Методические основы моделирования с помощью графов в процессе обучения математике курсантов военно-технического вуза

Дебольская, Татьяна Алексеевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методические основы моделирования с помощью графов в процессе обучения математике курсантов военно-технического вуза

Автореферат

Автор научной работы: Дебольская, Татьяна Алексеевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Ярославль
Год защиты: 2004
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Методические основы моделирования с помощью графов в процессе обучения математике курсантов военно-технического вуза"

На правах рукописи

ДЕБОЛЬСКАЯ ТАТЬЯНА АЛЕКСЕЕВНА

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ КУРСАНТОВ ВОЕННО-ТЕХНИЧЕСКОГО ВУЗА

Специальность: 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень профессионального образования)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Ярославль - 2004

Работа выполнена на кафедре геометрии Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д. Ушинского.

Научный руководитель: доктор педагогических наук,

профессор Афанасьев Владимир Васильевич

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук,

профессор Кузнецова Валентина Анатольевна,

кандидат физико-математических наук Козлов Георгий Евгеньевич

Ведущая организация: Ярославский военный финансово-

экономический институт им. генерала армии А.В. Хрулева

Защита состоится 31 марта 2004 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета К.212.307.05 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата педагогических наук при Ярославском государственном педагогическом университете им. К.Д. Ушинского по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Республиканская, д. 108, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д.Ушинского.

Автореферат разослан " ¿Л " февраля 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Глубокие изменения, происходящие в последние годы в Вооруженных Силах России, значительно повышают требования, предъявляемые к выпускникам высших военно-технических учебных заведений, приводят к перестройке всей системы военного образования. Необходимость коренных преобразований в этой области диктуется прежде всего изменением задач, структуры и численности Вооруженных Сил. Соответственно меняются и требования к номенклатуре военных специальностей, уровням образования и содержанию обучения будущих офицеров. Сущность новых требований состоит в создании условий для их всесторонней подготовки к последующей профессиональной деятельности. В системе подготовки военных специалистов математике как дисциплине, обладающей огромным гуманитарным и мировоззренческим потенциалом, отводится значительное место.

Для достижения высокого уровня математической подготовки курсантов высших военно-технических учебных заведений необходимо, с одной стороны, обеспечить возможность приобретения ими глубоких фундаментальных знаний, а, с другой - развить творческие способности курсантов, стремление к непрерывному приобретению новых знаний, повышению собственной математической культуры. Необходимость улучшения качества математической подготовки будущих военных инженеров определяется интенсивной математизацией практически всех областей науки и техники, ростом числа прикладных математических теорий, углублением методов анализа научной и технической информации.

Между тем, как отмечают педагоги, работающие в системе военного образования, уровень математической подготовки курсантов высших военных учебных заведений падает. Контроль знаний курсантов выявляет ряд существенных недостатков. К ним относятся: формализм фундаментальных знаний, слабая развитость логического и специфически математического мышления, отсутствие целостного представления о сущности математических объектов, неустойчивость восприятия и воспроизведения математического знания, неумение переносить математические знания на новые объекты.

Следует отметить, что специфика обучения в военных вузах резко отличает их от гражданских высших учебных заведений прежде всего тем, что курсанты военных вузов подчинены строгому почасовому режиму, кроме того, они одновременно с учебой несут воинскую службу, что усложняет для них процесс приобретения знаний, т.к. влечет за собой пропуски курсантами занятий по уважительным причинам. Пропущенный учебный материал курсанты должны восстанавливать самостоятельно в часы самоподготовки. В связи с этим уровень и качество знаний курсантов, особенно младших курсов, на которых изучается математика, бывает невысоким.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

Несомненно, на качество математической подготовки курсантов также влияют сложность математики как учебного предмета, высокая степень абстракции ее понятий и теорем, разнообразие форм представления математических структур. Отдельные понятия и теоремы слишком далеки от профессионально необходимых знаний, отсутствует надлежащая мотивация, что вызывает у ряда курсантов отрицательное отношение к предмету. Изучение математики представляет значительную трудность для большинства курсантов, в основной своей массе средних по способностям и по уровню школьной математической подготовки.

Кроме противоречия между возможностями курсантов и потребностями в математическом аппарате общетехнических и специальных дисциплин, существенную проблему представляет значительное несоответствие между объемом изучаемого материала и постоянным уменьшением количества учебных часов, отводимых на его изучение. Следует отметить и тот факт, что у многих курсантов недостаточно развиты навыки самостоятельной работы, они плохо представляют себе связь между математическими дисциплинами учебной программы и своей будущей профессиональной деятельностью. И, наконец, еще одно противоречие: с одной стороны, современная армия нуждается в специалистах, владеющих навыками исследовательской работы, обладающих глубокими фундаментальными знаниями, умеющими применять их на практике; с другой стороны, в обучении математике в военно-технических вузах преобладают традиционные формы, которые не обеспечивают в должной мере формирование этих навыков.

Характерной чертой современного этапа развития высшего образования является то, что его функционирование тесным образом связано с непрерывным поиском более эффективных форм и методов обучения, путей совершенствования образовательного процесса в целом. В связи с этим важно сконструировать технологию обучения, при реализации которой учебные задачи окажутся объединенными общей дидактической идеей. Актуальной становится такая организация процесса обучения математике, когда представления, возникающие в мышлении обучаемых, отражают существенные стороны математической деятельности посредством моделирования математических действий.

Различные аспекты моделирования изучены в работах В.А. Веникова, Б.С. Грязнова, В.В. Давыдова, Л.В. Занкова, Г. Клауса, В.И. Михеева, К.Е. Морозова, Е.В. Никитина, И.Б. Новика, Н.Г. Салминои, Е.И. Смирнова, Л.Т.Турбовича, А.С.Турчина, Л.И.Уемова, Л.М.Фридмана, B.C. Швырева, В.А. Штоффа, А.В. Ястребова и др.

В.В.Афанасьевым технология обучения теории вероятностей и математической статистике, теории информации и теории кодирования с помощью графов.

