Развитие методической системы обучения численным методам в условиях фундаментализации высшего математического образования

Беликов, Василий Владимирович

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Развитие методической системы обучения численным методам в условиях фундаментализации высшего математического образования

Автореферат

Автор научной работы: Беликов, Василий Владимирович
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Москва
Год защиты: 2011
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Развитие методической системы обучения численным методам в условиях фундаментализации высшего математического образования"

На правах рукописи

Беликов Василий Владимирович

РАЗВИТИЕ МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ В УСЛОВИЯХ ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИИ ВЫСШЕГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания

(математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва-2011

2 4 ОЕЗ 2011

4854544

Работа выполнена на кафедре информатики и прикладной математики Института математики и информатики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального об^разования города Москвы «Московский городской педагогический университет»

Научный руководитель:

доктор педагогических наук, доцент Корнилов Виктор Семенович

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Грушин Виктор Васильевич

кандидат педагогических наук Карпухина Светлана Викторовна

ГОУ ВПО «Калужский государственный педагогический университет им. К.Э. Циолковского»

Защита диссертации состоится 02 марта 2011 г. в 12.00 часов на заседании объединенного диссертационного совета ДМ850.007.03 при ГОУ ВПО «Московский городской педагогический университет» и ГОУ ВПО «Тульский государственный педагогический университет» им. Л.Н. Толстого по адресу: 127521, г. Москва, ул. Шереметьевская, д. 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Московский городской педагогический университет» по адресу: 129226, г. Москва, 2-й Сельскохозяйственный проезд, д. 4.

Автореферат размещен на сайте www.mgpu.ru

« № >

Автореферат разослан « № » января 2011 года

Ученый секретарь диссертационного совета д.п.н., профессор ^ В.В. Гриншкун

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В современной концепции модернизации российского образования определяется главная задача отечественной образовательной политики - обеспечение качества образования на основе сохранения его фундаментальности и соответствия актуальным и перспективным потребностям личности, общества и государства. Одна из важных задач фундамента-лизации образования - преодоление исторически возникшего разобщения естественнонаучной и гуманитарной компонент культуры путем их взаимообогащения и поиска оснований целостной культуры на новом этапе развития цивилизации. Проблема фундаментализации образования находит свое развитие в работах С.И. Архангельского, Ю.К. Бабанского, А.Д. Гладуна, О.Н. Голубевой, С.Я. Казанцева, В.В. Краевского, И.В. Левченко, B.C. Леднева, И.Я. Лернера, Н.В. Садовникова, В.А. Тестова и других ученых.

Влияние на компоненты системы высшего образования, в том числе и прикладное математическое образование, таких закономерностей как приоритетность научных исследований, организованных на стыке различных наук, успешность которых в значительной степени зависит от наличия фундаментальных знаний; информатизация образования, представляющая собой область научно-практической деятельности человека, направленной на применение методов и средств сбора, хранения, обработки и распространения информации для систематизации имеющихся и формирования новых знаний в рамках достижения психолого-педагогических целей обучения и воспитания и других закономерностей способствуют его развитию. Среди основных тенденций развития образования: углубление и расширение фундаментальной подготовки студентов при сокращении общих и обязательных дисциплин за счет строгого отбора материала, системного подхода к содержанию и выделению его основных инвариантов; гуманизация и гуманитаризация образования и другие тенденции.

Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков. Анализ сложных математических моделей, при помощи которых исследовались физические процессы, требовал создания численных методов их решения. Методы Ньютона, Эйлера, Чебышева, Гаусса и другие свидетельствуют о том, что эти и другие известные математики занимались разработкой численных методов. Появление компьютерной техники инициировало ученых создать область математики, которая призвана разрабатывать математические методы доведения до числового результата решений разнообразных прикладных задач и пути использования для этой цели средств автоматизации вычислений. Эта область математики получила название вычислительной математики.

Существенный вклад в развитие вычислительной математики внесли Н.С. Бахвалов, А.О. Гельфонд, Б.Г. Галеркин, С.К. Годунов, A.A. Дородницын, Л.В. Канторович, Л. Коллатц, А.Н. Крылов, Р. Курант, К. Ланцош, Г. Леви, Г.И. Марчук, Р.Д. Рихтмайер, A.A. Самарский, Дж. Скарборо, А.Н. Тихонов, К. Фридрихе и другие ученые. С развитием современных информационных технологий в настоящее время численные методы стали эффективным математическим средством решения многих задач как в области естествознания, так и гуманитарных и социальных наук. Численный метод решения задачи - это определенная последовательность операций над числами, т.е. вычислительный

алгоритм, язык которого - числа и арифметические действия. Такая примитивность языка позволяет реализовать численные методы компьютерными средствами, что делает эти методы универсальным инструментом исследования.

Известно, что при подготовке студентов физико-математических специальностей вузов, в том числе и в области прикладной математики, большую роль играют междисциплинарные и интегрированные курсы, которые содержат фундаментальные знания, являющиеся базой для формирования общей и профессиональной математической культуры, быстрой адаптации к новым профессиям, специальностям и специализациям. Эти знания способствуют формированию у студентов широкого кругозора, помогают им преодолевать предметную разобщенность. Одним из таких интегрированных учебных курсов является дисциплина «Численные методы», содержание которой формируется на основе современных методов вычислительной математики. Обучение численным методам основывается на знаниях, полученных при изучении математического и функционального анализа, геометрии и алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, интегральных уравнений, методов оптимизации, информатики и других дисциплин.

В работах A.A. Аданникова, P.M. Асланова, И.В. Егорченко, С.И. Калинина, И.В. Левченко, А.Г. Мордковича, Г.Г. Хамова и других находит свое развитие фундаментализация обучения вышеперечисленным дисциплинам. Вместе с тем необходима фундаментализация обучения студентов вузов и численным методам, что позволило бы познакомить студентов с фундаментальными основами теории вычислений и методологией разработки вычислительных алгоритмов разнообразных прикладных задач. Основы содержания обучения численным методам студентов высших учебных заведений были заложены Я.С. Без-иковичем, Э.Д. Бутом, A.A. Марковым, А.Н. Крыловым, Г. Робинсоном, Э.Дж. Скарборо, Д.К. Фадеевым, В.Н. Фадеевой, A.A. Фридманом, Э. Уиттекером и другими. Одними из первых авторов учебных пособий по численным методам в России являются A.A. Марков, А.Н. Крылов, Я.С. Безикович и A.A. Фридман. Отбору и формированию содержания обучения вузовском курсу численных методов посвятили свои труды Н.С. Бахвалов, И.С. Березин, В.А. Бубнов, В.М. Вержбицкий, Е.А. Волков, В.Ф. Дьяченко, Н.П. Жидков, В.Н. Исаков, B.C. Корнилов, М.П. Лапчик, Дж. Ортега, У.Г. Пирумов, У. Пул, М.И. Рагулина, A.A. Самарский, Л.И. Турчак, Е.К. Хеннер и другие. Методическая система обучения студентов численным методам находит свое развитие в диссертационных исследованиях И.В. Беленковой, И.А. Кузнецовой, Е.А. Рябухиной, Т.А. Степановой, A.A. Сушенцова, Г.М. Федченко и других.

показывает, что обучение студентов основано на решении определенного количества задач разного типа с использованием разных методов и средств. Такой подход позволяет эффективно обучать решению типовых задач вошедших в систему обучения. Это не позволяет в полной мере познакомить студентов с фундаментальными инвариантами теории вычислений, что позволило бы будущим специалистам подбирать или даже самостоятельно разрабатывать наиболее эффективные алгоритмы решения задач связанных с их профессиональной деятельностью. Необходима фундаментализация обучения численным методам. Кроме того, в имеющихся научных исследованиях не раскрыт гуманитарный потенциал обучения численным методам, не уделено внимание методологическому анализу содержания обучения численным методам, не в полной мере описаны методы обучения, что могло бы внести существенный вклад в фундаментализацию обучения студентов вузов численным методам.

Учитывая вышеизложенное, следует отметить, что в традиционной системе прикладного математического образования имеется противоречие между необходимостью фундаментализации высшего математического образования, возможностью использования численных методов как фактора фундаментализации математического образования и несовершенством существующих методических систем в контексте фундаментализации обучения численным методам, способствующих формированию у студентов умений самостоятельно подбирать или разрабатывать эффективные вычислительные алгоритмы, а также общекультурных компонентов, среди которых прикладная математическая культура мышления, знание истории создания теории численных методов, алгоритмическая культура мышления и другие.

Необходимость устранения указанного противоречия за счет развития методической системы обучения численным методам в условиях фундаментализации высшего математического образования, делает актуальной тему, выбранную для исследования.

Указанные доводы и противоречие определяют научную проблему настоящей диссертационной работы, заключающуюся в отсутствии методической системы обучения численным методам, ориентированной на подготовку студентов - будущих специалистов в области прикладной математики, обучающихся на физико-математических специальностях высших учебных заведений, в условиях фундаментализации высшего математического образования. Для устранения указанного противоречия необходимо провести целостное педагогическое исследование, посвященное выявлению гуманитарного потенциала обучения численным методам, разработке системы обучения численным методам в условиях фундаментализации высшего математического образования, раскрытию методологии обучения численным методам и разработке соответствующих средств их реализации, выявлению вклада обучения численным методам в фундаментализацию высшего математического образования.

Целью исследования является развитие методической системы обучения студентов вузов численным методам в условиях фундаментализации высшего математического образования, позволяющей подготовить специалистов в области прикладной математики, знающих теорию и методологию вычислений и способных решать профессиональные задачи наиболее эффективными метода-

ми.

Объектом исследования выступает процесс обучения дисциплине «Численные методы» студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений.

Предмет исследования - методическая система обучения численным методам в условиях фундаментализации высшего математического образования.

Гипотеза исследования заключается в том, что обучение численным методам на основе использования специально разработанной методической системы и теоретических подходов будет способствовать фундаментализации подготовки специалистов в области прикладной математики, что позволит:

- выявить гуманитарный потенциал обучения численным методам, как элемент фундаментализации образования, включающий в себя историко-математическую подготовку; межпредметные связи и прикладную направленность обучения, расширение мировоззрения, психологические аспекты обучения, логическую культуру мышления.

Цель, предмет и гипотеза исследования определили постановку и необходимость решения следующих задач:

1) проанализировать подходы к фундаментализации математического образования и существующие системы обучения численным методам студентов вузов;

2) выявить гуманитарный потенциал обучения численным методам и возможные пути фундаментализации такого обучения;

3) конкретизировать основные принципы обучения численным методам в условиях фундаментализации высшего математического образования;

4) разработать технологию анализа содержания обучения численным методам; конкретизировать цели и усовершенствовать содержание обучения фундаментальному курсу численных методов;

5) систематизировать основные типы задач, решаемых численными методами, с целью поиска фундаментальных инвариантов;

6) разработать методику обучения, предусматривающую творчество студентов по созданию эффективных вычислительных алгоритмов; разработать электронное пособие по численным методам, способствующее фундаментализации обучения;

7) экспериментально подтвердить эффективность применения методической системы обучения численным методам в условиях фундаментализации высшего математического образования и ее влияние на формирование профессиональных качеств будущих специалистов в области прикладной математики.

Для решения задач, поставленных перед исследованием, использовались следующие методы: анализ отечественных и зарубежных научных трудов по педагогике, психологии, философии, численным методам; обобщение опыта преподавания численных методов; анализ учебных программ, пособий, диссертаций, материалов конференций; беседа; наблюдение; проведение лекционных

и практических занятий со студентами; педагогический эксперимент и анализ экспериментальной деятельности.

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют фундаментальные работы в области профессиональной подготовки специалистов и проблем развития личности средствами обучения математике (С.И. Архангельский, И.И. Баврин, В.А. Гусев, Т.А. Иванова, А.Н. Колмогоров, Г.Л. Луканкин, А.Г. Мордкович, Е.И. Смирнов, Г.Г. Хамов, М.И. Шабунин и др.); по общедидактическим принципам и критериям оптимизации организации обучения (Ю.К. Бабанский, В.П. Беспалько, В.И. Загвязинский, О.Ю. Заславская, B.C. Ильин, B.C. Леднев, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин, A.B. Усова и др.); в обучении численным методам (И.В. Беленкова, В.А. Бубнов, Е.А. Волков, И.А. Кузнецова, М.П. Лапчик, И.Н. Пальчикова, М.И. Рагулина, Е.А.Рябухина, A.A. Самарский, Т.А. Степанова, Л.И. Турчак, Г.М. Федченко, Е.К. Хеннер и др.); фундаментализации высшего образования (A.A. Аданников, P.M. Асланов, C.B. Белобородова, И.В. Егорченко, С.И. Калинин, И.В. Левченко, А.Г. Мордкович, Г.Г. Хамов и др.); гуманитаризации образования (М.Н. Берулава, С.А. Комиссарова, B.C. Корнилов, A.C. Кравец, В.В. Мадер, Т.Н. Миракова, А.Г. Мордкович, H.A. Назарова, И.М. Орешников и др.); по проблемам информатизации образования (Т.А. Бороненко, С.Г. Григорьев, В.В. Гриншкун, С.А. Жданов, A.A. Кузнецов, С.И. Макаров, Е.В. Огородников, И.В. Роберт, А.Н. Тихонов и др.); по проблеме реализации межпредметных связей (В.В. Амелькин, Т.Г. Захарова, Р.П. Исаева, O.E. Кириченко, И.А. Кузнецова, Р.П. Петрова, Л.А. Пржевалин-ская и др.); по методическим аспектам использования компьютерных математических пакетов в вузе при обучении физико-математическим дисциплинам (И.В. Беленкова, Д.П. Голоскоков, А.Р. Есаян, Е.А. Дахер, В.П. Дьяконов, С.А. Дьяченко, Ю.Г. Игнатьев, Е.В. Клименко, C.B. Поршнев и др.).

