Изучение различных видов проекций фигур как средства их изображения учащимися средней школы

Старшинова, Алевтина Викторовна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Изучение различных видов проекций фигур как средства их изображения учащимися средней школы

Автореферат

Автор научной работы: Старшинова, Алевтина Викторовна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Москва
Год защиты: 2005
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Изучение различных видов проекций фигур как средства их изображения учащимися средней школы"

На правах рукописи

СТАРШИНОВА Алевтина Викторовна

ИЗУЧЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ПРОЕКЦИЙ ФИГУР КАК СРЕДСТВА ИХ ИЗОБРАЖЕНИЯ УЧАЩИМИСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания ' (математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики математического факультета Московского педагогического государственного университета

Научный руководитель

доктор педагогических наук, профессор ГУСЕВ Валерий Александрович

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор ШАМСУТДИ1ЮВА Ирина Георгиевна

кандидат педагогических наук ХОЛОДНАЯ Оксана Васильевна

Ведущая организация:

Коломенский государственный педагогический институт

Защита состоится « 20 » июня 2005 года в 15— часов на заседании Диссертационного совет К 212.154.11 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, математический факультет МПГУ, ауд. 301.

С диссертацией можно познакомиться в библиотеке МПГУ по адресу: 119992, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1.

Л Л

Автореферат разослан мая 2005 года

Ученый секретарь Диссертационного совета /У^/ Чиканцева Н.И.

ШУ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

з J-fV6565~

Перед педагогической наукой и школой постоянно ставятся задачи совершенствования содержания и методов обучения учащихся в общеобразовательных школах и школах и классах с углубленным изучением отдельных дисциплин, в частности математики. При этом уделяется особое внимание вопросам, связанным с повышением уровня математической подготовки учащихся, формированием у них практических умений и навыков, развитие приемов мыслительной деятельности, а также развития пространственного воображения. От уровня развития пространственного воображения школьников зависит успешность изучения ими не только математики, но и других дисциплин (физики, химии, географии, и др.).

Развитие пространственного воображения учащихся представляет одну из самых трудных задач обучения геометрии в средней школе. Учителя отмечают низкий уровень развития пространственного воображения учащихся, приступающих к изучению стереометрии. Действительно, за 9 лет изучения геометрии почти не происходит формирования пространственных представлений, и поэтому особое значение в решении данной проблемы имеет изучение стереометрии в 10-11 классах. Развитие пространственного воображения зависит от уровня графической подготовки школьников.

В вопросах развития графических умений и навыков учащихся на уроках геометрии особая роль отводится процессу изображения I еометрических фигур и объектов окружающего мира.

Одним из самых эффективных средств изображения геометрических фигур и объектов окружающего мира являются, так называемые, геометрические проекции.

Формированию и развитию пространственного воображения (пространственного мышления) на уроках геометрии посвятили свои научные исследования многие математики, методисты и психологи: Верченко С.Б., Вяльцева И.Г., Глейзер Г.Д., Ирошников Н.П., Камбаров К.И., Маслова Г.Г., Матросов В.Л., Минасян Л.А., Мухаммадов М., Никитина Г.Н., Петров C.B., Рузиев Н., Федосеева З.Р., Цукарь А.Я., Якиманская И.С. и др.

В своих исследованиях авторы определяют понятия «пространственное воображение» и «пространственное мышление»; выделяют основные показатели в их развитии (Якиманская И.С.); характеризуют этапы процесса развития воображения на уроках геометрии (Глейзер Г.Д.); предлагают систему упражнений на развитие пространственного воображения у учащихся на уроках геометрии (Петров C.B.).

Для нашего исследования наиболее важными являются работы, связанные с методикой изучения различных видов проекций.

Этими проблемами занимались Бескин JI.H., Глейзер Г.Д., Зенгин А.Р., Изаак Д.Ф., Казаков П.Г., Костипин В.Н.. Лоповок Л.М., Назаретский В.Е., Панкратов A.A., Поляков А.Н., СемуМХЫ ^Ди&ЗДОД^ЧУг Четверухин н.Ф. и др. I библиотека j

Чаще всего предлагается строить изображения в курсе геометрии в произвольной параллельной проекции (Четверухин Н.Ф., Семушин А.Д., Назаре 1ский В.Е. и др.). При таком подходе к построению изображений не фиксируются ни направление проектирования, ни размеры проектируемого оригинала, ни его положение относительно картинной плоскости (плоскости проекций, плоскосш изображений), а сами изображения удовлетворяют требованиям, предъявляемым в своих paöoiax Н.Ф. Четверухиным: верность, наглядность, свобода выполнения.

Методику ознакомления учащихся со свойствами параллельного проектирования и с принципом изображения пространс1 венных фигур на плоскости предлагает в своем диссершционном исследовании Изаак Д.Ф.

Использованию ортогональных проекций для решения геометрических задач посвятил свое исследование Чалов А.Н.

Изучению приложений различных видов проекций в искусстве, архитектуре, технике, черчении посвятили свои работы следующие ученые: Адыгезалов A.C., Виноградов В.Н., Владимирский Г.А., Власова E.H., Волошинов A.B., Воротников И.А., Гервер В.А. I ордон В.О., Гульд С.Г., Знаменский М.Е., Лейбин A.C., Панкратов И.А., Раушенбах Б.В., Рейнгард И.А., Ройтман И.А., Терещенко A.J1., Эйдельс Л.М. и др.

Власова E.H. и Терещенко А.Л. в своих диссертационных исследованиях предлагают методику изучения и построения ортогональных проекций объектов на гри взаимно-перпендикулярные плоскости.

Четверухин Н.Ф. и Глейзер Г.Д. в своих работах рассматривали задачу, обратную построению ортогональных проекций - реконструкцию оригинала по его ортогональным проекциям. Всего ими выделено и описана методика использования четырех способов реконструкции: способа обратного проектирования; способа корректировки; способа соответствия (Четверухин Н.Ф.); способа синтеза проекций (Глейзер Г.Д.).

Имеются, также, работы по применению различных видов проекций в искусстве, архитектуре. Так, академик Раушенбах Б.В. описал проблемы передачи пространства и объемов на плоскости картины и предложил их строгое математическое обоснование.

В вузовских учебниках и в учебных пособиях для средних школ по геометрии Л.С. Атанасяна, И.М. Яглома и В.Г.Ашкинузе, С.А. Анищенко, А.Л. Вернера, A.B. Погорелова и др. имеется довольно серьезный материал, касающийся теории проекций. Однако школьные программы и учебники по геометрии для старших классов средней школы содержат ограниченный материал по данной теории. При этом вопросы использования теории проекций .и их приложений в курсе геометрии средней школы практически не paccWfffpHBäkifca: ''

ч ,<к > '

Проблема диссертационного исследования заключается в преодолении разрыва между необходимостью обучения учащихся изображению геометрических фигур и отсутствием какой-либо разработанной методики изучения различных видов проекций геометрических фигур в условиях дифференцированного изучения геометрии в современной школе.

Необходимость разрешения этого противоречия определяет актуальность проблемы нашего исследования.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в старших классах средней школы в условиях дифференцированного обучения.

Предметом исследования является методика изучения параллельных, ортогональных и центральных проекций фигур в процессе обучения геометрии в старших классах средней школы и их приложений.

Цель исследования состоит в разработке методики изучения различных видов проекций и их приложений на базовом уровне в общеобразовательной школе и при углубленном изучении курса геометрии, направленной на обучение учащихся изображению геометрических фигур и объектов окружающего мира.

Гипотеза исследования состоит в том, что разработанная методика изучения параллельной, ортогональной и центральной проекций в старших классах средней школы, включающая в себя построение этих проекций различных геометрических фигур и рассмотрение их приложений в технике, искусстве, архитектуре, позволит организовать эффективное обучение учащихся изображению геометрических фигур и формирование в процессе обучения геометрии пространственного воображения, необходимого для успешного усвоения всего курса стереометрии.

Предмет, проблема, цель и гипотеза исследования определили его задачи:

1. Изучить и провести анализ разработанности отдельных вопросов методики изображения плоских и пространственных фигур на плоскости.

2. Определить содержание учебного материала по изучению различных видов проекций геометрических фигур, выделив при этом базовый объем знаний, которым должны располагать учащиеся массовой школы.

3. Разработать методику обучения учащихся решению задач на построение параллельной, ортогональной и центральной проекций геометрических фигур.

4. Разработать методику изучения параллельной, ортогональной и центральной проекций при углубленном изучении курса геометрии, включающую в себя подбор материала для изучения возможности применения различных видов проекций в геометрии, черчении, живописи, технике, архитектуре

5. Проверить эффективность разработанной методики в ходе педагогического эксперимента.

Теоретико-методологической базой диссертационного исследования послужили личностно-ориентированное и творческо-продуктивное направления концепции образования учащихся средней школы; теория управления учебно-воспитательным процессом в школе; концепция деятельностно1 о подхода в обучении; теория дифференциации и индивидуализации обучения.

Методологической основой исследования явились основные положения теории и методики обучения геометрии, включающие изучение исследуемых вопросов с точки зрения психологии, дидактики, методики.

Среди методов исследования мы выделили следующие: теоретические: анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы, а также диссертационных исследований, связанных с изучением различных видов проекций и их приложений; социопедаюжческие: анализ школьных учебников и учебных пособий; эмпирические методы наблюдения и опроса, обобщение педагогического опыга; экспериментальные: диагностические методы, анализ продуктов деятельности учащихся, методы статистической обработки экспериментальных данных.

Научная новизна проведенного исследования состоит в том, что

- Разработана методика изучения параллельной, ортогональной и центральной проекций в курсе геометрии старших классов средней школы, включающая в себя следующие четыре направления:

1) определение целей и содержания методики изучения различных видов проекций в курсе геометрии в общеобразовательной школе;

2) выявление методов и средств построения различных видов проекций геометрических фигур;

3) определение целей и содержания методики изучения различных видов проекций при углубленном изучении курса геометрии;

4) рассмотрение возможностей применения параллельной, ортогональной и центральной проекций в искусстве, технике, архитектуре и т.д.

- Проведен анализ существующих свойств различных видов проекций и соответствующей системы задачи и разработан авторский подход к изложению доказательств свойств проекций и решению задач, связанных с изучением и применением различных видов проекций.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается: построением исследования на основе положений современной психологии, дидактики и методики; согласованностью полученных выводов с основными положениями теории и методики обучения математике и концепций школьного математического образования; положительной оценкой учителями и методистами разрабо1анных учебных материалов и методики их использования; результатами опытного обучения и внедрения.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Теоретические основы изучения различных видов проекций в общеобразовательной школе и классах с углубленным изучением математики и соответствующий набор задач, которые в совокупности позволяют формировать пространственное воображение учащихся старших классов средней школы в условиях дифференцированного обучения математике.

2. Разработанная нами методика проведения доказательств свойств различных видов проекций, решения задач на построение проекций, в основе которой лежат следующие требования:

1) Формулировка общей стратегии доказательства;

2) Выделение шагов доказательства;

3) Мотивация выполненных шагов доказательства;

4) Аргументация полученных выводов.

3. Приложения различных видов проекций, которые помогают показать применение математического материала в архитектуре, живописи, черчении, технике.

Апробация и внедрение результатов исследования.

Основные положения диссертации, результаты педагогического эксперимента и сделанные по ним выводы получили отражение в докладах и сообщениях на Амурской областной конференции учителей школ и преподавателей средних специальных учебных заведений и вузов (г. Благовещенск, 2000 г.); Амурской областной научно-практическая конференции (г. Благовещенск, 2000 г.); 52-й научно-практической конференции преподавателей и студентов Благовещенского государственного педагогического университета; международной научно-практической конференции (г. Благовещенск, 2002 г.); аспирантских семинарах кафедры методики преподавания математики МПГУ (г. Москва, 2004 г., 2005 г.).