Интерес к теории графов вызвал появление литературы, посвященной теории графов и ее применению. Это книги О.Е. Акимова, Р. Басакера и Т. Саати, В.В.Белова, Е.М.Воробьева и Е.М.Шаталова, В.А. Евстигнеева и Л.С. Мельникова, А.А. Зыкова, Б.Н. Иванова, Н. Кристофидеса, Ф.А. Новикова, И.В. Романовского, Ф. Харари и т.д. Вопросам применения моделей, представляющих собой графы, при обучении математике в вузе и школе посвящены работы СИ. Архангельского, Л.Ю. Березиной, Л.А. Бессонова, Т. Варга и М. Глемана, А.П. Гловацкой, И. Гроссмана и В. Магнуса, С.А. Дориченко, В.А. Евстигнеева, Ю.Г. Карпова, О.М. Кузнецова и Г.М. Адельсона-Вельского, А.Ф. Ляхова, К.Я. Хабибуллина и т.д. Однако, несмотря на большие возможности применения моделей, представляющих собой графы, при обучении математике, мы можем отметить недостаточное освещение вопросов методики использования этого подхода.

Таким образом, актуальность темы исследования определяется, во-первых, состоянием практики обучения математике в военно-техническом вузе, а, во-вторых, тем, что многие преподаватели математики не полностью осознают возможности моделирования с помощью графов в силу недостаточного количества исследований, предметом которых является методика моделирования с помощью графов при обучении математике в военно-техническом вузе.

Это и определило проблему исследования: каковы возможности моделирования с помощью графов в процессе преподавания математики в военго-техническом вузе для повышения качества предметной подготовки?

Цель исследования - теоретическое обоснование и разработка методической системы моделирования с помощью графов в математической подготовке курсантов.

Объект исследования - процесс обучения математике курсантов военно-технического вуза.

Предмет исследования - содержание и структура моделирования с помощью графов при обучении математике курсантов военно-технического вуза.

Гипотеза исследования состоит в принципиальной возможности создания методической системы моделирования с помощью графов в курсе математики военно-технического вуза, которая будет эффективной при реализации следующих условий:

- моделирование основного содержания курса математики военно-технического вуза;

- вариативность форм и методов изложения учебного материала при указанном моделировании;

- объединение отдельных моделей в методическую систему;

- стимулирование нестандартных подходов к решению математических задач в соответствии с разрабатываемой методикой и уровнем сформи-рованности знаний и умений курсантов.

Исходя га цели и гипотезы исследования, были определены задачи исследования:

- сформулировать критерии отбора математического содержания и определить основные этапы построения моделей, представляющих собой графы;

- выявить содержание курса математики военно-технического вуза, допускающее указанное моделирование;

- разработать методическую систему применения графов в качестве моделей и реализовать их классификацию;

- разработать и обосновать комплекс учебно-методических средств, предполагающих применение графов в качестве моделей;

- практически апробировать методическую систему моделирования в курсе математики военно-технического вуза;

- проверить экспериментально эффективность и результативность функционирования предлагаемой методической системы.

Методологическую основу исследования составили: принцип единства и диалектического взаимодействия теории и практики в научном познании, принцип ведущей роли обучения в развитии, основные положения психологической теории учебной деятельности, теории развития личности, труды психологов, педагогов и специалистов в области теории и методики обучения математике.

Проблема, цели и задачи обусловили выбор методов исследования: теоретический анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования; анализ вузовских учебных планов, программ, учебников и учебных пособий по математике для средних и высших учебных заведений; изучение педагогического опыта; анкетирование и тестирование, анализ письменных работ курсантов; педагогический эксперимент, статистическая обработка данных и анализ его результатов.

База исследования. Базой исследования является Ярославский зенитный ракетный институт ПВО.

Этапы исследования. В соответствии с выдвинутой целью, гипотезой и задачами исследования теоретическая и опытно-экспериментальная работа проводилась в три этапа.

На первом этапе (1994-1999 гг.) осуществлялось изучение и анализ педагогической и учебно-методической литературы по проблеме исследования, изучалось состояние исследуемой проблемы в вузовской практике, разрабатывались методические материалы, проводился констатирующий эксперимент.

На втором этапе (1999-2001 гг.) уточнялось содержание методической системы моделирования с помощью графов, были выявлены и теоретически обоснованы формы, методы и средства ее реализации, изучалось взаимодействие моделей, продолжалась разработка учебно-методических материалов для курсантов, проводились наблюдение, анкетирование и поисковый эксперимент.

На третьем этапе (2001-2003 гг.) проводился формирующий эксперимент с целью проверки эффективности и корректировки предлагаемой методики, были обобщены результаты экспериментальной работы, проводились обработка и анализ эмпирических данных, сделаны выводы и внесены коррективы в методическую систему моделирования с помощью графов.

Теоретическая значимость и научная новизна исследования состоит в том, что

- предложен и теоретически обоснован один из путей повышения качества математической подготовки будущих военных инженеров посредством объединения отдельных моделей в методическую систему моделирования с помощью графов;

- выполнена классификация графовых моделей, входящих в методическую систему и разработана методика ее внедрения в практику обучения математике в военно-техническом вузе;

- определены и характеризованы основные этапы построения графовых моделей;

- предложено моделирование основного содержания курса математики военно-технического вуза;

- обоснованы и разработаны средства реализации методической системы моделирования с помощью графов.

Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что разработан и внедрен комплекс учебных и учебно-методических материалов, позволяющих реализовать систему моделирования с помощью графов при обучении математике, в частности:

- разработаны и изданы методические рекомендации к решению задач по теории вероятностей для курсантов ЯЗРИ ПВО;

- составлены сборники индивидуальных заданий по теории вероятностей, элементам теории кодирования, математической логике и теории алгоритмов;

- разработаны материалы для проведения лекций и практических занятий;

- разработаны и изданы конспект-организаторы для проведения лекций и практических занятий по комбинаторике, теории вероятностей, элементам теории кодирования, математической логике и теории алгоритмов, теории булевых функций.

