Методика составления и использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, в основной школе

Карпушина, Наталья Михайловна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методика составления и использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, в основной школе

Автореферат

Автор научной работы: Карпушина, Наталья Михайловна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Москва
Год защиты: 2004
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Методика составления и использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, в основной школе"

На правах рукописи

КАРПУШИНА Наталья Михайловна

МЕТОДИКА СОСТАВЛЕНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

ЗАДАЧ, РЕАЛИЗУЮЩИХ ОТКРЫТЫЙ ПОДХОД В ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ, В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания

(математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики математического факультета Московского педагогического государственного университета

Научные руководители: доктор педагогических наук, профессор

ГУСЕВ Валерий Александрович

кандидат педагогических наук, доцент ЛУДИНА Галина Борисовна

Официальные оппоненты: действительный член РАО,

доктор физико-математических наук, профессор БАВРИН Иван Иванович

Защита состоится «20» сентября 2004 г. в 15°° часов на заседании Диссертационного совета К 212.154.11 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, математический факультет Mill У, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ml 11У по адресу: 119992, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1.

Автореферат разослан « 2004 года.

кандидат педагогических наук КУРДЮМОВА Наталия Александровна

Ведущая организация: Коломенский государственный

педагогический институт

Ученый секретарь Диссертационного совета

Чиканцева Н. И.

1 Щ1\

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Современная система образования претерпевает значительные изменения, связанные с изменившимися целями общества в области образования. Быстрое развитие высоких технологий и усложнение экономических отношений в обществе требует повышения качества подготовки кадров, способных к творческому развитию, стремящихся к познанию окружающего мира, самосовершенствованию и самореализации. Большая роль в формировании человека как интеллектуальной и творческой личности отводится школе.

Проблема развития мышления учащихся является одной из важных в современной методике преподавания математики. Приоритетное значение в обучении этому предмету придается формированию абстрактного, дедуктивного, алгоритмического, эвристического мышления школьников; таких его качеств как гибкость, широта, критичность и др. Однако в настоящее время целям развития, овладения учащимися методами познания и навыками исследовательской работы учителями уделяется недостаточно внимания, огромный развивающий потенциал математики используется недостаточно. Такое положение дел сохраняет неразрешенным противоречие между декларируемыми целями образования, стремлением достичь развития учащихся средствами учебного предмета - с одной стороны, и реальными результатами обучения - с другой стороны.

Один из возможных путей разрешения этого противоречия состоит во включении в практику обучения методов, позволяющих активизировать учебную деятельность школьников. Эта проблема освящалась в работах многих известных ученых (Ю. К. Бабанского, В. П. Беспалько, ГО. М. Ко-лягина, С. Г. Манвелова, В. Л. Матросова, Г. И. Саранцева, А. А. Столяра, В. А. Трайнева и др.).

В нашем исследовании рассмотрен так называемый генетический подход в преподавании, позволяющий приобщить школьников к деятельности по самостоятельному добыванию математических знаний. Согласно генетическому подходу, методика обучения предмету должна опираться на характерные для соответствующей науки пути и методы познания. При этом ученик выступает не как потребитель готовых знаний, а как их добытчик.

Подобные мысли высказывали в разное время известные педагоги (И. Г. Песталоцци, А. Дистервег, К. Д. Ушинский, Л. Н. Толстой, Б. В. Все-хсвятский, П. Ф. Каптерев и др.) и философы (Сократ, Аристотель, Ж.-Ж. Руссо, Г. Спенсер, Э. В. Ильенков и др.). Однако этот асуугеу^ будучи вас-

требованным и разработанным на теоретическом ур( 1

широкого распространения в практике школьного о( учен^^^^ШшЬрей- [ ся в конкретных методах и средствах его воплощена . до «^о!

Применительно к предмету "математика", идея генетчшшш ибуче*""* ния встречается в работах ряда известных отечественных и зарубежных методистов, а также математиков, интересовавшихся вопросами преподавания этой науки (Н. М. Бескина, В. М. Брадиса, М. Вагеншайна, А. Вит-

тенберга, О. Гельдера, Н. А. Извольского, Ф. Клейна, Д. Пойа, М. В. Потоцкого, А. Пуанкаре, У. У. Сойера, О. Теплица, Дж. Флетчера и др.). Позже она получила воплощение в методе "переоткрытий" математических знаний, описанном голландским математиком и методистом Г. Фройденталем. Однако рекомендации автора по его применению носили общий характер.

В начале 90-х годов прошлого века наряду с термином "генетический подход" появился новый термин - "открытий подход" в обучении математике. Его ввели в употребление японские и американские исследователи (Н. Нохда, С. Шимада, Дж. Беккер, А. Шенфельд). Цель "открытого подхода" - научить школьников делать математику и мыслить математически, что может быть достигнуто в процессе решения определенных видов задач. Однако требования, предъявленные авторами к таким задачам, носят общий характер и не позволяют однозначно выделить последние из множества используемых в обучении задач, тем более - дать им классификацию.

Проблема самостоятельного добывания учащимися математических знаний рассматривается и в работах современных российских методистов (В. А. Гусева, А. X. Назиева, Г. И. Саранцева, И. С. Сафуанова, А. Я. Цу-каря и др.). В учебных пособиях и сборниках дидактических материалов по геометрии (авторы: Л. С. Атанасян и др.; В. А. Гусев; И. М. Смирнова; А. Л. Вернер, В. И. Рыжик и Т. Г. Ходот; А. Я. Цукарь) встречаются некоторые виды задач, позволяющие приобщить школьников к математическим исследованиям и реализовать тем самым "открытый подход" в преподавании геометрии. Однако анализ методической и учебной литературы показал, что классификация таких задач, методика их составления и использования в обучении геометрии в основной школе разработаны недостаточно.

Все вышесказанное определило актуальность нашего исследования.

Проблема исследования состоит в выявлении возможных путей и разработке средств реализации "открытого подхода" в обучении геометрии в основной школе.

Объект исследования: процесс обучения геометрии в основной школе.

Предмет исследования: методика составления и использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, в основной школе.

Цель исследования: разработать методику составления и использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, в основной школе.

Гипотеза исследования: систематическое и целенаправленное использование специально разработанных задач, моделирующих процесс математического открытия и позволяющих приобщить учащихся к деятельности по самостоятельному добыванию математических знаний, будет способствовать реализации "открытого подхода" в обучении геометрии в основной школе, развитию у учащихся исследовательских умений как основы формирования научного стиля мышления.

Цель и гипотеза исследования потребовали решения ряда задач:

1. Провести анализ психолого-педагогической и методической литературы по данной проблеме.

2. Определить возможные пути и средства реализации "открытого подхода" в обучении геометрии в основной школе.

3. Дать характеристику и классификацию задач, позволяющих осуществить "открытый подход" в обучении геометрии в основной школе.

4. Разработать методику составления и использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, в основной школе.

5. Экспериментально проверить эффективность предлагаемой методики.

В ходе решения поставленных задач применялись различные методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической, математической и научно-методической литературы, школьных учебников и учебных пособий; обобщение отечественного и зарубежного опыта по исследуемой проблеме; анализ личного опыта работы в школе и работы I других учителей; педагогический эксперимент по проверке основных по-

ложений диссертации.

Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключаются в следующем:

1. Обоснована возможность и предложена реализация генетического подхода в обучении математике через "открытый подход" в обучении посредством специально разработанных задач, моделирующих процесс математического открытия.

2. Сформулированы требования к составлению и использованию задач, реализующих открытый подход в обучении математике, дана общая характеристика и классификация таких задач.

