;

- разработаны методические рекомендации по использованию компьютера при

обучении школьников доказательству с помощью средств естественного вывода.

Теоретическая значимость исследования. Разработана концепция обучения учащихся средней школы доказательству с использованием средств естественного вывода, основанная на интегрированном применении следующих психолого-педагогических подходов к обучению: деятельностного, компетентностногс, мо-дельно-наглядного. Разработана адаптированная к школьному курсу математики модель понятия доказательства - понятие дедуктивной схемы доказательства.

Практическая значимость исследования. Разработанные методические материалы и рекомендации могут быть использованы учителями и методистами при обучении доказательству в курсе математики основной школы, а также при подготовке (разработке) факультативов и элективных курсов для учащихся старших классов профильной школы.

Использование, в обучении доказательству разработанных нами дедуктивных схем доказательства и комплекса дедуктивных задач позволяет повысить эффективность формирования дедуктивной деятельности учащихся.

Достоверность результатов исследования обеспечивается согласованностью разработанной методики с достижениями психолого-педагогической науки и исследованиями в области методики преподавания математики; использованием современных методов исследования; адекватностью системы методов цели, задачам и предмету исследования; результатами педагогическог о эксперимента; положительной оценкой разработанных методических материалов учителями, участвующими в эксперименте.

На защиту шносятся следующие положения:

- повышение роли логической составляющей обучения доказательству с помощью средств естественного вывода (прежде всего, особое внимание к формированию понятия доказательства, выявлению и анализу логической структуры простейших шагов доказательства и всего доказательства в целом) способствует повышению эффективности этого обучения;

- применение дедуктивных схем в обучении доказательству способствует более глубокому пониманию учащимися сути методов доказательства и логических взаимосвязей между членами доказательства, а также позволяет опираться на наглядные образы при формировании у учащихся понятия доказательства и при выявлении структуры доказательства;

- использование комплекса дедуктивных задач в процессе обучения доказательству учащихся основной школы способствует более глубокому осознанию учащимися логической структуры изучаемых доказательств, усвоению понятия доказательства, а также позволяет формировать логико-дедуктивные компетенции и развивать дедуктивную рефлексию учащихся;

- использование компьютера при анализе и построении доказательств с помощью средств естественного вывода способствует повышению эффективности обучения доказательству.

разработка содержания элективных курсов и их методического обеспечения; разработка методической системы повышения квалификации учителей математики средних школ, направленной на подготовку учителей к обучению учащихся доказательству с использованием средств естественного вывода.

Апробация и внедрение результатов работы. Содержание, положения и результаты исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях: научной сессии МПГУ по итогам НИР (секция методики преподавания математики) в 2004, 2007, 2008 гг.; XVII Международной конференции "Применение новых технологий в образовании" (Троицк, 2006); XVI Международной электронной научной конференции "Новые технологии в образовании" (Воронеж, 2006); XVIII Международной конференции "Применение новых технологий в образовании" (Троицк, 2007).

В 2007/08 уч. г. для учителей математики на базе ОУМЦ СВАО г. Москвы был прочитан курс повышения квалификации "Использование средств естественного вывода в обучении доказательству учащихся средней школы".

Разработанная нами методика использовалась на уроках математики в 7-9 классах (2005/06 - 2007/08 уч. г.) и на факультативных занятиях для 8 класса (2004/05 уч. г.) в ГОУ СОШ № 1414 г. Москвы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и 13 приложений. Общий объем работы 217 с,, из них 180 с. занимает основной текст, 37 с. - приложения; список литературы содержит 18В наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, определены его предмет и объект, сформулированы цель и гипотеза, указаны задачи и методы исследования, раскрыты практическая и теоретическая значимость, а также его научная новизна, сформулированы положения, выносимые на защиту, приведены сведения об апробации и внедрении результатов исследования.

В первой главе "Теоретические основы обучения доказательству в основной школе" исследованы научно-методические, психолого-педагогические и логико-математические основы обучения доказательству учащихся основной школы, изложена разработанная нами концепция обучения школьников доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики.

В первом параграфе проведен краткий анализ научно-методических исследований по проблеме обучения доказательству. Рассмотрены различные подходы к содержанию понятия общение доказательству.

На основании проведенного анализа к логической составляющей обучения доказательству относим формирование понятия доказательства, обучение логическим методам доказательства, а также обучение следующим видам дедуктивной деятельности: осознанному использованию логических методов доказательства при воспроизведении и самостоятельном построении доказательств, восстановлению пропусков в готовом доказательстве, анализу доказательства как готовой конструкции с целью выявления его логической структуры, анализу фрагментов доказательства для выявления используемых дедуктивных средств, анализу доказательств из учебника, поиску и построению

доказательств с использованием логических эвристик, распознаванию неправильных рассуждений и объяснению сути логических ошибок в них. В этом же параграфе рассмотрены роль интуиции в обучении доказательству и некоторые аспекты проблемы строгости в обучении математике.

Во втором параграфе рассмотрены психолого-педагогические основы обучения доказательству в курсе математики основной школы. Обучение доказательству рассмотрено с позиций деятельностного и компетентностного подходов к обучению.

В этом же параграфе рассмотрены возможности формирования дедуктивной рефлексии учащихся путем использования средств естественного вывода при обучении доказательству, а именно, возможности формирования способностей: осознавать мыслительные действия, которые обеспечивают отдельные шага рассуждения в процессе дедуктивной деятельности, осознавать дедуктивные средства, используемые в том или ином доказательстве, а также осознавать логическую структуру доказательства в целом или его фрагмента.

Кроме того, во втором параграфе рассматриваются роль и функции наглядности в процессе обучения, а также возможности реализации принципа наглядности в процессе обучения доказательству, предоставляемые средствами естественного вывода.

В третьем параграфе изложены логико-математические основы обучения доказательству. С каждым математическим доказательством связано его содержание и логическая структура (форма). Под логической структурой доказательства понимаем характер логических взаимосвязей между членами доказательства. Раскрыть логическую структуру доказательства - значит показать, в соответствии с какими логическими правилами сконструировано доказательство, т.е. выявить логические взаимосвязи между его членами.

Рассмотрены два тина интуитивного уточнения понятия доказательства: линейное доказательство и доказательство в виде дерева; перечислены дидактические преимущества уточнения понятия доказательства как доказательства в виде дерева, выявленные И.Л. Тимофеевой. Одно из наиболее важных преимуществ состоит в том, что представление доказательства в виде дерева позволяет наглядно отразить его логическую структуру.

Приведен список правил естественного вывода (правил построения доказательства), наиболее часто используемых в школьных доказательствах, изложен содержательный смысл этих правил.

В этом же параграфе введено понятие дедуктивной схемы доказательства, являющейся моделью понятия доказательства в виде дерева, адаптированной к школьному курсу математики. Поскольку многие утверждения школьного курса математики, в первую очередь геометрии, трудно записать символически (получаемая запись громоздка и непроста), мы предлагаем использовать модели доказательств в виде дерева, названные нами дедуктивными схемами доказательств. Дедуктивные схемы позволяют отразить древовидную структуру доказательства без использования символической записи участвующих з нем предложений. Под дедуктивной схемой доказательства понимаем условное представление доказательства, в котором с помощью графических средств (рамок и стрелок разного формата) наглядно отражена логическая структура доказательства, а именно: статус членов доказательства, взаимосвязи между членами до-

казательства (предложениями) и, может быть, его фрагментами (вспомогательными рассуждениями), а также обусловленный этими взаимосвязями древовидный порядок членов доказательства.

Различаем два вида дедуктивных схем - полные и краткие. В полной дедуктивной схеме присутствуют все члены доказательства, отражены все логические взаимосвязи между ними, а каждый шаг в доказательстве соответствует какому-то логическому правилу. По сути, полная дедуктивная схема представляет собой доказательство в виде дерева, графически оформленное с помощью рамок и стрелок разного формата. Краткая дедуктивная схема отражает структуру краткого ("свернутого") доказательства, в котором присутствуют переходы энтимемного типа (т.е. переходы, в которых, некоторые предложения опущены).

Сущность доказательства заключается именно в логических взаимосвязях между его -членами. Логическая структура доказательства отражает эти взаимосвязи. При традиционной форме записи содержательных доказательств в виде текста эти связи устанавливаются мысленно, без опоры на наглядные образы. Предлагаемая нами форма представления доказательства в виде дедуктивной схемы позволяет визуализировать логические взаимосвязи между предложениями - членами доказательства. В дедуктивной схеме члены доказательства явным образом упорядочиваются в виде дерева в соответствии с их логическими взаимосвязями. Наш опыт преподавания подтверждает, что использование в обучении дедуктивных схем доказательств наряд.' с традиционной формой записи доказательств способствует повышению эффективности формирования дедуктивной деятельности учащихся.

В четвертом параграфе проЕеден анализ ряда известных школьных учебников математики (5-6) и учебников алгебры и геометрии (7-9). В результате выявлено, что в большинстве из этих учебников практически отсутствует материал логического характера, позволяющий разъяснить учащимся, что такое доказательство и как оно устроено (отсутствует пояснение смысла логических союзов, кванторных слов, логических правил).

В этом же параграфе перечислены некоторые проблемы обучения доказательству, связанные с логической составляющей этого обучения. Нами предложен возможный путь решения этих проблем. Представлена разработанная нами концепция обучения учащихся доказательству с использованием средств естественного вывода. Эта концепция выражается в следующих, положениях.

1. При обучении доказательству необходимо уделять особое внимание логической составляющей обучения доказательству и, прежде всего, формированию понятия доказательства, выявлению и анализу логической структуры простейших шагов доказательства и всего доказательства в пелом.

2. Обучение доказательству с использованием; средств естественного вывода способствует развитию дедуктивной рефлексии учащихся, необходимой для развития их логического мышления.