Предлагаемая методика применения моделирования с помощью графов и разработанный комплекс учебно-методических материалов могут быть использованы преподавателями математики военных и технических вузов, преподавателями специапьных дисциплин в технических вузах, учителями школ.

ния; длительным включенным наблюдением; сочетанием теоретического анализа и практической деятельности по исследуемой проблеме; результатами экспериментальной проверки основных положений диссертации.

На защиту выносятся:

- методическая система моделирования с помощью графов и ее реализация в курсе математики военно-технического вуза;

- комплекс учебно-методических средств поддержки методической системы;

- алгоритм образовательных действий курсантов, направленный на моделирование математических задач;

- интерпретация принятой в исследовании классификации моделей для моделей, представляющих собой графы.

Апробация работы осуществлялась при организации учебного процесса в соответствии с разработанной методикой на базе Ярославского зенитного ракетного института ПВО. Основные положения и результаты исследования обсуждались на II межрегиональной конференции "Интеллектуальные технологии двойного применения" (Ярославль, 2000), на шестой международной конференции "Экология и здоровье человека. Экологическое образование. Математические модели и информационные технологии" (Краснодар, 2001), на девятой международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Дубна, 2001), на девятой военно-научной конференции "Проблемы совершенствования вооружения войсковой ПВО и способов его боевого применения" (Смоленск, 2002), на Всероссийской научно-технической конференции "Актуальные вопросы разработки и внедрения высоких технологий в системы государственного и военного управления, образования, вооружения и военной техники Военно-воздушных сил" (Ярославль, 2002). на десятой военно-научной конференции "Повышение эффективности и боевых возможностей группировок войск ПВО в операциях на стратегическом направлении" (Смоленск, 2002), на Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов "Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики" (Санкт-Петербург, 2003), на "56-х Герценовских чтениях" (Санкт-Петербург, 2003), на Чтениях Ушинского "Развитие профессионального образования в Ярославской области: история и современность" (Ярославль, 2003).

Личный вклад состоит в том, что

- в курс математики военно-технического вуза внедрена методика изучения с помощью моделей, представляющих собой графы;

- разработаны и применены новые по содержанию графовые модели решения математических задач (деревья в теории кодирования, платежные графы в теории игр, деревья вывода в логическом программировании, структурные схемы решения классов задач в алгебре);

- усовершенствованы известные модели, представляющие собой графы (деревья вывода в исчислении высказываний и исчислении предикатов, графы переходов машин Тьюринга, комбинаторные графы);

- выполнена и применена в процессе обучения математике классификация используемых графовых моделей;

- проведена опытно-экспериментальная работа и выбраны способы обработки результатов вероятностно-статистическими методами.

По теме диссертации имеется 21 публикация.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, поставлена проблема, сформулированы цель, задачи и гипотеза исследования; обозначены его объект и предмет; раскрыты научная новизна и практическая значимость работы; определены, методы исследования; перечислены этапы исследования; сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе "Теоретические основы моделирования в обучении математике" сделан обзор литературы по вопросам моделирования в обучении математике, обоснован выбор концептуального подхода к определению понятий модели и моделирования, а также классификации моделей, показаны различные направления в использовании графов при обучении математике, выделено направление, являющееся одной из теоретических основ исследования.

В первом параграфе приводится сложившийся взгляд на содержание понятий модели и моделирования, раскрываются и сопоставляются различные точки зрения на их определение, выбирается концепция, соответствующая целям и задачам исследования.

Общим вопросам моделирования посвящены работы СИ. Архангельского, В.А. Веникова, Б.С. Грязнова, В.В. Давыдова, Г. Клауса, К.Е. Морозова, Е.В.Никитина, И.Б. Новика, Н.Г. Салминой, Л.И. Уемова, Л.М.Фридмана, В.А. Штоффа, и др.

Роль и значение моделирования определяется тем, что оно является одним из методов научного познания, к которым также относятся: анализ, синтез, абстрагирование, аналогия, индукция, дедукция, обобщение, классификация. Основополагающее определение модели и моделирования дается в работах И.Б. Новика.

Под моделированием мы понимаем метод опосредованного практического или теоретического оперирования объектом, при котором исследуется не сам интересующий нас объект, а используется вспомогательная искусственная или естественная система ("квазиобъект"), находящаяся в определенном объективном соответствии с познаваемым объектом, способная замещать его на определенных этапах познания и дающая при его исследовании в конечном счете информацию о самом исследуемом объекте.

Моделирование может рассматриваться не только как метод научного познания, при котором изучается искусственная система, но и как деятельность, что подтверждается исследованиями B.C. Швырева, поскольку научное знание всегда есть результат деятельности познающего субъекта. Деятельностный аспект выделяют в моделировании В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, И.С. Якиманская.

Оперирование математическими объектами, которое является предметом исследования, представляет собой преимущественно знаково-символическую деятельность. Глубокий анализ, проведенный Н.Г. Сашиной, позволил указать место моделирования в общей системе знаково-символической деятельности, в которой выделяются, наряду с моделированием, кодирование, схематизация и замещение.

Моделирование - знаково-символическая деятельность, заключающаяся в получении объективно новой информации за счет оперирования знаково-символическими средствами, в которых представлены структурные, функциональные, генетические связи (науровне сущности).

Е.И. Смирнов считает моделирование одним из составных компонентов наглядно-модельного обучения, под которым понимается процесс создания хорошо усваиваемых моделей, схем, кодов, замещений с опорой на психологические механизмы восприятия. Наглядно-модельное обучение включает в себя как построение модели, так и формирование адекватного результата внутренних действий обучаемых в процессе учебной деятельности.

Во втором параграфе анализируются подходы к классификации моделей, аргументируется выбор классификации, принятой в работе в качестве одного из основных инструментов исследования.

