автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Использование графов в совершенствовании среднего математического образования.

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Березина, Лариса Юрьевна, 1975 год

ВВЕДЕНИЕ. I

Гдава 1. РОЛЬ И МЕСТО ГРАФОВ В ОБУЧЕНИЙ МАТЕМАТИКЕ

§ 1. Особенности языка теории графов и возможности его использования как методического средства обучения математике

1. Некоторые особенности теории графов как раздела математики

2. Особенности языка графов, обеспечивающие до-^ ступность его для учащихся и возможность использования в школе.II 3. Гра$ы как средство наглядности при обучении математике.

§ 2. Графы как средство углубятся и обогащения содержания школьной м&тейатики

1. О возможностях углубления содержания школьного нурса математики в связи с использованием языка графов.

2. О возможностях обогащения содержания школьного курса математики в связи с использованием языка графов.

§ 3. Графи как средство развития прикладного направления среднего математического образования

1. Об актуальности и специфике проблеш прикладной ориентации среднего математического образования

2. Об использовании графов на трех этапах процесса применения математики.

3. О возможностях и путях введения в курс математики нового прикладного содержания, связанного с использованием языка графов.

§ 4. Возможности использования графов для усиления взаимосвязей учебных дисциплин.

Глава П. ВНЕДРЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ГРАФОВ В ОБУЧЕНИЕ

МАТЕМАТИКЕ

§ I. О внедрении графов в основной курс математики

1. О содержательно-методической линии графов в курсе математики.

2. Примеры использования рисунков графов в новых школьных учебниках и пособиях. 61 v

3. Другие возможности использования: графов как \j средства наглядности в курсе математики средней школы . . . .67 v

§ 2. Факультативное обучение элементам теории графов

Введение диссертации по педагогике, на тему "Использование графов в совершенствовании среднего математического образования."

Перестройка среднего математического образования вызвана не только существенным ростом требований, предъявляемых к школьной математике со стороны науки и практики, но и переходом к всеобщему среднему образованию, осуществляемому на основе решений ХХ1У съезда КПСС. Уровень современной науки и технини, научная организация народно-хозяйственной деятельности требуют от работников практически любой отрасли умения использовать методы математики.

Завершается переход на новые програмш по математике, обогатилось содержание общего математического образования, повысился его теоретический уровень. Однако, какими бы достоинствами новое содержание и методика обучения ни обладали, научно-технический прогресс требует дальнейшего их совершенствования. В работах советских ученых - педагогов и математиков - уже намечены его основные задачи. Среди них можно назвать такие, как идейное обогащение и углубление содержания школьной математики, использование ведущих и обобщающих идей и методов, уточнение и обогащение языка школьной математики, развитие ее прикладной направленности, укрепление связей с другими предметами. Наряду с этим, переход к всеобщему среднему образованию требует, чтобы школьная математика при всем ее научном перевооружении была общедоступна.

Естественно, что к отбору содержания учебного материала предъявляются серьезные требования не только с точки зрения соответствия современности. Новые понятия, методы могут быть введены в школьное образование только тогда, когда они позволяют учащимся увидеть известное и существенно важное в новом, более ярком и k правильном освещении, или когда они приобрели общепризнанное положение в науке, производстве, быту, культуре, общественной жизни, то есть удовлетворяют критерию многократной применимости в современной практике. Выбор этого критерия основан на том,что познание предполагает использование полученных знаний, то есть применение их на практике, понимаемой широко - как совокупность научной и производственно-технической деятельности человечества" /176/.

Определенную роль в решении перечисленных выше задач может сыграть введение в школьное математическое образование элементов теории графов. Теория графов развивается как самостоятельный раздел математики со своим языком и методами, но в силу общности понятия "граф" и особенностей языка часто выступает в роли "разнорабочего", помогая решать прикладные задачи. Язык графов может помочь сделать изложение ряда дисциплин более наглядным, доступным, упростить расчеты. Применение методов теории графов часто позволяет снизить трудоемкость исследования, повышает производительность научной и инженерно-конструкторской мысли.

Тан, язык теории графов и связанные с ней методы исследования уже сейчас продуктивно используются в экономике, теории планирования и управления, в исследовании операций, в линейном и динамическом программировании, в теории игр, в электротехнике, в электронике, в математической лингвистике, в социологических исследованиях, в химии, в современной биологии и медицине. Язык теории графов обслуживает и такие отрасли математики, как теория множеств, топология, комбинаторика, теория информации, теория вероятностей, теория групп, линейная алгебра, теория структур, теория конечных автоматов. По словам такого авторитетного специалиста в области теории графов, кан А.А.Зыков, "Сейчас количество важных практических и теоретических задач самого разнообразного конкретного содержания и самой различной степени сложности,сводящихся к задачам и проблемам1 :чистой теории графов, растет столь быстро, что для решения их "в розницу" кустарными методами или остроумными индивидуальными приемами не хватает и не может хватать квалифицированных работников" /64/.

