Подготовка студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств

Садыкова, Лилия Камиловна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Подготовка студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств

Автореферат

Автор научной работы: Садыкова, Лилия Камиловна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Самара
Год защиты: 2010
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Подготовка студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств"

На правах рукописи

САДЫ КО В А Лилия Камиловна

ПОДГОТОВКА СТУДЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ПЕДВУЗОВ К ОБУЧЕНИЮ УЧАЩИХСЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКОМУ МЕТОДУ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

13.00.02 Теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Саранск-2010

0034Э2678

003492678

Работа выполнена на кафедре геометрии и методики преподавания математики ГОУ ВПО «Поволжская государственная социально-гуманитарная академия»

Научный руководитель:

доктор педагогических наук, профессор Гусев Валерий Александрович

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор Утеева Роза Азербаевна

кандидат педагогических наук, доцент Наумова Людмила Михайловна

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского»

ор

Защита состоится « <0 » 2010 г. в часов на заседании

диссертационного совета ДМ 212. 118. 01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при ГОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева» по адресу: 430007, Республика Мордовия, г. Саранск, ул. Студенческая, д. 11а, ауд. 320.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева»

Авторефератразослан и размещен на сайте www.mordgpi. ru « /6 » Iфеё^&ьЬЯ 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

JI.C. Капкаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В настоящее время система высшего и среднего образования предъявляет новые требования к качеству подготовки учителей математики, ставя задачи переосмысления методических аспектов и построения новых теорий изучения традиционных тем школьного курса математики.

Действительно, учащиеся общеобразовательных учреждений традиционно знакомятся при изучении математики с графическим методом решения уравнений, неравенств и их систем. Однако в последние годы в содержании обучения математике появляются новые классы уравнений (неравенств) и новые функциональные методы их решения. Тем не менее, содержащиеся в контрольно-измерительных материалах единого государственного экзамена (ЕГЭ) задания (так называемые комбинированные уравнения), решения которых требуют применения только функционально-графического метода, вызывают у учащихся затруднения. Более того, проведенный нами констатирующий эксперимент показал, что студенты — будущие учителя математики, владея теоретически понятиями по теме «Числовая функция, ее свойства и график», зачастую затрудняются применять свойства функций и их графики к решению уравнений и неравенств. Это в то время, когда во многих школах преподавание ведется по учебникам алгебры, алгебры и начал анализа, реализующих концепцию, согласно которой среди основных содержательно-методических линий школьного курса алгебры приоритетной является функционально-графическая.

Одной из составляющих основ профессионализма учителя является знание преподаваемого предмета, о чем говорится в работах С.Н. Дорофеева, И.В. Егорченко, Т.А. Ивановой, А.Г.Мордковича, И.А. Новик, М.А. Родионова, Г.И. Саранцева, P.A. Утеевой и др. Собственно, во многом для формирования такого знания был введен в учебные планы педвузов курс элементарной математики, что, однако, не решило всех проблем. Необходима, в частности, целенаправленная и последовательная работа преподавателей педвузов по подготовке будущих учителей математики к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств, которая, как выявил проведенный нами эксперимент, также отсутствует.

Анализ методической литературы в контексте темы нашего исследования показал, что имеются работы, посвященные вопросам методики: изучения в средней школе функциональных понятий (А.И. Жаворонкова, Ю.Н. Макарыче-ва, Е.И. Лященко, И. В. Антоновой и др.); решений различных видов уравнений и неравенств, связанных с использованием равносильных замен (А.Н. Бекаревича, Н.Я. Виленкина, P.A. Рыбаковой, В.А. Герлингера и др.); взаимосвязи понятия функции с понятиями линии уравнений и неравенств (A.A. Ундуск, Л.И. Токаревой, Л.П. Афонькиной, H.A. Ильиной и др.); интеграции алгебраических и графических методов в обучении математике (М.И. Башмакова, JI.C. Капкаевой, H.A. Резник и др.). Рассматривали применение при решении уравнений и неравенств: свойств функций - М. Бейсеков, А.Б. Василевский, В.А. Гусев, М.Е. Есмуханов, Н. И. Зильберберг, С.И. Меще-

рякова, Т.Д. Моралишвили, С.Н. Олехник, М.К. Потапов, И.И. Чучаев и др.; графического метода - А.Г. Мордкович, H.JI. Стефанова, Н.С. Подходова и др..

При всей несомненной теоретической и практической значимости работ вышеназванных авторов, следует подчеркнуть, что в научных исследованиях вопросы подготовки будущих учителей математики к обучению учащихся решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом еще недостаточно разработаны.

Сегодняшний выпускник педагогического вуза должен владеть современными, в том числе компьютерными, технологиями обучения математике. В настоящее время многие исследователи изучают различные вопросы компьютеризации математического образования в средней школе (В.А. Далингер, В.М. Монахов, JI.M. Наумова, H.A. Резник, JI.A. Страбыкина, Н.В. Полякова и др.) и в вузе (М.П. Лапчик, А.Е. Лукинова, Т.В. Кормилицына, Е.В. Сухоруко-ва и др.), но проблема использования в педвузе компьютера как средства подготовки будущего учителя к обучению математике еще недостаточно проработана. В частности, отсутствуют исследования методических условий применения компьютерных технологий при подготовке студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств.

Таким образом, несмотря на наличие значительного числа методических исследований, посвященных решению алгебраических задач с помощью функциональных и графических представлений, проблема выявления условий и средств подготовки студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом до настоящего времени остается нерешенной как в теоретическом, так и в методическом плане.

Итак, актуальность проблемы нашего исследования определяют возникшие противоречия между: 1) требованиями, предъявляемыми к знаниям и умениям, входящим в функционально-графическую содержательно-методическую линию, и реальным уровнем их сформированное™ у учащихся общеобразовательных учреждений; 2) внедрением в практику работы школ учебников, в которых из основных содержательно-методических линий школьного курса алгебры приоритетной является функционально-графическая, и неподготовленностью выпускников педвузов к работе по этим учебникам; 3) необходимостью совершенствования обучения учащихся общеобразовательных учреждений решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом и отсутствием научно обоснованной методики подготовки будущего учителя математики к обучению учащихся решению такого рода задач.

Объект исследования - подготовка студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств.

Предмет исследования - цели, содержание, средства и организационные формы подготовки студентов педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств.

Цель исследования заключается в разработке методики подготовки студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств.

Гипотеза исследования: если разработать методику подготовки студентов педвузов к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств на основе единства частных и обобщенных приемов решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом, их математических основ и задач как адекватных средств формирования приемов, внедрить ее в практику преподавания, то повысится качество методико-математических знаний и умений, необходимых будущим учителям для обучения учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств.

Для достижения сформулированной нами цели исследования и проверки гипотезы были поставлены следующие задачи исследования:

1) проанализировать состояние проблемы исследования в научно-и учебно-методической, психолого-педагогической литературе, в практике обучения математике студентов и учащихся школ;

2) охарактеризовать функционально-графический метод решения уравнений и неравенств, выделить его гносеологические и деятельностные компоненты;

3) разработать частные и обобщенные приемы решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом;

4) выделить основные этапы подготовки студентов к обучению учащихся решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом;

5) исследовать методические аспекты применения компьютерных технологий для обучения студентов частным и обобщенным приемам решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом;

6) разработать систему задач для формирования у студентов частных и обобщенных приемов решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом;

7) выявить наиболее рациональные организационные формы подготовки студентов к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств;

8) разработать методику обучения студентов частным и обобщенным приемам функционально-графического метода решения уравнений и неравенств, и экспериментально проверить ее эффективность.

В ходе решения поставленных задач использовались следующие методы педагогического исследования: анализ научной и учебно-методической, психолого-педагогической литературы по проблеме исследования; анализ учебных пособий по алгебре, алгебре и началам анализа для средней школы, по высшей и элементарной математике; диагностирующие работы; анализ и обобщение педагогического опыта, наблюдение, беседа; педагогический эксперимент; статистическая обработка и анализ результатов эксперимента.

Методологические предпосылки исследования - системный и деятель-ностный подходы, идея фундаментализации образования; основные психолого-

педагогические и методические положения теорий обучения приемам учебной деятельности; методические концепции формирования математических понятий, работы с теоремой, обучения доказательству, обучения решению задач, концепции УДЕ и методической подготовки учителя математики в педвузе.

Исследование проводилось с 2003 по 2008 год и включало ряд этапов.

На первом этапе (2003-2005гг.) осуществлялось изучение психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования; проводился констатирующий эксперимент.

На втором этапе (2005 - 2006 гг.) были разработаны основные положения подготовки студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств, создано соответствующее методическое обеспечение и осуществлена его первичная проверка.

На третьем этапе (2005-2008 гг.) проводился обучающий эксперимент с целью проверки разработанной методики. Полученные результаты были проанализированы и обработаны средствами математической статистики, что позволило подтвердить справедливость теоретических выводов и эффективность подготовки студентов по разработанной методике.

Научная новизна исследования состоит в том, что проблема подготовки студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств решалась на основе единства действий, составляющих данный метод, частных и обобщенных приемов, соответствующих этому методу, их математических основ и адекватных задач как средств формирования действий и приемов; обоснована и реализована на практике методика подготовки студентов к формированию у учащихся функционально-графического метода решения уравнений и неравенств путем формирования у самих студентов данного метода, но с большим числом функций, с более богатым содержанием гносеологического и дея-тельностного компонентов.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:

- выявлены требования, обуславливающие подготовку будущих учителей математики к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств, и составляющие этот метод действия;

- сконструирована система частных и обобщенных приемов решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом;

- разработана типология задач, адекватных действиям, частным и обобщенным приемам функционально-графического метода решения уравнений и неравенств.

могут быть использованы преподавателями педвузов при проведении курсов по выбору и факультативов, студентами в период педагогической практики, авторами сборников задач и учебно-методических пособий для студентов, учащихся и учителей; учителями средних школ.

Достоверность и обоснованность полученных результатов и выводов обеспечивается методологическими позициями, реализующими деятельност-ный подход к решению проблемы исследования, использованием разнообразных методов исследования, адекватных поставленным задачам; выводами экспериментального исследования.

Положения, выносимые на защиту:

1. В основу подготовки студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств должно быть положено единство частных и обобщенных приемов решения задач данного вида, их математических основ и соответствующих задач как средств формирования действий и приемов.

2. Факторами, определяющими содержание и процесс подготовки студентов педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств, являются: актуальность формирования у школьников характерных для функционально-графического метода знаний и умений, потребность личности ученика в подготовке к продолжению образования в вузе или среднем специальном учебном заведении; положение о взаимообусловленности гносеологического и деятель-ностного компонентов метода; роль функционально-графического метода решения задач в развитии мышления учащихся и организации их исследовательской деятельности; содержание математической и методической подготовки будущих учителей математики, психологические и методические теории формирования приемов учебной деятельности.