3. Разработана методика составления и использования задач, моделирующих процесс математического открытия и приобщающих школьников к исследовательской деятельности, аналогичной по структуре и формам проявления творческой деятельности ученого-математика.

| Практическая значимость исследования состоит в том, что в нем

даны методические рекомендации по составлению и обучению решению задач, реализующих "открытый подход" в обучении геометрии, в основ-• ной школе, предложены подборки таких задач по темам "Многоугольни-

ки" и "Площади многоугольников". И сами задачи, и данные рекомендации могут применяться учителями математики в их работе, а также использоваться при создании учебных пособий и дидактических материалов по геометрии и при работе со студентами педагогических вузов.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается: системным и целостным подходом к исследуемой проблеме, опорой на основные положения теории познания, исследований в области педагогической психологии, дидактики и методики; согласованностью выводов с основными положениями методики преподавания математики и концепцией школьного математического образования; результатами опытно-экспериментальной работы.

Этапы исследования. Исследование проводилось поэтапно с 1999 по 2003 год. На первом этапе анализировалась философская, психолого-

педагогическая и научно-методическая литература по теме диссертации, разрабатывались гипотеза и задачи исследования, проводился констатирующий эксперимент. На втором этапе уточнялась гипотеза исследования, в ходе поискового эксперимента составлялись и отбирались задачи, способствующие реализации "открытого подхода" в преподавании геометрии, разрабатывалась их классификация, а также рекомендации по использованию. На третьем этапе проводился формирующий эксперимент по проверке эффективности предложенной методики, разрабатывались рекомендации по составлению задач, моделирующих процесс математического открытия, обобщались и оформлялись результаты, полученные в ходе исследования.

Апробация и внедрение. Основные положения диссертации обсуждались на занятиях спецкурса по методике преподавания математики у студентов IV-V курсов и магистрантов I курса математического факультета MI II У, докладывались на педагогических чтениях Mill У. Результаты исследования отражены в семи публикациях и нашли применение в практике работы учителей математики гимназии №1529, школы-лаборатории №825 и школы №703 г. Москвы. На защиту выносятся:

1. Пути реализации "открытого подхода" в обучении геометрии в основной школе.

2. Методика составления и использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, в основной школе.

3. Содержание геометрических задач, моделирующих процесс математического открытия, которые позволяют приобщить учеников к самостоятельному добыванию математических знаний, способствуют развитию у них исследовательских умений как основы формирования научного стиля мышления.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 156 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность рассмотренной в диссертации проблемы, определяются объект, предмет, задачи и методы исследования, формулируются цель и гипотеза исследования, раскрываются его научная новизна, теоретическая и практическая значимость, излагаются положения, выносимые на защиту.

В первой главе «Происхождение, сущность и пути реализации "открытого подхода" в обучении математике» анализируются работы отечественных и зарубежных ученых (педагогов, психологов, методистов, математиков), относящиеся к изучаемой проблеме, рассматривается история возникновения идеи "открытого подхода" в преподавании математики, раскрывается сущность, определяются пути и перспективы реализации "открытого подхода" в обучении геометрии.

В §1 рассматривается история развития генетического подхода в практике обучения, согласно которому методика обучения предмету должна опираться по возможности на естественные пути и методы познания, присущие соответствующей науке, т. е. обучение должно следовать путям происхождения знания. При этом приоритет отдается преподаванию, в основе которого лежит не информационное сообщение знаний, а организованное учителем самостоятельное приобретение их учащимися.

Уже в первой половине XX века в работах отечественных методистов Н. А. Извольского и Н. М. Бескина было дано описание генетического метода и возможностей его использования применительно к преподаванию математики. Более поздние исследования психологов и методистов, рассмотренные нами, обогатили его конкретными сведениями, прежде всего касающимися путей познания, процесса овладения учащимися новыми понятиями, развития теоретического мышления.

Идея генетического подхода в преподавании математики нашла воплощение в методе "переоткрытий", предполагающем такую организацию обучения, при которой знания как бы заново открываются учениками при непосредственной помощи учителя.

В последние годы в работах зарубежных и отечественных специалистов, занимающихся вопросами математического образования, все чаще высказываются идеи, по-своему выражающие генетический принцип в преподавании математики. Одной из них является идея "открытого подхода" в обучении, которая развивает основную идею метода "переоткрытий" знаний, указывая практические пути его осуществления.

В рассмотренных нами работах зарубежных и отечественных ученых показано, что генетический подход связан со всеми важнейшими аспектами математического образования и может проявляться на разных этапах процесса обучения: при введении новых понятий, обучении доказательству и решению задач, а также в отборе содержания и разработке учебных программ и школьных учебников. Это дает основание считать, что генетический подход может и должен стать основополагающим принципом обучения математике, а "открытый подход" - одной из конкретных его реализаций в обучении математике в школе.

В §2 дается общая характеристика метода "переоткрытий" и раскрывается его роль в обучении математике. Суть этого метода заключается в такой организации обучения, при которой знания не сообщаются ученикам в готовом виде, изучаемое как бы создается или открывается ими заново; при этом учитель обращает внимание учеников не только на математические идеи, но и на процесс их возникновения.

В данном случае "переоткрытие" не стоит понимать буквально: оно не настоящее, а стимулирующее. Учебное исследование, приводящее к установлению конкретного математического факта, имитирует процесс открытия и отличается от научного исследования рядом существенных особенностей:

- поставленная перед учениками проблема и истина, которую они в итоге открывают, не являются новыми для науки, но они новы для учащихся,

которые на этом этапе своей учебной деятельности мыслят и действуют как первооткрыватели;

- познание нового происходит в учебном процессе в облегченных, специально организованных условиях и не представляет собой длинную цепь поисков, ошибок и находок, характерную для реального процесса научного познания;

- различна степень самостоятельности ученого и ученика: учебное исследование, моделирующее процесс открытия, обычно проходит под руководством, с личным участием и с помощью учителя.

Как и всякий другой метод обучения, метод "переоткрытий" не является универсальным и не может использоваться в одинаковой степени на всех стадиях обучения математике. В работах психологов показано, что мышление подростка потенциально готово к научному исследованию, вот почему на начальном этапе изучения систематического курса геометрии в деятельность учащихся могут и должны быть включены элементы исследования, позволяющие открывать отдельные факты, устанавливать некоторые закономерности и т. п., что является подготовкой к применению метода "переоткрытий" в старших классах в более развитой и сложной форме, когда школьниками могут выявляться новые способы действия, а в процессе выдвижения и проверки гипотез - открываться заново целые блоки материала, обобщаться в разных направлениях полученные результаты, устанавливаться связи между известными понятиями или утверждениями и т. д.

Определяя место метода "переоткрытий" в системе методов обучения математике, можно говорить о том, что он, вовлекая школьников в самостоятельную деятельность, аналогичную творчеству ученого-математика, служит реализацией разработанного в дидактике исследовательского метода. С другой стороны, моделируя процесс математического открытия, он является ведущим методом добычи математических знаний, отражающим многообразие путей их возникновения в самой науке.

В §3 уточняются цели, пути и средства реализации "открытого подхода" в обучении. "Открытый подход" в обучении математике мы рассматриваем как современную реализацию метода "переоткрытий" в генетическом подходе в обучении математике; он не только развивает их идеи, но и указывает конкретные пути их осуществления.

Цели "открытого подхода" - научить школьников делать математику и мыслить математически. Они могут быть достигнуты путем приобщения учащихся к исследовательской деятельности, аналогичной по структуре и формам проявления творческой деятельности ученого-математика, но отличающейся от нее "степенью умственного усилия" и субъективной значимостью результата.

Можно указать два пути реализации "открытого подхода": 1) создание задач, с помощью которых моделируется процесс математического открытия; мы будем называть их задачами, реализующими открытый подход в обучении математике;

2) изложение доказательств школьных теорем с целью привлечения учеников к их проведению (стиль изложения доказательств в учебнике должен по возможности отражать логику их возникновения, указывать учащимся пути, которые привели бы их самих к необходимым рассуждениям).

Таким образом, средство реализации первого пути - специально разработанные задачи (источник новых для ученика знаний), частично или полностью моделирующие процесс открытия, причем каждая задача посвящена конкретному исследованию. На этом основании можно не только выделить их среди других типов задач и дать их классификацию, исходя из конечных целей учебного исследования, но и разработать общие требования к формулировке таких задач. ' "Открытый подход" в преподавании геометрии напрямую связан с

проблемой обучения школьников доказательствам. Обучение доказательству - многогранный процесс, который включает в себя не только формирование потребности в логическом обосновании утверждений, умений осуществлять дедуктивные выводы и анализировать готовые доказательства, но и обучение открытию фактов, самостоятельному поиску и выполнению доказательств, применению приемов научного познания.