Понятие "граф" очень емко и связано со многими основными понятиями, в частности, и школьной математики. О степени общности этого понятия свидетельствует уже то, что оно включает понятие "бинарное отношение", которое, в свою очередь, охватывает столь общие понятия, как отношения родства, тождества, конгруэнтности, равновеликости, подобия, параллельности, перпендикулярности, делимости и др. Как вид отношения может рассматриваться и такое важное понятие школьной математики, как функция (или преобразование). А любое бинарное отношение J? на множестве может быть представлено в виде графа Г с множеством вершин t/U так, что ориентированное ребро <Д6>^. Г тогда и только тогда, когда истинно соотношение /? RB .

Анализ ряда особенностей языка теории графов дал нам основание для выдвижения с л едущей гипотезы: включение элементов теории графов в школьный курс математики может быть осуществлено так, что позволит на доступном учащимся уровне углубить и обогатить его содержание без расширения объема.

Отдельные вопросы использования элементов теории графов в школьном обучении математике уже обсуждаются учеными в нашей стране. Проводится ряд исследований, связанных с проблемой введения бинарных отношений уже на начальных ступенях обучения математике (К.И.Нешков, А.М.Пышкало, В.Н.Рудницкая, М.М.Тоненкова). Доступное для учащихся введение бинарных отношений влечет за собой и применение рисунков графов, как средства их наглядного изображения, облегчающего первые опыты ребят в математическом шшлении.

Над проблемой исследования условий, возможностей и методини формирования понятия "отношение" у детей 6-8 лет с естественным вовлечением в этот процесс рисунков графов работает сектор начального обучения НИИ СМО АПН СССР.

Вопросам использования графов при изучении функции, как вида бинарного отношения, посвящены работы Ф.М.Рафиковой и В.А.Байда-ка. В диссертациях И.С.Беляевой и А.К.Ибраева обосновывается принципиальная возможность знакомства учащихся с элементами теории графов на факультативных и кружковых занятиях по комбинаторике и топологии.

Начиная с 1970 года, на внеклассные занятия школьников по математике элементы теории графов и ее приложений проникают в основном через научно-популярный физико-математический журнал "Квант", издаваешй АН СССР и АПН СССР.

Рисунки графов как средство наглядного изображения отношений использованы в школьных пособиях по математике во Франции, Бельгии, ФРГ, Югославии, Венгрии и других странах. В последнее время материалы по основам теории графов и ее приложениям нередко публикуются в научно-популярных журналах для школьников, издаваешх в Венгрии, Польше, ГДР, Югославии, Чехословакии, Румынии, Англии, США, ФРГ.

Вместе с тем, в научно-педагогической литературе, прямо или косвенно связанной с проблемой введения элементов теории графов в общеобразовательную школу, не отражены исследования особенностей языка теории графов, обеспечивающие доступность его для учащихся и позволяющие использовать его как средство методики ©бучения математике на всех ступенях обучения^ не вскрыта возможности использования графов как средства развития прикладной направленности среднего математического образования и средства углубления и обогащения содержания школьной математики. В научно-педагогической литературе не освещены возможности использования . и изучения элементов теории графов и ее приложений при углубленном изучении математики,а также вопросы использования языка графов для укрепления межпредметных связей.

Проблема нашего диссертационного исследования заключается в выявлении возможностей и определении путей использования языка графов для совершенствования среднего математического образования.

Для решения проблемы диссертации были поставлены следующие задачи:

1. Обосновать целесообразность использования языка графов как методического средства обучения математике.

2. Определить возможности использования графов в целях углубления и обогащения содержания курса школьной математики.

3. Выявить возможности использования графов для развития при- ■ кладного направления среднего математического образования.

4. Определить возможные направления усиления взаимосвязей учебных дисциплин на основе использования языка графов.

5. Наметить пути внедрения графов в школьный курс математики.

6. Определить содержание и разработать методику факультативного обучения восьмиклассников по теме "Графы и их применений".

Решение первых четырех задач описано в первой главе диссертации. Во второй главе изложены решения последних двух задач, ход и результата эксперимента. В заключении подведены итоги исследования и намечены перспективы дальнейшей работы.

При исследовании задач были проанализированы содержание новых программ по математике, программы факультативных курсов по математике, новые учебные пособия и учебники, отечественная и зарубежная математическая,методическая,пеихояого-педагогичеекая литература по теме исследования^ также использованы первые результаты перехода школ на обучение по новым программам,личный педагогический опыт автора, результаты экспериментального преподавания.

- б

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное исследование послужило основанием для следующих выводов.

Проникновение языка графов в среднее математическое образование является закономерным и естественным процессом и объясняется удачным сочетанием глубокой общности понятия граф, широкой применимости в современной математике и приложениях с существованием графического эквивалента для всякого конечного графа.

Рисунки графов при разработанной методике берут на себя важные операционные функщи языка и служат эффективным методическим средством обучения математике и ее приложениям.

Использование языка графов как методического средства обучения способствует более широкому и плодотворному внедрению в школу теоретике-множественного аппарата математики.

Целенаправленное использование языка графов в обучении математике способствует на доступном для учащихся уровне углублению и обогащению содержания школьной математики, развитию его прикладного направления, укреплению мегаредметных связей, не требуя при этом увеличения объема учебного материала.

Наибольший педагогический эффект достигается при планомерном использований языка графов кан методического средства на протяжении всего обучения математике.