Структура диссертации определена логикой и последовательностью постеленных задач. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность исследования, формулируются проблема, цель, гипотеза, определяются объект, предмет, задачи и методы исследования, раскрывается научная новизна работы, ее практическая значимость, излагаются основные положения, выносимые на защиту, описываются организация и результаты эксперимента.

В первой главе «Пути изучения различных видов проекций геометрических фигур как средства их изображения в курсе геометрии средней школы» анализируется педагогическая и научно-методическая и математическая литература по исследуемой проблеме, и описываются возможные пути изучения и применения параллельной, ортогональной и

центральной проекций в курсе геометрии в старших классах средней школы в условии дифференцированного обучения математике.

В первом параграфе этой главы «Изображение геометрических фигур в процессе изучения систематического курса геометрии и роль проекций фигур в этом процессе» уточняется смысл двух понятий, часто встречающихся в курсе геометрии средней школы: рисунок и чертеж. В резулыахе отмечаем, что учителю математики чаще приходится пользоваться рисунком, а не чертежом. Кроме этого рассматриваются различные толкования понятия изображения геометрических фигур, формулируются требования, которым должны удовлетворять изображения, выполняемые преподавателем в его педагогической работе: верность, наглядность, простот выполнения.

Особое место в этом параграфе уделяется роли различных видов проекций в изучении геометрии, а также в черчении, технике, архитектуре, живописи:

1. Параллельное проектирование полезно тогда, когда при помощи не очень сложных чертежей желают дать довольно наглядное представление о предмете и в то же время указать чертежом (хотя и приблизительно) на относительные размеры его частей.

2. В курсе стереометрии в 10-м классе вводятся понятия ортогональной проекции точки на плоскость, наклонная к плоскости и перпендикуляр к плоскоеiи. На основе этих понятий определяются другие понятия курса стереометрии (например, угол между прямой и плоскостью) и доказываются многие теоремы (например, теорема о трех перпендикулярах, теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость и др.). Кроме этого орюгональные проекции имеют весьма большое значение в тех случаях, когда по данному чертежу требуется изготовить самый предмет (например, при постройке домов, мостов, машин и т.п.). В этом случае используется ортогональное проектирование на три плоскости.

3. Центральная проекция дает прекрасное общее представление об изображенных предметах, поэтому этим видом проекции пользуются художники и архитекторы (при изображении проектируемых городов, зданий, ансамблей зданий).

Во втором параграфе «Возможные пути изучения и применения параллельной, ортогональной и центральной проекций в курсе геометрии средней школы» описаны теоретические основы изучения различных видов проекций. С этой целью в работе проанализированы определения различных видов проекций, взятые в различных школьных и вузовских учебниках и учебных пособиях; приведен анализ изложения свойств этих проекций. Анализ показал, что:

- В одних учебниках есть материал, связанный с изучением каких-либо проекций, а в других - нет. Например, A.B. Погорелов материал, связанный с параллельным проектированием разбирает в тексте учебника, а JI.C. Атанасян и др. вынесли весь материал в приложение; в учебнике И.М. Смирновой и В.А. Смирнова есть материал, связанный с центральным

проектированием, а в учебниках A.B. Погорелова и JI.C. Атанасяна и др. этот материал полностью отсутствует.

- В одних учебниках свойства различных видов проекций подробно доказываются, в других - доказательства отсутствуют. Причем имеющиеся доказательства нуждаются в корректировке, так как порой представлено не доказательство, а «правдоподобное рассуждение».

- Число учебных часов, отводимое на изучение материала, связанного с изучением проекций, невелико, а материала, порой, предлагается очень много, поэтому объем и содержание учебного материала по изучению проекций должны быть детально продуманы.

I Очевидным является тот факт, что необходимо обучать учащихся

построениям проекций различных фигур и рассматривать с ними различные приложения этих проекций. Однако практически ни в одном учебнике этого не делается.

В результате сформулированы основные направления, по которым нужно изучать различные виды проекций:

I. Первое направление в изучении различных видов проекций фигур -это выявление того минимального объема знаний, которым должны располагать учащиеся массовой школы при изучении основных видов проекций.

1) В общеобразовательной школе при изучении параллельной проекции необходимо сформулировать ее определение и доказать свойство 1.1 и 1.2:

Свойство 1.1 Если прямая параллельна проектирующей прямой I, то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна проектирующей прямой I, то ее проекцией в направлении этой прямой является прямая.

^ Свойство 1.2 Если отрезок параллелен проектирующей прямой I, то

его проекцией является точка Если отрезок не параллелен проектирующей прямой 1, то его проекцией является отрезок.

• 2) При изучении ортогональной проекции необходимо отчетливо

сказать, что орто1 ональная проекция есть частный случай параллельной проекции.

Все свойства ортогональной проекции являются следствиями свойств параллельной проекции.

Кроме этого в общеобразовательной школе рассматриваются понятия и доказываются теоремы, связанные с ортогональной проекцией фигур. Например, в стереометрии доказываются следующие факты:

- теорема о трех перпендикулярах;

- теорема о площади ортогональной проекции многоугольника.

С помощью понятия ортогональная проекция прямой вводятся понятия угла между прямой и плоскостью и расстояния между прямой и плоскостью.

3) Центральная проекция в общеобразовательной школе не рассматривается.

II. Вторым направлением при изучении различных видов проекций является обучение учащихся построению этих проекций, так как считаем, что одним из главных недостатков всех вариантов изучения различных видов проекций является то, что мы не строим никаких проекций и не учим учащихся их выполнять.

В работе описаны, например, построения:

1) параллельной проекции куба;

2) ортогональных проекций фигур на две или три взаимно перпендикулярные плоскости;

3) центральных проекций треугольника, квадрата.

III. Третьим направлением при рассмотрении данного вопроса, является отбор сойержания при углубленном изучении курса геометрии и разработана методика изучения различных видов проекций.

1) При изучении параллельной проекции для углубленного изучения мы предлагаем доказать следующие свойства:

Свойство 2.1 Если две параллельные прямые параллельны проектирующей прямой I, то их проекциями в направлении этой прямой являются две точки

Свойство 2.2 Если две параллельные прямые не параллельны проектирующей прямой /, то их проекциями в направлении этой прямой являются или две параллельные прямые или одна прямая.

Свойство 3.1 Отношение отрезков, лежащих па одной прямой, не параллельной проектирующей прямой, равно отношению их проекций.

Свойство 3.2 Отношение отрезков, лежащих на параллельных прямых, не параллельных проектирующей прямой I, равно отношению их проекций.

Далее мы предлагаем методику обучения решению задач на построение параллельных проекций плоских фигур, доказать теорему Польке-Шварца и в заключении рассмотреть систему задач на построение параллельных проекций куба.

2) Для углубленного изучения ортогональной проекции вы выносим, прежде всего, решение геометрических задач, в которых используется орто1 ональная проекция как метод решения. Особое место занимает материал, касающийся ортогонального проектирования на две и три взаимно перпендикулярные плоскости и ряд соответствующих задач.

3) Материал, касающийся центральной проекции, мы предлагаем излагать по следующей схеме:

- Ввести определение центральной проекции:

Пусть даны две пересекающиеся плоскости: предметная плоскость -а и картинная плоскость - оз. Точка S - центр проекции, не лежащая в этих плоскостях.

Пусть А - произвольная точка предметной плоскости а; если прямая SA пересекает картинную плоскость ш в точке А\ то А1 называют центральной проекцией точки А предметной плоскости а на картинную плоскость (О.

- Сформулировать и доказать свойства центральной проекции:

Свойство 1. Центральная проекция есть взаимно однозначное

отображение множества точек предметной плоскости а без точек прямой т на множество точек картинной плоскости (3 без точек прямой п (где т -прямая предметной плоскости, не имеющая образов на картинной плоскости, а п - прямая картинной плоскости, не имеющая прообразов центральной проекции на предметной плоскости).

Свойство 2.1 Если прямая а предметной плоскости а параллельна картинной плоскости о), то ее проекция есть прямая, параллельная самой прямой а.

Свойство 2.2 Если прямая а. лежащая в предметной плоскости а пересекает картинную плоскость со, то ее центральной проекцией является прямая без точки.

Свойство 3.1 Если две параллельные прямые а и Ь, лежащие в предметной плоскости а, параллельны картинной плоскости со то их центральной проекцией являются две параллельные прямые.

Свойство 3.2 Если две параллельные прямые предметной плоскости а, не параллельны картинной плоскости со, то их центральной проекцией являются две пересекающиеся прямые без точки их пересечения.

- Методику обучения решению задач на применение определения и свойств центральной проекции.

IV. Четвертым направлением при рассмотрении данного вопроса является изучение возможностей применения различных видов проекций в технике, черчении, живописи, архитектуре, что, безусловно, влияет на развитие кругозора учащихся.

1) Параллельная проекция находит применение в живописи при изображении предметов, расположенных на расстоянии не более 2-3-х метров от художника; лежит в основе китайской и японской живописи; используется в техническом черчении при построении наглядного изображения деталей; а также при построении чертежей в курсе геометрии, связанных с показом взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве.

2) Ортогональная проекция широко используется в архитектуре при изображении фасада и плана проектируемых зданий. В техническом черчении при построении комплексных чертежей деталей используется ортогональное проектирование на три взаимно перпендикулярные плоскости. В курсе геометрии в ортогональной проекции строятся изображения тел вращения; кроме этого этот вид проекции лежит в основе живописи Древнего Египта.

3) Центральная проекция используется в архитектуре для построения наглядного изображения проектируемых зданий. Этот вид проекций нашел широкое применение в живописи (здесь имеют мест о, так называемые прямая перспектива, используемая для изображения удаленных от рисующего объектов, и обратная перспектива, лежащая в основе иконописи);

кроме этого, на центральном проектировании основан один из важнейших разделов геометрии - проективная геометрия.

Кроме этого, в этом параграфе сформулированы наши требования к проведению доказательств и решению задач в школьном курсе геометрии, которые мы использовали при составлении нашей методики:

1. Формулировка общей стратегии доказательства.

2. Выделение шагов доказательства.

3. Мотивация выполненных шагов доказательства.

4. Аргументация полученных выводов.

Во второй главе «Методика изучения различных видов проекций геометрических фигур в средней школе в процессе дифференцированного обучения математике» представлена методика изучения параллельной, ®

ортогональной и центральной проекций в общеобразовательной школе и школах и классах с углубленным изучением математики, а также некоторые I

вопросы приложений этих проекций. ||

В первом параграфе «Изучение параллельной и ортогональной проекций в курсе геометрии старших классов в условиях дифференцированного обучения» рассмотрен материал (теоретический и задачный), касающийся изучения параллельной и ортогональной проекций, в соответствии с приведенными выше направлениями.

При разработке нашей методики при проведении доказательств и при решении задач, связанных с использованием этих видов проекций, выделены следующие их основные виды:

1) Первый вид составляют задачи, в которых требуется построить параллельную проекцию данной фигуры.

2) Второй вид составляют принципиально иные задачи, решение которых начинается с рассмотрения уже построенной проекции и заключается либо в восстановлении прообраза, либо в определении свойств ^ прообраза. (

В качестве примера задачи второго вида при изучении параллельной |

проекции в работе дана, например, такая задача: I

Задача 1. Как могут располагаться в пространстве два отрезка, чтобы их параллельными проекциями были фигуры, изображенные на рисунке 1 ?