Базой научного исследования и опытно-экспериментальной работы явились кафедра информатики и прикладной математики и кафедра информатизации образования Института математики и информатики ГОУ ВПО «Московский городской педагогический университет», ГОУ ВПО «Курский государственный университет», ГОУ ВПО «Юго-Западный государственный университет».

Научная новизна исследования:

1) выявлено влияние обучения численным методам на формирование личностных качеств студентов в рамках фундаментализации высшего математического образования. Показано, что при обучении численным методам студенты овладевают словесным способом описания хода исследования, методами формирования образных представлений, применением аналогий; умением формулировать гипотезы и убедительно рассуждать; научной полемикой, способностью проводить логические выводы прикладного и гуманитарного характера, что свидетельствует о необходимости фундаментализации обучения численным методам;

правленность обучения, что способствует более глубокому освоению студентами теории и методологии вычислений с компьютерной техникой;

3) конкретизированы принципы обучения численным методам в условиях фундаментализации (научности, системности, профессиональной направленности и др.), разработана технология анализа содержания подготовки студентов в области численных методов, фундаментализированы цели и содержание обучения теории и методологии вычислений;

4) систематизированы основные типы задач, решаемых с помощью численных методов, что позволило найти фундаментальные инварианты теории вычислений, необходимые для подготовки специалистов к самостоятельной разработке или подбору наиболее эффективных алгоритмов решения математических задач, связанных с их профессиональной деятельностью.

Теоретическая значимость проведенного исследования заключается в обосновании необходимости фундаментализации обучении численным методам, выявлении его гуманитарного потенциала, нахождении принципов, технологий и фундаментальных инвариантов, позволяющих познакомить студентов с теорией вычислений, осуществляемых при помощи компьютерной техники.

Практическая значимость полученных результатов заключается в том,

что:

1) описаны методы рациональных рассуждений, необходимые для фундаментализации обучения численным методам, среди которых: контроль сходимости и погрешности вычислительного метода, осмысление физического смысла математической задачи и др.;

2) предложены методы творческого обучения студентов, основанные на создании ими эффективных вычислительных алгоритмов;

3) разработана система задач, демонстрирующая студентам фундаментальные аспекты курса численных методов;

4) разработаны электронное учебное пособие и рекомендации по использованию информационных технологий на лабораторных занятиях по численным методам.

Результаты и рекомендации, полученные в ходе исследования, могут быть использованы при обучении численным методам в высших учебных заведениях.

Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивалась непротиворечивостью логических выводов в ходе теоретического анализа проблем исследования и их согласованностью с концепциями математических и педагогических наук и принципиальным соответствием основным результатам других исследователей; четкостью методологических, математических, ис-торико-математических, психолого-педагогических, дидактических и методических позиций; корректным применением к проблеме исследования системного, деятельностного, культурологического и исторического подходов; использованием известных методов вычислительной математики, учетом опыта коллег по работе, использованием в обучении численным методам средств информатизации образования, повышением качества обучения и характеристик личностного развития студентов.

Работы в рамках исследования проводились с 2005 по 2010 годы и могут

быть условно разделены на три основных этапа.

На первом этапе (2005-2006 г.г.) выявлялась проблема исследования; определялась степень разработанности научной проблемы; формулировались цель, гипотеза, задачи исследования; анализировались философские, психолого-педагогические, математические, методические источники и диссертационные работы по теме исследования, анализировались подходы к фундаментали-зации математического образования и существующие системы обучения численным методам студентов вузов.

На втором этапе (2006-2008 г.г.) выявлялись фундаментальные основы обучения численным методам; разрабатывалась технология анализа содержания обучения численным методам; систематизировались основные типы задач численных методов, совершенствовалась методическая система обучения численным методам.

На третьем этапе (2008-2010 г.г.) разрабатывалось электронное учебное пособие по численным методам; проводилась экспериментальная проверка эффективности применения методической системы обучения численным методам в условиях фундаментализации высшего математического образования. Описание основных положений и результатов исследования оформлялось в виде диссертационной работы.

На защиту выносятся следующие положения:

1) фундаментализация обучения численным методам является существенным фактором фундаментализации высшего математического образования, поскольку такое обучение обладает гуманитарным потенциалом, влекущим за собой расширение мировоззрения студентов, развитие логической культуры мышления, реализацию межпредметных связей и прикладную направленность обучения. В свою очередь, это позволяет применять и разрабатывать эффективные алгоритмы решения прикладных математических задач, формирует у студентов правильное представление о путях приобретения человечеством знаний об окружающем мире и развитии методов познания;

2) внедрение усовершенствованной методической системы обучения численным методам способствует более эффективной подготовке специалистов к использованию информационных технологий для решения прикладных математических задач. Это достигается за счет того, что в ней учтены фундаментальные основы теории и методологии вычислений, систематизированы основные типы задач, решаемых численными методами, принципы отбора содержания обучения численным методам, такие, как единство учебного материала и содержательных линий, обобщенность, полнота, оптимальность, дидактическая значимость и другие, применены методы рациональных рассуждений, среди которых уточнение, выдвижение гипотез, рассмотрение частных случаев при численном решении задач и др.;

витием индивидуальных особенностей личности каждого студента, научности, системности, наглядности, межпредметных связей. Информатизация обучения способствует формированию высокого уровня знаний, умений и навыков, необходимых студентам для численного решения прикладных математических задач, анализа, сравнения, обобщения полученных результатов.

Результаты исследования внедрены в учебный процесс ГОУ ВПО «Московский городской педагогический университет», ГОУ ВПО «Курский государственный университет», ГОУ ВПО «Юго-Западный государственный университет».

Апробация результатов исследования. Полученные результаты докладывались и обсуждались на Международной научно-практической конференции "Информационные технологии в образовании" ("ИТО-Черноземье 2006", Курск, КГУ, 2006); XVII, XVIII, XIX, XX Международных конференциях "Применение новых технологий в образовании" (Троицк, ФНТО "БАЙТИК", 2006, 2007, 2008, 2009); на заседаниях кафедры информатики и прикладной математики и кафедры информатизации образования Института математики и информатики ГОУ ВПО «Московский городской педагогический университет (2006-2009).

Основные результаты исследования опубликованы в 13 научных работах, в том числе в трех публикациях в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность проблемы исследования, сформулирована цель исследования, его объект, предмет, гипотеза и задачи, характеризуются методы, научная новизна, теоретическая и практическая значимость исследования, приводятся основные положения, выносимые на защиту, данные об апробации разработанных результатов, краткое содержание диссертации.

В первой главе «Фундаментализация математического образования и ее влияние на совершенствование обучения вычислительной математике» анализируются подходы к фундаментализации математического образования и существующие системы обучения численным методам студентов вузов, место вычислительной математики в вузовской математической подготовке, выявляются гуманитарный потенциал обучения численным методам и возможные пути фундаментализации такого обучения.

Фундаментализация образования находит свое развитие в работах С.И. Архангельского, A.A. Аданникова, Ю.К. Бабанского, С.А. Бешенкова, E.H. Бобоновой, А.Д. Гладуна, О.Н. Голубевой, И.В. Егорченко, U.C. Елгиной, Т.А. Ивановой, С.Я. Казанцева, Н.В. Карлова, В.В. Краевского, B.C. Кузнецова, В.А. Кузнецова, И.В. Левченко, В.А. Садовничего, Г.И. Саранцева, М.В. Швецкого и других. Одним из важных элементов фундаментализации образования является фундаментализация математического образования, которая предполагает обеспечение учета и использования в процессе обучения студентов математическим дисциплинам новых научных исследований и достижений, создание оптимальных условий для воспитания у студентов гибкого

научного мышления, применение в образовательном процессе современных достижений методики обучения математике. Различным аспектам фундамен-тализации математического образования посвящены исследования В.И. Арнольда, Г.Я. Дутки, И.В. Егорченко, С.И. Калинина, Ж. Сайгитбапатова, Н.А. Читалина и других.

Фундаментализация затрагивает все больше направлений математики и соответствующих учебных предметов, в том числе и в области вычислительной математики. В вычислительной математике приходится иметь дело с самыми различными задачами, большинство из которых может быть записано в виде у = А(х), где хну, принадлежат заданным пространствам Р и Q и А(х) -некоторый заданный оператор. Задача состоит либо в отыскании у по заданному х, либо в отыскании х по заданному у. Далеко не всегда с помощью средств современной математики удается найти точное решение этих задач. Основным методом, при помощи которого в вычислительной математике решают поставленные выше задачи, является замена пространств Р и Q и оператора А(х) некоторыми другими пространствами Л и G и оператором h, более удобными для вычислительных целей. Замена делается так, чтобы решение новой задачи и = h(z), и е R, : е G - было в каком-то смысле близким к точному решению исходной задачи у = А(х) и его возможно было бы практически отыскать. Процесс численного решения любой математической задачи включает два этапа. На первом этапе выбирается численный метод решения задачи, то есть исходная задача заменяется задачей, удобной для вычислительных целей, но решение которой в некотором смысле близко к решению исходной задачи. Второй этап - программная реализация вычислительного алгоритма задачи u=h(:) с использованием компьютерных средств. Для первого этапа необходимо наличие разработанных методов численного решения основных математических задач, и должен быть известен сравнительный анализ различных методов решения одной и той же задачи с точки зрения их точности, границ применимости и целесообразности их компьютерной реализации. Разработка и анализ этих методов и составляют предмет изучения научной области численных методов.

Уже доказано, что фундаментализация оказывает существенное влияние на развитие личности специалиста. В частности, речь идет о будущих специалистах в области прикладной математики оказывают влияние не только обучение физико-математическим дисциплинам, в том числе и численным методам, но и знания исторических предпосылок и фактов создания и развития тех научных теорий, на основе которых формируется содержание этих дисциплин; вклада этих научных теорий в научно-технический прогресс. Историко-математическая линия обучения студентов находит свое развитие в диссертационных исследованиях C.B. Белобородовой, Т.А. Ивановой, И.М. Смирновой, О.В. Шабашовой и других авторов. История математики свидетельствует о том, что интерес к формальным математическим операциям, как правило, был связан с желанием познать окружающий мир. Постулаты и операции анализа выбраны так, чтобы они отображали геометрический порядок вещей в абстрактной области чисел и являлись лишь одним звеном в стремлении раскрыть функциональную закономерность, присущую физическому миру.

Этот процесс содержит три этапа: данное физическое соотношение переносится в область чисел; с помощью формальных операций над этими числами получаются определенные математические результаты; эти результаты переносятся обратно в мир физической реальности. С развитием современной математики и компьютерных средств второй этап этого процесса оформился в самостоятельную научную область численных методов. При этом истоки самих численных методов уходят вглубь веков. Понимание взаимосвязи в развитии теории и практики численного решения математических задач и общественного прогресса позволяет студентам глубже осознать специфику учебного курса численных методов и методов вычислительной математики.

В педагогике большое внимание уделяется проблеме межпредметных связей, выражающих всевозможные объективно существующие связи между содержанием различных учебных дисциплин, что также является существенным фактором фундаментализации обучения. Межпредметным связям уделяли внимание И.Ф. Гербарт, А. Дистервег, Д. Локк, В.Ф. Одоевский, И.Г. Пес-талоцци, К.Д. Ушинский и др. Определенный вклад в исследование проблемы межпредметных связей математики внесли Г.А. Бокарева, В.А. Гусев, А.Г. Головенко, Т.А. Иванова, Р.Л. Исаева, O.E. Кириченко, A.A. Кузнецова, Т.Н. Миракова, А.Г. Мордкович, A.A. Столяр, Ю.Ф. Фоминых, Г.Г. Хамов и другие. В процессе обучения численным методам привлекаются сведения из различных предметных областей, в которых межпредметные связи раскрываются на уровне знаний. По отношению к процессу обучения численным методам межпредметные связи выступают в качестве дидактического условия, способствующего повышению научности и доступности обучения, значительному усилению познавательной деятельности студентов, улучшению качества их знаний и позволяющего развивать естественнонаучное мировоззрение студентов. Прикладная направленность обучения численным методам реализуется через решение прикладных задач методом математического моделирования. При решении прикладных математических задач студенты получают представление о прикладной математике, ее методах, о роли математического моделирования в познании окружающего мира.