3. Обучение доказательству на основе теории естественного вывода имеет ряд преимуществ по сравнению с традиционным обучением, математической основой которого является теория линейного вывода. Основными из этих преимуществ являются: естественность нелинейных дидактических моделей математических доказательств - доказательств в виде дерева; наглядность отражения логической

структуры доказательства с помощью его дедуктивной схемы; эврисшчность правил естественного вывода, помогающая осуществлять некоторые шаги построения доказательства; возможность моделирования процесса поиска доказательства.

4. Средства естественного вывода могут служить математической основой:

- формирования понятия доказательства с помощью его дидактической модели -

понятия доказательства в виде дерева;

- обучения дедуктивным средствам и анализу логической структуры

доказательств;

- обучения построению доказательств с использованием эвристических

возможностей правил естественного вывода.

5. Использование дедуктивных схем доказательств способствует реализации принципа наглядности в обучении доказательству, а именно, позволяет визуализировать логические взаимосвязи между членами доказательства и логическую структуру доказательства в целом, а также способствует формированию у учащихся понятия доказательства.

6. Использование при обучении доказательству разработанного комплекса дедуктивных задач позволяет школьникам лучше понимать сущность математических доказательств и их логическую структуру, а также осознавать, какие дедуктивные средства используются в доказательствах.

7. Использование компьютера позволяет моделировать процесс построения доказательства (наглядно отражать динамику этого процесса) и анимировать правила естественного вывода (демонстрировать процесс их использования), что способствует усвоению эвристических возможностей этих правил.

8. Обучение доказательству с использованием средств естественного вывода усиливает познавательную мотивацию и интерес школьншт к изучению доказательств, повышает, эффективность обучения доказательству и математике в целом.

В пятом параграфе первой главы изложены выделенные нами основные этапы рбучения доказательству в основной школе.

На первом этапе (5-6 классы) формируется потребность в построении математических доказательств, осуществляется обучение некоторым логическим правилам построения доказательства, формализующим элементарные шаги доказательства, а также формирование умений, связанных с построением элементарных рассуждений.

На втором этапе (7 класс) осуществляется обобщение и систематизация знаний учащихся о логических правилах доказательства, обучение анализу доказательств для выявления используемых в них дедуктивных средств с помощью представления рассуждений в виде дедуктивных схем и решения дедуктивных задач, формирование умения осознанно воспроизводить готовое доказательство и умения строить доказательства (решать задачи на доказательство), а также формирование интуитивного понятия доказательства с помощью примеров дедуктивных схем наиболее простых по своей логической структуре рассуждений.

На третьем этапе (8 класс) происходиг уточнение понятия доказательства -введение понятия доказательства в виде дерева с использованием дедуктивных схем

доказательств, обучение учащихся работе с доказательствами из учебника, обучение восстановлению пропусков в готовом доказательстве и самостоятельному построению доказательств при решении дедуктивных задач соответствующих типов.

На четвертом этапе (9 класс) осуществляется систематизация и углубление знаний учащихся, полученных ранее, с помощью решения дедуктивных задач, анализа доказательств из учебника и построения дедуктивных схем.

В основу разработанной нами • методики обучения доказательству с использованием средств естественного вывода в курсе математики основной школы положены следующие методические принципы: усиление логической составляющей обучения доказательству, но не в ущерб интуитивной составляющей этого обучения; систематичность и уместность изложения логического материала; разумная логическая строгость; широкое использование средств наглядности в обучении доказательству; интенсивное использование компьютера в этом обучении.

Во второй главе "Методика обучения доказательству учащихся основной школы с использованием средств естественного вывода" изложена разработанная нами методика, реализующая концепцию обучения доказательству учащихся основной школы с использованием средств естественного вывода; описано экспериментальное обучение доказательству по этой методике в рамках педагогического эксперимента; проведен анализ результатов этого обучения. Важными компонентами предложенной методики яшгаотся использование дедуктивных схем доказательств как формы представления доказательств в виде дерева, адаптированной к школьному курсу математики, и специально разработанных дедуктивных задач - логико-ориентированных задач, направленных на формирование дедуктивной деятельности. Отмечены некоторые методические особенности обучения доказательству при изучении алгебры и обоснована ведущая роль изучения геометрии в обучении доказательству.

В первом параграфе второй главы изложены методические аспекты обучения учащихся логическим правилам; методика обобщения и систематизации знаний и умений, связанных с правилами построения доказательств, учащихся 7 класса. Разработанная методика основана на использовании дедуктивных схем при построении и анализе сначала прямых, а затем косвенных рассуждений, т.е. рассуждений, в которых, в отличие от прямых, вывод делается не только из предшествующих предложений, но и из вспомогательных рассуждений.

Во втором параграфе второй главы изложены возможности использования дедуктивных схем в обучении доказательству учащихся основной школы, а именно при обучении анализу логической структуры доказательств и построению доказательств, а также при формировании понятия доказательства у учащихся основной школы.

При использовании представления доказательства в виде дедуктивной схемы важно, как именно учащимся будет представлена эта схема. Дедуктивная схема доказательства должна появляться перед учащимися не в готовом виде, а в процессе ее построения в соответствии с шагами построения доказательства. Построение дедуктивных схем удобно осуществлять с помощью компьютера.

При обсуждении с учащимися идеи доказательства целесообразно построить 1фаткую дедуктивную схему этого доказательства. Затем можно развернуть

некоторые переходы в этой схеме, причем выбор переходов, которые целесообразно "развернуть", зависит от цели урока и математической подготовки учащихся.

Проиллюстрируем сказанное на примере доказательства утверждения из курса алгебры: "Среднее геометрическое двух неотрицательных чисел не превосходит их среднего арифметического". В процессе обсуждения идеи доказательства целесообразно строигь краткую дедуктивную схему, двигаясь "снизу вверх" (рис. 1).

1~(а-Ьу>о]

о2 + 2ab + b2- 4ab > О

а > 0 и Ь > О

{а + ЬУ > 4 аЪ

\a + b>2\'ab \

[а+Ъ

Рис. 1.

> \ab I

В схеме на рисунке 1 условие задачи заключено в рамку с двойной границей, ранее доказанное утверждение заключено в рамку с пунктирной границей.

После обсуждения идеи доказательства целесообразно более подробно обсудить с учащимися некоторые переходы. Например, можно обсудить, почему чтобы обосновать, что одно число больше или равно другому, достаточно обосновать, что их разность больше или равна нулю; почему из обеих частей имеющегося неравенства можно извлечь квадратный корень; почему корень из квадрата суммы чисел а и Ь равен этой сумме. В ходе обсуждения ответов на указанные вопросы полезно по шагам достроить схем}' на рисунке 1 до схемы на рисунке 2.

\(а - Ь)2 > 0 (.............................■■

о___________! .Для любых х и у,;

___ж___, ;если.х-^>0, :

(а + Ь)2 - 4аЬ > 0 [ ;То х>у '

a>0^>jj \{a + bf>4cib\

Для любых X, у, если х > 0, v > б, * > у, то Jx>jy

Для любого х. если х > 0.

\а > 0 ц b > 0 |

\.J(a + bf>sfïâb |

! j(a + b)2

\a + b>2ylab\

Рис.2.

(a + b)/2>Jab

В схеме на рисунке 2 предложение, верное з силу определения, заключено в рамку с точечной границей.

Представление доказательства в виде дедуктивной схемы дает возможностъ наглядно отразить, а значит, лучше проанализировать логическую структуру

доказательства. Дедуктивные схемы доказательств позволяют достаточно полно выявить сущность доказательства, а именно, отразить все виды логической взаимосвязи между членами доказательства. Кроме того, в дедуктивных схемах есть возможность наглядно указать с помощью рамок разного формата статус членов доказательства, что позволяет отразить, на каком основании каждое предложение является членом доказательства, а также способствует более глубокому пониманию связей доказываемого утверждения с определениями и ранее доказанными теоремами.

Формирование понятия доказательства происходит на протяжении всего процесса обучения доказательству. Ввиду сложности этого понятия предлагаем его поэтапное формирование. Для повышения эффективности формирования понятия доказательства предлагаем использовать дедуктивные схемы изучаемых доказательств, поскольку они позволяют наглядно отразить логическую структуру этих доказательств.

При обучении доказательству в 7 классе важно разъяснить учащимся, что математическое доказательство представляет собой текст, главная особенность которого состоит в том, что предложения, из которых он составлен (члены доказательства), логически взаимосвязаны друг с другом. Указанная связь членов доказательства может выражаться словами "предложение такое-то следует из предложений таких-то". При этом следует подчеркнуть, что каждый шаг рассуждения сделан согласно некоторому правилу построения доказательства (логическому правилу). Учащиеся должны понимать, что математические рассуждения бывают прямые и косвенные, а также чем они отличаются.

Разъяснять учащимся, как именно могут быть логически связаны между собой предложения - члены доказательства, целесообразно на конкретных примерах, выбрав для этого наиболее простые по своей логической структуре рассуждения. Считаем, что впервые поставить вопрос о том, что такое доказательство, следует на первых уроках геометрии в 7 классе.

Ввести понятие доказательства в виде дерева можно с помощью построенной на уроке дедуктивной схемы конкретного доказательства. Это удобно сделать при изучении свойств параллелограмма в 8 классе.

Под доказательством в виде дерева понимаем, следуя предложенному И.Л. Тимофеевой определению, упорядоченную в виде дерева систему предложений, в которой каждое исходное предложение является или аксиомой, или предложением, верным в силу определения, или промежуточным допущением, а каждое из остальных предложений следует по какому-либо логическому правилу из непосредственно предшествующих ему предложений и/или вспомогательных рассуждений.

