автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Конструирование математических задач как средство творческого развития исследовательских способностей учащихся

Автореферат диссертации по теме "Конструирование математических задач как средство творческого развития исследовательских способностей учащихся"

На правах рукописи

Шоркина Людмила Вячеславовна

КОНСТРУИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВО ТВОРЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ

13 00 02 - теория и методика обучения и воспитания (математика в системе начального, среднего и высшего образования)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических

□ ОЗ 174342

Орел - 2007

003174342

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики ФГОУ ВПО «Чувашский государственный университет им. И Н Ульянова»

Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор Мерлина Надежда Ивановна

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор Зайкин Михаил Иванович кандидат физико-математических наук, доцент Батуров Дмитрий Петрович

Ведущая организация ГОУ ВПО «Тольятгинский государственный университет»

Защита состоится 9 ноября 2007 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета К 212 183 03 при Орловском государственном университете, адрес 302026, г Орел, ул Комсомольская, 95

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Орловского государственного университета.

Автореферат разослан 5 октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

СелютинВ Д

Общая характеристика работы Актуальность исследования

В настоящее время во всех отраслях производства требуются хорошо подготовленные специалисты, обладающие исследовательскими умениями и умеющие творчески мыслить Подготовка соответствующих специалистов в первую очередь должна осуществляться в процессе обучения в средней школе, где даются основы научных знаний А для того чтобы знания учащихся были результатом их собственных поисков, необходимо пробудить у учащихся интерес к математике помочь им выйти за рамки школьных учебников, развивать их познавательные и творческие способности В связи с этим возникает необходимость в подготовке преподавателей, владеющих умениями и навыками исследовательской работы

Психологические особенности исследовательской деятельности учащихся рассмотрены в работах А В Брушлннскош, Л С. Выготского, В А Гусева, Г Л Лукан-кина, В А Крутецкого, С Л Рубинштейна, Л М Фридмана Важную роль исследовательской деятельности в обучении отводят М И Зайкин, Т А Иванова, Н И Мерлина, А А Окунев, Г И Саранцев, А А Столяр, А Я Цукарь

Общие педагогические аспекты учебно-исследовательской деятельности отражены в статьях А В Леонтовича, А И Обухова, А С Обухова и др

Во многих тезисах докладов и статьях можно встретить описание или конкретные примеры организации исследовательской деятельности на уроках математики в средней школе, а также на факультативных и кружковых занятиях с приведением исследовательских задач или задач исследовательского характера Среди них можно выделить работы Н Б Бальщок и Ь Ю Огурцовой, Е В Барановой и М И Зай-кина, Т А Воронько, В А Далингера, А Н Дахина, Е А Клюкиной, Н К Костюковой, С Ф Митеневой, М Ю Петровой, Г В Токмазова и др

Различные вопросы и направления использования исследовательской деятельности школьников в процессе обучения математике рассматривались в диссертационных работах И В Клещевой, А В Кузнецова Н А Меньшиковой, Е В Поздняковой, Г В Токмазова и др.

В классических и педагогических университетах вопросами развития творческой активности, в частности исследовательской деятельности будущих педагогов, занимаются Л Д Шиян, А В Ястребов и др Эти вопросы также отражены в диссертационных работах Г В Денисовой, О Н Кендеровой, Г Н Лицман, Т В Самодуровой и др

Одним из средств, способствующих творческому развитию учащихся, является самостоятельное составление (придумывание) задач В учебном процессе самостоятельное составление задач рассматривается как средство активизации этого процесса, установления связи с жизнью, развития творческих способностей и подготовка учащихся к самостоятельной деятельности

Механизм составления задач определяет методику организации деятельности учащихся по выполнению заданий которые должны содержать некоторую заданную ситуацию и цель ее исследования Организация дальнейшей работы по составлению задач зависит от метода поиска нового знания В связи с этим процесс составления задачи можно распределить по следующим этапам

- выбор цели и предмета исследования, на основании которых определяется задачная ситуация,

- анализ полученной ситуации, выявление связей между объектами, поиск закономерностей

При самостоятельном составлении задач применяются такие мыслительные операции, как анализ, синтез, индукция, дедукция, сравнение, конкретизация и обобщение, которые также используются и при исследовательской деятельности

В дальнейшем понятие составления, придумывания, видоизменения и конструирования будем рассматривать как одно понятие

Значительное внимание в школьном образовании уделяется различным приемам конструирования математических задач в работах Г В Дорофеева, Т А Ивановой, Ю М Колягина. Д Пойа, Л Н Скаткина, В Г Фридмана, Л М Фридмана, П М Эрдниева. Некоторые аспекты использования видоизменения математических задач в обучении рассматриваются в кандидатских диссертациях Л П Бестужевой, С Г Губы, Н Н Егулемовой и др Во многих работах они уделяют внимание именно составлению новых задач по исходной, с использованием варьирования ее содержания или некоторых ее данных В работе Л П Бестужевой в рамках специального курса «Практикум по решению задач» приводятся примеры конструирования задач с параметрами Также здесь рассматриваются вопросы формирования исследовательских умений и навыков у будущих преподавателей математики в классических университетах В работах Т А Вороновой, В А Кузнецовой, Н И Мерлиной и других изучены некоторые аспекты дополнительного математического образования школьников

Несмотря на многочисленность публикаций, связанных с вопросом подготовки будущих преподавателей математики в классических университетах, недостаточно внимания уделяется вопросу подготовки будущих преподавателей математики к руководству исследовательской деятельности учащихся В настоящее время введенная в некоторых классических университетах параллельно с основной образовательной программой дополнительная квалификация «Преподаватель» дает возможность частично решить некоторые проблемы В связи с этим в рамках дополнительной квалификации «Преподаватель» по специальности 010101-Математика в Чувашском государственном университете им И Н Ульянова читается специальный курс «Конструирование математических задач», с помощью которого разрешаются некоторые вопросы, касающиеся подготовки будущих преподавателей математики к руководству исследовательской деятельностью учащихся

Таким образом, актуальность темы диссертации определяется отсутствием соответствующего методического обеспечения по конструированию математических задач, способствующего творческому развитию учащихся и благоприятствующего подготовке к научно-практическим конференциям школьников

Проблема диссертационного исследования заключается в выявлении путей, способов и средств использования конструирования алгебраических задач в целях творческого развития учащихся и в подготовке студентов к будущей педагогической деятельности, а именно к руководству исследовательской деятельностью школьников

Цель исследования состоит в разработке теоретических основ и методического обеспечения организации исследовательской математической деятельности студентов и школьников посредством конструирования математических задач

Объектом исследования являются 1) формирование исследовательских умений учащихся 5-9-х классов в процессе конструирования математических задач на факультативных и кружковых занятиях, 2) процесс обучения студентов-математиков классического университета конструированию задач при подготовке их к педагогической деятельности

Предметом исследования служат способы конструирования математических задач в процессе их решения, способствующие развитию творческих и исследовательских способностей учащихся

Гипотеза исследования заключается в том, что конструирование математических задач рассматривается как основное средство, обеспечивающее развитие творческих и исследовательских способностей школьников в процессе проведения факультативных и кружковых занятий

Исходя из цели и выдвинутой гипотезы были поставлены следующие задачи исследования

1 Изучить психолого-педагогические аспекты формирования общих исследовательских умений на основе творческого развития школьников

2 Раскрыть основные виды и способы конструирования алгебраических задач при обучении математике на факультативных занятиях в общеобразовательной школе

3 Разработать методическое обеспечение для систематической работы учащихся и студентов по конструированию математических задач в процессе их решения

4 Разработать методику формирования исследовательских умений и навыков будущего педагога на основе обучения конструированию задач

5 Разработать учебно-методический комплекс по специальному курсу «Конструирование математических задач» для студентов математического факультета Чувашского государственного университета им И Н Ульянова по специальности «Математика» для дополнительной квалификации «Преподаватель»

6 Экспериментально проверить эффективность разработанного методического обеспечения

Теоретико-методологической основой исследования послужили

1 Работы по психочогии деятечьности и психологии личности (Л С Выготский, В В Давыдов, Т Л Иванова, Ю М Колягин, В А Крутецкий, С Л Рубинштейн, М А Холодная и др)

2 Педагогические работы ведущих зарубежных математиков (Г Вейль, Д Пойа)

3 Работы по теории и методике преподавания математики (В А Гусев, Т А Иванова, А Г Мордкович, Г И Саранцев, А А Столяр и др )

4 Работы по теории учебных задач (Г А Балл, Ю М Колягин, В И Крупич, Г И Саранцев, Л М Фридман и др )

5 Научно-педагогические кониепции организации исследовательского обучения школьников (В А Леонтович, Н И Мерлина, А С. Обухов и др )

6 Работы по конструированию математических задач (Д Пойа, Л М Фридман, А Я Цукарь и др )

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования

- изучение и анализ психолого-педагогической, математической и научно-методической литературы по проблеме исследования а также результатов диссертационных исследовании по данной проблеме,

- изучение и обобщение опыта учителей математики по проблеме исследования,

- наблюдение, беседы с учителями, анкетирование учащихся основной школы, анализ письменных работ студентов,

- анализ собственной педагогической деятельности,

- математические методы обработки результатов эксперимента (констатирующий, поисковый и обучающий эксперименты, статистическая обработка и анализ результатов проведенного эксперимента)

Научная новнзна диссертационного исследования заключается в том, что впервые целостно охарактеризованы возможности применения конструирования учащимися математических задач в исследовательской деятельности как средства творческого математического развития школьников

Теоретическая значимость исследования определяется тем, что

- обоснована целесообразность применения комплекса математических, психолого-педагогических и методологических знаний и умений для формирования исследовательских умений и развития творческих способностей школьников,

- раскрыты предпосылки использования конструирования математических задач как средство творческого развития учащихся,

- выделены основные виды и способы конструирования математических задач в процессе изучения спецкурса «Конструирование математических задач»,

- разработан учебно-методический комплекс по специальному курсу «Конструирование математических задач» для студентов математического факультета по дополнительной квалификации «Преподаватель»,

- разработано учебно-методическое пособие по темам исследовательских работ школьников 5-11-х классов

Практическая значимость результатов исследования состоит в том, чго методическое обеспечение обучения учащихся основам исследовательских умений и конструированию математических задач, способствующим развитию их творческого интереса к математике, разработанное в диссертации, может быть непосредственно использовано в школьной практике При этом применение предложенного учебно-методического комплекса по спецкурсу «Конструирование математических задач» возможно при подготовке будущих учитетей математики как в классических университетах, так и в других педагогических вузах

Обоснованность и достоверность выводов и рекомендаций исследования обеспечивается опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, теории и методики обучения математике, использованием методов, адекватных цели и задачам исследования, сочетанием теоретического анализа и практической деятельности по исследуемой проблеме, результатами экспериментальной проверки основных положений диссертации, базой исследования

На защиту выносятся следующие положения

1 Апробированная методика организации исследовательской деятельности по математике в средней школе, основанная на конструировании математических задач с приведением основных этапов, видов и способов конструирования математических задач

2 Учебно-методический комплекс по специальному курсу «Конструирование математических задач», включающий в себя рабочую программу, календарный план, задания для выполнения письменных работ, тестовые задания, лекционный материал и другое для дополнительной квалификации «Преподаватель» по специальности 010101-«Математика» (I и П части)

3 Учебно-методическое пособие «Темы исследовательских работ учащихся 5-11 классов» для студентов, школьников и учителей.

