автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методическая система обучения студентов педагогических вузов математической логике на основе теории естественного вывода

Автореферат диссертации по теме "Методическая система обучения студентов педагогических вузов математической логике на основе теории естественного вывода"

На правах рукописи

, ТИМОФЕЕВА Ирина Леонидовна

!

МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ВУЗОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ЕСТЕСТВЕННОГО ВЫВОДА

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа математического факультета Московского педагогического государственного университета

Научный консультант:

член-корреспондент РАН, академик РАО, доктор физико-математических наук, профессор МАТРОСОВ Виктор Леонидович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ГЛАДКИЙ Алексей Всеволодович

доктор физико-математических наук, профессор КИПНИС Михаил Мордкович

доктор педагогических наук, доцент НАЗИЕВ Асланбек Хамидович

Ведущая организация: Московский городской педагогический университет

Защита диссертации состоится «л^» апреля 2006 г. в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д 212.154.18 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Mill У по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан «Л» марта 2006 г.

Учёный секретарь Диссертационного совета

М-

Е.И. Санина

¿006А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Важнейшей целью современной системы образования является формирование интеллектуально развитой личности. Высокая ответственность за развитие мышления учащихся средней школы лежит на учителе, особенно на учителе математики, что предъявляет повышенные требования к его профессиональной подготовке.

В условиях реформирования отечественного образования, в частности, развития системы профильного обучения на старшей ступени общего образования, возрастает актуальность проблемы совершенствования профессиональной подготовки будущих учителей математики.

В процессе обучения будущего учителя математики особо важную роль играет логическая подготовка, стержнем которой служит курс математической логики.

В настоящее время потребность в логически грамотных учителях заметно возрастает. Это связано с тем, что элементы математической логики постепенно входят в сферу среднего образования: элементы логики выделены в государственном стандарте общего образования по математике; в некоторых школьных учебниках появились разделы, явно связанные с логикой; в лицеях и гимназиях все чаще логика изучается как самостоятельный предмет; появляются элективные курсы по логике; увеличивается значение логической составляющей курса математики в классах физико-математического профиля. Это требует повышения уровня логической подготовки выпускников педвузов, а значит, совершенствования обучения математической логике будущих учителей математики.

Решая задачи интеллектуального развития учащихся как средней, так и высшей школы, нужно иметь в виду, что уровень развития интеллекта, мыслительных способностей каждого человека, так или иначе связан со способностью проводить дедуктивные рассуждения, т. е. рассуждать в соответствии с законами и правилами логики. Обучение математике в силу самой специфики предмета предоставляет широкие возможности для развития дедуктивного мышления. Вместе с тем известно, что изучение математики само по себе не обеспечивает должного развития дедуктивного мышления школьников и студентов, и требуется специальная работа в этом направлении. Будущих учителей математики, т. е. тех, кто призван в дальнейшем обучать школьников дедуктивным рассуждениям, необходимо самих специально обучать дедуктивным средствам, используемым в математике, а также пониманию сущности математического доказательства и его логической структуры. Это требует основательной логической подготовки учителя математики, центральную роль в которой играет обучение математической логике.

Важнейшим объектом изучения математической логики являются математические доказательства. "Логика - эта теория дедуктивного рассуждения плюс все, что потребуется в языке-объекте или метаязыке для адекватности, общности и простоты теории", -утверждает крупный американский логик А. Черч'.

В силу той роли, которую математическая логика играет в изучении природы математических доказательств, математических теорий, а значит, и математики в

Черч А. Математика и логика // Математическая логика и ее пр]

1

РОС. НА

целом, она особенно важна для учителя математики. Однако если курс математической логики замыкается на внутренних для этой науки проблемах исследования логических исчислений и формальных теорий, то теряется возможность использования полученных в курсе знаний для анализа и построения математических доказательств. В результате курс математической логики отдаляется от потребностей учителя математики и практически не помогает ему в решении задачи обучения доказательству.

Математические доказательства являются основными объектами исследования математической логики и изучаются путем построения и анализа их математических моделей - формальных выводов в логических исчислениях. В математической логике разработаны два основных типа таких исчислений и два типа соответствующих им моделей.

Исторически первыми моделями доказательств являются линейные выводы в аксиоматических логических системах, которые принято называть исчислениями гильбертовского типа. Позже немецкому логику Г. Генцену, ученику Д. Гильберта, удалось разработать другой тип моделей выводы в виде дерева в системах естественного (натурального) вывода. Эти модели являются более близкими к обычным доказательствам и более полно раскрывают их структуру и сущность, чем линейные модели. Однако курс математической логики традиционно строится на базе логических исчислений гильбертовского типа, а значит, в нем изучаются линейные модели доказательств. Такое построение курса ведет к возникновению ряда дидактических проблем, источником которых является отдаленность линейных моделей доказательств от содержательных доказательств и, как следствие, оторванность изучаемого в курсе материала от потребностей учителя математики.

Проблемы совершенствования математической и методической подготовки будущих учителей математики, в том числе проблемы профессионально-педагогической направленности, гуманитаризации, дифференциации и интенсификации нашли отражение в работах известных специалистов в области теории и методики преподавания математики: P.M. Асланова, И.И. Баврина, М.Б. Воловича, В.А. Гусева, Г.Д. Глейзера, Ю.М.Колягина, Г.Л.Луканкина, В.Л.Матросова, В.М.Монахова, А.Г.Мордковича, Г.И.Саранцева, З.И. Слепкань, И.М.Смирновой, A.A. Столяра, H.A. Терешина, В А. Трайкева, И.В. Трайнева, Л.М. Фридмана, Р.С.Черкасова, С.И. Шварцбурда и др. Среди фундаментальных исследований последних лет по этой тематике - докторские диссертации А.Л. Жохова, В.И. Игошина, И.И. Мельникова, А.Х. Назиева, А.И. Ниж-никова. E.H. Перевощиковой, В.Т.Петровой, И.С. Сафуанова, Е.И.Смирнова,

A.Г. Солониной, Н.Л. Стефановой, В.А. Тестова, Л.В. Шкериной, A.B. Ястребова и др. Большой вклад в дело совершенствования системы высшего педагогического образования внесен ректором МПГУ академиком В.Л. Матросовым.

Логическим проблемам обучения математике в школе и вузе уделяли внимание крупные отечественные и зарубежные математики-педагоги: В.Г. Болтянский, A.B. Гладкий, Б.В. Гнеденко, Г.В. Дорофеев, Ф. Клейн, Л А. Калужнин, А Н. Колмогоров, Л Д Кудрявцев, В.Л. Матросов, А.И. Маркушевич, Д. Пойя, Г. Фройденталь, АЛ. Хинчин и др.

Некоторые логические аспекты математической подготовки будущих учителей математики затронуты в докторских диссертациях А.Л. Жохова, В.А. Тестова,

B.Т. Петровой и др.

Исследованию проблем логической подготовки будущих учителей математики предшествовали многочисленные исследования, посвященные логическому развитию школьников в процессе обучения математике. Первыми и наиболее известными среди них являются диссертационные исследования A.A. Столяра и И.JI. Никольской. Большое внимание методике обучения поиску и построению математических доказательств уделили известные отечественные и зарубежные методисты: М.Б. Волович, В.А. Гусев, В.А. Далингер, И. Лакатос, Д. Пойя, Г.А. Саранцев, A.A. Столяр и др.

На серьезность проблем логической подготовки будущих учителей математики одним из первых обратил внимание A.A. Столяр. Позже различные аспекты логической подготовки студентов педагогических вузов явились предметом специального исследования в кандидатских диссертациях М.Е. Драбкиной, Ю.А. Мото-ринского, Т.В. Морозовой, С.А. Севастьяновой, A.B. Фоминой и в докторской диссертации А.Х. Назиева.

В перечисленных работах курс математической логики в педвузах не является предметом системного исследования. В то же время этот курс играет особую роль в логической подготовке будущих учителей математики, представляя собой ее важнейший этап.

Создателем первого курса математической логики для будущих учителей математики был выдающийся математик, логик и педагог, академик П.С. Новиков. Он разработал первую программу и написал первый учебник по математической логике для педвузов страны (Новиков П.С. Элементы математической логики - М.: Физ-матлит, 1959). Именно благодаря П.С. Новикову в самом начале 60-х годов прошлого века этот курс появился на математическом факультете МГПИ (ныне Mill У). Позже этот курс вошел в число обязательных и в других педвузах. Вслед за курсом математической логики на математическом факультете МГПИ появился самостоятельный курс теории алгоритмов. Большой вклад в развитие и сохранение лучших традиций этих двух курсов на протяжении почти полувековой их истории внесли последователи П С. Новикова, работавшие на математическом факультете Mill У: Е.А. Щегольков, Ф.А. Кабаков, B.JI. Матросов, Ю.А. Макаренков и их ученики.

В последние годы интерес к преподаванию математической логики в педвузах заметно вырос Так, в статьях Б.Д. Пайсона (2003-2005) обсуждается связь курса математической логики с логической составляющей школьного курса. С позиций технологического подхода исследован традиционно излагаемый курс математической логики в кандидатской диссертации И.А. Дудковской (2004). •

Системное исследование проведено в докторской диссертации В.И. Игошина (2002), посвященной разработке профессионально-ориентированной методической системы обучения студентов педвузов основам математической логики и теории алгоритмов. В этой работе проведен глубокий анализ роли курса математической логики в подготовке будущих учителей математики. Однако разработанная система базируется на традиционном изложении математической логики, а обоснование профессиональной значимости курса опирается на дидактические возможности, главным образом, его языковой составляющей, а дедуктивная составляющая курса практически не использована.

Таким образом, диссертационные исследования по проблемам логической подготовки студентов педвузов не связывались с попытками существенным образом

обновить содержание традиционно излагаемого курса, с разработкой нового подхода к формированию содержания дисциплины, способствующего более эффективному достижению целей курса.

В ряде работ рассмотрен нетрадиционный подход к обучению математической логике в педвузах. Построение важных разделов курса математической логики на базе секвенциальных исчислений предложено в работах М.М. Кипниса. На основе секвенциальных исчислений строится курс математической логики и в Новосибирском университете. Над проблемами конструирования нетрадиционного содержания курса математической логики в педвузе работает А.Б. Михайлов (РГТУ). Собственный подход к построению курса математической логики на основе естественного вывода в гуманитарном университете реализован в учебном пособии A.B. Гладкого. Однако ни один из перечисленных авторов не проводил системного исследования нетрадиционного построения курса математической логики.

В связи с этим разработки проблем совершенствования логической подготовки будущих учителей математики весьма далеки от реализации идеи приближения содержания курса математической логики (как теории дедуктивных рассуждений) к реальным дедуктивным рассуждениям и проблемам обучения доказательству в школе и вузе.

Проведённый анализ показал, что в настояшее время имеется ряд противоречий, связанных с логической подготовкой будущих учителей математики. Важнейшими из них являются следующие противоречия:

- между потребностями современной школы в логически грамотных учителях математики и недостаточно высоким реальным уровнем логической подготовки выпускников педвузов;

- между практикой дедуктивных рассуждений и обучения доказательству в школе и вузе, с одной стороны, и оторванной от нее традиционно излагаемой в курсе математической логики теорией доказательств - с другой;

- между существованием естественной формально-логической основы обучения математической логике и отсутствием методической системы обучения математической логике на этой основе.

Указанные противоречия позволяют сформулировать проблему исследованиях выявить, каковы возможности построения методической системы обучения студентов педвузов математической логике на естественной формально-логической основе'.

Все изложенное определило выбор темы и актуальность исследования, посвященного совершенствованию логической подготовки будущих учителей математики, созданию методической системы обучения математической логике на основе теории естественного вывода.

Объектом исследования является математическая подготовка будущих учителей математики в педагогических вузах.

ПреОметом исследования является процесс обучения студентов математических факультетов педагогических вузов математической логике на основе теории естественного вывода.

Основная цель исследования - разработка концепции инновационного курса математической логики в педвузах на основе теории естественного вывода и создание методической системы обучения математической логике, позволяющей реализовать эту концепцию.

Гипотеза исследования состоит в следующем: обучение студентов педагогических вузов математической логике будет в большей степени профессионально направлено, доступно и эффективно, если:

- курс математической логики построить на основе естественного вывода, обеспечивая тем самым изучение наиболее адекватных, простых и наглядных моделей доказательств;

- усилить методологическую составляющую курса путем изучения конструктивного исчисления естественного вывода и проблем оснований математики;

- выявить возможности применения средств естественного вывода в обучении доказательству школьников.

Проблема, объект, предмет, цель и гипотеза исследования определили следующие задачи исследования, которые можно разделить на три группы:

1. Задачи теоретического характера, связанные с разработкой теоретической части концепции обучения студентов педвузов математической логике на базе естественного вывода:

- проведение анализа логической подготовки будущих учителей математики, выделение и характеристика ее составляющих и этапов; выявление и анализ проблем традиционного обучения математической логике в педвузах;

- исследование методологических и психолого-педагогических аспектов логической подготовки;

- формулирование основных положений концепции инновационного курса математической логики на основе теории естественного вывода;

- выбор основных принципов формирования содержания инновационного курса;

- выявление и обоснование дидактических преимуществ обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным обучением.

2. Задачи, связанные с практической реализацией концепции обучения студентов педагогических вузов математической логике на базе естественного вывода:

- формирование содержания инновационного курса математической логики на базе естественного вывода путем разработки версии теории естественного вывода, адаптированной для обучения студентов педвузов и соответствующей целям их логической подготовки;

- создание учебно-методического обеспечения инновационного курса математической логики, адекватного его содержанию;

- разработка частных методик обучения математической логике на базе естественного вывода.

3. Задачи, связанные с разработкой приложений средств естественного вывода к обучению доказательству в школе и вузе:

- разработка возможных применений средств естественного вывода в обучении математике при формировании понятия математического доказательства, анализе методов доказательства и обучении построению доказательств;

- разработка методического курса, посвященного проблемам логического характера в обучении математике, для студентов старших курсов педвузов и магистрантов физико-математического образования.

Теоретико-методологические основы исследования составляют:

- нормативные документы в сфере образования: Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года, Программа модернизации педагогического образования (2003), Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования (2005), Примерные программы дисциплин предметной подготовки по специальностям педагогического образования (2004) и др.;

- современные концепции построения высшего педагогического образования (С.И.Архангельский, Ю.К.Бабанский, ИИ. Баврин. В.П.Беспалько, Н.Ф.Талызина, Б.С.Гершунский, В.В. Давыдов, В.В. Краевский, Н.В.Кузьмина, В.Л.Матросов, М.В. Потоцкий, Ю.Г. Татур, М.В. Швецкий и др.);

- теория системного подхода в образовании и её применение к обучению математике (В.И. Крупич, B.C. Леднев, В.М. Монахов, А.И. Нижников, A.M. Пышкало, ПГ. Щедровицкий и др.);

- концепция профессионально-педагогической направленности математической подготовки будущих учителей математики (Г.Л. Луканкин, А.Г. Мордкович, М.В. Потоцкий, Г.Г. Хамов и др.);

- концепция гуманизации и гуманитаризации математического образования (Г.В. Дорофеев, Г.И. Саранцев, Т.А. Иванова, Т.Н.Миракова, А.Х. Назиев и др.);

- теория деятельностного подхода и развивающего обучения (Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, А.Н. Леонтьев, З.И. Слепкань, Н.Ф. Талызина и др.);

- психолого-педагогические исследования (Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.А. Крутецкий, С.Л. Рубинштейн, М.А. Холодная, Ж. Адамар, Ж. Пиаже и др.);

- исследования по методологии математического познания (Ж. Адамар, В.Ф. Асмус, Г. Вейль, А. Гейтинг, Д. Гильберт, М. Клайн, Н.М. Нагорный, А. Пуанкаре, В.Я. Перминов, Б. Рассел, Г.И. Рузавин, В.А. Смирнов, В.А. Успенский, Г. Фреге и др.);

- работы по методологии математического образования (В.И. Арнольд, Н.Я. Виленкин, М.Б. Волович, Г.Д. Глейзер, Б.В. Гнеденко, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, А.Л. Жохов, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, Л.Д. Кудрявцев, И. Лакатос, Г.Л. Луканкин, А.И. Маркушевич, В.Л. Матросов, В.М. Монахов, А.Х. Назиев, Д. Пойа, И.С. Сафуанов, И.М. Смирнова, В.А. Тестов, В.А. Трайнев, И.В. Трайнев, Г. Фройденталь, А.Я. Хинчин и др.);

- работы по проблемам логического характера школьного курса математики (Н.М. Бескин, В.Г'. Болтянский, A.B. Гладкий, Я.И. Груденов, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, Л.А. Калужнин, И.Л. Никольская, Г.И. Саранцев, А.Д. Семушин, A.A. Столяр, И.М. Яглом и др.);

- научные исследования в области математической логики и ее преподавания (С.И. Адян, A.B. Гладкий, Ю.Л. Ершов, М.М. Кипнис, А.Н. Колмогоров,

A.A. Марков, В.Л. Матросов, А.Х. Назиев, H.H. Непейвода, П.С. Новиков,

B.А. Успенский, Д. Гильберт, Г. Генцен, С. Клини, Д. Правиц и др.).

Д ля решения поставленных задач применялись следующие методы исследования -. • теоретические (изучение и анализ философской, научно-методической и психолого-педагогической литературы по теме исследования; изученир и яняпи? научной литературы, учебных пособий и программ по математической логике и основаниям математики; изучение и анализ опыта преподавания математической логики в высшей школе; анализ, сравнение, обобщение и систематизация собственного мно-

6

голетнего опыта преподавания математической логики в педагогическом вузе); . экспериментально-диш ностические (наблюдение, анкетирование и опросы студентов, собеседование, традиционная оценка уровня знаний студентов, беседы со студентами и выпускниками математического факультета Mill У; педагогический эксперимент по проверке эффективности разработанного курса математической логики и статистическая обработка некоторых его результатов).

Научная новизна исследования заключается в том, что на основе интегрального применения деятельностного, модельно-наглядного и генетического подходов к обучению:

- создана концепция инновационного курса математической логики на базе естественного вывода для педвузов, содержащая теоретическое обоснование дидактических преимуществ и усиления профессиональной направленности обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным обучением, а также обоснование усиления методологической составляющей курса математической логики при включении в его программу вопросов, связанных с конструктивной логической системой. Ведущая идея концепции: принципиально важным для будущих учителей математики является изучение в курсе математической логики наиболее естественных, наглядных и простых математических моделей доказательств, каковыми являются модели, предоставляемые системами естественного вывода;

- разработана методическая система обучения математической логике студентов педвузов, включающая следующие компоненты: цели и содержание инновационного курса математической логики на базе естественного вывода; частные методики обучения математической логике на основе естественного вывода; учебно-методическое обеспечение курса математической логики - программу инновационного курса математической логики и комплект учебных пособий;

- разработаны применения средств естественного вывода в обучении доказательству в средней школе и вузе, а именно: при формировании понятия доказательства; при обучении методам доказательства; при анализе логической структуры доказательств; при поиске и построении доказательств;

- выделены и исследованы составляющие логической подготовки (языковая, дедуктивная и методологическая); раскрыты такие неизученные психолого-педагогические элементы аогической подготовки студентов, как развитие логической рефлексии и логической интуиции; выявлены пути усиления методологической составляющей логической подготовки, связанные с изучением проблем оснований математики и конструктивного исчисления.

Теоретическая значимость исследования определяется следующим:

- разработана концепция обучения студентов педвузов математической логике на базе естественного вывода, основанная на интегральном применении следующих психолого-педагогических подходов к обучению: деятельностного, когнитивно-визуального, модельно-наглядного и генетического, а также концепции гуманитаризации обучения математике;

- выявлены и обоснованы преимущества обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным обучением, на основании чего теоретически обоснованы усиление профессионально-педагогической на-

7

правленности и повышение эффективности обучения студентов педвузов математической логике при построении этого курса на основе естественного вывода;

- раскрыто содержание психолого-педагогических понятий - логическая рефлексия, логическая интуиция, дедуктивная деятельность и др.;

- проведен всесторонний анализ составляющих логической подготовки будущих учителей математики (языковой, дедуктивной и методологической), исследованы методологические аспекты логической подготовки, связанные с изучением важнейшего неклассического исчисления - конструктивного;

- предложены- дидактическая модель понятия доказательства - понятие доказательства в виде дерева; анализ методов доказательства и логической структуры доказательств средствами теории естественного вывода; логические эвристики построения доказательств.

Практическая значимость исследования состоит в следующем:

- разработана методическая система обучения математической логике на базе естественного вывода, позволяющая повысить эффективность и усилить профессиональную направленность преподавания математической логики в педвузах;

- создано учебно-методическое обеспечение - программа и учебные пособия по математической логике, которые могут быть использованы преподавателями педвузов, читающими основной курс и спецкурсы по математической логике, и студентами педвузов при изучении этих курсов;

- материалы исследования, относящиеся к приложению средств естественного вывода в обучении математике, могут быть использованы учителями средней школы при разработке элективных курсов по логике, на факультативных занятиях, на уроках математики в классах с физико-математическим профилем;

- использование результатов исследования позволяет повысить логическую культуру преподавания математики в средней школе и вузе, а значит, способствует повышению качества преподавания математики в целом.

Практическая значимость работы подкрепляется внедрением ее результатов в практику преподавания математической логики на математическом факультете Московского педагогического государственного университета и использованием некоторых се результатов в других педвузах.

Дальнейшим продолжением работы может служить создание элективных курсов по изучению элементов математической логики на базе естественного вывода и их методического обеспечения для учащихся средней школы; разработка методики обучения учащихся дедуктивным средствам, используемым в математических рассуждениях в рамках школьного курса математики в классах с физико-математическим профилем; разработка материалов для повышения квалификации учителей математики в области математической логики.

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются четкостью выбранных методологических, математических, историко-научных, психолого-педагогических, философских и методических позиций, положенных в основание исследования; корректным применением к исследуемой проблеме системного, деятельностного и культурологического подходов, а также комплекса методов, адекватных объекту, предмету, цели и задачам исследования; достаточной продолжительностью опытно-экспериментальной работы в процессе личного пре-

подаваяия и преподавания по разработанной системе коллег в МПГУ и некоторых других педагогических вузах, имевших возможность использовать в своей работе разработанные автором программы, учебные пособия и методические разработки; логической непротиворечивостью проведённых рассуждений; согласованностью полученных выводов с положениями базисных наук и принципиальной согласованностью с собственным опытом работы, опытом коллег и учителей математики.

