Формирование содержательно-методической линии задач с параметрами в курсе математики общеобразовательной школы

Мирошин, Владимир Васильевич

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Формирование содержательно-методической линии задач с параметрами в курсе математики общеобразовательной школы

Автореферат

Автор научной работы: Мирошин, Владимир Васильевич
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Москва
Год защиты: 2008
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Формирование содержательно-методической линии задач с параметрами в курсе математики общеобразовательной школы"

На правах рукописи

□□3455752

МИРОШИН Владимир Васильевич

ФОРМИРОВАНИЕ СОДЕРЖАТЕЛЬНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИНИИ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания

(математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва-2008

003455752

Работа выполнена на кафедре математического анализа и методики его преподавания Московского городского педагогического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Семенов Павел Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Ведерников Виктор Александрович

кандидат педагогических наук Самсонов Павел Иванович

Ведущая организация

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 24 декабря 2008 года в 12— часов на заседании объединенного диссертационного совета ДМ 850.007.03 при Московском городском педагогическом университете и Тульском государственном педагогическом университете им. Л.Н. Толстого по адресу: 127512, г. Москва, ул. Шереметьевская, д.29, ауд. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского городского педагогического университета по адресу: 129226, г. Москва, 2-й Сельскохозяйственный проезд, д.4

Автореферат разослан «Ск*Э» ноября 2008 года.

Д-О» ]

Ученый секретарь диссертационного совета д.п.н., профессор

Гриншкун В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. Развитие творческих способностей личности является одной из базовых задач математического просвещения. За всю историю человечества пока не найдено способа развития интеллектуальных и творческих способностей человека, который не опирался бы самым существенным образом на выстроенную систему математического образования. Важнейшим средством формирования у школьников высокой математической культуры, активизации обучения математике является эффективная организация и управление учебной деятельностью в процессе решения различных математических задач.

Существующие теория и практика методики обучения математике показывают, что учащемуся недостаточно знать лишь предметное содержание математического факта для его полноценного усвоения. Требуется еще уметь видеть и понимать способы организации этого содержания, логическую структуру изучаемого материала, его место в общей системе математических знаний. Неудачи зачастую связаны с отходом от системности, с недооценкой тех или иных связей между компонентами системы.

Богатый идеями и методами массив задач с параметрами как нельзя лучше позволяет развить активную деятельность учащегося, развить его системное мышление, подготовить к решению действительно творческих задач, которые со временем перед ним поставит сама жизнь. Глубина идей целостно выстроенной линии таких задач дает возможность не только системно выявлять категорию учащихся, которые в дальнейшем будут связывать свою жизнь с точными науками, но и дает возможность занимать активную творческую позицию другим учащимся.

Задачам с параметрами, а так же методам их решения, посвящены отдельные монографии, многочисленные статьи в учебно-методических журналах, специальные разделы в пособиях для поступающих в ВУЗы. Большинство из них явно или неявно носит очевидный «постшкольный» характер и изложение организовано как последовательность все усложняющихся задач, для которых задачи школьных УМК служат лишь отправной точкой.

В диссертационных исследованиях Арюткиной C.B., Брянцевой Т.Н., Горбачева В.И., Остапчука А.И., Толпекиной Н.В., Шивринской Е.В.,

приведены различные методики и технологии их использования при решении многочисленных типов задач с параметрами. Однако и в них эти задачи чаще всего рассматриваются не как составная часть системы школьного математического образования, а только как ее продолжение, и чаще, просто как некоторое её дополнение. Тем самым общая направленность этих диссертационных исследований также состоит в рассмотрении все более сложных видов задач, при котором задачи школьного курса алгебры априорно уже «вынесены за скобки». Другими словами, в упомянутых работах и диссертационных исследованиях не ставится вопроса о создании новой содержательно-методической линии как составной части системы общего школьного математического образования,

В настоящем диссертационном исследовании задачи с параметрами, как правило, не усложняются, а упрощаются и при этом приводятся в системное соответствие с такими базовыми школьными темами как: линейная функция и ее график, решение линейных и квадратных уравнений и неравенств и т.д. Движение по содержательно-методической линии задач с параметрами происходит не «вверх», по нарастанию сложности, а, напротив, к основам школьной математики. Проблема целостного интегрирования линии задач с параметрами в сложившуюся систему школьного математического образования, проблема системной подготовки учащихся к выпускной аттестации , имеющееся явное противоречие между количеством и уровнем сложности задач с параметрами, изучаемых в школе, и задач на эту тему, предлагаемых при поступлении в вузы или среди задач с развернутым ответом единого государственного экзамена определили актуальность диссертационного исследования.

Проблема исследования состоит в разрешении противоречия между уровнем сложности задач с параметрами, изучаемых в школе, и уровнем сложности задач, предлагаемых при поступлении в Вузы, задач с развернутым ответом Единого государственного экзамена, в выявлении возможных путей совершенствования обучения математике и разработке соответствующих средств реализации через создание содержательно-методической линии задач с параметрами.

Объект диссертационного исследования - курс алгебры основной школы и курс алгебры и начал математического анализа старшей школы.

Предмет диссертационного исследования — содержание, формы, методы и средства решения задач с параметрами в средней общеобразовательной школе.

Основной целью данного исследования является формирование содержательно-методической линии задач с параметрами как естественной и системной составляющей части современных курсов алгебры и алгебры и начал анализа школы.

применения полученных ими знаний, идей и методов, предоставить каждому учителю возможность строить на ее базе целую мозаику элективных курсов, органично составляющих с ней единое целое и использующих основные идеи и методы в приложениях к тем или иным предметам: физике, экономике и др.

Цель и гипотеза исследования потребовали решения ряда задач:

1. Провести методологический анализ положения задач с параметрами в школьной математике.

2. Разработать понятийный аппарат содержательно-методической линии задач с параметрами.

3. Провести систематизацию основных типов задач с параметрами, а также методов их решения.

4. Решить проблему включения содержательно-методической линии задач с параметрами в процесс преподавания математики как линии, равноправной другим содержательно-методическим линиям курса школьной математики.

5. Разработать конкретные методики преподавания, которые позволят рассматривать задачи с параметром, как естественную и неотъемлемую составляющую часть тем, курсов алгебры и алгебры и начал анализа.

6. Создать систему математических заданий и разработать методику обучения учащихся решению задач с параметрами.

7. Экспериментально подтвердить целесообразность создания содержательно-методической линии задач с параметрами в курсе математики общеобразовательной школы.

Решения перечисленных задач составили основные шаги в достижении „ главной цели данного исследования.

В ходе решения поставленных задач применялись различные методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической, математической и научно-методической литературы, школьных учебников и учебных пособий, пособий по подготовке для поступления в ВУЗы; обобщение наличествующего опыта по исследуемой проблеме; анализ личного опыта работы в школе и опыта работы других учителей математики; педагогический эксперимент по проверке основных положений диссертационного исследования.

Научная новизна проведенного исследования состоит в следующем:

1. Обоснована насущная необходимость создания содержательно-методической линии задач с параметрами в курсе математики средней общеобразовательной школы.

2. Разработан понятийный аппарат, явившийся основой решения проблемы формирования содержательно-методической линии задач с параметрами и ее системной интеграции в курс математики средней общеобразовательной школы

3. Представлена систематизация основных типов задач с параметрами. Дана классификация основных методов их решения и проведен системный анализ этих методов.

4. Предложены разнообразные и конкретные методики преподавания содержательно-методической линии задачи с параметрами в курсе математики общеобразовательной школы.

Теоретическая значимость исследования состоит в следующем:

1. Решена проблема системного включения содержательно-методической линии задач с параметрами в существующую систему обучения математике в школе. Предложены пути реализации такого включения, начиная с базового уровня школьного математического образования.

2. Разработаны определения теоретического понятия «параметр» в учебных математических задачах, понятия «задача с параметрами», «общее решение задачи с параметрами».

3. Определено место задач с параметрами в общей структуре содержательно-методических линий школьного курса математики как обобщающей составляющей этого курса.

Практическая значимость исследования заключается в следующем.

1. Предложены методики, устанавливающие общие методы решения задач с параметрами, конкретные примеры, приводимые в исследовании для усвоения соответствующих методов, подготовленные для их включения в учебные и методические пособия, практику работы учителей математики.

2. Разработано методическое содержание линии задач с параметрами, учебные материалы по темам курса математики, содержащие задачи с параметрами.

3. Созданная содержательно-методическая линия задач с параметрами позволяет активизировать творческую составляющую деятельности учащихся, развить их системное мышление, подготавливает к решению действительно творческих задач.

4. Разработаны методики поэтапного формирования навыков решения задач с параметрами в курсе математики 7-9 классов основной школы и их дальнейшим продолжением в курсе математики старшей школы.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается реализацией комплексных методов, адекватных задачам исследования, сочетанием количественного и качественного анализа материала, внедрением полученных результатов в учебный процесс отечественных школ, педагогическим экспериментом и положительными результатами экспериментальной работы.

Апробация и внедрение результатов. '

Основные положения диссертации нашли применение в преподавательской деятельности по авторской программе (программа утверждена МИОО 31.08.04) в гимназии №1522 СЗОУО г. Москвы.

Положения диссертации обсуждались на заседаниях секции методики математики «Ломоносовских чтений» МГУ механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова (апрель 2008 г.) , на «Днях Науки» математического факультета МГПУ в 2005, 2008 гг., на заседаниях научного семинара кафедры элементарной математики и методики ее преподавания механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова, на XXVII Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических ВУЗов «Проблемы многоуровневой подготовки учителей математики для современной школы» (г. Пермь 2008г.), на Московской

областной научно-практической конференции «Актуальные вопросы преподавания математики в школе и педагогическом вузе» (г. Коломна 2008 г).

Основные положения и результаты диссертации были апробированы на занятиях спецкурса дисциплины по выбору для студентов III - V курсов математического факультета МГПУ, в выступлениях на методических семинарах для учителей математики Северо-Западного учебного округа г. Москвы (в 2003 - 2007 годах), при чтениях лекций на курсах повышения квалификации учителей математики при МГПУ в 2003 - 2007 годах.

Результаты исследования изложены в 16 публикациях печатных периодических изданий, распространяемых на территории всей РФ: журналах «Квант», «Математика в школе», «Потенциал», газете «Математика. Приложение к газете «Первое сентября».

На защиту выносятся следующие положения:

1. Созданная в результате проведённого исследования система понятий образует теоретическую базу формирования содержательно-методической линии задач с параметрами в курсе математики общеобразовательной школы, отвечающей насущной необходимости современного общества.