Задача формирования научного мировоззрения личности будущих выпускников вуза — специалистов в области прикладной математики - определяет структуру и содержание любого фундаментального математического учебного курса. Необходимы не только знания современной прикладной математики, соответствующего учебного предмета, но и знания прикладных возможностей, методологических проблем, исторического процесса развития прикладной математики. Решение проблемы формирования мировоззрения студентов в процессе обучения математике отражено в работах Г.И. Баврина, Г.Д. Глейзера, Т.И. Глушковой, В.А. Гусева, Г.В. Дорофеева, Н.М. Зверевой, A.A. Касьяна, Г.Л. Луканкина, А.Г. Мордковича, З.И. Слепкань, A.A. Столяра, Л.М. Фридмана, М.И. Шабунина и других. Необходимо внедрение в процесс обучения численным методам фундаментальных подходов к вычислениям, творчества студентов по созданию эффективных вычислительных алгоритмов решения математических задач, способствующих подготовке специалистов в области прикладной математики к самостоятельной разработке или подбору наиболее эф-

фективных алгоритмов решения математических задач, связанных с их профессиональной деятельностью.

Одной из фундаментальных проблем в психологии является проблема исследования личности, которая находит свое развитие в работах P.M. Асланова, Б.М. Бим-Бада, Г.Д. Глейзера, В.В. Давыдова, И.К. Журавлева, Т.А. Ивановой, B.C. Леднева, И.Я. Лернера, A.B. Петровского и других. Б.М. Бим-Бад и A.B. Петровский образованную личность характеризуют как богатство потребностей личности, ее направленность на все более полную самореализацию в сферах труда, познания, умение обнаруживать нерешенные проблемы, ставить вопросы и выдвигать гипотезы; широта и гибкость мышления, умение видеть альтернативное решение проблем, преодолевать сложившиеся стереотипы и т.д. Проблеме использования задач в обучении математике уделено внимание в исследованиях В.А. Гусева, Т.А. Ивановой, Ю.М. Колягина, Г.Л. Луканкина, А.Г. Мордковича, И.М. Смирновой, A.A. Столяра, P.C. Черкасова, в которых отмечено, что решение задач является важным средством формирования у обучаемых математических знаний и способов деятельности, основной формой учебной работы в процессе изучения математики.

Достижение эффективных результатов в обучении студентов численным методам возможно при условии применения конкретных методов их решения. В этом случае реализация вычислительных алгоритмов при их решении выступает и как цель, и как средство обучения. Применение методики обучения, предусматривающей творчество студентов по созданию эффективных вычислительных алгоритмов, системы задач, демонстрирующей студентам фундаментальные аспекты курса численных методов позволило бы сформировать и развить математическое мышление; способствовало бы формированию умений и навыков применять или разрабатывать эффективные вычислительные алгоритмы; создало бы условия для профессиональной ориентации. В ходе анализа научных источников выявлено, что численное решение прикладных математических задач выполняет в учебно-воспитательном процессе мотива-ционную, познавательную, развивающую, воспитывающую, управляющую, иллюстративную, контрольно-оценочную и другие функции.

Одним из необходимых условий для формирования знаний, умений и навыков, необходимых студентам для изучения и использования численных методов, является хорошее владение математическим языком. К перечню языковых навыков относят и умение формулировать определения различных понятий. Студенты должны иметь представления об основных понятиях численного решения математической задачи, таких, как погрешность, вычислительный эксперимент, конструктивный алгоритм, сходимость, устойчивость и т.п., которые являются важными в учебном курсе численные методов. Речь идет именно об основных понятиях и идеях, а не о наборе конкретных вычислительных алгоритмов решения, с помощью которых можно успешно решить ту или иную прикладную математическую задачу.

Учитывая вышеизложенное, отметим что фундаментализация обучения численным методам является существенным фактором фундаментализации высшего математического образования, поскольку такое обучение обладает гу-

манитарным потенциалом, влекущим за собой расширение мировоззрения студентов, развитие логической культуры мышления, реализацию межпредметных связей и прикладную направленность обучения. В свою очередь, это позволяет студентам применять и разрабатывать эффективные алгоритмы решения прикладных математических задач.

Во второй главе « Обучение численным методам в условиях фундамен-тализации высшего математического образования» конкретизированы основные принципы обучения численным методам в условиях фундаментали-зации высшего математического образования; разработана технология анализа содержания обучения численным методам; конкретизированы цели и усовершенствовано содержание обучения фундаментальному курсу численных методов; систематизированы основные типы задач, решаемых численными методами, разработана методика обучения, предусматривающая творчество студентов по созданию эффективных вычислительных алгоритмов; разработано электронное пособие по численным методам, способствующее фундаментализации обучения; описан эксперимент, подтверждающий эффективность обучения фундаментальным основам теории вычислений.

Конкретизированы основные принципы обучения численным методам в условиях фундаментализации высшего математического образования, такие, как принципы научности, системности, профессиональной направленности и др., реализация которых обеспечивает формирование у студентов профессиональных качеств, позволяющим применять или создавать эффективные вычислительные алгоритмы решения математических задач. В частности, принцип научности обучения опирается на закономерную связь между современными методами вычислительной математикой и содержанием учебного курса численных методов. Он требует, чтобы в процессе обучения студенты овладевали фундаментальными основами теории и методологии вычислений. Цель обучения численным методам в условиях фундаментализации образования - познакомить студентов с фундаментальными основами теории вычислений и методологией разработки вычислительных алгоритмов математических задач; обучить студентов современным вычислительным алгоритмам решения математических задач; сформировать у студентов умения самостоятельно подбирать или разрабатывать эффективные вычислительные алгоритмы; развить навыки программной реализации вычислительных алгоритмов решения прикладных задач с помощью компьютерных средств; сформулировать представление о гуманитарном потенциале обучения; умений интерпретации полученных результатов и оценки точности полученного решения и др.

В соответствии с перечисленными принципами и целями обучения разработана технология анализа содержания обучения подготовки студентов численным методам. Разработаны и подробно описаны в диссертации соответствующие целевые модули и классификационные признаки. Под классификационными признаками понимаются прикладные знания, численные методы решения математических задач, сведения об их преподавании, полученные в результате познавательной, практической и педагогической деятельности, под целевыми модулями понимаются элементы программы учебного курса численных методов, представляющие собой совокупность выбранных классификационных

признаков.

В ходе исследования выявлено четыре целевых модуля:

Целевой модуль 1. Теория и методика обучения численным методам - область педагогической науки;

Целевой модуль 2. Численные методы - научная область вычислительной математики;

Целевой модуль 3. Физическая картина исследуемых процессов и явлений -категориально-понятийный аппарат методологии численных методов решения прикладных математических задач;

Целевой модуль 4 (Модуль научного метода). Приближенные методы решения прикладных задач и теория разностных схем.

При разработке критериев отбора содержания обучения численным методам были использованы работы С.И. Архангельского, В.А. Гусева, В.И. Загвя-зинского, B.C. Леднева, Г.Л. Луканкина, Т.Н. Мираковой, А.Г. Мордковича, Ю.В. Сидорова, Е.И. Смирнова, Н.Л. Стефановой, Г.Г. Хамова и других.

Разработанное содержание учебного курса численных методов включает следующие разделы:

Введение. Численные методы как область вычислительной математики. Понятия математического моделирования и вычислительного эксперимента и их роль в познании окружающего мира. Исторические аспекты развития теории численных методов. Основные типы задач, решаемых численными методами. Фундаментальные основы разработки эффективных вычислительных алгоритмов.

Элементы теории погрешностей. Источники погрешностей и классификация погрешностей. Прямая и обратная задачи теории погрешности. Погрешности арифметических операций. Оценка погрешностей значений функций.

Задачи линейной алгебры. История создания методов решения задач линейной алгебры. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Прямые методы. Метод Гаусса. Метод прогонки. Итерационные методы. Метод простых итераций. Метод Зейделя. Вычисление определителей и обратных матриц с использованием метода Гаусса. Проблема собственных значений. Частичные проблемы. Итерационные методы. Полная проблема. Метод вращения. Обратная задача спектрального анализа для якобиевых матриц. Анализ подходов выбора вычислительных алгоритмов решения задач линейной алгебры.

Численные методы решения нелинейных уравнений. История создания приближенных методов решения нелинейных уравнений. Отделение корней. Метод половинного деления. Метод хорд. Метод Ньютона. Метод простых итераций. Анализ вычислительных алгоритмов решения нелинейных уравнений.

Численные методы решения систем нелинейных уравнений. История создания приближенный методов решения систем нелинейных уравнений. Метод простых итераций. Метод Зейделя. Метод Ньютона. Анализ вычислительных алгоритмов решения систем нелинейных уравнений.

Аппроксимация функций. История создания математических методов анализа экспериментальных данных. Приближение функций. Вычисление значений функций рядами Тейлора, многочленами Чебышева. Интерполирование. Линейная и квадратичная интерполяции. Многочлен Лагранжа. Многочлены Ньютона. Сплайны. Метод наименьших квадратов. Обратное интерполирование. Оценка вклада методов аппроксимации функции в развитии математических методов анализа экспериментальных данных.

Численное дифференцирование. История создания методов численного дифференцирования. Формулы численного дифференцирования на основе интерполяционных многочленов. Метод неопределенных коэффициентов. Формула Рунге. Анализ методов численного дифференцирования.

Численное интегрирование. История создания приближенных методов вычисления определенных интегралов. Методы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Метод Сплайнов. Численные методы интегрирования кратных интегралов. Метод ячеек. Метод сведения к последовательному вычислению определенных интегралов. Метод статистических испытаний. Анализ приближенных методов вычисления определенных интегралов.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). История создания приближенных методов решения ОДУ. Приближенные методы решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. Метод Эйлера. Метод Эйлера с пересчетом. Метод Рунге-Кутты 4-го порядка. Метод Адамса. Метод Рунге-Кутты 4-го порядка для задачи Коши для ОДУ 2-го порядка и системы ОДУ 1-го порядка. Приближенные методы решения граничной задачи для ОДУ 2-го порядка. Метод стрельбы. Метод прогонки. Приближенные методы решения причинно-следственных обратных задач. Использование обыкновенных дифференциальных уравнений в гуманитарном анализе прикладных исследований.

Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. История создания приближенных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных. Приближенные методы решения линейного уравнения переноса 1-го порядка. Приближенные методы решения уравнения колебания струны. Приближенные методы решения уравнения теплопроводности. Приближенные методы решения уравнения Пуассона. Приближенные методы решения причинно-следственных обратных задач. Анализ особенностей рациональных рассуждений при численном решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Численные методы решения линейных интегральных уравнений. История создания приближенных методов решения интегральных уравнений. Метод последовательных приближений. Квадратурные формулы. Роль интегральных уравнений в решении ОДУ и уравнений в частных производных.

Численные методы оптимизации. История создания численных методов оптимизации. Численные методы отыскания безусловного экстремума функции одной переменной. Метод золотого сечения. Метод Ньютона. Численные методы отыскания безусловного экстремума функции одной переменной. Метод наискорейшего спуска. Метод покоординатного спуска. Метод сопряженных градиентов. Численные методы отыскания условного экстремума функции. Метод

исключения. Метод множителей Лагранжа. Линейное программирование. Симплекс-метод. Комбинаторные задачи. Обратная задача исследования операций. Оптимизационные методы в гуманитарном анализе прикладных исследований.

В качестве примера, демонстрирующего возможности фундаментального обучения численным методам, можно остановиться на одном из разделов разработанного учебного курса, содержание которого составляют численные методы решения причинно-следственных обратных задач. Требуется, используя неявную разностную схему, найти приближенное решение задачи вычисления неизвестного коэффициента а(х), входящего в семейство обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка вида: (¿2/с1х2) у + а(х) у(х) = 0 при условиях:^«*, а) = \,у'(а, а) = \,у(х*, а) = <р{а), причем,у = у(х, а),х е Д,а е Я, х - независимая переменная, а - числовой параметр, х* - известное число. В узлах (к,0 сеточной области = \(к,1)\к = 1,Л', / = 1, Л', N =1/И ] определяются сеточные функции целочисленных аргументов V;., рк, /,, М = 1, Л^, причем, /) = <р{а,), / = 1, N, в терминах которых строится конечно-разностный аналог исходной дифференциальной причинно-следственной обратной задачи:

((у;.+1+2У;:+У;,_|)/А2)+Д„ =О,_*= и^Т, /= оЛ; = 1, /= мг,

Уу+1 = у,'_1, ;' = О,N-1, у'н = /)■,/= О,ЛГ. Сформулируем разностную обратную задачу: в сеточной области вычислить числовые последовательности

I = Пм - -

М \ = и {Рк }*=(Пу- Значения у£,для к = Ы - 1,1, /' = ОД - 1 вычисляются из системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей вида А1 У ¡'Г,2 = В ,_2, ¡=N-1, N-2, ..., 2, такой, что на нижней ее диагонали расположены числа вн.!, 0„ где 0, = 1 + /г2/?,, а все ее равные между со-

бой элементы, находящиеся на центральной и верхней диагоналей, соответственно равны целым числам: - 2 и 1; ,2 = (VдГ_2,, удГ_22,..., у."2, у,1.;,2 } ,

=(-вК/,_2, О,О,...,О -1 У, символ «Г» - знак транспонирования, количество нулей р в векторе определяется формулой:/? = N - 1 - /, / = N - 1,2. В дальнейшем студентам приводится доказательство теоремы единственности решения разностной обратной задачи на отрезке [- 2 / А2,0].

