автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методическая система обучения дифференциальным уравнениям в педвузе

Автореферат диссертации по теме "Методическая система обучения дифференциальным уравнениям в педвузе"

РГ8 ОД

На правах рукописи

АСЛАНОВ Рамиз Муталлим оглы

МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОБУЧЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В ПЕДВУЗЕ

13.00.02 - теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук

Москва 1997

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете на кафедре информатики и дискретной математики.

Научные консультанты:

действительный член РАО, доктор физико-математических наук, профессор МАТРОСОВ B.JI.,

член корреспондент РАО, доктор физико-математических наук, профессор БАВРИН И.И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ЕФИМОВ A.B.,

' доктор педагогических наук, профессор КРУПИЧ В.И.,

доктор педагогических наук, профессор ШАБУНИН М.И.

Ведущая организация - Московский педагогический университет.

Диссертационного Сове! , , в Московском педагогическом

государственном университете по адресу: 119435, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1., ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета (119435, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1).

Автореферат разослан « года.

Ученый секретарь

Защита состоится <

.1997 г. в /У^ч. на заседании

Диссертационного Совета

ЛУДИНА Г. Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Актуальность исследования. Проблемы подготовки учителя математики в педвузах постоянно находятся в зоне повышенного внимания исследователей, занимающихся проблемами математического образования в России и других странах СНГ. Среди них разработка крупной комплексной темы "Исследование новых принципов и перспективных технологий подготовки учителя в условиях непрерывного педагогического образования" (руководитель темы - академик РАО Матросов В.Л.). В МПГУ создан научно-методический центр высшего педагогического образования, была разработана концепция исследования, центральное место в которой занимает анализ личности учителя, его социально-педагогические, психологические и физические качества. Значительное место в концепции занимает разработка информационных технологий обучения и управления образованием.

Это связано прежде всего с тем, что концепция школьного курса математики уже не отвечает социальному заказу современного общества. Не случайны поэтому активные поиски новых концепций школьного курса математики и, как следствие, активные поиски новых подходов к подготовке учителя математики в педвузах. Достаточно указать на ряд докторских диссертаций, посвященных этой проблеме и защищенных в последние годы. Это работа А.Г.Мордковича, где сформулирована концепция профессионально-педагогической направленности математической подготовки учителя, работа Г.Л.Луканкина, в которой в комплексе выявлены научно-методические основы подготовки учителя, работа Г.Г.Хамова, который выстроил методическую систему алгебраической подготовки учителя математики, работа Э.И.Кузнецова, где раскрываются общеобразовательные и профессионально-прикладные аспекты изучения информатики и вычислительной техники в педагогическом институте, работа Н.Л.Стефановой, где проанализированы теоретические основы системы методической подготовки учителя математики в педвузах.

Мы из всего блока вопросов математической подготовки учителя математики в педагогических институтах и университетах выбрали курс дифференциальных уравнений. Этот выбор объясняется не только математической специализацией автора исследования, но и рядом объективных обстоятельств. Раскроем их.

Математический анализ в целом занимает одно из ведущих мест в математической подготовке учителя. Дело даже не в том, что элементы

математического анализа в той или иной степени входят в программу школьного курса математики или факультативных курсов. Дело в том, что идеи и методы анализа в явной или неявной форме пронизывают, например, весь школьный курс алгебры 7-11, одной из приоритетных содержательно-методических линий которого является функционально-графическая линия. Но традиционно сложилось так, что исследователи, занимающиеся проблемами профессионально-ориентированной постановки курса математического анализа в педвузах, уделяют внимание лишь начальным разделам анализа (функция, предел, производная, интеграл). Мало работ, оценивающих значение теории рядов для становления учителя математики, функций многих переменных, мало исследований, связанных с курсом дифференциальных уравнений. Отдельные рекомендации, но ориентированные только на то, что курс дифференциальных уравнений рассматривается как раздел курса математического анализа, можно найти в докторских диссертациях Г.Л.Луканкина, А.Г.Мордковича, Ю.В.Сидорова, М.И.Шабунина, кандидатских диссертациях Т.И.Глушковой, К.Сурганова. Особо отметим кандидатские диссертации Х.А.Гербекова и Б.А.Найманова.

Х.А.Гербеков выстроил концепцию изучения базового курса дифференциальных уравнений, но в рамках единого курса математического анализа; до обсуждения проблем специального курса дифференциальных уравнений дело не дошло. Б.А.Найманов исследовал прикладную направленность курса дифференциальных уравнений, но опять же только в рамках единого курса математического анализа.

В последнее время при обсуждении проблем школьного математического образования все чаще звучит тезис о гуманитарном (общекультурном) потенциале школьного курса математики. Этот тезис положен в основу новых учебников по математике для 5-6 классов под редакцией Г.В.Дорофеева и И.Ф.Шарыгина, учебника по алгебре для 7 класса А.Г.Мордковича. Вкратце концепция последнего учебника сводится к следующему: математика изучает математические модели реальных процессов, а модели описываются на математическом языке, значит, надо изучать математический язык, чтобы с его помощью успешно работать со все более и более сложными моделями. Умение составлять математические модели реальных процессов и работать с ними, используя адекватные средства, - составная часть общей культуры человека, особенно в наше время, в период активной математизации различных отраслей знаний.

Разделяя эту концепцию, мы в то же время вынуждены констатировать: к ее реализации современный учитель не совсем подготовлен, поскольку в период обучения студентов в стенах педвуза гуманитарная составляющая математических курсов далеко не всегда выводится на первый план. В этой связи особенно велика роль курса дифференциальных уравнений, где, по сути дела, математическая модель и математический язык - ключевые слова; не зря ведь считают, что вся природа "говорит" на языке дифференциальных уравнений.

Представления о математическом моделировании в настоящее время приобретают общекультурную и общеобразовательную ценность и открывают возможности для формирования у студентов представлений о роли моделей и моделирования не только в математике, но и в физике, химии, биологии, экологии, географии, экономике и т.д.

В методической литературе часто предлагается начинать изложение новых теорий с проблем практики, породивших эти теории, а после логического построения теорий указывать области их приложения. Преимущества такого подхода хорошо известны. Особенно удачно этот подход может быть осуществлен в преподавании курса "Дифференциальные уравнения".

Теория дифференциальных уравнений широко применяется в различных областях науки. Простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными описывает и процесс изменения атмосферного давления в зависимости от высоты над уровнем океана, и процесс распада радия, и процесс изменения народонаселения, и процесс охлаждения тела и т.д.

Множество разнообразных примеров, иллюстрирующих применение теории линейных дифференциальных уравнений, дают радиоприборы. Неизвестными функциями времени в этом случае являются величины токов, проходящих через различные детали прибора, или падения напряжения между отдельными узлами прибора. Для решения таких уравнений характерны тригонометрические (или гармонические) колебания. При решении задач можно провести простейший качественный анализ построенного общего решения, установить соответствие устойчивых решений модели реальной картине "установившегося режима" в работе прибора.

Решение уравнений с параметрами можно проиллюстрировать моделями, описывающими динамику развития взаимодействующих биологических популяций (например, модель Вольтерра - Лотка). Интересны студентам будут и модные сегодня экономические модели.

Изучение дифференциальных уравнений на примерах из приложений внесет разнообразие в занятия, даст почву для развития воображения и мышления, покажет студентам, что абстрактность дифференциальных уравнений является средством изучения явлений природы с помощью математических моделей.

Курс дифференциальных уравнений играет большую роль в фундаментальной подготовке будущего учителя в плане формирования у студента научного мировоззрения, определенного уровня математической культуры, определенного уровня методической культуры, особенно по таким компонентам, как понимание сущности прикладной и практической направленности обучения математике, овладение методом математического моделирования, умение осуществлять в обучении межпредметные связи. К числу компонентов гуманитарного потенциала курса дифференциальных уравнений в педвузе, кроме вышеперечисленных, мы относим также профессионально-педагогическую направленность этого курса, причем, по сравнению с другими разделами математического анализа, здесь скрыты наибольшие возможности для полноценной реализации профессионально-педагогической направленности обучения, поскольку студент подходит к изучению курса дифференциальных уравнений уже изучив, в основном, курс методики преподавания математики, пройдя первую педагогическую практику. Это налагает на преподавателя курса дифференциальных уравнений особые обязанности по реализации в курсе принципа бинарности - наиболее адекватного соединения собственно математической (общенаучной) и методической линий.

Изучение курса дифференциальных уравнений и его методов дает еще один инструмент для познания мира, в котором мы живем, позволяет сформировать образное и научное представление о реальном физическом пространстве.

Таким образом, актуальность темы нашего исследования объясняется тем, что:

- математический анализ в целом и курс дифференциальных уравнений в частности вносят очень весомый вклад в математическое образование будущего учителя;

- имеется сравнительно немного исследований, посвященных проблемам постановки в педвузах курса дифференциальных уравнений, но во всех таких исследованиях этот курс рассматривается как раздел курса математического анализа; не учитывается тенденция выделения этого курса в самостоятельную учебную дисциплину;

- достаточно велик и требует специального осмысления и исследования гуманитарный (общекультурный) и, в частности, профессионально-педагогический потенциал курса дифференциальных уравнений.

Проблему исследования можно сформулировать следующим образом. Курс дифференциальных уравнений, с одной стороны, весьма абстрактен, со своей спецификой, со своей терминологией, со своими моделями, зачастую довольно тонкими. Изучая этот курс, студент часто теряет ориентиры, не понимает, для чего все это нужно будущему учителю. С другой стороны, курс дифференциальных уравнений - один из самых выигрышных в деле осознания будущим учителем сущности математики, ее прикладной направленности, воспитательного значения. Налицо противоречие между гуманитарным потенциалом курса и тем, что обычно получает студент на выходе по окончании изучения курса. Проблемой исследования является разрешение этого противоречия.

Цель исследования состоит в разработке профессионально-ориентированной методической системы изучения курса дифференциальных уравнений в педвузах и путей се реализации в практике преподавания.

Объект исследования - математическая подготовка будущих учителей в педагогических институтах и университетах.

Предмет исследования - гуманитарная и профессионально-педагогическая направленность обучения дифференциальным уравнениям в педвузах.

Проблема и цель определили необходимость решения следующих задач исследования, которые распределены по двум группам.

Первая группа задач:

1. Выявить методологические составляющие курса дифференциальных уравнений в педвузах, выявить возможности курса дифференциальных уравнений в деле обучения будущих учителей математики способам осуществления прикладной направленности преподавания и формирования у будущих учителей математики правильных представлений о математическом моделировании реальных процессов, о межпредметных связях, их месте, значении и способах реализации в учебном процессе.

2. Выявить пути реализации концепции профессионально-педагогической направленности обучения математике будущих учителей в курсе дифференциальных уравнений.

3. Разработать концепцию и программу курса дифференциальных уравнений для педвузов, профессионально ориентированную и в макси-

мальной степени раскрывающую гуманитарный потенциал курса, наметить пути для ее реализации в методической системе обучения.

4. Выявить возможности курса дифференциальных уравнений в деле приобщения студентов к научно-исследовательской работе (в частности, через систему спецкурсов, спецсеминаров, курсовых и дипломных работ).

Решению этих задач посвящена первая глава диссертации.

Вторая группа задач:

1. Учитывая специфику курса дифференциальных уравнений, исследовать новые формы изложения материала в учебном пособии для студентов.

2. Наметить пути использования новых информационных технологий в процессе преподавания курса дифференциальных уравнений.

Решению этих задач посвящены вторая, третья и четвертая главы диссертации.

Гипотеза исследования состоит в том, что реализация разработанной концепции курса дифференциальных уравнений в педагогических институтах и университетах позволит:

- повысить качество преподавания курса дифференциальных уравнений на математических факультетах;

- сформировать у студентов правильные представления о гуманитарном потенциале курса дифференциальных уравнений, включающем в себя методологическую и прикладную направленность курса, математическое моделирование, межпредметные связи;

- раскрыть профессионально- педагогическое значение курса дифференциальных уравнений.

Были использованы следующие методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической, математической и методической литературы, работ по истории математики и истории методики преподавания математики, школьных и вузовских программ по математике, учебников и учебных пособий; массовые проверки уровня математической подготовки студентов педвузов; беседы с преподавателями вузов, учителями общеобразовательных школ, студентами и школьниками; изучение и обобщение педагогического опыта; поисковые и констатирующие эксперименты по проверке отдельных методических положений работы. Выполняя исследование, автор руководствовался методологией системного подхода. Психолого-педагогическую основу исследования составили концепции воспитывающего и развивающего обучения, кон-

цепция обучения деятельности, концепция профессионально-педагогической направленности обучения математике будущих учителей.

Научная новизна проведенного исследования заключается в том, что в нем впервые на основе комплексного анализа психолого-педагогических и методико-математических аспектов проблемы выдвинута целостная профессионально ориентированная концепция курса дифференциальных уравнений в педвузах, в максимальной степени реализующая богатый гуманитарный потенциал этого курса, реализованная в новой программе и учебных пособиях.

Практическая значимость полученных результатов обусловлена прежде всего созданием учебных пособий нового типа для занятий по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными, которые уже внедрены в практику преподавания в педвузах. Кроме того, в диссертации содержатся конкретные рекомендации по реализации в курсе дифференциальных уравнений методологических и методических аспектов, по усилению профессионально-педагогической направленности курса, по использованию новых информационных технологий.

На защиту выносятся:

- общая концепция изучения курса дифференциальных уравнений в педвузе;

- программа курса дифференциальных уравнений;

- формы и методы изучения курса дифференциальных уравнений;

- новый тип учебного пособия по курсу дифференциальных уравнений;

- рекомендации по использованию в курсе дифференциальных уравнений новых информационных технологий.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются опорой на базовые положения педагогики и психологии высшей школы, учетом современных достижений в области дидактики, комплексом методов педагогического исследования, адекватных его объекту, предмету, цели, задачам и логике, преемственностью и взаимосвязанностью результатов, полученных на разных этапах исследования.

Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты исследования нашли отражение в монографиях, учебных пособиях, методических рекомендациях, научных статьях, докладах, тезисах, программах, опубликованных в разные годы в Баку, Гяндже, Москве, Санкт-Петербурге, Челябинске, Липецке, Ярославле, Ульяновске, Рязани, Чебоксарах, Коломне, Елабуге, Орске. Результаты исследования доклады-

вались и обсуждались на Международном научном конгрессе студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодежь и наука - третье тысячелетие" (Москва, 1996 г.), Международной конференции "Подготовка преподавателей математики и информатики для высшей и средней школы" (Москва, 1994 г.), XXXII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского Университета Дружбы Народов (Москва, 1996 г.), на Всероссийском семинаре преподавателей математики педвузов в период 1990-1996 гг. (Ярославль, Ульяновск, Липецк, Рязань, Чебоксары, Коломна, Елабуга, Орск, Санкт-Петербург).