2. Разработанные принципы построения системы упражнений содержательно-методической линии позволяют поэтапно формировать учебные навыки решения задач с параметрами, способствуя развитию системного мышления учащихся.

3. Содержательно-методическая линия задач с параметрами должна быть включена в курс математики общеобразовательной школы как системная содержательно-методическая линия курса.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, библиографии (150 наименований), приложения. Объём диссертации - 175 страниц, объём приложения - 48 страниц.

Основное содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность рассмотренной в диссертации проблемы, определяется объект, предмет, задачи и методы исследования, формулируются цель и гипотеза исследования, раскрываются его научная новизна, теоретическая и практическая значимость, излагаются положения, выносимые на защиту.

В первой главе «Психолого-педагогические аспекты формирования содержательно-методической линии задач с параметрами в системе школьного математического образования» проводится анализ учебно-методической и учебной литературы, анализируются работы отечественных и зарубежных ученых (педагогов, математиков, психологов, методистов), относящиеся к изучаемой проблеме, рассматривается положение задач с параметрами в системе современного школьного обучения, определяются перспективы и пути формирования новой содержательно-методической линии задач с параметрами в системе школьного математического обучения. Формирование новой содержательно-методической линии приводит к необходимости эволюционного изменения системы школьного математического образования. Решение

поставленных задач диссертационного исследования естественно начать с вопросов, связанных с общими свойствами понятий «система», «системный анализ», «системный подход».

В § 1 «Основные характеристики понятий «система» и «системный анализ» в учебно-методической литературе» рассматриваются вопросы, связанные с определением такого понятия как «система», приводятся различные варианты классификаций систем, на основе которых в дальнейшем классифицируется система школьного математического образования.

Рассмотрены следующие классификации систем:

1.По виду отображаемого объекта - технические, биологические, социальные и т.д.

2. По характеру поведения - детерминированные, вероятностные, игровые.

3. По типу целеустремленности - открытые и закрытые.

4. По сложности структуры - простые и сложные.

5. По виду научного направления, используемого для их моделирования: математические, физические, химические, биологические и др.

6. По степени организованности - хорошо организованные, плохо организованные, самоорганизующиеся.

Системы, состоящие из частей абсолютно разной природы, имеющих совершенно несхожие функции, подчиняются одним и тем же общим законам организации. Их поведение зависит не от природы и свойств, образующих их частей, а от того, как эти части соединены между собой. В силу этого можно предсказывать поведение систем, даже если у нас нет детальных знаний об их частях. Система - это множество, действующее как единое целое. Рассматриваемая нами система школьного математического обучения может быть охарактеризована следующим образом: система обучения есть сложная самоорганизующаяся открытая социальная система.

В § 2 «Обзор систем школьного математического образования» дается общая характеристика существующим на нынешний день системам школьного математического образования. Даны краткие характеристики основных положений общепринятых систем математического образования: классической (традиционной), системы Занкова, системы Эльконина-Давыдова. В последнее время в отечественной и зарубежной педагогике и психологии появились новые подходы исследования творчества, объединяемые терминами «креативная педагогика, креативная психология» (от creation - творчество). Креативность, - не только характеристика познавательной сферы, но и жизненная установка Именно эта жизненная позиция, которая формируется в семье и школе, прежде всего, определяет креативность личности, ее творческие возможности.

Современную систему математического обучения можно охарактеризовать как систему массового обслуживания с ожиданием. Время ожидания ответа - реакции учителя на действие ученика - в этой системе играет большую роль. Приученный к постоянной оглядке в поиске «правильного ответа», ученик обычно не способен принимать самостоятельные

решения. Использование арсенала идей и методов, привносимых содержательно-методической линией задач с параметрами, позволяет изменить положение вещей: выбор метода решения задачи, поиск соответствующих путей становится прерогативой учащегося. Учитель выступает в роли заинтересованного, благонастроенного наблюдателя, ведущего дискуссию между учащимися. В указанном смысле разработанная нами линия обучения ближе всего к «креативной» педагогике.

В § 3 «Системный подход в обучении», показывается, что привнесение изменений в систему есть задача принятия решения - одна из основных задач системного анализа. Обычно под этим понимают процесс выбора одной из нескольких альтернатив. При этом на первый план выступают такие собственно психологические особенности процесса принятия решения, как мотивация принятия решения, ответственность за принятое решение, право выбора, возможность осознания, степень риска при принимаемом решении, оценки и коррекции вырабатываемых решений и т.д. При этом важно соблюдать принцип системности, так как можно радикально менять и ломать какой-то элемент системы, но качественные изменения при этом не наступят. Наша позиция состоит в том, что системообразующей связью в учебном процессе выступает совместная деятельность и учащегося и учителя.

В предлагаемом нами подходе учитель и ученик - две составные равноправные стороны, стоящие в центре системы обучения. Обучение - это системный процесс, что означает действие и предполагает изменение. В этом случае у учителя есть возможность научиться исполнять свою роль с еще большей эффективностью. Из вопросов ученика он почерпнет много полезного для работы, станет более восприимчивым и научится более доходчиво объяснять учебный материал. А ученик сможет понять способ мышления, благодаря которому учитель знает предмет, и это будет способствовать тому, что он лучше проникнет в суть собственного процесса обучения и модели, используемой учителем. Успех приходит тогда, когда учитель и ученик одновременно учат и учатся.

В § 4 «Анализ положения задач с параметрами в современной системе школьного математического образования» рассматриваются исторические, методологические и психологические аспекты, приведшие к недостаточному использованию задач с параметрами в повседневной практике обучения математике.

Положение всего комплекса учебно-методических и педагогических вопросов, связанных с задачами с параметрами, в современном математическом образовании в нашей стране достаточно уникально. С одной стороны, эти задачи есть и в весьма заметном количестве, а с другой стороны, их практически нет. Практически на любом вступительном экзамене, проверяющем математическую подготовку на достаточно высоком уровне, задания на такую тему имеются. Процент задач с параметрами, как показал проведенный нами статистический анализ, не опускается ниже 10%, а, как правило, приближается к 20%. С другой стороны, положение задач с параметрами в конкретных учебно-методических комплектах по математике, утвержденных и

рекомендованных к использованию в общеобразовательной школе Министерством образования и науки РФ, мягко говоря, совсем не столь значимо. Количество задач с параметрами в любом из общефедеральных комплектов не превосходит 1%. Из-за этого отношение к задачам с параметрами как к некой сложной, почти неразрешимой проблеме господствует не только среди учащихся (что естественно), не только среди учителей (что удручает), но и среди ведущих методистов-математиков.

Мы считаем, что трудности в решении задач с параметрами связаны не столько с их технической сложностью, сколько с отсутствием ясного понимания многоуровневое™ таких задач. Например, в обычном уравнении «с иксом» следует просто найти его корни, следуя алгоритму решения, и на этом уровне решение заканчивается. А в уравнении с параметром следует перейти на более высокий уровень: надо еще на корни уравнения «посмотреть», т.е. понять, как они изменяются при изменении данных задачи и, далее, определить какими должны быть эти числовые данные, чтобы корни уравнения в итоге удовлетворяли тому или иному условию. Поэтому, формирующаяся в школе привычка решить уравнение и на этом поставить точку, что, к сожалению, полностью отвечает «Требованиям к математической подготовке учащихся», и вообще, присутствие в подавляющем числе уравнений и неравенств только одной переменной, сразу же переводит задачи с параметром в ранг трудных.

При исследовании исторических, методологических и психологических причин такого положения были сделаны следующие выводы.

1. Отсутствие содержательно-методической линии задач с параметрами в существующей ныне системе математического школьного образования вызвано как методическими, так и психологическими причинами.

2. Существующая ныне система математического образования носит конформистский характер: будучи основана на «страхе неприятия обществом», она порождает нежелание учащихся проявлять инициативу. Обучение зачастую превращается в рутинную работу, не приносящую ни удовлетворения, ни удовольствия.

3. Системный подход в использовании задач с параметрами позволяет продолжить развивающее обучение в средней и старшей школе.

4. Введение содержательно-методической линии задач с параметрами не есть самоцель, но инструмент для развития системного математического и логического мышления, причем не только учащихся, но и преподавателей.

5. Альтернативность идей и методов решения задач с параметрами становится основой для развития самостоятельности действия учащихся в различных областях, приведет к возможности изменения ментальных моделей мышления, появления новых моделей.

6. Реализация огромного творческого потенциала задач с параметрами будет способствовать развитию эстетического воспитания, что невозможно при излишней алгоритмизации процесса обучения.

Во второй главе «Методологический анализ содержательно-методической линии задач с параметрами» проведено построение теоретической основы формируемой нами линии.

В § 1 задачи с параметрами рассмотрены как аналоги научно-исследовательских задач прикладной математики. Даже простейшая задача на исследование количества решений квадратного уравнения представляет собой модель бифуркационного процесса, т.е. качественного изменения поведения системы при изменении параметров этой системы. Также показаны применения идей и методов, присущих содержательно-методической линии задач с параметрами в экономике, математическом анализе, биологии и т.д. Вообще, построение любой математической модели какого-либо процесса, описывающей поведение сложной системы, практически всегда приводит к необходимости решения задач с параметрами.

В § 2 рассмотрены вопросы классификации задач с параметрами и методов их решения. Приведены различные возможные классификации задач с параметрами, рассмотренные в работах отечественных и зарубежных математиков и методистов. Д. Пойа писал, что классификация задач может оказаться полезной при решении, поскольку «хорошая классификация предполагает разделение задач таким образом, что сам тип проблемной ситуации предопределяет метод решения».

В диссертационном исследовании мы избрали несколько систематизирующих признаков: по заданию, по теме, по методу решения и по сложности

1. «По заданию» или «по постановке» задачи с параметрами можно разделить следующим образом:

1) Задачи, начинающиеся условием «решить»,или «решите».

2) Задачи, начинающиеся с условия «найти» или «найдите».

2. Классификация задач по теме. Набор тем, входящих в программу школьного курса достаточно традиционен.

1) Линейное уравнение и линейная функция.

2) Квадратное уравнение и квадратичная функция.

3) Многочлены. Целые уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств.

4) Дробно-рациональные уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств.

5) Иррациональные уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств.

6) Показательные уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств.

7) Логарифмические уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств.

8) Тригонометрические уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств.

9) Смешанные уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств.

10) Производные элементарных функций и их применение.

11) Сюжетные задачи.

12) Геометрические задачи.

3. Классификация по методу решения. Особенность здесь состоит в том, что задача классифицируется вместе с методом ее решения. Такой подход правомерен для задач чисто учебного уровня, в которых предлагаемый метод или очевидно единствен, или явно предпочтительнее других. Методы бывают общие и частные, алгебраические и геометрические. Это самая общая классификация методов решения.