В процессе исследования проблеш совершенствования среднего математического образования на основе использования методических возможностей языка графов наш получены следующие результаты.

1. йаявлены особенности языка графов, позволяющие использовать его как эффективное методическое средство при обучении математике, начиная уже с младших классов.

2. Определены возможности использования графов в целях углуб-лежия и обогащения содержания школьной математики. Расширяя возможности наглядного преподавания, язык графов позволяет с более общих позиций осветить важные темы школьного курса математики и ввести на доступном для учащихся уровне новое содержание. Это достигается без увеличения объема учебного материала или сроков обучения, за счет внутренних резервов курса математики.

3. Обоснована возможность и намечены пути использования графов для развития прикладного направления среднего математического образования. Широкая применимость языка графов и доступность его для учащихся открывают богатае возможности включения в ткань курса математини упражнений из прикладных областей, то есть увеличивают диапазон традиционного приложения школьной математики на практике, и тем создают благоприятные условия для знакомства учащихся с процессом применения математики.

4. На основе анализа учебников и учебных пособий для средней шнолы по разным предметам выявлены резервы для усиления взаимосвязи учебных дисциплин, возникающие в связи с использованием в обучении языка графов. Целенаправленное использование языка графов в обучении математике и другим учебным предметам открывает учащимся новые стороны изучаешх объектов, позволяет выделить и подчеркнуть объективно присутствующие взаимосвязи учебных дисциплин.

5. Намечены пути внедрения элементов теории графов в школьный курс математики как методического средства обучения. Разработаны теоретические основы и исследованы предпосылки проведения содержательно-методической линии графов в курсе математики массовой школы. На основе анализа новых учебников и учебных пособий по математике выявлены возможности для более полного и широкого использования языка графов в качестве средства наглядности.

6. Разработаны содержание и методика факультативного обучения элементам теории графов и ее приложениям учащихся 8-ых классов. Подготовлены учебные материалы "Графи и их применения" (2 части) для факультативных занятий в 8-ых классах. Работа над содержанием и методикой построения этого курса рассматривалась нами как поисковое средство для совершенствования факультативов по математике, введения в школу нового содержания, для определения путей развития прикладной направленности среднего математического образования.

7. В ходе экспериментального обучения доказана принципиальная реализуемость выявленных возможностей использования графов при обучении математике. Подтверждена также эффективность использования при факультативном обучении таких методов, как индуктивный подход, создание ситуаций поиска, выдвижение гипотез, широкое использование задач, служащих мотивом при открытии и доказательстве свойств изучаешх объектов и для развития теории. Реализация этих методов может бать использована и в других новых факультативах, поскольку они отвечают специфике факультативного обучения математике и помогают решить его главные учебные задачи.

Полученные результаты способствуют достижению основной цепи диссертации - выявить резервы дальнейшего совершенствования среднего математического образования и наметить пути их реализации.

Продолжением данной работы должны явиться разработка и последовательное проведение содержательно-методической линии графов в обязательном курсе математики в целях углубления и обогащения его содержания и развития его прикладной направленности при одновременном увеличении доли наглядности и доступности материала в целом. Материалы разработки содержательно-методической линии графов в курсе массовой школы с соответствующей корректировкой могут быть использованы в ПТУ и техникумах. Еще более широкие возможности для испольщования графов представляют школы с углубленным изучением математики. Не менее важным представляется продолжение работы по выявлению и реализации резервов развития взаимосвязи учебных дисциплин на базе использования изобразительного языка графов.

По теме диссертации нами были сделаны доклада на Всесоюзной научно-практической конференции по проблеме учебно-воспитательной работы в классах и школах с углубленным изучением отдельных предметов (1972 г.), на Ш Всесоюзных Педагогических чтениях (1973 г.) и на совместном семинаре молодых ученых АПН СССР и АПН ГДР (1973 г.).

Основное содержание диссертации отражено в следующих опубликованных работах:

1. О методической линии графов в едином курсе математики, тезисы доклада, Всесоюзная научно-практическая конференция по проблеме учебно-воспитательной работы в школах и классах с углубленным изучением отдельных предметов. М., НИИ СМО АПН СССР, 1972.

2. Гра<|ы помогают решать логические задачи. "Математика в школе", № 2, 1972.

3. О факультативном курсе дня учащихся 8-х классов нГра|и и их применения", тезисы доклада. Сб. "Психолого-педагогические основы совершенствования содержания и методов обучения", М., "Педагогика", 1973.

4. Методические особенности использования графов в преподавании математики в средней школе, тезисы, Сб. "Вопросы коммунистического и социалистического воспитания", М., НИИ ОП АПН СССР, 1973.

5. О графах с цветными ребрами, "Квант", Ш 8, 1973.

6. Графы и их применения, экспериментальное учебно-методическое пособие для факультативных занятий в 8-х класеа, ч. 1, 6,5 п.л. М., НИИ СМО АПН СССР, 1973.

7. Графы и их применения, экспериментальное учебно-методическое пособие для факультативных занятий в 8-х классах, ч.П,

4 п.л., М., НИИ СМО АПН СССР, 1974.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Березина, Лариса Юрьевна, Москва

1. Ленин В.И. Материализм и эмпириокритицизм. Полное собр. соч.,т. 18.

2. Ленин В.И. Философские тетради. Полное собр. соч., т. 29.

3. Маркс К. Математические рукописи. М., "Наука", 1968.

4. Энгельс Ф. Анти-Дюринг. Соч. К.Марке и Ф.Энгельс, т. 20.

5. Энгельс Ф. Диалектика природы, Соч. К.Маркс и Ф.Энгельс,т.20.

6. Математика, ее содержание, методы и значение, т. 1-3. М.,

7. Изд-во Академии наук СССР, 1956.

8. Синтез современного научного знания. Диалектический материализм и современное естествознание. М., "Наука",1973.

9. О состоянии и мерах по дальнейшему совершенствованию народногообразования в СССР. Материалы шестой сессии Верховного Совета СССР восьмого созыва, 17-19 июля 1973г. М., "Политиздат", 1973.

10. Авондо-Бодино Дж. Применение в экономике теории графов. М.,1. Прогресс", 1966.

11. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М., "Советское радио", 1970.

12. З.В. Математическое обеспечение экономических расчетов с использованием теории графов. М.Статистика^ 1974.12. Алгебра,13. Алгебра,14. Алгебра,15. Алгебраf16. Алферова

13. Арсеньев A.M. Педагогическая наука школе. "Советская педагогика", т б, 1968.

14. Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и в математике, М.,1. Мысль", 1965.

15. Байдак В.А. Система изучения свойств функций в школе, Омск,1. Омсная правда", 1975.

16. Басакер Р., Саати Т. Конечные rpatje и сети. М., "Наука", 1974/

17. Березина Л.Ю. Графы и их применения, экспериментальное учебно-методическое пособие для факультативных занятий в 8-ых классах, 1 и П части. М., НИИ СМО АПН СССР, 1973 и 1974.

18. Березина Л.Ю. Графе помогают решать логические задачи. "Математика в школе", Ш 2, 1972.

19. Берж К. Теория графов и ее применения. М., "ИЛ", 1962.

20. Бессонов Л.А. Линейные электрические цепи. М., "Высшая школа",1974.

21. Бороздин И.Г. Сетевое планирование и управление в строительстве, М., "Стройиздат", 1972.

22. Боумен У. Графическое представление информации. М., "Мир", '1971.

23. Бурбаки Н. Об архитектуре математики. Сб. Математическоепросвещение, вып. 5, М., Физматгиз, 1960.

24. Васильев Н.Б.,Молчанов С.А.,Розенталь А.Л.,Савин А.П.,Математические соревнования (геометрия), М., "Наука", 1974.

25. Венда В. Предисловие к русскому изданию книги Боумен У. Гра-уфическое представление информации. М., "Мир",1971.

26. Венда В.Ф. Средства отображения информации, "Энергетика",1969.

27. Ветров А.А. Семиотика и ее основные проблеш. М., Изд.политической литературы, 1968.

28. Внеклассная работа по математике в 4-5 классах, под ред.

29. Шварцбурда С.И,, "Просвещение", М., 1974.

30. Вучетич Г.Г. Исследование кратковременной памяти. Канд. дис.,

31. М., МГУ, фак. психологии, 1971.

32. Галкина М.С., Колягин Ю.М., Роитман П.Б. Уроки геометрии в

33. УП классе. (Первое полугодие). Пособие для учителей, М., "Просвещение", 1973.

34. Гальперин П.Я. Развитие исследований по формированию умственных действий, в кн. Психологическая наука в СССР, том 1, М., 1959.

35. Гальперин П.Я. Умственное дейвтвие как основа формированиямысли и образа, "Вопросы психологии", 1 6, стр. У 58-69, 1975.

36. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.,"Мир",1971.1.'

37. Гарднер М. Математические досуги, М., "Мир", 1972.

38. Гарднер М. Математические новеллы. М., "Мир", 1974.

39. Гасс С. Путешествие в страну линейного программирования, М.,1. Мир", 1973.

40. География материков, уч. для б класса. Коринская В.А. и др.,1. М., "Просвещение", 1971.

41. Геометрия, 6 класс, учебное пособие под ред. А.Н.Колмогорова,1. М., "Просвещение", 1974.

42. Геометрия в У1 классе, в помощь учителю, под ред. А.Н.Колмогорова, М., "Просвещение", 1972.

43. Геометрия, учебное пособие для 7 класса средней школы, подред. А.Н.Колмогорова, М., "Просвещение", 1973.

44. Геометрия в УП классе, пособие для учителей. Гусев В.А.,Маолова Г.Г. и др., М., "Просвещение", 1973.

45. Геометрия, учебное пособие для 8 класса средней школы, подред. А.Н.Колмогорова, М., "Просвещение", 1974.

46. Геометрия в 8 классе, пособие для учителей, Гусев В.А., Маолова Г.Г. и др., М., "Просвещение", 1974.

47. Глушков В.М. Роль математики в современной науке. Ст.в ж. v

48. Вестник Академии наук, К? 9, 1974.

49. Гнеденко Б.В. Математика и современное естествознание/В кн.:

50. Синтез современного научного знания. М.,"Наука", 1973.