Классификации моделей можно проводить по различным основаниям: по характеру моделей (т.е. по средствам моделирования), по характеру моделируемых объектов, по сферам приложения моделирования и его уровням и т.д. В работах СИ. Архангельского, В.В. Давыдова, Н.Е. Морозова, Л.Т. Турбовича, В.А. Штоффа и др. предлагаются классификации моделей с точки зрения методологии науки в целом, другие же авторы (В.В.Афанасьев, Е.И.Смирнов, В.Д. Шадриков, В.А. Веников, Б.С. Грязнов, Е.П. Никитин, И.Б. Новик и др.) создают схемы классификации моделей, наиболее приспособленных для математических или, в более общем виде, знаковых моделей. Классификации учебных моделей подробно рассматриваются Н.Г.Салминой, Л.М.Фридманом и др. Основаниями этих классификаций являются: функции моделей, содержание моделей, вид используемых обозначающих средств.

Выбор схемы классификации моделей является важным этапом разработки стратегии обучения математике с помощью графов. Методически целесообразной, на наш взгляд, является классификация моделей, предложенная В.В. Афанасьевым, Е.И. Смирновым и В.Д. Шадриковым и реализованная в исследовании. В соответствии с этой классификацией модели делятся по характеру воспроизводимых сторон изучаемого объекта на:

- реляционные, отражающие простейшие виды отношений между компонентами сущности моделируемого объекта;

- логические, в основе которых лежит представление математических знаний с помощью основных принципов исчисления высказываний и исчисления предикатов, особенно правил вывода;

- семантические модели, для которых характерна разнотипность отношений между компонентами сущности объекта;

- продукционные, фиксирующие процедуру математических действий при решении определенных задач;

- фреймовые, сменяющие семантические модели по мере того, как математические и дидактические объекты усложняются.

В третьем параграфе раскрываются и анализируются основные тенденции, сформировавшиеся в учебной и научно-методической литературе, посвященной использованию графов при обучении математике. Одна из них состоит в том, что графы применяются для исследования и решения сравнительно узкого круга задач, при этом понятия "модель" и "моделирование" явно не используются. Иногда вводится терминология, обусловленная существом изучаемой проблемы: "вычислительный граф", "граф группы"', "граф задачи" и пр. Эта тенденция наблюдается в работах Л.Ю.Березиной, Л.А.Бессонова,

A.Ш. Блоха, Т. Варга и М. Глемана, А.П. Гловацкой, И. Гроссмана и

B. Магнуса, С.А. Дориченко, А.Ф. Ляхова, К Л. Хабибуллина, Е.В. Шикина и т.д. Другая тенденция обнаруживается при анализе учебной литературы по дискретной математике, в состав которой часто включают, кроме математической логики и теории алгоритмов, разделы по смежным с математикой дисциплинам (теория автоматов, теоретические основы программирования, языки и грамматики и т.д.). Примерами могут служить работы В.А. Евстигнеева, А.П. Ершова, Ю.Г. Карпова, О.М. Кузнецова и Г.М. Адельсона-Вельского, Т. Фудзисава и Т. Касами и т.д. В большинстве этих изданий кратко излагаются вопросы моделирования и рассматривается проблема построения адекватных моделей. В этом случае с помощью графов оказывается представлен более широкий круг математических объектов, а представления более аргументированными.

В исследовании используется еще более общая концепция применения графов в качестве моделей, выдвинутая В.В.Афанасьевым, в работах которого подробно рассматриваются понятия модели и моделирования, строится (совместно с Е.И. Смирновым и В.Д. Шадриковым) классификация моделей, графы применяются в качестве моделей для изучения целого ряда разделов математики. Эта концепция характеризуется научностью, системностью, доступностью, обеспечивает сознательность и активность обучаемых, способствует прочности знаний.

Во второй главе "Технологические аспекты моделирования с помощью графов при обучении математике в военно-техническом вузе" рассматриваются основные теоретические и практические положения диссертации. Дается раз-

вернутое описание структуры и содержания моделей, представляющих собой графы, раскрывается сущность технологического подхода к реализации системы моделирования, характеризуются виды методических средств применения графов в качестве моделей, описывается опытно-экспериментальная работа, которая была направлена на проверку выдвинутой гипотезы исследования, и результаты ее статистической обработки.

В первом параграфе формулируются основные этапы моделирования с помощью графов, указывается его теоретическая основа, производится отбор содержания обучения, допускающего применение графов в качестве моделей.

В системе моделирования с помощью графов выделяются две составляющие: собственно теория графов и специально отобранное содержание дисциплины математика, допускающее такое моделирование. Теория графов как раздел дискретной математики является частью фундаментальной подготовки будущих военных инженеров. В зависимости от специализации выпускников существуют два варианта ее изучения, отличающиеся друг от друга местом в учебной программе и количеством отводимых часов.

Теоретической основой моделирования с помощью графов являются следующие понятия, содержащиеся в обоих вариантах учебной программы:

- граф, вершина графа, ребро графа;

- неориентированный граф, ориентированный граф;

- инцидентность вершин и ребер графа;

- степень вершины графа, изолированная верстана, висячая вершина;

- петля, параллельные (кратные) ребра;

- маршрут, цепь, цикл;

- подграф и остов графа;

- связность, компоненты связности;

- дерево, ориентированное дерево;

- корень, уровень, ветвь и лист дерева;

- бинарное (двоичное) дерево;

- взвешенный граф;

- сеть.

Схема моделирования с помощью графов наглядно показывает все этапы

построения графовых моделей и работы с ними (схема 1).

Схема 1

Логика учебного процесса, предусматривающего применение графов в качестве моделей, находит свое отражение в таблице, где указаны:

- разделы или темы дисциплины математика, в которых используются графы как модели;

- моделируемое математическое содержание (математический объект);

- тип применяемой модели в соответствии с принятой классификацией;

- используемые при построении модели понятия теории графов.

Во втором параграфе раскрывается содержание методической системы моделирования с помощью графов в курсе математики ЛЗРИ ПВО и ее структура; реализуется классификация моделей с целью установления адекватности модели изучаемым сторонам математического содержания (свойствам математического объекта). Разработанная система моделирования с помощью графов раскрывается через совокупность задач, к которым применимо такое моделирование.

Идея системности моделирования с помощью графов была предложена в Я ШУ им. К.Д. Ушинского для изучения теории вероятностей и математиче-

ской статистики, теории случайных процессов, теории информации, теории кодирования и т.д. Эта идея оказалась перспективной для приложения к курсу математики военно-технического вуза. Основной целью этого курса является приобретение обучаемыми устойчивых навыков использования аппарата целого ряда разделов математики для решения практических задач технического характера. При этом особенно важным является то обстоятельство, что обучаемые должны достаточно свободно ориентироваться в обширном математическом материале. Моделирование с помощью графов как системный подход позволяет решить многие из задач, стоящих перед педагогами-математиками, работающими в системе военного образования.

Рассматривая применение графов в качестве моделей, мы опираемся на основные положения классификации моделей, предложенной В.В. Афанасьевым, Е.И. Смирновым, В.Д. Шадриковым, для определения характера моделей.

Построение вероятностного графа одной из задач Гюйгенса (1656 г.) демонстрирует пример семантической модели.

Трое игроков берут восемь фишек, из которых три белых и пять черных. Игрок А тянет фишку первым, В - вторым, затем тянет фишку игрок С, потом опять А и т.д. Побеждает игрок, первым вытянувший белую фишку. В каком отношении находятся шансы игроков?

игроки исходы вероятности

Для решения задачи построим вероятностный граф, представляющий собой дерево исходов испытания, каждому ребру которого приписана вероятность события, соответствующего конечной вершине этого ребра при условии выполнения события, соответствующего начальной вершине ребра.

Вероятности выигрыша игроков А, В, С обозначим рь р2, рз. Тогда, после сложения вероятностей, записанных в первой и четвертой, второй и пятой, третьей и шестой строках, получим

В качестве примера логической модели представим бинарное дерево, задающее булеву функцию f (р,я,г,) = -1 р V ц-ч г.

Таблица истинности Бинарное дерево

Мя.г)

Р Ч г f

0 0 0 1 /\

0 0 1 1 р=0 / \ Р=1

0 1 0 1 -q / \q-r

0 I 1 0 q=0 у \ q=l q=0

1 0 0 0 © XT' © v

1 0 1 0 r=0 / \ r=i r=0/ \ r=l

1 1 0 1 / \ /

1 1 1 0 © © © ©

Корень дерева помечен булевой функцией от трех переменных, каждая вершина инцидентна двум ребрам, соответствующим двум значениям очередной переменной, а листья помечены соответствующими значениями функции.

Удобство этого способа задания булевой функции с позиции задачи вычисления ее значений состоит в том, что для многих функций значения у всех листьев некоторых поддеревьев совпадают, и построение некоторых ветвей быстро заканчивается, не доходя до самого нижнего уровня, т.е., как правило, бинарное дерево булевой функции от m переменных имеет не 2™ листьев, а меньше. Это означает, что вычисление значения булевой функции требует меньшего числа операций.

Процесс реализации машины Тьюринга может быть представлен при помощи графа переходов машины Тьюринга - примера продукционной модели.

Рассмотрим машину Тьюринга, которая вычисляет предикат "а -

1->ЛЬ

четное число". Головка достигает последней единицы числа в состоянии с[г, если число единиц четно, и в состоянии если число единиц нечетно. После этого она перемещается в исходное положение в состоянии q4 либо q5 и печатает И (истина) либо Л (ложь) соответственно. При решении задач на применение машин Тьюринга в разное время использовались три подхода к описанию их работы; предпочтительными оказались графы переходов, так как в других случаях возникало непонимание ситуации машины Тьюринга в связи с тем,

находясь в одном и том же состоянии, она по-разному реагирует на разные символы внешнего алфавита, а записываются эти реакции одной командой. В графе переходов той же цели служат разные дуги.

С помощью графов (чаще, деревьев) организуются разного рода каталоги, классификации и типологии. Это примеры реляционных моделей. В ЯЗРИ ПВО в течение ряда лет используются типологии разделов и тем курса математики, целью которых является изложение в компактной графической форме основных идей, формул и методов. Типологизация разделов математики с наглядной графической интерпретацией следования материала способствует систематизации, закреплению знаний, умений и навыков.

Изучение теории графов и систематическое использование графов в качестве моделей в целом ряде разделов математики создают естественные предпосылки для применения моделей, представляющих собой графы, в общеинженерных и специальных дисциплинах. К таковым можно отнести сигнальные графы в теории радиотехнических цепей, сетевые модели, сетевые графики и календарное планирование в тактике и т.д. Особенности подходов здесь состоят в том, что все эти вопросы объединяются темой "Военно-прикладные задачи теории графов", учебной целью которой является построение математических основ моделей, используемых в приложениях, а не фактическое решение инженерных и тактических задач. При классификации рассматриваемых моделей следует отметить особую сложность связей (математические, физические, причинно-следственные, связи типа предшествования) между отдельными компонентами решения задач. Графы используются только при исследовании одного вопроса из совокупности, поэтому модели решения военно-прикладных задач в целом следует считать фреймовыми моделями, а их части, содержащие графы в качестве математической поддержки, отдельными фреймами.

Выбору средств обучения посвящен третий параграф. В нем описаны также дидактические условия применения графов в качестве моделей, которые и обусловили этот выбор-

Средства обучения являются обязательным элементом оснащения процесса обучения и составляют вместе с содержанием обучения его информационно-предметную среду. На уровне дисциплины обучения к средствам обучения относят методическое обеспечение, которое состоит из учебных программ, учебников и учебных пособий, методических разработок, дидактических материалов, компьютерных баз данных. Использование в обучении математике моделей, представляющих собой графы, предполагает создание адекватного методического обеспечения. В работе анализируется организация содержания учебной литературы, предлагающей новые технологические подходы к обучению математике. Мы принимаем концепцию дидактических модулей и реализуем многие ее положения при разработке учебно-методической литературы. Эта позиция нашла свое отражение в учебных изданиях по теории вероятностей. Поскольку технология обучения математике с помощью моделей предполагает насыщенность занятий графическим материалом, с которым не все курсанты справляются успешно, мы, учитывая специфику учебного процесса в военных вузах, применяем дидактические раздаточные материалы, называемые конспект-организаторами. Их основными фукциями являются:

- функция методической поддержки технологии обучения,

- логически организующая функция,

- справочно-информационная функция,

- познавательно-активизирующая функция,

- личностно-ориентирующая функция.

Конспект-организаторы представляют собой методическую разработку занятия, содержащую текст, в том числе алгоритмы, таблицы (незаполненные или заполненные частично), графы или схемы, требующие завершения, а также пробелы для выполнения курсантами записей самостоятельно и т.д.

Изучение темы с помощью конспект-организатора позволяет курсанту:

- точно и качественно построить модель изучаемого содержания;

- сократить время на построение таблиц и графов;

- глубже усвоить изучаемый материал;

- быстро восстановить учебный материал в случае пропуска занятия.

Конспект-организатор помогает преподавателю:

- наглядно представить изучаемый материал;

- активизировать познавательную и творческую деятельность курсантов;

- эффективно контролировать работу курсантов на занятии.

В четвертом параграфе описаны организация экспериментального исследования и его результаты, показано положительное влияние моделирования с помощью графов на успешность обучения ряду разделов математики.

Экспериментальное исследование проводилось с 1994 по 2003 год на базе кафедры математики ЯЗРИ ПВО. В работе перечислены этапы эксперимента:

констатирующий, поисковый и формирующий, а также приведены основные задачи, методы и результаты всех этапов.

Для проверки выдвинутой гипотезы исследования о повышении качества математической подготовки будущих военных инженеров за счет реализации системы моделирования были проведены четыре письменные проверочные работы по теории вероятностей и две - по теории игр. Каждая работа состояла из двух задач и шести специально к этим задачам составленных вопросов.

Первый уровень. Решается одна задача, ко решение содержит ошибку, или задачи не решаются вообще. Ответы на большую часть вопросов отсутствуют, а на остальные - отличаются неполнотой и поверхностностью.

Второй уровень. Решается одна задача. Есть представление о способе решения второй задачи. Ответы на вопросы имеются, но не на все и отличаются неполнотой.

Третий уровень. Решаются две задачи, но одна с несущественной ошибкой. Решения комментируются и обосновываются. Ответы на большинство вопросов отличаются достаточной полнотой.

Четвертый уровень. Обе задачи решаются, решения обосновываются и анализируются. В том случае, когда способ решения задачи не является единственным, предпочтения аргументируются. Ответы на все вопросы полные.

В первой части экспериментального исследования (теория вероятностей) участвовало 72 курсанта трех контрольных групп и 75 курсантов трех экспериментальных групп, во второй части (теория игр) - 48 курсантов двух контрольных групп и 50 курсантов двух экспериментальных групп.

Представим в виде таблицы результаты, полученные в первой части исследования.

Таблица 1

Тема Частоты по уровням

Контрольные группы Экспериментальные группы

1 2 3 4 1 2 3 4

Сложение и умножение вероятностей 19 33 15 5 12 32 23 8

Формула полной вероятности, формула Байеса 18 31 16 7 11 27 25 12

Случайные величины 10 38 17 7 6 36 24 9

Двумерные случайные величины 20 30 16 6 14 29 22 10

Для оценки статистической значимости различий в качестве обнаруженных знаний мы применили критерий К. Пирсона

Значение критерия X вычислялось по формуле

у1 - э где т1 - частота интервала экспериментальной группы,

т,

т, - частота интервала контрольной группы.

Расчетная вероятностей

Расчетная таблица для вычисления значения у? в среднем по теории

Таблица 2

Уровни Частота т, - т! («,-и/)2

т! т, т/'

1 17 11 -6 36 2,118

2 33 31 -2 4 0,121

3 16 23 7 49 3,062

4 6 10 4 16 2,667

I 72 75 7,968

По таблице значений X* находим, что соответствующее трем степеням свободы критическое значение для уровня значимости 0,05 равно 7,815. Так как найденное значение критерия 7,968 > 7,815, то различия в качестве знаний, представленных курсантами экспериментальных и контрольных групп по теории вероятностей, признаются существенными для данного уровня значимости.

Представим в виде таблицы результаты, полученные во второй части исследования.

Таблица 3

Тема Частоты по уровням

К Г] онтрольные руппы Экспериментальные группы

1 2 3 4 1 2 3 4

Нормализация позиционной игры в случае слабой информированности игроков 7 21 11 9 5 17 16 12

Нормализация позиционной игры в случае сильной информированности игроков 9 23 11 5 7 15 18 10

Расчетная таблица для вычисления значения в среднем по теории игр

Таблица 4

Уров ни Частота т, - т' (и,-и/)2 К-щЧ

т; т1 т1

1 8 6 -2 4 0,500

2 22 16 -6 36 1,636

3 11 17 6 36 3,273

4 7 11 4 16 2,286

I 48 50 7,695

Соответствующее трем степеням свободы критическое значение для уровня значимости 0,1 равно 6,251. Найденное значение критерия 7,695 > 6,251, поэтому различия в качестве знаний, представленных курсантами экспериментальных и контрольных групп по теории игр, признаются существенными для данного уровня значимости. Это свидетельствует о том, что использование моделей, представляющих собой графы, способствует повышению качества усвоения учебного материала.

При анализе вопроса о том, насколько существенными были различия в качестве знаний по темам занятий, обнаружилось, что различия в качестве знаний оказались несущественны для уровня значимости 0,1 по темам "Случайные величины" и "Нормализация позиционной игры в случае слабой информированности игроков". Соответствующие модели классифицируются как реляционные. Это означает, что предлагаемая методика использования графов в качестве моделей при обучении математике способствует более успешному усвоению такого учебного материала, который связан с необходимостью тщательного анализа, понимания и осмысления, установления логических и других связей. Модели, применение которых способствует, согласно экспериментальному исследованию, повышению качества математической подготовки будущих военных инженеров, являются, в соответствии с принятой классификацией, семантическими.

В заключении диссертации приведены результаты исследования и сделаны следующие выводы.

мы и методы обучения, что сказывается на качестве знаний курсантов. Считаем, что одним из перспективных путей совершенствования учебного процесса изучения математики является определение дидактических условий и системы средств для формирования и развития у курсантов умения применять моделирование, в частности, с помощью графов, для повышения уровня математических знаний, самостоятельности и активности в их приобретении.

Моделирование является одной из методологических основ изучения математики и смежных дисциплин в высших военных учебных заведениях и эффективно как часть педагогического процесса в том случае, когда оно целенаправленно мотивировано, а его применение четко организовано.

Проанализировав учебную деятельность, мы пришли к выводу, что как курсанты, так и многие преподаватели не полностью осознают возможности моделирования с помощью графов, хотя в курсе математики военно-технического вуза заложены необходимые технологические основы алфавита и синтаксиса такого моделирования. Причиной этого является, как показывает анализ проблемы совершенствования методики преподавания математики в военном вузе, то обстоятельство, что вопрос о применении моделирования с помощью графов в процессе обучения математике еще недостаточно изучен, поэтому данное исследование является необходимым и своевременным. Приведем его основные результаты.

1. Установлено, что традиционная методика обучения математике в военно-техническом вузе не всегда обеспечивает формирование глубоких фундаментальных знаний по математике и умение применять их на практике.

2. Теоретически обосновано применение графов в качестве моделей при обучении математике, в том числе

- выбран концептуальный подход к определению понятий модели и моделирования, указаны особенности моделирования как вида знаково-символической деятельности;

- обоснован выбор классификации моделей и ее роль в системе применения графов как средства установления адекватности модели изучаемым сторонам математического содержания;

- сформулированы критерии отбора математического содержания и определены основные этапы построения моделей, представляющих собой графы.

3. Отобрано содержание курса математики военно-технического вуза, допускающее моделирование с помощью графов, разработана методическая система применения графов в качестве моделей, в которой реализована их классификация.

4. Разработан комплекс учебно-методических материалов, предполагающий применение графов в качестве моделей при обучении математике:

- тексты лекций и методические разработки практических занятий;

- учебно-методические издания;

- комплект конспект-организаторов (дидактических раздаточных материалов).

5. Анализ результатов экспериментального обучения математике с применением моделей, представляющих собой графы показал, что предлагаемый подход к обучению математике в военно-техническом вузе способствует более успешному усвоению знаний, формированию умений и навыков, создает положителыную мотивацию учебной деятельности и использования математических знаний при изучении общетехнических и специальных дисциплин. Таким образом, в ходе исследования решены все поставленные задачи, и цель исследования достигнута.

Изложенные выводы и рекомендации, базирующиеся на основании выполненного исследования, являются частичным решением задачи повышения эффективности учебного процесса военно-технического вуза и в некоторой степени пополняют арсенал средств, приемов и методов совершенствования обучения математике.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях автора.

1. Высшая математика. Теория вероятностей. Конспект лекций. - Ярославль: Изд. ЯВЗРКУ ПВО, 1984. - 81 с.

2. Высшая математика. Теория вероятностей. Часть 2. Случайные величины. Методические рекомендации. - Ярославль: Изд. ЯВЗРКУ ПВО, 1989. - 58 с.

3. Высшая математика. Теория вероятностей. Часть 4. Случайные процессы и элементы математической статистики. Методические рекомендации. - Ярославль: Изд. ЯВЗРКУ ПВО, 1989. - 49 с.

4. Высшая математика. Случайные процессы. Конспект лекций. - Ярославль: Изд. ЯВЗРКУ ПВО, 1990. - 36 с.

5. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Методические рекомендации. - Ярославль: Изд. ЯВЗРКУ ПВО, 1997. -191 с.

6. Основы дискретной математики. Конспект лекций. - Ярославль: Изд. ЯЗРИ ПВО, 2000.-36 с.

7. Графы - язык современной математики //Вестник ЯЗРИ ПВО, вып. 1. -2000.-С. 32-36.

8. Графы как элемент обучающих технологий в математических и технических дисциплинах //Тезисы докладов второй международной конференции "Интеллектуальные технологии двойного применения". Часть 1. -Ярославль, 2000. - С. 44-45.

9. Алгоритмы на графах в неформальном изложении //Шестая международная конференция "Экология и здоровье человека. Экологическое образование. Математические модели и информационные технологии". /Тезисы. - Краснодар, 2001. - С. 258.

10. Методы реализации алгоритмического подхода к изучению теории графов //Девятая международная конференция "Математика. Компьютер. Образование" /тезисы. - Дубна, 2001. - С. 121.

11. Графовые модели задач теории вероятностей в курсовых и дипломных работах //Девятая военно-научная конференция "Проблемы совершенствования вооружения войсковой ПВО и способов боевого применения" /Сборник научных материалов. Часть 2. - Смоленск, 2002 (совместно с В.М. Андреевым). - С. 190-191.

12. Совершенствование технологии обучения математике как один из путей повышения эффективности учебного процесса //Вестник ЯЗРИ ПВО, вып. 3. -2002.-С. 91-93.

13. Применение конспект-организаторов как один из методов технологии обучения дискретной математике //Десятая военно-научная конференция "Повышение эффективности и боевых возможностей группировок войск ПВО в операциях на стратегическом направлении" / Сборник научных материалов. Часть 2. - Смоленск, 2002. - С. 119-120.