/127

а)

б)

в)

г)

И) К) л)

Рис. 1

Следующая задача важна, так как результат се решения лежит в основе построения параллельных проекций различных многоугольников.

Задача 2. Может ли проекция острого угла при параллельном проектировании на некоторую плоскость быть прямым углом?

Широкое применение при решении задач на построение параллельных проекций мноюгранников имеет

Задача 3. Докажите, что любой треугольник является параллельной проекцией треугольника любой заданной формы.

Данную задачу и все ее применения мы предлагаем рассмотреть при углубленном изучении геометрии, так как она представляет собой серьезное исследовательское задание.

Также в классах с углубленным изучением математики мы предложили рассмотреть известную теорему Польке - Шварца:

Задача 4. Параллельной проекцией треугольной пирамиды может быть четырехугольник, подобный любому данному четырехугольнику, с его диагоналями.

В заключении изучения параллельной проекции мы рассматриваем вопрос об изображении (в параллельной проекции) куба.

Исследовательское задание возникает при рассмотрении рисунка из

книги Лейбина A.C.

«Изображения и геометрические преобразования». В ней автор привел 16 вариантов возможных параллельных проекций куба (рис.2), однако подробных объяснений их получения нет.

В работе подробно описывается получение некоторых из указанных изображений куба путем

Рис. 2

параллельного проектирования.

Затем предлагается материал, показывающий приложения параллельного проектирования в техническом черчении, живописи.

Далее в этом параграфе рассмотрен материал, касающийся ортогональной проекции для общеобразовательной школы и для классов с углубленным изучением математики.

На ортогональное проектирование на одну плоскость, как для общеобразовательной школы, так и для классов с углубленным изучением математики, мы предлагаем следующие группы задач:

1. Задачи на отработку понятия ортогонального проектирования фигуры на плоскость;

2. Задачи по курсу стереометрии, которые используют широкий круг теорем, таких как свойство наклонных, о трех перпендикулярах;

3. Задачи курса стереометрии, в которых ортогональное проектирование используется как метод решения. Среди этих задач мы выделяем следующие:

3.1 Задачи на взаимное расположение прямых, лучей, отрезков и ут лов в пространстве;

3.2 Задачи на многогранники и тела вращения;

3.3 Задачи на построение сечений многогранников;

3.4 Задачи на комбинацию пространственных тел.

Задачи 1-го и 2-го видов достаточно традиционны. Они разобраны в диссертации. Для иллюстрации приведем примеры задач 3-го вида:

В качестве примера задачи группы 3.1 можно предложить задачу, которая будет использоваться при решении задач на многогранники как в общеобразовательной школе, так и в классах с углубленным изучением математики'

Задача 5. Луч ОА образует равные углы с лучами ОБ и ОС. Постройте ортогональную проекцию этого луча на плоскость ОВС.

Следующую задачу группы 3.2 можно предложить учащимся классов с углубленным изучением математики в завершении изучения темы «Многогранники»:

Задача 6. В наклонной треугольной призме АВСА\В\С\ каждое ребро основания равно 1. Ребро ВВи равное 2, образует равные углы с ребрами ВА и ВС. Расстояние от В\ до плоскости ABC равно 1. Вычислите расстояние между основаниями призмы.

В качестве задачи группы 3.3 можно предложить задачу на построение сечения прямой треугольной призмы:

Задача 7. Постройте сечение прямой треугольной призмы АВСА\В\С\ плоскостью, проходящей через внутренние точки М, N, Р трех боковых граней.

Задача группы 3.4 - задача на усеченную пирамиду, описанную около

сферы:

Задача 8. Около сферы описана усеченная пирамида, большим основанием которой служит треугольник ABC, где АВ - АС ~ Ь, угол ВАС = а. Боковые грани, проходящие через АВ и АС, перпендикулярны основанию, а третья боковая грань образует с ним двугранный угол /?. Найдите радиус сферы.

В параграфе 1 главы I мы говорили о сущности ортогонального проектирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости. Здесь приведены примеры задач на использование этой теории, среди которых мы выделили следующие:

1) Задачи второго вида, в которых требуется по ортогональным проекциям фигуры определить ее расположение в пространстве;

2) Задачи второго вида, в которых по двум ортогональным проекциям комбинации тел узнать проектируемые тела и определить их взаимное расположение;

3) Задачи, в которых метод Монжа используется как метод решения.

В заключении этого пункта приведены примеры задач на

ортогональное проектирование на гри плоскости, примеры приложения ортогонального проектирования в черчении, архитектуре, живописи.

Во втором параграфе «Изучение свойств центральной проекции и ее приложений при углубленном изучении геометрии» предложена методика изучения центральной проекции: сформулированы и доказаны по нашей схеме свойство 2 и свойство 3, приведены примеры следующих групп задач на использование этой теории:

а) задачи, связанные с центральным проектированием отрезка;

б) задачи, связанные с центральным проектированием треугольника;

в) задачи, связанные с центральным проектированием многоугольников;

г) задачи, связанные с центральным проектированием куба.

Примерами задач каждой группы являются следующие:

Задача 9. Построить центральную проекцию отрезка, лежащего в предметной плоскости а на картинную плоскость со, один конец которого принадлежит прямой т плоскости ос, точки которой не имеют образов на плоскости со.

При решении данной задачи учащиеся впервые приходят к случаю, когда отрезок проектируется не в отрезок (или точку), а в луч.

Также необычная ситуация рассмотрена в следующих задачах:

Задача 10. Как должен располагаться в предметной плоскости а феутльник ABC, чтобы его центральной проекцией на плоскость со был плоский угол?

Задача 11. Как должен располагаться в предметной плоскости а квадрат, чтобы его центральной проекцией на картинную плоскость со была трапеция, основания которой параллельны предметной плоскости а?

Задача 12. Постройте центральную проекцию куба, расположенного так, что ни одна из его граней не параллельна каргинной плоскости.

В заключение этого параграфа приведен материал, который можно привести учащимся для ознакомления их с приложениями центральной проекции в живописи (прямая и обратная перспектива) и архитектуре (метод архитекторов).

В третьем параграфе данной главы «Описание экспериментальной работы по теме исследования» представлены результаты основных этапов эксперимента.

Эксперимент проходил в два этапа: I этап (2002/03, 2003/04 учебные года) - поисковый эксперимент; II этап (2004/05 учебный год) - обучающий эксперимент.

На первом этапе эксперимента в процессе анализа учебной, научно-методической и математической литературы было установлено, что выделенная нами проблема изучения различных видов проекций, является актуальной и требует решения; разработана методика изучения различных видов проекций геометрических фигур в старших классах в условиях дифференцированного обучения геометрии.

На втором этапе было проведено экспериментальное обучение в средней школе № 891 г. Москвы и лицее № 3 г. Тулы.

Этот этап эксперимента заключался в осуществлении преподавания курса геометрии в общеобразовательной школе и в классах с углубленным изучением математики по нашей методике. В каждый из изучаемых курсов был включен материал, касающийся параллельной, ортогональной проекций, а в классах с углубленным изучением математики еще и центральной проекции. Контроль в ходе эксперимента осуществлялся в виде контрольных работ по каждой теме, проводимых дважды: до изучения разработанного нами материала и после. Всего в эксперименте приняли участие 78 учащихся.

Статистическая обработка полученных данных проводилась с помощью критерия знаков и позволила подтвердить наше предположение о положительном влиянии разработанной нами методики изучения параллельной, ортогональной и центральной проекций в общеобразовательной школе и в классах с углубленным изучением математики на качество умений учащихся изображать геометрические фигуры, путем построения их проекций.

В заключении сделаны выводы о результатах теоретического и эмпирического исследований, подтверждающие гипотезу и положения, выносимые на защиту.

Основные положения диссертации офажены в следующих публикациях:

1. Старшинова Л В. Развитие пространственного воображения школьников на уроках геометрии.// Материалы областной конференции учителей школ и преподавателей средних специальных учебных заведений и вузов. - Благовещенск: Изд-во БГПУ, 2000. - 85 с. - с.70. - 0,05 п.л.

2. Старшинова A.B. Роль творческих задач по геометрии в довузовской подготовке учащихся.// Материалы областной научно-практическая конференции/ Благовещенский Государственный педагогический университет; Отв. ред. H.A. Шахова. - Благовещенск: Изд-во БГПУ, 2000. - 72 с. - с. 51. - 0,05 п.л.

3. Старшинова A.B. Методика обучения построению проекций фигуры на три взаимно перпендикулярные плоскости.// Материалы 52-й научно-практической конференции преподавателей и студентов: В 2-х ч. Ч. I. - Благовещенск: Изд-во БГПУ, 2002. - 249 с. - с. 82-85. - 0,18 п.л.

4. Старшинова A.B. Роль геометрических задач в развитии пространственного воображения учащихся VII - IX классов.// Актуальные проблемы современной педагогики: Сборник научных трудов аспирантов

БГПУ/ Отв. ред. Р.П. Денисов. - Благовещенск: Изд-во БГПУ, 2002. - Вып. 1. - 162 с. -с. 130- 139.-0,45 пл.

5. Старшинова A.B. Роль геометрических задач на развитие воображения в подготовке будущего учителя математики.// Современные технологии образования и воспитания в высшей школе: Материалы международной научно-практической конференции. (Благовещенск, 31 января 2002) / Под общ. ред. Н.В. Карнаух. В 2-х ч. Ч. I. - Благовещенск: Изд-во БГПУ, 2002. - 199 с. - с. 94 - 96. - 0,14 п.л.

6. Старшинова A.B. Изображение фигур в курсе геометрии средней школы.// XL Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. Секция методики и педагогики. - М.: Изд-во РУДН, - 2004. - 145 с. - с. 99 - 101. - 0,14 п.л.

7. Гуссв В.А., Ласвар М.А.С., Старшинова A.B. О составлении и использовании учебных задач на уроках геометрии.// Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования (юбилейный сборник 70 лет кафедре математического анализа Московского Педагогического Государственного Университета) - М: МПГУ, 2004 - с. 437442. - 0,27 п.л., авторский вклад 40%

8. Старшинова A.B. Проблемы изображения пространственных фигур в школьном курсе геометрии.// Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе (сборник статей). Выпуск 10 -М.: Прометей, МПГУ, 2005. - с.135-138. - 0,18 п.л.

Подл, к печ. 12 05.2005 Объем 1.0 п.л. Заказ №. 182 Тир 100 экз.

Типография МПГУ

»10718

РНБ Русский фонд

2006-4 6659

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Старшинова, Алевтина Викторовна, 2005 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I Пути изучения различных видов проекций геометрических фигур как средства их изображения в курсе геометрии средней школы.

§1 Изображение геометрических фигур в процессе изучения систематического курса геометрии и роль проекций фигур в этом процессе.

§2 Возможные направления изучения и применения параллельной, ортогональной и центральной проекций в курсе геометрии средней школы.

ВЫВОДЫ ПО I ГЛАВЕ.

ГЛАВА II Методика изучения различных видов проекций геометрических фигур в средней школе в процессе дифференцированного обучения математике.

§ 1 Изучение параллельной и ортогональной проекций в курсе геометрии старших классов в условиях дифференцированного обучения.

§2 Изучение свойств центральной проекции и ее приложений при углубленном изучении геометрии.

§3 Описание экспериментальной работы по теме исследования.

ВЫВОДЫ ПО II ГЛАВЕ.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Изучение различных видов проекций фигур как средства их изображения учащимися средней школы"

ДР-)

В вопросах развития графических умений и навыков учащихся на уроках геометрии особая роль отводится процессу изображения геометрических фигур и объектов окружающего мира.