Считаем, что не следует требовать, чтобы учащиеся заучивали определение доказательства в виде дерева. Однако они должны понимать, что доказательство имеет древовидную структуру и все переходы в нем делаются согласно логическим правилам, что члены математического доказательства делятся на исходные предложения и предложения, которые являются следствиями предшествующих, что исходными предложениями могут служить: аксиомы; ранее доказанные теоремы; предложения, верные в силу определения;

промежуточные допущения; условие доказываемой теоремы.

При обучении учащихся работе с доказательствами из учебника, на наш взгляд, необходимо сформировать у них готовность к восстановлению опущенных шагов в доказательствах и обоснованию этих шагов. Каким образом можно организовать работу над доказательствами из учебника, описано в этом же параграфе.

Третий параграф второй главы посвящен использованию дедуктивных задач и вопросов. Для повышения эффективности обучения доказательству предлагаем использовать комплекс специально разработанных нами логико-ориентированных задач и вопросов, направленных на формирование дедуктивной деятельности. Такие задачи и вопросы мы назвали дедуктивными.

Разработанный комплекс содержит задачи, направленные на обучение правилам построения доказательства; формирование понятия доказательства; обучение построению доказательств с использованием логических эвристик; выявление логической структуры доказательств (логических взаимосвязей между членами, статуса исходных предложений); выявление связи понятия доказательства с такими понятиями, как аксиома, теорема; формирование наглядного образа логической структуры изучаемого доказательства в виде дедуктивной схемы.

В этом же параграфе приведены примеры дедуктивных задач и вопросов.

Рассмотрим дедуктивную задачу одного из разработанных типов - задачу, направленную на выявление статуса исходных предложений в доказательстве. Задача. В приведенном доказательстве утверждения "Каким бы ни был равнобедренный треугольник, если один из его углов равен 60°, то треугольник является равносторонним", выявите исходные предложения и укажите, в каком качестве они присутствуют, подчеркнув эти предложения соответствующей линией: допущение; Щ^едложешк,.. веонр.е..в..с шсснрма. или

ранее ЗРЖ1™ная_ теорема.

Комментарий. Далее для экономии места входящий в условие задачи текст доказательства не приводим. Приведем только часть решения задачи, представляющую собой фрагмент доказательства, в котором каждое исходное предложение уже подчеркнуто соответствующей линией.

Решение. Пусть АЛВС - произвольный равнобедренный треугольник. Допус^ тим. что один из углов треугольника ЛВС тавщ 6.0!, Тогда угол при основании треугольника ABC равен 60° или угол при вершине треугольника ABC равен 60°. Рассмотрим каждый из этих случаев.

1. Допустим» угоддри основании равнобедренной треугольника ABC равен 6££. В любо^раытобефжномл^угольнике^гаы при осн<жании_равны. Следовательно, другой угол при основании треугольника ABC также равен 60°. Сумма, углов шобоготреугрлщщи равна 180°. Получаем, что третий угол треугольника ЛВС также равен 60°, а значит, в треугольнике ABC все углы равны. Т.Е'еугЖь.-: нйкхкоторга;^ Следовательно, в этом случае

треугольник ABC является равносторонним [далее фрагмент опущен]. •

Решение задач по выявлению исходных предложений в полном тексте доказательства способствует усвоению учащимися того, как устроено доказательст-

во, и формированию понятия доказательства, а также позволяет выявить связь рассматриваемой теоремы с другими теоремами, доказанными ранее.

В третьем параграфе проведена классификация дедуктивных задач, основу которой составляет характер требования в задаче. Выделено восемь типов дедуктивных задач: распознавание правил построения доказательства (прямых или косвенных) в данном доказательстве или его фрагменте; восстановление посылок; выведение заключения из заданных предложений; определение статуса предложений - членов доказательства; восстановление пропусков в доказательстве; выявление логической структуры доказательства или его фрагментов; распознавание правильности рассуждений; построение доказательства (логико-ориентированное с помощью дедуктивных вопросов).

Кроме того, выделены типы дедуктивных вопросов, а именно: вопросы, связанные с построением (восстановлением) начала доказательства; вопросы, связанные с выведением заключения из заданных предложений и/или вспомогательных рассуждений; вопросы, связанные с использованием логических эвристик, позволяющих сводить задачу на доказательство данного утверждения к более простой задаче (более простым задачам) на доказательство.

В четвертом параграфе описаны возможности использования компьютерных презентаций при построении дедуктивных схем доказательств, изложен ряд соответствующих методических рекомендаций. Рассмотрены некоторые возможности использования компьютерных презентаций при обучении учащихся правилам построения доказательства. При обучении учащихся дедуктивным (логическим) эвристикам важно, чтобы школьники воспринимали правила построения доказательства не в застывших формам, а в процессе их использования. Для этого нужно отразить сам процесс их использования, отразить, что одни правила удобно использовать для нисходящих шагов построения доказательства, а другие - для восходящих шагов. Изложены рекомендации по моделированию процесса дедуктивного рассуждения с помощью компьютера. Дискретность процесса рассуждения позволяет зафиксировать на слайдах элементарные шаги рассуждения. Анимация (движение, выделение) предложений, используемых на обсуждаемом шаге доказательства, визуализирует этот шаг и процесс построения доказательства в целом.

В пятом параграфе описан ход экспериментального обучения по разработанной методике, а также проведен анализ результатов этого обучения.

Педагогический эксперимент проводился на базе ГОУ СОШ №1414 г. Москвы с 2002 г. по 2008 г. в соответствии с целями и задачами исследования и состоял из следующих этапов: констатирующего (2002/03 уч.г.); поискового (2003/042004/05 уч.гг.); обучающего и контролирующего (2005/06-2007/08 уч.гг.).

На констатирующем этапе решались следующие задачи: анализ психолого-педагогической, методической и учебной литературы с целью выявления возможностей и путей решения проблемы обучения доказательству учащихся средней школы; анализ сформированное™ дедуктивной деятельности учащихся 9 классов средней школы №1414 г.Москвы; изучение и обобщение опыта обучения учащихся доказательству учителей математики Северо-Восточного административного округа г. Москвы, прежде всего учителей ГОУ СОШ №1414; накоп-

ление и анализ собственного преподавательского опыта в ГОУ СОШ Л91414. В ходе констатирующего этапа было подтверждено, что многие учащиеся не понимают, что такое доказательство; не знают основных методов доказательства; испытывают трудности при решении задач на доказательство. В результате этого этапа эксперимента мы убедились в необходимости совершенствования методики обучения доказательству учащихся основной школы.

На поисковом этапе решались следующие задачи: выявление возможностей использования средств естественного вывода для совершенствования методики обучения учащихся доказательству; адаптация модели понятия доказательства в виде дерева к условиям школьного курса математики - разработка понятия дедуктивной схемы доказательства; разработка специальных логико-ориентированных (дедуктивных) задач и вопросов, а также методических рекомендаций по их использованию в процессе формирования у учащихся дедуктивной деятельности; выявление возможностей использования компьютера в процессе формирования у учащихся дедуктивной деятельности. На этом этапе эксперимента в рамках факультативного курса для учащихся 8 класса (2003/04 уч. г.) была проведена частичная опытная проверка разработанной методики формирования дедуктивной деятельности учащихся с использованием дедуктивных задач и вопросов и последующая корректировка этой методики.

Основной задачей обучающего 1-1 контролирующего этапов эксперимента является экспериментальная проверка гипотезы исследования. Для проверки сформулированной гипотезы было организовано экспериментальное обучение учащихся ГОУ СОШ №1414 г.Москвы. Экспериментальное обучение учащихся по разработанной методике проводилось на протяжении двух лет в одной и той же экспериментальной группе: сначала в 7 классе, затем в 8 классе (2005/06, 2006/07 уч. ц\). На следующий учебный год (2007/08 уч. г.) было проведено анкетирование учащихся экспериментальной (ЭГ) и контрольной (КГ) групп с целью выяснения их интереса к доказательствам, а также их опенки тех трудностей, которые возникали у них при построении доказательств.

Анализ качества знаний учащихся ЭГ и КГ показал, что в ЭГ стартовый уровень математической подготовки школьников ниже, чем е КГ. Анализ эффективности экспериментального обучения производился на основе изучения динамики успеваемости и качества знаний учащихся на протяжении двух лет. Показатели качества знаний учащихся до начала экспериментального обучения: ЭГ - 54%, КГ - 57% (6 класс, годовые отметки по математике); и после его окончания: ЭГ - 65%, КГ - 61% (8 класс, годовые отметки по геометрии).

Сформированность у учащихся умения строить несложные доказательства проверялась с помощью двух диагностических работ, содержащих задачи на доказательства из плановых контрольных работ, предложенных в учебном пособии В.И. Жохова и др. В формулировки задач для ЭГ были добавлены задания, логически ориентирующие эти задачи. Сравнительный анализ результатов диагностических работ показал, что уровень усвоения знаний и умений в ЭГ выше, чем в КГ. В таблице 1 приведены результаты этих работ.

Табл. 1.

№ работы "^^Отметка Группа "2" "3" »4" "5"

1 ЭГ п 7 12 5

КГ 6 11 5 1 1

ЭГ 2 6 12 6

КГ 6 10 6 1

Статистическая обработка результатов выполнения диагностических работ осуществлялась на основе критерия Гипотеза исследования статистически подтверждается результатами ,диагностических работ на уровне значимости 0,05. Таким образом, эксперимент подтвердил повышение эффективности формирования дедуктивной деятельности учащихся основной школы в результате использования средств естественного вывода в процессе обучения доказательству.

В заключении сформулированы основные результаты исследования и намечены перспективы дальнейших исследований. В ходе теоретико-экспериментального исследования получены следующие основные результаты,

1. Разработана концепция обучения школьников доказательству с использованием средств естественного вывода и методика, реализующая эту концепцию при обучении доказательству (а именно, при обучении анализу логической структуры доказательств и построению доказательств, а также при формировании понятия доказательства).

