Обучение основам дифференциального исчисления студентов технических направлений подготовки с опорой на образные представления

Конькова, Мария Ивановна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обучение основам дифференциального исчисления студентов технических направлений подготовки с опорой на образные представления

Автореферат

Автор научной работы: Конькова, Мария Ивановна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Арзамас
Год защиты: 2013
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Обучение основам дифференциального исчисления студентов технических направлений подготовки с опорой на образные представления"

На правах рукописи

КОНЬКОВА Мария Ивановна

ОБУЧЕНИЕ ОСНОВАМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ НАПРАВЛЕНИЙ ПОДГОТОВКИ С ОПОРОЙ НА ОБРАЗНЫЕ

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

13.00.02 — Теория и методика обучения и воспитания (математика)

Автореферат Ї / ' \

диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук

005062377

Орёл -2013

005062377

Работа выполнена на кафедре математики, теории и методики обучения математике Арзамасского филиала ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Научный руководитель доктор педагогических наук, профессор,

заслуженный работник высшей школы РФ Зайкин Михаил Иванович

Официальные оппоненты: Аммосова Надежда Васильевна

доктор педагогических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Астраханский государственный университет», профессор кафедры алгебры и геометрии

Аксенов Андреи Александрович

доктор педагогических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет», профессор кафедры математического и информационного анализа экономических процессов

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный

педагогический университет им. И.Н. Ульянова»

Защита состоится 21 июня 2013 года в 9 часов на заседании диссертационного совета Д 212. 183. 04 при ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет», адрес: 302026, г. Орел, ул. Комсомольская, 95.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет».

Автореферат диссертации разослан 20 мая 2013г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Селютин Владимир Дмитриевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Актуальность исследования. Математический анализ сегодня —это обширная область научного знания со специфическим объектом изучения (переменной величиной), своеобразным методом исследования (посредством анализа бесконечно малых или посредством предельных переходов), сложившейся системой основных понятий (функция, предел, производная, дифференциал, первообразная, интеграл, ряд и др.) и постоянно совершенствующимся аппаратом, основу которого составляют дифференциальное и интегральное исчисления, имеющие необычайно широкое прикладное значение в самых различных областях науки и практической деятельности человека.

Знание основ анализа бесконечно малых является необходимой базой математической подготовки студентов технических направлений подготовки. Без него невозможно не только рассчитать работу ядерных реакторов, движение морской волны, возникновение и развитие циклона, но и экономично управлять современным производством, организацией технологических процессов, созданием программ для станков с ЧПУ, ибо всё это требует изучения динамических процессов, изменяющихся во времени или в пространстве.

Известные отечественные педагоги-математики М.И. Башмаков, Л.Д. Кудрявцев, Г.Л. Луканкин, A.A. Ляпунов, С.М. Никольский, В.М. Потоцкий, В.В. Тихомиров, А.Я. Хинчин, М.И. Шабунин и др. повышение качества математической подготовки студентов технического вуза напрямую связывают с совершенствованием методики обучения основам математического анализа. Многие из них, анализируя затруднения обучаемых в овладении знаниями основ анализа бесконечно малых и устанавливая причины этих затруднений, прямо или косвенно указывают на необходимость изменения установившегося соотношения в использовании формально-логических и интуитивно-образных методических средств обучения в сторону последних.

На наш взгляд, необходимость обучения сегодняшних студентов технических вузов основам анализа бесконечно малых с опорой на образные (графические) представления обусловлена рядом обстоятельств.

Во-первых, не утвердившиеся в школьной практике традиции обучения основам математического анализа, поверхностные знания большинства выпускников общеобразовательных школ (Н.Х. Розов, В.А. Садовничий, А.Н. Фурсенко и др.) делают как никогда актуальной проблему преемственности в постановке образовательного процесса в школе и вузе. А школьное преподавание основ математического анализа реализуется, как известно, с широким привлечением наглядных (графических) средств.

Во-вторых, преодоление формализма в знаниях по математическому анализу, свойственного студентам вузов и заключающегося в отрыве внутреннего содержания математических абстракций от их внешнего выражения (А.Я. Хинчин), всегда связывали со смещением акцентов в соотношении формально-логического и интуитивно-образного именно в сторону последнего (Г. Вейль, A.A. Ляпунов, А.Я. Цукарь и др.).

В-третьих, в условиях компетентностного подхода к подготовке спе-

циалистов с высшим образованием представляется чрезвычайно важным обеспечить органичное соединение в обучении чувственного и рационального познания, абстрактного (идеального) и конкретного (практического) знания, образного и логического (понятийного) мышления, индуктивных и дедуктивных рассуждений (Ф.С. Авдеев, В.В. Афанасьев, Г.Д. Глейзер, Г.В. Дорофеев, П.М. Эрдниев и др.). Всё это указывает на необходимость использования в обучении комплекса дидактических средств и методических пособий, обеспечивающих полноценное развитие не только логического мышления, но и мышления визуального, оперирующего образами, их графическим представлением.

В-четвёртых, в связи с бурным развитием информационно-коммуникационных технологий, их проникновением практически во все сферы человеческой деятельности существенно возросло значение визуальной (образной) информации, умения не только быстро считывать её с дисплеев компьютерных устройств, но и правильно понимать её и даже уверенно ею оперировать (Я.А. Ваграменко, Д.Е. Ершов, В.М. Монахов, И.В. Роберт и др.).

В-пятых, ставшие доступными как вузам в целом (и в первую очередь, техническим), так и отдельным студентам пакеты символьной математики, где специально созданные виртуальные образовательные среды обладают большими визуализационными возможностями, эффектами анимации графической информации и позволяют существенно облегчить понимание обучаемыми существа многих математических абстракций (A.A. Кузнецов, О.В. Мантуров, H.A. Резник, В.Д. Селютин и др.).

Несмотря на многочисленные указания выдающихся математиков и педагогов на необходимость задействования интуитивной составляющей интеллекта в познавательном процессе, важность образных компонент в раскрытии сущности понятий основ математического анализа, значение представлений в понимании идей доказательства его теорем, остался не до конца исследованным вопрос о том, как сделать образные (графические) представления опорой изучения математических абстракций студентами технических направлений подготовки, повысить их роль в формировании прикладной культуры будущих инженеров или технологов.