Организация исследования Исследование проводилось поэтапно

На первом этапе (2002-2003 гг) изучалась и анализировалась психолого-педагогическая и научно-методическая литература по проблемам развития тяорче-

ского интереса учащихся к дополнительным занятиям по математике, использования конструирования математических задач в обучении, изучалось состояние исследуемой проблемы в школьной практике, проводился констатирующий эксперимент

На втором этапе (2003-2005 гг) проводился поисковый эксперимент, в ходе которого разрабатывалось методическое обеспечение для обучения школьников и студентов конструированию математических задач Была проведена опытно-экспериментальная работа

На третьем этапе (2005-2007 гг) были проанализированы и обобщены результаты, сформулированы выводы, полученные в ходе теоретического и экспериментального исследования, оформлена диссертационная работа

Апробация основных положений и результатов настоящего исследования проводилась в форме докладов на заседаниях межвузовского научно-методического семинара «Преподавание математики в высшей и средней шкопе» Чувашского государственного университета им И Н Ульянова, на XII международной конференции «Математика в высшем образовании» (Чебоксары, 2004), на региональной научно-методической конференции «Проблемы повышения качества образования в условиях модернизации общества» (Чебоксары, 2004), на II международной научной конференции «Математика Образование Культура» (Тольятти, 2005), на XXIV Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педа1 огиче-ских вузов (Саратов, 2005), на XXV Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных: классах» (Киров, 2006) и на XV международной конференции «Математика в высшем образовании» (Чебоксары 2007)

Внедрение рез}Льтатов диссертационного исследования осуществлялось в ходе экспериментальной проверки разработанного методического обеспечения В эксперименте участвовали учителя школ г Чебоксары Чувашской Республики, учащиеся школ № 6, 37, 53 и ШОД «Поиск» ДДЮТ г Чебоксары, студенты математического факультета Чувашского государственного университета им И Н Ульянова. а также автор диссертации

Личный вклад автора заключается в разработке технологии изучения элементов конструирования математических задач со школьниками на факультативных занятиях, студентами на спецкурсе «Конструирование математических задач», разработке и составлении учебно-методического пособия по темам исследовательских работ для 5-11-х классов, разработке учебно-методического комплекса и пособия по спецкурсу «Конструирование математических задач» для студентов математического факультета, организации и проведении педагогического эксперимента и обработке его результатов

По теме исследования автором опубликована 21 работа (в том числе 7 методических пособий, 10 статей, 4 тезиса докладов)

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии из 251 наименования, включая работы автора, и приложений

Основное содержание работы Во введении обоснована актуальность исследования, поставлена проблема научного поиска, сформулированы цели, задачи и гипотеза исследования, раскрыты научная новизна и практическая значимость работы, определены методологическая основа и методы исследования, выделены основные положения, выносимые на защиту, перечислены этапы исследования

В первой главе «Основные аспекты исследовательской математической деятельности учащихся в средней школе» сделан обзор литературы по раскрытию понятия исследовательской деятельности с точки зрения развития личности учащегося, формирования у него элементов творческого опыта.

В первом параграфе представлены основные философские, психолого-педагогические аспекты понятия исследовательской деятельности как особого вида учебной деятельности и ее роль в развитии школьников Рассматривается учебное исследование как творческий процесс и основные черты исследовательских заданий Анализируются методы организации исследовательской деятельности учащихся

Во втором параграфе рассматривается постановка общих целей исследовательской деятельности учащихся средней школы Приводится методика организации исследовательской деятельности учащихся по математике Рассматривается классификация работ, в некоторой мере относящихся к учебно-исследовательским или исследовательским работам Это творческие и реферативные работы, исследовательские работы Дается принцип работы над материалом и методика оформления исследовательской работы Указывается использование информационных технологий в исследовательской деятельности Выделено несколько основных этапов, включающих навыки, необходимые исследователю 1) оформление исследовательской, научной работы, 2) способы и формы представления данных, 3) компьютерная обработка данных исследования, 4) принципы работы с большим объемом информации

Во второй главе «Конструирование математических задач как средство творческого развития исследовательских способностей учащихся» рассматриваются основные теоретические положения диссертации с практическим применением

В первом параграфе рассматриваются классификации задач и типы исследовательских задач, к которым применимо конструирование

Например, на основе составленной Н А Меньшиковой классификации учебно-исследовательских математических задач приведем виды конструирования задач по этой классификации

> Подготовительные (пропедевтические) задачи для средних классов (5-7-е классы). В основном это задачи на формирование обобщенного способа действий, на смекалку, на конструирование математических объектов, сюжетные задачи

Пример: Из слов три, пять, семь, девять исключите лишнее

Лишним слово можно признать по разным причинам, поэтому задачу можно решить несколькими способами. Вот некоторые из них по количеству букв, по содержанию мягкого знака и т д

Можно составить и следующие задачи

1 Исключите лишнюю фигуру {по приведенным геометрическим фигурам)

2 Исключите лишнее число 2,12, 17, 23

> Логическая цепочка связанных между собой задач, построенная на основе ключевой задачи (8-9-е классы).

Решите в целых числах ху = х + у Найти х, у е Ъ

, 1 7

= 1+-, где х,у е

у-1

у-1

- целое число

1 сл. у -1 = 1 => у = 2 => х = 2

2 сл у-1 = -1 у = О => х = О Ответ (2, 2) и (О, 0)

Обобщение «ключиком» к исходной задаче ху = х + у является выражение

х = 1 + '— Что же можно варьировать7 у-1

В числителе дроби —— можно ставить любое целое число, с помощью кото-у-1

poro получаются новые задачи

2

Например, возьмем в качестве х выражение \ = 1 +-, х,уе Z и из него

у-1

получим исходную задачу Имеем у -1 = ±1, ± 2 (х - lXy — l) = 2. ху = х + у -1-1 Получили новую задачу

В общем случае х = ал—-— Если Ь - простое число, то у —с = ±1,±Ь,

у-с

(х - а\х - с) =Ь

До сих пор меняли только Ь, но задач}' можно видоизменить, меняя а я с

3

Рассмотрим «ключик» в виде г = 2н--, где у —1 = ±1, ±3 Потучили новую

у-1

задачу в следующем виде (x-lXy-l)=3, т е ху = х + 2у + 1

> Конструирование математических задач может быть организовано по принципу пучка задач, связанных общностью идеи решения, которую и должны самостоятельно выдвинуть ученики (10-11-е классы).

Примеры

1 При каких значениях а уравнение имеет два корня |2х - 4[ = а 7

2 Найти чисю решений уравнения sm х = хг

3 Решить уравнение d(x) = 1 - |х|. где dix) — это расстояние от точки х -на оси абсцисс до ближайшего целого числа

Общностью подходов к решению будет использование графических образов на координатной плоскости

> Конструирование математических задач - аналог решения изобретательских задач Здесь идет формирование умений поиска сходства и отличий

Задача про веревку Веревку длиной 35 м разрезали на два куска, один из которых вчетверо длиннее другого Какова длина меньшего куска''

Задача про отиа и сына Отец вчетверо старше сына. Вместе им 35 лет Сколько лет сыну7

Задачи про веревку и про отца с сыном отличаются только сюжетами, а по сути одинаковы Такие задачи называют равносильными

Приведенные задачи обобщим Веревку длиной х м разрезали на два куска, один из которых вчетверо длиннее другого Какова длина меньшего куска7

Во втором параграфе рассматривается определение конструирования математических задач как вид учебной деятельности, который состоит в составлении и исследовании «новой» задачи на основе известных задач за счет включения психолого-педагогических и методических знаний, умений и навыков Если рассмотреть это

определение относительно предмета математики, то «новое» можно определить как самостоятельную постановку и решение этой задачи Относительно образования, в частности конструирования задач, по словам Б С Гершу некого, «нельзя претендовать на получение объективно нового знания В образовании учащийся имеет дело с субъективно новым знанием, новым, прежде всего, для себя»

Приводятся приемы конструирования математических задач (составления), рассматриваемых на факультативных занятиях с учениками 5-9-х классов

В третьем параграфе на примере школы одаренных детей «Поиск» рассматривается анализ некоторых исследовательских математических задач, результаты которых были представлены на школьных, городских и республиканских научно-практических конференциях г Чебоксары Рассматриваются направления методической подготовки работающих учителей школ г Чебоксары Чувашской Республики с приведением статистических данных

В третьей главе «Подготовка будущего учителя к руководству исследовательской деятельностью школьников путем конструирования математических задач» рассматривается программа и методика проведения специального курса «Конструирование математических задач» по дополнительной квалификации «Преподаватель» специальности 010101-Математика.

В первой параграфе приводится описание подготовки студентов классического университета к исследовательской работе в школе

Главной целью решения задач является развитие творческого и математического мышления учащихся, увлечение их математикой, приведение к «открытию» математических фактов Достичь этой цели с помощью одних стандартных задач невозможно, хотя они, безусловно, полезны и необходимы, если даны вовремя и в нужном количестве В связи с этим в процессе обучения необходимо использовать и нестандартные задачи

В основном нестандартные задачи рассматриваются на факультативных и кружковых занятиях по математике Несказанный и богатый опыт по проведению факультативных занятий у учителей с большим стажем работы Набрано достаточное количество материала, отработан определенный подход подачи тем, и есть результат Но как же быть будущим учителям математики в начале своей педагогической деятельности"?