3. Подготовку студентов к обучению учащихся решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом следует осуществлять путем поэтапного формирования у них адекватных методу математических знаний, отдельных действий и приемов, посредством решения соответствующих задач, акцентируя внимание на действиях: определения структуры уравнения и неравенства, выбора методов решения уравнений и неравенств, составления уравнений и неравенств, решаемых функционально-графическим методом; применение компьютерных технологий в подготовке студентов позволяет формировать у них не только гносеологический и деятельностный компоненты метода, но и методические умения использования компьютера в учебно-воспитательном процессе как средства реализации функций обучения математике.

На защиту также выносится программа и содержание курса по выбору «Функционально-графический метод решения уравнений и неравенств», методические рекомендации по его преподаванию.

Внедрение в практику обучения основных положений, выдвигаемых в диссертации, осуществлялось в ходе экспериментальной проверки, которая проводилась на базе Института математики, физики и информатики Самарского

государственного педагогического университета.

По теме исследования имеется 14 публикаций.

Апробация и внедрение основных положений и результатов исследования осуществлялись в ходе экспериментальной проверки на лекционных и практических занятиях со студентами Института математики, физики и информатики ГОУ ВПО «Самарский государственный педагогический университет», в виде докладов и выступлений на заседаниях кафедры геометрии и методики преподавания математики вышеназванного университета (Самара, 2004 г., 2005 г., 2006 г., 2008 г), на заседании научно-методического семинара кафедры методики преподавания математики ГОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт им. М.Е. Евсевьева» (Саранск, 2009 г.), на семинарах преподавателей математики университетов и педвузов «Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах» (Киров-Москва, 2006 г.), «Новые средства и технологии обучения математике в школе и вузе» (Самара - Москва, 2007 г.), на Международных научных и научно-практических конференциях «Математика. Образование. Культура» (Тольятти, 2005 г.), «Математическое образование: прошлое, настоящее, будущее» (Самара, 2007 г.), «Интегративный характер современного математического образования (Самара, 2009 г.), «Формирование профессиональной компетентности будущих специалистов в условиях кредитной технологии обучения: опыт, проблемы и перспективы» (Кокшетау, 2009 г.), на Всероссийских научно-практических конференциях «Актуальные вопросы методики преподавания математики и информатики в свете модернизации Российского образования» (Биробиджан, 2006 г.).

Задачи исследования определили структуру диссертации: она состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложений, иллюстрирована таблицами, рисунками. Основное содержание диссертации изложено на 189 страницах машинописного текста. Список литературы включает 222 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулированы проблема, цель, объект, предмет, гипотеза и задачи исследования, раскрыты научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, выделены этапы исследования, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе излагаются теоретические основы подготовки студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств.

Установлено: а) в соответствии со стандартами среднего (полного) общего образования (базовый и профильный уровни) по математике (2004 г.), в которых усилена практическая составляющая целей обучения математике, учащиеся должны владеть знаниями и умениями, характерными для функционально-

графического метода, применяемого, в частности, при решении уравнений, неравенств и их систем в курсах алгебры, алгебры и начал анализа; б) задания, входящие в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике, содержат уравнения с параметрами и так называемые комбинированные уравнения, решение которых возможно только функционально-графическим методом, требующим интеграции знаний из различных разделов курса математики; в) в процессе решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом осуществляются действия по переводу математической информации с «языка» знаково-символического на «язык» рисунков-образов в виде схем и графиков, что способствует развитию логического и образного мышления субъекта, решающего задачу; г) процессы структурирования, т.е. выявления составляющих элементов (значимых частей) и установления существенных связей между ними, осуществляемые при решении уравнений и неравенств функционально-графическим методом, способствуют развитию творческого мышления, составляют основу для организации исследовательской деятельности учащихся.

Анализ программ и учебных пособий по алгебре, математическому анализу и элементарной математике для математических специальностей педвузов показал, что в целом все математические понятия и теоремы, составляющие базис решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом, представлены в содержании программ. Его изучение завершается в шестом семестре. Но результаты диагностической работы, проведенной в седьмом семестре, говорят о том, что 93% студентов четвертого курса не могут применять функционально-графический метод к решению комбинированных уравнений и уравнений с параметрами.

Вышесказанное свидетельствует о необходимости специальной работы, направленной на подготовку будущих учителей математики к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений неравенств, цели которой заключаются в формировании у студентов функционально-графического метода решения уравнений и неравенств и владения методикой обучения учащихся данному методу. Кроме того, такая подготовка должна способствовать развитию у будущих учителей математики мотивации изучения значимого в будущей практической (профессиональной) деятельности учебного материала; понимания взаимосвязи различных разделов элементарной и высшей математики; способности к поисковой деятельности.

Здесь же определяются основные понятия диссертационного исследования. На основе общего понятия «метод» (совокупность действий над изучаемым или преобразуемым объектом, выполнение которых приводит к достижению результата, соответствующего намеченной цели) и анализа конкретного содержания деятельности по решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом раскрыто содержание понятия «функционально-графический метод решения уравнений и неравенств».

Функционально-графический метод решения уравнений и неравенств - это метод, основанный на использовании свойств функций и (или) их графических изображений. К графическим изображениям нами отнесены графики функций и их схематические изображения (эскизы графиков).

В функционально-графическом методе, как и в любом методе, согласно теории познания, возможно выделение двух компонентов: гносеологического и деятельностного.

Анализ и обобщение математических и методических фактов, представленных в работах учебного, учебно-методического и научного плана, анализ процесса решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом дали основание сделать следующее заключение.

1. Гносеологический компонент функционально-графического метода составляют знания:

1) о том, как решать отдельные виды уравнений, неравенств и их конструкций алгебраическими методами;

2) о том, как выполнять операции над функциями;

3) о построении графиков различных элементарных функций, в том числе с применением компьютерных технологий;

4) о свойствах функций и их применении при решении уравнений и неравенств;

5) о возможности решения уравнения и неравенства с помощью основных теорем равносильности или на базе использования свойств функций.

2. Деятельностную составляющую функционально-графического метода образуют следующие действия:

1) выполнение операций, адекватных приемам решения уравнений и неравенств алгебраическими методами. Считаем, что студенты овладели всеми приемами решения уравнений и неравенств алгебраическими методами на занятиях по алгебре и элементарной математике.

2) выполнение операций над функциями и нахождение суперпозиции функций;

3) построение графиков и эскизов графиков функций, в том числе с применением компьютерных технологий;

4) определение структуры уравнения и неравенства: выяснение, из каких функций и каким образом они составлены;

5) выделение свойств, присущих функциям, входящим в уравнение и неравенство (ограниченность, монотонность, четность, нечетность и т.д.), то есть исследование функции;

6) решение уравнений и неравенств с применением отдельных свойств элементарных функций;

7) составление уравнений и неравенств, решаемых функционально-графическим методом;

8) решение уравнений и неравенств повышенной сложности с выбором методов решения уравнений и неравенств.

Обучение студентов этим компонентам целесообразно организовать путем формирования у них приемов учебной деятельности, адекватных данному методу. В психолого-педагогической и методической литературе существуют различные толкования понятия приема. В нашем исследовании под приемом понимается совокупность действий, выполняемых в определенном порядке и служащих для решения определенных задач.

Содержание подготовки студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств:

1) должно реализовывать указанные выше цели подготовки и основываться на:

- взаимосвязи понятий "функция", "уравнение" и "неравенство";

- интеграции графических и аналитических методов решения уравнений и неравенств;

- одновременном рассмотрении решений уравнений и неравенств функционально-графическим методом;

2) должно включать:

- конструирование частных приемов применения отдельных свойств функций при решении и составлении уравнений и неравенств;

- конструирование обобщенного приема решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом, позволяющего рационально делать выбор свойства функции;

- конструирование обобщенного приема решения уравнений и неравенств с параметром;

-использование компьютерных технологий при формировании функционально-графического метода решения уравнений и неравенств.

В основе различия частных и обобщенных приёмов решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом лежит используемая в каждом из них система знаний, действий и совокупность задач, в решении которых они применяются.

Обобщенный приём решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом применим к любому уравнению или неравенству, формируется на основе усвоения всей совокупности знаний об использовании отдельных свойств функций при решении уравнений и неравенств функционально-графическим методом.

Чтобы определить состав обобщенного приёма решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом, следует:

- выделить действия по решению уравнений и неравенств с применением отдельных свойств функции (область определения, ограниченность, монотонность, четность (нечетность), периодичность, выпуклость (вогнутость));

- на основе анализа частных приёмов найти общие действия, входящие в их состав;

- сконструировать обобщенный приём.

На основе анализа частных приемов решения уравнений и неравенств с применением отдельных свойств функций конструируется обобщенный прием решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом. В этом случае следует:

• выяснить возможность рационального решения данного уравнения (неравенства) алгебраическим методом. Сам вид уравнения (неравенства) подсказывает, какие методы при решении необходимо применять: алгебраические или функционально-графический. Например, присутствие в уравнении или неравенстве различных типов элементарных функций, двух и более переменных есть весьма

надежный признак того, что методы тождественных преобразований, замен переменных, упрощения выражений и т.д. сами по себе не приведут к ответу;

• определить структуру уравнения (неравенства). Выяснить, из каких функций и каким образом составлено данное уравнение (неравенство);

• исследовать функции, входящие в данное уравнение (неравенство) и перейти к равносильным, более простым уравнениям (неравенствам, системам уравнений), опираясь на соответствующие приемы учебной деятельности по применению отдельных свойств функций при решении уравнений и неравенств;

• решить полученные уравнения (неравенства, системы уравнений) традиционным способом.

Продемонстрируем применение обобщённого приема решения уравнений и

неравенств функционально-графическим методом на примере решения уравнения.

| , ( 2 0

Пример№1. Решить уравнение —;— = log, \ у -2у+ ---cos ху

Решение.

1) Алгебраический метод решения данного уравнения отсутствует.

2) Имеется одно уравнение с двумя переменными, поэтому попробуем применить свойство ограниченности при решении данного уравнения. В силу громоздкости нахождения ОДЗ, не будем находить ее в явном виде. Все последующие рассуждения будем проводить, считая, что уравнение имеет смысл.

3) Исследуем функции, входящие в данное уравнение, предварительно заменив уравнение ему равносильным:

Так как —\— = 1 у2 ~2у + ~ = (y-lf + \,ctgxy = то дан-

cos ху 9 9 tgxy

1 + tg2xy (lf у4! ное уравнение примет вид —р—^--+ v ~ v J (1).

Оценим левую и правую части уравнения:

^ = _ + (2) на основании неравенства y^/j + /(*)-2,

где f(x) > 0; неравенство (2) обращается в равенство при fix) = 1.

— + (y-l)2 следовательно в силу убывания функции 1 имеем, что 9 9 з

loglfi + 0,-l)2l<2 (108,1 = 2,0-1)^0).

З^7 у

Итак, на основании соответствующего утверждения имеем, что уравнение (1) равносильно системе уравнений: 1 + <Гх>>=2

М = ' ^ М = 1>

4) Решим полученную систему уравнений традиционным способом.

Из второго (более простого) уравнения системы получаем у = 1. Тогда

М. К ТОХ „

= 1, откуда х = + пеХ. При найденных значениях х и у данное уравнение существует.

„ ,Л 7ГП „

Ответ: (— + — ,1), где П&Ъ.

Осуществлять подготовку студентов к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств следует поэтапно. На первом этапе (1-2 курс) в процессе изучения математических курсов у студентов формируются знания математических основ и отдельные действия функционально-графического метода. На втором этапе (3 курс) при изучении теории и методики обучения математике и элементарной математики у студентов формируются соответственно методические знания и умения теоретико-методологического уровня и владение основными алгебраическими методами решения уравнений и неравенств. На третьем этапе (4-5 курсы) будущие учителя в процессе изучения частной методики обучения математике знакомятся с элементами применения функционально-графического метода к решению задач, а в процессе преподавания курса по выбору они овладевают системой математических и методических знаний, действий, приемов, адекватной функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств, разрабатывают и реализуют методику обучения учащихся решению и составлению уравнений и неравенств функционально-графическим методом в период производственно-педагогических практик, при написании рефератов, курсовых и выпускных квалификационных работ. Главную роль играет специальный курс по выбору (специальная методическая подготовка), который направлен на обобщение и систематизацию знаний и умений студентов из курсов алгебры и математического анализа, теории и методики обучения математике, на формирование системы действий, на формирование частных и обобщенных приемов решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом (в том числе с применением компьютерных технологий), на формирование методических умений обучения учащихся данным элементам метода (например, конструировать системы упражнений, составлять задачи и т.п.).

Разработка указанного курса по выбору потребовала определения его целей, задач, содержания, форм и методов организации обучения, что было выполнено с учетом следующих требований:

- для наиболее эффективного изучения материала студентам должна быть предоставлена возможность самостоятельного проведения методического эксперимента;

- задачи, посредством которых у студентов формируется функционально-графический метод решения уравнений и неравенств, должны быть методически ориентированными, т.е. такими, чтобы при работе с ними студенты учились не только решать уравнения и неравенства функционально-графическим методом, но и осваивали методические знания и умения обучения учащихся данному методу;

- применение компьютерных технологий должно способствовать формированию у студентов как функционально-графического метода решения уравнений и неравенств, так и методических умений по применению компьютера в учебном процессе.

В обучении студентов функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств выделяются два аспекта. Первый (содержательный) - формирование знаний математических основ метода (гносеологического компонента) и методики формирования математических понятий, работы с теоремой, обучения доказательству, обучения методам решения задач, организации работы с задачей. Второй - обучение приёмам решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом. Предметом осознанной деятельности будущих учителей должны стать приемы схематического построения графиков функций и выбора свойства функции, позволяющего решить то или иное уравнение (неравенство); приемы составления уравнений и неравенств, решаемых с применением функционально-графического метода, а затем и основанный на них обобщенный прием решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом.

Специальная методическая подготовка студентов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств состоит из четырех этапов:

1. Подготовительный этап;

2. Этап решения уравнений и неравенств с применением отдельных свойств функций;

3. Этап составления уравнений и неравенств, решаемых функционально-графическим методом;

4. Этап выбора метода решения уравнений и неравенств повышенной сложности.

Каждый из этапов реализуется посредством систем адекватных задач, при разработке которых мы, прежде всего, исходили из сути функционально-графического метода и следующих требований:

- доступности (каждая задача системы должна быть посильна студенту в целях сохранения интереса к ее решению);

- однотипности (в систему необходимо включать однотипные задачи, поскольку это способствует формированию прочных знаний и умений, однако однотипных задач в системе должно содержаться в разумном количестве);

- разнообразия (чтобы избежать снижения интереса, внимания и активности студентов, в систему должны быть включены задачи, разнообразные по форме, содержанию и способу решения);

- противопоставления (необходимо включать в систему задачи на сходные и взаимообратные понятия, а также задачи, не имеющие решения, контрпримеры);

- полноты (в системе должны присутствовать задачи на все изучаемые понятия и факты);

- усложнения (необходимо учитывать сложность каждой задачи в системе и располагать их по мере возрастания сложности);

- методической ориентации (при работе с задачами студенты должны учиться не только решать уравнения и неравенства функционально-

графическим методом, но и осваивать методические знания и умения обучения учащихся данному методу).

Нами выделены и охарактеризованы основные виды задач, ориентированных на формирование действий, частных и обобщенных приемов, адекватных функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств: А. Задачи на отработку отдельных действий и системы действий в целом, составляющих функционально-графический метод решения уравнений и неравенств. В. Задачи на формирование методических умений студентов по подготовке учащихся к решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом. В каждом виде выделяются подвиды задач, ориентированные на формирование отдельных действий функционально-графического метода.

Применение компьютерных технологий в подготовке студентов к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств позволяет формировать у них не только гносеологический и деятель-ностный компоненты метода, но и методические умения использования компьютера в учебно-воспитательном процессе как средства реализации функций обучения математике. При выборе компьютерных средств преподавателю необходимо учитывать как модель применяемых информационных технологий, так и профиль обучения, умение работать с персональным компьютером.

Наиболее целесообразно применять компьютер в следующих случаях: диагностического тестирования качества усвоения материала; в тренировочном режиме для отработки отдельных действий, частных и обобщенных приемов функционально-графического метода; в режиме самообучения; в режиме графической иллюстрации изучаемого материала.

В нашей работе применены возможности математического пакета Mathcad для построения графиков функций, программ - графопостроителей «GraphMaster», «GraphPlotter» и др., а также возможности программы презентаций Microsoft PowerPoint for Windows для иллюстраций выполненных студентами индивидуальных творческих заданий.

Использование компьютерных технологий, а именно применение компьютерной графики, положительно сказывается на развитии воображения и интуиции, творческих способностей студентов. Анимация позволяет продемонстрировать в динамике построение графиков функций с помощью элементарных преобразований (например, эффект «Появление» из команды «Вход» в программе Microsoft PowerPoint for Windows). Работая с графиками функций в виртуальной лаборатории, студенты легко и быстро осваивают функционально-графический метод решения уравнений и неравенств, самостоятельно выявляют различные закономерности (например, влияние значения коэффициентов на график функции данного вида или на взаимное расположение графиков нескольких функций).

Работа в виртуальной лаборатории позволяет каждому студенту выполнять задания в удобном для него темпе, анализировать и обобщать большое количество эмпирического материала, формируя, тем самым, исследовательские умения.

Во второй главе «Методические аспекты подготовки студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств» раскрываются вопросы методики, реализующей изложенные в первой главе теоретические положения.

Основу методики обучения студентов функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств составляют: основные дидактические принципы, организационные формы обучения, выделенные этапы методической подготовки студентов к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств, определение места специального курса по выбору в системе подготовки будущего учителя математики.

1. Подготовительный этап. На данном этапе происходит формирование следующих действий, реализующих функционально-графический метод решения уравнений и неравенств:

а) выполнение операций над функциями и нахождение суперпозиции функций;

б) построение графиков функций, в том числе с применением компьютерных технологий.

Здесь же осуществляется систематизация, обобщение, расширение и углубление знаний и умений студентов по тематическим блокам «Числовые функции и их свойства», «Построение графиков функций различными способами», «Решение уравнений и неравенств алгебраическими методами», выделенным на основе анализа действий, составляющих функционально-графический метод.

2. Этап решения уравнений и неравенств с применением отдельных свойств функций. На данном этапе студентами решаются задачи, являющиеся составной частью уравнений и неравенств повышенной сложности - специальные уравнения и неравенства на применение отдельных свойств функций (области определения, ограниченности, монотонности, выпуклости (вогнутости), четности (нечетности), периодичности).

На втором этапе происходит формирование следующих действий, входящих в состав функционально-графического метода решения уравнений и неравенств:

а) определение структуры уравнения и неравенства: выяснение, из каких функций и каким образом они составлены;

б) выделение свойств, присущих функциям, входящим в уравнение и неравенство (ограниченность, монотонность, четность, нечетность и т.д.), то есть исследование функции;

в) решение уравнения (неравенства) с применением отдельных свойств элементарных функций.

Для действий, формируемых на первом и втором этапах, разработаны специальные системы задач.

3. Этап составления уравнений и неравенств, решаемых функционально-графическим методом. На данном этапе студенты учатся составлять

уравнения и неравенства, решаемые функционально-графическим методом с применением одного из свойств элементарных функций. Упражнения такого типа способствуют активизации познавательной самостоятельности студентов, помогают осуществлять переход от решения простейших уравнений и неравенств к решению уравнений и неравенств повышенной сложности.

4. Этап выбора метода решения уравнений и неравенств повышенной сложности. Целью этого этапа - овладение студентами функционально-графическим методом в процессе решения уравнений и неравенств повышенной сложности. Здесь происходит формирование умения решать уравнения и неравенства повышенной сложности, с выбором метода решения уравнений и неравенств.

В таблице 1 представлены примеры систем задач на формирование у студентов умения составлять уравнения и неравенства, адекватные выделенным нами основным способам решения такого рода задач.

Таблица 1

Составление уравнений и неравенств с применением свойств ограниченности и монотонности функций

Способы составления

Система задач для формирования у студентов умений составлять уравнения и неравенства с применением свойств функций_

о а о

a s ж о я ш S

я я а a х

о- я

В *

ее X

'S 3 к в

ее о О

И м О 2 О ®

«э о о о в

1. Рассмотрите монотонную функцию у = f(x) и вычислите значение этой функции в некоторой точке х0 из области определения данной функции и составьте уравнение вида f(x) = f(x0) и соответствующие неравенства и найдите решения неравенств.

2. Рассмотрите две функции f(x) и g(x), обладающие свойствами: одна из них строго возрастающая, а другая строго убывающая функции и графики которых пересекаются и составьте уравнение вида f(x) = g(x), имеющее решение и неравенство вида f(x)>g(x), имеющее (не имеющее) решение.

3. Рассмотрите две функции f(x) и g(x), обладающие свойствами: одна из них строго возрастающая, а другая строго убывающая функции и графики которых имеют в качестве вертикальной асимптоты прямую х = х0, причем

lim f(x) = +oо, Hm g(x) = и выполните следующее зада-

к-*х0-О *-»*<,+ О

ние: составьте уравнение вида f(x) = g(x), не имеющее решение.

Продолжение таблицы 1

се я

Й «

О и о

я к

X и X <а S

Я s

& S

с а X

>я 3 X X се а О X и О

1С

о а о с и

о я

X <и 3-

я я

се &

1. Рассмотрите две функции f(x) и g(x), обладающие свойствами ограниченности снизу и сверху одним и тем же числом; разными числами и выполните следующие задания:

а) составьте уравнение вида f(x) = g(x), имеющее решение.

б) составьте уравнение вида f(x) = g(x), не имеющее решение.

в) составьте неравенство вида f(x) > g(x), не имеющее решение.

г) составьте неравенство вида f(x) < g(x) справедливое для любого х из области определения неравенства.

2. Составьте пять уравнений, решение которых сводилось бы

'Зх + 2у = 5

к решению системы уравнении

х +2у = 3

3. Объясните, как было составлено уравнение

УЗлг — 2 _ 1 х2 ~1-х'

Покажите, комбинируя исследование области определения и множества значений функции, что данное уравнение не имеет решений._

св

X «

2 х X ей

о Я

а о

X л

Я 5

5 н

ю о и о с U

X «

я Э о 5 и о. н о

сх Б

о g

о О о

1. Составьте и решите уравнение вида f(x) = С, где функция у = f(x) - строго убывающая в области определения и х = 2 является корнем уравнения.

2. Составьте и решите уравнение вида f(x) = g(x), где функция у = f(x) ограничена сверху числом 2 и периодическая с наименьшим положительным периодом Т = я, а функция у = g(x) ограничена снизу числом 2.

3. Составьте неравенство вида f(x)>g(x), имеющее решением промежуток (-оо; 1).

4. Составьте неравенство вида f(x)>g(x), имеющее решением число х = 3.

С целью проверки эффективности методики проводились диагностические работы в экспериментальных и контрольных группах до начала экспериментального обучения и непосредственно по его завершению. Обработка результатов эксперимента осуществлялась с помощью математической статистики, посредством критерия Стьюдента. Проведенный эксперимент подтвердил эффективность разработанной методики подготовки студентов к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств.

В заключении диссертации отмечается, что в процессе исследования в соответствии с его целью и задачами получены следующие основные результаты и выводы.

показал: отсутствует отвечающая предъявляемым требованиям целенаправленная и последовательная подготовка будущих учителей математики к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств, равно как отсутствуют теоретические и методические знания об условиях и средствах ее осуществления.

2. Охарактеризованы функционально-графический метод решения уравнений (неравенств), его деятельностные и гносеологические компоненты, наиболее значимые действия, сконструированы следующие приемы:

- частные приемы решения уравнений и неравенств с применением отдельных свойств элементарных функций;

- обобщенный прием решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом;

- частные приемы решения уравнений и неравенств с параметром первого и второго типов различными методами (графический, аналитический);

- обобщенный прием решения уравнений и неравенств с параметром первого и второго типов;

- частные приемы составления уравнений и неравенств, решаемых с применением отдельных свойств элементарных функций.

3. Обоснована и реализована на практике возможность поэтапной подготовки студентов к формированию у учащихся приемов, адекватных функционально-графическому методу, путем формирования у самих студентов приемов с большим числом функций, с более богатым содержанием гносеологического и деятельностного компонентов. Выделены виды задач, являющихся основным средством обучения приемам, по отношению к целям подготовки.

4. Применение компьютерных технологий в подготовке студентов к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств позволяет формировать у будущих учителей методические умения использования компьютера в учебно-воспитательном процессе как средства реализации функций обучения математике.

5. Разработана программа курса по выбору «Функционально-графический метод решения уравнений и неравенств», в содержание которого входит применение компьютерных технологий.

6. Разработаны рекомендации по использованию компьютерных технологий (математический пакет Ма^сас! для построения графиков функций, программ - графопостроителей «СгарЬМаз1ег», «СгарЬР1оНег») на каждом этапе формирования функционально-графического метода решения уравнений и неравенств.

7. Эффективность разработанной методики подготовки студентов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств подтверждена экспериментально.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

L Публикации в научных журналах, рекомендованных ВАК

1. Садыкова, JI.K. Подготовка студентов математических специальностей педвузов обобщенному приему решения нестандартных уравнений и неравенств на базе свойств функций [Текст] / JI.K. Садыкова. // Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена. №21 (51): Аспирантские тетради: Научный журнал. - СПб., 2007. - с. 282-288.

IL Список публикаций в других изданиях

2. Садыкова, Л.К. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств [Текст]/ Л.К. Садыкова. // Научные доклады межвузовской 58-ой научной конференции СГПУ. - Самара: СГПУ, 2004. - с. 78-80.

3. Садыкова, Л.К. Свойства функций при решении нестандартных уравнений и неравенств [Текст]: методическая разработка по курсам элементарной математики и методики преподавания математики/ Л.К. Садыкова, Н.С. Нович-кова. - Самара: Изд-во СГПУ, 2005. - 90 с.

4. Садыкова, Л.К. Функции и построение графиков [Текст]: методическая разработка по курсам элементарной математики и методики преподавания математики/Л.К. Садыкова, Н.С. Новичкова. - Самара: Изд-во СГПУ, 2005. - 72 с.

5. Садыкова, Л.К. Способы построения графиков сложных функций [Текст]/ Л.К. Садыкова. // Научные доклады межвузовской 59-ой научной конференции СГПУ. - Самара: СГПУ, 2005. - с. 107-113.

6. Садыкова, Л.К. Об индивидуализации в процессе обучения построению графиков функций [Текст]/ Л.К. Садыкова. // Сборник трудов II Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура».- Тольятти: ТГУ, 2005.-с. 69-75.

7. Садыкова, Л.К. Применение свойств функций при решении уравнений [Текст]/ Л.К. Садыкова. // Научные доклады межвузовской 58-ой научной конференции СГПУ. - Самара: СГПУ, 2005. - с. 251-254.

8. Садыкова, Л.К. Применение функционального подхода при решении уравнений и неравенств с параметрами [Текст]/ Л.К. Садыкова. // Сборник научных трудов Всероссийской научно-практической конференции. - Биробиджан: Изд-во ДВГСГА, 2006. - с. 61-65.

9. Садыкова, Л.К. Способы составления уравнений и неравенств, решаемых на базе свойств элементарных функций [Текст]/ Л.К. Садыкова, Н.С. Но-вичкова.//Материалы I Международной научно-практической конференции, посвященной памяти профессора Б.М. Бредихина - Москва, Самара: Изд-во СГПУ, 2006.-с. 210-222.

10. Садыкова, Л.К. Спецкурс как средство подготовки будущих учителей математики к работе в профильных классах [Текст]/ Л.К. Садыкова.// Материалы XXV семинара преподавателей математики университетов и педвузов - Киров, Москва: ВятГГУ, МГПУ, 2006. - с. 145-146.

11. Садыкова, Л.К. Взаимосвязь аналитического и графического способов при решении уравнений и неравенств с параметрами [Текст]/ Л.К. Садыкова,

Н.С. Новичкова. // Вестник СГПУ: Институт математики, физики и информатики. - Самара: Изд-во СГПУ, 2006. - с.76-79.

12. Садыкова, Л.К. Об элективных курсах в профильном обучении [Текст]/ Л.К. СадыковаУ/ Вестник СГПУ: Инстшут математики, физики и информатики. Профессору Л.И. Кошкину посвящается.- Самара: Изд-во СГПУ, 2008. - с. 91-93.

13. Садыкова, Л.К. Использование компьютерных технологий при подготовке студентов - будущих учителей математики [Текст] /Л.К. Садыкова.// Интегративный характер современного математического образования: материалы Второй всероссийской научно-практической конференции, посвященной памяти засл. деятеля науки РФ, профессора В.Ф. Волкодавова (Самара, 26-28 октября). - Самара: ПГСГА, 2009. - с. 216- 217.

14. Садыкова, Л.К. Использование информационно-компьютерных технологий в процессе подготовки учителя математики [Текст]/Л.К.Садыкова.//Формирование профессиональной компетентности будущих специалистов в условиях кредитной технологии обучения: опыт, проблемы и перспективы: материалы Международной научно-практической конференции (Кокшетау, 26-27 июня). - Кокшетау: КГУ им. Ш. Уалиханова, 2009. - с.389-393.

САДЫКОВА Лилия Камиловна

ПОДГОТОВКА СТУДЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ПЕДВУЗОВ К ОБУЧЕНИЮ УЧАЩИХСЯ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКОМУ МЕТОДУ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Автореферат

Подписано в печать 27.01. 2010 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл.п.л.1,4. Тираж 100 экз. Заказ № 1-27-01.2010

Отпечатано с готового оригинала макета в типографии ООО «Самарская Полиграфическая Компания» 443081, г. Самара, ул. Стара-Загора, 131 А Тел.: 8(846) 34-16-900

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Садыкова, Лилия Камиловна, 2010 год

Введение.

Глава I. Теоретические основы подготовки студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств.

1.1. Анализ учебно-методической и научной литературы по проблеме исследования.

1.2. Характеристика функционально-графического метода решения уравнений и неравенств.

1.3. Математические основы решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом.

1.4. Приемы решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом. Требования к конструированию системы задач по их формированию.

1.5. Применение компьютерных технологий в процессе формирования функционально-графического метода решения уравнений и неравенств.

Выводы по первой главе.

Глава II. Методические аспекты подготовки студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств.

2.1. Методические особенности подготовки будущих учителей математики к обучению учащихся общеобразовательных учреждений построению графиков элементарных функций различными способами.

2.2. Методические особенности подготовки будущих учителей математики к обучению учащихся общеобразовательных учреждений решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом.

2.3. Организация и результаты эксперимента.

Выводы по второй главе.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Подготовка студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств"

В настоящее время система высшего и среднего образования предъявляет новые требования к качеству подготовки учителей математики, ставя задачи переосмысления методических аспектов и построения новых теорий изучения традиционных тем школьного курса математики.

Действительно, учащиеся общеобразовательных учреждений традиционно знакомятся при изучении математики с графическим методом решения уравнений, неравенств и их систем. Однако в последние годы в содержании обучения математике появляются новые классы уравнений (неравенств) и новые функциональные методы их решения. Тем не менее, содержащиеся в контрольно-измерительных материалах единого государственного экзамена (ЕГЭ) задания (так называемые комбинированные уравнения), решения которых требуют применения только функционально-графического метода, вызывают у учащихся затруднения. Более того, проведенный нами констатирующий эксперимент показал, что студенты -будущие учителя математики, владея теоретически понятиями по теме «Числовая функция, ее свойства и график», зачастую затрудняются применять свойства функций и их графики к решению уравнений и неравенств. Это в то время, когда во многих школах преподавание ведется по учебникам алгебры, алгебры и начал анализа, реализующих концепцию, согласно которой среди основных содержательно-методических линий школьного курса алгебры приоритетной является функционально-графическая.

Одной из составляющих основ профессионализма учителя является знание преподаваемого предмета, о чем говорится в работах С.Н. Дорофеева, И.В. Егорченко, Т.А. Ивановой, А.Г.Мордковича, И.А. Новик, М.А. Родионова, Г.И. Саранцева, Р.А. Утеевой и др. Собственно, во многом для формирования такого знания был введен в учебные планы педвузов курс элементарной математики, что, однако, не решило всех проблем. Необходима, в частности, целенаправленная и последовательная работа преподавателей педвузов по подготовке будущих учителей математики к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств, которая, как выявил проведенный нами эксперимент, также отсутствует.

Анализ методической литературы в контексте темы нашего исследования показал, что имеются работы, посвященные вопросам методики: изучения в средней школе функциональных понятий (А.И. Жаворонкова, Ю.Н. Макарычева, Е.И. Лященко, И. В. Антоновой и др.); решений различных видов уравнений и неравенств, связанных с использованием равносильных замен (А.Н. Бекаревича, Н.Я. Виленкина, Р.А. Рыбаковой, В.А. Герлингера и др.); взаимосвязи понятия функции с понятиями линии уравнений и неравенств (А.А. Ундуск, Л.И. Токаревой, Л.П. Афонькиной, Н.А. Ильиной и др.); интеграции алгебраических и графических методов в обучении математике (М.И. Башмакова, JI.C. Капкаевой, Н.А. Резник и др.). Рассматривали применение при решении уравнений и неравенств: свойств функций - М. Бейсеков, А.Б. Василевский, В.А. Гусев, М.Е. Есмуханов, Н. И. Зильберберг, С.И. Мещерякова, Т.Д. Моралишвили, С.Н. Олехник, М.К. Потапов, И.И. Чучаев и др.; графического метода - А.Г. Мордкович, H.JI. Стефанова, Н.С. Подходова и др.

Сегодняшний выпускник педагогического вуза должен владеть современными, в том числе компьютерными, технологиями обучения математике. В настоящее время многие исследователи изучают различные вопросы компьютеризации математического образования в средней школе (В.А. Далингер, В.М. Монахов, JI.M. Наумова, Н.А. Резник, JI.A. Страбыкина, Н.В. Полякова и др.) и в вузе (М.П. Лапчик, А.Е. Лукинова, Т.В. Кормилицына, Е.В. Сухорукова и др.), но проблема использования в педвузе компьютера как средства подготовки будущего учителя к обучению математике еще недостаточно проработана. В частности, отсутствуют исследования методических условий применения компьютерных технологий при подготовке студентов математических специальностей- педвузов к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств.

Итак, актуальность проблемы нашего исследования определяют возникшие противоречия между: 1) требованиями, предъявляемыми к знаниям и умениям, входящим в функционально-графическую содержательно-методическую линию, и реальным уровнем их сформированности у учащихся общеобразовательных учреждений; 2) внедрением в практику работы школ учебников, в которых из основных содержательно-методических линий школьного курса алгебры приоритетной является функционально-графическая, и неподготовленностью выпускников педвузов к работе по этим учебникам; 3) необходимостью совершенствования обучения учащихся общеобразовательных учреждений решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом и отсутствием научно обоснованной методики подготовки будущего учителя математики к обучению учащихся решению такого рода задач.

Предмет исследования - цели, содержание, средства и организационные формы подготовки студентов педвузов к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств.

3) разработать частные и обобщенные приемы решения- уравнений и неравенств функционально-графическим методом;

5) исследовать методические аспекты применения компьютерных I технологий для обучения студентов частным и обобщенным приемам решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом;

Методологические предпосылки исследования - системный и деятельностный подходы, идея фундаментализации образования; основные психолого-педагогические и методические положения теорий обучения приемам учебной деятельности, методические концепции формирования математических понятий, работы с теоремой, обучения доказательству, обучения решению задач, концепции УДЕ и методической подготовки учителя математики в педвузе.

Исследование проводилось с 2003 по 2008 год и включало ряд этапов.

Научная новизна исследования состоит в том, что проблема подготовки студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств решалась на основе единства действий, составляющих данный метод, частных и обобщенных приемов, соответствующих этому методу, их математических основ и адекватных задач как средств формирования действий и приемов; обоснована и реализована на практике возможность подготовки студентов к формированию у учащихся функционально-графического метода решения уравнений и неравенств путем формирования у самих студентов данного метода, но с большим числом функций, с более богатым содержанием гносеологического и деятельностного компонентов.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:

- выявлены требования, обуславливающие подготовку студентов к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств, и составляющие этот метод действия;

Практическая значимость работы заключается в разработке методики подготовки студентов к обучению учащихся решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом, программы и содержания курса по выбору «Функционально-графический метод решения уравнений и неравенств», а также методических рекомендаций к конструированию и применению выделенных видов задач, используемых в качестве средств формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств. Результаты исследования могут быть использованы преподавателями педвузов при проведении курсов по выбору и факультативов, студентами в период педагогической практики, авторами сборников задач и учебно-методических пособий для студентов, учащихся и учителей; учителями средних школ.

Достоверность и обоснованность полученных результатов и выводов обеспечивается методологическими позициями, реализующими деятельностный подход к решению проблемы исследования, использованием разнообразных методов исследования, адекватных поставленным задачам; выводами экспериментального исследования.

Положения, выносимые на защиту:

1. В основу подготовки студентов к обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств должно быть положено единство частных и обобщенных приемов решения задач данного вида, их математических основ и соответствующих задач как средств формирования действий и приемов.

2. Факторами, определяющими содержание и процесс подготовки студентов педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений й неравенств, являются: актуальность формирования у школьников характерных для функционально-графического метода знаний и умений, потребность личности ученика в подготовке к продолжению образования в вузе или среднем специальном учебном заведении; положение о взаимообусловленности гносеологического и деятельностного компонентов метода; роль функционально-графического метода решения задач в развитии мышления учащихся и организации их исследовательской деятельности; содержание математической и методической подготовки будущих учителей математики, психологические и методические теории формирования приемов учебной деятельности.

3. Подготовку студентов к обучению учащихся решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом следует осуществлять путем поэтапного формирования у них адекватных методу математических знаний, отдельных действий и приемов, посредством решения соответствующих задач, акцентируя внимание на действиях; определения структуры уравнения и неравенства, выбора методов решения уравнений и неравенств, составления уравнений и неравенств, решаемых функционально-графическим методом; применение компьютерных технологий в подготовке студентов позволяет формировать у них не только гносеологический и деятельностный компоненты метода, но и методические умения использования компьютера в учебно-воспитательном процессе как средства реализации функций обучения математике.

На защиту также выносится программа и содержание курса по выбору «Функционально-графический метод решения уравнений и • неравенств», методические рекомендации по его преподаванию.

По теме исследования имеется 14 публикаций.

Апробация и внедрение основных положений и результатов исследования осуществлялись в ходе экспериментальной проверки на лекционных и практических занятиях со студентами Института математики, физики и информатики ГОУ ВПО «Самарский государственный и педагогический университет», в виде докладов и выступлений на заседаниях кафедры геометрии и методики преподавания математики вышеназванного университета (Самара, 2004 г., 2005 г., 2006 г., 2008 г), на заседании научно-методического семинара кафедры методики преподавания математики ГОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт им. М.Е. Евсевьева» (Саранск, 2009 г.), на семинарах преподавателей математики университетов и педвузов «Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах» (Киров-Москва, 2006 г.), «Новые средства и технологии обучения математике в школе и вузе» (Самара - Москва, 2007 г.), на Международных научных и научно-практических конференциях «Математика. Образование. Культура» (Тольятти, 2005 г.), «Математическое образование: прошлое, настоящее, будущее» (Самара, 2007 г.), «Интегративный характер современного математического образования (Самара, 2009 г.), «Формирование профессиональной компетентности будущих специалистов в условиях кредитной технологии обучения: опыт, проблемы и перспективы» (Кокшетау, 2009 г.), на Всероссийских научно-практических конференциях «Актуальные вопросы методики преподавания математики и информатики в свете модернизации Российского образования» (Биробиджан, 2006 г.).

Задачи исследования определили структуру диссертации: она состоит I из введения, двух глав, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложений, иллюстрирована таблицами, рисунками. Основное содержание диссертации изложено на 189 страницах машинописного текста. Список литературы включает 222 наименования.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ

Результаты проведенного теоретического исследования были положены в основу построения методики подготовки студентов математических факультетов педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом.

Практика подготовки студентов — будущих учителей математики показала необходимость расширения, углубления и систематизации их знаний и умений в аспекте подготовки к решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом через введение курса по выбору по теории и методики обучения математике и элементарной математике «Функционально-графический метод решения уравнений и' неравенств». Реализация в учебной практике математического факультета разработанного курса способствует формированию у студентов знаний и умений, которые могут быть использованы в их дальнейшей профессиональной деятельности при обучении учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств, а также совершенствованию общей методической подготовки студентов.

Разработана методика обучения студентов математических специальностей педвузов решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом. Подготовку студентов к . обучению учащихся функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств целесообразно строить на основе системы частных и обобщенных приемов учебной деятельности, позволяющих делать выбор метода решения уравнений и неравенств и на основе специально подобранных систем задач, составленных в соответствии с действиями, входящими в состав функционально-графического метода решения уравнений и неравенств.

Анализ результатов педагогического эксперимента дает основание считать, что: выдвинутая гипотеза о подготовке студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений решению уравнений и неравенств функционально-граф методом получила подтверждение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящее исследование посвящено решению актуальной проблемы теории и методики обучения математике - разработке методики обучения студентов математических специальностей педвузов решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом. В диссертационном исследовании обоснована целесообразность введения в учебный процесс педвуза методики, направленной на повышение эффективности подготовки студентов математических специальностей педвузов к обучению учащихся общеобразовательных учреждений решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом.

В данной работе нашли решение задачи, выдвинутые в связи с проблемой, целью и гипотезой исследования. Получены следующие основные результаты и выводы:

1. Анализ научно и учебно-методической, психолого-педагогической литературы по теме исследования, нормативных документов, регулирующих процессы обучения в общеобразовательных учреждениях и педагогических вузах, показал: отсутствует отвечающая предъявляемым требованиям целенаправленная и последовательная подготовка будущих учителей математики к обучению учащихся общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств, равно как отсутствуют теоретические и методические знания об условиях и средствах ее осуществления.

2. Охарактеризованы функционально-графический метод решения уравнений (неравенств), его деятельностные и гносеологические компоненты, наиболее значимые действия; сконструированы следующие приемы:

- частные приемы решения уравнений и неравенств с применением отдельных свойств элементарных функций;

- обобщенный прием решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом;

- обобщенный прием решения уравнений и неравенств с параметром первого и второго типов;

6. Разработаны рекомендации по использованию компьютерных технологий (математический пакет Mathcad для построения графиков функций, программ - графопостроителей «GraphMaster», «GraphPlotter») на каждом этапе формирования функционально-графического метода решения уравнений и неравенств.

7. Эффективность разработанной методики подготовки студентов к обучению учащихся средних общеобразовательных учреждений функционально-графическому методу решения уравнений и неравенств подтверждена экспериментально.

Разработанная нами методика может быть использована при организации курсов по выбору и семинаров по решению уравнений и неравенств функционально-графическим методом в педвузе.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Садыкова, Лилия Камиловна, Самара

1. Агапитов, А.Н. О некоторых видах "нестандартных" уравнений/ А.Н. Агапитов// Математика в школе.- 1969. №3. - с. 49 - 52.

2. Аксенов, А.А. Решение задач методом оценки/ А.А. Аксенов // Математика в школе. 1999. - №3. - с. 31-35.

3. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2ч. 4.1: учеб. для общеобразовательных учреждений/ Г.В. Дорофеев, Е.А. Седова.- М.: Дрофа, 2007.-334 с.

4. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 1998. - 240 с.

5. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. 4.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007. - 160 с.

6. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. 4.1. Задачник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович и др.; под ред. А.Г. Мордковича. — М.: Мнемозина, 2007. 160 с.

7. Алгебра. Книга для учителя. 8 класс: пособие для учителей общеобразоват. учреждений/С.Б. Суворова, Е.А. Буни'мович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева.; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». -М.: Просвещение, 2009. — 190 с.

8. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А.Н. Колмогоров, A.M. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; под ред. А.Н. Колмогорова. — М.: Просвещение, 2001. — 384 с.

9. Алгебра: учебник для 9 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского 16-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 271 с.

10. Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. М.: Просвещение, 2005. - 448 с.

11. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов средней школы/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.- М.: Просвещение, 2003. 384 с.

12. Алимов, Ш.А. Алгебра: учебник для 9 класса средней, школы/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. — М.: Просвещение, 2007.- 13-е изд. 255 с.

13. Амелькин, В.В. Задачи с параметрами: справ, пособие по математике/ В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич. Мн.: ООО "Асар", 2002. - 464с.

14. Антонова, И.В. Дифференцированная работа учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы: дис. . канд. пед. наук/ Антонова И. В. Тольятти, 2003. - 277 с.

15. Арюткина, С.В. Формирование обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами у учащихся 8-9 кл.: дис. .канд. пед. наук/ Арюткина С. В. Арзамас, 2002. - 155 с.

16. Афонькина, Л.П. Взаимосвязь алгебраической и функциональной линий в курсе алгебры 8-ей школы: автореферат дис. . канд. пед. наук/ Афонькина Л. П. Л., 1986. - 16 с.

17. Бабанский, Ю.К. Избранные педагогические труды/ Ю.К. Бабанский М.: Педагогика, 1989.- 560с.

18. Байдак, В.А. Принципы построения оптимальной системы упражнений для изучения свойств функций в школе: автореферат дис. . канд. пед. наук/ Байдак В. А. М., 1971-17с.

19. Балк, М. Доказательство неравенств с помощью производной/ М. Балк, Ю. Ломакин //Квант.-1979. №10. - с.36-38.

20. Баранов, И.А. Применение признака постоянства функции к решению некоторых задач/ И.А. Баранов, Г.А. Ястребинецкий // Математика в школе.- 1980.- №5.- с.21-24.

21. Барчунова, Ф.М. Применение свойств функций при решении уравнений/ Ф.М. Барчунова, Л.О. Денищева// Математика в школе. 1992 -№6. - с. 11.

22. Башмаков, М.И. Изучение алгебры в 7-9 кл.: кн. для учителя/ М.И. Башмаков. М.: просвещение, 2007. - 207 с.

23. Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов средней школы / М.И. Башмаков и др. СПб.: Свет, 1998. - 384 с.

24. Башмаков, М.И. Задачи по математике. Алгебра и анализ/ М.И. Башмаков и др.; под ред. Д.К. Фаддеева. М.: Наука, 1982. - 192 с. (Библиотечка "Квант". Вып. 22.)

25. Башмаков, М.И. О решении уравнений и неравенств/ М.И. Башмаков // Математика в школе. 1970. - №5. - с. 45-47.

26. Башмаков, М.И. Развитие визуального мышления на уроках математики/ М.И. Башмаков, Н.А. Резник// Математика в школе. 1991. -№1. - с. 4-8.

27. Бекаревич, А.Н. Уравнения в школьном курсе математики/ А.Н. Бекаревич. Минск: Народная асвета, 1968. - 150 с.

28. Болтянский, В.Г. Преодолеть заблуждения, связанные с ОДЗ/ В.Г. Болтянский// Математика в школе. 1975. - №5.- с.10-16.

29. Василевский, А.Б. Обучение решению задач: учебное пособие для вузов/ А.Б. Василевский. -Мн.: Выш. школа, 1979. -192 с.

30. Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ для 10 класса: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики/ Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. — М.: Просвещение, 1996. — 335 с.

31. Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучениемматематики/ Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. М.: Просвещение, 1996. - 288 с.

32. Виленкин, Н.Я. Математический анализ. Дифференциальное исчисление: учеб. пособие для студентов-заочников I курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ И.Я. Виленкин и др.. — М.: Просвещение, 1984. 175с.

33. Виленкин, Н.Я. Математический анализ. Введение в анализ: учеб. пособие для студентов-заочников I курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ Н.Я. Виленкин, А.Г. Мордкович. М.: Просвещение, 1983. — 192с.

34. Галицкий, M.JI. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: метод, рекомендации и дидакт. материалы: Пособие для учителя / M.JI. Галицкий, М.М. Мошкович, С.И. Шварцбурд. -М.: Просвещение, 1990. 352с.

35. Герлингер, В.А. Вопросы методики изучения неравенств в школьном курсе математики: дис. . канд. пед. наук/ Герлингер В. А. — М., 1981.- 147 с.

36. Гласс, Дж. Статистические методы в педагогике и психологии/ Дж. Глас, Дж. Стэнли. — М.: Прогресс, 1976. 496 с.

37. Горбачев, В.И. Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами/ В.И. Горбачев. — Брянск: Издательство БГПУ, 1998. 264с.

38. Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами/ П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир. М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003 — 336с.

39. Готовимся к единому государственному экзамену. Математика / JI.O. Денищева, Ю.А. Глазков и др..- М.: Дрофа, 2004 120с.

40. Гохадзе, М.Г. Методика обучения систематическому курсу неравенств в средней школе: автореферат дис. .канд. пед. наук/ Гохадзе М.Г. Тбилиси, 1975. - 34 с.

41. Графики функций: справочник / Н.А. Вирченко, И.И. Ляшко, К.И. Швецов. Киев: Наук, думка, 1979. — 320с.

42. Груденов, Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике/ Я.И. Груденов. М.: Педагогика, 1987. - 160 с.

43. Гурский, И.П. Функции и построение графиков: пособие для учителей/ И.П. Гурский. — М.: Учпедгиз, 1961. — 215с.

44. Гусев, В.А. Математика: учеб.- справ, пособие / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. М.: ООО "Издательство ACT"; ООО "Издательство Астрель", 2003 -671с.

45. Гусев, В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике/ В.А. Гусев М.: Вербум-М, 2003.- 432с.

46. Далингер, В.А. Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе алгебры: автореферат дис. . канд. пед. наук/ Далингер В. А. — М., 1981.-21 с.

47. Дворяников, С.В. О построении графиков сложных функций на основе свойства монотонности/ С.В. Дворяников //Математика в школе. -1988,-№4.- с. 50-53.

48. Денищева, Л.О. Проверка компетентности выпускников средней школы при оценке образовательных достижений по математике/ Л.О. Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.Краснянская// Математика в школе. — 2008. -№6.-с. 19-31.

49. Джиоев, Н.Д. Нахождение графическим способом числа решений уравнения с параметром/ Н.Д. Джиоев// Математика в школе.-1996. №2. -с. 54-57.

50. Джумабаев, У.Д. Методика преподавания уравнений, функций в средней школе: автореферат дис. .канд. пед. наук/ Джумабаев У. Д. — Алма-ата, 1967.- 19 с.

51. Дорофеев, Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы/ Г.В. Дорофеев// Математика в школе. -1983. №4, с. 36-40.

52. Дорофеев, Г.В. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики/ Г.В. Дорофеев// Математика в школе. 1980 -№5, с. 12-21.

53. Дорофеев, Г.В. Математика: пособие для поступающих в ВУЗы/ Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов М.: «Экзамен», 1999. - 256 с.

54. Дорофеев, С.Н. Теория и практика формирования творческой активности будущих учителей математики в педагогическом вузе: автореф. дис. .докт. пед. наук/ Дорофеев С.Н. М., 2000.- 44с.

55. Дробышева, И.В. Методическая подготовка будущего учителя математики к дифференцированному обучению учащихся средней школы: дис. .докт. пед. наук/ Дробышева И. В. М., 2001.- 431с.

56. Евсеева, А.И. Уравнения с параметрами/ А.И. Евсеева // Математика в школе, 2003.- №10.- с. 10-14.

57. Егерев, В.К. Методика построения графиков функций/ В.К. Егерев и др.. — М.: Высшая школа, 1967.

58. Единый государственный экзамен 2002: Контрольные измерительные материалы: Математика / Л.О. Денищева, Е.М. Бойченко, Ю.А. Глазков и др.. -М.: Просвещение, 2002. 127с.

59. Единый государственный экзамен. Математика: Варианты контрольных измерительных материалов / Л.О. Денищева, Е.М. Бойченко, Ю.А. Глазков и др.. — М.: Центр тестирования Минобразования России,2002. 79с.

60. Епифанова, Т.Н. Графические методы решения задач с параметрами/ Т.Н. Епифанова //Математика в школе.- 2003.- №7.- с. 17-20.

61. Епишева, О.Б. Учить школьников учиться математике. Формирование приемов учебной деятельности: кн. для учителей/ О.Б. Епишева, В.И. Крупич. -М.: Просвещение, 1990. 128 с.

62. Епишева, О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: кн. для учителя/ О.Б. Епишева. М.: Просвещение,2003.-223 с.

63. Ершов, А.П. Компьютеризация школы и математическое образование/ А.П. Ершов// Информатика и образование.-1992.-№5-6. с.3-13.

64. Ершов, Л.В. Построение графиков функций/ Л.В. Ершов, Р.Б. Райхмист- М.: Просвещение, 1984.

65. Жаворонков, А.И. Изучение элементарных алгебраических функций в средней школе: автореферат дис. . .канд. пед. наук/ Жаворонков А. И. М., 1955.- 16 с.

66. Занков, JI.B. Избранные педагогические труды. / Занков JI.B. -М.: Новая школа, 1996. 432с.

67. Зильберберг, Н.И. Алгебра и начала анализа. Для углубленного изучения математики в 10 классе/ Н.И. Зильберберг.- Псков, 1994. 157 с.

68. Зильберберг, Н.И. Методы решения тригонометрических уравнений: метод, рекомендации/ Н.И. Зильберберг. Псков,1994. - 50 с.

69. Зильберберг, Н.И. Методы решения уравнений: метод, рекомендации для учителей и учащихся/ Н.И. Зильберберг. Псков, 1995. — 47 с.

70. Иванова, Т.А. О целях современного урока математики/ Т.А. Иванова. // Сборник трудов II Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура».- Тольятти: ТГУ, 2005. — с. 125-130.

71. Ильин, В.А. Основы математического анализа: в 2ч. Ч. 1. учебник для студентов физ. спец. и спец. «Прикладная математика» / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. 6-е изд.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 647 с.

72. Ильина, Н.А. Взаимосвязь изучения тождественных преобразований, функций и уравнений в курсе алгебры 8-ей школы: дис. . .канд. пед. наук/ Ильина Н. А. М. - 1989. - 204 с.

73. Иржавцева, В.П. Систематизация и обобщение знаний учащихся в процессе изучения математики: пособие для учителя/ В.П. Иржавцева, Л.Я. Федченко; под ред. H.JI. Коломинского. К.: Рад. шк., 1989. — 208 с.

74. Исаева, З.И. Деятельностный подход в процессе изучения уравнений в основной школе: дис. .канд. пед. наук/ Исаева 3. И. — М., 2001 159 с.

75. Кабанова-Меллер, Е.Н. Учебная деятельность и развивающее обучение/ Е.Н. Кабанова-Меллер М.: Знание, 1981.- 96с.

76. Капкаева, JI.C. Интеграция алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании: Монография/ Мордов. гос. пед. ин-т. Саранск, 2004. - 287 с.

77. Кожухов, С.К. Различные способы решения задач с параметрами/ С.К. Кожухов// Математика в школе.- 1998.- №6. с. 9-12.

78. Кожухова, С.А. Свойства функций в задачах с параметрами/ С.А. Кожухова, С.К. Кожухов// Математика в школе.- 2003.- №7.- с. 14-17.

79. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике: в 2 ч. 4.1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся/ Ю.М. Колягин. -М.: Просвещение, 1977. 156 с.

80. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике: в 2 ч. 4.2. Обучение математике через задачи и обучение решению задач/ Ю.М. Колягин. — М.: Просвещение, 1977. 144 с.

81. Крупич, В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач/ В.И. Крупич. М.: Прометей, 1995. - 175 с.

82. Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников/ В.А. Крутецкий,- М.: Просвещение, 1968.- 268с.

83. Крюкова, B.JI. Интеграция алгебраических и геометрических методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики: дис. . канд. пед. наук/ Крюкова В. JI. — Орел, 2005. -217 с.

84. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики/ под редакцией Е.И.Лященко.- М.: Просвещение, 1988.-223с.

85. Лапчик, М.П. О целях информатического образования учащихся/ М.П. Лапчик//Информатика и образование.- 2008.-№3.-с. 2-6.

86. Леонова, Т.Г. Использование мультимедийных презентаций на уроках математики/ Т.Г. Леонова// Образование в современной школе.-2007. -№12.-с. 26-34.

87. Лернер, И.Я. Процесс обучения и его закономерности/ И.Я. Лернер. М.: Знание, 1980.-96с.

88. Литвиненко, В.Н. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: учебное пособие для студентов физико — математических специальностей педагогических институтов и учителей/ В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. — М.: Просвещение, 1991. 352 с.

89. Локоть, В.В. Задачи с параметрами. Применение свойств функций, преобразование неравенств/ В.В. Локоть. М.: АРКТИ, 2007. - 64 с. (Абитуриент: Готовимся к ЕГЭ).

90. Луканкин, Г.Л. Научно-методические основы профессиональной подготовки учителя математики в педагогическом институте ЛГПИ им.Герцена: дис. . докт. пед. наук/ Луканкин Г.Л. С-Петербург, 1991.-358с.

91. Лукинова, А.Е. Система дистанционного обучения геометрии студентов колледжей вузов в условиях Крайнего Севера (на примере Якутского госуниверситета): автореф. дис. .канд. пед. наук/ Лукинова А.Е. -Новосибирск, 2002.- 19с.

92. ЮО.Лященко, Е.И. Содержание и система упражнений, раскрывающих идею функции в курсе алгебры восьмилетней школы: автореферат дис. . .канд. пед. наук/ Лященко Е.И. Л., 1967. - 20 с.

93. Майер, Р.А. Система задач с функциональным содержанием в курсе алгебры восьмилетней школы: автореферат дис. .канд. пед. наук/ Майер Р. А. М.,1972-19с.

94. Макарычев, Ю.Н. Система изучения элементарных функций в старших классах, содействующая овладению алгебраическими знаниями: автореферат дис. . канд. пед. наук/ Макарычев Ю. Н. М., 1989. — 15 с.

95. Макарычев Ю.Н. Изучение алгебры в 7-9 классах: пособие для учителей/ Ю.Н. Макарыче в, Н.Г. Миндюк, С.Б. Суворова, И.С. Шлыкова. — М.: Просвещение, 2009. 304 с.

96. Махкамов, М. Формирование обобщенных приемов решения уравнений и неравенств в курсе алгебры неполной средней школы: дис. . .канд. пед. наук/ Махкамов М. — Душанбе, 1993 148 с.

97. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. 2-е изд. - М. : Просвещение, 1980.-368 с.

98. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: учебное пособие для студентов пед. институтов по физ.- мат. спец. / А .Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; сост. В.И. Мишин. М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

99. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики: Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин и др.. М.: Просвещение, 1977. - 480 с.

100. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: Пособие для вузов/ под научной редакцией Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. М.: Дрофа, 2005. - 416 с.

101. Мещерякова, Г.П. Функционально-графический метод решения задач с параметрами/ Г.П. Мещерякова// Математика в школе.- 1996.- №6.- с. 69-71.

102. Мещерякова, С.И. Нестандартные методы решения уравнений и других задач в углубленном курсе математики: дис. . канд. пед. наук/ Мещерякова С. И. - Саранск, 1997. - 182 с.

103. Ш.Моденов, В.П. Грани математики: координатно-параметрический метод/ В.П. Моденов М.: Издательский отдел УНЦ ДО МГУ, 1999. - 104с.

104. Моралишвили, Т.Д. Обучение поиску решения задач по алгебре и началам анализа в старших классах средней школы: дис. .канд. пед. наук/ Моралишвили Т. Д. Кутаиси, 1987. - 240 с.

105. Мордкович, А.Г. Алгебра. 7-9 кл.: Методическое пособие для учителя/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2004. - 144с.

106. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Методическое пособие для учителя/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2003.- 143с.

107. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. 4.1: учеб. для общеобразоват. учреждений/ А.Г. Мордкович М.: Мнемозина, 2003. - 375с.

108. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. 4.2: задачник для общеобразоват. учреждений/ А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская; под ред. А.Г. Мордковича М.: Мнемозина, 2004. — 315с.

109. Мордкович, А.Г. Решаем уравнения/ А.Г. Мордкович. М.: Школа -Пресс, 1995.-80 с.

110. Мордкович, А.Г. Профессионально педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: дис. . докт. пед. наук/ Мордкович Александр Григорьевич. М., 1986. -256с.

111. Монахов, В.М. Обеспечить компьютерную грамотность школьников/ В.М. Монахов, А.А. Кузнецов, С.И. Шварцбурд// Советская педагогика. 1985. - №1. - с. 21-28.

112. Монахов, В.М. Что такое новая информационная технология обучения/ В.М. Монахов// Математика в школе. 1990.-№2.- с.47-52.

113. Мышкис, А.Д. О формировании культуры построения и применения графиков функций/ А.Д. Мышкис, П.Г. Сатьянов// Математика в школе. -1985. №4, с. 44-48.

114. Назаренко, A.M. Тысяча и один пример. Равенства и неравенства. Пособие для абитуриентов/ A.M. Назаренко, Л.Д Назаренко. Сумы: Изд-во "Слобожанщина",1994.

115. Новик, И.А. Практикум по методике преподавания математики: Учебное пособие для физ-мат. факультетов пед. институтов/И.А. Новик. -Минск: Вышэйна школа, 1984.- 175с.

116. Островерхая, Л.Д. Применение теоремы Лагранжа и ее следствий при решении задач/Л.Д. Островерхая// Математика в школе. -2001.-№9.- с. 49-53.

117. Перевощикова, Е.Н. Взаимосвязь обучения алгебры и геометрии в процессе решения задач в 6-8 кл.: дис. . канд. пед. наук/ Перевощикова Е. Н.-М., 1979.-156 с.

118. Познавательные процессы и способности в обучении: учебное пособие для студентов пед.инс-тов/ В.Д. Шадриков и др./ под ред. В.Д. Шадрикова. М. Просвещение, 1990. - 142 с.

119. Пойя, Д. Математическое открытие/ Пойя Д.- М.: Наука, 1970. -452с.

120. Пойя, Д. Как решать задачу/ Пойя Д.- М.: Учпедгиз, 1961.-207с.

121. Полякова, Н.В. ADVACED GRAPHER решает уравнения/ Н.В. Полякова// Математика в школе. -2004. №7.- с. 48-50.

122. Попова, Е.К. Взаимосвязь функциональной и алгоритмической линий школьного курса алгебры: дис. . канд. пед. наук/ Попова Е. К. М. , 1990.- 185 с.

123. Потапов, М.К. О решении уравнений вида /(«(*)) = /(/?(х))/ М.К. Потапов, А.В. Шевкин// Математика в школе. 2003. - №8. - с. 40-43.

124. Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра. 7-9 классы. Составитель: Т.А. Бурмистрова. — М. «Просвещение», 2008. — 256 с.

125. Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. Составитель: Т.А. Бурмистрова. -М. «Просвещение», 2009.- 160 с.

126. Потапов, М.К. О решении уравнений вида <р(<р(х)) = х/ М.К. Потапов, А.В. Шевкин// Математика в школе. 2003. - №5. - с. 6-9.

127. Размас, Р.А. О связи исследования функций с решением уравнений и неравенств/ Р.А. Размас// Математика в школе.- 1979.- №4.- с. 40-41.

128. Райхмист, Р.Б. Графики функций: задачи и упражнения/ Р.Б. Райхмист. М.: Школа - Пресс,1997. -384с.

129. Ратников, Н.П. От уравнения с параметром к графику, задающему параметр/ Н.П. Ратников// Математика в школе. — 1990 - №3.- с. 80-82.

130. Резник, Н.А. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием средств развития визуального мышления: дис. . докт. пед. наук/ Резник Н.А. СПб, 1997. — 350 с.

131. Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии/ С.Л. Рубинштейн — М.: Учпедгиз, 1946 704 с.

132. Рыбакова, Р.А. Изучение алгебраических уравнений и неравенств в курсе 8-ей школы: автореферат дис. . канд. пед. наук/ Рыбакова Раиса Андреевна. М., 1974. - 24 с.

133. Садыкова, Л.К. Свойства функций при решении нестандартных уравнений и неравенств: методическая разработка по курсам элементарной математики и методики преподавания математики/ Л.К. Садыкова, Н.С. Новичкова. Самара: Изд-во СГПУ, 2005. - 90 с.

134. Садыкова, JI.K. Функции и построение графиков: методическая разработка по курсам элементарной математики и методики -преподавания математики/ JI.K. Садыкова, Н.С. Новичкова. — Самара: Изд-во СГПУ, 2005. -72 с.

135. Садыкова, JI.K. Взаимосвязь аналитического и графического способов при решении уравнений и неравенств с параметрами/ JI.K. Садыкова, Н.С. Новичкова. // Вестник СГПУ: Институт математики, физики и информатики. — Самара: Изд-во СГПУ, 2006. с.76-79.

136. Садыкова, JI.K. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств/ JI.K. Садыкова. // Научные доклады межвузовской 58-ой научной конференции СГПУ. Самара: СГПУ, 2004. - с. 78-80.

