Изучение аксиоматического метода в курсе геометрии 7-9-х классов

Шумилина, Надежда Геннадьевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Изучение аксиоматического метода в курсе геометрии 7-9-х классов

Автореферат

Автор научной работы: Шумилина, Надежда Геннадьевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Орел
Год защиты: 1997
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Изучение аксиоматического метода в курсе геометрии 7-9-х классов"

,<""5 «¿Г

На правах рукописи

ШУМИЛИНА НАДЕЖДА ГЕННАДЬЕВНА

ИЗУЧЕНИЕ АКСИОМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ 7-9-Х КЛАССОВ.

13.00.02 - теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Орел - 1997

Работа выполнена в Орловском государственном университете

Научный руководитель:

заслуженный деятель науки РФ, академик Международной педагогической академии, доктор физико-математических наук, профессор Мантуров О.В.

Официальные оппоненты:

действительный член МАНВШ, МАИ и АПСН, доктор педагогических наук, профессор Луканкин Г.Л.

кандидат педагогических наук, доцент Федорова С.И.

Ведущая организация:

Брянский государственный педагогический университет

Защита состоится 17 октября 1997 года в 12 часов

на заседании диссертационного совета К 113.26.04 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Орловском государственном университете по адресу: 302015, г.Орел, ул.Комсомольская, 95.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Орловского государственного университета.

Автореферат разослан

Селютин В.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальносуь исследования. Современные концепции гуманизации обучения ориентируют среднюю школу на максимальное развитие и реализацию творческих возможностей учащихся, что требует серьезного изменения содержания образования. Приобретаемые знания должны отличаться не только востребованностью их в дальнейшей жизни и практической деятельности, но и способствовать интеллектуальному развитию школьников. Говоря о проблемах развивающего обучения, известный психолог В.В.Давыдов отмечал, что воспитание и обучение правильно формируют личность 'лишь тогда, когда педагог организует деятельность ребенка по усвоению человеческого опыта. То есть, математическая деятельность учеников должна не только сводиться к воспроизведению полученных кем-то знаний, но и включать в себя процесс поиска, открытия новых фактов и закономерностей.

Исходя из этого, курс школьной геометрии должен быть таким, чтобы он прежде всего побуждал учащихся к постановке вопросов, выдвижению гипотез, создавал бы условия для эффективных поисков. Организация обучения должна обеспечивать не только усвоение программных геометрических знаний и умений, но и способствовать разностороннему развитию личности школьников, в частности, развитию познавательных способностей, самостоятельности и творческого подхода к учению.

Попытки решения этих проблем в отечественной школе можно найти в учебниках А.Н. Колмогорова, А. В. Погорелова, В.А.Гусева, в работах авторских коллективов Л.С.Атанася-на ( В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев. Э.Г.Позняк, И.И.Юдина ); А.Д.Александрова ( А.Л.Вернер, В.И.Рыжик ); Г.П.Бевза ( В.Г. Бевз. Н.Г.Владимирова ); В.Г.Болтянского ( М.Б.Волович, А.Д. Семушин ); В. М. Клопского ( 3. А. Скопец. М. И.Ягодовский ); А.Н.Колмогорова ( А.Ф.Семенович, Р.С.Черкасов); В.Н.Руденко. Г.А.Бахурина и др. В этих учебниках авторы предлагают свою точку зрения на применение аксиоматического метода, на уровень строгости материала и на содержание школьной геометрии в целом.

Анализ имеющейся литературы свидетельствует о том. что

оптимальное для настоящего времени решение проблемы систематического курса геометрии в средней школе еще не найдено.

Нельзя не согласиться с тем, что в условиях массовой школы строгое логическое построение курса математики просто невозможно, да и не является необходимым. Но, тем не менее, изложение геометрического материала, лишенное аксиоматической основы, вряд ли можно считать приемлемым. Обоснования и доказательства, которые опираются лишь на наглядность и очевидность, не всегда будут верными. Такая геометрия не будет играть существенной роли ни в математическом образовании, ни в общем развитии школьников.

Поэтому многие работы методистов-математиков посвящены вопросам формирования у учащихся представлений об аксиоматическом методе ( В. О.Ваганян, А. И.Грузин. А.Е.Захарова. М.А.Исаева, П.В.Мартиросян, В. И. Рыжик, В.Е.Шевченко и др.). Внимание в них уделяется не только улучшению содержания курса геометрии, но и модернизации методов и организационных форм предметного обучения. В частности, рассматриваются вопросы, связанные с формированием геометрических понятий, развитием логического мышления и геометрической интуиции, дедуктивного метода познания и мировоззрения в целом ( М.Н.Назаров, З.И. Слепкань, И.М. Смирнова. A.A. Столяр, Е.Тоцки. Р.Хашимов, В. М. Туркина, Д. М.Фрей-верт и др.).

Результаты .этих исследований показывают, что изучение аксиоматического метода в школе способствует формированию системных знаний и обобщенных умений учащихся, целостному представлению об окружающей действительности и становлению научного мировоззрения, развитию логического мышления, познавательной самостоятельности, творческой активности и повышает интерес к геометрии.

Несмотря на то, что в программу девятого класса школьного курса геометрии ( Программы: Математика. - М.: Просвещение, 1996. ) в настоящее время включено изучение основ аксиоматического метода, среди действующих и пробных учебников

есть такие, где логическое обоснование геометрии вообще не рассматривается. В некоторых из них предлагается лишь обзорный материал по аксиоматическому методу, не соответствующий этой программе и стандарту среднего математического образования. В других вопросы аксиоматики излагаются достаточно сложно для большинства учащихся, потому что для их изучения нужна специальная подготовка.

Таким образом, глубинные причины использования аксиоматического метода при изложении геометрии в средней школе остаются без должного внимания. Почти не учитывается значение этого метода в решении ряда образовательных, воспитательных и развивающих задач обучения, не уделяется должного внимания роли аксиоматического метода в формировании системы взглядов на окружающий мир и его закономерности.

Методика изучения аксиоматического метода в школе, способная устранить указанные недостатки, не разработана.

Все выше сказанное определяет актуальность выбора темы исследования : " Изучение аксиоматического метода в курсе геометрии 7-9-х классов ".

Проблема исследования заключается в нахождении путей и средств доступного изложения аксиоматического материала в курсе геометрии средней школы.

Цель исследования - создание учебно-методического комплекса по изучению аксиоматического метода в средней школе на уроках геометрии и факультативах, направленного на повышение качества знаний и уровня учебно-познавательной деятельности учащихся.

Объектом нашего исследования является процесс геометрической подготовки учащихся 7-9 классов.

Предметом исследования - аксиоматический метод в школьном курсе планиметрии и пути формирования у учащихся умений продуктивно использовать его при изучении геометрии.

Исходя из цели исследования, на основе анализа проблемы и результатов констатирующего эксперимента нами было выдвинута следующая гипотеза:

Если разработать учебно-методический комплекс, направленный на изучение основ аксиоматики в школьном курсе геометрии, и целенаправленно использовать его в предметном обу-

чении или внеклассной работе по математике, то можно реализовать широкие возможности аксиоматического метода. Это будет стимулировать развитие мышления учащихся, их познавательных способностей и самостоятельности, что не только повысит эффективность обучения, улучшит качество получаемых геометрических знаний и умений, но и будет способствовать формированию научного мировоззрения обучаемых. В ходе работы необходимо было решить задачи:

1. рассмотреть различные подходы к применению аксиоматического метода в курсе геометрии и его значение в познании окружающего мира и обучении.

2. Выделить исходные методологические и психологические основы изучения аксиоматического метода в школе, определить его значение в решении образовательных, воспитательных и развивающих задач обучения.

3. Обосновать и разработать теоретические основы изучения аксиоматического метода в школьном курсе планиметрии.

4. Определить оптимальные условия изучения основ аксиоматики в обучении геометрии.

6. Экспериментально проверить эффективность разработанного нового учебно-методического комплекса. Методологическую основу исследования составили психолого-педагогические и методико-математические труды, относящиеся к теме нашей работы, государственные документы по образованию, учебные программы по математике для средней школы.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

- теоретические ( анализ философской, психолого-педагогической, математической, методической и дидактической литературы по проблеме; изучение государственных документов по вопросам образования );

- общенаучные ( педагогическое наблюдение, педагогический эксперимент, беседы, опросы, анкетирование );

- общелогические ( логико-дидактический анализ действующих программ по геометрии средней школы, историко-логический анализ, сравнение и обобщение учебного материала);

- экспериментальные методы ( констатирующий, поисковый, обучающий эксперименты по проблеме исследования );

- статистические ( обработка результатов педагогического эксперимента и их методический анализ ).

Исследование проводилось в три этапа.

На первом этапе ( 1993-1995 г.г.) было рассмотрено состояние проблемы в науке и практике, проанализирована психолого-педагогическая. учебная и методическая литература, обоснована концепция исследования, составлен план опытно-экспериментальной работы.

На втором этапе исследования ( 1995-1996 г.г.) были определены теоретические основы изучения аксиоматического метода в школьном курсе геометрии, разработан пробный вариант учебно-методического комплекса и заложена его экспериментальная проверка.

На третьем этапе ( 1996-1997 г.г.) был начат обучающий эксперимент и проанализированы его первые результаты, что позволило сделать основные выводы об использовании созданного комплекса для изучения основ аксиоматики в средней школе, устранить некоторые имеющиеся недостатки и наметить пути совершенствования работы в этом направлении.

Научная новизна и теоретическая значимость проведенного исследования состоит в том, что определены теоретические основы для создания учебно-методического комплекса по изучению аксиоматического метода в курсе школьной геометрии, разработаны концептуальные положения, построена методическая система изучения основ аксиоматики в школе.

Практическая ценность результатов исследования заключается в том, что разработан учебно-методический комплекс по изучению основ аксиоматики в школьном курсе геометрии, включающий в себя программу изучения аксиоматического метода на уроках планиметрии ( 9 класс) и факультативных занятиях, учебные пособия для учителей и учащихся; методические рекомендации по проведению уроков и занятий по аксиоматике, соответствующие созданным пособиям, и необходимые дидактические материалы.

Выводы и рекомендации исследования и созданный учебно-методический комплекс по изучению аксиоматического метода могут быть использованы:

- для совершенствования аксиоматического материала учебников и методических пособий по школьной планиметрии;

- при разработке учебных материалов для факультативов и внеклассных занятий по математике;

- для проведения лекций и практических занятий по основам аксиоматического метода в вузах и на курсах повышения квалификации учителей.

Достоверность и обоснованность полученных результатов и выводов обеспечивают теоретико-методологические основы изучения и применения аксиоматического метода; использование комплекса взаимосвязанных методов, соответствующих цели, задачам и логике исследования; педагогический эксперимент и положительные результаты экспериментально-опытной работы.

Апробация результатов проводилась путем изложения и обсуждения основных положений диссертационного исследования на научно-практических конференциях по итогам научно-исследовательской работы в Орловском государственном педагогическом университете в 1994, 1995 и 1996 годах; на конференции учителей математики школ г. Орла ( март, 1995г.); на "Неделе науки - 96" ОГПУ ; на Всероссийской конференции молодых ученых ( г.Орел, апрель, 1996г. ); на Межвузовской областной конференции, проходившей в рамках " Декады науки - 97 " ( г.Орел, апрель. 1997г.) ; на заседаниях кафедры геометрии и методики преподавания математики Орловского государственного университета.

На защиту выносятся:

1. Обоснование возможности и целесообразности формирования у учащихся представлений об аксиоматическом методе.

2. Учебно-методический комплекс по изучению основ аксиоматического метода на уроках планиметрии (7-9 классы ) и внеклассных занятиях по математике.

3. Дидактические условия и технология практической реализации созданного комплекса в средней школе. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения,

списка основной использованной литературы и приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность; определены проблема, цели, объект и предмет исследования; сформулирована гипотеза; указаны задачи научного поиска; раскрыты новизна, теоретическая значимость и практическая ценность результатов исследования, их апробация и достоверность; отмечены основные этапы исследования; приведены положения, которые выносятся на защиту.

В Главе I "Научно-педагогические основы аксиоматического построения геометрии" рассмотрены исторические, научно-методические и психолого-педагогические аспекты применения аксиоматического метода в геометрическом курсе. Вопросы, связанные с построением теорий на основе систем аксиом, начиная с Древней Греции, остаются актуальными и в современной науке. Это подтверждено проведенным нами историческим анализом возникновения и развития аксиоматического метода, его влияния на математику и другие науки. Уделено внимание решению вставшей на рубеже Х1Х-ХХ веков задачи строгого обоснования геометрии и современной точки зрения на аксиоматическое построение различных теорий. Указано влияние трудов М.Пиери. Д. Гильберта и В.Ф. Кагана, Г.Вейля и Ф.Клейна на создание отечественных и некоторых зарубежных курсов школьной геометрии.

В нашей стране, начиная с 50-х годов, непрерывно ведутся поиски наиболее целесообразной логической структуры геометрии для средней школы, которые условно можно подразделить на два вида. Первый из них состоит в построении курса, близкого по содержанию к учебникам А.П.Киселева, которые воплотили в себя традиции "Начал" Евклида, но более современного по стилю и форме изложения. При этом подходе геометрия строится на системе основных понятий, отношений и аксиом. представленных неполно и в неявном виде. Примером такого построения школьного курса можно считать учебники В.А.Гусева. авторских коллективов Л.С.Атанасяна. Г. П. Бевза и др. Иное решение этой проблемы состоит в нахождении аксиоматики, которая представленная в явном виде, давала бы возможность достаточно строго изложить все традиционные вопросы школьной геометрии и позволяла бы обновить ее содержание в соответ-

ствии с требованиями времени. Попытки создания такого курса можно найти в учебных пособиях под редакцией А.Н.Колмогорова. в учебниках геометрии A.B.Погорелова. авторов В.Н.Руден-ко, Г.А.Бахурина, творческого коллектива А.Д.Александрова и некоторых других.

Анализ различных курсов геометрии действующих и пробных учебников, программ по математике и требований стандарта среднего математического образования позволяет сделать выводы о необходимости целенаправленного изучения аксиоматического метода в школьном курсе геометрии.

В Главе II "Методические основы изучения аксиоматического метода в школьном курсе геометрии" изложена концепция этого вопроса. Изучение основ аксиоматического построения геометрии способствует достижению некоторых важных целей, которые стоят перед школьным образованием на современном этапе. Одна из них состоит в тренировке и гармоничном развитии мыслительных способностей учащихся. Аксиоматический метод формирует у школьников умение проводить логические рассуждения и доказывать утверждения на основе данных предложений. Изучение этого метода позволяет мотивировать деятельность учащихся на доказательство "очевидных" фактов.

Изучение аксиоматического метода позволяет строить математические модели с определенными свойствами и моделировать реальные ситуации, что развивает творческие умения и познавательную самостоятельность учащихся, повышает их интерес к обучению.

Построение геометрии на основе системы аксиом сложилось исторически. Рассматривая развитие аксиоматического метода, можно знакомиться с историей культуры, историей идей. Это способствует эстетическому развитию учащихся, прививает им умение ценить интеллектуальные достижения человечества, способствует пониманию главного значения аксиоматического метода: его применение в геометрии более двух тысяч лет назад привело в итоге к величайшим открытиям - геометрии Лобачевского и теории относительности Эйнштейна. Этим самым был сделан скачок в познании. Ознакомление учащихся с элементами неевклидовых геометрий и их приложениями будет способствовать формированию научного мировоззрения и правильного восприятия пространства.

Поэтому нами была разработана программа изучения основ аксиоматического метода в курсе геометрии. Содержание ее определили программа по математике для средней школы и стандарт школьного математического образования, которые ставят следующие задачи:. освоение основных фактов и методов планиметрии; формирование представлений об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений [ Математика в школе. -1993.- 4 - с. 13 ]; расширение и углубление представлений о математике как элементе человеческой культуры, о применении ее в практике, в научном познании ( осознание универсальности математических понятий, теорий, методов, иллюстрация их применения в различных областях человеческой деятельности ) [ там же, с. 18 ].

Условно содержание разработанного нами курса по изучению аксиоматического метода в средней школе можно разделить на две части.

Первая часть предполагает изучение следующих тем: Практическая геометрия древности. Возникновение геометрии как науки. Евклид и его "Начала". Аксиоматический метод. Модели систем аксиом. Непротиворечивость системы аксиом. Независимость системы аксиом. "Необычные" геометрии. Построение аксиоматических систем и их моделей.

Во второй части рассматриваются: Изложение планиметрии в "Началах" Евклида. Значение "Начал". Недостатки "Начал". Проблема V постулата Евклида и попытки ее решения. Создание геометрии Лобачевского. Основные положения гиперболической геометрии/ Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. Модели гиперболической геометрии. Неевклидовы геометрии и некоторые их приложения. Значение и место неевклидовых геометрий в современной науке и познании окружающего пространства.

В составленной программе предложено тематическое планирование материала. Методические рекомендации по изучению аксиоматического метода дают краткое изложение основных вопросов по всем темам курса. В них приведены решения задач и литература по каждому из разделов.

Разработанный учебно-методический комплекс был положен в основу педагогического эксперимента, обучающая часть которого была проведена на базе девятых классов муниципального лицея 40 г. Орла ( учитель математики Свинорез М.А.) и школы-лицея 3 г.Дивны ( учитель математики Смагина Е.В.). При изучении вопросов аксиоматики на занятиях в экспериментальных классах были использованы созданные нами учебные пособия. поурочные разработки и методические рекомендации учителям. дидактические материалы.

Для проверки усвоения основ аксиоматического метода в экспериментальных классах с учащимися были проведены две контрольные работы и анкета. Анализ результатов показал, что большинство учащихся хорошо справилось с доказательствами, опираться в которых надо было лишь на конечное число аксиом. Меньше всего ошибок было допущено в построении моделей и работе с ними. Допущенные недочеты в решении были в основном обусловлены нетвердыми знаниями некоторых ранее изученных тем и недостаточными навыками геометрических построений. 86% опрошенных в ходе анкетирования учащихся отметили материал, связанный с моделями, как наиболее интересный. Больше всего ошибок было допущено в построении математической модели реальной ситуации ( без ошибок его выполнили лишь 48% всех учащихся и 23% допустили недочеты ). Многие учащиеся не смогли провести требуемые рассуждения в общем виде и при выполнении этого задания выбирали конкретные обьекты. Составление систем аксиом для реальных ситуаций и доказательство теорем на основе такой аксиоматики оказалось самым трудным для учащихся материалом ( в анкете это отметили 83% опрашиваемых ). Разработанный нами курс ставил своей целью не подробное изучение фактов геометрии Лобачевского, а лишь -знакомство с ними. Несмотря на это, для 45% учащихся эти вопросы остались не совсем понятными. Однако материал по моделям неевклидовых геометрий, по их связи с другими науками и значению в познании окружающего мира был отмечен учащимися в анкете как легкий и интересный. .

Для проверки эффективности внедрения учебно-методического комплекса в экспериментальной и контрольной группах сравнивались умения проводить логические рассуждения и доказывать утверждения на основе данных предложений; строить мо-

дели . с определенными свойствами и математические модели для реальных ситуаций. Средний балл за проверочную работу составил 23.19 в классах, где был проведен курс по изучению аксиоматического метода, и 15,86 , где такой курс не проводился при максимальном значении 33 балла.

Сравнение результатов проверочной работы в экспериментальной и контрольной группах показало, что учащиеся, посетившие занятия по основам аксиоматики, испытывают меньше трудностей при проведении доказательств и строго-логических рассуждений, что не только способствует повышению эффективности обучения школьным предметам, но и носит воспитательный характер. Эти умения окажутся незаменимым и в дальнейшем, когда придется отстаивать свою точку зрения, убеждать других в своей правоте. Разработанный курс по изучению аксиоматического метода способствует развитию мышления учащихся, их познавательных способностей и творческих умений. Об этом свидетельствуют результаты проверочной работы. Учащиеся экспериментальной группы лучше справились с построением моделей, с применением аксиоматики к реальным ситуациям. Статистическая обработка полученных данных с помощью критерия Вил-коксона-Манна-Уитни также подтвердила различие в проверяемых умениях и навыках у учащихся контрольной и экспериментальной групп.

Содержание предложенного нами курса не только способствует получению новых знаний учащимися, но, что более важно, повышает их культурный уровень, обогащает историческими сведениями. способствует формированию мировоззрения и правильному восприятию окружающей действительности. Вряд ли кто из учащихся, ознакомившихся с предлагаемым курсом, будет считать аксиомы незыблемыми догмами, которые придумали ученые, а геометрию Евклида - единственно возможной геометрической теорией, описывающей реальное пространство.

В ходе проведенного исследования были решены все поставленные задачи. Основные результаты работы приведены в заключении диссертации:

1. Теоретический анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме показал, что аксиоматический метод является культурным наследием человечества, сложившимся в ходе его общественного развития.

и имеет огромное значение не только в геометрии, где его использование традиционно, но и в других науках, а также в познании окружающей действительности.

2. В результате теоретико-экспериментального анализа программ по математике средней школы, учебников геометрии и состояния проблемы использования аксиоматического метода в школьном курсе было выяснено следующее:

- в различных учебниках геометрии, действующих в отечественной школе в настоящее время, аксиоматика применяется в разных объемах;

- рассмотрение вопросов, связанных с аксиоматическим методом, в школьном курсе геометрии предусмотрено стандартом среднего математического образования и программой;

- учителя испытывают трудности в изучении этого материала, обусловленные отсутствием доступного и интересного курса по изучению основ аксиоматики в средней школе.

Это позволило выявить направления и определить вопросы построения такого курса, который бы не только давал учащимся определенные геометрические знания, но и способствовал формированию мировоззрения, развитию мышления, познавательной самостоятельности, повышению творческой активности и интереса к математике на основе изучения аксиоматического материала.

3. Разработан учебно-методический комплекс по изучению аксиоматического метода в средней школе, включающий в себя программу, учебные пособия для учащихся, методические рекомендации для учителей, дидактические материалы.

4. Эксперимент показал, что разработанный учебно-методический комплекс может быть основой для проведения уроков по изучению аксиоматического метода с учетом действующей программы углубленного изучения математики (геометрия 9 класс), а также может применяться для проведения внеклассных занятий по математике. Результаты педагогического эксперимента свидетельствуют об эффективности разработанной методики изучения аксиоматического метода в школьном курсе геометрии.

В приложении диссертации приведены содержание проведенных анкет для учителей и учащихся и тексты двух контрольных работ с решениями.

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Шумилина, Надежда Геннадьевна, 1997 год

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АКСИОМАТИЧЕСКОГО

ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ

1.1 Исторические подходы к аксиоматическому построению геометрии

1.2 Применение аксиоматического метода в курсе геометрии средней школы

1.3 Психолого-педагогические аспекты изучения аксиоматического материала в школьном курсе геометрии

ВЫВОДЫ.

ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОГО

МЕТОДА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

11.1 Концепция изучения аксиоматического метода в курсе геометрии средней школы

11.2 Программа курса по изучению аксиоматического метода.

II. 3 Основные вопросы по изучению аксиоматического метода в школьном курсе геометрии и методика их изложения

II.4 Проверка эффективности разработанного учебно-методического комплекса по изучению аксиоматического метода.

ВЫВОДЫ.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Изучение аксиоматического метода в курсе геометрии 7-9-х классов"

Современные концепции гуманизации образования ориентируют школу на максимальное развитие и реализацию творческих возможностей учащихся, что требует серьезного изменения содержания образования. Приобретаемые учащимися знания должны отличаться не только востребованностью их в дальнейшей жизни и практической деятельности, но и способствовать интеллектуальному развитию учащихся.

Воспитание и обучение правильно формируют развивающуюся личность лишь тогда, когда педагог организует деятельность ребенка по усвоению человеческого опыта. То есть, обучение в школе должно в сокращенной форме воспроизводить действительный процесс рождения и становления знаний. В этом случае школьники будут осуществлять мыслительные действия, аналогичные тем, посредством которых эти продукты духовной культуры вырабатывались исторически (См. [ 60 ] ). " С точки зрения зарождения, развития и становления математического знания математическая деятельность не сводится лишь к воспроизведению полученных кем-то знаний, а включает в себя процесс поиска, открытия новых фактов и закономерностей" [72,с.25]. В школьной геометрии в решении этих проблем важную роль играет аксиоматический метод.

Вопросы, связанные с этим методом, всегда были в центре внимания математиков. Зародившись в трудах древнегреческих ученых и обобщенный в "Началах" Евклида, аксиоматический метод получил развитие в работах Герона Александрийского ( I в. до н.э. - I в. н.э. ), Порфирия Сирийского ( III в.), Паппа Александрийского ( III в.), Прокла ( V в. ) и других комментаторов "Начал". В средние века аксиоматическому методу были посвящены работы ученых Востока: ал-Джаухари, Сабит ибн Корры, ан-Найру-зи, Ибн ал-Хайсама, ал-Бируни, Омара Хайама и др. Особое развитие аксиоматический метод получил в период Возрождения, когда его стали применять к другим областям знания - физике, этике, юридическим наукам. Несмотря на то, что проблема строгого обоснования геометрии на аксиоматической основе была независимо друг от друга решена на рубеже XIX и XX веков в трудах М.Пиери, Д.Гильберта и В.Ф.Кагана, вопросы, связанные с аксиоматическим методом, остались в центре внимания методической мысли. Нужна ли аксиоматика в школе ? Если да, то в каком объеме ? Эти вопросы вот уже на протяжении многих лет остаются открытыми.

Решение проблемы аксиоматического построения школьного курса геометрии в отечественной школе мы находим в учебниках М. Е. Ващенко-Захарченко, С.Е.Гурьева, А. Ю. Давидова, А.П.Киселева, А.Н.Колмогорова, Н.Н.Никитина, А. В. Погорелова, В.А.Гусева, в работах авторских коллективов Л.С.Атанасяна ( В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина); А.Д.Александрова (А.Л.Вернер, В. И. Рыжик); Г.П.Бевза (В.Г.Бевз, Н.Г.Владимирова); В.Г.Болтянского (М. Б. Волович, А. Д. Семушин); В.М. Клопско-го (3. А. Скопец, М. И. Ягодовский); А. Н. Колмогорова (А.Ф.Семенович, Р.С.Черкасов); В.Н.Руденко, Г.А. Бахурина и др.

Курс школьной математики должен быть таким, чтобы он прежде всего побуждал учащихся к постановке вопросов, выдвижению гипотез, создавал бы условия для эффективных поисков. Организация обучения должна обеспечивать не только усвоение программных геометрических знаний и умений, но и способствовать разностороннему развитию личности учащихся, в частности, развитию познавательных способностей, самостоятельности и творческого подхода к учению.

Решение этих задач возможно лишь в условиях индивидуальной и дифференцированной организации школьного обучения. Этим проблемам посвящены работы известных отечественных психологов (С.Л.Выготский, В.В.Давыдов, Н.В.Талызина, Л. М. Фридман и др. ), педагогов (Бабанский Ю.К., Скаткин М.Н.), методиков-математи-ков (В.Г.Болтянский, Г.Д.Глейзер, В.А.Гусев, Г. Л. Луканкин, Ю.М.Колягин, И.М.Смирнова и др.). В геометрическом курсе современной школы дифференциация обучения предполагает "одновременное существование как учебников геометрии, построенных на глобальной аксиоматической организации теории, так и учебников, построенных на локальной аксиоматизации и локальной дедукции. Здесь налицо проблема создания таких учебников геометрии, в которых бы разумнее дозировались логический и интуитивный компоненты, так как школьный курс геометрии должен представлять собой "химическое соединение интуиции и логики" " [ 61, с.17 ].

Для решения этой проблемы Министерством Просвещения СССР в 1988г. был объявлен Всесоюзный конкурс учебников по математике. В представленных на конкурс работах авторы и авторские коллективы отразили свои взгляды на проблему строгости аксиоматического построения геометрии и содержание в целом школьного курса. Но в каждом из пробных учебников создатели руководствовались одним - сделать школьную геометрию доступной и интересной каждому ученику.

Нельзя не согласиться с тем, что в условиях массовой школы строгое логическое построение геометрии просто невозможно, да и не является необходимым. Раннее знакомство с аксиоматикой не дает эффекта даже для способных учащихся. Но, тем не менее, изложение геометрического материала, лишенное аксиоматической основы, вряд ли можно считать приемлемым. Обоснования и доказательства, которые опираются лишь на наглядность и очевидность, не всегда будут верными. Такая геометрия не будет играть существенной роли ни в математическом образовании, ни в общем развитии учащихся.

Поэтому многие работы методистов-математиков посвящены вопросам формирования у учащихся представлений об аксиоматическом методе ( А.И.Грузин [55], А.Е.Захарова [70], М.А.Исаева [73], П.В.Мартиросян [94], В. И. Рыжик [127], В.Е.Шевченко [157] и др.). Внимание в них уделяется не только улучшению содержания курса геометрии, но и модернизации методов и организационных форм предметного обучения. В частности, рассматриваются вопросы, связанные с формированием геометрических понятий, развитием логического мышления и геометрической интуиции, дедуктивного метода познания и мировоззрения в целом ( С.А.Алла-бергенов [3], В.О.Ваганян [35], 3.И.Слепкань[137], И.М.Смирнова [138], А. А. Столяр [142], Е.Тоцки [147], В.М.Туркина [148], Д.М.Фрейверт [151] и др.). Вместе с тем, анализ имеющейся литературы свидетельствует о том, что оптимальное для настоящего времени решение проблемы систематического курса школьной геометрии еще не найдено.

Опыт практической реализации указанных выше теорий доказал их педагогическую эффективность. Но, наряду с этим, он выявил и недостаточную разработанность методики применения аксиоматического метода в школе. Несмотря на то, что в программу девятого класса школьного курса геометрии [121] в настоящее время включено изучение основ аксиоматического метода, в некоторых действующих и пробных учебниках логическое обоснование геометрии вообще не рассматривается. В других же предлагаетмя лишь обзорный материал по аксиоматическому методу, не соответствующий программе, или вопросы аксиоматики излагаются достаточно сложно для большинства учащихся, потому что для их изучения нужна специальная подготовка.

Таким образом, глубинные причины использования аксиоматического метода при изложении геометрии в школе остаются без должного внимания. Не уделяется должного внимания познавательно-мировоззренческой роли этого метода, которую можно определить как стремление к знанию, связанное с активным отношением к изучаемому предмету, в процессе которого формируется система взглядов на окружающий мир и его закономерности [73,с.77]. Почти не учитывается значение этого метода в решении ряда образовательных, воспитательных и развивающих задач обучения. А изучение аксиоматического метода в условиях развивающего обучения способно обеспечить формирование системных знаний и обобщенных уменийи, развитие научного мировоззрения, логического мышления и познавательных способностей, повышение творческой активности и интереса к геометрии. Методика изучения аксиоматического метода в школе, способная устранить указанные недостатки, не разработана.

Из всего выше сказанного вытекает проблема исследования: найти пути и средства доступного изучения основ аксиоматического метода в курсе геометрии средней школы. Решение этой проблемы определяет актуальность и выбор темы исследования: "Изучение аксиоматического метода в курсе геометрии 7-9-х классов"

Объектом нашего исследования является процесс геометрической подготовки учащихся 7-9 классов.

Исходя из цели исследования, на основе анализа проблемы и результатов констатирующего эксперимента нами было выдвинута следующая гипотеза: если разработать учебно-методический комплекс, направленный на изучение основ аксиоматики в школьном курсе геометрии, и целенаправленно использовать его в предметном обучении или внеклассной работе по математике, то можно реализовать широкие возможности аксиоматического метода. Это будет стимулировать развитие мышления учащихся, их познавательных способностей и самостоятельности, что не только повысит эффективность обучения, улучшит качество получаемых геометрических знаний и умений, но и будет способствовать формированию научного мировоззрения обучаемых.

В ходе работы необходимо было решить задачи:

1. Рассмотреть различные подходы к применению аксиоматического метода в курсе геометрии и его значение в познании окружающего мира и обучении.

4. Определить оптимальные условия изучения основ аксиоматики в обучении геометрии.

5. Построить методическую систему изучения аксиоматического метода: разработать программу, учебные, методические и дидактические материалы, обеспечивающие изучение основ аксиматики на уроках геометрии и факультативах. 6. Экспериментально проверить эффективность разработанного нового учебно-методического комплекса.

Методологическую основу исследования составили психолого-педагогические и методико-математические труды, относящиеся к теме нашей работы, государственные документы по образованию, учебные программы по математике для средней школы.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

1. Теоретические (анализ философской, психолого-педагогической, математической, методической и дидактической литературы по проблеме; изучение государственных документов по вопросам образования).

2. Общенаучные (педагогическое наблюдение, педагогический эксперимент, беседы, опросы, анкетирование).

3. Общелогические (логико-дидактический анализ действующих программ по геометрии средней школы, историко-логический анализ, сравнение и обобщение учебного материала).

5. Экспериментальные методы (констатирующий, поисковый, обучающий эксперименты по проблеме исследования).

6. Статистические (обработка результатов педагогического эксперимента и их методический анализ).

Исследование проводилось в три этапа.

На первом этапе ( 1993-1995 гг.) было рассмотрено состояние проблемы в науке и практике, проанализирована психолого-педагогическая, учебная и методическая литература, обоснована концепция исследования и составлен план опытно-экспериментальной работы.

На втором этапе исследования ( 1995-1996 гг. ) были определены теоретические основы изучения аксиоматического метода в школьном курсе геометрии, разработан пробный вариант учебно-методического комплекса и заложена его экспериментальная проверка.

На третьем этапе ( 1996-1997 гг.) был начат обучающий эксперимент и проанализированы его первые результаты, что позволило сделать основные выводы об использовании созданного комплекса для изучения основ аксиоматики в средней школе, устранить некоторые имеющиеся недостатки и наметить пути совершенствования работы в этом направлении.

Научная новизна и теоретическая значимость проведенного исследования состоит в том, что определены теоретические основы для разработки учебно-методического комплекса по изучению аксиоматического метода в курсе школьной геометрии, разработаны концептуальные положения, построена методическая система изучения основ аксиоматики в школе.

Практическая ценность результатов исследования заключается в том, что разработан учебно-методический комплекс по изучению основ аксиоматики в школьном курсе геометрии, включающий в себя программу изучения аксиоматического метода на уроках планиметрии ( 9 класс ) и факультативных занятиях; учебные пособия для учителей и учащихся; методические рекомендации по проведению уроков и занятий по аксиоматике, соответствующие изданным пособиям, и дидактические материалы.

- при разработке учебных материалов для факультативов и внеклассных занятий по математике;

Достоверность полученных результатов и выводов обеспечивают теоретико-методологические основы изучения и применения аксиоматического метода; использование комплекса взаимосвязанных методов, соответствующих цели, задачам и логике исследования; педагогический эксперимент и положительные результаты экспериментально-опытной работы.

Основные положения диссертационного исследования изложены и обсуждены на научно-практических конференциях по итогам научно-исследовательской работы в Орловском государственном педагогическом университете в 1994, 1995 и 1996 годах; на конференции учителей математики школ г. Орла ( март, 1995г.); на "Неделе науки - 96" ОГПУ ; на Всероссийской конференции молодых ученых ( г.Орел, апрель, 1996г. ); на Межвузовской областной конференции, проходившей в рамках "Декады науки - 97" ( г.Орел, апрель, 1997г.) ; на заседаниях кафедры геометрии и методики преподавания математики Орловского государственного университета.

Результаты исследования отражены в девяти публикациях автора.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Обоснование возможности и целесообразности формирования у учащихся представлений об аксиоматическом методе и глубинных причинах его использования в школьном курсе геометрии.

2. Учебно-методический комплекс по изучению основ аксиоматического метода в курсе планиметрии ( 7-9 классы ).

3. Дидактические условия и технология практической реализации созданного комплекса в средней школе.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ВЫВОДЫ:

1. В представленной концепции обосновано, что знакомство учащихся с основами аксиоматики в средней школе может способствовать не только формированию системных знаний учащихся, но и развитию их интеллекта, познавательных способностей, реализации творческих возможностей, что наиболее важно в современных условиях.

2. Рассмотрение неевклидовых геометрий и их связи с другими науками способствует формированию у учащихся целостного представления об окружающей действительности и научного мировоззрения.

3. Круг основных вопросов, изучаемых в рамках предложенной программы по основам аксиоматики, созданные в соответствии с ними учебные пособия помогают наилучшему усвоению новых знаний учащимися.

4. Предложенные методические рекомендации и дидактические материалы облегчают работу учителей и позволяют провести контроль за усвоением основ аксиоматики учащимися.

5. Экспериментально доказана эффективность разработанного учебно-методического комплекса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Проведенное нами исследование возможностей изучения основ аксиоматики в средней школе позволяет сделать ряд выводов.

Теоретический анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме показал, что аксиоматический метод является культурным наследием человечества, сложившимся в ходе его общественного развития, и имеет огромное значение не только в геометрии, где его использование традиционно, но и в других науках, а также в познании окружающей действительности.

В результате теоретико-экспериментального анализа программ по математике средней школы, учебников геометрии и состояния проблемы использования аксиоматического метода в школьном курсе было выяснено следующее:

- рассмотрение вопросов, связанных с аксиоматическим методом, в школьном курсе геометрии предусмотрено программой и стандартом среднего математического образования;

Это позволило выявить направления и определить основные вопросы построения такого курса, который бы не только давал учащимся определенные геометрические знания, но и способствовал формированию их мировоззрения, развитию мышления, повышению познавательной самостоятельности, творческой активности и интереса к математике на основе изучения аксиоматического материала. Разработан учебно-методический комплекс по изучению аксиоматического метода в средней школе, включающий в себя программу, учебные пособия для учащихся, методические рекомендации для учителей, дидактические материалы.

Эксперимент показал, что разработанный учебно-методический комплекс может быть основой для проведения уроков по изучению аксиоматического метода с учетом действующей программы углубленного изучения математики (геометрия 9 класс), а также может применяться для проведения внеклассных занятий по математике.

Результаты педагогического эксперимента свидетельствуют об эффективности разработанной методики изучения аксиоматического метода в школьном курсе геометрии.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Шумилина, Надежда Геннадьевна, Орел

1. Абрамов A.M. Логические основы курса планиметрии // Математика в школе. 1974. - //5 - С. 20-25

2. Абрамов A.M. Начальные понятия геометрии // Преподавание геометрии в 6-8кл./Сост.В.А. Гусев. -М. : Просвещение, 1985 150с.

3. Александров А.Д. О геометрии // Математика в школе. 1986. - // 1 - С. 12-19

4. Александров А.Д. О геометрии Лобачевского. // Математика в школе. 1993. - г/ 2-С. 2-7, / 3 - С. 2-5

5. Александров А.Д. О строгости изложения в учебном пособии А.В.Погорелова // Математика в школе. 1985. - У 5 - С.56

6. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия-6. М.: Просвещение, 1984. - 86с.

7. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия-7. М. : Просвещение,1985. - 92с.

8. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия-8. М.: Просвещение, 1986. - 87с.

9. И. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. М. : Наука, 1990.-672с.

10. Александров П. С. О некоторых направлениях в развитии математики и их значение для преподавания // На путях обновления школьного курса математики / Сост. А. И. Маркушевич и др.

11. М.: Просвещение, 1978. С.7-9

12. Аллабергенов С.А. Воспитание учащихся в процессе обучения математике // Советская педагогика. 1984. -//5 - С.34-36.

13. Аммосова Н.В., Коваленко Б.В., Юрина В.В. Об организации и содержании работы школьного научного математического общества // Школьный факультатив по математике : Межвузовский сб. Изд. Саратовского пед. ин-та, 1993,- С. 35-39.

14. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия (ч.II). М.: Просвещение, 1987 - 284 с.

15. Атанасян Л. С. и др. По поводу статьи А.С.Мищенко и Л. С. Понтрягина "О пробном учебнике "Геометрия 6-8 "" // Математика в школе. 1983. - //4 - С. 54.

16. Атанасян Л.С., Мишин В.И. Об одном построении систематического курса геометрии в средней школе // Современные проблемы методики преподавания математики / Сост. Н.С.Антонов, В.А.Гусев М. : Просвещение, 1985. - С. 107-111.

17. Атанасян Л. С., Позняк Э.Г. О пробных учебниках по геометрии для VI—VIII классов общеобразовательной школы. // Математика в школе. 1981. - а/ 1 - С. 42-47

18. Афанасьев В.В. Формирование творческой активности студентов в процессе решения математических задач. Ярославль: ЯГПУ, 1996. - 168 с.

19. Бевз Г. П., Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия: Учеб. пособие для 7-11 кл.сред.шк.- М.: Просвещение, 1992. 352 с.

20. Беляков Е. А мышка все не бежит . или Сказка об учебнике геометрии // Учительская газ. 1996. - 3 декабря.

21. Бескин Н.М. Аксиоматический метод // Математика в школе. 1993. л/ 3 - С. 25-29, / 4 - С. 48-54

22. Бескин Н.М. Об учебнике геометрии // Математика в школе. 1957. л/ 4 - С. 57-69.

23. Болтянский В. Загадка "аксиомы параллельных" // Квант. 1976. // 3 - С. 2-8

24. Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика // Математика в школе. 1982. - //2 - С. 40-43.

25. Болтянский В. Г. Пробный учебник геометрии // Математика в школе. 1981. -л/ 5 - С. 48-55.

26. Болтянский В.Г., Волович М.Б., Семушин А.Д. Геометрия 6-8. -М: Просвещение, 1979. 92с.

27. Болтянский В.Г., Волович М.Б., Семушин А.Д. Геометрия-8. -М.: Педагогика, 1977 108 с.

28. Болтянский В.Г.Яглом И.М. Геометрия в старших классах средней школы // Математика в школе. 1969. - //4 - С. 9-21.

29. Боровик О.Г., Гусаков В.А., Юнеева О.Д. Об изучении темы "Сведения из истории"//Математика в школе.-1991.- 4-С.53-57.

30. Бородин А.И., Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики К. :Радянська школа, 1979. - 607с.

31. Бронштейн И.Н. , Лопшиц A.M. Не изгонять из школы идей аксиоматического метода // На путях обновления школьного курса математики / сост. А.И.Маркушевич и др. М.: Просвещение, 1978. - С.26-27.

32. Большая советская энциклопедия 3-е изд., т.1 - М., 1970.

33. Бурбаки Н. Архитектура математики // Математическое просвещение / Сб. Вып. 5 М. , 1960.

34. Ваганян В.0. Научно-методические принципы построения курса геометрии в современной девятилетней школе: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1997. - 21с.

35. Васильева М.В. Методическая разработка к спецкурс "Основания геометрии". М.,1984 - 120 с.

36. Вернер А.Л., Рыжик В.И. Академик Александр Данилович Александров // Математика в школе. 1993. - V 1

37. Винберг Э.Г. О неевклидовой геометрии // Соросовский образовательный журнал. 1996. - л/3 - С. 104-109

38. Волошинов А.В. Пифагор. М.: Просвещение, 1993 - 312 с.

39. Выготский Л.С. Педагогическая психология / Под ред. В.В.Давыдова. М.: Просвещение, 1991. - 479 с.

40. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк./ Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С. Б. и др. М. : Просвещение,1990.- 336с.

41. Геометрия в 7-9 классах: ( Метод, рекомендации к преподаванию курса геометрии по учеб. пособию А. В. Погорелова ): Пособие для учителя / Березина Л.Ю., Мельникова Н.Б., Мищенко Т.М. и др. М. : Просвещение, 1990. - 336 с.

42. Гильберт Д. Основания геометрии. М.: Гостехиздат, 1948.

43. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Теория доказательств / пер. с нем. Н. М. Нагорного. М.: Наука, 1982,- 652с.

44. Гиндикин С. Волшебный мир Анри Пуанкаре // Квант. 1976.-УЗ - С. 9-17

45. Глаголев Н.А. Элементарная геометрия. Планиметрия,- 3-е изд. /под ред. Перепелкина Д. И, М.: Учпедгиз, 1954.- ч. I - 235с.

46. Глейзер Г.Д. Геометрия: Учеб. пособие для 7-10 кл. вечерней /сменной/школы и самообразования. -М. .'Просвещение, 1992. -252с.

47. Глейзер Г.И. История математики в средней школе. М.: Просвещение, 1970 - 318с.

48. Глейзер Г.Д. История математики в средней школе ( 7-8 кл.).- М.: Просвещение, 1982. 334 с.

49. Глейзер Г.И. История математики в средней школе ( IX-X кл.)- М.: Просвещение, 1983. 352 с.

50. Глейзер Г.Д., Черкасов P.O. Центр творческих усилий педаго-гов//Математика в школе,- 1993.-/^5-0.3-5, 1993.-Уб-С. 3-7.

51. Гнеденко Б.В. Математика в COOP за 50 лет // Математика в школе. 1967. - л/ 6 - С. 5-10.

52. Гнеденко Б.В., Черкасов Р. С. О преподавании математики в предстоящем тысячелетии //Математика в школе.-1996. л/1-С. 52-54

53. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. М.: Педагогика, 1977,- 136 с.

54. Грузин А.И. Методика аксиоматического введения в курс геометрии восьмилетней школы. Дис. . канд. педаг. наук. М.,1985. 264 с.

55. Гусев В.А. Геометрия 6: Экспериментальный учебник - М: Авангард, 1995. - ч. 1 - 124 с.

56. Гусев В.А. Методика преподавания курса "Геометрия 6-9" (4.1). М.: Авангард, 1995г - 100 с.

57. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: Дис. . . . докт. пед. наук. М. ; 1990. 364 с.

58. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении, М.: Педагогика, 1972. - 424 с.

59. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. М.: Педагогика,1986. 240 с.

60. Далингер В.А. Об аналогиях в планиметрии и стереометрии // Математика в школе. 1995. - У6 - С. 16-21

61. Далингер В.А. Самостоятельная деятельность учащихся основа развивающего обучения // Математика в школе. - 1994. - 6

62. Джинджихадзе Д.М. Функции наглядности при изучении геометрических понятий // Современные проблемы методики преподавания математики / Сост. Н.С.Антонов, В.А.Гусев М.: Просвещение, 1985. С. 231-236

63. Дьедонне Жан. Линейная алгебра и элементарная геометрия / Пер. с франц. Г.В.Дорофеева. Под ред. И.М.Яглома М. : Наука, 1972. - 335 с.

64. Дьедонне Жан. Надо ли учить "современной" математике? // Математика в школе. 1976. - У1 - С. 88-91.

65. Егоров И.П. Об аксиоматическом построении евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского // Математика в школе. 1970.- л/ 5 С. 17-22

66. Егоров И.П. Основания геометрии. М. :Просвещение,1984.-144с.

67. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М., 1961. - 580 с.

68. Захарова А.Е. Система упражнений, направленных на формирование первых представлений об аксиоматическом методе. Дис. . канд. пед. наук. М., 1978. - 145 с.

69. Иванова Н.Н. Развитие творческих способностей учащихся на основе системы факультативных курсов по геометрии ( 7-9кл.). Дис. . канд. педаг. наук. М., 1981. - 162 с.

70. Иванова Т.А. Методология научного поиска основа технологии развивающего обучения//Математика в школе.-1995.-/б-С.25-28

71. Исаева М.А. Роль аксиоматического метода в осуществлении познавательно-мировоззренческой направленности углубленного изучения геометрии в средней школе: Дис. . . канд педаг. наук. М., 1991. - 156 с.

72. Каган В. Задача обоснования геометрии в современной постановке: речь произнесена при защите диссертации. Одесса: типография акционерного Южно-Российского Общества Печатного Дела, 1908. - 40 с.

73. Киселев Андрей Петрович // Математика в школе. 1967. - а/ 1- С. 24-27.

74. Киселев А.П. Элементарная геометрия. 9-е изд. - Гос.издат, 1930 - 210 с.

75. Клопский В.М., Скопец З.А., Ягодовский М.И. Геометрия: Учеб. пособие для 9 и 10 кл. сред. шк. / Под ред. З.А.Скопеца. -8-е изд. М. : Просвещение, 1982. - 256 с.

76. Колмогоров А. Н. Геометрия: Учеб. пособие для бкл. сред. шк. М.: Просвещение, 1975. - 112 с.

77. Колмогоров А. Н. К новым программам по математике // На путях обновления школьного курса математики / сост. А. И. Маркушевич и др. М.: Просвещение, 1978. - С. 69-72.

78. Колмогоров А. Н. Новое в школьной математике. Сборник "На путях обновления школьного курса математики / сост. А.И.Маркушевич и др. М. : Просвещение, 1978. - С. 72-78.

79. Колмогоров А. Н. Об учебном пособии "Геометрия 6-И" А. В. Погорелова // Математика в школе. 1983. - V2 - С. 45-46.

80. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф. , Гусев В. А. и др. Геометрия: Учеб.пособие для 8 кл.сред.шк,- М.: Просвещение, 1979.-118с.

81. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия: Учеб. пособие для 6-8 кл. сред. шк. 3-е изд. - М. : Просвещение, 1981. - 384 с.

82. Королькова И.Г. Развитие познавательной самостоятельности студентов педвузов в процессе изучения курса " Методика преподавания математики " : Автореф. дис. . канд. пед. наук.-Саранск, 1997. 18 с.

83. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. 2-е изд., доп. М.: Наука, 1980. - 141 с.

84. Курганов С. Ю. Ребенок и взрослый в учебном диалоге: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1989. - 127 с.

85. Кутузов Б. В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии.- Учпедгиз, 1950. 128 с.

86. Левин В.И. Некоторые вопросы преподавания математики в средней школе // Математическое просвещение. М.: Гостехиздат, 1959. - // 4 - С. 145-150.

87. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. 2-е изд.: Политиздат, 1977. - 304 с.

88. Лобачевский Н.И. Избранные труды по геометрии. / Под ред. Александрова П.С., Делоне Б.Н., Рашевского П.К. М. : Изд-во АН СССР, 1956. - 595 с.

89. Ляпунов А.А. О роли математики в среднем образовании. // На путях обновления школьного курса математики / сост. А.И.Мар-кушевич и др. М.: Просвещение, 1978.- С. 27-29.

90. Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Соркин Ю.И. и др. Математик в понятиях, определениях и терминах. М.: Просвещение, 1978. - ч. I - 318 с.

91. Мантуров О.В.Исаева М.А. Об аксиоматическом методе в школьном курсе геометрии //Математика в школе.-1983. -а/з-С. 38-41.

92. Мартиросян П.В. Элементы неевклидовой геометрии в средней школе ( на материале геометрии Лобачевского ). Дис. канд. педаг. наук. Баку, 1973. - 155 с.

93. Медяник А.И. Научно методические достоинства учебного пособия по геометрии А.В.Погорелова // Математика в школе. 1983. - У 2 - С. 48-51.

94. Медяник А.И. О новом учебном пособии по геометрии для средней школы // Современные проблемы методики преподавания математики / сост. Н.С.Антонов, В.А.Гусев М. : Просвещение, 1985. С. 98-105.

95. Медяник А.И. О строгости изложения в учебном пособии А.В.Погорелова // Математика в школе. 1984. - //б.

96. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики: Учеб. пособие для физ,- мат. фак. пед. ин-тов

97. Колягин Ю.М. , Луканкин Г. Л., Мокрушин Е.Л. и др. М. : Просвещение, 1977. - 480 с.

98. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А.Я.Блох, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев и др.; сост. Мишин В. И. М. : Просвещение, 1987 - 416 с.

99. Мищенко А.С., Понтрягин Л.С. О пробном учебнике "Геометрия 6-8" // Математика в школе. 1983. - (J 2 - С. 46-48.

100. Моиз Э.Э., Дауне Ф.Л. Геометрия. М. : Просвещение,1972.-524с.

101. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б. Физика: Учеб. для И кл. сред, шк. М.: Просвещение, 1991. - 254 с.

102. Никитин Н.Н. Геометрия: Учеб. пособие для 6-8 кл. М.: Просвещение, 1964 - 284 с.

103. Норден А. Великое открытие Лобачевского // Квант.- 1976.-и/2 С. 16-21.

104. Об изучении геометрии в восьмилетней школе по новой программе (учебник А.Н.Колмогорова) //Математика в школе.-1972.- а/2

105. Осипенко И.Н. "Начала" Евклида. М.: Наука, 1994.- 278с.

106. Папи Ж. Геометрия в современном преподавании математики // Математика в школе. 1967. - //1 - С. 39-42

107. Паповский В.М. Углубленное изучение геометрии в 10-11 классах: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1993. - 223 с.

108. Парнасский И. В., Певзнер С.Л. Основания геометрии. Хабаровск, 1980 - 114 с.

109. Певзнер С.Л. Инверсия и ее приложения,- Хабаровск,1988.-81с.

110. Пидоу Д. Геометрия и искусство / Пер. с англ. Ю.А.Данилова. Под ред. И.М.Яглома. М.: Мир, 1979.- 333 с.

111. Пикан В.В. О практической направленности пробного учебника "Геометрия 6-8" //Математика в школе.- 1983. -^2 С. 51-52.

112. Пичурин Л.Ф., Репьев В. В., Федин Н.Г. и др. Вопросы общейметодики преподавания математики: Учеб. пособие для студ. заочн. III-IV курсов физ,- мат. фак. пед. ин-тов М.: Просвещение, 1979 80 с.

113. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. пособие для 7-11 кл. сред, шк.- 8-е изд. М.: Просвещение, 1989. - 303с.

114. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. пособие для 7-11 кл. ср. шк.- изд.4 М. : Просвещение, 1993. - 383с.

115. Погорелов А.В. Геометрия для ВУЗов.- М. : Наука, 1984 296с.

116. Погорелов А.В. Об учебнике "Геометрия 7-И" // Математика в школе. 1989. - л/ 5 - С. 92-97.

117. Погорелов А.В. Элементарная геометрия. М.: Просвещение, 1969 - 198 с.

118. Пономарев Я.А. Фазы творческого процесса // Исследование проблем психологии творчества. М., 1983.

119. Понтрягин Л. 0 математике и качестве ее преподавания // Коммунист. 1980. -У 14. - 0.99-110

120. Программы: Математика. М.: Просвещение, 1996. - 31с.

121. Программы. Физика. Астрономия. М.: Просвещение, 1994.- 288с.

122. Развитие творческой активности школьников / Под ред. А.М.Матюшкина М.: Педагогика, 1991. - 160с.

123. Рубинштейн С. Л. О мышлении и путях его исследования. М.: Изд-во АН СССР, 1958. - 147 с.

124. Руденко В.Н., Бахурин Г. А. Геометрия: Учеб. пособие для 7-9 кл. сред. шк. М. : Просвещение, 1994. - 383 с.

125. Рыжик В.И. Использование аксиоматики эвклидового пространства для изучения геометрии в школе. Дис. . канд. пед. наук. Л., 1975. - 183 с.

126. Сабитов И.X. .Так ли прост евклидов мир? // Квант. 1984. -Vl - с. 14-20

127. Саранцев Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики // Математика в школе. 1995. У 5 - С. 36-39

128. Семенов Е.Е. Доказать можно? Доказать нельзя! // Квант. -1978. - /l - С. 38-42

129. Семенов Е.Е. Изучаем геометрию.-М. :Просвещение, 1987.- 186с.

130. Семенов Е.Е. Точка, прямая . что это такое ? // Квант. -1975. -/И - С. 73-75, л/12 - С. 68-70.

131. Семенович А.Ф., Нагибин Ф.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия: Учеб. пособие для 6-8 кл. сред.шк. М.: Просвещение, 1967. 98с.

132. Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. О конкурсном учебнике "Геометрия 7-9" // Математика в школе. 1990,- //4 - С.49-56

133. Серве В. Аксиоматика и элементарная геометрия // Математика в школе. 1967. -/б - С. 45-56.

134. Силин А.В., Шмакова Н.А. Открываем неевклидову геометрию. -М. : Просвещение, 1988,- 126 с.

135. Слепкань З.И. Методическая система реализации развивающей функции обучения математике в средней школе: Дис. в форме научного доклада . . докт. пед. наук. М.; 1987. 47 с.

136. Смирнова И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения. М.: Прометей, 1994. 152 с.

137. Смогоржевский А. С. О геометрии Лобачевского. М: Гостехтео-риздат, 1957 - 68 с.

138. Смородинский Я. Лобачевский и физика // Квант. 1976. -4/2 - С. 22-27.

139. Стандарт среднего математического образования // Математика в школе. 1993. - // 4 - С. 10-23.

140. Столяр А.А. Логические проблемы преподавания математики: Ав-тореф. дис. . докт. пед. наук. М., 1969. - 37 с.

141. Тесленко И.Ф., Фирсов В.В. О методической системе учебного пособия А.В.Погорелова "Геометрия" // Математика в школе. 1981. а/ 5 - С. 42-48.

142. Тихомиров В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании // Математика в школе.-1993. V4-C. 3-9.

143. Тллашев X., Умаров 0. О принципе историзма в обучении школьному курсу математики // Современные проблемы методики преподавания математики / сост. Н.С.Антонов, В.А.Гусев М. : Просвещение, 1985. С. 294-296.

144. Том Р. Современная математика существует ли она? // Математика в школе. - 1973. - rJ 1 - С. 91-93.

145. Тоцки Е. Методические основы локально дедуктивного обучения геометрии в средних школах ( с учетом специфики Польши ) : Автореф. дис. . докт. пед. наук. М., 1993.- 83с.

146. Туркина В.М. Формирование общих приемов поиска доказательства математических утверждений. Дис. . . канд. педаг. наук. -Л., 1984. 174 с.

147. Факультативный курс по математике / Сост. Никольская И.Л. М. : Просвещение, 1991,- 383 с.

148. Формирование приемов математического мышления / Под ред. Талызиной Н.Ф. М. ТОО "Вентана-Граф" - 1995. - 138 с.

149. Фрейверт Д.М. Логико-дидактическое исследование доказательств теорем школьной геометрии. ( на материале теорем 6-8 класса). Дис. канд. педаг. наук. Минск, 1986. - 178 с.

150. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе М. Просвещение, 1983. 160 с.

151. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача: Пособие для учителей / Пер. с нем. А.Я.Халамайзера. Под ред. Н.Я.Ви-ленкина ч. II.- М. : Просвещение, 1983,- 192с.

152. Фролова Т.Ф. Роль наглядных представлений при изучении первых разделов планиметрии // Математика в школе. 1989. - л/1. - С. 55-56.

153. Цейтен Г.Г. История математики в древности и средние века. -М.-Л., 1938. 232 с.

154. Цукерман В.В. О судьбе великого наследия // Математика в школе. 1994. - / 3. - С. 44-45

155. Шевченко В.Е. Опыт изучения оснований геометрии ( аксиоматического метода, общих вопросов аксиоматики и геометрии Лобачевского в средней школе): Дис. . канд. педаг. наук. М., 1969. - 178 с.

156. Шоке Г. Геометрия. М.: Мир , 1970 - 98 с.

157. Шоластер Н.Н. Таким ли должен быть школьный курс геометрии // Математика в школе. 1971. - Уб.

158. Шумилина Н.Г. "Поиграем с аксиомами" : Учеб. пособие для учащихся и учителей, ч. I ) Орел, 1996. - 33 с.

159. Щетников А.И. Первоначала геометрии ( учебное пособие ). М.: изд-во гимназии "Открытый мир", 1995. 64 с.

160. Энциклопедический словарь юного математика. 2-е изд., испр. и дополн. - М.: Педагогика, 1989. - 352 с.

161. Якиманская И. С. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979. - 144 с.1. АНКЕТА

162. Геометрия ведется Вами в 7 классе по учебникув 8 классе по учебникув 9 классе по учебникуукажите авторов и отметьте " * " наиболее удачное на Ваш взгляд изложение школьного курса).

163. Материал учебника, связанный с применением аксиоматического метода усваиваютхорошо " % всех учащихся;удовлетворительно " % всех учащихся.

164. Какими по Вашему мнению достоинствами обладает аксиоматический метод изложения школьного курса геометрии ?

165. Перечислите трудности, которые Вы испытываете при изложении материала, связанного с применением аксиоматики.

166. Считаете ли Вы необходимым изучение основ аксиоматического метода в курсе геометрии ? ( Да, нет , подчеркнуть ).

167. Ваши пожелания и предложения по вопросам изучения и применения аксиоматического метода в школьной геометрии.1. АНКЕТА

168. Неопределяемыми понятиями являются точки, окружности и принадлежность точки окружности, для которых выполнены следующие аксиомы:

169. АКСИОМА 1. Каждой окружности принадлежат по крайней мере три точки.

170. АКСИОМА 2. Существуют четыре точки, не лежащие на одной окружности.

171. АКСИОМА 3. Через любые три точки проходит окружность, и притом только одна.

172. Показать, что данная система аксиом непротиворечива.

173. Показать независимость АКСИОМЫ 1 от других аксиом системы

174. Пусть дана некоторая окружность 1. Доказать на основе данной системы аксиом, что при этом условии существуют еще хотя бы три окружности.1. РЕШЕНИЕ.

175. Для доказательства непротиворечивости системы аксиом достаточно построить ее модель. Одна из возможных моделей показана на рисунке 1.

176. На рисунке 2 показана модель, на которой выполнены аксиомы 2 и 3, но одной из окружностей принадлежат лишь две точки М и N, следовательно, АКСИОМА 1 не имеет места, значит, она независима от остальных аксиом системы.

177. Что в обычном смысле представляют собой отрезок АВ и луч ОК данной модели ?1. Рис. 31. ОТВЕТ.

178. Отрезком АВ будут все параллельные прямые, лежащие на данной плоскости между прямыми А и В ( рисунок 4 ), лучом ОК будут все прямые, параллельные прямой 0 и лежащие в одной полуплоскости с прямой К ( рисунок 5 ).В

179. I. В дежурстве участвуют пять учеников. Составить график дежурства по следующим правилам:

180. П1. Любые два ученика участвуют в единственном общем дежурстве.

181. П2. В любых двух дежурствах есть общий ученик. ПЗ. Нет дежурств из четырех учеников.1. Дать ответы на вопросы:

182. Сколько человек может участвовать в одном дежурстве ?

183. Сколько различных дежурств будет в графике ?

184. Во скольких дежурствах участвует каждый ученик ?

185. Если обозначить учащихся числами 1, 2, 3, 4 и 5, то дежурству будут соответствовать пары или тройки чисел. Количество различных и пар, и троек равно десяти, значит, график в обоих случаях будет состоять из десяти дежурств.

186. Легко убедиться, что каждый ученик входит ровно в четыре пары и ровно в четыре тройки, следовательно, при составлении графика каждый будет дежурить четыре раза.1. РЕШЕНИЕ.

187. Более наглядно это видно на геометрической модели, где1учащиеся это точки 1, 2, 3, 24 и 5, а дежурству будут соответствовать либо различные отрезки, либо различные треугольники с вершинами в этих точках ( Рисунок 6).41. Рис. 651. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2.

188. Полуокружности верхней полуплоскости с центрами 0 и 0 и радиусами ОВ и QB будут изображать прямые в модели Пуанкаре, два угла между которыми соответствуют искомым.

189. I. На модели Пуанкаре даны прямая АВ и точка С, не принадлежащая этой прямой. Построить две прямые, параллельные АВв разных направлениях, и проходящие через точку С.