Для разрешения этих и ряда других проблем, возникающих перед учителями (недостаточность времени (средняя недельная нагрузка очень большая), отсутствие необходимой литературы и неумение формулировать темы исследовательских работ) в данном параграфе рассматривается непрерывный процесс подготовки будущего учителя к руководству исследовательской работой школьников Описание подготовки ведется с начала первого курса и до написания дипломной работы Формы учебно-исследовательской работы студентов, способствующих в дальнейшем подготовке школьников к исследовательской деятельности, рассмотрены в двух направлениях в рамках учебного процесса и во внеурочное время

Во втором параграфе рассматривается разработка специального курса «Конструирование математических задач»

Классические формы образовательного процесса в вузах в настоящее время претерпевают изменения благодаря использованию компьютера и сети Интернет Методическая задача преподавателя в этом случае заключается в том, чтобы отучить студентов от зубрежки, привить интерес к изучаемому предмету или спецкурсу, организовать формы самостоятельной работы студентов Преподаватель может извлечь из Интернета разнообразные дополнительные материалы - графические,

справочно-статистические и др Таким образом, повышается оперативность и уровень методической обеспеченности преподаваемых дисциплин Здесь также очень большую роль играют учебно-методические комплексы по изучаемым предметам

Использование информационных технологий, основанных на применении компьютеров, средств телекоммуникаций, мультимедиатехнологий, открывает перед преподавателем новые возможности, т е есть, большую часть материала можно использовать в электронном виде Это и экономия времени, и наглядность материала В связи с этим в процессе педагогической подготовки студентов необходимо привить им умение не только использовать информационные технологии, но и адаптировать их в будущем в своей работе

Темы, рассматриваемые на данном спецкурсе, и материалы, собранные в ходе изучения спецкурса, способствуют подготовке к научно-практическим конференциям школьников и составлению задач разного уровня сложности

В третьем параграфе приводится методика проведения спецкурса «Конструирование математических задач» На данном спецкурсе рассматриваются темы, которые в школьной программе изучаются только частично, в виде ознакомления (а некоторые темы рассматриваются только на дополнительных занятиях) Это темы

1 Решение уравнений в целых и натуральных числах

2 Целая и дробная части числа и связанные с ними задачи

3 Максимум- и минимум-функции

4 Уравнения и неравенства с d(x)

5 Преобразование графиков функций

6 Линейные и квадратные уравнения и неравенства с параметрами и др Темы спецкурса раскрываются по принципу от простого к сложному от частного к общему Рассмотрим лекцию на тему «Преобразование графиков функций»

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, например графический метод решения уравнений (этот метод позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближенные, а иногда и точные значения корней и т п ), графическое решение неравенств и тд Таким образом, во многих случаях некоторые задачи решаются графическим способом быстрее и эффективнее, например задачи с параметрами, где требуется найти количество решений Кроме этого, наглядное изображение дает возможность не только решить данную задачу, но и дает «подсказку» к состав тению на ее основе новых задач

Преобразование графиков можно отнести к нестандартным задачам В школьной программе в достаточном объеме рассматриваются задачи на изучение свойств и построение графиков элементарных функций (линейных, квадратичных, тригонометрических и других функций), но почти не уделяется времени решению задач с помощью преобразования графиков функций Поэтому эту тему можно рассмотреть более подробно на кружковых и факультативных занятиях

Преобразования графиков функций можно распределить на две группы преобразования, не изменяющие масштаб, и преобразования, изменяющие масштаб

В первую группу относятся преобразования функций следующего вида 1) у = /(х) + а -сдвиг по оси ординат (в случае а < О вниз по оси, а при а > 0 вверх по оси), 2) у = f{x + а) -сдвиг по оси абсцисс (в случае а< О вправо по оси, при йг > 0 влево по оси), 3) у = -f{x)-зеркальное отображение относительно оси абсцисс, 4) у = /(-х) - зеркальное отображение относительно оси ординат

Во вторую группу относятся, например, преобразования вида 1) y = kf(x) -сжатие и растяжение графика функции по оси ординат в случае 0 < £ < 1 и & > 1 соответственно, 2) у = f (be) - сжатие и растяжение графика функции по оси абсцисс в случае £>1и0<&<1 соответственно

Задание Предюжитъ студентам салим нарисовать все преобразования, используя модельный график (рис 1) (предложить каждому нарисовать по одному преобразованию на доске) Затем, используя эти преобразования, сформулировать теорию

Все вышеперечисленные преобразования можно произвести с графиками элементарных функций, используя компьютер и графические редакторы, например Advanced Grapher И эта работа может быть предложена ученикам в качестве самостоятельной работы При этом проявится самостоятельность и творческий подход к выполнению задания

Преобразования графиков можно использовать, например, при составлении за-

1

О

Рис 1

дач исследовательского характера

Рис 2

Задача. Сколько решений имеет уравнение вшх = х1г>

Решение Так как в условии задачи требуется только указать количество решений, то это можно найти с помощью графика. Точек пересечений графиков у = зтх и у = хг всего две (рис 2) Значит, уравнение этх = х2 имеет два решения

: = (х——)2 +1 и smx = -

Рис 3

А сколько же решений имеют уравнения -х- (рис 3)?

Таким образом можно составить бесчисленное множество новых задач, которые дают материал для размышления школьникам Аналогично можно поступать с другими преобразованиями графиков

В четвертой параграфе на основе материалов, собранных в ходе эмпирического исследования, представлен анализ методических аспектов. Приводятся результаты эксперимента со школьниками и подробный анализ студенческих работ по спецкурсу «Конструирование математических задач»

Обучающий эксперимент длился с 2003 по 2007 г Цель обучающего эксперимента заключалась в экспериментальной проверке выдвинутой гипотезы исследования, т е изучался вопрос о влиянии умений конструирования математических задач на развитие творческих и исследовательских способностей школьников в процессе проведения факультативных занятий

В данном эксперименте был взят определенный объем и последовательность изучения материала, установленного в рамках программы спецкурса «Решение олимпиадных задач», а также контрольная (КГ) и экспериментальная (ЭГ) группы

учащихся 6А и 6Б, 7А и 7В, 8Л и 8Б, 9А и 9К соответственно 2003-04, 200-1 >05. 2005-06, 2006-07 уч. г. Основным отличием данного эксперимента явилось то, что учащиеся контрольной группы (А класс) не посещали занятия спецкурса в 7-х, 8-х классах соответственно в 2004-05, 2005-06 уч. г. ко независящим от них причинам.

В начале любой работы у школьников возникает интерес к чему-либо новому. Им было очень интересно разбирать новые для себя темы. Уже ва занятиях они задавались вопросами: какие же темы будут рассмотрены в последующих занятиях. Были и такие случаи, когда сами ученики приносили задачи но той или иной теме и предлагали их для решения своим сверстникам.

Измерение интереса к обучению математики на факультативных занятиях проведено по данным письменного анкетирование и устного опроса, проводимых в период с 2003 по 2007 г. в начале каждого учебного года.

Примем за ft — число учеников со сниженным интересом к дополнительным занятиям но математике, а за п2 число учеников, которым интересно заниматься математикой дополнительно.

Номер опроса Учебный год опроса }¡7 ЭГ (Я-15 чел.) и, КГ (/7=15 чел.)

1 2003-04 13 8

2 2004-05 10 5

3 2005-06 9 6

4 2006-07 14 10

Представим результаты опроса в виде диаграммы:

I

Подсчитаем и сравним средние показатели интереса к дополнительным заня-гиям по математике для ЭГ'яКй Вэг ~77%, И «48%.

Действительно, но данным таблицы видно, что познавательный интерес к математике учеников, посещающих факультатив, значительно выше, чем у учащихся, которые занимаются только по программе основного курса.

Изменения интереса к дополнительным занятиям в четвертом опросе в КГ' произошли в связи с необходимостью сдачи итог ового экзамена за основной курс средней общеобразовательной школы.

Во втором году работ ы с учениками ЭГ был заметен спад интереса к дополнительным занятиям. Это можно увидеть и но дщшым диаграммы. Спад интереса, по опросам учителей других предметов и классного руководителя, ощущался ие только по математике, но и по другим направлениям, на кружках по физкультуре, лите-

Диаграмма результатов выполнения тестовых заданий

3

а 4э ъ

3

I

I „

4 О

ЩВ'^}

| □ эг

:аКГ

1 г з

Порядковый номер тс ста

ратуре, музыке и т.д. Это можно объяснись возрастными особенностями, 3 возрасте от 12 до !4 лет у многих школьников проявляется поверхностный интерес ко всему окружающему, неусидчивость и т.д.

Для эффективной работы с учениками Щ начале каждого учебного года проводится открытое анкетирование.

Кроме того, в течение учебного года в ШОД «Поиск» с учениками проводятся тестирования по основному учебному курсу: в начале учебного года, (октябрь) каких одной контроль (контроль остаточных знаний.) н контроль в конце учебного года (май). Материалы тестирования берутся из сборника тестов за основную и среднюю школу. Тесты содержат два вариан та заданий, -время их выполнения рассчитано на 45-50 мин. Сами задания имеют различную сложность, оцениваемую от 1 до 3 баллов.

В тесты включены следующие задания: вычислите значение выражения. упро-

стите выражение, чему равно выражение, разложите на множители, решите уравнение, решите неравенство и т.д.

Приведем процентные данные тестирования в ОГ и КГ. которые в достаточной степени показывают успеваемость по основному курсу математики,

С учетом анкетных данных и результа-. „ „ .. —- " ^ 1 тов Тестирования составляется пренрамеш

работы со uirnjitiiHHiHiui, Кроме тосо бил проведен письменный опрос Классного рукдаодитслл, учителя математики СО.Ш №37 В, В. Гурьяновой л о определению следующих качеств ученика: инициативность, рискованность, любознательность креативность, независимость, ответственность, общие способности, самовыражение.

Выла проведена проверка методики с точки -трения се практической значимости. эффективности и полезности. Для этого были использованы следующие внешние критерии: успеваемость, любознательность, креативность, успехи в различных видах деятельности и др.

Мера совпадения, корреляции между крайними группам« но тесту и критерию оценена с помощью фи-коэффищгеита Гилфорда, где Р = 0,33 - средний показатель вгшщшоети. который показывает, что тест хорошо измеряет определенные качества.

Проведенные исследования показывают, что должна быть разработана система самостоятельной работы не только в старших классах, но и н среднем звене.

Процесс развития исследовательской деятельности учащихся будет наиболее эффективным, если работа над исследовательской работой будет; проведена по следующей схеме:

1, Самостоятельная работа учащихся: выбор темы н задачи, формулировка гипотезы; выбор объекта; анализ результатов и выводов.

2. Консультационная работа, руководителя: создание теоретической базы; подбор методики иод задачу; составление плана работы; составление плана презентации.

Работа с учениками школы № 37 ведется по данной схеме.