В процессе изложения решения данной задачи до понимания студентов доводятся прикладные аспекты исходной дифференциальной причинно-следственной обратной задачи, ее познавательный потенциал; приводится анализ подходов выбора и разработки вычислительного алгоритма, который является не типичным вычислительным алгоритмом по отношению к вычислительным алгоритмам нахождения численных решений задач для дифференциальных уравнений, встречающихся в традиционных вузовских учебных курсах численных методов. Это способствует освоению студентами фундаментальных основ теории вычислений.

Существенной составляющей педагогических технологий являются методы обучения - способы упорядоченной взаимосвязанной деятельности преподавателя и учащихся, направленной на решение задач образования (Ю.К. Бабанский). Как отмечают И.М. Блехман, А.Д. Мышкис, Я.Г. Пановко,

стиль рассуждений, составляющий логическую основу прикладной математики, состоит из дедуктивных и рациональных рассуждений, которые иногда неприемлемы с точки зрения чистой математики, но способные при разумном их применении приводить к правильным результатам. Подобные рациональные рассуждения следует применять в обучении численным методам. Среди них: выдвижение гипотезы, контроль сходимости и погрешности вычислительного метода, осмысление физического смыла прикладной задачи при ее численном решении и др.

В качестве примера, иллюстрирующего метод рациональных рассуждений: осмысление физического смыла прикладной задачи при ее численном решении и его связь с фундаментализацией обучения, можно рассмотреть задачу нахождения в области - оо<х<со, г>0 численного решения одномерного уравнения переноса (д/д() и + а (д/дх) II = :,/) при начальных условиях £/(*,0)= Ф(х). При численном решении данной прикладной задачи она сводится к разностной задаче. При выборе сходящегося вычислительного алгоритма необходимо проанализировать знак коэффициента а уравнения. В этом случае при условии, когда а < 0 целесообразно использовать вычислительный алгоритм вида и"' =(1 + а (г/А)) и"к - а (г/И) и"к+] +г/А", условная сходимость которого обеспечивается условием 0<-а (т/И) < 1. Наличие отрицательного коэффициента при производной по х в уравнении указывает на то, что оператор данного уравнения является гиперболическим, а это, в свою очередь, указывает на то, что при помощи данного уравнения описываются различные процессы, в том числе волновые процессы, процессы переноса частиц и др.

До студентов доводятся сведения о том, что данным типом уравнения могут быть описаны вышеотмеченные физические процессы, что способствует пониманию студентами идеи целостности мира, глубокому усвоению как дисциплин прикладной математики, так и дисциплин из других предметных областей, что, в свою очередь, способствует формированию представления о роли вычислительной математики в современной жизни и о гуманитарном потенциале численных методов. Это, в конечном счете, позволяет фундамен-тализировать обучение студентов численным методам.

В то же время, процессы информатизации современного общества характеризуются совершенствованием и распространением информационных технологий в сферу образования. При обучении студентов численным методам лабораторная работа является активной формой обучения. В рамках настоящего диссертационного исследования разработано электронное пособие по численным методам. Каждый его раздел, который способствует информатизации обучения, включает: необходимый теоретический материал, блок-схемы вычислительных алгоритмов и листинги их программ на языке Паскаль, контрольные вопросы и индивидуальные задания, список рекомендуемой литературы; реализована возможность запуска имеющихся в пособии программ на языке Паскаль, реализующих вычислительные алгоритмы решения тестовых учебных задач (рисунок 1). Использование такого пособия на лабораторных занятиях позволяет студентам с различным уровнем подготовки и индивидуальными особенностями выполнять необходимые задания; способствует формированию у них

представления о фундаментальных основах теории и методологии вычислений, высокого уровня знаний, умений и навыков, необходимых для численного решения прикладных задач, анализа, сравнения, обобщения полученных результатов.

R:<' • МП г]

¡о««- > i»i ¡а , у— -evvJ- :ь. а

Ыеп-ги i-гпжя <crri>:

Nfofll Омрщкуг ggf,

Вычислительный алгоритм метода Ньютона

Предоплате«. m immun.Ш ясажрыан» па с Проьедек гасатмьиую к графику функции

к? В0 » (z0,SCxJ) а>нс8)

иеио ди^фсрснцкр/гиа <и ин-краые (а, Ь) Пмахкк х0 - Ь.

Лл>

«т». nMnjrmt, inn» ,.

Рисунок 1. Использование электронного учебного пособия по численным методам при обучении фундаментальным основам теории и методологи вычислений

В ходе педагогического эксперимента определялись: коэффициент усвоения учебного материала по численным методам по формуле В.П. Беспалько: k = n/N, где я- количество баллов, набранных студентами, N - максимальное количество баллов; полнота усвоения содержания понятий, используемых в учебном курсе численных методов, по формуле A.B. Усовой:

К = (1 / р ■ n) ^ р., где р- число существенных признаков понятия, усвоен-

i=i

ных /-м студентом; р— общее число признаков понятия; и- число студентов в группе.

Для выявления полноты усвоения фундаментальных основ теории и методологии вычислений студентам в качестве заданий было предложено исследовать конкретный вычислительный алгоритм на сходимость, устойчивость к погрешностям округления ЭВМ и др.; построить вычислительные алгоритмы приближенных решений математических задач, которые не рассматривались в процессе их обучения численным методам. Среди них была следующая задача. Построить, используя явную разностную схему, вычислительный алгоритм нахождения приближенного решения задачи определения неизвестного коэффи-

циента а(х), входящего в семейство обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка: (с/2/сЬс2) у+а(х) у(х)=0 при условиях: у(а, а =1, у'(а, «)=1, у(х*, а) = <р{а), причем, у = у(х, а), х е Я, а е Я, х - независимая переменная, а - | числовой параметр, х* - известное число.

В результате построения разностного аналога исходной математической задачи студентами был сконструирован вычислительный алгоритм нахождения приближенного решения задачи в ранее рассмотренной сеточной области в

Л'-!

виде формулы:рк = (/к -/к_{)1 И2 ^^ к = N-1,1. Более того, студенты за-

¡=к

метили, что осуществив предельный переход при А—>0, можно для искомой числовой последовательности Д получить следующее выражение: !

Рк —и^о * -<Р'(хк)1 J <Р (%)> к = N - \. Это наглядно демонстрирует на-

личие у студентов фундаментальных знаний по теории и методологии вычислений.

На рисунке 2 приведены показатели усвоения фундаментальных основ теории и методологи вычислений, на котором цифрами обозначены номера

Показатели усвоения фундаментальных основ теории и методологии вычислений

123456789 10 Номера тем

Рисунок 2. Показатели усвоения фундаментальных основ теории и методологи вычислений

тем: 1. Понятие математической модели; 2. Понятие вычислительного экспери- , мента; 3. Понятие численного метода решения математической задачи; 4. Понятие вычислительного алгоритма; 5. Понятие сходимости вычислительного алгоритма; 6. Понятие устойчивости вычислительного алгоритма; 7. Понятие корректности вычислительного алгоритма; 8. Понятие разностной схемы; 9. Фундаментальные основы теории и методологии построения вычислительных алгоритмов; 10. Методы рациональных рассуждений при численном решении математических задач.

Все показатели превышают уровень 0.65, что говорит об эффективности предложенной системы обучения численным методам.

Таким образом, результаты проведенной экспериментальной работы свидетельствуют об эффективности усовершенствованной методической системы обучения численным методам, предусматривающей знакомство студентов с фундаментальными основами теории и методологии вычислений. Благодаря эксперименту косвенно подтверждены как наличие гуманитарного потенциала обучения численным методам, так и приобретение выпускниками способностей применять в рамках своей профессиональной деятельности наиболее эффективные численные методы для решения математических задач. Это свидетельствует о том, что гипотеза исследования получила свое подтверждение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенного исследования были получены следующие основные выводы и результаты:

1) обоснована необходимость фундаментализации обучения численным методам студентов физико-математических специальностей вузов, выявлены существенные факторы фундаментализации такого обучения. В частности, доказано, что выявленный и использованный гуманитарный потенциал обучения теории и методологии вычислений способствует расширению мировоззрения студентов, развитию логической культуры мышления, реализации межпредметных связей и прикладной направленности обучения, что влечет за собой подготовку специалистов к самостоятельной разработке или подбору наиболее эффективных алгоритмов решения математических задач;

2) выявлено положительное влияние фундаментального обучения численным методам на формирование значимых личностных и профессиональных качеств студентов, заключающихся в овладении словесным способом описания хода исследования, применении аналогий, формулировке гипотез, аксиом и убедительных рассуждений; научной полемике, способности делать логические выводы прикладного и гуманитарного характера;

3) конкретизированы основные принципы фундаментального обучения численным методам (научности, системности, профессиональной направленности и др.), с их использованием, а также на основе применения специально разработанной технологии анализа содержания подготовки усовершенствована методическая система обучения численным методам студентов физико-математических специальностей вузов. В содержание обучения включены дополнительные разделы, среди которых: история создания численных методов решения математических задач, численное решение причинно-следственных обратных задач, анализ рациональных рассуждений при численном решении математических задач и др.;

4) на основе систематизации типов задач, решаемых с помощью численных методов, выявлены инвариантные основы теории и методологии вычислений, которые учтены в системе учебных задач, демонстрирующей студентам фундаментальные аспекты курса численных методов;

5) описаны методы рациональных рассуждений, применяемые в обучении всем рассматриваемым численным методам. Среди таких методов рассуждений

- уточнение, выдвижение гипотез, рассмотрение частных случаев при численном решении задач и другие. Предложены методы обучения студентов, предусматривающие творчество в рамках создания эффективных вычислительных алгоритмов и способствующие формированию у будущих специалистов фундаментальных знаний и связанных с ними умений разрабатывать и применять в ходе профессиональной деятельности наиболее эффективные алгоритмы решения математических задач;

6) разработано электронное учебное пособие по численным методам, способствующее формированию у студентов знаний фундаментальных основ теории и методологии вычислений, умений и навыков, необходимых студентам для численного решения математических задач, анализа, сравнения, обобщения полученных результатов. Содержание пособия включает необходимый теоретический материал, блок-схемы и листинги программ, реализующих вычислительные алгоритмы на языке Паскаль, перечень контрольных вопросов и индивидуальных заданий и др.;

7) на основе использованных критериев, в числе которых полнота усвоения понятий, уровень гуманитарной составляющей обучения и другие критерии, экспериментально доказана эффективность разработанной методической системы обучения численным методам студентов физико-математических специальностей вузов в условиях фундаментализации высшего математического образования и ее позитивное влияние на формирование профессиональных качеств специалистов в области прикладной математики.

Основные результаты работы отражены в 13 публикациях по теме диссертации.

I. Публикации в изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

1. Обучение численным методам в условиях информатизации образования // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Информатизация образования». - 2006. - № 1 (3). - С. 125-128.

2. Инструментарий анализа содержания обучения дисциплине «Численные методы» // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Информатизация образования». - 2009. - № 2. - С.60-63.

3. Применение методов информатизации при обучении студентов численным методам // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Информатизация образования». - 2009. - № 3. - С.70-74. (в соавторстве Корнилов B.C., 50%).

И. Статьи в журналах, научных, научно-методических сборниках, трудах и материалах международных конференций.

4. Цели и задачи обучения численным методам // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия «Информатика и информатизация образования». - 2005. - № 2 (5). - С.133-137.

5. Обучение курсу «Численные методы» в условиях информатизации образования // Применение новых технологий в образовании: Материалы XVII Международной конференции. - Троицк: НФТО «БАЙТИК», 2006 - С. 10-11.

6. Разработка электронного пособия по численным методам // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия "Информатика и

информатизация образования". - 2006. - № 2 (7). - С. 23-25.

7. Выбор формы реализации электронного пособия по численным методам // Применение новых технологий в образовании: Материалы XVIII Международной конференции. - Троицк: НФТО «БАЙТИК», 2007. - С. 74-75.

8. Формы и методы обучения численным методам // Применение новых технологий в образовании: Материалы XIX Международной конференции. -Троицк: НФТО «БАЙТИК», 2008. - С. 17-19.

9. Мультимедийная презентация и мультимедийное пособие. В чем разница? // Среднее профессиональное образование. Приложение к ежемесячному теоретическому и научно-методическому журналу «СПО». - М., 2008. -№ 9. -С.32-35. (в соавторстве Демидова Е.Р., Сединкина Р.Г., 33%).

10. Подходы к анализу содержания обучения численным методам // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия «Информатика и информатизация образования». - 2009. - № 1 (17).-С.135-137.

11. Дидактические принципы обучения численным методам при использовании компьютерных математических пакетов // Применение новых технологий в образовании: Материалы XX Международной конференции. - Троицк: НФТО «БАИТИК», 2009. - С. 101-102.