14.0 формах методического обеспечения новых технологий обучения //Всероссийская научно-техническая конференция "Актуальные вопросы разработки и внедрения высоких технологий в системы государственного и военного управления, образования, вооружения и военной техники ВВС" /Тезисы докладов. Часть 1. -Ярославль, 2002. - С. 118-120.

15. Из опыта организации научно-исследовательской работы в системе школа-вуз //Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики /Труды XXI всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2002. - С. 139-140.

16. Учебно-методическое обеспечение моделирующих технологий обучения //Проблемы теории и практики обучения математике /Сборник научных работ, представленных на 56 Герценовские чтения. — СПб., 2003. - С. 196-197.

17. Графовые модели в курсе математики военно-технического вуза //Современные проблемы математики, физики и физико-математического образовать: Материалы конференции "Чтения Ушинского" физико-математического факультета. - Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2003. - С. 84-88.

18. Основные направления реализации межпредметных связей при изучении теории графов //Вестник ЯЗРИ ПВО, вып. 4. - 2003. - С. 53-58.

19. Моделирование в обучении математике //Актуальные проблемы вузов ВВС: Межвузовский сборник, вып. 15. -Ярославль, 2003. - С. 61-66.

20. Теория вероятностей. Случайные события: Методические рекомендации к решению задач. - Ярославль: Изд. ЯЗРИ ПВО, 2003. - 43 с.

21. Математическое моделирование как средство исследования учебного процесса //Актуальные проблемы совершенствования подготовки специалистов в вузе. Тезисы докладов областной научно-методической конференции. -Ярославль, 2003. - С. 240-241.

р-443^

Заказ № '/ ? ^ Тираж 100 экз Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д.Ушинского (ЯЛТУ) 150000, Ярославль, Республиканская ул., 108 Типография Ярославского государственного педагогического университета 150000, г. Ярославль, Котросльная наб., 44

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Дебольская, Татьяна Алексеевна, 2004 год

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ В

ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

1.1. Модель и моделирование: концептуализация понятий

1.2. Классификации моделей и видов моделирования

1.3. Моделирование с помощью графов в обучении математике, основные тенденции

ГЛАВА 2. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

МОДЕЛИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

В ВОЕННО-ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ

2.1. Сущность технологического подхода к реализации моделирования с помощью графов

2.2. Содержание и структура методической системы моделирования на основе графов в курсе математики военно-технического вуза

2.2.1. Семантические модели

2.2.2. Логические модели

2.2.3. Продукционные модели

2.2.4. Реляционные модели

2.2.5. Фреймовые модели 124 2.3 Дидактические условия и методические средства применения графов в качестве моделей

2.4. Экспериментальное исследование эффективности моделирования с помощью графов при изучении теории вероятностей и теории игр в курсе математики военно-технического вуза.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методические основы моделирования с помощью графов в процессе обучения математике курсантов военно-технического вуза"

Для достижения высокого уровня математической подготовки курсантов высших военно-технических учебных заведений необходимо, с одной стороны, обеспечить возможность приобретения' ими глубоких фундаментальных знаний, а, с другой - развить творческие способности курсантов, стремление к непрерывному приобретению новых знаний, повышению собственной математической культуры. Необходимость улучшения качества математической подготовки будущих военных инженеров определяется интенсивной математизацией практически всех областей науки и техники, ростом числа прикладных математических теорий, углублением методов анализа научной и технической информации.

Различные аспекты моделирования изучены в работах В.А. Веникова, Б.С. Грязнова, В.В. Давыдова, J1.B. Занкова, Г. Клауса, В.И. Михеева, К.Е. Морозова, Е.В. Никитина, И.Б. Новика, Н.Г. Салминой, Е.И. Смирнова, J1.T. Турбовича, A.C. Турчина, Л.И. Уемова, JI.M. Фридмана, B.C. Швырева, В.А. Штоффа, A.B. Ястребова и др.

Большой интерес к моделированию и широкое распространение методов моделирования объясняется многообразием его гносеологических функций, что обусловливает обучение на специальном объекте — модели, являющейся промежуточным звеном между педагогом и обучаемым. Среди методов моделирования С.И. Архангельский особо выделяет методы теории графов, которые в последнее время находят многочисленные применения в разных областях науки. Важным этапом в разработке этой концепции явилась предложенная В.В. Афанасьевым технология обучения теории вероятностей и математической статистике, теории информации и теории кодирования с помощью графов.

Интерес к теории графов вызвал появление литературы, посвященной теории графов и ее применению. Это книги O.E. Акимова, Р. Басакера и Т. Саати, В.В. Белова, Е.М. Воробьева и Е.М. Шаталова, В.А. Евстигнеева и

JT.C. Мельникова, A.A. Зыкова, Б.Н. Иванова, Н. Кристофидеса, Ф.А. Новикова, И.В. Романовского, Ф. Харари и т.д. Вопросам применения моделей, представляющих собой графы, при обучении математике в вузе и школе посвящены работы С.И. Архангельского, Л.Ю. Березиной, JI.A. Бессонова, Т. Варга и М. Глемана, А.П. Гловацкой, И. Гроссмана и В. Магнуса, С.А. Дориченко, В.А. Евстигнеева, Ю.Г. Карпова, О.М. Кузнецова и Г.М. Адельсона-Вельского, А.Ф. Ляхова, К.Я. Хабибуллина и т.д. Однако, несмотря на большие возможности применения моделей, представляющих собой графы, при обучении математике, мы можем отметить недостаточное освещение вопросов методики использования этого подхода.

Это и определило проблему исследования: каковы возможности моделирования с помощью графов в процессе преподавания математики в военно-техническом вузе для повышения качества предметной подготовки?

Объект исследования - процесс обучения математике курсантов военно-технического вуза.

Предмет исследования — содержание и структура моделирования с помощью графов при обучении математике курсантов военно-технического вуза.

- моделирование основного содержания курса математики военно-технического вуза;

- вариативность форм и методов изложения учебного материала при указанном моделировании;

- объединение отдельных моделей в методическую систему;

Исходя из цели и гипотезы исследования, были определены задачи исследования: