автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методическая система обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундаментализации образования

Автореферат диссертации по теме "Методическая система обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундаментализации образования"

На правах рукописи КАЛИНИН Сергей Иванович

2 О АБГ 2009

МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ПЕДВУЗА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ И ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ В КОНТЕКСТЕ ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания

(математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук

0034 ('ЬАЕэе.

Москва-2009

003475456

Работа выполнена на кафедре прикладной математики ГОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет»

Официальные доктор педагогических наук, профессор оппоненты: МИРАКОВА Татьяна Николаевна

доктор физико-математических наук, профессор ПЧЕЛИНЦЕВ Сергей Валентинович

доктор педагогических наук, профессор ЯСТРЕБОВ Александр Васильевич

Ведущая ГОУ ВПО «Пензенский государственный

организация: педагогический университет им. В. Г. Белинского»

Защита диссертации состоится «17» сентября 2009 года в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д 008.008.04 при Учреждении Российской академии образования «Институт содержания и методов обучения» по адресу: 119435, г. Москва, ул. Погодинская, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИСМО РАО. Автореферат выставлен на сайте ИСМО РАО: http://ismo.ioso.ru

Автореферат разослан « .» а^^^ГОс. 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д-р биол. наук, проф.

Дзятковская Е. Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Известно, что высшая школа сегодня характеризуется состоянием поиска путей модернизации образования. Наблюдается процесс осмысления возможностей ее перехода к новой образовательной парадигме. Если прежняя парадигма была в основном парадигмой обучения с ведущими лозунгами «знания, умения, навыки и общественное воспитание», то новая, предполагается, должна ориентироваться на становление «компетентности, эрудиции, творческих начал и культуры личности». Современное положение дел в высшем образовании характеризуется внедрением новой структуризации в высшей школе, формированием передовых психолого-педагогических концепций, применением продуктивных методик передачи знаний, конструированием инновационных методических систем и технологий обучения.

Новая образовательная парадигма в России в качестве приоритета высшего образования рассматривает ориентацию на интересы личности, адекватные современным тенденциям общественного развития. Ее важнейшим компонентом является концепция фундаментализации образования, трактующая фундаментальность как категорию качества образования и образованности личности. Эта концепция распространяется, в частности, на подготовку будущих учителей математики, обучающихся в педагогическом вузе или классическом университете. Новая образовательная парадигма прежнюю (как парадигму обучения) не отменяет, она вбирает в себя ставшие привычными приоритеты и нацеливает на более высокое качество образования.

Представленное исследование включает в себя исходные факты, его основную идею и теоретическую концепцию.

Исходные факты опираются на многочисленные результаты исследований уровня математической подготовки будущих учителей к преподаванию школьного курса математики и, в частности, начал математического анализа. Следует отметить, что в разные годы состояние математической и методической подготовки действующих учителей математики и студентов математических факультетов исследовалось многими авторами, в том числе В. А. Гусевым, О. А. Ивановым, В. И. Игошиным, Ю. М. Колягиным, Г. Л. Луканки-ным, А. Г. Мордковичем, А. X. Назиевым, Е. С. Петровой, И. Д. Пехлецким, Г. И. Саранцевым, И. С. Сафуановым, Е. И. Смирновым, И. М. Смирновой, В. А. Тестовым, И. Л. Тимофеевой, Г. Г. Хамовым, М. И. Шабуниным, Л. В. Шкериной, П. М. Эрдниевым, А. В. Ястребовым и др. В работах названных авторов констатируется, что в вопросах подготовки будущих учителей имеется немало проблем. Многие из них характерны для состояния высшего педагогического образования и сегодня. Более того, самые последние исследования свидетельствуют о том, что наблюдается определенное падение уровня образования в педвузах России.

Подготовка будущих учителей математики далеко не в полной мере соответствует новым тенденциям совершенствования и развития современного математического образования, что проявляется, например, в неспособности

3

многих выпускников педвуза продуктивно работать в условиях уровневой и профильной дифференциации, вариативности программ и учебников. Современным требованиям не соответствует уровень знания некоторыми студентами и выпускниками педагогических институтов и университетов школьного курса математики, методов его преподавания, связей школьного курса начал анализа с вузовским курсом математического анализа Для таких студентов в контексте темы исследования характерно недостаточное владение той частью содержания курса дифференциального и интегрального исчисления, которая обеспечивает уверенность в решении нестандартных задач по математическому анализу и обучении школьников поиску подходов к решению трудных задач по этой дисциплине. Данный факт подтверждают, в частности, результаты последних лет Единого государственного экзамена по математике, показываемые учащимися 11-го класса общеобразовательных школ России.

Можно говорить и о невысокой общей и математической культуре выпускников педвузов, о недостаточном развитии у них математического и эвристического мышления, об отсутствии должного опыта математической деятельности, о рецептурности методических знаний по преподаванию начал анализа, о слабых методических умениях и формализме предметных знаний. У обучающихся студентов часто наблюдается отсутствие потребности в осмыслении новых математических фактов, критичности при выборе методов и подходов, используемых для доказательства утверждений. Почти у всех таких студентов нет реального опыта поиска новой научной информации по математике.

Основная идея исследования состоит в том, что в вопросах подготовки учителя математики в педвузе главное внимание должно концентрироваться на ее развивающей функции. Это, согласно концепции фундаментализации образования, предполагает снижение доли репродуктивных подходов в обучении, сближение и интеграцию методов и способов обучения студентов с реальными научными исследованиями, приобщение обучаемых к активному научному поиску и творчеству, воспитание у них критического отношения к изучаемому материалу.

Актуальность настоящего исследования определяется требованием разрешения ряда существенных противоречий, характерных сегодня для обучения студентов педвуза математическим дисциплинам. Важнейшими являются следующие противоречия:

- между потребностями современной общеобразовательной школы в грамотных, высококвалифицированных, творчески работающих учителях и наличием односторонних и разобщенных подходов к подготовке будущих учителей математики, не позволяющих удовлетворительно решить проблему качественного профессионального образования специалистов;

- между существующими разработками положений фундаментализации образования, реализация которых способна эффективно влиять на математическую подготовку будущих учителей математики, и отсутствием разработанной методической системы обучения студентов педвуза математическим дисциплинам на базе этих положений;

-между сложившейся традиционной практикой информационно-экстенсивного изучения математических курсов студентами-математиками в педвузе и возможностью перевода этих курсов на интенсивно-фундаментальное основание, предполагающее творческое усвоение студентами изучаемого материала, а также их приобщение к активному научному поиску, научному исследованию;

- между сохраняющейся ориентацией образовательных стандартов на информационно-знаниевую модель высшего профессионального педагогического образования и необходимостью включения научно-исследовательской работы студентов, как требование фундаментализации образования, в число обязательных компонентов образовательной программы подготовки будущих специалистов;

- между узким пониманием профессиональной направленности математической подготовки будущего учителя к преподаванию математики в школе, сводящимся к обстоятельному представлению в вузовском преподавании «школьной» математики, и потребностью в его фундаментальной подготовке по математическим дисциплинам, обеспечивающей широкий, компетентный взгляд на все разделы школьного курса математики, несущей потенциальные возможности творческой организации обучения математике школьников.

Данные противоречия определяют не только актуальность направления исследования, но и актуальность темы исследования, поскольку математический анализ является базовой дисциплиной в математической подготовке будущих преподавателей математики.

Названные противоречия позволяют сформулировать проблему исследования: выяснить, каковы особенности построения эффективной методической системы обучения студентов педвуза основам математического анализа в условиях фундаментализации образования. В функционировании такой системы научно-исследовательская работа участников образовательного процесса должна иметь статус одной из стратегий обучения.

Все изложенное определило выбор темы исследования: оно посвящено конструированию методической системы обучения студентов педагогического вуза дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундаментализации образования.

Объектом исследования является процесс обучения студентов педагогического вуза математическому анализу, а его предметом - методическая система обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундаментализации образования, включающая цели, содержание, методы, формы и средства обучения.

Целью исследования является создание методической системы обучения студентов-математиков педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций, обеспечивающей будущим учителям высокий уровень математической подготовки и подготовки к профессиональной деятельности.

Исходная гипотеза исследования: обучение студентов педагогических вузов дифференциальному и интегральному исчислению будет эффективным, профессионально направленным, соответствовать современным требованиям к высшему профессиональному образованию, если:

- его методологическую основу составят принципиальные положения концепции фундаментализации высшего педагогического образования, теория системного подхода, а также концепция учебной деятельности, ориентированная на овладение студентами в учебном процессе способами деятельности, адекватными соответствующему математическому содержанию;

- построить методическую систему обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению в контексте фундаментализации математического образования;

- содержание обучения студентов математическому анализу конструировать на основе научно обоснованной системы принципов его отбора, а при организации курса анализа активную творческую и научную деятельность студента рассматривать как системообразующий элемент его математического образования;

- содержание обучения будущих учителей дифференциальному и интегральному исчислению рассматривать как развивающуюся систему, в которой развитие осуществляется через исследовательскую деятельность не только преподавателя (обучающего), но и студентов (обучаемых): наполнение содержания должно происходить за счет и индивидуальной деятельности участников процесса, и совместной исследовательской деятельности;

- вопросы дифференциального исчисления в курсе анализа изучать посредством подхода, опирающегося на понятие дифференцируемое™ функции по Каратеодори и использующего простые алгебраические методы, доступные не только студентам, но и школьникам;

-выявить образовательный потенциал изучения неравенств и выпуклых функций с точки зрения преемственности обучения будущих учителей методам математического анализа и их профессиональной подготовки на основе обобщения школьных знаний начал анализа.

Цель, предмет, гипотеза исследования определили постановку его основных задач:

- провести анализ существующих трактовок феномена фундаментализации образования (в частности, фундаментализации математического образования), выделить основные характеристики этого феномена и положить их в основу строгих определений понятий «фундаментализация образования», «фундаментализация математического образования»;

- сконструировать состав и структуру методической системы обучения студентов-математиков педвуза дифференциальному и интегральному исчислению в условиях фундаментализации математического образования;

- обосновать систему принципов отбора содержания обучения студентов-математиков основам математического анализа и посредством этой системы спроектировать содержание курса дифференциального и интегрального исчисления для будущих учителей математики в контексте идей фундаментализации образования;

- при разработке содержания обучения будущих учителей дифференциальному и интегральному исчислению осуществить тщательный отбор новых результатов исследований и открытий по математическому анализу в последние годы; систематизировать в этих целях собственные исследования по основам анализа;

- выявить возможности и условия научной специализации обучаемых студентов по отдельным направлениям дифференциального и интегрального исчисления в процессе изучения ими математики в вузе;

- опираясь на трактовки объекта современной математики и предмета математического анализа, на концепцию учебной деятельности, ориентированную на овладение студентами в учебном процессе способами деятельности, адекватными математическому содержанию, сформулировать требования к учебным материалам, предназначенным для курса математического анализа; создать соответствующие учебные материалы, базирующиеся на таких требованиях;

- в рамках математической подготовки студентов педвуза средствами математического анализа разработать подход к изучению основ дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных, основанный на понятии дифференцируемое™ функции по Каратеодори; обосновать возможности построения дифференциального исчисления функций одной переменной в терминах односторонних производных; осмыслить методы выпуклых и логарифмически выпуклых функций в анализе и его приложениях, выяснить значение теории неравенств в фундаментальной подготовке студентов по математическому анализу;

- рассмотреть содержательные аспекты подготовки будущих учителей к работе в условиях уровневой и профильной дифференциации, а также к ведению внеклассной работы по математике в школе, восходящие к их углубленной подготовке по математическому анализу.