2. Адаптировано к школьному курсу математики понятие доказательства в виде дерева - разработано понятие дедуктивной схемы доказательства, а также разработана методика использования дедуктивных схем при обучении доказательству в процессе изучения математики в основной школе.

3. Разработан комплекс специальных логико-ориентированных (дедуктивных) задач и вопросов, направленных на формирование дедуктивной деятельности учащихся. Приведена классификация дедуктивных задач и вопросов.

4. Разработаны методические рекомендации по использованию компьютера при обучении школьников доказательству по разработанной методике.

5. Педагогический эксперимент подтвердил возможность и доступность обучения доказательству с помощью средств естественного вывода при изучении математики в основной школе; показал повышение эффективности этого обучения при использовании дедуктивных задач и дедуктивных схем в процессе обучения.

Таким образом, в ходе проведенного исследования решены все поставленные задачи и подтверждена выдвинутая гипотеза исследования.

В приложениях приведены анкеты для учителей и учащихся, программа факультативного курса для 8 класса, примеры дедуктивных задач и дедуктивных схем доказательств, варианты диагностических работ, результаты экспериментального обучения, представленные в форме диаграмм и таблиц.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИСЕРТАЦИИ

1. Лукьянова, Е.В. Концепция обучения доказательству учащихся средней школы с использованием средств естественного вывода [Текст] / Е.В. Лукьянова, И.Л. Тимофеева // Педагогическое образование и наука. - 2008 -№ 9. - С. 51-54. - 0,25 п.л. (Авторский вклад 50%)

2. Лукьянова, Е.В. Несколько замечаний к формулировке и доказательству леммы о коллпнеарных векторах [Текст] / Е.В. Лукьянова // Математика в школе. - 2007. - № 8. - С. 16-21. - 0,63 п.л.

3. Лукьянова, Е.В. Дедуктивные схемы доказательств в обучении геометрии учащихся средней школы [Текст] / Е.В. Лукьянова, И.Л. Тимофеева // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе: Сборник материалов по теории и методике обучения математике. Вып. 13. - М.: МПГУ. 2008. - С. 82-86. - 0,31 п.л. (Авторский вклад 50%)

4. Лукьянова, Е.В. Дедуктивные задачи как средство обучения доказательству учащихся средней школы [Текст] / Е.В. Лукьянова, И.Л. Тимофеева // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе: Сборник материалов по теории и методике обучения математике. Вып. 13. - М: МПГУ, 2008. - С. 77-81. - 0,31 п.л. (Авторский вклад 50%)

5. Лукьянова, Е.В. О логической структуре одного из утверждений курса геометрии [Текст] / Е.В.Лукьянова /7 Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования. - М.: Прометей, 2007. - С. 262-266. - 0,31 п.л.

6. Лукьянова, Е.В. Моделирование элементарных рассуждений с помощью программы Power Point [Текст] / Е.В. Лукьянова, И.Л. Тимофеева Н Сб. материалов XVII Международной конференции «Применение новых технологий в образовании» - Троицк, 2006. - С. 236-238. - 0.12 п.л. (Авторский вклад 50%)

7. Лукьянова, Е.В. Использование компьютера при изучении математических доказательств в средней школе [Текст] /' Е.В. Лукьянова // Сб. материалов XVIII Международной конференции «Применение новых технологий в образовании» -Троицк, 2007. - С. 181-183. - 0,12 п.л.

8. Лукьянова, Е.В, О наглядном представлении методов доказательства при обучении математике в средней школе [Текст] / Е.В. Лукьянова, Т.В. Лоцманова // Научная жизнь. - 2008 г. - № 5. - С. 122-126. - 0,59 п.л. (Авторский вклад 50%)

9. Лукьянова, Е.В. О методике обучения правилам построения доказательств учащихся 5-6 классов [Текст] / Е.В. Лукьянова, Т.В. Лоцманова // Вестник развитая науки и образования. - 2008 г. - № 5. - С. 124-128. - 0,59 п.л. (Авторский вклад 50%)

10. Лукьянова, Е.В. Логические ошибки в доказательствах геометрических предложений, связанные с чертежом [Текст] / Е.В. Лукьянова // Научно-технический жз'рнат "Новые технологии в образовании" (по итогам XVI Международной электронной научной конференции). - 2006. 3. - С. 33-35. - 0,15 пл.

11. Лукьянова, Е.В. О понимании равенства в школьном курсе геометрии и связанных с ним утверждениях [Текст] / Е.В. Лукьянова // Научно-технический журнал "Образовательные технологии". -2006. -ХаЗ.-С. 35-38. - 0,21 п.л.

12. Лукьянова, Е.В. С) логической структуре доказательства теоремы Чевы [Текст] / Е.В.Лукьянова Н Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математическою образования. -М.: Прометей, 2004. - С. 266-268. - 0,19 п.л.

13. Лукьянова, Е.В. Один из способов повышения вероятности истинности вывода по аналогии [Текст] / Е.В. Лукьянова, Н.И. Чкканиева /7 Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования. - М.: Прометей, 2004. - С. 568-570. - 0,19 пл. (Авторский вклад 50%)

Подп. к печ. 26.12.2008 Объем 1 п.л. Заказ №. 120 Тир 100 экз. Типография МИГУ

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Лукьянова, Елена Викторовна, 2008 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения доказательству в основной школе.

§1. Обучение доказательству как предмет исследования.

§2. Психолого-педагогические основы обучения доказательству.

§3. Логико-математические средства обучения доказательству.

§4. Некоторые логические проблемы обучения доказательству в школе и возможный путь их решения.

§5. Принципы обучения доказательству в курсе математики основной школы

ГЛАВА 2. Методика обучения доказательству учащихся основной школы с использованием средств естественного вывода.

§ 1. Методические особенности обучения учащихся правилам построения доказательства с помощью дедуктивных схем.

§2. Методика использования дедуктивных схем при обучении доказательству учащихся 7-8-х классов.

§3. Использование дедуктивных задач при обучении доказательству учащихся основной школы.

§4. Использование компьютера в обучении доказательству.

§5. Организация и результаты педагогического эксперимента.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы"

Одной из наиболее актуальных задач современной общеобразовательной школы является интеллектуальное развитие учащихся. Уровень развития мыслительных способностей учащихся неразрывно связан с умением правильно рассуждать, то есть рассуждать в соответствии с логическими правилами. Это дает основание полагать, что одной из основных задач обучения, в первую очередь обучения математике, является логическая подготовка учащихся, развитие их дедуктивного мышления.

Логическим проблемам обучения математике в школе и вузе уделяли внимание крупные отечественные и зарубежные математики-педагоги, такие как В.Г. Болтянский, A.B. Гладкий, Б.В. Гнеденко, Г.В. Дорофеев, JI.A. Калужнин, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, А.И. Маркушевич, В.Л. Матросов, А.Г. Мордкович, Д. Пойа, Г. Фройденталь, А .Я. Хинчин и др.

Некоторые логические аспекты математической подготовки учащихся затронуты в докторских диссертациях А.Л. Жохова, В.А. Тестова, А.Х. Назиева и др.

Проблемы обучения доказательству в школьном курсе математики исследовали Э.И. Айвазян, В.М. Брадис, Н.И. Бурда, Н.Я. Виленкин, М.Б. Волович, Ю.А. Глазков, Ф.Н. Гоноболин, Я.И. Груденов, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, Я.С. Дубнов, Л.А. Калужнин, Ю.М. Колягин, И. Лакатос, И.Л. Никольская, Б.Д. Пайсон, Д. Пойа, Л.Г. Петерсон, Г.И. Саранцев, З.И. Слепкань, И.М. Смирнова, A.A. Столяр, Е. Тоцки, И.Л. Тимофеева,

В.М. Туркина и др. Эти проблемы затронуты в диссертационных работах, посвященных логической подготовке школьников (В.М. Аганисьян, Т.П. Варламова, М.Е. Драбкина, В.Г. Ежкова, H.A. Курдюмова, Т.С. Маликов, И.Л. Никольская, A.A. Столяр, В.М. Туркина, И.Б. Юдина и др.), в том числе младших школьников (О.В. Алексеева, А.Н. Капиносов, Т.А. Кондрашенкова, Е.П. Маланюк, В.Н. Медведская, Г.Л. Муравьева и др.).

В диссертационных работах К.О. Ананченко, О.П. Диденко, В.А. Иля-кова, JI.A. Латотина, О.И. Мартыщук, Б.Д. Пайсона, Г.Н. Солтан и др. предложены различные методики обучения доказательству учащихся средней школы на уроках алгебры. В диссертационных работах Э.И. Айвазяна, Е.Б. Арутюнян, Ю.А. Бурлева, О.Н. Журавлевой, Н.Б. Мурадовой, Е. Тоцки, К.Я. Хабибуллина и др. предложены различные методики обучения доказательству учащихся средней школы на уроках геометрии.

В исследованиях A.A. Столяра определен комплекс проблем, названных им "логическими проблемами преподавания". Особое внимание в работах A.A. Столяра уделяется обучению дедуктивным выводам, умению осуществлять цепочки дедуктивных умозаключений и т.п. A.A. Столяр предложил методику формирования понятия доказательства, однако, как отмечают многие специалисты в области методики преподавания математики, например Г.И. Саранцев и Л.А. Калужнин, указанная методика не привела к успеху. Одной из причин неудач при обучении доказательству по методике A.A. Столяра, по мнению Л.А. Ка-лужнина, И.Л. Тимофеевой и др., было использование понятия линейного доказательства. В линейном доказательстве предложения — члены доказательства - упорядочены в виде последовательности. Такое упорядочивание членов доказательства не отражает логических взаимосвязей между ними. Л.А. Калужнин высказал предположение: возможно, что для обучения доказательству в школе следовало бы адаптировать нечто близкое естественному выводу, разработанному Г. Генценом.