Одним из самых эффективных средств изображения геометрических фигур и объектов окружающего мира являются, так называемые, геометрические проекции. Вот что по этому поводу писал известный математик Четверухин Н.Ф. в своей книге «Изображение фигур в стереометрии»: «Попытки изображений, зарисовок имеют более древнее происхождение, чем возникновение письменности. Рисунки на примитивных предметах первобытного инвентаря, стенная живопись и живопись на вазах, иконопись и тому подобные изображения отражали быт, верования людей, а также их эстетические стремления.

Поэтому понятно, что первые зачатки и идеи будущего геометрического учения о соответствии точек изображаемого объекта с точками его изображения на плоскости или какой-то другой поверхности относятся к глубокой древности. Эти древнейшие изображения постепенно развивались, и подмеченные правила послужили началом для образования метода проекций, следы которого можно видеть уже у многих греческих математиков». [225]

Формированию и развитию пространственного воображения (пространственного мышления) на уроках геометрии посвятили свои научные исследования многие математики, методисты и психологи: С.Б. Верченко, И.Г. Вяльцева, Г.Д. Глейзер, Н.П. Ирошников, К.И. Камбаров, Г.Г.Маслова, B.J1. Матросов, J1.A. Минасян, М. Мухаммадов, Г.Н. Никитина, С.В. Петров, Н. Рузиев, З.Р. Федосеева, А.Я. Цукарь, И.С. Якиманская и др.

И.С. Якиманская в своей книге «Развитие пространственного мышления школьников» под содержанием пространственного мышления понимает деятельность по созданию пространственных образов и оперированию ими» и выделяет три основных показателя в его развитии: «-тип создания образа (оперирование им); -выбор и изменение точки отсчета;

-перекодирование образа, то есть перевод одного содержания образа в другое (например, двумерных образов в трехмерные и обратно)».[239]

Исследуя проблему формирования и развития пространственного воображения на уроках геометрии, Г.Д. Глейзер в своей докторской диссертации охарактеризовал этапы этого процесса следующим образом:

1. Создание целостного образа на наглядной или абстрактно-логической основе путем опоры на ранее сформированные пространственные представления и ранее усвоенные понятия. На этом этапе узнавание, различение, воспроизведение образа должно проходить в тех же условиях, в которых проходило его формирование.

2. Оперирование образом в односложных связях в несколько измененных условиях, закрепление его существенных признаков путем варьирования несущественных.

3. Оперирование образами в сильно измененных условиях, логическое установление таких отношений как конгруэнтность, подобие между элементами образа в простой проблемной ситуации без наглядной опоры.

4. Активное оперирование образами в существенно измененных условиях, внутрипредметных и межпредметных связей и зависимостей.

5. Творческое конструирование новых образов и отношений на базе сформированных ранее обобщенных подвижных и действенных образов». [58]

С.В. Петров в своем диссертационном исследовании предложил систему упражнений на развитие пространственных представлений и пространственного воображения у учащихся при изучении простейших многогранников и круглых тел:

1)Упражнения в изображении простейших многогранников.

2)Упражнения в составлении и чтении проекций простейших многогранников на три взаимно перпендикулярные плоскости.

3)Упражнения в восстановлении модели (изображения) многогранника по отдельным элементам, сохранившимся на модели (изображении).

4)Упражнения в эффективных построениях на поверхностях моделей простейших многогранников, сопровождаемых выполнением соответствующих построений на их изображениях.

5)Упражнения в «чтении» чертежей.

6)Упражнения в анализе данной пространственной фигуры.

7)Упражнения в установлении различных случаев взаимного расположения данных фигур. [158]

Для нас наиболее важными являются работы, связанные с методикой изучения различных видов проекций.

Вопросами изучения различных видов проекций и использования их для построения изображений фигур на уроках геометрии занимались JLH. Бескин , Г.Д. Глейзер, А.Р. Зенгин, Д.Ф. Изаак, П.Г. Казаков, В.Н. Костицин, JLM. Лоповок, В.Е. Назаретский, А.А. Панкратов,

A.Н. Поляков , А.Д. Семушин, А.Н. Чалов, Н.Ф. Четверухин и др.

Чаще всего предлагается строить изображения в курсе геометрии в произвольной параллельной проекции (Н.Ф. Четверухин, А.Д. Семушин и др.). При таком подходе к построению изображений не фиксируются ни направление проектирования, ни размеры проектируемого оригинала, ни его положение относительно картинной плоскости (плоскости проекций, плоскости изображений).

В своей диссертационной работе, исследуя проблему изложения построения изображений в произвольных параллельных проекциях на уроках стереометрии в форме, доступной для учащихся средней школы

B.Е. Назаретский подчеркивает, что «в произвольной параллельной проекции действительно можно строить чертежи некоторых пространственных фигур, удовлетворяющие требованиям, предъявляемым в своих работах Н.Ф. Четверухиным: верность, наглядность, свобода выполнения». [146]

Методику ознакомления учащихся со свойствами параллельного проектирования и с принципом изображения пространственных фигур на плоскости предлагает в своем диссертационном исследовании Д.Ф. Изаак По этой методике «учащиеся сначала знакомятся с основными свойствами параллельной проекции практически, наблюдая за тенью на доске от проволочной модели куба и от моделей других геометрических фигур при солнечном освещении их. Потом эти свойства доказываются. После изучения с учащимися свойств параллельной проекции перед ними специально ставится вопрос об изображении геометрических фигур на плоскости чертежа». Под «построением изображения некоторой геометрической фигуры» он понимает «построение параллельной проекции этой фигуры на плоскости чертежа в определенном масштабе». [96]

В отличии от Д.Ф. Изаака, А.Д. Семушин разделяет понятия «изображение» и «проекция». «Изображением оригинала» он называет «проекцию геометрического тела, подобного данному геометрическому телу. Различие между проекцией и изображением состоит, таким образом, в том, что каждая проекция данного геометрического тела есть изображение, но, наоборот, не всякое изображение есть проекция данного оригинала».

Кроме этого, А.Д. Семушин разделяет основные свойства параллельных проекций и основные свойства изображений при параллельных проекциях.

Исследованием возможности параллельной проекции для обучения учащихся построению изображений и решению задач с целью повышения эффективности усвоения школьного курса стереометрии занимался П.Г. Казаков. Он, в частности, предлагал «начинать изучение свойств параллельной проекции сразу же после изучения основных понятий и аксиом пространства». И сделал вывод, что «два свойства параллельной проекции: проекция прямой есть прямая; отношение отрезков, лежащих на параллельных прямых, сохраняется при параллельном проектировании, являются прямым следствием аксиом пространства». И показал, что «имеется возможность одновременно доказать и третье свойство параллельной проекции - проекции параллельных прямых параллельны». [103]

А.Р. Зенгин в пособии для учителей пишет, что «в отличии от многогранников шар на плоском чертеже принято изображать в ортогональной проекции, так как только в этой проекции его очерк представляет собой окружность, что соответствует нашему зрительному восприятию». [89] Кроме шара, по мнению автора, в ортогональной проекции целесообразно изображать все тела вращения, изучаемые в школе (цилиндр, конус, усеченный конус).

Использованию ортогональных проекций для решения геометрических задач посвятил свое исследование А.Н. Чалов С этой целью он предложил использовать, так называемые, «канонические проекции», под которыми он понимает «изображения геометрических тел в ортогональной проекции на одну плоскость. Причем, геометрический образ располагается относительно плоскости проекций так, чтобы получить наиболее простое, в смысле техники выполнения, изображение». В своем исследовании он утверждал, что «если в черчении берется изображение на три и более плоскостей, то в геометрии часто можно ограничиваться изображением на одну плоскость» [223].

Обучению учащихся построению центральных проекций геометрических фигур посвящено много работ по методике преподавания рисования.

Изучению приложений различных видов проекций в искусстве, архитектуре, технике, черчении посвятили свои работы следующие ученые: А.С. Адыгезалов, В.Н. Виноградов, Г.А. Владимирский, Е.Н. Власова, А.В. Волошинов, И.А. Воротников, В.А. Гервер, В.О. Гордон, С.Г. Гульд, М.Е. Знаменский, А.С. Лейбин, И.А. Панкратов, Б.В. Раушенбах, И.А. Рейнгард , И.А. Ройтман, А.Л.Терещенко, Л.М. Эйдельс и др.

Е.Н. Власова и А. Л. Терещенко в своих диссертационных исследованиях предлагают методику изучения и построения ортогональных проекций объектов на три взаимно-перпендикулярные плоскости.

Н.Ф. Четверухин и Г.Д. Глейзер в своих работах рассматривали задачу, обратную построению ортогональных проекций — реконструкцию оригинала по его ортогональным проекциям. Всего ими выделено и описана методика использования четырех способов реконструкции: способа обратного проектирования; способа корректировки; способа соответствия (Н.Ф. Четверухин); способа синтеза проекций (Г.Д. Глейзер).

Имеются, также, работы по применению различных видов проекций в искусстве, архитектуре. Так, академик Б.В. Раушенбах в своей книге

Системы перспективы в изобразительном искусстве. Общая теория перспективы» описал проблемы передачи пространства и объемов на плоскости картины и предложил их строгое математическое обоснование, а в книге «Геометрия картины и зрительное восприятие» выделил две группы методов передачи пространственное™, в основе которых лежат три основных вида проекций: параллельная, ортогональная, центральная. А.В. Волошинов в своей книге «Математика и искусство» показал, как эти методы использовались и используются в живописи: «Все эти принципиальные возможности изображения пространства на плоскости были реализованы в искусстве живописи, причем в разных пластах художественной культуры каждый из этих методов находил свое наиболее полное и чистое выражение» [43].

С.Г. Гульду принадлежит следующее высказывание: «Основная идея этой чистой геометрии (имеется в виду геометрическая теория проекций) родилась из желания художников Возрождения создать «зрительную» геометрию. Как выглядят предметы в действительности и как их можно изобразить на плоскости чертежа? Например, там нет параллельных прямых, так как глазу такие прямые кажутся сходящимися» [114].

В вузовских учебниках и в учебных пособиях для средних школ по геометрии Л.С. Атанасяна [52], И.М. Яглома и В.Г.Ашкинузе [237], С.А. Анищенко [8], А.Л. Вернера [30,31], А.В. Погорелова и др.[163], И.М.Смирновой и В.А. Смирнова [196] имеется довольно серьезный материал, касающийся теории проекций. Однако школьные программы и учебники по геометрии для старших классов средней школы содержат ограниченный материал по данной теории. При этом вопросы использования теории проекций и их приложений в курсе геометрии средней школы практически не рассматриваются.

Предметом исследования является методика изучения параллельных, ортогональных и центральных проекций фигур в процессе обучения геометрии в старших классах средней школы.

Предмет, проблема, цель и гипотеза исследования определили его задачи:

5. Проверить эффективность разработанной методики в ходе педагогического эксперимента.

Теоретико-методологической базой диссертационного исследования послужили личностно-ориентированное и творческо-продуктивное направления концепции образования детей; теория управления учебно-воспитательным процессом в школе; концепция деятельностного подхода в обучении; теория дифференциации и индивидуализации обучения.

Среди методов исследования мы выделили следующие: теоретические: анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы, а также диссертационных исследований, связанных с изучением различных видов проекций и их приложений; социопедагогические: анализ школьных учебников и учебных пособий; эмпирические методы наблюдения и опроса, обобщение педагогического опыта; экспериментальные: диагностические методы, анализ продуктов деятельности учащихся, методы статистической обработки экспериментальных данных.

Научная новизна проведенного исследования состоит в том, что

2) выявление методов и средств построения различных видов проекций геометрических фигур;

- Проведен анализ существующих свойств различных видов проекций и разработан авторский подход к изложению доказательств.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается: построением исследования на основе положений современной психологии, дидактики и методики; согласованностью полученных выводов с основными положениями теории и методики обучения математике и концепций школьного математического образования; положительной оценкой учителями и методистами разработанных учебных материалов и методики их использования; результатами опытного обучения и внедрения.

На защиту выносятся следующие положения:

1) Формулировка общей стратегии доказательства;

2) Выделение шагов доказательства;

3) Мотивация выполненных шагов доказательства;

4) Аргументация полученных выводов.

3. Приложения различных видов проекций, которые помогают показать применение математического материала в архитектуре, живописи, черчении

Апробация результатов исследования. Основные положения диссертации, результаты педагогического эксперимента и сделанные по ним выводы получили отражение в докладах и сообщениях на Амурской областной конференции учителей школ и преподавателей средних специальных учебных заведений и вузов (г. Благовещенск, 2000 г.); Амурской областной научно-практическая конференции (г. Благовещенск, 2000 г.); 52-й научно-практической конференции преподавателей и студентов Благовещенского государственного педагогического университета; международной научно-практической конференции (г. Благовещенск, 2002 г.); аспирантских семинарах кафедры методики преподавания математики МПГУ (г. Москва, 2004 г., 2005 г.).

Структура диссертации определена логикой и последовательностью поставленных задач. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ВЫВОДЫ ПО И ГЛАВЕ

Наша методика изучения параллельной, ортогональной и центральной проекций в средней школе заключается в следующем:

1) В общеобразовательной школе при изучении параллельной проекции необходимо сформулировать ее определение и доказать свойства 1.1 и 1.2:

Свойство 1.2 Если отрезок параллелен проектирующей прямой I, то его проекцией является точка. Если отрезок не параллелен проектирующей прямой I, то его проекцией является отрезок.

При углубленном изучении параллельной проекции мы предлагаем доказать следующие свойства:

Свойство 2.1 Если две параллельные прямые параллельны проектирующей прямой I, то их проекциями в направлении этой прямой являются две точки.

Свойство 2.2 Если две параллельные прямые не параллельны проектирующей прямой I, то их проекциями в направлении этой прямой являются или две параллельные прямые или одна прямая.

Свойство 3.1 Отношение отрезков, лежащих на одной прямой, не параллельной проектирующей прямой, равно отношению их проекций.

Затем решить задачи на применение определения и свойств параллельной проекции, на построение параллельных проекций плоских фигур, доказать теорему Польке-Шварца и в заключении рассмотреть систему задач на построение параллельных проекций куба.

В заключение рассмотреть различные приложения параллельной проекции в живописи, черчении, технике, архитектуре.

2) При изучении ортогональной проекции в общеобразовательной школе необходимо отчетливо сказать, что ортогональная проекция есть частный случай параллельной проекции.

Все свойства ортогональной проекции являются следствиями свойств параллельной проекции.

- теорема о трех перпендикулярах;

- теорема о площади ортогональной проекции многоугольника.

Для углубленного изучения ортогональной проекции мы выносим, прежде всего, решение геометрических задач, в которых используется ортогональная проекция как метод решения. Особое место занимает материал, касающийся ортогонального проектирования на две и три взаимно перпендикулярные плоскости и ряд соответствующих задач.

3) Центральная проекция в общеобразовательной школе не расс м атри вается.

Материал, касающийся центральной проекции (при углубленном изучении геометрии) мы предлагаем излагать по следующей схеме:

- Ввести определение центральной проекции:

Пусть даны две пересекающиеся плоскости: предметная плоскость -а и картинная плоскость - со. Точка S — центр проекции, не лежащая в этих плоскостях.

Пусть А — произвольная точка предметной плоскости а; если прямая SA пересекает картинную плоскость ю в точке Af, то А1 называют центральной проекцией точки А предметной плоскости а на картинную плоскость со.

Сформулировать и доказать свойства центральной проекции:

Свойство 1. Центральная проекция есть взаимно однозначное отображение множества точек предметной плоскости а без точек прямой т на множество точек картинной плоскости Р без точек прямой п (где т — прямая предметной плоскости, не имеющая образов на картинной плоскости, an — прямая картинной плоскости, не имеющая прообразов центральной проекции на предметной плоскости).

Свойство 2.1 Если прямая а предметной плоскости а параллельна картинной плоскости со, то ее проекция есть прямая, параллельная самой прямой а.

Свойство 2.2 Если прямая а, лежащая в предметной плоскости а пересекает картинную плоскость со, то ее центральной проекцией является прямая без точки.

Свойство 3.1 Если две параллельные прямые а и Ъ, лежащие в предметной плоскости а, параллельны картинной плоскости со то их центральной проекцией являются две параллельные прямые.

Решить задачи на применение определения и свойств центральной проекции.

При разработке нашей методики обучения решению задач, связанных с использованием различных видов проекций, выделены следующие их основные виды: 1) Первый вид составляют задачи, в которых требуется построить параллельную проекцию данной фигуры. 2) Второй вид составляют принципиально иные задачи, решение которых начинается с рассмотрения уже построенной проекции и заключается либо в восстановлении прообраза, либо в определении свойств прообраза.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты проведенного исследования позволяют сделать следующие выводы:

1. Выполнен анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования. Изучено состояние вопросов построения различных видов проекций как средства изображения плоских и пространственных фигур на плоскости и установлено, что практически не существует разработанной методики изучения этих проекций в школьном курсе геометрии.

В процессе анализа научно-методической и математической литературы рассмотрены различные толкования понятия «изображение геометрических фигур», сформулированы требования, которым должны удовлетворять изображения, выполненные преподавателем в его педагогической работе: верность, наглядность, простота выполнения; описана роль различных видов проекций в изучении геометрии, в технике, черчении, архитектуре, живописи.

2. Описаны теоретические основы изучения различных видов проекций, имеющиеся в школьных и вузовских учебниках по геометрии. Анализ материала, связанного с изучением различных видов проекций показал, что

- В одних учебниках есть материал, связанный с изучением каких-либо проекций, в других - нет;

- В одних учебниках свойства различных видов проекций подробно доказываются, в других - доказательства отсутствуют. Имеющиеся во многих учебных пособиях доказательства нуждаются в корректировке, так как порой представлено не доказательство, а «правдоподобное рассуждение»;

- Число учебных часов, отводимое на изучение материала, связанного с изучением различных видов проекций невелико, а материала порой предлагается очень много. Поэтому объем и содержание учебного материала по изучению проекций должны быть детально продуманы;

- В действующих учебных пособиях практически отсутствуют задачи на построение проекций геометрических фигур. А без этого обучение геометрии становится неэффективным.

3. Сформулированы основные направления, по которым нужно изучать различные виды проекций в условиях дифференцированного обучения:

1) Выявление того минимального объема знаний, которым должны располагать учащиеся общеобразовательной школы при изучении основных видов проекций.

2) Обучение учащихся построению проекций различных геометрических фигур.

3) Отбор содержания и разработка методики изучения различных видов проекций при углубленном изучении курса геометрии.

4) Изучение возможностей применения различных видов проекций в технике, черчении, архитектуре, живописи.

4. Сформулированы наши требования к проведению доказательств и решению задач по различным видам проекций в школьном курсе геометрии:

1) Формулировка общей стратегии доказательства;

2) Выделение шагов доказательства;

3) Мотивация выполненных шагов доказательства;

4) Аргументация полученных выводов.

5. Разработана методика изучения параллельной и ортогональной проекций в общеобразовательной школе и школах и классах с углубленным изучением математики.

При изучении параллельной проекции в общеобразовательной школе мы предлагаем: сформулировать определение и 3 свойства, доказать свойство 1; решить задачи на построение параллельной проекции отрезков, лучей, углов; простые задачи на построение параллельной проекции треугольника и параллелограмма. При углубленном изучении курса геометрии мы предлагаем сформулировать определение параллельной проекции, доказать все свойства, а также кроме решения простых задач рассмотреть решение более сложных задач, теорем о параллельной проекции треугольника, Польке-Шварца; задачи на построение параллельных проекций куба.

При изучении ортогональной проекции в общеобразовательной школе мы предлагаем рассмотреть доказательство по нашей схеме традиционных теорем курса стереометрии: свойство наклонной, теорему о трех перпендикулярах; решить задачи на использование указанных теорем. При углубленном изучении ортогональной проекции мы предлагаем решить задачи курса стереометрии, в которых ортогональное проектирование используется как метод решения. Также здесь мы предлагаем раскрыть суть ортогонального проектирования на две и три плоскости (метод Монжа), решить задачи на применение метода Монжа и рассмотреть задачи, в которых метод Монжа используется как метод решения.

6. Весь материал, касающийся центральной проекции мы предлагаем для углубленного изучения геометрии по следующей схеме:

1. Ввести определение центральной проекции, где картинная и предметная плоскости являются пересекающимися;

2. Рассмотреть с доказательствами по нашей схеме три свойства;

3. Рассмотреть решение задач на применение свойств и построение центральных проекций

По каждому виду проекций приведен материал, который можно привести учащимся для ознакомления их с приложениями проекций в архитектуре, живописи, технике, черчении.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Старшинова, Алевтина Викторовна, Москва

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. - М.: Советское радио, 1970. - 152 с.

2. Адыгезалов А.С. Взаимосвязь обучения стереометрии и черчению в средней школе: Дисс.канд. пед наук. Баку, 1980. - 170 с.

3. Александров А.Д. и др. Геометрия 7-9. М.: Просвещение, 1995. -306 с.

4. Александров А.Д. и др. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/ А.Д. Александров, A.JI. Вернер, В.И. Рыжик. 3-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 1992. -464 с.

5. Александров А.Д. О геометрии// Математика в школе. — 1980. №3. -с.56-62

6. Александров А.Д., Вернер A.JL, Рыжик В.И. Стереометрия. Геометрия в пространстве: Учеб пособие для уч. ст. кл. и абитуриентов. — Висагинас, Alfa, 1998. 576 с. (Библиотека школьника).

7. Ананьев Б.Г. Пространственные различения. JL: Изд-во Ленинградского ун-та, 1955. - 188 с.

8. Анищенко С.А. Лекции по геометрии: учебное пособие. Красноярск. Издательство КГПУ, 1995. 186 с.

9. Апполон. Изобразительное и декоративное искусство. Архитектура: Терминологический словарь/ Под общ. ред. A.M. Кантора. М.: Эллис Лак, 1997.-736 с.

10. Аргунов Б.И. и Литвиненко В.Н. Методические указания по курсу «Элементарная геометрия». М.: Просвещение, 1968. - 16 с.

11. Арлазоров Л.М., Коноплева М.С. Начертательная геометрия. Приложение к учебно-методическому пособию. М.: Просвещение, 1969. -36 с.

12. Артемой А.К. Состав и методика формирования геометрическихумений школьников. Пенза: Приволжское книжное издательство, 1969. -366 с.

13. Арутюнян Е.Б., Левитас Г.Г. Наглядность в преподавании стереометрии. Преподавание геометрии в IX - X классах. - М., Просвещение, 1980, с.97-105.

14. Атанасян J1.C., Базылев В.Т. Геометрия. Учеб.пособие для студентов физ.-мат.фак.пед.ин-тов. В 2 ч. 4.2. М.: Просвещение, 1987. - 352 с.

15. Барыбин К.С. Сборник геометрических задач на доказательство. Пособие для учителей. Утверждено министерством просвещения РСФСР, 2-е изд. -М, 1954.-152 с.