Теоретико-методологические предпосылки исследования составляют:

- нормативные документы в образовательной сфере: Концепция развития школьного математического образования (1989 г.), Концепция фунда-ментализации высшего образования (1996 г.), Концепция модернизации российского образования на период до 2010 г. (2002 г.), Программа модернизации педагогического образования (2003 г.), Примерные программы дисциплин предметной подготовки по специальностям педагогического образования (2004 г.), Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования (2005 г.) и др.;

- работы по методологическим основам математики и методологии математического образования (Ж. Адамар, А. Д. Александров, В. И. Арнольд, Г. Вейль, Д. Гильберт, Б. В. Гнеденко, М. Клайн, Ф. Клейн, А. Н. Колмогоров, Л. Д. Кудрявцев, Д. Пойа, М. М. Постников, А. Пуанкаре, В. А. Садовничий, Г. И. Саранцев, В. М. Тихомиров, Г. Фройденталь, А. Я. Хинчин и др.);

- теория деятельностного подхода в образовании и теория развивающего обучения (Л. С. Выготский, В. В. Давыдов, О. Б. Епишева, Л. В. Занков,

В. П. Зинченко, А. Н. Леонтьев, Е. И. Лященко, А. А. Столяр, 3. И. Слепкань, Н. Ф. Талызина, Д. Б. Эльконин к др.);

- теория системного подхода в образовании и ее реализация в обучении математике школьников и студентов (В. А. Гусев, В. И. Егорченко, Л. С. Капкаева, В. И. Крупич, В. С. Леднев, В. М. Монахов, А. М. Пышкало, Г. И. Саранцев, И. Л. Тимофеева, А. И. Уемов, П. Г. Щедровицкий и др.);

- психолого-педагогические исследования познавательно-поисковых процессов и концепции учебной мотивации (Е. П. Ильин, Р. С. Немов, Ж. Пиаже, К. Роджерс, М. А. Родионов, С. Л. Рубинштейн и др.);

-концепции профессионально-педагогической направленности подготовки учителя математики (О. А. Иванов, Г. Л. Луканкин, А. Г. Мордкович, М. В. Потоцкий, В. А. Тестов, Г. Г. Хамов, М. И. Шабунин и др.);

- концепции гуманизации и гуманитаризации математического образования (Г. В. Дорофеев, Т. А. Иванова, Т. Н. Миракова, А. X. Назиев, Г. И. Саранцев и др.);

- концепции дифференциации и индивидуализации обучения математике (М. И. Башмаков, В. Г. Болтянский, Г. Д. Глейзер, В. А. Гусев, Л. Н. Жур-бенко, Е. Е. Семенов, И. М. Смирнова, М. В. Ткачева, Р. А. Утеева, В. В. Фир-сов и др.);

- работы по использованию задач в обучении математике (В. Г. Болтянский, Н. Я. Виленкин, Э. Г. Готман, В. А. Гусев, В. А. Далингер, Г. В. Дорофеев, М. И. Зайкин, Н. И. Зильберберг, Е. С. Канин, Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, А. А. Максютин, В. И. Мишин, В. М. Монахов, А. Г. Мордкович, Ф. Ф. Нагибин, Е. Н. Перевощикова, Д. Пойа, Я. П. Понарин, H. X. Розов, В. И. Рыжик, Г. И. Саранцев, А. Д. Семушин, 3. И. Слепкань, А. А. Столяр, И. В. Ульянова, Л. М. Фридман, Р. Г. Хазанкин, И. И. Чучаев, И. Ф. Ша-рыгин, А. Ю. Эвнин, П. М. Эрдниев и др.);

- современные научные и научно-методические исследования по дифференциальному и интегральному исчислению функций и теории неравенств (Д. В. Аносов, Г. А. Багмут, О. В. Бесов, Г. Г. Брайчев, А. Г. Галканов, В. Ф. Демьянов, В. В. Иванов, В. А. Попов, Г. А. Сорокин, И. И. Чучаев, Abel Ulrich, H. Alzer, Bartie Robert G., M. Benzce, R. P. Boas, S. S. Dragomir, Duca Dorel I., Gorni Gianluca, Pop Ovidiu, M. Ivan, B. Finta, Beg Ismat, T. M. Flett, Furi Mossimo, Martelli Mario, Mera Ruben, Popa Aurelia, Dupont Pascal, Vast Nicole, Xin Min Yang и др.).

Для решения сформулированных задач использовались следующие методы исследования:

-теоретический анализ философской, психолого-педагогической, научно-методической литературы по теме исследования;

- изучение и анализ научных сведений по дифференциальному и интегральному исчислению функций и по теории неравенств, учебных пособий и программ по математическому анализу для студентов математических специальностей;

-изучение и анализ опыта преподавания математического анализа в вузах и начал математического анализа в школах различного профиля; 8

-анализ, сравнение, систематизация и обобщение собственного многолетнего опыта преподавания математического анализа в педагогическом вузе;

- проведение педагогических измерений (наблюдение, анкетирование, интервьюирование, опросы студентов, собеседование, оценивание уровня знаний обучаемых и уровня овладения ими способами деятельности по усвоению математических понятий и утверждений, беседы со студентами, школьниками, учителями математики городских и сельских школ, преподавателями математики высших учебных заведений, представителями управляющих органов образования);

-педагогический эксперимент по проверке эффективности функционирования методической системы обучения дифференциальному и интегральному исчислению студентов педвуза в условиях фундаментализации образования и статистическая обработка некоторых его результатов;

- применение математических методов: методов математического анализа (обоснование свойств аналитических неравенств, доказательство теорем о среднем, характеризация выпуклых и логарифмически выпуклых функций и пр.), алгебраических методов (доказательство основных теорем дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных подходом Каратеодори, конструирование доказательств утверждений, использующих определители и их свойства и т. д.), геометрические методы (иллюстрация средних величин, интерпретация классических теорем дифференциального и интегрального исчисления, основных понятий анализа и др.).

Концепция исследования включает в себя следующие положения.

1. Подготовка будущего учителя математики к профессиональной деятельности может эффективно осуществляться в рамках методической системы обучения математической дисциплине, опирающейся на феномен фундаментализации высшего педагогического образования и концепцию учебной деятельности (Г. И. Саранцев, О. Б. Епишева и др.), ориентированной на овладение студентами в учебном процессе способами деятельности, адекватными соответствующему математическому содержанию образования.

2. Математическая подготовка будущих учителей не должна сводиться лишь к освоению соответствующих предметных курсов, реализуемых посредством предусматриваемых учебным планом аудиторных занятий, контрольных мероприятий и самостоятельной работой студентов. Большую роль в такой подготовке играет систематическая научно-исследовательская работа студента, сочетающаяся с поиском и изучением соответствующей научной, научно-популярной и научно-методической литературы, с активным размышлением над открытыми вопросами или поставленными задачами, участием в работе регулярного исследовательского семинара. Научно-исследовательская работа должна быть составным компонентом в программе подготовки будущего специалиста.

3. Содержание обучения будущих учителей математики основам математического анализа должно включать в себя не только классические сведения, но и новые научные исследования и результаты в этой области матема-

тики, способы деятельности по усвоению понятий и утверждений, методы познания, эвристики, отражать глубокую связь со школьным курсом начал анализа.

4. Обучение преподавателем педвуза студентов-математиков дифференциальному и интегральному исчислению должно тесно сопрягаться с его собственными фундаментальными исследованиями по математическому анализу, что обеспечивает наполнение содержания образования будущих специалистов «живым» знанием и способствует их фундаментальному образованию.

Основные этапы исследования. Диссертация обобщает результаты исследования, выполнявшегося в три этапа в период с 1986 по 2009 гг.

1этап (1986-1992)- установление исходных фактов, осмысление основной идеи исследования и проведение констатирующего этапа педагогического эксперимента. Было проанализировано состояние исследуемой проблемы в теории и практике обучения математическому анализу студентов педвуза. Результатом такого анализа явилось выделение предпосылок для разработки теоретико-методологических основ решения исследуемой проблемы.

II этап (1993-2000) - получение качественных и количественных характеристик предмета исследования. На этом этапе было осуществлено конструирование методической системы обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению. В частности, было разработано содержание инновационного курса математического анализа, базирующегося на деятельностной концепции освоения материала и включающего в себя помимо традиционных классических сведений дисциплины способы деятельности, методы познания, эвристики и некоторые новые факты дифференциального и интегрального исчисления. В этот период разрабатывались психолого-педагогические и методические условия эффективного функционирования конструируемой методической системы в практике обучения студентов, осуществлялась подготовка учебных материалов в соответствии с проблемой исследования, проводилась их апробация в учебном процессе, был проведен поисковый эксперимент. На данном этапе ставилась цель - определить оптимальный вариант методики обучения студентов математическому анализу, который бы способствовал качественному усвоению студентами этой дисциплины и усиливал бы ее профессиональную и научную направленность. Подчеркнем, что именно на этот этап приходится опубликование в печати (А. Д. Суханов, 1996 г.) Концепции фундаментали-зации высшего образования, ее основные положения, с учетом уточнений и конкретизации, нами были взяты на вооружение при разработке методической системы обучения.

III этап (2001-2009) - анализ теоретических и экспериментальных результатов, уточнение, корректировка и систематизация теоретических и методических положений по решению проблемы исследования. Была завершена разработка методической системы обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундамен-тализации математического образования, осуществлено формулирование 10

окончательных выводов. Данный этап отмечался также оформлением диссертации и подготовкой к опубликованию монографии.

Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись в ходе регулярной и целенаправленной работы со студентами-математиками Вятского государственного гуманитарного университета на лекционных и практических занятиях по математическому анализу, на спецкурсах и спецсеминарах, при руководстве студенческим научно-исследовательским семинаром по анализу и индивидуальной научной работой студентов, при написании студентами курсовых и дипломных (выпускных квалификационных) работ; при работе с учителями математики в рамках курсов повышения квалификации на базе Кировского института повышения квалификации и переподготовки работников образования; при проведении занятий спецкурсов для учащихся старших классов общеобразовательной школы № 61 г. Кирова, а также Мурыгинской, Юрьянской, Опаринской, Подосиновской, Котель-ничской (№ 5) общеобразовательных школ Кировской области.

Апробация теоретических положений и результатов исследования осуществлялась на Международных и Всероссийских научных конференциях, проходивших в разное время (с 1989 по 2009 г.) в гг. Арзамасе, Архангельске, Великом Новгороде, Вологде, Глазове, Кирове, Магнитогорске, Минске, Москве, Нижнем Новгороде, Орле, Пензе, Перми, Самаре, Саранске, Сыктывкаре, Тамбове, Тольятти, Уфе, Чебоксарах, Челябинске, Ярославле (статус и названия конференций отражены в публикациях автора по теме диссертации).

Внедрение результатов исследования также осуществлялось через публикацию монографии, учебных пособий, учебных программ, статей в научных сборниках и журналах: «Математика в школе», «Математическое образование», «Математика в образовании», «Математические заметки», «Известия вузов. Математика», «Вестник Вятского государственного гуманитарного университета», «Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона» и др.

Разработанные научно-методические материалы и опыт работы со студентами отражены в 102 публикациях.

Научная новизна исследования, в первую очередь, заключается в том, что на основе использования уточненных положений фундаментализации высшего педагогического образования, применения системного анализа и деятельностного подхода к обучению впервые разработана методическая система обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундаментализации математического образования. Данная система опирается на активные методы и формы обучения и базируется на интеграции процесса обучения с научными исследованиями его участников в области математического анализа. В такой системе научно-исследовательская работа студентов является важнейшим компонентом в программе подготовки будущего специалиста.

Научная новизна исследования также видится в следующем: - разработан доступный и экономичный подход к изучению студентами дифференциального исчисления функций одной и нескольких перемен-

ных, основанный на систематическом использовании понятия дифференци-руемости функции по Каратеодори; данный подход может быть использован и при обучении школьников началам анализа;

- обоснованы принципиальные возможности построения дифференциального исчисления функций одной переменной в терминах односторонних производных, что открывает обучаемым перспективу исследования негладких функций в рамках ведения научно-исследовательской работы;

- при конструировании содержания обучения будущих учителей дифференциальному и интегральному исчислению осуществлен отбор новых результатов исследований в этой области математики, примыкающих к программным вопросам и расширяющих их (обобщение и развитие классических теорем основ анализа, построение новых типов дифференциального исчисления функций, новые доказательства известных утверждений, различные применения методов анализа в прикладных вопросах, осмысление «школьных» начал анализа с точки зрения высшей математики и др.); эти результаты относятся, в основном, к периоду 1990-2008 гг., часть из них получена автором и студентами;

- выявлена роль классических неравенств и их обобщений, а также выпуклых и логарифмически выпуклых функций в содержании профессиональной подготовки студентов-математиков педвуза; показан образовательный потенциал неравенств и выпуклых функций в обучении студентов методам математического анализа;

- обоснована необходимость ведения преподавателем регулярного научно-исследовательского семинара для студентов по математическому анализу с целью организации систематической научно-исследовательской работы обучаемых студентов.

Теоретическая значимость исследования состоит в следующем:

- проведен критический анализ существующих трактовок понятий «фун-даментализация образования», «фундаментализация математического образования», сформулировано собственное, уточняющее толкование этих понятий;

- разработана методическая система обучения студентов-математиков педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций, которая в условиях фундаментализации образования реализует концепцию предметной подготовки будущих учителей к профессиональной деятельности, ориентированную на требования к уровню усвоения содержания математического образования, на применение активных методов и форм обучения, на необходимость приобщения обучаемых к научному поиску, научному исследованию;

- разработана концепция содержания обучения будущих учителей математики основам анализа, отражающая деятельностную природу математического знания, в которой отбору содержания образования придается статус важнейшей из стратегий обучения;

- сформулированы педагогические требования к реализации содержания обучения будущих учителей дифференциальному и интегральному исчислению функций, которые обеспечивают должное качество подготовки 12

студентов по математическому анализу; такие требования восходят, в частности, к необходимости культивирования эвристических и исследовательских методов обучения, к использованию нелинейного структурирования учебных материалов, к руководству преподавателем регулярным студенческим научно-исследовательским семинаром;

- выявлены преимущества разработанного в исследовании так называемого подхода Каратеодори к изложению дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных; он основывается на понятии дифференцируемой функции по Каратеодори и представляет собою синтез аналитического, алгебраического и геометрического методов математики; данный подход при установлении основных теорем дифференциального исчисления использует не традиционную операцию предельного перехода, а элементарно-алгебраические рассуждения, что обусловливает реальные возможности его применения в обучении началам анализа школьников;

- на примере построения дифференциального исчисления функций одной переменной в терминах односторонних производных в исследовании оговорены принципиальные возможности изучения негладких функций;

- осмыслена роль теорий неравенств и выпуклых функций в содержании образования студентов по математическому анализу и с точки зрения их обучения методам анализа, и с позиций их общей математической подготовки; указаны направления реализации образовательного потенциала неравенств и выпуклых функций в профессиональной подготовке будущих учителей и действующих учителей математики.

Практическая значимость исследования заключается в использовании его результатов

- при разработке типовых образовательных стандартов и учебных программ математической подготовки студентов педагогических вузов и университетов;

-при написании учебников и учебных пособий по математическому анализу для студентов математических специальностей и по началам математического анализа для учителей и учащихся школ;

- при разработке учебных пособий по спецкурсам и дополнительным главам математического анализа для студентов старших курсов педагогических вузов, для работающих учителей, для учащихся специализированных физико-математических классов;

- при разработке элективных и факультативных курсов для учителей и учащихся;

- при формулировании концепций обучения студентов другим образовательным областям, а также методик обучения соответствующим дисциплинам в вузах.

Практическая значимость исследования актуализируется внедрением его результатов в практику преподавания математического анализа в ВятГГУ и использованием некоторых его результатов в других вузах, а также в общеобразовательных школах. Диссертационное исследование позволяет- повысить эффективность обучения студентов педвузов математическим дисциплинам.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается выбором методологических, психолого-педагогических, философских, математических и методических позиций, положенных в основу исследования; применением к исследуемой проблеме системного и деятельност-ного подходов, а также совокупностью методов, адекватно соответствующих объекту, предмету, целям и задачам предпринятого исследования; продолжительной опытно-экспериментальной работой при личном ведении преподавательской деятельности в ВятГТУ и научном сотрудничестве с коллегами-преподавателями педвузов гг. Арзамаса, Вологды, Н. Новгорода, Москвы, Мурманска, Пензы, Перми, Самары, Саранска, Сыктывкара, Уфы, Ярославля, а также Башкирского, Вятского, Мордовского, Нижегородского, Самарского, Сыктывкарского, Чувашского госуниверситетов, имевших возможность применять в своей работе со студентами и учащимися школ разработанные автором программы и учебные пособия; положительными результатами педагогического эксперимента.

Положения, выносимые на защиту.

1. Фундаментапизация высшего образования есть сложный феномен, основывающийся на сближении и интеграции образовательного процесса по конкретному направлению подготовки специалистов с научными знаниями (в том числе с новыми научными сведениями, фактами, открытиями, методами исследований) в соответствующей области специализации и научными достижениями тех методических наук, которые обеспечивают эту подготовку. Фундаментапизация математического образования в высшей школе предполагает обеспечение учета и использования в процессе глубокого и основательного изучения студентами математических дисциплин новых научных исследований и достижений в представляющих эти дисциплины областях математики, создание оптимальных условий для воспитания у студентов гибкого научного мышления, а также применение в образовательном процессе современных достижений методики обучения математике как научной области.

2. Разработанная методическая система обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению в контексте фундамента-лизации образования реализует теоретическую концепцию предметной подготовки будущих учителей к профессиональной деятельности, ориентированную на высокие требования к уровню усвоения содержания математического образования, на применение в обучении эвристических и исследовательских методов и активных форм, на нелинейное структурирование учебных материалов, реальное приобщение обучаемых к научным исследованиям. Фундаментализация выступает внешним фактором такой системы, оказывающим влияние на все ее компоненты: цели обучения, содержание образования, методы, формы и средства обучения математическому анализу. Данная методическая система может быть применена в обучении будущих учителей математическому анализу в целом, а также в обучении другим математическим дисциплинам.

3. Основу концепции содержания обучения студентов основам анализа в построенной методической системе составляют так называемые общие, 14

ключевые и дополняющие принципы его отбора. Их целостность обусловливает рассмотрение не только минимального объема знаний по дифференциальному и интегральному исчислению, определяемого Государственным образовательным стандартом, но и сведений из этой области математики, связанных с современными научными исследованиями и достижениями, нерешенными проблемами и задачами. Это позволяет вовлечь студентов в реальную научно-исследовательскую работу с первых курсов их обучения в вузе. Помимо предметных знаний в содержание обучения будущих учителей также включаются действия, адекватные основным понятиям и утверждениям анализа, общенаучные методы познания, эвристические приемы и специальные эвристики, характерные для дифференциального и интегрального исчисления функций.

4. Обучение преподавателем педвуза будущих учителей математическому анализу в условиях фундаментализации образования должно сопрягаться с его собственными исследованиями в этой области математики: активная позиция педагога в отношении осмысления изучаемого со студентами материала снижает долю репродуктивных подходов в обучении, учит критически относиться к приобретаемым знаниям, воспитывает желание и необходимость анализировать информацию, размышлять, приобщает к творчеству и исследованию. Одним из педагогических требований в организации преподавателем научно-исследовательской работы студентов является руководство им регулярным студенческим исследовательским семинаром по математическому анализу.

5. Реализация в обучении студентов математическому анализу дея-тельностных концепций работы с определениями фундаментальных понятий и принципиальными теоремами курса, а также сложившаяся система организации научно-исследовательской работы студентов позволяют указать направления научной специализации обучаемых. К таким направлениям, в частности, относятся: обобщение и развитие классических утверждений о дифференцируемых по Коши или интегрируемых по Риману функциях; построение новых видов дифференциального исчисления функций, альтернативных принятому в классическом анализе, - в терминах /-производной, в терминах односторонних производных, в терминах только одной из односторонних производных и др.; изучение негладких функций; разработка ключевых и теоретических задач, отрабатывающих свойства дифференцируемых и интегрируемых функций; применение методов анализа в тематике, восходящей к теории выпуклых и логарифмически выпуклых функций, к неравенству Иенсена и его обобщениям; решение задач теории неравенств и теории средних величин, в том числе, открытых вопросов, связанных с неравенствами Коши, Бернулли, Гюйгенса, Ки Фана, Альцера и их обобщениями; рассмотрение методов классического анализа в вопросах функционального анализа; осмысление школьных начал анализа с точки зрения высшей математики.

6. Изучение дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных со студентами-математиками педвуза возможно на ос-

нове разработанного в исследовании подхода, который использует систематическое применение понятий дифференцируемое™ и производной функции по Каратеодори. Этот подход есть синтез аналитического, алгебраического и геометрического методов математики. Он, в отличие от традиционного подхода Коши, при установлении основных теорем дифференциального исчисления предполагает использование не операции предельного перехода, а элементарно-алгебраические рассуждения, что обусловливает эффективность его применения в обучении началам анализа учащихся общеобразовательных школ.

Структура диссертации. Диссертация включает Введение, Главы I-IV, Заключение, Список литературы и пять приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении работы обосновываются выбор и актуальность темы исследования, указана его основная идея, определены объект, предмет, цель и гипотеза исследования, охарактеризованы задачи, указаны методы и научно-теоретические предпосылки исследования, раскрыты научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, сформулированы основные положения концепции исследования и положения, выносимые на защиту. Кроме того, во Введении приведены сведения об основных этапах исследования, его апробации и внедрении результатов.

В Главе I диссертации «Методологические основы построения методической системы обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению в условиях фундаментализации образования» рассмотрен феномен фундаментализации образования вообще и математического в частности, на методологическом уровне выявлены принципы конструирования эффективной методической системы обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению функций в условиях фундаментализации высшего педагогического образования.

В разделе 1.1. «Феномен фундаментализации математического образования. Анализ трактовок» представлены взгляды на понимание фундаментализации образования В. А. Садовничего, Г. И. Саранцева, В. А. Тестева, И. В. Егорченко, Н. В. Садовникова, подчеркнута неоднозначность анализируемых трактовок понятия фундаментализации математического образования. В разделе отмечается также, что широко и многозначно фундамен-тализацию подготовки будущих специалистов характеризуют и положения Концепции фундаментализации высшего образования, представленной в статье А. Д. Суханова1. Это допускает неадекватность употребления обсуждаемого понятия в разных ситуациях и, естественно, привносит в методическую науку определенную терминологическую путаницу и затруднения в исследованиях. В то же время, констатируется в разделе, термин «фундамен-

1 Суханов А. Д. Концепция фундаментализации высшего образования и ее отражение в ГОСах // Высшее образование в России. 1996. № 3. С. 17-24. 16

тальность» («фундаментальный») в классической науке имеет особое значение, несет особую смысловую нагрузку. Словосочетание «фундаментальное знание» или эпитет «фундаментальный» обычно ассоциируются с качественным, глубоким, основательным образованием или знанием. Это побуждает к уточнениям понятий «фундаментализация высшего образования» и «фундаментализация математического образования» (уточнения автора представлены в положениях, выносимых на защиту).

Авторская трактовка фундаментализации математического образования необходимо предполагает: снижение доли репродуктивных подходов в обучении студентов; их знакомство с современными математическими исследованиями, использование преподавателем в процессе обучения его собственных фундаментальных исследований; освоение обучаемыми научно-информационной базы и вовлечение их в реальную научно-исследовательскую работу. Реализация данных положений будет способствовать активному и глубокому овладению студентами математическими методами исследования, формированию у них внутренней потребности в саморазвитии и самообразовании, переходу от экстенсивно-информационного образования к интенсивно-продуктивному, что, в свою очередь, будет содействовать сохранению и упрочению российских образовательных традиций, «при которых подготовка специалистов основывается на глубоких фундаментальных знаниях»2, а также укреплению и расширению связей образования и науки.

Кроме того, представленная трактовка фундаментализации математической подготовки студентов предполагает в практике их обучения опору на методологическую составляющую методики обучения математике. Обучение должно производиться в рамках соответствующей методической системы с учетом составляющих внешней среды последней и опираться на дея-тельностный подход.

В данном разделе подчеркнуто, что приводимое толкование феномена фундаментализации вузовского математического образования не противоречит идеям в отношении фундаментальности образования, высказываемым в разное время В. А. Садовничим3 и Н. В. Карловым4, а также систематическим исследованиям по методологии методики обучения математике Г. И. Саранцева5.

Раздел 1.2. «Конструирование методической системы обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению функций» посвящен построению методической системы обучения студентов-математиков педвуза основам математического анализа в ус-

2 Алферов Ж. И., Садовничий В. А. Образование для России XXI века // Образование, которое мы можем потерять. М.: МГУ им М. В. Ломоносова; Институт компьютерных исследований, 2003. С. 83-90.

3 Садовничий В. А. Традиции и современность // Высшее образование в России. 2003. № 1. С. 11-18.

4 Карлов Н. В. О фундаментальном и прикладном в науке и образовании, или «Не возводи свой дом на песке» // Вопросы философии. 1995. № 11. С. 35-46.

5 Саранцев Г. И. Методология методики обучения математике. Саранск, 2001. 141 с.

ловиях фундаментализации образования, в нем проводится анализ такой системы на методологическом уровне.

В разделе определяется компонентный состав методической системы, включающий цели обучения дифференциальному и интегральному исчислению, содержание обучения данному разделу анализа, а также методы, формы и средства обучения, описывается внешняя среда системы, которую составляют такие тенденции современного образования, как его фундаментализа-ция, гуманизация и гуманитаризация, дифференциация и индивидуализация, интенсификация, а также общие цели математического образования, предмет математического анализа, место анализа в системе других математических наук и дисциплин естественнонаучного цикла, применения математического анализа, некоторые результаты исследований в этой области математики, структура личности и закономерности ее развития, исследования в психологии, дидактике, логике, информатике. Из всех внешних факторов, влияющих на методическую систему обучения будущих педагогов дифференциальному и интегральному исчислению, одним из главных является фундаментализа-ция математического образования.

Из совокупности цепочек связей между компонентами конструируемой методической системы, в частности, выделяется следующая: цели обучения обусловливают содержание, содержание обучения - методы обучения, а методы, в свою очередь, - средства и формы обучения. Цели обучения выступают системообразующим началом.

В данном разделе определяются связи между компонентами системы и внешней средой. Наибольшее влияние внешняя среда рассматриваемой методической системы оказывает на цели обучения студентов-математиков педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций. Цели обучения подразделяются на четыре группы: общеобразовательные, развивающие, воспитательные, практические. Отмечается, что в контексте постановки совокупности целей обучения студентов в педвузе дифференциальному и интегральному исчислению каждая из составляющих внешней среды методической системы может занимать доминирующее (лидирующее) положение при формировании соответствующей цели обучения. Приводимый тезис сопровождается соответствующими иллюстрациями.

В этом же разделе показано, что составляющие внешней среды оказывают значительное влияние и на содержание обучения дифференциальному и интегральному исчислению функций будущих учителей математики. В содержание помимо традиционных предметных знаний основ анализа включаются и такие элементы, как действия, адекватные основным понятиям, принципиальным теоремам и утверждениям, общенаучные методы познания, различные эвристики и эвристические приемы, аксиоматический и алгоритмический методы, метод моделирования, обсуждение места дифференциального и интегрального исчисления в математическом анализе и системе других математических дисциплин, изучаемых будущими педагогами, этапы развития анализа, исторические факты, связанные с его становлением, вклад отдельных ученых в его развитие. Автором подчеркивается, что на содержа-18

ние обучения дифференциальному и интегральному исчислению в педвузе предмет математического анализа оказывает самое непосредственное влияние, в частности влияет его непрерывное расширение и развитие. Последние в контексте новых образовательных тенденций (в том числе фундаментали-зации и гуманитаризации) побуждают к включению в содержание обучения студентов соответствующих достижений и новых результатов в области математического анализа, полученных в рамках исследований по дифференциальному и интегральному исчислению функций в последние годы, а также нерешенные проблемы и задачи. Отбор содержания обучения осуществляется на основе системы принципов отбора и представляется развиваюгцейся системой, причем развитие осуществляется через деятельность и преподавателя (обучающего), и студентов (обучаемых).

Культивируемый подход к трактовке содержания обучения студентов-математиков педвуза созвучен с концепцией содержания обучения А. Г. Солониной, в которой содержание выступает как средство персонали-зации обучающихся и обучающих.

Метод обучения студентов дифференциальному и интегральному исчислению в работе рассматривается как способ движения деятельностей преподавателя и студента и развития предметного содержания основ анализа. По характеру учебно-познавательной деятельности и организации содержания материала в разделе выделяются следующие методы обучения: индуктивно-репродуктивный, индуктивно-эвристический, индуктивно-исследовательский, дедуктивно-репродуктивный, дедуктивно-эвристический, дедуктивно-исследовательский, обобщенно-репродуктивный, обобщенно-эвристический, обобщенно-исследовательский. Данная классификация продиктована тем, что предметное содержание дифференциального и интегрального исчисления развивается посредством индукции, дедукции и обобщения, а способы взаимодействия преподавателя и студента выражаются через репродукцию, эвристику и исследование.

Под формой обучения дифференциальному и интегральному исчислению функций понимается способ взаимодействия дидактических приемов преподавателя математического анализа и познавательных действий обучающихся студентов в процессе решения познавательных задач. Формы процесса обучения в вузе обусловливаются отношениями между преподавателем и студентами в решении учебных задач. Выделяемые в разделе отношения обусловливают рассмотрение фронтальной, коллективной, групповой, индивидуальной, совместной форм. В частности, для совместной формы обучения характерно взаимодействие преподавателя со студентами разных курсов и студентов разных курсов друг с другом в рамках общего занятия или выполнения некоторых заданий. В классификацию форм обучения дифференциальному и интегральному исчислению будущих учителей математики положены количественные характеристики обучаемого контингента.

Феномены фундаментализации и интенсификации, дифференциации и индивидуализации математического образования побуждают к активному культивированию внеаудиторных форм обучения студентов, помогающих

решать дидактические задачи: выявлять наиболее способных и талантливых студентов, формировать устойчивый интерес к исследовательской работе, углублять и расширять соответствующие математические знания, навыки и умения обучаемых, развивать математическую интуицию и логическое мышление, повышать уровень математической культуры. Внеаудиторная работа рассматривается как составная часть эффективного учебного процесса.

Из организационных форм обучения, представляющих внеаудиторные формы обучения, особо выделяется студенческий научно-исследовательский семинар, работающий по типу академических научных семинаров. В рамках такого семинара удается организовать изучение некоторых дополнительных вопросов дифференциального и интегрального исчисления, важных для профессиональной подготовки будущих учителей математики, осуществлять исследование открытых вопросов и проблем математического анализа. Участвующие в работе семинара студенты учатся находить нужную научную информацию, вырабатывают навыки отслеживания новых научных сведений по интересующей тематике, приобретают опыт ведения исследования и обсуждения научных результатов.

В этом же разделе при характеризации средств обучения дифференциальному и интегральному исчислению функций студентов-математиков педвуза подчеркивается, что в работе со студентами придается большое значение воспитанию в обучаемых потребности самостоятельно изучать учебники по математическому анализу, читать научные, научно-методические и научно-популярные статьи из периодических журналов и сборников (в том числе зарубежных изданий), обращаться к соответствующей литературе учебного и научного характера информационно-электронного ресурса.

Из средств обучения студентов дифференциальному и интегральному исчислению функций особо выделяются математические задачи, имеющие образовательное, практическое, методическое, воспитательное значения. В разделе осмысливается роль так называемых ключевых и теоретических задач. При конструировании систем задач, используемых в обучении студентов, исходим из того, что каждая такая система должна быть нацелена на формирование знаний, умений и навыков, позволяющих успешно изучать математический анализ; на формирование профессионально значимых знаний и умений; на приобретение навыков самостоятельной работы; на приобщение студентов к творческой и исследовательской деятельности.

В разделе обсуждается также роль компьютера как информационно-технического средства обучения и средства управления учебной деятельностью обучаемых.

Раздел 1.3. «Общие цели математического образования и предмет математического анализа как составляющие внешней среды методической системы обучения» содержит три подраздела. В 1.3.1. «Общие цели математического образования» подчеркнуто, что сегодня в условиях модернизации системы образования на первый план выступает личност-но-ориентированное обучение, поскольку само образование характеризуется усилением внимания к обучаемому, к его саморазвитию, к общечеловече-20

ским ценностям, к воспитанию в обучаемых умения находить свое место в жизни. Максимально возможное раскрытие творческих способностей человека и их реализация есть благо одновременно и для общества, и для самого человека, поэтому главной целью системы образования следует считать воспитание личности, способной и готовой к саморазвитию. Главная ценность всей системы образования состоит в ее способности открыть, сформировать и упрочить индивидуальные ценности образования у обучаемых (В. П. Зин-ченко).

Наблюдающийся информационный бум четко ставит проблему: как научить лучше за меньшее время? Решение этой проблемы видится в следующем: необходимо менять традиционные методы обучения, резко снижать долю репродуктивных подходов, учить критически относиться к изучаемому материалу, воспитывать желание и необходимость анализировать информацию, приобщать к научному исследованию. В отношении обучения любой категории учащихся актуален принцип: важно «учить учиться».

Автор концентрирует внимание на общих целях вузовского математического образования. Одной из таких целей является воспитание и развитие личности средствами математики. Систематическое изучение математики должно преследовать цель формирования у будущих специалистов научного мировоззрения, которое предполагает знакомство с природой научного знания, с принципами построения научных теорий, в том числе естественнонаучных и математических теорий. Это осуществляется посредством осознания взаимосвязи реального и идеального, происхождения математических абстракций из практики, характера отражения математикой окружающего нас мира, роли математического моделирования в научном познании и в практике.

К общим целям математического образования относим также обеспечение устойчивого интеллектуального развития обучаемых, включающее формирование и развитие определенных качеств мышления, необходимых в жизни. Прежде всего, это абстрактное мышление и дедуктивное мышление, столь характерные для математиков-специалистов, а также эвристическое мышление и творческое мышление. Кроме того, будущему специалисту необходимо обладать логическим и алгоритмическим мышлением, навыками исследовательской деятельности. Важными целями математического образования являются и формирование математического стиля мышления, математической направленности ума, «свернутого» мышления, присущего творческим людям, развитие гибкости мышления, сообразительности.

Многие из приведенных общих целей математического образования имеют перспективную направленность, носят самый общий характер, в некотором смысле являются идеализированными, стратегическими (термин В. А. Тестова).

В подразделе 1.3.2. «Предмет математического анализа» обсуждается объект и предмет современной математики, метод математического моделирования и предмет математического анализа как области математики. Актуальность рассмотрения объекта сегодняшней математики объясняется

тем обстоятельством, что математика в предыдущее и настоящее столетия сильно изменилась, она шагнула в своем развитии далеко вперед. Многие ее разделы стали еще более абстрактными, появились и совершенно новые, расширился круг приложений этой науки.

В трактовке предмета современной математики автор придерживается позиций Л. Д. Кудрявцева: математика изучает математические структуры. Рассмотрены различные характеризации понятия «математическая структура», при этом подчеркивается, что математическая структура может быть непосредственной математической моделью какого-либо реального явления. Если это не так, то она в той или иной степени может служить математическим аппаратом для изучения моделей реальных явлений. Приведены различные классификации математических моделей, обсуждается суть метода математического моделирования как метода изучения явлений посредством математических моделей.

В рамках данного подраздела анализируются известные в литературе трактовки предмета математического анализа. Следуя С. М. Никольскому, предметом математического анализа называем изучение функций и их обобщений методом пределов.

В подразделе 1.3.3. «Влияние предмета математического анализа на содержание обучения студентов-математиков педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций» подчеркивается важность изучения тех или иных структур математического анализа, которые непосредственно моделируют реальные процессы и явления окружающего нас мира. Отмечается, что иногда одни и те же структуры способны моделировать совершенно разные реальные явления. Например, производная функции может моделировать скорость, угловой коэффициент касательной к плоской кривой в заданной точке, линейную плотность в точке неоднородного стержня, силу тока в данный момент времени и т. д.

В исследовании показано, что на содержание математической подготовки студентов по дифференциальному и интегральному исчислению функций непрерывное воздействие должны оказывать динамичное расширение предмета математического анализа и тенденции развития ряда его направлений (в сочетании с определенным консерватизмом, связанным с продолжением российских традиций обучения анализу студентов в высшей школе). Обоснована целесообразность более обстоятельного знакомства студентов с неравенствами, которые играют большую роль в вопросах приложений дифференциального и интегрального исчисления, со свойствами выпуклых функций, также имеющих значительные применения. При изучении основ анализа студентам полезно иметь дело не только с классическими утверждениями, но и развитием фактов.

В разделе 1.4. «Другие составляющие внешней среды методической системы обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций» рассматриваются такие феномены математического образования, как его индивидуализация, дифференциация, гуманизация и гуманитаризация. Кроме перечисленных составляющих внешней среды 22

конструируемой методической системы также осмысляются структура личности и закономерности ее развития, отдельные важные исследования последних лет, проведенные различными авторами в рамках дифференциального и интегрального исчисления функций. Таким образом, в данном разделе продолжается анализ методической системы на методологическом уровне.

Опираясь на исследования проблемы личности известными учеными (В. С. Леднев, Г. И. Саранцев и др.), в ее структуре выделяем мотивацион-ный, операционально-действенный, эмоционально-волевой, нравственный компоненты. Показано, что установление соответствующих связей между компонентами структуры личности и конкретными видами математической деятельности при обучении студентов дифференциальному и интегральному исчислению может оказывать целенаправленное влияние на личность средствами математического анализа, владение такими связями позволяет осуществлять развитие личности студента-математика педвуза. Так, при освоении доказательств основных теорем дифференциального и интегрального исчисления у студента развивается логическая составляющая мышления, а при решении задач и поиске обобщений теорем — эвристическая составляющая. Реализация строгих доказательств утверждений, безусловно, отражается и на формировании морально-этических качеств личности. Лаконичные математические выкладки, неожиданные способы решения задач позволяют развивать эстетические чувства.

Говоря об индивидуальном подходе в обучении студентов, автор акцентирует внимание на гибком и умелом использовании преподавателем различных методов, форм и средств педагогического влияния на обучаемых, педагогическом сотрудничестве и взаимодействии с ними с целью достижения высоких результатов образовательной деятельности.

В данном разделе индивидуализация обучения дифференциальному и интегральному исчислению функций студентов-математиков в педвузе характеризуется следующими положениями: 1) обучаемые студенты должны иметь максимально возможную самостоятельность в выборе путей и средств практической реализации основных теоретических положений изучаемого раздела анализа; 2) студентам необходимо предоставить условия и возможности для специализации по отдельным направлениям дифференциального и интегрального исчисления; 3) в процессе обучения важно реализовать личностные возможности каждого студента— будущего учителя математики: методические, организаторские, научные; 4) обучаемым важно иметь возможность выбора учебников и учебных пособий, научно-методической литературы, а также форм самоконтроля.

Индивидуализация обучения способствует самостоятельному приобретению знаний, формированию умений и навыков, обеспечивает интенсификацию учебного процесса, глубину в усвоении студентами знаний. Она стимулирует опережающее обучение на различных этапах учения, формирует надежный исследовательский уровень обучения.

В работе дана обстоятельная характеристика феномена дифференциации обучения математике, проанализировано его хронологическое развитие.

В отношении обучения студентов-математиков педвуза выделяются два типа дифференциации: внутренняя и внешняя. Внутренняя дифференциация учитывает индивидуальные особенности студентов в условиях работы преподавателя со всем курсом (потоком) или учебной группой. Внешняя же дифференциация характеризуется учетом индивидуальных особенностей обучаемых студентов в условиях специальной группы (в случае нашей методической системы обучения это, например, группа участников студенческого научно-исследовательского семинара, комплектуемая студентами разных курсов).

В характеризуемом разделе также производится осмысление феноменов гуманизации и гуманитаризации математического образования.

Гуманизация- это феномен, направленный на создание максимально благоприятных условий для развития личности, на организацию условий для раскрытия способностей обучаемых, совершенствования их нравственной и творческой сторон, преодоления «обезличенности» образования. Гуманизация образования обусловливает его гуманитаризацию. В разделе отмечается, что в обширной литературе, посвященной исследованию феномена гуманитаризации образования, в это понятие вкладывался разный смысл. Автор придерживается трактовки Г. И. Саранцева: «Подлинной сутью гуманитаризации математического образования является отражение в нем деятельностной концепции знания»6. Деятельностная сторона содержания обучения будущих педагогов дифференциальному и интегральному исчислению в работе отражается, в первую очередь, через реализацию деятелъностных концепций работы с принципиальными теоремами и работы с определениями основных понятий.

В этом же разделе в качестве составляющей внешней среды конструируемой методической системы рассматриваются некоторые важные новые результаты исследований и открытия в области вещественного анализа функций, восходящие, в основном, к 90-м гг. прошлого столетия, а также началу настоящего. Упоминаемые результаты являются важными с точки зрения их использования в вопросе обучения студентов педвуза основам математического анализа, а также привития обучаемым исследовательских навыков ведения научной работы. Новые факты и исследования касаются: различных подходов к построению курса дифференциального исчисления функций одной переменной и нескольких переменных (в частности, подхода, использующего понятие функции, дифференцируемой по Каратеодори), элементов негладкого анализа, теории неравенств и выпуклых функций, обобщений и развитей классических теорем анализа о среднем значении (Ролля, Лагранжа, Коши, формулы Тейлора, правил Лопиталя - Бернулли), сведений об интегралах, некоторых вопросов аппроксимации функций.

В Главе // «Теоретические основы обучения студентов математического факультета педвуза дифференциальному и интегральному исчислению в контексте фундаментализации образования» изучается отражение идей фундаментализации образования в компонентах конструируемой

6 Саранцев Г. И. Гуманитаризация математического образования и его состояние сегодня // Математика в школе. 2006. № 4. С. 57-62. 24

методической системы обучения будущих учителей математики основам математического анализа В частности, показывается влияние феномена фун-даментализации математического образования на постановку целей обучения, отбор содержания обучения, выбор средств обучения. В данной главе анализ методической системы производится на теоретическом уровне.

В разделе 2.1 «Цели обучения студентов-математиков дифференциальному и интегральному исчислению функций» проводится анализ целей обучения студентов указанной дисциплине, при этом выделяются следующие уровни: 1) уровень теоретического представления математического образования; 2) уровень учебного предмета математического анализа; 3) уровень учебных материалов по дифференциальному и интегральному исчислению функций; 4) уровень реального учебного процесса. В настоящем разделе на соответствующих уровнях охарактеризованы общеобразовательные, развивающие, воспитательные, практические цели обучения будущих учителей дифференциальному и интегральному исчислению.

Одной из важнейших развивающих целей является приобщение обучаемых к творческой деятельности средствами математического анализа. На пути ее достижения принципиальным является вовлечение студентов в научно-исследовательскую работу.

Автор подробно останавливается также на важности постановки цели, восходящей к формированию у студентов эвристического мышления. В исследовании показано, что формирование творческого, эвристического мышления должно стать одним из самых важных моментов в совершенствовании методов обучения студентов. В курсе дифференциального и интегрального исчисления необходимо специально рассматривать вопросы, прививающие навыки самостоятельного поиска новых закономерностей и связей и знакомящие с достаточно общими, едиными приемами самостоятельного целенаправленного поиска решения задач и доказательства теорем.

Раздел 2.2. «Концепция содержания обучения студентов-математиков педвуза дифференциальному и интегральному исчислению» включает 4 подраздела, его главная цель - охарактеризовать содержание математического образования будущих учителей, касающегося основ анализа.

В подразделе 2.2.1. «О системе принципов отбора содержания обучения» анализируется концепция обучения предмету, представленная В. В. Краевским и трактуемая содержание как «педагогически адаптированный социальный опыт человечества». Взяв за основу положения этой концепции, автор формулирует свою- концепцию содержания обучения будущих учителей дифференциальному и интегральному исчислению, в которой отбору содержания обучения придается статус одной из стратегий обучения.

Отбор содержания обучения будущих учителей дифференциальному и интегральному исчислению осуществляется на основе системы принципов, объединенных в блоки: блок общих, блок ключевых и блок дополняющих принципов. Приводится характеризация каждого из этих блоков, а также механизм, или процесс отбора содержания обучения студентов основам анализа в соответствии с выделенными принципами, при этом весь спектр знаний

условно подразделяется на компоненты - целевой и опосредованный. В подразделе выделены условные блоки целевых знаний, а в приложении Б диссертации приведено детализированное содержание обучения студентов дифференциальному и интегральному исчислению функций, включающее в себя не только целевые знания, но и опосредованные.

Подраздел 2.2.2. «Обоснование содержания обучения студентов-математиков дифференциальному и интегральному исчислению функций» содержит комментарии мотивов включения в совокупность предметных знаний тех или иных вопросов основ анализа для усвоения будущими учителями математики с опорой на выделенные принципы отбора содержания обучения.

В подразделе 2.2.3. «Способы деятельности как составляющая содержания обучения студентов-математиков дифференциальному и интегральному исчислению функций» раскрывается важность реализации деятельностного подхода в обучении будущих учителей (Г. И. Саранцев, О. Б. Епишева), интенсифицирующего учебный процесс. Акцентируется внимание на некоторых особенностях практической реализации деятельностного подхода в обучении дифференциальному и интегральному исчислению функций студентов-математиков в педагогическом вузе. Подчеркивается, что при освоении способов деятельности важно выявлять и разъяснять студентам различные схемы используемых рассуждений. Одна из таких схем восходит к усвоению определений основных понятий, другая схема связана с усвоением принципиальных теорем рассматриваемого курса (в работе подробно осмысляются различные этапы работы с теоремами и определениями анализа). Показано, что систематическое использование таких схем при обучении студентов полностью отвечает идеям гуманизации и гуманитаризации вузовского математического образования, согласуется с концепцией дифференциации и индивидуализации обучения, реально отражает направления фундаментализации образования.

В подразделе 2.2.4. «Эвристическая составляющая содержания обучения дифференциальному и интегральному исчислению функций» концентрируется внимание на эвристической подготовке будущих учителей математики. В исследовании обсуждаются эвристики, которые могут быть полезны и которые следует иметь в виду студентам-математикам педвуза при изучении дифференциального и интегрального исчисления функций, а также в их будущей профессиональной деятельности.

Раздел 2.3. «Современный учебник математического анализа в условиях фундаментализации образования» посвящен обсуждению проблемы построения учебников математики нового поколения, обеспечивающих активизацию когнитивных процессов, упорядочивающих самостоятельную работу студентов. Автором (с опорой на исследования по теории учебника И. Я. Лернера, Н. Ф. Талызиной, О. П. Околелова, Л. Тюриной) осмыслены основные характеристики современных учебников для студентов-математиков педвуза по математическому анализу, дифференциальному и интегральному исчислению функций, отвечающих духу новых образовательных идей. 26

В данном разделе показано, что для обеспечения качественного усвоения студентами системы научных знаний по дифференциальному и интегральному исчислению функций необходимо, чтобы современный учебник по математическому анализу отвечал следующим требованиям: ему должна быть присуща четкая логика изложения материала; он должен акцентировать внимание на научных методах математического анализа как фундаментальных математических методах исследования; содержащийся в нем учебный материал важно организовывать и выстраивать по разветвленной схеме, разрабатываемой с учетом трех уровней (базового, основного, расширенного модулей) подготовки студентов в соответствии с их склонностями, интересами и нацеленностью на изучение дисциплины; учебник математического анализа для будущих учителей математики должен обязательно отражать связь вузовского курса анализа со школьным курсом начал математического анализа; он должен характеризоваться представленностью различных методов, форм и средств, побуждающих обучаемых к активной мотивированной умственной деятельности; в учебник необходимо включать описания специальных эвристик и эвристических приемов, а также способов деятельности по освоению содержания обучения; учебник должен отражать современное состояние и мировоззренческие принципы области математики, именуемой «Математический анализ».

Расширенный модуль знаний дифференциального и интегрального исчисления представлен: дополнительными сведения по курсу, к которым студент может обращаться с целью более глубокого изучения отдельных тем (например, могут быть изложены разные подходы к изучению каких-то вопросов, более общие теоремы и т. д.); специально разработанными разделами (или темами в рамках раздела) курса, материалы которых призваны удовлетворить творческие потребности и профессиональные запросы обучаемых (например, раздел, посвященный неравенствам, или тема о специальных свойствах выпуклых функций, используемых в вопросах решения уравнений); вопросами, нацеливающими студента на приобщение к исследовательской деятельности (могут быть приведены свежие результаты и результаты, полученные не так давно, которые или примыкают к программному материалу, или обобщают его); открытыми для исследования вопросами и задачами, а также гипотезами; соответствующими историческими сведениями, касающимися тем дифференциального и интегрального исчисления функций.

В Главе III «Реализация теоретических основ подготовки будущих учителей математики по дифференциальному и интегральному исчислению в условиях фундаментализации образования» конструируемая методическая система обучения анализируется на третьем уровне- уровне учебных материалов. В ней рассмотрены пути реализации деятельностных концепций работы с определениями принципиальных понятий и важными теоремами основ математического анализа при обучении студентов, обоснован так называемый подход Каратеодори изложения дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных, осмыслены образовательные возможности тематики, связанной с выпуклыми и логарифмически выпуклыми функциями.

В разделе 3.1. «Реализация деятельностной концепции работы с определением при обучении студентов основам математического анализа» на примере понятия производной иллюстрируются действия по работе с определениями основных понятий курса. Автором анализируются различные определения понятий производной функции в точке: классическое определение по Коши, определения через условие дифференцируемое™ функции и через подходящую линейную функцию, определения по Каратеодори, двусторонней производной, П-производной, производных Фреше и Гато, /-производной, симметрической производной. Кроме того, в этом же разделе осмысляются определения производной в негладком анализе- определения понятий производной по направлению и верхней и нижней производных Дини. Автором рассмотрены методические требования к усвоению определений перечисленных понятий производной функции, произведено сравнение определений в контексте логических характеристик понятий в математике.

В разделе 3.2. «Реализация деятельностной концепции работы с теоремой при обучении студентов основам математического анализа» на

примерах классических теорем обстоятельно рассматриваются такие этапы работы с утверждениями, как этап обобщения, этап развития, этап поиска различных доказательств, этап применения утверждения.

В подразделе 3.2.1. «Этап обобщения работы с теоремой» анализируются принципиальные возможные направления обобщения теоремы. Реализация этапа обобщения работы с теоремой автором иллюстрируется на примере классической теоремы Ролля о среднем. В частности, обсуждаются следующие обобщения этой теоремы: векторный вариант, распространение на линейные комбинации соответствующих функций, теорема Лагранжа, теорема В. Finta в терминах лево- и правосторонних производных, в терминах одной односторонней производной, многомерный вариант теоремы, два комплексных варианта. Наряду с представленным материалом в приложении Г диссертации рассматриваются действия по обобщению классических теорем Лагранжа и Коши. Автором показано, что работа по обобщению теоремы способствует формированию у студента исследовательских навыков, развивает математическую интуицию, эвристическое и логическое мышление.

В подразделе 3.2.2. «Работа с теоремой. Этап развития» на основе эвристических приемов, восходящих к подходам доказательства теорем Лагранжа и Коши, устанавливаются некоторые новые замечательные утверждения о средней точке. В частности, доказываются теорема типа теоремы Лагранжа о нормали к графику функции, ее обобщение, теорема М. Bencze и ее обобщение, формулируется теорема Flett. Автор обсуждает новые теоремы с позиций возможностей приобщения студентов к исследовательской деятельности, базируясь на учебном материале.

В подразделе 3.2.3. «Работа с теоремой. Этап применения» иллюстрация соответствующих действий при работе с теоремой производится на примере установленной автором обобщенной теоремы Коши, формулируемой в терминах односторонних производных. Посредством этой теоремы 28

получены обобщения формы Шлеммильха - Роша остаточного члена в формуле Тейлора, в более слабых предположениях сформулированы классические теоремы Лопиталя - Бернулли раскрытия неопределенностей.

Обсуждаемые в 3.2.1. - 3.2.3. теоремы указывают на тот факт, что возможно построение аналогов классической теории дифференциального исчисления функций одной переменной в терминах односторонних производных, а также в терминах только одной из односторонних производных.

В подразделе 3.2.4. «Работа с теоремой. Этап поиска различных доказательств» внимание сосредоточено на важности нахождения по возможности нескольких доказательств конкретного утверждения. Такие действия при работе с теоремой позволяют более полно отработать различные методы математического анализа. Соответствующую иллюстрацию отмеченного автор проводит на обосновании рассмотренных в предыдущем подразделе обобщенных теорем Лопиталя - Бернулли.

В разделе 3.3. «Подход Каратеодори изложения основ дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных» обосновывается возможность изучения со студентами соответствующего материала классического анализа нетрадиционным способом. Названный подход базируется не только на принятом использовании понятия дифференцируемости (производной) функции в точке по Коши, но и на систематическом применении понятия дифференцируемости функции по Каратеодори. Такой подход при установлении основных теорем дифференциального исчисления, именуемых обычно правилами дифференцирования функций, а также ряда других утверждений классического анализа использует элементарно-алгебраические рассуждения, а не операцию предельного перехода. В этом отношении обсуждаемый подход к изложению вопросов «гладкого» анализа не является общепринятым, однако автору он представляется более экономичным и педагогически оправданным. Он применим и при изучении начал анализа в школе.

В данном разделе принципиальное место занимает критерий дифференцируемости функции в точке, формулируемый в терминах производной Каратеодори. Автором он назван критерием Коши — Каратеодори.

Метод Каратеодори исследования функций распространяется на функции нескольких переменных (ф. н. п.). Формулируется определение понятия дифференцируемой в точке по Каратеодори ф. н. п., доказывается критерий Коши - Каратеодори дифференцируемости ф. н. п., вводится понятие частной производной Каратеодори ф. н. п. Кроме того, в этом же разделе методом Каратеодори доказываются теоремы о дифференцировании сложных функций многих переменных, теорема о достаточных условиях существования производной по направлению, обосновывается уравнение касательной плоскости к гладкой поверхности. Показываются преимущества нового метода перед традиционным, общепринятым в учебной литературе. Этот метод (как и для функций одной переменной) основывается на элементарно-алгебраических рассуждениях, сводя к минимуму использование операции предельного перехода.

Представленный материал рассматривается с позиций применения принципов фундаментальности, уровневой дифференциации, вариативности, контекстности и элективности отбора содержания математического образования будущих учителей математики.

В разделе 3.4. «Особенности изучения выпуклых функций с будущими учителями математики» акцентируется внимание на том, что чаще всего студенты педвузов выпуклые функции изучают лишь тогда, когда они знакомятся с темой «Исследование функций с помощью производных» в рамках дифференциального исчисления функций одной переменной. Они обретают навык исследования функций на выпуклость и точки перегиба в терминах второй производной. Однако выпуклые функции для будущих учителей математики имеют богатые образовательные возможности и в иных контекстах. Например, с помощью выпуклых функций доказываются многие классические неравенства, их уточнения, на понятии и свойствах выпуклых функций основываются решения многих «трудных» уравнений и их систем, выпуклость позволяет решать и большой класс оптимизационных задач. Это важно учитывать в общей математической подготовке студентов педвуза и их подготовке к будущей профессиональной деятельности.

В подразделе 3.4.1. «Выпуклые функции и их применения» рассмотрено так называемое характеристическое свойство выпуклых функций с его геометрической трактовкой, осмыслены возможности применения этого свойства в вопросе решения уравнений специального вида, конструируемых с использованием выпуклых и вогнутых функций. Представленный материал полезен учителю математики в организации внеклассной работы по предмету, при разработке факультативных и элективных курсов, при подготовке учащихся к олимпиадам и конкурсным испытаниям.

В подразделе 3.4.2. «Логарифмически выпуклые функции» рассматриваются функции, тесно связанные с выпуклыми и определяемые через них. Логарифмически выпуклые функции подобно выпуклым имеют свою геометрическую интерпретацию и ряд интересных свойств, которые могут находить многие полезные применения. Автором обосновывается важность ознакомления с такими функциями студентов-математиков педвуза при отборе содержания обучения, поскольку они вооружают будущего учителя математики новыми эффективными методами решения задач. В приложении Д диссертации рассматриваются применения логарифмически выпуклых функций в вопросах доказательства неравенств, решения уравнений и нахождения наибольших и наименьших значений переменных величин.

В данном подразделе формулируются критерии, а также достаточные условия логарифмической выпуклости функции; здесь же автором изучаются важнейшие свойства рассматриваемого класса функций, в частности так называемое характеристическое свойство и аналог неравенства Иенсена, обозначаются перспективы для дальнейших исследований.

В Главе IV «Неравенства в математической подготовке будущих учителей математики. Образовательный потенциал неравенств при изучении математического анализа» обосновывается объективная значи-30

мость и важность ознакомления студентов-математиков при их обучении в вузе с теорией неравенств и их применениями; осмысляются методы математического анализа в вопросах доказательства, обобщения и развития неравенств Коши и Ки Фана. В этой главе автор анонсирует многие результаты собственных и студенческих исследований по неравенствам, полученных в рамках регулярного научно-исследовательского семинара по математическому анализу для студентов. В этой же (заключительной) главе приведено описание экспериментальной части исследования.

В разделе 4.1. «Неравенства в образовании студентов-математиков» с позиций систематизации и углубления знаний дифференциального и интегрального исчисления осмысляются направления применения неравенств в математической подготовке студентов педвуза.

В разделе производится систематический обзор отечественных литературных источников по неравенствам; в частности, автором представляется свое учебное пособие «Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана», предназначенное для студентов математических факультетов педагогических вузов и университетов. Этому пособию присвоен гриф УМО «Рекомендовано Учебно-методическим объединением по специальностям педагогического образования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 032100 — Математика». Материал пособия может использоваться учителями математики при организации и проведении внеклассной работы по предмету в старших классах, а также руководителями и участниками студенческих математических кружков.

В настоящем разделе вскрывается образовательное значение ряда классических неравенств в математической подготовке будущих учителей.

В разделе 4.2. «Методы дифференциального и интегрального исчисления в вопросе доказательства неравенства Коши для арифмети-ко-геометрических средних» рассматривается спектр вопросов и областей, где может применяться неравенство Коши, а также ряд его доказательств, основанных на методах математического анализа. Названные методы восходят к применению производной при исследовании функций одной переменной на монотонность и экстремумы, к использованию необходимых условий экстремума функции нескольких переменных в терминах частных производных, к теории условного экстремума, к использованию интеграла Римана. На доказательства неравенства Коши средствами дифференциального и интегрального исчисления можно смотреть как на соответствующий пример реализации этапа работы с теоремой, именуемого поиском различных доказательств утверждения. Автором акцентируется внимание на том, что такие доказательства способны знакомить изучающего основы анализа с целым каскадом эвристических приемов, которые могут применяться при решении разнообразных задач.

Раздел 4.3. «Методы дифференциального и интегрального исчисления в вопросе доказательства неравенства Ки Фана» развивается по схеме предыдущего раздела- целью ставится рассмотрение таких доказа-

тельств, которые опираются на методы дифференциального и интегрального исчисления. В нем описано значение неравенства Ки Фана для теории неравенств, вскрыт его образовательный и исследовательский потенциал, обсуждены доказательства, опирающиеся на производную функции, интеграл, средства дифференциального исчисления функций нескольких переменных.

Данный раздел продолжается разделом 4.4. «Методы дифференциального и интегрального исчисления в обобщениях неравенства Ки Фана», в котором неравенство Ки Фана осмысляется в контексте этапов обобщения и развития работы с теоремой. Вводится так называемый аддитивный аналог неравенства Ки Фана, установленный X. Альцером, и доказывается его обобщение, а на основе последнего - аналог неравенства Ки Фана для средних степенных величин соответствующих порядков. Полученные неравенства ставят вопросы, нацеливающие на дальнейшие исследования неравенства Ки Фана, что создает перспективу организации серьезной научной работы со студентами по тематике, восходящей к неравенствам.

В разделе 4.5. «Спецкурс "Средние величины степенного типа" в подготовке по математическому анализу будущих учителей математики» дана характеристика разработанного автором специального курса, направленного на углубление и упорядочение знаний студентов, связанных с дифференциальным и интегральным исчислением функций, и нацеливающего их на приобщение к научной работе. Данный спецкурс изучает среднее степенное и взвешенное среднее степенное положительных чисел, связанные с ними классические неравенства, другие средние величины степенного типа, а также применения средних величин в задачах на доказательство алгебраических и тригонометрических неравенств, на установление геометрических соотношений, на нахождение геометрических экстремумов и наибольших и наименьших значений переменных величин, на решение уравнений и систем уравнений. Каждый раздел спецкурса содержит открытые вопросы и задачи, которые можно исследовать с целью дальнейшего развития теории средних величин.

В разделе 4.6. «Студенческий научно-исследовательский семинар по математическому анализу» автором описывается свой опыт педагогической деятельности по организации студенческой научно-исследовательской работы, показывается, что одним из самых эффективных средств привлечения студентов-математиков к такой работе является ведение преподавателем регулярного исследовательского семинара студентов. В диссертации отмечается, что в ВятГТУ научно-исследовательский семинар для студентов по математическому анализу, организуемый по типу регулярных академических научных семинаров, функционирует с 1994-1995 учебного года. Весьма обстоятельно описывается тематика семинара, преобладавшая в тот или иной временной период, а также технология и особенности его организации. С целью иллюстрации хронологии работы представляемого научного семинара для студентов-математиков приводится подробный перечень докладов участников в 2006-2007 учебном году. Особое внимание в характеристике семинара уделяется описанию его важных традиций, стимулирующих интерес 32

участников к исследовательской деятельности при изучении математического анализа.

Многолетний опыт руководства студенческим научно-исследовательским семинаром убеждает автора во мнении, что такой семинар способствует систематическим самостоятельным размышлениям студентов по поиску ответов на поставленные вопросы научного характера, нацеливает на проведение доказательных рассуждений, формирует определенную математическую культуру, что, безусловно, является важнейшим условием продуктивного усвоения соответствующего учебного материала.

В этом же разделе приводятся научные публикации студентов, являвшихся участниками семинара в разные годы. Упоминаемые публикации концентрированно помещены в следующих изданиях: 1. Некоторые вопросы теории среднего степенного: Сб. науч. статей. — Киров: Изд-во ВГПУ, 1999. - 84 е.; 2. Некоторые вопросы математического анализа и методики его преподавания: Сб. науч. статей.- Киров: Изд-во ВГПУ, 2001.- 98с.; 3. Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. Информатика. Математика. Язык. - 2005. - № 3. - 199 е.; 4. Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. Информатика. Математика. Язык. - 2007,- №4,- 242 с.; 5. Информатика. Математика. Язык: Науч. журнал. Вып. 5. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. - 221 с.

В разделе 4.7. «Педагогический эксперимент и его результаты» описана экспериментальная часть исследования. Педагогический эксперимент проводился в Вятском государственном гуманитарном университете (ранее - Кировском госпединституте, Вятском госпедуниверситете), а также частично в Кировском институте повышения квалификации и переподготовки работников образования (ранее - Кировском институте усовершенствования учителей) в период с 1986 по 2009 г. Экспериментальная работа ставилась с участием нескольких сотен студентов-математиков и учителей математики общеобразовательных учреждений Кировской области. В проведении эксперимента можно выделить ряд этапов. Первый этап (1986-1992) связан с проведением констатирующего эксперимента. Второй этап (19932000) характеризуется реализацией поискового эксперимента. Наконец, третий этап (2001-2009) - обучающий эксперимент.

На первом этапе эксперимента решались задачи изучения индивидуальных особенностей студентов математического факультета в контексте их отношения к учебной дисциплине «Математический анализ», отношения к профессиональной деятельности учителя математики, настроя на усвоение дисциплин математического цикла; изучения возможностей постигать студентами математику на творческом, активном уровне; накопления собственного опыта работы со студентами и учителями, его анализ.

В ходе первого этапа эксперимента выявились существенные недостатки в подготовке студентов по математическому анализу: многие студенты при изучении данной дисциплины без желания обращаются к учебной литературе по анализу, а некоторые даже ограничиваются только записями лекций и материалами практических занятий. Кроме того, выяснилось, что при

изучении математики студенты педвуза почти не используют материалы периодических научно-методических и научно-популярных изданий, например, журналов «Математика в школе», «Квант», «Математическое просвещение» и не используют совсем материалы научных конференций, статьи научных сборников и академических журналов.

Полученные на этом этапе эксперимента результаты автору позволили сделать вывод о том, что необходимо перейти к разработке собственной концепции курса математического анализа - концепции, которая бы: а) в существенной степени основывалась на деятельностной составляющей в работе с основными понятиями и принципиальными теоремами курса; б) учитывала новые, современные достижения и открытия в области дифференциального и интегрального исчисления; в) выводила успешно усваивающих программный материал студентов на уровень, позволяющий им вести реальную исследовательскую работу в некоторых направлениях математического анализа.

Проведенный констатирующий эксперимент также утвердил автора во мнении о необходимости формирования такой методической системы обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению, которая бы ломала традиционную практику информационно-экстенсивного изучения курса математического анализа студентами в педвузе и обеспечивала бы возможность перевода этого курса на интенсивное, фундаментальное его освоение, предполагающее творческое усвоение студентами предметных знаний, а также приобщение их к активному научному поиску;

На втором этапе эксперимента ставились следующие задачи: сформировать систему принципов отбора содержания обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению, которая учитывала бы современные тенденции совершенствования математического образования; посредством такой системы сконструировать содержание обучения студентов-математиков педвуза основам анализа, которое отразило бы в себе соответствующую его деятельностную составляющую и эвристики; разработать и опубликовать программу курса математического анализа для студентов-математиков педвуза, а также составить соответствующие программы спецкурсов «Средние величины степенного типа» и «Выпуклые функции и их применения», расширяющих и дополняющих подготовку студентов по математическому анализу; проверить качество материалов, предлагаемых студентам для изучения, установить степень усваиваемости этих материалов; проверить эффективность методики обучения студентов конструируемому содержанию; организовать работу регулярного студенческого научно-исследовательского семинара по математическому анализу; при подготовке докладов к семинару особое внимание уделить новым исследованиям, связанным с вопросами классического анализа; собственные результаты исследований студентов по дифференциальному и интегральному исчислению функций отражать в курсовых и дипломных работах, содержании лекций по анализу, в спецкурсах.

Данный этап эксперимента указал на необходимость уделять особое внимание при обучении студентов так называемым ключевым и теоретиче-34

ским задачам. Кроме того, он показал, что студента-математика важно специально обучать работе с определениями основных понятий курса анализа, затрагивая их историко-хронологический контекст, и с принципиальными теоремами. При обучении будущего учителя математики математическому анализу значимой является и эвристическая подготовка: студентов необходимо знакомить не только с важными для математика фактами, но и заботиться о развитии их математической интуиции, прививать им навыки самостоятельного поиска решения трудной задачи, доказательства новой теоремы, открытия неизвестного математического факта или закономерности.

В период с 1993 по 2000 гг. значительное внимание уделялось вопросам связи вузовского курса математического анализа со школьными началами анализа. Основные положения начал математического анализа, изучаемые учащимися общеобразовательных учебных заведений в 10-11-х классах, осмыслялись со студентами с точки зрения классического анализа. Одним из проявлений такой деятельности явилось создание коллективной работы [2] (позже цитируемое учебное пособие было издано дважды в издательстве «Московский Лицей» в 2001 и 2002 гг. - [3]).

В данный период обращение к рассмотрению методов математического анализа в доказательствах неравенств позволило определиться в перспективной тематике научно-исследовательской работы студентов. Именно осмысление доказательств классических неравенств средствами анализа явилось отправным моментом для исследования вопросов, связанных: 1) с решением уравнений посредством неравенств; 2) с обобщением, уточнением и развитием известных неравенств; 3) с доказательством числовых и функциональных неравенств; 4) с рассмотрением специальных свойств выпуклых функций; 5) с изучением логарифмически выпуклых функций и т. д. В этот же период обозначился цикл исследований, восходящих к вопросам обобщения и развития некоторых утверждений классического анализа, а также иного подхода к изложению теории дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных.

И на первом, и на втором этапах экспериментальной работы автором широко использовались психолого-дидактические эксперименты, введенные в методику обучения математике Я. И. Груденовым (1987). В частности, часто культивировались эксперименты-репетиции. Они, как правило, проводились с целью проверки теоретических прогнозов по целесообразности применения новых методических подходов в подаче материала; осмысления собственных возможностей по организации студенческих научных исследований в рамках конкретной темы; отработки деталей ведения занятий со студентами по избранным темам; проверки теоретических прогнозов, относящихся к отдельным элементам учебного процесса при изучении студентами основ анализа.

В заключение характеристики второго этапа эксперимента следует подчеркнуть, что он захватил временной период, когда была провозглашена Концепция фундаментализации отечественного образования и активно развивались такие его направления (тенденции), как гуманитаризация и дифференциация. При конструировании методической системы обучения будущих

учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению феномены дифференциации и индивидуализации, гуманизации и гуманитаризации, фундаментализации и интенсификации образования автором стали рассматриваться как внешние факторы для такой системы. На данном этапе в значительной степени удалось осмыслить основные компоненты методической системы, выделить существенные связи между ними, установить определенные связи компонент с составляющими внешней среды системы.

Третий этап педагогического эксперимента отмечается расширением предмета исследования в связи с активным обсуждением педагогической общественностью, ведущими учеными, а также государственными деятелями вопросов направлений модернизации отечественного образования, его фундаментализации (выступления бывшего Президента РФ В. В. Путина, решения Ученого Совета Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук от 26.09.01, решения Всероссийской конференции «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков» в г. Дубна в сентябре 2000 г., доклады ректора МГУ В. А. Садовничего, ректора МГТУ им. Н. Э. Баумана И. Б. Федорова, выступления Ж. И. Алферова и др.). Названные обсуждения еще более утвердили в авторе мнение о том, что математическое образование будущих учителей математики и вообще студентов математических специальностей необходимо выстраивать на идеях и положениях его фундаментализации (одним из таких положений, напомним, является необходимость приобщения студентов к научному поиску, научному творчеству, научному исследованию, что наиболее действенно «учит учиться» и формирует в студенте потребность самосовершенствоваться). В этот период было сформировано устойчивое содержание обучения будущих учителей основам дифференциального и интегрального исчисления, которое включило в себя в качестве составных частей концепцию работы с основными понятиями анализа, подход к изложению основ дифференциального исчисления функций, основанный на понятии дифференцируемой функции по Каратеодори, деятельностные аспекты работы с принципиальными теоремами курса математического анализа для студентов-математиков. Кроме того, была выделена эвристическая составляющая содержания образования будущих учителей, а также соответствующая совокупность новых относящихся к анализу фактов и сведений, с которыми важно знакомить студентов и которые способны содействовать в вопросе приобщения обучаемых к научно-исследовательской работе.

С целью проведения обучающего эксперимента и ознакомления коллег и педагогической общественности с результатами исследования были выпущены учебные пособия [2]-[4] и статьи [7]-[14], [21], [22], [25] в центральной печати. С результатами исследования автор также выступал с докладами на различных конференциях по образованию и математических конференциях, которые посвящались фундаментальным исследованиям.

Обучающий эксперимент показал следующее.

1. Сконструированная методическая система обучения студентов-математиков педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций 36

в условиях фуидамеитализации образования способствует снижению доли репродуктивных подходов в организации подготовки будущих специалистов, нацеливает их на активное освоение методов математического анализа.

2. Разработанная методика обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению обеспечивает достаточно высокий уровень подготовки обучаемых по математическому анализу; при реализации такой методики многие студенты изучаемый материал осваивают творчески.

3. Оатадение представленным в работе содержанием обучения будущих учителей основам математического анализа, овладение навыками отслеживания и поиска новой научной и учебной информации по этой дисциплине, систематическое участие в работе регулярного студенческого научно-исследовательского семинара по анализу выводят студента на уровень, который позволяет ему в области математического анализа проводить научные исследования.

4. Представленная методическая система обучения студентов педвуза имеет четкую профессиональную направленность; такая система через посредство воспитания творчески работающего учителя способствует устранению имеющегося разрыва между школьным математическим образованием и вузовским, достижению «гармонии между средней и высшей школой».

Проведенный педагогический эксперимент подтвердил эффективность разработанной методической системы обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций.

В Заключении диссертации приведены основные результаты исследования, сформулированы выводы, подтверждающие гипотезу исследования и положения, выносимые на защиту.

Основные результаты исследования состоят в следующем.

¡.Проведен критический анализ существующих трактовок понятий «фундаментализация образования», «фундаментализация математического образования», сформулировано собственное толкование этих понятий. Фундаментализация высшего образования есть сложный феномен, характеризуемый сближением и интеграцией образовательного процесса по конкретному направлению подготовки специалистов с научными знаниями в соответствующей области специализации и научными достижениями тех методических наук, которые обеспечивают эту подготовку. Научные знания должны составляться не только программными вопросами изучаемой дисциплины или курса, но и новыми сведениями, фактами, открытиями в представляющих данную дисциплину или данный курс областях науки. Под §унда-ментализацией математического образования в высшей школе понимается направление его модернизации, которое предполагает обеспечение учета и использования в процессе глубокого и основательного изучения студентами математических дисциплин новых научных исследований и достижений в соответствующих областях математики, создание оптимальных условий для воспитания у студентов гибкого научного мышления, а также применение в образовательном процессе современных достижений методики обучения математике как научной области.

2. Разработана методическая система обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению в контексте фундамента-лизации образования, которая реализует теоретическую концепцию эффективной предметной подготовки будущих учителей к профессиональной деятельности, ориентированную на высокие требования к уровню усвоения содержания математического образования, на применение в обучении эвристических и исследовательских методов и активных форм, на нелинейное структурирование учебных материалов, реальное приобщение обучаемых к научным исследованиям. Фундаментализация математического образования выступает внешним фактором такой системы, оказывающим влияние на все ее компоненты: цели обучения, содержание образования, методы, формы и средства обучения математическому анализу.

3. Разработана концепция содержания обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению функций на базе так называемых общих, ключевых и дополняющих принципов его отбора. Оно включает в себя не только минимальный объем знаний по дифференциальному и интегральному исчислению, определяемый Государственным образовательным стандартом, но и сведения из этой области математики, связанные с современными научными исследованиями и открытиями, нерешенными проблемами и задачами. Это позволяет вовлечь студентов в реальную научно-исследовательскую работу с первых курсов их обучения в вузе. Помимо предметных знаний в содержание обучения будущих учителей также включаются действия, адекватные основным понятиям и утверждениям анализа, общенаучные методы познания, эвристические приемы и специальные эвристики, характерные для дифференциального и интегрального исчисления функций.

4. Разработанная в исследовании концепция обучения будущих учителей основам математического анализа в условиях фундаментализации образования опирается на следующую ведущую идею: при обучении студентов деятельность преподавателя должна сопрягаться с его собственными исследованиями в области анализа. Активная позиция педагога в отношении осмысления изучаемого со студентами материала снижает долю репродуктивных подходов в обучении, учит критически относиться к приобретаемым знаниям, воспитывает в студенте желание и необходимость анализировать информацию, приобщает его к творчеству и исследованию. Одним из педагогических требований в организации преподавателем научно-исследовательской работы студентов является руководство им регулярным студенческим исследовательским семинаром по математическому анализу.

5. Сформулированы направления научной специализации студентов-математиков в процессе изучения ими математического анализа, занимающего значительное место в их общематематической и профессиональной подготовке. К таким направлениям относятся обобщение и развитие классических утверждений о дифференцируемых по Коши или интегрируемых по Риману функциях; построение новых теорий дифференциального исчисления функций, альтернативных принятому в классическом анализе, — в терминах 38

/-производной, в терминах односторонних производных, в терминах только одной из односторонних производных и др.; изучение негладких функций; разработка ключевых и теоретических задач, отрабатывающих свойства дифференцируемых и интегрируемых функций; применение методов анализа в тематике, восходящей к теории выпуклых и логарифмически выпуклых функций, к неравенству Иенсена и его обобщениям; решение задач теории неравенств и теории средних величин, в том числе, открытых вопросов, связанных с неравенствами Коши, Бернулли, Гюйгенса, Ки Фана, Альцера и их обобщениями; рассмотрение методов классического анализа в вопросах функционального анализа; осмысление школьных начал анализа с точки зрения высшей математики.

6. Указаны конкретные направления реализации деятельностных концепций работы с определениями фундаментальных понятий и принципиальными теоремами курса дифференциального и интегрального исчисления для студентов педвуза.

7. Обоснован новый эффективный подход к изучению со студентами основных положений дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных, использующий определение дифференцируемое™ функции по Каратеодори. Этот подход является синтезом алгебраического, геометрического и аналитического методов исследования функций. Он предполагает при установлении основных теорем дифференциального исчисления, в отличие от традиционного подхода Коши, использование не операции предельного перехода, а элементарно-алгебраические рассуждения, что открывает перспективу его применения в обучении началам анализа школьников.

8. Вскрыт образовательный потенциал неравенств и выпуклых функций в вопросе обучения будущих учителей основам анализа и математике в целом. Показаны возможности неравенств и выпуклых функций в использовании их учителями при организации и проведении внеклассной работы по предмету в старших классах, руководителями и участниками студенческих математических кружков, вузовскими преподавателями при организации научно-исследовательской работы студентов.

9. Созданные в ходе исследования учебно-методические материалы могут быть использованы преподавателями педвузов и университетов при изложении курса математического анализа, а также организации спецкурсов и спецсеминаров, связанных с отдельными вопросами математаческого анализа и методики его преподавания. Материалы исследования могут быть также использованы преподавателями различных математических дисциплин в педвузах и учителями общеобразовательных школ при разработке факультативных и элективных курсов, во внеклассной работе по математике.

Результаты исследования используются в учебном процессе ВятГТУ и других вузов, в частноста, Коми государственного педагогического института, о чем свидетельствует справка № 01/268 от 16.03.2009, подписанная ректором и заведующим кафедрой математического анализа этого института. Кроме того, материалы исследования нашли применение в разработке ряда

программ и учебных пособий по математике для учителей и учащихся школ г.Кирова и Кировской области, что подтверждает справка №01-11 от 11.03.2009 о внедрении результатов диссертационного исследования, подписанная главой Департамента образования Правительства Кировской области.

Проведенное теоретическое исследование и его экспериментальная проверка позволяют заключить, что все поставленные задачи решены, выдвинутая гипотеза подтверждена, выносимые на защиту положения обоснованы.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Монография

1. Калинин С. И. Обучение студентов математическому анализу в условиях фундаментализации высшего педагогического образования: Монография. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. - 353 с.

Учебные пособия и программы

2. Калинин С. И. Задачи и упражнения по началам математического анализа: Пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики и для внекл. занятий математикой. - Киров, 1997. - 203 с. (в со-авт. с Каниным Е. С., Маянской Г. М., Ончуковой Л. В., Подгорной И. И., Фалелеевой С. А., авт. вклад 25%).

3. Калинин С. И. Задачи и упражнения по началам математического анализа: Пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики и для внекл. занятий математикой. - М.: Московский Лицей, 2001- 208 е.; (2-е изд.). - 2002. - 208 с. (в соавт. с Каниным Е. С., Маянской Г. М., Ончуковой Л. В., Подгорной И. И., Фалелеевой С. А., авт. вклад 25%).

4. Калинин С. И. Средние величины степенного типа Неравенства Коши и Ки Фана: Учеб. пособие по спецкурсу. - Киров: Изд-во ВГГУ, 2002. - 368 с. (гриф УМО).

5. Калинин С. И. Программа курса математического анализа для специальностей «Математика и информатика», «Математика и социальная педагогика». - Киров: Вятский госпедуниверситет, 1997.- 14 с. (в соавт. с Подгорной И. П., авт. вклад 70%).

6. Калинин С. И. Программа курса математического анализа для специальности 032100.00 «Математика и информатика». - Киров: Вятский госпедуниверситет, 2002. -13 с. (в соавт. с Подгорной И. И., авт. вклад 70%).

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных ВАК РФ

7. Калинин С. И. Два «родственных» уравнения // Математика в школе. - 2002. - № 6. - С. 70-71.

8. Калинин С. И. К вопросу об изучении темы «Производная» // Математика в школе. -1994. - № 4. - С. 59-62.

9. Калинин С. И. К вопросу о геометрической иллюстрации средних величин // Математика в школе. - 2001. - № 9. - С. 70-73. (в соавт. с Шиловой 3. В., авт. вклад 50%).

10. Калинин С. И. К вопросу о решении уравнений посредством неравенств // Математика в школе. - 2005. - № 5. - С. 68-72.

11. Калинин С. И. Логарифмически выпуклые функции, их свойства и применения // Математика в школе. - 2007. - № 7. - С. 41-50,76.

12. Калинин С. И. Неравенство Ки Фана // Математика в школе.-2004.-№8.-С. 69-72.

13. Калинин С. И. Об одном применении выпуклых функций при решении уравнений // Математика в школе. - 2009. - № 4. - С. 30-35.

14. Калинин С. И. Теорема Ролля в контексте этапа обобщения работы с теоремой // Математика в школе. - 2009. - № 3. - С. 53-58.

15. Калинин С. И. Эвристики в содержании обучения студентов математических специальностей дифференциальному и интегральному исчислению // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета: Науч. журнал. - 2008. - № 2(1). - С. 126-134.

Статьи

16. Калинин С. И. Использование идей «вертикальной» педагогики в организации совместных занятий студентов разных курсов // Развитие творческой деятельности студентов в процессе обучения: Сб. ст. Ч. 1.- Киров: ВГПУ, 1996.-С. 49-51.

17. Калинин С. И. К анализу трактовок феномена фундаментализации математического образования // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. Информатика. Математика. Язык. - 2007. - № 4. -С. 156-161.

18. Калинин С. И. Логарифмически выпуклые функции и классические неравенства // Современные методы физ.-матем. наук: Тр. междунар. конф. 9-14 окт. 2006 г., г. Орел. Т. 3. - Орел: Изд-во ОГУ, 2006. - С. 93-96.

19. Калинин С. И. Неравенство Ки Фана в вопросе иллюстрации методов анализа доказательства неравенств // Предметно-методическая подготовка будущего учителя математики, информатики и физики: Сб. ст. Всерос. науч. конф. - Тольятти, ТГУ, 2003. - Т. I. - С. 65-66.

20. Калинин С. И. Научно-исследовательский семинар для студентов-математиков как средство реализации развивающего потенциала математики // Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении: Сб. науч. и метод, работ, представленных на регион, науч.-практ. конф. -Арзамас: АГПИ, 2002. - С. 248.

21. Калинин С. И. Неравенство Ки Фана и его обобщения // Математическое образование. - 2003. - № 3. - С. 59-76.

22. Калинин С. И. Об изложении основ дифференциального исчисления вещественнозначных функций одной и нескольких переменных в терминах понятия дифференцируемое™ функций по Каратеодори // Математическое образование. - 2006. - № 2(37). - С. 18-31.

23. Калинин С. И. Об определениях понятия производной функции // Математический вестник педвузов и ун-тов Волго-Вятск. региона: Периодический межвуз. сб. науч.-метод. работ. Вып. 9- Киров: Изд-во ВятГГУ,

2007.-С. 104-116.

24. Калинин С. И. О возможностях использования учебного материала в приобщении к исследованиям студентов-математиков младших курсов // Математическое образование: прошлое, настоящее, будущее: Материалы I Междунар. науч.-практ. конф., поев, памяти проф. Б. М. Бредихина, 12 ноября 2006 г. - М.; Самара: Изд-во СГПУ, 2006. - С. 172-176.

25. Калинин С. И. О доказательствах неравенства Коши посредством интеграла // Математическое образование. - 1999. - № 1(8). - С. 25-28.

26. Калинин С. И. О доказательстве основных теорем дифференциального исчисления функций нескольких переменных методом Каратеодори // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. - 2006. -№ 14.-С. 170-173.

27. Калинин С. И. О методической системе обучения студентов математическому анализу в условиях фундаментализации высшего педагогического образования // Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики: Междунар. науч. конф., Тамбов, 22-25 апреля 2008 г. / Отв. ред. А. А. Артемов. - Тамбов: Изд-во ПершинаР. В., 2008. - С. 253-255.

28. Калинин С. И. О предмете математического анализа // Информатика. Математика. Язык: Науч. журнал. Вып. 5. - Киров: Изд-во ВятГГУ,

2008.-С. 170-174.

29. Калинин С. И. О спецкурсе «Теория средних» для студентов математического факультета // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. Вып. 1. - Киров: Изд-во ВГПУ, 1998. - С. 44^9.

30. Калинин С. И. Правила Лопиталя - Бернулли раскрытия неопределенностей в терминах односторонних производных // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. Информатика. Математика. Язык. - 2005. - № 3. - С. 139-142.

31. Калинине. И. Производная Каратеодори при изложении основ дифференциального исчисления функций одной переменной // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. Вып. 4. - Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2002. - С. 74-88.

Материалы конференций и тезисы докладов

32. Калинин С. И. Выпуклые функции в вопросе решения уравнений специального вида // Задачи в обучении математике: теория, опыт, инновации: Материалы Всерос. науч.-практ. конф., поев. 115-летию чл.-кор. АПН СССР П. А. Ларичева. - Вологда, 2007. - С. 124-126.

33. Калинин С. И. К вопросу об изучении темы «Правило Лопиталя -Бернулли раскрытия неопределенностей» // Педагогический процесс как культурная деятельность: Материалы и тез. докл. 4-й Междунар. науч.-практ. конф. 29 окт. - 3 ноября 2002 г. Т. 2. - Самара: Изд-во Самарского науч. центра РАН. - 2002. - С. 343-345.

34. Калинин С. И. Об использовании результатов курсовых и дипломных работ по математическому анализу при изучении математики // Проблемы гуманизации математического образования в школе и вузе: Тез. докл. науч. межрегион, конф. (Саранск, февраль 1995 г.). - Саранск: МШИ, 1995. — С. 95.

35. Калинин С. И. Об использовании эвристик в обучении студентов основам математического анализа // Проблемы многоуровневой подготовки учителей математики для современной школы: Материалы XXVII Всерос. семинара преподавателей математики ун-тов и пед. вузов, поев. 70-летию со дня рождения д-ра пед. н., проф. И. Д. Пехлецкого (24-26 сент. 2008 г., г. Пермь); Перм. гос. пед. ун-т. - Пермь, 2008. - С. 74-75.

36. Калинин С. И. Об исследовании функций // Проблемы современного математического образования в вузах и школах России: Оценка качества математических знаний студентов и школьников: Материалы IV Всерос. науч.-метод. конф., поев. 100-летию со дня рожд. проф. Ф. Ф. Нагибина.-Киров: Изд-во ВятГГУ, 2009. - С. 94.

37. Калинин С. И. Об одной форме организации коллективных занятий со студентами по математическому анализу // Проблемы образования в высш. и средней школе в связи с перестройкой: Тез. докл. респ. науч.-метод. конф. - Уфа: БГПИ, УАИ, 1989. - С. 30.

38. Калинин С. И. Об особенностях Изложения раздела «Дифференциальное исчисление» в курсе математического анализа // Математика в вузе и школе: обучение и развитие: Тез. 16 Всерос. семинара преподавателей математики и методики ее преподавания ун-тов и педвузов России (октябрь 1997 г.). - Новгород: НРЦРО, 1997. - С. 46.

39. Калинин С. И. О принципах отбора содержания обучения математическому анализу студентов математических специальностей // Математика. Образование: Материалы XV Междунар. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2007. - С. 66.

40. Калинин С. И. О реализации дифференциации обучения математике в педвузе через научно-исследовательскую работу студентов // Опыт, проблемы и перспективы дифференциации мат. образования: Обл. науч.-практ. конф. учителей мат. (22-23 марта 1996 г.). - Самара, 1996. - С. 85.

41. Калинине. И. О совместных занятиях студентов разных курсов при изучении математического анализа // Девятая регион, науч.-метод. конф. «Оптимизация учебного процесса»: Тез. докл. - Н. Новгород: ННГУ, 1994. -С. 17.

42. Калинин С. И. О содержании обучения студентов педвуза основам математического анализа в условиях фундаментализации образования // Тез. докл. Междунар. науч.-образовательная конф. «Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высш. и среднего проф. образования».-М.: РУДН, 2009. - С. 544-546.

Подписано в печать 20.05.2009 г. Формат 64x80/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,7. Тираж 100 экз. Заказ №1189.

Издательский центр Вятского государственного гуманитарного университета, 610002, г. Киров, ул. Ленина, 111, т. (8332) 673674