4. Классификация задач по сложности. Обычно «по сложности» задачи подразделяют на так называемые «элементарные», «базовые или опорные» (в различных классификациях) и творческие или «нестандартные» задачи. Разбиение задач на три уровня сложности традиционно для подавляющего числа задачников. Причем такому разбиению подвергаются не только задачи с параметрами, но и любые другие.

В результате проведенного нами исследования было выяснено и доказано, что:

1. Степень сложности той или иной задачи имеет смысл только относительно субъективного опыта человека или людей, решающих ее.

2. «Элементарные» (репродуктивные) и творческие задачи отличаются между собой только по отношению к решающему их.

Суть противопоставления состоит в том, что для «элементарных» задач существуют доступные решающему их готовые методы или алгоритмы решения, ведущие к правильному ответу, а в случае творческих или «нестандартных» задач эти методы отсутствуют или неизвестны решателю (что чаще всего встречается в процессе обучения).

Таким образом, мы постулируем следующее. Каждая задача, решаемая впервые, это творческая задача. Не имеет никакой принципиальной разницы в том, какова ее действительная сложность в процессе обучения.

Сложность любой задачи может быть оценена только во времени. Так называемые «нестандартные задачи» в процессе накопления умений и методов решения переходят из разряда творческих задач сначала в разряд учебных или опорных. Затем с течением времени, некоторые из них, такие как, например, задача решения линейного или квадратного уравнения с постоянными коэффициентами, переходят в разряд учебных действий.

«Стандартность» или «нестандартность» задачи определяется количеством усилий, затраченных на отыскание путей ее решения. Но как только найден такой путь «нестандартность» задачи исчезает.

В параграфе также рассматриваются и анализируются наиболее употребительные методы решения задач с параметрами: аналитический, функциональный, графический, метод замены, метод изменения ролей переменных, метод перехода от общего к частному, метод свободных ассоциаций, метод «обратного хода и т.н. комбинированные методы.

В § 3 главы 2 рассматриваются основные определения, присущие содержательно-методической линии задач с параметрами. Проводится всесторонний анализ этих понятий, формулируемых в различных учебных и учебно-методических изданиях по математике. Показывается противоречивость приводимых в них определений.

Часто неясность предмета рассуждения становится проблемной мыслительной ситуацией. Если то или иное понятие четко не определено, то неизбежно возникает непонимание. «Нельзя внести точность в рассуждения, если она сначала не введена в понятие», - справедливо утверждал английский астроном Джон Фредерик Уильям Гершель.

Неясность предмета рассуждения возникает обычно в следующих случаях. Во-первых, когда мы не понимаем какие-либо термины. Во-вторых, когда одно и то же понятие разные книги, словари и разные авторитеты определяют различно. Именно таким образом обстоит дело с понятием «параметр». В теории решения задач система понятий должна быть сформулирована с учетом общематематических и психолого-педагогических требований. В математическом аспекте разработка понятий должна осуществляться на основе фундаментальных математических понятий и методов, как естественное расширение и углубление школьной системы математических понятий. Существенными признаками понятия «параметр», на наш взгляд, являются независимость переменной, обозначающейся этим термином, и «управляемость» ею решения задачи.

1. Независимость переменной, обозначаемой термином «параметр» легко просматривается в большинстве соответствующих задач. Например, если поставлена задача «решить уравнение х2 +1 = ротносительно переменной хс параметром р », то независимость переменной р состоит хотя бы в том, что она не обязана принимать значения не меньшие 1, в силу равенства величине, принимающей такие значения.

2. «Управляемость» решением задачи данной переменной заключается в том, мы должны ей каждый раз «подчиняться», каждый раз указывая ответ в зависимости от значений этой переменной.

В подавляющем большинстве задач некоторая переменная, входящая в условие явно «назначается» параметром. Таковы задачи, начинающиеся словами такими как «Найдите все значения параметра...», или « Решите ... при всех значениях параметра...» в условии которых явно указан идентификатор параметра. Но есть широкий класс задач, по своей сути параметрических, которые традиция к таковым не относит. Это тригонометрические задачи, задачи на нахождение минимума и максимума, нахождение области значений некоторых функций и т.д. В этих задачах параметр появляется по ходу составления математической модели или по ходу решения задачи.

Появление параметра может быть также обусловлено свойствами функций, входящих в условие. Например, уравнение ^тх-! +с<к4х = 1

параметрами к и п, появляющимися из-за свойства периодичности соответствующих функций.

равносильными преобразованиями сводится к системе

которая в

свою очередь сводится к системе

Более того: даже единственная переменная, на каком-то этапе решения может приобретать свойства параметра. Приведем следующий пример.

Решение. Проведем равносильные преобразования, рационализирующие данное уравнение.

Следующим шагом уравнение системы приводится к общему уравнению 4 степени вида лг4-10х2-*+20 = 0, которое рациональных, а тем более, целых корней не имеет. Оно, конечно, может быть решено методом неопределенных коэффициентов, однако путь этот трудоемок и долог.

Другое дело, если это уравнение рассмотреть как уравнение относительно символа 5П). придав временно переменной статус параметра, а символу 5, напротив, - статус переменной.

Имеем: 5 + х = 52-2-;с2-5 + ;е4 о52-(2х2+1)-5 + (л;4-х) = 0. Вычислим дискриминант этого уравнения (он будет зависеть от параметра!).

0(х) = (2х2+1)2-4(х4-х) = 4х2+4х + 1 = (2х+1)\

Следовательно, это уравнение легко разрешается относительно символа

Сформулируем базовые определения диссертационного исследования.

Определение 1. Параметром называется независимая переменная величина, входящая в условие задачи, или появляющаяся в процессе ее решения, «управляющая» решением задачи.

Определение 2. Задача, в условии которой содержится или в ходе решения которой появляется хотя бы одна независимая переменная, удовлетворяющая определению понятия «параметр», называется задачей с параметром или параметрами.

Введенное определение параметра позволяет сформулировать простейшие, но весьма важные для дальнейшего понимания следствия.

Следствие 1. Все величины, входящие в аналитическое выражение, задающее условие задачи подразделяются на две категории: постоянные и переменные.

Определение 3. Постоянными называются величины, значения которых остаются неизменными в условиях любой задачи, использующих их.

Заметим, что использование в качестве идентификатора постоянной величины чисел не обязательно. Постоянные величины могут обозначаться и буквами.

Решите уравнение >/5+л/5 + х

^У+45 + х =л«Т5 = Х2-Л

5 = х2 + х +1

Следствие 2. Объявление тех или иных независимых переменных искомыми или параметрами определяется либо условиями задачи, либо методами, используемыми в ходе ее решения.

Следствие 3. Любая переменная, входящая в аналитическое выражение, задающее условие задачи, (и, как мы видели, не только переменная) может быть объявлена неизвестной (аргументом).

Следствие 4. Все оставшиеся переменные объявляются параметрами, которым «присваиваются по умолчанию» некоторые числовые значения, входящие в область определения аналитического выражения, задающего условие задачи.

На основе приведенного понятия «параметр» формулируются понятия «задача с параметрами», «решение задачи с параметрами» и другие, относящиеся к понятийной базе формируемой содержательно-методической линии задач с параметрами.

На основе построенной в § 3 теоретической базы содержательно-методической линии задач с параметрами в § 4 главы 2 проводится методологический анализ уравнений и неравенств с одним или несколькими параметрами.

Уравнения и неравенства с параметрами выступают как объекты исследований более общего характера, нежели обычные уравнения и неравенства, составляющие соответствующую содержательно-методическую линию школьного курса математики.

Во-первых: всякое уравнение или неравенство с параметрами есть с одной стороны уравнение или неравенство с несколькими независимыми переменными, а с другой - бесконечная совокупность частных уравнений или неравенств. Нахождение решения уравнения или неравенства с параметром или параметрами означает решение каждого из частных уравнений или неравенств соответствующей совокупности.

Во-вторых: метод решения уравнения или неравенства с параметрами включает методы решения частных уравнений или неравенств в качестве частных случаев, моментов исследования;

В-третьих: понятие решения уравнения или неравенства с параметрами претерпевает существенные изменения с изменением количества переменных:

- решение частного уравнения - координата точки числовой оси, общее решение уравнения с одним параметром - координаты точек линии на плоскости;

- решение частного неравенства - координаты множества точек числовой прямой, решение неравенства с одним параметром - координаты точек области на плоскости;

- решение уравнения с двумя переменными - координаты точек области на плоскости, общее решение уравнения с двумя параметрами - координаты точек области в пространстве и т.д.

При этом в качестве методологического принципа выступает предложение В.В.Давыдова о том, что «процесс выведения понятий должен быть очень осторожным - нужно найти многие опосредующие звенья, чтобы

объяснить и понять некоторое конкретное явление как соответствующее его сущности, тем более что здесь могут быть значительные искажения «чистого» превращения всеобщего в частное».

Глава 3 диссертационного исследования «Разработка и формирование содержательно-методической линии задач с параметрами», состоит из 3 параграфов, в первом из которых рассматриваются методические и дидактические принципы, использованные нами в ходе формирования содержательно-методической линии задач с параметрами.

1. Принцип консервативности (наследственности). Каждая задача с параметром должна (особенно в средней школе, на этапе формирования всей содержательной методической линии) самым прямым и непосредственным образом быть связана с основным, базовым учебным материалом. С точки зрения содержания программы обучения, тут не должно быть «ничего нового». Новизны может присутствовать в самой постановке вопросов, в разнообразности подходов к исследованию задачи. Даже простейшие примеры могут служить материалом для такого исследования. Рассматривая, например, задачу: «Решите уравнение 4+тх = Зх+1» и слегка меняя ее формулировку, можно получить абсолютно новое по своей сути задание: «Найдите значение переменной х, которое не может быть решением уравнения 4+тос=Здг+1ни при одном значении параметра т ».

2. Принцип «от простого - к сложному». Главная функция методики заключается в определении средств и методов, с помощью которых на базе имеющегося содержания реализуются основные целй обучения. Первый шаг состоит в том, что мы объявляем своей задачей развитие системного мышления, заменяя им одним все перечисленные в целях виды развития, и считаем такую замену вполне адекватной. Теперь возникает вопрос о способах измерения уровня теоретического развития и методах повышения этого уровня. И тут естественным образом мы вспоминаем о таком явлении, как задача с параметрами. Постулируется следующее утверждение: уровень математического развития школьника эквивалентен уровню сложности решаемых им задач. Задача становится одновременно и целью и средством обучения. Все проблемы переводятся в плоскость задач: мы должны разработать методы оценки уровня сложности задачи и методики, развивающие умение решать достаточно сложные задачи.

3. Принцип активизации учебной деятельности. Виды учебной деятельности можно упорядочить по степени активности ученика. С одной стороны располагаются пассивные виды учебной деятельности, а с другой - активные. Можно принять за аксиому то, что более активные виды учебной деятельности дают лучший результат. Принцип активизации учебной деятельности выводит на первые роли в учебном процессе задачу, а особенно задачу с параметрами.

4. Принцип естественности. Как продолжение предыдущего принципа, на наш взгляд, необходимым условием формирования нормального отношения к задачам с параметрами со стороны учащихся, является естественность

появления этих задач. Успешное исследование и решение задачи с параметром явным образом должно демонстрировать, что, в принципе, мы просто ознакомились с уже известным нам объектом, но на более тонком уровне.

5. Принцип актуальности (значимости). Крайне желательно, чтобы задача с параметрами, а точнее, ее успешное решение, имело бы ясную школьнику учебную значимость, возможность использования или применения результатов в других задачах, или дальнейшей самостоятельной работе. Здесь будет правильным указать на то, что эти задачи есть простейшие модели настоящих научно-исследовательских задач, с которыми, возможно, учащимся придется столкнуться в будущем.

6. Принцип перспективности. Преподавателям и учителям хорошо известно, что замена числовых данных конкретной задачи на параметры открывает практически неограниченные возможности по разработке и получению или аналогичных, или совершенно новых задачных ситуаций. Образно говоря, в одной комнате, где хранится числовой ответ к конкретной задаче, на самом деле, имеется множество невидимых, на первый взгляд, дверей, при открытии которых возникают совершенно другие комнаты, коридоры, переходы, дворцы и замки. В полной мере формирование такого понимания задач с параметром возможно только к окончанию школы. Но представление о том, что введение параметров в обычных задачах открывает перспективы перехода к качественно новым учебным вопросам, можно и полезно формировать уже и в простейших ситуациях.

7. Принцип концентричности. Усвоение новых знаний, новых понятий, новых методов решения задач, должно постоянно опираться на ранее полученные результаты, методы и приемы применять их в ходе решения вновь рассматриваемых задач. Только в процессе постоянного совершенствования применения ранее приобретенных методов решения и включения, новых можно реализовать системный подход к решению не только задач с параметрами, но и любых других проблем.

8. Принцип активного усвоения. В книге замечательного математика и педагога Д. Пойа (George Polya) «Математическое открытие» приведены следующие слова: «Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому. То, что вы были принуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы сможете снова воспользоваться, когда в том возникнет необходимость». В этом заключается принцип активного усвоения. Задачи с параметрами являются прекрасным средством для воплощения этого принципа в обучении математике.

Параграф 2 главы 3 посвящен конкретным методикам развертывания содержательно-методической линии в фундаментальных темах курса математики любой направленности: «Линейное уравнение и линейная функция», «Квадратное уравнение и квадратичная функция». Приводятся конкретные этапы развития и формирования линии, ее наполняемость, предусматривается возможность построения элективных курсов, курсов по выбору. Например, развертывание и наполнение формируемой линии в теме

«Квадратное уравнение и квадратичная функция» может быть представлены в виде схемы (Рис. 1)._

Квадратный трехчлен - ах1 +Ьх + с, с1 О

Элементарное исследование Решение квадратных уравнений, неравенств.

Корни и дискриминант Разложение на множители Отрицательность дискриминанта, Сохранение знака трехчлена, Доказательство неравенств

Теорема Виета

Решение симметрических систем уравнений

Расположение корней относительно нуля Пропедевтика решения показательных уравнений и неравенств

1 >

Расположение корней относительно точки р Решение иррациональных уравнении и неравенств

Расположение корней относительно [—1; 1] Решение тригонометрических уравнении и неравенств

Расположение корней относительно [р \ Решение логарифмических уравнений и неравенств

Рис. 1.

Каждый из входящих в схему блоков проиллюстрирован соответствующим набором задач.

В параграфе 3 главы 3 приводятся конкретные результаты многолетней экспериментальной работы по использованию содержательно-методической линии задач с параметрами в практике обучения математики в школах различной направленности и различного уровня математической подготовки. Приведенная статистика убедительно подтверждает, что экспериментальная программа по математике, конечно, вместе с качественной подготовкой учащихся по другим предметам, предоставляет выпускникам право широкого выбора, реализуемого ими.

Кроме результатов обучения, выразившихся в качестве поступления учащихся в различные ВУЗы, психологической службой гимназии совместно с автором программы, было проведено исследование развития основных способностей учащихся, продолжавшееся на протяжении 5 лет. Как

показывают результаты исследования налицо стабильное превышение основных показателей учащихся экспериментальной группы над аналогичными показателями контрольной группы.

В заключении диссертации изложены основные результаты, полученные в ходе исследования:

1. На основе изучения психолого-педагогической и методической литературы, а также глубоком анализе практической работы автора и учителей предметников по исследуемой теме доказано, что:

- формирование содержательно-методической линии задач с параметрами есть инструмент для развития системного математического и логического мышления, причем не только учащихся, но и преподавателей.

- альтернативность идей и методов решения задач с параметрами станет основой для развития самостоятельности действия учащихся в различных областях, приведет к возможности изменения ментальных моделей мышления, появления новых моделей.

- реализация огромного творческого потенциала задач с параметрами будет способствовать развитию эстетического воспитания учащихся.

2. В исследовании были определены принципы, положенные в основу создания и практического наполнения содержательно-методической линии задач с параметрами: принцип консервативности, принцип от простого - к сложному, принцип активизации учебной деятельности, принцип естественности и др.

3., Разработана теоретическая база содержательно-методической линии, включающая определения параметра как независимой переменной, «управляющей» решением задачи, определения « задачи с параметрами и ее решения», «допустимого значения параметра» и др.

4. Предложены конкретные методики наполнения и развертывания содержательно-методической линии задач с параметрами в отдельных темах школьной математики: «Линейное уравнение и линейная функция», «Квадратное уравнение и квадратичная функция», являющихся базовыми темами в классах любой направленности и любого профиля.

5. Подобрана и составлена целостная система задач и упражнений, которая, как показала многолетняя практика преподавания в различных школах г.Москвы, самым благоприятным образом способствует развитию системного типа мышления учащихся и показывает учащимся возможности практического применения полученных ими знаний, идей и методов.

6. Предложенная содержательно-методическая линия задач с параметрами предоставляет каждому учителю возможность строить на ее базе целую мозаику элективных курсов, органично составляющих с ней единое целое и использующих основные идеи и методы в приложениях к тем или иным предметам: физике, экономике и др.

7. Экспериментальная проверка выдвинутых гипотез и предположений полностью подтвердила их справедливость, показала доступность и эффективность использования содержательно-методической линии, как линии

формирующей системный тип мышления учащихся, умение мыслить самостоятельно, решать встающие перед ними задачи выбора.

Разработанные нами рекомендации могут использоваться учителями математики, применяться при создании учебников и дидактических материалов, при работе со студентами математических (и не только) факультетов педагогических ВУЗов.

Основные результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях. Монографии.

1. Решение задач с параметрами. Теория и практика. Монография. - М.: «Экзамен», 2009. - 286, [2] с.

Публикации в изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий.

1. Формирование содержательно-методической линии задач с параметрами в ходе изучения свойств квадратичной функции.//Математика в школе. М.: ООО «Школьная пресса», 2008, №7, С. 31-37.

2. Вступительные экзамены в ВУЗы. Московский городской педагогический университет//Математика в школе. М.: ООО «Школьная пресса», 2008, № 3 С. 49-53 (в соавт. Корешкова, Т.А., Шевелева, Н.В. - 33%).

3. Итоговая аттестация по алгебре и началам анализа в 11 классах школ города Москвы // Математика в школе. М.: ООО «Школьная пресса», 2001, № 9. С.4 - 19 (в соавт. Арнольд, В.Д., Блинков, А.Д., Голубев, В.И., Саакян, С.М., Семёнов, A.B., Ященко, И.В., - 12%).

4. Когда же появляются посторонние корни. // Математика в школе. М.: ООО «Школьная пресса», 2003 № 9. С.21 - 22. (в соавт. Климентьева, М.Г., -50%).

5. Об ошибках при исправлении ошибок.//Математика в школе. М.: ООО «Школьная пресса», 2003 №4, С.78 - 79. (в соавт. Климентьева, М.Г. - 50%).

Учебные пособия

1. Математика. Решение задач повышенной сложности. М.: Интеллект-Центр, 2007. - 480 с. (в соавт. Рязановский, А.Р., - 50%).

2. Математика. Методическое пособие для подготовки. М.: Экзамен, 2006. -320 с. (в соавт. Глазков, Ю.А., Корешкова, Т.А., Шевелёва, Н.В. - 25%).

Статьи и тезисы

1. Об использовании вспомогательных задач. // В сборнике материалов научно-практической конференции «Проблемы совершенствования преподавания математики в школе и в вузе». Выпуск 8. М.: МПГУ, 2003, С. 146-147.

2. Отбор корней в тригонометрических уравнениях // Математика. М.: Издательский Дом «Первое сентября», 2006 , №17. С. 9 - 10.

3. Построим прямую.// Математика. М.: Издательский Дом «Первое сентября»,

2006, №19. С.17-21.

4. Задачи о касательных к параболам // Потенциал. М.: ООО «Азбука-2000»,

2007, №9. С. 31-38.

5. Обратные тригонометрические функции // Математика, М.: Издательский Дом «Первое сентября», 2007, № 4(16) - 32 с.

6. Формулы геометрии помогают алгебре // Квант. М.: «Бюро Квантум», 2007, № 3, С 46 - 54.

7. О понятии «параметр» как базовом понятии содержательно-методической линии задач с параметрами. // В сборнике материалов XXVII Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Проблемы многоуровневой подготовки учителей математики для современной школы», - Пермь: ПГПУ, 2008, С. 108 - 109.

8. Существенные признаки понятия «параметр» в курсе математики общеобразовательной школы. // В сборнике материалов Московской областной научно-практической конференции «Актуальные вопросы преподавания математики в школе и педагогическом вузе», - Коломна: «Коломенский государственный педагогический институт», 2008, С. 84 - 87.

Подписано в печать 19.11.2008 Формат 60x88 1/16. Объем 1 п.л. Тираж 125 экз. Заказ № 791 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Мирошин, Владимир Васильевич, 2008 год

Введение.

Глава 1. Психолого-педагогические аспекты формирования содержательно-методической линии задач с параметрами в системе школьного математического образования.

§ 1. Основные характеристики понятий «система» и «системный анализ» в учебно-методической литературе.

1.1. Определение системы.

1.2. Классификация систем.

1.3. Определения системного анализа и системного подхода.

§ 2. Обзор систем современного школьного математического образования.

§ 3. Системный подход в обучении.

§ 4. Анализ положения задач с параметрами в современной системе школьного математического образования.

4.1. Статистический анализ

4.2. Методологический анализ.

4.3. Психологические аспекты.

Глава 2. Методологический анализ содержательно-методической линии задач с параметрами.

§ 1. Задачи с параметрами как аналоги научно-исследовательских задач прикладной математики.

§ 2. Вопросы классификации задач с параметрами и методов их решения.

2.1. Систематизация задач с параметрами.

2.2. Некоторые методы решения задач с параметрами.

§ 3. Основные понятия задач с параметрами.

3.1.Понятия «параметр» и «задачи с параметрами» в пособиях.

3.2.Понятие «параметр» в учебно-методических комплектах по математике.

3.3. Определение понятия «параметр».

3.4.Основные понятия, связанные с определением параметра.

3.5. Понятие решения задачи с параметрами.

§ 4. Понятие общего решения уравнения и неравенства с параметром (параметрами).

4.1 Уравнение с одной переменной и одним параметром.

4.2. Классы однотипности частных уравнений.

4.3. Понятие общего решения неравенства с параметром.

Глава 3. Разработка и формирование содержательно-методической линии задач с параметрами.

§ 1. Принципы разработки содержательно-методической линии задач с параметрами.

§ 2. Формирование содержательно-методической линии задач с параметрами.

2.1. Понятия постоянной и переменной величин. Выделение параметров из множества переменных.

2.2. Введение понятия линейного уравнения относительно приоритетной переменной.

2.2.1. Рассмотрение частных случаев линейных уравнений.

2.2.2. Формулировка понятия «уравнение», «корень уравнения».

2.3. Формирование содержательно-методической линии задач с параметрами в ходе изучения свойств квадратичной функции.

2.3.1.Методика построения содержательно-методической линии задач с параметрами в теме «Квадратный трехчлен. Квадратичная функция».

§ 3. Результаты экспериментальной работы и основные выводы.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Формирование содержательно-методической линии задач с параметрами в курсе математики общеобразовательной школы"

В «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года», содержатся следующие положения: Роль математической подготовки в становлении современного человека определяет следующие цели школьного математического образования:

- приобретение конкретных математических знаний, необходимых для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин образования, для продолжения образования;

- интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе;

- формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности;

- формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии человеческой цивилизации и современного общества.

Порядок перечисления этих целей не определяет их иерархии, все они рассматриваются как одинаково значимые для формирования личности в процессе освоения математики».

Роль образования для развития творческих способностей личности неоценима. Особенно важна роль математики. «За всю историю человечества пока не найдено лучшего способа развития интеллектуальных и творческих способностей человека, чем при помощи математики» [123]. «Важнейшим средством формирования у школьников высокой математической культуры, активизации обучения математике является эффективная организация и управление учебной деятельностью в процессе решения различных математических задач» [54].

Существующая ныне система учебных математических задач, созданная в основном во второй половине XX века, не отвечает уже в полном объеме современным требованиям. Теория и практика методики обучения математике показывают, что учащемуся уже недостаточно знать лишь предметное содержание математического факта для его полноценного усвоения. Требуется еще уметь видеть и понимать способы организации этого содержания, логическую структуру изучаемого, его место в общей системе математических знаний. Но для этого необходимо предложить инструмент, позволяющий учащимся выработать современный системный тип мышления ([122], [96], [97], [7]), отвечающий настоящему этапу развития общества. Мышление всегда системно. Успешность решения той или иной задачи зависит от того, насколько системно подходит к ее анализу решающий задачу. Неудачи зачастую связаны с отходом от системности, с недооценкой тех или иных связей между компонентами системы. Нам видится, что задачи с параметрами представляют собой именно такой инструмент для реализации современных целей математического и не только математического образования учащихся. При этом решение задач будет осуществляться переходом на новый, более высокий уровень системности [5].

В школьной математике хорошо известны различные содержательно-методические линии ([79],[80], [81], [40], [29], [30], [68] и др.): арифметическая, числовая, функциональная, геометрическая, тождественных преобразований, эквивалентностей или равносильных преобразований, алгоритмическая и т.д., однако устоявшееся определение данного понятия отсутствует. Некоторые из названных линий существуют только в курсе школьной математики, появляясь в определенных местах курса (арифметическая линия), некоторые проходят через весь курс (функциональная, алгоритмическая линии), являясь «сквозными методическими линиями» [68], имеющими продолжение и в курсе высшей математики. Однако, ограниченность круга задач, предлагаемых в УМК, однотипность алгоритмов, присущих им, уже не может удовлетворять современным потребностям школьного образования. Следует отметить, что в средней и старшей школе превалирует классический подход к преподаванию не только математики, но и большинства предметов. Это объясняется рядом причин методического и психологического характера, в том числе и отсутствием инструментария реализации задач развивающего образования, необходимого современным учащимся.

Таким инструментарием в курсе математики должна стать содержательно-методическая линия задач с параметрами. Глубокая, богатая идеями и методами — содержательно-методическая линия задач с параметрами как нельзя лучше позволит развить активную творческую деятельность учащегося, развития его системного мышления, подготовки к решению действительно творческих задач, которые со временем перед ним поставит сама жизнь. Глубина идей решения позволит системно выявлять категорию учащихся, которые в дальнейшем будут связывать свою жизнь с точными науками. Однако и для других учащихся участие в решении задач с параметрами даст возможность занимать активную творческую позицию. Отметим, что наиболее высокая форма синтеза знаний реализуется в виде наук о самых общих свойствах природы. К числу таких наук относится, в первую очередь, философия, которая выявляет и отражает общие свойства существования материи. Поэтому идеи, методы и подходы, привносимые содержательно-методической линией задач с параметрами, может быть еще в большей степени полезны «гуманитариям», нежели «технарям».

В силу своего богатого общекультурного потенциала и развивающего характера, соответствия целям математического образования, задачи с параметрами стали объектом пристального изучения многих математиков и методистов. В книгах таких авторов как Моденов П.С., Моденов В.П., Новоселов С.И., Мордкович А.Г., Шарыгин И.Ф., Олехник С.Н., Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х., Башмаков М.И., Вавилов В.В., Галицкий М.А., Гольдман A.M., Голубев В.И., Марков В.К., Звавич Л.И., Мельников И.И., Сергеев И.Н., Пасиченко П.И., Тынянкин С.А., Ястребинецкий Г.А. и многих других рассмотрен широкий класс задач с параметрами и различные методы их решения. Однако используемый в литературе экстенсивный подход привел к увеличению примеров, не столько имеющих самостоятельную ценность, сколько ' затрудняющих ориентацию учащихся в обширном спектре разнообразных задач с параметрами. Но в большинстве пособий явно или неявно подразумевается, что использующие их школьники свободно владеют основными методами решения любых задач школьной программы. Практически всегда, конкретный учебный материал в них носит очевидный «постшкольный» характер. Изложение и предмет исследования чаще всего начинается там, где кончается обычная школьная программа. При таком подходе «переориентация методической системы на приоритет развивающей функции обучения по отношению к ее образовательной, информационной функции, как основной задаче перестройки школьного математического образования» (Г. В. Дорофеев) не происходит.

Задачам с параметрами, а так же методам их решения посвящены специальные разделы в пособиях для поступающих в вузы, отдельные' монографии и диссертационные работы ([3] ,[27], [28], [29], [30], [39] и др.). В диссертационных исследованиях Арюткиной С.В., Брянцевой Т.Н., Горбачева В.И., Остапчука А.И., Толпекиной Н.В., Шивринской Е.В., приведены различные методики их использования и приёмы решения многочисленных типов задач с параметрами. Однако в них задачи с параметрами не рассматриваются как составная часть системы школьного математического образования, а только как её продолжение, или как некоторое её дополнение. Тем самым общая направленность этих диссертационных исследований также состоит в рассмотрении все более сложных видов задач, при котором задачи школьного курса алгебры априорно уже «вынесены за скобки». Другими словами, в упомянутых работах и диссертационных исследованиях не ставится вопроса о создании новой содержательно-методической линии как составной части системы общего школьного математического образования,

Движение по содержательно-методической линии задач с параметрами происходит не «вверх», по нарастанию сложности, а, напротив, к основам школьной математики. Проблема целостного интегрирования линии задач с параметрами в сложившуюся систему школьного математического образования, проблема системной подготовки учащихся к выпускной аттестации , имеющееся явное противоречие между количеством и уровнем сложности задач с параметрами, изучаемых в школе, и задач на эту тему, предлагаемых при поступлении в вузы или среди задач с развернутым ответом единого государственного экзамена определили актуальность диссертационного исследования.

Имеется противоречие между потребностью учащихся и учителей в научно обоснованных методологических подходах, представляющих элемент методической системы, направленной на формирование системного мышления в рамках содержательной линии задач с параметрами и, соответственно, преподавания математики и почти полным их отсутствием в процессе обучения.

Проблема исследования состоит в разрешении противоречия между уровнем сложности задач с параметрами, изучаемых в школе, и уровнем сложности задач, предлагаемых при поступлении в Вузы, задач с развернутым ответом Единого Государственного экзамена, в выявлении возможных путей совершенствования обучения математике и разработке соответствующих средств реализации через создание содержательно-методической линии задач с параметрами.

Объект диссертационного исследования — курс алгебры основной школы и курс алгебры и начал математического анализа старшей школы.

Предмет диссертационного исследования - содержание, формы, методы и средства решения задач с параметрами в средней общеобразовательной школе.

Гипотеза исследования состоит в том что, создание содержательно-методической линии задач с параметрами и системное использование этих задач будет служить для того, чтобы не только формировать учебные навыки, но и самым благоприятным образом способствовать развитию системного типа мышления учащихся, показывать учащимся возможности практического применения полученных ими знаний, идей и методов, предоставить каждому учителю возможность строить на ее базе целую мозаику элективных курсов, органично составляющих с ней единое целое и использующих основные идеи и методы в приложениях к тем или иным предметам: физике, экономике и др.

Цель и гипотеза исследования потребовали решения ряда задач:

1. Провести методологический анализ положения задач с параметрами в школьной математике.

2. Разработать понятийный аппарат содержательно-методической линии задач с параметрами.

3. Провести систематизацию основных типов задач с параметрами, а также методов их решения.

Решения перечисленных задач составили основные шаги в достижении главной цели данного исследования.

В ходе решения поставленных задач применялись различные методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической, математической и научно-методической литературы, школьных учебников и учебных пособий, пособий по подготовке для поступления в ВУЗы ; обобщение наличествующего опыта по исследуемой проблеме; анализ личного опыта работы в школе и опыта работы других учителей математики; педагогический эксперимент по проверке основных положений диссертационного исследования.

Научная новизна проведенного исследования состоит в следующем:

2. Разработан понятийный аппарат, явившийся основой решения проблемы формирования содержательно-методической линии задач с параметрами и её системной интеграции в курс математики средней общеобразовательной школы

Теоретическая значимость исследования состоит в следующем:

3. Определены место задач с параметрами в общей структуре содержательно-методических линий школьного курса математики как обобщающей составляющей этого курса.

Практическая значимость исследования заключается в следующем.

2. Разработано методическое содержание линии < задач с параметрами, учебные материалы по темам курса математики, содержащие задачи с параметрами.

3. Созданная содержательно-методическая линия задач с параметрами позволяет активизировать творческую составляющую деятельности учащихся, развить их системное мышление , подготавливает к решению действительно творческих задач.

4. Разработаны методики поэтапного формирования навыков решения задач с параметрами в курсе математики 7 — 9 классов основной школы и их дальнейшим продолжением в курсе математики старшей школы.

Апробация и внедрение результатов.

Основные положения и результаты диссертации были апробированы на занятиях спецкурса дисциплины по выбору для студентов III — V курсов математического факультета МГПУ, в выступлениях на методических семинарах для учителей математики Северо-Западного учебного округа г. Москвы (в 2003 - 2007 годах), при чтениях лекций на курсах повышения квалификации учителей математики при МГПУ в 2003-2007 годах.

На защиту выносятся следующие положения:

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, библиографии (151 наименование), приложения. Объём диссертации - 175 страниц, объём приложения - 48 страниц.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Заключение и основные выводы. В процессе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с его целями и задачами получены следующие основные выводы и результаты:

1. На основе изучения психолого-педагогической и методической литературы, а также глубоком анализе практической работы автора и учителей предметников по исследуемой теме были выдвинуты методические идеи, которые положены в основу формирования содержательно-методической линии задач с параметрами в курсе математики общеобразовательной школы.

2. В исследовании были определены принципы, положенные в основу создания и практического наполнения содержательно-методической линии задач с параметрами.

3. Была разработана методика развертывания содержательно-методической линии задач с параметрами в отдельных темах школьной математики: «Линейное уравнение и линейная функция», «Квадратное уравнение и квадратичная функция», являющихся базовыми темами в классах любой направленности и любого профиля.

4. Подобрана и составлена целостная система задач и упражнений, позволяющая не только формировать учебные навыки, но и самым благоприятным образом способствующая развитию системного типа мышления учащихся, показывающая учащимся возможности практического применения полученных ими знаний, идей и методов.

5. Предложенная содержательно-методическая линия задач с параметрами не только соответствует государственным требованиям к подготовке учащихся за курс средней школы, но и по большинству программных вопросов превосходит их. При этом содержательно-методическая линия задач с параметрами предоставляет каждому учителю строить на ее базе целую мозаику элективных курсов, органично составляющих с ней единое целое и использующих основные идеи и методы в приложениях к тем или иным предметам: физике, экономике и др.

6. Экспериментальная проверка выдвинутых гипотез и предположений полностью подтвердила их справедливость, показала доступность и эффективность использования содержательно-методической линии, как линии формирующей системный тип мышления учащихся, умение мыслить самостоятельно, решать встающие перед ними задачи выбора.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Мирошин, Владимир Васильевич, Москва

1. Аверьянов, А.Н. Системное познание мира Текст. / А.Н. Аверьянов.— М.: Политиздат, 1985.-263 с

2. Айсмонтас, Б.Б. Педагогическая психология. Схемы и тесты Текст. / Б.Б. Айсмонтас.- М.: Владос-пресс, 2006. 207 с

3. Амелькин, В.В. Задачи с параметрами Текст. / В.В. Амелькин, B.JI. Рабцевич М.: Асар, 1996. - 461 с

4. Ананьев, Б. Г. Избранные труды по психологии. Текст. / Б.Г. Ананьев — Санкт-Петербург: Изд-во Санкт-Петербургского ун-та, 2007. 409 с

5. Антонов, А.В. Системный анализ Текст. / А.В. Антонов.- М.: Высшая школа, 2006. 456 с

6. Аргинская, И.И. Математика: Метод, пособие к учебн. 2 кл. четырехлетн. нач. шк. Текст. / И.И. Аргинская М.: Центр общего развития, 2000. — 155 с

7. Баркер, Джоэл. Парадигмы мышления Текст. / Д. Баркер — М.: Альпина бизнес букс, 2007. 192 с

8. Богоявленская, Д.Б. Психология творческих способностей. Текст. / Д.Б. Богоявленская М.: Академия, 2002. — 317 с

9. Богоявленская, Д.Б. Психология одаренности: понятие, виды, проблемы. Вып.1. Текст. / Д.Б. Богоявленская, М.Е. Богоявленская М.: МИОО, 2005 — 176 с

10. Босс, В. Интуиция и математика Текст. / В. Босс М.: Айрис-пресс. — 183 с

11. Браверманн, Э.М. Преподавание физики, развивающее ученика Текст.: в 3 кн. / Э.М. Браверманн — М.: Ассоциация учителей физики, 2005. Книга 1 — 222 с

12. Брадис, В.М. Алгебра: учебник для VIII X классов средней школы. Под Ред. А.И. Маркушевича: в 2 ч. ч. 2. Текст. / В.М. Брадис, Н.С. Истомина, А.И. Маркушевич, К.П. Сикорский - М.: Учпедгиз, 1957. - 340 с

13. Вавилов, В.В. Задачи по математике. Алгебра. Текст. / В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 456 с

14. Вавилов, В.В. Задачи по математике. Уравнения и неравенства Текст. / В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.-248 с

15. Вавилов, В.В. Задачи по математике. Начала анализа. Текст. / В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко. М.: Наука, 1990. — 608 с

16. Вертгеймер, М. Продуктивное мышление Текст. / М. Вертгеймер— М.: Прогресс, 1987.—336 с

17. Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ: учебник для 10 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики. Текст. / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд — М.: Просвещение, 1995.-335 с

18. Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ : учебник для 11 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики. Текст. / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд-М.: Просвещение, 2003. 288 с

19. Волков, И.П. Цель одна дорог много. Проектирование процессов обучения. Книга для учителя: Из опыта работы. Текст. / И.П.Волков — М.: Просвещение, 1990- 159 с.

20. Выготский, Л. С.Педагогическая психология. Текст. / Л. С. Выготский. Под ред. [и со вступ. ст., с. 5-32] В. В. Давыдова; [Авт. коммент. В. В. Давыдов]. М.: Педагогика, 1991 -479,1. с.

21. Выготский, Л. С. Мышление и речь: Психика, сознание, бессознательное Текст. / Л.С. Выготский М.: Лабиринт, 2001. - 366 1. с. ил.

22. Ганзен, В. А.Системный подход в психологии : Конспект лекций Текст. / В. А. Ганзен-Л.: ЛГУ, 1983.- 51 с. илл.

23. Гельфман, Э.Г. Психодидактика школьного учебника Текст. / Э.Г. Гельфман, М.А. Холодная — СПб.: Питер пресс, 2006. 384 с

24. Гершунский, Б.С. Философия образования для XXI века: в поисках пратико-ориентированной образовательной концепции Текст. / Б.С. Гершунский. — М.: Пед. общество России, 2002. 508 [3] с

25. Гнеденко, Б.В. Об обучении математике в университетах и педвузах на рубеже двух тысячелетий. Текст. / Б.В. Гнеденко, Д.Б. Гнеденко М.: УРСС, 2006.- 160 с

26. Голви, Тимоти. Работа как внутренняя игра Текст. / Т. Голви.— М.: Альпина бизнес букс, 2007. 272 с

27. Голубев В.И. Абсолютная величина числа в конкурсных экзаменах по математике. Текст. / В.И. Голубев. — Львов.: Квантор, 1991, №8 — 96 с

28. Голубев, В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. Текст. М.: Илекса, 2007. - 252 с. илл.

29. Горбачев, В.И. Технология развивающего обучения в курсе алгебры средней школы: диссертация на соискание ученой степени доктора пед. наук. Текст. / В.И. Горбачев.— Брянск, 2000. 335 с

30. Горбачев, В.И. Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами Текст. / В.И. Горбачев.— Брянск: изд-во БГПУ, 1998. -264 с

31. Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами. Текст. / П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир.- Киев, 1992. 326 с

32. Городинский, Ал. Системная педагогика. Опыт, размышления, проекты. Текст. / Ал. Городинский Денвер 2000. Рига: ПЦ Эксперимент, 2000 - 304 с

33. Громыко, Ю.Н. Новое содержание образования Текст. / Ю.Н. Громыко.-М.: Пушкинский ин-т: Московский учебник, 2001. 253 с

34. Гусев, В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. Текст. / В.А. Гусев.- М.: Вербум-М, 2003. 432 с

35. Гусев, В.А. Математика: Справочные материалы: Кн. для учащихся. Текст. / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович — М: Просвещение, 1988. — 416 с: илл.

36. Давыдов, В.В. Виды обобщений в обучении Текст. / В.В. Давыдов.- М.: Просвещение, 1972.-423 с

37. Программа развивающего обучения (система Д. Б. Эльконина-В. В. Давыдова): 1-6-е кл.: Математика. Текст. / В. В. Давыдов, С. Ф. Горбов, Г. Г. Микулина, О. В. Савельева- М.: ИНТОР, 1997. 42 1. с

38. Далингер, В.А. Методические системы развивающего обучения математике в начальной школе Текст. / В.А. Далингер, Л.П. Борисова- Омск: Изд-во ОмГПУ, 2004. 205 с: илл.

39. Дорофеев, Г.В. Математика. Для поступающих в ВУЗы. 2-е изд. Текст. / Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов.- М.: Дрофа, 1999. 557 с

40. Епишева, О.Б. Учить школьников учиться математике. Формирование приёмов учебной деятельности: Кн. для учителя. Текст. / О.Б. Епишева, В.И. Крупич М.: Просвещение, 1990. — 128 с

41. Епишева, О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода. Книга для учителя. Текст. — М.: Просвещение, 2003. — 127 с

42. Жилин, Д.М. Теория систем. Опыт построения курса Текст. / Д.М. Жилин -М.: УРСС, 2007.- 184 с

43. Жуков, А.В. Где ошибка? Текст. / А.В. Жуков // Математическое образование,- 2001.-№ 6 (1) .- С. 28-30

44. Закон об образовании РФ № 3266-1 от 10 июля 1992 года. Текст. Об образовании : закон РФ: (Ведомости Съезда НД РФ и ВС РФ, 1992, № 30, ст. 1797): в ред. ФЗ - 13-е изд.- М. : Ось-89, 2007 - 95с.- (Федеральный закон).

45. Ильин, Е.Н. Путь к ученику Текст. / Е.Н. Ильин.— М.: Просвещение, 1988 221, [2] с

46. Ильин, Е.Н. Рождение урока Текст. / Е.Н. Ильин — М.: Педагогика, 1986 — 173, [2]с

47. Киселев, А.П. Алгебра, Часть 2. Текст. / А.П. Киселев.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.-208 с

48. Клайн, М. Математика. Поиск истины. Пер. с англ. Ю.А.Данилова. Текст. / Клайн М М.: Мир. - 296 с

49. Козко, А.И. Задачи с параметром и другие сложные задачи. Текст. / А.И. Козко, В.Г. Чирский. М.: МЦНМО, 2007. - 296 с

50. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. 1. Математические задачи как средство обучения и развития Текст. /Ю.М. Колягин — М.: Просвещение 1977.- 110 с

51. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике. 4.2. Математические задачи как средство обучения и развития Текст. /Ю.М. Колягин — М.: Просвещение, 1977.- 144 с

52. Краткий словарь современных понятий и терминов Текст. / [Н. Т. Бунимович, Г. Г. Жаркова, Т. М. Корнилова и др.]; [Сост. и общ. ред. В. А. Макаренко].- 3-е изд., дораб. и доп.- М.: Республика, 2000 669 с.

53. Креативная педагогика: методология, теория, практика / Под ред.Ю.Г. Круглова. М.: МГОПУ им. М.А. Шолохова, изд. Центр «Альфа», 2002. — 240 с

54. Крылов, А.А. Системный подход как основа исследований инженерной психологии и психологии труда. // Методология исследований по инженерной психологии и психологии труда Текст. / А.А. Крылов.- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1974,- 348 с

55. Кудрявцев, Л.Д. Современная математика и её преподавание: Учебное пособие для мат. спец. вузов. Текст. / Л.Д. Кудрявцев. М.: Наука, 1995. -170 с

56. Кузьмин, В.П. Исторические предпосылки и гносеологические основания системного подхода Текст. / В.П. Кузьмин // Психологический журнал.— 1982 — Т. 3, № 3 — С. 3 14; № 4 - С. 3 - 13, С. 10

57. Курант, Р. Что такое математика Текст./ Р. Курант, Г. Роббинс — М.: МЦНМО, 2001.-568 с

58. Лебедев, В.В. Математика в экономике и управлении. Учебное пособие по курсу «Высшая математика» для студентов экономических специальностей вузов. Текст. / В.В. Лебедев. М.: НВТ-Дизайн, 2004. - 480 с

59. Лейтес, Н.С. Возрастная одаренность школьников: Учебное пособие. Для студентов высших педагогических заведений. Текст. / Н.С. Лейтес. — М.: Академия, 2000. 318 с

60. Леонтьев, А.Н. Проблемы развития психики Текст. / А.Н. Леонтьев — М.: Из-во МГУ, 1981.-584 с

61. Лефрансуа, Ги. Психология для учителя Текст. / Г. Лефрансуа- М.: Олма-пресс, 2003.-416 с

62. Ломов, Б.Ф. Системность в психологии Текст. / Б.Ф. Ломов — М.: ин-т практич. психологии, 1996. 384 с

63. Лунгу, К.Н. Систематизация приемов учебной деятельности студентов при обучении математике Текст. / К.Н. Лунгу М.: URSS, 2007. - 420 с

64. Лурье, М.В. Задачи на составление уравнений. Текст. / М.В. Лурье, Б.И. Александров. М.: Наука. 1989. - 96с

65. Макарычев, Ю.Н. Алгебра : учебник для 9 класса с углублённым изучением математики Текст. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков- М.: Просвещение, 2000. 224 с

66. Макдермот, Ян. Практический курс НЛП. Текст. /Ян Макдермот, В.Яго. -М.: Эксмо, 2007.-464 с

67. Марков, В.К. Метод координат и задачи с параметрами Текст. / В.К. Марков М.: Просвещение, 1970. - 146 с

68. Математика. Сборник задач с решениями для поступающих в вузы. Под ред. Говорова В.М., Мирошина Н.В. Текст. / Мирошин Н.В., Говоров В.Н. М.: ACT, 2002,-831 с

69. Методика и технология обучения математике : курс лекций : учебное пособие для студентов математических факультетов вузов / авт.: Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова, В.В. Орлов и др. М.: Дрофа, 2005.-416 с

70. Моденов, В.П. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический.метод. Учебное пособие для школьников и абитуриентов Текст. / В.П. Моденов. — М., Экзамен, 2006. 288 с

71. Моденов, В.П. Математика для школьников и абитуриентов. Текст., / В.П. Моденов. — М.: Институт компьютерных исследований. 2002. — 400 с

72. Моденов, В.П. Решение задач с параметрами. Текст. / В.П. Моденов //Математика в школе 2001 - № 5.- С. 64-68

73. Моденов, П.С. Математика. Пособие для поступающих в ВУЗы. Текст. / П.С. Моденов, С.И. Новоселов,-М.: МГУ, 1966.-431 с

74. Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных школ Текст. / А.Г. Мордкович М.: Мнемозина, 1997. - 160 с

75. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 класс. Учебник для общеобразовательных школ Текст. / А.Г. Мордкович М.: Мнемозина, 1998. - 237 с

76. Мордкович, А.Г. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных школ Текст. / А.Г. Мордкович М.: Мнемозина, 1999. - 191 с

77. Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 класс. Задачник для общеобразовательных школ Текст. / А.Г. Мордкович, Тульчинская Е.Е. — М.: Мнемозина, 1998. 144 с

78. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 класс. Задачник для общеобразовательных школ Текст. / А.Г. Мордкович, Тульчинская Е.Е. М.: Мнемозина, 1998. — 247с

79. Мордкович, А.Г. Алгебра. 9 класс. Задачник для общеобразовательных школ Текст. / А.Г. Мордкович, Тульчинская Е.Е. М.: Мнемозина, 1999. - 144 с

80. Мордкович, А.Г. Задачник-практикум по математике для поступающих в вузы. Алгебра. Тригонометрия. Текст. / А.Г. Мордкович, В.Н. Литвиненко. -М.: ОНИКС 21 век. 2005 464 с

81. Мордкович, А.Г. Беседы с учителями математики. Учебно-методическое пособие. Текст. / А.Г. Мордкович. М.: ОНИКС 21 век. 2005. - 336 с.

82. Мордкович, А.Г. Уравнения и неравенства с параметрами Текст. / А.Г. Мордкович // Математика: еженедельные приложения к газете "Первое сентября"-1994.- (№ 34).- С.2 4

83. Налимов, В.В. Теория эксперимента Текст./ В.В. Налимов — М.: Наука, 1971 -208 с

84. Натяганов, В.Л. Методы решения задач с параметрами Текст. / В.Л. Натяганов, Л.М. Лужина М.: Изд-во Московского университета, 2003. — 368 с

85. Немов, Р.С. Общие проблемы психологии. Психология. Кн. 1. Текст. / Р.С. Немов М.: Просвещение. 2004. - 574 с

86. Никандров, Н.Д. Методологические основы психологии : учебное пособие Текст. / В.В.Никандров Санкт-Петербург: Речь, 2008. - 234 с.

87. Никифоров, Г. С. Психологические аспекты саморегуляции состояния. Учебное пособие. Текст. / Г. С. Никифоров, Ю.И.Филоненко, А.К.Польшин. ЛГУ им. А.А.Жданова. Л.: ЛГУ, 1986 - 43[2] с.

88. Никольский, С.М. Алгебра и начала анализа: И класс: учебник Текст. / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. М.: Просвещение, 2006. - 448 с

89. Новик, И.Б. Системный стиль мышления: особенности познания и управления в сложных системах. Текст. / И.Б. Новик- М.: Знание, 1986 — (Философия № 1) - 64 с

90. Новоселов, С.И. Специальный курс элементарной алгебры Текст. /С.И. Новоселов-М.: Высшая школа, 1956. 552 с

91. О Коннор, Дж., Искусство системного мышления Текст. / Дж. О Коннор, И. Макдермот М.: Альпина бизнес букс, 2006. — 256 с

92. Коннор, Дж. НЛП. Текст. / Дж.,ОКоннор. М.: ФАИР-ПРЕСС, 2007. -442 с

93. Олехник, С.Н., Нестандартные методы решения уравнений и неравенств Текст. / С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко М.: Изд-во МГУ, 1991. - 144 с

94. Олехник, С.Н. Конкурсные задачи по математике. Справ. Пособие. Текст. / С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Нестеренко Ю.В. М.: Наука. 1992. - 478 с

95. Перегудов, Ф.И. Введение в системный анализ Текст. / Ф.И. Перегудов, Ф.П. Тарасенко.-М.: Высшая школа, 1989-С. 367

96. Перышкин, А.В. Физика. Учебник для 7 класса общеобразовательных школ. Текст. / А.В. Перышкин, Н.А. Родина М.: Просвещение, 1997. - 197 с. ил

97. Пойа, Д. Математическое открытие Текст. / Д. Пойа.- М.: Наука, 1976. -448 с

98. Пойа, Д. Как решается эта задача Текст. / Д. Пойа — М.: Наука, 1972.— 214 с

99. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения Текст. / Д. Пойа-М.: Наука, 1975.-464 с

100. Математика. 5-11 классы. Программы. Тематическое планирование / Мин-во образования РФ; Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк- М.: Дрофа, 2000, 2002 — 319с (Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев).

101. Психология развития: учеб. для студентов вузов, обучающихся по направлению и спец. психологии / под ред. Т.Д. Марцинковской— 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Academia, 2005- 526с- (Высшее профессиональное образование) (Психология) (Учебник).

102. Радугин, А.А. Философия. Курс лекций Текст. / А.А. Радугин- М.: Центр, 2001.-272 с

103. Реан, А.А. Психология подростка: учебник Текст. / А.А. Реан М.: Олма-пресс, 2004.- 480 с

104. Ю.Решетова, З.А. Формирование системного мышления в обучении Текст. / З.А. Решетова.— М.: Единство, 2002. 342 с

105. Родионов, Е.М. Математика. Решение задач с параметрами Текст. / Е.М. Родионов М.: изд-во НЦ ЭНАС, 2006. - 214 с

106. Роу, Дж. А. Креативное мышление: как добиться успеха в новом веке. Пер. с англ. Островский В.А. Текст. / Дж. А. Роу М.: NT Press, 2007. - 174 [2] с, ил.