16. Бевз В.Г. О воспитании графической культуры учащихся.// Математика в школе. 1986. -№1. - с.36-38.

17. Бевз Г.П. и др. Геометрия 7-11 кл. М.: Просвещение, 1996. - 530 с.

18. Березанская Е.С., Колмогоров Н.А., Нагибин Ф.Ф., Черкасов Р.С. Сборник задач и вопросов по геометрии. Пособие для учителей ср школы. -М.: Учпедгиз, 1959. - 208 с.

19. Бескин J1.H. Стереометрия. Пособие для учителей средней школы. -М.: Просвещение, 1971. 416 с.

20. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. М., 1985. - 320 с.

21. Большой толковый словарь русского языка /Гл. ред. С.А.Кузнецов. — СПб.: «Норинт», 2002. 1536 с.

22. Ботвинников А.Д. и др. Черчение: Учеб. для 7-8 кл. общеобразоват. учреждений/ А.Д. Ботвинников, В.Н. Виноградов, И.С. Вышнепольский.-б-е изд. М.: Просвещение, 1996. - 222 с.

23. Ботвинников А.Д., Якиманская И.С. Особенности оперирования учащихся разными видами графических изображений. // Известия АПН СССР.- 1968.-Вып. 143.-С 195-231.

24. Брушлинский А.В. Психология мышления и кибернетика. М.: Мысль, 1970.-202 с.

25. Вайткуне JI. Проблемы восприятия пространства и пространственных представлений/ Под ред Б.Г.Ананьева и Б.Ф.Ломова. М.: Изд-во МГУ, 1961.-200 с.

26. Василевский А.Б. Метод параллельных проекций: Пособие для учителя. Мн.: Нар.асвета, 1985. - 128 с.

27. Василевский А.Б. Методы решения геометрических задач- Минск: «Вышэйш. Школа», 1969. — 232 с.

28. Василевский А.Б. Параллельные проекции и решение задач по стереометрии. — Мн.: Нар.асвета, 1978. 104 с.

29. Вахнин Б.М., Кожевников П.И. О развитии пространственных представлений учащихся при изучении геометрии в средней школе // Известия Воронежского ГПИ. Вопросы преподавания математики в средней школе. Воронеж, 1972. - Т. 110. - С 71 -79.

30. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. 4.1. Учебное пособие для физико-математических факультетов педагогических институтов. СПб.: «Специальная Литература», 1997. - 352 с.

31. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. 4.2. Учебное пособие для физико-математических факультетов педагогических институтов. СПб.: «Специальная Литература», 1997. - 320 с.

32. Вернер А.Л., Ходот Т.Г. Стереометрия 7-9. СПб.: Спец лит., 1996. -280 с.

33. Верченко С.Б. Развитие пространственных представлений учащихся при изучении геометрического материала в 4-5 классах средней школы: Дисс.канд. пед наук. М., 1983. - 211 с.

34. Викол Б.А. Формирование элементов исследовательской деятельности при углубленном изучении математики: Автореф. дисс. .канд. пед. наук. -М., 1977. 22 с.

35. Виноградов В.Н., Ройтман И.А. Элементы начертательной геометрии. (Для факультативных занятий). Пособие для учащихся. М.: Просвещение, 1978.-175 с.

36. Владимирский Г.А. Каким должен быть чертеж преподавателя геометрии // Математика в школе. 1998. - № 4. - С.72-78.

37. Владимирский Г.А. Наглядные изображения в параллельных проекциях. Пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1960. - 132 с.

38. Владимирский Г.А. Перспектива. Пособ. для студентов пед. ин-тов. 3-е изд. -М.: Просвещение, 1969. 128 с.

39. Владимирский Г.А. Сборник задач по начертательной геометрии. Пособ. для студентов пед.ин-тов. М.: Просвещение, 1972. - 95 с.

40. Владимирский Г.А. Черчение. Пособ. для студентов пед. ин-тов. 2-е изд. М.: Учпедгиз, 1954. - 176 с.

41. Владимирский Г.А. Экспериментальное обоснование системы и методики упражнений в развитии пространственного воображения// Известия АПН РСФСР. 1949. - Вып.21. - с.95-149.

42. Власова Е.Н. Методика развития пространственных представлений в процессе преподавания проекционного черчения в средней школе: Дисс.канд пед наук. — М, 1952. 187 с.

43. Волошинов А.В. Математика и искусство: Кн. для тех, кто не только любит математику или искусство, но и желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. 2-е изд., дораб. и доп. - М.: Просвещение, 2000. - 399 с.

44. Воронько Т.А. Дидактическая роль теоретических знаний в развитии пространственных представлений учащихся при изучении стереометрии: Дисс. .канд. пед. наук. М., 1992. -203 с.

45. Воротников И.А. Занимательное черчение. Пособие для учащихся. -М.: Просвещение, 1977. 192 с.

46. Вотрогов Р.А. Методы построения изображений: Учеб. пособие. -Хабаровск: Хабаровский ГПИ, 1978. 88 с.

47. Вяльцева И.Г. Особенности методики формирования и развития пространственных представлений учащихся старших классов вечерних (сменных) школ в процессе обучения геометрии: Автореф.дисс.канд.пед.наук. Ярославль, 1972.-21 с.

48. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач: Кн. для учащихся. М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. -192 с.

49. Габович И.Г. О поиске планов решения геометрических задач //Математика в школе. 1983. — № 1. - С. 53-55.

50. Гамезо М.В., Домашенок И.А. Атлас по психологии. М.: Просвещение, 1986. - 160 с.

51. Геометрия: Теория и ее использование для решения задач /Под ред. Г.Н. Яковлева. Минск: Альфа, 1999. - 335 с.

52. Геометрия: Учеб. для 10-11 классов общеобразов. учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, др. 6-е изд. - М.: Просвещение, 1998. - 207 с.

53. Герасимова И.С., Гусев В.А. и др. Сборник задач по геометрии для 9 и 10 классов. М.: Просвещение, 1977.— 141 с.

54. Герасимова И.С., Гусев В.А., Маслова Г.Г., Скопец З.А., Ягодовский М.И. Сборник задач по геометрии для 9 и 10 классов. М.: Просвещение, 1977,- 190 с.

55. Гервер В.А. Творчество на уроках черчения: Книга для учителя. М.: Гуманит.изд.центр ВЛАДОС, 1998. - 144 с.

56. Глейзер Г.Д. Геометрия: Учеб пособие для ст классов общеобразоват. и среднеспец. учеб. заведений. 2-е изд, дораб. - М.: Просвещение: Владос, 1994.-191 с.

57. Глейзер Г.Д. История математики в средней школе. IX — X кл. Пособ. для учителей М.: Просвещение, 1983. - 352 с.

58. Глейзер Г.Д. Методы формирования и развития пространственных представлений школьников в процессе обучения геометрии: Автореф. дисс.канд пед наук. -М., 1979. -45 с.

59. Глейзер Г.Д. Развитие пространственных представлений школьников при обучении геометрии: Научно-исслед. ин-т общего образования взрослых. Акад.пед.наук СССР. М.: Педагогика, 1978. - 104 с.

60. Глейзер Г.Д. Развитие пространственных представлений школьников при изучении геометрии. — М.: Педагогика, 1978. 104 с.

61. Гордон В.О. Черчение плоских и пространственных фигур. Пособие для учителей средней школы. М.: Учпедгиз, 1951. - 264 с.

62. Гордон В.О., Иванов Ю.Б., Солнцева Т.Е. Сборник задач по курсу начертательной геометрии. М.: Наука, 1967. — 351 с.

63. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. — М.: Изд-во «Наука», 1965. 360 с.

64. Гостев А.А. Образная сфера человека/ Рос АН Ин-т психологии, всерос. н.-и. центр традиц. нар. медицины. М., 1992. - 194 с.

65. Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9-10 кл. М.: Просвещение, 1979.-128 с.

66. Грабарь М.И, Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. -М.: Педагогика, 1977. 136 с.

67. Грекулова А.Г., Корнфельд С.Г. Пространственное мышление и его показатели. Воспитательные функции обучения математике в школе: Межвузовский сборник научно-методических трудов. - Куйбышев, Куйбышевский ГПИ, 1985. - с.98-106.

68. Гусев В.А. Геометрия. 5-6 классы: Учебное пособие. М.: ООО «ТИД «Русское слово - РС», 2002. - 256 с.

69. Гусев В.А. и др. Практикум по решению математических задач: Геометрия: Учеб. пособие для физ.-мат. спец. пед. ин-тов/ В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. М.: Просвещение, 1985. - 223 с.

70. Гусев В.А. Методика преподавания курса «Геометрия 6-9». Часть 1. М.: Авангард, 1995.- 100 с.

71. Гусев В.А. Методика преподавания курса «Геометрия 6-9». Часть 2. М.: Авангард, 1996. 127 с.

72. Гусев В.А. Методика преподавания курса «Геометрия 6-9». Часть 3. М.: Авангард, 1997. 137 с.

73. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: Дисс. . д-ра пед. наук. — М., 1990. -364 с.

74. Гусев В.А. Психолого -педагогические основы обучения математике. М.: «Вербум-М», ООО «Издательский центр «Академия»», 2003.-432 с.

75. Даллингер В.А. Чертеж учит думать.// Математика в школе. 1990. -№ 4. - с.32-36.

76. Данилова Е.Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач. -М.: Учпедгиз, 1961. 143 с.

77. Делоне Б. и Житомирский О. Задачник по геометрии. М.: Гос. изд-во физ-мат литературы, 1952. - 518 с.

78. Демидов В.П. Методика обучения решению задач на доказательство в курсе стереометрии средней школы: Дисс. .канд. пед. наук. М., 1959. -241 с.

79. Дружинин Н.С. и др. Черчение: Учебник для техникумов. М.:

80. Высшая школа», 1982. 244 с.

81. Дюбоск Д. Как рисовать перспективу / Пер.с англ. П.А. Самсонов; Худ.обл. М.В. Драко. Мн.: ООО «Попурри», 2001. - 64 с.

82. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Гос. изд-во физ-мат литературы., 1961. - 580 с.

83. Жданова Н.С. Перспектива: Учеб. пособие для студ.учреждений сред.проф.образования . М.: Гуманит.изд.центр ВЛАДОС, 2004. - 224 с.

84. Загорский А.Н. Формирование и развитие пространственных представлений у учащихся в курсе математики восьмилетней школы на основе межпред связей: Автореф. дисс канд пед наук. Л., 1986. - 16 с.

85. Заславский А. Параллельная проекция //Квант. 2001. - № 4. - С. 16-19.

86. Звавич Л.И. Контрольные и проверочные работы по геометрии. 10-11 кл.: Метод.пособие/Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский, Е.В. Такуш. 2-е изд., стереот. - М.: Дрофа, 2002. - 192 с.

87. Зеленин Е.В. Черчение. М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1957. - 388 с.

88. Земляков А.Н. Геометрия в 9 классе. (Методические рекомендации к преподаванию курса геометрии по учебному пособию А.В. Погорелова). Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1985. - 176 с.

89. Зив Б. Г. Задачи к урокам геометрии 7-11 классы. С.-Петербург: НПО «Мир и Семья-95», 1998. - 624 с.

90. Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений / Б.Г, Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. 5-е изд. - М.: Просвещение, 2003. - 271 с.

91. Зив Б.Г. Стереометрия. Дидактические материалы. Устные задачи. 1011 кл.:/ Б.Г. Зив. 1-е изд. - СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2002. - 96 с.

92. Знаменский М.Е. Геометрчисекие фигуры в технических формах. Пособие для учителей средней школы. М.: Учпедгиз, 1960. - 158 с.

93. Ибрагимов Ф.Н. Проблемы формирования пространственных представлений учащихся в обучении математике в начальных классах:

94. Автореф. дисс.канд.пед наук.-Баку, 1982.- 19 с

95. Изаак Д.Ф. Изображение геометрических фигур в средней школе: Автореф. дисс.канд.пед наук. М, 1961. - 15 с.

96. Изаак Д.Ф. Об изображении пространственных фигур // Математика в школе. 1998.- №4.- С.78-81.

97. Изображение плоских и пространственных фигур. Методические рекомендации./ Сост. Т.Г. Ходот. СПб.: Образование, 1993. - 50 с.

98. Ирошников Н.П. Задачи и упражнения в курсе стереометрии как средство развития пространственных представлений и пространственного воображения учащихся: Дисс.канд.пед.наук,-М., 1951. — 164 с.

99. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов воображения в курсе черчения. — В кн.: Формирование и развитие пространственных представлений у учащихся./ Под ред. Четверухина Н.Ф. М.: Просвещение, 1964. - С.75 - 84.

100. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование пространственных представлений в процессе усвоения учащимися проекционного чертежа// Известия АПН РСФСР. 1956. - Вып 76. - С. 153-167.

101. Казаков П.Г. Метод параллельных проекций и его применение для наглядного изображения геометрических фигур и решения конструктивных задач: Автореф. дисс.канд.пед наук. М, 1971. - 20 с.

102. Казаков П.Г. Метод параллельных проекций и его применения для наглядного изображения геометрических фигур и решения конструктивных задач: Дисс.канд пед наук. М., 1966. - 252 с.

103. Казаков П.Г. Параллельные проекции и методы решения конструктивных задач. Пособие для учителя. М.: Учпедгиз, 1960. - 115 с.

104. Калинин А.Ю. Стереометрия 10. Учеб пособ. М.: Изд-во МФТИ, 1996.-256 с.

105. Юб.Камбаров К.И. Развитие пространственного воображения учащихся в процессе обучения решению циклов учебных задач на свойства параллельного проектирования при углубленном изучении математики: Дисс.канд.пед.наук. Кокшетау, 1996. — 186 с.

106. Каплунович И.Я. О структуре пространственного мышления при решении математических задач// Вопросы психологии. 1978. - №3. -С.75-84.

107. Каплунович И .Я. Формирование структуры пространственного мышления учащихся при решении математических задач: Дисс.канд пед наук. -М., 1978.- 175 с.

108. Квасникова З.Я., Поспелов А.И., Ермолаева Е.Н., Калиткин Н.М. Сборник задач по геометрии. Для старших классов ср шк. М.: Просвещение, 1964. - 142 с.

109. О.Киселев А.П. Элементарная геометрия. Книга для учителя. — М.: Просвещение, 1980. 287 с.

110. Киселев А.П., Рыбкин Н.А. Геометрия: Стереометрия: 10-11 кл.: Учебник и задачник. М.: Дрофа, 1995. - 224 с.

111. Клопский В.М. и др. Геометрия 9 класс. Пробный учебник / Под ред. З.А. Скопеца. М.: Просвещение, 1969. - 176 с.

112. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. /Пер. с англ. А.Б. Катка и С.Б. Каток /Под ред. Б. А. Розенфельда и И .Я. Я глома. М.: Наука, 1966. - 648 с.

113. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике, 4.1. - М.: Просвещение, 1977. - 108 с.

114. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике, 4.2. - М.: Просвещение, 1977.- 177с.

115. Пб.Колягин Ю.М. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся средней школы: Дисс. .докт. пед. наук. -М., 1977.-401 с.

116. Кондрушенко Е.М. Формирование пространственных представлений в связи с развитием логического мышления учащихся при изучении начал стереометрии: Дисс. .канд пед наук. М., 1993. - 197 с.

117. Коршунова JI.C. Воображение и его роль в познании. М.: Изд-во Московского ун-та, 1979. — 144 с.

118. Костицин В.Н. Профессиональная подготовка учителя математики в процессе обучения студентов геометрическому моделированию: Дисс. . докт. пед. наук. М., 2001. - 248 с.

119. Куланин Е.Д., Федин С.П., Федяев О.И. Геометрия 10-11 класс.- М.: Рольф, Айрис-пресс, 1997. 416 с.

120. Кушнир И.А. Геометрия. Теоремы и задачи. Том 1. Планиметрия. -Киев: Астарта, 1996. 479 с.

121. Ласвар М.А.С. Методика составления и обучения решению учебных геометрических задач в основной школе Йемена: Дисс. канд.пед.наук. -М, 2005.-202 с.

122. Лащенов М.П. Полные и неполные изображения и их применение в учебном процессе. М.: Учпедгиз, 1963. - 72 с.

123. Левитин К.Е. Геометрическая рапсодия. 2-е изд., переработ, и доп. -М.: Знание, 1984,- 176 с.

124. Лейбин А.С. Изображения и геометрические преобразования. -Харьков: Изд-во Харьковского гос. ун-та им. A.M. Горького, 1954. 51 с.

125. Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности. М.: Знание, 1980.-96 с.

126. Лисова М.И. Обучение учащихся средней школы решению задач на многогранники: Дисс. .канд. пед. наук. Минск, 1985. -.227. с.

127. Лицин Л.Н. Вопросы развития пространственного воображения. -Харьков: Изд-во Харьковского гос. ун-та им. A.M. Горького, 1963. 400 с.

128. Лицин Л.Н. Практикум по начертательной геометрии и проекционному черчению. Учеб. пособие для строительных техникумов. — Харьков.: Изд-во Харьковского ун-та, 1955.- 191 с.

129. Ломов Б.Ф. Формирование графических знаний и навыков учащихся// Под ред. дейст. чл. АПН РСФСР проф Б.Г.Ананьева. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959.-270 с.

130. Лоповок Л.М. Геометрические задачи для X класса //Математика в школе. 1980. - № 4. - С.27-29.

131. Лоповок Л.М. Изображение фигур в стереометрии // Преподавание геометрии в 9-10 классах/ Сост. З.А. Скопец, Р.А. Хабиб. М.: Просвещение, 1980. - С. 158-184.

132. Лоповок Л.М. Сборник стереометрических задач на построение. Пособие для учителей ср. шк.// Под ред. А.Д. Посвянского. М.: Учпедгиз, 1953.-76 с.

133. Мазур В.Г. К вопросу о взаимосвязи геометрии и черчения.// Математика в школе. 1976. - № 6. — С.37-39.

134. Маслова Г.Г. Развитие пространственных представлений учащихся восьмилетней школы при решении задач по геометрии.// Математика в школе. 1964. - №3. - с.36-44.

135. Маслова Г.Г. Развитие пространственных представлений учащихся при решении задач по геометрии в восьмилетней школе// Формирование и развитие пространственных представлений у учащихся/ Под ред Н.Ф.Четверухина. М.: Просвещение, 1964. - С.58 - 75.

136. Математика в понятиях, определениях и терминах. 4.2/ О.В. Мантуров, Ю.К. Солнцев, Ю.И. Соркин, Н.Г. Федин; Под ред. Л.В. Сабинина. М.: Просвещение, 1982.-351 с.

137. Матросов В.Л. Баврин И.И. и др. Формирование исследовательской деятельности в процессе решения задач динамического характера. Обучающая программа: учеб. пособие /И.И. Баврин, В.Л. Матросов, Г.В. Токмазов; МПГУ. М., 2000. - 200 с.

138. Мацько Н.Д. Формирование пространственных представлений у учащихся 1-5 классов в процессе обучения: Дисс.канд.пед.наук. Киев, 1975.- 152 с.

139. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы: Пособ. для учит./ Под ред А.И.Фетисова. М.: Просвещение, 1967. - 271 с.

140. Минасян JI.A. Развитие пространственного воображения учащихся 9-10 классов средней школы в процессе обучения геометрии: Дисс.канд.пед.наук. Ереван, 1983.- 164 с.

141. Минькова Н.П. К вопросу о пространственном мышлении// Вопросы психологических особенностей школьников/ Под ред. В.А.Крутецкого. -М.: Просвещение, 1964. С.228-259.

142. Монж Г. Начертательная геометрия. Перевод В.Ф. Газе./ Под общ.ред. чл.-кор. АН СССР Т.П. Кравца. М. изд. и 1-я тип. Изд-ва Акад. наук СССР в Лгр, 1955.- 191 с.

143. Мухаммадов М. Формирование пространственных представлений учащихся в курсе геометрии старших классов средней школы: Автореф. . дисс.канд пед наук. Ташкент, 1979. - 22 с.

144. Назарете кий В.Е. проекционный чертеж при преподавании стереометрии в 9-х и 10-х классах средней школы: Автореф. .дисс.канд пед наук. М., 1955. - 20 с.

145. Неверовский К. А. Преподавание стереометрии в связи с производственным обучением в средней школе по профессиям токаря-универсала (по металлу) и слесаря-ремонтника: Автореф. . дисс.канд пед наук.-М., 1962,- 19 с.

146. Никитина Г.Н. Задачи на построение в курсе планиметрии как средство развития пространственного мышления и конструктивных умений школьников: Дисс.канд.пед.наук. Ярославль, 1990. - 208 с.

147. Нурмагомедов Д.М. Методика формирования пространственныхпредставлений у младших школьников. Дисс.канд.пед.наук. - М., 1989.-201 с.

148. Обучение основам проецирования. Из опыта работы. Пособие для учителей / Сост. А.Д. Ботвинников, М.: Просвещение, 1975. 191 с.

149. Орехов П.С. Изображения и их применение при решении задач вшколе: Автореф. . дисс. канд. пед. наук. М., 1961. - 16 с.

150. Островский А.И. Начертательная геометрия в популярном изложении. / При ред. участии Н.М. Бескина М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953. -224 с.

151. Павлова А.А., Корзинова Е.И. Графика и черчение: 7-9 классы: Рабочая тетрадь № 2. М.: Гуманит.изд.центр ВЛАДОС, 2000. - 128 с.

152. Панкратов А.А. Связь преподавания геометрии и черчения в средней школе: Автореф. . дис. канд. пед. наук. -М., 1953. 18 с.

153. Паповский В.М., Пульцин Н.М. Углубленное изучение геометрии в 10 классе: Кн.для учителя. М.: Просвещение, 1999. - 189 с.

154. Пардала А. Формирование пространственного воображения учащихся при обучении математике в средней школе (с учетом специфики школы республики Польша): Дисс.докт. пед. наук. М., 1993. - 406 с.

155. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия./ Я.И. Перельман. М.: ООО «Издательство ACT», 2002. - 480 с.

156. Петров С.В. Система упражнений на развитие пространственных представлений и пространственного воображения при изучении начал стереометрии в восьмилетней школе и в 9 кл.: Дисс. . канд. пед. наук. Л., 1974.-179 с.

157. Петров С.В. Система упражнений на развитие пространственных представлений и пространственного воображения при изучении начал стереометрии в восьмилетней школе и в 9 кл.: Автореф. . дисс. канд. пед. наук.-Л., 1974.-19 с.

158. Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия. //Вопросы психологии. 1966. - №4. - С. 121-127.

159. Пикус А.Л. Вопросы теории и методики геометрических построений в пространстве: Автореф. . дисс. канд. пед. наук. Л., 1955. — 19 с.

160. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб для 10-11 классов общеобразоват учреждений/ А.В.Погорелов. 2-е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 128 с.

161. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7 11 кл. сред. шк. - М.:1. Просвещение, 1990. 384 с.

162. Польский И.Г. Проекционный чертеж и построения на нем/ Под ред. А.Р.Зенгина. М.: Госуд. учебно-педаг. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1962,- 112 с

163. Польский И.Г. Сборник задач на построение на проекционном чертеже. М.: Учпедгиз, 1958. - 100 с.

164. Поляков А.Н. Модель, развертка и чертеж в процессе преподавания стереометрии в средней школе: Автореф. . дисс. канд. пед. наук. — Ростов-на-Дону., 1954. 14 с.

165. Понарин Я.Г. Геометрия. Эксперимент, учеб пособие для 7-11 классов общеобразоват учреждений. М.: Владос, 1997. - 465 с.

166. Постнов А. А. Формирование и развитие пространственных представлений у учащихся восьмилетней школы с применением средств наглядности/ на стереометрическом материале: Дисс.канд. пед. наук. М, 1964. - 170 с.

167. Практикум по методике преподавания математики в средней школе. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов./ Т.В. Автономова, С.Б. Верченко, В.А. Гусев и др.; Под ред. В.И. Мишина. М.: Просвещение, 1993. - 192 с.

168. Преображенская Н.Г., Кучукова Т.В., Беляева И.А. Черчение: 7 класс: Рабочая тетрадь № 3. М.: «Вентана-Графф», 2002. - 56 с.

169. Преподавание геометрии в 9-10 классах: Сб. статей /Сост. З.А. Скопец, Р.А. Хабиб. -М.: Посвещение, 1980.-270 с.

170. Проблемы композиции: Сборник научных трудов/ Под ред В.В. Ванислова. М.: Изобраз.искусство, 2000.-292 с.

171. Пугачев А.С. Задачи головоломки по черчению. JL: «Судостроение», 1971.-240 с.

172. Рабинович Е.М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы. Геометрия. М.: Илекса, 2001. - 80 с.

173. Рассохин В.В. и др. Занимательные задачи по проекционномучерчению. Москва - Свердловск.: Машгиз, 1962. - 168 с.

174. Раушенбах Б.В. Геометрия картины и зрительное восприятие. — СПб.: Азбука-классика, 2001. 320 с.

175. Раушенбах Б.В. Системы перспективы в изобразительном искусстве. -М.: Наука, 1986.-256 с.1 77. Ребус Б.М. Пространственное воображение как важная способность к технической деятельности: Дисс.канд.пед.наук. Ставрополь, 1965. -177 с.

176. Рейнгард И.А. Чтение и процесс восприятия «комплексных чертежей»/ Н.Ф. Четверухин «Формирование и развитие пространственных представлений у учащихся». Труды научного семинара под ред. Н.Ф. Четверухина. Вып. 1. -М.: Просвещение, 1964. 154 с. с. 133.

177. Решение задач по математике. Справочник школьника /Сост. Г.М. Якушева, при участии О.А. Смирнова. Под ред. А,С. Барашкова. М.: Филологич. Общество «Слово», 1996. - 640 с.

178. Рийвес З.Ю. Исследование изображений многогранников и их применение в учебном процессе: Автореф. дисс. .канд. пед наук. М., 1967.- 18 с.

179. Роинишвили О. Обучение решению стереометрических задач вычисление в средней школе: Дисс. .канд. пед. наук. Тбилиси, 1984 -140 с.

180. Ройтман И.А. Решение стереометрических задач методом ортогональных проекций// Математика в школе. 1956.- № 6. - С.39-43.

181. Руденко В.Н., Бахурин Г.А., Цукарь А.Я. Геометрия: Проб. учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ В.Н.Руденко, Г.А.Бахурин, А.Я.Цукарь. М.: Просвещение, 1996. -320 с.

182. Рузиев Н. Развитие пространственных представлений учащихся в процессе преподавания планиметрии в восьмилетней школе: Дисс.канд.пед.наук. Ташкент, 1968. - 237 с.

183. Саакян С.М. Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод, рекомендации к учеб.: Кн.для учителя/ С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. - 222 с.

184. Санина Е.И. Методические основы обобщения и систематизации знаний учащихся в процессе обучения математике в средней школе: Дисс. . докт.пед.наук. М., 2002. — 376 с.

185. Санина Е.И. Обобщающее повторение начал стереометрии/ Математика в школе, 1993. — № 6. — С. 12-14.

186. Санина Е.И. Повторение планиметрии в старших классах/ Математика в школе, 1993. 4. С. 24-26.

187. Саранцев Г.И. Теоретические основы методики упражнений по математике в средней школе: Автореф. дисс. .докт. пед наук. Л., 1987. -36 с.

188. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995.-240 с.

189. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995.-240 с.

190. Семушин А.Д. Методика обучению решению задач на построение в стереометрии. М.: Изд-во Акад.пед.наук РСФСР, 1959. - 127 с.

191. Семушин А.Д. Построение и применение изображений в курсе стереометрии в средней школе: Автореф. дисс.канд пед наук. М., 1965. -16 с.

192. Смирнова И.М. В мире многогранников: Кн. для учащихся. М.: Просвещение, 1995. - 144 с.

193. Смирнова И.М. Геометрия: Учеб. пособие для 10-11 кл. естеств.-науч. профиля обучения/ И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. М.: Просвещение, 2001.-239 с.

194. Смирнова И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения: Дисс. . докт.пед.наук. -М., 1995.-364 с.

195. Смирнова И.М. Сборник задач по геометрии в рисунках и тестах. 10-11 кл. М.: Аквариум, 1998. - 128 с.

196. Смирнова И.М. Сборник устных задач и упражнений по геометрии для 10-11 классов средней школы. М.: Аквариум, 1998. - 240 с.

197. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. 10-11 кл.: Методические рекомендации для учителя. В двух частях. 4.1. — М.: Мнемозина, 2003. -255 с.

198. Сокольникова Н.М. Изобразительное искусство: Учебник для уч. 5-8 кл.: В 4 ч. Ч. 1. Основы рисунка. Обнинск: Титул, 2001. - 96 с.

199. Соловьев A.M. Учебный рисунок. -М.: «Искусство», 1953. 240 с.

200. Сорокун П.А. Формирование и развитие у учащихся способности оперировать пространственными представлениями //Уч. записки Ленинградского ГПИ им. А.И. Герцена. Т.477 / Вопросы педагогики и психологии. Псков, 1971. - С. 88 - 101.

201. Сорокун П.А. Формирование пространственных образов у старших школьников. Уч. зап. Псковского ГПИ. Вып. 33. Кафедра педагогики и психологии. — Псков, 1967.-С. 113-125.

202. Справочник по элементарной математике. Геометрия, тригонометрия, векторная алгебра/ Под ред. члена-корр. АН УССР П.Ф. Фильчука. Киев.: Наукова думка, 1967. - 442 с.

203. Суворов С.Г., Суворова Н.С. Машиностроительное черчение в вопросах и ответах: Справочник. М.: Машиностроение, 1984. - 354 с.

204. Тематическое планирование по математике: 10-11 кл.: Кн. для учителя/ Сост. Т.А. Бурмистрова. 2-е изд. - М.: Просвещение, 2004. - 96 с.

205. Терещенко А.Л. Процесс овладения знаниями системы прямоугольных проекций в курсе черчения средней общеобразовательной школы: Дисс. канд. пед наук. М., 1981. - 176 с.

206. Тимощук М.Е. О формировании навыков и умений учащихся при решении задач первых разделов стереометрии. //Математика в школе. -1983.-№6.-С. 39.

207. Ткаченко Н.И. Особенности преподавания черчения в школах рабочей * и сельской молодежи. Пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1952. - 94 с.

208. Федин Н.Г., Федин С.Н. Геометрия: Учеб. Пособие для техникумов. -М.: Высшая школа, 1989. -350 с.

209. Федосеева З.Р. Формирование пространственных представлений учащихся посредством пропедевтики стереометрических знаний в процессе обучения планиметрии: Дисс. .канд. пед. наук. М., 1998. — 164 с.

210. Фетисов А.И. Формирование пространственных представлений при изучении геометрических преобразований// Формирование и развитие пространственных представлений у учащихся/ Под ред. Н.Ф. Четверухина. М.: Просвещение, 1964. - Вып.1. - с.42-58.

211. Фетисова JI.H. К вопросу о развитии пространственного воображения учащихся 4-5 классов в процессе изучения элементов геометрии// Актуальные вопросы методики преподавания математики. М.: МГПИ, 1972.-С. 96-109.

212. Формирование и развитие пространственных представлений у учащихся старших классов./ Под ред. Н.Ф.Четверухина. М.: 1964. - 156 с.

213. Хакимов Г.Ф. Задачи на преобразование формы предметов: Опыт ср.шк. Башкирии.//Школа и производство. 1997. - №5. - С. 82-85. -(черчение)

214. Хасенов М.М. Задачи на мысленное преобразование предметов// Школа и производство. 1990. - С. №9 - С.65-66

215. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. — М.: Издательство АПН РСФСР, 1963.-204 с.

216. Холодная О.В. Методика изучения движений плоскости в основной школе с опорой на образное мышление учащихся: Дисс.канд пед наук. -М., 2002.- 177 с.

217. Цукарь А.Я. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием образного мышления: Дисс. докт. пед. наук. -Новосибирск, 1999. 364 с.

218. Цукарь А.Я. Развитие пространственного воображение. Задания для учащихся. СПб.: Изд-во СОЮЗ, 2000. - 144 с.

219. Цукарь А.Я. Самостоятельная работа учащихся по решению и составлению задач как средство повышения качества знаний по математике (на материале геометрии): Дисс. .канд. пед. наук. М., 1984. - 196 с.

220. Чалов А.Н. Использование канонических проекций для решения стереометрических задач на построение и графическое решение вычислительных задач: Дисс.канд. пед. наук. Ростов-на-Дону, 1960. -276 с.

221. Чалов А.Н. Использование канонических проекций для решения стереометрических задач на построение и графическое решение вычислительных задач: Автореф. дисс.канд пед наук. М., 1960. - 14 с.

222. Четверухин Н.Ф. Изображения фигур в стереометрии. Пособ для учителей и студентов изд. 2-е, перераб. М.: Учпедгиз, 1958. - 216 с.

223. Четверухин Н.Ф. Проблема изображения пространственных фигур в условиях педагогического процесса // Математика в школе. 1998. - № 4. — С.66-72.

224. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. М.: Учпедгиз, 1953. -350 с.

225. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7 (теория, задачи). М.: МИРОС, 1995. -442 с.

226. Шарыгин И.Ф. Математика. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы. М.: Дрофа, 1999. - 304 с.

227. Шарыгин И.Ф. Математический винегрет: 2-е изд., испр. и доп. М.: Мир, 2002.-221 с.

228. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева JI.H. Наглядная геометрия. 5-6 кл.: пособие для общеобразовательных учебных заведений. 3-е изд., стереот. — М.: Дрофа, 2000.- 192 с.

229. Эйдельс JI.M. Элементы математики в черчении. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1969. - 120 с.

230. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П.Савин. М.: Педагогика, 1989. - 352 с.

231. Энциклопедия элементарной математики. 4 книга геометрия. / Ред. В.Г.Болтянский, И.М.Яглом. М.: Госуд изд-во физмат литры, 1963. -568 с.

232. Яглом И.М., Ашкинузе В.Г. Идеи и методы аффинной о проективной геометрии. Часть 1. Аффинная геометрия. М.: Учпедгиз, 1962. - 247 с.

233. Якиманская И.С. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979. -144 с.

234. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. М.: Педагогика, 1980. - 240 с.