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработанная методическая система обучения математической логике студентов педвузов реализует теоретическую концепцию инновационного курса математической логики на основе естественного вывода.

2. Обучение математической логике на основе теории естественного вывода имеет ряд дидактических преимуществ по сравнению с традиционным обучением, важнейшими из которых являются адекватность выводов в виде дерева как моделей доказательств, наглядность их логической структуры и простота построения выводов в виде дерева.

3. Построение курса математической логики на основе теории естественного вывода позволяет усилить его профессионально-педагогическую направленность и повысить его эффективность.

4. Изучение конструктивной логической системы, наряду с классической, усиливает методологическую составляющую курса математической логики.

5. Средства естественного вывода имеют значимые приложения к обучению доказательству в школе и вузе при формировании понятия доказательства, анализе логической структуры доказательств и построении доказательств.

Основные этапы исследования. Диссертация обобщает результаты исследования, проводимого автором в несколько этапов с 1994 по 2005 гг.

На первом этапе была изучена научная и методическая литература по проблеме исследования, проанализированы достоинства и недостатки традиционной логической подготовки будущих учителей математики, определены ее этапы и составляющие. Создано несколько спецкурсов, учитывающих современные направления развития математической логики. Разработана методика параллельного изучения классического и конструктивного исчислений. На этом этапе была выдвинута гипотеза, конкретизированы цели и задачи исследования. Был подготовлен и проведен констатирующий эксперимент.

На следующем этапе было разработано содержание курса математической Логики на основе естественного вывода сначала в рамках спецкурса, а затем в рамках основного курса математической логики, был проведен поисковый эксперимент. Определен подход к организации экспериментального обучения матемагги-ческой логике на базе естественного вывода, способствующий качественному усвоению инновационного материала и усилению профессиональной направленности курса. Целью этого этапа был поиск оптимального варианта методики обучения студентов математической логике на основе естественного вывода

К 2003 г. завершена разработка методической системы обучения стулентов педвузов математической логике на основе естественного вывода, включающая создание комплекта учебных пособий. С 2000 по 2005 гг. проводилось внедрение инновационного курса математической логики. На последнем этапе уточнялись, анализировались,

обобщались и систематизировались результаты проведенного исследования, которые и были оформлены в данной работе.

Апробация работы. Различные аспекты, основные положения и результаты исследования докладывались автором и обсуждались на 20 конференциях по проблемам математического образования:

• на международных конференциях: "Современные проблемы преподавания математики и информатики" (Тула, 2004); "Алгебра, логика и кибернетика" (Иркутск, 2004); "Новые технологии в образовании" (Воронеж, 2005); "58-е Герценовские чтения" (Санкт-Петербург, 2005); "Математика. Образование. Культура" (Тольятти, 2005); "Болонский процесс в математическом и естественнонаучном педагогическом образовании: тенденции, перспективы, проблемы" (Петрозаводск, 2005);

• на всероссийских научно-методических и научно-практических конференциях: "Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков" (Дубна, 2000); "Информатизация общего и педагогического образования - главное условие их модернизации" (Челябинск, 2004); "Инновационные процессы в высшей школе" (Краснодар, 2004); "Математика в современном мире - 2004", посвященная 110-летию АЛ. Хинчина (Калуга, 2004); "Совершенствование процесса обучения математике в условиях модернизации Российского образования" (Волгоград, 2004); "Колмогоров-ские чтения Ш" (Ярославль, 2005); "Актуальные проблемы модернизации школьного математического образования" (Барнаул, 2005); "Современный урок математики: Теория и практика" (Нижний Новгород, 2005); XXIV Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов "Современные проблемы школьного и вузовского математического образования" (Саратов, 2005);

• на межрегиональных научно-практических и научно-методических конференциях•

"Проблемы и перспективы педагогического образования в XXI веке" (Москва, 2000); "Тенденции и проблемы развития математического образования" (Армавир, 2004); "Профессиональное образование на современном этапе развития общества" (Калуга, 2004); "Проблемы математического образования в вузах и школах России в условиях его модернизации" (Сыктывкар, 2005); "Нелинейный мир" (Нижний Новгород, 2005).

Кроме того, результаты исследования докладывались и обсуждались: на научном семинаре "Неклассические логики и вычислимость" в МГУ (Москва, 2002); на курсах АПК и ПРО МО РФ обновления содержания и методики преподавания естественно-математического образования (Москва, МПГУ, 2003); на научных сессиях МПГУ по итогам НИР, секции математики и методики преподавания математики (Москва, 2001,2002,2003,2004,2005).

Внедрение результатов исследования осуществлялось на математическом факультете МПГУ в следующих формах.

Разработанный автором инновационный курс математической логики читается на протяжении шести лет на математическом факультете МПГУ. Учебные пособия по математической логике, в которых реализована авторская концепция обучения математической логике, активно используются студентами и преподавателями МПГУ.

Некоторые материалы исследования более 20 лет используются в преподава-

нии основного курса математической логики на математическом факультете МШ'У, а также при чтении различных спецкурсов и проведении спецсеминаров по математической логике, при написании курсовых, дипломных, бакалаврских работ и магистерских диссертаций.

На основе материалов исследования автором разработан и в 2005 г. прочитан методический спецкурс для магис фантов физико-математического образования "Приложения математической логики к обучению математике в школе".

Результаты исследования использовались в некоторых педвузах, имевших разработанные автором программы, учебные пособия и методические рекомендации.

Автор данной диссертации в 2003-2004 гг. принимал активное участие в разработке единой программы (пригодной для изложения курса математической логики независимо от формальной логической базы, на которой он построен), а также в работе по обновлению примерных программ МО РФ и стандартов ГОС ВПО второго поколения. Благодаря этому в обновленной версии указанных нормативных документов удалось отразить наиболее важные принципиальные установки авторской концепции.

По результатам диссертационного исследования опубликованы 53 работы общим объемом 75,78 п.л.: 1 монография, 5 учебных пособий, 2 учебных программы, 25 статей, 20 тезисов докладов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и 17 приложений. Общий объем работы 400 стр., из них 373 стр. - основной текст, 27 стр. - приложения; список литературы содержит 340 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснованы выбор и актуальность темы исследования, определены предмет, объект, цель и гипотеза исследования, указаны задачи, методы и теоретико-методологические основы исследования, раскрыты научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, сформулированы положения, выносимые на защиту, приведены сведения об апробации и внедрении результатов.

В первой главе "Теоретические основы логической подготовки будущих учителей математики" проведен анализ логической подготовки студентов педагогических вузов: выделены ее составляющие и этапы, выявлены основные проблемы и намечены пути их решения, исследованы психолого-педагогические и методологические аспекты логической подготовки, обоснована ее профессионально-педагогическая направленность.

В разделе 1.1 "Логическая подготовка будущих учителей математики как предмет исследования" проведен анализ научно-методических исследований, связанных с логической подготовкой студентов педвузов, уточнено понятие логической подготовки будущих учителей математики, выделены и исследованы составляющие и этапы логической подготовки студентов.

Под логической подготовкой будущих учителей математики (студентов математических факультетов педвузов) понимаем целенаправленный, педагогически организованный и профессионально ориентированный процесс формирования у студентов комплекса знаний и умений, включающего знания основ современной ма-

тематической логики и обеспечивающего научную базу логической составляющей школьного курса математики; содержащего умения (способы логико-языковой и логико-дедуктивной деятельности), практически значимые для учебы и будущей профессии учителя математики.

Таким образом, под логической, или, более точно, логико-математической, подготовкой будущих учителей математики понимаем их подготовку в области математической логики, т. е. профессионально направленное обучение студентов математической логике в рамках предусматривающих это курсов и в соответствии с учебными планами и примерными программами этих курсов.

В соответствии с тремя содержательными линиями в обучении математической логике (языковой, дедуктивной и методологической) выделены следующие три взаимосвязанные составляющие логической подготовки студентов педвузов: языковая, дедуктивная, методологическая. Для каждой из составляющих логической подготовки определены цели и уточнено содержание. Логическая подготовка будущих учителей математики включает обучение студентов комплексу знаний и умений, связанных с логическим компонентом математического языка и формальными логическими языками (логико-языковая подготовка); с дедуктивным характером математики, логическими и логико-математическими исчислениями (логико-дедуктивная подготовка); с методологическим характером математической логики (логико-методологическая подготовка).

В процессе логической подготовки выделены и охарактеризованы четыре этапа; для каждого из них сформулированы основные цели, указаны формы и содержание. Обосновано значение курса математической логики в системе логической и математической подготовки учителя математики.

Первый этап логической подготовки - начальный, пропедевтический - осуществляется на первом году обучения в рамках Вводного курса математики и в рамках курса алгебры при изучении темы "Элементы теории множеств и логики".

Второй этап логической подготовки - основной, базовый - осуществляется на третьем году обучения в педвузе в рамках курса математической логики. Он подробно исследован во второй главе.

Третий этап логической подготовки - углубленная логическая подготовка -осуществляется на третьем и четвертом годах обучения в форме курсов по выбору (спецкурсов по математической логике), курсовых и выпускных квалификационных работ - дипломных или бакалаврских. При описании этого этапа охарактеризованы наиболее важные спецкурсы по математической логике, разработанные автором: изложены цели, принципы отбора содержания и программы.

Четвертый этап логической подготовки - методический - предлагается осуществлять и форме интегративного методического спецкурса логического содержания на пятом курсе ичи в магистратуре по направлению "Физико-математическое образование". Автором разработан иптегратизный методический курс "Приложения математической логики к обучению математике", предназначенный для студентов старших курсов и магистрантов.

В этом же разделе проанализированы проблемы обучения математической логике в педвузах и пути их решения. Основная проблема традиционного курса заключается в том, что изучаемые в нем математические модели доказательств слишком далеки от реальных доказательств. Поскольку доказательства являются

одним из важнейших объектов изучения математической логики, то и содержание курса в целом оказывается оторванным от дедуктивной практики. Представляется, что причины этой проблемы кроются в традиционном изложении курса математической логики на базе аксиоматических логических исчислений. Многие проблемы традиционного курса математической логики устраняются при построении его на более естественной формально-логической основе.

В разделе 1.2 "Психолого-педагогические аспекты логической подготовки" рассмотрены основные психолого-педагогические и дидактические подходы (деятель-ностный, наглядпо-модельный, генетический) и концепция гуманитаризации обучения математике, на которые опирается разработанная автором методика обучения студентов математической логике на основе естественного вывода. В этом же разделе введены понятия логической рефлексии и логической интуиции, рассмотрена роль изучения математической логики в развитии способности к логической рефлексии и логической интуиции.

Рефлексивность является важным для учителя математики качеством мышления. В работе выделены и исследованы логическая рефлексия, как особый вид интеллектуальной рефлексии, и ее компоненты: логико-языковая рефлексия (осознание логической структуры математических предложений и определений, а также мыслительных действий, обеспечивающих логически правильное построение этих конструкций математического языка) и дедуктивная рефлексия (осознание дедуктивных средств, используемых в доказательствах, логической структуры доказательств и мыслительных действий, обеспечивающих отдельные шаги доказательства). Показано, что изучение математической логики способствует формированию логической рефлексии, столь необходимой для успешной дедуктивной деятельности и логически грамотной речи. Изучение математической логики способствует преобразованию подсознательной, интуитивной логической саморегуляции дедуктивной и речевой деятельности в осознанную саморегуляцию, основанную на логической рефлексии.

В этом же разделе рассмотрена роль интуиции в преподавании математической логики, введено понятие логической интуиции, выделены этапы и уровни развития логической интуиции, а также определена роль курса математической логики в развитии логической интуиции студентов.

Такие стороны мышления, как интуиция и логичность, в преподавании математики следует не противопоставлять, а разумным образом сочетать. Результатом такого сочетания является широкое использование интуитивного подхода в разработанной автором методике обучения математической логике при формировании новых понятий, при поиске доказательств, при решении задач на практических занятиях.

Автором выделен и проанализирован такой вид интуиции, как логическая интуиция, а также ее составляющие - языковая и дедуктивная, связанные с логическими компонентами математического языка и математических доказательств соответственно.

Под логической инт^ицнеи понимаем способность непосредственно, без ссылок на логические нормы математического языка, законы логики и правила вывода, грамотно пользоваться логическими средствами математического языка и логически грамотно рассуждать, а также различать логически правильные и неправиль-

ные языковые и дедуктивные конструкции. Другими словами, логическая интуиция - это способность не допускать самому и не пропускать у других логических ошибок в математической речи и доказательствах, не сверяясь при этом с логическими нормами математического языка, законами логики и правилами вывода.

В работе выделены и охарактеризованы три этапа и соответствующие им уровни развития логической интуиции: дорефлексивный, рефлексивный и пострефлексивный. Изначально логическая интуиция базируется на опыте дедуктивных рассуждений. В дальнейшем ее развитии у студентов педвузов значительную роль играет изучение математической логики, что продемонстрировано на ряде примеров. Таким образом, с одной стороны, при обучении математической логике следует опираться на интуицию, используя ее для пропедевтики и мотивации; с другой стороны, изучение математической логики способствует развитию логической интуиции, необходимой учителю математики.

В разделе 1.3 "Методологические аспекты логической подготовки" раскрыты методологический характер математической логики и особенности изучения проблем оснований математики. В курсе математической логики студенты изучают комплекс вопросов методологического характера, что влияет на формирование у них соответствующих компонентов научного мировоззрения. Эти вопросы условно разделены на следующие взаимосвязанные группы: 1) вопросы, связанные с дедуктивным характером математики; 2) вопросы, связанные с проблемой обоснования непротиворечивости математики; 3) вопросы, связанные € идеей неединственности логики; 4) вопросы, связанные с методом формализации.

Большое внимание в работе уделено особенностям изучения темы "Проблемы оснований математики", связанным с изложением парадоксов теории множеств, проблем обоснования непротиворечивости математики, сущности кризиса оснований математики на рубеже Х1Х-ХХ веков и путей выхода из него.

При анализе основных методов математической логики изложена суть метода формализации, его техническая сторона и кратко охарактеризованы два основных типа формализации - гильбертовский и генценовский. Проанализированы методологические аспекты изучения генценовских систем естественного вывода в курсе математической логики.

В математической логике при изучении дедуктивных средств, математических доказательств и теорий используется метод математического моделирования. Понятие формального вывода в логических и логико-математических исчислениях служит математической моделью понятия доказательства. Сами формальные выводы служат математическими моделями доказательств. Поскольку логические исчисления бывают разного типа, то и соответствующие им формальные выводы -модели доказательств, также имеют разный тип. Проведен анализ двух основных типов моделей доказательств; линейных выв о лов и выводов в виде дерева.

Большое методологическое значение в курсе математической логики имеет идея неединственности логики как системы логических принципов, приведшая к созданию нгклассических логик, важнейшей из которых является интуиционистская (конструктивная) логика. В связи с этим можно говорить о двух типах математического мышления - классическом, или теоретико-множественном (опирающемся на законы исключенного третьего, снятия двойного отрицания и другие

принципы, которые являются источниками неэффективных доказательств теорем существования), и неклассическом, или конструктивном (не признающем универсальность указанных принципов).

Традиционно преподавание математики в школе и вузе происходит в рамках классического направления. При этом у школьников и студентов формируется классический (теоретико-множественный) тип мышления. Однако такой подход не отражает вссй глубины и всех граней процесса математического познания и математического мышления. Эту ситуацию можно изменить путем формирования у будущих учителей математики не только классического, но и конструктивного 1 мышления.

Формированию конструктивного мышления у студентов способствует акцентирование их внимания на вопросе: не приводят ли используемые дедуктивные средства к неэффективности доказательства. Принципиально важным является связанное с этим различение методов доказательства от противного и приведением к нелепости. Метод доказательства от противного существенно опирается на принцип снятия двойного отрицания и поэтому является источником неэффективных доказательств теорем существования в математике. В этом, по существу, и заключается отличие его от метода доказательства приведением к нелепости. Сопоставление правил естественного вывода, соответствующих этим методам, позволяет точно выразить и обосновать существующее между ними различие.

Обычно в курсе математической логики изучается одно исчисление высказываний - классическое, что не позволяет полностью реализовать методологические возможности этого курса. Одной из особенностей инновационного курса математической логики является изучение интуиционистского исчисления наряду с классическим. Сопоставление двух логических систем (классической и интуиционистской) имеет большое методологическое значение.

Два основных типа мышления в математике - это некая реальность в области математического познания, реальность, с которой нужно считаться и которой нужно отдавать должное в математическом образовании. Изучение в курсе математической логики двух логических систем - классической и интуиционистской (конструктивной) - является отражением идеи неединственности логики и факта существования двух основных типов мышления в математике. Кроме того, в настоящее время кон' структивная логика имеет широкое применение в теоретическом программировании, что объясняется ее возможностями кодифицировать конструктивные у маня я и способности человека. ► В разделе 1.4 рассмотрена реализация принципов профессионально-педагогической направленности логической подготовки будущих учителей математики. Наибольшее внимание уделено вопросу фундаментальности логической подготовки. Обосновано усиление профессиональной направленности курса математической логики при построении его на базе естественного вывода. Такое построение курса сочетает: 1) изложение фундаментальных достижений в области математики на современном уровне строюсти; 2) более тесную связь изучаемого материала с логической составляющей школьного курса математики; 3) достижение понимания студентами значения полученных знаний для своей будущей профессиональной деятельности в качестве учителя математики.

Во второй главе "Концепция инновационного курса математической логики на основе естественного вывода и ее реализация" изложены основные положения концепции инновационного курса математической логики; обоснованы дидактические преимущества построения курса математической логики на основе естественного вывода; охарактеризованы компоненты созданной автором методической системы обучения математической логике на основе теории естественного вывода (цели, содержание, методы, средства и формы обучения); описаны особенности разработанного автором понятийного аппарата, изложена методика формирования основных понятий курса, отражены особенности разработки специфических для теории естественного вывода теорем и их доказательств; охарактеризована система задач и изложены методические особенности изучения естественного вывода на практических занятиях по математической логике; дана характеристика авторского комплекта учебных пособий по математической логике. Приведено описание экспериментальной части исследования.

Перечислим основные положения концепции обучения студентов педвузов математической логике на базе естественного вывода:

1. Высокая значимость курса математической логики для будущих учителей математики главным образом определяется тем, что в нем изучаются математические уточнения таких понятий, как доказательство и аксиоматическая теория, а также математические модели доказательств и математических теорий. Математическая логика является, прежде всего, теорией дедуктивных рассуждений, а значит, должна служить теоретической базой обучения доказательству - одной из наиболее важных составляющих процесса обучения математике.

2. Построение курса математической логики на основе естественного вывода позволяет решить основную проблему традиционного курса, заключающуюся в том, что традиционно излагаемая в нем теория дедуктивных рассуждений оторвана от практики дедуктивных рассуждений, от реальных неформальных доказательств и, как следствие, отдалена от нужд учителя математики и практически не помогает ему в решении важнейшей задачи обучения доказательству.

3. Курс математической логики на основе естественного вывода следует строить, сохраняя все основные понятия и теоремы, предусмотренные программой и излагаемые в традиционном курсе, основанном на аксиоматических логических исчислениях. Такое построение курса математической логики осуществлено в комплекте авторских учебных пособий по математической логике.

4. Обучение математической логике на основе естественного вывода имеет ряд дидактических преимуществ по сравнению с традиционным обучением, основными из которых являются: естественность и адекватность моделей математических доказательств - выводов в виде дерева; наглядность логической структуры выводов в виде дерева; эвристичность правил и простота построения деревьев вывода; возможность моделирования процесса поиска и построения математических доказательств при построении деревьев вывода.

5 Обучение математической логике на основе естественного вывода позволяет студентам лучше понимать сущность математических доказательств и их логическую структуру, а также осознавать, какие дедуктивные средства используются

в доказательствах, т. е. способствует развитию логической рефлексии, необходимой будущим учителям математики.

6. Обучение математической логике на основе естественного вывода повышает эффективность обучения математической логике, усиливает познавательную мотивацию и интерес студентов к изучению этой дисциплины.

7. Построение курса математической логики на основе естественного вывода способствует усилению его профессионально-педагогической направленности. Принципиально важным для будущих учителей математики является изучение наиболее адекватных, наглядных и простых математических моделей содержательных математических доказательств, а именно такие модели и строятся в теории естественного вывода.

8. Средства естественного вывода имеют важные применения в обучении доказательству в школе и вузе и служат теоретической основой этого обучения:

- при формировании понятия доказательства с использованием его дидактической модели - понятия доказательства в виде дерева;

- при обучении дедуктивным средствам и анализу логической структуры доказательств;

- при обучении построению доказательств с использованием эвристических возможностей естественного вывода.

9. Методический курс логического содержания (интегративный курс) для студентов старших курсов является важным и завершающим этапом логической подготовки студентов педвузов и представляет собой форму повышения готовности выпускников педвузов к применению средств математической логики в обучении математике школьников (в частности, средств естественного вывода в обучении доказательству).

10. Важную роль в логической подготовке студентов педвузов играет ее методологическая составляющая, значение которой в формировании научного мировоззрения и математической культуры студентов можно существенно повысить, если в курсе математической логики изучать:

- проблемы оснований математики и роль математической логики в их решении;

- конструктивную (интуиционистскую) логическую систему естественного вывода наряду с классической. Это отражает идею неединственности погики и такую реальность, как существование двух типов мышления в современной математике (теоретико-множественного и конструктивного), и отвечает современным тенденциям развития математической логики; у

- не только системы естественного вывода, на основе которых построено все изложение, но и системы гильбертовского типа (кратко и в сравнении с первыми).

Разработанный автором инновационный курс матемашческой логики построен на основе теории естественного вывода, в то время как традиционный курс математической логики в педагогических вузах излагается на основе логических исчислений гильбертовского типа. В диссертации подробно изложены соображения, определившие выбор автора в пользу естественного вывода.

