автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обучение доказательству в курсе геометрии восьмилетней школы

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Хашимов, Рахимжон, 1984 год

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ

§ I. Логические структуры в доказательстве теорем

§ 2. Доказательства в обучении геометрии в восьмилетней школе

Глава П. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ

§ I. Этапы обучения доказательству

§ 2. Логически развернутые доказательства и методика их использования в обучении геометрии

§ 3. Система упражнений по обучению доказательству в курсе геометрии восьмилетней школы

§ Организация и результаты экспериментальной работы

Введение диссертации по педагогике, на тему "Обучение доказательству в курсе геометрии восьмилетней школы"

Современный период развития советского социалистического общества ставит перед общеобразовательной школой новые задачи по воспитанию и образованию подрастающего поколения.

На ХХУ1 съезде КПСС отмечалось, что качество школьных программ и учебников нуждается в улучшении, что они слишком усложнены. Это затрудняет обучение, ведет к неоправданной перегрузке ребят (2.2, с.60). Поэтому проблемы совершенствования содержания школьных учебных предметов, в частности математики, методов обучения, проведение их в соответствие с требованиями жизни приобретает особую актуальность. Система народного образования в нашей стране не может не учитывать требований связи обучения с жизнью, с общественно-полезным трудом, который в условиях развитого социализма опирается на значительный теоретический фундамент, требует творческий подход и логическое мыш- -ление участников производственных процессов, умение самостоятельно делать выводы на базе теоретических знаний, умения творчески мыслить. Для этого общеобразовательная школа должна вооружать подрастающее поколение прежде всего необходимыми знаниями. Как особо подчеркивает Генеральный секретарь ЦК КПСС К.У.Черненко, "упор, который мы сейчас делаем на воспитание посильным для школьника производительным трудом, при всей его принципиальной важности не отменяет ту истину, что главный труд детей -это, конечно же, учеба, прочное овладение основами наук" (2.3, с.З). Исходя из этого в "Основных направлениях общеобразовательной и профессиональной школы" для улучшения учебно-воспитательного процесса в качестве важнейшей задачи советской школы указывается на необходимость "давать подрастающему поколению глубокие и прочные знания основ наук, вырабатывать навыки и. умения, применять их на практике, формировать материалистическое мировоззрение" (2.4, с.З).

В решении этих задач важное место принадлежит учебному предмету математике. Математика, как наука, является фундаментом быстро развивающихся в последнее время естественно-научных и технических дисциплин. Бурно развивающийся процесс математизации знаний в производственной деятельности служит отражением этой роли математики. Именно поэтому возникает проблема дальнейшего совершенствования содержания и методов обучения математике.

В программе по математике для средней школы записано: "Учителю математики предоставлено право выбора различных методических путей и приемов изложения программного материала. Максимальное развитие должны получить методы, способствующие повышению у учащихся интереса к изучению математики, сознательному усвоению ими математических понятий, стимулирующие активность учащихся, воспитывающие у них навыки самостоятельной работы, умение рационально и творчески выполнять полученные задания, самостоятельно применять знания" (3.109, с.1).

Для обеспечения сознательного усвоения учащимися математических знаний, воспитания у них навыков самостоятельной работы, умения рационально и творчески применять математические знания, при любом содержании программного материала, методика обучения математике должна быть ориентирована на развитие логического мышления учащихся, а наиболее подходящий для такого развития вид деятельности - доказательство математических утверждений.

Курсу математики, и особенно геометрии, в школе всегда отводилось центральное место в развитии логического мышления учащихся, умений правильно и доказательно рассуждать, делать обоснованные выводы. Важность этого компонента математической культуры повышается по мере развития производительных сил общества. Навыки логических рассуждений требуются все в большей степени специалистам разных уровней и сфер производственной деятельности. Поэтому можно констатировать, что задача развития логического мышления учащихся приобретает теперь все более самостоятельное значение, становясь не только средством математического развития учащихся, но и его важнейшей целью.

Под логическим мышлением мы понимаем ту совокупность мыслительных умений, которая обеспечивает способность правильного и точного рассуждения, основанного на законах логики. Важность развития логического мышления учащихся определяется тем, что, по словам В.И.Ленина: "Каждая наука есть постольку прикладная логика, поскольку она состоит в том, чтобы выражать свой предмет в формах мысли и понятия" (1.4, с.183).

В 40-х годах логика изучалась в школе как отдельный предмет (см. 2,6, 3.28). Однако практика показала, что отдельное изучение логики в ее классической форме оказалось нецелесообразным в силу оторванности от других школьных предметов, к тому же нельзя сосредоточить решение задачи формирования логического мышления учащихся в одном каком-то месте, ибо основные логические умения проявляются в ходе изучения всех предметов. В настоящее время логика в школе не изучается. Предполагается, что необходимые логические знания и умения школьники приобретают в ходе изучения всех предметов, и особенно математики. А.Н.Колмогоров подчеркивает, что ". ответственность преподавателя математики особенно велика, так как отдельного предмета "логика" в школе нет и знакомство с началами логики практически в значительной мере происходит на уроках математики" (3.61. с.б).

Конечно, математика не сводится только к логическому рассуждению, которое проявляется лишь в сфере метода, но без логического рассуждения нет математики. Поэтому разработка методики обучения математике, учитывающей важность логического компонента математического мышления, всегда была одной из важных и актуальных задач теории обучения математике.

Развитию логического мышления учащихся уделяется внимание и в программе по математике. В объяснительной записке к программе говорится: "Велико значение изучения математики для общего развития учащихся, формирования у них навыков логического мышления, развития пространственных представлений, воображения, творческого мышления" (3.109, с Л).

Со времен древнегреческой математики геометрия считалась традиционным полем логического развития учащихся. Это объясняется естественностью аксиом геометрии, возможностью сравнительно быстрого получения нетривиальных результатов (что существенно для пропедевтики дедуктивных рассуждений), доказательство которых служит школой обучения искусству дедуктивного рассуждения. Хотя в курсе алгебры в настоящее время появляются и начинают работать некоторые логические понятия, тем не менее за геометрией осталась традиционная ведущая роль в формировании важнейших логических умений. Это связано с тем обстоятельством, что именно при изучении геометрии учащиеся знакомятся с идеей дедуктивного построения теории, а основным элементом построения является доказательство.

Таким образом, можно заключить, что обучение доказательству является важной задачей курса геометрии средней школы, а актуальность ее решения обусловлена потребностями, далеко выходящими за рамки собственно математики.

Вместе с тем школьная практика показывает, что обучение умению доказывать в курсе геометрии не находится пока на нужном уровне. Свидетельством этому служат результаты проверочных и контрольных работ, итоги вступительных экзаменов в вузы, критические выступления в печати, на учительских совещаниях и конференциях (см., например; 3.4, с.38; 3.25, с.48; 3.46, с.45; 3.66, с.60; 3.98, с.50; 3.II3, с.38; 3.I2I, с.45 и др.). По мнению многих учителей, одной из причин низкого уровня развития умения доказывать (см., например, 3.66) является несовершенство системы упражнений в учебниках геометрии, при этом задачи на доказательство в учебниках геометрии либо слишком просты, либо слишком сложны для учащихся.

Существенный недостаток всех школьных учебников геометрии состоит в том, что, уделяя внимание объяснению таких важных понятий, как аксиомы и теоремы, определяемые и неопределяемые понятия, они оставляют в стороне понятие доказательства, как бы считая его интуитивно понятным учащимся. В учебниках 4-5 классов не наблюдается явного стремления развивать у учащихся потребность доказывать. Вместе с тем, известно, что понятие доказательства не является естественным и простым (см., например, 3.117)• Привычка к индуктивному мышлению, развитая в младших классах, способствует тому, что учащиеся в начале изучения систематического курса геометрии не видят необходимости в проведении дедуктивных рассуждений. Это в значительной степени связано с ориентированностью учеников на ознакомление с фактами, а не методами их получения. Поэтому задачу обучения школьников умению доказывать пока нельзя считать полностью решенной.

Вопросам повышения логической грамотности учащихся и, в частности, обучения их умению доказывать посвящено значительное число работ советских и зарубежных психологов, педагогов и методистов.

В работах В.В.Давыдова, Л.В.Занкова, А.В.Запорожца, В.Пиаже, Д.Б.Эльконина было показано, что простейшие дедуктивные умозаключения доступны уже детям дошкольного возраста. В работе М.М.Вахрушева доказывается, что ". плодотворная работа по обучению навыкам умозаключений мысли может быть организована с учащимися второго класса" (3.23, с.9). Г.Р.Бреслер предлагает ознакомить учащихся с элементами доказательства в IУ-У классе (см. 3.19).

Значительное число работ методистов посвящено проблемам использования элементов математической логики для развития и повышения уровня логической культуры учащихся (см. Дж.И.Икрамов, 3.54; . И.Л.Никольская, 3.97; А.А.Столяр, 3.132 и др.). В этих работах математическая логика используется прежде всего как инструмент упорядочения и усовершенствования логической стороны курса математики и, в первую очередь, математического языка. По словам советского методиста А.А.Столяра, "традиционная методика отрывает собственно математический язык от логического, изучая первый и пренебрегая вторым. Такое обучение не может быть эффективным, так как точный смысл математических предложений и рассуждений определяется смыслом встречающихся в них не только математических, но и логических терминов (3.130, с.27).

Еще в 20-30-х годах методисты рассматривали вопросы строгости изложения доказательств в школьном курсе геометрии и методические подходы при обучении доказательству. Взгляды были различными. Так, А.Р.Кулишер рекомендовал постепенно вводить логические рассуждения и обобщения, ". начинать с курса, основанного на аксиомах, определениях и доказательствах, нельзя* Необходимо начинать с "идей ощутимых" (3.68, с.73). Концепция Р.В.Гангнуса и Ю.С.Гурвица, относящаяся к методике доказательства, такова: замена догматического изложения Евклида эвристическим, использование опыта, который предшествует доказательству теорем. Об аксиоматическом построении курса, обеспечивающем болев высокий уровень строгости изложения доказательств, авторы говорят, что ". аксиоматическое построение курса геометрии без опоры на геометрическую интуицию в средней школе невозможно" (3.33, с.13).

Н.М.Бескин в работе (3.II) рекомендует основным методом изложения теорем избрать генетический метод. Автор ставит вопрос о целесообразности сообщения учащимся сведений по логике, так как ". необходимо не только уметь делать логические умозаключения, но теоретически разбираться в структуре логического рассуждения" (с.4). В связи с этим в работе впервые выделяется необходимый минимум логического материала, который излагается с широким привлечением наглядности (диаграмм Эйлера-Венна, различных схем). Однако в пособиях недостаточно полно раскрыта логико-математическая структура доказательства приведением к противоречию, не выделяются схемы рассуждений при различных методах доказательств. В главе ХШ этой работы "Методика преподавания наглядной геометрии", написанной А.М.Астрябом, предлагается методическая концепция обучения обоснованию утверждений, в которой ученики строят логически обоснованные высказывания о свойствах изучаемых фигур, ". пользуясь не дедуктивным методом, . а методом индуктивным" (с.266), при котором ". убеждаемся в справедливости определенного свойства при помощи логических рассуждений, исследуя не общий случай, а только отдельный" (с.266).

В методике (3.17) А.М.Брадис объясняет трудность первых логических шагов по усвоению доказательств теорем ". неправильным подходом" (с.314). По мнению автора, обучение доказательству необходимо осуществлять в несколько этапов. На первом этапе умело и почаще использовать интуицию, наглядность, опыт и моделирование, выяснение возможности опытной проверки заключения и недостаточности этой проверки. На последующих этапах "идет расчленение всего рассуждения на отдельные умозаключения (этапы, шаги) с четким обоснованием каждого." (с.338). В этой работе лишь перечисляются такие вопросы, как предложения обратные, противоположные, обратные противоположным, условия необходимые и достаточные. Не раскрывается характеристика методов доказательства.

Широкий круг вопросов по методике обучения доказательству рассматривается в методике В.В.Репьева (3.II6). Рекомендуется шире применять наблюдение и опыт, упоминается о существовании различных методов доказательства.Важным шагом при разработке методики доказательств является выделение правил доказательства теорем, "вытекающих из сущности математических доказательств" (с.83). Повторение теорем рекомендуется проводить с использованием упражнений на составление "родословных" теорем. При изложении методов доказательств В.В.Репьев не ограничивается только их перечислением и демонстрацией на примерах, после описания сущности каждого метода вводится схема его применения.

Методическая концепция М.М.Шидловской по обучению школьников доказательству теорем, изложенная в книге (3.82), такова: изучение доказательств должно проходить в несколько этапов. Первый этап (индуктивное восприятие содержания теоремы) осуществляется такими путями: I) рассмотрение наглядных подвижных моделей или ряда чертежей; 2) выполнение построений; 3) проведение измерений; 4) решение задач на вычисление; 5) решение задач на отыскание некоторых зависимостей (с.367). После усвоения содержания теоремы следует давать ее формулировку (второй этап). На этом этапе "самое главное - это различение условия и заключения теоремы" (с.373). Следующий этап - усвоение доказательства. Работа по усвоению доказательства теоремы должна осуществляться аналитически, так как "для усвоения смысла доказательства . лучшим путем является применение анализа" (с.381).

Для лучшего уяснения доказательства, пишет В.Г.Чичигин, важное значение имеют правильная постановка проблемы, раскрытие идеи доказательства и предупреждение возникновения ошибок (см. 3.153).

Д.Пойа в книге (3.102) предпринял попытку разработать общий подход к обучению решению задач. Процесс решения задачи он подразделяет на четыре этапа, составляющие четыре части "таблица Пойа" (понимание постановки задачи; составления плана решений; осуществление плана; изучения полученного решения). В каждой части таблицы ставится ряд вопросов, возникающих в процессе решения задачи. Ответы на эти вопросы содержатся в книге в виде "краткого эвристического словаря", который составляет основное содержание книги (с.44-201). С книгой (3.102) тесно связана и другая книга (3.103) этого же автора.

А.Б.Василевский в книге (3.21) указывает, что "поиск решения задачи на доказательство можно расчленить на следующие виды работы: а) построение фигуры, в максимально возможной степени отвечающей всем условиям задачи (как по форме, так и по аккуратности исполнения чертежа); б) инструментальный поиск свойств фигуры, доказательство справедливости или ложности полученных гипотез; в) инструментальное построение множества точек, которому принадлежит та точка, свойства которой используются для обоснования решения задачи, доказательство свойств этого множества; г) применение всех или части обнаруженных и обоснованных свойств фигуры к доказательству сформулированного в задаче свойства этой фигуры" (с.79).

В книге (3.20) подробно рассмотрены методы решения геометрических задач.

Ю.М.Колягин процесс решения задачи разбивает на четыре этапа: на первом этапе - поиск необходимой информации в сложной системе памяти; на втором - выбор стратегии и поиск плана решения; на третьем - выбор способа оформления решения; на четвертом - поиск путей рационализации решений (см. 3.62).

При обучении доказательству, считает И.Ф.Тесленко, важно обеспечить правильный переход от "единичного" или "отдельного" (рисунок, модель фигуры и т.д.) к "общему". Раскрытие при доказательствах связей между "отдельным" и "общим" содействует осуществлению процесса обобщения, т.е. осуществлению "обогащения понятия признаками, свойствами, определениями" (3.136, с.39). Существенная роль при этом принадлежит раскрытию структурных особенностей понятий, обучению правильному пользованию простыми умозаключениями, раскрытию структуры геометрических утверждений. Автор разработал конкретные методические приемы работы

- 13 учителя по обучению доказательствам: I) решение подготовительных упражнений, имеющих задачей постепенный охват круга вопросов, возникающих при доказательстве некоторой теоремы или группы теорем; 2) постановка проблемных ситуаций; 3) ознакомление учащихся с алгоритмами определения понятий и доказательства теорем, т.е. "с тем, в какой последовательности выполнять логические операции, из которых состоит доказательство теоремы, чтобы вывод теоремы стал очевидным" (3.136, с.40).

Авторы методики (3.03), рассматривая некоторые приемы обучения доказательству, отмечают целесообразность на начальном этапе "чаще обращаться к конкретно-индуктивному методу" (с.117), применять модели, отображающие математические ситуации. Для воспитания у учащихся потребности в доказательстве введение теоремы полезно начинать с задач практического характера. Однако " в некоторых случаях целесообразно до введения теоремы ставить перед учащимися и задачи абстрактного характера, решение которых может привести их к самостоятельному установлению нужной теоремы" (с.118). Введение теорем, поиски доказательств нужно строить так, чтобы "учащиеся сами обнаруживали это доказательство, "открывая" его вслед за "открытием" теоремы" (с.118). Отдельным вопросом рассматривается пропедевтика обучения учащихся доказательству утверждений. Обучение пониманию структуры доказательств, по мнению авторов, следует осуществлять путем решения упражнений, раскрывающих структуру доказательств и связи между суждениями в процессе доказательства утверждений.

В работе П.М.Эрдниева (3.155) ставятся вопросы интенсификации обучения доказательству теорем на основе применения метода укрупнения дидактических единиц. Среди важных средств укрупнения единиц усвоения геометрических знаний при доказательствах выделяются: одновременное рассмотрение взаимосвязанных задач и теорем, рассмотрение (изредка) взаимосвязей между четверкой теорем "логического квадрата", совместное и одновременное изучение взаимно обратных теорем.

А.А.Столяр формулирует такие требования, необходимые при обучении учащихся доказательствам: I) школьный курс геометрии ни на одном этапе обучения не строится как формальная дедуктивная система и всегда остается в рамках содержательной модели; 2) в школьных доказательствах теорем неизбежны интуитивные элементы; 3) понимание потребности в логическом доказательстве лучше достигается на неочевидных примерах. В обучении доказательствам выделяются два уровня: I - (4-7 кл.) используемые в доказательствах правила вывода остаются невыясненными, они применяются в неявном виде; П - (8-10 кл.) несколько уточняется понятие доказательства, учащимся разъясняются простейшие правила вывода. На этом уровне ученикам становится доступным анализ доказательства, выявление его логической структуры и используемых в нем.правил вывода (см. 3.133, с.149).

Н.В.Метельский отмечает, что "знакомство школьников с различными методами доказательства . имеет первостепенное значение для обучения доказывать самостоятельно" (3.81, с.170). Достижению этой цели способствует знание и применение определенных правил доказательства.

А.К.Артемов в работе (3.7) сделал интересную попытку построения методики обучения обобщенным приемам доказательства геометрических теорем. Выделены правила доказательства некоторых груш теорем. Конечная цель работы состоит в том, "чтобы научить школьников самостоятельному использованию такого правила, т.е. сформировать у них обобщенный прием работы". Однако в работе рассмотрены только "похожие" теоремы в рамках одного параграфа или раздела.

Специальные пособия для учителей по данной проблеме, в основном, разработаны по программам, действовавшим до 1965 г.

Ф.Ф.Притуло в книге (3.105) считает, что "успех в изложении доказательств определяется не применением какого-нибудь метода или приема, а системой преподавания в целом" (с.90). Методика обучения доказательству, по его мнению, должна состоять из четырех частей: постановка общей проблемы, формулировка теоремы, отыскание доказательства, изложение доказательства. Автор впервые поднимает вопрос о воспитании у учащихся потребности в доказательстве как специальную проблему методики. Пути решения этой проблемы также предложены: возбуждение сомнения в справедливости теоремы, разъяснение ученикам на примерах общности, точности и объективности доказательства и другие приемы. Содержание этих приемов различно (использование оптических иллюзий, подбор задач на доказательство, таких, где невозможны точные измерения и т.д.). Однако приемы, основанные на принципе "посеять сомнение", кроме достоинств имеют и существенные недостатки, так как у учащихся складывается отрицательное отношение к интуиции, роль которой в математике неоспорима; возникает недоверие к результатам опыта, на который приходится опираться при изучении математики в 8-летней школе. Кроме того, реализовать данные приемы не для каждой теоремы возможно. Всякий раз необходимо исходить из "индивидуальных особенностей каждой теоремы, из учета конкретных условий, позволяющих обосновать сомнения, сделать их законными в глазах учащихся" (3.105, с.50).

Аналогичные приемы воспитания у учащихся потребности в доказательстве рекомендует Н.М.Бескин: "Надо посеять в ученике сомнение в справедливости данной теоремы, а потом уже это сомнение разрешить" (3.II, с.71).

Рассматривая задачи на доказательство, наряду с другими видами задач, Ф.Ф.Нагибин и А.Ф.Семенович в работе (3.90) выделяют такие вопросы методики обучения доказательству в 8-летней школе: а) совместное изучение прямой, обратной и противоположных теорем; б) обучение учащихся пониманию идеи доказательства; в) группирование теорем в специальные серии по принципу одинаковости идеи доказательства.

Сущность подхода, предложенного А.р.Кузьминой, заключается в составлении специальных упражнений, подготавливающих учащихся У1 класса к восприятию наиболее трудных теорем курса (3.67).

Е.Ф.Данилова считает, что в начале обучения доказательствам целесообразно использовать индуктивный метод. "Индуктивным методом следует пользоваться для восприятия сущности задачи и теоремы, для наведения учащихся на догадку о какой-либо зависимости или свойстве, для отыскания пути решения задачи или доказательства теоремы. В связи с этим в урок геометрии должен быть внесен творческий элемент" (3.45, с.4). В ее работах приведены общие методы обучения отысканию путей доказательства, сделана попытка систематизировать имеющиеся правила и указания для учащихся.

И.Ф.Тесленко и В.В.Фирсов, говоря о методических особенностях обучения доказательству учащихся по учебному пособию (3.I0I) А.В.Погорелова, указывают, что доказательства в книге ради логической его строгости и полноты приведены со всеми необходимыми аргументами. Поэтому оно выглядит громоздким и вряд ли окажется понятным учащимся: логические тонкости обоснования закроют им простой и наглядный смысл геометрической картины.

Но это иготовоб доказательство, воспроизведением которого должно заканчиваться изучение геометрии. На уроке же рекомендуется поступить так: сначала предложить учащимся сокращенное наглядное доказательство, опуская некоторые логические аргументы в "тех случаях, когда их смысл ясен из чертежа и наглядных соображений, - первый проход доказательства. Когда идея доказатель*-ства понята учащимися, доказательство повторяется,причем опущенные аргументы приводятся, и на них акцентируется внимание, -второй проход доказательства. Наконец, в третьем проходе доказательство воспроизводится полностью в том виде, как оно приведено в учебнике (3.100, с.267).

Авторы пособия (3.38)характеризуя методику обучения учащихся доказательству по учебному пособию А.В.Погорелова, пишут следующее: "Учебником предусмотрено постепенное и естественное овладение самой идеей строго дедуктивного построения курса и реализующими ее способами рассуждений. Аксиомы подаются как хорошо известные учащимся свойства геометрических фигур". Доказательства первых теорем приводятся в иллюстративном плане. Предполагается, что в начале учащиеся будут осваивать непривычные для них схемы рассуждений и словесные конструкции, действия по образцу, т.е. повторять сказанное (написанное на доске) учителем и воспроизводить текст учебника; на дом следует давать задачи, аналогичные решенным на уроке (см. вып.1, с.4).

Из приведенного обзора литературы следует, что доказательство занимает важное место в школьном математическом образовании, а проблема обучения учащихся доказательству широко освещена в методической литературе. Однако эта проблема применительно к курсу геометрии в восьмилетней школе, где закладывается фундамент обучения доказательству, не получила до сих пор удовлетворительного, пригодного для широкой практики обучения, решения. Многие же из тех решений, которые предлагались, не реализованы в практике обучения, в частности потому, что они не были достаточно конкретизированы или же, наоборот, некоторые решения были жестко привязаны к определенному школьному учебнику, в результате чего появление нового учебника вновь порождало эту проблему. Следует также отметить, что в литературе встречаются лишь упоминания о необходимости формирования у учащихся 1У-У1 классов потребности в обосновании истинности утверждений или отдельные примеры, однако исследование не доведено до описания системы такой работы. Таким образом, проблема обучения учащихся доказательствам теорем в курсе геометрии восьмилетней школы является актуальной.

Проблемой нашего исследования и является обучение учащихся доказательству в курсе геометрии восьмилетней школы.

Предметом исследования являются структуры доказательств теорем школьного курса геометрии У1-УШ классов и умение доказывать.

Объектом исследования является обучение учащихся геометрии в У1-УШ классах.

Цель исследования - определение реальных возможностей совершенствования обучения учащихся доказательству в курсе геометрии У1-УШ классов и разработка методики их реализации.

Гипотеза данного исследования заключается в том, что с помощью разработанной методики и средств обучения можно совершенствовать умения учащихся проводить доказательства геометрических утверждений.

В соответствии с целью и проблемой исследования были поставлены следующие задачи:

- 19

- проанализировать доказательства в курсе геометрии У1-УШ классов с целью выявления их структуры и схем используемых в них умозаключений;

- определить основные компоненты умения доказывать и место формирования этих умений в курсе математики 1У-У классов и геометрии У1-УШ классов;

- разработать методику формирования умения доказывать в У1-УШ классах;

- разработать систему упражнений для обучения доказательству;

- экспериментально проверить предложенную методику и систему упражнений.

При решении поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

- изучение материалов съездов КПСС и постановлений ЦК КПСС с Совета Министров СССР по вопросам работы школы;

- изучение трудов классиков марксизма-ленинизма по теории познания;

- изучение психолого-педагогической и методической литературы, связанной с исследуемой проблемой;

- логический анализ доказательств школьной геометрии;

- педагогические наблюдения, эксперимент, анализ работ учащихся, беседы с учащимися и учителями;

- методы математической статистики.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

- выявлены наиболее часто используемые в курсе геометрии У1-У1 классов структуры доказательств;

- разработана трехэтапная методика обучения доказательству, основным компонентом которой является система упражнений,

- 20 удовлетворяющая определенным требованиям.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанная система упражнений может непосредственно использоваться в практике обучения. Кроме того, по описанной в диссертации методике учителя могут сами составлять подобные упражнения. Разработанные методические требования к системе упражнений можно реализовать при изучении курса планиметрии восьмилетней школы.

По существу диссертационного исследования автор выступал на:

- Республиканских педагогических чтениях (Ташкент,1974 г.);

- Всесоюзной конференции "Совершенствование методической подготовки учителя математики в педагогических институтах" (Андижан, 1982 г.);

- заседаниях сектора методики обучения математике Узбекского научно-исследовательского института педагогических наук (Ташкент, 1974-1977 гг.);

- расширенном заседании кафедры методики преподавания математики Ташкентского государственного педагогического института имени Низами (1980 г.);

- семинаре кафедры геометрии и методики преподавания математики Андижанского государственного педагогического института (1974-1984 гг.);

- курсах повышения квалификации учителей (Андижан, 19751984 гг.).

Разработанная автором методика обучения доказательству в курсе геометрии восьмилетней школы внедрена в школах города Андижана, Андижанской и Наманганской областей Узбекской ССР.

- 21

На защиту выносятся следующие положения:

- в процессе обучения доказательству учащихся восьмилетней школы целесообразно выделить три этапа: а) подготовительный (1У-У классы); б) ознакомляющий (У1 класс); в) обучающий (УП -УШ классы);

- логический анализ доказательств позволяет выявить схемы используемых в них умозаключений, а также построить адекватную систему упражнений;

- система упражнений, построенная на основе выявленных схем доказательств теорем школьного курса геометрии и анализа умения доказывать, является эффективной ;

- разработанная методика и методические требования к системе упражнений можно реализовать при изучении курса планиметрии восьмилетней школы.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы

Разработанная нами методика формирования умения доказывать исходит из того, что это формирование не одномоментный акт, а длительный процесс, в котором выделены три этапа - подготовительный, ознакомляющий, обучающий.

Цель подготовительного этапа, место которого - курс математики 1У-У классов, заключается в формировании у учащихся потребности аргументировать утверждения и в обучении их проведению простейших умозаключений. Эта цель достигается через систему специальных упражнений, при составлении которых учитывается, что, выполняя их, учащиеся должны не только обучаться умению доказывать, но и усваивать материал, предусмотренный программой.

Цель ознакомляющего этапа, который связан с изучением геометрии в У1 классе, состоит в продолжении работы по воспитанию потребности в аргументации, в обучении построению более сложных, чем на подготовительном этапе, умозаключений, в демонстрации процесса доказательства в действии. Знакомство с процессом дока

- 152 зательства производится через вскрытие логических форм, используемых в доказательствах учебника неявно.

Цель обучающего этапа, связанного с курсом геометрии УП-УШ классов, заключается в обучении учащихся самостоятельному проведению дедуктивных рассуждений. Достижение этой цели осуществляется посредством решения системы упражнений на доказательство, которая строится в соответствии с развитием курса геометрии и путем увеличения сложности доказательств по таким параметрам: число требуемых умозаключений, сложность их, необходимость выбора правильной цепочки умозаключений среди различных возможных логически верных цепочек, не все из которых ведут к цели.

Доказательства в учебниках геометрии даются в сжатой форме, при этом, хотя в них и имеются ссылки на аксиомы, теоремы, определения, логическая структура этих ссылок остается за пределами доказательства. Использование "свернутых" доказательств позволяет ярче показать идею доказательства. С целью ознакомления учащихся с логической структурой доказательства полезно уже известное доказательство представить в логически развернутой форме, четко указывая посылки, заключение и аргументацию каждого шага. Логический анализ доказательства позволяет учителю выявить наиболее трудные для учащихся места, найти методические средства для преодоления этих трудностей. Логически развернутое доказательство - лучшее средство для выработки навыков последовательного и обоснованного рассуждения, при таком доказательстве нет места механическому заучиванию. Большие затраты времени, требующиеся для проведения таких доказательств, конпенсируются лучшим пониманием и усвоением материала.

При обучению доказательству в нашей методике используется система специальных упражнений. На подготовительном этапе, отра

- 153 батывая с учащимися простейшие схемы рассуждений, мы использовали, в основном, упражнения из учебников математики для 1У-У классов, в которых для обоснования ответа требуется применение определения того или иного объекта либо свойства объекта. Выполняя такие упражнения, учащиеся на содержательном уровне осваивают схемы рассуждений по ууиосЬил ponens и , в то же время происходит усвоение математических понятий и фактов. На этом этапе учащиеся знакомятся также с рассуждениями, построенными по правилу силлогизма. При построении упражнений, предназначенных для формирования у учащихся потребности в обосновании утверждения, использовался конкретный материал учебников математики 1У-У классов, причем упражнения строились так, чтобы имелась принципиальная возможность получения ответа непосредственным применением известных учащимся алгоритмов, но это получение было сопряжено с большими трудностями технического характера, рассуждением же решение находилось почти сразу. Использовались и некоторые другие возможности. На ознакомляющем и обучающем этапах наряду с упражнениями указанных типов использовались также упражнения на построение умозаключений по другим схемам, упражнения на построение цепочек умозаключений, решались также геометрические задачи на доказательство и вычисления.

Экспериментальное исследование эффективности разработанной нами методики показало, что она обеспечивает достижение поставленной цели - более эффективное развитие у учащихся умения доказывать.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итоги исследования, можно констатировать, что для решения задач, поставленных перед советской школой ХХУ и ХХУ1 съездами КПСС и другими партийными документами, в частности, задачи повышения качества обучения учащихся, выработки у них навыков самостоятельного приобретения знаний (2.1, с.77; 2.2,с.60; 2.4), необходимо дальнейшее совершенствование методов обучения, в том числе и методов обучения учащихся доказательству.

Как показано в § I главы I диссертации, предложения, из которых состоят доказательства в школьных учебниках геометрии, часто имеют конъюнктивную, дизъюнктивную, импликативную структуру» структуру отрицания, эквиваленции. Кроме того, часто встречаются предложения-предикаты. Эти предложения являются компонентами умозаключений, выступая в них либо в качестве посылок, либо в качестве заключения. Сами же умозаключения строятся по определенным правилам. Процесс доказательства состоит в последовательном применении этих правил. Для осознанного усвоения доказательства необходимо понимание как логических структур предложений-посылок или заключений-умозаключений, так и структур самих умозаключений. Кроме того, требуется еще определенная готовность воспринимать доказательство, ощущение его потребности. Наше исследование решает проблему обучения учащихся восьмилетней школы доказательству в аспекте формирования у учащихся готовность воспринимать доказательство и в аспекте обучения их проведению умозаключений, цепочек умозаключений, ведущих к це

- 155 ли, т.е. к установлению истинности рассматриваемого утверждения.

Анализ умозаключений, используемых в доказательствах из школьных учебников геометрии, показал, что наиболее часто используются умозаключения, построенные по правилам отделения, отрицания, силлогизма, полисиллогизма, контрапозиции, удаления конъюнкции, введения конъюнкции, введения дизъюнкции, удаления дизъюнкции, приведения к абсурду, часто применяется теорема дедукции.

В имеющихся учебниках по геометрии понятие доказательства почти не разъясняется, с его содержанием учащиеся знакомятся только на примерах (см. § 2 главы I).

При построении учебника геометрии изучаемые теоремы не всегда удается расположить в последовательности постепенного нарастания сложности их доказательств: требования постепенности и логического расположения материала находятся в противоречии друг с другом. Но если нельзя или трудно изменить порядок расположения теорем курса геометрии, то расположение упражнений не является жестким. Поэтому через систему упражнений возможно обучение учащихся умению доказывать. Для овладения этим умением учащиеся должны научиться строить определенного типа умозаключения, цепочки таких умозаключений, научиться отыскивать те предложения (аксиомы, определения, ранее доказанные теоремы), которые можно применить при доказательстве рассматриваемой теоремы.

Разработанная нами методика формирования умения доказывать исходит из того, что это формирование не единовременный акт, а длительный процесс. В этом процессе нами выделены (см. § I главы 2) три этапа - подготовительный, ознакомляющий, обучающий. Подготовительный этап связан с обучением математике в 1У-У классах. На этом этапе преследуются две цели: формирование у учащих

- 156 ся потребности в дедуктйвном рассуждении и обучение их построению простейших умозаключений. Эти цели достигаются посредством выполнения специальных упражнений. Ознакомляющий этап, место которого - курс геометрии У1 класса, имеет своими целями продолжение формирования потребности в аргументации, обучение построению более сложных, чем на подготовительном этапе, умозаключений, коротких цепочек умозаключений, демонстрация процесса доказательства в действии. Знакомство учащихся с процессом доказательства происходит посредством обнаружения форм умозаключений, используемых в доказательствах учебника геометрии неявно. Обнаружение форм умозаключений происходит через логическое расчленение доказательства. Обучающий этап связан с курсом геометрии УП-УШ классов. Цель этого этапа состоит в обучении самостоятельному проведению доказательств. Достижение целей обучающего этапа осуществляется через решение системы упражнений на доказательство. Эта система строится в соответствии с развитием курса геометрии и по линии увеличения числа требуемых в доказательстве умозаключений, сложности их. При построении также учитывалось разнообразие возможных (при данных посылках) правильных цепочек умозаключений, причем не все цепочки дают доказательство данного утверждения. Чем больше таких цепочек, тем сложнее найти нужную. При построении системы упражнений вначале даются упражнения с меньшим разнообразием возможных цепочек (с меньшей неопределенностью), в дальнейшем эта неопределенность увеличивается.

Хотя в доказательствах из учебников геометрии и имеются ссылки на аксиомы, определения, ранее доказанные теоремы, однако логическая структура этих ссылок остается за пределами доказательства* Построение по доказательству из учебника логически развернутого доказательства позволяет ознакомить учащихся с. логичбской структурой доказательства, а также является средством построения системы упражнений (ом. § 2 главы 2).

Система специальных упражнений - основное средство обучения учащихся доказательству по предлагаемой нами методике (см. § 3 главы 2). Упражнения из этой системы в зависимости от той цели, которая преследуется при его выполнении, разбивается на несколько подсистем: а) упражнения на воспитание потребности в аргументации построены таким образом, что для их выполнения имеется принципиальная возможность получения решения по известным учащимся алгоритмам, однако пользование алгоритмом связано с большими техническими трудностями, в то время как рассуждением решение получается без труда; другие упражнения на воспитание потребности в обосновании побуждают к рассуждению из-за невозможности применить тот или иной алгоритм или из-за невозможности воспользоваться определенным измерительным инструментом; б) упражнения на отработку простейших схем умозаключений (htocluS pemjvij io-^шб и др.) основаны на изучаемых учащимися определениях и математических фактах; в) подсистема упражнений на обучение учащихся доказательству построена таким образом, что вначале идут упражнения, в которых цепочка умозаключений короткая (1-2 шага) и почти очевидная, в последующих упражнениях цепочки удлиняются, растет и неопределенность выбора нужной цепочки.

Экспериментальная проверка эффективности предлагаемой нами методики формирования умения доказывать показала, что она может обеспечить высокую степень сформированности у учащихся данного умения, а это, в свою очередь, ведет к повышению качества усвоения учащимися курса геометрии.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Хашимов, Рахимжон, Ташкент

1. Произведения основоположников марксизма-ленинизма

2. Маркс К, Энгельс Ф. О воспитании и образовании. В 2-х т.- М.: Педагогика, т.1, 1978. 544 с; т.2, 1978. - 488 с.

3. Ленин В.И. О воспитании и образовании. Изд.3-е. М.: Просвещение, 1973. - 704 с,

4. Ленин В.И. Задачи союза молодежи. Полн.собр.соч., т.41.- 696 с.

5. Ленин В.И. Философские тетради. Полн.собр.соч. Изд.5-е, т.29. - 620 с.

6. Документы и материалы ЦК КПСС и советского государства

7. Материалы ХХУ съезда КПСС. М.: Политиздат, 1976. - 256 с.

8. Материалы ХХУ1 съезда КПСС. М.: Политиздат, 1981. - 224 с.

9. Речь Генерального секретаря ЦК КПСС К.У.Черненко на апрельском (1984 г.) Пленуме ЦК КПСС. Правда, 11.04.1984.

10. Основные направления реформы общеобразовательной и профессиональной школы. Правда, 14.04.1984.

11. О дальнейшем совершенствовании обучения, воспитания учащихся общеобразовательных школ и подготовки их к труду: Постановление ЦК КПСС и СМ СССР. Правда, 19.12.1977.

12. О преподавании логики и психологии в средней школе. В ЦК ВКП(б) Учительская газета, 1946, 4 декабря.

13. Поихолого-педагогическая и математическая литература

14. Актуальные вопросы методики преподавания математики: Сборник трудов. М.: Ротапринт МГПИ им. В.И.Ленина, 1975.- 222 с.

15. Алгебра: Учебное пособие для 7-го класса средней школы /Под ред. А.И.Маркушевича. М.: Просвещение, 1976. - 256 с.

16. Александров П.С. Математика как наука. Известия АПН РСФСР, 1958, вып. 92, с.5-36.

17. Алиханов С. Проблемы обобщения геометрических знаний учащихся восьмилетней школы. Канд.дис. по методике преп. математики, -Ташкент, 1978. 160 с.

18. Андреев Ф.А. Развитие логического мышления учащихся и решение задач на доказательство в У1-УП классах. Уфа: Башкирское кникн. изд-во, 1953. - 36 с.

19. Артамонов М.А. Элементы логики в курсе математики средней школы. Львов, 1957. - 326 с.

20. Артемов А.К. Состав и методика формирования геометрических умений школьников. Ученые записки Пензенского гос. пед. института, 1969, вып. 23, с.224-234.

21. Бабанский Ю.К. Как оптимизировать процесс обучения. М.: Знание, 1978. - 48 с.

22. Бабанский Ю.К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований. М.: Педагогика, 1982. - 191 с.

23. Барыбин К.С. Сборник геометрических задач на доказательство. М.: Учпедгиз, 1954. - 152 с.

24. Бескин Н.М. Методика геометрии. М.: Учпедгиз, 1947. - 276 с.

25. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения- 160 знаний в школе. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. - 346 с.

26. Богушевский К.С. Вопросы преподавания геометрии в восьмилетней школе. М.: Просвещение, 1964. - ПО с.

27. Болтянский В.Г. Использование логической символики при работе с определениями. Математика в школе, 1973, № 5,с.45-50.

28. Болтянский В.Г. Как устроена теорема? Математика в школе, 1973, № I, с.41-49.

29. Брадис В.М. Воспитание логических навыков при изучении математики. Математика в школе, 1953, № I, с.20-24.

30. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. М.: Учпедгиз, 1951. - 504 с.

31. Бурда М.И. Формирование умений осуществлять поиск геометрических доказательств. В кн.: Преподавание алгебры и геометрии в школе. - М.: Просвещение, 1982, с.99-105.

32. Бреслер Г. Р. Методика обучения элементам доказательства в курсе математики 1У-У классов. Автореф.дисс. . канд. пед. наук. Л., 1974. - 17 с.

33. Василевский А.Б. Методы решения геометрических задач,- Минск: Вышэйшая школа, 1969. 232 с.

34. Василевский А.Б. Обучение решению задач. Минск: Вышэйшая школа, 1979. - 192 с.

35. Василевский А.Б. Методы решения задач. Минск: Вышэйшая школа, 1974. - 240 с.

36. Вахрушев М.М. Об этапах овладения силлогистическими умозаключениями. Ученые записки Глазовского под. ин-та, вып.10.- Ижевск: Удмуртское книжн.изд-во, с.45-55.

37. Вахрушев М.М. Понимание и усвоение школьниками П, 1У и У1 классов некоторых форм дедуктивных умозаключений. Ученые записки ЛГПИ им. А.И.Герцена, 1958, т.159, с.97-136.- 161

38. Веретенникова Б.В. О вступительных экзаменах в МИШ им. В.И.Ленина в 1980 г. Математика в школе, 1981, № 2, с. 47-49.

39. Великина Н.Я. Сборник задач по геометрии для 6-8 классов: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1971. - 208 с.

40. Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И. Высказывания, выражения, переменные. Математика в школе, 1970, № 3, с.34-41.

41. Виноградов С.Н., Кузьмин А.Ф. Логика: Учебник для средней школы. Ташкент: Учпедгиз УзССР, 1953. - 152 с.

42. Власенко А.И. К вопросу о методике доказательства геометрических теорем в У1-УП классах. Математика в школе, 1956, № I, с.67-69.

43. Внеклассная работа по математике в 1У-У классах. М.: Просвещение, 1974. - 192 с.

44. Вопросы перестройки обучения математике в школе /Под ред. И.А.Гибша. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. - 310 с.

45. Воробьев Г.В. К вопросу о методике преподавания геометрии в У1-УП классах. Математика в школе, 1958, N5 3, с.36-42.

46. Гангнус Р.В., Гурвиц Ю.О. Геометрия: Методическое пособие.- Киев: Радянська школа, 1936. 310 с.

47. Геометрия: Учебное пособие для У1 класса /Под ред. А.Н.Колмогорова. М.: Просвещение, 1972. - 126 с.

48. Геометрия: Учебное пособие для УП класса /Под ред. А.Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 1976. - 156 с.

49. Геометрия: Учебное пособие для УШ класса /Под ред. А.Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 1974. - III с.

50. Геометрия: Пробный учебник для 6-8 классов средней школы /Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк.- М.: Просвещение, 1981. 480 с.- 162

51. Геометрия: Учебное пособие для 6-8 классов средней школы /Под ред. А.Н.Колмогорова. М.: Просвещение,1979. -383 с.

52. Гибш И.А. Принципы, формы и методы обучения математике.- Известия АПН РСФСР, вып. 92, 1958, с.95-148.

53. Гришин Д.М. О видах и структурах учебных задач. Советская педагогика, 1965, N2 3, с.30-37.

54. Грабарь М.Й., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях: Непараметрические методы. М.: Педагогика, 1977. - 136 с.

55. Груденов Я.И. Одна из основных причин слабой успеваемости учащихся У1 класса по геометрии. Доклады АПН РСФСР, 1962, Ш 5, с.39-49.

56. Груденов Я.И. О психологических основах построения системы упражнений по математике и методике преподавания геометрии в У1-УП классах. Автореф. дисс. . канд.пед.наук.- Калинин, 1963. 24 с.

57. Дадаян А.А. Геометрия: Учебное пособие для сред.спец.учеб. заведений. Минск: Выш. школа, 1978. - 256 с.

58. Данилова Е.Ф. Как помочь учащемуся находить путь к решению геометрических задач. М.: Учпедгиз, 1961. - 143 с.

59. Довлатова Л.И., Чебыкин Ю.Ф. О вступительных экзаменах в Бакинское высшее общевойсковое командное училище в 1979 г.- Математика в школе, 1980, № 3, с.44-45.

60. Давыдов В.В. Психология. Ее сегодняшние проблемы. Знание- сила, 1978, № 10, с.16-18.

61. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М.: Педагогика, 1972. - 424 с.

62. Занков JI.B. О предмете и методах дидактических исследований. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. - 148 с.- 163

63. Ефимчик А.А. Изучение первых геометрических понятий и доказательств. Минск: Нар. асвета, 1963. - 48 с.

64. Зыкова В.И. Оперирование понятиями при рншении геометрических задач. Известия АПН РСФСР, 1950, вып. 28,с.155-194.

65. Икрамов Дж. Методы геометрических доказательств. Ташкент Укитувчи, 1970. - 214 с.

66. Икрамов Дж. Математическая культура школьника: Методические аспекты проблемы развития мышления и языка школьников при обучении математике. Ташкент: Укитувчи, 1981. -279 с.

67. Икрамов Дж. Устойчивость ошибок учащихся восьмилетней школы, допускаемых в процессе решения геометрических задач на доказательство и пути преодоления этих ошибок. Автореф. дисс. . канд.пед.наук. Ташкент, 1967. - 19 с.

68. Икрамов Дж. Школьный математический язык. Ташкент: Укитувчи, 1977. - 196 с.

69. Кабанова-Меллер Е.Н. Об одном важном требовании к учебникам по геометрии. Математика в школе, 1961, № 2, с.36-39.

70. Карнацевич Л.С., Рузин А.И. Изучение геометрии в 6 классе.- М.: Просвещение, 1983. 128'с.

71. Каплан Б.С., Рузин Н.К., Столяр А.А. Методы обучения мате. матике: Некоторые вопросы теории и практики. Минск:

72. Народная асвета, 1981. 192 с.

73. Киселев А.П. Элементарная геометрия: Книга для учителей.- М.: Просвещение, 1980. 287 с.

74. Клименченко Д.В. Задачи и упражнения в школьном курсе геометрии как средство активизации мыслительной деятельности учащихся. Автореф. дисс. . канд.пед.наук. Киев, 1969,- 23 с.

75. Колмогоров А.Н. О системе основных понятий и обозначений- 164 для школьного курса геометрии. Математика в школе, 1971, № 2, с.17-22.

76. Колягин Ю.М. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся средней школы. Автореф. дисс. . докт.пед.наук. М., 1977. - 56 с.

77. Колягин Ю.М., Луканский Г.Л. Основные понятия современного школьного курса математики. М.: Просвещение, 1974,- 382 с.

78. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике, ч.1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся.- М.: Просвещение, 1977. IIO с.

79. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике, ч.2. Обучение математике через задачи и обучение решению задач. М.: Просвещение, 1977. - 144 с.

80. Копылов B.C., Пикан В.В. О результатах итоговой контрольной работы по геометрии в X классе. Математика в школе, 1978, №> 3, с.60.

81. Кузьмина С.А. О доказательстве теорем в курсе геометрии Л класса. М.: Просвещение, I960. - 51 с.

82. Кулишер А.Р. Методика и дидактика геометрии. Петроград: Сеятель, 1923. - 208 с.

83. Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. М.: Просвещение, 1976. - 303 с.

84. Леонтьев А.Н. Деятельность, сознание, личность. 2-е изд. Политиздат, 1977. 304 с.

85. Лысова Н.М. Доказательство геометрических теорем методом от противного. Математика в школе, 1972, Ш 2, с.30-34.

86. Людмилова С.Д. Метод обучающих задач в преподавании математики. Математика в школе, 1983, life 5, с.38-41.

87. Майбурова Д.К. К проблеме интуиции в математике. Ученые записки Ташкентского под. ин-та, 1966, вып.62, с.41-45.

88. Мамасадыков Р. Воспитание логического мышления учащихся на основе математической логики. Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Ташкент, 1973. - 34 с.

89. Махмудов М.И. Организация проблемного обучения в школе.- М.: Просвещение, 1977. 237 с.

90. Математика в 4 классе: Методическое пособив для учителя /Под ред. А.И.Маркушевича. М.: Просвещение, 1975.-240 с.

91. Математика: Учебник для 4-го класса средней школы /Под ред. А.И.Маркушевича. М.: Просвещение, 1976. - 240 с.

92. Математика: Учебник для 4-го класса средней школы /Под ред. А.И.Маркушевича. М.: Просвещение, 1980. - 303 с.

93. Математика: Учебник для 5-го класса средней школы /Под ред. А.И.Маркушевича. М.: Просвещение, 1976. - 240 с.

94. Математика: Учебник для 5-го класса средней школы /Под ред. А.И.Маркушевича. М.: Просвещение, 1980. - 224 с.

95. Метельский Н.В. Дидактика математики. Минск: Изд-во БГУ, 1975. - 256 с.

96. Методика преподавания математики /Под ред. С.Е.Ляпина.- Л.: Учпедгиз, 1955. 484 с.

97. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. М.: Просвещение, 1975. - 464 с.

98. Минковский В.Л. Очерк логических основ методов математического доказательства. В кн.: Вопросы преподавания математики в средней школе: Сб. статей /Под ред. П.В.Стратилато-ва. - М.: Учпедгиз, 1961, с.145-158.

99. Мельникова Н.Б. и др. Геометрия в 6 классе. М.: Просвещение, 1982. - 160 с.- 166

100. Монахов В.М., Беляева Э.С., Краонер Н.Я. Методы оптимизации. М.: Просвещение, 1978. - 176 с.

101. Мостовой А.И. Различные способы доказательства в курсе геометрии восьмилетней школы: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1965. - 103 с.

102. Мельникова Н.Б., Никольская И.Н., Чернишева Л.Ю. Методические рекомендации к преподаванию курса У1 класса по учебнику "Геометрия" А.В.Погорелова. Вып.1, 56 е.? вып.2,26 е.; вып.З, 38 е.; вып.42 е.; вып.5, 46 с. М.: Ротапринт НИИСиМО, 1981.

103. Нагибин Ф.Ф. Достаточные и-необходимые условия. Математика в школе, 1972, № 3, с.23-26.

104. Нагибин Ф.Ф., Семенович А.Ф. Геометрические задачи в 8-летней школе. Киев: Радянська школа, 1967. - 200 с.

105. Назаров Р.Н., Хашимов Р. Основы дедукции в начальном курсе геометрии. Совет мактаби, 1975, te 7, с.35-38.

106. Немытов П.А. Методика доказательства геометрических теорем в семилетней школе. Автореф. дисс. . канд.пед.наук.- Борисоглебск, 1949. 12 с.

107. Немытов А.А. Сборник задач на доказательство по геометрии для У1-УП классов. М.: Учпедгиз, 1956. - 112 с.

108. Нешков К.И., Семушин А.Д. Функции задач в обучении.- Математика в школе, 1971, № 3, с.4-7.

109. Никитин В.В., Рупасов К.А. Определение математических понятий в курсе средней школы. Тамбов: 1959. - 125 с.

110. Никитин Н.Н. Геометрия: Учебник для У1-УШ классов. М.: Просвещение, 1970. - 208 с.

111. Никольская И.Л. Привитие логической грамотности при обучении математике. Автореф.дисс. . канд.пед.наук. М.: 1973.- 26 с.- 167

112. Одинцова JI.А., Осипова Л.А. О вступительных экзаменах на математическом факультете Барнаульского государственного педагогического института в 1980 г. Математика в школе, 1981, № 2, с.49-50.