107. ИЗ. Рубинштейн, C.JI. Основы общей психологии Текст. / C.JL Рубинштейн Спб.: Питер, 1998. - 705 с

108. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе Текст. / Г.И. Саранцев.- М.: Просвещение, 2002. 224 с

109. Саранцев, Г.И. Упражнения в обучении математике Текст. / Г.И. Саранцев,- М.: Просвещение, 2005.- 256 с

110. Светлов. В.А. Философия математики. Основные программы обоснования математики XX столетия. Текст. / В.А. Светлов. М.: URSS. -204 с

111. Селевко, Т.К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие для пед. вузов и ин-тов повышения квалификации. Текст. / Г.К. Селевко М.: Народное образование, 1998. - 255 с

112. Сергеев, И.Н. Математика. Задачи с ответами и решениями. Пособие для поступающих в вузы. Текст. / И.Н. Сергеев. М.: КДУ, 2005. - 358 с

113. Стенберг, Р. Учись думать творчески! (12 теоретически обоснованных стратегий обучения творческому мышлению): Основные современные концепции. творчества и одаренности Текст. / Р. Стенберг, Е.М. Григоренко-М.: Молодая гвардия, 1997. — 128 с

114. Столяр, А.А. Педагогика математики. Текст. Минск: Высшая школа, 1974.

115. Спиридонов, В.Ф. Психология мышления. Решение задач и проблем. Текст. М.: Генезис, 2006. - 320 с

116. Талызина, Н.Ф. Педагогическая психология: Учебное пособие для студ. сред. пед. учеб. Заведений. Текст. / Н.Ф. Талызина М.: Академия, 1998. - 288 с

117. Терстон, У. Об обучении математике. Текст. / У. Терстон // Математическое просвещение 2007.— вып. 11.- С. 21-36

118. Тихомиров, В.М. Математическое образование есть благо Текст. // В.М. Тихомиров. Математика. М.: Издательский Дом «Первое сентября» 2005. № 14, С. 3-5

119. Ткачук, В.В. Математика абитуриенту Текст. / В.В. Ткачук.— М.: МЦНМО, 2002. 904 с

120. Толковый словарь математических терминов : Пособие для учителей Текст. / О.В. Мантуров, Ю.К. Солнцев, Ю.И. Сорокин, Н.Г. Федин; под ред. В.А. Диткина М.: Просвещение, 1967. - 540 с

121. Толковый словарь русского языка : в 4 т. Т 3. Текст. / под ред. Д.Н. Ушакова М.: Русские словари, 1999. - 1562 стб., [57]

122. Тынянкин, С.А. Пятьсот четырнадцать задач с параметрами Текст. / С.А. Тынянкин — Волгоград: 1991. 160 с

123. Филатова, JI.O. Развитие преемственности школьного и вузовского образования в условиях введения профильного обучения в старшем звене средней школы. Текст. / O.JI. Филатова. — М.: Бином. 2005. — 192 с

124. Философский энциклопедический словарь. Ред. сост. Е.Ф. Губский. Текст. / М.: ИНФРА-М, 1997. - 574 с

125. Фридман, Г.И. Сюжетные задачи по математике Текст. / Г.И. Фридман — М.: Школьная пресса, 2002. — 208 с

126. Фридман, J1.M. Теоретические основы методики обучения математике Текст. / Л.М. Фридман.- М.: УРСС, 2004. 248 с.

127. Хомяков, П.М. Системный анализ Текст. / П.М. Хомяков М.: УРСС, 2007.-216 с

128. Шадриков, В.Д. Введение в психологию : способности человека Текст. / В.Д. Шадриков.- М.: Логос, 2002. 160 с

129. Шадриков, В.Д. Интеллектуальные операции Текст. / В.Д. Шадриков-М.: Логос, 2006. 108 с

130. Шадриков, В.Д. Ментальное развитие человека Текст. / В.Д. Шадриков.— М.: Аспект пресс, 2007. 420 с

131. Шадриков, В.Д. Проблемы системогенеза профессиональной деятельности Текст. / В.Д. Шадриков.-М.: Наука, 1982. 185с

132. Шарыгин, И.Ф. Стандарт по математике. 500 геометрических задач : кн. для учителя Текст. / И.Ф. Шарыгин.- М.: Просвещение, 2005 — 205 с.

133. Шаталов, В.Ф. Куда и как исчезли тройки. Текст. / В.Ф. Шаталов-М.: Педагогика, 1979. 173 с

134. Шафаревич, И.Р. Математическое мышление и природа Текст. / И.Р. Шафаревич // Математическое образование.— 1998-№ 2 (5).- С. 67-75

135. Шестаков, С.А. Уравнения с параметром Текст. / С.А. Шестаков, Е.В. Юрченко.- М.: Слог, 1993. 60 с

136. Шпенглер, О. Закат Европы. Очерки морфологии мировой истории. Пер. с нем., Текст. / О. Шпенглер-М.: Искусство, 1993.-298, [5] с

137. Штейнгауз, Г. Математика — посредник между духом и материей. Пер. с польс. Б.И. Копылова. Текст. / Г. Штейнгауз. М.: Бином. 2003. — 350 с

138. Шустер, Ф.М. Методика преподавания алгебры. Текст. / Ф.М. Шустер — Минск: Высшая школа, 1976. 206 с

139. Юдин, Э.Г. Системный подход и принцип деятельности. Текст. М.: Наука 1978.-430 с

140. Пять проблем методики преподавания математики № 72. Под ред. Тихонова М.Ю. Текст. / Е.В. Юрченко Л.Б. Слуцкий М.: Окружной методический центр ЮЗАО, 2006. — 80 с

141. Якиманская, И.С. Требования к учебным программам, ориентированным на личностное развитие школьников.Текст. / И.С. Якиманская // Вопросы психологии № 2 - М.: Школа-пресс, 1994. — С. 64 - 76.

142. Ястребинецкий, Г.А. Уравнение и неравенства, содержащие параметры. Текст. / Г.А. Ястребинецкий.-М.: Просвещение, 1972. — 128 с

143. Drucker, Peter. Post-Capitalist Society. Текст. / P. Drucker- New York: Harper Busines, 1994. — 127p

144. Основные результаты диссертационного исследования отражены вследующих публикациях.

145. Публикации в изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий.

146. Формирование содержательно-методической линии задач с параметрами в ходе изучения свойств квадратичной функции.//Математика в школе. М.: ООО «Школьная пресса», 2008, №7, С. 31-37.

147. Вступительные экзамены в ВУЗы. Московский городской педагогический университет // Математика в школе. М.: ООО «Школьная пресса», 2008, № 3 С. 49-53 (в соавт. Корешкова, Т.А., Шевелева, Н.В. 33%).

148. Когда же появляются посторонние корни. // Математика в школе. М.: ООО «Школьная пресса», 2003 № 9. С.21 22. (в соавт. Климентьева, М.Г., -50%).

149. Об ошибках при исправлении ошибок.//Математика в школе. М.: ООО «Школьная пресса», 2003 №4, С.78 — 79. (в соавт. Климентьева, М.Г. 50%).1. Монографии.

150. Решение задач с параметрами. Теория и практика М.: Экзамен, 2009. -286, 2. с.1. Учебные пособия

151. Математика. Тренировочные задачи ЕГЭ, 2004 — 2005: Новые задания, ответы и решения, инструкция, бланк ответов Текст. / В.В. Мирошин, Т.А. Корешкова, Н.В. Шевелёва- М. : Просвещение : Эксмо, 2005. 76 с

152. Математика. Тренировочные задачи Текст./ В.В. Мирошин,

153. Т.А. Корешкова, Ю.А. Глазков, Н.В. Шевелёва —М.: Просвещение: Экзамен, 2005. 76 с

154. Математика. Типовые тестовые задания. Текст./ В.В. Мирошин, Т. А. Корешкова, Н.В. Шевелёва М.: Экзамен, 2006.

155. Математика. Типовые тестовые задания Текст./ В.В. Мирошин, Т.А. Корешкова, Н.В. Шевелёва- М.: Экзамен, 2007.

156. Математика. Типовые тестовые задания Текст. / В.В. Мирошин, Т.А. Корешкова, Н.В. Шевелёва М.: Экзамен, 2008.

157. Математика. Тренировочные задачи Текст. / В.В. Мирошин, Т.А. Корешкова, Н.В. Шевелёва М.: Просвещение: Эксмо, 2007.

158. Математика. Тренировочные задачи Текст. /В.В. Мирошин, Т.А. Корешкова, Н.В. Шевелёва М.: Просвещение: Эксмо, 2008.

159. Математика. Решение задач повышенной сложности. Текст./

160. В.В Мирошин, Рязановский, А.Р. М.: Интеллект-центр. 2007. — 480 с

161. ЕГЭ 2009. Математика. Типовые тестовые задания. Текст./ В.В.Мирошин, Т.А. Корешкова, Ю.А.Глазков, Н.В. Шевелёва. — М.: Издательство «Экзамен», 2009 78, [2]с.(Серия «ЕГЭ 2009. Типовые тестовые задания»)

162. ЕГЭ 2009. Математика. Тренировочные задания. Текст./ В.В.Мирошин, Т.А. Корешкова, Н.В.Шевелёва. М.: Эксмо, 2008. - 80 с.1. Статьи и тезисы

163. Об использовании вспомогательных задач. // В сборнике материалов научно-практической конференции «Проблемы совершенствования преподавания математики в школе и в вузе». Выпуск 8. М.: МШ У, 2003, С. 146-147.

164. Отбор корней в тригонометрических уравнениях // Математика. М.: Издательский Дом «Первое сентября», 2006 , № 24. С. 15 — 17.

165. Обсуждаем итоги экзаменов.// Математика. М.: Издательский Дом «Первое сентября», 2006 , №17. С. 9 10. ( В соавт. Ященко И.В., Голубев В.И., Самсонов П.И., Семёнов А.В., — 20%)

166. Задачи про центы и проценты. // Потенциал, № 2, 2006.

167. Построим прямую.// Математика. М.: Издательский Дом «Первое сентября», 2006,№19. С.17-21.

168. Задачи о касательных к параболам // Потенциал. М.: ООО «Азбука-2000», 2007, №9. С. 31-38.

169. Обратные тригонометрические функции // Математика, М.: Издательский Дом «Первое сентября», 2007, № 4(16) 32 с.

170. Формулы геометрии помогают алгебре // Квант. М.: «Бюро Квантум», 2007, №3, С 46-54.