В разделе 2.1 "Дидактические преимущества построения курса математической логики на основе естественного вывода по сравнению с традиционным" раскрыты преимущества инновационного обучения математической логике по сравнению с

традиционным. В результате всестороннего и глубокого анализа двух способов построения курса математической логики автору удалось выявить, подробно проанализировать и обосновать целый ряд дидактических преимуществ естественного вывода. Перечислим эти преимущества, разделив их на четыре основные группы: естественность, наглядность, простота и конструктивность.

I. Естественность уточнения понятия доказательства, которым служит понятие вывода в виде дерева (дерева вывода) в системах естественного вывода; адекватность тех моделей реальных содержательных математических доказательств, каковыми являются деревья вывода:

1) соответствие формы выражения дедуктивных средств (в виде правил вывода) неформальным средствам доказательства в математике;

2) соответствие правил естественного вывода элементарным шагам неформальных математических доказательств, ясность содержательного смысла этих правил;

3) формализация косвенных рассуждений с помощью косвенных правил вывода - возможность сопоставить формальный вывод в виде дерева не только прямым, но и непрямым (косвенным) рассуждениям;

4) соответствие нелинейности деревьев вывода нелинейности логической структуры доказательств - порядок членов в дереве вывода имеет нелинейный характер, как и порядок членов в доказательстве, который обусловлен отношением логического следования;

5) моделирование процесса поиска и построения математических доказательств при построении деревьев вывода - соответствие мыслительных действий при построении содержательных доказательств и деревьев вывода.

II. Наглядность выводов в виде дерева:

1) наглядность отражения формы элементарных способов содержательных математических рассуждений в виде правил вывода;

2) наглядность отражения логической структуры вывода в виде дерева, т. е. логических взаимосвязей между членами вывода;

3) возможность наглядно и компактно отразить дополнительную информацию о дереве вывода - об используемых правилах и статусе исходных формул;

4) возможность наглядного отражения порядковой структуры дерева вывода в виде графа.

1П. Простота дедуктивного аппарата систем естественного вывода:

1) простота построения деревьев вывода - возможность несложного построения деревьев вывода даже в тех случаях, когда построение линейного вывода в гильбертовских системах практически неосуществимо в рамках учебного процесса;

2) эвристичность правил естественного вывода - правила вывода подсказывают некоторые шаги и, тем самым, облегчают процесс построения как деревьев вывода, так и неформальных математических доказательств;

3) визуальная простота самих деревьев вывода по сравнению с соответствующими линейными выводами, сопровожденными анализом.

IV. Конструктивный характер доказательств основных теорем о свойствах систем естественного вывода:

1) доказательства утверждений о выводимости (т. е. о существовании того или иного дерева вывода) в системе естественного вывода представляют собой предъявление соответствующего дерева вывода;

2) доказательства условных теорем о существовании деревьев вывода обычно содержат саму конструкцию (или же алгоритм построения) искомого дерева го тех деревьев вывода, которые имеются согласно условию.

Перечисленные преимущества изложения курса математической логики на базе естественного вывода способствуют:

- усилению профессионально-педагогической направленности этого курса;

- увеличению гуманитарного потенциала этого курса;

- повышению познавательного интереса студентов к изучаемому материалу;

- заметному повышению эффективности процесса обучения теории доказательств.

В разделе 2.2 "Цели и содержание инновационного курса математической логики" сформулированы основные цели разработанного курса, изложены требования к уровню освоения его содержания, принципы отбора и разработки содержания, особенности содержания, приведена программа инновационного курса.

Цели курса математической логики, построенного на основе естественного вывода:

- овладение комплексом знаний и умений, включающим глубокие знания основ современной математической логики и обеспечивающим научную базу логической составляющей школьного курса математики; содержащим умения, практически значимые для учебной и преподавательской деятельности;

- формирование компонентов научного мировоззрения, связанных с методологической ролью математической логики;

- развитие качеств мышления, необходимых для учебной и преподавательской деятельности, прежде всего способности к дедуктивному мышлению, логической интуиции и логической рефлексии;

- воспитание логической культуры мышления, устной и письменной математической речи, дедуктивной деятельности на уровне, необходимом для учебной и преподавательской деятельности;

- формирование методических взглядов будущего учителя математики, связанных с логической подготовкой школьников.

Основное внимание в этом разделе уделено содержанию инновационного курса математической логики. При формировании содержания курса были использованы следующие известные принципы разработки содержания', принцип соответствия целям и задачам логической подготовки будущих учителей математики; принцип учета предмета и содержания математической логики как научной дисциплины; принцип учета соотношения науки и учебного предмета; принцип профессионально-педагогической направленности обучения и дидактический принцип. Кроме перечисленных, особую роль сыграли также следующие принципы разработки содержания: принцип преемственности, принцип перспективности, принцип естественности, принцип конструктивности, принцип методологичности.

Содержанке инновационного курса математической логики, кроме главной особенности - изложения теории доказательств на базе естественного вывода, имеет еще две особенности: изучение интуиционистского (конструктивного) исчисления высказываний наряду с классическим и наличие самостоятельного раз-

дела, посвященного проблемам оснований математики.

Структура курса и содержание его разделов отражены в авторской программе курса математической логики. Проанализированы другие возможные варианты построения программы по математической логике, отражающие разные подходы к последовательности изложения материала и выделению основных разделов. В приложении приведено планирование лекционного курса, соответствующее учебному плану математического факультета МПГУ.

В разделе 2.3 "Разработка понятийного аппарата, теорем и доказательств. Методика формирования основных понятий" обоснована необходимость разработки понятийного аппарата, изложены проблемы, возникшие при этой разработке, и их решение, а также описаны особенности методики формирования основных понятий.

При создании инновационного курса математической логики возникла необходимость разработки понятийного аппарата: уточнения известных понятий (разработки точных формулировок определений), дидактической обработки существующих определений, введения новых понятий и их определений, а также разработки соответствующей терминологии и обозначений. Одной из наиболее важных специфических черт естественного вывода является наличие косвенных правил вывода среди исходных правил. В решении вопросов, связанных с косвенными правилами, отсутствует аналогия с гильбертовским выводом, в связи с чем потребовалось ввести некоторые новые понятия и доказать новые теоремы.

Кроме того, для упрощения изложения разработан ряд новых терминов и обозначений. При разработке терминологии автор руководствовался принципами краткости, выразительности и информативности. При разработке обозначений использованы следующие принципы: наглядность, информативность и функциональность.

Одной из методических особенностей разработанного курса математической логики и учебных пособий автора [2, 3, 4] является систематическое использование символической записи определений и теорем, которая сопровождает их формулировки на естественном языке. Символическая запись предложений обеспечивает точность и однозначность понимания их смысла, краткость записи, наглядность их логической структуры. Однако при символической записи определений и теорем возникает специфическая для математической логики проблема двух языков: языка-объекта и метаязыка (языка исследователя). Дидактическое решение этой проблемы автор видит в использовании различных символов для языка-объекта и метаязыка. Именно при таком разделении алфавитов двух языков использование мета-символики при записи предложений метаязыка будет корректным.

В математической логике часто встречаются индуктивные определения, поэтому им, и в первую очередь индуктивному определению дерева вывода, уделено особое внимание. Понятие дерева вывода является основным понятием теории естественного вывода. Однако, наиболее адекватно отражая существо математического доказательства, его структуру, само понятие дерева вывода является непростым, как и его индуктивное определение. В связи с этим возникли две задачи. Первая задача - по возможности упростить индуктивное определение дерева вывода, сделать его более компактным и доступным. Эту задачу удалось решить с помощью разработки наглядных обозначений и удачной терминологии. Вторая задача заключалась в разработке методики формирования понятия дерева вывода.

Её удалось решить путем создания методики поэтапного формирования этого понятия. Эта методика является важнейшей частью разработанной автором методики поэтапного введения в теорию естественного вывода, включаюшей формирование основных понятий этой теории.

Полная реализация этой методики позволяет решить ряд дидактически важных задач: введение полуформального понятия доказательства в виде дерева; задание правил заключения (вывода) двух основных систем естественного вывода - классической и интуиционистской; разъяснение содержательного смысла правил заключения, формализующих важнейшие неформальные способы и методы математических доказательств; первое знакомство с техникой построения деревьев вывода и эвристическими возможностями правил заключения; формулирование индуктивного определения дерева №вывода формулы /*■ с множеством зеленых листьев Д (К-Д-^-вывода); генетический анализ дерева вывода в соответствии с индуктивным определением.

Разработанная методика поэтапного введения в теорию доказательств и формирования понятия дерева вывода позволила реализовать многоуровневый подход при обучении основам теории доказательств на базе естественного вывода. Этот подход предусматривает определенную дифференциацию изложения материала в зависимости от глубины читаемого курса, отводимого на него учебного времени и уровня подготовленности учащихся. Предложенная методическая схема является достаточно гибкой. Она допускает перестановку и исключение некоторых этапов. Это позволяет учитывать как особенности учебного плана, так и уровень подготовки студентов. Предложены различные варианты поэтапного формирования понятия дерева вывода.

Мотивацией построения системы естественного вывода является актуальность задачи организации правил вывода, используемых в неформальных математических рассуждениях, в оптимальную систему, т. е. систему, удовлетворяющую определенным требованиям - непротиворечивости, семантической корректности, полноты, разрешимости, независимости правил, являющихся математическим уточнением своих неформальных аналогов.

В этом же разделе изложены наиболее важные проблемы, связанные с разработкой доказательств теорем инновационного курса. Одной из наиболее трудных оказалась задача упрощения доказательств ряда теорем о системах естественного вывода. Эту задачу удалось успешно решить путем разработки принципа индукции для деревьев вывода. Для формулировки этого принципа были введены новые понятия, основным из которых является понятие сохранения правилом заключения отношения между конечными множествами формул и формулами (отношения типа следов» ния). Изложены мотивы и цели разработки принципов индукции для деревьев вывода, проблемы, возникшие при их разработке, и их решение.

Использование принципа индукции для деревьев вывода позволило получить строгие и вместе с тем доступные доказательства ряда важных теорем. Среди них теорема о согласованности отношения И-выводимости с отношением семантического следования (следствием которой является теорема о семантической корректности), теорема о равнообъемног.ти систем естественного вывода с одноименными исчислениями высказываний гильбертовского типа, теорема Гливенко и другие теоремы. Аналогичные принципы индукции разработаны и доказаны также для деревьев вывода в предикатных системах естественного вывода я тео-

риях первого порядка, построенных на базе естественного вывода. Автором также разработан ряд теорем и их доказательств, связанных с понятиями допустимого правила и независимого правила. Поскольку эти понятия включают не только прямые, но и косвенные правила, то у них нет полных аналогов в гильбертовских исчислениях.

В разделе 2.4 описана система задач по математической логике, разработанная автором, а также изложена методика проведения практических занятий по математической логике и методика проверки знаний. Решение задач является основой обучения математике вообще, и математической логике в частности. В разделе изложены требования, которым автор следовал при разработке системы задач по математической логике. Приводится разработанное автором содержание и планирование практических занятий по математической логике.

Поскольку теория доказательств занимает центральное место в курсе математической логики, то значительное внимание на практических занятиях уделено логическим системам (исчислениям) - системам естественного вывода. Разработаны разные типы задач по теме "Системы естественного вывода". Наиболее важными и специфичными для естественного вывода являются задачи на построение деревьев вывода (дедуктивное конструирование). Автором разработана методика обучения построению деревьев вывода, способствующая не только усвоению правил вывода, но и формированию умения использовать их эвристические возможности при построении неформальных доказательств.

Таким образом, решение задач на построение деревьев вывода служит теоретической подготовкой студентов к выявлению и анализу логической структуры доказательств, поиску и построению доказательств, выявлению ошибок в рассуждении и т. п., то есть образует теоретическую основу формирования грамотной учебной и преподавательской дедуктивной деятельности. Рассмотрены нетрадиционные формы работы на практических занятиях.

Охарактеризованы разные типы задач по теме "Логика предикатов", более подробно рассмотрены задачи, развивающие исследовательские способности студентов. Наиболее интересными из них являются разработанные автором задачи исследовательского характера на сравнение формул по силе, имеющие высокую дидактическую ценность.

В разделе 2.4 также изложена разработанная автором методика текущей проверки знаний студентов на практических занятиях. Ее отличительными чертами являются выдвижение на первый план обучающей и активизирующей функций проверки знаний и индивидуальный подход к студентам.

Раздел 2.5 посвяшен анализу разработанных автором средств обучения математической логике на основе естественного вывода: подробно описан комплект авторских учебных пособий по математической логике, перечислены принципы их построения, охарактеризованы их содержание и особенности.

Анализ известных пособий по математической логике показал, что практически во всех пособиях изложение построено на основе аксиоматических логиче ских исчислений, реже на основе секвенциальных исчислений (например, в пособии М.М. Кипниса). Выделяется учебное пособие A.B. Гладкого, в котором оп излагает логические исчисления, беря за основу собственную версию i енценов-

ского исчисления естественного вывода. Отметим, что версия изложения курса математической логики на основе теории естественного вывода, предложенная автором диссертации, отличается от версии A.B. Гладкого. Суть этих отличий изложена в диссертации.

Автором диссертации были разработаны учебные пособия по математической логике, предназначенные для студентов математических факультетов педагогических вузов [2, 3, 4]. Они написаны по материалам лекций и практических занятий по математической логике, а также курсов по выбору, проводимых автором на математическом факультете МПГУ в течение двадцати лет. Этим учебным пособиям присвоен гриф УМО: Допущено Учебно-методическим объединением по специальностям педагогического образования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 032100-Математика.

Учебное пособие "Математическая логика. Курс лекций" [2, 3] содержит систематическое изложение материала авторского лекционного курса "Математическая логика", а учебное пособие "Математическая логика в вопросах и задачах" [4] представляет собой сборник задач по математической логике. Таким образом, оба пособия вместе образуют комплект учебных пособий по математической логике для студентов математических факультетов педвузов.

В учебном пособии "Математическая логика. Курс лекций" [2, 3] изложены теоретические основы математической логики в соответствии с ГОС ВПО и обновленной примерной программой дисциплины "Математическая логика", утвержденной Министерством образования и науки РФ (2004). Это учебное пособие состоит из двух частей. Первая часть содержит два раздела: язык логики высказываний и исчисления высказываний. Вторая часть включает следующие разделы: язык логики предикатов, исчисления предикатов, теории первого порядка (формализованные математические теории). Кроме того, самостоятельный раздел посвящен проблемам оснований математики. Тематика этого раздела непосредственно связана с проблемой непротиворечивости математики, что и определяет его особую методологическую роль в системе логической подготовки учителя математики.

Теория доказательств занимает центральное место в курсе математической логики. Поэтому значительное внимание уделяется логическим системам (исчислениям), средствами которых осуществляется математическое уточнение понятия доказательства. Изучение этих уточнений особенно важно для будущего учителя математики. В соответствии с этим темы, связанные с логическими исчислениями, представлены в пособии более подробно, чем другие темы. В разделе, nocBJP щенном исчислениям высказываний, наряду с классическим исчислением: изучается интуиционистское исчисление.

В учебном пособии "Математическая логика в вопросах и задачах" [4] основы математической логики систематически изложены в форме задач, вопросов и упражнений. Пособие содержит пять основных разделов: язык логики высказываний, исчисления высказываний, язык логики Предикатов, исчисления предикатов, теории первого порядка. Каждый раздел начинается с краткого теоретического введения, содержащего определения и теоремы, необходимые для решения задач этого раздела. Некоторые теоремы сформулированы в форме задач, которым предшествуют

вспомогательные утверждения в виде самостоятельных задач. Многие задачи снабжены указаниями к их решению, содержащими изложение идеи решения.

В этом учебном пособии представлены задачи широкого диапазона сложности: от самых простых упражнений, иллюстрирующих основные понятия, до весьма трудных задач. Это позволяет использовать задачник с учетом уровня подготовки студентов, а также особенностей учебных планов. Наиболее сложные задачи могут быть использованы при написании студентами курсовых и бакалаврских работ, а также на спецсеминарах. Имеется достаточно большой набор типовых задач по наиболее важным темам, что позволяет преподавателям, ведущим практические занятия, использовать эти задачи не только на практических занятиях и для домашних заданий, но и при составлении контрольных и самостоятельных работ.

Главной особенностью созданных автором учебных пособий [2, 3,4] является изложение теории доказательств на базе систем естественного вывода. Естественный вывод явно недооценен в преподавании математической логики. И это особенно досадно, когда речь идет о преподавании ее будущим учителям математики. Желание исправить ситуацию привело автора к разработке учебных пособий по математической логике на базе естественного вывода. Эти пособия предоставляют преподавателю, особенно начинающему, читающему курс математической логики, возможность выбора, какой именно тип формализации брать за основу построения курса.

Студенты и преподаватели математического факультета Mill У успешно используют учебные пособия [2, 3, 4] при изучении лекционного курса математической логики и на практических занятиях по этой дисциплине. Опыт показывает, что использование этого комплекта способствует повышению эффективности усвоения студентами материала курса математической логики и качества логической подготовки будущих учителей математики в целом.

При разработке методики обучения математической логике на базе естественного вывода автор опирался на следующие принципы:

1. Разумный уровень строгости изложения: высокий уровень строгости определений основных понятий и доказательств в сочетании с интуитивным уровнем изложения материала там, где это оправдано функционально и целесообразно по дидактическим соображениям.

2. Доступность и ясность изложения, обеспечиваемые обстоятельным и подробным объяснением принципиальных и трудных моментов, приведением примеров, иллюстрирующих сложные понятия и конструкции

3. Разумное сочетание интуитивного и формального подходов в обучении, достигаемое путем разъяснения содержательного смысла используемых формальных конструкций и привлечением логической интуиции (неформальный подход к изучению формальных объектов),

4. Систематическая мотивация введения новых понятий и конструкций, а также построения и изучения систем естественного вывода и курса в целом.

5. Использование частичной формализации мет.оязыка, заключающейся в записи теорем и определений в символической форме для повышения наглядности их логической структуры.

6. Широкое использование эвристических возможностей естественного вывода при построении неформальных доказательств курса.

7. Фиксирование дедуктивных средств, используемых при построении доказательств ("озвученная дедуктивная рефлексия"), с целью выявления логической структуры дедуктивных рассуждений.

8. Различение конструктивных (эффективных) и классических (теоретико-множественных) конструкций и средств, в частности, эффективных и неэффективных доказательств теорем существования.

9. Поддержание живого интереса и познавательной активности студентов при изучении теории естественного вывода, основанных на её естественности и простоте, путем создания проблемных и игровых ситуаций, эвристического диалога и т. п.

Отметим, что указанными принципами в определенной степени можно руководствоваться в преподавании любой математической дисциплины. Специфическими для обучения математической логике являются следующие два принципа:

- систематическое различение символов и конструкций формальных логических языков, служащих объектами изучения (языков-объектов), и символов и конструкций метаязыка, средствами которого изучаются языки-объекты;

- четкое различение синтаксических и семантических понятий и конструкций, графических объектов и теоретико-множественных объектов; установление соответствия между ними.

В разделе 2.6 описана экспериментальная часть исследования. Педагогический эксперимент проводился на математическом факультете МПГУ с 1994 по 2005 гт. и состоял из трех этапов: 1-й этап - констатирующий эксперимент (1994-1997); 2-й этап - поисковый и контролирующий эксперимент (1998-2000); 3-й этап - обучающий и контролирующий эксперимент (2001-2005).

На первом этапе решались следующие задачи: анализ состояния логической подготовки студентов математического факультета МПГУ; изучение и обобщение опыта преподавания математической логики на математическом факультете МПГУ и в других педвузах; накопление собственного преподавательского опыта и его анализ. В ходе этого этапа выявлены существенные недостатки логической подготовки студентов и необходимость совершенствования преподавания курса математической логики, в частности, усиления его профессионально-педагогической направленности.

На втором этапе решались следующие задачи: поиск возможностей более» эффективного изложения основ теории доказательств, разработка содержания практических занятий по математической логике, спецкурсов и спецсеминаров по теории доказательств на основе естественного вывода; составление банка задач для самостоятельных и контрольных работ по теме "Системы естественного вывода"; проверка доступности и эффективности обучения основам теории доказательств на базе естественного вывода; разработка полного содержания курса математической логики на основе естественного вывода в соответствии с государственным стандартом и примерной программой дисциплины, т. е. при сохранении всех разделов курса и изучаемых в нем основных понятий и теорем.

На втором этапе эксперимента найден вариант нетрадиционного обучения основам теории доказательств на базе естественного вывода и выявлены его суще-

ственные преимущества по сравнению с традиционным. В ходе этого этапа успешно решена задача адаптации теории естественного вывода к изложению на ее основе первой части курса "Исчисление высказываний", а именно разработаны: система обозначений и терминология, система основных понятий и методика их введения, а также средства, позволяющие упростить доказательства основных теорем. На этом же этапе эксперимента сформирована и частично подтверждена гипотеза исследования: обучение студентов математической логике на основе естественного вывода позволяет повысить эффективность и профессиональную направленность логической подготовки будущих учителей математики.

На третьем этапе осуществлялся обучающий и контролирующий эксперимент. В нем приняли участие студенты 1П курса, изучавшие курс математической логики На этом этапе эксперимента была завершена разработка методической системы обучения студентов математической логике на основе естественного вывода и осуществлено внедрение этой системы в учебный процесс. Начиная с 2001 г. на математическом факультете МПГУ автор читает курс математической логики, полностью построенный на основе естественного вывода.

Усвоение материала проверялось с помощью плановых контрольных работ. Сопоставление этих результатов с результатами соответствующих контрольных работ при традиционном обучении показало, что количество студентов, полностью выполнивших все задания ("отлично") увеличилось в 2,9 раза, а количество студентов, не справившихся ни с одним заданием ("неудовлетворительно"), уменьшилось в 1,9 раза.

Статистическая обработка основных результатов экспериментальной части исследования проводилась с помощью метода Макнамары. Сравнительный анализ результатов контрольных работ по решению задач при экспериментальном и традиционном изложении темы "Исчисления высказываний" свидетельствует о том, что уровень выполнения экспериментальных задач существенно выше, чем уровень выполнения традиционных задач. Выявленные различия являются статистически значимыми и устойчивыми во времени (при повторении через год и два года).

Повышение эффективности обучения основам теории доказательств при изложении материала на базе естественного вывода выразилось в следующем: а) возросли активность и познавательный интерес студентов к изучаемому материалу; б) повысился уровень усвоения изучаемого материала, что показали результаты контрольных работ; в) сократилось число академических часов, требуемых для изложения соответствующих частей курса математической логики по сравнению с традиционным изложением.

Таким образом, гипотеза экспериментальной части исследования полностью подтвердилась: анализируя результаты проведенного эксперимента, можно сделать вывод о доступности инновационного обучения математической логике на основе естественного вывода, а также о возрастании эффективности инновационного обучения по сравнению с традиционным.

В третьей главе ''Применение средств естественного вывода в обучении доказательству" исследованы возможности приложения естественного вывода к обучению доказательству в школе и вузе: разработана дидактическая модель понятия математического доказательства - попятие доказательства в виде дерева, и выявлены

преимущества этой модели по сравнению с традиционной линейной моделью; средства естественного вывода использованы для анализа прямых и косвенных рассуждений; исследованы эвристические возможности средств естественного вывода в обучении построению доказательств.

В разделе 3.1 "Доказательства и дедуктивная деятельность в обучении математике" проанализирована роль доказательств в обучении математике, введено понятие дедуктивной деятельности в обучении математике и выделены разные виды этой деятельности. Введено понятие дедуктивной культуры.

Дедуктивный характер математики в большой степени определяет роль и место 1 доказательств в обучении. Доказательства в обучении математике являются средством развития дедуктивного мышления и формирования важнейших интеллектуальных и учебных умений, способствуют формированию этических и эстетических ка-^ честв личности, а также являются способом систематизации учебного материала. Очень кратко и выразительно охарактеризовал роль доказательств в обучении математике A.A. Столяр: "Учить доказывать означает прежде всего учить рассуждать, а это - одна из основных задач обучения вообще".

В обучении математике особую роль играет дедуктивная деятельность преподавателей и учащихся (студентов и школьников). Термин "обучение дедуктивной деятельности" считаем более точным и однозначным, чем аналогичный общепринятый термин "обучение доказательству".

Под дедуктивной деятельностью понимаем деятельность, связанную с математическими доказательствами: формирование понятия доказательства, воспроизведение доказательства, анализ логической структуры доказательства, поиск и построение доказательства, выявление ошибок в рассуждении и объяснение их сути, усвоение сущности понятия доказательства.

Можно выделить следующие основные виды дедуктивной деятельности:

- репродуктивную (осознанное воспроизведение готового доказательства);

- аналитическую (логический анализ доказательства как готовой конструкции с целью выявления его логической структуры; анализ фрагментов доказательства с целью выявления используемых дедуктивных средств);

- эвристическую и продуктивную (поиск и построение доказательства);

- контрольно-диагностическую (контроль правильности рассуждения, выявление в нем ошибок, объяснение сути логических ошибок);

- рефлексивную (осознание дедуктивных средств, используемых в процессе »построения математического доказательства).

j Во всяком математическом доказательстве присутствуют собственно матема-

тический (содержательный) и логический (формальный) компоненты. Те же компоненты присутствуют и в дедуктивной деятельности. При традиционном обучении практически не уделяется внимания логическому компоненту дедуктивной деятельности. Применение средств естественного вывода может сыграть значительную роль в формировании всех видов дедуктивной деятельности учащихся.

Одной из основных целей логической подготовки будущих учителей математики является формирование логической культуры студентов, важнейшей составляющей которой является дедуктивная культура. Дедуктивную культуру будущего учителя математики можно рассматривать, во-первых, как систему логических

знаний и умений, связанных с дедукцией в математике и ее преподавании и необходимых как для изучения математических дисциплин, так и в будущей профессионально-педагогической деятельности; во-вторых, как качественную характеристику дедуктивной деятельности будущего учителя математики.

Развивая идеи И.Л. Никольской, автор рассматривает дедуктивную грамотность студента математического факультета педвуза как владение минимумом дедуктивных знаний и умений, необходимых ему для дедуктивной деятельности при изучении математических дисциплин и для обучения доказательству школьников в дальнейшем. Выделен минимум дедуктивных знаний и умений выпускника педагогического вуза, кохорый продиктован требованиями к знаниям и умениям выпускника средней школы.

Более высокий уровень дедуктивных знаний и умений студентов достигается в результате изучения математической логики. Разработан перечень тех знаний и умений, которые студент приобретает в результате изучения теории доказательств - основного раздела математической логики, и которые служат теоретической базой для формирования дедуктивной деятельности школьников. На базе этих теоретических знаний и умений, получаемых в курсе математической логики, формируются умения, характеризующие культуру дедуктивной деятельности.

Выпускники математических факультетов педвузов не вполне готовы к решению проблем логического характера в школьном курсе математики, особенно в классах и школах физико-математического профиля, и к разработке элективных курсов логического содержания. Решение этой проблемы видим в разработке специальных методических курсов логического содержания для студентов старших курсов и магистрантов - будущих учителей математики.

Автором разработан именно такой методический курс под названием "Применение математической логики в обучении математике в школе". Сформулированы основные цели курса, приведена его программа При разработке содержания курса автор руководствовался следующими основными принципами разработки содержания: принципом соответствия целям и задачам логической и профессиональной подготовки будущих учителей математики, принципами преемственности, научности, перспективности. В 2005 году автор прочитал студсшам магисгратуры семестровый методический спецкурс, посвященный применениям средств естественного вывода в обучении доказательству. Приведено краткое описание этого опыта.

В разделе 3.2 "Дидактические модели понятия доказательства" обоснована необходимость формирования понятия доказательства у школьников и студентов, рассмотрены два типа дидактического уточнения понятия доказательства (на полуформальном уровне). Введено нетрадиционное уточнение понятия доказательства - понятие доказательства в виде дерева. Проведено сопоставление этого понятия с традиционным уточнением понятия доказательства как последовательности предложений, удовлетворяющей определенным условиям, - с линейным доказательством, и выявлены дидактические преимущества понятия доказательства в виде дерева.

Ппо^тталт/т» п/^о »/"*»/> ггпапл гто лт т» тточ ггтоат » 1Л1<а1 ттитгч г плтни оттоттА1тгхв ттл

¿Xjj44Aj.fl ЫЬС] XV X V/ 1 XX «и^ И1(* 4 VI«« X ХХХ\^ у ХМШЬ' Д^/"

казательств в математике и ее преподавании, но редко кто задумывается над тем, что значит "доказать" и что такое доказательство. Формирование у школьников и схудентов понятия доказательства и изучение того, как устроены математические

доказательства, необходимы для понимания сущности математических доказательств, более глубокого овладения методами построения доказательств, объяснения отдельных шагов доказательств, выявления ошибочных умозаключений, а в конечном итоге - для развития дедуктивного мышления учащихся.

Если речь идет о студенте педвуза (будущем учителе математики), то формирование понятия математического доказательства и понимание сущности математических доказательств необходимы ему не только в процессе учебы в вузе, ко и в будущей профессиональной деятельности. Он должен бьггь готовым к тому, чтобы грамотно обучать своих будущих учеников построению доказательств и формировать у них понятие доказательства. Как справедливо отмечает A.A. Столяр, "перед тем как чему-то учить, следует хорошо разобраться в сущности того, чему мы хотим учить, т. е. предмета изучения. Перед тем как рассмотреть педагогическую задачу обучения доказательству, надо выяснить сущность самого понятия доказательства"2.

Чтобы уяснить сущность понятия доказательства в математике, не только учителю математики, но и школьнику недостаточно представления о доказательстве как об убедительном рассуждении.

Формальные математические уточнения понятия доказательства, разработанные средствами математической логики (линейный вывод и дерево вывода), изучаются в курсе математической логики. Вместе с тем необходимо формировать понятие доказательства уже у школьников. В связи с этим возникает задача разработки дидактического уточнения понятия доказательства. В диссертации исследованы два типа полуформального уточнения понятия доказательства, которые можно рассматривать как дидактические модели понятия математического доказательства.

В методических изданиях доказательством обычно называют конечную последовательность предложений, каждый член которой является или аксиомой, или ранее доказанной теоремой, или предложением, имеющим место в силу определения, или условием, или же логически следует (по какому-то правилу вывода) из предшествующих предложений. По сути, здесь идет речь о линейном доказательстве (доказательстве в виде последовательности). В диссертации проведен анализ и выявлены недостатки такого описания понятия доказательства, а также традиционных определений аксиомы и теоремы.

Сущность математического доказательства заключается в логической взаимосвязи между членами доказательства. В линейном доказательстве эта взаимосвязь отражена не вполне адекватно и ненаглядно. Понятие линейного доказательства весьма далеко от реальных доказательств, плохо отражает их сущность. В связи с этим автором предложено нетрадиционное дидактическое уточнение понятия доказательства - понятие доказательства в виде дерева. Его основой служит следующее обстоятельство: каждый член неформального доказательства связан с другими его членами отношением логического следования, которое частично упорядочивает члены доказательства (вернее их вхождения) в виде дерева.

Под доказательством в виде дерева понимаем упорядоченную в виде дерева систему предложений, в которой каждое исходное предложение является или ак-

2 СтачярА А. Педагогика математики: Учеб пособие для фю.-мат. фак. пед. ин-тов - Минск: Вышейшая школа, WWi (с ПО).

сиомой, или допущением, или верно в силу определения, а каждое из остальных предложений следует из непосредственно предшествующих ему предложений по какому-либо правилу вывода.

Оба понятря — линейного доказательства и доказательства в виде дерева, являются полуформальными. По существу, понятия линейного доказательства и доказательства в виде дерева представляют собой версии дидактической адаптации соответствующих формальных математических понятий - линейного вывода в аксиоматических исчислениях гильбертовского типа и вывода в виде дерева и системах естественного вывода, служащих математическими моделями понятия доказательства. В соответствии с этим понятия доказательства в виде дерева и линейного доказательства (доказательства в виде последовательности) можно рассматривать как разного типа дидактические модели (дидактические уточнения) понятия доказательства. На рис. 1 отражены две возможности дидактического уточнения понятия доказательства и дальнейшего математического уточнения этого понятия в курсе математической логики.

Неформальное доказательство

Доказательство в виде дерева

Дерево вывода

Доказательство Линейный вывод

в виде последовательности

Рис. 1.

Доказательство в виде дерева является наиболее удобным для изучения, поскольку, по сравнению с линейным, оно более полно и наглядно отражает логические связи между членами и позволяет выявить форму косвенных рассуждений.

Проиллюстрируем это на примере. Рассмотрим следующее утверждение: Если натуральное число делится на 15 и не делится на 10, то оно нечетно. Запишем его символически : 15|я&10|и->2{л.

Доказательство этого утверждения в виде дерева и его граф (рис. 2) имеют вид:

15|n&10{ п 151 д

[2|я]' 5|я 15|n&10tn 10|п_10\п

Рис.2

Линейное доказательство этого утверждения имеет вид:

(1) 15|и& 10|и- условие;

(2) 21 п - допущение;

(3) 151 п - логически следует из (1) по правилу &у;

(4) 5 ] к - следует из (3) по свойствам делимости;

(5) 101 п - следует из (2) и (4) по свойствам делимости;

(6) 101 п - логически следует из (1) по правилу &у;

(7) 2 \п- следует из (2), (5) и (6) по правилу доказательства приведением к нелепости.

30

В результате сопоставления понятий линейного доказательства и доказательства в виде дерева выявлены следующие дидактические преимущества понятия доказательства в виде дерева (аналогичные преимуществам формального вывода в виде дерева по сравнению с линейным выводом):

- уточнение понятия доказательства на полуформальном уровне как доказательства в виде дерева позволяет более точно и полно выявить его сущность, поскольку оно охватывает все виды логической взаимосвязи между членами, включая косвенные;

- представление доказательства или его фрагментов в виде дерева дает возможность наглядно отразить и поэтому лучше проанализировать их логическую структуру,

- при построении доказательства в виде дерева имеется возможность более полно использовать логические эвристики.

В каком объеме, в какой форме говорить о логической структуре доказательства и о понятии доказательства со школьниками - тема отдельного серьезного исследования. Поэтому в данной работе вопрос о формировании понятия доказательства в виде дерева у школьников рассмотрен кратко.

В 2001-2005 гг. студентами пятого курса и магистрантами математического факультета МПГУ проведены эксперименты по изучению правил вывода и формированию у школьников (8-10 классов) понятия доказательства в виде дерева: на уроках математики, в рамках факультативных занятий по математике и логического спецкурса в лицее. Все эксперименты показали, что школьники с большим интересом воспринимают логический материал: усваивают правила вывода, строят простейшие доказательства в виде дерева, распознают правильные и неправильные рассуждения. Представляется весьма перспективным дальнейшее исследование возможностей изучения дедуктивных средств и формирования понятия доказательства в виде дерева у школьников на уроках математики в классах физико-математического профиля и в рамках элективных курсов логического содержания.

В разделе 3.3 "Анализ методов доказательства средствами естественного вывода" проведен анализ прямых и косвенных элементарных шагов математических доказательств и отвечающих им правил естественного вывода.

Учащиеся средней и даже высшей школы часто не способны изложить суть используемых ими методов доказательства. Обычно они не могут объяснить, почему тот или иной шаг рассуждения правилен или ошибочен, и даже не испытывают потребности разобраться в этом вопросе. Тем более, они не способны провести анализ логической структуры доказательства. Такая ситуация свидетельствует о неосознанности использования учащимися дедуктивных средств, т.е. о низком уровне развития у них способности к дедуктивной рефлексии.

Каждое математическое доказательство складывается из отдельных шагов, отвечающих элементарным мыслительным операциям, производимым при его построении. Г. Генцену удалось выявить форму этих шагов и зафиксировать их в виде правил естественного вывода. Таким образом, правила естественного вывода являются формализацией тех элементарных способов рассуждений, которым мы явно или неявно, осознанно или неосознанно следуем в обычных содержательных

математических доказательствах. Фактически, эти правила являются логическими инвариантами математических доказательств.

Выявление формы используемых способов рассуждения путем представления доказательства или его фрагментов в виде дерева способствует развитию дедуктивной рефлексии, а значит, и дедуктивного мышления учащихся. Важнейшим средством развития дедуктивной рефлексии является изучение дедуктивных средств и развитие потребности осознания их использования.

Элементарные рассуждения (умозаключения) и отвечающие им правила вывода делятся на прямые и косвенные в зависимости от формы и способа их применения. В работе проведен анализ прямых способов рассуждений и отвечающих им прямых правил вывода. Степень осознания используемого правила зависит от того, является оно прямым или косвенным. Использование прямых правил, кроме modus ponens, обычно крайне редко обсуждается и осознается. Проведен также анализ наиболее важных косвенных методов доказательства и формализующих их косвенных правил естественного вывода: правила дедукции, доказательства приведением к нелепости и от противного, разбором случаев, а также кванторные правила введения квантора общности и удаления квантора существования.

Нередко можно встретить понимание косвенного доказательства как доказательства от противного. В действительности, этот метод является одним из наиболее известных методов косвенного доказательства, но не единственным. Другие часто используемые методы мало известны, а их использование редко осознается. Традиционная логическая подготовка в педвузах не устраняет этот пробел в знаниях студентов. Вместе с тем в этом вопросе может быть внесена ясность, если курс математической логики строить на основе естественного вывода.

В доказательствах часто используются слова "допустим" и "пусть". Они свидетельствуют об использовании в дедуктивном рассуждении промежуточных допущений. Особенность таких рассуждений состоит в том, что вывод в них делается не непосредственно из каких-то предыдущих предложений, а на основании построения некоторых вспомогательных рассуждений, исходящих из промежуточных допущений. Поэтому такие рассуждения называют косвенными рассуждениями, а соответствующие методы доказательств - косвенными. В прямых рассуждениях, в отличие от косвенных, вывод делается непосредственно из предыдущих членов рассуждения - посылок. Средства естественного вывода позволяют точно описать не только прямые, но и косвенные методы рассуждения.

В системах гильбертовского типа непосредственно формализуются лишь прямые рассуждения, а косвенные способы рассуждения можно обосновать только путем доказательства целого ряда метатеорем. В то же время в системах естественного вывода непосредственно формализуются не только прямые, но и косвенные способы рассуждения. Средства естественного вывода позволяют математически точно описать косвенные методы рассуждения путем формализации их в виде косвенных правил естественного вывода, а косвенным рассуждениям сопоставить определенные формальные объекты - выводы в виде дерева.

Учитель математики должен иметь четкое представление о математических уточнениях понятия доказательства, о структуре доказательства, о различиях между прямыми и косвенными доказательствами, об основных методах косвенного

доказательства. Построение курса математической логики на основе естественного вывода в педвузах способствует более эффективному решению этих задач логической подготовки будущих учителей математики.

В разделе 3.4 "Применение естественного вывода в обучении построению доказательств" раскрыты эвристические возможности правил естественного вывода и продемонстрировано использование логических эвристик при поиске и построении доказательства.

Обучение учащихся построению доказательств является одной из основных задач преподавания математики в школе и одной из сложнейших методических проблем В частности, перед учителем стоит задача развития эвристических навыков построения доказательств у школьников. Когда речь заходит об эвристике, обычно никто не вспоминает о логике, считая, что логика и эвристика мало совместимы. Однако знание определенных дедуктивных средств, а именно правил естественного вывода, может помочь как в построении доказательств, так и в обучении построению доказательств. Эти средства студент будущий учитель математики, изучает в курсе математической логики, построенном на базе естественного вывода.

Одна из основных проблем, возникающих перед учащимися при попытке доказать какое-либо утверждение самостоятельно, - незнание с чего начать, какой шаг сделать первым. Учащиеся боятся самостоятельно доказывать теоремы и стараются избегать этого. Они не знают, что в этом случае могут помочь некоторые логические средства, обладающие эвристическими возможностями, а соответствующие эвристические навыки у них отсутствуют.

Автором исследованы эвристические возможности правил заключения, т. е. каким образом эти правила могут быть использованы в качестве эвристических средств в процессе поиска и построения доказательств математических утверждений. Правила естественного вывода являются формальным отражением элементарных шагов построения доказательств. В то же время эти правила представляют собой эвристические средства построения доказательств. Естественно сложившиеся эвристические приемы построения обычных неформальных доказательств зафиксированы в виде правил заключения, что и позволяет использовать эти правила в качестве средств, помогающих строить доказательства.

Установлено, что при реализации этих приемов в процессе построения доказательств одни правила вывода удобно использовать для выведения следствий, что соответствует мыслительной операции синтеза, а другие - для нахождения достаточных условий, что соответствует мыслительной операции анализа. Шаги доказательства в прямом направлении, от >словия к заключению, подсказывают правила удаления, помогая строить доказательство "сверху вниз". Именно с их помощью удобно выводить следствия из условия и ранее доказанных ieopeM, используемых в качестве посылок. Поэтому использование правил удаления соответствует мыслительной операции синтеза Правила введения подсказывают шаги доказательства в обратном направлении, от заключения к условию, помогают строить доказательство "снизу вверх". С помощью этих правил происходит ошскание достаточных условий для выполнения доказываемого утверждения, сведение задачи ка доказательство к более простым ис" пользование правил введения соответствует mi [слитоддая&фИрэции анализа.

33 СОиерСууг ,

и м m :

.......»,

В работе выявлены логические эвристики построения доказательств: проведен анализ всех основных правил заключения систем естественного вывода и выявлена эвристическая роль каадого из них при построении обычных неформальных доказательств. В том числе рассмотрены основные квантпрные правила, выявлены их эвристические возможности при построении доказательств.

Проведен анализ процесса построения доказательства с применением логических эвристик для конкретного утверждения из теории делимости. На этом примере сопоставлены процессы, представляющие собой виды дедуктивного конструирования разной степени формализации:

1) процесс построения неформального доказательства рассматриваемого предложения (логическая структура доказательства не фиксирована);

2) процесс построения доказательства в виде дерева с использованием логических эвристик (логическая структура доказательства выявлена, шаги визуализированы);

3) процесс построения соответствующего дерева вывода (дерево вывода отражает логическую структуру доказательства при полной абстракции от его содержания).

Анализ этих процессов показывает, что процесс построения доказательства в виде дерева моделирует процесс построения неформального доказательства; процесс построения формального дерева вывода моделирует как процесс построения доказательства в виде дерева, так и процесс построения неформального доказательства.

Детализировать доказательство следует далеко не всегда, но учитель должен уметь при необходимости проводить доказательство подробно, объяснять каждый шаг его построения, т. е. уметь исследовать "под микроскопом" и само доказательство, и процесс его построения.

В заключении диссертации сформулированы основные результаты исследования, подведены итоги, сделаны выводы, подтверждающие гипотезу исследования и положения, выносимые на защиту. Намечены перспективы дальнейших исследований.

Будущим учителям математики необходимо излагать логику прежде всего как науку о правильных рассуждениях. Считаем, что для этого наиболее удобным и ценным является изучение выводов в виде дерева, представляющих собой наиболее естественные, наглядные и простые в построении математические модели реальных математических доказательств.

Основные результаты исследования заключаются в следующем:

1. В результате разностороннего анализа логической подготовки будущих учителей математики:

- выделены и проанализированы составляющие и этапы логической подготовки; указаны ее цели, выявлены проблемы и пути их решения;

- обоснованы значение методологической составляющей логической подготовки и возможность ее усиления;

- выявлены значение логической рефлексии и логической интуиции для будущих учителей математики и роль изучения математической логики в развитии этих качеств мышления.

2. Ршработини концепция инноьационно! о курса математической логики на базе естественного вывода для педвузов, содержащая теоретическое обоснование дидактических преимуществ и усиления профессиональной направленности обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традицион-

ным обучением, а также обоснование усиления методологической составляющей курса математической логики при включении в его программу вопросов, связанных с конструктивной системой естественного вывода. Ведущая идея концепции: принципиально важным для будущих учителей математики является изучение в курсе математической логики наиболее естественных, наглядных и простых математических моделей доказательств, каковыми являются модели, предоставляемые системами естественного вывода.

3. Создана методическая система обучения математической логике на основе естественного вывода, включающая:

- содержание курса математической логики на базе естественного вывода;

- частные методики обучения математической логике на базе естественного вывода;

- программу курса математической логики и комплект учебных пособий по матема-к тической логике, в которых изложение базируется на естественном выводе.

4. Экспериментальная часть исследования подтвердила:

- возможность и доступность обучения студентов педвуза математической логике на базе естественного вывода, как в рамках курса математической логики, так и на спецкурсах;

- повышение познавательной мотивации и интереса студентов к изучению курса математической логики при построении его на базе естественного вывода;

- повышение эффективности обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным изложением.

5. Разработаны приложения теории естественного вывода к обучению доказательству: предложена дидактическая модель понятия доказательства - понятие доказательства в виде дерева; проведен анализ методов доказательства и логической структуры доказательства средствами естественного вывода; разработаны логические эвристики построения доказательств.

Учебно-методические материалы, созданные в процессе исследования, могут быть использованы преподавателями педвузов при изложении основного курса математической логики, спецкурсов по математической логике и методических спецкурсов логического содержания. Материалы исследования, относящиеся к приложениям средств естественного вывода в обучении математике, могут быть использова-J ны преподавателями различных математических дисциплин в педвузах и учителями

средней школы при разработке элективных курсов по логике, факультативных курсов, на уроках математики в классах с физико-математическим профилем. ' Полученные результаты открывают перспективу дальнейшего исследования ^ возможностей применения средств естественного вывода в обучении доказательству в средней школе и вузе и служат фундаментом для разработки методики такого применения. Перспективны также дальнейшие исследования по развитию логической интуиции и логической рефлексии при обучении математике.

Проведенное теоретическое исследование и его экспериментальная проверка позволяют сделать вывод о том, что все поставленные задачи решены, выдвинутая гипотеза подтверждая, положения, ш.тносимые на зашиту. обоснованы.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Монография

1. Тимофеева И.Л. Л01 ическая подготовка будущих учителей математики: Монография. - М.: Прометей, 2005. - 224 с. (14 п.л.)

Учебные пособия и программы

2. Тимофеева И.Л. Математическая логика. Курс лекций: Учебное пособие. Часть

I. - М.: Прометей, 2003. - 144 с. (9,0 п.л.)

3. Тимофеева И.Л. Математическая логика. Курс лекций: Учебное пособие. Часть

II. - М.: Прометей, 2003. - 164 с. (10,25 п.л.)

4. Тимофеева И.Л. Математическая логика в вопросах и задачах: Учебное пособие для студентов математических факультетов педвузов. - М.: Прометей, i 2002. - 112 с. (7,0 п.л.)

5. Тимофеева И.Л. Практикум по теории алгоритмов: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. - М.: Прометей, 2005. - 52 с. (3,25 п.л.), (в соавторстве с Матросовым В.Л., Макаренковым Ю.А., авт. вклад 50%)

6. Тимофеева И.Л. Логические системы натурального вывода. Введение в теорию доказательств: Учебно-методическое пособие для студентов математических факультетов педвузов. МПГУ. - М., 2000. - 90 с. - Деп. в ИТОП РАО 23.10.2000, № 20-2000. (5,6 п.л.)

7. Тимофеева И.Л. Программа дисциплины Математическая логика. - М.: МПГУ, 2004. - 20 с. (1,25 п.л.), (в соавторстве с Кабаковым Ф.А., Матросовым В.Л., Макаренковым Ю.А., авт. вклад 35%).

8. Тимофеева И.Л. Программа дисциплины Теория алгоритмов. - М.: МПГУ, 2004. - 20 с. (1,25 п.л.), (в соавторстве с Матросовым В.Л., Макаренковым Ю.А., авт. вклад 30%).

Публикации в журналах, рекомендованных ВАК

9. Тимофеева И.Л. Как устроено доказательство? // Математика в школе. - 2004. -№8.-С. 74-81.(1,3 п.л.)

10. Тимофеева И.Л. О логических эвристических средствах построения доказательств // Математика в школе. - 2004. - № 10. - С. 42-50. (1,25 п.л.) .

1!. Тимофеева И.Л. Размышления об обратных теоремах и кванторах // Математика в школе. - 2005. - № 5. - С. 64-68. (0,8 п.л.)

12. Тимофеева И.Л. Некоторые замечания об использовании логической символики при обучении математике // Математика в школе. - 2005. - № 7. - С. 54-57. (0,5 пл.)

13. Тимофеева И.Л Некоторые замечания о методе доказательства от противного // Математика в школе. - 1994. - № 3. - С. 36-38. (0,6 п.л.)

14. Тимофеева И.Л. Развитие логической интуиции у будущих учителей математики // Наука и школа. - 2005. -№ 6. - С. 15-19. (0, 86 п.л.)

Статьи

15. Тимофеева И.Л. Доказательство под микроскопом // Математическое образование. 2003. - № 3 (26). - С. 44-58. (1,3 п.л.)

16. Тимофеева И.Л. О логической структуре математических определений // Ма-

тематическое образование. - 2002. - № 3 (22). - С. 75-85. (1 п.л.)

17. Тимофеева И.Л. О пропозициональных системах натурального вывода. МПГУ. - М., 2000. - 73 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.10.00, № 2553-В00. (4,56 п.л.)

18. Тимофеева И.Л. Об изучении логических систем натурального вывода в курсе математической логики в педвузах // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе: Сборник материалов по методике преподавания математики. Вып. 5. - М.: МПГУ, 2000. - С. 28-30. (0,2 пл.)

19. Тимофеева И.Л. О курсе математической логики и его учебно-методическом обеспечении // Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования: Юбилейный сборник 70 лет кафедре математического анализа Московского педагогического государственного университета. -М.: МПГУ, Прометей, 2004. - С. 547-553. (0,45 п.л.)

20. Тимофеева И.Л. Об усилении профессионально-педагогической направленности курса математической логики // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе: Сборник материалов по теории и методике обучения математике. Вып. 7. - М.: МПГУ, 2002. - С. 43-44. (0,15 п.л.)

21. Тимофеева И.Л. Методологические аспекты обучения будущих учителей математики основам теории доказательств // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе: Сборник материалов по теории и методике обучения математике. Вып. 7. - М.: МПГУ, 2002. - С. 44-46. (0,2 п.л.)

22. Тимофеева И.Л. Мотивация изучения систем натурального вывода в курсе математической логики на математических факультетах педвузов // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе: Сборник материалов по методике преподавания математики. Вып. 6. - М.: МПГУ, 2001. -С. 34-35. (0,15 п.л.)

23. Тимофеева И.Л. Генетический подход к обучению математической логике будущих учителей математики // Образовательные технологии: Научно-технический журнал, 2005, № 1(14). - Воронеж: Изд-во "Научная книга" Воронежского государственного университета, 2005. - С. 115-118. (0,4 п.л.)

24. Тимофеева И.Л. Углубленная логическая подготовка будущих учителей математики на спецкурсах по математической логике !! Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 7. - Калуга: Изд-во КГЛУ им. К.Э. Циолковского. - 2005. - С. 194202. (0,7 п.л.)

25. Тимофеева И.Л. Об одной нетрадиционной задаче в курсе математической логики на математических факультетах педвузов // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе: Сборник материалов по теории и методике обучения математике. Вып. 8. -М.: МПГУ, 2003. - С. 91-94. (0,25 п.л.)

26. Тимофеева И.Л. Принцип индукции для натуральных выводов Н Научные труды математического факультета МПГУ (юбилейный сборник 100 лет). - М.: Прометей, 2000. - С. 131-137. ("0,44 п.л.)

27. Тимофеева И.Л. Принцип индукции для предикатных систем натурального вывода // Научные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. Сборник статей.

М.: Прометей, 2002. - С. 29-33. (0,3 п.л.)

28. Тимофеева И.Л. О допустимых правилах заключения в системах натурального

вывода // Научные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. Сборник статей. - М.: Прометей, 2003. - С. 110 -118. (0,5 п.л.)

29. Тимофеева И.Л. Спецкурс "Модальные логики" как средство повышения уровня логической подготовки будущих учителей математики // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе: Сборник материалов тто теории и методике обучения математике. Вып. 10. - М.: МПГУ, 2005.-С. 33-37. (0,3 п.л.)

30. Тимофеева И.Л. Некоторые замечания о парадоксе Рассела // Научные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. Сборник статей. - М.: Прометей, 2005. -С. 119-122. (0,3 п.л.)

31. Тимофеева И.Л. Принцип индукции для натуральных выводов в модальных исчислениях // Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования: Юбилейный сборник 70 лет кафедре математического анализа Московского педагогического государственного университета. -М.: МПГУ, Прометей, 2004. - С. 334-338. (0,3 п.л.)

32. Тимофеева И.Л. Конструктивное доказательство теоремы о полноте классической пропозициональной системы натурального вывода // Научные труды математического факультета МПГУ (юбилейный сборник 100 лет.) - М.: Прометей, 2000. - С. 83-89. (0,44 п.л.)

33. Тимофеева И.Л., Хохлов C.B. Об одном свойстве правила введения импликации в интуиционистском пропозициональном исчислении // Актуальные проблемы математики, физики, информатики и методики их преподавания. Юбилейный сборник. (130 лет МПГУ). - М.: Прометей, 2003. - С. 107-110. (0,4 п.л.), (авторский вклад 50%).

Материалы конференций

34. Тимофеева И.Л. Об одном из путей совершенствования логической подготовки будущих учителей математики // Всероссийская конференция "Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков": Дубна, сентябрь, 2000: Сб. материалов. - М.: МЦНМО, 2000. - С. 589-591. (0,2 п.л.)

35. Тимофеева И.Л. О возможности повышения уровня логической подготовки студентов математических факультетов педвузов // Проблемы и перспективы педагогического образования в XXI веке- Труды научно-практической конференции. - М.: Прометей, 2000. - С. 263-265. (0,2 п.л.)

36. Тимофеева И.Л. Развитие способности к дедуктивной рефлексии у будущих учителей математики // Проблемы математического образования в вузах и школах России в условиях его модернизации: Материалы межрегиональной научно-методической конференции. - Сыктывкар: Изд-во КГПИ, 2005. - С. 3638. (0,2п.л.)

37. Тимофеева И.Л. О некоторых проблемах традиционного изучения математической логики на математических факультетах педвузов // Алгебра, логика и кибернетика: х^атериалы *>1сждународнои конференции. Иркутск: Изд ис ГОУ ВПО "Иркутский государственный педагогический университет", 2004. -С. 236-238. (0,15 п.л.)

38. Тимофеева И.Л. О новом подходе к логической подготовке будущих учителей

математики // Инновационные процессы в высшей школе: Материалы X Юбилейной Всероссийской научно-практической конференции. - Краснодар: Изд ГОУ ВПО Куб ГТУ, 2004. - С. 87-88. (0,15 п.л.)

39. Тимофеева И Л. О формировании логической культуры мышления у студентов математических факультетов педагогических вузов при изучении математической логики // Математика в современном мире: Материалы 2-й Российской научно-практической конференции, посвященной 110-летию А.Я. Хинчи-на. - Калуга: Изд-во КГПУ, 2004. - С. 299-303. (0,3 п.л.)

40. Тимофеева И.Л. О модернизации программы курса математической логики в педагогических вузах // Совершенствование процесса обучения математике в условиях модернизации Российского образования- Материалы Всероссийской научно-практической конференции. - Волгоград: Перемена, 2004. - С. 22-25. (0,3 п.л.), (в соавторстве с Матросовым В.Л.; авт. вклад 50%).

41. Тимофеева И.Л. Об обновлении содержания дисциплины "Математическая логика" в высшей педагогической школе // Профессиональное образование на современном этапе развития общества: Материалы межрегиональной научно-практической конференции. - Калуга: Изд-во КГПУ им. К.Э. Циолковского. -2004. - С. 140-143. (0,3 п.л.), (в соавторстве с Матросовым В.Л., авт. вклад 50%).

42. Тимофеева И.Л. О новом комплекте учебных пособий по курсу "Математическая логика" для студентов математических факультетов педагогических вузов // Тенденции и проблемы развития математического образования: Научно-практический сборник Вып. 2. Материалы второй межрегиональной научно-практической конференции. - Армавир: РИЦ АГГТУ, 2005. - С. 93-96. (0,3 п.л.)

43. Тимофеева И.Л. О преимуществах обучения математической логике на базе естественного вывода // Проблемы теории и практики преподавания: Сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию "58-е Герценовские чтения". - СПб.: Изд-во Pill У им. А.И. Герцена, 2005. -С. 267-268. (0,15 п.л.)

44. Тимофеева И.Л. Методический курс "Возможные приложения математической логики к обучению математике в школе" для магистрантов математических факультетов педвузов // Болонский процесс в математическом и естественнонаучном педагогическом образовании: тенденции, перспективы, проблемы: Сборник статей международной конференции Петрозаводск- Изд-во КГПУ, 2005. - С. 125-130. (0,4 п.л.)

45. Тимофеева И.Л. Реализация принципа наглядности при обучении теории доказательств в курсе математической логики в педагогических вузах // Актуальные пробчемьт модернизации школьного математического образования: Материалы Всероссийской научно-практической конференции 21-23 сентября 2005 г. - Барнаул: Изд-во БГПУ, 2005. - С. 198-202. (0,25 п.л.)

46. Тимофеева И.Л. Моделирование процесса построения доказательств в курсе математической логики // Современные проблемы школьного и вузовского математического образования: Тезисы докладов XXIV Всероссийскою семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов. - М.Саратов: Ред.-изд. Отдел МГПУ, Изд-во Саратовского гос. ун-та, 2005. - С. 126. (0,13 п.л.)

47. Тимофеева И.Л. Особенности изучения натурального вывода на практических занятиях по математической логике в педагогическом вузе // Современный урок математики: Теория и практика: Материалы Всероссийской научно-практической конференции. Нижний Новгород: НГПУ, 2005. - С. 186-189.

48. Тимофеева И.Л. Формирование дедуктивной культуры будущих учителей математики // Концепции математического образования: Сб. трудов по материалам II Международной научной конференции "Математика. Образование. Культура", 1-3 ноября 2005 г., Россия, г. Тольятти / Под общ. ред. P.A. Утеевой в 3-х ч. - Тольятти: ТГУ, 2005. - Ч. 2. - С. 166-170. (0,4 п.л.)

49. Тимофеева И.Л. Об использовании логических правил как эвристических средств построения доказательств // Новые технологии в образовании (по итогам X Международной электронной научной конференции): Научно-технический журнал, 2005, № 1(10). - Воронеж: Изд-во "Научная книга" Воронежского государственного университета. - С. 73-75. (0,25 п.л.)

50. Тимофеева И.Л. Нелинейные модели доказательств в математике // Нелинейный мир. Десятая междисциплинарная научная конференция: Тезисы докладов. -Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2005. - С. 138. (0,1 п.л.)

51. Тимофеева И.Л. О допустимых правилах натурального вывода // Алгебра, логика и кибернетика: Материалы Международной конференции. - Иркутск: Изд-во ГОУ ВПО "Иркутский государственный педагогический университет", 2004.-С. 205-207. (0,15 п.л.)

52. Тимофеева И.Л. О некоторых аспектах связи математической логики и информатики в системе подготовки будущего учителя математики // Материалы международной научно-методической конференции "Современные проблемы преподавания математики и информатики". Часть II. Тула: Изд-во ТГПУ им, Л.Н. Толстого, 2004. - С. 317-321. (0,4 п.л.)

53. Тимофеева И.Л. О преподавании математической логики в педвузах в условиях информатизации // Тезисы выступлений участников Всероссийской конференции "Информатизация общего и педагогического образования - главное условие их модернизации". - Челябинск: Изд-во ЧГПУ, 2004. - С. 78-79. (0,2 п.л.)

(0,25 п.л.)

Подл, к печ. 03.03.2006 Объем 2,5 п.л. Заказ №.38 Тир 100 экз.

Типография М11ГУ

• - 5 б О О

fbov

Содержание диссертации автор научной статьи: доктора педагогических наук, Тимофеева, Ирина Леонидовна, 2005 год

Введение.

Глава I. Теоретические основы логической подготовки будущих учителей математики.

1.1. Логическая подготовка студентов педвузов как предмет исследования.

1.2. Психолого-педагогические аспекты логической подготовки студентов.

1.3. Методологические аспекты обучения математической логике в педвузе.

1.4. Профессиональная направленность логической подготовки будущих учителей математики.

Глава II. Концепция инновационного курса математической логики на основе естественного вывода и ее реализация.

2.1. Дидактические преимущества построения курса математической логики на основе естественного вывода по сравнению с традиционным построением.

2.2. Цели и содержание инновационного курса математической логики.

2.3. Разработка понятийного аппарата, теорем и доказательств. Методика формирования основных понятий.

2.4. Система задач по математической логике. Методические особенности проведения практических занятий.

2.5. Учебно-методическое обеспечение курса.

2.6. Описание экспериментальной части исследования.

Глава III. Применение средств естественного вывода в обучении доказательству.

3.1. Доказательства и дедуктивная деятельность в обучении математике.

3.2. Дидактические модели понятия доказательства.

3.3. Анализ методов доказательства средствами естественного вывода.

3.4. Применение средств естественного вывода в обучении построению доказательств.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методическая система обучения студентов педагогических вузов математической логике на основе теории естественного вывода"

Актуальность исследования. Важнейшей целью современной системы образования является формирование интеллектуально развитой личности. Высокая ответственность за развитие мышления учащихся средней школы лежит на учителе, особенно на учителе математики, что предъявляет повышенные требования к его профессиональной подготовке.

В условиях модернизации отечественного образования, в частности, развития системы профильного обучения на старшей ступени общего образования, возрастает актуальность проблемы совершенствования математической подготовки будущих учителей математики, которая должна сочетать фундаментальность с профессиональной направленностью.

В процессе обучения будущего учителя математики особо важную роль играет логическая подготовка, стержнем которой служит курс математической логики.

В настоящее время потребность в логически грамотных учителях заметно возрастает. Это связано с тем, что элементы математической логики постепенно входят в сферу среднего образования: элементы логики выделены в государственном стандарте общего образования по математике; в некоторых школьных учебниках появились разделы, явно связанные с логикой; в лицеях и гимназиях все чаще логика изучается как самостоятельный предмет; появляются элективные курсы по логике. Велико значение логической составляющей курса математики в классах физико-математического профиля. Это требует повышения уровня логической подготовки выпускников педвузов, а значит, совершенствования обучения математической логике будущих учителей математики.

Решая задачи интеллектуального развития учащихся как средней, так и высшей школы, нужно иметь в виду, что уровень развития интеллекта, мыслительных способностей каждого человека, так или иначе связан со способностью проводить дедуктивные рассуждения, т. е. рассуждать в соответствии с законами и правилами логики.

Обучение математике в силу самой специфики предмета предоставляет широкие возможности для развития дедуктивного мышления. Вместе с тем известно, что изучение математики само по себе не обеспечивает должного развития дедуктивного мышления школьников и студентов, и требуется специальная работа в этом направлении. Будущих учителей математики, т. е. тех, кто призван в дальнейшем обучать школьников дедуктивным рассуждениям, необходимо самих специально обучать дедуктивным средствам, используемым в математике, а также пониманию сущности математического доказательства и его логической структуры. Это требует основательной логической подготовки учителя математики, центральную роль в которой играет обучение математической логике.

Важнейшим объектом изучения математической логики являются математические доказательства. "Логика - это теория дедуктивного рассуждения плюс все, что потребуется в языке-объекте или метаязыке для адекватности, общности и простоты теории", - утверждает крупный американский логик А. Черч [318, с. 209].

В силу той роли, которую математическая логика играет в изучении природы математических доказательств, математических теорий, а значит, и математики в целом, она особенно важна для учителя математики. Однако если курс математической логики замыкается на внутренних для этой науки проблемах исследования логических исчислений и формальных теорий, то теряется возможность использования полученных в курсе знаний для анализа и построения математических доказательств. В результате курс математической логики отдаляется от потребностей учителя математики и практически не помогает ему в решении задачи обучения доказательству.

Математические доказательства являются основными объектами исследования математической логики и изучаются путем построения и анализа их математических моделей - формальных выводов в логических исчислениях. В математической логике разработаны два основных типа таких исчислений и два типа соответствующих им моделей.

Исторически первыми моделями доказательств являются линейные выводы в аксиоматических логических системах, которые принято называть исчислениями гильбертовского типа. Позже немецкому логику Г. Генцену, ученику Д. Гильберта, удалось разработать другой тип моделей - выводы в виде дерева в системах естественного (натурального) вывода. Эти модели являются более близкими к обычным доказательствам и более полно раскрывают их структуру и сущность, чем линейные модели. Однако курс математической логики традиционно строится на базе логических исчислений гильбертовского типа, а значит, в нем изучаются линейные модели доказательств. Такое построение курса ведет к возникновению ряда дидактических проблем, источником которых является отдаленность линейных моделей доказательств от содержательных доказательств и, как следствие, оторванность изучаемого в курсе материала от потребностей учителя математики.

Проблемы совершенствования математической и методической подготовки будущих учителей математики, в том числе проблемы профессионально-педагогической направленности, гуманитаризации, дифференциации и интенсификации нашли отражение в работах известных специалистов в области теории и методики преподавания математики: P.M. Асланова, И.И. Баврина, М.Б. Во-ловича, В.А.Гусева, Г.Д.Глейзера, Ю.М.Колягина, Г.Л.Луканкина, В.Л.Ма-тросова, В.М.Монахова, А.Г. Мордковича, Г.И.Саранцева, З.И. Слепкань, И.М.Смирновой, А.А.Столяра, Н.А.Терешина, В.А.Трайнева, И.В.Трайнева, Л.М. Фридмана, Р.С. Черкасова, С.И. Шварцбурда и др. Среди фундаментальных исследований последних лет по этой тематике - докторские диссертации А.Л.Жохова, В.И.Игошина, И.И.Мельникова, А.Х.Назиева, А.И.Нижникова, Е.Н.Перевощиковой, В.Т.Петровой, И.С.Сафуанова, Е.И.Смирнова, А.Г.Солониной, Н.Л.Стефановой, В.А.Тестова, Л.В.Шкериной, А.В.Ястребова и др. Большой вклад в дело совершенствования системы высшего педагогического образования внесен ректором МШ У академиком В.Л. Матросовым.

Логическим проблемам обучения математике в школе и вузе уделяли внимание крупные отечественные и зарубежные математики-педагоги: В.Г. Болтянский, А.В.Гладкий, Б.В.Гнеденко, Г.В.Дорофеев, Ф.Клейн, Л.А.Калужнин, А.Н.Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, В.Л. Матросов, А.И. Маркушевич, Д. Пойя, Г. Фройденталь, А.Я. Хитин и др.

