автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Формирование прогностического умения учащихся при изучении алгебры и начал анализа в средней школе

Автореферат диссертации по теме "Формирование прогностического умения учащихся при изучении алгебры и начал анализа в средней школе"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 5ШСШ1СКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ педагогический университет ИМЕНИ А. И. ГЕРЦЕНА

Р Г Б ОД-

_ 1;

СЕН ]ППЛ На правах рукописи

' АРТЕШВА Марина Алексеевна

НОРМИРОВАНИЕ ПРОГНОСТИЧЕСЙОГО И1ЕНИЯ УЧАЦЖСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИЙ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА В СРЕДНЕЙ П1ШДЕ •

iL3.DQ.02 - методика преподавания математики

Авторефер ат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук -

Санкт-Петербург

1994

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена

Научный руководитель - кандидат педагогических нарт»

доцент Т.ф. Кириченко

Официальные оппоненты - доктор психологических наук,

профессор Л.А. Регуш,

кандидат педагогических наук, доцент Б. ГЛ. Хуркина

ведущая организация -

Мордовский государственный педагогический институт имени М.К ¿¿всевьева

Защита состоится 1994 года в /6

часов на заседании Специализированной Совета К 113.05.14 по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата наук при Российском государственном педагогическом университете имени А.И. Герцена /1УП86, Санкт-Петербург, наб.р. Мойки, 48, корпус 1, ауд. 20а/.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета.

• Автореферат разослан

" /Г"

1994 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета

И.Б. Готская

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Повышение качества подготовка учащихся ло математике невозможно без Армирования у них полноценных математических умений. Среди последних особенно важное значение имеют интеллектуальные умения, т.е. умения выполнять умственные действия в связи с конкретным содержанием обучения. Однако формирование таких умений остается недостаточно изученным.

В настоящей работе рассматриваются интеллектуальные .умения, необходимые учащимся яри нахождении способов решения нестандартных- математических задач. Проблеме обучения школьников умениям решать такие задачи посвящено немало работ, исследуицих ее в различных аспектах /Ю.М. Колягин, М.И. Башмаков, Г.И. Саранцев,. Д.М. Эрдниев, J1.JL Херова, С.И. Туманов, Ji.M. Фридман, А.Ф. Эсаулов, д. йэйа и др./. Но она не .изучалась в аспекте прогностической деятельности учащихся;, открывающиеся здесь во зноя- . ности для совершенствования пропесса обучения оставались не выявленными, Наша работа в общем плане направлена на восполнение этого пробела.

Математическая задача сча*ается решенной полностью только з связи с- данным условием. В нем потенциально залояены такие ориентир» и отношения между шили, соотнесение которых с целью деятельности позволяет учащимся спрогнозировать способ ее достияе-ния, т.е. они выполняют прогностическую функцию* Умение учащихся осуществлять прогнозирование на этапе поиска способа решения нестандартной математической задача мы называем прогностическим умением. Это умение имеет существенное значение в составе общего умения учащихся решать математические задача: при его отсутствии они нередко выполняют необходимые действия наугад или только на ближайший шаг, ориентируясь при этом лишь на внешние особенности математического объекта, заданного в условии задачи.

Проблеме прогнозирования, в том числе в обучении, в последнее время в'психолого-педагогической литературе уделяется значительное шикание /A.B. Брушлинский, Л.А. Регуш, Т. S. Кириченко, *С.С. Корниенков и др./. Однако прогностическое умение учащихся в обучении математике не выделялось для специального изучения, методика его формирования оставалась неразработанной; в условиях школьного обучения оно целенаправленно не сЬормируется.

Указанное умение в настоящем исследовании изучено применительно к классу задач ва доказательство в курсе алгебры в начал анализа, которые объединяются не только общим заданием "доказать", но и видом прогнозирования, используемым в процессе решения, - нормативным прогнозированием, когда дается начальное и конечное состояние математического объекта и требуется спрогнозировать процесс преобразования этого объекта из первого состояния во второе.

Основные вопросы, связанные с формированием прогностического умения, первоначально изучались на материале тригонометрических тождестве полученные выводы затем на основе дополнительного исследования были распространены на другие разделы алгебры и начал анализа. Это"обменяется тем, что, во-первых, прогностическую функцию сложных тригонометрических выражений усматривать значительно труднее, чем, например, при выполнении действий с арифметическими или алгебраическими объектами, так как в триго-ноызтрических выражениях она существенно замаскирована обилием используемой символики; во-вторых, данные публикаций и наш наблюдения свидетельствуют о неблагополучии в формировании математических умений учащихся при изучении преобразований тригонометрических объектов, в-третьих, в выделенном разделе курса алгебры а начал анализа преобладают нестандартные математические задачи: доказательство почти каждого тригонометрического тождества, как правило, отличается от доказательства тех, которые рассматривались ранее. В этих условиях существенно повышается роль прогностического умения. Кроме того, прогнозирование способа предстоящей деятельности требует актуализации рааличйнх действий и операций. В курсе алгебры и начал анализа выделенный раздел представляет собой своеобразный узел, где особенно необходимо их проявление, и поэтому он является благоприятным для изучения рассматриваемого умения. • "

Проблема исследования состоит в отыскании путей и средств обучения школьников .самостоятельному построению прогноза на этапе поиска ими способа решения нестандартных математических задач. Цель Исследования: разработать методику обучения, которая наряду с усвоением учащимися необходимых теоретических 'знаний и математических умений,''предусмотренных учебной программой по алгебре к началам анализа, обеспечила бы с$ормирован-кость у ндх обобщенного прогностического умения.

Умения учащихся формируются в процессе обучения. Поэтому объектом исследования является процесс формирования у школьников интеллектуальных математических умений» а предметом- прогностическое умение учащихся и методика его формирования.

Разработка такой методики ведется в концепции единства со-, держательного и процессуального. В ней формирование математических умений осуществляется на основе взаимосвязи я взаимозависимости математического содержания и процесса овладения учащимися таким содержанием, т.е. вдут не только от содержания, но и от ученика. Это отражает интегративную сущность процесса обучения математике /Ь'.И. .Дященко, Н.Л. Сгефанова и др./. Так ка^"^иения учащихся формируются и проявляются в их деятельности, то мы опираемся такке и на концепцию учебной деятельности. / В.Б. Давыдов, А.К. Маркова и др./. Эти две концепции дополняют друг друга и являются общими теоретическими предпосылками исследования по рассматриваемой проблеме.

Ь соответствии с этими концепциями рассматриваются теоретические положения методики формирования прогностического умения-учащихся,- строящейся как ыетодика обучения умению решать а р о ~ гностические задачи.- Это -г задачи, целью которых является построение прогноза /гипотезы/ о способе доказательства тригонометрических тождеств; они выступают средством формирования у учащихся прогностического умения. При этом мы исходил а:: г и п о т е за: осла выяеить операционный состав и механизм построения прогноза, то это дозволит установить нсходнне положения методики формирования у учащихся прогностическою умения, а ее использование в практике обучения будет содействовать совершенствованию такого умения, поскольку она отражает объективные особенности процесса формирования математияеских умений школьников.

Для проверки гипотезы потребовалась решить следующие задачи:

, I/ изучить состояние вопроса о формировании прогностического умения учащихся, имея в виду публикации и школьную практику;

2/'выявить теоретические предпосылки, составляющие основу методики формирования рассматриваемого умения;

3/ на основе установленных теоретических положений разработать методику формирования у учащихся прогностического уг/ен!^ при решении задач на доказательство в курсе алгебры и качал ннл-4 ли за средней школы;

4/ экспериментально проверить эффективность такай методики к дать конкретные рекомендации практике обучения.

Методика исследования включала в себя теоретический анализ процессов доказательства тригонометрических тождеств, выполненных квалифицированными специалистами, анализ.состава умения выявлять и использовать прогностические особеннооти таких тождеств, организацию специальных наблюдений и экспериментов, обобщение личного опыта работы.

Новизна работы состоит в том, что в- ней впервые выделено и изучено прогностическое умение учащихся, проявдяшееся на этапе поиска способа доказательства тригонометрических тождеств; выявлен его операционный состав; доказано, что прогностические задачи могут быть средством его формирования; разработала спеиа.-альная система упражнений для йорашрования прогностического уме— ник и методика ее использования в обучении; обоснована общность исходных положений методики формирования прогностического умения у1шщихся- при изучении кш различных разделов курса алгебры и начал анализа.

. Б теоретическом плане полученное результаты пополняют кетоди-ку обучения математике новым содержанием, связанным с Форлирова-ниеы у учащихся интеллектуальных математических умений, в практическом - вооружают учителя методикой формирования у учашкхся одного из видов таких умении - прогностического умения. Полученные результаты могут быть использованы при составлении пособий для учителя и учащихся.

Надежность результатов проведенного исследования подтверждается совпадением выводов теоретического анализа и'многократно проведенных экспериментов с участием учителей матеыахаш различных средних школ.

А п р о б -.а ц и я и внедрение в практику осуществлялась путем использования разработанной методики обучения учителями,учас вовйвшими в проведении эксперимента, личном опыте работы с учащимися, публикации материалов исследования до .названной выше про блеые, «дюгократных выступлений'на различных семинарах и конференциях , в том числе республиканской конференции педагогического общества РСФСР /Пенза, 1990/,Герценовских чтениях /С.-Петербург, 1993, 1994/.

На защиту выносятся теоретические положения, лежащие в основе формирования прогностического умения учащихся, и разра ботанная методика формирования такого умения.

диссертация состоит из введения, трех глаз, заключения, приложения и библиографии.

ОСНОВНОЕ СОДЕИАНИЕ ИССДЩЭВАНЖ

Во введении обоснована актуальность и концепция исследования, сформулированы проблема, цель, предмет,.гипотеза и'конкретные задачи исследования.

В первой главе рассматриваются теоретические предпосылки (формирования прогностического угления учащихся.

В психолого-педагогичзской литературе прогнозирование рассматривается разнопланово /A.B. Ерушлинский, Л.А. Регуш, Б.Ф. Ко--'iy'^fl Ii Äp*/t Ее анализ применительно к нашему исследовании позволил вйд&гШ'ь слздущле положения, являющиеся исходными в методике фондирования прогностического умения: во-первнх, прогнозирование и деятельность осуществляются в единстве. Поэтому тогои-рованче прогностического .умения учащихся возможно лиаь через специальную организацию их деятельности з обучении; во-вторих, успешность прогнозирования проявляется при реконструкции и преобразовании объектов, относительно которых что-то прогнозируется. Значит, необходимо ставить учащихся., з такие условия, в которых они рзконструироваmi бы данные объекты, на осноев анализа ?пс • особенностей выдвигали бы гипотеза о достижении цели деятельности с ними и проверяли бы свои гипотезы; в-третьих, прогностическая деятельность включает'в "себя решение прогностических: задач. Следовательно, такие задачи необходимо выделить для специального изучения и разработать методику формирования у учащихся умения решать ТЕЁК-iis задачи.

В ripSö'öcc доказательства тригонометрических тождеств входят опорзйхйй разных родов: одни из них группируются вокруг вопроса: что надо сделать, чтобы доказать данное тождество? Их выполнение приводит к построению необходимой' ориентировочной основы деятельности, ими осуществляется прогнозирование. Это -ориентирующие операции. Другие группируются вокруг вопроса: к а к конкретно это сделать в заданных условиях? Это - исполнительные операции. Ориентирующие операции обычно только называются /вслух или про себя, иногда они лишь подразумеваются, т.е. имеются в виду, но не высказываются/. Те и другие операции выполняются на одном и том не учебном материале. При этом реша-щее значение имеют операции первого рода. Построение гипотезы

о способе доказательства данного тригонометрического тождества на основе выполнения орентирунцих операций и есть проявление прогностического умения учащихся.

Ь используемой в настоящее время методике обучещя доказательству тригонометрических тождеств шщеиу на показ учащиеся исполнительных операций, ориентирующие ояерадки остаются • "за кадром" ,но при построении методики обучения "от ученика" они имеют приоритетное значение, так как от их выполнения 'загасит успех в поиске способа доказательства данного тождества. Учебная задача состоит в тем, чтобы сформировать у учащихся обобщенные ориеыгирупцва операции, входящие в ростов прогнос?тн^ес«* кого умения.

Ь ойцэм плане з составе прогностической деятельности выделяют четыре блока операции /Л.А. Регус, Б.Ф, Кочуров а др,/'- полу-чешш опережакадей информации о данном ебье^те, что делается путем "нечерпанкя" заложенной в нем информации » соотнесении с ш® щилшея у ученика знаниями; выбор основания прогнозирования, т.е тамгх знаний,"на базе которых моает быть разверяуга цепочке операций, необходимых для доказательства тождества; построение гшо тезы, т.е. предположительного сувдгния о наборе предстоящих ист нительных опереций и последовательности их ьыпешшкда душ достижения цели деятельности; планирование способа деятельности по ре шению данной математической задачи.

Названные олоки операций взаимозависимы, взаимосвязаны, пере ко проявляется в единства. Поэтому прогнозирование можно рассмат тривать г.ак прием учебной деятельности учащихся, реализуемый на отапе поиска доказательства тригонометрического тождества. Этот прием входит в состав других приемов, рекомендуемых в литературе для доказательства тождеств: преобразование одной части тождества к виду другой, доказательство "от начала и конца" и др. /С,И Новоселов, П.С. Шэденов и др./. Такие приемы определяют лишь ой схему деятельности, которую в каждом случае доказательства тождества необходимо заполнить конкретным содержанием, что неизоек но требует прогнозирования.

Прогностическое умение обладает тзееми качествами, характера зуядими-математические умения, но имеет и дополнительнее счет» фические качества: целостность построения гипотезы /проявляете; в построении полной системы исполнительных операции и установл( нии последовательности кк выполнения применительно к конкретны;

уйЛОГЯймД мубйна йкденая прогностических особенностей данного <5б&ек?а /СМ^ана ß ведением и таких особенностей, которые внещ-йв йв ofранены, но присутствуют в данном объекте/; вариативность гипотез. Это качество выражается в уменш строить альтернативные гипотезы, перестраивать.выдвинутую гипотезу в ходе ее реализации. Перечисленные качества Енступают основными критериями сформированное та црогностического умения учащихся. В общем плане они отмечались в лсихолого-дкдактяческои литературе /H.H. Лобанова, Р.И.' Суннатова и др./, в нашей работе они используются применительно к задачам исследования.

для построения методики формирования прогностического умения ьакно вскрыть механизм построения прогноза. Это сделано нами путем анализа процессов доказательства тригонометрических тождеств, выполненных КБалифапироваюшмп специалистами- математиками-/A.C. Моденов, К.У. Шахно и до./. Анализ строился "от конца к началу", от результата к причинам, его пороздашим /П.А.- Неварев и др./, и показал, что орзентирукшиэ операции выполняются на смысловых единицах / С£ / данного тождества. *Шким термином мы обозначаем любой признак /ш сочетание признаков/, отраженный явно или неявно в заданной математическом объекте, а также любое суждение о нем, имеющие содержательно математический смысл. СЁ могут существовать отдельно, ше данного объекта, не теряя при экгг своего содержательного с:.щсла, илз же только в составе некоторого гатематаческого объекта. СЕ порождаются содержанием математического материала и аччленязэтея•учащимися при его осознании. В гл-честве С-й в состава тригонометрического тожества могут быть показатель степени некоторой тригонометрической функции, конкретный вал; этой функции, ее аргумента и т.д.,

. Теоретические знания учащихся реализуются в втленяемш: СЕ и присбретаот прогностическую направленность в том случае, если они воспроизводятся не статически, а в соотнесении с другими СЗ условия задачи, направленно на достижение заданной целя деятельности. Это соотнесение порождает промежуточные / производные/ за-• дания, выполнение которых продвигает к достижению цели деятельности, так как порождает операционный состав действия по доказательству данного тондества. Первоначально соотнесение СЕ может осуществляться порционно, допускаются пробы и ошибки, затем по мере-развертывания гипотезы СЕ окончательно соотносятся с

с целью деятельности. Ь отоы состоит м е х а н и з ы зарс№до= Ш1Я и построения гипотезы о слосоое доказательства данного тоя=-дества.

^деленные в данном тождестве СЕ носят временный характер: они используются только ь процессе доказательства данного тождества, при доказательстве другого тоздества. ¡возникаю? другие СЕ, что однако не исключает возможности повторного шшьзррашш некоторых из них. Поэтому задача состоит не в той, н^ойы учащиеся заучили типичные СЕ и применяли бы их при доказательстве, а в том, чтобы научить школьников конструировать такие СЕ в данном контексте и через соотнесение их друг с другом формулировать, а затем выполнять производные'задания, учить школьников "сцеплять" одну СЕ с другой, одно производное задание с новым для создания полной гипотезы о способе доказательства данного тождества.

Получаем следующую модель механизма построения прогноза о способе доказательства тождеств: анализ данного тождества - выделение СЕ - соотнесение СЕ друг с другом - выделение основания прогнозирования - формулировка производных заданий - выбор исходной /доминантной/ операции - построение гипотезы о способе достижения цели в виде цепочки предстоящих исполнительных операций - построение плана деятельности - сличение предполагаемого результата выполнена запланированных операций с общей целью деятельности, При неудаче выделяются новые СЕ, ставятся иные производные задания и т.д.

Использование анализа "от конца к началу" позволило выделить основные виды ориентирующих операций, сгруппировать их в два блока в соответствии с составом прогностического умения: I/ операции, необходимые для предварительной ориентировки в условии задачи, до построения гипотезы: вычленение СЕ, соотнесение их между собой, распознавание математических объектов в варьируюцихся • условиях, получение логических следствий из того, что дано, переформулирование вопроса и условия задачи, распознавание возмрж*-ности использования теоретических знании в конкретных условиях, постановка вопросов к данным. Эти операции обеспечивают получение опережающей информации о данном объекте; 2/ операции, приводящие к построению гипотезы: соотнесение выделенных СЕ с целью деятельности, промежуточное целеполагание, постановка и разрешение про=-изьодных заданий, привлечение дополнительных теоретических знаний е связи с условием и целью деятельности, распознавание юз-

¡юиаяи я ¡целесообразности использования того или иного преобразования данного объекта или отдельных его компонентов, нсполвзо-. вание аналогии, выбор основания прогнозирования и доминантной операции, построение гипотезы, проверка ее правильностие построение плана предстоящей деятельности, его возможная коррекция. 13а-кое деление является в некоторой мере условным, но оно полезно при построении методики обучения.

Перечисленные операции в той или иной мере фиксировались а ранее при изучении процесса решения задач /С.Л. Рубинштейн, А.И. Раев и др./, что естественно, так как они входят в этот процесс. В нашей работе эти операции сгруппированы в соответствии с составом прогностического умения учащихся, их формирование осуществляется в системе путем выполнения системы специальных упражнений /см. далее/.

Обилие СЕ, встречающихся при доказательстве тригонометрических тождеств, выдвигает задачу их систематизации. Возможно выделение нескольких видов СЕ: I/ простые и сложные. Первые характеризуются невозможностью дальнейшего деления на СЕ, вторые допускают такую возможность; 2*/ заданные СЕ: они непосредственно заданы в конкретном тригонометрическом тондестве и обнаруживаются при его первичном анализе; производные СЕ: такие СЕ являются логическим следствием заданных СЕ; соотнесенные СЕ: ош появляются в результате соотнесения, заданных и производных СЕ. Например, требуется доказать тождество я'ъ6о(+со$6ь1+3оо^ж.* / » Соотнесение между собой заданных СЕ 1/'л%И-са$ о/ з схх ^порождает производное задание представит!- первую СЕ в виде суммы дубов, так как в ее разложении появится выражение вида второй СЕ, что в дальнейшем, возможно, приведет к упрощению левой часта а доказательству данного тождества. Замена первой СЕ суммой кубов -это соотнесенная СЕ. Очевидно, такие СЕ играют решающую роль в построении гипотезы; 3/ СЕ с открытой, частично открытой и скрытой формой задания в них прогностических особенностей.

Построение гипотезы - это решение прогностической задачи. В соответствии с делением таких задач в психолого-дзадактической литературе /Л.А. Регуш и др./ нами выделены неполные и полные прогностические задачи в зависимости от полноты построения гипотезы. В составе первых выделены оперативные прогностические задачи, когда гипотеза строится на один-два шага, в составе вторых -простые и сложные в зависимости от числа шагов: не более или 6о-

лее двух. .Внутри каждой группы такие задачи моцу®' быть с открытой, частично открытой и скрытой формой задания прогнатических особенностей, с однозначным или альтернативным выбора», доминантной операции.

Прогностические задачи - это задачи интеллектуального плана, они являются подзадачами данных математических задач, их формулировка часто скрыта в формулировке математических задач, в них дается лишь цель задачи, ее условие учащиеся должны составить сами на основе анализа условия доказываемого тождества, выделив «те его особенности, которые необходимы и достаточны для построения ишотезы о способе деятельности, что вызывает у них немалые трудности.

Во второй главе рассматривается методика формирования ярогностического умения учащихся. Она строится в соответствии с-операционным составом такого умения, установленной моделью1построения прогноза и на следующих исходных положениях, взявлйзных б результате анализа психолого-дидактической литературы и процессов поиска доказательства тригонометрических тождеств:

I/ формирование умения прогнозировать осуществляется путей решения прогностических задач. В соответствии с дидактическим положением "от простого к сложному" такое обучение начинается с решения оперативных и простых прогностических задач, затем неполных и полных с различной степенью открытости задания прогностических особенностей СЕ;

2/ любые интеллектуальные умения формируются путем выполнения специально сориентированных внешних действий с соответствующими объектами. Поэтому в системе упражнений с тригономегричес-юшк тождествами предусмотрены такие внешние действия с ними, которые обеспечивают сформированность ориентирующих операций, входящих в состав прогностического умения учащихся;

3/ в системе упражнений на 'формирование прогностического умения обеспечена разнообразная трансформация тригонометрических объектов, поскольку последняя является необходимым условием успешности формирования у учащихся такого умения;

4/ для обеспечения переноса методики формирования прогностического умения в другие разделы алгебры и начал анализа в ней предусмотрено формирование у учащихся общих приемов построения прогноза наряду с теми, которые определяются спецификой особенностей данных тригонометрических объектов.

Синтез этих основных исходных положений определил построение методики формирования прогностического умения учащихся. В ней предусмотрено прямое' и косвенное управление формированием такого умения путем соответствувдей ориентации выполняемых упражнений. В первом случае их выполнение сопровождается специальными вопросами, учителя, его пояснениями, рекомендациями, непосредственно . направленными; на обучение умению решать прогностические задачи, во- втором — деятельность учащихся замыкается только на выполнении упражнений,, ущэаадешие осуществляется опосредованно.

В соответствии, с названными положениями разработаны три общих приема обуявшая прогнозированию.

X» Црия& из данного тригонометрического тождества

получает как можно, больше заложенной в нем информации, его подвергши гсесторошещ изучению, в нем выделяются заданные и про-азтишзе СБ» чем обеспечивается получение необходимой опережа-' щей информации а данном объекте; выделенные СЕ соотносятся между собой и цель® деятельности, на основе этого строится гипотеза о способе доказательства тождества; лишняя информация при этом " отсеивается и. При использовании такого приема учащиеся первоначально решают некоторую совокупность оперативных прогностических задач, а затем неполную или полную прогностическую задачу.

2. Прием преобразования: в данном тригонометрическом тождестве выделяют некоторую исходную СЕ, заданную или производную, соотносят ее с целью деятельности, еыясняя при атом, какие преобразования целесообразно выполнить для ее достижения, т.е. строится необходимая гипотеза путем решения неполных или полных прогностических задач.

3. Использование аналогии. В этом случае гипотеза строится на основе сравнения данного объекта с другим, ранее встречавшимся и имеющим некоторые черты сходства с ним.- Таким образом, аналогия выступает основанием прогнозирования, что позволяет сразу приступить к решению полной прогностической задачи. Ориентацию на аналогию может вызвать идентичность вопросов задачи и почти полное или некоторое сходство условий,"на это учащиеся ориентируются при.построении гипотезы о способе доказательства данного тригонометрического тождества.

Специфические приемы прогнозирования определяются особенностями данных тождеств и могут быть обнаружены путем переформули-

роьания задания, выделения особо благоприятной в данных условиях некоторой СЕ ж т.п. Это может би^ь использовано при -построении гипотезы.

для формирования прогностического умения , учащихся нами разработана специальная система упражнений. Они сориентированы на достижение оошей цели - формирование прогностического умения „/чгижхся, подчинены решению одной и той же учебной задачи, подо-оугпш ь соответствии с составом и моделью построения прогноза и общими исходными положениями методики формирования такого умения, г/я; система является подсистемой общей системы упражнений на фор-.¡асование математических умений в связи с изучением тригонометрических функций ii. ьплючает в себя дье другие подсистема упралне-- подготовительные и основный. Она обладает свойством обшнос-,L*о&".<лаштся в возашностк построения аналогичной системы уп-для изучения другого учебного материала, и свойством Tcuc охватывает все гшш поогросткческих задач, реше-дсчосых направлено на юсхироьание у учащихся прогностического

иасты«а дсдАХ)тоьительных упражнении состоит из двух груш: удражнеяи*. на установлена» логических сЕЯзеи ь^жду математически-ьш обььктами и упражнений на преобразование этих объектов. ^Первая группа включает б себя упражнения на анализ данных ческих объектов, направленный на выделение заданных =й .'прдашводаых U&, восстановление исходной части цождёСКва по некоторому ее но-ьому виду, переформулирование вопроса задачи, которое ьыступает механизмом получения новых СЕ, распознавание частей основных формул ь составе сложного выражения, составление ноеых тождеств из данных. Ьторая группа включает в себя, упражнения на преобразоьа-выродзидо под знаком тригонометрической функции, составлен :е .ьыразг^ши: новых тригонометрических равенств, удовлетьо-^•.-щ« aaut-рвд зыйшьш условиям, преобразование основных триго-•.-илкггуачеслах тождеств л новому виду, постановку вопросов к данным, среаление операций, выполняемых с математическим;! объектами разной природы. Например, .дано равенство —¿ю^Ыч- cos Ы- tg^d — O. r.oxOiti драоорлзоьашйя следует с ним произвести, чтобы получить "f+ig^U Такие упражнения заставляют учащихся

•-троить гипотезы, проверить их, сопоставляя на каждом шагу результат преобразования с тем тождеством, которое надо получить. .

Система основнух упражнений гключает в себя упражнения на рл-язлзние зависимости результата от изменения условия задачи, на восстановление компонентов тригонометрических тождестз, постановку производных задании, соотнесение теоретических знаний с условием и целью деятельности, выбор основания прогнозирования и до-гашаптнои операции, выдвижение гипотез и пх обоснование, проверку правильности выдвинутых гипотез, прогнозирование промежуточного результата, планирование системы операцийдля достижения цели деятельности. Например: I/ Сражение - ■+" фс/'

преобразовать к виду J, , . Изменить^компоненты данного выра-кения так, чтобы после упрощения в ответе было ^ ., ¿1/] с(»

, ' с

2/ При доказательстве тождества - УУ - ¿^¿^Ы

олд'л учащиися стал заленятьХ''?^ па/-йй£'гЬ<' и иа. второй

о т< *

привел левую часть к общему знаменателю и стал упрощать числитель л знаменатель полученного выражения, третий заменился' V. попытался 2<спользовать рормулы суммы и разности синусов. Выясните, какие особенности левой части данного тождества сыграли для • каздого учащегося решающую роль в выбранном им способе доказательства тохлества. Лзкой вариант решения этой задачи предлагаете вы?

Ьуяолнеиие указанных упражнений направлено на 'Нормирование у учащихся орлентируадих операций, входящих в состав умения решать прогностические задачи, 'йкие упражнения предлагаются наряду с ооычннми, помещенными в пособиях для учащихся, что сокращает в некоторой мере возможность использования последних в обучении. Однако это не только не снижает уровень общего умения учащихся доказывать тригонометрические тожцестьы, но и содействует нормированию у них на достаточно высоком уровне других качеств прогностического умения /см. далее/, что объясняется соответствием предлагаемой системы упразднений операционному составу Армируемого умения.

Методика обучения решению прогностических задач строится поэтапно. Па первом этапе осуществляется обучение решению оперативных и простых прогностических задач, которое начинается с исполь-. зования открытой формы задания прогностических особенностей СЕ: здесь постановка задания непосредственно ориентирует на достижение заданной цели; в качестве основания прогнозирования используется аналогия. На этом этапе отрабатываются е&чнекиме операпии, определяющие прогностическую деятельность: пере1эсрмулирование ео-ьсссы задачи, соотнесение теоретических знаний с условие:« а иелгк

деятельности и др.

Ъторой этап посвящен введению учащихся в ситуацию учебной задачи. Цель состоит в том, чтобы учащиеся "приняли" эту задачу и ее решение стало бы мотивом их деятельности. На конкретных примерах разъясняется , в чем состоит механизм процесса поиска доказательства данного тригонометрического тождества: выделяются его смысловые части, которые соотносятся между собой путем постановки промежуточных, заданий, строится последовательность.выполнения -системы ориентирующих операций, что предположительно приведет к достижению цели. Необходимо овладеть умениями выполнять эти операции. Таким образом учащиеся естественно переходят к третьему этапу, на котором обучаются решению неполных и полных прогностических задач.

На четвертом, заключительном, этапе проводится обобщающая работа по формулировке рекомендаций- для самостоятельного использования их учащимися в дальнейшем.

лнализ процессов доказательства алгебраических тождеств из различных разделов курса алгебры показал, что в эти процессы входят те же виды ориентирующие операций, которые используются при поиске доказательства тригонометрических тождеств. Это означает, что прогнозирование по видовым особенностям обладав® саера-ционной общностью независимо от содержания изучаемого материала» Отсвда следует, что методику формирования прогностического умения можно строить на общих исходных методических положениях в различных разделах школьного курса алгебры и начал анализа.

Ъ третьей главе описываются результаты экспериментов. Они проводились с 1983 до 1994 учебные года в 9-11 классах икол 4, II, 44, 53, 55, 58 г. Пензы первоначально с участием учителей этих школ, а затем под нашим наблюдением эксперименты проводились студентами Пензенского педагогического института. Всего было проведено шесть серий экспериментов с разным целевым назначением - диагностическим, обучавдим. "В них ставились цели: выявить,- ка что ориентируются учащиеся при выполнении предложенных им заданий; ¿ак формируются у учащихся специфические качества про гностического умения при обычной и экспериментальной методиках обучения; как совершенствуется уровень овладения учащимися эти-ш качествами под влиянием выполнения предлагаемой нами системы упражнений; какие сдвиги происходят в умении школьников, прогнозировать под влиянием. экспериментальной методики, обучение и г.д.

Результата экспериментов обрабатывались методамз статистики. Эксперимента^ было охвачено более 800 учащихся. Их результаты позволили сделать' следующие выводы.

Без специального обучения прогностическое умение Формируется лишь у небольшого числа учащихся и к тому же остается неустой-ЧИЕКМ К вариативности заданий. Акцентирование внимен'/я в используемой s настоящее время методике на исполнительных опецациях не влечет за собой достаточно успешное формирование у учашихся ори-ентирутедах операций и прогностического умения в целом; специфические качества такого умения у большинства учащихся находятся на низком уровне. В го же вредя обучение по предлагаемой методике обеспечивает существенное повышение :\х уровня. Например, в одном из экспериментов овладение учащимися прогностическая умением проверялось по критерию целостности построения птпотезы. В 9-х экспериментальных классах / Ж / из 104 учащихся 41 человек / 40? / показа,™ высокий уровень этого качества, в то жз время в контрольных raiaccax / КК / из I0S учащихся такой уровень показала лишь 13 человек / 125? /. Соответственно в 10-х классах 152 л 4%. В другом эксперименте с другими учащался по тому же критерию Форг.зру-ег.ого умения в У-х SA 64.^ учащихся предварительно верно назвали все операции, которые предстоит выполнить при доказательстве данного тождества, в КК - лишь 14«. Соответственно в 10-х классах -52$ и 15$. Преобладание лучших показателей у учащихся ЭК по сравнению с учащимися КК проявилось как при прямом^ так и при косвенном управлении процессом формирования прогностического умения.

Выполнение учащимися предлагаемой системы упражнений повышает уровень их общематематичесяих умений оперировать тригонометрическими сбьект&чй /догнать тождество, преобразовать выражение и т.п./. Например, по кратерка правильности этих .уменлй в одном эксперименте было получено в 9-х ЭК 8о£ правильных решений предложенных задач, в КК - 64^, в 10-х ЭК - 64$, в КК - 50£. Такая же тенденция четко проявлялась и в других экспериментах.

Полученные выводы подтверждают предположение о действенности внедрения в практику школьного обучения разработанной методики обучения, свидетельствуют о справедливости выдвинутой гипотезы.

. Таким образом, в результате теоретического и экспериментального исследования:

1/ установлены роль и место прогностического уменкя на этапе

поиска способа решения нестандартных математических задач, а тг же возможность прямого и косвенного управления его формирован® у учащихся;

2/ показано, что средством формирования прогностического у» ния являются прогностические задачи. Выполненная нами классифш дия таких задач позволила определить этапы в методике формировг ния у учащихся прогностического умения;

3/ разработана система упражнений, направленная на формироз у учащихся операций, входящих в состав прогностического умения. Определено место таких упражнений в общей системе упражнений, г полняемых в.обучении;

4/ выявлены исходные положения методики Нормирования прогнс с.'йческого умения учащихся. На основе их разработана конкретна? методика формирования такого умения в связи с обучением доказательству тригонометрических тождеств;

о/ установлено,, что операции, входящие в состав прогностического умения, по своим видовым особенностям инвариантны относительно содержания учебного материала. Зто дает возможность строить методику (формирования такого умения на общих исходных г ложениях ири рещении задач на доказательство в различных. разделах школьного курса алгебры и качал анализа;

6/ показано, что разработанная методика формирования прогнс стического умения является 'средством повышения качества обучен; учащихся математике.

Основное содержание работы отражено в следующих публикации

1. Примеры использования проблемного обучения на практических занятиях по высшей математике // Проблемное обучение в пра тике.кафедр училища - Методический сборник & II. Пензенское вы> шее артиллерийское инженерное училище.- - Пенза, 1985, с. 34-39 /в соавторстве/.

2. Сравнение как метод активизации познавательной деятельн сти обучаемого. // Развитие творческих способностей у курсанто процессе обучения - Методический сборник й 15. - Пензенское вы шее артиллерийское инженерное училище. .- Пенза, 1989, с. 38-42 /в соавторстве/.

3. Использование метода аналогии в формировании у курсаитс обобщенных способов-действий при обучении математике. - Научнс методический сборник 17. - Пензенское высшее артиллерийское инженерное училище. - Пенза, 1990, с. 85-88.

4. Прогностическое умение в математической подготовке учащихся // демократизация учебно-воспитательного процесса в школе и вузе - {/лтериалы Всероссийской конференции педагогического общества - Пенза, 1990, с. 92-93.

5. Об упражнениях на формирование прогностического умения в обучении математике // Демократизация учебно-воспитательного процесса в школе и вузе - Материалы Всероссийской конференции педагогического общества - Пенза, 1990, с. 96-98.

6. Упражнения на формирование прогностического умения учащихся в курсе алгебры средней школы. Методические рекомендации. -Пензенский государственный педагогический институт им. В.Г. Белинского. - Пенза, 1991, 35 с.

7. Прогностические задачи в обучении математике // Современные проблеет преподавания математики. Тезисы докладов Герценов-сккх чтений. Российский государственный педагогический университет им. А.И« Герцена. - Изд-во "Образование", С. - Петербург, 1993, с. Ь2..

8. Методика формирования прогностического угэнкя учещ'лхся. // преподавание г.-ате^атики в школе и вузе: проблемы и перспективы. Тэзксы докладов Герценовских чтений. - Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена. - Изд-ео "Образование", С. - Петербург, 1994.