Многие методисты говорили о том, что следует не просто формулировать теорему и давать ее готовое доказательство, но и по мере возможности указывать учащимся пути, которые привели бы их самих к доказательству. В учебниках В. А. Гусева предпринята попытка осуществления этой идеи. Ее мы рассматриваем как возможность реализации "открытого подхода" в обучении школьников доказательствам.

В §4 перечисляются особенности задач, моделирующих процесс математического открытия, раскрывается их роль в обучении геометрии и дается их классификация.

Анализ общей схемы решения задачи (по Д. Пойа) и схемы процесса научного открытия выявил аналогию, существующую между их соответствующими этапами. В процессе решения задача, реализующая открытый подход в обучении математике, по-новому раскрывается на каждом этапе исследования (таблица 1): изменяется характер ее "открытости" (послед-I няя характеризуется многовариантностью формулировки условия, а также

неопределенностью метода решения задачи, одним из следствий чего является неоднозначность ответа) в соответствии с внутренней логикой процесса открытия, благодаря чему становится возможным моделировать последний, направлять и в определенной степени контролировать учебное исследование.

Особенностью задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, является включение в их условие системы подсказок (указаний, наводящих вопросов, готовых чертежей), направляющих и регулирующих работу учащихся. Благодаря этому, разработанные нами задачи частично "берут на себя" функции, традиционно выполняемые учителем. Такой подход к составлению задач позволяет повысить степень самостоятельности школьников и влияет на характер их взаимоотношений с учителем. Процесс решения такого рода задач предполагает совместную творческую

работу учителя и ученика по добыванию знаний: ученик выступает как исследователь, а учитель становится соучастником процесса открытия, принимая на себя роль единомышленника и помощника ученика.

Таблица 1

ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (по Д. Пойа) ЭТАПЫ ПРОЦЕССА ОТКРЫТИЯ ИЗМЕНЕНИЕ ХАРАКТЕРА "ОТКРЫТОСТИ" ЗАДАЧИ

I Понимание постановки задачи Эмпирические действия, сбор и обработка данных "Открыта" по отношению к формулировке (в связи с уточнением данных или вопроса)

II Составление плана решения Формулирование гипотезы "Открыта" по отношению к первичному результату

1П Осуществление решения Проверка гипотезы "Открыта" по отношению к методу решения

IV Проверка и оценка решения Получение новых результатов "Открыта" по отношению к новым результатам

Говоря о роли задач, реализующих открытый подход в обучении математике, отметим, что они являются не только источником новых значимых для учащихся знаний, но и средством развития их исследовательских умений как основы формирования научного стиля мышления.

Задачи, реализующие открытый подход в обучении геометрии, направлены на развитие у школьников качеств, присущих научному мышлению: гибкости, целенаправленности, широты (обобщенности), критичности и др., а также способности делать умозаключения не только дедуктивного, но и индуктивного характера, умения классифицировать изучаемые объекты, устанавливать причинно-следственные связи между ними и т. д.

Как было сказано выше, в процессе решения предлагаемых задач ученик выступает в роли исследователя. "Переоткрывая" известные факты, он как бы проходит один из возможных путей математического открытия, выполняя на разных этапах основные исследовательские операции: выявление противоречий, формулирование проблем, проведение наблюдений (измерений, вычислений), выдвижение и проверку гипотез, определение сфер и границ применения полученных результатов. При этом пути, способные привести учеников к выявлению математических закономерностей, основаны на применении таких методов научного познания, как наблюдение, сравнение, аналогия, индукция, обобщение и др., которые могут использоваться в будущем в любого иного рода исследовательской деятельности.

Таким образом, с одной стороны, методы научного познания используются в процессе решения задач, моделирующих процесс математического открытия, с другой стороны, сами задачи являются средством развития умений по их использованию.

В работе предложены две классификации задач, реализующих открытый подход в обучении математике. Первая классификация

В соответствии с целью учебного исследования можно выделить задачи четырех типов:

I. На открытие и/или классификацию новых объектов. П. На конструирование и/или проверку определений и утверждений. Ш. На наховдение новых свойств (признаков) изучаемого объекта или его отдельных элементов.

IV. На выявление закономерностей, зависимостей или связей между рассматриваемыми объектами или элементами одного объекта. Вторая классификация

В соответствии с реализуемым путем открытия (логическим или основанном на интуиции) можно выделить задачи, моделирующие процесс открытия:

1) частично (проверка готовых гипотез; выведение знаний логическим путем);

2) полностью (выдвижение и проверка гипотез, дальнейший анализ результата).

Во второй главе «Методика обучения решению задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии» представлена методика составления и использования задач, позволяющих привлечь учащихся к самостоятельным исследованиям в области геометрии.

В §1 перечисляются требования к формулировке задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, и на конкретных примерах показывается процесс создания таких задач. Представленные в этом параграфе рекомендации позволят учителю в дальнейшем составлять их самостоятельно.

Задача, реализующая открытый подход в обучении, может представлять собой задачу:

- на открытие конкретного факта (содержит один вопрос);

- "с продолжением в разных направлениях" на получение нескольких результатов на базе открытого и доказанного на первом шаге утверждения (содержит несколько вопросов);

- "с продолжением во времени" на выявление результатов, которые фиксируются в виде гипотез и обосновываются по мере приобретения учащимися необходимых знаний.

Можно также рассматривать цепочки взаимосвязанных задач на открытие сразу нескольких свойств одного объекта.

Формулировка задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, должна удовлетворять следующим основным требованиям:

■ отражать цель исследования и допускать ее конкретизацию;

Например, если цель исследования - найти различные обобщения полученного результата, то формулировка требования задачи может быть такой: "Попробуйте обобщить получившийся результат..." (самая об-

щая) или "Нельзя ли обобщить получившийся результат на случай...?" (более конкретная, т. к. указано направление обобщения).

■ не давать готовый ответ на поставленный вопрос или содержать прямое указание на него, либо на способ его получения;

Вместо таких общих формулировок, как "Докажите, что...", "Используя теорему (прием, метод и т. д.)..., найдите..." лучше использовать следующие: "Согласны ли вы с тем, что... ?", "Какие из утверждений можно доказать на основе...?", "Найдите отношение, связывающее...", "Оцените..." vit. п.

■ содержать косвенное требование обосновать любой ответ (сам вопрос допускает несколько ответов-гипотез);

Речь идет о представленном в неявной форме требовании доказать данный учеником ответ: "Верно ли, что...? Почему?", "Сколько существует... ? Объясните" и т. п.

■ содержать указания, подсказки, готовые чертежи, отражающие один из возможных путей открытия и делающие поиск решения более целенаправленным.

Указания, подсказки, готовые чертежи являются частью условия или требования задачи и помогают не только установить связи между ними, но и определяют в целом процесс решения, задавая направление поиска. При этом они могут использоваться по отдельности или комбинироваться.

Например, в задаче: "Существует ли ромб со стороной 1 км, площадь которого равна 1 см2? Если да, то укажите, чему равна его высота. Если нет, то объясните, почему не существует" подсказка скрыта в вопросе, допускающем неоднозначный ответ, зарождающем сомнения и заставляющем ученика присмотреться к ситуации более внимательно. Вторая часть формулировки содержит рекомендации, касающиеся проверки данного учеником ответа, указывая тем самым возможные направления дальнейшей работы.

Рассмотренная нами задача относится к I типу классификации в соответствии с целью учебного исследования. Приведем примеры формулировок задач остальных трех типов этой классификации.

Задача Ш тип)

Согласны ли вы с утверждением: "Любой выпуклый четырехугольник, делящийся диагональю на равные треугольники, является параллелограммом"? Если нет, то как исправить утверждение, чтобы оно стало верным? Объясните ответы.

Задача (III тип)

Перегибая бумажную модель ромба, выясните, на кате многоугольники разбивает ромб каждая диагональ. Опираясь на свойства этих многоугольников, найдите как можно больше свойств ромба.

Задача (ТУ тип)

Сторону треугольника увеличили в 5 раз, а проведенную к ней высоту уменьшили в 5 раз. Как изменилась площадь треугольника? Высоту треугольника увеличили в п раз. Что нужно сделать со стороной треугольника, к которой она проведена, чтобы его площадь не изменилась? Какая зависимость существует между длинами сторон треугольника и проведенных к ним высот? Выразите эту зависимость в виде формулы. Обоснуйте ответ.

Приведем также пример цепочки взаимосвязанных задач на открытие нескольких свойств правильных многоугольников.

Задача 1.

ABCDE-правильный пятиугольник (рис. 1.1).

1. Сравните диагонали АС и AD.

2. Сравните углы ВАС, CAD и DAE.

3. Укажите на рисунке равнобедренные треугольники.

4. Укажите на рисунке равные треугольники.

Задача 2.

ABCDEF- правильный шестиугольник (рис. 1.2).

1. Сравните диагонали AC, AD и АЕ.

2. Сравните углы ВАС, CAD, DAE и EAF.

3. Укажите на рисунке равнобедренные треугольники.

4. Укажите на рисунке равные треугольники. Какие из них являются прямоугольными?

Задача 3.

Aj...A„ - правильный п-угольник (п > 3). Ответьте на вопросы 1-4 двух предыдущих задач (рассмотрите отдельно случаи четного и нечетного п). Отметьте на рисунке 2 равные диагонали, равные углы с вершиной Ai, выделите разными цветами пары равных между собой треугольников.

А, А7

А, А5

Аз Аз А« А2

/7V

Рис.2

а7

AI А,

В §2 и §3 на примере изучения тем "Многоугольники" и "Площади многоугольников" излагается методика использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии. При этом особое внимание уделяется этапам выявления закономерностей и выдвижения гипотез, касающихся свойств исследуемых объектов.

В диссертации представлены подборки задач по двум темам: "Многоугольники" и "Площади многоугольников". При их составлении мы стремились к тому, чтобы:

- задачи охватывали наиболее важные теоретические сведения по указанным темам, и этот охват был как можно шире;

- задачи моделировали (как частично, так и полностью) разные пути открытия и иллюстрировали применение различных приемов и методов познания: аналогии, индукции, специализации и др.;

- в подборке были представлены задачи всех четырех типов классификации в соответствии с целью учебного исследования.

В обучении геометрии использование задач, моделирующих процесс открытия, должно носить систематический характер. (Такие задачи были разработаны нами по всем темам школьного курса планиметрии. Многие из них представлены в авторских учебно-методических пособиях: "Развивающие задачи по геометрии. 7 класс" и "Развивающие задачи по геометрии. 8 класс".)

Задачи, реализующие открытый подход, могут использоваться на различных этапах обучения математике с разными целями: для введения новых понятий; для знакомства с важными математическими идеями и методами; для выявления новых свойств известных объектов и различных математических закономерностей; для установления связей изучаемого понятия с другими понятиями; для обобщения и систематизации знаний.

В обучении геометрии такие задачи можно рассматривать как средство реализации конкретных этапов изучения теорем и формирования новых понятий. Наиболее целесообразно использовать их:

- при работе с теоремами - на этапах: мотивации изучения теоремы; доказательства теоремы; установления связей теоремы с изученными ранее теоремами;

- при формировании понятий - на этапах: мотивации введения понятия; выделения существенных свойств понятия; синтеза выделенных свойств, формулировки определения понятия; установления связей изучаемого понятия с другими понятиями.

Каждая из рассмотренных в главе II задач частично или полностью моделирует процесс открытия, реализуя один из его путей: дедуктивный или индуктивный. Процесс обучения решению таких задач рассматривается в связи с формированием у учащихся умений по применению различных эвристических приемов, а также методов научного познания, с помощью которых можно прийти к математическим открытиям. В §2 рассмотрены следующие приемы и методы: наблюдение, сравнение, аналогия, индукция, перенос свойств с одного объекта на другой и приемы работы с гипотезами, а в §3 - обобщение, специализация, выведение следствий из утверждений и переконструирование объекта.

Например, результатом решения следующей задачи на применение приема сравнения является открытие учащимися свойства медианы равнобедренного треугольника.

Задача.

Укажите на рисунке 3 все пары равных углов. Объясните ответ. Сформулируйте полученные выводы для равнобедренного треугольника.

Решение следующей задачи на изучение формулы площади треугольника и ее частных видов направлено на формирование приема специализации.

Задача.

Площадь треугольника со сторонами а, Ь и углом у между ними можно вычислить по формуле 5Д = /4 аЫ'щ. А как выглядит формула для некоторых видов треугольника: а) прямоугольного с катетами аиЬ; б) равнобедренного с боковой стороной а и углом у при вершине; в) равностороннего со стороной а? Как получаются эти формулы?

В §4 второй главы описывается экспериментальная работа, проводившейся в 1999-2003 гт. с учащимися 8-11 классов. Ее целью была проверка гипотезы нашего исследования: систематическое и целенаправленное использование специально разработанных задач, моделирующих процесс математического открытия и позволяющих приобщить учащихся к деятельности по самостоятельному добыванию математических знаний, будет способствовать реализации "открытого подхода" в обучении геометрии в основной школе, эффективному развитию у учащихся исследовательских умений как основы формирования научного стиля мышления.

На этапе констатирующего эксперимента изучался интерес школьников к новым для них задачам с элементами исследования и выявлялись трудности, возникающие при их решении. Было проведено анкетирование с целью выяснить, какой интерес проявляют школьники к таким задачам, какая их формулировка наиболее привлекательна для учащихся, какой способ получения новых математических знаний они бы предпочли.

Результаты анкетирования показали, что школьникам интересно решать задачи на открытие (19,1 % от числа всех опрошенных), с элементами исследования, способ решения которых заранее неизвестен (21,4 % опрошенных). Только 21,4 % участвовавших в опросе школьников отметили, что им интересно решать задачу на открытие нового знания, если формулировка содержит требование "Докажите, что...". Остальные предпочитают вопрос с неоднозначным ответом, причем предполагающий разную степень "открытости". Наибольшие трудности в решении таких задач связаны с логическим обоснованием ответа.

На этапе поискового эксперимента анализировались, составлялись и отбирались задачи, способствующие реализации "открытого подхода" при изучении разных тем курса геометрии основной школы.

На этапе формирующего эксперимента проверялась доступность для учащихся отобранных задач, проводились контрольные срезы знаний по

разным темам. В письменные работы включались задачи исследовательского характера на выявление закономерностей, обобщение результатов, изучение формул и др. Такие срезы проводились, в частности, в нетрадиционной форме, для чего были использованы разработанные нами математические игры. Одной из них была игра "Лабиринт", позволяющая осуществить уровневую дифференциацию обучения математике и привлечь школьников к исследовательской деятельности. Опишем коротко ее правила.

Задача игроков - добраться до сундука с сокровищами, находящегося в центре Лабиринта. Для этого необходимо пройти семь ворот Лабиринта (на рис. 4 они обозначены цифрами разного шрифта), то есть сделать семь задач.

На каждом этапе надо решить задачу определенного типа, посвященную одному из вопросов изученной темы. Задачи одного типа отличаются уровнем сложности (всего их три) и имеют разную стоимость (от 1 до 3 баллов). Общая стоимость сделанных задач определяет ту или иную оценку. Путь через Лабиринт игрок определяет самостоятельно, выбирая оптимальный для себя уровень трудности заданий, например:

Простые задачи (1, 2 и т. д.) отвечают обязательному уровню программных требований. Задачи посложнее (1, 2 и т. д.) - на применение знаний и умений в стандартных условиях - соответствуют большинству задач учебника. Наконец, самые сложные (2, 2 и т. д.) носят исследовательский или творческий характер и требуют от школьников применения знаний в нестандартных ситуациях.

2-2-3-4-5-6-7.

ЛАБИРИНТ

1-7

Рис. 4

Приведем примеры задач всех трех уровней сложности на применение формул площади прямоугольника и квадрата (из работы на тему "Площади многоугольников").

1 Найдите площадь квадрата с диагональю 3 см.

1 Может ли площадь квадрата быть равна 1,5 сМ2, если длина его стороны а удовлетворяет условию 1,2 см<а< 1,3 см? Объясните ответ.

1 Сравните периметры, а затем площади прямоугольников /</, ^

с указанными сторонами (рис. 5). Обобщите получившиеся результаты, сформулируйте соответствующее утверждение.

2,5

5,5

Р2

Рис.5

Результаты эксперимента показали, что предложенные задачи с элементами исследования доступны большинству учащихся. Наибольший интерес вызывают задачи, в которых требуется самостоятельно вывести формулу юга высказать гипотезу. Анализ опросов учащихся и результатов их работ позволяют говорить и о том, что включение в формулировку задач указаний, наводящих вопросов и т. д. помогает в поиске правильного решения, задавая его направление. Как отмечали сами учащиеся, понять требование исследовательских задач и найти правильный ответ (догадаться, сформулировать вывод) им легче, чем объяснить его. Таким образом, обоснование ответа остается наиболее трудной частью решения, а проблему восприятия условия и поиска правильного ответа удалось во многом решить благодаря специальной формулировке задач.

В заключении диссертации изложены основные результаты, полученные в ходе исследования:

1. На основе проведенного анализа психолого-педагогической и научно-методической литературы по рассмотренной проблеме раскрыта сущность и намечены пути реализации "открытого подхода" в обучении геометрии в основной школе. Один из этих путей состоит в обучении школьников решению специально разработанных задач, моделирующих процесс математического открытия.

2. Дана общая характеристика задач, реализующих открытый подход в обучении математике, и две их классификации:

1) в соответствии р целью учебного исследования;

2) в соответствии с моделируемым путем открытия новых знаний.

3. Разработаны методические рекомендации по составлению задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, а также представле-

ны подборки задач по темам "Многоугольники" и "Площади многоугольников".

4. Разработана методика использования задач, моделирующих процесс открытия, при обучении геометрии в основной школе.

5. Экспериментально подтверждена эффективность предложенной методики. Результаты эксперимента позволяют сделать вывод о том, что ее внедрение в практику обучения способствует повышению качества математической подготовки школьников, успешному формированию у них исследовательских навыков и умений применять методы научного познания.

Разработанные рекомендации могут использоваться учителями мате- ,

матики, применяться при создании учебных пособий и дидактических материалов по геометрии и при работе со студентами педагогических вузов.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публика- <

циях:

1. Карпушина Н. М. Развивающие задачи по геометрии. 7 класс. - М.: Школьная пресса, 2004. - 80 с. - 4,65 п. л.

2. Карпушина Н. М. Развивающие задачи по геометрии. 8 класс. - М.: Школьная пресса, 2004. - 80 с. - 4,65 п. л.

3. Карпушина Н. М. Разгадай ребус // Математика в школе. - 2003. - № 7. -С. 29-30.-0,13 п. л.

4. Карпушина Н. М. О понятии "открытая задача" // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе. Выпуск 9. -М.: Прометей, МПГУ, 2004. - С. 20-21. - 0,13 п. л.

5. Карпушина Н. М. Некоторые эвристические приемы в обучении геометрии // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе. Выпуск 8. - М.: Прометей, МПГУ, 2003. - С. 138-141. -0,25 п. л.

6. Карпушина Н. М., Громова И. А. О развитии у учащихся потребности в ( доказательствах при решении геометрических задач // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе. Выпуск

7. - М.: МПГУ, 2002. - С. 99-103. - 0,31 п. л. (ает. вклад 80 %)

7. Карпушина Н, М. Нетрадиционная форма урока: замысел, организация, анализ // Математика. - 1998. - № 9. - С. 12-13. - 0,65 п. л.

Подл, к печ. 02.07.2004 Объем 1.0 п.л. Заказ №229 Тир. 100 Типография МШ У

РНБ Русский фонд

2005-4 8690

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Карпушина, Наталья Михайловна, 2004 год

Введение.

Глава I. Происхождение, сущность и пути реализации "открытого подхода" в обучении математике

§ 1. Генетический подход в преподавании математики.

§ 2. Метод "переоткрытий" в обучении математике.

§ 3. "Открытый подход" в обучении геометрии.

§ 4. Общая характеристика и классификация задач, реализующих открытый подход в обучении математике.

Выводы к главе.

Глава II. Методика обучения решению задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии

§ 1. Составление задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии.

§ 2. Решение задач, моделирующих процесс открытия, при изучении темы "Многоугольники".

§ 3. Реализация "открытого подхода" в обучении геометрии при решении задач по теме "Площади многоугольников".

§ 4. Описание экспериментальной работы.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методика составления и использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, в основной школе"

Современная система образования претерпевает значительные изменения, связанные с изменившимися целями общества в области образования. Быстрое развитие высоких технологий и усложнение экономических отношений в обществе требует повышения качества подготовки кадров, способных к творческому развитию, стремящихся к познанию окружающего мира, самосовершенствованию и самореализации. Большая роль в формировании человека гак интеллектуальной и творческой личности отводится школе.

Проблема развития мышления учащихся - одна из важных в современной методике преподавания математики. Приоритетное значение в обучении этому предмету придается формированию абстрактного, дедуктивного, алгоритмического, эвристического мышления школьников; таких его качеств как гибкость, широта, критичность и др.

Однако в настоящее время целям развития, овладения учащимися методами познания и исследовательскими умениями уделяется учителями недостаточно внимания, поэтому огромный развивающий потенциал математики используется в неполной мере. Такое положение дел продолжает сохранять неразрешенным противоречие между декларируемыми целями образования, стремлением достичь развития учащихся средствами учебного предмета — с одной стороны, и реальными результатами обучения - с другой стороны.

Один из возможных путей разрешения этого противоречия состоит во внедрении в практику обучения методов, позволяющих активизировать деятельность учеников, привлечь их к самостоятельному добыванию знаний. Приобщить школьников к этому можно по-разному. В нашем исследовании будет рассмотрен так называемый генетический подход в преподавании, согласно которому, методика обучения предмету должна опираться на характерные для соответствующей науки пути и методы познания. При этом ученик выступает не как потребитель готовых знаний, а как их активный добытчик.

Подобные мысли высказывали в разное время известные педагоги и философы (Ж.-Ж. Руссо, А. Дистервег, К. Д. Ушинский, П. Ф. Каптерев, Б. В. Всехсвятский, JI. Н. Толстой, Э. В. Ильенков и др.). Однако этот подход, будучи востребованным и разработанным на теоретическом уровне, пока не получил широкого применения в практике школьного обучения, нуждающейся в конкретных методах и средствах его воплощения.

Применительно к предмету "математика", идея генетического обучения встречается в работах ряда известных отечественных и зарубежных методистов, а также математиков, интересовавшихся вопросами преподавания этой науки (Н. М. Бескина, В. М. Брадиса, М. Вагеншайна, Н. А. Извольского, Ф. Клейна, Д. Пойа, А. Пуанкаре, У. У. Сойера, О. Теплица и др.). Позже она получила воплощение в методе "переоткрытий" математических знаний, описанном голландским специалистом Г. Фройденталем. Однако рекомендации автора носили общий характер.

В начале 90-х годов прошлого века ряд японских и американских исследователей (Н. Нохда, С. Шимада, Дж. Беккер, А. Шенфельд) наряду с термином "генетический подход" стали использовать термин "открытый подход" в обучении математике. Цель "открытого подхода" — научить школьников делать математику и мыслить математически, что может быть достигнуто в процессе решения определенных видов задач. Однако предъявленные (авторами) к последним требования не позволяют однозначно выделить эти задачи из множества используемых в обучении задач, тем более - дать им классификацию.

Укажем также на работу польского методиста М. Клякли, посвященную проблеме формирования творческой математической деятельности учащихся, аналогичной по сути исследовательской деятельности ученого-математика. Одной из отличительных черт такой учебной деятельности является субъективная новизна результата. (Отметим, что этот вопрос затрагивался еще в трудах Д. Пойа.)

Проблема самостоятельного добывания школьниками математических знаний рассматривается и в работах современных российских методистов (В. А. Гусева, А. X. Назиева, Г. И. Саранцева, А. Я. Цукаря и др.). Они указывают на то, что при существующем построении курса математики ученики едва успевают запоминать знания, наблюдая за работой учителя по их выведению из ранее полученных знаний, зачастую не понимая, как и почему он делает это так, а не иначе. Знания по-прежнему сообщаются школьникам в готовом виде, дети не овладевают способами их получения.

У этой проблемы есть и другой аспект. Использование в преподавании математики фактически одного только дедуктивного подхода привело к тому, что не разработана система обучения школьников построению индуктивных умозаключений. У учащихся недостаточно практики самостоятельного получения математических результатов, выявления закономерностей, открытия и обоснования свойств объектов на доступном им уровне; мало материала для сравнения строгих и нестрогих рассуждений, анализа ошибок в доказательствах. Все это приводит к формализму в знаниях.

В обучении математике огромную роль играют задачи. Большинство представленных в учебниках задач не вскрывают сути рассматриваемых понятий и направлены на отработку опять же формальных, а не содержательных сторон учебного материала. Следует отметить, что в некоторых учебных пособиях и сборниках дидактических материалов (авторы: В. А. Гусев, А. Я. Цукарь, коллективы: Л. С. Атанасян и др.; А. Л. Вернер, В. И. Рыжик, Г. Ходот) можно встретить отдельные виды задач, позволяющие приобщить школьников к математическим исследованиям и реализовать тем самым "открытый подход" в преподавании геометрии. Однако анализ методической и учебной литературы показал, что не разработаны ни классификация таких задач, ни методика их составления и использования в обучении геометрии в основной школе.

Все вышесказанное определило актуальность исследования.

Объект исследования: процесс обучения геометрии в основной школе. Предмет исследования: методика составления и использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, в основной школе.

Гипотеза исследования: систематическое и целенаправленное использование специально разработанных задач, моделирующих процесс математического открытия и позволяющих: приобщить учащихся к исследовательской деятельности по самостоятельному добыванию математических знаний, будет способствовать реализации "открытого подхода" в обучении геометрии в основной школе и развитию у учащихся исследовательских умений как основы формирования научного стиля мышления.

Цель и гипотеза исследования потребовали решения следующих задач:

1. Провести анализ психолого-педагогической и методической литературы по данной проблеме с целью выявить сущность и сформулировать определение "открытого подхода" в преподавании математики.

2. Определить возможные пути и средства реализации "открытого подхода" в обучении геометрии в основной школе.

5. Экспериментально проверить эффективность предлагаемой методики. В ходе решения поставленных задач применялись различные методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической, математической и научно-методической литературы, школьных учебников и учебных пособий, обобщение отечественного и зарубежного опыта по исследуемой проблеме, анализ личного опыта работы в школе и работы других учителей, педагогическое наблюдение и эксперимент по проверке основных положений диссертации.

Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключается в следующем:

1. Обоснована возможность и предложена реализация генетического подхода в обучении математике через "открытый подход" в обучении посредством специальных задач, моделирующих процесс математического открытия.

Практическая значимость исследования состоит в том, что в нем даны методические рекомендации по составлению и обучению решению задач, реализующих "открытый подход" в обучении геометрии, в основной школе, предложены подборки таких задач по темам "Многоугольники" и "Площади многоугольников". И сами задачи, и данные рекомендации могут применяться учителями математики в их работе, а также использоваться при создании учебных пособий и дидактических материалов по геометрии и при работе со студентами педагогических вузов.

Обоснование и достоверность результатов исследования обеспечиваются: системным и целостным подходом к исследуемой проблеме, опорой на основные положения теории познания, исследований в области педагогической психологии, дидактики и методики; согласованностью выводов с основными положениями методики преподавания математике и концепцией школьного математического образования; результатами опытно-экспериментальной работы.

МПГУ, докладывались на педагогических чтениях МПГУ. Результаты диссертационного исследования отражены в 7 публикациях и нашли применение в практике работы учителей математики гимназии № 1529, школы-лаборатории №825 и школы №703 г. Москвы.

На защиту выносятся:

1. Пути реализации "открытого подхода" в обучении геометрии в основной школе.

2. Методика составления и использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии.

3. Содержание геометрических задач, моделирующих процесс математического открытия, которые позволяют приобщить учеников к самостоятельному добыванию математических знаний и способствуют развитию у них исследовательских умений как основы формирования научного стиля мышления.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Заключение

В данном исследовании разработан один из путей реализации "открытого подхода" в обучении геометрии в основной школе. Обоснована и экспериментально подтверждена выдвинутая нами гипотеза: "открытый подход" в обучении геометрии, позволяющий приобщить учащихся к исследовательской деятельности по самостоятельному добыванию математических знаний, аналогичной деятельности ученого-математика, может быть реализован с помощью специально разработанных задач, моделирующих процесс открытия.

В ходе исследования были получены следующие результаты:

1. На основе проведенного анализа психолого-педагогической и научно-методической литературы по рассмотренной проблеме раскрыта сущность и определены пути реализации "открытого подхода" в обучении геометрии в основной школе.

1) в соответствии с целью учебного исследования;

2) в соответствии с моделируемым путем открытия.

3. Разработаны методические рекомендации по составлению задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, а также подборки таких задач по темам "Многоугольники" и "Площади многоугольников".

4. Разработана методика обучения решению задач, моделирующих процесс открытия в области геометрии.

5. Экспериментально подтверждена эффективность предложенной методики. Результаты эксперимента позволяют сделать вывод о том, что ее внедрение в практику обучения способствует повышению качества математической подготовки учащихся, развитию у них исследовательских умений как основы формирования научного стиля мышления.

Все это дает основание считать, что задачи исследования решены. Разработанные рекомендации могут применяться учителями математики в их работе, а также использоваться при создании учебных пособий и дидактических материалов по геометрии и при работе со студентами педагогических вузов.

Говоря о перспективах развития "открытого подхода" в обучении математике в школе, отметим, что выделяются два пути его реализации:

1) создание задач исследовательского характера, с помощью которых моделируется процесс математического открытия;

2) работа над стилем изложения доказательств школьных теорем с целью привлечения учащихся к их проведению.

Работу по их осуществлению следует проводить совместными усилиями учителей, методистов и авторов учебников.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Карпушина, Наталья Михайловна, Москва

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики / Пер. с франц. М.: Сов. радио, 1970. - 152 с.

2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия 7-9: Учебник для общеобразоват. учреждений. 11-е изд., доп. - М.: Просвещение, АО "Московские учебники", 2001.-384 с.

3. Бескин Н. М. Методика геометрии. С прилож. главы "Методика преподавания наглядной геометрии" А. М. Астряба. Учебн. для пед. ин-тов. М.-Л.: Учпедгиз, 1947.-276 с.

4. Блонский П. П. Избранные педагогические произведения. М.: Просвещение, 1961.-352 с.

5. Богоявленский Д. Н. Приемы умственной деятельности и их формирование у школьников // Вопросы психологии. 1969. - №2. - С. 25-28.

6. Боженкова Л. И. Теоретические основы интеллектуального воспитания учащихся в обучении геометрии. Монография. Омск: Издательство ОмГПУ, 2002. - 206 с.

7. Бондаренко С. М. Учите детей сравнивать. М.: Изд-во "МОКБ «МАРС»", 1999. - 60 с.

8. Бондаренко С. М., Ротенберг В. С. Мозг. Обучение. Здоровье. М.: Изд-во "МОКБ «МАРС»", 1999. - 200 с.

9. Босс В. Интуиция и математика. М.: Айрис-пресс, 2003. - 192 с.

10. Брадис В. М. Методика преподавания математики в средней школе. Учебн. пособие для пед. ин-тов и гос. ун-тов. 3-е изд. - М.: Учпедгиз, 1954. - 504 с.

11. Брунер Дж. Процесс обучения. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. - 84 с.

12. Введение в философию: Учебник для вузов. В 2-х ч. Ч. 2 / Под общ. ред. И. Т. Фролова. М.: Политиздат, 1990.-639 с.

13. Вейль Г. Математическое мышление / Пер. с англ. М.: Наука, 1989. -400 с.

14. Вернер А. Л., Рыжик В. И., Ходот Т. Г. Геометрия: Учеб. пособие для 7 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 1999. - 192 с.

15. Вернер А. Л., Рыжик В. И., Ходот Т. Г. Геометрия: Учеб. пособие для 8 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2001. - 192 с.

16. Вернер А. Л., Рыжик В. И., Ходот Т. Г. Геометрия: Учеб. пособие для 9 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2001. - 207 с.

17. Волович М. Б. Не мучить, а учить / О пользе педагогической психологии. — М.: Изд. Российского открытого ун-та, 1992. 232 с.

18. Выгодский Л. С. Психология развития ребенка. М.: Изд-во Смысл, Изд-во Экс-мо, 2003. -512 с.

19. Гальперин П. Я. Лекции по психологии: Учебное пособие для студентов вузов. -М.: Книжный дом "Университет", Высшая школа, 2002. 400 с.

20. Гельфман Э. Г., Демидова Л. Н., Жилина Е. И., Лобаненко Н. Б., Малова И. Е. Обогащающая модель в проекте МПИ: проблемы, сомнения, открытия. Методические указания, книга для учителя. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1998. - 211 с.

21. Глейзер Г. Д. Каким быть школьному курсу геометрии II Математика в школе. — 1991. -№ 4. -С. 68-71.

22. Гнеденко Б. В. О математике. 2-е изд., испр. - М.: Эдиториал УРСС, 2002. - 208 с.

23. Годфруа Ж. Что такое психология: В 2-х т. Т. 1 / Пер. с франц. М.: Мир, 1992. -496 с.

24. Годфруа Ж. Что такое психология: В 2-х т. Т. 2 / Пер. с франц. М.: Мир, 1992. - 376 с.

25. Горский Д. П. и др. Краткий словарь по логике / Под. ред. Д. П. Горского. М.: Просвещение, 1991.-208 с.

26. Гусев В. А. Геометрия. 5-6 классы: Учебное пособие. — М.: ТИД "Русское слово -PC", 2002.-256 с.

27. Гусев В. А. Геометрия. 7 класс. М.: ТИД "Русское слово - PC", 2003. - 240 с.

28. Гусев В. А. Как помочь ученику полюбить математику? М.: Авангард, 1994. -168 с.

29. Гусев В. А. Методика преподавания курса "Геометрия 6-9". М.: Авангард, 1995. -100 с.

30. Гусев В. А. О рассуждениях и доказательствах в курсе школьной геометрии // Математика. 2003. - № 21. - С. 11-15.

31. Гусев В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике. М.: ООО "Издательство «Вербум-М»", ООО "Издательский центр «Академия»", 2003. -432 с.

32. Давыдов В. В. Психическое развитие и воспитание / Хрестоматия по педагогической психологии. Учебное пособие для студентов / Сост. А. Красило и А. Новго-родцева. М.: Международная педагогическая академия, 1995. - С. 151-168.

33. Дауне Ф. Л., Моиз Э. Э. Геометрия / Пер. с англ. М., Просвещение, 1972. - 622 с.

34. Дидактика средней школы: Некоторые проблемы соврем, дидактики / Под ред. М. Н. Скаткина. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1982. - 319 с.

35. Дистервег А. Руководство к образованию немецких учителей / Хрестоматия по истории зарубежной педагогики / Сост. А. И. Пискунов. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1981.-С. 353-414.

36. Дорофеев Г. В. Гуманитарно ориентированный курс основа учебного предмета "Математика" в общеобразовательной школе // Математика в школе. - 1997. — №4.-С. 59-66.

37. Дьёдонне Ж. А. Надо ли учить "современной" математике? // Математика в школе. 2003. -№ 3. - С. 17-22.

38. Епишева О. Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 2003. - 223 с.

39. Епишева О. Б., Крупич В. И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990. -128 с.

40. Зайкин М. И. Развивай геометрическую интуицию: Кн. для учащихся 5-9 кл. — М.: Владос, 2000. 112 с.

41. Зимняя И. А. Педагогическая психология: Учебник для вузов. 2-е изд., доп., испр. и перераб. - М.: Логос, 2001. - 384 с.

42. Ивин А. А. Искусство правильно мыслить: Кн. для учащихся ст. классов. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1990. - 240 с.

43. Ильенков Э. В. Школа должна учить мыслить! / Хрестоматия по педагогической психологии. Учебное пособие для студентов / Сост. А Красило и А. Новгородце-ва. М.: Международная педагогическая академия, 1995. - С. 284-312.

44. Ильясов И. И. Система эвристических приемов решения задач. М.: Изд. Российского открытого университета, 1992. — 140 с.

45. Калошина И. П. Психология творческой деятельности: Учеб. пособие для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 431 с.

46. Карне М., Линнемайер С., Дентон-Айд Ц. Дифференцированный подход к составлению учебных программ / Одаренные дети: Пер. с англ. М.: Прогресс, 1991.-С. 257-315.

47. Карпушина Н. М. Некоторые эвристические приемы в обучении геометрии // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе. Выпуск 8.-М.: Прометей, МПГУ, 2003. С. 138-141.

48. Карпушина Н. М. Развивающие задачи по геометрии. 7 класс. М.: Школьная пресса, 2004. - 80 с.

49. Карпушина Н. М. Развивающие задачи по геометрии. 8 класс. М.: Школьная пресса, 2004. - 80 с.

50. Карпушина Н. М, Громова И. А. О развитии у учащихся потребности в доказательствах при решении геометрических задач И Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе. Выпуск 7. М.: МПГУ, 2002. -С. 99-103.

51. Клайн М. Математика. Поиск истины / Пер. с англ. М.: Мир, 1988. - 295 с.

52. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: в 2-х томах. Т. I. / Пер. с нем. 4-е изд. - М.: Наука, 1987. - 432 с.

53. Клякля М. Формирование творческой математической деятельности учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши. Монография. -Плоцк, 2003. 224 с.

54. Колеченко А. К. Энциклопедия педагогических технологий: Пособие для преподавателей. СПб.: КАРО, 2002. - 368 с.

55. Колмогоров А. Н. Математика наука и профессия / Сост. Г. А. Гальперин. - М.: Наука, 1988.-288 с.

56. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. Ч. I. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. М.: Просвещение, 1977. - 112 с.

57. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. Ч. II. Обучение математике через задачи и обучение решению задач. М.: Просвещение, 1977. - 144 с.

58. Колягин Ю. М. Решение задач по математике с ответами и советами: Учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. М.: ООО "Издательство Астрель", 2002. - 126 с.

59. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968.-431 с.

60. Левитас Д. Г. Практика обучения: Современные образовательные технологии. -М., Воронеж: Ин-т практ. психологии МОДЭК, 1998. 288 с.

61. Леонтьев А. Н. Деятельность, сознание, личность. М.: Политиздат, 1975. - 304 с.

62. Лернер И. Я. Дидактические основы методов обучения. М.: Педагогика, 1981. -186 с.

63. Лудина Г. Б. Об активизации деятельности учащихся при решении задач // Проблемы совершенствования преподавания математики в современной школе. М.: МПГУ, 1998.-С. 8.

64. Ляудис В. Я. Структура продуктивного учебного взаимодействия / Хрестоматия по педагогической психологии. Учебное пособие для студентов / Сост. А Красило и А. Новгородцева. М.: Международная педагогическая академия, 1995. -С. 44-59.

65. Майданов А. С. Процесс научного творчества: Филосовско-методологический анализ. 2-е изд. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 208 с.

66. Маркова А. К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте: Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1983. - 96 с.

67. Математика в понятиях, определениях и терминах. 4 1. Пособие для учителей / Под ред. Л. В. Сабинина. М.: Просвещение, 1978. - 320 с.

68. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч 2. Пособие для учителей / Под ред. Л. В. Сабинина. М.: Просвещение, 1982. - 351 с.

69. Матросов В. Л., Трайнев В. А., Трайнев В. И. Интенсивные педагогические и информационные технологии. Организация управления обучением. М.: Прометей, 2000.-354 с.

70. Метельский Н. В. Пути совершенствования обучения математике: Пробл. соврем, методики математики. Мн.: Университетское, 1989. - 160 с.

71. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / Под ред. В. А. Гусева. М.: Издательский центр "Академия", 2004. - 368 с.

72. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов / Колягин Ю. М., Оганесян В. А. и др. М.: Просвещение, 1975. - 462 с.

73. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов / Колягин Ю. М., Оганесян В. А. и др. М.: Просвещение, 1977. - 480 с.

74. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

75. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / Сост. В. И. Мишин М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

76. Мордкович А. Г. Алгебра. 7 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений. 6-е изд. - М.: Мнемозина, 2003. - 160 с.

77. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений. 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2003. - 223 с.

78. Назиев А. X. Гуманитарно ориентированное преподавание математики в общеобразовательной школе. Монография. Рязань, 1999. - 110 с.

79. Нешков К, И., Семушин А. Д. Функции задач в обучении. 1971. - № 3. - С. 4-7.

80. Никольская И. Л., Семенов Е. Е. Учимся рассуждать и доказывать: Кн. для учащихся 6-10 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1989. - 192 с.8L Паламарчук В. Ф. Школа учит мыслить. 2-е изд., доп. и перераб. - М.: Просвещение, 1987.-208 с.

81. Педагогика + ТРИЗ: Сб. статей для учителей, воспитателей и менеджеров образования. Выпуск 6 / Под ред. А. А. Гина. М.: Вита-Пресс, 20011 — 80 с.

82. Перкинс Д. Как стать гением, или искусство взрывного мышления / Пер. с англ. -М.: ООО "Издательство ACT", 2003. 315 с.

83. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М.: Международная педагогическая академия, 1994. - 673 с.

84. Пидкасистый П. И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении. М.: Педагогика, 1980. - 238 с.

85. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. -5-е изд. М.: Просвещение, 2004. - 224 с.

86. Пойа Д. Как решать задачу. Львов, Журнал "Квантор", 1991. -216 с.

87. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Пер. с англ. 2-е изд., испр, - М.: Наука, 1975. - 464 с.

88. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание / Пер. с англ. 2-е изд. - М.: Наука, 1976. - 448 с.

89. Потоцкий М. В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. М.; Просвещение, 1975. - 208 с.

90. Пуанкаре А. О науке. / Пер. с фр. 2-е изд., стер. - М.: Наука, 1990. - 736 с.

91. Реньи А. Диалоги о математике / Пер. с англ. — 2-е изд., стер. М.: Едиториал УРСС, 2004.-96 с.

92. Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии. В 2-х т. Т. 2. М.: Педагогика, 1989.-323 с.

93. Рыжик В. И. 30 ООО уроков математики: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 2003.-288 с.

94. Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. М.: Просвещение, 2002. - 224 с.

95. Саранцев Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 2000. - 173 с.

96. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1995. - 240 с.

97. Сафуанов И. С. Теория и практика преподавания математических дисциплин в педагогических институтах. Монография. Уфа, "Магнифат", 1999. — 107 с.

98. Семенов Е. Е. За страницами учебника геометрии: Пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. 2-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 1999. - 286 с.

99. Семенов Е. Е. Размышления об эвристиках // Математика в школе. 1995. -№ 5. - С. 39-43.

100. Семушин А. Д., Кретинин О. С., Семенов Е. Е. Активизация мыслительной деятельности учащихся при изучении математики. Обучение обощению и конкретизации: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1978.' - 64 с.

101. Смирнова И. М. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. -М.: Просвещение, 2001. 271 с.

102. Советский энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. 4-е изд., испр. и дополн. - М.: Сов. энциклопедия, 1989. - 1632 с.

103. Сойер У. У. Прелюдия к математике / Пер. с англ. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1972. - 192 с.

104. Тамберг Ю. Г. Развитие интеллекта ребенка. Спб.: Речь, 2002. - 192 с.

105. Тамберг Ю. Г. Развитие творческого мышления ребенка. Спб.: Речь, 2002. -176 с.

106. Ткачева М. В. Домашняя математика: Кн. для учащихся 7 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1993. - 191 е.

107. Ткачева М. В. Домашняя математика: Кн. для учащихся 8 кл. общеобразоват. учеб. заведений. М.: Просвещение, 1994. - 255 с.

108. Тоцкий Е. Локальная аксиоматизация и дедукция в обучении геометрии в средних школах Польши // Математика в школе. — 1993. № 2. - С. 72-75.

109. Тучнин Н. П. Как задать вопрос? (О мат. творчестве школьников): Кн. для учащихся. М.: Просвещение, 1993. - 192 с.

110. Философский словарь / Под. ред. И. Д. Фролова. 6-е изд., перераб. и доп. -М.: Политиздат, 1991. - 560 с.

111. Финкелыптейн В. М. Заинтересовать учеников // Математика в школе. 1993. - № 2. - С. 17-21.

112. Формирование приемов математического мышления / Под. ред. Н. Ф. Талызиной. М.: ТОО "Вентана-Граф", 1995. - 230 с.

113. Фридман Л. М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. -М.: Педагогика. 1977. - 208 с.

114. Фридман Л. М. Учитесь учиться математике: Кн. для учащихся. М.: Просвещение, 1985. - 112 с.

115. Фридман Л. М., Кулагина И. Ю. Психологический справочник учителя. М.: Просвещение, 1991. - 288 с.

116. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред. шк. 3-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 1989. - 192 с.

117. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. 1. — М.: Просвещение, 1982.-208 с.

118. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. 2. М.: Просвещение, 1983.- 192 с.

119. Хинчин А. Я. О воспитательном эффекте уроков математики // Педагогические статьи. М.: АПН РСФСР, 1963. - С. 128-160.

120. Холодная М. А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. Томск, Изд-во Томского ун-та; М.: Изд-во "Барс", 1997. - 392 с.

121. Цукарь А. Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования для 7 класса. М.: Просвещение, 1998. - 79 с.

122. Цукарь А. Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования для 8 класса. М.: Просвещение, 1999. - 80 с.

123. Цукарь А. Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования для 9 класса. М.: Просвещение, 2000. - 65 с.

124. Цукарь А. Я. Теоретические основы образного мышления и практика их использования в обучении математике. Монография. Новосибирск, Новосиб. гос. пед. ун-т, 1998.-216 с.

125. Шарыгин И. Ф. Геометрия 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. завед. 5-е изд. - М.: Дрофа, 2001.-192 с.

126. Школа 2000. Математика для каждого: технология, дидактика, мониторинг / Под. ред. Г. В. Дорофеева, И. Д. Чечель. Вып. 4. М.: УМЦ "Школа 2000". - 272 с.

127. Эльконин Б. Д. Психология развития: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. М.: Изд. центр "Академия", 2001. - 144 с.

128. Эрдниев О. П. От задачи к задаче по аналогии / Развитие математического мышления / Под. ред. П. М. Эрдниева. - М.: АО "СТОЛЕТИЕ", 1998. - 288 с.

129. Эсаулов А. Ф. Психология решения задач: Методическое пособие. М.: Высшая школа, 1972. - 216 с.

130. Якиманская И.С. Знания и мышление школьника. М.: Знание, 1985. - 80 с.

131. Якиманская И. С. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979. - 144 с.