12. Обучение численным методам в условиях фундаментализации образования // Информационные технологии в образовании и науке: Сб. науч. трудов. - Воронеж: Научная книга, 2009. - С. 54-57 (в соавторстве Корнилов B.C., 50 %).

13. Роль информатики в подготовке специалистов по прикладной математике // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия «Информатика и информатизация образования». - 2009. - № 2 (18). - С.67-72 (в соавторстве Левченко И.В., Корнилов B.C., 33%).

Подписано в печать: 26.01.11

Объем: 1,5 усл.п.л. Тираж: 150 экз. Заказ № 775 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского,39 (495)363-78-90; www.reglet.ru

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Беликов, Василий Владимирович, 2011 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ И ЕЕ ВЛИЯНИЕ НА СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ОБУЧЕНИЯ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ.

§1.1. Фундаментализация образования как элемент стратегии развития современного общества.

§ 1.2. Фундаментализация математического образования: особенности и перспективы.

§ 1.3. Численные методы - область вычислительной математики

§ 1.4. Существующие подходы к обучению численным методам студентов вузов.

§ 1.5. Гуманитарный потенциал обучения численным методам 61 Общие выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. ОБУЧЕНИЕ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ

В УСЛОВИЯХ ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИИ ВЫСШЕГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

§ 2.1. Принципы обучения численным методам в условиях фундаментализации образования.

§ 2.2. Цели и содержание фундаментального обучения численным методам в вузе.

§2.3. Методология фундаментального обучения численным методам.

§ 2.4. Информационные технологии в обучении численным методам.

§ 2.5. Экспериментальное подтверждение эффективности обучения фундаментальным основам теории вычислений

Введение диссертации по педагогике, на тему "Развитие методической системы обучения численным методам в условиях фундаментализации высшего математического образования"

Актуальность исследования. В современной концепции модернизации российского образования определяется главная задача отечественной образовательной политики — обеспечение качества образования на основе сохранения его фундаментальности и соответствия актуальным и перспективным потребностям личности, общества и государства. Одна из важных задач фунда-ментализации образования - преодоление исторически возникшего разобщения естественнонаучной и гуманитарной компонент культуры путем их взаимообогащения и поиска оснований целостной культуры на новом этапе развития цивилизации. Проблема фундаментализации образования находит свое развитие в работах С.И. Архангельского, Ю.К. Бабанского, А.Д. Гладуна, О.Н. Голубевой, СЛ. Казанцева, В.В. Краевского, И.В. Левченко, B.C. Леднева, И.Я. Лернера, Н.В. Садовникова, В.А. Тестова и других ученых.

Существенный вклад в развитие вычислительной математики внесли Н.С. Бахвалов, А.О. Гельфонд, Б.Г. Галеркин, С.К. Годунов, A.A. Дородницын, Л.В. Канторович, JL Коллатц, А.Н. Крылов, Р. Курант, К. Ланцош, Г. Леви, Г.И. Марчук, Р.Д. Рихтмайер, A.A. Самарский, Дж. Скарборо, А.Н. Тихонов, К. Фридрихе и другие ученые. С развитием современных информационных технологий в настоящее время численные методы стали эффективным математическим средством решения многих задач как в области естествознания, так и гуманитарных и социальных наук. Численный метод решения задачи — это определенная последовательность операций над числами, т.е. вычислительный алгоритм, язык которого — числа и арифметические действия. Такая примитивность языка позволяет реализовать численные методы компьютерными средствами, что делает эти методы универсальным инструментом исследования.

В работах A.A. Аданникова, P.M. Асланова, И.В. Егорченко, С.И. Калинина, И.В. Левченко, А.Г. Мордковича, Г.Г. Хамова и других находит свое развитие фундаментализация обучения вышеперечисленным дисциплинам. Вместе с тем необходима фундаментализация обучения студентов вузов и численным методам, что позволило бы познакомить студентов с фундаментальными основами теории вычислений и методологией разработки вычислительных алгоритмов разнообразных прикладных задач. Основы содержания обучения численным методам студентов высших учебных заведений были заложены Я.С. Безиковичем, Э.Д. Бутом, A.A. Марковым, А.Н. Крыловым, Г. Робинсоном, Э.Дж. Скарборо, Д.К. Фадеевым, В.Н. Фадеевой, A.A. Фридманом, Э. Уиттекером и другими. Одними из первых авторов учебных пособий по численным методам в России являются A.A. Марков, А.Н. Крылов, Я.С. Безикович и A.A. Фридман. Отбору и формированию содержания обучения вузовском курсу численных методов посвятили свои труды Н.С. Бахвалов, И.С. Березин, В.А. Бубнов, В.М. Вержбицкий, Е.А. Волков, В.Ф. Дьяченко, Н.П. Жидков, В.Н. Исаков, B.C. Корнилов, М.П. Лапчик, Дж. Ортега, У.Г. Пирумов, У. Пул, М.И. Рагулина, A.A. Самарский, Л.И. Турчак, Е.К. Хеннер и другие. Методическая система обучения студентов численным методам находит свое развитие в диссертационных исследованиях И.В. Белен-ковой, И.А. Кузнецовой, Е.А. Рябухиной, Т.А. Степановой, A.A. Сушенцова, Г.М. Федченко и других.

Учебный курс численных методов, с одной стороны, использует сложные математические модели и методы вычислительной математики. С другой стороны, такой курс тесно связан со многими математическими дисциплинами, изучаемыми в вузе. Опыт показывает, что численное решение математических задач способствует реализации мотивационной, познавательной, развивающей, воспитывающей, управляющей, иллюстративной, образовательной функций обучения, формированию и развитию межпредметных и общеучебных умений и способностей студентов, функции контроля проверки знаний и умений студентов. Однако, существующая практика обучения численным методам в вузе показывает, что обучение студентов основано на решении определенного количества задач разного типа с использованием разных методов и средств. Такой подход позволяет эффективно обучать решению типовых задач вошедших в систему обучения. Это не позволяет в полной мере познакомить студентов с фундаментальными инвариантами теории вычислений, что позволило бы будущим специалистам подбирать или даже самостоятельно разрабатывать наиболее эффективные алгоритмы решения задач связанных с их профессиональной деятельностью. Необходима фунда-ментализация обучения численным методам. Кроме того, в имеющихся научных исследованиях не раскрыт гуманитарный потенциал обучения численным методам, не уделено внимание методологическому анализу содержания обучения численным методам, не в полной мере описаны методы обучения, что могло бы внести существенный вклад в фундаментализацию обучения студентов вузов численным методам.

Учитывая вышеизложенное, следует отметить, что в традиционной системе прикладного математического образования имеется противоречие между необходимостью фундаментализации высшего математического образования, возможностью использования численных методов как фактора фунда-ментализации математического образования и несовершенством существующих методических систем в контексте фундаментализации обучения численным методам, способствующих формированию у студентов умений самостоятельно подбирать или разрабатывать эффективные вычислительные алгоритмы, а также общекультурных компонентов, среди которых прикладная математическая культура мышления, знание истории создания теории численных методов, алгоритмическая культура мышления и другие.

Указанные доводы и противоречие определяют научную проблему настоящей диссертационной работы, заключающуюся в отсутствии методической системы обучения численным методам, ориентированной на подготовку студентов — будущих специалистов в области прикладной математики, обучающихся на физико-математических специальностях высших учебных заведений, в условиях фундаментализации высшего математического образования. Для устранения указанного противоречия необходимо провести целостное педагогическое исследование, посвященное выявлению гуманитарного потенциала обучения численным методам, разработке системы обучения численным методам в условиях фундаментализации высшего математического образования, раскрытию методологии обучения численным методам и разработке соответствующих средств их реализации, выявлению вклада обучения численным методам в фундаментализацию высшего математического образования.

Предмет исследования — методическая система обучения численным методам в условиях фундаментализации высшего математического образования.

- повысить эффективность обучения студентов физико-математических специальностей, что даст возможность выпускникам применять наиболее эффективные численные методы при решении математических задач в рамках своей профессиональной деятельности; выявить гуманитарный потенциал обучения численным методам, как элемент фундаментализации образования, включающий в себя историко-математическую подготовку; межпредметные связи и прикладную направленность обучения, расширение мировоззрения, психологические аспекты обучения, логическую культуру мышления.

Цель, предмет и гипотеза исследования определили постановку и необходимость решения следующих задач:

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют фундаментальные работы в области профессиональной подготовки специалистов и проблем развития личности средствами обучения математике (С.И. Архангельский, И.И. Баврин, В.А. Гусев, Т.А. Иванова, А.Н. Колмогоров, Г.Л. Луканкин, А.Г. Мордкович, Е.И. Смирнов, Г.Г. Хамов, М.И. Шабунин и др.); по общедидактическим принципам и критериям оптимизации организации обучения (Ю.К. Бабанский, В.П. Беспалько, В.И. Загвязинский, О.Ю. Заславская, B.C. Ильин, B.C. Леднев, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин, A.B. Усова и др.); в обучении численным методам (И.В. Беленкова, В.А. Бубнов, Е.А. Волков, И.А. Кузнецова, М.П. Лапчик, И.Н. Пальчикова, М.И. Рагулина, Е.А.Рябухина, A.A. Самарский, Т.А. Степанова, Л.И. Турчак, Г.М. Федченко, Е.К. Хеннер и др.); фундаментализации высшего образования (A.A. Аданни-ков, P.M. Асланов, C.B. Белобородова, И.В. Егорченко, С.И. Калинин, И.В. Левченко, А.Г. Мордкович, Г.Г. Хамов и др.); гуманитаризации образования (М.Н. Берулава, С.А. Комиссарова, B.C. Корнилов, A.C. Кравец, В.В. Мадер, Т.Н. Миракова, А.Г. Мордкович, H.A. Назарова, И.М. Орешников и др.); по проблемам информатизации образования (Т.А. Бороненко, С.Г. Григорьев, В.В. Гринижун, С.А. Жданов, A.A. Кузнецов, С.И. Макаров, Е.В. Огородников, И.В. Роберт, А.Н. Тихонов и др.); по проблеме реализации межпредметных связей (В.В. Амелькин, Т.Г. Захарова, Р.П. Исаева, O.E. Кириченко, И.А. Кузнецова, Р.П. Петрова, Л.А. Пржевалинская и др.); по методическим аспектам использования компьютерных математических пакетов в вузе при обучении физико-математическим дисциплинам (И.В. Беленкова, Д.П. Голо-скоков, А.Р. Есаян, Е.А. Дахер, В.П. Дьяконов, С.А. Дьяченко, Ю.Г. Игнатьев, Е.В. Клименко, C.B. Поршнев и др.).

Научная новизна исследования:

2) показано, что существенным фактором фундаментализации обучения численным методам является выявленный и использованный гуманитарный потенциал, позволяющий расширить мировоззрение студентов, развить логическую культуру мышления, реализовать межпредметные связи и прикладную направленность обучения, что способствует более глубокому освоению студентами теории и методологии вычислений с компьютерной техникой;

Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что:

1) описаны методы-рациональных рассуждений, необходимые для фун-даментализации обучения численным методам, среди которых: контроль сходимости и погрешности вычислительного метода, осмысление физического смысла математической задачи и др.;

3) разработана система задач, демонстрирующая студентам фундаментальные аспекты курса численных методов;

Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивалась непротиворечивостью логических выводов в ходе »теоретического анализа проблем исследования и их согласованностью с концепциями математических и педагогических наук и принципиальным соответствием основным результатам других исследователей; четкостью методологических, математических, историко-математических, психолого-педагогических, дидактических и методических позиций; корректным применением к проблеме исследования системного, деятельностного, культурологического и исторического подходов; использованием известных методов вычислительной математики, учетом опыта коллег по'работе, использованием в обучении численным методам средств информатизации образования', повышением качества обучения и характеристик личностного развития студентов.

Работы в рамках исследования проводились с 2005 по 2010 годы и могут быть условно разделены на три основных этапа.

На первом этапе (2005-2006 г.г.) выявлялась проблема исследования; определялась степень разработанности научной проблемы; формулировались цель, гипотеза, задачи исследования; анализировались философские, психолого-педагогические, математические, методические источники и диссертационные работы по теме исследования, анализировались подходы к фунда-ментализации математического образования и существующие системы обучения численным методам студентов вузов.

На защиту выносятся следующие положения:

2) внедрение усовершенствованной методической системы обучения численным методам способствует более эффективной подготовке специалистов к использованию информационных технологий для решения прикладных математических задач. Это достигается за счет того, что в ней учтены фундаментальные основы теории и методологии вычислений, систематизи-" рованы основные типы задач, решаемых численными методами, принципы отбора содержания обучения численным методам, такие, как единство учебного материала и содержательных линий, обобщенность, полнота, оптимальность, дидактическая значимость и другие, применены методы рациональных рассуждений, среди которых уточнение, выдвижение гипотез, рассмотрение частных случаев при численном решении задач и др.;

3) информатизация обучения численным методам, основанная на использовании разработанного электронного учебного пособия и сформулированных рекомендаций, способствует повышению эффективности подготовки студентов физико-математических специальностей вузов. Это обусловлено возможностью реализации дидактических принципов обучения, среди которых, принципы творчества и инициативы студентов, коллективного характера в сочетании с развитием индивидуальных особенностей личности каждого студента, научности, системности, наглядности, межпредметных связей. Информатизация обучения способствует формированию высокого уровня знаний, умений и навыков, необходимых студентам для численного решения» прикладных математических задач, анализа, сравнения; обобщения полученных результатов.