В настоящее время в математической логике разработаны два основных типа математических моделей доказательств, соответствующих двум типам логических исчислений. Модели первого типа - линейные выводы (выводы в виде последовательности) в аксиоматических исчислениях гильбертовского типа. Модели второго типа - деревья вывода (выводы в виде дерева) в исчислениях генценовского типа (в первую очередь, в системах естественного вывода). В соответствии с этими моделями разработаны дидактические модели понятия доказательства — понятие линейного доказательства (A.A. Столяр) и понятие доказательства в виде дерева (И.Л. Тимофеева).

И.Л. Тимофеевой разработаны приложения теории естественного вывода к обучению доказательству: предложена дидактическая модель понятия доказательства - понятие доказательства в виде дерева; проведен анализ методов доказательства и логической структуры доказательства средствами естественного вывода; разработаны логические эвристики построения доказательств. Однако исследования И.Л. Тимофеевой в направлении обучения доказательству учащихся средней школы имеют в основном теоретический характер и их полная проверка в средней школе не проводилась.

- не понимают, что такое доказательство, нередко сводят изучение предложенного доказательства к заучиванию его наизусть (В.А. Далингер, Л.Д. Кудрявцев, Г.И. Саранцев, A.A. Столяр и др.);

Проведенный анализ литературы по тематике нашего исследования показал, что в настоящее время имеется ряд противоречий, связанных с обучением доказательству учащихся средней, в частности основной, школы. Выделим, прежде всего, следующие противоречия:

- между потребностями современного общества в интеллектуально развитых, способных логично мыслить и доказательно рассуждать выпускниках средней школы и недостаточно высоким реальным уровнем развития у них указанных качеств;

- между исключительным значением доказательств в обучении математике и недостаточной сформированностью у учащихся соответствующих знаний и умений;

Изучение геометрии вносит основной вклад в формирование понятия доказательства и овладение дедуктивными средствами построения доказательств. Обучение доказательству на уроках геометрии позволяет сочетать формирование у школьников теоретических знаний о математических доказательствах с практикой дедуктивных рассуждений. В первые годы обучения геометрии (7-8-е классы) учащиеся имеют дело с доказательствами достаточно простой логической структуры, что дает возможность учителю на конкретных примерах формировать у учащихся понятие доказательства и способность к анализу дедуктивных средств, используемых при построении доказательств.

Использование средств естественного вывода при обучении доказательству открывает широкие возможности в привлечении инновационных технических (компьютерных) средств к этому обучению. Применение компьютера при обучении доказательству позволяет в большей степени опираться на наглядные образы. Более того, появляется возможность моделировать процесс построения доказательства.

Все изложенное подтверждает актуальность научно-методического исследования, посвященного проблеме обучения доказательству с помощью средств естественного вывода в курсе математики основной школы.

Цель исследования и его гипотеза определили задачи исследования:

- адаптировать понятие доказательства в виде дерева к школьному курсу математики;

- разработать методику формирования понятия доказательства в виде дерева у учащихся основной школы;

- разработать методику обучения учащихся основной школы анализу логической структуры доказательства;

- выявить возможности использования компьютера при обучении доказательству;

- экспериментально проверить сформулированную гипотезу исследования.

Для решения поставленных задач использованы следующие методы исследования:

- изучение и анализ письменных работ учащихся по математике, беседы и анкетирование школьников и учителей;

- обобщение и систематизация опыта работы учителей математики СВАО г. Москвы и собственного опыта преподавания математики в средней школе;

Научная новизна исследования заключается в следующем:

- разработаны методические рекомендации по использованию компьютера при обучении школьников доказательству с помощью средств естественного вывода.

Теоретическая значимость исследования. Разработана концепция обучения учащихся средней школы доказательству с использованием средств естественного вывода, основанная на интегрированном применении следующих психолого-педагогических подходов к обучению: деятельностного, компетентностного, мо-дельно-наглядного. Разработана адаптированная к школьному курсу математики модель понятия доказательства - понятие дедуктивной схемы доказательства.

Практическая значимость исследования. Разработанные методические материалы и рекомендации могут быть использованы учителями и методистами при обучении доказательству в основной школе в курсе математики, а также при подготовке (разработке) факультативов и элективных курсов для учащихся старших классов профильной школы.

Использование в обучении доказательству разработанных нами дедуктивных схем доказательства и комплекса дедуктивных задач позволяет повысить эффективность формирования дедуктивной деятельности учащихся.

Достоверность результатов исследования обеспечивается согласованностью разработанной методики с достижениями психолого-педагогической науки и исследованиями в области методики преподавания математики; использованием современных методов исследования; адекватностью системы методов цели, задачам и предмету исследования; результатами педагогического эксперимента; положительной оценкой разработанных методических материалов учителями, участвующими в эксперименте.

На защиту выносятся следующие положения:

Дальнейшим продолжением работы может служить разработка методики обучения школьников дедуктивным средствам, используемым в математических доказательствах в рамках школьного курса математики (10-11-е классы); разработка содержания элективных курсов и их методического обеспечения; разработка методической системы повышения квалификации учителей математики средних школ, направленной на подготовку учителей к обучению учащихся доказательству с использованием средств естественного вывода.

Апробация и внедрение результатов работы. Содержание, положения и результаты исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях: научная сессия МПГУ по итогам НИР (секция методики преподавания математики) в 2004, 2007, 2008 гг.; XVII Международная конференция "Применение новых технологий в образовании" (Троицк, 2006 г.); XVI Международная электронная научная конференция "Новые технологии в образовании" (Воронеж, 2006 г.); XVIII Международная конференция "Применение новых технологий в образовании" (Троицк, 2007 г.).

В 2007/08 уч. г. для учителей математики на базе ОУМЦ СВАО г. Москвы был прочитан краткий курс повышения квалификации: "Использование средств естественного вывода в обучении доказательству учащихся средней школы".

Разработанная нами методика использовалась на уроках математики в 7-9-х классах (2005/06 - 2007/08 уч. г.) и на факультативном курсе для 8-го класса (2004/05 уч. г.) в ГОУ СОШ № 1414.

Структура и основное содержание диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и 13 приложений.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Основные выводы и результаты теоретической и экспериментальной частей диссертационного исследования заключаются в следующем.

1. Разработана концепция обучения школьников доказательству с использованием средств естественного вывода. Ведущая идея разработанной концепции состоит в следующем: при обучении доказательству в школьном курсе математики принципиально важно особое внимание уделять логическим средствам построения доказательств, сущности математических доказательств и их логической структуре, что наиболее эффективно осуществляется при использовании в обучении средств естественного вывода. Разработана методика обучения доказательству учащихся основной школы, реализующая эту концепцию.

2. Адаптировано к школьному курсу математики понятие доказательства в виде дерева - разработано понятие дедуктивной схемы доказательства. Дедуктивные схемы позволяют отражать древовидную структуру доказательства, что способствует реализации принципа наглядности при обучении учащихся доказательству. Разработана методика использования этих схем при обучении доказательству в курсе математики в основной школе, а именно при обучении анализу логической структуры доказательств и построению доказательств, а также при формировании понятия доказательства у учащихся основной школы.

3. Разработан комплекс специальных логико-ориентированных (дедуктивных) задач и вопросов, направленных на формирование дедуктивной деятельности учащихся. Этот комплекс содержит задачи, способствующие формированию понятия доказательства; выявлению логической структуры доказательств, в частности логических взаимосвязей между членами, статуса исходных предложений; выявлению связи понятия доказательства с такими понятиями, как аксиома, теорема; формированию наглядного образа логической структуры изучаемого доказательства в виде дедуктивной схемы. Приведена классификация дедуктивных задач и вопросов.

4. Разработаны методические рекомендации по моделированию процесса дедуктивного рассуждения с помощью компьютера. Дискретность процесса рассуждения позволяет зафиксировать на слайдах элементарные шаги рассуждения. Анимация предложений (движение и выделение предложений цветом или "миганием"), используемых на обсуждаемом шаге доказательства, визуализирует этот шаг и процесс построения доказательства в целом. Разработаны методические материалы в электронном виде для использования компьютера при обучении доказательству.

5. Педагогический эксперимент подтвердил возможность и доступность обучения доказательству учащихся основной школы с помощью средств естественного вывода; показал повышение эффективности обучения доказательству благодаря использованию дедуктивных задач и дедуктивных схем, и, как следствие, повышение эффективности обучения математике в целом.

Полученные результаты открывают перспективу дальнейшего исследования возможностей применения средств естественного вывода в обучении доказательству учащихся 10-11-х классов, при разработке и проведении факультативных и элективных курсов. Перспективна также разработка методики повышения квалификации учителей математики в области обучения доказательству учащихся средней школы с использованием средств естественного вывода.

Результаты и экспериментальная часть проведенного исследования позволяют сделать вывод о том, что все поставленные задачи решены, выдвинутая гипотеза подтверждена, положения, выносимые на защиту, обоснованы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Лукьянова, Елена Викторовна, Москва

1. Аганисъян, В.М. Эвристические методы обучения и развития познавательных интересов учащихся вечерних школ (на материале решения задач на доказательство): дис— канд. пед. наук / В.М. Аганисьян. Алма-Ата, 1975. -197 с.

2. Айвазян, Э.И. Планирование обязательного уровня усвоения методов геометрических доказательств: автореф. дис. канд. пед. наук. — М, 1986. — 15с.

3. Александров, А.Д. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / А.Д. Александров, A.JI. Вернер, В.И. Рыжик. 3-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 2003. - 272 с.

4. Алексеева, О.В. Логическая подготовка младших школьников при обучении математике: дис. канд. пед. наук / О.В. Алексеева. — М.: 2000. 243 с.

5. Арутюнян, Е.Б. Обеспечение пропедевтики аксиоматического метода (на примере преподавания темы векторы): автореф. дис. . канд. пед. наук / Е.Б. Арутюнян. М., 1981. - 17 с.