Некоторые логические аспекты математической подготовки будущих учителей математики затронуты в докторских диссертациях A.J1. Жохова, В.А. Тестова, В.Т. Петровой и др.

Исследованию проблем логической подготовки будущих учителей математики предшествовали многочисленные исследования, посвященные логическому развитию школьников в процессе обучения математике. Первыми и наиболее известными среди них являются диссертационные исследования А.А. Столяра и И.Л. Никольской. Большое внимание методике обучения поиску и построению математических доказательств уделили известные отечественные и зарубежные методисты: М.Б. Волович, В А. Гусев, В.А. Далингер, И. Лакатос, Д. Пойя, Г.А. Саранцев, А.А. Столяр и др.

На серьезность проблем логической подготовки будущих учителей математики одним из первых обратил внимание А.А. Столяр. Позже различные аспекты логической подготовки студентов педагогических вузов явились предметом специального исследования в кандидатских диссертациях М.Е. Драбкиной, Ю.А. Моторинского, Т.В. Морозовой, С.А. Севастьяновой, А.В. Фоминой и в докторской диссертации А.Х. Назиева.

В перечисленных работах курс математической логики в педвузах не является предметом системного исследования. В то же время этот курс играет особую роль в логической подготовке будущих учителей математики, представляя собой ее важнейший этап.

Создателем первого курса математической логики для будущих учителей математики был выдающийся математик, логик и педагог, академик П.С. Новиков. Он разработал первую программу и написал первый учебник по математической логике для педвузов страны (Новиков П.С. Элементы математической логики - М.: Физматлит, 1959). Именно благодаря П.С. Новикову в самом начале 60-х годов прошлого века этот курс появился на математическом факультете МШИ (ныне МПГУ). Позже этот курс вошел в число обязательных и в других педвузах. Вслед за курсом математической логики на математическом факультете МГПИ появился самостоятельный курс теории алгоритмов. Большой вклад в развитие и сохранение лучших традиций этих двух курсов на протяжении почти полувековой их истории внесли последователи П.С. Новикова, работавшие на математическом факультете Mill У: Е.А. Щегольков, Ф.А. Кабаков, B.J1. Матросов, Ю.А. Макаренков и их ученики.

В последние годы интерес к преподаванию математической логики в педвузах заметно вырос. Так, в статьях Б.Д. Пайсона (2003-2005) обсуждается связь курса математической логики с логической составляющей школьного курса. С позиций технологического подхода исследован традиционно излагаемый курс математической логики в кандидатской диссертации И.А. Дудковской (2004).

Системное исследование проведено в докторской диссертации В.И. Игошина (2002), посвященной разработке профессионально-ориентированной методической системы обучения студентов педвузов основам математической логики и теории алгоритмов. В этой работе проведен глубокий анализ роли курса математической логики в подготовке будущих учителей математики. Однако разработанная система базируется на традиционном изложении математической логики, при этом обоснование профессиональной значимости курса опирается на дидактические возможности, главным образом, его языковой составляющей, а дедуктивная составляющая курса практически не использована.

Таким образом, диссертационные исследования по проблемам логической подготовки студентов педвузов не связывались с попытками существенным образом обновить содержание традиционно излагаемого курса, с разработкой нового подхода к формированию содержания дисциплины, способствующего более эффективному достижению целей курса.

В ряде работ рассмотрен нетрадиционный подход к обучению математической логике в педвузах. Построение важных разделов курса математической логики на базе секвенциальных исчислений предложено в работах М.М. Кипниса. На основе секвенциальных исчислений строится курс математической логики и в Новосибирском университете. Над проблемами конструирования нетрадиционного содержания курса математической логики в педвузе работает А.Б. Михайлов (РГГУ). Собственный подход к построению курса математической логики на основе естественного вывода в гуманитарном университете реализован в учебном пособии А.В. Гладкого. Однако ни один из перечисленных авторов не проводил системного исследования нетрадиционного построения курса математической логики.

В связи с этим разработки проблем совершенствования логической подготовки будущих учителей математики весьма далеки от реализации идеи приближения содержания курса математической логики (как теории дедуктивных рассуждений) к реальным дедуктивным рассуждениям и проблемам обучения доказательству в школе и вузе.

Проведённый анализ показал, что в настоящее время имеется ряд противоречий, связанных с логической подготовкой будущих учителей математики. Важнейшими из них являются следующие противоречия:

- между потребностями современной школы в логически грамотных учителях математики и недостаточно высоким реальным уровнем логической подготовки выпускников педвузов;

- между практикой дедуктивных рассуждений и обучения доказательству в школе и вузе, с одной стороны, и оторванной от нее традиционно излагаемой в курсе математической логики теорией доказательств - с другой;

- между существованием естественной формально-логической основы обучения математической логике и отсутствием методической системы обучения математической логике на этой основе.

Указанные противоречия позволяют сформулировать проблему исследования'. выявить, каковы возможности построения методической системы обучения студентов педвузов математической логике на естественной формально-логической основе.

Все изложенное определило выбор темы и актуальность исследования, посвященного совершенствованию логической подготовки будущих учителей математики, созданию методической системы обучения математической логике на основе теории естественного вывода.

Объектом исследования является математическая подготовка будущих учителей математики в педагогических вузах.

Предметом исследования является процесс обучения студентов математических факультетов педагогических вузов математической логике на основе теории естественного вывода.

Основная цель исследования - разработка концепции инновационного курса математической логики в педвузах на основе теории естественного вывода и создание методической системы обучения математической логике, позволяющей реализовать эту концепцию.

Гипотеза исследования состоит в следующем: обучение студентов педагогических вузов математической логике будет в большей степени профессионально направлено, доступно и эффективно, если:

- курс математической логики построить на основе естественного вывода, обеспечивая тем самым изучение наиболее адекватных, простых и наглядных моделей доказательств;

- усилить методологическую составляющую курса путем изучения конструктивного исчисления естественного вывода и проблем оснований математики;

- выявить возможности применения средств естественного вывода в обучении доказательству школьников.

Проблема, объект, предмет, цель и гипотеза исследования определили следующие задачи исследования, которые можно разделить на три группы:

1. Задачи теоретического характера, связанные с разработкой теоретической части концепции обучения студентов педвузов математической логике на базе естественного вывода:

- проведение анализа логической подготовки будущих учителей математики, выделение и характеристика ее составляющих и этапов; выявление и анализ проблем традиционного обучения математической логике в педвузах;

- исследование методологических и психолого-педагогических аспектов логической подготовки;

- формулирование основных положений концепции инновационного курса математической логики на основе теории естественного вывода;

- выбор основных принципов формирования содержания инновационного курса;

- выявление и обоснование дидактических преимуществ обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным обучением.

2. Задачи, связанные с практической реализацией концепции обучения студентов педагогических вузов математической логике на базе естественного вывода:

- формирование содержания инновационного курса математической логики на базе естественного вывода путем разработки версии теории естественного вывода, адаптированной для обучения студентов педвузов и соответствующей целям их логической подготовки;

- создание учебно-методического обеспечения инновационного курса математической логики, адекватного его содержанию;

- разработка частных методик обучения математической логике на базе естественного вывода.

3. Задачи, связанные с разработкой приложений средств естественного вывода к обучению доказательству в школе и вузе:

- разработка возможных применений средств естественного вывода в обучении математике при формировании понятия математического доказательства, анализе методов доказательства и обучении построению доказательств;

- разработка методического курса, посвященного проблемам логического характера в обучении математике, для студентов старших курсов педвузов и магистрантов физико-математического образования.

Теоретико-методологические основы исследования составляют:

- нормативные документы в сфере образования: Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года, Программа модернизации педагогического образования (2003), Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования (2005), Примерные программы дисциплин предметной подготовки по специальностям педагогического образования (2004) и др.;

- современные концепции построения высшего педагогического образования (С.И. Архангельский, Ю.К. Бабанский, И.И. Баврин, В.П. Беспалько, Н.Ф. Талызина, Б.С. Гершунский, В.В. Давыдов, В.В. Краевский, Н.В. Кузьмина, B.JI. Матросов, М.В. Потоцкий, Ю.Г. Татур, М.В. Швецкий и др.);

- теория системного подхода в образовании и её применение к обучению математике (В.И. Крупич, B.C. Леднев, В.М. Монахов, А.И. Нижгшков, А.М. Пы-шкало, П.Г. Щедровицкий и др.);

- концепция профессионально-педагогической направленности математической подготовки будущих учителей математики (Г.Л. Луканкин, А.Г. Морд-кович, М.В. Потоцкий, Г.Г. Хамов и др.);

- концепция гуманизации и гуманитаризации математического образования (Г.В. Дорофеев, Г.И. Саранцев, Т.А. Иванова, Т.Н.Миракова, А.Х. Назиев и др.);

- теория деятельностного подхода и развивающего обучения (Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, А.Н. Леонтьев, З.И. Слепкань, Н.Ф. Талызина и др.);

- психолого-педагогические исследования (Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.А. Крутецкий, С.Л. Рубинштейн, М.А. Холодная, Ж. Адамар, Ж. Пиаже и др.);

- исследования по методологии математического познания (Ж. Адамар, В.Ф. Асмус, Г. Вейль, А. Гейтинг, Д. Гильберт, М. Клайн, Н.М. Нагорный, А. Пуанкаре, В.Я. Перминов, Б. Рассел, Г.И. Рузавин, В.А. Смирнов, В.А. Успенский, Г. Фреге и др.);

- работы по методологии математического образования (В,И. Арнольд, Н.Я. Виленкин, М.Б. Волович, Г.Д. Глейзер, Б.В. Гнеденко, В.А. Гусев, В.А. Да-лингер, Г.В. Дорофеев, А.Л. Жохов, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, Л.Д. Кудрявцев, И. Лакатос, Г.Л. Луканкин, А.И. Маркушевич, В.Л. Матросов, В.М. Монахов, А.Х. Назиев, Д. Пойа, И.С. Сафуанов, И.М. Смирнова, В.А. Тестов, В.А. Трайнев, И.В. Трайнев, Г. Фройденталь, А.Я. Хинчин и др.);

- работы по проблемам логического характера школьного курса математики (Н.М. Бескин, В.Г. Болтянский, А.В. Гладкий, Я.И. Груденов, В.А. Далингер,

Г.В. Дорофеев, JI.A. Калужнин, И.Л. Никольская, Г.И. Саранцев, А.Д. Сему-шин, А.А. Столяр, И.М. Яглом и др.);

- научные исследования в области математической логики и ее преподавания (С.И. Адян, А.В. Гладкий, Ю.Л. Ершов, М.М. Кипнис, А.Н. Колмогоров,

A.А. Марков, B.JI. Матросов, А.Х. Назиев, Н.Н. Непейвода, П.С. Новиков,

B.А. Успенский, Д. Гильберт, Г. Генцен, С. Клини, Д. Правиц и др.).

Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования: теоретические (изучение и анализ философской, научно-методической и психолого-педагогической литературы по теме исследования; изучение и анализ научной литературы, учебных пособий и программ по математической логике и основаниям математики; изучение и анализ опыта преподавания математической логики в высшей школе; анализ, сравнение, обобщение и систематизация собственного многолетнего опыта преподавания математической логики в педагогическом вузе);

• экспериментально-диагностические (наблюдение, анкетирование и опросы студентов, собеседование, традиционная оценка уровня знаний студентов, беседы со студентами и выпускниками математического факультета МПГУ; педагогический эксперимент по проверке эффективности разработанного курса математической логики и статистическая обработка некоторых его результатов).

Научная новизна исследования заключается в том, что на основе интегрального применения деятельностного, модельно-наглядного и генетического подходов к обучению:

- создана концепция инновационного курса математической логики на базе естественного вывода для педвузов, содержащая теоретическое обоснование дидактических преимуществ и усиления профессиональной направленности обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным обучением, а также обоснование усиления методологической составляющей курса математической логики при включении в его программу вопросов, связанных с конструктивной логической системой.

Ведущая идея концепции: принципиально важным для будущих учителей математики является изучение в курсе математической логики наиболее естественных, наглядных и простых математических моделей доказательств, каковыми являются модели, предоставляемые системами естественного вывода;

- разработана методическая система обучения математической логике студентов педвузов, включающая следующие компоненты: цели и содержание инновационного курса математической логики на базе естественного вывода; частные методики обучения математической логике на основе естественного вывода; учебно-методическое обеспечение курса математической логики - программу инновационного курса математической логики и комплект учебных пособий;

- разработаны применения средств естественного вывода в обучении доказательству в средней школе и вузе, а именно: при формировании понятия доказательства; при обучении методам доказательства; при анализе логической структуры доказательств; при поиске и построении доказательств;

- выделены и исследованы составляющие логической подготовки (языковая, дедуктивная и методологическая); раскрыты такие неизученные психолого-педагогические элементы логической подготовки студентов, как развитие логической рефлексии и логической интуиции; выявлены пути усиления методологической составляющей логической подготовки, связанные с изучением проблем оснований математики и конструктивного исчисления.

Теоретическая значимость исследования определяется следующим:

- разработана концепция обучения студентов педвузов математической логике на базе естественного вывода, основанная на интегральном применении следующих психолого-педагогических подходов к обучению: деятельностно-го, когнитивно-визуального, модельно-наглядного и генетического, а также концепции гуманитаризации обучения математике;

- выявлены и обоснованы преимущества обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным обучением, на основании чего теоретически обоснованы усиление профессионально-педагогической направленности и повышение эффективности обучения студентов педвузов математической логике при построении этого курса на базе естественного вывода;

- раскрыто содержание психолого-педагогических понятий - логическая рефлексия, логическая интуиция, дедуктивная деятельность и др.;

- в результате всестороннего анализа логической подготовки будущих учителей математики выделены и исследованы ее составляющие (языковая, дедуктивная и методологическая), предложен новый её этап - логико-методический, исследованы методологические аспекты логической подготовки, связанные с изучением важнейшего неклассического исчисления - конструктивного;

- предложены: дидактическая модель понятия доказательства - понятие доказательства в виде дерева; анализ методов доказательства и логической структуры доказательств средствами теории естественного вывода; логические эвристики построения доказательств.

Практическая значимость исследования состоит в следующем:

- разработана методическая система обучения математической логике на базе естественного вывода, позволяющая повысить эффективность и усилить профессиональную направленность преподавания математической логики в педвузах;

- создано учебно-методическое обеспечение - программа и учебные пособия по математической логике, которые могут быть использованы преподавателями педвузов, читающими основной курс и спецкурсы по математической логике, и студентами педвузов при изучении этих курсов;

- материалы исследования, относящиеся к приложению средств естественного вывода в обучении математике, могут быть использованы учителями средней школы при разработке элективных курсов по логике, на факультативных занятиях, на уроках математики в классах с физико-математическим профилем;

- использование результатов исследования позволяет повысить логическую культуру преподавания математики в средней школе и вузе, а значит, способствует повышению качества преподавания математики в целом.

Практическая значимость работы подкрепляется внедрением ее результатов в практику преподавания математической логики на математическом факультете Московского педагогического государственного университета и использованием некоторых ее результатов в других педвузах.

Дальнейшим продолжением работы может служить создание элективных курсов по изучению элементов математической логики на базе естественного вывода и их методического обеспечения для учащихся средней школы; разработка методики обучения учащихся дедуктивным средствам, используемым в математических рассуждениях в рамках школьного курса математики в классах с физико-математическим профилем; разработка материалов для повышения квалификации учителей математики в области математической логики.

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются четкостью выбранных методологических, математических, историко-научных, психолого-педагогических, философских и методических позиций, положенных в основание исследования; корректным применением к исследуемой проблеме системного, деятельностного и культурологического подходов, а также комплекса методов, адекватных объекту, предмету, цели и задачам исследования; достаточной продолжительностью опытно-экспериментальной работы в процессе личного преподавания и преподавания по разработанной системе коллег в Mill У и некоторых других педагогических вузах, имевших возможность использовать в своей работе разработанные автором программы, учебные пособия и методические разработки; логической непротиворечивостью проведённых рассуждений; согласованностью полученных выводов с положениями базисных наук и принципиальной согласованностью с собственным опытом работы, опытом коллег и учителей математики.

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработанная методическая система обучения математической логике студентов педвузов реализует теоретическую концепцию инновационного курса математической логики на основе естественного вывода.

2. Обучение математической логике на основе теории естественного вывода имеет ряд дидактических преимуществ по сравнению с традиционным обучением, важнейшими из которых являются адекватность выводов в виде дерева как моделей доказательств, наглядность их логической структуры и простота построения выводов в виде дерева.

3. Построение курса математической логики на основе теории естественного вывода позволяет усилить его профессионально-педагогическую направленность и повысить его эффективность.

4. Изучение конструктивной логической системы, наряду с классической, усиливает методологическую составляющую курса математической логики.

5. Средства естественного вывода имеют значимые приложения к обучению доказательству в школе и вузе при формировании понятия доказательства, анализе логической структуры доказательств и построении доказательств.

Основные этапы исследования. Диссертация обобщает результаты исследования, проводимого автором в несколько этапов с 1994 по 2005 гг.

На первом этапе была изучена научная и методическая литература по проблеме исследования, проанализированы достоинства и недостатки традиционной логической подготовки будущих учителей математики, определены ее этапы и составляющие. Создано несколько спецкурсов, учитывающих современные направления развития математической логики. Разработана методика параллельного изучения классического и конструктивного исчислений. На этом этапе была выдвинута гипотеза, конкретизированы цели и задачи исследования. Был подготовлен и проведен констатирующий эксперимент.

На следующем этапе было разработано содержание курса математической логики на основе естественного вывода сначала в рамках спецкурса, а затем в рамках основного курса математической логики, был проведен поисковый эксперимент. Определен подход к организации экспериментального обучения математической логике на базе естественного вывода, способствующий качественному усвоению инновационного материала и усилению профессиональной направленности курса. Целью этого этапа был поиск оптимального варианта методики обучения студентов математической логике на основе естественного вывода.

К 2003 г. завершена разработка методической системы обучения студентов педвузов математической логике на основе естественного вывода, включающая создание комплекта учебных пособий. С 2000 по 2005 гг. проводилось внедрение инновационного курса математической логики. На последнем этапе уточнялись, анализировались, обобщались и систематизировались результаты проведенного исследования, которые и были оформлены в данной работе.

Апробация работы. Различные аспекты, основные положения и результаты исследования докладывались автором и обсуждались на 20 конференциях по проблемам математического образования:

• на международных конференциях: "Современные проблемы преподавания математики и информатики" (Тула, 2004); "Алгебра, логика и кибернетика" (Иркутск, 2004); "Новые технологии в образовании" (Воронеж, 2005); "58-е Герценовские чтения" (Санкт-Петербург, 2005); "Математика. Образование. Культура" (Тольятти, 2005); "Болонский процесс в математическом и естественнонаучном педагогическом образовании: тенденции, перспективы, проблемы" (Петрозаводск, 2005);

• на всероссийских научно-методических и научно-практических конференциях:

Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков" (Дубна, 2000); "Информатизация общего и педагогического образования - главное условие их модернизации" (Челябинск, 2004); "Инновационные процессы в высшей школе" (Краснодар, 2004); "Математика в современном мире - 2004", посвященная 110-летию А .Я. Хинчина (Калуга, 2004); "Совершенствование процесса обучения математике в условиях модернизации Российского образования" (Волгоград, 2004); "Колмогоровские чтения III" (Ярославль, 2005); "Актуальные проблемы модернизации школьного математического образования" (Барнаул, 2005); "Современный урок математики: Теория и практика" (Нижний Новгород, 2005); XXIV Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов "Современные проблемы школьного и вузовского математического образования" (Саратов, 2005);

• на межрегиональных научно-практических и научно-методических конференциях:

Проблемы и перспективы педагогического образования в XXI веке" (Москва, 2000); "Тенденции и проблемы развития математического образования" (Армавир, 2004); "Профессиональное образование на современном этапе развития общества" (Калуга, 2004); "Проблемы математического образования в вузах и школах России в условиях его модернизации" (Сыктывкар, 2005); "Нелинейный мир" (Нижний Новгород, 2005).

Кроме того, результаты исследования докладывались и обсуждались: на научном семинаре "Неклассические логики и вычислимость" в МГУ (Москва, 2002); на курсах АПК и ПРО МО РФ обновления содержания и методики преподавания естественно-математического образования (Москва, МПГУ, 2003); на научных сессиях МПГУ по итогам НИР, секции математики и методики преподавания математики (Москва, 2001, 2002, 2003, 2004,2005).

Внедрение результатов исследования осуществлялось на математическом факультете МПГУ в следующих формах.

Разработанный автором инновационный курс математической логики читается на протяжении шести лет на математическом факультете МПГУ. Учебные пособия по математической логике, в которых реализована авторская концепция обучения математической логике, активно используются студентами и преподавателями МПГУ.

Некоторые материалы исследования более 20 лет используются в преподавании основного курса математической логики на математическом факультете МПГУ, а также при чтении различных спецкурсов и проведении спецсеминаров по математической логике, при написании курсовых, дипломных, бакалаврских работ и магистерских диссертаций.

На основе материалов исследования автором разработан и в 2005 г. прочитан методический спецкурс для магистрантов физико-математического образования "Приложения математической логики к обучению математике в школе".

Результаты исследования использовались в некоторых педвузах, имевших разработанные автором программы, учебные пособия и методические рекомендации.

Автор данной диссертации в 2003-2004 гг. принимал активное участие в разработке единой программы (пригодной для изложения курса математической логики независимо от формальной логической базы, на которой он построен), а также в работе по обновлению примерных программ МО РФ и стандартов ГОС ВПО второго поколения. Благодаря этому в обновленной версии указанных нормативных документов удалось отразить наиболее важные принципиальные установки авторской концепции.

По результатам диссертационного исследования опубликованы 53 работы общим объемом 75,78 п.л.: 1 монография, 5 учебных пособий, 2 учебных программы, 25 статей, 20 тезисов докладов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и 17 приложений. Общий объем работы 400 стр., из них 373 стр. - основной текст, 27 стр. - приложения; список литературы содержит 340 наименований.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Основные результаты исследования заключаются в следующем:

1. Проведен разносторонний анализ логической подготовки будущих учителей математики, а именно:

- выделены и проанализированы составляющие и этапы логической подготовки; указаны ее цели, выявлены проблемы и пути их решения;

- обоснованы значение методологической составляющей логической подготовки и возможность ее усиления;

- выявлены значение логической рефлексии и логической интуиции для будущих учителей математики и роль изучения математической логики в развитии этих качеств мышления.