Сказанное выше обуславливает противоречие между потребностью практики обучения основам математического анализа студентов технических направлений подготовки в методиках, основанных на широком использовании образных представлений, и отсутствием необходимого для этого методического обеспечения.

Необходимость решения этого противоречия определяет актуальность проблемы диссертационного исследования, состоящей в поиске путей и средств обучения студентов технических направлений подготовки основам дифференциального исчисления с опорой на образные представления.

Объектом исследования является процесс обучения основам математического анализа студентов технических направлений подготовки.

Предметом исследования являются содержание, методы и средства обучения основам дифференциального исчисления студентов технических

направлений подготовки с опорой на образные представления.

Цель исследования заключается в научном обосновании, разработке и экспериментальной проверке методического обеспечения обучения основам дифференциального исчисления студентов технических направлений подготовки с опорой на образные представления.

Гипотеза исследования заключается в следующем: обучение студентов технических направлений подготовки основам дифференциального исчисления, осуществляемое с опорой на образные представления, позволит эффективнее формировать содержательные, осознанные математические знания обучаемых, если:

- выделить образную базу основ дифференциального исчисления, изучаемых в техническом вузе;

- определить совокупность ведущих принципов, обеспечивающих эффективное задействование этих образных представлений в процессе обучения;

- разработать комплекс упражнении по всему учебному материалу основ дифференциального исчисления, выполнение которых осуществляется с опорой на выделенные образные представления и совокупность ведущих принципов, и реализовать этот комплекс в учебном процессе.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1) изучить состояние проблемы обучения основам математического анализа в методической литературе и образовательной практике;

2) раскрыть характер взаимосвязи формально-логической и интуитивно-образной составляющих учебного материала в формировании математических абстракций анализа бесконечно малых;

3) научно обосновать и построить модель методической системы обучения студентов технических направлений подготовки основам дифференциального исчисления с опорой на образные представления;

4) разработать методическое обеспечение к обучению студентов технических направлений подготовки основам дифференциального исчисления с опорой на образные представления;

5) экспериментально проверить эффективность разработанного методического обеспечения.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы педагогического исследования:

- изучение и анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы по проблеме исследования;

- анализ результатов ЕГЭ по математике, семестровых экзаменов студентов технических направлений подготовки;

- анкетирование и интервьюирование учащихся и учителей математики общеобразовательных школ, студентов и преподавателей технических вузов;

- констатирующий, поисковый и формирующий эксперименты;

- статистическая обработка и анализ данных, полученных в ходе обучающего эксперимента.

Теоретико-методологическую основу исследования составляют:

- психологические теории развития личности в обучении (JI.C. Выготский, В.В. Давыдов, JI.B. Занков, З.И. Калмыкова, А.Н. Леонтьев, H.A. Менчинская, C.JI. Рубинштейн и др.);

- концепция деятельностного подхода к обучению математике (Г.Д. Глейзер, Т.А. Иванова, Ю.М. Колягин, Г. Полиа и Г. Сегё, Г.И. Саранцев, A.A. Столяр, С.И. Шохор-Троцкий и др.);

- исследования по визуальному представлению учебного материала по математике в процессе обучения (В.И. Горбачев, М.И. Зайкин, Б.С. Каплан, H.A. Резник, Н.К. Рузин, A.A. Столяр, А.Я. Цукарь, Б.П. Эрдниев и др.);

- научные работы методистов-математиков, касающиеся методики обучения основам математического анализа (Т.К. Авдеева, М.И. Башмаков, Н.Я. Виленкин, И.В. Дробышева, О.С. Ивашов-Мусатов, С.И. Калинин, Е.С. Канин, Л.Д. Кудрявцев, Г.Л. Луканкин, Н.И. Мерлина, А.Г. Мордкович, O.A. Саввина, Е.И. Смирнов, О.В. Тарасова, А.Я. Хинчин и др.)

- теории использования современных информационных технологий в обучении (В.П. Беспалько, H.A. Гейн, Б.С. Гершунский, В.П. Зинченко, Е.И. Машбиц, И.В. Роберт, Э.Г. Скибицкий и др.).

Этапы исследования. Исследование проводилось в несколько этапов.

На первом этапе (2008-2009 гг.) происходило изучение и анализ математической, психолого-педагогической и учебно-методической литературы по проблеме диссертационного исследования. Проанализировано реальное состояние обучения основам математического анализа учащихся старших классов общеобразовательных школ и студентов младших курсов технических вузов, проведен констатирующий эксперимент.

На втором этапе (2009-2011 гг.) определялись концептуальные положения обучения студентов технических направлений подготовки основам дифференциального исчисления с опорой на образные (графические) представления, осуществлялась разработка необходимых материалов и их первичная апробация в образовательном процессе втуза, проводился обучающий эксперимент.

На третьем этапе (2011-2012 гг.) происходило обобщение данных теоретического анализа, обрабатывались результаты педагогического эксперимента, осуществлялась систематизация накопленного материала и его целостное изложение в виде диссертации и автореферата.

Научная новизна исследования определяется тем, что предложен подход к обучению студентов технических направлений подготовки основам дифференциального исчисления, базирующийся на использовании образных (графических) представлений на всех этапах формирования математических абстракций и позволяющий обогатить деятельностную основу обучения, облегчить понимание обучаемыми сущности изучаемого, преодолеть форма-

лизм в знаниях у студентов, более успешно реализовывать прикладную направленность математической подготовки будущих специалистов-техников.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что:

- определена совокупность ведущих принципов, регламентирующих использование образных (графических) представлений в учебном процессе (принцип полноты, принцип минимизации, принцип согласованности, принцип опоры, принцип завершённости, принцип динамизации, принцип опережения)',

- определена стратегия реализации уровней изучения учебного материала по основам дифференциального исчисления с опорой на образные представления (наглядно-образный уровень — операционно-действенный уровень — формально-логический уровень);

- выделены учебные задания, выполняемые с опорой на графические образы, обеспечивающие формирование образных представлений, закрепление образов в оперативной памяти и развитие образной картины изучаемого материала;

- построена методическая модель обучения студентов технических направлений подготовки с опорой на образные представления, включающая блоки: целевой (главная и сопутствующая цели), содержательный (основные содержательные компоненты обучения основам дифференциального исчисления в техническом вузе), процессуальный (стратегия реализации уровней изучения учебного материала основ дифференциального исчисления с опорой на образные представления; совокупность ведущих принципов, регламентирующих использование образных (графических) представлений в учебном процессе; основные виды учебных заданий, выполняемых с опорой на графические образы) и результативно-оценочный (выражение результата обучения, критериев и показателей его оценки).

Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что разработанная автором методическая система обучения с опорой на образные представления применима к практике обучения математическому анализу студентов технических направлений подготовки. Предложенный комплекс заданий, выполняемых с привлечением образных (графических) представлений, может быть использован на практических занятиях при изучении основ дифференциального исчисления студентами технических направлений подготовки.

Обоснованность и достоверность проведенного исследования, его результативность и выводы обусловлены опорой на фундаментальные исследования в области психологии, педагогики, теории и методики обучения математике; на исторический опыт преподавания основ математического анализа в отечественной общеобразовательной и высшей школе; совокупностью применённых методов исследования, а также положительными результатами проведенного эксперимента

На защиту выносятся следующие положения: 1) интуитивно-образное и формально-логическое в обучении основам математического анализа нельзя противопоставлять или рассматривать изолиро-

ванно друг от друга, а следует анализировать в диалектическом единстве, представлять в соотношении, обеспечивающем наиболее благоприятные условия для полноценного усвоения обучаемыми основных понятий курса и способов математической деятельности, понимания ими фундаментальных идей и теорем, формирования у них представлений о структуре математической теории;

2) обучение студентов технических направлений подготовки основам дифференциального исчисления с опорой на образные представления целесообразно осуществлять на основе методической модели, которая состоит из целевого блока (главная и сопутствующая цели), содержательного блока (основные содержательные компоненты обучения), процессуального блока (стратегия реализации уровней изучения учебного материала; совокупность ведущих принципов; основные виды учебных заданий, выполняемых с опорой на графические образы) и результативно-оценочного блока (выражение результата обучения, критериев и показателей его оценки);

3) развитие образных представлений при работе с учебным материалом основ дифференциального исчисления предполагает прохождение стадий статической наглядности, динамизации статических образов, образования целостной образной картины изучаемого.

На защиту выносится также методическое обеспечение обучения студентов технических направлений подготовки основам дифференциального исчисления с опорой на образные представления, представленное в виде комплекса учебных заданий каждого из основных видов по всем темам раздела.

Апробация основных положений и результатов исследования

осуществлялась в виде докладов и выступлений:

- на заседании научно-методического семинара кафедры математики, теории и методики обучения математике Арзамасского филиала ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»;

- на Международных научно-практических конференциях: «Интеграционная стратегия становления профессионала в условиях многоуровневого образования» (Котлас, 2007), «Современный учитель: личность и профессиональная деятельность» (Таганрог, 2010), «Тенденции развития педагогической науки» (Новосибирск, 2010), «Современные направления научных исследований» (Екатеринбург, 2010), «Инновации и современная наука» (Новосибирск, 2011), «Педагогические технологии математического творчества» (Арзамас, 2011);

- на Всероссийских научно-практических конференциях: «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва-Долгопрудный, 2008); «Современный учитель сельской школы России» (Арзамас, 2010), «Инновационные технологии в образовании и профессиональной деятельности» (Арзамас, 2010), «Инновационные технологии организации обучения на пути к новому качеству образования» (Арзамас, 2011), «Гуманитарные традиции математического образования в России» (Арзамас, 2012);

- на межрегиональных научно-практических конференциях: «Современные проблемы информатизации образования, науки и техники» (Арзамас, 2009) , «Наука и образование в развитии промышленной, социальной и экономической сфер регионов России» (Владимир, 2010);

- на региональной научно-практической конференции «Современные информационно-коммуникационные технологии в образовании сельских школьников» (Арзамас, 2007);

- на Всероссийской молодежной научно-инновационной школе «Математика и математическое моделирование» (Саров, 2008, 2009, 2010).

Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось автором в ходе экспериментальной проверки разработанного методического обеспечения на факультете информационных технологий и электроники Саровского физико-технического института - филиала МИФИ и Арзамасского политехнического института - филиала НГТУ.

Структура диссертации обусловлена логикой исследования и состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложений.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 16 статей, из них 3 — в изданиях, рекомендованных ВАК.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности темы диссертации, определяются проблема, цель, объект, предмет и гипотеза исследования, ставятся задачи, формулируются научная новизна, теоретическая и практическая значимость, выносимые на защиту положения, раскрываются методологические и теоретические основы исследования, его методы и этапы выполнения.

Первая глава «Теоретическое обоснование обучения основам дифференциального исчисления студентов технических направлений подготовки с опорой на образные представления» посвящена раскрытию сущности и дидактических возможностей обучения основам математического анализа с активным использованием образных (графических) представлений.

В первом параграфе в историческом развитии анализируются вопросы и проблемы постановки в отечественном и зарубежном математическом образовании курсов, содержащих основы математического анализа.

Установлено, что не утвердившиеся в школьной практике традиции обучения основам математического анализа негативно сказываются на поставке учебного процесса в вузе. Различия в уровнях подготовки выпускников разных образовательных учреждений (общеобразовательных школ, гимназий, лицеев, математических школ и т.п.) столь велики, что вынуждают искать новые подходы к организации познавательной деятельности обучаемых при изучении анализа бесконечно малых в вузе.

Приняты во внимание многочисленные указания выдающихся матема-

тиков и педагогов (Л.Д. Кудрявцев, А. Пуанкаре, А.Я. Хинчин и др.) на необходимость задействования интуитивной составляющей интеллекта в познавательном процессе, важность образных компонент в раскрытии сущности понятий основ математического анализа, значение представлений в понимании идей доказательства его теорем.

Показано, что формально-логический подход к изложению основ дифференциального и интегрального исчисления в условиях технического вуза может негативно сказаться на раскрытии прикладного значения его содержания. Детальное обоснование и учёт каждой особенности содержания и «тонкости» доказательства утверждений, безусловно, полезные в плане развития математического мышления обучаемых, подменяют собой более значимое для будущих инженеров - формирование математических моделей широкой, полифункциональной прикладной направленности.

Во втором параграфе проводится сопоставительный анализ соотношения интуитивно-образного и формально-логического аспектов в обучении основам математического анализа.

Сделан вывод о том, что в математическом образовании интуитивно-образные и формально-логические средства обучения нельзя рассматривать изолированно или противопоставлять друг другу, а следует представлять их в диалектическом единстве, в соотношении, обеспечивающем наиболее благоприятные условия для полноценного усвоения обучаемыми основных понятий курса и способов математической деятельности, понимания ими фундаментальных идей и теорем, формирования у них представлений о структуре математической теории.