С 1987 года в России развернуто комплексное межвузовское исследование на тему "Профессионально-педагогическая направленность подготовки учителя", работает межвузовский семинар преподавателей математики пединститутов и педуниверситетов (руководитель семинара - проф. Мордкович А.Г.). В работе семинара принимают участие и представители педвузов некоторых республик СНГ: Молдовы, Украины, Беларуси, Казахстана. Представителем Азербайджана в семинаре является автор настоящего исследования. Многие результаты нашего исследования не только прошли апробацию в рамках указанного семинара, но и зачастую представляют собой обобщение и осмысление опыта работы ведущих педвузов по интересующей нас проблеме, изученного в ходе семинаров. К числу этих педвузов и педуниверситетов мы относим в первую очередь МПГУ, МПУ, МГОПУ, РГПУ, АПГУ, Красноярский, Барнаульский, Рязанский, Ярославский, Пермский, Пензенский, Липецкий, Челябинский, Гянджинский, а также Павлодарский пединститут (Казахстан).

С докладами и сообщениями по результатам исследования автор выступал на научных и научно-практических конференциях по проблемам подготовки будущих учителей математики средней и высшей школы (Баку, Гянджа), на районных совещаниях (Балакен, Закатала, Гах, Даш-кесан и др.), на ежегодных научных конференциях Гянджинского государственного педагогического института, а также на заседаниях кафедр математического анализа, методики преподавания математики и кафедры информатики и дискретной математики МПГУ. В исследовании обобщен и систематизирован двадцативосьмилетний опыт работы автора в педагогическом институте.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы объект, предмет, научная проблема, основная цель и вытекающие из нее конкретные задачи и методы исследования, представлены гипотеза исследования, научная новизна, определены практическая значимость, положения, которые выносятся на защиту.

В первой главе проведено исследование профессионально-педагогической направленности курса дифференциальных уравнений. Первый параграф посвящен раскрытию гуманитарного потенциала курса дифференциальных уравнений. Одной из главных целей математической подготовки учителя математики в педагогическом институте или университете считается воспитание у студентов научного мировоззрения. Из всех разделов классического математического анализа наиболее эффективным в смысле реализации указанной выше цели является курс дифференциальных уравнений.

В настоящее время можно считать общепризнанным положение о том, что преподавание математики на любой ступени обучения (в школе, лицее, колледже, вузе и т.д.) следует постоянно увязывать с вопросами методологии, философии, истории, то есть с тем, что составляет так называемый методологический аспект преподавания. Этот аспект включает в себя, в частности, необходимость постоянного обсуждения в процессе преподавания вопросов, связанных с происхождением и развитием математических понятий, роли и многоступенчатого характера математических абстракций, постоянно уточняющегося и расширяющегося в сознании учащихся определения предмета математики в процессе ее исторического развития, связи математики с реальной жизнью, с общественной деятельностью людей, с ролью критерия практики в математике и, наконец, с раскрытием сущности математизации современного научного знания.

Духовно развивая учащихся, надо формировать у них научное мировоззрение как основу практического отношения к миру. Они должны уметь увидеть за общими понятиями математики конкретные образы реального мира, уметь дать правильный ответ на основной вопрос философии, редуцированный на математику: возникла математика из опыта, наблюдений над реальной действительностью или она независима от реального опыта и является предметом чистого разума.

В этом параграфе сделан краткий исторический очерк развития теории дифференциальных уравнений, показывающий неразрывную связь методологии математического естествознания с дифференциальными уравнениями, методологическую направленность курса дифференциальных уравнений. В частности, отмечен вклад в теорию дифференциальных уравнений ученых России, Азербайджана и других стран СНГ.

Существенный вклад в дело формирования у учащихся научного мировоззрения и общей культуры вносит прикладная направленность обучения при правильной ее организации, то есть при такой организации, когда происходит адекватная реализация одного из ведущих принципов обучения - принципа связи обучения с жизнью, теории с практикой; об этом также идет речь в первом параграфе главы первой.

Проблема прикладной направленности обучения математике нашла широкое отражение в исследованиях математиков и методистов. Ее теоретическое обоснование проведено в работах В.Г.Болтянского, Е.С.Вентцель, А.Н.Колмогорова, А.Н.Тихонова, З.И.Халилова, Д.П.Костомарова, Ю.М.Колягина, В.М. Монахова, В.А.Гусева, С.И.Швацбурда, В.В.Фирсова, Г.В.Дорофеева, М.И.Башмакова, И.Ф.Шарыгина, К.К.Пономарева, Н.Л.Виленкина, А.Д.Мышкиса, Л.Д.Кудрявцева, Г.Трелиньски, В.В.Амелькина, А.П.Садовского, И.И.Баврина, А.В.Латышева, Н.А.Терешина, М.С.Сабурова и других.

Практически все упомянутые авторы исследуют вопросы прикладной направленности обучения математике в школе, не касаясь вузовских проблем. Исключение составляют Г.Трелиньски, который в своей докторской диссертации касается вопросов подготовки учителя математики к реализации прикладной направленности обучения в польской школе, и Б.А.Найманов, который в своей кандидатской диссертации выделил три компонента прикладной направленности курса дифференциальных уравнений в педвузе:

- конкретизация абстрактных понятий и теоретических знаний;

- взаимосвязь теоретических вопросов математики с приложениями математической теории к изучению реальных процессов;

- обучение студентов способам ознакомления школьников с прикладной направленностью математики.

Опыт Павлодарского пединститута (Казахстан), неоднократно освещавшийся Б.А.Наймановым на заседаниях Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов, мы использовали в своей практической работе.

В докторской диссертации Г.Трелиньски выделены два существенных понятия: прикладная ориентация материала обучения и прикладная ориентация обучения математике. Проведен подробный анализ того, в каких пределах студент - будущий учитель - подготовлен в ходе обучения к введению учащихся в приложения математики, охарактеризованы направления совершенствования этой подготовки.

Значение прикладных задач для подготовки учителя математики можно охарактеризовать по ряду направлений:

- с помощью прикладных задач можно научить учащихся пользоваться конкретными математическими фактами;

- решением прикладных задач можно развивать математические способности обучаемых;

- прикладные задачи содержат в себе возможность создания у учащихся научной картины мира и правильных представлений о научных методах познания реальной действительности;

- в процессе решения этих задач можно создать диалектические связи между учебными и исследовательскими методами;

- прикладные задачи выявляют внутренние закономерности изучаемых процессов;

- прикладные задачи - одно из эффективных средств для получения новых знаний и т.д.

Таким образом, использование прикладных задач в процессе обучения способствует не только пониманию основ науки, но и овладению способами научного познания.

Прикладная направленность курса дифференциальных уравнений связана и с тем, что именно здесь студент получает неоценимый опыт математического моделирования реальных процессов.

Под математической моделью реального процесса понимается обычно приближенное описание этого процесса на языке математики. Искусство математического моделирования состоит в умении перевести реальную задачу на математический язык, перевести адекватно, не теряя основных свойств оригинала.

Математические модели вследствие их относительной простоты помогают лучше понять процесс, дают возможность установить качественные и количественные характеристики состояния процесса.

В различных задачах в качестве математических моделей реальных процессов особенно часто выступают дифференциальные уравнения, что и обуславливает их значимость в подготовке будущих учителей математики.

Характер этих задач и методику их решения можно схематически описать так. Происходит некоторый процесс, например, физический, химический, биологический. Нас интересует определенная функциональная характеристика этого процесса, например закон изменения со временем температуры или давления, массы, положения в пространстве. Если имеется достаточно полная информация о течении этого процесса, то можно попытаться построить его математическую модель. Во многих случаях такой моделью будет дифференциальное уравнение, одним из решений которого является искомая функциональная характеристика процесса. Дифференциальное уравнение моделирует процесс в том смысле, что оно описывает эволюцию процесса, характер происходящих с материальной системой изменений, возможные варианты этих изменений в зависимости от первоначального состояния системы.

Изучение любого процесса сводится к определению его отдельных моментов и установлению общего закона его течения.

Отдельный момент процесса (элементарный процесс) выражается дифференциальным уравнением, связывающим переменные величины процесса с их дифференциалами или производными; закон общего течения процесса, получаемый после интегрирования, выражается уравнением, связывающим переменные величины процесса.

Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравнений нет. В большинстве случаев методика решения прикладных задач с применением обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к следующему:

1) подробный разбор условий задачи и составление чертежа, поясняющего ее суть;

2) составление дифференциального уравнения рассматриваемого процесса;

3) интегрирование этого уравнения и определение его общего решения;

4) определение частного решения задачи на основании данных начальных условий;

5) определение по мере необходимости вспомогательных параметров (например, коэффициента пропорциональности и т.д.) с использованием для этой цели дополнительных условий задачи;

6) вывод общего закона рассматриваемого процесса и числовое определение искомых величин;

7) анализ ответа и проверка исходного положения задачи.

Способность моделировать является неотъемлемой частью познавательной деятельности. Психологические аспекты моделирования заключаются в способности сознания отражать внешний мир не во всем его многообразии и полноте внешних и внутренних связей, а огрублен-но в приближенном виде.

Та неполная информация о реальном явлении, которую мы приобретаем непосредственно через каналы ощущений и восприятий, или опосредованно, опираясь на ранее приобретенные знания, фиксируются в нашем сознании именно в неполном виде как система представлений и образов, которые, по существу, являются моделями. Вследствие этого, наши представления об окружающем мире носят принципиально модельный характер.

За последнее время все яснее осознается значение модели как продукта психической деятельности. При этом модель как мозговое явление рассматривается в самых разнообразных аспектах. Ряд ученых рассматривает модели как основной продукт психической деятельности человека в его контакте с окружающей средой. Некоторые исследователи придают моделированию в преподавании настолько большую роль, что выделяют его в отдельный принцип. Так, например, В.В.Давыдов, подчеркивая ограниченность традиционного дидактического принципа наглядности, предлагает заменить его принципом моделирования.

Л.М.Фридман, развивая идеи В.В.Давыдова о модельном подходе к изучению математики в средней школе, пишет: "...принцип моделирования в обучении математике означает, во-первых, изучение самого содержания школьного курса математики с модельной точки зрения, во-вторых, формирование у учащихся умений и навыков математического моделирования различных явлений и ситуаций, наконец, в-третьих, широкое использование моделей как внешних опор для внутренней мыслительной деятельности, для развития научно-теоретического стиля мышления".

Исходя из этого, можно считать обоснованным вывод о том, что обучение будущего учителя математики как непосредственно математическому моделированию реальных процессов, так и методике составления математических моделей, является важным условием профессионально-педагогической направленности любого математического курса педвуза и прежде всего курса дифференциальных уравнений.

Через прикладную направленность курса дифференциальных уравнений, через используемое в этом курсе математическое моделиро-

вание реальных процессов, мы приходим к естественной (а не искусственной) реализации межпредметных связей в процессе изучения курса.

Разработка проблемы межпредметных связей применительно к общеобразовательной средней школе ведется в методике преподавания математики в разных направлениях: совершенствование процесса обучения, привитие интереса к учебным дисциплинам, формирование знаний и умений школьников. Взаимосвязи близких по содержанию дисциплин не только обеспечивают повышение качества знаний обучаемых, но и способствуют подготовке их к применению полученных знаний на практике, развивают научный кругозор учащихся.

В последние годы интерес исследователей к реализации межпредметных связей возрос, но вместе с этим растет количество трактовок этой проблемы. Мы считаем правильным рассматривать межпредметные связи как проявление систематичности, как отражение объективно существующей взаимосвязи природных явлений.

Межпредметные связи способствуют реализации всех функций обучения: образовательной, развивающей и воспитывающей. Эти функции осуществляются во взаимосвязи и взаимно дополняют друг друга.

В педагогических институтах и университетах проблему межпредметных связей следует рассматривать с двух сторон. Первая из них - это реализация межпредметных связей при изучении конкретного математического курса для более успешного усвоения самого курса. Вторая - это подготовка будущих учителей к реализации межпредметных связей в их дальнейшей самостоятельной работе в школе.

Обобщая все сказанное выше, попытаемся зафиксировать основные направления гуманитарной составляющей курса дифференциальных уравнений в педвузах.

Прежде всего это мировоззренческий, методологический аспект курса дифференциальных уравнений, позволяющий обучаемому сформировать правильные представления об окружающей действительности. В определенной мере этому способствует историко-математическая линия курса.

Далее, следует выделить прикладной аспект курса, напрямую связанный с методом математического моделирования и с проблемой реализации в курсе межпредметных связей.

Наконец, дифференциальные уравнения - это язык, на котором говорит природа. Языковой аспект любого математического курса как в школе, так и в педвузе, в последнее время все больше интересует ис-

следователей в области методики преподавания математики. Мысль о том, что владение математическим языком составляет часть общей культуры современного человека, в последнее время практически не оспаривается. Для осознания этой мысли будущим учителем математики значение курса дифференциальных уравнений бесспорно.

Во втором параграфе раскрывается профессионально-педагогическая направленность курса дифференциальных уравнений. Концепция профессионально-педагогической направленности обучения выражает необходимость целенаправленного и непрерывного формирования у студентов основ профессионального мастерства, опирающихся на активные и глубокие знания школьного курса математики, его научных основ и методического обеспечения, приобретаемых на благоприятном эмоциональном фоне положительного отношения к профессии учителя и к математике как к научной дисциплине и как к учебному предмету. Цель параграфа - оценить значение курса дифференциальных уравнений в математической и методической подготовке учителя с профессионально-педагогической точки зрения и обосновать соответствующие теоретические положения о месте и роли курса в учебном плане педвуза.

В данном параграфе проанализирован вопрос о том, как соотносятся цели обучения математике студентов педвузов с возможностями курса дифференциальных уравнений, за основу взята структура целей, предложенная А.Г.Мордковичем (воспитание научного мировоззрения; формирование достаточного для работы в школе уровня математических знаний, умений и навыков; формирование достаточно высокого уровня математического мышления; обеспечение достаточного опыта математической деятельности).

Одним из непременных условий профессионально-педагогической направленности обучения является положение о том, что основу построения математического курса в педвузе должно составлять объединение общенаучной и методической линий - принцип бинарности. Курс дифференциальных уравнений имеет богатые возможности для реализации принципа бинарности, причем такая реализация является по сути итоговой, оформляющей становление определенного уровня методической культуры будущего учителя средствами математического анализа.

На материале курса дифференциальных уравнений можно реализовать такие компоненты методической модели математического курса педвуза, предложенные А.Г.Мордковичем и наполненные конкретным содержанием Х.А.Гербековым, как:

- мотивация (путем продуманного подбора серии вводных задач, формализация реальных ситуаций которых приводит к новой для студентов математической модели - дифференциальному уравнению);

- пропедевтика (путем выделения линии дифференциальных уравнений практически во всех разделах курса математического анализа);

- алгоритмическая линия (путем формулировки алгоритмов решения конкретных видов дифференциальных уравнений; таких алгоритмов в курсе достаточно много);

- обучение студентов математическому моделированию;

- прямое и косвенное обучение студентов принципам дидактики;

- обучение студентов реализации и правильному пониманию внутри- и межпредметных связей;

- критический анализ школьных пособий (по основному и факультативному курсам).