6. Асмус, В. Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении / В.Ф. Асмус. -М.: Госполитиздат, 1954.-89 с.

7. Атанасян, JJ.C. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев. М.: Просвещение, АО "Московские учебники", 1998. - 335 с.

8. Балк, ГД. О применении эвристических приемов в школьном преподавании математики / Г.Д. Балк // Математика в школе. 1969. - №5. - С. 21-28.

9. Башмаков, М.И. Алгебра: Учеб. для 7 кл. (8 кл., 9 кл.) общеобразоват. учреждений / М.И. Башмаков. М.: Просвещение. - 2003. - 320 с. (2004. -287 е.; 2005.-304 с.)

10. Башмаков, М.И. Изучение алгебры в 7-9 кл.: кн. для учителя / М.И. Башмаков. М.: Просвещение, 2007. - 207 с.

11. Башмаков, М.И. Развитие визуального мышления на уроках математики / М.И. Башмаков, H.A. Резник // Математика в школе. 1991. - №1. - С. 4-8.

12. Безумова, О.Л. Построение логической составляющей пропедевтического курса геометрии: автореф. дис. . канд. пед наук / О.Л. Безумова. СПб.,2004.-18с.

13. Бескин, Н.М. Аксиоматический метод / Н.М. Бескин // Математика в школе. — 1993. -№ 3 (№ 4) С. 25-30 (С. 48-54).

14. Бескин, Н.М. Методика геометрии с приложением главы «Методика преподавания наглядной геометрии A.M. Астряба» / Н.М. Бескин. М.: Учпедгиз, 1947.-274с.

15. Беспалъко, В.П. Слагаемые педагогической технологии / В.П. Беспалько. -М.: Педагогика, 1989. 192 с.

16. Богоявленский, Д.Н Психология усвоения знаний в школе. / Д.Н. Богоявленский, Н.А. Менчинская. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. -132 с.

17. Болтянский, В.Г. Формула наглядности: изоморфизм + простота / В.Г. Болтянский // Советская педагогика. 1970. - №5. - С.46-60.

18. Болтянский, В.Г. Беседы о математике. Книга 1. Дискретные объекты / В.Г. Болтянский, А.П. Савин. М.: ФИМА, МЦНМО, 2002. - 368 с.

19. Болтянский, В.Г. Как учить поиску решения задач / В.Г. Болтянский, Я.И. Груденов // Математика в школе 1988. - №1. - С. 8-14.

20. Большой психологический словарь / под. ред. Б.Г. Мещерякова. М.: Прайм-Еврознак, 2003. - 672 с.

21. Брадис, В.М. Ошибки в математических рассуждениях / В.М. Брадис, B.JI. Минковский, А.К. Харчева. -М.: Учпедгиз, 1959. с. 179.

22. Бурлев, Ю.А. Формирование обобщенных дедуктивных умений в курсе геометрии восьмилетней школы: автореф. дис. . канд. пед. наук / Ю.А. Бурлев. -М., 1984. 17 с.

23. Буткин, Г.А. Формирование умений, лежащих в основе геометрического доказательства / Г.А. Буткин // Формирование приемов математического мышления; под ред. Н.Ф. Талызиной.-М., 1995.-С. 120-155.

24. Варламова, Т.П. Формирование логической компетентности у учащихся 56 классов в процессе обучения математике: дис. . канд. пед. наук / Т.П. Варламова. Красноярск.: 2006. - 195 с.

25. Вейль, Г. Математическое мышление / Г. Вейль; под ред. Б.В. Бирюкова, А.Н. Паршина. М.: Наука, 1989. - 400 с.

26. Вернер, A.JI. Геометрия: Учебн. пособие для 9 кл. общеобразоват. учреждений / A.JI. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот. -М.: Просвещение, 2001. 207 с.

27. Ветошкина, Е.С. Обучение учащихся проведению доказательств на уроках геометрии в основной школе: автореф. дис. . канд. пед. наук / Е.С. Ветошкина. М.: 2006. - с. 16

28. Виленкин, Н.Я. Элементы математической логики / Н.Я. Виленкин, H.J1. Никольская // Факультативный курс по математике: учебное пособие для 7-9 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1991. С. 172-205.

29. Воинова, И.В. Обучение логическим приемам мышления учащихся основной школы в процессе изучения курса алгебры: дис. . канд. пед. наук / И.В. Воинова. Саранск, 2006. - 173 с.

30. Волович, М.Б. Наука обучать. Технология преподавания математики / М.Б. Волович. М.: LINKA-PRESS, 1995. - 280 с.

31. Выготский, JI.C. Мышление и речь / JI.C. Выготский. // Собр. соч. в 6-ти томах. Т.2. - М.: Из-во АПН РСФСР, 1982. - С. 5-361.

32. Вышенский, В.А. О месте теории множеств и математической логики в преподавании математики в средней школе / В.А. Вышенский, JI.A. Калужнин // Математика в школе. 1970. - №1. - С. 35-40.

33. Гальперин, П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. Исследование мышления в советской психологии / П.Я. Гальперин. -М.: Учпедгиз, 1958. 131с.

34. Гладкий, A.B. Математика в гуманитарной школе / A.B. Гладкий, Г.Е. Крейдлин // Математика в школе. 1991. - № 6. - С. 6-9.

35. Гладкий, A.B. Об уровне математической культуры выпускников средней школы / A.B. Гладкий // Математика в школе. 1990. - №4 - С. 7-9.

36. Гнеденко, Б.В. О математике / Б.В. Гнеденко. М.: Эдиториал УРСС., 2002.- 208 с.

37. Гнеденко, Б. В. Об образовании преподавателя математики средней школы / Б.В. Гнеденко // Математика в школе. 1989. — №3. - С. 19-22.

38. Гоноболин, Ф.Н. К вопросу о понимании геометрических доказательств учащимися / Ф.Н. Гоноболин // Известия АПН РСФСР. 1954. - Вып. 54.

39. Груденов, Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике / Я.И. Груденов. М.: Педагогика, 1987. - 224 с.

40. Гусев, В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике / В.А. Гусев. М.: Вербум-М, Академия, 2003. - 432 с.

41. Гусев, В.А. Методика обучения геометрии: Учебн. пособие для студ. высш. пед. учеб. Заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. М.: Издательский центр "Академия". - 368 с.

42. Гусев, В.А. О рассуждениях и доказательствах в курсе школьной геометрии / В.А. Гусев // Математика: Еженедельное прил. к газете "Первое сентября" -2003. -№ 21.-С.11-15.

43. Давыдов, В.В. Теория развивающего обучения / В.В. Давыдов. М.: ИНТОР, 1996.-544 с.

44. Далингер, В.А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: кн. для учителя / В.А. Далингер. М.: Просвещение, 2006.-256 с.

45. Денищева, Л.О. Проверка компетентности выпускников средней школы при оценке образовательных достижений по математике / Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Красноярская // Математика в школе. — 2008 №6. — с. 19-30.

46. Диденко, О.П. Задачи как средство уровневой дифференциации процесса обучения доказательству в школьном курсе алгебры: дис. . канд. пед. наук / О.П. Диденко. Омск.: 2003. - 182 с.

47. Дорофеев, Г.В. Математика. 5 класс. Часть 1 (Часть 2). / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. -М.: Ювента, 2005. 176 с. (240 е.).

48. Дорофеев, Г.В. Математика. 6 класс. Часть 1 (Часть 2; Часть 3). / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. -М.: "Баласс", "С-инфо", 1999-112 с. (128 е.; 176 е.).

49. Дорофеев, Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. 1990. - № 6. - С. 2—5.

50. Драбкина, М.Е. О системе целенаправленных упражнений для формирования некоторых логических понятий при изучении математики в средней школе и педагогическом вузе: автореф. дис. . канд. пед. наук / М.Е. Драбкина. Минск, 1971. - 22 с.

51. Дубнов, Я.С. Беседы о преподавании математики / Я.С. Дубнов. — М.: Просвещение, 1965.-236с.

52. Дубнов, Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах / Я.С. Дубнов. -М.: Наука, 1969.-165 с.

53. Ежкова, В.Г. Методические аспекты освоения логических конструкций языка школьной математики: дис. . канд. пед. наук / В.Г. Ежкова. М., 1999.-166 с.

54. Елифантъева, С.С. Технология изучения элементов математической логики в основной школе: автореф. дис. . канд. пед. наук / С.С. Елифантьева. -Ярославль, 2006 24 с.

55. Епишева, О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: кн. для учителя / О.Б. Епишева. М.: Просвещение, 2003. - 223 с.

56. Ермолаев, О.Ю. Математическая статистика для психологов: Учебник / О.Ю. Ермолаев. — М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 2004. 336 с.

57. Жохов, А.Л. Научные основы мировоззренчески направленного обучения математике в общеобразовательной и профессиональной школе: автореф. дис. докт. пед. наук / А.Л. Жохов. М., 1999. - 40 с.

58. Жохов, В.И. Математические диктанты 6 кл. / В.И. Жохов. М.: Росмэн, 2005. - 96 с.

59. Жохов, В.И. Примерное планирование учебного материала и контрольные работыпо математике, 5-11 классы. 2-е стер. изд. — М.: Вербум-М, 2004. — 208 с.

60. Журавлева, О.Н. Теория и методика обучения доказательству в курсе планиметрии средней школы: автореф. дис. . канд. пед. наук / О.Н. Журавлева. Саранск, 1996. - 16 с.

61. Зеер, Э.Ф. Психолого-дидактические конструкты качества профессионального образования / Э.Ф. Зеер //Образование и наука. М., 2002. - № 2(14) — С. 31-50.

62. Зимняя, И.А. Ключевые компетенции новая парадигма результата образования/И. А. Зимняя // Высшее образование сегодня, 2003. -№ 5.

63. Зимняя, И.А. Педагогическая психология / И.А. Зимняя. Ростов-на-Дону: Феникс, 1997.-480 с.

64. Ивин, A.A. Искусство правильно мыслить / A.A. Ивин. М.: Просвещение, 1990.-178 с.

65. Ивин, A.A. Словарь по логике / A.A. Ивин, A.JI. Никифоров. М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1997. - 384 с.

66. Игошин, В.И. Математическая логика в системе подготовки учителей математики / В.И. Игошин. Саратов: Слово, 2002. - 239 с.

67. Кабанова-Меллер, E.H. Учебная деятельность и развивающее обучение / E.H. Кабанова-Меллер. -М.: Знание, 1981. 96 с.

68. Кабанова-Меллер, E.H. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся / E.H. Кабанова-Меллер. М.: Просвещение, 1968.-288 с.

69. Калужнин, Л.А. Элементы математической логики в школьном преподавании / Л.А. Калужнин // Новое в школьной математике. -М.: Знание, 1972. С. 147-164.

70. Калужнин, JI.A. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики: Пособие для учителей / Л.А. Калужнин. М.: Просвещение, 1978. - 88 с.

71. Камышов, A.B. Кванторы в обучении математике в школе (5-11 классы): автореф. дис. . канд. пед. наук / A.B. Камышов. М.: 2007. - 18 с.

72. Капиносов, А.Н. Методика формирования умений проводить доказательные рассуждения при обучении математике в 4-5 (5-6) кл.: автореф. дис. .канд. пед. наук / А.Н. Капиносов. М., 1988. - 16 с.

73. Киселев, А.П. Геометрия: Планиметрия: 7-9 кл. Учебник и задачник / А.П. Киселев, H.A. Рыбкин. М.: Дрофа, 1995.-352 с.

74. Клайн, М. Логика против педагогики / М. Клайн // Математика (Сб. научно-методических статей), вып. 3. М.: Высшая школа, 1973. — С. 46-61.

75. Клини, С. Математическая логика / С. Клини. — М.: Мир, 1973. 480 с.

76. Колмогоров, А.Н. Математика наука и профессия / А.Н. Колмогоров. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.-288 с.

77. Колмогоров, А.Н. Современные взгляды на природу математики /

78. A.Н. Колмогоров // Математика в школе. 1969, № 3. - С. 12-17.

79. Колмогоров, А.Н. Элементы логики в современной школе / А.Н. Колмогоров // Математика в школе. 1971, № 3. - С.7-14.

80. Колягин, Ю.М. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся: В 2 ч. Ч. 1 / Ю.М. Колягин. М.: Просвещение, 1977. - 110 с.

81. Колягин, Ю.М. Основные аспекты методики обучения учащихся решению математических задач. Роль и место задач в обучении математике / Ю.М. Колягин // Сборник научных трудов. Выпуск 4. М., 1977. - С. 4-24.

82. Кондрашенкова, Т.А. О межпредметном значении логической составляющей., курса математики / Т.А. Кондрашенкова, И.Л. Никольская // Математика в школе. 1980. - №3 - С.62-68.

83. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года // Официальные документы в образовании. 2002. - № 4. - С. 3-31.

84. Костромитина, Е.В. Теория и практика обучения учащихся средней школы опровержению доказательств математических утверждений: дис. . канд. пед. наук / Е.В. Костромитина. Пенза, 2006 - 166 с.

85. Крупич, В.И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе: Методические разработки по спецкурсу для слушателей ФПК /

86. B.И. Крупич. -М.: Изд-во МГПИ, 1985. 118 с.

87. Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников / В.А. Крутецкий. М.: Просвещение, 1968. - 198 с.

88. Купиллари, А. Трудности доказательств. Как преодолеть страх перед математикой / А. Купиллари. М.: Техносфера, 2002. - 304 с.

89. Курдюмова, H.A. Методические функции примеров и контрпримеров в обучении математике (на материале математики 8-9 кл.): автореф. дис. . канд. пед. наук / H.A. Курдюмова. -М, 1990. 16 с.

90. Лакатос, И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / И. Лакатос. -М.: Наука, 1967. 152 с.

91. Латотин, Л.А. Развитие логического мышления учащихся 4-7 кл. на алгебраическом материале: автореф. дис. . канд. пед. наук / Л.А. Латотин. — М., 1982.-16 с.

92. Леонтьев, А.Н. Деятельность. Сознание. Личность / А.Н. Леонтьев. М.: Политиздат, 1975. - 304 с.

93. Лернер, И.Я. Процесс обучения и его закономерности / И .Я. Лернер. — М.: Педагогика, 1980. 176 с.

94. Лоцманова, Т. В. Нелепость путь к решению задачи / Т.В. Лоцманова // Математика в школе. - 2008. - №6. - С. 49-54.

95. Лукьянова, Е.В. Использование компьютера при изучении математических доказательств в средней школе / Е.В. Лукьянова // Сб. материалов XVIII Международной конференции "Применение новых технологий в образовании" Троицк, 2007. - С. 181 -183.

96. Лукьянова, Е.В. Концепция обучения доказательству учащихся средней школы с использованием средств естественного вывода / Е.В. Лукьянова, И.Л. Тимофеева // Педагогическое образование и наука. М., 2008 - № 9.

97. Лукьянова, Е.В. Логические ошибки в доказательствах геометрических предложений, связанные с чертежом / Е.В. Лукьянова // Научно-технический журнал "Новые технологии в образовании". — Воронеж, 2006. — №3. — С. 33-35.

98. Лукьянова, Е.В. Моделирование элементарных рассуждений с помощью программы Power Point / Е.В. Лукьянова, И.Л. Тимофеева // Сб. материалов XVII Международной конференции "Применение новых технологий в образовании" Троицк, 2006. - С. 236-238.

99. Лукьянова, Е.В. Несколько замечаний к формулировке и доказательству леммы о коллинеарных векторах / Е.В. Лукьянова // Математика в школе. — М., 2007. №8. - С.16-21.

100. Лукьянова, Е.В. О логической структуре одного из утверждений курса геометрии / Е.В. Лукьянова // Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования. -М.: Прометей, 2007. С. 262-266.

101. Лукьянова, Е.В. О методике обучения правилам построения доказательств учащихся 5-6 классов / Лукьянова Е.В., Лоцманова Т.В. // Вестник развития науки и образования. М., 2008 г. -№ 5. - С. 124-128.

102. Лукьянова, Е.В. О наглядном представлении методов доказательства при обучении математике в средней школе / Лукьянова Е.В., Лоцманова Т.В. // Научная жизнь. 2008 г. - № 5. - С. 122-126.

103. Маланюк, Е.П. Формирование логической грамотности учащихся 1-5 классов в процессе обучения математике: автореф. дис. . канд. пед. наук / Е.П. Маланюк. Киев, 1979.-24 с.

104. Маликов, Т.С. Индуктивные и дедуктивные рассуждения как средство развития активности и критичности мышления учащихся при изучении математики: автореф. дис. канд. пед. наук / Т.С. Маликов. -М., 1990. 18 с.

105. Маркова, А.К Формирование мотивации учения в школьном возрасте / А.К. Маркова. -М.: Просвещение, 1990. 192 с.

106. Мартыщук, О.И. Доказательства и обобщения в школьном курсе алгебры иэлементарных функций: автореф. дис.канд. пед. наук / О.И. Мартыщук.-Киев, 1969.-28 с.

107. Матросов, B.JJ. Избранные статьи и доклады / B.JI. Матросов. Магистр, 1996.-255 с.

108. Матросов, В.Л. Интенсивные педагогические и информационные технологии. Организация управления обучением / B.JI. Матросов, В.А. Трайнев, И.В. Трайнев. М.: Прометей, 2000. - 354 с.

109. А. Матросов, В.Л. Некоторые возможности использования электронно-вычислительной техники в учебном процессе: Учеб. пособие / Н.Б. Баль-цюк, М.М. Буняев, B.JI. Матросов. -М.: Прометей, 1989. 135 с.

110. Матросов, В.Л. Новые информационные технологии в школе и педагогическом институте: из опыта работы / М.М. Буняев, Э.И. Кузнецов, В.Л.Матросов, В.П. Шари; под общ. ред. В.Л. Матросова. М.: Прометей, 1989. - 69 с.

111. Медведская, В.Н. Обучение младших школьников доказательству математических предложений: автореф. дис. . канд. пед. наук / В.Н. Медведская. -Минск, 1988.-16 с.

112. Метелъский, Н.В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы / Н.В. Метельский. Мн.: Изд-во БГУ, 1982. - 256 с.

113. Методика преподавания математики в средней школе / В.А.Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. М.: Просвещение, 1980. -368 с.

114. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика / P.C. Черкасов и др.. М.: Просвещение, 1985.-458 с.

115. Морозова, Е.В. Формирование готовности школьников к развитию логического мышления и рефлексии: дис. . канд. пед. наук / Е.В.Морозова. — Смоленск, 2002. 181 с.

116. Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 класс (8 кл.; 9кл.) В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович

117. А.Г. Мордкович; А.Г. Мордкович, П.В. Семенов). 11-е изд. (12-е изд., 10-е изд.), стер. -М.: Мнемозина, 2008. - 160 с. (215 е.; 224 е.).

118. Мурадоеа, Н.Б. Формирование у учащихся основной школы умений и навыков доказательных рассуждений при обучении математике: автореф. дис. . канд. пед. наук / Н.Б. Мурадова. Махачкала: 2006. - 155 с.

119. Мышкис, А.Д. О преподавании геометрии прикладникам / А.Д. Мышкис // Математика в школе. 2003. - №1 - С. 37-52.

120. Нагибин, Ф. Ф. Математическая шкатулка / Ф.Ф. Нагибин. — М. Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1958.-166 с.

121. Назиев, АХ. Гуманитаризация основ специальной подготовки учителей математики в пединститутах: дис. докт. пед. наук / А.Х. Назиев. М., 2000. - 387 с.

122. Никитин, В.В. Сборник логических упражнений. Пособие для учителей математики / В.В. Никитин. М.: Просвещение, 1970. - 96 с.

123. Никольская, ИЛ. Азбука рассуждений / И.Л. Никольская. М.: Инновационно-образовательный центр, 1996 г. - 55 с.

124. Никольская, И.Л. Привитие логической грамотности при обучении математике: дис. канд. пед. наук / И.Л. Никольская. М.: 1973. - 185 с.

125. Никольская, ИЛ. Учимся рассуждать и доказывать: Кн. для учащихся 6-10 кл. сред. шк. / И.Л. Никольская, Е.Е. Семенов. М.: Просвещение, 1989. -192 с.

126. Никольский, С.М. Алгебра: Учеб. для 7 кл. (8 кл.; 9 кл.) общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, H.H. Решетников, A.B. Шевкин. 5-е изд. -М.: Просвещение, 2007. - 285 с. (2007. - 287 е.; 2008. - 255 е.).

127. Пайсон, БД. О логической составляющей образовательной области "математика" / Б.Д. Пайсон // Математика в школе. 2003, № 2. - С. 10-14.

128. Пайсон, Б.Д. Развитие логического мышления с помощью средств дедуктивного вывода (на алгебраическом материале восьмилетней школы): автореф.дис. . канд. пед. наук / Б.Д. Пайсон. М.,. 1973. — 26 с.

129. Пиаже, Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления / Ж. Пиаже // Преподавание математики. Пособие для учителей. — М., 1960. С.10-30.

130. Погорелое, A.B. Аналитическая геометрия / A.B. Погорелов. М.: Наука, 1978.-208 с.

131. Погорелов, A.B. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. / A.B. Погорелов. -М.: Просвещение, 1992. 383 с.

132. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: Учеб. пособие / под. ред. В.Д. Шадрикова. М.: Гардарики, 2002. - 383 с.

133. Пойа, Д. Как решать задачу. Пособие для учителей / Д. Пойа. М.: Педагогика, 1976.-206 с.

134. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Д. Пойа. М.: Наука, 1975.-464с.

135. Пойа, Д. Математическое открытие / Д. Пойа. М.: Наука, 1970. - 452 с.140'.Проблемы Гильберта// Сборник под общей редакцией П.С. Александрова.-М.: Наука, 1969.-240 с.

136. Прудников, В.Е. Чебышев ученый и педагог / В.Е. Прудников. - М.: Учпедгиз, 1964. - 46 с.

137. Пуанкаре, А. О науке / А. Пуанкаре. М.: Наука, 1983. - 560 с.

138. Равен, Дж. Компетентность в современном обществе: Выявление, развитие и реализация: пер. с англ. / Дж. Равен. М.: Когито-Центр, 2002. - 394 с.

139. Резник, H.A. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием средств развития визуального мышления: дис. . докт. пед. наук / H.A. Резник. СПб., 1997. - 350 с.

140. Розов, Н.Х. Ценности гуманитарного образования /Н.Х. Розов // Высшее образование России. 1996. - № 1. - С. 85-89.

141. Саранцев, Г.И. Методика обучения математики в средней школе: учебное пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. М.: Просвещение, 2002. - 224 с.

142. Саранцев, Г.И. Методология методики обучения математике /

143. Г.И. Саранцев. — Саранск: Красный октябрь, 2001. 144 с.

144. Саранцев, Г.И. Обучение доказательству / Г.И. Саранцев // Математика в школе, 1996-№ 6.-С. 16-20.

145. Саранцев, Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе: Кн. для учителя / Г.И. Саранцев. — М.: Просвещение, 2000. 173 с.

146. Саранцев, Г.И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях / Г.И. Саранцев // Математика в школе. 1999. - №6. - С. 36-41.

147. Скрыпник, Д.А. Математические ошибки в рассуждениях, их предупреждение и методика исправления: автореф. дис. . канд. пед. наук / Д.А. Скрыпник. Киев, 1971. - 24 с.

148. Слепканъ, З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике / З.И. Слепкань. Киев: Рад. школа, 1983. - 192 с.

149. Смирнова, И.М. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов-М.: Просвещение, 2001.-271 с.

150. Смирнов, В.А. Активизация деятельности учащихся при изучении теории / В.А. Смирнов, И.М. Смирнова // Математика в школе. 1992. - №1. - С. 17-18.

151. Смирнов, В.А. Что такое абсолютная геометрия / В.А. Смирнов, И.М. Смирнова // Математика в школе. 2002. - №8. - С. 63-68.

152. Смирнова, И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения / И.М. Смирнова. — М.: Прометей, 1994.-152 с.

153. Солтан, Г.Н. Методика обучения доказательству неравенств в курсе математики средней школы: автореф. дис. . канд. пед. наук / Г.Н. Солтан. -Минск, 1983.- 16 с.

154. Столяр, A.A. Зачем и как мы доказываем в математике: Беседы со старшеклассником / A.A. Столяр. Минск.: Нар. асвета, 1987. - 143 с.

155. Столяр, A.A. Логические проблемы преподавания математики: автореф. дис. . докт. пед. наук / A.A. Столяр. М., 1967. - 37 с.

156. Столяр, A.A. Педагогика математики: учеб. пособие / A.A. Столяр. -Минск: Выш. шк., 1986. 414 с.

157. Стратегия модернизации содержания общего образования. Материалы для разработки документов по обновлению общего образования. -М., 2001.

158. Талызина, Н.Ф. Педагогическая психология: Учеб. пособие для студ. сред, пед. учеб. заведений / Н.Ф. Талызина. М.: Издательский центр "Академия", 1998. - 288 с.

159. Тимофеева, И.Л. Как устроено доказательство? / И.Л. Тимофеева // Математика в школе. 2004. - №8. - С. 73-80.

160. Тимофеева, И.Л. Логическая подготовка будущих учителей математики: Монография / И.Л. Тимофеева. М.: Прометей, МПГУ, 2005. - 224 с.

161. Тимофеева, И.Л. Математическая логика. Курс лекций: учебное пособие / . И.Л. Тимофеева. 2-е изд., перераб. - М.: КДУ, 2007. - 304 с.

162. Тимофеева, И.Л. О логических эвристических средствах построения доказательств / И.Л. Тимофеева // Математика в школе. 2004. - №10. - С. 42-50.

163. Тимофеева, И.Л. Размышления об обратных теоремах и кванторах / И.Л. Тимофеева // Математика в школе. 2005. - №5. - С. 64-68.

164. Тимофеева, И.Л. Методическая система обучения студентов педагогических вузов математической логике на основе теории естественного вывода: дисс. . докт. пед. наук / И.Л. Тимофеева. М.: МПГУ, 2005.- 400 с.

165. Тимофеева, И.Л. Развитие логической интуиции у будущих учителей математики / И.Л. Тимофеева // Наука и школа. 2005. - №6. - С. 15-19.

166. Тоцки, Е. Локальная аксиоматизация и дедукция в обучении геометрии в средних школах Польши / Е. Тоцки // Математика в школе. -1993. №2 - С. 72-75.

167. Туркина, В.М. Формирование общих приемов поиска доказательства математических утверждений: дис. канд. пед. наук / В.М. Туркина. Ленинград, 1984.-202 с.

168. Уемов, А.И. Логические ошибки: как они мешают правильно мыслить /

169. A.И. Уемов. -М.: Госполитиздат, 1958. 119 с.

170. Успенский, В.А. Семь размышлений на темы философии математики /

171. B.А. Успенский // Закономерности развития современной математики. —1. M.: Наука, 1982.-112 с.

172. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Часть I. Начальное общее образование. Основное общее образование / Министерство образования Российской Федерации. — М. 2004. — 221 с.

173. Фрейденталъ, Г. Математика как педагогическая задача. 4.1 (4.2) / Г. Фрейденталь. — М.: Просвещение, 1982. 191 с.

174. Фридман, Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач / Л.М. Фридман. -М.: Педагогика, 1977. 208 с.

175. Хабибуллин, К.Я. Граф-схемы в геометрических задачах / К.Я. Хабибуллин // Математика в школе. 1999. - №4. - с.23-24.

176. Хабибуллин, К.Я. Применение граф-схем при решении геометрических задач как средство развития творческой деятельности учащихся: дис. . канд. пед. наук / К.Я. Хабибуллин. Стерлитамак, 2001. - 152 с.

177. Хуторской, A.B. Ключевые компетенции. Технология конструирования / A.B. Хуторской // Народное образование. 2003. - №5. - С.55-61

178. Шарыгин, И.Ф. Геометрия. 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / И.Ф. Шарыгин. М.: Дрофа, 2004. - 368 с.

179. Элъконин, Д.Б. Избранные психологические труды / Д.Б. Эльконин. -М.: Педагогика, 1989. 554 с.

180. Эрдниев, U.M. О взаимосвязи логики и психологии в решении вопросов методики математики / П.М. Эрдниев // Математика в школе. -1977 № 6. - С. 68-70.

181. Эрдниев, П.М. Преподавание математики в школе (Из опыта обучения методом укрупненных упражнений) / П.М. Эрдниев. -М.: Просвещение, 1978. 304 с.

182. Якиманская, КС. Развивающее обучение / И.С. Якиманская. М.: Педагогика, 1979.-144 с.

183. Якушева, Г.М. Большая энциклопедия для школьника. Математика / Г.М. Якушева и др.. М.: СЛОВО, Эксмо, 2006. - 640 с.

184. Условные обозначения, используемые в дедуктивных схемах Таблица 1. Используемые в дедуктивных схемах обозначения1