Апробация результатов исследования. Полученные результаты докладывались и обсуждались на Международной научно-практической конференции "Информационные технологии в образовании" ("ИТО-Черноземье 2006", Курск, КГУ, 2006); XVII, XVIII, XIX, XX Международных конференциях "Применение новых технологий в образовании" (Троицк, ФНТО "БАЙ-ТИК", 2006, 2007, 2008, 2009); на заседаниях кафедры информатики и прикладной математики и кафедры информатизации образования Института математики и информатики ГОУ ВПО «Московский городской педагогический университет (2006—2009).

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Общие выводы к главе 2

Конкретизированы основные принципы обучения численным методам в условиях фундаментализации высшего математического образования, в числе которых: принципы профессиональной направленности, доступности, наглядности, научности, межпредметных связей и системности и др.

Разработана технология анализа содержания обучения численным методам. Конкретизированы цели и усовершенствованно содержание обучения фундаментальному курсу численных методов. Систематизированы основные типы задач, решаемых численными методами, с целью поиска фундаментальных инвариантов. Среди них: решение уравнений, исследование свойств решения уравнений, экстремальные задачи, задачи определения коэффициентов функций и др.

Разработана методика обучения, предусматривающая творчество студентов по созданию эффективных вычислительных алгоритмов. Разработано электронное учебное пособие по численным методам, способствующее фун-даментализации обучения. Каждый его раздел включает: необходимый теоретический материал, блок-схемы вычислительных алгоритмов и листинги их программ на Паскале, контрольные вопросы и индивидуальные задания, список рекомендуемой литературы; реализована возможность запуска имеющихся в пособии программ на Паскале, реализующих вычислительные алгоритмы решения тестовых учебных задач. Использование его на лабораторных занятиях позволяет студентам с различным уровнем подготовки и индивидуальными особенностями выполнять необходимые задания; способствует формированию у них высокого уровня знаний, умений и навыков, необходимых для численного решения прикладных задач, анализа, сравнения, обобщения полученных результатов.

Экспериментально подтверждена эффективность применения методической системы обучения численным методам в условиях фундаментализации высшего математического образования и ее влияние на формирование профессиональных качеств будущих специалистов в области прикладной математики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенного исследования были получены следующие основные выводы и результаты:

3) конкретизированы основные принципы фундаментального обучения численным методам {научности, системности, профессиональной направленности и др.), с их использованием, а также на основе применения специально разработанной технологии анализа содержания подготовки усовершенствована методическая система обучения численным методам студентов физико-математических специальностей вузов. В содержание обучения включены дополнительные разделы, среди которых: история создания численных методов решения математических задач, численное решение причинно-следственных обратных задач, анализ рациональных рассуждений при численном решении математических задач и др.;

165

5) описаны методы рациональных рассуждений, применяемые в обучении всем рассматриваемым численным методам. Среди таких методов рассуждений — уточнение, выдвижение гипотез, рассмотрение частных случаев при численном решении задач и другие. Предложены методы обучения студентов, предусматривающие творчество в рамках создания эффективных вычислительных алгоритмов и способствующие формированию у будущих специалистов фундаментальных знаний и связанных с ними умений разрабатывать и применять в ходе профессиональной деятельности наиболее эффективные алгоритмы решения математических задач;

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Беликов, Василий Владимирович, Москва

1. Абдеев Р.Ф. Философия информационной цивилизации: Диалектика прогрессивной линии развития как гуманная общечеловеческая философия для XX1.века: Учеб. пособие. - М.: ВЛАДОС, 1994. - 336 с.

2. Авдеев A.C., Кремлев А.Н., Конюх Г.В., Кутов В.П. Введение в численные методы и их применение в компьютерном моделировании. — Новосибирск: НГУ, 1998.-46 с.

3. Аданников A.A. Фундаментализация физико-математической подготовки в профессиональной подготовке студентов технических вузов: Дисс. канд. пед. наук. Тольятти: ТГУ, 2001. - 208 с.

4. Азаров А.И., Басик В.А., Мелешко И.Н., Монастырный П.И. и др. Сборник задач по методам вычислений / Под редакцией П.И. Монастырного. -М.: Наука, 1994.-319 с.

5. Академик А.Н. Крылов. Воспоминания и очерки. — М: Изд-во АН СССР, 1956. 579 с.

6. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987.- 158 с.

7. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1969.-286 с.

8. Арнхейм Р. Искусство и визуальное восприятие. М.: Архитектура С, 2007.-392 с.

9. Арнольд В.И. "Жесткие и мягкие" математические модели. М.: МЦНМО, 2000.-32 с.

10. Артебякина О.В. Формирование математической культуры у студентов педвузов: Дисс. канд. пед. наук. Челябинск, 1999. - 162 с.

11. Архангельский С.И. Лекции по научной организации учебного процесса в высшей школе. — М.: Высшая школа, 1976. — 200 с.

12. Архангельский С.И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы. — М.: Высшая школа, 1980. — 368 с.

13. Асланов P.M. Методическая система обучения дифференциальным уравнениям в педвузе: Дисс. .д-ра пед. наук. М., 1997. - 390 с.

14. Ахмеров P.P., Коробицына Ж.Л., Слепцов А.Г. Основы численного анализа в задачах: Учеб. пособие. — Новосибирск, 1994. — 96 с.

15. Ашихмин В.Н., Гитман М.Б., Келлер И.Э., Наймарк О.Б., Столбов В.Ю., Трусов П.В., Фрик П.Г. Введение в математическое моделирование: Учебное пособие. М.: Логос, 2004. - 439 с.

16. Бабанский Ю.К. Избранные педагогические труды. М.: Педагогика, 1989.-560 с.

17. Бабанский Ю.К., Сластенин В.А. и др. Педагогика. М.: Просвещение, 1988.-479 с.

18. Баврин Г.И. Усиление профессиональной и прикладной направленности преподавателя математического анализа в педвузе (на материале курса «Дифференциальные уравнения»): Дисс. канд. пед. наук. -М., 1998. — 195 с.

19. Балл Г.А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. -М.: Педагогика, 1990. 184 с.

20. Барахнин В.Б., Шапеев В.П. Введение в численный анализ: Учеб.пособие. — Новосибирск, 1997. 110 с.

21. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином. Лабораторные знания, 2003. — 632 с.

22. Безикович Я.С, Фридман A.A. Приближенные вычисления. Л.: Гостехиздат, 1925. — 136 с.

23. Безикович Я.С. Приближенные вычисления. — Л.-М.: Гостехиздат, 1931.-312 с.

24. Беленкова И.В. Методика использования математических пакетов в профессиональной подготовке студентов вуза: Дисс. канд. пед. наук. — Екатеринбург, 2004. 170 с.

25. Беликов В.В. Цели и задачи обучения численным методам // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия «Информатика и информатизация образования». 2005. — № 2 (5). - С. 133-137.

26. Беликов В.В. Разработка электронного пособия по численным методам // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия «Информатика и информатизация образования». — 2006. № 2 (7). - С. 23-25.

27. Беликов В.В. Обучение курсу «Численные методы» в условиях информатизации образования // Применение новых технологий в образовании: Материалы XVII Международной конференции (г. Троицк, 28-29 июня 2006 г.). Троицк: НФТО «Байтик», 2006 - С. 10-11

28. Беликов В.В. Обучение численным методам в условиях информатизации образования // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Информатизация образования». 2006. - № 1(3). - С.125-128.

29. Беликов В.В. Выбор формы реализации электронного пособия по численным методам // Применение новых технологий в образовании: Материалы XVIII Международной конференции (г. Троицк, 27-28 июня 2007 г.). -Троицк: НФТО «Байтик», 2007. С. 74-75.

30. Беликов В.В. Формы и методы обучения численным методам // Применение новых технологий в образовании: Материалы XIX Международной конференции (г. Троицк, 26-27 июня 2008 г.). — Троицк: НФТО «Байтик», 2008. С.17-19.

31. Беликов B.B. Инструментарий анализа содержания обучения дисциплине «Численные методы» // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Информатизация образования». 2009. - № 2. - С.60-63.

32. Беликов В.В. Подходы к анализу содержания обучения численным методам // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия «Информатика и информатизация образования». 2009. - № 1 (17). — С.135-137.

33. Белобородова C.B. Профессионально-педагогическая направленность историко-математической подготовки учителей математики в педвузе: Автореф. дисс. канд. пед. наук. -М., 1999. 23 с.

34. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Том 1. М.: Наука, 1966.-632 с.

35. Берулава М.Н. Гуманизация образования: направления и перспективы // Педагогика, 1996. № 4. - С.23-27

36. Берулава М.Н. Состояние и перспективы гуманизации образования // Педагогика, 1996. № 1. - С.9-12

37. Беспалько В.П. Педагогика и прогрессивные технологии обучения. -М.: Изд-во Института профессионального образования Минобразования России, 1995.-336 с.

38. Бешенков С.А. Развитие содержания обучения информатике в школе на основе понятий и методов формализации. Автореф. дис. д-ра пед. наук. М.: Институт общеобразовательной школы РАО, 1994. - 35 с.

39. Бим-Бад Б.М., Петровский A.B. Образование в контексте социализации // Педагогика, 1996. № 1. - С.3-7

40. Блехман И.М., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная математика: «Предмет, логика, особенности подходов». — М.: КомКнига, 2005. 376 с.

41. Бобонова E.H. Методические основы фундаментальной подготовки по информатике в педагогическом вузе: Автореф. дисс. канд. пед. наук. -Ярославль, 2002. 19 с.

42. Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Библиографический справочник. Киев: Наукова Думка, 1983. - 638 с.

43. Бокарева Г.А. Дидактические основы совершенствования профессиональной подготовки студентов в процессе обучения общенаучным дисциплинам: Автореф. дисс. д-ра пед. наук. М., 1988. — 38 с.

44. Большой Российский энциклопедический словарь. — М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 2005. 1887 с.

45. Бондаревская Е.В. Парадигма как методологический регулятив педагогической науки и инновационной практики // Педагогика. М., 2007. -№ 6. -С.3-10

46. Бордовский Г.А., Кондратьев A.C., Чоудери А.Д.Р. Физические основы математического моделирования: Учеб. пособие — M.: ACADEMA, 2005.-316 с.

47. Брудер Д.С. Процесс обучения М.: АПН РСФСР, 1962. - 84 с.

48. Бубнов В.А, Толстая Г.С., Клемешова O.E. Линейная алгебра: компьютерный практикум. М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. - 104 с.

49. Бут Э.Д. Численные методы / Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1959. -239 с.

50. Бухарова Г.Д. Теоретико-методологические основы обучения решению задач студентов вуза. Екатеринбург, 1995. - 137 с.

51. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов. — Тарту: Изд-во Тарт. ун-та, 1976. 162 с.

52. Вербицкая JI.A. Гуманитарное образование в современной России // Высшее образование в России, 1996. — № 1. — С.79-84

53. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2003.-848 с.

54. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. — Киев, 1986. — 543 с.

55. Виарда Г. Интегральные уравнения. М.; Л.: Гостеоретиздат, 1933. - 224 с.

56. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М.: Наука, 1966. — 507 с.

57. Виленкин Н.Я., Яглом И.М. О преподавании математики в педагогических институтах // Успехи математических наук, 1957. — № 12:2 (74). С. 199-209

58. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.-512 с.

59. Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие для вузов / 2-е изд., испр. М.: Наука, 1987. - 248 с.

60. Вольтера В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. - 286 с.

61. Воробьева Г.Н., Данилина А.Н. Практикум по вычислительной математике. М.: Наука, 1990. - 308 с.

62. Всероссийская научно-практическая конференция "Гуманитарное образование в школе: состояние, проблемы обновления": Итоговый документ.-М., 1999.

63. Вычислительная математика и математическое обеспечение ЭВМ: Сб. тр. факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ / Под редакцией А.Н. Тихонова, A.A. Самарского. М.: МГУ, 1985. - 280 с.

64. Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971. — 248 с.

65. Галченкова Р.И. Математика в Ленинградском (Петербургском) университете в XIX в. Историко-математические исследования. Bbin.XIV, 1961.-С. 355-392

66. Гальперин П.Я. Основные результаты исследований по проблеме «Формирование умственных действий и понятий». — М.: Просвещение, 1965. -121 с.

67. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. Гостехиздат, 1952.-480 с.

68. Гершунский Б.С. Философия образования для XXI века. М.: Педагогическое общество России, 2002. - 512 с.

69. Гидаспов В.Ю., Иванов И.Э., Ревизников Д.Л., Стрельцов В.Ю., Формалев В.Ф. Численные методы. Сборник задач: учеб. пособие для вузов / Под редакцией У.Г. Пирумова. М.: Дрофа, 2007. - 144 с.