Таким образом, анализ научiю-жследовтельсхих работ учащихся, наблюдение за их исследовательской деятельностью свидетельствуют о развитии пшнава-

тельных функций школьников, их умении критически оценивать различные подходы к решению исследовательских задач, освоении опыта творческой деятельности, умении грамотно и доступно излагать результаты исследований Создание условий для исследовательской деятельности школьников позволяет получить качественное образование, обеспечить конкурентоспособность выпускников при поступлении в вузы и помогает реализовать их жизненные цели

Аналогичные исследования были проведены со студентами III курса математического факультета (2004-05 уч г) и студентами-информатиками Алатырского филиала Чувашского государственного университета им И Н Ульянова

Результаты успеваемости студентов V курса 2006-07 у1! г математического факультета Чувашского государственного университета им И Н Ульянова на спецкурсе «Практикум но элементарной математике» в ЭГ и КГ (студенты, которые не посещали спецкурс «Конструирование математических задач») показывают положительное влияние спецкурса «Конструирование математических задач» на творческий подход решения задач Также в решении задач спецкурса «Практикум по элементарной математике» студентами ЭГ проявляются элементы исследования самостоятельный перенос знаний и умений в решение новой (данной) задачи, самостоятельное комбинирование известных способов решении в данной задаче, выявление взаимосвязей элементов объекта, нестандартное решение задач, применение графического и алгебраического способа решений и т д

Номер задания Выполненные задания, %

ЭГ КГ

1 16,6 13

2 25 16

3 41,7 35,5

4 41,7 25,8

5 50 25 8

6 50 25,8

7 50 22.6

8 0 29

Ср знач 29,4 24,2

Средний балл самостоятельной работы

ЭГ КГ

0,96 0,46

Результаты 41-й студенческой научно-практической конференции «Юность большой Волги» (за 2006-07 уч г), публикаций в сборниках тезисов и статей показывают творческое развитие исследовательских способностей студентов ЭГ, а именно последовательное и правильное логическое рассмотрение исследуемой проблемы, умение ставить новые проблемы, умение сопоставлять выводы

В заключении подводятся итоги проведенного исследования Результаты, полученные в ходе эксперимента, излагаются в единстве с выводами, сделанными в теоретической части

Приложение включает в себя тематику и программу факультативных занятий с учениками СОШ № 6, 37, 53 и ШОД «Поиск» г Чебоксары Чувашской Республики, УМК по спецкурсу «Конструирование математических задач», в котором вторая часть может быть использована и как задачник, и как методическое пособие для

учителей при проведении дополнительных занятий, тематику научно-исследовательских работ школьников г. Чебоксары за 2000-2006 гг, которую также учителя могут использовать при подготовке к научно-практическим конференциям школьников, результаты успеваемости студентов V курса 2006-07 уч г математического факультета Чувашского государственного университета им И Н Ульянова на спецкурсе «Практикум по элементарной математике» в ЭГ и КГ

В процессе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с его целями и задачами получены следующие результаты

1 Рассмотрены основные философские, психолого-педагогические аспекты понятия исследовательской деятельности как особого вида учебной деятельности и ее роль в развитии школьников Исследовательская деятельность представлена как творческий процесс приведены основные черты исследовательских заданий В психолого-педагогической литературе определение творчества рассматривается с точки зрения деятельности, которая способствует созданию, открытию чего-либо ранее неизвестного для данного субъекта Исходя из этого сделан следующий вывод творчество - это исследование

Для формирования основных исследовательских умений приведена методика организации исследовательской деятельности с использованием информационных технологий Также для улучшения работы учителей, студентов и учащихся по подготовке к научно-практическим конференциям (работы которых должны содержать исследовательский характер) разработано учебно-методическое пособие с основными положениями, описанием методики организации и проведения исследовательской работы

2 Приведены основные этапы, виды и способы конструирования математических задач на факультативных занятиях в 5-9-х классах средней общеобразовательной школы, где конструирование математических задач рассматривается как средство творческого развития учащихся

3 Исследовательские умения и навыки формируются в процессе решения и конструирования математических задач, поэтому разработано методическое пособие для систематической работы учащихся и студентов по их решению и конструированию Данное методическое пособие является частью учебно-методического комплекса по спецкурсу «Конструирование математических задач»

4 Экспериментальная проверка эффективности разработанного методического обеспечения на практике показала доступность ее реализации в общеобразовательной школе на факультативных занятиях

Разработанная методика может быть использована учителями математики, студентами при подготовке и проведении факультативных занятий для формирования общих исследовательских умений и развития творческих способностей учащихся

Публикации. Основное содержание диссертации и результаты исследования отражены в следующих публикациях автора

Статьи в рецензируемых журналах и изданиях, рекомендованных ВАК

1 Шоркина, Л В Учебно-методические комплексы и дополнительная квалификация «Преподаватель» специальности 010101-Математика (на примере спецкурса «Конструирование математических задач») [Текст] / Л В Шоркина, Н И. Мерлина // Вестник Чувашского Университета. Гуманитарные науки - Чебоксары Изд-во Чуваш ун-та,2006 -№3 -С 354-365 -Библиогр с 364 (0,97 п.л)

Работы в материалах Всероссийских и Международных конференций

2 Шоркина, Л В Научно-исследовательская работа студентов как форма самостоятельной творческой учебно-исследовательской деятельности [Текст] / Л В Шоркина // Материалы региональной научно-методической конференции «Проблемы повышения качества образования в условиях модернизации общества» 11-12 ноября 2004 г - Чебоксары Изд-во Чуваш ун-та, 2004 - С 258-261 - Биб-лиогр с 261.(0,24пл)

3 Шоркина, Л В Организация учебно-исследовательской деятельности учащихся в средней школе [Текст] / Л В Шоркина // XII Международная конференция «Математика в высшем образовании» сборник тезисов Чебоксары, 24-30 мая 2004 г — Чебоксары Изд-во Чуваш ун-та, 2004 - С 103 -Библиогр с 103 (0,06пл)

4 Шоркина, Л В Об одном спецкурсе для дополнительной квалификации «Преподаватель» по специальности 010100-Математика [Текст] / Л В Шоркина// 57 Герценовские международные чтения «Проблемы теории и практики обучения математике» сборник научных работ - СПб Изд-во РГПУ, 2004 - С 273-274 -Библиогр с 274 (0,13 п л)

5 Шоркина, Л В Конструирование математических задач и развитие творческого и математического мышления школьников [Текст] / Л В Шоркина // Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики межвузовский сборник научных трудов Выпуск 7 - Калуга Изд-во КГТ1У, 2005 - С 105-113 - Библиогр с 112-113. (0,56 пл.)

6 Шоркина. Л В Учебно-исследовательская математическая деятельность учащихся [Текст] / Л В Шоркина // XXIV Всероссийский семинар преподавателей университетов и педагогических вузов «Современные проблемы школьного и вузовского математического образования» сборник тезисов Саратов, 21-23 сентября

2005 г -М, Саратов, 2005 -С 200-201 (0,12пл)

7 Шоркина, Л В Специфика учебно-исследовательской и научно-исследовательской математической деятельности в средней школе [Текст] / Л В. Шоркина // II Международная научная конференция «Математика Образование Культура» сборник трудов в 3-х ч Ч 2 Тольятти, 1-3 ноября 2005 г - Тольятти ТГУ, 2005 -С «6-88 - Библиогр .с 88 (0,19 п л )

8 Шоркина Л В Об опыте организации педагогической практики студентов математического факультета Чувашского государственного университета для дополнительной квалификации «Преподаватель» [Текст] / Л В Шоркина, А В Мерлин, Н.И Мерлина // Математическое образование и наука в педвузах на современном этапе сборник научных трудов — Пермь, 2006 — С 140-144 - Библиогр с 143-144 (0,31 пл)

9 Шоркина, Л В Городская научно-практическая конференция и учебно-исследовательская математическая деятельность школьников / Л В Шоркина // Математическое образование и наука в педвузах на современном этапе сборник научных трудов -Пермь, 2006 -С 248-252 -Библиогр с 251-252 (0,31 пл)

10 Шоркина, Л В Некоторые проблемы подготовки будущего учителя математики к руководству научно-исследовательской деятельностью школьников [Текст] / Л В Шоркина // Материалы XXV Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах» 20-22 сентября 2006 г — Киров,

2006 - С 191-193 -Библиогр-с 193 (0,19пл)

11 Шоркина, Л В Исследовательская деятельность и конструирование математических задач [Текст] / Л В Шоркина // Современные методы физико-математи-

ческих наук труды международной конференции Орел, 9-14 октября 2006 г -Орел ОГУ,2006 -Т З.-С 230-233 -Библиогр с 232-233 (0,5 пл)

12 Шоркина, Л В Роль учебной задачи в развитии творческого мышления на уроке математики [Текст] / Л В Шоркина, Е В Володина // Задачи в обучении математике теория, опыт, инновации сборник научных трудов — Вологда, 2007 -С 270-275 -Библиогр. с 275 (0,38пл)

13 Шоркина, Л В Творческая и исследовательская деятельность школьников 5-9 классов на факультативных занятиях [Текст] / Л В Шоркина, Е В Володина // III Международная научная конференция «Математика Образование Культура» сборник трудов в 4-х ч 4 3 - Тольятти, 2007 - С 258-261 -Библиогр с 261 (0,25 п л )

14 Шоркина, Л В Исследовательская деятельность учащихся в средней школе [Текст] / Л В Шоркина // Материалы XV международной конференции «Математика Образование» 28 мая - 2 июня 2007 г - Чебоксары. Изд-во Чуваш ун-та, 2007 -С 168 -Библиогр с 168 (0,06пл)

Методические и учебно-методическне пособия

15 Седьмой турнир юных математиков Чувашии 5-11 классы (3, 4, 5 января 2003 года) Метод указания [Текст] / А В Мерлин, Н И. Мерлина, Л В. Шоркина и др — Чебоксары Изд-во Чуваш ун-та, 2003 — 80 с - 300 экз (4,65 п л, вклад соискателя- 10 %)

16 Восьмой турнир юных математиков Чувашии 5-11 классы метод пособие [Текст]/сост AB. Мерлин, НИ Мерлина, Л В Шоркина и др - Чебоксары Изд-во Чуваш ун-та, 2004 — 90 с - 300 экз (5,35 п л , вклад соискателя - 10 %)

17 Девятый турнир юных математиков Чувашии 5-11 классы метод пособие [Текст] / сост А В Мерлин, Н И Мерлина, Л В Шоркина и др - Чебоксары Изд-во Чуваш ун-та, 2005 — 88 с — 300 экз (5,11 п л , вклад соискателя - 10 %)

18 Десятый турнир юных математиков Чувашии 5-11 классы метод пособие [Текст] / сост А В Мерлин, Н И Мерлина, Л В Шоркина и др - Чебоксары Изд-во Чуваш ун-та, 2006 - 96 с - 300 экз. (5,58 п л, вклад соискателя - 10 %)

19 Темы исследовательских работ по математике для учащихся 5-11 классов учеб -метод пособие [Текст] / авт -сост Н И Мерлина, Л В Шоркина. - Чебоксары Изд-во Чуваш ун-та, 2006 - 80 с - 200 экз (4, 65 п л , вклад соискателя - 50 %)

20 Шоркина, Л В Конструирование математических задач учеб -метод комплекс ЧI / Л В Шоркина, А В Мерлин, Н И Мерлина - Чебоксары Изд-во Чуваш ун-та, 2007. - 48 с - 300 экз (2,79 п л , вклад соискателя - 33 %)

21 Конструирование математических задач учеб -метод комплекс ЧII / авт А В Мерлин, Н И Мерлина, Л В Шоркина. - Чебоксары Изд-во Чуваш ун-та, Чебоксары, 2007 - 120 с - 300 экз (4,97 п л, вклад соискателя - 33 %)

Шоркина Л В

Конструирование математических задач как средство творческого развития исследовательских способностей учащихся автореф дис канд пед наук — Орел, 2007 -18 с

Подписано в печать 03 10 07 Формат 60\84/16 Печать офсетная Уел -печ л 1,03 Уч-изд л 1,5 Тираж 100 экз Заказ N¿^06

Отпечатано с гогового оригинал-макета в типографии Чувашского государственного университета им И Н Ульянова

428015, г Чебоксары, Московский просп, 15

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Шоркина, Людмила Вячеславовна, 2007 год

Введение.