Концепция профессионально-педагогической направленности обучения выдвигает на первый план идею связи конкретного математического курса педвуза с соответствующим школьным предметом -принцип ведущей идеи. Реализация профессионально-педагогической направленности обучения предполагает, в частности, использование в конкретном математическом курсе педвуза всех возможностей для подготовки студента - будущего учителя математики к ведению в школе факультативных занятий. С этой целью в учебное пособие для студентов, о котором идет речь во второй главе, мы включили большое число задач, которые при желании учитель математики сможет использовать в факультативном курсе по дифференциальным уравнениям в школе.

Экспериментальная работа, проведенная нами в течение ряда лет в Гянджинском государственном пединституте и Азербайджанском государственном педуниверситете дала возможность выявить довольно широкий спектр разнообразных форм приобщения студентов к педагогической деятельности в процессе изучения курса дифференциальных уравнений.

К числу таких форм относится, например, студенческая лекция или студенческое практическое занятие. Речь идет о том, что конкретную лекцию или ее фрагмент или конкретное практическое занятие ведет не преподаватель, а студент, который отобран и подготовлен заранее. Цели такого мероприятия разнообразны: это и непосредственное приобщение данного конкретного исполнителя к педагогической деятельности; это и призыв к другим студентам последовать примеру своего товарища; это и возможность обсудить прочитанную лекцию или

проведенное практическое занятие преподавателю совместно со студентами как с математической, так и методической и педагогической точек зрения; это, наконец, вносит определенное оживление в размеренный процесс чтения лекций и проведения практических занятий по данному курсу одним и тем же преподавателем. Наш опыт показал, что такая форма работы, особенно на старших курсах, вызывает определенный интерес у студентов.

Большие педагогические возможности заложены в семинарских занятиях. На семинары выносится теоретический материал, который оставлен студентам для самостоятельного изучения. Семинар проводят несколько студентов-докладчиков, причем после каждого доклада проводится коллективное обсуждение услышанного по ряду параметров: научность и доступность; методические достоинства и недостатки; речь, поведение и владение доской; контакт с аудиторией и т.д. С педагогической точки зрения ценно то, что студенты приобретают опыт критического анализа педагогической деятельности.

Профессиональная деятельность учителя математики представляет собой совокупность отдельных видов деятельности. От степени совершенства в овладении ими зависит уровень профессиональной деятельности будущего учителя математики. Курс дифференциальных уравнений имеет очень большие возможности в плане обучения студентов основным видам профессиональной деятельности и формирования профессиональных умений. В процессе изучения курса студент учится анализировать учебно-методическую литературу, отбирать материал и конструировать из него предметное и ролевое содержание различных форм занятий, планировать свою работу, организовывать различные виды деятельности учащихся.

Для успешного претворения в жизнь указанных форм работы со студентами при изучении ими курса дифференциальных уравнений мы подготовили учебные пособия нового типа (они описаны во второй и третьей главах диссертации). Именно этими пособиями и пользуются наши студенты для подготовки самостоятельной студенческой лекции, практического или семинарского занятия.

Говоря о профессионально ориентированных формах организации учебного процесса, нельзя не упомянуть те, что характерны именно для старших курсов, где изучается специальный курс дифференциальных уравнений. Речь идет о курсовых и дипломных работах, научной работе студентов, спецкурсах и спецсеминарах. Эти формы раскрываются в четвертом параграфе.

Раскроем общую концепцию курса дифференциальных, уравнений, логически вытекающую из всего сказанного выше. В концентрированном виде она представляет собой совокупность нескольких положений.

1) Курс дифференциальных уравнений мы рассматриваем не только и не столько как определенную порцию новой информации, сколько как носителя гуманитарного потенциала математики, способствующего общему развитию будущего учителя математики.

2) Курс дифференциальных уравнений мы рассматриваем не как раздел математического анализа, а как самостоятельный курс (в традициях азербайджанских вузов - выделение указанного курса отдельной строкой учебного плана; насколько нам известно, в большинстве российских вузов курс дифференциальных уравнений рассматривается как раздел курса математического анализа). Вообще в системе многоуровневой подготовки учителя математики целесообразно выделить базовые и завершающие математические дисциплины. К дисциплинам первого уровня уместно отнести, например, математический анализ, алгебру, геометрию, элементарную математику. Курс дифференциальных уравнений - курс второго уровня.

3) В курсе математического анализа следует выделить пропедевтическую содержательно-методическую линию дифференциальных уравнений.

4) В курсе дифференциальных уравнений следует широко использовать разнообразный спектр профессионально ориентированных форм учебной работы.

5) В постановке самого курса дифференциальных уравнений следует органически сочетать содержательно-гуманитарный и абстрактно-теоретический уровни. Первый предполагает содержательную трактовку понятий, использование генетических определений и методов доказательств, локально логическую организацию материала, широкое привлечение правдоподобных рассуждений, повышенное внимание к прикладным аспектам. Второй уровень предполагает изучение учебного предмета как замкнутой в себе области знаний со своим кругом абстрактных понятий, специфическим языком, арсеналом утонченных средств доказательных рассуждений,

В третьем параграфе речь идет о содержании курса дифференциальных уравнений. Его программа в течение ряда лет экспериментальной работы в Гянджинском государственном пединституте подвергалась изменениям и коррективам. Приводится вариант, предложенный автором совместно с доцентом Джаббаровым Ш.Т. и утвержденный

кафедрой математического анализа и научным советом Гянджинского государственного пединститута в феврале 1995 года и кафедрой математического анализа Московского педагогического государственного университета в июне 1995 года. Ответственные редакторы - доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного педагогического университета Горин Е.А. (вариант на русском языке), доктор физико-математических наук, профессор Бакинского государственного университета Марданов М.Д. (вариант на азербайджанском языке).

Студенты педвузов, как правило имеют не очень много возможностей для приобщения к научно-исследовательской работе в области математики, будущие учителя активнее включаются в научно-методическую работу, осуществляют педагогические эксперименты и т.д. Что касается НИРС, то она проявляется в основном по трем направлениям: через систему курсовых и дипломных работ, посредством участия в работе научных студенческих обществ (например, в форме докладов на конференциях НСО), посредством участия в работе спецкурсов и спецсеминаров. Каждому из указанных трех направлений в четвертом параграфе посвящен отдельный пункт.

Важное место в общей системе профессиональной подготовки будущего учителя математики занимают курсовые работы. Эта организационная форма обучения направлена прежде всего на развитие познавательной активности, самостоятельности студента, на привитие ему навыков исследовательской работы, на приобретение им опыта собственной математической деятельности. Реализация указанных функций зависит в первую очередь от гуманитарной и профессионально-педагогической направленности тематики курсовых работ.

В этом смысле интересен опыт кафедры математического анализа МГЗПИ (в настоящее время МГОПУ), которая в течение нескольких лет собирала и анализировала тематику курсовых работ ряда пединститутов России и пришла к выводу, что профессионально-педагогическая направленность может реализовываться в темах курсовых работ по трем основным линиям: темы методологического и историко-математического характера; темы, ориентирующие на углубленное изучение школьного курса математики; темы, ориентирующие на углубленное изучение некоторых разделов того или иного математического курса.

Реализуя и развивая эту идею, мы составили список тем курсовых работ по дифференциальным уравнениям, которые в течение ряда лет

предлагали студентам Гянджинского государственного педагогического института, Азербайджанского государственного педагогического университета и Московского педагогического государственного университета. При этом необходимо учесть, что в последние годы в педвузах все более и более активно развивается система дипломных работ, но в подавляющем большинстве дипломные работы пишутся студентами по методике преподавании математики, психологии, педагогике. Причина не только в том, что эти темы ближе студентам по роду их будущей профессиональной деятельности, но и в том, что тематика этих работ, как правило конкретна и вполне определенна. Привлечь студентов к написанию дипломных работ по математике, что, кстати, не менее полезно для их становления как педагогов (с уклоном в сторону педагогов-исследователей), можно лишь в случае, если предложенная им тематика будет вполне конкретной, определенной, доступной по литературным источникам, интересной и, что вероятно следует вывести на первый план, напрямую связана с тематикой курсовых работ. Тогда студент имеет возможность постепенно входить в интересующую его математическую проблематику, пройдя при этом три существенных этапа: курсовая работа, доклад на конференции научного студенческого общества, дипломная работа.

Также в этом параграфе приведены 12 тем курсовых работ из нашего списка с краткой аннотацией (то есть в таком виде, в каком они предлагаются студентам). При этом мы включили в указанный перечень только те курсовые работы, которые могли бы естественно перерасти в дипломные работы с промежуточным этапом в виде доклада на конференции НСО.

Еще одной формой приобщения студентов к научно-исследовательской работе являются спецкурсы и спецсеминары. Фактически уже из перечня тем курсовых и дипломных работ легко сделать вывод о возможности постановки самых разнообразных спецкурсов и спецсеминаров, которые в той или иной степени решают задачи полноценной реализации гуманитарного и профессионально-педагогического потенциала курса дифференциальных уравнений, способствуют углубленному изучению тех или иных разделов курса, помогают студентам в выборе тем курсовых и дипломных работ, в подготовке докладов на конференции научного студенческого общества. В диссертации приведены примеры тем некоторых спецкурсов и спецсеминаров, дана детальная разработка одного из них.

Если первая глава диссертации носит по преимуществу теоретический характер, то вторая, третья и четвертая главы более конкретны. Во второй и третьей главах раскрываются пути реализации гуманитарной и профессионально-педагогической направленности курса дифференциальных уравнений в учебных пособиях нового типа, одним из авторов которых является автор настоящего исследования. Обсуждая гуманитарные составляющие практически любого математического курса педвуза, мы выделили в числе ведущих четыре компонента, вносящих наибольший вклад в формирование общей и математической культуры студента: методологическая и прикладная направленность курса, математическое моделирование, межпредметные связи. В первой главе, обсуждая профессионально-педагогические составляющие математического курса педвуза, мы заострили внимание на тех компонентах, которые вносят наибольший вклад в формирование методической культуры будущего учителя математики. В совокупности получился весьма обширный набор требований к математическому курсу и, естественно, к преподавателю педвуза, который излагает этот курс студентам. Но известно, сколь бы ни был подробен и обоснован набор требований, установок, принципов, сколь бы логичной и детерминированной ни была выстроенная концепция, она остается мертворожденной схемой на уровне деклараций, пока не дан конкретный образец ее реализации. Именно такое значение мы и придаем материалу, включенному во вторую и третью главы, где в конспективном виде представлены учебные пособия для занятий по курсу дифференциальных уравнений, по структуре и идейному наполнению отличающиеся от традиционных пособий.

Отметим наиболее существенные методические особенности этих пособий.

1. Практически в каждое домашнее задание включается задача на составление дифференциального уравнения. В традиционной методике задачам на составление дифференциальных уравнений отводится одно, максимум два практических занятия. Этого явно недостаточно для понимания важности и многообразия использования дифференциальных уравнений, для полноценной реализации гуманитарных и профессионально-педагогических компонентов курса, о которых шла речь выше. "Задачная линия" в базовом курсе дифференциальных уравнений должна быть сквозной.

2. Пособия содержат целый ряд оригинальных задач, решение которых требует изображения интегральных кривых на координатной плоскости. Подчеркнем принципиальную важность для понимания

многих вопросов курса умения студентов решать такие задачи и правильно изображать на чертеже интегральные кривые. Вид интегральных кривых бывает весьма разнообразным, поэтому студенты автоматически вынуждены вспомнить многие разделы математического анализа, дающие выход на построение графиков, что очень важно для будущего учителя математики.

3. Принципиальной методической особенностью пособий является систематическое и целенаправленное подведение студента к пониманию проблем, связанных с математически строгой формулировкой задачи "решить дифференциальное уравнение". Хотелось бы сделать это понятие таким же естественным для студентов, как задача Коши, начальные и граничные условия и т.д. Дело в том, что студентам, как правило, не дается математически корректная формулировка задачи "решить дифференциальное уравнение". Обычно эта задача понимается как нахождение всех решений дифференциального уравнения, что на самом деле практически никогда невыполнимо (за исключением, может быть, линейных уравнений). С другой стороны записав ответ на поставленную задачу "решить дифференциальное уравнение" в виде Р(х, у, С) = О, мы не в состоянии дать вразумительное объяснение, почему тем самым задача о решении дифференциального уравнения считается выполненной. В пособиях предлагается нетрадиционный способ разрешения возникших при этом вопросов.

Естественно, что в диссертации представлены лишь те параграфы пособий, которые в совокупности дают достаточно полное представление об указанных выше методических особенностях пособий в целом.

Пособие "Практические занятия по обыкновенным дифференциальным уравнениям" полезно будущему учителю математики не только потому, что с его помощью он знакомится с еще одной, пока ему незнакомой главой математики, но и потому, что оно по своей методологической направленности дает хороший пример организации изучения нового материала.

Изучение дифференциальных уравнений в педагогическом вузе по этому пособию требует четкой организации всего учебного процесса. Необходимо произвести "расчасовку" выделенного учебным планом времени, т.е. распределение количества часов, необходимых для прохождения конкретной темы. При этом выделяются те задачи, которые должны быть проработаны на занятии в аудитории, задачи для самостоятельной работы дома и дополнительные задачи, работа над которыми поможет закрепить новый материал.

С точки зрения последовательности изучения предлагаемого материала данное пособие также может служить хорошей иллюстрацией к

осуществлению на практике требования отдавать приоритет при изучении какой-либо сложной математической теории не формальнологическому построению курса, а идти в этом изучении от простого к сложному. Действительно, с позиций формальной логики следовало бы перед изучением методов интегрирования различных уравнений математически строго сформулировать задачу об интегрировании этих уравнений, а потом уже изучать различные методы интегрирования. Однако такой путь вряд ли был бы успешным. Ведь студент, не умея еще интегрировать даже простые уравнения, не готов к пониманию сложностей, связанных с математической формулировкой задачи о решении дифференциального уравнения. Поэтому мы считали разумным сначала лишь обозначить проблему, поставив перед студентами вопрос: что значит решить (проинтегрировать) данное дифференциальное уравнение? При этом сразу устанавливается, что при естественном понимании этой задачи как задачи получения всех решений уравнения, мы оказываемся в тупике даже при решении самых простых дифференциальных уравнений. После этого мы переходим к изучению методов интегрирования различных дифференциальных уравнений первого и второго порядков, заявив, что будем пока понимать выполняемую задачу не строго математически, а на интуитивном уровне. Лишь обучив студента технике интегрирования различных дифференциальных уравнений, мы снова возвращаемся к ранее обозначенной проблеме о конечной цели наших операций над предложенным дифференциальным уравнением. Сейчас студент уже владеет техникой интегрирования и, используя полученный при этом опыт, он значительно легче осознает и смысл вводимых понятий, связанных с эквивалентным преобразованием решаемого уравнения и необходимость введения этих понятий. Здесь же полезно будет объяснить, что употребляемые во многих учебных пособиях понятия общего и особого решений неэффективны при постановке и выполнении задачи проинтегрировать дифференциальное уравнение. Полезно будет убедить студента, что с точки зрения формальной логики, конечно можно формулировать интересующую нас задачу как задачу о нахождении общего и всех особых решений исследуемого уравнения. Однако, ответы в любом сборнике задач по дифференциальным уравнениям сразу убедят нас в том, что там приведен ответ, ничего общего с этими понятиями не имеющий.