70. Гладун А.Д. Роль фундаментального естественнонаучного образования в становлении специалиста // Высшее образование в России, 1994. -№4.-С. 24-25.

71. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. -М.: Просвещение, 1985. 191 с.

72. Годунов С.К. Воспоминания о разностных схемах // Доклад на Международном симпозиуме «Метод Годунова в газовой динамике» в Мичиганском университете (США). Май, 1997. — Новосибирск, 1997. 38 с.

73. Голубева О.Н. Концепция фундаментального естественнонаучного курса в новой парадигме образования // Высшее образование в России. — М.: 1994. № 4. - С.24.

74. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. — М.: Знание, 1991.-158 с.

75. Григорьев С.Г., Гриншкун В.В. Информатизация образования. Фундаментальные основы: Учеб. пособие — М.: МГПУ, 2005. — 231 с.

76. Григорьев С.Г., Гриншкун В.В. Образовательные электронные издания и ресурсы: Учебно-методическое пособие. — М.: МГГТУ, 2006. — 95 с.

77. Гуманитарный потенциал математического образования в школе и педвузе: Тезисы докладов XV Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов, посвященного 200-летию РГПУ им. А.И. Герцена. СПб., 1996. - 191 с.

78. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: Дисс. .д-ра пед. наук. — М., 1990. 364 с.

79. Гюнтер Н.М. Об интегральных уравнениях третьего рода // ДАН СССР, 1941. Т.ЗО. - № 8. - С. 677-680.

80. Давыдов В.В. Виды обобщений в обучении (логико-психологические проблемы построения учебных предметов). М.: Педагогика, 1972.-424 с.

81. Данилов М.А. О системе принципов обучения // Советская педагогика, 1950.-№4.-С. 115-128

82. Данилов Ю. А. Джон фон Нейман // Математика, кибернетика. Серия «Новое в жизни, науке, технике». М.: Знание, 1981. - № 4. - 64 с.

83. Дахер Е.А. Система Mathematica в процессе математической подготовки специалистов экономического профиля: Дисс. канд. пед. наук. М., 2004. - 190 с.

84. Дорофеев Г.В. Гуманитарно-ориентированный курс — основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе // Математика в школе, 1997. № 4. - С.59-66.

85. Дутка Г.Я. Фундаментал1защя математично1 шдготовки майбутшх фах1вщв: методолопчний та моральноетичний компоненти // «Наука. Решпя. Суспшьство». Льв1в, 2008. - № 2. - С. 239-244.

86. Дьяконов В. Системы компьютерной алгебры в 2005 году // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. Вып. 6. — Смоленск, 2005. — С.21-26.

87. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad 7.0 в математике, в физике и Internet. М.: Нолидж, 1999. - 169 с.

88. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. — М.: Наука, 1977.-126 с.

89. Дьяченко С.А. Использование интегрированной символьной системы Mathematica при изучении курса высшей математики в вузе: Дисс. канд. пед. наук. Орел, 2000. - 164 с.

90. Егорченко И.В. Фундаментализация математического образования: аспекты, особенности трактовок, направления реализации // Сибирский педагогический журнал. Новосибирск, 2006. - № 3. - С. 11-19.

91. Елгина JI.C. Фундаментализация образования в контексте устойчивого развития общества: сущность, концептуальные основы: Дисс.канд. филос. наук. Улан-Уде, 2000. - 154 с.

92. Желтов В.В. Болонская декларация и российское образование // Педагогика. М., 2007. - № 9. - С. 107-113

93. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. — М.: Просвещение, 1990. — 176 с.

94. Загвязинский В.И. Методология и методика дидактически исследований. -М., 1982.-160 с.

95. Захарова Т.Г. Формирование математической культуры в условиях профессиональной подготовки студентов вуза: Дисс. канд. пед. наук. Саратов, 2005. - 173 с.

96. Звягин К.А. Педагогические и управленческие факторы, способствующие выбору форм организации учебных занятий: Дисс. канд. пед. наук. Челябинск, 2003. - 176 с.

97. Зорина Л.Я. Дидактические аспекты естественно-научного образования.-М., 1993.-163 с.

98. Иванова Т.А. Теоретические основы гуманитаризации общего математического образования: Дисс.д-ра пед. наук. Нижний Новгород, 1998. -338 с.

99. Исаева Р.П. Система лабораторных работ как средство усиления математической подготовки студентов технического вуза: Автореф. дисс. канд. пед. наук. Саранск, 1994. — 31 с.

100. Исаков В.Н. Элементы численных методов. М.: ACADEMIA, 2003. -189 с.

101. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия: в 3-х тт. / Под редакцией А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1970-1972. - 1146 с.

102. Историко-математические исследования // Сб. статей / Под редакцией А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1985. - Вып. 28. - 351 с.

103. Историко-математические исследования // Сб. статей / Под редакцией А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1989. - Вып. 31. - 335 с.

104. Казанцев С .Я. Дидактические основы и закономерности фундамен-тализации обучения студентов в современной высшей школе: Автореф. дисс. д-ра пед. наук. — Казань: КГУ, 2000. — 38 с.

105. Калинин С.И. Обучение студентов математическому анализу в условиях фундаментализации высшего педагогического образования: Монография. Киров: Изд-во ВятГУ, 2008. - 353 с.

106. Ш.Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. JL: Физматгиз, 1962. - 708 с.

107. Карлов Н.В. О фундаментальном и прикладном в науке и образовании, или «Не возводи дом на песке» // Вопросы философии. М., 1995. — № 11.-С. 36.

108. Касьян A.A. Контекст образования: наука и мировоззрение: Монография. Нижний Новгород, 1996. - 184 с.

109. Кедров Б.М. О науках фундаментальных и прикладных // Вопросы философии. М., 1972. - № 10. - С. 32-58.

110. Кириченко O.E. Межпредметные связи курса математики и смежных дисциплин в техническом вузе связи как средство профессиональной подготовки студентов: Дисс. канд. пед. наук. — Орел, 2003. 170 с.

111. Клименко Е.В. Интенсификация обучения математике студентов-технических вузов посредством использования новых информационных технологий: Дисс. канд. пед. наук. — Саранск, 1999. — 189 с.

112. Колесникова И.А. Коммуникативная деятельность педагога: Учеб. пособие для студентов высших учебных заведений. — М.: ACADEMIA, 2007. -336 с.

113. Коллатц JI. Функциональный анализ и вычислительная математика / Пер. с немец. М.: Мир, 1969. - 447 с.

114. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М., 1991.

115. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа / 5-е издание. — М.: Наука, 1981. — 544 с.

116. Колягин Ю.М. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся средней школы: Дисс. д-ра пед. наук. — М., 1977. — 398 с.

117. Коменский Я.К. Локк Д., Руссо Ж.-Ж., Песталоцци И.Г. Педагогическое наследие / Сост. В.М. Кларин, А.Н. Джуринский. — М.: Педагогика, 1989.-416 с.

118. Комиссарова С.А. Заданная технология как средство гуманитаризации естественнонаучного образования: Дисс. канд. пед. наук. Волгоград, 2002.-215 с.

119. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение в информатику с позиции математического моделирования: Сборник статей / Под редакцией A.A. Самарского. М.: Наука, 1988. — 171 с.

120. Концепция модернизации Российского образования на период до 2010 года от 5 апреля 2002 года. М.: Цент гуманитарной литературы "РОН", 2004.

121. Корнилов B.C. Обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений как фактор гуманитаризации математического образования: Монография. М.: МГПУ, 2006. - 320 с.

122. Корнилов B.C. Численные методы: Типовая программа // Типовые программы по информатике и прикладной математике (Для студентов и преподавателей педагогических университетов). — М.: МГПУ, 2006. С. 75-78.

123. Корнилов B.C., Беликов В.В. Обучение численным методам в условиях фундаментализации образования // Информационные технологии в образовании и науке: Сб. науч. трудов. Воронеж: Научная книга, 2009. -С. 54-57.

124. Корнилов B.C., Беликов В.В. Применение методов информатизации при обучении студентов численным методам // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Информатизация образования». 2009. -№ 3 — С. 70-74.

125. Корнилова Е.А. Усовершенствование содержания курса «Теория и методика обучения физике» на основе методологии физики: Дисс. канд. пед. наук. Владивосток, 2003. - 161 с.

126. Кошев А.Н., Кузин В.В. Численные методы и методы оптимизации: Учеб. пособие для студентов. — Пенза: Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, 2004. — 135 с.

127. Кравец A.C. Гуманизация и гуманитаризация высшего образования // Вестник Воронежского государственного университета. Серия «Проблемы высшего образования». — 2000. № 1. - С.30-37.

128. Краевский В.В., Хуторской А. В. Основы обучения. Дидактика и методика: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Академия, 2007. - 352 с.

129. Краевский В.В. Общие основы педагогики: Учебник. М.: Академия, 2003.-256 с.

130. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях / 2-е изд., пере-раб. и доп. Л.: АН СССР, 1933. - 541 с.

131. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М., 1967. -500 с.

132. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. В 2-х т. Т. 2. - М.: Наука, 1977. - 400 с.

133. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. — М.: Наука, 1985. 144 с.

134. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. -М.: Наука, 1977.- 110 с.

135. Кузнецов B.C., Кузнецов В.А. О соотношении фундаментальных и профессиональных составляющих в университетском образовании // Высшее образование в России. М., 1994. - № 4. - С. 36-40.

136. Кузнецова И.А. Обучение моделированию студентов-математиков педвуза в процессе изучения курса «Математическое моделирование и численные методы»: Дисс. канд. пед. наук. Арзамас, 2002. — 207 с.

137. Куров Б.Н. Ориентация на компьютерное решение задач в процессе преподавания высшей математики // http://ito.edu.ru/2006/Moscow/II/l/II -1-6034.html.

138. Лаврентьев Г.В. Гуманитаризация математического образования: проблемы и перспективы. — Барнаул: Изд-во АТУ, 2001. 206 с.

139. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1973. - 71 с.

140. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. — 286 с.

141. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и математические модели. М.: Наука, 1977. — 407 с.

142. Лазарев И.А. Информация и безопасность: Композиционная технология информационного моделирования сложных объектов принятия решений. М.: Московский городской центр научно-технической информации, 1997.-336 с.

143. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физ-матгиз, 1961. - 524 с.

144. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы: учебное пособие для студентов вузов — М.: Издательский центр «Академия», 2004.-384 с.

145. Левченко И.В. Многоуровневая фундаментальная методическая подготовка учителя информатики: Монография. М.: МГПУ: Юпитер-Интер, 2008. - 329 с.

146. Леднев B.C. Научное образование: Развитие способностей к научному творчеству. М.: МГАУ, 2002. - 120 с.

147. Леднев B.C. Содержание образования: сущность, структура, перспективы. М.: Высшая школа, 1991. - 224 с.

148. Проблемы развития психики. М.: Изд. АПН РСФСР, 1959. 496 с.

149. Лернер И .Я. Дидактические основы методов обучения. М.: Педагогика, 1981.- 186 с.

150. Лихачев Б.Т. Педагогика. Курс лекций: Учеб. пособие для студентов педвузов и слушателей ИПК и ФПК. М: Прометей, 1992. - С. 23.

151. Лордкипанидзе Д.О. Педагогическое учение К.Д. Ушинского / 2-е изд. М.: Учпедгиз, 1950. - 368 с.

152. Луканкин Г.Л. Научно-методические основы подготовки учителя математики в педагогическом вузе: Автореф. дисс. д-ра пед. наук, 1989. -59 с.

153. Люстерник Л.А., Соболев С.Л. Краткий курс функционального анализа. М.: Высшая школа, 1982. — 271 с.

154. Мадер В.В. Введение в методологию математики. М., 1994. - 448 с.

155. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в MathCAD: Учебный курс. -СПб.: Питер, 2003. 448 с.

156. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. -М.: Едиториал УРСС, 2002. 255 с.

157. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: МГГГУ им. Н. Э. Баумана, 1996. - 367 с.

158. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.-608 с.

159. Марчук Г.И. Методы и проблемы вычислительной математики (пленарный доклад) // Международный конгресс математиков в Ницце 1970 г.: Доклады советских математиков. — М.: Наука, 1972. С. 168-187.

160. Матвиевская Г.П. Учение о числе на средневековом ближнем и среднем востоке. Ташкент: ФАН, 1967. — 341 с.

161. Математика XIX века / Под редакцией А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1978. - 255 с

162. Математическая энциклопедия. Том 1. М.: Сов. энциклопедия, 1977

163. Медведева С.Н. Проектирование компьютерных технологий обучения для профессиональной математической подготовки по специальности «Прикладная математика и информатика»: Автореф. дисс. канд. пед. наук. Казань, 2000. - 20 с.

164. Мельников В.П. Информационные технологии. — М: Академия, 2008. 425 с.

165. Мельников Ю.Б. Математическое моделирование: структура, алгебра моделей, обучение построению математических моделей: Монография. — Екатеринбург: Уральское издательство, 2004 383 с.

166. Миракова Т.Н. Дидактические основы гуманизации школьного математического образования: Дисс. д-ра пед. наук, М., 2001. — 465 с.

167. Митина О. В. Численные методы в гуманитарных и социальных науках в России и США http://www.irex.ru/press/pub/polemika/15/mit/

168. Михеев В.И. Моделирование и методы теории измерений в педагогике. -М.: Едиториал УРСС, 2004. 198 с.

169. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. - 122 с.

170. Монахов В.М. Введение в теорию педагогических технологий: Монография. — Волгоград: «Перемена», 2006. 319 с.

171. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: Дисс. .д-ра пед. наук. — М., 1986. — 355 с.

172. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: «РАСКО», 1991. - 272 с.

173. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. — М.: УРСС, 2004. 191 с.

174. Мюнтц Г.М. Интегральные уравнения: В 3-х т. — M.; JL: Гостехиз-дат, 1934.-330 с.

175. Назарова H.A. Развитие функциональной грамотности студентов педагогического вуза в условиях гуманитаризации образовательного процесса: Автореф. дисс. канд. пед. наук. Омск, 2007. — 22 с.

176. Назиев А.Х. Гуманитаризация основ специальной подготовки учителей математики в педагогических вузах: Дисс. д-ра пед. наук. М., 2000. -381 с.

177. Найманов Б.А. Реализация прикладной направленности преподавания дифференциальных уравнений в педагогическом институте: Дисс. канд. пед. наук. М., 1992. - 172 с.

178. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. -М.: Мир, 1990.-279 с.

179. Нешков К.И., Семушин А.Д. Функции задач в обучении // Математика в школе, 1971. № 3. - С.4-7.

180. Никольская И.Л. Привитие логической грамотности при обучении математике: Дисс. канд. пед. наук. -М., 1973. 186 с.

181. Ниренбург Т.Л. Методические аспекты применения среды Derive в средней школе: Дисс. канд. пед. наук. СПб, 1997. - 168 с.

182. Новейший философский словарь / Сост. A.A. Грицанов. — Мн.: Изд. В.М. Скакун, 1998. 896 с.

183. Новиков Д.А. Статистические методы в педагогических исследованиях (типовые случаи). М.: МЗ-Пресс, 2004. - 67 с.

184. Овакимян Ю.А. Теория и практика моделирования обучения: Дисс. д-ра пед. наук. М., 1989. - 293 с.

185. Оганесян В.А. Научные принципы отбора основного содержания обучения математике в средней школе: Дисс.д-ра пед. наук. — JL: 1985. -349 с.

186. Ожегов С.И. Словарь русского языка / под ред. Н.Ю. Шведовой. -М.: Рус.яз., 1986.-С. 460

187. Орешников И.М. Феномен гуманитарной культуры: сущность, диалектика бытия, назначение: Дисс. д-ра философ, наук. Уфа, 1995. - 274 с.

188. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. — 288 с.

189. Пасхин E.H., Митин А.И. Автоматизированная система обучения ЭКСТЕРН. М.: Изд-во МГУ, 1985. - 144 с.

190. Педагогика: Учебное пособие для студентов педагогических вузов и педагогических колледжей / Под ред. П.И. Пидкасистого. М., 1996. - 602 с.

191. Педагогический энциклопедический словарь. — М.: Большая Российская энциклопедия, 2002. 504 с.

192. Педагогический энциклопедический словарь. — М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 2003. 527 с.

193. Пейперт С. Переворот в сознании: дети, компьютеры и плодотворные идеи. М.: Педагогика, 1989. - 220 с.

194. Перовский Е.И. Устная проверка знаний учащихся. М.: АПН, 1955.-206 с.

195. Песталоцци И.Г. Избранные педагогические сочинения. Т.2. М., 1963.-416 с.

196. Петрова Р.П. Систематизация форм реализации межпредметных связей при формировании у студентов втуза научных понятий: Автореф. дисс. канд. пед. наук. — Челябинск, 1993. 21 с.

197. Пидкасистый П.И., Портнов M.JI. Опрос как средство обучения. — М.: Педагогическое общество России, 1999. 155 с.

198. Пирумов У.Г. Численные методы: Учеб. пособие для вузов / 2-е изд., стереотип. -М.: Дрофа, 2007. — 221 с.

199. Плис А.И., Сливина H.A. Лабораторный практикум по высшей математике. — М.: Высшая школа, 1994. 420 с.

200. Плис А.И., Сливина H.A. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров — М.: Финансы и статистика, 1999. 655 с.

201. Подласый И.П. Система принципов успешного обучения // http ://www.elitarium.ru.

202. Популярный энциклопедический словарь. — М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1999. 1583 с.

203. Поршнев C.B. Компьютерное моделирование физических процессов в пакете MathCad: Учеб. пособие. — М.: Горячая линия-Телеком, 2002. 252 с.

204. Поршнев C.B. Компьютерное моделирование физических процессов в пакете MATLAB: Учеб. пособие. М.: Горячая линия - Телеком, 2003. -592 с.

205. Потемкин В.Г. Вычисления в среде MATLAB. M.: Диалог-МИФИ, 2004.-714 с.

206. Привалов И.И. Интегральные уравнения. М.: ОНТИ, 1935. - 237 с.

207. Пржевалинская Л.А. Профессиональная направленность межпредметных связей математических курсов педагогических вузов: Автореф. дисс. канд. пед. наук. -М., 1993. 16 с.

208. Программы дисциплин по специальности 0647 — Прикладная математика: Для гос. ун-тов / Одобрено научно-методическим советом по математике (секцией университетов) Минвуза СССР. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.-53 с.

209. Прокудин Д.Е. Информатизация отечественного образования: итоги и перспективы // http://anthropology.ru/ru/texts/prokudin/artinfedu.html.

210. Пулькин С.П., Никольская Л.Н., Дьячков A.C. Вычислительная математика: Учеб. пособие. — М.: Просвещение, 1980. 176 с.

211. Пышкало A.M. Методическая система обучения геометрии в начальной школе: Авторский доклад по монографии «Методика обучения геометрии в начальных классах», представленный на соискание ученой степени д-ра пед. наук. — М., 1975. — 39 с.

212. Рагулина М. И. Информационные технологии в математике. — М: Академия, 2008. 301 с.

213. Рихтмайер Р.Д. Разностные методы решения краевых задач / Пер. с англ. М.: ИЛ, 1960. - 262 с.

214. Роберт И.В. Современные информационные технологии в образовании: дидактические проблемы, перспективы использования. М.: Школа-Пресс, 1994.-204 с.

215. Рябухина Е.А. Методическая система обучения вычислительной математике как инварианта специальных технических курсов: Дисс.канд. пед. наук. Саранск, 1999. - 255 с.

216. Савотченко С.Е., Кузьмичева Т.Г. Методы решения математических задач в Maple. Белгород, 2001. - 115 с.

217. Садовников Н.В. Фундаментализация современного вузовского образования / Н.В. Садовников // Педагогика. М., 2005. - № 7. - С. 49-54.

218. Садовничий В.А. Высшая школа России: традиции и современность // Сб. научно-метод. докладов. М.: МГУ, 2003. - С. 9-20.

219. Сайгитбалатов Ж. Фундаментализация содержания математической подготовки студентов экономического колледжа: Дисс.канд. пед. наук. — Казань, 2004. 148 с.

220. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. -286 с.

221. Самарский A.A., Вабищевич П.Н., Самарская Е.А. Задачи и упражнения по численным методам: Учебное пособие / 3-е изд. — М.: Эдиториал, 2007.-208 с.

222. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.

223. Саранцев Г.И. Гуманизация и гуманитаризация школьного математического образования // Педагогика, 1999. — № 4. С. 39-45.

224. Саранцев Г.И. Метод обучения как категория методики преподавания // Педагогика, 1995. № 5. - С. 36-39.

225. Сенько Ю.В. Учебный процесс как гуманитарный феномен // Педагогика, 2002. № 1. - С. 11-17.

226. Симонов В.М. Дидактические основы естественнонаучного образования: теория и практика реализации гуманитарной парадигмы: Дисс. д-ра пед. наук. Волгоград, 2000. - 403 с.

227. Скарборо Дж. Численные методы математического анализа / Пер. с англ М.-Л.: ГТТИ, 1934. - 440 с.

228. Скаткин М. Н. О принципах обучения в советской школе // Советская педагогика, 1950. № 1. - С. 27-44

229. Смирнова И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения: Дисс. д-ра пед. наук.-М., 1994.-364 с.

230. Смирнов Е.И. Дидактическая система математического образования студентов педагогических вузов: Дисс. д-ра пед. наук. Ярославль, 1998. -258 с.

231. Степанова Т.А. Методическая система обучения курсу «Численные методы» в условиях информационно-коммуникационной среды: Дисс. канд. пед. наук. Красноярск, 2003. -141 с.

232. Стоилова Л.П., Пышкало A.M. Основа начального курса математики: Учеб. пособ. М.: Просвещение, 1988. - 320 с.

233. Сушенцов A.A. Методика обучения численным методам оптимизации с использованием программно-педагогических комплексов»: Дисс. канд. пед. наук. Йошкар-Ола, 2003. - 159 с.

234. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология: Учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений. М.: Издательский центр «Академия», 1998. -288 с.

235. Тестов В.А. Фундаментальность образования: современные подходы // Педагогика. 2006. - № 4. - С. 3-9.

236. Тиффин Д., Раджасингам Л. Что такое виртуальное обучение: Образование в информационном обществе / Пер. с англ. — М.: Информатика и образование, 1999. 312 с.

237. Тихомиров O.K. Психология. М.: Высшее образование, 2006.-544 с.

238. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1986. 287 с.

239. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике.- М.: Наука, 1979. 206 с.

240. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

241. Толковый словарь терминов понятийного аппарата информатизации образования. М.: ИИО РАО, 2006. - 88 с.

242. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 496 с.

243. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов / 2-е изд., перераб. и дополн. -М.: Физматлит, 2005. 304 с.

244. Уиттекер Э., Робинсон Г. Математическая обработка результатов наблюдений / Пер. с англ. — М.-Л., 1933. 364 с.

245. Усова A.B. Формирование у школьников научных понятий в процессе обучения. -М.: Педагогика, 1986. — 176 с.

246. Ушинский К.Д. Избранные педагогические сочинения. -М.: Учпедгиз, 1995.-361 с.

247. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре 4-е изд. СПб.: Лань, 2004. - 416 с.

248. Фадеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. СПб.: Лань, 1999.-288 с.

249. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматлит, 1960. - 656 с.

250. Федорова В.Н. Профессионально-прикладная направленность обучения математическому анализу студентов технических вузов связи (на примере темы "Ряды Фурье. Интеграл Фурье"): Автореф. дисс. канд. пед. наук. -М, 1994.- 17 с.

251. Федченко Г.М. Методическая система обучения будущих учителей информатики дисциплине «Численные методы»: Дисс.канд. пед. наук. -Новгород, 2006. 232 с.

252. Философский энциклопедический словарь. -М.: Сов. энциклопедия, 1983.-840 с.

253. Фоминых Ю.Ф. Теоретические основы развития научного мировоззрения учащихся средней школы в системе математического образования: Дисс. д-ра пед. наук. — М., 2003. 322 с.

254. Хамов Г.Г. Методическая система обучения алгебре и теории чисел в педвузе с точки зрения профессионально-педагогического подхода: Дисс. д-ра пед. наук. М., 1994. - 372 с.

255. Хаусхолдер A.C. Основы численного анализа / Пер. с англ. М.: ИЛ., 1956.-320 с.

256. Хуторской А. В. Современная дидактика: Учебное пособие. — М.: «Высшая школа», 2007. — 639 с.

257. Читалин H.A. Проблема оптимального соотношения фундаментального и профессионального в содержании начального, среднего и высшего профессионального образования // Казанский педагогический журнал. -2006.-№2.-С. 18-20.

258. Шабашова О.В. Элементы истории математики как средство формирования общей культуры учащихся основной школы (на примере геоиетрии): Дисс. канд. пед. наук. — М., 1995. 147 с.

259. Шабунин М.И. Научно-методические основы углубленной математической подготовки учащихся средних школ и студентов вузов: Дисс. в форме науч. докл. д-ра пед. наук. — М., 1994. — 27 с.

260. Швецкий М.В. Методическая система фундаментальной подготовки будущих учителей информатики в педагогическом вузе в условиях двухступенчатого образования: Дисс. д-ра пед. наук. СПб.: РПИ, 1994. — 445 с.

261. Швецов Ю.Н. Методы и средства обучения прикладной математике в условиях информатизации образования в вузе // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия «Информатика и информатизация образования». 2005. - № 1 (4). - С. 167-178.

262. Шолохович В.Ф. Информационные технологии обучения // Информатика и образование. —1998. № 2. - С. 5-13.

263. Цалюк Э.В. Интегральные уравнения Вольтера. Итоги науки и техники // ВИНИТИ. Мат. Анализ, 1977. - Т. 15. - С. 131-198.

264. Юшкевич А.П. История математики в России. М.: Наука, 1968. -591 с.