Глава 1. Основные аспекты исследовательской математической деятельности учащихся в средней школе.

1.1. Философские, психолого-педагогические аспекты понятия исследовательской математической деятельности учащихся.

1.2. Организация исследовательской математической деятельности учащихся.

Выводы по главе 1.

Глава 2. Конструирование математических задач как средство творческого развития исследовательских способностей учащихся.

2.1. Виды конструирования математических задач, способствующих формированию исследовательских умений школьников.

2.2. Конструирование математических задач на факультативных занятиях в 5-9 классах.

2.3. Анализ научно-исследовательских работ школьников г. Чебоксары.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Подготовка будущего учителя математики к руководству исследовательской деятельностью школьников путем конструирования математических задач.

3.1. Подготовка студентов университета к руководству исследовательской работой в школе.

3.2. Спецкурс «Конструирование математических задач».

3.3. Методика проведения спецкурса «Конструирование математических задач».

3.4. Организация педагогического эксперимента и его результаты.

Выводы по главе 3.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Конструирование математических задач как средство творческого развития исследовательских способностей учащихся"

В настоящее время во всех отраслях производства требуются хорошо подготовленные специалисты, обладающие исследовательскими умениями и умеющие творчески мыслить. Подготовка соответствующих специалистов в первую очередь должна осуществляться в процессе обучения в средней школе, где даются основы научных знаний. А для того, чтобы знания учащихся были результатом их собственных поисков, необходимо пробудить у учащихся интерес к математике, помочь им выйти за рамки школьных учебников, развивать их познавательные и творческие способности. В связи с этим возникает необходимость в подготовке преподавателей, владеющих умениями и навыками исследовательской работы.

Психологические особенности исследовательской деятельности учащихся рассмотрены в работах А.В. Брушлинского, JI.C. Выготского, В.А. Гусева, Г.Л. Луканкина, В.А. Крутецкого, С.Л. Рубинштейна, Л.М. Фридмана. Важную роль исследовательской деятельности в обучении отводят М.И. Зайкин, Т.А. Иванова, Н.И. Мерлина, А.А. Окунев, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, А.Я. Цукарь.

Общие педагогические аспекты учебно-исследовательской деятельности отражены в статьях А.В. Леонтовича, А.И. Обухова, А.С. Обухова и др.

Во многих тезисах докладов и статьях можно встретить описание или конкретные примеры организации исследовательской деятельности на уроках математики в средней школе, а также на факультативных и кружковых занятиях, с приведением исследовательских задач или задач исследовательского характера. Среди них можно выделить работы Н.Б. Бальцюк и Е.Ю. Огурцовой, Е.В. Барановой и М.И. Зайкина, Т.А. Воронько, В.А. Да-лингера, А.Н. Дахина, Е.А. Клюкиной, Н.К. Костюковой, С.Ф. Митеневой, М.Ю. Петровой, Г.В. Токмазова и др.

Различные вопросы и направления использования исследовательской деятельности школьников в процессе обучения математике рассматривались в диссертационных работах И.В. Клещевой, А.В. Кузнецова, Н.А. Меньшиковой, Е.В. Поздняковой, Г.В. Токмазова и др.

В классических и педагогических университетах вопросами развития творческой активности, а в частности исследовательской деятельности будущих педагогов занимаются Л.Д. Шиян, А.В. Ястребов и др. Эти вопросы также отражены в диссертационных работах Г.В. Денисовой, О.Н. Кендеро-вой, Г.Н. Лицман, Т.В. Самодуровой и др.

Одним из средств, способствующих творческому развитию учащихся, является самостоятельное составление (придумывание) задач. В учебном процессе самостоятельное составление задач рассматривается как средство активизации этого процесса, установления связи с жизнью, развития творческих способностей и подготовка учащихся к самостоятельной деятельности.

Механизм составления задач определяет методику организации деятельности учащихся по выполнению заданий, которые должны содержать некоторую задачную ситуацию и цель ее исследования. Организация дальнейшей работы по составлению задач зависит от метода поиска нового знания. Поэтому процесс составления задачи можно распределить по следующим этапам:

- выбор цели и предмета исследования, на основании которых определяется задачная ситуация;

- анализ полученной ситуации, выявление связей между объектами, поиск закономерностей.

При самостоятельном составлении задач применяются такие мыслительные операции как анализ, синтез, индукция, дедукция, сравнение, конкретизация и обобщение, которые также используются и при исследовательской деятельности.

В дальнейшем понятия составление, придумывание, видоизменение и конструирование будем рассматривать как одно понятие.

Значительное внимание в школьном образовании уделяется различным приемам конструирования математических задач в работах Г.В. Дорофеева,

Т.А. Ивановой, Ю.М. Колягина, Д. Пойа, JI.H. Скаткина, В.Г. Фридмана, JI.M. Фридмана, П.М. Эрдниева. Некоторые аспекты использования видоизменения математических задач в обучении рассматриваются в кандидатских диссертациях Л.П. Бестужевой, С.Г. Губы, Н.Н. Егулемовой и др. Во многих работах они уделяют внимание именно составлению новых задач по исходной, с использованием варьирования ее содержания или некоторых ее данных. В работе Л.П. Бестужевой в рамках специального курса «Практикума по решению задач» приводятся примеры конструирования задач с параметрами. Также здесь рассматриваются вопросы формирования исследовательских умений и навыков у будущих преподавателей математики в классических университетах. В работах Т.А Вороновой, В.А. Кузнецовой, Н.И. Мерлиной и др. изучены некоторые аспекты дополнительного образования.

Несмотря на многочисленность публикаций, связанных с вопросом подготовки будущих преподавателей математики в классических университетах, недостаточно внимания уделяется вопросу подготовки будущих преподавателей математики к руководству исследовательской деятельности учащихся. В настоящее время введенное в некоторых классических университетах параллельно с основной образовательной программой дополнительная квалификация «Преподаватель» дает возможность частично решить некоторые проблемы. Поэтому в рамках дополнительной квалификации «Преподаватель» по специальности 010101-Математика в Чувашском государственном университете им. И.Н. Ульянова на занятиях специального курса «Конструирование математических задач» постарались разрешить некоторые вопросы, касающиеся подготовки будущих преподавателей математики к руководству исследовательской деятельностью учащихся.

Таким образом, актуальность темы диссертации определяется отсутствием соответствующего методического обеспечения по конструированию математических задач, способствующего творческому развитию учащихся и благоприятствующего подготовке к научно-практическим конференциям школьников.

Проблема диссертационного исследования заключается в выявлении путей, способов и средств использования конструирования алгебраических задач в целях творческого развития учащихся и в подготовке студентов к будущей педагогической деятельности, а именно, в руководстве исследовательской деятельностью школьников.

Цель исследования состоит в разработке теоретических основ и методического обеспечения организации исследовательской математической деятельности студентов и школьников посредством конструирования математических задач.

Объектом исследования являются: 1) формирование исследовательских умений учащихся 5-9 классов в процессе конструирования математических задач на факультативных и кружковых занятиях; 2) процесс обучения студентов-математиков классического университета конструированию задач при подготовке их к педагогической деятельности.

Предметом исследования служат способы конструирования математических задач в процессе их решения, способствующие развитию творческих и исследовательских способностей учащихся.

Гипотеза исследования заключается в том, что конструирование математических задач рассматривается как основное средство, обеспечивающее развитие творческих и исследовательских способностей школьников в процессе проведения факультативных и кружковых занятий.

Для достижения поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы были поставлены следующие задачи исследования:

1. Изучить психолого-педагогические аспекты формирования общих исследовательских умений на основе творческого развития школьников.

2. Раскрыть основные виды и способы конструирования алгебраических задач при обучении математике на факультативных занятиях в общеобразовательной школе.

3. Разработать методическое обеспечение для систематической работы учащихся и студентов по конструированию математических задач в процессе их решения.

4. Разработать методику формирования исследовательских умений и навыков будущего педагога на основе обучения конструированию задач.

5. Разработать учебно-методический комплекс по специальному курсу «Конструирование математических задач» для студентов математического факультета Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова по специальности «Математика» для дополнительной квалификации «Преподаватель».

6. Экспериментально проверить эффективность разработанного методического обеспечения.

Теоретико-методологической основой исследования послужили работы:

1. По психологии деятельности и психологии личности (JI.C. Выготский, В.В. Давыдов, Т.А. Иванова, Ю.М. Колягин, В.А. Крутецкий, C.JI. Рубинштейн, МА. Холодная и др.).

2. Педагогические работы ведущих зарубежных математиков (Г. Вей-ль, Д. Пойа).

3. По теории и методике преподавания математики (В.А. Гусев, Т.А. Иванова, А.Г. Мордкович, Г. И. Саранцев, А.А. Столяр и др.).

4. По теории учебных задач (Г.А. Балл, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман и др.).

5. Научно-педагогические концепции организации исследовательского обучения школьников (В.А. Леонтович, Н.И. Мерлина, А.С. Обухов и др.).

6. По конструированию математических задач (Д. Пойа, Л.М. Фридман, А .Я Цукарь и др.).

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

- изучение и анализ психолого-педагогической, математической и научно-методической литературы по проблеме исследования, а также результатов диссертационных исследований по данной проблеме;

- изучение и обобщение опыта учителей математики по проблеме исследования;

- наблюдение, беседы с учителями, анкетирование учащихся основной школы, анализ письменных работ студентов;

- анализ собственной педагогической деятельности;

- математические методы обработки результатов эксперимента (констатирующий, поисковый и обучающий эксперименты; статистическая обработка и анализ результатов проведенного эксперимента).

Научная новизна диссертационного исследования заключается в том, что впервые целостно охарактеризованы возможности применения конструирования учащимися математических задач в исследовательской деятельности как средства творческого математического развития школьников.

Теоретическая значимость исследования определяется тем, что:

- обоснована целесообразность применения комплекса математических, психолого-педагогических и методологических знаний и умений для формирования исследовательских умений и развития творческих способностей школьников;

- раскрыты предпосылки использования конструирования математических задач как средство творческого развития учащихся;

- выделены основные виды и способы конструирования математических задач в процессе изучения спецкурса «Конструирование математических задач»;

- разработан учебно-методический комплекс по специальному курсу «Конструирование математических задач» для студентов математического факультета по дополнительной квалификации «Преподаватель»;

- разработано учебно-методическое пособие по темам исследовательских работ школьников 5-11 классов.

Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что методическое обеспечение обучения учащихся основам исследовательских умений и конструированию математических задач, способствующим развитию их творческого интереса к математике, разработанное в диссертации, может быть непосредственно использовано в школьной практике. При этом применение предложенного учебно-методического комплекса по спецкурсу «Конструирование математических задач» возможно при подготовке будущих учителей математики как в классических университетах, так и в других педагогических вузах.

Обоснованность н достоверность выводов и рекомендаций исследования обеспечивается опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, теории и методики обучения математике; использованием методов, адекватных цели и задачам исследования; сочетанием теоретического анализа и практической деятельности по исследуемой проблеме; результатами экспериментальной проверки основных положений диссертации; базой исследования.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Апробированная методика организации исследовательской деятельности по математике в средней школе, основанная на конструировании математических задач с приведением основных этапов, видов и способов конструирования математических задач;

2. Учебно-методический комплекс по специальному курсу «Конструирование математических задач», включающий в себя рабочую программу, календарный план, задания для выполнения письменных работ, тестовые задания, лекционный материал и др. для дополнительной квалификации «Преподаватель» по специальности 010101 «Математика» (I и II части).

3. Учебно-методическое пособие «Темы исследовательских работ учащихся 5-11 классов» для студентов, школьников и учителей.

Организация исследования. Исследование проводилось поэтапно.

На первом этапе (2002-2003 г.г.) изучалась и анализировалась психолого-педагогическая и научно-методическая литература по проблемам развития творческого интереса учащихся к дополнительным занятиям по математике, использования конструирования математических задач в обучении; изучалось состояние исследуемой проблемы в школьной практике; проводился констатирующий эксперимент.

На втором этапе (2003-2005 г.г.) проводился поисковый эксперимент, в ходе которого разрабатывалось методическое обеспечение для обучения школьников и студентов конструированию математических задач. Была проведена опытно-экспериментальная работа.

На третьем этапе (2005-2007 г.г.) проанализированы и обобщены результаты, сформулированы выводы, полученные в ходе теоретического и экспериментального исследования; оформлена диссертационная работа.

Апробация основных положений и результатов настоящего исследования проводилась в форме докладов на заседаниях межвузовского научно-методического семинара «Преподавание математики в высшей и средней школе» Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова, на XII международной конференции «Математика в высшем образовании» (Чебоксары, 2004), в региональной научно-методической конференции «Проблемы повышения качества образования в условиях модернизации общества» (Чебоксары, 2004), во II международной научной конференции «Математика. Образование. Культура» (Тольятти, 2005), в XXIV Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Саратов, 2005) и в XXV Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах» (Киров, 2006).

Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось в ходе экспериментальной проверки разработанного методического обеспечения. В эксперименте участвовали учителя школ г. Чебоксары Чувашской Республики, учащиеся школ № 6, 37, 53 и ШОД «Поиск» ДДЮТ г. Чебоксары, студенты математического факультета Чувашского государственного университета им И.Н. Ульянова, а также автор диссертации.

Личный вклад автора заключается в разработке технологии изучения элементов конструирования математических задач со школьниками на факультативных занятиях, студентами на спецкурсе «Конструирование математических задач»; разработке и составлении учебно-методического пособия по темам исследовательских работ для 5-11 классов; разработке учебно-методического комплекса и пособия по спецкурсу «Конструирование математических задач» для студентов математического факультета; организации и проведении педагогического эксперимента и обработке его результатов.

По теме исследования автором опубликовано 21 работа (в том числе 7 методических пособий, 10 статей, 4 тезиса докладов).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Библиография составляет 251 наименований.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

8. Заключение содержит выводы, отвечающие на вопросы поставленных задач в виде сжато изложенных пунктов, к которым автор пришел в процессе анализа собранного материала. При этом желательно подчеркнуть их самостоятельность, новизну, теоретическое или практическое значение результатов.

Можно также кратко изложить основные моменты, достигнутые в настоящем исследовании, рассмотреть спорные материалы и наметить задачи дальнейших исследований.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Шоркина, Людмила Вячеславовна, Орел

1. В приложении помещаются дополнительные материалы, которые способствуют лучшему пониманию полученных автором результатов. А в основном тексте должны быть ссылки к ним.

2. Текст работы печатается на стандартных страницах белой бумаги формата А4 с одной стороны. Шрифт Times New Roman, размер 12, межстрочный интервал - одинарный, поля: слева - 25 мм, сверху и снизу 20 мм, справа - 10 мм.

3. Текст аннотации (тезисов) объемом не более одной страницы оформляется по этим же требованиям. В верхней части страницы размещаются сведения об авторе (полужирным шрифтом).

4. Объем работы не более 10 страниц (не считая титульного листа и аннотации). Приложения могут занимать до 10 дополнительных страниц. Они должны быть пронумерованы и озаглавлены.

5. Т. Ивочкина и И. Ливерц в статье 73, С. 136-138. приводят семь этапов организации научно-исследовательской деятельности учащихся:

6. Мотивация научно-исследовательской работы (НИР).

7. Выбор направлений исследований.3. Постановка задачи.

8. Фиксация и предварительная обработка данных.

9. Обсуждение результатов исследований, выдвижение и проверка гипотез.

10. Оформление результатов работы.

11. Представление исследовательской работы.

12. Рассмотрим структуры и содержание этапов исследовательского процесса.

13. Этап 2. Формулировка цели и выбор направлений исследования.

14. Цель исследования выступает как достижение новых состояний в исследовательском процессе или это результат преодоления противоречия между должным и сущим.

15. Использование информационных технологий в исследовательскойдеятельности

16. Рассмотрим несколько направлений развития компьютерных технологий, при котором исследовательская деятельность будет способствовать интересу к научно-исследовательской деятельности и развивать творческие способности учащихся.

17. Психолого-педагогические направления. Заключается в развитии внутренней (возникновение и усиление познавательного интереса) и внешней мотивации (возникновение необходимости освоения навыков работы на компьютере).

18. И.С. Демин 171, С. 144-150. в своей статье выделяет несколько основных этапов, включающих навыки, необходимые исследователю:

19. Оформление исследовательской, научной работы.

20. Способы и формы представления данных.

21. Компьютерная обработка данных исследования.

22. Принципы работы с большим объемом информации.

23. Рассмотрим более подробно эти этапы.

24. Цель данного этапа: формирование у учащихся представления о структуре исследовательской работы и требованиях, предъявляемых к оформлению. Рекомендуется все это провести в рамках дополнительных, а именно кружковых и факультативных занятий.

25. Компьютерная обработка данных исследования. Основной целью данного этапа является изучение основных способов обработки информации:сортировка, поиск, отбор информации, а также получение представления о некоторых статических методах.

26. Ознакомить учащихся элементарными информационными поисковымисистемами Rambler и Япс1ех.

27. Проанализируйте полученные результаты по сформулированному Яндексом отчету. Обратите внимание на зарегистрированное системой количество вхождений каждого из слов запроса и общее количество отобранных документов.

28. Если документов очень мало и они не удовлетворяют Вас по содержанию, сократите запрос (как правило, на слово с наименьшим числом вхождений, если, конечно, оно не является наиболее важным по смыслу поиска) и повторите его.

29. Если документов оказалось очень много и у Вас есть возможность несколько уточнить запрос, то установите флажок «Искать в найденном», введите в поле запроса свое уточнение и нажмите клавишу «Найти!».

30. Если в списке отобранных Яндексом документов найдется хоть один, наиболее соответствующий Вашим интересам, воспользуйтесь ссылкой «Найти похожие документы». Такая ссылка помещена в конце каждого описателя документа в отчете.

31. Приобретя первоначальный опыт поиска в Яндексе, имеет смысл изучить язык запросов этой системы. Это обеспечит более гибкие возможности по самостоятельному управлению отбором и ранжированием документов.

32. Основы языка гипертекстовой разметки HTML должны входить в данный блок, так как именно этот язык в сети Интернет является языком представления информации.

33. Роль исследовательской деятельности в процессе обучения математике состоит в следующем: в процессе исследовательской деятельности учащиеся овладевают методами научного познания в ходе поиска этих методов и применения их.

34. Исследовательская деятельность регулирует сознание и активность учащихся и направлена на удовлетворение их познавательных потребностей. Продуктом ее является новое знание.

35. ГЛАВА 2. КОНСТРУИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВО ТВОРЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ

36. Виды конструирования математических задач, способствующих формированию исследовательских умений школьников

37. Подробное описание функций задач в школьном образовании в своейработе рассматривает Ю.М. Колягин 86, С. 104-109.

38. Выделим роль и место задач в математическом образовании.

39. Основные цели, роль и место задач в образовании в своих работах рассматривали В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Т.А. Иванова, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Н.И. Мерлина, Д. Пойа, С.Л. Рубинштейн, Г.И. Саранцев и др.

40. Ф.А. Эрн выделяет основную цель арифметических задач это чисто практическая сторона: «умение разобраться в вопросах повседневной жизни, приводящих к счету и вычислениям» 251, С. 113.

41. В.М. Брадис указывает, что целью решения задач является развитие математического мышления и выработка начального этапа творческой исследовательской работы 224.

42. Под явным видом подразумевается задача, в котором требуется, например, решить данное уравнение. А в неявном виде необходимо привести к такому виду.• Вопрос, указывающий искомое, то есть требование задачи.

43. Как отмечает Д.Пойа, «математический опыт учащихся нельзя считать полным, если он не имел случая решить задачу, изобретенную им самим» 157, С. 110., поэтому умение решать задачи формируется в деятельность, включающую конструирование (составление) задач.

44. Л.П. Бестужева 15 , С. 104. в конструировании математических задач выделяет следующие три уровня деятельности:

45. Стимульно-продуктивный использование изученных простейших приемов конструирования.

46. Эвристический уровень поиск новых приемов конструирования задач, в основе которых открытие закономерностей.

47. Креативный уровень использование всего спектра знаний и умений в неожиданных видах и комбинациях.