При этом хотелось бы остановиться на необходимости рассмотрения указанных выше вопросов именно в педагогическом вузе. Заметим, что среди многочисленных учебных пособий по дифференциальным уравнениям нет таких, которые как-то ставили и разрешали бы

вопросы, связанные с математической корректностью задачи об интегрировании дифференциальных уравнений. Для инженерных вузов эта естественно-математическая формулировка задачи об интегрировании дифференциальных уравнений не актуальна, достаточно обойтись умением решать линейные уравнения, где все можно аккуратно сделать, оперируя понятием общего решения. Правда тут можно отметить ряд работ А.Ф.Филиппова. Но это у него делается не в общем курсе дифференциальных уравнений, а в специальном курсе.

Для будущих же учителей эта проблема весьма актуальна. Известно сколь важно для школьников умение эквивалентного преобразования различных алгебраических и тригонометрических уравнений. Здесь все время сталкиваешься с потерей корней и приобретением новых. Из математических предметов, изучаемых в вузе, именно дифференциальные уравнения дают будущему учителю наилучшую практику в этих вопросах. А для этого необходимо, чтобы задача интегрирования дифференциальных уравнений была сформулирована так, чтобы ее выполнение требовало эквивалентных преобразований над исходным уравнением. Именно в этом нам видится главный методологический аспект предлагаемого учебного пособия.

Что касается вопросов межпредметных связей и прикладной направленности курса дифференциальных уравнений, изучаемого по данному учебному пособию, то в нем реализованы установки первого параграфа первой главы диссертации. Наиболее тесная связь здесь как обычно, существует с общим курсом математического анализа, без знания которого невозможно освоить технику интегрирования дифференциальных уравнений. Необходимость хорошо разбираться в вопросах линейной алгебры проявляется (как и при традиционных способах изучения) при рассмотрении темы "Линейные дифференциальные уравнения". Предлагаемые в каждом задании на дом физические и геометрические задачи говорят и о прикладной направленности курса, и о межпредметных связях с физикой, геометрией, химией, экологией, биологией и т.д. Необходимо отметить систематичность рассмотрения текстовых задач. В традиционных учебных пособиях этого обычно не требуется. Однако, наш опыт работы убеждает нас в громадной пользе именно систематического рассмотрения на протяжении всего курса дифференциальных уравнений текстовых задач.

Подтверждением этому являются конкретные задачи, рассмотренные в диссертации, например, задача о работе сердца и математическая модель биологической проблемы, связанной с существованием различных видов животных, известной как задача "хищник-жертва". Решение этих задач вплотную подводит студента к осознанию тех 4-х

компонентов гуманитното потенциала образования, о которых говорилось выше.

Опыт использования пособия в Гянджинском государственном педагогическом институте, Азербайджанском государственном педагогическом университете и в Московском педагогическом государственном университете показал, что каких-либо существенных корректив в предлагаемую этим пособием методику вводить не следует. Из-за недостатка времени некоторые из разобранных в пособии тем могут быть изучены студентами самостоятельно. Такими темами могут быть, "Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной" и "Уравнения Лагранжа и Клеро". Отметим, что при этом необходимо проверить, насколько студенты усвоили материал. Это наиболее разумно сделать, дав каждому из них "большое домашнее задание", где требуется, например, решить уравнение вида у = ау'х + {у')2 и построить интегральные кривые этого уравнения. При этом каждому студенту даются свои значения параметра а.

Предлагаемое в третьей главе рассмотрение вопросов курса "Дифференциальные уравнения с частными производными" в педагогических вузах отвечает общим требованиям, сформулированным в первой главе в отношении общих компонентов, вносящих наибольший вклад в формирование математической культуры будущего учителя.

В самом деле, если говорить о методологической направленности этого курса, то в первую очередь заметим, что он изучается на математическом факультете обычно в конце обучения. Надо учитывать, что с момента окончания изучения математического анализа и связанных с ним математических предметов уже прошло немало времени и многие из этих вопросов уже забыты студентами. Поэтому возникает задача не столько познакомить их с какими-то новыми разделами математики сколько напомнить то, что они уже когда-то изучали в математическом анализе. В связи с этим нами установлено, что в этом курсе не следует рассматривать также такие традиционные для него вопросы, как параболические и эллиптические уравнения. Достаточно ограничиться рассмотрением гиперболических уравнений. При этом обязательно надо уделить должное внимание формуле Даламбера и связанным с ней вопросам построения графической формы бесконечной и особенно полубесконечной струны. Практика показывает, что при этом вспоминаются и хорошо закрепляются когда-то изученные, но уже основательно забытые методы построения графиков функций с помощью их линей-

ных преобразований. При этом хорошо иллюстрируется вопрос о непрерывности первообразной, используемой для применения формулы Ньютона-Лейбница. В отличие от традиционных курсов по уравнениям с частными производными здесь предлагается больше внимания уделить задаче Коши. Это очень полезно для будущего учителя в связи с тем, что решение таких задач закрепляет в его сознании понятие сложной функции и все вопросы, связанные с нахождением первых и особенно вторых производных таких функций. Эти вопросы обычно изучаются на втором курсе при рассмотрении функций многих переменных. Там сама техника дифференцирования отрабатывается из-за недостатка времени весьма фрагментарно. Это естественно, поскольку математическая формулировка такой задачи в курсе математического анализа звучит очень тяжеловесно. В курсе же уравнений с частными производными эта задача возникает сама собой и ее постановка не вызывает недоумения у студентов.

Остановимся еще на одной отличительной особенности данного курса. Речь идет о геометрическом смысле задачи Коши. Как правило, этим вопросам в педвузах не уделяется сколько нибудь существенного внимания. В результате лишь незначительная часть обучаемых может разумно объяснить геометрический смысл задачи Коши. Особое затруднение вызывает понимание смысла задания производной по ко-сательной и по нормали к некоторой кривой. Здесь необходимо хорошо понимать ряд вопросов дифференциальной геометрии, но как правило этот раздел весьма поверхностно изучается в курсе геометрии. Рассмотрение этих вопросов в курсе дифференциальных уравнений с частными производными не только является иллюстрацией к богатым межпредметным связям данного курса, но и способствует более глубокому пониманию ряда уже изученных ранее тем.

Курс дифференциальных уравнений в частных производных характеризуется своей прикладной направленностью. Ведь решаемые здесь задачи возникают из практической деятельности человека. Для подчеркивания этой особенности рекомендуется в каждое домашнее задание включать по одной задаче на составление уравнений из числа задач, приведенных в одном из разделов пособия.

Практическая проверка эффективности изучения курса уравнений с частными производными проводилась в Гянджинском государственном педагогическом институте, Азербайджанском государственном педагогическом университете и Московском педагогическом государственном университете. Результаты оказались весьма положительными.

Можно констатировать усвоение большинством студентов основных понятий этого курса и выработку достаточно прочных навыков по их практическому применению.

Четвертая глава посвящена использованию компьютера при обучении дифференциальным уравнениям. Самое главное достоинство связано с возможностью индивидуализировать обучение, заставить обучаемого изучать такие науки, как математика, в соответствии с той скоростью, с которой данный студент способен усваивать новый материал. Применение компьютеров значительно упрощает проблему проверки степени усвоения этого материала.

Из многочисленных обучающих систем, созданных за последнее время, с нашей точки зрения наиболее подходит автономная обучающая система "Диана". Написанный под эту систему обучающий сценарий по наиболее важной для усвоения будущими учителями теме курса дифференциальных уравнений "Линейные системы с постоянными коэффициентами" иллюстрирует выполнение всех выше указанных особенностей обучения. Мы считаем, что с методологической стороны такое обучение должно оказаться эффективнее традиционного, поскольку при традиционном способе обучения невозможно обеспечить ни индивидуализацию обучения, ни изучения нового материала со скоростью, приемлемой только для данного обучаемого, ни строгой последовательности при изучении этого материала, т.е. изучении его в соответствии с принципом от простого к сложному.

Для будущего учителя изучение данной темы с помощью компьютера важно еще и потому, что это должно убедить его в эффективности применения компьютеров при обучении. Можно надеяться, что, став учителем, он будет стремиться также использовать компьютер для обучения. И только тогда, когда в силу компьютерного обучения поверит большинство преподавателей как школы, так и вуза, можно надеяться на перелом в сознании общества относительно возможностей компьютера.

Отметим, что изучение теоретического материала начинается практически с нуля и без помощи преподавателя. В каждом блоке все ошибки комментируются и, в зависимости от характера ошибки, студент адресуется к соответствующему обучающему циклу. В итоге высвобождается время преподавателя, осуществляется индивидуальный подход в процессе обучения, так как в любое свободное время студент может прийти и самостоятельно изучить интересующий его материал. Причем затратить на это столько времени, сколько ему необходимо.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Выделены компоненты гуманитарного потенциала курса дифференциальных уравнений: понимание сущности прикладной направленности обучения математике, овладение методом математического моделирования, умения осуществлять в обучении межпредметные связи, профессионально-педагогическая направленность.

2. Определены шесть целевых установок, которые следует реализовать при постановке курса дифференциальных уравнений в педвузе. Это:

- воспитание научного мировоззрения;

- формирование достаточного для работы в школе уровня математических знаний, умений и навыков, в частности, прикладных умений;

- формирование высокого уровня математического мышления;

- обеспечение определенного опыта математической деятельности, включающей в себя построение математических моделей реальных процессов, разработку аппарата для исследования математических моделей, умение преобразовать научный материал в учебный, т.е. умение осмыслить фрагмент научной теории и дидактически препарировать его во фрагмент учебной дисциплины;

- формирование достаточно высокого уровня математической культуры, к числу компонентов которой, реализуемых в курсе дифференциальных уравнений, можно отнести умение выбрать правильное соотношение между содержательным и формальным, между строгостью и наглядностью, умение выбрать уровень строгости и полноты изложения адекватно целям и задачам обучения;

- воспитание интереса к математике, развитие математических способностей.

3. В работе показано, как на материале курса дифференциальных уравнений можно наполнить конкретным содержанием следующие компоненты методической модели курса:

- мотивация;

- пропедевтика;

- обучение студентов математическому моделированию;

- прямое и косвенное обучение студентов принципам дидактики;

- обучение студентов реализации и правильному пониманию межпредметных связей;

- критический анализ школьных учебных пособий (по базовому и дополнительным курсам).

4. В процессе исследования нами обоснована концепция курса дифференциальных уравнений, состоящая из пяти положений:

1) Курс дифференциальных уравнений мы рассматриваем не только и не столько как определенную порцию новой информации, сколько как носителя гуманитарного потенциала математики, способствующего общему развитию будущего учителя математики.

2) Курс дифференциальных уравнений мы рассматриваем не как раздел математического анализа, а как самостоятельный курс.

3) В курсе математического анализа следует выделить пропедевтическую содержательно-методическую линию дифференциальных уравнений.

4) В курсе дифференциальных уравнений следует широко использовать разнообразный спектр профессионально ориентированных форм учебной работы.

5) В постановке самого курса дифференциальных уравнений следует органически сочетать содержательно-гуманитарный и абстрактно-теоретический уровни.

5. В исследовании представлена разработанная автором программа курса дифференциальных уравнений, а также та часть курса, которую целесообразно включить в программу госэкзамена.

6. Проанализированы возможности приобщения студентов к научно-исследовательской работе по дифференциальным уравнениям через систему курсовых и дипломных работ, а также через систему спецкурсов и спецсеминаров.

7. Раскрыты пути реализации гуманитарной и профессионально-педагогической направленности курса дифференциальных уравнений в учебных пособиях нового типа, одним из авторов которого является автор настоящего исследования.

8. Исследованы возможности компьютера при обучении дифференциальным уравнения, создана автономная обучающая система, которая может работать в обучающем режиме без непосредственного участия преподавателя до тех пор, пока это участие не становится необходимостью.

Таким образом, в ходе исследования решены все поставленные задачи, построена методическая система обучения дифференциальным уравнения в педвузе (сформулированы цели изучения дифференциальных уравнений в педвузе, разработано содержание курса, методы и формы его изучения - от лекционных и практических занятий до госэкзаменов и НИРС, описаны возможности компьютера как средства обучения).

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Книги

1. Математический анализ (Учебное пособие для педвузов на азербайджанском языке). - Кировобад, 1987. - 134 с. (в соавторстве).

2. Практические занятия по дифференциальным уравнениям. (Учебное пособие для студентов пединститутов). - М.: Прометей, 1991. - 128 с. (в соавторстве).

3. Абитуриент, студент, преподаватель (на азербайджанском языке). -Гянджа, 1992. - 71 с. (в соавторстве).

4. Технические средства информатики и их применение. (Учебные пособия для вузов на азербайджанском языке). - М.: Прометей, 1994. -97 с. (в соавторстве).

5. Гуманитарный потенциал профессионально ориентированного курса дифференциальных уравнений в педвузе. Монография. - М.: Прометей, 1996. - 129 с.

6. Дифференциальные уравнения с частными производными. Теория. Примеры. Задачи. (Учебное пособие для студентов математических факультетов педуниверситетов и пединститутов). - М.: Прометей, 1997 - 184 с. (в соавторстве).

Статьи, доклады, тезисы докладов и программы

7. Комплексное представление регулярных решений одного класса эллиптических уравнений. II Материалы научной конференции молодых исследователей, посвященной торжествам полувекового юбилея АПИ

. им. В.И. Ленина (13-15 февраля 1973), Баку, 1973. - С. 109-114.

8. Об одном представлении регулярных решений нагруженных дифференциальных уравнений в линейных нормированных кольцах. // Труды АзСХИ им. С.Агамалиоглы, серия механизации, выпуск 27, Кировобад, 1975. - С. 162-167.

9. Задача Дирихле для неэрмировых решений уравнения Лапласа в кольце с инволюцией. // Сборник трудов молодых ученых, (АзНИИМЭСХ) выпуск 2, Кировобад, 1975. - С. 199-201.

10. Задача Дирихле для векторного уравнения Лапласа. // Сборник трудов молодых ученых, (АзНИИМЭСХ ) выпуск 3, Кировобад, 1976. -С. 159-166.

11. Комплексное представление для векторных регулярных решений одного класса эллиптических уравнений. // Труды АзСХИ им. С.Агамалиоглы, серия механизации, выпуск 28, Кировобад, 1976. -С. 159-163.

12. Функции Римана для эллиптических уравнений 2-го порядка в нормированных кольцах. // Материалы конференции по прикладной математики, посвященной 25-летию Института математики и механики АН Азерб. ССР, Баку: Элм, 1984. - С. 25-27.

13. Интегральные уравнения типа Вольтерра в нормированных кольцах. // Материалы V Республиканской конференции молодых ученых по математике и механике, посвященной 25 летаю ИММ АН Азерб. ССР, том I (математика), (21-24 мая 1984), Баку: Элм, 1984. - С. 31-35.

14. Применение принципа сжимающих отображений к одной бесконечной системе дифференциальных уравнений. // Материалы V Республиканской конференции молодых ученых по математике и механике, посвященной 25-летию ИММ АН Азерб. ССР, том I (математика), (21-24 мая 1984), Баку: Элм, 1984. - С. 36-39.

15. Неэрмитовые решения полигармонического уравнения в нормированном кольце с инволюцией. // Программирование решение прикладных задач (Межвузовский сборник трудов МГПИ им. В.И. Ленина), Москва, 1984. - С. 34-36.

16. Неэрмитовые решения полигармонического уравнения в нормированном кольце с инволюцией. // Челябинский Политехнический институт им. Ленинского комсомола, Сибирское отделение АН СССР. Институт математики, XI Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов (26-30 мая 1986), часть III, Челябинск, 1986. - С. 14.

17. Роль ЭВМ в развитии народного хозяйства страны. // Материалы научно-практической конференции (на азербайджанском языке), Даш-кесан, 1987. - 3 с. (в соавторстве).

18. Программа языка Бейсик и его применение в ДВК. // Материалы научно-практической конференции (на азербайджанском языке), Даш-кесан, 1987. - 3 с. (в соавторстве).

19. Использование краевых задач в курсе математики средней школы. // Интенсификация учебного процесса как средство профессиональной подготовки будущего учителя математики. (Тезисы Всероссийского межвузовского семинара), Ярославль, 1990. - С. 59 (в соавторстве).

20. Совершенствование техники арифметических вычислений в процессе изучения математического анализа в педагогических институтах. II Психолого-педагогические основы преподавания математических дисциплин в пединституте. Обучение и развитие. (Тезисы Всероссийского межвузовского семинара), Ульяновск, 1991. - С. 54 (в соавторстве).

21. Дидактические особенности различных способов введения понятия

интеграла в педвузе. // Психолого-педагогические основы преподавания математических дисциплин в пединституте. Обучение и развитие. (Тезисы Всероссийского межвузовского семинара), Ульяновск, 1991. -С. 60 (в соавторстве).

22. Обеспечение учебно-методических пособий по матанализу студентов математического факультета Гянджинского пединститута. // Проблемы учебно-методического обеспечения учебного процесса. (Тезисы Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов), Москва - Рязань, сентябрь 1991. - С. 20 (в соавторстве).

23. Об изучении темы "Равносильность уравнений" в курсе элементарной математики. // Курс элементарной математики в системе подготовки учителя. (Тезисы докладов X Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов), Чебоксары, апрель 1992. - С. 93 (в соавторстве).

24. К вопросу о межпредметных связях темы "Функциональные последовательности". // Межпредметные и внутрипредметные связи математических курсов пединститута. (Тезисы Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов), Коломна, сентябрь 1992. - С. 24. (в соавторстве).

25. Обобщение интеграла Лебега. //Тезисы докладов итоговой научно-исследовательской конференции за 1991 год, Гянджинского государственного педагогического института им. Г.Зардаби (на азербайджанском языке), Гянджа, 1992. - С. 94-95. (в соавторстве).

26. К вопросу о программе курса математического анализа при двухступенчатой форме обучения. II Проблемы двухступенчатой подготовки учителя математики в педвузах. (Тезисы Всероссийского семинара преподавателей педвузов), Липецк, сентябрь 1993. - С. 144. (в соавторстве).

27. О преподавании некоторых глав математического анализа в связи с расширением понятия интеграла.// Международная конференция "Подготовка преподавателя математики для высшей и средней школы" , МПГУ, (24-26 мая 1994), часть 1. М„ 1994. - С. 40-41.

28. Обучающая программа "тригонометрические функции острого угла". // Международная конференция "Подготовка преподавателя математики и информатики для высшей и средней школы", МПГУ, (24-26 мая 1994), часть 2. М., 1994. - С. 34-35. (в соавторстве).

29. Об активизации учебной работы студентов математического факультета Гянджинского госпединститута в процессе изучения математического анализа. // Подготовка учителя математики в педвузах в уело-

виях профильной и уровневой дифференциации обучения в школах. (Тезисы докладов XIII Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов), Елабуга, сентябрь 1994. - С. 10.

30. Дифференциальные уравнения в стандарте специальной подготовки учителя математики. // Проблемы стандарта подготовки учителей математики в педагогических вузах. (Тезисы докладов XIV Всероссийского семинара преподавателей математики педагогических вузов), Орск, октябрь 1995. - С. 84. (в соавторстве).

31. Дифференциальные уравнения. (Программа для пединститутов и пе-дуниверситетов, на русском и азербайджанском языках). - Москва-Гянджа, 1995. - 25 с. (в соавторстве).

32. Програмное обеспечение по курсу "Дифференциальные уравнения" в педвузе. // Избранные проблемы из разных областей науки. (Научные труды Гянджинского государственного педагогического института им. Г.Зардаби, на азербайджанском языке), Гянджа, 1995. - С. 53.

33. Гуманитарный потенциал курса дифференциальных уравнений в педвузе. // Научные труды Московского педагогического государственного университета им. В.И. Ленина, серия: естественные науки, М.: Прометей, 1996. - С. 43-44.

34. Теоремы о среднем значении при исследовании дифференциальных уравнений. // Тезисы докладов XXXII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского Университета Дружбы Народов, часть 2, математические секции (28 мая -2 июня 1996), Россия, Москва, 1996. - С. 29.

35. Гуманитарный потенциал курса дифференциальных уравнений. // Гуманитарный потенциал математического образования в школе и педвузе. (Тезисы докладов XV Всероссийского семинара преподавателей математики педагогических вузов, посвящается 200-летию РГПУ им. А.И. Герцена), Санкт-Петербург: Образование, 1996. -С. 54-55.

36. Дифференциальные уравнения. (Программа для математического факультета МПГУ им. В.И. Ленина, по специальности 540101 - математика). - М.: Прометей, 1996. - 8 с. (в соавторстве).

37. Новые элементы структурной схемы обучающей программы "Адаптивный лабиринт". // Комплексный анализ и его приложения. (Межвузовский сборник научных трудов. Московский педагогический государственный университет им. В.И. Ленина), М.: Прометей, 1996.-С. 62-65.

38. Применение компьютера для изучения дифференциальных уравнений.

// Комплексный анализ и его приложения. (Межвузовский сборник научных трудов. Московский педагогический государственный университет им. В.И. Ленина), М.: Прометей, 1996. - С. 65-66.

39. Гуманитарный потенциал курса дифференциальных уравнений в педвузе. // Научные труды МПГУ им. В.И.Ленина, серия: естественные науки, М.: Прометей, 1996 - С. 43-44.

40. Дифференциальные уравнения и государственный экзамен по математике в педвузе. // Научные труды МПГУ им. В.И.Ленина, серия: естественные науки, М.: Прометей, 1997 - С. 304-305.

Содержание диссертации автор научной статьи: доктора педагогических наук, Асланов, Рамиз Муталлим оглы, 1997 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ

НАПРАВЛЕННОСТЬ КУРСА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§ 1. Гуманитарный потенциал курса дифференциальных уравнений.

§ 2. Концепция профессионально-педагогической направленности обучения и дифференциальные уравнения.

§ 3. Программа курса дифференциальных уравнений для педагогических институтов и университетов.

§ 4. Дифференциальные уравнения и научно-исследовательская работа студентов.

ГЛАВА 2. ПУТИ РЕАЛИЗАЦИИ ГУМАНИТАРНОЙ И

ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ КУРСА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В УЧЕБНОМ

ПОСОБИИ НОВОГО ТИПА.

§1. Принципиальные особенности пособия нового типа.

§2. Примеры физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

§3. Основные понятия, связанные с дифференциальными уравнениями.

§ 4. Продолжение решений и вопросы, связанные с их единственностью.

§ 5. Уравнение в полных дифференциалах.

§6. Всеобщий интеграл.

§ 7. Уравнения, не разрешенные относительно производной.

§8. Общее решение и всеобщий интеграл.

ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ ПЕДВУЗА.

§1. Однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных.

§ 2. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.

§ 3. Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.

§ 4. Задача Коши для волнового уравнения. Формула

Даламбера. Бегущие волны. Корректность постановки задачи Коши.

ГЛАВА 4 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРА ПРИ ОБУЧЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

§ 1. Общая структура автоматической обучающей системы (АОС).

§ 2. Методика построения обучающих сценариев по математике.

§ 3. Адаптивный лабиринт - эффективная структура автономной обучающей системы.

§ 4. Изучение однородных дифференциальных уравнений второго порядка с помощью персональных компьютеров.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методическая система обучения дифференциальным уравнениям в педвузе"

Проблемы подготовки учителя математики в педвузах постоянно находятся в зоне повышенного внимания исследователей, занимающихся проблемами математического образования в России и других странах СНГ. Среди них разработки новой крупной комплексной темы "Исследование новых принципов и перспективных технологий подготовки учителя в условиях непрерывного педагогического образования4' (руководитель темы - академик Матросов B.JI.). В МПГУ создан научно-методический центр высшего педагогического образования, была разработана концепция исследования, центральное место в которой занимает анализ личности учителя, его социально-педагогические, психологические и физические качества. Значительное место в концепции занимает разработка информационных технологий обучения и управления образованием [68], [65].

Это связано прежде всего с тем, что концепция школьного курса математики уже не отвечает социальному заказу современного общества. Не случайны поэтому активные поиски новых концепций школьного курса математики и. как следствие, активные поиски новых подходов к подготовке учителя математики в педвузах. Достаточно указать на ряд докторских диссертаций, посвященных этой проблеме и защищенных в последние годы. Это работа А.Г.Мордковича [179], где сформулирована концепция профессионально-педагогической направленности математической подготовки учителя, работа Г.Л.Луканкина [157]. где в комплексе выявлены научно-методические основы подготовки учителя, работа Г.Г.Хамова [259], где выстраивается методическая система алгебраической подготовки учителя математики, работа Э.И.Кузнецова [150]. где раскрываются общеобразовательные и профессионально-прикладные аспекты изучения информатики и вычислительной техники в педагогическом институте, работа Н.Л.Стефановой [233], где проанализированы теоретические основы системы методической подготовки учителя математики в педвузах.

Мы из всего блока вопросов математической подготовки учителя математики в педагогических институтах и университетах выбрали курс дифференциальных уравнений. Этот выбор объясняется не только математической специализацией автора исследования, но и рядом объективных обстоятельств. Раскроем их.

Математический анализ в целом занимает одно из ведущих мест в математической подготовке учителя. Дело даже не в том. что элементы математического анализа в той или иной степени входят в программу школьного курса математики или факультативных курсов. Дело в том, что идеи и методы анализа в явной или неявной форме пронизывают, например, весь школьный курс алгебры 7-11, одной из приоритетных содержательно-методических линий которого является функционально-графическая линия. Но традиционно сложилось так, что исследователи, занимающиеся проблемами профессионально-ориентированной постановки курса математического анализа в педвузах, уделяют внимание лишь начальным разделам анализа (функция, предел, производная, интеграл). Мало работ, оценивающих значение теории рядов для становления учителя математики, функций многих переменных, мало исследований. связанных с курсов дифференциальных уравнений. Отдельные рекомендации, но ориентированные только на то, что курс дифференциальных уравнений рассматривается как раздел курса математического анализа, можно найти в докторских диссертациях Г.Л.Луканкина [157], А.Г.Мордкович [179]. В.Н.Келбакиани [133], Ю.А.Сидорова [227], М.И.Шабунина [263], кандидатских диссертациях Т.И.Глушковой [91], К.Сурганова [235]. Особо отметим кандидатские диссертации Х.А.Гер-бекова [89] и Б.А.Найманова [188].

Х.А.Гербеков [89] выстроил концепцию изучения базового курса дифференциальных уравнений, но в рамках единого курса математического анализа; до обсуждения проблем специального курса дифференциальных уравнений дело не дошло. Б.А.Найманов [188] исследовал прикладную направленность курса дифференциальных уравнений, но опять же только в рамках единого курса математического анализа.

В последнее время при обсуждении проблем школьного математического образования все чаще звучит тезис о гуманитарном (общекультурном) потенциале школьного курса математики. Этот тезис положен в основу новых учебников по математике для 5-6 классов под редакцией Г.В.Дорофеева и И.Ф.Шарыгина [111], учебника по алгебре для 7 класса А.Г.Мордковича [180]. Вкратце концепция последнего учебника сводится к следующему: математика изучает математические модели реальных процессов, а модели описываются на математическом языке, значит, надо изучать математический язык, чтобы с его помощью успешно работать со все более и более сложными моделями. Умение составлять математические модели реальных процессов и работать с ними, используя адекватные средства, - составная часть общей культуры человека, особенно в наше время, в период активной математизации различных отраслей знаний.

Разделяя эту концепцию, мы в то же время вынуждены констатировать: к ее реализации современный учитель не совсем подготовлен, поскольку в период обучения студентов в стенах педвуза гуманитарная составляющая математических курсов далеко не всегда выводится на первый план. В этой связи особенно велика роль курса дифференциальных уравнений, где, по сути дела, математическая модель и математический язык - ключевые слова: не зря ведь считают, что вся природа "говорит" на языке дифференциальных уравнений.

Представления о математическом моделировании в настоящее время приобретают общекультурную и общеобразовательную ценность и открывают возможности для формирования у студентов представлений о роли моделей и моделирования не только в математике, но и в физике, химии, биологии, экологии, географии, экономике и т.д.

В методической литературе часто предлагается начинать изложение новых теорий с проблем практики, породивших эти теории, а после логического построения теорий указывать области их приложения. Преимущества такого подхода хорошо известны. Особенно удачно этот подход может быть осуществлен в преподавании курса "Дифференциальные уравнения".

Теория дифференциальных уравнений широко применяется в различных областях науки. Простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными описывает и процесс изменения атмосферного давления в зависимости от высоты над уровнем океана, и процесс распада радия, и процесс изменения народонаселения, и процесс охлаждения тела и т.д.

Множество разнообразных примеров, иллюстрирующих применение теории линейных дифференциальных уравнений, дают радиоприборы. Неизвестными функциями времени в этом случае являются величины токов, проходящих через различные детали прибора, или падения напряжения между отдельными узлами прибора. Для решения таких уравнений характерны тригонометрические (или гармонические) колебания. При решении задач можно провести простейший качественный анализ построенного общего решения, установить соответствие устойчивых решений модели реальной картине "установившегося режима" в работе прибора.

Решение уравнений с параметрами можно проиллюстрировать моделями, описывающими динамику развития взаимодействующих биологических популяций (например, модель Вольтерра - Лотка). Интересны студентам будут и модные сегодня экономические модели.

Изучение дифференциальных уравнений на примерах из приложений внесет разнообразие в занятия, даст почву для развития воображения и мышления, покажет студентам, что абстрактность дифференциальных уравнений является средством изучения явлений природы с помощью математических моделей.

Курс дифференциальных уравнений играет большую роль в фундаментальной подготовке будущего учителя в плане формирования у студента научного мировоззрения, определенного уровня математической культуры, определенного уровня методической культуры, особенно по таким компонентам, как понимание сущности прикладной и практической направленности обучения математике, овладение методом математического моделирования, умение осуществлять в обучении межпредметные связи. К числу компонентов гуманитарного потенциала курса дифференциальных уравнений в педвузе, кроме вышеперечисленных, мы относим также профессионально-педагогическую направленность этого курса, причем, по сравнению с другими разделами математического анализа, здесь скрыты наибольшие возможности для полноценной реализации профессионально-педагогической направленности обучения, поскольку студент подходит к изучению курса дифференциальных уравнений уже изучив, в основном, курс методики преподавания математики, пройдя первую педагогическую практику. Это налагает на преподавателя курса дифференциальных уравнений особые обязанности по реализации в курсе принципа бинарности - наиболее адекватного соединения собственно математической (общенаучной) и методической линии.

Изучение курса дифференциальных уравнений и его методов дает еще один инструмент для познания мира, в котором мы живем, позволяет сформировать образное и научное представление о реальном физическом пространстве.

Таким образом, актуальность темы нашего исследования объясняется тем, что:

- математический анализ в целом и курс дифференциальных уравнений. в частности, вносят очень весомый вклад в математическое образование будущего учителя;

- имеется сравнительно немного исследований, посвященных проблемам постановки в педвузах курса дифференциальных уравнений, но во всех таких исследованиях этот курс рассматривается как раздел курса математического анализа; не учитывается тенденция выделения этого курса в самостоятельную учебную дисциплину;

- достаточно велик и требует специального осмысления и исследования гуманитарный (общекультурный) и, в частности, профессионально-педагогический потенциал курса дифференциальных уравнений.

Проблему исследования можно сформулировать следующим образом. Курс дифференциальных уравнений, с одной стороны, весьма абстрактен. со своей спецификой, со своей терминологией, со своими моделями, зачастую довольно тонкими. Изучая этот курс, студент часто теряет ориентиры, не понимает, для чего все это нужно будущему учителю. С другой стороны, курс дифференциальных уравнений - один из самых выигрышных в деле осознания будущим учителем сущности математики, прикладной направленности, ее воспитательного значения. Налицо противоречие между гуманитарным потенциалом курса и тем. что обычно получает студент на выходе по окончании изучения курса. Проблемой исследования является разрешение этого противоречия.

Цель исследования состоит в разработке профессионально-ориентированной методической системы изучения курса дифференциальных уравнений в педвузах и путей ее реализации в практике преподавания.

Объект исследования - математическая подготовка будущих учителей в педагогических институтах и университетах.

Предмет исследования - гуманитарная и профессионально-педагогическая направленность обучения курса дифференциальным уравнениям в педвузах.

Проблема и цель определили необходимость решения следующих задач исследования, которые распределены по двум группам.

Первая группа задач:

1. Выявить методологические составляющие курса дифференциальных уравнений в практике подготовки будущих учителей математики в педвузах, выявить возможности курса дифференциальных уравнений в деле обучения будущих учителей математики способам осуществления прикладной направленности преподавания и формирования у будущих учителей математики правильных представлений о математическом моделировании реальных процессов, о межпредметных связях, их месте, значении и способах реализации в учебном процессе.

2. Выявить пути реализации концепции профессионально-педагогической направленности обучения математике будущих учителей в курсе дифференциальных уравнений.

3. Разработать концепцию и программу курса дифференциальных уравнений для педвузов, профессионально ориентированную и в максимальной степени раскрывающую гуманитарный потенциал курса, наметить пути для ее реализации в методической системе обучения.

4. Выявить возможности курса дифференциальных уравнений в деле приобщения студентов к научно-исследовательской работе (в частности, через систему спецкурсов, спецсеминаров, курсовых и дипломных работ).

Решению этих задач посвящена первая глава диссертации.

Вторая группа задач:

1. Учитывая специфику курса дифференциальных уравнений, исследовать новые формы изложения материала в учебном пособии для студентов.

2. Наметить пути использования новых информационных технологий в процессе преподавания курса дифференциальных уравнений.

Решению этих задач посвящены вторая, третья и четвертая главы диссертации.

Гипотеза исследования состоит в том, что реализация разработанной концепции курса дифференциальных уравнений в педагогических институтах и университетах позволит:

- повысить качество преподавания курса дифференциальных уравнений на математических факультетах;

- сформировать у студентов правильные представления о гуманитарном потенциале курса дифференциальных уравнений, включающем в себя методологическую и прикладную направленность курса, математическое моделирование, межпредметные связи;

- раскрыть профессионально- педагогическое значение курса дифференциальных уравнений.

Были использованы следующие методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической, математической и методической литературы, работ по истории математики и истории методики преподавания математики, школьных и вузовских программ по математике, учебников и учебных пособий; массовые проверки уровня математической подготовки студентов педвузов; беседы с преподавателями вузов, учителями общеобразовательных школ, студентами и школьниками; изучение и обобщение педагогического опыта; поисковые и констатирующие эксперименты по проверке отдельных методических положений работы. Выполняя исследование, автор руководствовался методологией системного подхода. Психолого-педагогическую основу исследования составили концепции воспитывающего и развивающего обучения, концепция обучения деятельности, концепция профессионально-педагогической направленности обучения математике будущих учителей.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по четвертой главе.

Подводя итог вышеизложенному, заметим, что бурно ворвавшиеся в нашу жизнь компьютеры могут произвести полную революцию в обучении. Самое главное их достоинство связано с возможностью индивидуализировать обучение, заставить обучаемого изучать такие науки, как математика, в соответствии с той скоростью, с которой данный студент способен усваивать новый материал. Применение компьютеров значительно упростит проблему проверки степени усвоения этого материала.

Из многочисленных обучающих систем, созданных за последнее время, с нашей точки зрения наиболее подходит обучающая система "Диана". Написанный под эту систему обучающий сценарий по наиболее важной для усвоения будущими учителями теме дифференциальных уравнений. "Линейные системы с постоянными коэффициентами" ил

12 - Y - R01

Решением задачи Коши дет у=0. люстрирует выполнение всех выше указанных особенностей обучения. Мы считаем, что с методологической стороны такое обучение должно оказаться эффективнее традиционного, поскольку при традиционном способе обучения невозможно обеспечить ни индивидуализацию обучения, ни изучения нового материала со скоростью, приемлемой только для данного обучаемого, ни строгой последовательности при изучении этого материала, т.е. изучение его в соответствии с принципом от простого к сложному.

Для будущего учителя изучение данной темы с помощью компьютера важно еще и потому, что это должно убедить его в эффективности применения компьютеров при обучении. Можно надеяться, что, став учителем, он будет стремиться также использовать компьютер для обучения. И только тогда, когда в силу компьютерного обучения поверят большинство преподавателей как школы, так и вуза, можно надеяться на перелом в сознании общества относительно возможностей компьютера.

Отметим, что изучение теоретического материала начинается практически с нуля и без помощи преподавателя. В каждом блоке все ошибки комментируются и, в зависимости от характера ошибки, студент адресуется к соответствующему обучающему циклу. В итоге высвобождается время преподавателя, осуществляется индивидуальный подход в процессе обучения, так как в любое свободное время студент может прийти и самостоятельно изучить интересующий его материал. Причем затратить на это столько времени, сколько ему необходимо.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Курс дифференциальных уравнений играет большую роль в фундаментальной математической подготовке будущего учителя в плане формирования у студента научного мировоззрения, определенного уровня математической и методической культуры, особенно по таким компонентам, как понимание сущности прикладной направленности обучения математике, овладение методом математического моделирования, умения осуществлять в обучении межпредметные связи. К числу компонентов гуманитарного потенциала курса дифференциальных уравнений в педвузе, кроме вышеперечисленных, можно отнести и профессионально-педагогическую направленность этого курса, причем, по сравнению с другими разделами математического анализа, здесь скрыты наибольшие возможности для полноценной реализации профессионально-педагогической направленности обучения, поскольку студент подходит к изучению этого курса после изучения курса методики преподавания математики и после первой педагогической практики. Это налагает на преподавателя курса дифференциальных уравнений особые обязанности по реализации в курсе принципа бинарности - наиболее адекватного соединения математической и методической линий. Соответствующие рекомендации сформулированы в ходе настоящего исследования.

2. Нами выделены 6 целевых установок, которые следует реализовать при постановке курса дифференциальных уравнений в педвузе. Это:

- воспитание научного мировоззрения;

- формирование достаточного для работы в школе уровня математических знаний, умений и навыков, в частности, прикладных умений:

- формирование достаточно высокого уровня математического мышления:

- обеспечение достаточного опыта математической деятельности, включающей в себя построение математических моделей реальных процессов, разработку аппарата для исследования математических моделей, умение преобразовать научный материал в учебный, т.е. умение осмыслить фрагмент научной теории и дидактически препарировать его во фрагмент учебной дисциплины;

- формирование достаточно высокого уровня математической культуры, к числу компонентов которой, реализуемых в курсе дифференциальных уравнений, можно отнести умение выбрать правильное соотношение между содержательным и формальным, между строгостью и наглядностью. умение выбрать уровень строгости и полноты изложения адекватно целям и задачам обучения;

- воспитание интереса к математике, развитие математических способностей.

3. В работе показано, как на материале курса дифференциальных уравнений можно наполнить конкретным содержанием следующие компоненты методической модели курса:

- мотивация;

- пропедевтика;

- обучение студентов математическому моделированию;

- прямое и косвенное обучение студентов принципам дидактики;

- обучение студентов реализации и правильному пониманию межпредметных связей;

- критический анализ школьных учебных пособий (по базовому и дополнительным курсам).

4. В процессе исследования нами обоснована концепция курса дифференциальных уравнений, состоящая из пяти положений:

1) Курс дифференциальных уравнений мы рассматриваем не только и не столько как определенную порцию новой информации, сколько как носителя гуманитарного потенциала математики, способствующего общему развитию будущего учителя математики.

2) Курс дифференциальных уравнений мы рассматриваем не как раздел математического анализа, а как самостоятельный курс.

3) В курсе математического анализа следует выделить пропедевтическую содержательно-методическую линию дифференциальных уравнений.

4) В курсе дифференциальных уравнений следует широко использовать разнообразный спектр профессионально ориентированных форм учебной работы.

5) В постановке самого курса дифференциальных уравнений следует органически сочетать содержательно-гуманитарный и абстрактно-теоретический уровни. Первый предполагает содержательную трактовку понятий, использование генетических определений и методов доказательств, локально логическую организацию материала, широкое привлечение правдоподобных рассуждений, повышенное внимание к прикладным аспектам. Второй уровень предполагает изучение учебного предмета как замкнутой в себе области знаний со своим кругом абстрактных понятий, специфическим языком, арсеналом утонченных средств доказательных рассуждений.

5. В настоящем исследовании представлена разработанная автором программа курса дифференциальных уравнений, а также та часть курса, которую целесообразно включить в программу госэкзамена.

6. Проанализированы возможности приобщения студентов к научно-исследовательской работе по дифференциальным уравнениям через систему курсовых и дипломных работ, а также через систему спецкурсов и спецкурсов.

7. Раскрыты пути реализации гуманитарной и профессионально-педагогической направленности курса дифференциальных уравнений в учебных пособиях нового типа, одним из авторов которого является автор настоящего исследования.

8. Исследованы возможности компьютера при обучении дифференциальным уравнения, создана автономная обучающая система, которая может работать в обучающем режиме без непосредственного участия преподавателя до тех пор. пока это участие не становится необходимостью.

Таким образом, в ходе исследования решены все поставленные задачи. построена методическая система обучения дифференциальным уравнениям в педвузе (сформулированы цели изучения дифференциальных уравнений в педвузе, разработано содержание курса, методы и формы его изучения - от лекционных и практических занятий до госэкзаменов н НИРС. описаны возможности компьютера как средства обучения).

Список литературы диссертации автор научной работы: доктора педагогических наук, Асланов, Рамиз Муталлим оглы, Москва

1. Абрамов A.M. и др. Избранные вопросы математики: 10 кл. Факультативный курс. М.: Просвещение. 1980. - 191 с.

2. Автоматизированная система обучения "Наставник". Методическая разработка под редакцией Н.Н.Бурусницова. М., 1975. 356 с.

3. Агаев Б.А. История преподавания математики в Азербайджанской советской школе. // Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук. Баку. 1965. 104 с.

4. Азимов М.А. Салимов Ф.Е., Мамедов Ш.Ф. Дифференциальные уравнения. (Учебное пособие для вузов на азербайджанском языке). -Баку: Просвещение. 1991. -674 с.

5. Амелькин В.В. Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения. Минск: Вышэйшая школа, 1982. - 271 с.

6. Анри Пуанкаре. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Москва-Ленинград, 1947. 390с.

7. Андронов И.К. Математика для техникумов (курс единой математики). М.: Высшая школа, 1964. - 824 с.

8. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. - 271 с.

9. Асланов Э.Д., Гасилов В.Т. Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Учебное пособие на азербайджанском языке) Баку, АПИ. 1978. 145 с.

10. Асланов Р. М. Об одном представлении регулярных решений нагруженных дифференциальных уравнений в линейных нормированныхкольцах. // Труды АзСХИ им. С.Агамалиоглы, серия механизации, выпуск 27. Кировобад. 1975. с. 162-167.

11. Асланов Р. М. Задача Дирихле для неэрмировых решений уравнения Лапласа в кольце с инволюцией. // Сборник трудов молодых ученых, (АзНИИМЭСХ ) выпуск 2. Кировобад, 1975. с. 199-201.

12. Асланов Р. М. Задача Дирихле для векторного уравнения Лапласа. // Сборник трудов молодых ученых, ( АзНИИМЭСХ ) выпуск 3, Кировобад, 1976. с. 159-166.

13. Асланов Р. М. Комплексное представление для векторных регулярных решений одного класса эллиптических уравнений. // Труды АзСХИ им. С.Агамалиоглы. серия механизации, выпуск 28. Кировобад, 1976.-с. 159-163.

14. Асланов P.M. Функции Римана для эллиптических уравнений 2-го порядка в нормированных кольцах. П Материалы конференции по прикладной математики, посвященной 25-летию Института математики и механики АН Азерб. ССР, Баку: Элм. 1984. с. 25-27.

15. Асланов P.M. Неэрмитовые решения полигармонического уравнения в нормированном кольце с инволюцией. // Программирование решение прикладных задач (Межвузовский сборник трудов МПГИ им. В.И. Ленина), Москва. 1984. с. 34-36.

16. Асланов P.M. Джаббаров Ш.Т. Математический анализ (учебное пособие для педвузов на азербайджанском языке). Кировобад, 1987. - 134 с.

17. Асланов P.M. Бахтияров Э. Роль ЭВМ в развитии народного хозяйства страны. // Материалы научно-практической конференции (на азербайджанском языке). Дашкесан. 1987. 3 с.

18. Асланов P.M. Мамедова Ш.Дж. Программа языка Бейсик и его применение в ДВК. // Материалы научно-практической конференции (на азербайджанском языке). Дашкесан. 1987. 3 с.

19. Асланов P.M. Сабуров М.С. Практические занятия по дифференциальным уравнениям. (Учебное пособие для студентов пединститутов). М.: Прометей. 1991. - 128 с.

20. Асланов P.M. Асланов Г.М. Абитуриент, студент, преподаватель (на азербайджанском языке). Гянджа, 1992. - 71 с.

21. Асланов P.M. Алиева М.Т. Технические средства информатики и их применение. (Учебные пособия для вузов на азербайджанском языке). М.: Прометей. 1994. - 97 с.

22. Асланов P.M., Джаббаров Ш.Т. Дифференциальные уравнения. (Программа для педагогических институтов, педагогических университетов, на русском и азербайджанском языках). Москва-Гянджа. 1995. - 25 с.

23. Асланов P.M. Гуманитарный потенциал курса дифференциальных уравнений в педвузе. // Научные труды Московского педагогического государственного университета им. В.И. Ленина, серия: естественные науки. М.: Прометен, 1996. с. 43-44.

24. Асланов P.M. Гуманитарный потенциал профессионально ориентированного курса дифференциальных уравнений в педвузе. Монография. М.: Прометей, 1996. - 129 с.

25. Асланов P.M., Сабуров М.С. Дифференциальные уравнения. (Программа для математического факультета МПГУ им. В.И. Ленина, по специальности 540101 математика). - М.: Прометей, 1996. - 8 с.

26. Асланов P.M., Сабуров М.С. Дифференциальные уравнения в частных производных. (Учебное пособие для студентов математического факультета педагогических университетов и педагогических институтов). М.: Прометей, 1997. - 184 с.

27. Ахмедов К.Т., Гасанов К.К., Ягубов М.А. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. (Учебник для вузов на азербайджанском языке). Баку: Просвещение. 1978. - 443 с.

28. Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. М.: Прометей, 1991. - 199 с.

29. Баврин И.И. Курс высшей математики. (Учебное пособие для педвузов). М.: Просвещение, 1992. - 413 с.

30. Баврин И.И. Высшая математика (Учебник педвузов). 2-е издание. -М.: Просвещение, 1993. 318 с.

31. Баврин И.И., Матросов В.Л. Математика для педвузов. М.: Прометей, 1993. - 376 с.

32. Баврин И.И. Общий курс математического анализа. М.: Прометей, 1994. - 242 с.

33. Баврин И.И. Матросов В.Л. Общий курс высшей математики. М.: Просвещение. 1995. - 467 с.

34. Беллман Р. Теория устойчивости решения дифференциальных урав-* нений. М.: ИЛ. 1954. - 216 с.

35. Bitser R.I., Brennfeld P.G. Description and use of computer teaching system. //Proc. Nat. Electronics Couf. 1988. V. 18.

36. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М. 1966. - 203 с.

37. Блехман И.И. Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложения математики. М.: Наука. 1983. - 328 с.

38. Богоявленский И.О. Уравнения математической физики (Учебное пособие). М.: МГИ им. В.И.Ленина, 1985. - 94 с.

39. Богданов Ю.С. Лекции по дифференциальным уравнениям (Учебное пособие для физ. спец. вузов). Минск. 1977. - 239 с.

40. Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика // Математика в школе. 1982. - №2. - с. 40-43.

41. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратный интеграл. Ряды. Функции комплексногопеременного. Москва: "Наука". Главная редакция физико-математической литературы. 1985. 464 с.

42. Буняев М.М. Давыдов И.В. Автоматизированная система подготовки обучающих курсов "Радуга". // Информатика и образование. М., 1988, N 4. с. 65-68.

43. Буняев М.М. и др. Новые информационные технологии в школе и педагогическом институте. МПГУ. М.: Прометей. 1989. 69 с.

44. Буняев М.М. Бальцюк Н.Б. и др. Некоторые возможности использования электронно-вычислительной техники в учебном процессе. (Элементы компьютеризации процесса обучения). Учеб. пособие. МПГУ, М.: Прометей, 1989 135 с.

45. Буняев М.М. Кузнецов Э.И. Матросов В.Л. Шари В.П. Новые информационные технологии в школе и педагогическом институте: Из опыта работы. М.: Прометей. 1989. - 69 с.

46. Буняев М.М. Научно-методические основы проектирования разлет-вленно-диалоговых обучающих систем. Автореф. дис. . д-ра. пед. наук. МПГУ им. В.И. Ленина. М., 1992. 34 с.

47. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. Издательство иностранной литературы Москва, 1963. 292 с.

48. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. Элементарная теория, М.: Наука. 1965. - 424 с.

49. Ваграменко Я.А., И.Н.Антипов, Э.И.Кузнецов и др. Электронно-вычислительная техника. М., 1985. - 144 с.

50. Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых. Л.-М.: ГТТЛ, T-I. 1933. - 460 с.

51. Валле-Пуссен Ш.Ж. Курс анализа бесконечно малых. Л.-М.: ГТТЛ. T-II. 1933. - 462 с.

52. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.; Л.: Гостехпздат. 1948. - 256 с.

53. Вентцель Е.С. Методологические особенности прикладной математики на современном этапе. // Математики о математике: Сб. статей. -М.: Знание.- 1982. №8. - с. 64

54. Вилейтнер Г. История Математики от Декарта до середины XIX столетия. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва. 1969. 467 с.

55. Виленкин Н.Я., Мышкис А.Д. Научно-техническая революция и школьный курс математики. // Математика в школе. 1987. - №3. - с. 40-43.

56. Владимиров B.C. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука. 1974. - 271 с.

57. Вопросы истории физико-математических наук. М.: Высшая школа. 1963. - 522 с.

58. Высшая математика. Сборник задач. Под общей редакцией П.Ф. Ов-чиникова. Киев: "Высшая школа". 1991. 455с.

59. Вышенский В. Перестюк Н. Самойленко А. Поговорим о дифференциальных уравнениях. // Квант. 1980. -№1. с. 10-14.

60. Габиб-заде А.Ш. Об одной краевой задаче для уравнения пятого порядка. Ученые записки Азербайджанского государственного университета. Серия физ-мат. № 1. 1959. с. 41-47.

61. Габиб-заде А.Ш. Об одной нелинейной краевой задаче Римана-Гильберта для круга. Ученые записки Азербайджанского государственного университета. Серия физ-мат. № 2, 1959. с. 15-21

62. Гаврилов Н.И. Методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Издательство "Высшая школа" Москва. 1962. 312 с.

63. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. //В кн: Исследование мышления в советской психологии. М.: Наука. 1966. - с. 236-277.

64. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. 1966. - 575 с.

65. Гасилов В.Т. Эфендиева М.Р., Мамедов Ш.А. Шабанова Ф.М. Руководство к решению задач и упражнений по дифференциальному уравнению. (Учебное пособие на азербайджанском языке) Баку. АПИ. 1986. 141 с.

66. Гербеков Х.А. Дифференциальные уравнения в системе профессиональной подготовки учителя математики в педвузе. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата пед. наук. М. 1991. - 133 с.

67. Глейзер Г.Д. Повышение эффективности обучения математике в школе. М.: Просвещение. 1989. - 239 с.

68. Глушкова Т.И. Обучение элементам математического анализа как средство повышения общеобразовательной подготовки учащихся средней школы. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата пед. наук. М. 1987.

69. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. Государственное издательство ТТЛ. Москва 1950. Ленинград 436 с.

70. Горин Е.А. О квадратичной суммируемости решений дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Сибирский математический журнал. 2 № 2. 1961. с. 221-232.

71. Горин Е.А. Частично гипоэллиптические дифференциальные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами. Сибирский математический журнал, 3 № 4. 1962. с. 500-526.

72. Горин Е.А. О разрешимости задачи Коши в классе квадратично интегрируемых функций для систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. М. Вести. МГУ, Сер. математика-механика. № 4. 1965. - с. 6-12.

73. Грушин В.В. О решениях дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. ДАН СССР. 139 № 1, 1961. с. 17-19.

74. Грушин В.В. О решениях с изолированными особенностями для уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. -М. Труды Московского Математического общества. Том 15, 1966. с. 262-278.

75. Грушин В.В. Псевдодифференциальный оператор. РИО МИЭМ.1975. 107 с.

76. Гурса Э. Курс математического анализа. Том-П. ОЛТИ. НКТП. СССР. Москва, 1936. 563 с.

77. Гусак А.А. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Издательство "Вышэйшая школа". Минск. 1967. 282 с.

78. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе. // Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора пед. наук. М. 1990. - 39 с.

79. Гюнтер Н.М. Кузьмин P.O. Сборник задач по высшей математике. Том II. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва, 1958. 286 с.

80. Гутер Р.С., Янпольский А.Р. Дифференциальные уравнения. М.1976. 304 с.

81. Давыдов В.В. Виды обобщений в обучении. (Логико-психологические проблемы построения учебных предметов). М.: Педагогика. 1972. - 424 с.

82. Давыдов Н.А. Коровкин П.П. Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. М.: Просвещение. 1973. - 255 с.

83. Данко П.Е. Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть II. Москва: "Высшая шкoлa,, 1980.365 с.

84. Данфорт Н. Шварц Дж. Линейные операторы. (Общая теория.) -М.: ПИЛ. 1962. 895 с.

85. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука. 1967. 465 с.

86. Дорофеев Г.В. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. 1980. - №5. - с. 12-24.

87. Дорофеев Г.В. и др. Новый учебный комплекс по математике для 5-6 кл. Математика. 1995. № 20.4 112. Дъедонне Ж. Основы современного анализа. М. 1964. - 430 с.

88. Егерев В.К., Несененко Г.А. Сборник тем курсовых работ по математике. М.: Просвещение, 1985. - 49 с.

89. Еремкин А.И. Система межпредметных связей в высшей школе (аспект подготовки учителя). Харьков: Высшая школа, 1984. -150 с.

90. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Издательство Академии наук БССР. Минск., 1963. 272 с.

91. Еругин Н.Н. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: "Наука и техника". 1972. 150 с.

92. Жданов С.А. Применение информационных технологий в учебном процессе педагогического института и педагогических исследованиях.// Диссертация в форме научного доклада на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. М. 1992. - 36 с.

93. Игнатьева А.В., Краснощенкова Т.И., Смирнов В.Ф. Курс высшей математики. Издательство "Высшая школа" Москва, 1968. 692 с.

94. Икрамов Дж. Математическая культура. Ташкент: Укитвучи, 1981. - 277 с.

95. История и методология естественных наук выпук (XVI). Издательство Московского университета. 1974. 254 с.

96. История и методология естественных наук выпук (XXV). Издательство Московского университета. 1980. 168 с.

97. История и методология естественных наук выпук (XXXVI). Издательство Московского университета. 1989. -197 с.

98. История математики (Математика XVIII столетия) том 3 Изда-ф тельство "Наука" Москва 1972. - 495с.

99. История отечественной математики. Т 1. Киев.: Наукова, "Думка". 1966. -491 с.

100. История отечественной математики. Т 4. Книга 1. Киев.: Наукова. "Думка". 1970.- 883 с.

101. Кабанова-Меллер Е.Н. Психология формирования знаний и навыков у школьников. М.: Изд-во АПН РСФСР. 1962. - 376 с.

102. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. Москва: Наука. 1966. 260 с.

103. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва: Наука. 1976. 576 с.

104. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Третье издание. Издательство Харьковского государственного университета им. A.M. Горького. Харьков 1967. 946 с.

105. Картан А. Дифференциальное исчисление, дифференциальные формы. М.: Мир, 1971. - 392 с.

106. Карташев А.П. Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М: Наука. -1980. - 287 с.

107. Келбакиани В.Н. Теория и практика подготовки будущих учителей на основе реализации межпредметной функции математики (на физ.-мат. фак. педвузов).// Диссертация на соискание ученой степени доктора пед. наук. Кутаиси. 1988. - 384 с.

108. КеллиДж. Общая топология. М.: Наука, 1981.-431 с.

109. Коддингтон Э.А. Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИИЛ. 1958. - 474 с.

110. Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современной школе./ На путях обновления школьного курса математики. -М. 1978. с. 97-100.

111. Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1989. - 623 с.

112. Колягин Ю.М., Пикан В.В. О прикладной и практической направленности обучения математике. // Математика в школе. 1985. - №6. -с .27-32.

113. Коменский Я.А. Избранные педагогические сочинения. М.: Учпедгиз. 1955.- 287 с.

114. Королева К.Н. Межпредметные связи и их влияние на формирование знаний и способов действий учащихся // Автореф. дис. . . канд. пед. наук Москва, 1968. - 32 с.

115. Краснов М.Л. Макаренко Г.И. Операционное исчисление. Устойчивость движения. М. 1964. - 103 с.

116. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М. 1975. - 303 с.

117. Краснов М.Л., Кисилев А.И. Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. М. 1976. - 215 с.

118. Краснов М.Л. Киеилев А.И. Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1978. - 287 с.

119. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. // Автореферат на соискание ученой степени доктора пед. наук. М. 1992. - 37 с.

120. Кудрявцев В.А. Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики Государственное издательство физико-математической литературы Москва, 1959. 432 с.

121. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. -М.: Наука, 1977. 112 с.

122. Кудрявцев Л.Д. Совеременная математика и ее преподавание. М.: Наука. 1985. - 144 с.

123. Кузнецов С.И. "Садко" система автоматизированного диалога и поллентивного обучения. //Человеко-машинные обучающие системы. Под. рук. Ильина Ю.М. //Вопросы кибернетики. Вып. 60. М. 1979. - с. 164-169.

124. Кузнецов Э.И. Общеобразовательные и профессионально-прикладные аспекты изучения информатики и вычислительной техники в педагогическом институте. // Автореф. дисс. . докт. пед. наук. М., 1990. 38 с.

125. Курс элементарной математики в системе подготовки учителя. // Тезисы докладов X Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. Чебоксары. 1992. - 134 с.

126. Латышев А.В. Некоторая краевая задача Римана-Гильберта в граничных задачах рассеивания поляризованного света. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995. т. 35, № 7. -М.: Наука.-с. 1108-1127.

127. Леднев B.C. Содержание образования: Сущность, структура, перспективы. М.: Высшая школа. 1991. - 223 с.

128. Лошкарева Н.А. Межпредметные связи и их роль в формировании знаний и способов действий учащихся. // Автореф. дис. . . канд. пед. наук Москва. 1968. 32с.

129. Лузин Н.Н. Интегральное исчисление. Москва: "Высшая школа". 1961. 415 с.

130. Луканкин Г.Л. и др. Высшая математика. Под ред. Яковлева Г.Н. Москва: Просвещение, 1988. 432 с.

131. Луканкин Г.Л. Научно-методические основы подготовки учителя математики в педагогическом институте. // Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора пед. наук. М., 1989. - 59 с.

132. Ляпунов A.M. Избранные труды /Ред. В.И.Смирнова. Комментарии С.Н.Бернштейна, Л.Н.Сретенского и Н.Г.Четаева. М.: Изд-во АН СССР. 1948. - 540 с.

133. Мадер В.В. Методика расширения представлений о природе математического знания у студентов-математиков. Педвуз //Дис. . канд. пед. наук Б.М. 1973. 213 с.

134. Мамедов Р. Курс высшей математики, том 3. Баку: Просвещение. 1984. -498 с.

135. Мамедов Я.Д. О некоторых свойствах решений нелинейных уравнений гиперболического типа в гилбертовом пространстве. ДАН СССР, 158, № 1, 1964. с. 45-48.

136. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: "Вышэйшая школа", 1974. - 766 с.

137. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенном дифференциальным уравнениям. Минск, 1977. - 414 с.

138. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М.: Просвещение, 1988. - 254 с.

139. Матросов В.Л. Избранные статьи и доклады. М.: Магистр, 1996. -254 с.

140. Матросов Л.Н. Деловая игра в подготовке учителя. М.: Магистр. 1996. 133 с.

141. Математика в СССР за сорок лет 1917-1957. Том I. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва. 1959. -1001 с.

142. Математика в СССР 1958-1967 гг. Том I. Москва: Наука. 1969. -821 с.

143. Математика в СССР 1958-1967 гг. Том II. выпуск I. Москва: Наука. 1969. - 816 с.

144. Математика в СССР 1958-1967 гг. Том II. выпуск II. Москва: Наука. 1970. - с. 822-1579.

145. Математика XIX века. Под редакцией Колмогорова А.Н. Юшкевич А.П. Москва: Наука. 1987. 306 с.

146. Медведов Ф.А. Развитие понятия интеграла. Москва: Наука, 1974. -423 с.

147. Межпредметные и внутрипредметные связи математических курсов пединститутов. // Тезисы докладов XI Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. Коломна, 1993. - 112 с.

148. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М., 1976. -319 с.

149. Методическая направленность преподавания физико-математических дисциплин в вузах. Москва. 1980. 215 с.

150. Монахов В.М. Введение в школу приложений математики, связанных с использованием ЭВМ. // Автореферат на соискание степени доктора пед. наук. М., 1973. - 59 с.

151. Мордкович А.Г. О профессионально-педагогической направленность подготовки студентов. М.: Советская педагогика. - 1985. -№12. - с. 52-57.

152. Мордкович А.Г. Обеспечивая педагогическую направленность. // ВВШ. 1985. -№12. - с. 22-26.

153. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте. // Диссертация на соискание ученой степени доктора пед. наук. М. 1986. - 355 с.

154. Мордкович А.Г. Алгебра 6(7). Экспериментальный учебник. М.: Авангард. 1995. - 169 с.

155. Морозов К.Е. Математическое моделирование в научном познании. М.: Мысль, 1969. - 212 с.

156. Мусаев В.М., Джабраилова В.М., Бабаев А.Х. Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Учебное пособие на азербайджанском языке). Баку. АПИ. 1989. 124 с.

157. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. Москва: Наука. 1964. -601 с.

158. Мышкис А.Д. Что такое прикладная математика? // Вестник высшей школы. №4. - 1967. - с. 74-80.

159. Мышкис А.Д., Садовский Л.А. Прикладная математика. // Квант -1976. с. 41-48.

160. Мышкис А.Д. Об особенности логики прикладной математики. // Сб. научных статей по математике. Мн-во высшего и среднего образования СССР. М.: Высшая школа. 1978. -№8. - с. 11-16.

161. Мышкис А.Д., Шамсутдинов М.М. К методике прикладной направленности обучения математике. // Математика в школе. 1988. -№2. -с. 12-14.

162. Найманов Б.А. Реализация прикладной направленности преподавания дифференциальных уравнений в педагогическом институте. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата пед. наук. М. 1992. - 172 с.

163. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969. - 526 с.

164. Намазов Г.К. О краевых задачах для уравнений параболического типа с разрывными коэффициентами. ДАН СССР. 145. № 6, 1962. -с. 1228-1231.

165. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. М.: Физматгиз. 1963. 748 с.

166. Натансон И.Н. Теория функций вещественной переменной. М.: Физматгиз. 1974. - 479 с.

167. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва. 1949 550 с.ф 194. Несие Е.И. Методы математической физики. М., 1977. - 199 с.

168. Николаева В.В. Учебно-исследовательская работа студентов как средство совершенствования методической подготовки учителя математики //Автореф. дис. . . канд. пед. наук. Минск. 1985. - 18 с.

169. Новиков В.А. Типовые пакеты прикладных программ для автоматизированных обучающих систем. М., 1985. 182 с.

170. Новрузов А.А. О свойствах решений эллиптических уравнений. ДАН СССР, 139 № 6. 1961. с. 1304-1307.

171. Ожигова Е.П. Александр Николаевич Коркин. Л.: Наука, Ленинградское отделение. 1968. 147 с.

172. Очан Ю.С. Шнейдер В.Е. Математический анализ (учебное пособие для педагогических институтов). Москва: Учпед. 1961. 874 с.

173. Очан Ю.С. Методы математической физики (Учебное пос. для физмат. фак. педвузов). М.: Высшая школа. 1965. - 383 с.

174. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. (Для вузов). М.: Высшая школа. 1973. - 192 с.

175. Очерки развития математики в СССР (1917-1977). Киев, Наудкова. Думка. 1983. - 763 с.

176. Пасхин Е.Н. Митии А.И. Автоматизированная система обучения ЭКСТЕРН. М. 1984. -234 с.

177. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных. -М.: Физматгиз, 1961. 400 с.

178. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1970. - 279 с.

179. Пизо Ш., Заманский М. Курс математики. Алгебра и анализ. Издательство "Наука" главная редакция физико-математической литературы. Москва. 1971. 656 с.

180. Подготовка учителя математики в педвузах в условиях профильнойи уровневой дифференциации обучения в школах. // Тезисы докладов XIII Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. -Елабуга. 1994. 207 с.

181. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука. 1975. - 463 с.

182. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. -Минск: Вышэйшая школа, 1973. 560 с.

183. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1982. 331 с.

184. Проблемы Гильберта /Сборник. Под. общ. ред. П.С.Александров. -М.: Наука, 1969. 239 с.

185. Проблемы двухступенчатой подготовки учителя в педвузах. // Тезисы докладов XII Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. Липецк, 1993,- 175 с.

186. Проблемы стандарта подготовки учителя математики в педвузах. // Тезисы докладов XIV Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. Орск. 1995. - 167 с.

187. Программа педагогических институтов. Государственные экзамены по математике. Для специальности 2104 "Математика4' М.: Просвещение, 1973. 7 с.

188. Пышкало A.M. Методическая система геометрии в начальной школе // Автореф. дис. . . док. пед. наук. Москва, 1975. - 60 с.

189. Райков Д.А. Одномерный математический анализ. М.: Высшая школа, 1982. - 415 с.

190. Раухман А.С. Формирование методических умений и навыков у студентов математической специальности педагогических институтов //Дис. . .канд. пед. наук Киев. 1976. - 194 с.

191. Reviews of Mathematical Software j Computers and Mathematics, 1936 V. 40. N6. p. 613-623.

192. Руднн У. Функциональный анализ. М.: Мир. 1975. - 433 с.

193. Сабуров М.С. Виноградова Н.А. Адаптивный лабиринт структура автономной обучающей системы на персональных компьютерах. Научные Труды МПГУ им. В.И. Ленина, серия: Естественных наук, М.: Прометей, 1995. с. 217-225.

194. Самарин Ю.А. Очерки психологии и ума. М.: Изд-во АПН РСФСР. 1962. - 504 с.

195. Самойленко A.M. Кривашея С.А. Перестюк Н.Н. Дифференциальные уравнения примеры и задачи. Киев, Головное издательство объединения "Вища школа" 1984. 407 с.

196. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том II, И-Л. Москва, 1954. -415 с.

197. Сборник задач по курсу высшей математики. Для втузов. Под редакцией Дюбюка, Кручковича. Высшая школа. Москва. 1963. 652 с.

198. Серикбаев В.Е. Совершенствование подготовки будущих учителей математики в педагогических институтах к реализации межпредметных связей в средней школе. /У Диссертация на соискание степени кандидата пед. наук. Л. 1987. - 205 с.

199. Сидоров Ю.В. Преемственность в системе обучения алгебре и математическому анализу в школе и в вузе.// Диссертация в форме научного доклада на соискание ученой степени доктора педагогических наук. М., 1994. - 35 с.

200. Смирнов В.А. Функции нескольких переменных. М.: Прометей, 1993. - 169 с.

201. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Москва: Наука. 1964. 205 с.

202. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. М.: Наука. 1972. 127 с.

203. Consewriter version. Anthor's Guile. SH 20 1009. IBM Program Product. 1973.

204. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Изд-во физико-математической литературы, 1958. - 468 с.

205. Стефанова Н.Л. Теоретические основы развития системы подготовки учителя математики в педагогическом вузе //Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук. -Санкт-Петербур. 1996. 32 с.

206. Столяр А.А. Логические проблемы преподавания математики //Диссертация на соискание ученой степени доктора педагогических наук. Б.М. 1970. - 596 с.

207. Сурганов К. Вопросы изучения дифференциальных уравнений в школе. //' Диссертация на соискание ученой степени кандидата пед. наук. Алма-Ата. 1972. - 158 с.

208. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М.: Изд-во МГУ. 1975. - 343 с.

209. Терентии Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики. М.: Просвещение. 1990. - 97 с.

210. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Изд. 3. испр. и доп. М., 1966. - 724 с.

211. Тихонов А.Н. Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике. М.: Наука. 1979. 206 с.

212. Тихонов А.Н. Васильева А.Б. Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М. 1980. - 230 с.

213. Толстов Г.П. Курс математического анализа. Том II. Государственное издательство ТТЛ. Москва. 1957. 543 с.

214. Трелиньски Густав. Теоретические основы прикладной ориентации обучения математике и их реализации в школах ПНР. // Диссертация на соискание ученой степени доктора пед. наук. М. 1989. - 298 с.

215. Тюлина А.Н. Жозеф Луи Лагранж. М.: Наука. 1977. 223 с.

216. Улуходжаев А. Усиление прикладной направленности преподавания курса математического анализа в педагогическом институте. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата пед. наук. Ташкент. 1986. - 169 с.

217. Федорова В.П. Кирюшкина Д.М. Межпредметные связи. М.: Педагогика, 1972. - 152 с.

218. Федорюк В.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения (Учебное пособие для вузов). М.: Наука, 1980. - 350 с.

219. Феликс Клейн Лекции о развитии математики в XIX столетии часть I Научно-технико-теоретической литературы Москва 1937. Ленинград 432 с.

220. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. -М.: Наука. 1985. 127 с.

221. Фирсов В.В. О прикладной ориентации курса математики. // Углубленное изучение алгебры и начала анализа. Сост. Шварцбурд С.И. -М. 1977. с. 215-239.

222. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления анализа. Т.2. М.: Наука. 1976. - 800 с.

223. Фоминых Ю.Ф. Теоретические основы развития научного мировоззрения учащихся средней школы в системе математического образования //Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктор педагогических наук. М. 1993. 36 с.

224. Фрейденталь Г. Математика как педагогическая задача. 4.1. М.: Просвещение. 1982. - 160 с.

225. Фридман Л.М. Моделирование учебной деятельности школьников. // Под ред. Давыдова В.В. Ломпшера И. Марковой А.К. М., 1982. -с. 73-86.

226. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

227. Фролов Н.А. Курс математического анализа. Часть II (Пособие для пединститутов). Москва: Учпедиздат,1963. 350 с.

228. Фролов С.В., Шостак Р.Я. Курс высшей математики. Москва: Высшая школа, 1966. 663 с.

229. Халилов З.И. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах. Баку: Изд-во АН Аз ССР. 1949. - 271 с.

230. Халилов З.И. Об устойчивости решений дифференциального уравнения в банаховым пространстве. ДАН Аз ССР, 17. № 5, 1961. -с. 367-370.

231. Хамов Г.Г. Методическая система обучения алгебре и теории чисел в педвузе с точки зрения профессионально-педагогического подхода. // Диссертация на соискание степени докт. пед. наук. Мурманск. 1994. - 372 с.

232. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970.- 720 с.

233. Хинчин А.Я. Краткий курс математического анализа. М.: Госте-хиздат, 1957. - 627 с.

234. Черкес-Заде Н.М. Межпредметные связи как условие совершенствования учебного процесса. // Диссертация на соискание степени кандидата пед. наук. М. 1968. - 198 с.

235. Шабупин М.И. Научно-методические основы углубленной математической подготовки учащихся средних школ и студентов вузов. //Диссертация в виде научного доклада на соискание ученой степени доктора педагогических наук. М. 1994. 27 с.

236. Шварц Л. Анализ. Т.2. М.: Мир. 1972. - 528 с.

237. Шварцбурд С.И. Проблема повышения математической подготовки учащихся. Авторский доклад об опубликованных работах, представленный на соискание ученой степени доктора пед. наук. М., 1972. - 105 с.

238. Шварцбурд С.И., Фирсов В.В. О проблемах совершенствования факультативных занятий по математике. // Факультативные занятия в средней школе. М.: Педагогика. 1973. - с. 68-81.

239. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. Издательство "Наука" физико-математической литературы. Москва 1968. -591 с.