автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Предметно-методическая подготовка будущего учителя математики при изучении курса "Числовые системы" в педвузе

Автореферат диссертации по теме "Предметно-методическая подготовка будущего учителя математики при изучении курса "Числовые системы" в педвузе"

На правах рукописи

СИМОНОВА Надежда Сергеевна

ПРЕДМЕТНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА "ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ" В ПЕДВУЗЕ

13.00.02 Теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Саранск 2003

\

Работа выполнена на кафедре геометрии и методики преподавания ма--тематикиТольяттинского государственного университета

Научный руководитель: доктор педагогических наук,

профессор Утеева Роза Азербаевна

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук,

доцент Назиев Асланбек Хамидович

кандидат педагогических наук, доцент Амутнова Светлана Петровна

Ведущая организация: Московский государственный

областной педагогический институт

Защита состоится1^ «мл 2003 г. в ^ часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.118.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Мордовском государственном педагогическом институте имени М.Е.Евсевьева по адресу: 430007, г.Саранск, ул.Стуценчес-кая, 11а, ауд.320.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного педагогического института имени М.Е.Евсевьева.

Автореферат разослан -З/ ^чОгЯ_ 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Капкаева Л.С.

2оо5-Д

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Последние десятилетия XX века ознаменовались глубокими изменениями в общественно-политической жизни нашей страны. Эти изменения диктуют новые требования к системе образования, причем сегодня речь идет уже не только о реформе средней школы; началось реформирование и высшей школы. В системе школьного и высшего образования в России математике отводилась исключительная роль - роль математики в образовании подрастающего поколения уникальна, её ничем заменить нельзя. Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, так как она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности (В.М. Тихомиров).

Поэтому математические дисциплины имеют исключительно большое значение как для процесса формирования профессиональной компетентности учителя математики в процессе обучения, так и для последующей преподавательской деятельности.

Текущий этап развития образования выдвигает повышенные требования к предметной подготовке учителя, вооруженного новейшими методиками и технологиями обучения, творчески мыслящего созидателя учебного процесса. Качество профессионализма учителя зависит как от математической, так и методической его подготовки (Г.И. Саранцев).

На Всероссийской конференции "Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков" (Дубна, сентябрь 2000 г.) в докладе В.Л. Матрбсова, В.В. Афанасьева и Е.И. Смирнова "Современные проблемы профессионализации предметной подготовки учителя в 21 веке" отмечено: ;

1) ведущей задачей педагогического процесса подготовки учителя средней (полной) школы является преобразование личности студента в учителя - профессионала, способного решать все многообразие задач, связанных с обучением и воспитанием школьников;

2) некоторое падение уровня предметного образования будущих учителей в педвузах России (80% учителей математики в средних школах -выпускники педагогических вузов).

По мнению авторов, это связано с тем, что фундаментальность содержания образования еще слабо увязывается с будущей профессиональной деятельностью студентов педвузов. Прэхом^савершенствование

профессиональной подготовки учителя матеВйЙ^кЦ^^^ЕИнивйска не

только новых, эффективных путей организации учебно-воспитательного процесса в педвузе, но и пересмотра структуры и содержания предметной подготовки студентов.

Итак, необходимость говорить о предметной (математической) подготовке будущего учителя математики вообще вызвана: ролью математики в образовании подрастающего поколения; преобразованием личности студента в учителя - профессионала; падением уровня предметного образования будущих учителей в педвузах.

В педагогической науке имеется широкий спектр исследований, посвященных профессиональной подготовке студентов педагогических вузов. Можно отметить несколько направлений, в которых ведутся исследования:

I. Проблемы общей подготовки учителя (O.A. Абдулина, С.И. Архангельский, Н.В. Кузьмина, Е.Г. Осовский, В.А. Сластенин и др.).

II. Методология математики (А.Д. Александров, В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, Б.В. Гнеденю, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев и др.) и математического образования в педвузах (A.JI. Жохов, В.И. Крупич, Ю.М. Калягин, B.JI. Матросов, В.М. Монахов JIM. Наумова, Г.И. Саранцев, A.A. Столяр, Л.М. Фридман, П.М. Эрдниев и др.).

Ш. Проблемы совершенствования предметной подготовки будущих учителей математики в педвузе (С.П. Амутнова, В.В. Афанасьев, А.Я.Блох, С.Н. Дорофеев, Г.Л. Луканкин, Е.Ю. Миганова, Т.Н. Миракова, А.Г. Мор-дкович, А.Х. Назиев, М.А. Родионов и др.).

IV. Дифференциация математического образования (Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, И.В. Дробышева, И.М. Смирнова, P.A. Утеева).

V. Совершенствование методической подготовки учителя математики (А.К. Артёмов, Н.Г. Воробьева, H.A. Демченкова, В.А. Далингер, О.Б. Епишева, М.И. Зайкин, Т.А. Иванова, Л.С. Капкаева, Е.И. Лященко и др.).

Отмеченные направления не исчерпывают широкий круг проблем, связанных с исследованием педагогической деятельности и проблемой предметной подготовки будущих учителей математики. В них недостаточно полно отражены вопросы формирования предметно- и профессионально-значимых знаний и улиний будущего учителя математики, в частности, в области теоретико-числовой подготовки.

Анализ литературы и опыта работы молодых учителей показал, что многие из них испытывают затруднения в своей предметной деятельности, связанные с несформированностью основных предметно- и профессионально-значимых знаний и умений; оторванностью "вузовских" математических знаний и умений от школьного курса математики.

Под предметно-значимыми знаниями и умёниями будущего учителя математики при изучении математического курса будем понимать те основные знания и умения, которые составляют содержание данного курса (предмета).

Под профессионально-значимыми знаниями и умениями будущего учителя математики будем понимать те предметные знания и умения, которые: в целом формируются в результате изучения блока дисциплин предметной (математической) подготовки; необходимы для реализации на практике базового содержания школьного курса математики; необходимы для проведения углубленных занятий по Арифметике, Алгебре, Анализу и Геометрии.

Основными компонентами профессионально-педагогической подготовки будущего учителя математики, как известно, являются: общефилософская; математическая; психолого-педагогическая и методическая. Не затрагивая все компоненты указанной подготовки в целом, остановимся лишь на математической и методической подготовке будущего учителя математики, объединяя их в общее понятие "предметно-методическая подготовка".

Курс "Числовые системы" служит своеобразным "мостиком" между циклами вузовских математических и школьных математических дисциплин. Эффективность данного курса во многом определяется, на наш взгляд, использованием и иллюстрацией ведущих методов научного познания: аксиоматического, метода математической индукции и метода обобщения. Это дает возможность будущему учителю "выйти" в перспективе на целенаправленную реализацию гуманитарного потенциала школьного курса математики. Кроме того, курс "Числовые системы" открывает широкие возможности не только для формирования предметно- и профессионально-значимых знаний, умений и навыков студентов, но и для развития их самостоятельности, формирования позитивной мотивации к учебе и будущей работе в качестве учителя математики.

Обратимся к анализу ранее проведенных диссертационных исследований, так или иначе связанных с курсом "Числовые системы" и методикой его изучения.

Одним из первых диссертационных исследований является исследование Ф.Э. Молина (1892), основополагающее значение которого в теории строения систем гиперкомплексных чисел отмечается многими учеными (например, Г. Вейлем в книге "Классические группы, их инварианты и представления", 1947 г.).

Диссертационное исследование H.H. Литвинова (1958) посвящено преподаванию учения о числе в педагогическом вузе. Автор отмечает, что улучшить качество подготовки учителя по вопросам о числе можно за счет дальнейшего совершенствования преподавания арифметики в курсе элементарной математики в педвузе и ликвидации пробелов в знаниях вопросов, относящихся к расширению и обобщению понятия о числе у будущего учителя математики средних школ.

В диссертационном исследовании P.M. Рафиковой (1972) предлагается методика изучения алгебраических структур на факультативных занятиях в средней школе.

Т.Я. Федотова (1975) в своей диссертации берет за основу построения единого курса математики в 8-летней школе - математические структуры.

Понятию аксиоматического метода и его формированию на уроках алгебры средней школы (на примере числовых систем) посвящено исследование Т.Я. Каджоян (1977).

Взаимосвязи теории и практики как основы совершенствования методики изучения чисел в курсе математики 5-6 классов отражены в исследовании A.B. Шевкина(1990).

Непосредственно вопросам совершенствования методики изложения курса "Числовые системы" на математических факультетах педвузов посвящены диссертационные исследования К. Карденаса (1986); Ю.Н. Ко-зиорова (1992), Е.В. Неискашевой (1999). В частности, Ю.Н. Козиоров строит курс "Числовые системы" на основе аксиом теории множеств; Е.В. Неискашева исследует профессиональную направленность обучения студентов педвузов в процессе углубленного изучения понятия числа.

Вопросам совершенствования предметно-методической подготовки будущего учителя математики в педвузе посвящены также докторские диссертации Г.Г. Хамова (1994) и В.А. Тестева (1998). Результатом исследования Г.Г. Хамова явилась методическая система обучения алгебре и теории чисел в педвузе на основе профессионально-педагогического подхода. Единый подход к построению математических курсов на основе математических структур в системе непрерывного обучения (школа -вуз) обоснован в диссертационном исследовании В.А. Тестова.

Анализ перечисленных выше диссертационных исследований показал, что: в предметно-методической подготовке будущего учителя математики большое значение отводится курсу "Числовые системы" (понятие числа, операций над числами, отношений, заданных в числовых множествах и понятие изоморфизма - основные понятия не только матема-

тики, но и школьного курса математики); большинство выпускников средних школ и студентов 1 -3 курсов имеют существенные недостатки в знаниях о числе; практически не было исследований, посвященных выявлению методических возможностей курса "Числовые системы" в формировании предметно- и профессионально-значимых знаний и умений будущего учителя математики, необходимых ему для реализации числовой линии в школьном курсе математики. Наше исследование направлено на восполнение этого пробела.

Таким образом, актуальность данного исследования определяет возникшее противоречие между объективными потребностями практической деятельности учителя математики в средней школе (реализация в школьном курсе математики числовой линии) и его недостаточной подготовленностью к этой предметно-методической деятельности, в силу несовершенства методики формирования предметно- и профессионально-значимых знаний и умений в курсе "Числовые системы" в педвузе.

Проблема исследования заключается в выявлении специфических особенностей и методических возможностей курса "Числовые системы" в предметно-методической подготовке будущего учителя математики и поиске средств формирования предметно- и профессионально-значимых знаний и умений о числе и числовых системах.

Объектом исследования выбран процесс предметно-методической подготовки будущих учителей математики в педагогическом вузе.

Предмет исследования - содержание курса "Числовые системы" в целом, а также содержание и структура блоков задач, ориентированных на формирование у будущего учителя математики предметно- и профессионально-значимых знаний и умений о числе и числовых системах.

Цель исследования состоит в разработке концепции формирования предметно- и профессионально-значимых знаний и умений у будущего учителя математики и её применения к построению методики изучения курса "Числовые системы" в педвузе.

Гипотеза исследования: если выделить содержательные линии курса "Числовые системы" и разработать соответствующие им блоки задач, а также методику их реализации, то это позволит сформировать у будущего учителя математики предметно- и профессионально-значимые знания и умения о числе и числовых системах и, тем самым, повысить качество предметно-методической подготовки в целом.

Для решения исследуемой проблемы и проверки соответствующей гипотезы были сформулированы следующие задачи:

1. Определить роль и место курса "Числовые системы" в предметно-методической подготовке будущего учителя математики.

2. Выделить содержательные линии курса "Числовые системы".

3. Определить требования к задачам, ориентированным на формирование у будущего учителя математики предметно- и профессионально- значимых знаний и умений о числе и числовых системах и на их основе разработать соответствующие каждой содержательной линии блоки задач.

4. Разработать методику формирования предметно- и профессионально-значимых знаний и умений у будущего учителя математики и соответствующее ей методическое обеспечение курса "Числовые системы".

5. Проверить экспериментально эффективность разработанной методики.

Научно-методическую основу исследования составили работы, посвященные проблемам совершенствования:

- предметно-методической подготовки будущих учителей математики в педвузе (С.П. Амутновой, А.Я. Блоха, Ю.Н. Козиорова, H.H. Литвинова, Г.Л. Луканкина, А.Г. Мордковича, В.М. Монахова, А.Х. Назиева, Е.В. Не-искашовой, В.А. Тестова, P.A. Утеевой, М.И. Шабунина, A.B. Шевкина, Г.Г. Хамова и др.);

- постановки и обучения решению задач в средней школе и в вузе (Ю.М. Колягина, В.И. Крупича, Т.Н. Мираковой, Г.И. Саранцева, Л.М. Фридмана и др.).

Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования: анализ психолого-педагогической, научно-методической и учебной литературы по проблеме исследования; анализ программ по математике средней школы, государственных стандартов математического образования высшей школы, учебных пособий, задачного материала по курсу "Числовые системы"; изучение и обобщение опыта преподавания курса "Числовые системы" в педвузах; педагогический эксперимент.

Исследование проводилось поэтапно.

На первом этапе (1999-2000 гг.) осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования с целью выявления теоретических основ обучения числовым системам, состояния исследуемой проблемы в практике обучения, проводился констатирующий эксперимент. Были выделены основные вопросы, подлежащие исследованию и проверке.

На втором этапе (2000-2001 гг.) определялись роль и место курса "Числовые системы" в предметно-методической подготовке будущего

учителя в педвузе; выделялись содержательные линии курса; разрабатывались требования к задачам по курсу; составлялись блоки задач по каждой содержательной линии; уточнялись этапы построения числовой системы и выявлялись особенности фундаментальных методов при изучении понятий числа и числовой системы. Проводился поисковый эксперимент по проверке отдельных положений разрабатываемой концепции.

На третьем этапе (2001-2003 гг.) проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики, анализировались результаты исследования, формулировались выводы.

Научная новизна проведенного исследования заключается в том, что в нем проблема выявления специфических особенностей и методических возможностей курса "Числовые системы" в предметно-методической подготовке будущего учителя математики решена в контексте соотнесения каждой содержательной линии курса соответствующих блоков задач, ориентированных на формирование предметно- и профессионально-значимых знаний и умений у студентов.

Теоретическая значимость работы состоит в выделенных содержательных линиях курса "Числовые системы", характеризуемых через предметно-значимые знания и умения; разработке требований к задачам, соответствующим каждой линии и блоков задач, ориентированных на формирование указанных знаний и умений.

Практическая значимость работы заключается в разработке методики формирования предметно- и профессионально-значимых знаний и умений, которая может быть использована на практике преподавателями педвузов и учителями математики при обучении учащихся средних школ в классах с углубленным изучением математики, а также в создании методического обеспечения курса "Числовые системы". Результаты исследования могут быть также использованы при написании учебных пособий по курсу "Числовые системы" для студентов, а также методических пособий для учителей математики средних школ.

Апробация основных положений и результатов исследования проводилась в виде докладов и выступлений на научно-методических семинарах кафедры геометрии и методики преподавания математики Тольятгин-ского государственного университета (1999-2002 гг); методики преподавания математики Мордовского государственного пединститута (2002 г); на лекциях и практических занятиях со студентами 3-5 курсов физико-математического факультета Тольяттинского филиала Самарского государственного педагогического университета (1999-2001 гг.) и факультета

математики и информатики Тольяттинского государственного университета (2002 -2003 гг.); научно-методических конференциях: внутривузовс-кой (Тольятти, 2000,2001, 2002), региональной (Арзамас, 2002), Всероссийской (Дубна, 2000; Саранск, 2002; Нижний Новгород, 2002).

Достоверность и обоснованность результатов исследования подтверждается соответствием полученных в ходе исследования теоретических выводов практическим (экспериментальным) результатам.

Внедрение результатов исследования осуществлялось в ходе опытно-экспериментальной работы на физико-математическом факультете Тольяттинского филиала Самарского государственного педагогического университета и факультете математики и информатики Тольяттинского государственного университета. Экспериментальная программа, методические рекомендации и подборка задач по курсу "Числовые системы" используются в процессе предметно-методической подготовки будущих учителей математики в ТГУ. Спецкурс и спецсеминар "Приложения кватернионов к геометрии" третий год читается студентам 5 курса.

По теме исследования имеется 7 публикаций.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Повышение качества предметно-методической подготовки будущего учителя математики при изучении курса "Числовые системы" достигается совершенствованием методики формирования предметно- и профессионально-значимых знаний и умений о числе и числовых системах за счет соотнесения каждой содержательной линии курса соответствующих блоков задач.

2. Содержательными линиями курса "Числовые системы" являются: линия натуральных чисел; линия целых чисел; линия рациональных чисел; линия действительных чисел; линия комплексных чисел; линия кватернионов.

3. Методика формирования предметно- и профессионально-значимых знаний и умений по каждой содержательной линии включает в себя следующие этапы: мотивация введения числовой системы; ознакомление с определением числа и числовой системы; усвоение содержания определения числовой системы; доказательство непротиворечивости и категоричности системы аксиом числовой системы; изучение свойств операций и отношений в числовой системе; показ необходимости и возможности расширения числовой системы; реализация числовой системы в школьном курсе математики.

4. Средством формирования предметно- и профессионально-значимых знаний и умений о числе и числовых системах являются задачи, удовлетворяющие определенным требованиям.

На защиту также выносятся методическое обеспечение курса "Числовые системы" (экспериментальная программа, программа спецкурса, методические рекомендации, блоки задач).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы, приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определена проблема научного поиска и его цель, а также объект и предмет исследования, ставятся задачи теоретического и экспериментального характера, указываются методы, раскрыта новизна, теоретическая и практическая значимость работы, излагаются основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе «Теоретические основы предметно-методической подготовки будущего учителя математики при изучении курса "Числовые системы"» раскрыта концепция формирования предметно- и профессионально-значимых знаний и умений у будущего учителя математики при изучении курса "Числовые системы" в педагогическом вузе.

§ 1 посвящен выявлению роли и места курса "Числовые системы" в предметно-методической подготовке будущего учителя математики.

Анализ программ, учебных пособий (А.Ш. Блох, А.Я. Блох, Л.М. Вы-вальнюк, В.И. Нечаев, И.В. Проскуряков, С. Феферман и др.), диссертационных исследований (Ю.Н. Козиоров, И.Н. Литвинов, В.А. Тестов и др.) позволил выделить основные цели, задачи и особенности курса "Числовые системы", направленные на реализацию главной идеи - завершение "школьной" линии развития понятия числа и формирование предметно- и профессионально-значимых знаний и умений о числе и основных числовых системах.

Основными целями курса "Числовые системы" являются: обоснование свойств операций и отношений, заданных в числовом множестве, известных каждому из школьной математики и изучение новых свойств;

- углубление знаний студентов об основных идеях и понятиях современной математики (изоморфизм, множество, группа, кольцо, поле, векторное пространство);

- построение числовых систем; натуральных, целых, рациональных, ' действительных, комплексных чисел и кватернионов;

- раскрытие значения современной алгебры и ее методов в изучении объектов произвольной природы.

Особенностями курса являются:

1. Аксиоматическое определение основных числовых систем.

2. Последовательное построение числовых систем.

3. Применение и иллюстрация фундаментальных методов современной математики (аксиоматического, обобщения, метода математической индукции и др.).

4. Возможность представления структуры современной математики в целом, что очень важно для математика-педагога.

5. Возможность представления связи математики с другими науками и с практическими приложениями.

6. Педагогическая ориентация содержания курса!.

7. Возмбжность показа возникновения новых направлений исследований в математике, формирования основных математических понятий.

8. Систематизация и обобщение знаний студентов, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в курсе алгебры, математического анализа, геометрии и методики преподавания математики.

9. Специфика задач (на доказательство существования, единственности числовой системы; доказательство различных математических утверждений).

10. Место курса "Числовые системы" в учебных планах педвузов (блок предметной подготовки, завершающий этап обучения).

В § 2 выделены содержательные линии курса "Числовые системы". Введение понятия содержательной линии в диссертации обусловлено тем, что по современным "методическим" представлениям (А.Я. Блох, В.Л. Гончаров, Н.М. Рогановский, Ф.Клейн и др.) именно вдоль них организовано содержание учебного предмета; каждая из линий характеризуется спектром математических понятий и теорий, привлекаемых к её обоснованию.

Проблема обоснования состава содержательных линий математических курсов еще не нашла должного решения в теории и методике обучения математике. Так, например, согласно учебным стандартам школ России содержание действующего школьного курса математики группируется вокруг нескольких стержневых линий: "Числа и вычисления"; "Выражения и их преобразования"; "Уравнения"; "Функции"; "Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин". В диссертационном

исследовании Л.Х. Цыбиковой (1995) выделены следующие содержательно-методические линии курса алгебры и теории чисел: алгебраической системы; операционной системы; морфизмов; логическая и прикладная. При этом школьная линия числовой системы содержится в линии алгебраической системы, а линия уравнений, тождественных преобразований, приближенных вычислений и алгоритмическая содержатся в линии операционной системы.

Содержание курса "Числовые системы" и его роль в системе предметно-методической подготовки будущего учителя математики в педвузе определяется значимостью и особенностями фундаментальных понятий числа, числовой системы, операций и отношений в рассматриваемом числовом множестве. Названные понятия являются сквозными при переходе от одной числовой системы к другой - расширенной. На основе этого, в диссертации выделены: линия натуральных чисел; линия целых чисел; линия рациональных чисел; линия действительных чисел; линия комплексных чисел; линия кватернионов.

В начальной школе и курсе математики 5-6 классов учащиеся знакомятся с отдельными вопросами содержательных линий натуральных чисел, целых и рациональных чисел. В курсе алгебры 7- 9 классов учащиеся расширяют сведения о понятии числа до понятия действительного числа. В классах с углубленным изучением математики (или на факультативных занятиях) учащиеся знакомятся с комплексными числами.

Здесь также рассмотрены исторические аспекты каждой содержательной линии курса "Числовые системы". Завершает параграф рассмотрение содержания курса "Числовые системы" согласно Госстандарту и в соответствии с выделенными нами линиями.

В диссертации последовательно раскрывается содержание линии натуральных (§3), целых (§4), рациональных, действительных и комплексных (§5) чисел и линии кватернионов (§6).

Нами разработана экспериментальная программа курса "Числовые системы", особенностями которой являются: её целостность; направленность на углубление и обобщение предметно- и профессионально-значимых знаний и умений студентов о числе и числовых системах.

В разработанной программе содержательная линия натуральных чисел включает в себя следующие вопросы: аксиомы Пеано и следствия из них; отношение порядка на множестве натуральных чисел; конечные и бесконечные множества; характеристика системы аксиом Пеано; упорядоченные полугруппы и полукольца. Выделены различные подходы к

аксиоматическому определению системы натуральных чисел. Особое внимание студентов обращается на необходимость и значимость аксиом индукции, Архимеда и Кантора для введения и изучения новых чисел.

Содержательная линия целых чисел включает в себя следующие вопросы: аксиомы целых чисел и некоторые следствия из них; свойства системы аксиом целых чисел; различные формы односторонней и двусторонней индукции в системе целых чисел; упорядоченные полугруппы, группы и кольца. Особое внимание обращается на применение метода математической индукции к доказательству различных утверждений о целых числах.

Содержательная линия рациональных чисел включает в себя: аксиомы рациональных чисел и некоторые следствия из них; свойства системы аксиом рациональных чисел; необходимость расширения поля рациональных чисел. Продолжается изучение метода математической индукции. Особое внимание обращается на усвоение понятий фундаментальной и сходящейся последовательности.

Содержательная линия действительных чисел включает в себя: аксиомы поля действительных чисел и некоторые следствия из них; свойства системы аксиом действительных чисел; метод математической индукции в системе действительных чисел; решение уравнений на множестве действительных чисел. Особое внимание уделено доказательству иррациональности числа.

Содержательная линия комплексных чисел включает в себя: различные способы введения комплексных чисел, аксиомы комплексных чисел и некоторые следствия из них; свойства системы аксиом комплексных чисел. Особое внимание обращается на решение уравнений.

Содержательная линия кватернионов включает в себя: алгебры конечного ранга, алгебры над полем действительных чисел; определение системы кватернионов, теоремы Фробениуса. Особое внимание уделяется показу связи данной числовой системы с курсом геометрии.

При изучении указанных содержательных линий основное внимание было уделено показу необходимости и возможности расширения рассматриваемой числовой системы; доказательству непротиворечивости новой числовой системы, связи изучаемого материала со школьным курсом математики.

По каждой линии выделены предметно-значимые знания и умения, отраженные в табл.2-7 диссертации.

В качестве примера приведем содержание линии "Кватернионов" (табл.7).

ТАБЛИЦА 7

СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ЛИНИЯ КВАТЕРНИОНОВ

Содержание линии Предметно-значимые знания. Знать: Предметно-значимые умения. Уметь: Блоки задач

Аксиомы тела Н. Связь с матрицами Определение системы Н; операции над матрицами, свойства матриц Доказывать, что множество матриц 2 порядка с комплексными элементами есть тело Блок 13. №13 1

Система Н как ассоциативная алгебра с делением ранга 4 Определение ассоциативной алгебры с делением ранга 4, свойства Доказывать, что множество матриц 2 порядка с комплексными элементами есть ассоциативная алгебра с делением ранга 4. Блок 13 №13 2, №13 3

Непротиворечивость аксиоматической теории кватернионов Понятие непротиворечивости аксиоматической теории Схему построения модели Строить вспомогательную систему, показывать влоисимость системы С, построить тело - систему кватернионов Блок 13 Задача №13 4

Теорема Фробениуса Доказательство теоремы Доказывать теорему Фробениуса № 13 5

Расширение системы Определение новых чисел - октав. Построить модель системы октав № 13 б

Векторное и скалярное произведение Определение векторного и скалярного произведения векторов. Показать связь умножения кватернионов с умножением векторов. №137,149 № 14 10

Три гон ометричеасая форма, повороты. Определение тригонометрической формы кватерниона, поворота Находить ось и угол результирующего поворота с помощью кватернион се №13 9, №13 10

Система кватернионов как расширение системы С. Определение системы кватернионов как расширения системы С Понятие триплета; делителей нуля Показать, что при любых определениях умножения триплетов алгебра триплетов может иметь делители нуля Блок 14 Задачи №14 1

Операции над кватернионами Определение операций над кватернионами, векторного пространства Выполнять операции сложения, умножения и деления над кватернионами. Блок 14 №14 2,14 3

Модуль кватерниона Понятие и свойства модуля. Доказывать свойства модуля кватерниона №14 4; 14 5

Тождества в системе кватернионов Формулы сокращенного умножения Тождество Эйлера Проверять справедливость формул и тождеств Решать квадратное уравнение № 14 3, №14 6-8

Знакомство с основами геометрических приложений кватернионов; показ применения алгебры кватернионов к представлению произвольного поворота в пространстве; к преобразованию поворотного растяжения и его связи с умножением кватернионов; организация самостоятельной учебно-исследовательской работы студентов, направленной на углубление и расширение знаний о числовых системах осуществляется в рамках разработанного нами спецкурса "Геометрические приложения кватернионов".

Во второй главе «Задачи как средство совершенствования предметно-методической подготовки будущего учителя математики при изучении курса "Числовые системы"» раскрываются методические аспекты формирования предметно- и профессионально-значимых знаний и умений у студентов.

В § 1 сформулированы требования к задачам по математическим курсам. Задачи должны быть направлены на: формирование предметно-и профессионально-значимых знаний и умений; усвоение содержания основных понятий (число, числовая система как математическая структура-алгебраическая, порядковая, топологическая); изучение методов (аксиоматического, метода математической индукции, метода обобщения); раскрытие связи знаний, приобретенных в вузе с теми знаниями, которые составляют базу для преподавания математики в средней школе; приобретение навыков самостоятельной работы.

Исходя из указанных выше требований, и взяв, за основу критерии отбора задач по Г.И. Саранцеву и Е.Ю. Мигановой, нами разработаны 14 блоков задач, реализующие содержательные линии курса "Числовые системы": блоки 1-4 - линию натуральных чисел (§2) ; 5-6 - линию целых чисел (§3); 7-8 - линию рациональных чисел, 9-10 - линию действительных чисел, 11 -12 - линию комплексных чисел (§4); 13-14- линию кватернионов (§5). Задачи двух последних блоков опубликованы в работе автора [4].

Каждый блок включает в себя задачи для аудиторной и внеаудиторной работы, теоретические вопросы, содержит методические рекомендации и пояснения. В качестве примера рассмотрим содержание 13 блока.

Блок 13. Аксиомы тела кватернионов и некоторые следствия из них

Задача 13.1. Для каждого комплексного числа а = а + Ы символом а*

будем обозначать число, сопряженное к а, т.е. а - Ы (а,Ь е Я, /2 =-1)

Известно, что (а+р)" = а* + р'; (а • Р)* = а' • р*. Символом М обозначим множество матриц второго порядка с комплексными элементами вида

9=(-fT а ; Доказать' 4X0 (Л/;©,®)-тело.

Задача 13.2. Рассмотрим тело из задачи 13.1. Определим для элементов этого тела умножение на действительные числа следующим образом: VAeM VkeR = ЬЛ. Доказать, что алгебра £ = ( А/;©,®^/!)

- ассоциативная алгебра с делением над полем R действительных чисел.

Задача 13.3. Рассмотрим ассоциативную алгебру К с делением из задачи 13.2. Доказать, что К - алгебра с делением ранга 4 над полем действительных чисел.

Задача 13.4. Доказать непротиворечивость системы кватернионов. Схема доказательства:

1) построить вспомогательную систему (#0, +, •);

2) показать, что система (#0, +, •) - алгебра с делением ранга 4 над полем R;

3) показать вложить поля С в (#0, +, •);

4) построить нужную нам систему (#0, +, •);

5) доказать, что система (#0, +, •) - тело кватернионов как расширение поля комплексных чисел.

Задача 13.5. Доказать теорему Фробениуса. Задача 13.6. Построить модель системы октав.

Задача 13.7. Пусть qt=bj + cj + djc, q2=bj+ c2j+ d2k и

fe.íz]= (CA + (dtb2 -b[d^j + {b[c1 -c{b2)k. Доказать,что 1)

[q, q2]Ц2; 2) [qKq2] = ■■ %| • sin cp;

3) > q2 > [q¡, > ориентированы в пространстве подобно 7,],к.

Задача 13.8. 1) найдите орт кватерниона q = 1 + Г + ] + к и его аргумент; 2) записать q в тригонометрической форме.

Задача 13.9. Пусть ÓA задается кватернионом a = i - j, a ÓP задается кватернионом i + ] +к (убедитесь, что (¿м)±(<3р) Требуется найти направленный отрезок (Ов), который образуется, если повернуть ÓA вокруг оси бр на 60°. Сделать чертеж.

Задача 13.10. Пусть производится поворот на угол 2ф, вокруг некоторой оси, характеризуемой единичным вектором р1, следом за ним пусть производится другой поворот - на угол 2ф2 вокруг оси, характеризуемой единичным вектором р2. В итоге получим некоторый новый поворот (результат последовательного выполнения двух данных). Спрашивается, как найти ось и угол результирующего поворота.

Методические рекомендации

При аксиоматическом определении системы кватернионов и их свойств особое внимание необходимо уделить умению студентов доказать непротиворечивость системы аксиом кватернионов.

Знакомство с содержанием блока 13 можно начать с обсуждения вопросов: Как определяется система кватернионов? Какими свойствами она обладает? (задачи 13.1; 13.2; 13.3). Далее обсуждаются вопросы непротиворечивости системы аксиом кватернионов (задачи 13.4). В задаче 13.5 изучается теорема Фробениуса. Необходимо рассмотреть доказательство этой теоремы разными авторами. Обобщения системы кватернионов рассматриваются в задаче 13.6. В задачах 13.7-13.10 показывается связь кватернионов с геометрией.

На изучение линии кватернионов отводится 4 часа лекционных и 4 часа практических аудиторных занятий. Для работы в аудитории рекомендуются задачи 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Для самостоятельной внеаудиторной работы-7, 8, 9 и 10.

Методические пояснения

К задаче 13.1. Различные, конкретные истолкования системы кватернионов (как векторов и как матриц) показывают возможность применения кватернионов в математике, физике, механике. Одновременно с отысканием различных применений теории кватернионов (система октав) продолжались поиски дальнейшего расширения числового множества, что привело к построению новых разделов математики: теории линейных пространств и теории алгебр или гиперкомплексных систем.

К задачам 13.5 и 13.6. Алгебра кватернионов над полем действительных чисел была открыта ирландским математиком У. Гамильтоном в октябре 1843 г. Гамильтон потратил много лет, пытаясь построить закон умножения трехмерных векторов по образцу умножения комплексных чисел, изображаемых двумерными векторами. Эти попытки, как мы теперь знаем, были обречены на неудачу. И только когда Гамильтон решился отбросить гипотезу о трехмерности новых чисел, ему удалось найти их реализацию. Она оказалась четырехмерной, и поэтому новые числа получили название кватернионов. Курс "Числовые системы" заканчивается важной теоремой Фробениуса (Фернанд Георг Фробениус, 1849-1917 гг., выдающийся немецкий алгебраист), утверждающей, по существу, что разумных обобщений понятия числа, после комплексных чисел и кватернионов, не существует. Кватернионы игра-

ют важную роль в разыскании "алгебр с делением" (теорема Фробени-уса) и "нормированных алгебр" (теорема Гурвица). Гиперкомплексные системы, в которых возможно деление, составляют большую редкость. Кроме системы действительных и системы комплексных чисел, такими являются система кватернионов и система октав.

К задаче 13.7. Открытие кватернионов в середине XIX века дало толчок разнообразным исследованиям в области математики и физики. В частности, благодаря кватернионам возникла чрезвычайно плодотворная область математики - векторная алгебра, в основе которой лежат операции скалярного и векторного умножения. В задачах показано, что скалярное произведение (изучается в школьном курсе математики) и векторное произведение являются как бы "обломками" произведения кватернионов. Используя умножение кватернионов, Гамильтон определил векторное произведение векторов 3-мерного пространства, построив одну из первых "неарифметических" операций в алгебре.

В данном блоке также приведена серия вопросов по содержательной линии кватернионов.

Завершает главу § 6 с описанием эксперимента и его результатов. В эксперименте приняли участие студенты 3-5 курсов очного и заочного отделений специальности "Математика и информатика"

Цель констатирующего этапа эксперимента (1999-2000 гг.): исследование проблемы с точки зрения анализа научно-методической литературы по теме; определение состояния преподавания курса "Числовые системы" в педвузе; проведение анкетирования и контрольных срезов.

Цель поискового этапа эксперимента (2000-2001 гг.): апробация блоков задач на занятиях по курсу "Числовые системы"; разработка и апробация экспериментальной программы курса "Числовые системы", а также спецкурса "Геометрические приложения системы кватернионов".

Цель обучающего этапа эксперимента (2001-2003 гг.): проверка эффективности разработанной методики формирования предметно- и профессионально-значимых знаний и умений по курсу "Числовые системы".

При выборе критериев эффективности нашей методики обучения мы исходили из целевого назначения каждого блока в формировании предметно- и профессионально-значимых знаний и умений, соответствующих каждой содержательной линии. Конкретным выражением эффективности нашей методики явились: 1) уровень предметно- и профессионально-значимых знаний и 2) уровень предметно- и профессионально-значимых умений.

Результаты контрольных работ позволили установить, что к концу изу-

чения курса "Числовые системы" у студентов (по сравнению с результатами ранее проведенных аналогичных исследований) сформированы: прочные предметно- и профессионально-значимые знания и умения.

Таким образом, качество предметно-методической подготовки студентов к реализации на практике числовой линии оказалось намного выше. Тем самым экспериментально подтверждена гипотеза нашего исследования.

Заключение

В процессе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с целью и задачами получены следующие основные выводы и результаты:

1. Анализ реального состояния проблемы выявления специфических особенностей и методических возможностей курса "Числовые системы" в предметно-методической подготовке будущего учителя математики показал: в научно-методической литературе, учебных пособиях по курсу "Числовые системы" недостаточно полно выделены предметно- и профессионально-значимые знания и умения будущего учителя математики; большинство выпускников средних школ и студентов 1-3 курсов имеют существенные недостатки в знаниях о числе; в теории и методике обучения математике практически не было исследований, посвященных выявлению методических возможностей курса "Числовые системы" в формировании предметно- и профессионально-значимых знаний и умений будущего учителя математики.

2. Определены исходные положения концепции формирования предметно- и профессионально-значимых знаний и умений будущего учителя математики и показано ее применение к построению методики изучения курса "Числовые системы" в педагогическом вузе. Разработанная нами методика формирования предметно- и профессионально-значимых знаний и умений по каждой содержательной линии обладает рядом особенностей: показ необходимости и возможности расширения числовой системы; доказательство непротиворечивости числовой системы; установление связи изучаемого материала со школьным курсом математики; изучение метода математической индукции в каждой числовой системе.

3. Средством формирования предметно- и профессионально-значимых знаний и умений при изучении курса являются задачи. Определены основные требования к задачам. Разработаны 14 блоков задач, ориентированные на реализацию содержательных линий. Даны мето-

дические рекомендации и методические пояснения по каждому блоку задач.

4. Разработаны экспериментальная программа курса "Числовые системы" и спецкурс "Геометрические приложения системы кватернионов", в рамках которого самостоятельная учебно-исследовательская работа студентов направлена на углубление и расширение знаний о числовых системах.

5. Экспериментально подтверждено, что предложенная методика позволяет совершенствовать предметно-методическую подготовку будущего учителя математики при изучении курса "Числовые системы" в педвузе и повысить ее качество.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что поставленные задачи решены, а цель исследования достигнута. Результаты апробации и внедрения предложеной методики свидетельствуют о возможности и целесообразности ее использования в практике при изучении курса "Числовые системы" в педагогическом вузе.

Содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1.Симонова Н.С. Курс "Числовые системы" в педвузе: проблемы, перспективы совершенствования/Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков: Материалы Всеросс. конф. - Дубна. -М.: МЦ НМО, 2000. - С.573, 574.

2. Симонова Н.С. Нужны ли "Числовые системы" в педвузе?/Рефор-ма образования - дело каждого: Сб. метод.статей. - Тольятти: Тольят. социально-эконом.колледж, 2000. -С.48-50.

3. Симонова Н.С. Основные подходы к определению понятия числа в курсе "Числовые системы'ТПрогнозирование и планирование результатов подготовки специалистов в системе профессионального образования. Пути достижения результатов. Сб. тез. городской конф. препод, и студ. -Тольятти: Тольят. социально-эконом.колледж, 2002. - С.55-59.

4.Симонова Н.С. Упражнения по теме "Кватернионы'ТГуманитариза-ция математического образования в школе и вузе: Межвуз.сб.науч.тр. Вып.2. - Саранск: Поволжск. Отд. РАО, Морд, гос.пед.ин-т, 2002. - С. 128-132.

5.Симонова Н.С. Роль и место курса "Числовые системы" в профессионально-методической подготовке будущего учителя математики/Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении: Сб.науч. и метод.работ, представленных на регион, науч.-практ. конф. - Арзамас: Арзамас.гос.пед.ин-т, 2002. - С.305-308.

6.Симонова Н.С., Утеева P.A. Предметно-методическая подготовка будущего учителя математики при изучении курса "Числовые системы"/ Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика: Сб. материалов Всеросс. конф. Часть 1. - Саранск, 2002. - С. 149-153.

7. Симонова Н.С. Спецкурс "Геометрические приложения системы кватернионов'ТПроблемы качества подготовки учителя математики и информатики: Материалы Всеросс. науч.-практ.конф. - Нижний Новгород: Нижегор.гос.пед.ун-т, 2002. - С.148-150.

Подписано в печать 9.04.2003. Формат 60x84/16. Печать оперативная. Усл.п.л. 1,5. Уч.-издл. 1,4. Тираж 100 экз. Заказ № 405.

Тольяттинский государственный университет. Тольятти, Белорусская, 14.

* .9692

lo О?-Л

I

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Симонова, Надежда Сергеевна, 2003 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕДМЕТНО -МЕТОДИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕ

МАТИКИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА «ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ»

§1. Роль и место курса «Чисшжые системы» в предметно методической подготовке будущего учителя математики.

§2 Содержательные линии курса «Числовые системы» - основа предметно-методической подготовки будущего учителя математики

§3. Содержательная линия натуральныхчисел в курсе

Числовые системы».

§4. Содержательная линия целых чисел в курсе

Чисдовьв системы».

§5. Содержательные линии рациональных, действительных и комплексных чисел в курсе «Числовые системы».

§6. Содержательная линия кватернионов в курсе

Чистовые системы».

Введение диссертации по педагогике, на тему "Предметно-методическая подготовка будущего учителя математики при изучении курса "Числовые системы" в педвузе"

Актуальность исследования. Последние десятилетия XX века ознаменовались глубокими изменениями в общестеннсьподитическай жизни нашей страны Эти изменения днюуюг новые требования к системе образования, причем сегодая речь идет уже не только о реформе средней школы; началось реформирование и высшей школы Как известно, в системе школьного и высшего образования в России математике отводщвсь исключительная рош> - роль магемашки в образовании гюдрасгакхцего поколения уникальна, её ничем заменить нельзя. Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью чеожжеческой культуры, так квк она является клютом к познанию окружающего мира, базой ннучнс^технического прогресса и важной компонентой развития личности (ЕМ Тихомиров).

Поэтому математические дисциплины имеют исклсчигегаыго большое значение как для процесса формирования профессиональной компегеншо-сш учителя математики в процессе обучения, так и для послвдукщей преподавательской даятелшости

Текупщй этап развития образования выдвигает повышенные требования к предметной подготовке учителя, вооруженного новейшими методиками и технологиями обучения, творчески мыслящего созидателя учебного процесса Качество профессионализма учителя зависит кгк от математической, так и методической его подготовки (Г. И Саранцев).

На Всероссийской конференции «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков» (Дубна, сентябрь 2000 г.) в докладе ВЛ Мзтросова, ЕЕ Афанасьева и ЕИ. Смирнова «Современные проблемы профессионализации предметной подготовки учителя в 21 веке» отмечено:

1) ведущей задачей педагогического процесса подготовки учителя средней (полной) школы является преобразование личности студента в учителя - профессионала» способного решвль все многообразие задач, связанных с обучением и воспитанием шкшьниюов;

2) некоторое падение уровня предметного образования будущих учителей в педвузах России (80 % учителей математики в средних школах -выпускники педагогических вузов).

По мнению авторов, это связано с тем, что фундамшталдосхь содержания образования еще слабо увязывается с будущей профессиональной деятельностью студентс© педвузов. Поэтому совершенствование профессиональной подготовки учителя математики требует поиска не только новых, эффективных путей организации учеб*го-вошигательного процесса в педвузе, но и пересмотре структуры и содержания предметной подготовки студентов.

Итак, необходимость говорить о предметной (математической) подготовке будущего учителя математики вообще вызвана: ролью математики в образовании подрастающего поколения; преобразованием личности студента в учителя - профессионала; падением уровня предметного образования будущих учителей в педвузах.

В педагогической науке имеется широкий спектр исследований, посвященных профессиональной подготовке студентов педагогических вузов. Можно отметить несколько направлений, в которых ведутся исследования:

I. Проблемы общей подготовки учителя (О.А Абдулина, С.И Архангельский, НЕ Кузьмина, ЕГ. Осовский, RA Сгастенини др.).

II. Методология математики (АД Александров, В Г. Болтянский, НЯ Вшкнкин, Б.В Гнеденко, АН Колмогоров, ЯД Кудрявцев и др.) и математического образования в педвузах (А Я Жохов, В И Крупич, Ю.М Калягин, ВЯ Мвпросов, ВМ Монахов ЯМ Наумова, Г.И. Саранцев, А А Столяр, Я М Фридман, ГХМ Эрдниев и др.).

III. Проблемы совершенствования предметной подготовки будущих учителей математики в педвузе (С.П Амутнова, ВВ. Афанасьев, АЯБшх,

С.Н Дорофеев, ГЛ. Луканкин, ЕЮ. КАпвнова* Т.Н Майкова» АГ. Морд-кович, АХ Назиев, МА Родионов и др.).

IV. Дифференциация математического образования (Г.Д Глейзер, ВА Гусев» Г.Е Дорофеев, ИВ Дробышева, ИМ Онирнова, Р.А Утеева).

V. Совершенствование методической подготовки учителя математики (АК Артёмов, НГ. Воробьева, НА Демченюова, ВА Далингер, О.К йш-шева, МИ Зайкин, Т. А Иванову Л С. Капкаева, ЕИ Лящеяко и др.).

Отмеченные направления не исчерпывают широкий круг проблем, связанных с исследованием педагогической деятельности и проблемой предметной подготовки будущих учителей математики. В них недостаточно полно отражены вопросы формирования предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений будущего учителя математики, в частности, в обивсти теорешко-числовой подготовки.

Анализ литературы и опыта работы молэдых учителей показал, что многие из них испытывают затруднения в своей предметной деятельности, связанные с несформированносгао основных предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений, оторванностью «вузовских» математических знаний и умений от школьного курса математики.

Основными компонентами прсфессионалыгсьпедаготической подготовки будущего учителя математики, как известно, являются; общефилософская; математическая; психолого-педагогическая и методическая. Не затрагивая все компоненты указанной подготовки в целом, остановимся лишь на математической и методической подготовке будущего учителя математики, объединяя их в общее понятие «предметно - методическая подготовка».

Курс «Чистовые системы» служит своеобразным «мостиком» между циюеми вузовских математических и школьных математических дисциплин. Эффективность данного курса во многом определяется, на наш взгляд, использованием и иллюстрацией ведущих методов научного познания: аксиоматического, метода математической ищукции и метода обобщении. Это дает возможность будущему учителю «выйш» в перспекшве на целенаправленную реализацию гуманитарного потенциала школьного курса математики. Кроме того, курс «Числовые системы» открывает широкие возможности не только для формирования предметно (и лрофессионалыю)-значимых знаний, умений и навыке® студентов, но и для развития их самостоятельности, формирования позитивной мотивации к учебе и будущей работе в кенестве учителя математики.

Обратимся к анализу ранее проведенных диссертационных исследований, так или иют« связанных с курсом «Числовые системы» и методикой его изучения.

Ощим из первых диссертационных исследований является исследование Ф.Э. Малина (1892), основополагающее значение которого в теории строения систем пшвркомппексньк чисел отмечается многими учеными (например, Г. Вейлгм в книге «Классические группы, их инварианты и представления», 1947 г.).

Диссертационное исследование Н.Н. Литвинова (1958) посвящено преподаванию учения о числе в педагогическом вузе. Автор отмечает, что улучшить кенество подготовки учителя по вопросам о числе можно за счет д альнейшего совершенствования преподавания арифметики в курсе элементарной математики в педвузе и ликвидации пробелов в знаниях вопросов, относящихся к расширению и обобщению понятия о числе у препод авателей математики школ

В диссертационном исследовании Р. М Рафиковой (1972) преагагаег-ся методика изучения алгебраических структур на факультативных занятиях в средней школе.

Т. Я Федотова (1975) в своей диссертации берет за основу построения единого курса математики в 8-летней школе - математические структуры

Понятию аксиоматического метода и его формированию на уроках алгебры средней школы (на примере чистовых систем) посвящено исследование Т. Я Каджоян(1977).

Взаимосвязи теории и практики как основы совершенствовдаия методики изучения чисел в курсе математики 5-6 классов отражены в исследовании А.В Шжкина( 1990).

Непосредственно вопросам совершенствования методики изложения курса «Чистовые системы» на математических факультетах педвузов посвящены диосертзддоннью исследования 1С Карденаса (1986); Ю.Н Козиорова (1992), ЕЕ Неиакшпевой (1999). Вчастости, Ю.Н КЬзиорав строит курс «Числовые системы» ш основе аксиом теории множеств; ЕВ Неиокшква исследует профессиональную напря&лгнностъ обучения студентов педвузов в процессе углубленного изучения понятия числа

Вопросам совершенствования предметно - методической подготовки будущего учителя математики в педвузе посвящены также докторские диссертации Г. Г. Хамова (1994) и В.А Тестова (1996). Результатом исследования Г. Г. Хамова явилась методическая система обучения алгебре и теории чисел в педвузе на основе профес^сиал1лс>педщх)гичеаоаго подхода Единый подход к построению математических курсов на основе математических структур в системе непрерывного обучения (шкота - вуз) обоснован в диссертационном исследовании ВА Тестова

Анализ перечисленных выше диссертационных исследований гюказац, что: в предметно-методической подготовке будущего учителя математики болшое значение отводится курсу «Чистовые системы» (понятие числа, операций над числеми, отношений, задданых в чистовых множествах и понятие изоморфизма - основные понятия не только математики, но и школьного курса математики); большинство выпускников средних посол и студенте» 1-3 курсов имеют существенные недостатки в знаниях о числе; практически не было исследований, посвященных выявлению методических возможностей курса «Числовые системы» в формировании предметно (и профеосюоналлю) - значимых знаний и умений будущего учителя математики, необходимых ему для реализации чистовой линии в школьном курсе математики. Наше исследование направлено на восполнение этого пробела

Таким образом, актуальность данного исследования определяет возникшее противоречие между объективными потребностями практической деятельности учителя математики в средней школе (реализация в школьном курсе математики чистовой линии) и его недостаточной подготовленностью к этой предметно-методической деятельности, в силу несювершенства методики формирования предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений в курсе «Чистовые системы» в педвузе

Проблема исследования заключается в выявлении специфических особенностей и методических возможностей курса «Числовые системы» в предмешо-методической подготовке будущего учителя математики и поиске средств формирования предметно ( и профессионально) - значимых знжий и умений о числе и чистовых системах

Объектом исследования в&бран процесс предметно - методической подготовки будущих учителей математики в пед агогическом вузе.

Предмет исследования - содержание курса «Чистовые системы» в целом, а также содержание и структура блоков задач, ориентированных на формирование у будущего учителя математики предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений о чисто и чистовых системах

Цель исследования состоит в разработке концепции формирования предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений у будущего учителя математики и её применения к построению методики изучения курса «Числовые системы» в педвузе.

Гипотеза исследования: если выделить содержательные линии курса «Чистовые системы» и разработать соотвеггствукхдие им блоки задач, а также методику их реализации, то это позволит сформировать у будущего учителя математики предметно (и профессионально) - значимые знания и умения о числе и числовых системах и, тем самым, повысить качество предметно-методической подготовки в целом.

Для решения исследуемой проблемы и проверки соответствующей гипотезы были сформулированы следующие задачи:

1. Определить рол» и место курса «Числовые системы» в предметно -методической подготовке будущего учителя математики.

2Выиешпъ содержательные линии курса «Числовые системы» в педагогическом вузе.

3. Определить требования к задачам, ориентированным сформирование у будущего учителя математики предметно (и профессионально) -значимых знаний и умений о числе и чистовых системах и на их основе разработать соответствующие квиздой содержательней линии блоки задач

4. Разработать методику формирования предметно ( и профессиональ-да>значимых знаний и умений у будущего учителя математики и соответствующее ей метод ическое обеспечение курса «Числовые системы».

5. Цэаверить экспериментально эффективность разработанной методики.

Научно-методическую основу исследования составили работы, посвященные проблемам совершенствования:

- предметно - методической подготовки будущих учителей математики в педвузе (С.П Амупювой, А Я. Блоха» Ю Н Кшиорова, НН Литвинова, Г.Я Луканкина, А Г. Мордаовича, ВМ Монахова, АХ Назиева, ЕВ. Нв-искашовой, НА Тестова, Р.А Утеевой, МИ ИЬбунина, АВ Шгвкина, Г.Г. Хамова и др.);

- постановки и обучения решению задач в средней школе и в вузе (Ю.М. Калягина, В И Крупича, Т.Н Мираковой, Г. И Саранцева, ДМ Фридмана и др.).

Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования: анализ психолого-педагогической, научно - методической и учебной литературы по проблеме исследования; анализ программ по математике средней школы, государственных стандартов математического образования высшей школы, учебных пособий, заданного материала по курсу «Чистовые системы»; изучение и обобщение опыта преподавания курса «Чистовые системы» в педвузах; педагогический эксперимент.

Исследование проводилось поэтапно.

На первом этапе (1999 - 2000 гг.) осуществлялось изучение и анализ психотоп>педэгошчеаоой и научно - методической литературы по теме исследования с целью выявления теоретических основ обучения числовым системам, состояния исследуемой проблемы в практике обучения, провод ился констатирующий эксперимент. Были выделены основные вопросы, подлежащие исследованию и проверке.

На втором этапе (2000- 2001 гг.) определялись роль и место курса. «Чистовые системы» в предметно-методической подготовке будущего учителя в педвузе; выделялись содержательные линии курса; разрабатывались требования к задачам по курсу, составлялись блоки задач по каждой содержательной линии, уточнялись этапы построения чистовой системы и выявлялись особенности фундаментальных методов при изучении понятий числа и чистовой системы Г^хшодюги поисковый эксперимент по проверке отдельных положений разрабатываемой концепции.

На третьем этапе (2001 - 2003 гг.) проводился обучающий эксперимент с целью проверен эффективности разработанной методики, енализиро-вались результаты исследования, формулировались выводы

Научная новизна проведенного исследования заключается в том, что в нем проблема выявления специфических особенностей и методических возможностей курса «Числовые системы» в предметно-методической подготовке будущето учителя математики решена в контексте соотнесения каждой содержатежной линии курса соответствующих блоков задач, ориентированных на формирование предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений у студентов.

Теоретическая значимость работы состоит в вьщелашых содержательных линиях курса «Числовые системы», характеризуемых через пред-мешо-значимью знания и умения; разработке требований к задачам, соответствующим каждой линии и блоков задач, ориетированных на формирование указанньсс знаний и умений.

Практическая значимость работы заключается в разработке методики формирования предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений, которая может бьпь использована на практике преподавателями педвузов и учителями математики при обучении учащихся средних школ в классах с углубленным изучением математики, а также в создании методического обеспечения курса «Числовые системы». Результаты исследования могут быть также использованы при написании учебных пособий по курсу «Числовые системы» для студентов, а также методических пособий для учителей математики средних школ

Апробация основных положений и результатов исследования проводилась в виде докладов и выступлений на научгю-мегодических семинарах кафедры геометрии и методики преподавания математики Тольяттинскош государственного университета (1999 - 2002 гг); методики преподавания математики Мордовского государственного пединститута (2002 г); на лекциях и практических занятиях со студентами 3-5 курсов физико-математического факультета Тольяттинскош филиала Самарского государственного педагогического университета (1999-2001 гг.) и факультета математики и информатики Тольяттинского государственного университета (2002 -2003 гг.); научно-методических конференциях, внутривуэовской (Тольятти, 2000, 2001, 2002), региональной (Арзамас, 2002), Всероссийской (Дубна, 2000 г.; Саранск, 2002; Нижний Новгород, 2002).

Достоверность и обоснованность результатов исследования подтверждается соответствием полученных в ходе исследования теоретических выводов практическим (эюсалериментальным) результатам.

Внедрение результатов исследования осуществлялось в ходе опышо-экатериментальной работы на фюико-мттематичехжом факультете Тсшьят-тинасого филиала Самарского государственного педагогического университета и факультете математики и информатики Тольяттинского государственного университета Экотериментальная программа,, методические рекомендации и подборка задач по курсу «Числовые системы» используются в процессе предметнсьметодичеакой подготовки будущих учителей математики в ТГУ. Спецкурс и спецсеминар «Приложения кватернионов к геометрии» третий год читается студентам 5 курса

По теме исследования имеется 7 публикаций.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Повышение качества предметно - методической подготовки будущего учителя математики при изучении курса «Числовые системы» достигается совершенствованием методики формирования предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений о числе и числовых системах за счет соотнесения каждой содержательной линии курса соответствующих блоков задач.

2Содержагельньми линиями курса «Числовые системы» являются: линия натуральных чисел; линия целых чисел; линия рациональных чисел; линия действительных чисел; линия комплексных чисел и линия кватернионов.

3. Методика формирования предметно (и профессионально) - значимых знаний и умений по каждой содержательной линии вклочает в себя следующие этапы мотивация введения числовой системы; ознакомление с определением числа и числовой системы; усвоение содержания определения числовой системы; доказательство непротиворечивости и категоричности системы аксиом числовой системы; изучение свойств операций и отношений в числовой системе; показ необходимости и возможности расширения числовой системы; реализация чистовой системы в школьном курсе математики.

4. Средством формирования предметно (и профессионально) -значимых знаний и умений о числе и чистовых системах являются задачи, удовлетворяющие определенным требованиям.

На защиту также выносятся методическое обеспечение курса «Числовые системы» (экспериментальная программа, программа спецкурса» методические рекомендации, блоки задач).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы, приложений.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Основные выводы второй главы

1. Проведенный анализ диссертационных исследований и учебно-методической литературы показал; что средством формирования предметно- и профессионально - значимых знаний и умений по курсу «Числовые системы» являются задачи. Определены основные требования к задачам. Они должны быть направлены на:

- формирование предметно- и профессионально - значимых знаний и умений; усвоение содержания основных понятий (число, числовая система как математическая структура - алгебраическая, порядковая, топологическая); изучение свойств введенных понятий и методов (аксиоматического, метода математической индукции, метода обобщения);

- раскрытие связи знаний, приобретенных в вузе с теми знаниями, которые составляют базу для преподавания математики в средней школе;

- приобретение навыков самостоятельной исследовательской работы

2. Разработано 14 блоков задач, реализующие содержательные линии курса «Числовые системы»: блоки 1- 4 - линию натуральных чисел (§2) ; 5- 6 -линию целых чисел (§3); 7-8- линию рациональных чисел, 9-10 -линию действительных чисел, 11-12 - линию комплексных чисел (§4); 13-14 - линию кватернионов (§5). Задачи двух последних блоков опубликованы в работе автора [181].

Каждый блок включает в себя задачи для аудиторной и внеаудиторной работы, теоретические вопросы (см. Прилож.5), содержит методические рекомендации и пояснения.

3. Описаны задачи, основные этапы и результаты эксперимента

Экспериментально подтверждено, что предложенная методика изучения курса «Числовые системы» позволяет совершенствовать предметно-методическую подготовку будущего учителя в педвузе и повысить ее качество.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с целью и задачами получены следующие основные выводы и результаты

1. Анализ реального состояния проблемы выявления специфических особенностей и методических возможностей курса «Числовые системы» в предметно-меггодической подготовке будущего учителя математики показал: в научно-методической литературе, учебных пособиях по курсу «Числовые системы» недостаточно полно выделены предметно- и профессионально -значимые знания и умения будущего учителя математики; большинство выпускников средних школ и студентов 1-3 курсов имеют существенные недостатки в знаниях о числе; в теории и методике обучения математике практически не было исследований, посвященных выявлению методических возможностей курса «Числовые системы» в формировании предметно- и профессионально- значимых знаний и умений будущего учителя математики.

2. Определены исходные положения концепции формирования предметно- и профессионально - значимых знаний и умений будущего учителя математики и показано ее применение к построению методики изучения курса «Числовые системы» в педагогическом вузе. Разработанная нами методика формирования предметно-и профессионально- значимых знаний и умений по каждой содержательной линии обладает рядом особенностей: показ необходимости и возможности расширения числовой системы; доказательство непротиворечивости числовой системы, установление связи изучаемого материала со школьным курсом математики; изучение метод а математической индукции в каждой числовой системе.

3. Средством формирования предметно- и профессионально -значимых знаний и умений при изучении курса являются задачи Определены основные требования к задачам. Разработано 14 блоков задач, ориеятированных на реализацию содержательных линий. Даны методические рекомендации и методические пояснения по каждому блоку задач.

4. Разработаны экспериментальная программа курса «Числовые системы» и спецкурс «Геометрические приложения системы кватернионов», в рамках которого самостоятельная учебно-исследовательская работа студентов направлена на углубление и расширение знаний о числовых системах

5. Экспериментально подтверждено, что предложенная методика позволяет совершенствовать предметно — методическую подготовку будущего учителя математики при изучении курса «Числовые системы» в педвузе и повысить ее качество.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что поставленные задачи решены, а цель исследования достигнута Результаты апробации и внедрения предложенной методики свидетельствуют о возможности и целесообразности ее использования в практике при изучении курса «Числовые системы» в педагогическом вузе.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Симонова, Надежда Сергеевна, Тольятти

1. Аммосова НВ Методико-математичеосая подготовка студентов педагогических факультетов к развитию творческой личности школьника при обучении математике: Автореф. дисс. докт. пед. наук- М.; 2000. 42 с.

2. Андронов И К Математика действительных и комплексных чисел. М: Просвещение, 1975. - 158 с.

3. Андронов И К Арифметика Развитие понятия числа и действий над числами. М: Учпедгиз, 1962. - 375 с.

4. Андронов ИК, Окунев А К. Арифметика рациональных чисел: Пособие для учителей. М: Просвещение, 1971. - 399 с.

5. Арнольд И В. Математический тривиум // Успехи мат. наук Т. 46, 1991. - Вып. I (277). - С. 225-232.

6. Архангельский С.И Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы М. Высшая школа, 1980. - 368 с.

7. АшмановС. Числа и многочлены // Квант. 1980.- №2. - С. 17-21.

8. Балк МБ., Балк Г.Д, ГЬлухин А А Реальные применения мнимых чисел К: Рад. шк., 1988.- 255 с.

9. Балк МБ., Балк Г.Д. Кватернионы на внеурочных занятиях по математике // Сб.: Внеурочная работа по математике в условиях сельской школы

10. Вологда, 1981. -С. 109-128.

11. Барбашова Г. Л Требования к систоле упражнений / Цэоблемы качества подготовки учителя математики и информатики: Материалы Всеросс. науч.-практ. конф. Нижний Новгород: Нижегор. гос. пед. ун-т, 2002. -С.137-139.

12. Барчунова Ф.М, Дудницын Ю.П Упражнения по темам «Принцип математической индукции» и «Элементы комбинаторики» // Математика в школе. 1976. - №4. - С. 30 - 33.

13. Басова В А Организац ия самоконтроля усвоения математических знаний студентами педвуза: Автореф. .дисс. канд. пед. наук-Саранск. ;1997.-18 с.

14. Бевз Г. П О методической подготовке будущих учителей математики // Математика в школе. 1974. - № 3. - С. 62, 63.

15. Бескин НМ Аксиоматический метод // Математика в школе. 1993. -№3. -С.25-29; №4.-С. 48-54.

16. Бескин НМ Роль задач в преподавании математики // Математика в школе. 1992. - №4. - С. 3-5.

17. Биркгоф Г., Берти Т. Современная прикладная алгебра / Пер. с англ Ю.И Манина -М: Мир, 1976.- 400с.

18. Блох А Я. Шсольный курс алгебры Методические разработки для слушателейФПКМГПИим. Ленина М; 1985. -90с.

19. Блох АIII Числовые системы: Учеб. пособие для пед. ин тов по маг. спец.- Мн.: Выш. Пкола, 1982 - 158 с.

20. Блох АЯ, Бухиггаб А А Алгебраические числовые кольца и поля: Методические разработки к спецкурсу «Факультативные занятия встарших классах средней школы». М; 1983 - 64 с.

21. Бурбаки Н Архитектура математики // Математическое просвещение. -1960. -№5.-С. 99-112.

22. Быков В Мой опыт изучения с учащимися темы «Расширение понятия о числе» // Математика в школе. 1937. - №4. - С. 41-44.

23. Варанкина В И, Вечтомов ЕМ Линейно упорядоченные множества // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона Выпуск 4. — Киров: Изд-во Вятского гос. пед. университета;, 2002. С. 16-27.

24. Васильев НЕ, Гутенмахер В Л. ГЪры чисел и действия над ними // Квант. 1985. - №1. - С. 19-24.

25. Вейль Г. Классические группы их инварианты и представления. М: Изд-во иностр. лит., 1947.- 408 с.

26. Вечтомов ЕМ Основы теории делимости // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона Выпуск 4. Киров; Ищ-во Вятского гос. пед. университета, 2002. - С. 61 - 73.

27. Вечтомов Е М Упорядоченные структуры в курсе математики / Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков. Материалы Всеросс. конф. - Дубна - М: МЦНМО, 2000. - С.351-354.

28. Виленкин Н Я. Математика: Учеб. для 5 кл общеобразоват. учреждений / НЯ. Виленкин, В И Жохов, АС. Чесноков, С.И Шварбурд. 5-е изд. -М: Мнемозина, 1997. - 384 с.

29. Виленкин НЯ Алгебра: Для 8 кл: Учеб.пособие для учащихся шк. и классов с углубл Изуч. математики / НЯ. Виленкин, АН Виленкин, Г.С. Сурвилло и др.; Под ред. НЯ. Виленкина-Цроовещение, 1995.-256 с.

30. Виленкин НЯ. и др. Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихсяшк. и ки с углубл изуч. математики /НЯ. Виленкин, Г.С. Сурвилш, АС. Симонов, АИ Кудрявцев; ГЪд ред. НЯ. Виленкина 2-е изд. -М: Просвещение; 1998. — 384 с.

31. Вйленкин НЯ. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл с углубл. изуч. математики / НЯ Виленкин, О.С. №ашев-Мусатов, С И Шварцбурд 6-е изд. - М: Просвещение^, 1998. - 288 с.

32. Виленкин НЯ, Мордконич А Г. Подготовку учителя математики на уровень современных требований // Математика в школе 1986 - №6 -С. 6-10.

33. Вывальнкж: Л.Н и др. Числовые системы / Л.М Вывальнкж, В К Григоренко, С.С. Левищенко. К: Выщашк., 1988. - 272 с. - На украинском языке.

34. Высшая алгебра: Пособие для студентов физ- мат. факультетов пед ин-тов. Часть II. Краснодар, 1969 - 286 с.

35. Гайдук Ю.М Систематические дроби, действительные и р адические числа// Математика в школе. - 1951. - №1. - С. 12-24.

36. Галицкий МЛ. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением курса математики / МЛ. Галицвсий,АМ Гольдман, ЛИ Звавич. М: Просвещение^ 1992. - 271 с.

37. Ганкель Г. Теория комплексных числовых систем / Пер. с нем., под ред. ИИ Парфентьева Казань; 1912. -245 с.

38. Гельфман Э.Г., Вольфенгаут Ю.Ю., Зильберберг НИ, Гриншпон С.Я. и др. Действительные числа, ^рациональные выражения. Учеб. пособие по математике для 8 класса Томск: Изд-во Томского ун-та - 256 с.

39. Гильберт Д. Основания геометрии. М, ГИТТЛ, 1948.

40. Гиндикин С. О пользе чисел «поистине софистических» // Квант. 1983. - №6.-С. 10-17.

41. Гладкий А В. Об уровне математической культуры выпускников средней школы// Математика в школе. 1990. - №4. - С. 7-9.

42. Гладкий А В., Козиоров Ю.Н Действительные числа как последовательность обыкновенных дробей И Математика в школе. 1996. - №б. -С.39-47.

43. Гладкий А В. Числа: натуральные, рациональные, действительные, комплексные: Учебное пособие дл общеобразовательной школы М: Вербум, 2000.-144 с.

44. Глейзер Г. Лекция 4: Комплексные числа // Математика (еженедельное приложение к газете «Первое сентября»). 2001. - №10. - С. 13-17; № 11.-С. 21-24.

45. Гончаров А Арифметика гауссовых чисел // Квант.- 1985. №12. -С. 8-13.

46. Гончаров В. Л. Математика как учебный предмет // Известия Академии педагогических наук РСФСР. Вопросы общей методики, вып. 92. М; 1958,- С. 37-66.

47. Гусев В. А, Сафуанов И С. Современное состояние и инновации в подготовке учителей математики в Российской федерации / Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков. Материалы Всеросс. конф.,- Дубна - М: МЦ НМО, 2000,- С. 382 -384.

48. Дейвис Ф.Дж. Арифметика // Математика в современном мире. Перевод с англ НГ. Рычковой. Предисловие В А Успенского. М: Мир, 1964.-С.29-45.

49. Демидов ИТ. Основания арифметики: Учебное пособие для физ. матем. факультетов пед. ин - тов. - М; 1963 - 160 с.

50. Демченкова НА Проблемно-поисковые задачи как средство формироваг-ния исследовательских умений будущего учител математики в курсе методики преподавания в педвузе: Дисс . канд. пед. наук. Тольятти, 2000,- 202 с.

51. Долбилин НП, Никольский С.М Заметки о конгрессе // Математика в школе. 1989. - №4. - С. 81-86.

52. Дорофеев С. Н Основы подготовки будущих учителей математики к творческой деятельности: Монография ГЪдаа Пензен. гос. ун-т, 2002 - 218 с.

53. Евсеев АЕ Система вещественных чисел: Методическая разработка для студентов заочного отделения математического факультета / Сост. доцент АЕ Евсеев. Л.: ЛГПИ, 1983,- 48 с.

54. Ефремович В. А, Гладкий А В К вопросу подготовке учителя математики в педагогических институтах // Математика в школе. 1989. - №3. -С. 15-19.

55. Епишева О.Б. Деятельностный подход как теоретическая основа проектирования методической системы обучения математике: Дисс. докт. пед наук.- М; 1999. 410 с.

56. Жохов АЛ. Мировоззренчески направленное обучение математике в общеобразовательной и профессиональной школе (теоретический аспект): Монография. — Москва Издательский центр АЛО, 1999. 150 с.

57. Задачи и упражнения по началам математического анализа Пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики и для внеклассных занятий математикой / Сост. ЕС. Клнин, С.И Калинин. Под общей редакцией ЕС. Канина Киров, 1997. - 203 с.

58. Зорин В. В., Фискович Т.Т. Пособие по математике для поступающих в вузы Учеб. пособие для подготовительных отделений вузов. — М . Высш. школа, 1980. 287 с.

59. Иванов О.А, Ильина АН Одна частная проблема фундаментального значения / Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков. Материалы Всеросс. конф. - Дубна - М: МЦНМО, 2000. - С. 428-430.

60. Иванова Т.А Развивающее обучение математике как методическая система / Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении: Сб. науч. и метод, работ, представленных на регион, науч-практ. конф. Арзамас: Арзамас, гос. пед. ин-т, 2002. -С.9-16.

61. Иванова Т А Сущность и роль теоретико-методической подготовки учителя математики в педвузе / Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики: Материалы Всеросс. науч. практ. конф.

62. Нижний Новгород: Нижегор. гос. пед. ун-т, 2002. С.47-50.

63. Каджоян Т. Я. Формирование понятия об аксиоматическом методе на уроках алгебры средней школы (на примере числовых систем). Автореф. дисс. канд. пед. наук. М, 1977. - 19 с.

64. Канин ЕС. Об изучении действительных чисел в 9 классе // Математика в школе. — 1978. №5.-С. 27-31.

65. Канин ЕС. Об углубленном изучении действительных чисел // Математика в школе. 1999. - №6. - С. 74 - 77.

66. Канин ЕС., Калина ЕМ, Чернявский МД Упражнения по началам математического анализа в 9-10 классах: Книга для учителя. М: Просвещение, 1986.

67. Кантор ИЛ., Солодовников АС. Гиперкомплексные числа.- М: Наука, 1973. 144 с.

68. Карденас Кесада Пабло Луис. Вопросы совершенствования методики изложения курса «Числовые системы» на математических факультетах педагогических вузов Республики Куба: Дисс. канд. пед. наук. М; 1986.

69. Карп АП Материалы для работы над темой «Комплексные числа» в классах с углубленным изучением математики // Математика в школе. -1992. №6,- С. 8-10.

70. Кириллов А Клумова И, Сосинский А Сюрреальные чисти П Квант. -1979.- №11. -С. 2-9.

71. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х томах. Т.1. Арифметика Алгебра Анализ:Пер. с нем./Под ред. ВГ. Болтянского. 4-еизд. - М: Наука, 1987,- 432 с.82Клини С. К Введение в метаматематику. ИЛ; 1957.

72. КЬзиоров Ю.Н Построение курса «Числовые системы» на основе теории множеств и метод ика его преподавания при подготовке учителей математики: Дисс. канд. пед. неук. Шуя, 1992. - 202 с.

73. Колмогоров АН К обсуждению работы по проблеме «Перспективы развития советской школы на ближайшие тридцать лет» // Математика в школе. 1990. - №5. - С. 59-61.

74. Колмогоров АН Обобщение понятия числа ^отрицательные рациональные числа // Математика в школе. 1970. - №2. - с.27 - 32.

75. Колмогоров АН и др. Алгебра и начала анализа Учеб. дан 10-11 кл ср. шк./ АН Колмогоров, АМ Абрамов, Ю.П Дудницын и др.: Под ред. АН Колмогорова 2-е изд. - М: 1 ^освещение, 1991.

76. Колмогоров АН и др. Алгебра и начала анализа Учеб. для 9 и 10 кл ср. шк./ АН Колмогоров, АМ Абрамов, БЕ Вейц и др .: Под ред. АН Колмогорова 4-еизд. - М: Цэосвещение, 1983. - 336 с.

77. Колягин Ю.М Методика преподавания математики в средней школе

78. Общая методика. Учеб. Пособие дня студентов физ,- мат. фек. пед. ин-тов. 2 -с изд., перераб. и доп. М: Просвещение, 1980. - 386 с.

79. Калягин ЮМ, Луканкин Г.Л. Основные понятия современного шкального курса математики: Пособие для учителей /ГЬд ред. А И Маркушевича М: Просвещение, 1974,- 382 с.

80. КЬсгрикин А И Введение в алгебру. Основы алгебры: Учебник для вузов. М: Физматгиз, 1994. - 320 с.

81. Кужель А В Метод обобщений в математическом творчестве // Математика сегодня: Научный сборник. ГЬд ред проф. АЯ. Дороговцева -Киев: Вшцашкола, 1983. С. 68 - 88.

82. Куликов ЛЯ. Алгебра и теория чисел. М: Высш. Ilk., 1979.-559 с.

83. Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел Учебн. пособие для студентов физ мат спец. пед. ин - тов / Л. Я. Куликов, А И Москаленко, А А Фомин. - М. Просвещение, 1993. - 288 с.

84. Курдюмова НА Отражение в обучении первых периодов развития математики // Математика в школе. 1999. - №6. - С. 10-14.

85. Курдюмова Н А Формальное и интуитивное в процессе развития понятия числа// Математика в школе. 1994. - №4 - с. 73-77.

86. Курош А Г. Лекции по общей алгебре. Изд. 2-е. -М : Наука, 1973. 399 с.

87. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. Учебное пособие для студентов физ. -адат. спец. пед. ин-тов / ЕИ Лященко, KB Зобкова, Т.Ф. Кириченко и др.; ГЬд ред. ЕИ Лященко. М: Цэосвекцение. - 1988. - 223 с.

88. Ларин С.В Что такое натуральные числа? М: Просвещение: АО «Учебная литература», 1996,- 78 с.

89. Ларин С. В. Об изучении в педвузах школьной математики // Математика в школе. 1990. - №4. - С. 13.

90. Лелон -Ферран Ж. Основания геометрии: Пер. с франц М: Мир, 1989. - 312 с. - (Совремшная математика Вводные курсы).

91. Линник Ю.В Кватернионы и числа Коли; Некоторьге приложения арифметики кватернионов // УМН 1949. - т. IV, вып. 5 (33). - С. 49 - 98.

92. Литвинов НН Преподавание учения о числе в педагогическом институте: Дисс. канд. пед. наук. Л.; 1958. - 268 с.

93. Любецкий НА Основные понятия школьной математики: Учеб. пособие для студентов педагогических институтов по спец. № 2104 «Математика». М: Просвещение^ 1987,- 400 с.

94. Ляпин ЕС. и Евсеев АЕ Алгебра и теория чисел, ч. 1. Числа М: Просвещение, 1974.

95. Ляпунов АА О фундаменте и стиле современной математики // Математическое просвещение.-1960. вып. 5 - С. 113-115.

96. Мадер ВВ. Тайны ряда N: Кн. Для учащихся. М. Просвещение, 1995.-191 с.

97. Маркушевич А И Символ бесконечности и его употребление в математике // Математика в школе. 1948. - № . - С. 1 - 11.

98. Математика XIX века Математическая логика Алгебра Теория чисел Теория вероятностей. / Под ред. АН Колмогорова и Ю.П Юшкевича -М; Наука, 1978.-255 с.

99. Математическая энциклопедия. М: Советская энциклопедия. - 1977. -T.1; 1979.-Т.2.

100. Манко НА О математической подготовке выпускников средней школы // Математика в школе. 1956. - №2. - С. 22 - 26.

101. Мелекесов Г А Вопросы методики изучения числовых систем в курсе алгебры восьмилетней школ Автореф. дасс .канд. пед. наук. М ; 1979. -16 с.

102. Мендельсон Э. Введение в математическую жэгику / Перевод с англ.

103. Ф.А Кабакова Под ред. С И Адана Изд. второе, испр.- М: Наука.1976.-320 с.

104. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика В А Оганесян, Ю.М Калягин, Г. Л. Луканкин, В.Я. С^шшнский М: Просвещение 1980. — 368 с.

105. Методика преподавания математики в сред ней школе: Частная методика Учебное пособие для студентов пед агогических институтов по физ. -мат. спец. / АЯ. Блох, ВА Гусев, Г. В. Дорофеев и др.; Сост. ВИ Мишин. -М: Цэосвещение, 1987. -416 с.

106. Методика факультативных занятий в 9-10 классах Избранные вопросы математики. ГЬсобие для учителей / ИН Антипов, ВН Березин, А А Егоров и др., Сост.: ИЛ. Никольская, В.В. Фирсов. — М: Просвещение, 1983.-176 с.

107. Миганова Е.Ю. Метод ика конструирования систем учебных математических задач (на примере курса геометрии педвуза): Учеб. пособие для студ мат. спец. пед. вузов. Арзамас: Арзамас.гос. пед. ин-т, 2001.- 96 с.

108. Миганова ЕЮ. Структура методической подготовки учителя математики в педвузе / Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики: Материалы Всероос. науч.-практ конф Нижний Новгород: Нижегор. гос. пед. ун-т, 2002. - С.50-52.

109. Миракова Т.Н Школьная математика и логическое развитие учащихся: проблемы и решения i i «Школа 2000 .». Концепции. Программы Технологии. Вып. 2/ ГЬдред А А Леоньтева М Баллас, 1998. - С. 70-79.

110. Миракова Т. Н Развивающие задачи на уроках математики в У-УШ классах: пособие для учителя// Квантор. 1991. - №3. - 96 с.

111. Мищенко А, Соловьев Ю. Кватернионы// Квант. -1983. №9. - С. 10- 15.

112. Мнения и предложения / (Келбакиани В.Н, ЦЬрифов Дж., Григорьева Т.П, Владимирцев С. А, Гаврилюк А В., Уткина Т.М, Ко-зиоров Ю.Ни др.) // Математика в школе. 1989. - №4. - С.9-20.

113. Малин Ф.Э. Числовые системы / Сост.: А И Кострикин, В А Андрунакиевич, Л. А Бокуть и др.; Пер. с нем. Л. А Бокутя, НН Круликовского, ИВ. Львова; Под ред. А И КЬстрикина -Новосибирск: Наука, 1985. 125 с.

114. Молодший В.Н Понятие комплексного чист в его развитии // Математика в школе. 1947. - №1. - С. 11 - 25.

115. Молодший В. Н К вопросу об истолковании роли аксиомы индукции в арифметике натуральных чисел // Математика в школе. — 1954. -С. 1-5.

116. Молодший В.Н Основы учения о числе в XVIII и начале XIX века Пособие для учителей. Государственное учебно-педагогическое изд-во Министерства просвещения РСФСР. М; 1963. - 262 с.

117. Монахов В.М, Стефанова НЛ. Направления развития системы методической подготовки будущего учителя математики // Математика в школю. -1993.- №3.- С. 34-38.

118. Мордкович А Г. Новая концепция школьного курса алгебры // Математика в школе. 1996. - №6. - С. 28.

119. Мордкович А Г. Цх^феосионально-педагагаческая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: Автореф. дисс. докт. пед. наук. — Москва, 1986. 36 с.

120. Мордкович АГ., Гисин В.Б. Цэоблемы подготовки учителя математики (опыт межвузовского исследования) // Математика в школе. 1991. -№1,-С.77-78.

121. Назиев АХ Гуманитаризация преподавания математики средствами самой математики / Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика Об. материалов Всеросс. науч. конф. Часть 1. Саранок; 2002 - С.25-29.

122. Назиев АХ Гуманитарно ориентированное преподавание математики в общеобразовательной школе: Монография. Рязань, РИРО, 1999 - 112 с.

123. Назиев АХ Гуманитаризация основ специальной подготовки учителей математики в педагогических вузах: Автореф. дисс. докт. пед наук. -М; 2000. — 38 с.

124. Неискашова ЕВ Профессиональная направленность обучения студентов педагогических вузов в процессе углубленного изучения понятия числа: Автореф. дисс. канд. пед. наук. М; 1999. - 16 с.

125. Неискашова ЕВ. Идеи нестандартного анализа в истории науки и преподавании // Математика в школе. 1999. - №3. - С. 76-79.

126. Неискашова ЕВ К вопросу о содержании спецкурсов в связи с углубле^-нием понятия числа // Научные труды Mill У, Серия: естественные науки. М: Прометей, 1998. - С. 25, 26.

127. Нечаев В А Задачник практикум. Группы Кольца. Поля. Векторныеи евклидовы пространства Линейные отображения. — М: Просвещение,1983. -120 с.

128. Нечаев В И. Упорядоченные множества и упорядоченные алгебры с одной и двумя бинарными операциями // Математика в школе-1973.- №5. -С. 4-13.

129. Нечаев В И Числовые системы Пособие для студентов пед агогических институтов. М: Просвещение, 1975. - 199 с.

130. Пешкова К.И, ГТышкало АМ Математика в начальных классах, ч. 1. / Под ред. А И Маркушевича- М: Цэосвещение, 1968.

131. Новиков С.П О состоянии математического образования в педвузах СССР// Математика в школе. 1989. - №3.- С.8-13.

132. Озерский А В. Система практических занятий по числовым системам // Рациональный подбор задач как средство улучшения математического образования в школе и вузе. Методические материалы — Даугавпилс;1984.

133. Окунев ЛЯ. ВЬкшая алгебра Учеб. пособие для студентов физико-математических специальностей педин-тов. изд. 2 - е, перераб. и дополн. - М: Просвещение, 1966. - 336 с.

134. Олоничев ПМ Как мы говорим о числе в школьной математике // Математика в школе. 1973,- №5 —С.52-56.

135. Перевощикова Е. Н Теоретико-методологические основы выявления критериев качества подготовки учителя математики /Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики: Материалы Всеросс. науч. практ. конф. - Шжний Новгород; 2002. - С. 3-8.

136. Перминов Е А Понятия кольца и поля на факультативных занятиях в школе / Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики: Материалы Всероос. науч.-практ. конф. Нижний Новгород: Нижегор. гос. пед. ун-т, 2002. - С. 135-136.

137. Петер Р. №ра с бесконечностью. Математика для нематематиков./ Пер. с венгерского В M Бону, АЯ. Маргулиса, АIII Мейлихзона ГЬд ред. Б.Л. Лаптева М: Просвещение^ 1967. - 272 с.

138. Петрова ВТ. Научно-методические основы интенсификации обучения математическим дисциплинам в высших учебных заведениях: Дисс . докт. пед. наук. М; 410 с.

139. Петрова ЕС. Скстема методической подготовки будущих учителей по углубленному изучению математики: Дисс . докт. пед наук. Саратов; 1998.-456 с.

140. Годлевских M H Изучение понятий «число» и «величина» в курсе математики на педагогических факультетах. // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона Выпуск 4. Киров: Изд-во Вятского гос. пед. университета, 2002. - С. 110-113.

141. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание / Перевод с англ ВС. Бермана Под ред. ИМ Яглома Изд. второе, стереотипное —M : Наука, 1976.

142. Пойа Д Обучение через задачи // Математика в школе-1970- №3 -С. 89-91.

143. Понтрягин Л. Комплексные числа // Квант. 1983. - N22. - С. 16 - 19.

144. Понтрягин Л. Обобщение чисел // Квант. 1985. - №2 - С. 6 - 11, 22; m-С. 2-5.

145. Программа курса «Числовые системы» для отец. № 2104 «Математика», «Математика и физика» и № 2105 «Физика и математика» // Сб. №6: Программы педагогических институтов. М: Просвещение, 1984.--С. 9-11.

146. Про1раммы общеобраювагельных учреждений. Математика 1.Программа для общеобразовательных учреждений. 2. Программа для школ (классов) с углубленным изучением математики. М: Просвещение, 1994.-240 с.

147. Произволов ВВ. Задачи учат думать // Математика в школе.-1999,-№2.-С. 60

148. Проскуряков ИВ. Сборник задач по линейной алгебре: Учеб.пособие для университетов. Издание третье, исправленное и дополненное. М: Наука, 1967.-384 с.

149. Проскуряков ИВ Числа и многочлены Изд. 2-е,- М: Г^эосвещение, 1965.-284 с.

150. Проскуряков ИВ Понятие множества, группы, кольца и поля. Теоретические основы арифметики. // Энциклопедия элементарной арифметики. 1. Арифметика М-Л.; 1951.

151. Пудалов ИГ. Состояние подготовки учителя математики в педвузе /Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков. Материалы Всеросс. конф. - Дубна - М: МЦНМО, 2000. -С. 532-533.

152. Пуличева Г.Е. Роль задач при изучении некоторых вопросов начал анализа // Г|эеподавание алгебры и геометрии в школе: Пособие для учителей. Сост. О. А Боковнев. М: Просвещение, 1982. - С. 82-83.

153. Рафикова Р. М Методика изучения алгебраических структур на факультативных занятиях в СШ Дисс . канд. пед. наук. М; 1972.

154. Рахманкулов Р. Г. Математическая бесконечность // Математика в школе. 1995. -№5,-С. 43 - 46; №6.-С. 37-39.

155. Рашевский ПК О догмате натурального ряда // УМН 1973. - 28. -Вып. 4 (172). - С. 243 - 246.

156. Рогановский Н М Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие Мн: Выш. Шк., 1990. - 267с.: ил.

157. Родионов М А Мотивация учения математике и пути ее формирования:

158. Монография, Саранск: Мордов. гос.пед. ин-т, 2001. 252 с.

159. Рукшин С.Е Задачи, как цель и средство обучения математике / Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков. — Материалы Воеросс. конф. Дубна - М : МЦНМО, 2000. - С. 231-233

160. Саранцев Г. И Методология методики обучения математике. Саранск Тип. «Крас. Окт », 2001.- 144 с.

161. Саранцев Г. И Общая методика преподавания математики: Учеб. пособие для студентов мат. спец пед вузов и ун-тов. Саранск; 1999.-208 с.

162. Саранцев Г. И О профессионализме в под готовке учителя математики // Математика в школе. 1990. - №4. - С. 11-12.

163. Саранцев Г. И Формирование познавательной самостоятельности студентов педвузов в процессе изучения математических дисциплин и методики преподавания математики / Мордов. гос. лед. ин-т им ME Евсевьева Саранск; 1997. - 160 с.

164. Саранцев Г. И Упражнения в обучении математике. М : просвещение, 1995. - 240 с.

165. Сборник задач по алгебре и началам анализа для 9 и 10 классов. Пособие для учителей. М: Просвещение, 1978.- 272 с. (Б-ка учителя математики). На. обороте тит.л авт.: Б.М Излев, АН Земляков, Ф.В. Томашевич, Ю.В Калиниченко.

166. Семенов В И Об искусстве индуктивного предположения // Математика в школе. 1994. - №2. - С.21.

167. Симонова НС. Упражнения по теме «Кватернионы» / Гуманитаризация математического образования в школю и вузе.: Межвуз. сб. науч. тр. ЕЫп . 2 Саранск. ГЪволжск. Отд. РАО, Морд. гос. пед. ин-т, 2002. - С. 128- 132

168. Симонова НС. Курс «Числовые системы» в педвузе: проблемы, перспективы совершенствования / Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков. Материалы Всеросс конф. - Дубна

169. M: МЦНМО, 2000. С. 573, 574.

170. Симонова НС. Нужны ли «Числовые системы» в педвузе? / Реформа образования дело каждого. Сб. метод, статей. - Тольятти: РИЦ ТСЭК, 2000.-С. 48-50.

171. Симонова НС. Спецкурс «Геометрические приложения системы кватернионов» / Цэоблемы качества подготовки учителя математики и информатики: Материалы Всеросс. науч. -практ. конф. Нижний Новгород: Нижегор. гос. пед ун-т, 2002. - С. 148-150.

172. Омоновская Г А Факультативный курс «Комплексные числа и их приложения» для старших классов средней школы Дисс. канд. пед. наук. M , 1997.-150 с.

173. Славков С. Понятие «математическая структура» и его значение // Вопросы философии. 1970. - № 2. - С 67 - 77.

174. Смирнова ЕС. Рекомендации по использованию литературы по теме

175. Действительные числа» // Математика в школе. 1993.- №3. - С. 22-24.

176. Современные основы школьного курса математики: Пособие для студентов педагогических институтов / НЯ. Екленкин, К И Дуничев, Л.А Калужнин, А А Столяр М: Просвещение, 1980.- 240 с.

177. Солнце» Ю.К., Соркин Ю.И, Нечаев В. А Арифметика рациональных чисел. Курс лекций и задачник практикум. Изд. третье, перераб. — М : Просвещение, 1971. -160 с.

178. Солонина АГ. Базовая специальная подготовка в педагогическом университете // Математика в школе. 1995 - №5.-С. 54.

179. Соминский И С. Метод математической индукции Изд. 2-е. Популярные лекции по математике. Вып. 3. М-Л.: Гос. Изд-во технико-теоретич. литературы, 1952.- 48 с.

180. Стойлова Л.П Математика: Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений. — М: Изд. Црнтр «Академия», 1999.- 424 с.

181. Столл P.P. Множества Логика Аксиоматические теории. Пер. с англ Ю.А Гастеваи ИХ Шмаина ГЬдред. Ю.А Штхановича- М: Просвещение, 1968. 231 с. (Математическое просвещение)

182. Терешин НА Прикладная направленность школьного курса математики: Кн. для учителя. М: Просвещение, 1990. -96 с.

183. Тестов В А Математические структуры как научно-метод ическая основа построения математических курсов в системе непрерывного обучения (школа вуз): Дисс. докт. пед. наук. - Вологда; 1998.- 400 с.

184. Тестов В А О содержании образовательной области «Алгебра» для педвуза / Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики: Материалы Всеросс. науч.-практ. конф. Нижний Новгород: Нижегор. гос. пед ун-т, 2002. - С. 125-127.

185. Тихомиров В. М О некоторых проблемах математического образования / Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков. Материалы Всеросс. конф - Дубна- М: МЦНМО, 2000 - С. 3 - 14.

186. Тощий Е Некоторые проблемы модернизации образования учителей математики в ГЪлыне // Математика в школе. 1990. - № 6. - С. 71.

187. Успенский В. А Что такое нестандартный анализ? М: Наука, 1987. -128 с.

188. Утееава Р. А Дифференцированное обучение математике учащихся средней школы. ГЪсобие по спецкурсу и спецсеминару для студентов математических специальностей педвузов. М: Прометей, 1996.-118 с.

189. Утеева Р. А Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе: Монография. -М: Г|х>метей, 1997.-230с.

190. Утеева Р. А Уровневая дифференциация в обучении математике учащихся средней школы / Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков. Материалы Всеросс. конф. - Дубна - М: МЦНМО, 2000. - С. 608-610.

191. Федотова Т. Я. Математические структуры как основа построения единого курса математики в восьмилетней школе: Автореф . д исс. канд. пед. наук.- М, 1975.-18 с.

192. Фетисов А И Аксиоматический метод и его место в преподавании мате-матикив СШ // Известия АПН -1951. -№31.

193. Феферман С. Числовые системы Основания алгебры и анализа /Перевод с англ. Ан. А Мальцева Под ред. АД. Тайманова М: Наука, 1971.

194. Фрейденталь Г. Математика в науке и вокруг нас /Пер. с нем. ЮА Данилова Изд-во«Мир», 1977 - 261 с. сил.

195. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру / Пер. с вен.

196. Ю.А Данилова М: IVfap, 1979. -260 с.

197. Фридман Л.М Величины и числа: Популярные очерки. М: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 2000. - 224 с.

198. Фройденталь Г. Математика как педагтя-ическая задача Часть 1. Пособие для учителей /Под ред. НЯ. Вйленкина Сокращ. Пер. с нем. А Я. Хала-майзера — М: Просвещение, 1982. -208 с.

199. Хамов Г. Г. Методическая система обучения алгебре и теории чисел в педвузе с точки зрения профессионально-педагогического подхода: Дисс . докт. пед. наук. Спб.; 1994.- 372 с.

200. Хинчин А Я. Педагогические статьи / Под ред. Б. В Гнеденко. — М: АПН РОФСР, 1963. -С.30-31.

201. Холл М Теория групп / Пер. с англ. М - 1962. - гл. 20.

202. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра Теория чисел. Геометрия / Под ред. АП Юшкевич. М: Г|юсвещение, 1976.

203. Цыбикова Л X Организация самостоятельной работы студентов педвузов в процессе изучения курса алгебры и теории чисел Автореф. дисс. канд. пед. наук. Улан - Уда; 1995.

204. Чаплыгин В.Ф. Задачи в формировании понятия действительного числа И Математика в школе. 1997. - №1 - С.26-27.

205. Шабунин МИ Научно-методические основы углубленной математической под готовки учащихся сред них школ и студентов вузов: Дисс. в виде научного доклада. докт. пед. наук. М; 1994.

206. Шгвкин AB Взаимосвязь теории и практики как основа совершенствования методики изучения чисел в курсе математики 5-6 классов: Автореф. . .дисс. канд. пед. наук. М; 1990. - 18 с.

207. Ярский А Числа и функции // Квант. -1980.- №2. С, 13- 18.