2. Разработана концепция инновационного курса математической логики на базе естественного вывода для педвузов, содержащая теоретическое обоснование дидактических преимуществ и усиления профессиональной направленности обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным обучением, а также обоснование усиления методологической составляющей курса математической логики при включении в его программу вопросов, связанных с конструктивной системой естественного вывода. Ведущая идея концепции: принципиально важным для будущих учителей математики является изучение в курсе математической логики наиболее естественных, наглядных и простых математических моделей доказательств, каковыми являются модели, предоставляемые системами естественного вывода.

3. Создана методическая система обучения математической логике на основе натурального вывода, включающая:

- содержание курса математической логики на базе естественного вывода;

- частные методики обучения математической логике на основе естественного вывода;

- программу курса математической логики и комплект учебных пособий по математической логике, в которых изложение теории доказательств базируется на естественном выводе.

4. Экспериментальная часть исследования подтвердила:

- возможность и доступность обучения студентов педвуза математической логике на базе естественного вывода, как в рамках курса математической логики, так и на спецкурсах;

- повышение познавательной мотивации и интереса студентов к изучению курса математической логики при построении его на базе естественного вывода;

- повышение эффективности обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным изложением.

5. Разработаны приложения теории естественного вывода к обучению доказательству: предложена дидактическая модель понятия доказательства - понятие доказательства в виде дерева; проведен анализ методов доказательств и логической структуры доказательства; разработаны логические эвристики построения доказательств.

Учебно-методические материалы, созданные в процессе исследования, могут быть использованы преподавателями педвузов при изложении основного курса математической логики, спецкурсов по математической логике и методических спецкурсов логического содержания. Материалы исследования, относящиеся к приложениям средств естественного вывода в обучении математике, могут быть использованы преподавателями различных математических дисциплин в педвузах и учителями средней школы при разработке элективных курсов по логике и факультативных занятий, а также на уроках математики, особенно в классах с физико-математическим профилем.

Полученные результаты открывают перспективу дальнейшего исследования возможностей применения средств естественного вывода в обучении доказательству в средней школе и вузе и служат фундаментом для разработки методики такого применения. Перспективны также дальнейшие исследования по развитию логической интуиции и рефлексии при обучении математике.

Проведенное теоретическое исследование и его экспериментальная проверка позволяют сделать вывод, что все поставленные задачи решены, выдвинутая гипотеза подтверждена, положения, выносимые на защиту, обоснованы.

Заключение

Подведем итоги: сформулируем основные результаты исследования, сделаем выводы.

Без дедуктивных рассуждений невозможно построение и развитие математики вообще и школьной математики в частности. Поэтому углубленное изучение дедуктивных математических рассуждений является важнейшей составной частью математического образования будущих учителей математики. В школе закладывается интуитивное представление о математическом доказательстве, приобретается опыт проведения доказательств. Школьники получают при этом образцы аргументированного, доказательного рассуждения. Такого рода опыт и знания имеют более высокую ценность, чем знание многих отдельных математических фактов.

Для того чтобы грамотно обучать доказательству школьников, учитель математики сам должен обладать фундаментальными знаниями в области дедуктивных математических рассуждений. Такие знания будущий учитель математики получает при изучении курса математической логики. Обучение математической логике играет особо важную роль в математической подготовке будущих учителей математики, поскольку ее средствами систематизируются, обобщаются и уточняются интуитивные представления о математическом доказательстве, сложившиеся у студентов при изучении различных математических дисциплин. Однако традиционное преподавание математической логики в своей основной части - теории доказательств, основано на изучении линейных моделей доказательств, весьма далеких от реальных математических доказательств. Это не позволяет полностью реализовать возможности усиления профессиональной направленности курса.

Многолетний опыт преподавания математической логики на математическом факультете МПГУ, а также проведенное исследование показали, что существует реальная возможность совершенствования логической подготовки будущих учителей. Она состоит в инновационном построении курса математической логики на базе естественного вывода и углублении его методологической составляющей.

Список литературы диссертации автор научной работы: доктора педагогических наук, Тимофеева, Ирина Леонидовна, Москва

1. Х.Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.: Сов. радио, 1970. - 152 с.

2. Адян С.И. Математическая логика // Математическая энциклопедия в 5 тт. М.: СЭ, 1982. т. 3. - С.567-574.

3. Арнольд В.И. Математическая безграмотность губительнее костров инквизиции // Известия. -1998, №7 (16 января). С.5.

4. Арнольд В.И. О преподавании математики // Успехи математических наук.1998, т. 53, вып. 1 (319). С. 229-234.

5. Архангельский С.И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы. -М.: Высшая школа, 1980. 368 с.

6. Асланов P.M. Гуманитарный потенциал профессионально ориентированного курса дифференциальных уравнений в педвузе. М.: Прометей, 1996. - 129с.

7. Асмус В.Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении М.: 1954 - 89 с.

8. Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и математике. М.: Мысль, 1965.-311 с.

9. Бабанский Ю.К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований. -М.: Педагогика, 1982. 192 с.

10. Бескин Н.М. Аксиоматический метод // Математика в школе. 1993, № 3 (С. 25-30) и №4 (С. 48-54).

11. Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии. М.: Педагогика, 1989.- 192 с.

12. Ы.Болотов В.А., Сериков В.В. Компетентностная модель: от идеи к образовательной программе // Педагогика, 2003. № 10. - С.8 - 14.

13. Болтянский В.Г. Как устроена теорема? // Математика в школе, 1973, № 3. -С. 41-49.

14. Болтянский ВТ. Формула наглядности: изоморфизм + простота// Советская педагогика, 1970. №5. - С.46-60.

15. Болтянский В.Г., Глейзер Т.Д., Черкасов Р. С. К вопросу о перестройке общего математического образования // Повышение эффективности обучения математике в школе / сост. Г.Д.Глейзер. -М.: Просвещение 1984 С.231-238.

16. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965. - 456 с.19 .Бурлев Ю.А. Формирование обобщенных дедуктивных умений в курсе геометрии восьмилетней школы. Автореф. дисс. .канд. пед. наук. М., 1984. -17 с.

17. Варпаховский Ф.Л. Лекции по математической логике: учеб. пособие. М.: Жизнь и мысль: Моск. учеб., 2004. - 128 с.21 .Вейлъ Г. Математическое мышление. Пер. с англ. и нем. / Под ред. Б.В.Бирюкова и А.Н.Паршина. М.: Наука, 1989. - 400 с.

18. Верещагин Н.К., Шенъ А. Языки и исчисления, М.:МЦНМО, 2000. 286 с.

19. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г. Подготовку учителей математики на уровень современных требований. // Математика в школе. 1986, № 6. С.7-14.

20. Волович М.Б. Наука обучать / Технология преподавания математики. М.: LINKA-PRESS, 1995. 280 с.

21. Выготский Л.С. Мышление и речь // Собр. соч. в 6-ти томах. Т.2. -М.: 1982. -С.5-361.

22. Вышенский В.А., Калужнин Л.А. О месте теории множеств и математической логики в преподавании математики в средней школе // Математика в школе. -1970. -№1. С. 35-40.

23. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий // Исследование мышления в советской психологии. -М.: Учпедгиз. 1958.- 131с.

24. Гейтинг А. Интуиционизм. Введение, пер.с англ. Под ред. и с коммент. А.А. Маркова. -М.: Мир, 1965. 200 с.

25. Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. М.-Л.: ОНТИ НКШСССР, 1936.-96 с.

26. Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода. -М.: Наука, 1967. С. 9-74.

27. Гетманова А,Д. Логика. -М.: Владос, 1994. -303с.

28. Гершунский Б.С. Философия образования для XXI века. М.: Изд-во «Педагогическое общество России», 2002. -512 с.

29. Гильберт Д. Проблемы обоснования математики // Основания геометрии. -М.-Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948,- С. 389-399.

30. ЗА.Гилъберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики М.: ИЛ 1947. -304 с.

31. Гильберт Д, Бернайс 77. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М.: Наука, 1979. - 560 с.

32. Зв.ГшьбертД, Бернайс П. Основания математики. Теория доказательств. -М.: Наука, 1982.-653 с.

33. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. М.: Наука, - 1972. - 288 с.

34. Гладкий А.В. Некоторые соображения о взаимоотношении между естественным языком и языком математической логики / Семиотика и информатика. Вын.12.-М.: ВИНИТИ, 1979.-С. 182-183.

35. Гладкий А.В. Об уровне математической культуры выпускников средней школы // Математика в школе. 1990. - №4 - С.7-9.

36. АО.Гладкий А.В. Математическая логика. -М.: РГГУ, 1998.-480 с.

37. Гладкий А.В. Введение в современную логику. М.: МЦНМО, 2001. -200 с.

38. Гладкий А.В. Крейдлин Т.Е. Математика в гуманитарной школе // Математика в школе, 1991,№6.-С. 6-9.

39. АЗ.Глейзер Г Д. Цели общего образования в современном мире // Инновации и традиции в образовании. Белград, 1996. - С.93-104.

40. Глухое М.М. Математическая логика. М.: Изд-во в/ч 33965, 1971. - 232 с.

41. Глухое М.М., В.А. Шапошников. Задачи и упражнения по математической логике. -М.: Изд-во в/ч 33965,1984. 100 с.

42. Гнеденко Б.В. Математическое образование в вузах. М.: Высшая школа, 1981,- 174с.41 .Гнеденко Б.В. О математике. М.: Эдиториал УРСС. - 2002. - 208 с.

43. Гнеденко Б.В. Об образовании преподавателя математики средней школы // Математика в школе. 1989, №3. - С. 19-22.

44. Гончаров С.С, ЕршовЮ.Л., Самохвалов К.Ф. Введение в логику и методологию науки. М.: Интерпракс, 1994. - с. 255.

45. Горский Д.П. и др. Краткий словарь по логике М.: Просвещение, 1991208 с.

46. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность 032100 Математика. - М., 2005.

47. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность 032100.00 Математика с дополнительной специальностью. - М., 2005.

48. ЬЪ.Градштейн КС. Прямая и обратная теоремы. М.: Наука, 1973. - 128с.

49. Гранатов Г.Г. Рефлексивно-дополнительный подход в методологии непрерывного образования // Наука и школа, 2003, №4. С.24-29.

50. Грифцова И.Н. Логика как теоретическая и практическая дисциплина. К вопросу о соотношении формальной и неформальной логики. Эдиториал УРСС, 1998.- 152 с.

51. Гудстейн Р.Л. Математическая логика М.: Изд-во иностранной литературы, 1961.-162с.

52. Гусев В.А. Методическая подготовка будущих учителей математики в пединститутах // Совр. проблемы методики преподавания математики М.: Просвещение, 1985.-С.8-19.

53. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: Дисс. докт. пед. наук. М., 1990. - 364с.

54. Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику? М.; Авангард. -1994.-168 с.

55. Гусев В.А. О рассуждениях и доказательствах в курсе школьной геометрии // Математика: Еженедельное прил. к газ. "Первое сент." 2003, № 21- С. 11-15.

56. Гусев ВА. Психолого-педагогические основы обучения математике. М.: Вербум-М, Академия, 2003. - 432 с.

57. Дорофеев Г.В. Контрпримеры в математике. // Математика в школе, 1999, №1.

58. Дорофеев Г.В. Математика для каждого. М.: Аякс, 1999. - 292 с.

59. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования // Математика в школе. 1990, № 6. - С. 2-5.

60. Ю.Драбкина М.Е. Логические упражнения по элементарной математике-Минск: Вышейша школа. 1965 160 с.

61. Драбкина М.Е. О системе целенаправленных упражнений для формирования некоторых логических понятий при изучении математики в средней школе и педагогическом вузе: Автореф. дисс.канд. пед. наук. Минск, 1971. -22 с.

62. Драгалин А.Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств. М. Наука, 1979. 256 с.

63. Епишева О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: Кн. для учителя. -М.: Просвещение, 2003. 223 с.

64. А.Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов: Учебник. М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 2004. - 336 с.

65. Ершов ЮЛ., Палютин Е.А. Математическая логика- М.: Наука, 1979 — 320 с.

66. Ефремович В.А., Гладкий А.В. К вопросу о подготовке учителей математики в педагогических институтах // Математика в школе. 1989, № 3. - С. 15-19.

67. И.Жолъ К.К. Логика в лицах и символах. М.: Педагогика-Пресс, 1993. - с.256.1%.Жохов АЛ. Мировоззренчески направленное обучение математике в общеобразовательной и профессиональной школе. Монография. М.: ИЦ АПО, 1999.-150 с.

68. Жохов АЛ. Научные основы мировоззренчески направленного обучения математике в общеобразовательной и профессиональной школе. Автореф. дисс. докт. пед. наук. -М., 1999. -40с.

69. Заир-Бек Е.С. Теоретические основы обучения педагогическому проектированию: Дисс. . д-ра пед. наук. СПб., 1995. - 410 с.81 .Загвязинский В.И. О современной трактовке дидактических принципов // Сов. педагогика, 1978, № 10.

70. Загвязинский В.И. Теория обучения: современная интерпретация: Учеб. Пособие. -Изд. Центр "Академия", 2004. 192 с.

71. ЪЪ.Зинченко В.П. Гуманитаризация подготовки инженеров // Вестник высшей школы.- 1986.-№10.

72. Иванова Т.А. Гуманитаризация математического образования. -Н. Новгород: Изд. НГПУ, 1998.-206 с.

73. Иванова Т.А. Теоретические основы гуманитаризации общего математического образования. Автореф. дисс. докт. пед. наук. М., 1998. - 41с.

74. ИвинА.А. Искусство правильно мыслить. -М.: Просвещение, 1986.-224 с.

75. Ивин А.А. Строгий мир логики. М.: Педагогика, 1988. - 127 с.

76. ИвинА.А., Никифоров A.JI. Словарь по логике. -М.: Владос, 1998. 384 с.

77. Ивлев Ю.В. Логика: Учебник для студ. гуманитарных вузов. М.: Наука, 1994. -284 с.

78. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов: Учебное пособие дня студентов высших учебных заведений. Издательский центр "Академия", 2004-448 с.

79. Калошина И.П., Харичева Г.И. Логические приемы мышления при изучении высшей математики. Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 1978. - 128с.

80. Калужнин Л.А. Что такое математическая логика? М.: Наука, 1964. -152 с.

81. Калужнин Л.А. Элементы математической логики в школьном преподавании // Новое в школьной математике. М.: Знание, 1972. - С. 147-164.

82. Калужнин Л.А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1978.-88 с.

83. КарриХ. Основания математической логики. М.: Мир, 1969. - 568 с.

84. Кипнис М.М. Генценовские системы для исчисления высказываний и аксиоматической арифметики. Учебное пособие. Челябинск: Челябинский пединститут, 1985. - 32 с.

85. Кипнис М.М. Системы генценовского типа в преподавании математической логики в педагогическом институте / В сб.: Проблемы подготовки учителей математики в пединститутах, вып. 64. М.: МГЗПИ, 1980. - С. 188-203.

86. Клайн М. Логика против педагогики // Математика (Сб. научно-методических статей), вып. 3. -М.: Высшая школа, 1973. С. 46-61.

87. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ. -М.: Мир, 1988. 295 с.

88. Клайн М. Математика. Утрата определенности: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.-434 с.

89. Климентов Н.Г., Моторинский Ю.А., Пайсон БД. О развитии логической грамотности студентов // Воспитание познавательной активности студентов при комплексном воздействии учебных и внеучебных форм работы. Барнаул, 1978.-С.91-92.

90. Клини С. Введение в метаматематику. Пер. с англ. М.: ИЛ, 1957. - 526 с.

91. Клини С. Математическая логика. Пер. с англ. -М.: Мир, 1973.-480 с.

92. Колмогоров А.Н. Вопросы обоснования математики. Роль теории множеств и математической логики. Математика // Математический энциклопедический словарь. М.: СЭ, 1988. С. 7-38.

93. Колмогоров А.Н. Математика наука и профессия. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 288 с. - (Б-чка "Квант". Вып. 64.).

94. Колмогоров А.Н. Современные взгляды на природу математики // Математика в школе. 1969, № 3. - С. 12-17.

95. Колмогоров А.Н. Элементы логики в современной школе // Математика в школе.-1971, №3.-С.7-14.

96. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. М.: УРСС, 2004. -240 с.

97. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математики. 4.1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. М.: Просвещение, 1977. -110с.

98. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математики. 4.2. Обучение математике через задачи и обучение решению задач. -М.: Просвещение, 1977 143 с.

99. Кондаков ИМ. Логический словарь-справочник.-М., 1975.

100. Кондрашенкова Т.А., Никольская И.Л. О межпредметном значении логической составляющей курса математики // Математика в школе. 1980. - №3 -С.62-68.

101. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года // Официальные документы в образовании. 2002, № 4. - С. 3-31.

102. Котарбинъский Т. Лекции по истории логики. Биробиджан: ИП "Тривиум", 2000. - 166 с.

103. Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. М.: Мир, 1969. -348 с.

104. Крейдлин Т.Е., Шмелёв А.Д. Языковая деятельность и решение задач / Математика в школе, 1989, № 3. С. 39-45.

105. Крупич В.И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе. -М.: МГПИ. 1985. -118 с.

106. Кудрявцев ЛД Мысли о современной математике и ее изучении. М.: Наука, 1967. - 162с.

107. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука, 1985.- 176 с.

108. Кудрявцев Л Д. Среднее образование. Проблемы. Раздумья. М.: МГУП, 2003. - 84 с.

109. Кузьмина И.В. Понятие «педагогическая система» и критерии ее оценки // Методы системного педагогического исследования. Л.: 1980. - С. 16-17.

110. КупиллариА. Трудности доказательств. -М.: Техносфера, 2002, 304 с.

111. Куратовский К, Мостовский А. Теория множеств / Пер. с англ. М.: Мир, 1970.-416 с.

112. Кушнер Б.А. Аренд Гейтинг: краткий очерк жизни и творчества. С.121-135 // Методологический анализ оснований математики М.: Наука. - 1988. -176 с.

113. Кушнер Б.А. Лекции по конструктивному математическому анализу. М.: Наука, 1973.-448 с.

114. Лавров И.А., Максимова ЛЛ. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов М.: Физматлит, 2002. - 256 с.

115. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. -М.: Наука, 1967.-152 с.

116. Ланда ЛЛ. Умение думать. Как ему учить? М.: Знание, 1975. - 64 с.

117. Лаптев В.В., Швецкий М.В. Методическая система фундаментальной подготовки в области информатики: теория и практика многоуровневого педагогического университетского образования. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского ун-та, 2000. - 508 с.

118. Латотин Л.А., Макаренков Ю.А., Николаева В.В., Столяр А.А. Математическая логика: Учеб. пособие под общ. ред. А.А. Столяра. Минск: Вышей-шая школа, 1991.- 269 с.

119. Лернер И.Я. Поиск доказательств и познавательная самостоятельность учащихся // Советская педагогика, 1974, № 7, С. 28-37.

120. Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности. М.: Педагогика, 1980.- 176 с.

121. Линдон Р. Заметки по логике / Пер. с англ. М.: Мир, 1968. - 128 с.

122. Логика и компьютер: Моделирование рассуждений и проверка правильности программ / Н.А. Алешина, A.M. Анисов, П.И. Быстров и др. М.: Наука, 1990.-238 с.

123. Логика и проблемы обучения / Под ред. Б.В.Бирюкова и В.Г.Фарбера. М.: Педагогика, 1977. - 216 с.

124. Логический словарь ДЕФОРТ. М.: Мысль. 1994 - 268 с.

125. Луканкин ГЛ. Научно-методические основы профессиональной подготовки учителей математики. Автореф. дисс. докт. пед. наук. Л., 1990. - 41с.

126. Мадер В.В. Введение в методологию математики. М: Интерпракс, 1995464 с.

127. Мадер В.В. Тайны ряда N. М.: Просвещение, 1995. 192 с.

128. Маланюк ЕЛ., Маланюк МЛ. О формировании логической грамотности школьников // Сов. педагогика. -1979. №7. - С.69-74.

129. МанинЮ.И. Вычислимое и невычислимое. -М.: Сов. радио, 1980. 128 с.

130. Мант Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М.: Сов. радио, 1979. - 168 с.

131. Мантуров О.В., Исаева М.А. Об аксиоматическом методе в школьном курсе геометрии//Математика в школе, 1988,№3.-С. 38-41.

132. Марков А.А. О логике конструктивной математики. Вестник МГУ, сер. ма-тем.-мех., №2. 1970. - С.7-29.

133. Марков А.А. Элементы математической логики. М.: Изд-во МГУ, 1984 80с.

134. Маркушевич А.И. Об очередных задачах преподавания математики в школе // На путях обновления школьного курса математики. М.: Просвещение. 1978. -С.29^48.

135. Маслов С.Ю. Теория дедуктивных систем и ее применения. М.: Радио и связь, 1986.- 136 с.

136. Математическая логика и ее применение: Сб. статей: Пер. с англ.- М.: Мир, 1965.-341с.

137. Математическая теория логического вывода: Сб. перев. под ред. А.В. Идельсона и Г.Е. Минца. М.: Наука, 1967. - 352 с.

138. Марченков С.С., Матросов В.Л. Сложность алгоритмов и вычислений // Итоги науки и техники. -М.: 1979, Т.16. С. 103-139.

139. Матросов В.Л. Классы сложности и классы сигнализирующих вычислимых функций // ДАН СССР, 226, №3,1976. С. 513-515.

140. Матросов В.Л. Сложность вычислимых функций для обобщенной меры памяти // Математические заметки, т. 29, вып. 6,1981. С. 895-906.

141. Матросов В.Л. Теория алгоритмов. М.: Прометей, 1989. - 188 с.

142. Матросов В.Л. Избранные статьи и доклады. Магистр, 1996. - 255 с.

143. Матросов В.Л. О путях совершенствования подготовки учителей математики в педагогических вузах // Актуальные проблемы математики, физики, информатики и методики их преподавания. Юбилейный сборник. (130 лет МПГУ). -М.: Прометей, 2003. С. 3-7.

144. Матросов ВЛ. Фундаментальность образования наша стратегия// Газета МПГУ "Педагогический университет".- 2004, №14-15.

145. Матросов В.Л., ТрайневВА., Трайнев КВ. Интенсивные педагогические и информационные технологии. Организация управления обучением- М.: Прометей, 2000. 354 с.

146. Матросов В.Л., Макаренков Ю.А, Тимофеева И.Л. Практикум по теории алгоритмов: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений.-М.: Прометей, 2005.-52 с.

147. Медведева О.С. Методические аспекты развития теоретического мышления учащихся в процессе решения математических задач М.: МПГУ, 2000. - 127с.

148. Мельников И.И. Научно-методические основы взаимодействия школьного и вузовского математического образования в России. Автореф. дисс. докт. пед. наук. -М., 1999.-41 с.

149. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. -М. Наука, 1984. 320 с.

150. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студ. пед. ин-тов /А.Я.Блох, Е.С.Канин, Н.Г.Килина и др.; Сост. Р.С.Черкасов, А.А.Столяр. М. Просвещение, 1985. - 336 с.

151. Методы системного педагогического исследования: Учебное пособие. М.: Народное образование, 2002. 208 с.

152. Миракова Т.Н. Дидактические основы гуманитаризации школьного математического образования. Автореф. дисс. докт. пед. наук. -М., 2001. - 54 с.

153. Михайлов А.Б. Введение в язык математики: учебное пособие для студентов математического факультета. СПб.: Изд-во РГПУ, 1997. - 98 с.

154. Михайлов А.Б. Об использовании математической модели понятия доказательства в курсе математической логики // Теоретические и методические проблемы в школе и вузе (математика, информатика): Межвузовский сборник научных трудов. С-Пб - Мурманск, 2001.

155. Михайлов А.Б., Плоткин A.M., Рисс Е.А., Яшина Е.Ю. Математический язык в задачах: сборник задач. СПБ.: Изд-во РПГУ им. А.И. Герцена, 2000. - 236 с.

156. Монахов В.М. Совершенствование преподавания математики в свете требований реформы школы // Математика в школе. -1984, № 6. С. 5-9.

157. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: Дисс. докт. пед. наук. -М., 1986. 355 с.

158. Мордкович А.Г. О профессионально-педагогической направленности математической подготовки будущих учителей // Математика в школе, 1984, №6.-С. 42^5.

159. Мордкович А.Г. Новая концепция школьного курса алгебры // Математика в школе. 1996, №6. С. 28-33.

160. Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия. Психология. Математика. М.: Серебряные нити, 1998. - 560 с.

161. Морозова Т.В. Начала логики и методологии как средство профессиональной подготовки учителя математики: Автореф. дисс. канд. пед. наук. -СПб., 1998.-20 с.

162. Моторинский Ю.А. Повышение уровня логического развития студентов математического факультета педагогического вуза при изучении темы "Элементы математической логики": Автореф. дисс. канд. пед. наук. М., 1987. - 20 с.

163. Мышкис А.Д. О преподавании математики прикладникам // Математика в высшем образовании. №1,2003. - С. 37-52.

164. Нагорный Н.М. Андрей Андреевич Марков и его конструктивное направление в математике. С. V-XLVIII // Марков А.А. Избранные труды. Т.1. Математика, механика, физика. М.: МЦНМО, 2002. - с. V-XLIX.

165. Нагорный Н.М. Вместо предисловия ко второму изданию. С. VII-XLIV // Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. -М.: Фазис, 1996.-448 с.

166. Нагорный Н.М. Современные основания математики: восхождения к конструктивности // Закономерности развития современной математики. М.: Наука, 1987.-С.212-219.

167. Назиев А.Х. Введение в логико-математический язык. Имена и формы / Проблемы подготовки учителей математики в пединститутах. (Сб. науч. трудов), вып. 64. М.: МГЗПИ, 1980. - С. 12-50.

168. Назиев АХ. Гуманитаризация основ специальной подготовки учителей математики педагогических вузов. Дисс. докт. пед. наук. М., 2000. -387 с.

169. Непейвода Н.Н. Прикладная логика: Учеб.пособие. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. -521 с.

170. Нижников А.И. Теория и практика проектирования методической системы подготовки современного учителя математики. Автореф. дисс. . докт. пед. наук.-М., 2000.-44 с.

171. Никольская И.Л. О единой линии воспитания логической грамотности при обучении математике // Преемственность в обучении математике. М., 1978. - С.24—36.

172. Никольская И.Л. Привитие логической грамотности при обучении математике: Дисс. канд. пед. наук.-М.: 1973. 185 с.

173. Новиков П.С. Аксиоматический метод. Математическая энциклопедия в 5 тт. -М.: СЭ, 1977.-т. 1.-С. 109-113.

174. Новиков П.С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. М.: Наука, 1977. - 328 с.

175. НовиковП.С. Элементы математической логики. -М.: Наука, 1973.-400 с.

176. Новиков С.П. О состоянии математического образования в педвузах СССР // Математика в школе. 1989, № 3. - С.8-13.

177. Образование, которое мы можем потерять / Сб. под общ. Ред. В.А. Садов-ничего. М.: МГУ, Институт компьютерных исследований. 2003. - 368 с.

178. Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин ГЛ., Саннинский В.Я. Методика преподавания математики в средней школе-М.: Просвещение, 1980. 368 с.

179. Основы педагогики и психологии высшей школы: Учебное пособие / Под ред. А.В. Петровского. -М.: Изд-во Московского ун-та, 1986. -303 с.

180. Пайсон БД. О логической составляющей образовательной области «математика» // Математика в школе. 2003, № 2. - С. 10-14.

181. Пайсон БД. Развитие логического мышления с помощью средств дедуктивного вывода (на алгебраическом материале восьмилетней школы): Авто-реф. дисс. канд. пед. наук. М.,. 1973. - 26 с.

182. Перевощикова Е.Н. Теоретико-методические основы подготовки будущего учителя математики к диагностической деятельности. Автореф. докт. дисс. . пед. наук. Москва, 2000. - 46 с.

183. Перминов В.Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства. М.: Едиториал УРСС, 2004. 240 с.

184. Петрова В.Т. Научно-методические основы интенсификации обучения математическим дисциплинам в высших учебных заведениях. Автореф. дисс. докт. пед. наук. М., 1998. - 40 с.

185. Пиаже Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления // Преподавание математики. Пособие для учителей. М., 1960. - С. 10-30.

186. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: Учеб. пособие / Под. Ред. В.Д. Шадрикова. -М.: Гардарики, 2002. -383 с.

187. Подгорецкая Н.А. Изучение приемов логического мышления у взрослых. -М. Изд-во МГУ, 1980. -149 с.

188. Подниекс КМ. Вокруг теоремы Геделя. Рига: Латв унт им. П.Стучки, 1981.-с. 191.

189. ПойаД. Как решать задачу. Пособие для учителей. М.: Педагогика, 1976. -206 с.

190. ПойаД. Математическое открытие / Пер. с англ. М.: Наука. 1970. - 324 с.

191. ПойяД. Математика и правдоподобные рассуждения / Пер. с англ. Изд. 2, испр. М.: Наука, 1975. - 463 с.

192. Потоцкий М.В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. -М.: Просвещение, 1975.-208 с.

193. ПравицД. Натуральный вывод. -М. ЛОРИ, 1997. 108 с.

194. Примерные программы дисциплин предметной подготовки по специальностям педагогического образования. -М.: "Прометей" МПГУ, 2004. 896 с.

195. Программа дисциплины Математическая логика / Сост. Кабаков Ф.А., Матросов B.JL, Макаренков Ю.А., Тимофеева И.Л. М.: МПГУ, 2004. - 20 с.

196. Пуанкаре А. О науке. -М.: Наука, 1983. 560 с.

197. Пышкало A.M. Методическая система обучения геометрии в начальной школе: авторский доклад по монографии "Методика обучения элементам геометрии в начальных классах", представленной на соискание ученой степени докт. пед. наук. М.: 1975.

198. Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. М.: Наука, 1972. -592 с.

199. Резник НА. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием средств развития визуального мышления. Дисс. . докт. пед. наук.-СПб. -1997.

200. Розанова С.А. Математическая культура студентов технических университетов. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 176 с.

201. Рузавин Г.И., Таванец П.В. Основные этапы развития формальной логики / В кн.: Философские вопросы современной формальной логики. М., 1962. -С. 16-52.

202. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. М: Просвещение, 1987. -160 с.

203. Самоорганизация в природе и обществе. Философско-методологические очерки / В.Н. Михайловский, В.А. Кайдалов, А.И. Уемов и др. СПб.: Наука, 1994.-127 с.

204. Саранцев Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики // Математика в школе. 1995, № 5. - С.36-39.

205. Саранцев Г.И. Обучение доказательству // Математика в школе, 1996 -№6. -С. 16-20.

206. Саранцев Г.И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях // Математика в школе, 1999, №6. С. 36-41.

207. Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе. М.: Просвещение, 2000. -174 с.

208. Саранцев Г.И. Методика обучения математики в средней школе: учебное пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. М.: Просвещение, 2002.-224 с.

209. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математике. Саранск: Красный октябрь, 2001. - 144 с.

210. Сафуанов И.С. Генетический подход к обучению математическим дисциплинам в высшей педагогической школе. Автореф. дисс. . докт. пед. наук. -М, 2000.-39 с.

211. Севастьянова СЛ. Совершенствование логической подготовки студентов математических факультетов педагогических вузов.: Автореф. Дисс. канд. пед. наук. СПб., 1996. - 25с.

212. Серебрянников О.Ф. Эвристические принципы и логические исчисления. -М.: Наука, 1970.-283 с.

213. Сидоренко Е.А. Логика. Парадоксы. Возможные миры. М.: Эдиториал УРСС, 2002.-312 с.

214. Сидоренко Е.А. Общая теория логического следования // Теория логического вывода-М., 1973. С. 14-50.

215. Сидоренко В.А. Методы математической обработки в психологии. СПб.: ООО "Речь", 2000.-350 с.

216. Слепкань З.И Психолого-педагогические основы обучения математике. -Киев: Радяньска школа, 1983. 192 с.

217. Словарь русского языка в четырех томах. М.: Русский язык, 1985-1988. -Т. 4. С-Я.-1988.-800 с.

218. Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теория множеств. Пер. с англ. -М.: Прогресс, 1965. 368 с.

219. СмалльянР. Теория формальных систем.-М.: Наука. 1981.-208 с.

220. Смирнов В.А. Логические методы анализа научного знания. М.: Наука, 1987.-230 с.

221. Смирнов В.А. Теория логического вывода -М.: РОССПЭН, 1999.-318 с.

222. Смирнов С.Д. Педагогика и психология высшего образования: от деятельности к личности: Учеб. пособие. М.: Изд. центр "Академия", 2001. 304 с.

223. Смирнова И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения: Дисс. . докт. пед. наук. -М., 1994.-364 с.

224. Смирнова ИМ. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения. М.: Прометей, 1994. -152 с.

225. Современные проблемы методики преподавания математики / Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. -М.: Просвещение, 1985. 304 с.

226. Спиркин А.Г. Интуиция // БСЭ. 3-е изд. - М.: Советская энциклопедия, 10 т.-1972.-С. 1017-1018.

227. Спиркин А.Г., Юдин Э.Г. Методология // БСЭ. 3-е изд. - М.: Советская энциклопедия, 16 т. - 1974. - С.478-484.

228. Справочная книга по математической логике: в 4-х частях / под ред. Дж. Барвайса. -М.: Наука, 1982-83.

229. Стефанова H.JI. Теоретические основы развития системы методической подготовки учителя математики в педагогическом вузе. Автореф. дисс. . докт. пед. наук. СПб. - 1996. - 32 с.

230. Столп Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968.-231 с.

231. Столяр А.А. Логические проблемы преподавания математики. Минск: Вышейшая школа, 1965. - 205 с.

232. Столяр А.А. Методы обучения математике. Минск, 1966.

233. Столяр А.А. Логические проблемы преподавания математики: Автореф. . .дисс. докт. пед. наук. М: 1967. - 37 с.

234. Столяр А.А. О некоторых применениях логики в педагогике математики // Логика и проблемы обучения / Под ред. Б.В.Бирюкова, В.Г. Фарбера. М., 1977. -С.125-139.

235. Столяр А.А. Как математика ум в порядок приводит. Минск: Вышейшая школа, 1982.-205 с.

236. Столяр А А. Педагогика математики: Учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Минск: Вышейшая школа, 1986.-413 с.

237. Столяр А.А. Зачем и как мы доказываем в математике. Минск: Народная асвета, 1987. - 144 с.

238. Столяр А.А. Роль математики в гуманизации образования // Математика в школе,-1990, № 6.-С.5-7.

239. Строгалов А.С., Шеховцов С.Г. Интеллектуальная деятельность, обучение и образование. М.: Изд-во. РГГУ, 2000. - 50 с.

240. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Математическая логика и теории алгоритмов: Учебник (Высшее образование). М.: ИНФРА-М; Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004.-224 с.

241. ТакеутиГ. Теория доказательств. Перев. с англ. -М.: Мир, 1978.-412 с.

242. Талызина Н.Ф. Теория поэтапного формирования умственных действий и проблема развития мышления // Советская педагогика, 1967, №1. С.28-32.

243. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук / Пер. с англ. -М.: ИЛ, 1948.-326 с.

244. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук / Пер. с англ. М.: Гос. изд-во иностранной литературы, 1948. - 326 с.

245. Терешин Н.А. Методическая система работы учителя математики по формированию научного мировоззрения учащихся: Дисс. в форме научного докл. докт. пед. наук. М., 1991. - 44 с.

246. Тестов В.А. Математические структуры как научно-методическая основа построения математических курсов в системе непрерывного обучения (школа-вуз). Автореф. дисс. докт. пед. наук. М., 1998. - 36 с.

247. Тестов В.А. Стратегия обучения математике. М.: Технологическая школа бизнеса, 1999.-304 с.

248. Тимофеева И.Л. Некоторые замечания о методе доказательства от противного // Математика в школе. -1994, № 3. С. 36-38.

249. Тимофеева И.Л. Логические системы натурального вывода. Введение в теорию доказательств. Учебно-методическое пособие. МПГУ. М., 2000. -90 с. - Деп.в ИТОП РАО 23.10.2000, №20-2000.

250. Тимофеева И.Л. Об изучении логических систем натурального вывода в курсе математической логики в педвузах. // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе, Сб. статей, вып. 5. М.: Прометей, 2000. - С.28-30.

251. Тимофеева ИЛ. Принцип индукции для натуральных выводов. // Юбилейный сборник научных трудов математического ф-та МПГУ (к 100-летию факультета). -М.: Прометей, 2001. С. 131-137.

252. Тимофеева И.Л. Конструктивное доказательство теоремы о полноте классической пропозициональной системы натурального вывода. // Юбилейный сборник трудов математического ф-та МПГУ (к 100-летию факультета). -М.:Прометей, 2001.-С. 83-89.

253. Тимофеева ИЛ. Совершенствование дедуктивной подготовки студентов математических факультетов педвузов при обучении основам теории доказательств. Автореф. дисс. .канд. пед. наук. -М.: МПГУ, 2001- 18 с.

254. Тимофеева И.Л. Математическая логика в вопросах и задачах. М.: Прометей, 2002.-112 с.

255. Тимофеева ИЛ. Математическая логика. Курс лекций. Часть I. М.: Прометей, 2003. - 144 с. Часть II. - М.: Прометей, 2003. - 164 с.

256. Тимофеева И.Л. Как устроено доказательство? // Математика в школе. -2004. № 8. - С. 74-81.

257. Тимофеева ИЛ. О логических эвристических средствах построения доказательств // Математика в школе. 2004. - № 10. - С. 42-50.

258. Тимофеева И.Л. Размышления об обратных теоремах и кванторах // Математика в школе. 2005 - № 5. - С. 64-68.

259. Тимофеева ИЛ. Некоторые замечания об использовании логической символики при обучении математике // Математика в школе. 2005. - № 7. - С. 53-56.

260. Тимофеева И.Л. Развитие логической интуиции у будущих учителей математики // Наука и школа. 2005. - №6. - С. 15-19.

261. Тимофеева И.Л. Логическая подготовка будущих учителей математики: Монография. М.: Прометей, МПГУ, 2005. - 224 с.

262. Тодоров Л.В. Понятие культуры и построение теории содержания образования // Педагогика, 1998, №8. С. 3-11.

263. Уемов А.И. Логические ошибки: как они мешают правильно мыслить. -М.: Госполитиздат, 1958. 119 с.

264. Уемов А.И. Логические основы метода моделирования. М.: Мысль, 1971. -312 с.

265. Успенский В.А. Семь размышлений на темы философии математики // Закономерности развития современной математики. -М.: Наука, 1987, С.106-155.

266. Успенский В.А. Теорема Геделя о неполноте. М.: Наука, 1982. 112 с.

267. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. 2-е изд.- М.: Физматлит, 2002. -126 с.

268. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Часть I. Основное общее образование // Официальные документы в образовании. 2004, № 25.

269. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Часть II. Среднее (полное) общее образование // Официальные документы в образовании. 2004, № 26.

270. Фейс Р. Модальная логика. М.: Наука, 1974. с. 520.

271. Формирование приемов математического мышления. / Под ред. Н.Ф.Талызиной-М.: Вентана-Граф, 1995.-231 с.

272. Фомина А.А. Методика обучения будущих учителей информатики формальным языкам: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. С-Пб., 2003. - 15 с.

273. Фреге Г. Логика и логическая семантика: Сб. трудов. М.: Аспект Пресс, 2000.-512 с.

274. Фрейденталъ X. Язык логики. М.: Наука, 1969. - 136 с.

275. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966. -556 с.

276. Фридман JI.M. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. -М.: Педагогика, 1977.-208 с.

277. Фридман JI.M. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. -М.: Просвещение, 1983. 160 с.

278. Фройденталъ Г. Математика как педагогическая задача. 4.1. - М.: Просвещение, 1982.4.2. -М.: Просвещение, 1983. - 191 с.

279. Хамов Г.Г. Методическая система обучения алгебре и теории чисел в педвузах с точки зрения профессионально-педагогического подхода. СПб.: РГПУ, 1993.- 142 с.

280. Харичева Г.И. Проверяется сформированность логического мышления // Вестн. высш. шк. -1974. -№10. С.76-78.

281. Харичева Г.И. Формирование логических приемов мышления у студентов: Автореф. дисс. канд, пед. наук. М., 1975. - 23 с.

282. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. -204 с.

283. Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. СПб.: Питер, 2002.-272 с.

284. Хомич В.И. Логика высказываний и исчисление высказываний: Учебное пособие по курсу "Математическая логика и теория алгоритмов". М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 43 с.

285. Цейтин Г.С. Теоремы о среднем значении в конструктивном анализе. Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова. Т.67, изд. АН СССР. 1962. -С.362-384.

286. Чень Ч, Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. -М.: Наука, 1983. 193 с.

287. Черкасов Р.С. Отечественные традиции и современные концепции в развитии школьного математического образования // Математика в школе. -1993, № 4 (С.73). №5 (С.75) и №6 С.7-14.

288. Черч А. Введение в математическую логику. Том первый. М.: ИЛ, 1960. -484 с.

289. Черч А. Математика и логика // Математическая логика и ее применения. -М.: Мир, 1965.-342с.

290. Шанин Н.А. О конструктивном понимании математических суждений. Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова. Т.52, изд. АН СССР. 1958. — С.266—311.

291. Шапиро С.И. От алгоритмов к суждениям М.: Советское радио, 1973. -288 с.

292. ШенфилдДж. Математическая логика. М.: Наука, 1975. 528 с.

293. Шкерина Л.В. Профессионально-ориентированная учебно-познавательная деятельность студентов в процессе математической подготовки в педвузе. Автореф. дисс. . докт. пед. наук. М., 2000. - 38 с.

294. Щедровицкий Г.П. Система педагогических исследований (методологический анализ) // Педагогика и логика. М.: Касталь, 1993. - С. 16-200.

295. Щегольков Е.А. Упражнения и задачи по курсу математической логики. -М.: МГПИ, 1971.-46 с.

296. Эрдниев П. М. О взаимосвязи логики и психологии в решении вопросов методики математики // Математика в школе, 1977, № 6. С.68-70.

297. Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе (Из опыта обучения методом укрупненных упражнений). -М.: Просвещение, 1978.

298. Якиманская КС. Психологические основы математического образования: Уч. пособие для студ. пед. вузов. М.: Издательский центр "Академия", 2004.-320 с.

299. Яновская СЛ. Методологические проблемы науки. М.: Мысль, 1972. -280 с.

300. Ястребов А.В. Моделирование научных исследований как средство оптимизации обучения студентов педвузов. Дисс.докт. пед. наук. Ярославль, 1997.

301. Ястребов А.В. Научное мышление и учебный процесс параллели и взаимосвязи. - Ярославль; ЯШУ, 1997. - 137 с.

302. ChagrovA. Zakharyashev М. Modal Logic. Clarendon Press. Oxford. 1997.

303. Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1997,217 pp.

304. Dirk van Dalen. Lectures on Intuitionism. Lect. Notes Math., 1973,337, p. 1-94.

305. FittingM.C. Intuitionistic Logic, Model Theory and Forsing. NHPC, 1969.

306. Gentzen G. Untersuchungen uberdas logishe Schliessen. I, II, Mathematische Zeitschrift, vol 39,1934, pp. 176-210,405-443.

307. Jaskowsky S. On the rules of suppositions in formal logic. Studia Logica, no.l. Warsaw, 1934.

308. Lukasevwicz J.Z. Historii logiki zdan, "Przeglad Filoz.", rocz 37, zesz. IV, War-szawa, 1934, str. 435 (115).

309. Monk J. Donald. Mathematical Logic. Springer-Verlag. New York Heidelberg Berlin, 1976, 531 pp.

310. Rybakov V.V. Addmissibility of Logical Inference Rules. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, v.136, Elsevier, Asterdam, 1997.

311. Troelstra A.S., Schwichtenberg H. Basic Proof Theory. Cambridge University Press.-2000,418 pp.

312. СОДЕРЖАНИЕ И ПЛАНИРОВАНИЕ ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