48. Рассмотрим некоторые часто встречаемые классификации математических задач по следующим видам:

49. Во-первых, задачи можно разделить на простые и сложные (составные). Под простой задачей понимается задача, если из нее нельзя выделить другую.

50. В-четвертых, по дидактическим целям можно распределить на познавательные (получение новых знаний), тренировочные (выработка прочных навыков и умений) и развивающие (развитие мышления учащихся) 224, С. 82.

51. А.Я. Цукарь выделяет следующие виды задач: алгоритмические (решаемые по определенному алгоритму или схеме), полуалгоритмические и эвристические.

52. Типы учебно-исследовательских задач.

53. А.В. Кузнецов 98, С. 68-73. рассматривает вышеприведенные классификации, включая и типологию Н.А. Меньшиковой, с той точки зрения, что типология помогает выявить степень сложности различных видов исследований и установить порядок их изучения учениками.

54. В свою очередь остановимся на типологии, приведенной Н.А. Меньшиковой 120, С. 61-63., на основе которой ниже будут приводиться сконструированные задачи.

55. В работе 120. приведены следующие восемь типов учебно-исследовательских математических задач:

56. Логическая цепочка связанных между собою задач, построенная на основе ключевой задачи учебной программы.

57. Учебно-исследовательские задачи, организованные по принципу пучка задач, связанных общностью идеи решения, которую и должны самостоятельно выдвинуть ученики.

58. Многокомпонентное задание, созданное на основе ключевой задачи, в котором главной является обобщенная задача.

59. Учебно-исследовательская задача аналог опорной. Целью постановки является формирование умений поиска сходства и отличия.

60. Многокомпонентные задачи межпредметного характера.

61. Самостоятельно составленная учащимся новая задача по изученному материалу.

62. На основе этой типологии учебно-исследовательских математических задач приведем виды конструирования задач по этой классификации:

63. Подготовительные (пропедевтические) задачи для средних классов (5-7). В основном это задачи на формирование обобщенного способа действий, на смекалку, сюжетные, задачи на конструирование математических объектов.

64. Можно составить и следующие задачи: 1) Исключите лишнюю фигуру {по приведенным геометрическим фигурам).

65. Исключите лишнее число: 2, 12, 17,23.,

66. Творческое задание: Составить самостоятельно задачи на исключение лишнего. Чем большим числом способов решаются задачи, тем лучше.

67. У Логическая цепочка связанных мезду собой задач, построенная на основе ключевой задачи.

68. Решите в целых числах: ху = х + у. Найти х,у е Z.

69. Решение: х = = ^ ^ + * = 1+——, где х,у е Z (1)у-1 у-1 у-1 Очевидно, что если у 1 = ± 1, тогда —---целое число.1 сл.: у-1 = \ => у = 2 => х = 2.2 сл.: у-\ = -1 => у = 0 х = 0. Ответ: (2,2)и(0,0).

70. Обобщение: «ключиком» к исходной задаче ху = х + у является выражение х = 1 + ——. Что же можно варьировать?

71. В числителе дроби —— можно ставить любое целое число, с помощьюу-1которого получаются новые задачи.2

72. Например, возьмем в качестве х выражение * = 1 +-, x,yeZ и изнего получим исходную задачу. Имеем у -1 = ± 1; ± 2 . (х -l^y-1) = 2, ху = х + у +1. Получили новую задачу.

73. В общем случае: х = а+ ^ . Если b простое число, тоу-су-с =±1; ±Ь, (х-а\х-с) = Ь.

74. До сих пор меняли только b, но задачу можно видоизменить, меняя а и3с. Рассмотрим «ключик» в виде: jt = 2 +-, где у -1 = ± 1, ± 3 . Получилиу-1новую задачу в следующем виде: (х l)(y -1) = 3, т.е. ху = х + 2у +1.

75. Конструирование математических задач может быть организовано по принципу пучка задач, связанных общностью идеи решения, которую и должны самостоятельно выдвинуть ученики.1. Примеры:

76. При каких значениях а уравнение имеет два корня \2х-А\ = а.

77. Найти число решений уравнения sin х = х2.

78. Решить уравнение d(x) = \- \x\, d(x)- это расстояние от точки л: наоси абсцисс до ближайшего целого числа.

79. Общностью подходов к решению будет использование графических образов на координатной плоскости.

80. Конструирование математических задач аналог решения изобретательских задач. Здесь идет формирование умений поиска сходства и отличий (уровень 2 класса).

81. Задача про веревку. Веревку длиной 35 м разрезали на два куска, один из которых вчетверо длиннее другого. Какова длина меньшего куска?

82. Задача про отца и сына. Отец вчетверо старше сына. Вместе им 35 лет. Сколько лет сыну?

83. Задачи про веревку и про отца с сыном отличаются только сюжетами, а по сути одинаковы. Такие задачи называют равносильными.

84. Приведенные задачи обобщим. Веревку длиной л; м разрезали на два куска, один из которых вчетверо длиннее другого. Какова длина меньшего куска?

85. Можно привести еще несколько примеров.

86. Такого рода задачи дают возможность сконструировать и обратную задачу, где требуется составить однотипные выражения для разных по сюжету задач.

87. У Самостоятельно составленная учащимся новая задача по изученному материалу.

88. На основе пройденного материала по теме «Круги Эйлера» на факультативных занятиях была составлена ученицей 7 класса следующая задача:

89. Рассмотрим исследовательскую задачу.

90. Задача. Найти число решений уравнения \2х 4= а.

91. Каждое уравнение системы изобразим графически в системе координат хОу (см. рис.).

92. Уравнение у = 2х-4 изображается ломаной, уравнение у = а определяет семейство прямых, параллельных оси абсцисс.

93. Из чертежа следует, что: при а < 0 решений нет, при а 0 уравнение имеет единственное решение, а при а > 0 уравнение имеет два решения.

94. Рассмотрим задачу исследовательского характера, приведенную С.Ф. Митеневой в статье 131, С. 116-117.

95. Задание. Исследовать некоторые свойства произведения двух последовательных натуральных чисел и составить задачи, основанные на этих свойствах.

96. В результате ученики могут составить такие задачи.

97. Доказать, что ни при каком натуральном п число вида п2 + п +1 не делится на 5.

98. Доказать, что при любой перестановке цифр в числе 54178931 не получится числа, являющегося произведением двух последовательных натуральных чисел.

99. В данном возрасте также работа над литературой, а именно, самостоятельное изучение какой-либо темы, способствует формированию у учащихся умений и навыков исследовательской деятельности.

100. В этом возрасте можно применить следующие виды исследовательской деятельности:1. проблемное видение и постановка проблемы;2. построение и выдвижение гипотез;3. творческая переработка и применение знаний.

101. Необходимо подбирать задания таким образом, чтобы процесс решения способствовал возрастанию творческой активности, познавательного интереса к математике и смежным предметам, позволял повысить творческий характер учебного процесса.

102. Задача. Для всех значений параметра а решить уравнение 4(а + 6)х2 -4ах + а + 2 = 0.

103. Решение. 1)Если д + 6 = 0оя = -6,то 24*- 4 = 0<=>дг = -.6

104. Ответ: если а = -6,тох = —;62 6если а> — ,то хе0; 23 а±2л/-2а-3если а < -—, то х, 2 =—-—-— 2 2(а + 6)

105. Конструирование математических задач на факультативных занятиях в 5-9 классах

106. То есть в современных условиях для поддержания «устойчивости» в быстро меняющемся информационном мире необходимо подготовить творчески развитого ученика.

107. В дальнейшем понятия составление, придумывание и конструирование будем рассматривать как одно понятие.

108. Использование различных приемов конструирования математических задач в теории и практике школьного обучения можно найти в работах Г.В. Дорофеева, Д. Пойа, П.М. Эрдниева, Г.И. Саранцева, Т.А. Ивановой, Ф.А. Эрн, В.Г. Фридмана, Я.Ф. Чекмарева и др.

109. Результатом является новая задача, новые знания.

110. При самостоятельном составлении задач применяются такие мыслительные операции, как анализ, синтез, индукция, дедукция, сравнение, конкретизация и обобщение.

111. Затем можно было бы произвести составление простых задач полностью, причем детям могла бы быть предоставлена полная свобода в выборе материала для задач или могли бы быть даны общие указания, из какой области материал должен быть взят.

112. Например, здесь можно рассмотреть задачи с номером года или задачи на расставление знаков с помощью арифметических операций. Такого рода задачи можно предлагать ученикам и 5 и 9 классов.

113. Для начала школьникам предлагается работа на нахождение натуральных чисел от 0 до 10, используя все знаки арифметических действий и четыре четверки (4,4, 4, 4), четыре пятерки (5, 5, 5, 5) и др. Здесь больших затруднений не возникает.

114. Намного сложнее обстоят дела, если уменьшить количество цифр в задаче.

115. Например, Написать только из трех четверок (4, 4, 4) каждое из последовательных натуральных чисел с использованием знаков арифметических действий, радикала и факториала.1 = (4:4)4 3 = 4-4:4 5 = 4 + 4:42 = (4 + 4): 4 4 = 4 + 4-4 6 = 4 + 4-^4 и т.д.

116. Используя книгу «Математические завлекалки» Б.А. Кордемского продолжим данный ряд.

117. Введем следующие обозначения: десятичную дробь 0,4 будем обозна4чать 0.4, и периодическую дробь 0,(4)=—, как 4. Автор данной книги называет это действие «трюк с точками».

118. Изобразить номер года минимальным количеством одинаковых цифр с использованием математических знаков действий.

119. Эта задача разрешима с любым номером года.

120. Эта задача разрешима не с любым номером года. Будут проблемы с номерами, где имеются нули.

121. Изобразить номер года с помощью последовательностей цифр123456789 98765432 1, используя минимальное число знаков действий.

122. Эта задача разрешима с любым номером года.

123. Рассмотрим оригинальное представление числа 1976 с помощью семишестерок: 1976 = 6- 66 -6-66,(6).

124. Для числа 1976 предлагается решение.1. АААА-AAA-АА-А А + А1976 =--1. А А

125. Какую бы значащую цифру от 1 до 9 не подставить в этот пример, равенство нарушено не будет. Хорошо смотрятся частные случаи при А = 1 и А = 21976 = (111 1 111 -111 -1) • (1 +1), 1976 = 2222-222-22-2.

126. Можно также использовать основные знания, полученные на факультативных занятиях. Например, можно сконструировать задачу на нахождение номера года с использованием понятия и свойств определителей второго и третьего порядка.

127. Число 1976 можно представить в форме определителя третьего порядка, составленного из четных чисел 2,4, 6,., 184 14 121976 =10 6 18 8 16 2

128. Творческое задание. Сконструировать самостоятельно задачи с номером 1992 (год рождения учеников экспериментального 9 класса). Приведем следующую задачу с номером года 1997. Решите уравнение 19*. + 97{*} =1997.