51. Гнеденко Б.В. Прикладные аспекты преподавания математики.

52. Сб. Математическое образование сегодня, ж."Знание", Ш 6, 1974.

53. Гнеденко Б.В. Символ прогрессивных идей и методов в педагогике. ж."Веетнин высшей шкоды", № 5, 1965.

54. Головина Л.И. и Яглом И.М. Индукция в геометрии. М., Физматгиз, 1961.

55. Гончаров В.Л. Математика как учебный предмет, Известия АПН

56. РСФСР, выпуск 92, М., 1958.

57. Гончаров Н.К. К вопросу о философских основах педагогики.

58. Советская педагогика", 1 7, 1944.

59. Гончаров Н.К, Наглядность как дидактический принцип. "Советская педагогика", Ш 5-6, 1937.

60. Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы, М., "Мир", 1971. v

61. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении, "Педагогика", М.,1972.

62. Дынкин Е.Б., Молчанов С.А., Розенталь А.Л. Математическиесоревнования. Арифметика и алгебра, М., 1970.

63. Дынкин Е.Б., Молчанов С.А., Розенталь А.Л., Толпыго А.К.

64. Математические задачи. М., "Наука", 1971.

65. Жариков Е. Тренируем память. Ст.в газете "Московский комсомолец" 5 августа 1973, 12 августа 1973,19 августа 1973.

66. Зинченко В .П-:,ВергилесЖ.Ю. Формирование зрительного образа,1. Изд-во МГУ, 1968. ~

67. Зинченко В., Ретанова Е. К проблеме визуального мышления, и

68. Техническая эстетика, i 7, 1969.

69. Зоология, учебник для 6-7 классов средней школы. Шховский Б.Е. и др., М., "Просвещение", 1969.

70. Зыков А.А. Теория конечных графов, Новосибирск, "Наука",1969.

71. История СССР, учебник для 7 класса, Нечкина М.В., Лейбенгруб П.С,, М., "Просвещение", 1975.

72. История СССР, учебное пособие для 8 класса. Нечкина 1.В.,

73. Фадеев А.В., Лейбенгруб П.С., М., "Просвещение", 1968.

74. Кабаяова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М., "Просвещение", 1968.

75. Кемени Дж., Снелл Дж.,Конечные цепи Маркова, М., "Наука",1970.

76. Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную математику, М., ИЛ, 1963.

77. Колмогоров А.Н. К новым программам по математике, "Математика в школе", № 2, 1968.

78. Колмогоров А.Н. Новые программы, специализированные школы.

79. Сб. Математическое образование сегодня. М., "Знание", № 6, 1974.

80. Колмогоров А.Н. Предисловие редактора перевода к книге

81. Р.Фора, А.Кофмана, М.Дени-Папена, "Современная математика", М., "Мир", 1966.

82. Колмогоров А.Н. О профессии математика, М., Изд-во МГУ,1959.

83. Колмогоров А.Н. О содержании курса математики средней школы . Докл.на 15 секции Международного математического конгресса. М., 1966.

84. Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современной школе. Проблеш социалистической педагогики. М., "Педагогика", 1973.

85. Колмогоров А.Н., Яглом И.М. О содержании школьного курсаматематики, ж. "Математика в школе", i 4, 1965.

86. Кононенко Ю.И. Применение теории ориентированных графов при vрасчете линейных электрических цепей. Киев, 1968.

87. Кордемский Б.А. Математическая смекалка, 1., Физматгиз,1954.ь

88. Кофман Ж.Введение в приняадную комбинаторику,М»,"Наука",1974.

89. Кофман А., Дебазей Г., Сетевые метода планирования и их применение, М., "Прогресс", 1968.

90. Кривцов A.M., Шеховцов В.В. Сетевое планирование и управление, М., "Экономика", 1969.

91. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников, М., "Просвещение", 1968.

92. Крыговская С. Языки математики в преподавании, ж. "Математика в школе", N? 6, 1962.

93. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. I., "Просвещение", 1966.

94. Ланда Л.Н. Недостатки шшления учащихся при самостоятельномрешении задч. Известия АПН РСФСР, 1 115, М.,1961.

95. Лапчик М.П. Использование общеобразовательных аспектов программирования для ЭВМ в совершенствовании среднего математического образования. Канд. дисс. М., НИИ СиМО АПН СССР, 1974.

96. Левенберг Л.Ш. Вопросы использования графических изображенийпри решении математических задач в начальной школе, Ташкент, ГПИ им. Низами, 1973.

97. Леман А.А. Сборник задач московских математических олимпиад.1. М., "Просвещение", 1965.

98. Ляпунов А.А. Онтодидактика в математике, "За науку в Сибирй*,газета СО АН СССР, Ш 37 (568), 20 сент.1972.

99. Ляпунов А.А. О реформе математических программ, "Математика vв школе", № 2, 1973.

100. Манарычев Ю.Н., Нешков К.И., Пышкало A.M., Математика в начальных классах, ч. 3, под ред. А.И.Маркушевича, "Педагогика", М., 1971.

101. Марнушевич А.И. Математика и воспитание шшления. Сб. Математическое образование сегодня. М.,"Знание", Ш 6, 1974.

102. Маркушевич А.И. Об очередных задачах преподавания математики в школе, ж. "Математика в школе", 1 2,1962.

103. Марнушевич А.И. Очередные научно-педагогические проблемаперехода школы на новое содержание образования. "Советская педагогика", № 9, 1970.

104. Математика, учебник для 4-го класса средней школы, под ред.

105. А.И.Маркушевича, М., "Просвещение", 1975.

106. Математическое образование сегодня. М., "Знание", № 6, 1974.

107. Матюшкин A.M. Актуальные вопросы проблемного обучения. В кн.

108. Оконь В-? Основы проблемного обучения. М., "Просвещение", 1968.

109. Мелихов А.Н. Ориентированные графы и конечные автоматы. М.,1. Наука", 1971.

110. Мельников Н.А. Матричный метод анализа электрических цепей.1. М., "Энергия", 1972.

111. Менделеев Д.И. Основы химии, т. 1. ОНТй, Гостехиздат, М.-Л.,1934.

112. Монахов В.М. Введение в школу приложений математики, связанных с использованием ЭВМ, докторская диссертация, М., АПН СССР НИИ СМО, 1973.

113. Моргунов И.Б. Применение графов в разработке учебных планов и планировании учебного процесса, ж. "Советская педагогика", 1 3, 1966.

114. Морозова Е.А., Петраков И.С. Международные математическиеолимпиады, М., "Просвещение", 1971.

115. Мудров В.И. Задача о коммивояжере. М., "Знание", 1969.

116. Мусанбеков Ю.С. Юбилей бензола, ж."Природа", Ш 12, 1965.

117. Неорганическая химия, учебник для 9 нласса. Ходаков Ю.В.и др., М., "Просвещение", 1972.

118. Неорганическая химия, учебник,7-8 классы. Ходаков Ю.В.и др., М., "Просвещение", РСФСР, 1964.

119. Нешков К.И. Рудницкая В.Н., Пышкало A.M. Математика,1 классяасти 1 и П), М., Ротапринт НИИ СиМО АПН СССР. 1973.

120. Никольская И.Jl. Привитие логической грамотности при обучении математике. Канд. дисс. М., НИИ СиМО АПН СССР, 1973.

121. Новейшая история (1917-1939), учебник для девятого классасредней школы. Кузьмичев П.М. и др. М., "Просвещение", 1974.

122. Новейшая история (1939-1972 гг.), учебное пособие для десятого нласса средней школы. Кузьмичев П.М. и др., М., "Просвещение", 1973.

123. Обучение младших школьников (сб. научных трудов),состави-итель А.М.Пышкало, АПН СССР, НИИ СиМО, М.,1973.

124. Общая биология, учебник для 1Х и X классов. Полянский Ю.И.и др., М., "Просвещение", 1971.

125. Овчинников А.А. и др. Сетевые методы планирования и организации учебного процесса. М., "Высшая школа", 1972.

126. Органическая химия, учебник для 10 кл. Цветков Л.А.1. М., "Просвещение", 1972.

127. Оре 0. Графы и их применение. М., "Мир", 1965.

128. Оре 0. Теория графов. М., "Мир", 1968.

129. Основные положения по разработке и применению систем сетевого планирования и управления. М., "Экономика", 1967.

130. Папи Ф. и Папи Ж. Дети и графы. Обучение детей шестилетнего возраста математическим понятиям. М., "Педагогика", 1974.

131. Параубек Г.Э. Сетевое планирование и управление. М., "Экономика"

132. Физика, учебник для 6-го класса под ред. академика И.К.Кикоина, "Просвещение",М.,1975.

133. Пиаже Ж. Избранные психологические труда. М., "Просвещение",11969.

134. Пойа Д. Как решать задачу? М., "Просвещение", 1959.

135. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., ЙЛ,1957.

136. Пойа Д. Математическое открытие. М., "Наука", 1970.

137. Потапов В.М., Чертков И.Н. Строение и свойства органическихвеществ, уч.пособие по факультативному курсу для учащихся 10 классов. М., "Просвещение", 1974.

138. Поспелов Д.А., Пушкин В.Н. Мышление и автоматы. М., "Советское радио", 1972.

139. Проблемы социалистической педагогики. Материалы 1 научнойконференции ученых-педагогов социалистических стран, М., "Педагогика", 1973.

140. Пушкин В.Н. Психология и кибернетика, М., "Педагогика",1971.

141. Радемахер Г. и Теплиц 0. Числа и фигуры. М., Физматгиз,1962.

142. Раковер Б.Д. Алгоритмические аспекты в обучении математике

143. Алгебра и элементарные функции), канд. дисс., М.,АПН СССР НИИ СиМО, 1968.

144. Рафикова Ф.М. Введение понятия функции на основе изучениябинарных отношений, ж. "Математика в школе", v Ш 3, 1972.

145. Роберт В., Миллер ПЕРТ система управления. М., "Экономика", 1965.

146. Робишо А., Буавер М., Робер Ж. Направленные графы и их приложение к электрическим цепям и машинам. М.-Л., 1964.

147. Росс Эшби У. Введение в кибернетику. М., ИЛ, 1959.

148. Рубинштейн С.Л. О штлении и путях его исследования. М.,1. Изд-во АН СССР, 1958.

149. Рубинштейн С.Л., Основы общей психологии, М., 1946.

150. Рудницкая В.Н. Введение элементов теории отношений в курсматематики начальной школы,построенный на теореитико-множеетвенной основе,Автореферат, НИИ СМО АПН СССР, М.,1975.

151. Рщшцкая В.Н. Применение графов н решению уравнений, ст.в сб. научных трудов "Обучение младших школьни-у нов", НИИ СиМО АПН СССР, М.,1973.

152. Рудницная В.Н. Проблемы формирования понятия отношенияу младших школьников при обучении математике, ст. в сб. научных трудов "Обучение младших школьников'., НИИ СиМО АПН СССР, М.,1973.

153. Рудницкая В.Н. Решение текстовых задач с помощью графов.ст. в сб. научных трудов "Обучение младших школьников", ротапринт НИИ СиМО АПН СССР, М.,1973.

154. Рузавин Г.И. О природе математического знания. М.,"Мысль",1968.

155. Саати Т.Л. Математические методы исследования операций.

156. Военное изд-во МО СССР, М.,1963.

157. Саати Т. Целочисленные методы оптимизации и связанные с ними экстремальные проблемы. М., "Мир", 1973.

158. Сиборг Г. От Менделеева до менделеевия и далее, ж. "Химияи жизнь", Ш 3, 1969.

159. Системы сетевого планирования и управления. Програшрованное введение в ПЕРТ), М., "Мир", 1965.

160. Славин А.В. Наглядный образ в структуре познания. М.,Изд. vполитической литературы, 1971.

161. Соколовский Ю.И. Оптодидактика совершенствует учебные предметы, "Народное образование", 1973, Ш 5.

162. Спиркин А.Г., Тюхтин B.C. О взаимосвязи наун в современноместествознании, В кн. Синтез современного научного знания. М., "Наука", 1973.

163. Столяр А.А. Педагогика математики, Высшая школа, Минск,1974.

164. Экономическая география СССР. Учебное пособие для 8 кл.,

165. Строев К.Ф. и др. М., "Просвещение", 1974.

166. Сударкина А.А., Фирсов В.В. Мотивы выбора учащимися естественнонаучных фанультативных курсов. Сб. Факультативные занятия в средней школу. М., "Педагогика", 1973.

167. Тоненкова М. Графы и диаграммы Венна как средство повышенияматематической культуры учащихся 1-Ш классов. Канд дисс., М., НИИ СиМО АПН СССР, 1967.

168. Управление познавательной деятельностью учащихся. Сб. подред. П.Я.Гальперина и Н.Ф.Талызиной. М., Изд.МГУ, 1972.

169. Успенский Я.В. Избранные математические развлечения. Петроград, "Сеятель", 1924.

170. Ушинский К.Д. Избранное, ч. П, М., Учпедгиз, 1939.

171. Факультативные занятия в средней школе, под ред. М П Кашинаи Д.А.Эпшейтена, М., "Педагогика", 1973.

172. Физика. Учебное пособие для 8-го класса ср. школы. Кикоин

173. Й.К.и Кикоин А.К. М., "Просвещение", 1973.

174. Физика, учебное пособие для 9-го класса средней школы.

175. Буховцев Б.Б. и др. М., "Просвещение", 1971.

176. Физика, учебное пособие для 10-го класса средней школы,

177. Мякишев Г.Я. и Буховцев Б.Б. М., "Просвещение", 1972.

178. Физическая география СССР, учебное пособие для 7 класса.

179. Соловьев и др. М., "Просвещение", 1971.

180. Физическая география, учебник для 5 класса. Максимов Н.А.,1. М., "Просвещение", 1967.

181. Фирсов В.В. Некоторые проблемы обучения теории вероятностейкак прикладной дисциплине. Канд. дисс. М., НИИ СиМО АПН СССР, 1974.

182. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. М., "Мир",1966.

183. Фор Р., Кофман А., Дени, Папен М. Современная математина.1. М., "Мир", 1966.

184. Фридман Л.М. Дидантические основы применения задач в обучении. Донн, дисс., М., Изд. МГУ, 1971.

185. Хадвигер Г., Дебруннер Г. Комбинаторная геометрия плоскости.1. М., "Наука", 1965.

186. Халмош П.Р. Как писать математические тексты. Успехи математических наук, т. ХХУ1, вып. 5(161), 1971.

187. Харари Ф. Комбинаторные задачи перечисления графов. В сб.

188. Прикладная математика под ред. Беккенбаха Э.М., "Мир", 1968.

189. Харари Ф. Теория графов. М., "Мир", 1973.

190. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М., АПН РСФСР, 1961.

191. Шапиро С.й. От алгоритмов к суждениям, "Советское радио",1. М., 1973.

192. Шварцбурд С.И. Вопросы политехнической направленности среднего математического образования. Сборник Политехническое образование, часть 1. Ротапринт АПН СССР, М.,1974.

193. Шварцбурд С.И. О политехнической направленности среднегоматематического образования. "Советсная педагогика", 13, 1975.

194. Шварцбурд С.И. Проблемы повышенной математической подготовки учащихся, авторский доклад об опубликованных работах, представленных на соискание ученой степени доктора педагогических наук. М., НИИ ШОТСО, 1972.

195. Шварцбурд С.И., Фирсов В.В. О проблемах совершенствованияфакультативных занятий по математике. Сб. Факультативные занятия в средней школе. М., "Педагогика", 1973.

196. Шиханович Ю.А. Введение в современную математику. М., "Наука", 1965.

197. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии, М."Наука",!^.

198. Щрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М., "Науна",1971.

199. Штофф В.А. О роли моделей в познании. Л., ЛГУ, 1961.

200. Экономическая география зарубежных стран. Учебник для9 класса. Максаковский В.П. и др., М., "Просвещение", 1974.

201. Яглом A.M. и Яглом И.М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении. М., Гостехиздат, 1954.183* Anderson, Sabга S. Graph theory and finite combinatorics.

202. Chicago, 1970* 184* Bellman Hichard. Aicorithms, graphs and computers* N.Y. 1970.

203. Mathematik in der Schule, No* 5, 1970. 188» Harary Frank, Norman Robert Zy Cartwright Dorwin.

204. Program» zur Modernen Mathematik), Printed in Germany, 1969*192 « Kuropatwa Otto. Besondere Eigenschaften топ Belationen.

205. Belationen 2 (Program zur tfodernen Mathematik), Stuttgart ,1970193. lebelsk? Ladielav. Algebraic properties of trees, Praha 1969,

206. Ore Qystein* The four—color problem* N,T« 1967*- U5 195« Papy George, Mathdmatiqne modeme, P« 1-2, Bruxelles-Paris, 1964 1967*196* Preufi Gtinther. Aquivalenz-und Ordnungsrelationen, Relationen 3

207. Beinecke, N4Y. 1967* 200, Yarga Tam&s. JAtsszunk Matenatifc&t! 2, Budapest, 1973.

208. Здесь приведены фрагменты из главы 7 пособия /21/,в которых вводится матрица смежностей графа и операции над матрицами, Упражнения здесь опущены.1. ГЛАВА 71. ГРА® И МАТРИЦЫ

209. Напомним, чтс если в графе Г есть неориентированное ребро (А,В), то оно может быть заменено двумя ориентированными ребра» ми <А,В> и <В,А> .

210. Всякий граф Г, не имеющий цветных вершин и ребер, можно* полностью описать матрицей смежностей. Любую квадратную матрицу* состоящую только из единиц и нулей, можно рассматривать как ма-'1 трицу смежностей некоторого графа.

211. Две матрицы М и м' называют равными, если они одного порядка и все соответственные элементы их попарно равны, то есть, если для каждой пары L и £ &ц = а'Ц «

212. Естественно, что равным матрицам смежностей соответствует один и тот же граф.

213. Информацию о графе с помощью матрицы смежностей можно хранить без изображения графа, её можно передавать % "память ма» вины".1. Упражнения. «« *§2. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ.

214. Разные задачи, возникающие на практике, приводя® к резного вида операциям над матрицами. Познакомимся о некоторыми из них.

215. Простейшие операции над матрицами.

216. Эту информацию зафиксируем с помощью двух матрицУ яХ' одинакового порядка.1. Ч *2X

217. Используя только матрицы, определим и запишем:сколькими различными способами можно попасть из любого города I страны в любой город II страны. Для этого достаточно сложить соответствующие элементы матриц Я и X' .

218. Результаты можно записать с помощью новой матрицы того же порядка:нч 6 1 \3 9 2 4/мп>

219. Снова рассмотрим схемы связей двух видов между городами двух стран (рио. 7.13).

220. К такой же операция над двумя матрицами одинакового пэ-$ка привела бы задача отыскания наиболее дешевого пути из одного города в другой, так как числа на ребрах могут обозначать и стоимости проезда.»упражнения.2. Умножение матриц.

221. Пусть граф на рисунке 7.14 представляет систему воздушных линяй между аэропортами трех стран: два аэропорта xj и Jстране, три аэропорта yIt у2 и Д стране, два аэроаорта я Z2 <£ В стране.1. Рис. 7.14.

222. Систему связей между П и Ш странами зафиксируем с помощью матрицы В1*.'1. В .матрице В элемент /X если аэропорт у; связан с ф ; Ч ~ с0' есш аэР°п°Рт У и не связан с Щ.

223. Никаких других путей от Xj ДО net. Отсюда с. е 2. Для Ofj Можно записasь формулу:

224. По заданным матрицам А и В требуется определить элементы с 1} матрицы Cj1. Hi1.°И °12 ) °22 /.

225. Рассуждения, аналогичные тем, которые проводились при ранении предыдущей задачи, определят и матрицу С, и алгоритм нахождения элементов с Ц .А именно:1. Ч I aIIBII+8I2®2I+ eI3B3IaIIBI2+aI2B22+aI3B32 V a2IBI2+^22B22+a23B32 )уто ее»хГ1. Г„)

226. Итак, каждый элемент сЦ матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В, определяется следующей формулой: Glj e aiiBij + at2»jy+ ai.3V . + а^в,,; .

227. Коротко эту формулу можно записать так: ® п