Их соотношение в обучении основам математического анализа обуславливается:

— постановкой целей и задач обучения (усвоение определенного круга знаний и умений, формирование приёмов выполнения математической деятельности в сочетании с развитием качеств интеллекта — интуиции обучаемых, их логического мышления, а также формированием у них образной картины изучаемого материала);

— определением логики изложения учебного материала (линейное, концентрическое, веерное);

— способами формирования математических абстракций (конкретно-индуктивный, абстрактно-дедуктивный, комбинированный);

— уровнями строгости доказательства утверждений (наивные, правдоподобные, строгие рассуждения);

— подбором педагогически целесообразных заданий (обеспечивающих необходимое сочетание интуитивно-образных и формально-логических процедур, а также организацию их выполнения в процессе познавательной деятельности;

— выбором уровня формализации изучаемой математической теории (содержательная теория; содержательная аксиоматическая теория, описывающая одну конкретную структуру, в развёртывании которой используется интуитивная логика; полуформальная аксиоматическая теория, описывающая

множество структур, в развёртывании которой, используется интуитивная логика; формальная аксиоматическая теория, строящаяся на базе определённой, в свою очередь, аксиоматизированной логической системы).

Показано, что преодоление формализма в знаниях по математическому анализу студентов технических направлений подготовки, обеспечение полноценного понимания обучаемыми учебного материала предполагает последовательное прохождение этапов: наглядно-образного, операционно-действенного, формально-логического.

Сделан вывод о том, что в условиях сокращения учебных часов, отводимых на изучение фундаментальных математических дисциплин в технических вузах, снижения общего уровня математической подготовки абитуриентов, изменения (в худшую сторону) отношения обучаемых к математическому образованию требуется необходимость корректировки традиционно сложившегося соотношения формально-логического и интуитивно-образного аспектов в сторону последнего посредством расширения образной составляющей изучаемого материала и активного включения её в познавательную деятельность обучаемых, обеспечивающую усвоение данного материала.

В третьем параграфе строится модель методической системы обучения основам дифференциального исчисления студентов технических направлений подготовки с опорой на образные (графические) представления.

Обоснована система ведущих принципов обучения основам дифференциального исчисления с опорой на образные представления, в которую включены: принцип полноты образной картины формируемого понятия, принцип минимизации визуально воспринимаемой информации, принцип согласованности дефинитного содержания математического понятия и его образного представления, принцип опоры на интуитивные представления об изучаемом математическом объекте, принцип завершённости образной деятельности в учебном познании, принцип динамизации образной картины формируемого понятия, принцип опережающего ознакомления с образным представлением математического объекта.

При обсуждении варианта модельного представления обучения студентов технических направлений подготовки основам дифференциального исчисления с опорой на образные представления нами принималось во внимание следующее.

Под моделью в научно-методической литературе по математике чаще всего понимается «некий объект, исследование которого служит средством получения новых знаний о другом объекте (оригинале)». Моделирование предоставляет возможность акцентировать внимание на сущностных сторонах объекта исследования и представлять их в структурной и функциональной взаимосвязи друг с другом, позволяющей быстро устанавливать новые отношения, свойства или качества моделируемых объектов. В методологическое основание всякой методической модели закладывают, как правило, системный, личностно-ориентированный, деятельностный и интегративный подходы. Системный подход необходим для определения компонентного состава и структуры модели, установления внутрисистемных связей и характе-

ристики особенностей взаимодействия системы с внешней средой. Посредством системного анализа достигается целостное изучение исследуемого процесса или явления и обеспечивается функционирование всех блоков самой модели. Опора на личностно-ориентированный подход необходима для того, чтобы цели, содержание и технология обучения студентов технических направлений подготовки основам дифференциального исчисления с использованием образных представлений формулировать или отбирать с учётом индивидуальных особенностей обучаемых, позволяющих им быть активными участниками учебного познания на всех этапах усвоения учебного материала. С позиций деятельностного подхода необходимо рассматривать обучение основам дифференциального исчисления с опорой на образные представления как активную математическую деятельность, адекватную усваиваемому содержанию, обеспечивающую целостное развитие личности студента. Данный вид подхода ориентирует на включение обучаемого в процесс активной познавательной деятельности с целью овладения её содержанием. В нашем случае деятельностный подход ориентирует, прежде всего, на использование таких математических заданий, которые обогащают образную составляющую учебного материала. И, наконец, задействование интегративного подхода вызвано необходимостью решения вопроса преемственной связи в выборе подходов и средств, реализующих их, для формирования фундаментальных понятий основ дифференциального исчисления в курсе алгебры и начал анализа средней (общеобразовательной или профильной) школы и в курсе математического анализа технического вуза. Он позволяет многообразие частных случаев используемой образной наглядности обозреть с единых идейных, теоретических и методических позиций и придать свойственной этому виду учебной работы содержательной вариативности инвариантную логическую форму.

Анализ ряда монографий, диссертационных работ, учебных пособий, научно-методических статей по теории и методике обучения математике, в которых рассматриваются модели различных аспектов обучения (усвоения понятий, формирования приёмов умственной деятельности, развития учебных умений и навыков и т.п.), позволил установить, что в педагогических исследованиях по методике обучения математике чаще всего практикуются модели, включающие в качестве основных компоненты, характеризующие установление целей проектируемой деятельности, определение её основного содержания, описывающие сам педагогический процесс или используемые технологии (формы, методы, средства), дающие представление о результатах деятельности или способах их диагностики. Названные компоненты отвечают и задачам настоящего исследования, а потому проектируемую модель обучения студентов технического вуза основам дифференциального исчисления целесообразно представить в виде совокупности четырёх взаимосвязанных блоков.

Модель методической системы обучения студентов технических направлений подготовки основам дифференциального исчисления с опорой на образные представления, построенная в этом параграфе, включает в качестве основных блоки: целевой (основную и сопутствующие цели), содержательный (основные содержательные компоненты учебного материала, предназначенного для усвоения студентами основ дифференциального исчисления), процессуальный (общая стратегия реализации уровней изучения учебного материала с опорой на образные представления, принципы обучения основам дифференциального исчисления с опорой на образные представления, виды учебных заданий, содержащих образные представления) и результативно-оценочный (выражение результата обучения студентов технических направлений подготовки основам дифференциального исчисления с опорой на образные представления) (рис. 1).

Вторая глава «Методические аспекты обучения основам дифференциального исчисления студентов технических направлений подготовки с опорой на образные представления» посвящена описанию разработанного методического обеспечения и экспериментальной проверке его эффективности.

В первом параграфе представлено структурированное содержание основ дифференциального исчисления, изучаемого в технических вузах, в вербальной, графической (образной) и символической форме. Сделана попытка непосредственного соотнесения образного представления изучаемого материала с его математическим содержанием и символьной записью этого содержания. Под образно-графической базой обучения основам дифференциального исчисления функции одной переменной понимается номинальная совокупность образов, сопровождающих изучение курса основ дифференциального исчисления, к которой отнесены: образ функциональной зависимости, образное представление элементарных свойств функции (возрастания, убывания, чётности, нечётности, непрерывности функции, выпуклости, вогнутости графика и т.п.); геометрический смысл производной функции одной переменной, дифференциала функции одной переменной (таблица 1); образ экстремума функции в точке; образы промежутков выпуклости (вогнутости), точки перегиба; образ асимптоты графика функции; образ касательной к окружности; образ касательной к графику непрерывной функции; образ характеристического треугольника; геометрический смысл основных теорем о дифференцируемых функциях: теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Ла-гранжа, теорема Коши и др.

Во втором параграфе раскрыт процесс динамизации статической наглядности, чаще всего употребляемой в практике вузовского обучения высшей математике. Он предполагает согласование логического содержания определения изучаемого понятия с его образным представлением. При этом интуитивное и формальное, как две стороны изучаемого содержания сливаются в единое целое, а их синтез и есть тот дополнительный образовательный ресурс, который интенсифицирует познавательную деятельность, делает понятной её общий замысел и осмысленными те интеллектуальные усилия обучаемого, которые необходимы для усвоения математического содержания.

Таблица 1

Образная база основ дифференциального исчисления

Вербальная составляющая учебного материала

Графическая составляющая учебного материала

Знаково-символическая составляющая учебного материала

Геометрический смысл дифференциала функции в точке

Дифферет\и-ал функции

У = /(*) в точке Хо равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда хо получит приращение Ах.

сіу ® Ау

Хо+Лх

Комментарий: не следует думать, что дифференциал функции в точке всегда меньше приращения функции. Этот вывод подтверждается данными иллюстрациями_

Представленная на рис. 2а графическая модель экстремума функции в точке статична по своей сути. Она даёт правильное представление об экстремуме функции в точке, его внешнем виде, но оно неполное и «застывшее», «окаменевшее» словно пик горной вершины, внешнее сходство с которым в определённой мере имеется. В определении экстремальной точки говорится о необходимости установления значений функции для всех без исключения точек из выделенной окрестности.

Процедурно факт такого установления может быть отражен на иллюстрационной картинке посредством указания значений функции в некоторых точках слева и справа от экстремальной точки.

Общность же этой процедуры для всех точек окрестности может быть отражена символически с помощью стрелок влево-вправо вдоль оси абсцисс.

Что же касается верности заданного отношения значений функции для всех точек окрестности, то этот факт может быть отражен стрелочкой вниз вдоль оси ординат. Использование знаков плюс и минус в подходящих местах даёт ещё одну возможность усиления выраженности получающегося результата

Внесённые усовершенствования превращают первоначальную статическую модель в качественно другую модель - динамическую (рис. 26). Она выполняет в учебном процессе не только, а может быть даже не столько иллюстративную функцию, сколько обучающую, ибо не только несёт в себе образ экстремума функции в точке, но и даёт возможность «оживить» этот образ, целостно и разом охватить всю образную картину, свойственную данному понятию.

- +

Рис. 2. Графическая модель экстремума функции в точке: а) статическая; б) динамическая.

В третьем параграфе приведены комплексы заданий, выполняемых с опорой на образные представления к основным вопросам раздела дифференциального исчисления функции одной переменной. Приведем примеры таких упражнений по теме «Основные теоремы дифференциального исчисления.

Упражнение 1 (формирующее). Можно ли на отрезке [-1; +1] применить к функции у = Лх) (см. рис. 3) теорему Ролля, теорему Лагранжа о конечных приращениях.

'У

\/(х) = 2-У7

гУл. і і

-1 0 1

Рис. 3

Упражнение 2 (закрепляющее). Применима ли формула Лагранжа к

функции /(х) = — на отрезке [а; Ь], если ab<0. Дайте геометрическое ис-х

толкование.

Упражнение 3 (развивающее), а) Построить функцию у = fix), дифференцируемую во внутренних точках отрезка [а; Ь\, удовлетворяющую условию f(a) = f(b), для которой нет точки с, а<с<Ъ, в которой f\c) = 0.

б) Построить функцию j =Дх), непрерывную на отрезке [а; Ь], удовлетворяющую условию /(а) = f(Jy'), для которой нет точки с, а<с<Ъ, в которой /'(с) = 0.

в) Построить функцию у = fix), непрерывную на отрезке [а; Ь\, дифференцируемую во внутренних точках этого отрезка, для которой нет точки с, а <с<Ь, в которой /'(с) = 0.

В последнем параграфе второй главы приведены описание и результаты педагогического эксперимента, проведённого на факультете информационных технологий и электроники Саровского физико-технического института — филиала МИФИ и Арзамасского политехнического института - филиала НГТУ. В качестве основных критериев оценки эффективности разработанного методического обеспечения использовались: а) интерес обучаемых к занятиям математикой; б) уровень усвоения студентами основ дифференциального исчисления; в) осознанность знаний студентов, их неформальный характер.

Для измерения интереса студентов к занятиям по разделу дифференциальное исчисление использовалась методика, предложенная И.М. Смирновой. Результаты выборочного измерения показателей интереса студентов приведены в таблице 2.

Таблица 2

Результаты измерения интереса студентов к занятиям по разделу диффе-

ренциальное исчисление

контрольная группа экспериментальная группа

Ао h И (%) ко к, И (%)

1-е обследование 45 29 39,19 44 29 39,73

2-е обследование 44 30 40,05 28 45 61,64

3-е обследование 43 31 41,78 25 48 65,75

Текущие измерения показателя интереса позволили распределить студентов по его основным уровням: низкому (до 40%); среднему (от 40 % до 65%); высокому (более 65%). Динамика этих измерений отражена на диаграмме (см. рис. 4).

Оценка уровня усвоения студентами основ дифференциального исчисления проводилась на основе срезовой работы комплексного характера (проверялось усвоение понятий, доказательств теорем, понимание матема-

0 эг и кг

тических идей), а также на основе результатов проведённых зачётов и

экзаменов.

При выполнении каждого задания рекомендовалось записывать все промежуточные вычисления, выкладки и теоретические пояснения.

Каждое задание оценивалось по специально созданной

шестибалльной шкале. Диапазон разброса количественной оценки уровня математических знаний студентов разбивался на три основные зоны: низкий уровень (0 - 20 баллов); средний уровень (21 - 30 баллов); высокий уровень (31 - 36 баллов).

Результаты выполнения срезовой работы студентами первого курса факультета информационных технологий и электроники Саровского физико -технического института - филиала МИФИ представлены в таблице 3.

Таблица 3

Распределение студентов экспериментальной и контрольной групп по уровням усвоения математических знаний после эксперимента

Уровень усвоения знаний Частоты уровней

КГ (чел.) КГ (%) ЭГ (чел.) ЭГ (%)

Низкий (1) Ж! = 30 40,5 щ = 19 26

Средний(2) тг — 35 47,3 «2 = 34 46,6

Высокий (3) т3= 9 12,2 и3 = 20 21,А

Распределение студентов экспериментальной и контрольной групп по

уровням усвоения (см. рис. 5).

Рис. 5

математических знании приведено на диаграмме

Статистическая значимость полученных различий проверялась с использованием критерия согласия Пирсона^2.

Сравнение по третьему критерию производилось на основе теста, включающего задания на воспроизведение формулировок (понятий, утверждений, алгоритмов) и их символьной записи, понимание математической сущности и умение оперировать знаниями. В условиях проведенного экспери-

ш эг и кг

мента выполняются основные допущения медианного критерия, который и применим для проверки уровня осознанности знаний студентов, их неформальный характер. Установлено, что уровень осознанности знаний студентов экспериментальной группы выше уровня осознанности знаний студентов контрольной группы.

Гипотеза исследования получила экспериментальное подтверждение.

В процессе диссертационного исследования, в соответствие с его целью и задачами, получены следующие основные результаты и сделаны выводы:

1) показано, что интуитивно-образное и формально-логическое в обучении основам математического анализа нельзя противопоставлять или рассматривать изолированно друг от друга, а следует анализировать в диалектическом единстве, представлять в соотношении, обеспечивающем наиболее благоприятные условия для полноценного усвоения обучаемыми основных понятий курса и способов математической деятельности, понимания ими фундаментальных идей и теорем, формирования у студентов технических направлений подготовки представлений о структуре математической теории;

2) традиционно сложившееся в практике обучения студентов технических направлений подготовки основам математического анализа соотношение формально-логического и интуитивно-образного в современных условиях должно быть изменено в сторону последнего;

3) сформулирована совокупность ведущих принципов (принцип полноты, принцип минимизации, принцип согласованности, принцип опоры, принцип завершённости, принцип динамизации, принцип опережения), регламентирующих использование образных (графических) представлений в учебном процессе;

4) предложена модель методической системы обучения студентов технических направлений подготовки с опорой на образные представления, включающая блоки: целевой (главная и сопутствующая цели), содержательный (основные содержательные компоненты обучения основам дифференциального исчисления в техническом вузе), процессуальный (стратегия реализации уровней изучения учебного материала основ дифференциального исчисления с опорой на образные представления; совокупность ведущих принципов, регламентирующих использование образных (графических) представлений в учебном процессе; основные виды учебных заданий, выполняемых с опорой на графические образы) и результативно-оценочный (выражение результата обучения, критериев и показателей его оценки);

5) определена стратегия развития образных представлений в работе с учебным материалом по основам дифференциального исчисления, предполагающая прохождение стадий использования статической наглядности, динамизации статических образов, образования целостной образной картины изучаемого;

6) создано методическое обеспечение обучения студентов технических направлений подготовки основам дифференциального исчисления с опорой на образные представления, в виде комплекса учебных заданий по каждому из выделенных видов всех тем раздела;

7) экспериментально проверена эффективность разработанного методического обеспечения. Гипотеза исследования получила экспериментальное подтверждение.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ ИЗЛОЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Конькова, М.И. Проблема формального и интуитивного в теории и практике обучения математике / М.И. Конькова // В мире научных открытий. - 2011. - №. 9.3 (31). - С. 725-732.

2. Конькова, М.И. Сущностные характеристики категории преемственности и ее функции в обучении основам математического анализа в системе школа-вуз / М.И. Конькова // Мир науки, культуры, образования. - 2011. -№.6 (31).-С. 79-80.

3. Конькова, М. И. О придании динамичности визуальным моделям, используемым в обучении основам математического анализа [Электронный ресурс] / М.И. Конькова, М.И. Зайкин // Современные проблемы науки и образования. - 2012. - №. 5 www.science-education.ru/105-7060. - С. 28-30. (авт. - 50 %).

Коллективная монография:

4. Конькова, М.И. Об одном способе обогащения наглядно — образной основы понятия непрерывности функции в точке / C.B. Арюткина [и др.]; под общ. ред. проф. М.И. Зайкина. - Арзамас: Изд-во АГПИ им. А.П. Гайдара, 2012.-С. 316-319.

Научные статьи и материалы выступлений на конференциях:

5. Конькова, М.И. К вопросу о взаимосвязи рациональной и интуитивной составляющих познания в профессиональной подготовке учителя математики / М.И. Конькова // Современный учитель сельской школы России: материалы Всерос. науч.-практ. конф. (с международным участием). — Арзамас: Изд-во АГПИ им. А.П. Гайдара, 13-14 октября 2010. - С. 56-61.

6. Конькова, М.И. Психолого-педагогические аспекты трудного усвоения вузовского курса математики / М.И. Конькова // Тенденции развития педагогической науки: материалы Междунар. заоч. науч.-практ. конф. — Новосибирск: Изд-во ЭНСКЕ, 23 октября 2010. - С. 202-207.

7. Конькова, М.И. К вопросу о взаимосвязи рациональной и интуитивной составляющих математического познания / М.И. Конькова // Современные направления научных исследований: материалы П Междунар. заоч. науч.-практ. конф. - Екатеринбург: ООО «Издательский дом «Ажур»», 27 октября

2010.-С. 38-40.

8. Конькова, М.И. Об одном способе обогащения наглядно-образной основы понятия числовой последовательности / М.И. Конькова // Современный учитель: личность и профессиональная деятельность: материалы П Междунар. науч.-практ. конф. - Таганрог: Изд-во «Спутник+», 30 октября 2010. - С. 1 ll-

lie.

9. Конькова, М.И. К вопросу о формализме в преподавании основ математического анализа в системе средняя школа - технический вуз / М.И. Конькова // Инновации и современная наука: материалы Междунар. заоч. науч.-практ. конф. - Новосибирск: Изд-во «Сибирская ассоциация консультантов», 2011. - С. 56-60.

10. Конькова, М.И. Роль интуиции в математическом творчестве / М.И. Конькова // Педагогические технологии математического творчества: материалы Междунар. науч.-практ. конф. - Арзамас: Изд-во АГПИ им. А.П. Гайдара, 4-6 октября 2011. - С. 83-89.

П.Конькова, М.И. Использование визуальных средств обучения при формировании математических знаний и умений у студентов технического вуза / М.И. Конькова // Инновационные образовательные технологии и методы их реализации: материалы IX Всерос. науч.-практ. конф. — Арзамас: Изд-во АГПИ им. А.П. Гайдара, 2012. - С. 74-80.

12. Конькова, М.И. Использование программы Advanced Grapher в обучении основам дифференциального исчисления в техническом вузе / М.И. Конькова // Гуманитарные традиции математического образования в России: материалы Всерос. науч. конф. (с международным участием). — Арзамас: Изд-во АГПИ им. А.П. Гайдара, 11-12 декабря 2012. - С. 403-410.

13. Конькова, М.И. Динамические визуальные модели как средства реализации гуманитарной направленности в обучении основам математического анализа / М.И. Конькова, М.И. Зайкин // Гуманитарные традиции математического образования в России: материалы Всерос. науч. конф. (с международным участием). - Арзамас: Изд-во АГПИ им. А.П. Гайдара, 11-12 декабря

2012. - С. 101-106.

14. Конькова, М.И. Основные составляющие в модельном представлении понятия числовой последовательности и её предела / М.И. Конькова // Наука молодых: сб. науч. тр. V Всерос. науч.-практ. конф., вып. 5. — Арзамас: Изд-во АГПИ им. А.П. Гайдара, 2012. - С. 22-27.

15. Конькова, М.И. Модель методической системы обучения студентов в техническом вузе основам дифференциального исчисления функции одной переменной с опорой на образные представления / М.И. Конькова // Новые педагогические технологии: содержание, управление, методика: тезисы Всерос. науч.-метод, конф. - Нижний Новгород: РИУ ННГУ им. Н.И. Лобачевского,

2013.-С. 248.

16. Конькова, М.И. Комплекс упражнений в изучении понятия касательной к графику непрерывной функции одной переменной в точке / М.И. Конькова // Наука молодых: сб. науч. тр. VI Всерос. науч.-практ. конф., выпуск 6. — Арзамас: Изд-во АФ ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2013. - С. 39-44.

Конькова Мария Ивановна

Обучение основам дифференциального исчисления студентов технических направлений подготовки с опорой на образные представления автореф. дис. ...канд. пед. наук. — Орел, 2013. -21 с.

Подписано в печать 20.05.2013 г. Формат 60x84 1/16 Печатается на ризографе. Бумага офсетная Гарнитура Times. Объем 1,17п.л. Тираж 120 экз. Заказ № 25 Отпечатано с готового оригинал макета на полиграфической базе редакционно-издательского отдела ФГБОУ ВПО «ОГУ» 302026 г. Орел, ул. Комсомольская, 95 Тел. (486 2) 74-09-30

Текст диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Конькова, Мария Ивановна, Арзамас

ФГБОУ ВПО «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО» АРЗАМАССКИЙ ФИЛИАЛ

На правах рукописи

042.01360349

КОНЬКОВА Мария Ивановна

ОБУЧЕНИЕ ОСНОВАМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ

НАПРАВЛЕНИЙ ПОДГОТОВКИ С ОПОРОЙ НА ОБРАЗНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

13.00.02 - Теория и методика обучения и воспитания (математика)

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор М.И. Зайкин

Арзамас - 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................4

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ОБУЧЕНИЯ ОСНОВАМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ НАПРАВЛЕНИЙ ПОДГОТОВКИ С ОПОРОЙ НА ОБРАЗНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

1.1. Проблема обучения основам математического анализа в педагогической литературе и практике обучения математике...........................14

1.2. Соотношение интуитивно-образного и формально-логического аспектов в обучении основам математического анализа студентов технических направлений подготовки.............................................35

1.3. Модель методической системы обучения основам дифференциального исчисления студентов технических направлений подготовки с опорой на образные представления....................................................56

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1................................................................72

ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБУЧЕНИЯ ОСНОВАМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ

ТЕХНИЧЕСКИХ НАПРАВЛЕНИЙ ПОДГОТОВКИ С ОПОРОЙ НА ОБРАЗНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

2.1. Образно-графическая база обучения основам дифференциального исчисления студентов технических направлений подготовки...........75

2.2. Динамизация графической наглядности основ дифференциального исчисления...........................................................................97

2.3. Комплекс упражнений к обучению основам дифференциального исчисления студентов технических направлений подготовки с опорой на образные представления.....................................................114

2.4. Постановка и анализ результатов педагогического эксперимента... 142

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2..............................................................156

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..........................................................................158

БИБЛИОГРАФИЯ.....................................................................160

ПРИЛОЖЕНИЯ........................................................................176

ВВЕДЕНИЕ

* Актуальность исследования. Математический анализ сегодня - это обширная область научного знания со специфическим объектом изучения (переменной величиной), своеобразным методом исследования (посредством анализа бесконечно малых или посредством предельных переходов), сложившейся системой основных понятий (функция, предел, производная, дифференциал, первообразная, интеграл, ряд и др.) и постоянно совершенствующимся аппаратом, основу которого составляют дифференциальное и ин-

* тегральное исчисления, имеющие необычайно широкое прикладное значение в самых различных областях науки и практической деятельности человека.

Знание основ анализа бесконечно малых является необходимой базой математической подготовки студентов технических направлений подготовки. Без него невозможно не только рассчитать работу ядерных реакторов, движение морской волны, возникновение и развитие циклона, но и экономично управлять современным производством, организацией технологических процессов, созданием программ для станков с числовым программным управлением, ибо всё это требует изучения динамических процессов, изменяющихся во времени или в пространстве.

Известные отечественные педагоги-математики М.И. Башмаков, Л.Д. Кудрявцев, Г.Л. Луканкин, A.A. Ляпунов, С.М. Никольский, В.М. По* тоцкий, В.В. Тихомиров, А.Я. Хинчин, М.И. Шабунин и др. повышение качества математической подготовки студентов технического вуза напрямую связывают с совершенствованием методики обучения основам математического анализа. Многие из них, анализируя затруднения обучаемых в овладении знаниями основ анализа бесконечно малых и устанавливая причины этих затруднений, прямо или косвенно указывают на необходимость изменения установившегося соотношения в использовании формально-логических и интуитивно-образных методических средств обучения в сторону последних.

На наш взгляд, необходимость обучения сегодняшних студентов тех-

нических вузов основам анализа бесконечно малых с опорой на образные (графические) представления обусловлена рядом обстоятельств.

В-третьих, в условиях компетентностного подхода к подготовке специалистов с высшим образованием представляется чрезвычайно важным обеспечить органичное соединение в обучении чувственного и рационального познания, абстрактного (идеального) и конкретного (практического) знания, образного и логического (понятийного) мышления, индуктивных и дедуктивных рассуждений (Ф.С. Авдеев, В.В. Афанасьев, Г.Д. Глейзер, Г.В. Дорофеев, П.М. Эрдниев и др.). Всё это обуславливает необходимость использования в обучении комплекса дидактических средств и методических пособий, обеспечивающих полноценное развитие не только логического мышления, но и мышления визуального, оперирующего образами, их графическим представлением.

пьютерных устройств, но и правильно понимать её и даже уверенно оперировать ею (Я.А. Ваграменко, Д.Е. Ершов, В.М. Монахов, И.В. Роберт и др.). $ В-пятых, ставшие доступными как вузам (и в первую очередь техниче-

ским), так и отдельным студентам пакеты символьной математики, специально созданные виртуальные образовательные среды обладают большими визуализационными возможностями, эффектами анимации графической информации, позволяющими существенно облегчить понимание обучаемыми существа многих математических абстракций (A.A. Кузнецов, О.В. Манту-ров, H.A. Резник, В.Д. Селютин и др.).

Несмотря на многочисленные указания выдающихся математиков и педагогов на необходимость задействования интуитивной составляющей интеллекта в познавательном процессе, важность образных компонент в раскрытии сущности понятий основ математического анализа, значение представлений в понимании идей доказательства его теорем, остался не до конца исследованным вопрос о том, как сделать образные (графические) представ-^ ления опорой изучения математических абстракций студентами технических

направлений подготовки, повысить их роль в формировании прикладной культуры будущих инженеров или технологов.

Сказанное выше обуславливает противоречие между потребностью практики обучения основам математического анализа студентов технических направлений подготовки в методиках, основанных на широком использова-* нии образных представлений, и отсутствием необходимого для этого мето-

дического обеспечения.

Предметом исследования является содержание, методы и средства

обучения основам дифференциального исчисления студентов технических направлений подготовки с опорой на образные представления.

- выделить образную базу основ дифференциального исчисления, изучаемых в техническом вузе;

- разработать комплекс заданий по всему учебному материалу основ дифференциального исчисления, выполнение которых осуществляется с опорой на выделенные образные представления и совокупность ведущих принципов, и реализовать этот комплекс в учебном процессе.

1. Изучить состояние проблемы обучения основам математического анализа в методической литературе и образовательной практике;

2. Раскрыть характер взаимосвязи формально-логической и интуитивно-образной составляющих учебного материала в формировании математических абстракций анализа бесконечно малых;

3. Научно обосновать и построить модель методической системы обучения студентов технических направлений подготовки основам дифференциального исчисления с опорой на образные представления;

4. Разработать методическое обеспечение обучения студентов техниче-

ских направлений подготовки основам дифференциального исчисления с опорой на образные представления;

5. Экспериментально проверить эффективность разработанного методического обеспечения.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы педагогического исследования:

- изучение и анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы по проблеме исследования;

- анализ результатов ЕГЭ по математике, семестровых экзаменов студентов технических вузов;

- системный анализ педагогических объектов;

- констатирующий, поисковый и формирующий эксперименты;

- статистическая обработка и анализ данных, полученных в ходе обучающего эксперимента.

Теоретико-методологическую основу исследования составляют:

- психологические теории развития личности в обучении (JI.C. Выготский, В.В. Давыдов, JI.B. Занков, З.И. Калмыкова, А.Н. Леонтьев, H.A. Менчинская, С.Л. Рубинштейн и др.);

- работы методистов-математиков, касающиеся методики обучения основам математического анализа (Т.К. Авдеева, М.И. Башмаков, Н.Я. Вилен-кин, И.В. Дробышева, О.С. Ивашов-Мусатов, С.И. Калинин, Е.С. Канин, Л.Д.

Кудрявцев, Г.Л. Луканкин, Н.И. Мерлина, А.Г. Мордкович, O.A. Саввина, Е.И. Смирнов, О.В. Тарасова, А.Я. Хинчин и др.);

Этапы исследования. Исследование проводилось в несколько этапов.

На третьем этапе (2011-2012 гг.) происходило обобщение данных теоретического анализа, обработка результатов педагогического эксперимента, осуществлялась систематизация накопленного материала и его целостное изложение в виде диссертации и автореферата.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что:

- определена совокупность ведущих принципов (принцип полноты, принцип минимизации, принцип согласованности, принцип опоры, принцип завершённости, принцип динамизации, принцип опережения), регламентирующих использование образных (графических) представлений в учебном процессе;

представлений, может быть использован на практических занятиях при изучении основ дифференциального исчисления студентами технических направлений подготовки.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Интуитивно-образное и формально-логическое в обучении основам математического анализа нельзя противопоставлять или рассматривать изолированно друг от друга, а следует анализировать в диалектическом единстве, представлять в соотношении, обеспечивающем наиболее благоприятные условия для полноценного усвоения обучаемыми основных понятий курса и способов математической деятельности, понимания ими фундаме