137. Садыкова, JI.K. Об индивидуализации в процессе обучения построению графиков функций/ JI.K. Садыкова. // Сборник трудов II Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура».- Тольятти: ТГУ, 2005. с. 69-75.

138. Садыкова, JI.K. Применение свойств функций при решении уравнений/ JI.K. Садыкова. // Научные доклады межвузовской 58-ой научной конференции СГПУ. Самара: СГПУ, 2005. - с. 251-254.

139. Садыкова, JI.K. Применение функционального подхода при решении уравнений и неравенств с параметрами/ JI.K. Садыкова. // Сборник научных трудов Всероссийской научно-практической конференции. — Биробиджан: Изд-во ДВГСГА, 2006. с. 61-65.

140. Садыкова, JI.K. Спецкурс как средство подготовки будущих учителей математики к работе в профильных класса/ JI.K. Садыкова.// Материалы XXV семинара преподавателей математики университетов и педвузов Киров, Москва: ВятГГУ, МГПУ, 2006. - с. 145-146.

141. Садыкова, Л.К. Способы построения графиков сложных функций /Л.К. Садыкова. // Научные доклады межвузовской 59-ой научной конференции СГПУ. Самара: СГПУ, 2005. - с. 107-113.

142. Садыкова, Л.К. Об элективных курсах в профильном обучении Текст./ Л.К. Садыкова.// Вестник СГПУ: Институт математики, физики и информатики. Профессору Л.И. Кошкину посвящается.- Самара: Изд-во СГПУ, 2008. с. 91-93.

143. Саранцев, Г.И. О методике решения планиметрических задач// Преподавание геометрии в 6-8 классах. — М.: Просвещение, 1979. — с. 84-125.

144. Саранцев, Г.И. Упражнения в обучении математике/ Г.И. Саранцев. 2-е изд., дораб. -М.: Просвещение, 2005. - 255 с.

145. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в срёдней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов/ Г.И. Саранцев. -М.: Просвещение, 2002. 224 с.

146. Саранцев, Г.И. Методология методики обучения математики/ Г.И. Саранцев. Саранск, 2001. - 144 с.

147. Саранцев, Г.И. Информационное обеспечение методической подготовки студентов педвуза/ Г.И. Саранцев// Педагогика. — 2008. №4. -с. 64-72.

148. Саранцев, Г.И. Методическая подготовка учителя в педвузе/ Г.И. Саранцев// Педагогика. 2006. - №7.- с. 61-68.

149. Саранцев, Г.И. Укрупнение дидактических единиц: состояние и проблемы/ Г.И. Саранцев, Миганова Е.Ю. // Педагогика.- 2002. №3. -с. 30-35.

150. Сборник нормативных документов. Математика/ Сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев. М.: Дрофа, 2004. - 79 с.

151. Севрюков, П.Ф. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика их решения: учебное пособие/ П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. — М.: Народное образование, Илекса; Ставрополь: Ставропольсервисшкола, 2004. 128с.

152. Семенов, В.Е. О решении некоторых тригонометрических уравнений/ В.Е. Семенов// Математика в школе. -1969. №2. - с. 46-47.

153. Сивашинский, И.Х. Элементарные функции и графики/ И.Х. Сивашинский. -М. Наука, 1968.

154. Слепкань, З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике: методическое пособие/ З.И. Слепкань. — Киев: Рад. школа, 1983. 192 с.

155. Сорокин, Г.А. Выпуклые функции и неравенства/ Г.А. Сорокин// Математика в школе. -1994 . №5. - с. 55-59.

156. Сохор, А.Н. Логическая структура учебного материала: Вопросы дидактического анализа/ А.Н. Сохор. — М.: Педагогика, 1974. — 192 с.

157. Степуро, И.М. Взаимная связь в процессе изучения понятий алгебраического функционального неравенства действительного переменного: автореферат дис. . канд. пед. наук/ Степуро И. М. — Гродно, 1970.-21 с.

158. Столяр, А.А. Педагогика математики/ А.А.Столяр. Минск: Высшая школа, 1986. - 413 с.

159. Страбыкина, JI.A. Формирование геометрических понятий в средней школе с использованием компьютера: автореферат дис. . канд. пед. наук/ Страбыкина JI.A. Киров, 2003. - 19 с.

160. Стратегия модернизации содержания общего образования //Материалы для разработки документов по обновлению общего образования М., 2001.

161. Талызина, Н.Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся/ Н.Ф. Талызина. — М.: Знание, 1983. — (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Педагогика и психология», №3).

162. Теляковский, С.А. О понятии функции в курсе математики/ С.А. Теляковский// Математика в школе. 1989. - №4. - с. 90-91.

163. Теоретические основы содержания общего среднего образования/ Под ред. В.В. Краевского, И .Я. Лернера. — М.: Педагогика, 1987. 352 с.

164. Тихонова, Л.В. Методические особенности формирования функционально-графической линии курса алгебры в условиях личностно-ориентированного обучения: дис. . канд. пед. наук/ Тихонова Л. В.Чебоксары, 2002. 208 с.

165. Токарева, Л.И. Методика изучения неравенств как средство исследования свойств функции в курсе математики восьмилетней школы: дис. . канд. пед. наук/ Токарева Л. И. — Л., 1984. — 272 с.

166. Толпекина, Н.В. Методика организации учебных исследований при обучении учащихся решению уравнений, неравенств и их систем с параметрами: дис. . канд. пед. наук/ Толпекина Н.В. — Омск, 2002. 185 с.

167. Тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену по математике / Сост. С.Н. Богданов, Е.А. Богданова, Г.А. Клековкин, Ю.Н. Неценко, Т.П. Шаповалова. — Самара: СИПКРО, 2004. 83с.

168. Уман, А.И. Учебные задания и процесс обучения/ А.И. Уман. М.: Педагогика, 1989. - 54 с.

169. Ундуск, А.А. Формирование понятия функции и установление связей с некоторыми другими понятиями курса математики средней школы, автореферат дис. .канд. пед. наук/ Ундуск А.А. Ленинград, 1971-21с.

170. Ульянова, И.В. Обучение школьников методам решения геометрических задач в контексте укрупнения дидактических единиц: автореф. дис. . .канд. пед. наук/ Ульянова И. В. Саранск, 2002.- 18с. ,

171. Утеева, Р.А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе: монография/ Р.А. Утеева. — М.: Прометей. — 1997. — 230 с.

172. Учебно тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика / Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков и др..- М.: Интеллект - Центр, 2004. — 176с.

173. Философский словарь/под ред. И.Д. Фролова. — М.: Политиздат, 1991 -560 с.

174. Формирование приёмов математического мышления/ под ред. Н.Ф. Талызиной М.: ТОО «Вента-Граф», 1995.-232с.

175. Фридман, JT.M. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: учителю математики о психологии/ JI.M. Фридман. М.: Просвещение, 1983. -160 с.

176. Фролова, И.П. Методика изучения приложений неравенств в курсе математики средней школы: автореферат дис. .канд. пед. наук/ Фролова И. П.-М., 1982.- 16 с.

177. Хабибуллин, К.Я. Графический метод решения заданий с параметрами/ К.Я. Хабибуллин// Образование в современной школе. 2003. -№3. - с. 27-29.

178. Хабибуллин, К.Я. Задания с параметрами/ К.Я. Хабибуллин// Образование в современной школе. — 2004. №6. - с. 21-25.

179. Чаплыгин, В.Ф. Анализ и задачи с параметрами/ В.Ф. Чаплыгин// Математика в школе. 1999. - №6. - с. 72-74.

180. Черкасов, В.А. Дидактические основы построения системы упражнений/ В.А. Черкасов. — Челябинск, 1978. 91 с.

181. Чирский, В.Г. Уравнения элементарной математики. Методы решения/ В.Г. Чирский, В.Г. Шавгулидзе. М.: Наука, 1992. - 176 с.

182. Чучаев, И.И. Выпуклые функции и уравнения/ И.И. Чучаев, Т.В. Денисова// Математика в школе. 2005. - №5. - с. 41-47.

183. Чучаев, И.И. Уравнения вида /(g(x)) = /(h(x)) и нестандартные методы решения/ И.И. Чучаев, С.И. Мещерякова// Математика в школе. -1995.-№3.-с. 48-54.

184. Чучаев, И.И. А какие уравнения мы решаем? / И.И. Чучаев// Математика в школе. 2007. - №10. - с. 27-31.

185. Чучаев, И.И. Нестандартные (функциональные) приемы решения уравнений: учебное пособие/ И.И. Чучаев. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2001.- 168с.

186. Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: учебное пособие для 10 класса средней школы/ И.Ф. Шарыгин. — М.: Просвещение, 1989. 252 с.

187. Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: учебное пособие для 11 класса средней школы/ И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. -М.: Просвещение, 1991. -384 с.

188. Шахмейстер, А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами/ А.Х. Шахмейстер. СПб.: «Петроглиф», 2006. - 304 с.

189. Шестаков, С.А. Уравнения с параметрами/ С.А. Шестаков, Е.В. Юрченко. -М.: Слог, 1993.

190. Шунда, Н.Н. Дополнительные упражнения на исследование функций/ Н.Н. Шунда// Математика в школе. 1981. - №3. - с. 62-64.:

191. Шунда, Н.Н. Об использовании свойств функции при решении уравнений и неравенств/ Н.Н. Шунда// Математика в школе. — 1970. №3. -с. 61-64.

192. Шунда, Н.Н. Функция как основа современного преподавания математики в школе (на основе тождественных преобразований, уравнений иIнеравенств действительного переменного): автореферат дис. . канд. пед. наук/ Шунда Н.Н. Киев, 1969. -31с.

193. Эрдниев, О. Технология УДЕ в VTI-VIII классах/ О. Эрдниев, П. Эрдниев// Математика в школе. 1996. - №6. - с. 65-67.

194. Эрдниев, П.М. Преподавание математики в школе. (Из опыта обучения методом укрупненных упражнений)/ П.М. Эрдниев. М.: Просвещение, 1978. - 304 с.

195. Эрдниев, П.М. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике: кн. для учителя/ П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев. М.: Просвещение, 1986. -255 с.

196. Эрдниев, П.М. Методика упражнений по математике/ П.М. Эрдниев -М.: Просвещение, 1977. -317 с.

197. Эрдниев, П.М. Обучение математике в школе/ Укрупнение дидактических единиц: книга для учителя/ П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев. — М.: АО «Столетие», 1996. 320 с.

198. Эфендиев, У.Г. Функционально-операционные основы изучения уравнений и неравенств в неполной средней школе: автореферат дис. . канд. пед. наук/ Эфендиев У.Г. Баку, 1987. — 16 с.

199. Якиманская, И.С. Психологические основы математического образования: учеб. пособие для студ. пед. вузов/ И.С. Якиманская. — М.: Издательский центр «Академия», 2004. — 320 с.

200. Ястребинецкий, Г.А. Задачи с параметрами: кн. для учителя/ Г.А. Ястребинецкий. -М.: Просвещение, 1986. 128с.

201. Ястребинецкий, Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры: пособие для учителей/ Г.А. Ястребинецкий. — М.: Просвещение, 1972,- 128с.