129. Здесь jc. целая часть числа х, а {*}= х - [х] - дробная часть числа х.р х г 1 1997-19Ы Решение. Так как из уравнения имеем --—-то1Q97 19|Y| о

130. О <-U < 1»100 < Ы < 105—, а поэтому х.е {101,102,103,104,105}.97

131. Следовательно, х = к-1--—-, к = 101, ., 105 является решением97уравнения.

132. Ответ: 101 — , 102—, 103—, 104—, 105—.97 97 97 97 97

133. Языки Англ. Франц. Нем. Англ. + франц. Франц.+ нем. Англ.+ нем.

134. Число желающих X У z ш п Р

135. Рассмотрим применение этого алгоритма для составления задачи.

136. Субъекты: Олень, Волк, Заяц.

137. Исходная информация: на лесной олимпиаде лучшим бегуном стал Олень, вторым был Заяц, третьим Волк. Ничего не говорим об Олене.

138. Записываем условие задачи:

139. В лесной олимпиаде участвовали Олень, Волк и Заяц. В соревнованиях по бегу каждый из них занял одно из первых трех мест. Заяц не был ни первым, ни третьим. Волк тоже не стал чемпионом. Какое место занял каждый из зверей?»

140. Система последовательных рассуждений.

141. Больше всего данных мы имеем о Зайце. Исходя из имеющейся информации, он не первый и не третий, следовательно второй. Тогда Волк и не первый, и не второй, то есть третий. Следовательно, первым был

142. Олень. Задача решаема. Так используется вариант алгоритма с исключением информации.

143. Учащийся включается в составление задач, опираясь на свое воображение и личный жизненный опыт. Школьники часто наполняют задачи психологическим подтекстом и пережитыми жизненными ситуациями. Некоторые задачи могут стать поводом для бесед.

144. Данного рода задачи можно использовать с учениками 5-7 классов, так как в этом возрасте у них пробуждается интерес к познавательной деятельности 209.

145. Например, рассмотрим задачи на сравнение, приведенные В.А. Далин-гером 53.1998 199819991. Сравните числа- и-.2000 20002001

146. Но если представим данный пример в общем виде и приведем ее решение, то получаем «фундамент» для конструирования новых задач на основе решенной.

147. Приведем решение данной задачи.

148. Пусть а = 1998 и 6 = 2000, тогда 19981999 = 19980000 + 1999 = =19980000 + 1998 + 1 = а -10000+ а + 1 =10001-я+ 1, 20002001 = = 20000000 + 2001 =20000000 + 2000+ 1 = Ъ -10000+ Ъ + 1=10001-£+1.г а 10001Я + 1

149. Сравниваем дроби — и ^qqqj^—j"' ИСП0ЛЬЗУЯ °ДН0 из перечисленных выше способов.

150. Возможно дальнейшее обобщение путем перехода к алгебраической модели задачи, для чего составим такую систему уравнений:

151. Ut 8) • 60 + (f - 9) ■ 90 = 650, {(г-8)-60 = *.

152. Эти категории задач отражают определенную иерархию задач по их обобщенности, притом уровень обобщенности задач внутри каждой категории также различен.

153. Под видоизменением задачи Д. Пойа понимал варьирование ее структуры, с помощью которого можно подойти к новым задачам 157, С. 106.

154. Составьте уравнение с параметром а такое, чтобы каждому значению а соответствовало единственное значение х.

155. Например: х-а, 4х + а = 5.

156. Составьте уравнение с параметром а, которое имело бы корнем любое действительное число при каком-то одном значении а, при всех же остальных значениях параметра а уравнение не имело бы корней.

157. Например: 9 + Ъх = Ъх + а + 5 28, С. 120.

158. Можно предложить множество вариантов конструирования задач с параметрами, если накладывать различные условия: 1) на значение параметра; 2) на переменную; 3) на число корней; 4) на тип уравнения и т.д.

159. Рассмотрим, например, задачу, которая неопределенна, но при некоторых численных значениях входящих в нее величин она имеет вполне определенное решение.

160. Преобразуем уравнение умножим все его члены на 120 и получим: 4у + х~)> + 3л:-3;у = 3000 ^х = 750.

161. Чтобы выяснить вопрос о том, в каких случаях можно получить ответ на вопрос задачи, решим эту задачу «в общем виде». В написанном выше уравнении заменим числа 30, 60, 20 соответственно буквами и, у, t и приведем подобные члены; получим уравнениеу = 25

162. Как отмечает Н.П. Тучнин, конструирование задач по аналогии самый простой вид творческой работы, который дает возможность разобраться в методе решения задачи.

163. Рассмотрим задачу, которую можно использовать для конструирования более сложной и интересной задачи: Доказать, что если р простое число, большее трех, то выражение р2 -1 делится на 24 206, С. 15.

164. На основе данной задачи можно сконструировать задачу в виде теоремы: Если р простое число, большее пяти, то многочлен р4 -5р2 +4 = (р~ 2)0 -1 )(р +1 )(р + 2) делится на 360.

165. Для развития творческих способностей учащихся и обеспечения необходимого самостоятельного поиска при решении задач способствуют нестандартные задачи, привлекательные по форме предъявления, необычным способом решения, непредсказуемым ответом.

166. Рассмотрим работу с развивающейся цепочкой взаимосвязанных задач, приводимую М.И. Зайкиным 164, С. 58-64.

167. Доказат ь неравенст во 6-fe -л/б-.-л/б <2 (1).

168. Данное неравенство докажем следующим образом: рассмотрим выражение Je-fe -V6-.-V4 , значение которого больше значения выражения, стоящего в левой части исходного неравенства, и равняется 2. Тогда д/б-д/б-7б-.-л/б <д/б-л/б —л/б—V4 =2.

169. Составить неравенства, аналогичные исходному неравенству (1).

170. Придавая п натуральные значения 1, 2, 3, 4 и т.д., будем последовательно получать цепочку неравенств.

171. Составить верные неравенства, аналогичные неравенству (2), но отличающиеся от него тем, что все знаки минус заменены знаками плюс.

172. Составить такое можно, заметив, что л/2 + 2 = л/4 = 2,л/6+3 =л/9 = 3, л/12+4=л/Гб=4 и т.д.

173. Или, в общем виде, л1т + п = лfn'2 = п. Получаем, что т + п = п2, откуда т = п2-п и, следовательно, получаем необходимое соотношение:

174. Jn2 -n + -\jn2 -п + л1п2 -п + . + л1п2 < и (3). Придавая /г натуральные значения 2, 3, 4, 5 и т.д., будем последовательно получать цепочку неравенств.

175. Составить неравенства, аналогичные неравенству (2), //о отличающиеся от него тем, что в его записи все квадратные корни заменены кубическими корнями.д/л3 + л-д/л3 +п-ъ4пг +п~.-tfn3 +п <п (4).

176. Составить неравенства, аналогичные неравенству (3), но отличающиеся от них тем, что в их записи используются не квадратные, а кубические корни.д//23 -п + ^п3 -11 + \1п3-!i + . + \fnr^n < 11 (5).

177. Составьте соотношения, задающие аналогичные неравенствам (4) и (5) для корней k-й степени.

178. В результате появляются записи:y.nk+n-\jnk +л-\/л' + л-.-л/л* +л <л,jnk-п + \1пк -n + *Jnk -л + .-. + л/л^-тГ < л. В результате появляется цепочка неравенств.

179. Анализ исследовательских работ школьников г. Чебоксары

180. Но самой главной целью является приобретение школьниками первых навыков исследовательской деятельности.

181. В 2005 году прошла двадцатая по счету конференция. В ее проведение внесены изменения. Если раньше конференция проходила в один тур (очный- выступление с устным (показательным) докладом), то в этом году впервые городскую НПКШ провели в два тура.

182. Первый тур проходил заочно. На этом этапе члены жюри проверяли работы на соответствие требованиям, предъявленным к выполнению и оформлению исследовательских и творческих работ школьников.

183. Во второй тур (выступление с докладом) допускались те работы, которые прошли первый тур.

184. На конференции исследовательские работы оцениваются по следующим критериям:

185. Оригинальность методов решения задачи, исследования:• решена новыми оригинальными методами;• имеет новый подход к решению, использованы новые идеи;• используются традиционные методы решения,

186. Новизна полученных результатов:• получены новые теоретические и практические результаты;• разработан и выполнен оригинальный эксперимент;• имеется новый подход к решению известной проблемы;• имеются элементы новизны;• ничего нового нет.

187. Научное и практическое значение результатов работы:• результаты заслуживают опубликования и практического использования;• можно использовать в учебном процессе;• можно использовать в научной работе школьников;• не заслуживают внимания.

188. Уровень проработанности исследования, решения задач:• задача решена полностью и подробно с выполнением всех необходимых элементов исследования;• недостаточный уровень проработанности решения;• решение не может рассматриваться как удовлетворительное.

189. Каждый из критериев оценивается по максимальной шкале в 10 баллов.

190. В свою очередь, проводя анализ тем городской НПКШ по математике с 2000 по 2006 годы, мы пришли к следующим выводам:

191. Наибольшее количество призовых мест из года в год занимают следующие школы:

192. Из них только по математике:

193. В этих школах в основном работают учителя, имеющие высшую категорию, а также преподаватели ВУЗов, которые со школьниками работают непрерывно: в летнее время в школе олимпийского резерва; в течение учебного года - консультируя по выбранной теме.

194. Рассмотрим работу учительницы 44 школы (лицея) Константиновой Людмилы Васильевны. Работа со школьниками ведется в течение всего года.

195. Программа творческих занятий по математике в 6-7-ых классах на 2002-03 учебный год.

196. Что такое математический бой? Вопросы конкурса капитанов. (2 часа)

197. Избранные задачи турнира им. Савина за 1990/91 уч. год. (4 часа)

198. Избранные задачи 1991/92 уч. год. (4 часа)

199. Избранные задачи 1992/93 уч. год. (4 часа)

200. Избранные задачи 1993/94 уч. год. (4 часа)

201. Избранные задачи 1994/95 уч. год. (4 часа)

202. Избранные задачи 1995/96 уч. год. (4 часа)

203. Избранные задачи 1996/97 уч. год. (4 часа)

204. Избранные задачи 1997/98 уч. год. (4 часа)

205. Избранные задачи 1998/99 уч. год. (4 часа)1. Задачи очных турниров11. 1995 года (Иваново). (4 часа)12. 1996 года (Кострома). (4 часа)13. 1997 года (Рыбинск). (4 часа)14. 1998 года (Рыбинск). (4 часа)

206. Подготовка реферативного материала к городской и республиканской научно-практическим конференциям. (18 часов)1. Литература: