автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методические основы локально дедуктивного обучения геометрии в средних школах

Автореферат диссертации по теме "Методические основы локально дедуктивного обучения геометрии в средних школах"

РГ6 од

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО 2 0 СЕН ЦЭДСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. ЛЕНИНА

Специализированный СоветД 053.01.11

На правах рукописи

Ехи ТОЦКИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЛОКАЛЬНО ДЕДУКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНИХ ШКОЛАХ ( С УЧЕТОМ СПЕЦИФИКИ ПОЛЬШИ )

Специальность 13.00.02 - методика преподавания математики

АВТОРЕФЕРАТ

■ диссертации на соискание ученой'степени доктора педагогических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Высшей Педагогической Школе в Жешуве (Польша ).

Официальные оппонентаг

действительный член РАО, доктор педагогических наук, профессор ГЛЕЙЗЕР ГД.

доктор педагогических наук, профессор ЛУКАНКИН ГЛ.

доктор педагогических наук, профессор КРУПИЧВ.И.

Ведущая организация - Институт среднего образования Министерства образованна Российской Федерации.

Закут диссертации состоится "{( " СИСГ^Ю 1993 г.

в//масов на заседании Специализированного совета Д 053.01.11 по присуждению ученой степени доктора педагогических наук по методике преподавания математики в Московском педагогическом университете им. В.И. Ленина по адресу: 119882, Москва, Малая Пироговская ул., 1.

а^.203

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ им. В.И. Ленина: 119882, Москва, Малая Пироговская ул., 1.

Автореферат разослан _!_" и-^/ Ь^ЛкЛ 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного совета

а/

^Х.и-СО^-- Г.Б.ЛУДИНА

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Проблема исследования и ее актуальность

Известно, что математика -.как всякая наука - имеет два основных аспекта :

1) это готовый набор знаний - математическая система, созданная математиками на определенной основе и с помощью ярко ввделенных правил;

2) это специфическая интеллектуальная деятельность, средством которой является четкое математическое мышление.

Этим аспектам соответствуют такие "философии" обучения математике, которые на первое место ставят ( соответственно ) :

- "математическое образование", которое доминировало в Европе и в Польше еще в начале 80-х гг.;

- "образование с помощью математики" - точнее: формирование личности ученика с помощью математики или кратко : "образование математикой".

Эта вторая "философия" зародилась еще в конце 60-х гг.,. но только недавно она стала входить в систему образования: сначала как цель обучения, теперь осторожно в содержание школьного курса математики. Здесь отбор содержания и средств обучения зависит от общей задачи формирования личности ученика : развитие интеллектуального потенциала, подготовка к творческому мышлению, активный подход к проблемам жизни.

С этих позиций идея "образования с помощью математики" не является отрицанием "математического образования", она скорее использует его, но с существенным изменением целей и содержания.

Фундаментом готовой математической системы является всегда аксиоматика, методом ее строения - дедукция. Однако, аксиоматика и дедукция понимаются глобально, по отношению ко всем элементам и соотношениям математической системы. Первым результатом такого подхода к математике была книга Евклида "Начала", последним - трактат Н.Бурбаки "Начала математики".

В проводимых в XX веке реформах обучения математике наибольшие перемены касались геометрии, как в области общих идей, так и содержания обучения. Во второй половине XX века в Квропе и в Польше происходили две такие "волны реформ" -

первая в конце 60-х гг., вторая в конце 70-х гг. и в начале 60-х гг.

Б реформах первой "волны" господствовала первая "философия" обучения математике: школьную геометрию пытались сильно математически модернизировать и включить ее структуры и содержание в целостную школьную математику. Эту последнюю нужно было строить по образцу бурбакистов. Однако по разным причинам это направление перемен не принесло удовлетворительных результатов, одновременно оно возбудило много отрицательных явлений в обучении математике.

Кризис этой "философии" проявился особенно остро в процессе обучения геометрии в средних школах и поэтому "в этой области появились первые пробы новых идей. Началась вторая "волж на реформ", основным лозунгом которой стало "образование математикой". Эта реформа содержит и другие направления :

- математика для всех;

- математическая активизация ученика;

- локальная аксиоматизация и дедукция;

- прикладное направление обучения математике.

На Международном математическом конгрессе в Варшаве в 1903 г. констатировалось, что дело идет о выработке концепции современной школьной математики, учитывающей развитие науки, потребности и прогресс техники, но одновременно широко доступной, соответствующей среднему уровню возможностей учеников, побуждающей и развивающей их интеллектуальную активность. "Математика для всех" должна реализовать идею обучения через математику широких масс, а не выучивание ненужных всем элементов математики.

В реформах "второй волны" уменьшились аксионатическо-дедук-тивные требования и повысился уровень арифметизации школьной геометрии. Начались поиски новьх дидактических концепций, которые не только могли погасить значение геометрии в обучении математике, но прежде всего поднять уровень обучения к степень реализации определенных по-новоиу целей образования ( Р.Том, Г.йройденталь, З.Крыговская, Ж.Кунцмал, И.Клайн, Э.Кастельну-ово, Т.Варга и также А.Д.Александров, Л.С.Атанасян, В.Г.Болтянский, Г.Д.Глейзер, Б.В.Гнеденко, Ю.Ы.Колягин, Н.В.Метель-ский, А,В.Погорелов, З.И.Слепкань, Л.А.Столяр, Л.М.Фридман и другие).

Обучение геометрии в средних школах всегда было и теперь также является трудным С а по мнению З.Крыговской - самым трудным ) вопросом как для учителей, так и для дидактов математики. Причиной этого положения является ведущая роль геометрии в развитии всей математики, богатство и разнородность содержания, соединение интуиции и логики, необыкновенно прочные и важные практические и дидактичэские ценности, разные и иногда протипополокные мнения об ее изучении ( Ы.Ф.Атиях, Н.Бурбаки, Г.ФроЙденталь, М.Клайн, А.Ревюз, Р.Том, А.Д.Александров и др. ).

Проверка результатов обучения, проведенная во многих польских средних школах в конце 80-х гг., показала снижение уровня обучения геометрии, спад интереса учеников к этону разделу школьной математики, нежелание учителей добросовестно изучать стереометрию и т.д. Так как геометрия является самым большим, плотним разделом математики а средней школе, то она имеет существенное влияние на результаты обучения этому предмету.

На згой основе можно констатировать, что тема диссертации определяет следущум проблему исследования: | выявление возможности лонально дедуктивной организации учебного материала при разработке методики обучения геометрии,

направленной на повышение эффективности обучения._|

Актуальность этой проблемы и темы диссертации определяются не только вшеприведенными требованиями математиков и дидактов, но и введенной'в 1990 г. в польских средних школах новой программой обучения математике. Она уменьшила обязательный для ученика объем содержания и дала учителям большие возможности их дополнения, конкретизации и интерпретации, установления очередности реализации разделов и тем, подбора форм и методов дидактической работы. Одновременно в этой программе рекомендуется отступить от глобальной аксиоматизации и дедукции в пользу локальной, которая реапи-эуется в последних классах основной школы. Констатируется, что глобальная аксиоматизация шкбльной геометрии и такая же дедукция в еа обучении составляют главку» причину неуспехов учеников. Это является существенной и очень глубокой переменой общей цели обучения геометрии в иольских средних школах. Отметим, что эта новая идея локально дедуктивной органи-

эации процесса обучения не разработана теоретически и практически для потребностей учителей. Правда, появились новые разработки, которые нельзя считать дидактической реализацией этой идеи, они скорее являются банком знаний, чем учебником.

В немногочисленных работах дидактов математики ( Г.Фрой-денталь, З.Крыговская, Я.Кониор, А.А.Столяр ) можно найти только саше общие принципы и указания о таком новом подходе к обучению геометрии в средней школе. В предложенных в 1992 г. Министерством национального образования проектах новых реформ польской системы образования предлагается, чтобы концепция локальной аксиоматизации и дедукции в средних школах была углублена.

Из постановки проблемы исследования вытекает, что объектом нашего исследо в а н и я является:

| система ( т.е. структура + содержание + процесс ) обучения геометрии в. современных средних школах Польши.]

Система этой геометрии является подсистемой единой школьной ( элементарной ) математики.

Здесь нужно объяснить, что польские основные школы начинают обучение с 7 лет в I - УШ классах. Затем выпускники этих школ продолжают учзбу в сверхосновных школах : средних общеобразовательных лицеях или разного типа профессиональных школах ( профтехучилищах или средних техникумах ). Во всех основных и сверхосновных школах изучается только один предмет математического цикла - "Математика". Диссертационное исследование касается геометрии в лицеях потому, что программа обучения для других средних школ является сокращенным вариантом программы для лицеев, ¿ицей ведет обучение в течении четырех лет ( техникум - 2, 3, 4 или 5 лет ) и охватывает 30 - 45 % выпускников основных школ.

II р едиетои исследования является : {"содержание и структура локально дедуктикниП организации учебного материала и ее реализация в обучении геометрии в польских средних школах. [

Анализ предмета исследования в математической аспекте позволяет выделить презде всего : характерные черты геометрии и их значение дал развития математики, типологии теоретических подходов к изучения геометрии, принципа отбора геометрическо-

го содержания для обучения в средней иколе. Анализ в дидактическом аспекте - это определение значения геометрии в обучении математике, типология аксиоматико-дедуктивных систем в этом обучении, формулировка и обоснование принципов и этапов локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии и 1а использование в конструировании соответствующей программы обучения, разработка основных примеров такого обучения.

Внедрение в школьную практику методической системы локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии мы считаем самым важным методом С парадигмой ) для решения нашей исследовательской проблемы.

Из вышесказанного вытекает, что основная цель исследования -[это разработка и обоснование концепции методической системы локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии в польских средних школах, которая делает возможным положительное решение нашей проблемы исследования. [

Сформулируем гипотезу исследования, С целью ее обоснования мы даем общий анализ двух "волн реформ" обучения математике, которые оказали большое влияние на преподавание математики в польских школах. &тот анализ дополнен обзором использовавшихся в 1965 - 1992 гг. программ и учебников геометрии для общеобразовательных средних школ.

Основой наших оценок и выводов послужила также разнообразная литература : математическая, дидактическая, психологическая и философическая. Полезным был и "10-летний опыт работы автора диссертации учителем математики в средних школах, а также 15-летний стаж работы преподавателем геометрии и дидактики математики в Высшей Педагогической Школе в Жешуве. Использовался также опыт передовых учителей польских средних школ.

. Все сказанное позволило нам выдвинуть следующую г и п от е з у исследования :

^ И - включение школьной геометрии в единую школьную математику с сохранением большей автономии в области идей, содердания и языка позволит повысить уровень эф|>ек-тивности обучения математике п средних школах Польши.

ГП - существует возможность такой разработки методической

системы локально дедуктивной организации процесса обучения школьной геометрии.^ которая позволит устранить основные

недостатки работы учителя в обучении математике в средних школах Полызи. |

Для решения исследуемой проблемы и для проверки соответствующих гипотез мы поставили рад основных задач исследования, разрешение которых ведет к реализации целей исследования : | 3 I - описание и анализ :

- характерных черт геометрии в качестве математической теории и предмета обучения; ' , - существующих до сих пор "волн реформ", программ и учебников, которые имели большое влияние на современные идеи обучения, программы и учебники -с целью раскрытия важных проблем обучения геометрии в польских средних школах.

3 2- описание и анализ существа и принципов глобально и локально дедуктивной организации процесса обучения математике в средних школах и обоснование пригодности в этом обучении локально дедуктивной организации изучения учебного материала.

3 3 - определение компонентов методической системы локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии в средних школах и критериев их о'гбора в школьной практике.

3 4 - описание дидактических ситуаций - примеров этой системы обучения геометрии. |

Методологической основой исследования явились фундаментальные достижения следующих научных дисциплин :йдидактика математики, основания математики, основания элементарной геометрии, общая теория систем, теория научного познания, познавательная психология"

Существенное влияние на разработку концепции локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии в средних аколах оказали работы Г.Бигальке, Э.Витманна, П.Гильтона, . Э.Кастельнуово, М.Клайна, Ф.Клейна, Ю.Козелецкого, Г.С.Кэкс-тера, Я.Кониора, З.Крыговской, В.Новак^ Д.Пойа, Р.Тома, Т.Томашевского, Г.Трелинского, Г.Шоке, Г.Фройденталя и также А.Д.Александрова, Л.С.Атанасяна, В.Г.Болтянского, Г.Д.ГлеЙзе-

' - 7 -

ра, Б.В.Гнеденко, В.А.Гусева, Н.В.Ефимова, А.Н.Колмогорова, Ю.М.Калягина, Л.Д.Кудрявцева, Г.Л.Луканкина, Н.В.Метельско-го, А.Г.Мордковича, В.А.Оганесяна, З.И.Слепкаль, А.А.Столя-. ра, Л.М.Фридмана и др.

В исследовании проблем обучения геометрии в средних школах Польши используются различима методы : теоретический анализ и синтез ( качественный ) предмета исследования, прогнозирование направлений будущих реформ и перемен программы обучения математике, конструирование и моделирование систем и дидактических предложений, экспериментальная проверка.

Как полагает автор, степень научной н о в и э -н ы работы определяется тем, что при помощи полученных результатов исследования :

(а) выполнена теоретическая разработка основных проблем, касающихся локально дедуктивной организации процесса обучения математике как новой концепции в средней школе;

б) эта проблематика исследована системно и комплексно;

в) разработана методическая система локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии в общеобразовательных лицеях;

г) предложены направления решения современно важных проблем, касающихся повышения уровня обучения геометрии в средних школах сегодня и в будущем. |

Практическая значимость проведенного исследования заключается прежде всего в том, что их основной результат, т.е. компонент ( в ) научной новизны является очень актуальным, важным и полезным для школьной практики во всех польских средних школах. Эта система по-разному конкретизирована примерами, которыз можно использовать в системе национального образования автор гили программ обучения, учебников и учителями магематики средних школ.

Компонент ( г ) настегай новизны можно использовать в образовании будущих учителей математики.

Использование полученных результатов исследования в школьной практике в Польше показывает 'наша монография ( на польском языке ) : Локальная дедукция в обучении геометрии в средней школе - проблемы и предложения, ВГШ Жешув, 1992.

Апробация результатов исследования осуществлялась в течении многих лет. Во-первых, это разные публикации:

монография, брошюры, научные доклады и статьи в научных к методических журналах. Некоторые из них выполнены в трех группах центральных исследований КРЙР Ш 30 ( Правительственная программа основных исследований ), реализованных в 1966 - 1991 гг. по следующим темам: планы и программы математической подготовки в высших педагогических школах в Польше, геометрическое образование студентов-математиков в педвузах, обучение геометрии в средних школах в Польше.

Во-вторых, исследованная концепция обучения геометрии в средних школах и результаты этих исследований были доложены автором на следующих научных и дидактических конференциях :

- Съезды Польского математического общества: Вроцлав 1984 г^ Гданьск 1966 г., Краков 1969 г.,

- "Школа дидактики математики", Сельпиа-Кельце: 1985, 1988, 1991 гг.,

- Международная конференция "Обучение математике сегодня и в будущем", Жеиув 1986 г.,

- Украинский республиканский семинар "Урок математики сегодня и завтра", Дрогобыч 1968 г.,

- Конференция "Обучение геометрии в средней школе", Постров 1909 г., ГДР,

- Конференция "Современное обучение математике в средней школе", Кошице 1987 г., Чехословакия,

- Международная конференция "Образование учителей в социалистических странах", Жешув 1989 г.,

- научный семинар в Центральном институте совершенствования учителей: Познань 1988 г., Варшава 1989 г.,

- постоянный семинар на кафедрах дидактики математики в педвузах в Жещуве и Кракове, 1936 - 1992 гг.,

- научный семинар на кафедре геометрии и методики преподавания математики БГУ, Минск, 1990 - 1991 гг.,

- научный семинар на кафедре методики преподавания математики Ш1ГУ, Москва- ¿593 г..

В-третьих, автор неоднократно догладывал проблематику и результаты исследования слушателям курсов повышения квалификации учителей ( городских, воеводских, зональных ).

В-четвертых, эти проблемы исследования имеют отражение в следующей деятельности автора в Высшей педагогической школе в Месуае :

- преподаватель предметов: "Дидактика математики", "Геометрия", 1977 - 1992 гг.;

- научный руководитель 45 дипломных ( магистерских ) работ выпускников, 1937 - 1992 гг.;

- разработка планов подготовки специалистов в педвузах, с 1969 г.;

- разработка учебных программ по предметам : "Дидактика математики", "Геометрия" в педвузах, с 1987 г.

Применяемые методы исследования, непротиворечивость логических рассуждений, проведенный эксперимент, достоверность психолого-педагогических концепций, на которых основывалось проведенное исследование, практическая основа решаемых задач, многосторонность рассуждений, разносторонние примеры позволяют утверждать, что представленные в диссертации выводы и результаты достоверны и обоснованны.

На защиту выносится: | I) Комплексная концепция ( сущность, значение, конструкция ) методической основы системы локально дедуктивной организации обучения геометрии в средних школах, которая учитывает актуальную ситуацив обучения математике и направления изменения системы польского просвещения, в частности это касается следующих ее подсистем :

- критерии отбора и упорядочения содержания обучения;

- структура программы обучения геометрии в средних школах "и системные типы этих программ;

- критерии .отбора аксиоматики и содержания для локально дедуктивной организации процесса обучения;

- принципы и этапы локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии в средних школах;

- образцы разработки избранных тем программы обучения.

2) Предложения для решения других современно важных проблем, касающихся повышения качества обучения геометрии в средних школах, которые образуют необходимые условия широкого внедрения локально дедуктивной организации ее обучения :

- автономия школьной геометрии в рамках единой математики;

- 10 -

- использование геометрической интуиции;

- практическая направленность обучения геометрии;

- роль заблуждений и парадоксов в обучении геометрии;

- модернизация геометрического образования учителей» Задачи исследования определили структуру диссертации, которая состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, а такяе трех приложений. Список литературы включает в себя 372 работы на следующих языках : польский - 161, русский - 120, английский -39, французский - 32, немецкий - 14, чешский - 4, украинский - 2.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЙ РАБОТЫ

Глава I ~ Основные проблемы обучения геометрии в Польше. Параграф I.I содержит описание существа и результатов первой и.второй "волны реформ" обучения математике в Европе и в Польше. Это создает панораму и источник основных проблем обучения математике в Польше сегодня и в будущем. Причины этих "волн" были разные:

- перемены социальные, экономические и политические в обществах и государствах;

- быстрое развитие наук и технологии;

- развитие просвещения, его демократизация и увеличение срока обязательного обучения;

- увеличение разрыва между математикой как наукой и неизменной школьной математикой; сильные тенденции к интеграции первой и нерациональное размельчение второй;

- развитие психологических и педагогических исследований.

Реформы "первой волны" были реализованы под следующими лозунгами :

- сближение школьной математики с математикой-наукой;

- повышение уровня обучения математике в соответствии с новыми требованиями цивилизации;

- лучаее использование возможностей и интереса ученику;

- принципиальное изменение качества работы учителя.

Польская концепция "элементарной математики для всех", разработанная во время первой "волны", является более блноской к советской, чем к французско-бельгийской. Она также

- II -

отличается от проектов английских и американских.

Основные недостатки первой "волны реформ" были таковы:

- преждевременные абстракции и обобщения без их применения;

- псевдонаучный язык, перегруженный символикой;

- фетишизм аксиоматического метода, несогласного с историческим и индивидуальным развитием математического творчества;

- фетишизм точности, далекой от языка математиков;

- обход материальной реальности как источника математических идей, а особенно неиспользование физического пространства в качестве предмета математизации и источника геометрии.

Основные причины возникновения второй "волны реформ" были таковы:

- критика первой "волны реформ" и особенно бурбакизма;

- перелом в развитии математики-теории: отход от бурбакист-ских структур;

- модернизация начального обучения математике;

- перемены в системах образования;

- сопротивление стран "третьего мира" на импорт готовых, но чужих программ и учебников;

- увеличение роли информатики в технике и в жизни.

Эти реформы имели и общие цели:

- модификация существующих до сих пор программ, но сохранение их основных идей и устранение сделанных ошибок;

- возвращение в сторону хорошей математики.

Вторая "волна реформ" породила или распространила такие идеи, как локальная дедукция, математика для всех, дифференциация программ обучения, математическое мышление как основа целей обучения, обучение математикой, а не математике.

Реформы второй "волны" в Польше на первое место поставили изменение системы образования: предложен проект десятилетки, обязательной для всех учеников. Проект С 1974 г. ) новой программы обучения математике значительно увеличил нагрузку материалом обучения ( почти так же, как в проекте В.С.Владимирова, Л.С.Понтрягина и А.Н.Тихонова, но с меньшим числом часов его реализации ), Общеизвестная политическая ситуация в Польше в 1960-1963 гг. и экономический кризис стали причи-

- 12 -

ной отказа от этой реформы. Однако постепенная модернизация содержания обучения в основной и средней школе продолжалась Очень хорошую и острую оценку этих реформ дал Г.Фройден-таль а статье " Меи/ <згпеи/ ъка&оп " ( 1983 г. ). Он написал, что главный лозунг первой "волны реформ", т.е. "Новая математика", привел к ожесточенному противоборству с жалкими результатами. Девиз второй "волны", означающий возвращение к хорошей, старой математике, Г.Фройденталь предлагает заменить на другой, более правильный: Ьэ " - возвращение в сторону самых важных знаний. На основе проведенного анализа в диссертации сделаны -следующие выводы :

1) школьную математику следует включать в единую школьную математику, но с сохранением ее специфики ( язык, понятия, проблемы);

2) "образование с помощь» математики" увеличивает роль школьной-геометрии в математической активизации учеников;

3) в обучении геометрии возрастает роль интуитивного рассуждения;

4) возрастает роль преобразований в качестве идеи отбора и упорядочения геометрических знаний;

5) возрастает роль проблемного обучения.

В параграфе 1.2 дается описание бывших и современных программ и учебников по геометрии в лицеях. В новой программе, введенной в 1990 г., цели обучения описаны таким образом: "Обучение математике отводит большую роль усвоению учениками знаний и овладению умениями, нужными для количест венной оценки и описания отношений и явлений, а такяе применению математических методов в решении задач. Оно должно ш-буздать активность, развивать познавательные умения, расширять мысленные горизонты и формировать умение логического рассуждения. Ученик должен овладеть математическими знаниями и умениями, записанными в программе обучения, и научиться применять их в решении теоретически и практических вопросов"5.

1) Министерство национального образования. Программа обучения ыатеказике для общеобразовательного лицея. Вароога, ЬС и П, 1930.

В нашей работе определено положение курса геометрии в школьной математике. Геометрию следует изучать так, чтобы в процессе обучения ученик сам мог формулировать теоремы и решать проблемы, которые не сводятся только к бесплодному формализму. Существенным является не то, "красивая ли" конструкция курса для математика, а побуждает ли она ученика к постановке вопросов и дает ли возможность эффективных поисков.

Узкий коридор, по которому ученикам нужно дзигаться при глобально аксиоматическом построении теории, не способствует такой активности и снижает интерес учащихся к предмету. В программе 1990 г. предлагается, что основной идеей ее реализации будет локальная ( а не глобальная, как до сих пор ) дедукция. Однако учителя не владеют принципами и методами локальной дедукции. да и в самой дидактике математики этот вопрос разработан слабо.

В работе анализируются также польские учебники геометрии для средних школ, которые использовались в 1965 - 1992 гг., авторов: З.Крыговской, В.йновского, А.Ломницкого и Г.Тре-' линского.

В параграфе 1.3 разработаны характерные черты геометрии, которые определяют ее ценность для преподавания. Они также важны для решения основных задач нашего исследования.- Необходимо понимать, что геометрия изучает формы и отношения пространственные и пространственно подобные, что она соединяет а себе строгую логику с наглядным представлением, логический анализ - с целостным синтетическим восприятием лред-мета.

Современный геометрический язык является своеобразным соединением и уточнением терминов обыкновенного языка и терминов общематематических. Они заключаются в том, что ценность геометрии определяют ее математические, специфические и практические черты.

Математические черты заключаются в том, что она является:

- источником и моделью всех основных математических структур ( функция, группа, линейное пространство, изоморфизм, порядок );

- одним из важных источников универсального математического языка;

- 14 -

-- множеством разнообразных математических теорий;

- множеством понятий и теорем для фундаментального математического образования;

- категорической теорией;

- отличается от других разделов математики стабильными понятиями и отношениями;

- мостом между математикой, физикой и техникой;

- независима от линейной алгебры и теории чисел;

- таким разделом математики, в котором универсальные понятия не уничтожают "геометрического духа".

Специфические черты геометрии:

- соединение традиции и современности понятий, концепций и методов исследования;

- отражение реального пространства;

- необходимый посредник между обыкновенным и математическим языком;

- самая доступная модель богатой и иерархической математической теории;

- соединение наглядности и точности рассуждений;

- совокупность ценных стратегий решения проблем и юс результатов;

- источник богатых и творческих интуиций;

- источник и множество правил правильного умозаключения;

- соединение логики, воображения и знания.

Практические свойства геометрии:

- множество теорий для практического применения;

- множество практически возможных пространственных форм;

- сфера применения простирается от ремесленника к исследователю микро- и макромира;

- рисунки ( как геометрические модели знания и техники ), способствующие развитию цивилизации, распространению ее достижений;

- описание условий применения физики и техники.

Большая сфера этих математических, специфических и практических свойств геометрии создает ее огромную дидактическую ценность.

В параграфе 1.4 показана возможность реализации принципа единства, как основной идеи взаимосвязи геометрии и математики в целом. Началом этого подхода был "фузионизм",

- 15 - .

который можно понимать в двух видах : I) соединение обучения арифметики, алгебры и'геометрии; 2) соединение обучения планиметрии и стереометрии. Необходимость такого единства вытекает из сравнения предмета, проблематики, метода и языка всех разделов геометрии и других математических дисциплин. Геометрические проблемы были очень важными импульсами дяя открытия многих теорем математики.

Другие факторы единства - это математические процедуры* выступающие а процессе конструирования знания: определение понятий, формулировка теорем и их доказательство, классификация, интерпретация.

Здесь также важны психологические мотивы. На основания психологических исследований констатируем, что человек организует свои знания как однородные совокупности, изучение и усваивание таковых систем легче, доступнее, при: этом полученные знания будут более прочными и оперативными.

Очень важны также дидактические мотивы. В современных проектах реформ образования говорится об уменьшении недельного времени обучения. Увеличение уровня единства школьной математики - это единственная возможность сохранения самых важных знаний, показания их ценности, увеличения их потенциальной и реальной оперативности, а также оптимизации влияния на личность ученика.

На этой основе мы предлагаем преобразовать дидактическую дизъюнкции "единство школьной математики или автономия школьной геометрии" а эффективную конъюнкцию. Нужно к такой конъюнкции приближаться постепенно - но в такой разработке автономия геометрии должна иметь небольшой перевес. Обоснованием такой трактовки являются приведенные выше особенности геометрии.

Единство школьной геометрии с остальной частью математики можно достигнуть с помощью:

- концентрирования знаний вокруг важнейших математических идей и понятий в тематические линии, например: число, мера, функция;

- использования современных среде?в математического описания, например; множество, действие, эквивалентность, порядок, инвариант, система координат;

- показа { даже неожиданны* ) фактов, формул, интегрирую-

щих различные знания;

- интегрирования изучаемых понятий и их свойств с разных точек зрения ( теоретических и практических );

- решения ценных задач разными способами;

- создания мостов, связывающих геометрию с другими разделами математики, используя аналогии, алгоритмы, векторы, трансферт.

Сохранению автономии геометрии в обучении математике способствуют такие средства и методы:

- сохранение традиционных геометрических предметов ( точки, линии, плоскости, поверхности, тела )'и отношений ( лежать

ме}вду, пересекает, параллельность, перпендикулярность, скрещиваться );

- классическое определение этих предметов и отношений;

- существенное использование рисунков;

- использование геометрических преобразований в качестве основной идеи концентрации и упорядочения материала обучения;

- признание существенного значения в обучении воображения и геометрической интуиции.

В параграфе 1.5 раскрывается роль интуитивного рассуждения в обучении математике. Мы исходим из следующей сущности этого мышления: ученик в ходе решения учебной проблемы :

1) пользуется прежде всего воображением, т.е. картиной понятий, которые обдумывает независимо от их формальных определений, и

2) проводит сокращенное рассуждение, обоснованное на очевидных для него посылках, независимо от их доказуемости на основе данной системы, или■

3) излагает математическую гипотезу на основе замеченных аналогий, соответствий, преобразований, или

4) доказывает свои следствия на основе правдоподобных рассуждений.

Значение интуиции в обучении геометрии состоит в том, что она является: источником быстрых гипотез, необходимым условием понимания понятий и их свойств, интегрально связана с рисунком, указателем и проводником в лабиринте проблем и возможностей, инспирацией математического творчества. Кроме того, в локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии интуиция выступает в случаях: определения аксиоматической основы рассуздений; выбора и устанавливания данных,

- 17 -

необходимых в решении задач; целенаправленного сокращения рассуждений легких» но громоздких или дидактически малоценных.

В параграфе 1.6 доказывается тезис о том, что осью в строении программ обучения геометрии нужно сделать геометрические преобразования фигур, а также векторный и координатный подходы. При этом нужно пользоваться эрланген-ской программой Ф.Клейна, •. .

Существующий в течении столетий евклидовый подход к конструкции программы школьной геометрии не соответствует . современным требованиям математики. Основные его пороки ' тяжесть, малая оперативность и изоляция от современных- математических идей. Бурбакистский подход теряет интуицию и воображение.

Почти все математические проблемы пространства ведут к понятию преобразования. Преобразование - это геометрическая форма вездесущего в математике и практике понятия функции. Это первый и самый важный мост между геометрией и современной математикой. Оно уничтожает пагубную для геометрии и ее преподавания изоляцию. Формирование функционального мышления является одной из главных целей всех", программ обучения в мире. Этот подход согласуется также с" основными тезисами онтологии ( сущность материи: движение, перемена ) и психологии мышления. Инварианты преобразований открывают ученикам познавательную структуру и дают во-" зможность ее трансферта гомоморфизмами. Не исключается здесь алгебра преобразований.

В параграфе 1.7 предлагается общая структура геометрического содержания в программе обучения. При этом авделяют-ся следующие системы, направляющие конструкцию этого содержания: общие математические идеи обучения, цели обучения, критерии подбора и упорядочения материала обучения.

Проблематика общих целей обучения геометрии является такой сложной и тяжелой для современной дидактики математики, что показаны здесь только очень часто проявляющиеся тенденции. Во-перзых, общие цели обучения геометрии долж- • ны быть такие- же, как для всех разделов школьной математики ( единство ), В настоящее время эти цели Излагаются следующим образом : X) развитие умственной активности и воепк-

- 1В -

танке интеллектуального отношения к жизни, овладение основными знаниями и умениями самообразования -общекультурные цели, 2/научныо цели:т.е. специфические цели обучения, 3/ прикладные цели: овладение базой знаний и умений, необходимых для познания и использования геометричеакой формы прост шнствешшх объектов и отношений.

В качестве резюме разных мнений о проблеме специфических целей обучения геометрии принимается, что они заключаются в эффективном развитии у учащихся таких-свойств интеллекта, как: .геометрическая интуиция, пространственное мышление, ло-*гическое мшление, способность к конструктивно-геометрической деятельности, владение символическим языком,

В работе приняты такие критерии отбора и упорядочения материала обучения: научность, целесообразность, структурность, оптимальность, активизация.

Общая структура совокупности геометрических знаний рассматривается в трех направлениях. Геометрические преобразования образуют первое направление, математическую ось этой структуры множества. Второе направление общей структуры -это объекты: фигуры, векторы, координаты. Третье направление составляют тематические линии. Первый способ вццеления этих линий использует повторяемость некоторых геометрических объектов, второй основывается на повторяемости некоторых математических действий ( операций ). Эту совокупность можно рассматривать как декартово произведение : преобразования X объекты X тематические линии, оно должно содержать все знания из программы обучения.

Принятый метод конструкции этого множества влечет за'собой вывод, что оноявляется системой, в понимании общей теории систем. На такой основе решается проблема классификации этих программ-систем, в зависимости от владения ими системными свойствами. В работе ввделяются следующие типы программы обучения, как системы :

.- уровня 0 : открытая, иерархическая, взаимозависимая, в состоянии динамического равновесия;

- уровня 1 : включает в себя качества нулевого уровня, а

также целенаправленная, стохастическая, устойчивая;

- уровня II : включает в себя.качества первого уровня, а

ч также адаптационная, учащающаяся;

- уровня Ш : оключает в себя качества второго уровня, а

- 19 -

также организующаяся, самоорганизующаяся

Глава П - Локальная аксиоматизация и дедукция в процессе обучения геометрии в средних школах

В параграфе 11.1 изучается проблема необходимости новой организации процесса обучения геометрии. Она обоснована прежде ■ всего следующими недостатками глобально дедуктивной организации обучения : I) вызывает спад интереса учащихся к изучений математики; 2) очень малый процент учеников будет в будущем изучать глобально дедуктивные системы; 3) этот подход занимает слишком много времени; 4) в самой математике очень, редко строятся глобальные системы; 5) нет хорошей глобальной аксио- •• ыатики для обучения; 6) механически применяемая дедукция однообразна и мало развивает мышление; 7) начинается с изучения • языка, вместо конкрвтноЙ деятельности; 8) уничтожает ценный дар интуиции; 9) создание глобальной аксиоматики должно завершать, а не начинать длительный период развития теории; 10) имеется серьезное противоречие как с идеей прикладной направленности, так и с дидактическими требованиями доступности и наглядности; II) одна из важнейших причин формализма знаний учеников; 12) теряется семантический смысл теорем; 13)'. вызывается тенденция замкнуть обучение геометрии на себя, игнорировать все, что лежит за ее пределами; 14) после долгого обучения ученик не видит различия мелду аксиомами, теоремами и определениями; 15) не побуледает творчества в области школьйой учебы.

В параграфе П.2 разработаны принципы и этапы локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии. Исходные ценности этого подхода таковы: I) главным в обучении является не развитие теории из готовой аксиоматики, а процесс создания аксиоматики; 2) локальный формализм делает возможным договоренность математиков; 3) сохраняет многие важныа ценности классической геометрии; 4) 'можно.использовать сложившуюся систему примеров и задач; 5) дает возможность большей активизации всех учеников; б) дает возможность использования различных методов изучения, включая индуктивные и эвристические;-7) облегчает конкретизацию материала обучения в различных разделах: математики; В) развивает интуицию; 9)' побуждает интерес к математике; 10) облегчает показ эйшмятельных и прпл»

тически важных применений; II) ярко показывает различие между истинностью и доказуемостью теорем; 12) легче использует естественные для юности эмпирические и интуитивные рассуждения; 113) облегчает построение "математики для всех"; 14) облегчает введение законов правильного рассуждения и связанных с этим понятий : истина, посылка, следствие, теорема, доказательство; 15) не разрывает цепи рассуждения - она в общем является короткой и подкреплена интуицией; 16) побуждает к творчеству в течении изучения школьной математики; 17) облегчает усвоение учениками правил и способов самообразования.

Исходя из вышесказанного в работе предлагаются следующие принципы локально дедуктивной организации процесса обучения математике : П-1) логическая организация избранных частей материала обучения в виде состава минисистем - "дедуктивных островков", связанных э тематические линии; П-2) признание большой роли интуитивного рассуждения; П-3) специальное использование широко понимаемых рисунков, графов, схем; П-4) постепенное обобщение понятий, свойств и их применения.

Учитывая общий метод построения математической теории, принимаем, что математическая система —"дедуктивный островок"— это состав вида , где Х- множество выделенных математических предложений, Д) - множество логических правил доказательства ( вывода ), А - аксиоматика ( основа вывода ) множества X , - язык С прежде всего специфический > множества X .

■ Выделяются следующие категории описания компонентов системы , очень полезные для характеристики локально дедуктивной организации процесса обучения математике : !_ :( постоянный или переменный ) и < для всего множества или

для его части); А : ( постоянная или переменная ) и { для всего множества

или для его части); Д> : ( явное или скрытое ) и (касается всех рассуждений в процессе обучения или их части ),

Эти категории соответственно обозначим: и : ( I или 2 ) и ( а или б )» А : ( I или 2 ) и ( а, или б ); ■3 : ( 3 или 4 ) и ( ц или' ч ).

Принятые принципы локально дедуктивной организации процес-

- 21 -

са обучения математике делают возможным вывод, что э^а организация должна изменяться во время обучения в средней школе таким образом, чтобы переходить от типа ^11_б,1Аб, 45ч ^ через тип ^ I I 6 , 2 А б , 3 3> ч ^ до типа

[.<5,2Аб,33>ч^ • Это означает, что : язык 1. должен изменяться от постоянного к переменному на данной части материала обучения, аксиоматика А должна изменяться различны ми способами, в зависимости от содержания материала X "и дидактической концепции его реализации. Является очевидным, что множество Л) нужно ученикам раскрывать постепенно, начиная.от простых ситуаций и понятий, .'.',-

На основании полученных результатов, предлагается следую--щая последовательность этапов локально дедуктивной организа- ' ции процесса обучения математике — ее можно применять в раз-* личных ситуациях и поэтому она является динамически устойчивой схемой. Эти этапы таковы :

I - наблюдение рисунка, множества чисел или проведение эксперимента в типичной ситуации, ясной и простой для выделения ее из ближайшей среды;

П - интуиция, т.е. описание наблюдения или эксперимента на • математическом языке ( математизация ) и интуитивная формулировка математической гипотезы - прототипа аксиомы, определения или теоремы в виде: "может быть, что...";.

Ш - обобщение этой гипотезы не только типичными способами, но также с помощью анализа крайних случаев и сведения к минимуму требований в определяющей части дефиниции или предпосылок теоремн;

IV - точная формулировка локальной аксиоматики, определений или теорем;

V - контрпримеры или отрицания этих аксиом, определений или теорем;

VI - формулировка и доказательство а) непосредственных следствий и эквивалентных форм исследованных аксиом, определений или теорем; б) избранных логических связей между этими формаии;

УЛ - показ или анализ нескольких важных применений - науч-чих мла практических;

УШ"« реггеою легких, средних и трудных задач : а) с комплексом информации} 6) с недостатком информации, которую ученик

сам добывает из знакомого множества; в) с недостатком информации, диапозон выбора которой ученик сам ограничивает.

Вышеуказанный перечень этапов может содержать петли и повторения. Возможны также перестановки, разьединения и объединения этапов по усмотрению учителя.

Параграф П.З раскрывает возможность широкого внедрения вышеуказанных этапов локальной организации обучения геометрии в польских средних школах. Практическую реализацию этой методики мы иллюстрируем на примере большой и важной темы : "Подобие на плоскости". Она представляет собой комплексную разработку этого "островка" с который является парадигмой . других подобных действий учителя.

Основное содержание реализации этапов, показанных в § Б.2, следующее :

I - наблюдения и измерения :

а) карты в разных масштабах;

' б) подобные треугольники, окружности П - интуиция :

1) каждой точке фигуры Ф плоскости П соответствует только одна точка фигуры $'сП я обратно;

2) если три разные точки фигуры Ф лежат на одной прямой

( окружности ), то соответствующие им точки также лежат на одной прямой С окружности );

3) если две прямые являются параллельными ( пересекающимися) то им также соответствуют параллельные ( пересекающие. ся ) прямые;

4)неориентированные углы сохраняются;

5) середина отрезка переходит на середину его образа-отрезка;

б) чтобы получить фигуру ф'в качестве образа фигуры Ф, нужно сначала так повернуть Ф, чтобы ее стороны стали параллельными сторонам Ф* и потом применить гомотетию;

7) если фигура выпуклая, то ее образ также является выпуклой фигурой;

8) соответствующие отрезки и длины таких векторов пропор-' циональны;

Ш - обобщения : ч I) существует преобразование Р:П—^П, при котором а) Р есть биекция;

- 23 -

б) прямой соответствует прямая; • в) окружности соответствует окружность;

г) неориентированному углу соответствует конгруэнтный угол;

д) прямой угол переводится на прямой угол;

е) сохраняется отношение расстояний;

я) все расстояния изменяются в одном и том же отношении; з) если имеется Ф'»Р(Ф), то существует фигура ф",- конгруэнтная одной из фигур ф' и гомотетичная второй;

2) вместо конгруэнтности углов возможно изучать пропорциональность соответственно .выбранных отрезков на-сторонах этих углов;

3) равносильны множества свойств ^б, е^ , е} ■[в}» , {з} всегда, когда Р есть биекция;

IV - аксиомы и определения :

Определение 1. Пусть Р:П->Л биекция. Преобразование Р называется подобием с коэффициентом к>о, если для всех точек . А, В £ П имеетса Р(А)Р(В)=к'АВ; тогда такое подобие обозна- , чается символом Р^.

Определение-2. Две фигуры называются подобными. если суще- • ствуег подобие Р:П-^П, при котором .

Аксиома

Существует такая биекция что нижеследующие свойст-

ва являются равносильными :

1) Р изменяет расстояния в одном и том же отношении;

2) существует изометрия ( движение ) I и гомотетия Н, при которых Р=М о I или Р=1»Н ;

3) Р сохраняет все прямые углы.

V - контрпримеры :

В работе приведены примеры наиболее типичных контрпримеров^ например :

- отображение плоскости в плоскость, которое переводит окружность в эллипс;

- отображение плоскости в плоскость, которое переводит прямоугольник в квадрат или квадрат на ромб»

Далее в работе приведена система задач и примеров, котооая полностью обеспечивает изучение этой темы на всех этапах,» реализацию' целей обучения. * '

Глава Ш - Условия реализации локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии в средних школах Польши

В параграфе ШЛ. разрабатываются критерии отбора локальной аксиоматики, необходимой для построения "дедуктивных островков", образующих некоторую целостность. Учитывая сущность и принципы локально дедуктивной организации процесса обучения, мы предлагаем следующие два блока критериев отбора локальной аксиоматики: ^дидактическая эффективность, 2) математическая эффективность.

Дидактическая эффективность отбора локальной аксиоматики соо-тоит в следующем:

1.1. выделяемые аксиомы должны быть интуитивно убедительными,

1.2. эти аксиомы дают возможность реализовать все необходимые цели обучения, особенно соответствующие данной теме,

1.3. аксиомы дают возможность построения процесса обучения несколькими вариантами,

£■.4. аксиомы должны способствовать оптимизации процесса обучения (темпа изучения материала, уровня сложности и т.д.).

Математическая эффективность локальной системы аксиом - это такие ее качества:

2.1. простота формулировки: мало понятий, четкое выделение немно гих условий и логических связей между ними,

2.2.ясность и простота первых доказательств, сделанных только на их основе,

' 2.3, использование современно важных общематематических и геометрических понятий,'

2.4. наличие возможности быстрого вывода теорем, необходимых для данной системы знаний и умений.

Самым убедительные примером аксиоматики, которая хорошо выполняет все эти критерии, является аксиоматика метрического пространства. Здесь также показано, что аксиома для темы "Подобие на плоскости" полностью удовлетворяет вышеуказанным критериям. В этом параграфе даются другие яркие примеры аксиоматик для локальной организации: параллельное проектирование на плоскость (два типа), перпендикулярность и осевая симметрия (пять типов), группа самосовмещения фигур.

В параграфе Ш.2. представлены основные общие проблемы методики локальной аксиоматизации и дедукции. Во П главе диссертации были

уже описаны следующие компоненты этой методики: роль .интуитивного рассуждения, структура и критерии отбора материала обучения, принципы и этапы локально дедуктивной организации процесса обучения, предложения локальных аксиоматик. Вышеуказанные (§ШД) блоки критериев отбора локальной аксиоматики также включаем в эту методику.

В этом параграфе Ш.2 обсуждаются дополнительные компоненты нашей методики: гиды используемой интуяцтц рекомендации для процесса ■ локальной аксиоматизации; определение и перенос (трансферт) понятий; требования к формулировке теорем и запись доказательств; использование сшибок и заблуждений учеников в познавательном.процессе; определение и роль контрпримеров; желательная структура учебника; отбор задач (прежде всего практических). Так, в частности,-выделяются примеры следующих видов интуиции: типичной (стандарта--зированной) и творческой (эвристической). Творческая интуиция имеет два подвида: эйдетическая (использование рисунков и пространственных воображений) и концептуальная (использование абстрактных понятий). Эти виды интуиций подсказывают гипотезы, прототипы аксиом, определений, теорем и доказательств.

Процесс аксиоматизации, лишенный формализма, в своем психологическом генезисе является естественным процессом человеческого мышления. Такое мышление включает в себя необходимые операции: схематизация и экстраполяция данных (информации), благодаря которым действительность отражается в мысли. Все типы локальных аксиоматик перпендикулярности хорошо иллюстрируют эти операции.

Введение локальной аксиоматики на уроке можно проводить 'двумя основными способами. Первый способ показан на примере темы "Подобие на плоскости", он начинается с абстрагирования и обобщения интуитивных, наглядных знаний. Его мы называем a posteriori и ре-, комендуем как самый главный. Второй способ - о. priori - можно использовать для neKOTopjx аксиоматик или их частей в случаях не-хЕатки времени или необходимости ознакомления учеников с большим набором вспомогательных знаний. Этот способ показан на примере локальной аксиоматики для теш "Многоугольники".

Независимо от способа введения локальной аксиоматики, оно должно быть "управляемой аксиоматизацией" п действии, в динамическом подходе. ' .

В работа, предлагается три 'основных способа введения понятий; интуитивное описание, рисунок-конструкция, формальное определение.

При формулировании понятий на этих трех путях нужно всегда показать оперативное введение понятия по следующим "шагам": а) выявление потребности введения понятия - цель введения, б) описание требований, геометрической роли этого понятия - норма введения, в) формулировка определения; т.е. реализация принятых целей и норм.

Значение обучения доказательствам широко известно. Мы здесь рекомендуем три пути убеждения учеников в истинности теорем: а)"полные" доказательства, б) очерки (эскизы) доказательств, в) явный обход доказательства. Особое внимание мы обращаем на второй способ потому, что прием очерка в качестве "полногопдоказательства - это ежедневная практика в работе математика.

Эффективность действий ученика в поиске доказательства в большой степени зависит от записи теоремы. Потому предлагается, чтобы, если это является возможным, использовать три формы записи - одна символическая (формальная) и две на естественном языке: условное высказывание (импликация: если, ,,, то ...), категорическое высказывание (3" есть (не есть) Р). Первая запись экспонирует логическую структуру теоремы, вторая - действия в категории "причина - результат", третья - свойство, содержание понятия.

/ Среди различных записей доказательства мы рекомендуем использование графов, которые ярко указывают структуру доказательства и его главную идею, возможности сведения к минимуму длины доказательства или простой проверки истинности обратной теоремы.

. Удаление глобальной аксиоматизации и дедукции, признание значения интуитивного рассуждения, возможность самостоятельной разработки учителем учебного материала, эвристический подход к решению задач - это все приводит к появлению ошибок и заблуждений у учащихся. Ошибка имеет место в решении простых упражнений, заблуждение выступает во время поиска новых (для ученика) знаний. Заблуждения могут быть стимулятором математической активности ученика в локально дедуктивном поиске знаний и умений. Необходимо распознавание .причин ошибок и заблуждений, определение их существа и правильного использования. Очень удобным средством для таких действий являются контрпримеры и парадоксы.

Контрпримером понятия р, определенного в виде и Ф(х)} является такой предмет кеХ, что высказывание ^Ш(к) является истинным. Контрпримером понятия "параллельные прямые в пространстве" является пара прямых а,Ь таких, что аПЬ =Ф и а,|г-некомпланарные. Контрпримером высказывания р(х) называет-

оя высказывание р(х) и. Например: высказывание:, 2|х =$>4}х, контрпример: 2|х и ^х. Контрпример - это хороший "детектор" ошибок и заблуждений, критерий необходимости условий определения или предпосылок теоремы, средство иллюстрации понятия и укрупнения понимания высказывания, указатель необходимости отдельных шагов доказательства, способ гарантии комплектности случаев изучаемой ситуации и

ЯР» ' . •

Локально дедуктивная организация обучения требует также новой структуры учебника. Прежде всего в нем нужно представить материал из программы обучения в виде структуры, отражающей этапы 1-У1И локально дедуктивной организации процесса обучения. Потому мы предлагаем, чтобы в таком учебнике были следующие части (слои): тео- -ретическая - Т, иллюстративная - И, закрепляющая - 3, справочная -С. Теоретическая часть Т должна содержать все необходимые знания . • и умения, определенные программой обучения. В части И должны быть рисунки, графики, примеры, контрпримеры, интерпретации, конечные модели и т.п. Часть 3 должна включать в себя следствия, вопросы, упражнения, алгоритмы, распоряжения и "пустые" места для их выполнения ("фишки"). Часть С должна содержать: оглавление, предметный' указатель, список символов, ответы и указания к решению задач, исторические сведения и т.п. Приложение Я к диссертации .содержит проект фрагмента учебника по теме: "Параллельные прямые и параллелограмм", соответствующий частям Т и И.

В нашей концепции задачи имеют большее значение, чем для глобальной аксиоматизации и дедукции потому, что они: -

- служат основным средством для открытия и формулировки учениками локальной аксиоматики, определений- и теорем,

- создают дидактические ситуации, всегда пригодные для математи- '

ческой активизации учеников,

- способствуют вариантности дидактического продвижения учителя

во время школьной реализации материала обучения.

Пригодность задач для формирования математического "творчества" учеников определяет два качества:: количество исходных данных и количество решений задачи. По этим аспектам мы выделяем следующие типы задач:

- I тип: все необходимые доншо и одно решение - это стандартные задачи различной трудности и значения в обучении,

- П тип: все необходимые данные и несколько.решений, например, создание локальной аксиоматики, формулировка определения,

- Ш тип: некоторые (не все) данные и одно решение,

- 1У тип: некоторые данные и несколько решений.

Среди, задач Ш и 1У типов, самых ценных для обучения, выделяем практические задачи, иначе задачи на "применение математики". Эти задачи очень важны для нашей концепции. Особенно ценными являются для локальной дедукции следующие подвиды практических задач:

- имитация настоящих применений,

- настоящие применения.

В ходе решения этих задач ученик математизирует действительность или делает имитацию этой математизации. Такое действие всегда очень близко к созданию локальной аксиоматики, В диссертации показаны примеры таких задач и главная идея их дидактической обработки на уроке.

Выделены сложности широкого использования в обучении проблематики практических применений. Важным способом преодоления нехватки этой проблематики является включение б программы обучения и учебники "островков применений".

В обучении математике ценные задачи практического применения можно создавать путем изменения обыкновенных задач, их открытия или отыскания реального генезиса. Второй способ этого поиска -это включение в обучение аутентичных примеров применения, взятых из других областей науки или техники.

В параграфе Ш;3. обсуждаются основные проблемы модернизации системы подготовки учителей, ориентированной на реализацию локальной аксиоматизации и дедукции в обучении геометрии. Нами приняты следующие предложения для этой модернизации:

- интеграция знаний вокруг главной цели, которой является образование учителя математики, как специалиста в области обучения математики в основных и средних школах,

- достаточно широкое содержание математических предметов для учебы, создающих общую картину математики,

- более тесная связь этих предметов и школьных знаний, современных и перспективных,

-учение студентов определять детальные цели обучение на уроке, проводить логический и фактологический 'анализ содержания обучения, строить и реализовать "дедуктивные островки".

Мы ввделяем три уровня квалификаций учителя математики, согласные трем уровням общих целей обучения математике в средней школе,

(описанным в I главе). Знания, касающиеся реализации.первого и второго уровня целей обучения математике и умения их выполнения включаем в первый уровень квалификации учителя математики. Этот уровень дополнительно обогащаем соответствующим знанием из психологии, дидактики и философии.

Второй уровень квалификации учителя включает в себя специфические умения (интеллектуальные стратегии и метода), касающиеся организации дидактического процесса.

На третьем уровне помещены такие интеллектуального квалификации, которые выходят за пределы обыкновенной учительской и математической деятельности, но они необходимые для правильной .и творческой конструкции, реализации и оценки дидактических минисистем. Эти всо три уровня образуют иерархическую структуру квалификаций учителя ' математики средней школы. • ,

Исходя из этих П83ИЦИЙ, с 1989/90 учебного года в Высшей Педагогической Школе в Жеиуве производилась принципиальная перемена геометрического образования студентов на математическом факультете, После этой перемены, разработанной автором диссертации, в плане учебы существуют следующие геометрические предметы: I курс: "Аналитическая геометрия", П курс: "Элементарная геометрия", Ш курс: "Основания геометрии", 1У курс: "Дифференциальная геометрия".

Этим предметам помогают: на Ш курсе: двухсеместралъный" семинар "Метод!,! решения математических задач", на Ш и. 1У курсах: "Дидактика математики" и "Педагогическая практика в школе".

Исследование результатов этой перемены образования будуйих учителей математики показало правильность нашей концепции и принципов

ее реализации. _{—

Одним из методов нашего диссертационного исследования был эксперимент,Он имел целью показать возможность эффективного обучения геометрии, основанного на локально дедуктивной организации учебного материала.

Для экспериментальной достоверности эффективности нашей концепции, проверка была проведена непосредственно под руководством an-, тора в двенадцати лицеях четырех воеводств (областей) южновосточной Польши в течении 1988-92 гг. Учителя этих лицеев проверили в школьной .практике следующие локальные аксиоматики и связан с ними материал обучения:

- планиметрия: перпендикулярность и осевая- симметрия, параллель-

ность и параллелограмм, подобие, измерение углов, скалярное произведение (умножение) векторов,

- стереометрия: группа самосовмещений фигур, взаимное расположение прямых и плоскостей, принцип Кавальери.

Отдельные' фрагменты этого материала обучения были теоретически и практически проверены в 45 дипломных работах отудентов математического факультета Высшей Педагогической Школы в 2ешуве»

-Эксперимент показал правильность теоретической конструкции сио-теш локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии.

Самым вааиым указателей правильности этой системы ш считаем: I) увеличение качества и количества проблем, которые ученики экспериментальных классов ставши б ходе специального опроса, 2) существенное повышение семестральных оценок этих учеников. Результаты этого опроса и роот семестральных оценок ( в сравнении о оценками учеников контрольных классов) включает в себя У1 приложение.

;Приложение к диссертации содержит: I -геометрическое содержание программы П-90, II- Локальные аксиоматики измерения величины угла, Ш - фрагмент учебника: "Параллельные прямые и параллелограмм", • 1У- Описание "островка":"Взаимное расположение прямых и плоскоо -тей", У- Программа обучения предмета: "Основания геометрии" Ш курса математического факультета ШЩ в Кешуве, У1- Описание конечных резулт^тов опроса учеников экспериментальных классов.

ЗАКЛЮЧЕНА

Приступая к настоящему исследованию, автор ставил перед собой следущдз цель - разработать и обосновать концепцию методической системы локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии в польских средних школах.

При этом нужно было сделать анализ актуальных проблем обучения-геометрии в атих школах, указать их европейские источники ("волны реформ"), описать используемые программы и учебники, представить официальные тенденции и перемены. На этой основе в I главе диссертации определены и решены следующие проблемы, которые создают фундамент предложенной концепции локально дедуктивной организации процесса обучения: характерные черты геометрии, единство школьной математики и автономия геометрии в ее обучении, роль интуиции в обучении геометрии, преобразование как ведущая ось геометрической)

содержания программы обучения, структура этого содержания. Все ото означает, что задача 3 I нашей диссертации выполнена.

Вскрыв недостатки глобального дедуктивного обучения геометрии, автор показал необходимость отхода от ее использования. Вышесказанное стало посылкой для формулировки требований к новому подходу к обучению геометрии в средних школах.

Исходя иЗ этих позиций, автор'во П главе диссертации разработал многосторонне обосновал: принципы, этапы и компоненты локально дедуктивной организации процесса обучения - полезные не только для обучения геометрии; показаны многие соответствующие локальные аксиоматики и предложения по их реализации в школо» Системный подход к этой проблеме и многолетний эксперимент показал новые возможности и пригодность нашей концепции. Это все позволяет констатировать что задачи 3 2 и 3 3 нашего исследования выполнены. ' .

В Ш гласе диссертации показаны методические приемы и необходимые условия для внедрения локально дедуктивной организации процесса обучения в ежедневную окольную практику: отбор локальной аксиоматиза-зации и дедукции. Виды используемой интуиции, рекомендации для процесса локальной аксиоматизации, определение и перенос понятий,1 требования к формулировке теорем и доказательств, использование ошибок и заблуждений, виды и роль контрпримеров, структура учебника, отбор задач, подготовка учителей. Описана также экспериментальная проверка нашей концепции в лицеях тно-восгочной Польши. Тем самым , задача 3 4 также реализована.

Вышеуказанный отчет о результатах иссдедовательской работы позволяет признать гипотезы Г I и Г II правильными и достоверными.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

А. Монография

1. Локальная дедукция в обучении геометрии в средней школе -проблемы и предложения. - Кешув: ВПШ, 199?.. - 209 с.

Б. Статьи, брошюры, рапорта

2. Как вджу будущий учебник математики // Научно-дидактический ежегодник. - Жпшул: ВПШ, 1977. - ¡»4/32. - С.32-39.

3. Топологически о школьной геометрии // Материалы для учебы дидактики математики. - Жешуя: ВГО1, 1978. - C.6I- 104.

4. Геометрия для двухлетних специализированных школ. - Жешув: ВПШ, 1978. - 68 с.

5. Геометрическое образование будущих учителей математики // Научно-дидактический ежегодник. - Еепув: ВПШ, 1985. - №7/62 -С. 209-241. '

6. Отчет об анкетном исследовании на тецу: Геометрическое образование учителей на математических факриетах // КРВР III

30 УЙ. - Вроцлав: 1985. - 45 с.

7. Вступительное исследование эффективности образования учителей на математических факультетах // RPBP III 30 У. - Краков: 1987. - 34 с. (в соавторстве).

8. Мнения Юзефа Чеха // Математика. - 1988. - № 4. - G.225-228.

9. Реализация избранных предемтов и их усвоение. Математическое знание выпускников математических факультетов педвузов // RFBP III 30 У. - Краков: 1988. - 95 с. (в соавторстве).

10. Означения математйчних понять, як система псзнавательних д1й // Уроки математики сьогодни I завтра. - Дрогобич: ПИ, 1989,-С.20-22.

11. Система координат в обучении математике в общеобразовательном лицее. - Жешув: 1990.'-- 39 с.

12. Некоторые проблемы модернизации образования учителей математики в Польше // Математика в школе. - 1990. - J? 6. - С.71.

13. Уровень усвоения основных математических знаний студентами конечных курсов математических педвузов // ВРВР III 30 У1. - Жешув: 1991. - 24 с.

14. Прикладна спрямованЬсть шк1льного курсу геометра // Методика викладания математики i фьзики. - КиХв: "0св1та", 1991. - N7. -С.5-9. (в соавторстве).

15. Отчет об анкетном исследовании на тему: Геометрия в образовании учителей и в обучении математике в школе // RPBP III 30 У.Краков: 1992. - 65 с. (в соавторстве).

16. Локальная аксиоматизация и дедукция в обучении геометрии в средних школах Польши // Математика в школе. - 1993. - }?2. -С. 72-^5.

17. Видение геометрических проблем учениками средних школ // • Научно-дидактический ежегодник. - Жешув: БПШ, 1993. -№9/93. -С.52-108.

18.sКореляция обучения математике и физике в лицеях // Научно-дидактический ежегодник. - Жешув: ВПШ, 1993. - №9/93. - С.109-124.

19. Заметет об интуитивной мышлении в обучении геометрии в средней школе // Научно-дидактический ежегодник. - Жешув; ВПШ, 1993.-

№ 9/93. - С. 125-159.

20. Определение математических понятий в процессе обучения математике //Научно-дидактический ежегодник, - Жешув: ВПШ, 1993,» 9/93. - С. 160-181.

Содержание диссертации автор научной статьи: доктора педагогических наук, Тоцки, Ежи, 1993 год

Введение - 4

Глава I. ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ В ПОЛЬШЕ

1.1. Первая и вторая "волна реформ" обучения математике -общая характеристика

1.2. Роль геометрии в польских программах и учебниках

1.3. Характерные черты геометрии - И

1.4. Идея единой школьной математики

1.5. Дилемма : интуиция либо формализм

1.6. Преобразование как математическая основа школьной геометрии

1.7. Общая структура геометрического содержания в программе обучения

Глава II. ЛОКАЛЬНАЯ АКСИОМАТИЗАЦИЯ И ДЕДУКЦИЯ

В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНИХ ШКОЛАХ II.Iо Необходимость новой организации процесса обучения геометрии в средних школах

11.2. Сущность, принципы и этапы локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии

11.3. Примеры локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии в средних школах

Глава III. УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ ЛОКАЛЬНО ДЕДУКТИВНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНИХ ШКОЛАХ ПОЛЬШИ

111.1. Отбор локальной аксиоматики

111.2. Методика использования локальной аксиоматизации и дедукции

III.3. Модернизация образования учителей математики

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методические основы локально дедуктивного обучения геометрии в средних школах"

Известно, что математика - как всякая наука - имеет два основных аспекта [21, 22, 58, 128, 156, 158, 212, 273, 290, 287 301, 305, 315, 320, 369J :

1) это готовый набор знаний - математическая система, соз -данная математиками на определенной основе и с помощью ярко выделенных правил,

2) это специфическая интеллектуальная деятельность, средством которой является четкое математическое мышление»

Этим аспектам соответствуют такие "философии" обучения математике, которые на первое место ставят С соответственно ) :

- "математическое образование" , которое доминировало в Европе и в Польше еще в начале 80-х гг.,

- "образование с помощью математики" - точнее: формирование личности ученика с помощью математики" или коротко: "образование математикой".

Эта вторая "философия" началась еще в конце 60-х гг. [112], но только недавно она стала входить в систему' образования : сначала как цель обучения, теперь несмело в содержание школь -ного курса математики [ 60, 105, 189, 195, 213, 285, 299, 306 330, 335, Зб9~] • Здесь отбор содержания и средств обучения зависит от общей идеи образования личности ученика : развитие интеллектуального потенциала, подготовка к творческому мышле -нию, активный подход к проблемам жизни |~106, 123, 129, 134, 148 , 27В, 370] • С этих позиций идея "образования с помощью математики" не является отрицанием "математического образова -ния", она скорее использует его, но с существенным изменением целей и содержания.

Фундаментом готовой математической системы является всегда аксиоматика, методом ее строения - дедукция. Однако, аксиоматика и дедукция понимаются глобально, по отношению к всем элементам и соотношениям математической системы» Первым ре -зультатом такого подхода к математике была книга Евклида "Начала", последним - трактат Н.Бурбаки "Начала математики" [22],

В проводимых в XX веке реформах обучения математике наи -большие перемены касались геометрии, как в области общих идей, так и содержания обучения. Во второй половине XX века в Европе и в Польше происходили две такие "волны реформ" - первая в конце 60-х гг. и в начале 70-х гг., вторая в конце 70-х гг. и в начале 80-х гг. £lI2] .

В реформах первой "волны" господствовала первая "философия" обучения математике : школьную геометрию пытались сильно математически модернизовать и включить ее структуры и содержание в целостную школьную математику. Эту последнюю нужно было строить по образцу бурбакистов. Одинако по разным причинам ( см. I главу диссертации ) это направление перемен не прине -ело удовлетворительных результатов, одновременно оно возбудило много отрицательных явлений в обучении математике.

Кризис этой "философии" касался особенно остро обучения геометрии в средних школах и поэтому в этой области появились первые пробы новых идей. Началась вторая "волна реформ", основным лозунгом которой стало "образование математикой". Этой новой идее помогают другие, более конкретные [112] :

- математика для всех,

- математическая активизация ученика,

- локальная аксиоматизация и дедукция,

- прикладное направление обучения математике.

На Международном математическом конгрессе в Варшаве в 1983 констатировалось, что "дело идет о выработке концепции современной школьной математики, учитывающей развитие науки, потребности и прогресс техники, но одновременно широко доступной, подобранной к средним перцепционным возможностям учеников, по буж -дающей и развивающей их интеллектуальную активность. "Математика для всех" должна реализовать идею обучения через матема -тику широких масс, а не зцучивания ненужных всем элементов математики" p2l] •

В реформах "второй волны" уменьшились аксиоматическо-дедук-тивные требования и повысился уровень арифметизации школьной геометрии. Начались поиски новых дидактических концепций, которые не только могли увеличить значение геометрии в обучении математике, но прежде всего поднять уровень обучения и степень реализации определенных по-новому целей образования С Р.Том, Г.Фройденталь, 3.Крытовская, Ж.Кунцман, М.Клайн, Э.Кастельнуо-во, Т.Варга и также А.Д.Александров, Л*С„Атанасян, В.Г.Болтянский, Г.Д.Глейзер, Б.В.Гнеденко, Ю.М.Колягин, Н.В.Метельский, А.В.Погорелов, З.И.Слепкань, А.А.Столяр, Л.М.Фридман и другие).

Обучение геометрии в средних школах всегда было и теперь также является трудным С ло мнению З.Крыговской - самым трудным ) вопросом как для учителей, так и для дидактов математики. Причиной этого положения является большая и известная роль геометрии в развитии всей математики, богатство и разнородность содержания, соединение интуиции и логики, необыкновенно прочные и важные практические и дидактические ценности, разные и иногда противоположные мнения об ее обучении 22, 57, 61, 74, 91, 158, 193, 213, 262, 292] .

Проверка результатов обучения, проведенная во многих польских средних школах в 80-х гг., показала снижение уровня обучения геометрии, спад интереса учеников к этому разделу школьной математики, нежелание учителей добросовестно изучать стереометрию и т.д. [2.30 , 232^ • Так как геометрия является самым большим, плотным разделом математики в средней школе , то она имеет существенное влияние на результаты обучения это-предмету.

На этой основе можно констатировать, что тема диссертации приводит к следующей проблеме исследования : выявление возможности локально дедуктивной организации учебного материала при разработке методики обучения геометрии направленной на повышение эффективности обучения. |

Актуальность этой проблемы и темы диссертации определяется не только вышеприведенными требованиями математиков и дидак -тов, но и введенной в 1990 г. в польских средних школах новой программой обучения математике. Она уменьшила обязательный для ученика объем содержания и дала возможностьего дополнения конкретизации и интерпретации, установления очередности реализации разделов и тем, подбора форм и методов дидактической работы,, Одновременно рекомендуется в реализации этой программы отступить от глобальной аксиоматизации и дедукции в пользу локальной, которая начинается в последних классах основной школы. Констатируется, что глобальная аксиоматизация школьной геометрии и такая же дедукция в ее обучении составляют главную причину неуспехов учеников. Это является большой и очень глубокой переменой общей идеи обучения геометрии в тгольских средV них школах.

Однако эта новая идея локально дедуктивной организации процесса обучения не разработана теоретически и практически для потребностей учителей. Правда, появились новые, параллельные учебники геометрии, но они не предлагают дидактической реализации этой идеи [ш, 142, 143] . Они скорее являются банком знаний, чем учебником.

В немногочисленных работах дидактов математики с Г.Фрой-денталь, З.Крыговская, Я.Кониор, А.АоСтоляр ) можно найти только самые общие принципы и указания о таком новом обучении геометрии в средней школе. В объявленных в 1992 г. Министерством, национального образования проектах новых реформ польской системы образования предлагается, чтобы эта концепция локальной аксиоматизации и дедукции в средних школах была углублена.

Из постановки проблемы исследования вытекает, что объектом нашего исследования является : система ( тве0 структура + содержание + процесс ) обучения геометрии в современных средних школах Польши. |

Система этой геометрии является подсистемой единой школьной ( элементарной ) математики.

Здесь нужно объяснить, что польские основные школы начинают обучение детей с 7 лет в I £ УШ классах. Потом выпускники этих школ продолжают учебу в сверхосновных школах: средних общеобразовательных лицеях или разного типа профессиональных школах ( профтехучилищах или средних техникумах ). Во всех-основных и сверхосновных школах изучается только один предмет математического цикла - "Математика"* Диссертационное исследование касается обучения геометрии в лицеях потому, что программа обучения других средних школ является сокращением для лицеев. Лицей ведет обучение в течение четырех лет ( техникум - 2, 3, 4 или 5 лет ) и охватывает 30 - 45 % выпускников основных школ.

Обучение геометрии в лицеях исследовано в математическом и дидактическом аспекте - на этой основе определен предмет исследования : содержания и структура локально дедуктивной организации учебного материала и ее реализация в обучении геометрии в польских средних школах. |

Анализ предмета исследования в математическом аспекте позволяет выделить прежде всего : характерные черты геометрии и их значение для развития математики, типологию теоретических подходов к геометрии, принципы отбора геометрического содержания для обучения в средней школе. Анализ в дидактическом аспекте - это определение значения геометрии в обучении математике типология аксиоматико-дедуктивных систем в этом обучении, формулировка и обоснование принципов и этапов локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии и их использование в конструировании соответствующей программы обучения, разра -ботка основных примеров такого обучения.

Внедрение в школьную практику методической системы локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии мы считаем самым важным методом ( парадигмой ) для решения нашей исследовательской проблемы»

Из вышесказанного вытекает, что основная цель исследования это разработка и обоснование концепции методической системы локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии в польских средних школах, которая делает возможным положи * тельное решение нашей проблемы исследования»1

Попутные цели исследования заключаются в выявлении принципов ( направлений ) решения других важных вопросов этого обучения, т.е, основ методики локально дедуктивного обучения. Сформулируем гипотезу исследования. С целью ее обоснования

-издадим общий анализ двух "волн реформ" обучения математике, которые оказали большое влияние на преподавание математики в польских школах» Этот анализ дополнен обзором использовавшихся в 1965 - 1992 гг. программ и учебников геометрии для общеобразовательных средних школ. Эти программы и учебники создав-вали образец для аналогичных элементов системы образования в других ( технических ) школах* На основе этого анализа сделав на оценка действующей с 1990 г. новой программы обучения ма и тематике в средних школах и первых написаных ( по этой про -грамме ) учебников.

Источником оценок и выводов послужила также разнообразная литература : математическая, дидактическая, психологическая и также философская - Полезным был и 10 - летний опыт работ автора диссертации учителем математики в средних школах, а также 15 - летний стаж работы преподавателем геометрии и ди -дактики математики в Высшей педагогической школе в leuiyse. Использовался также опыт передовых учителей польских средних школ о

Эта широкая основа позволила нам выдвинуть следующую гипотезу исследования :

Г I - включение школьной геометрии в единую школьную математику, но с сохранением большей автономии в области идей , содержания и языка позволит повысить уровень эффективности обучения математике в средних школах Польши.

Г 2 - существует возможность такой разработки методической системы локально дедуктивной организации процесса обучения школьной геометрии, которая позволит устранить основные недостатки работы учителя в обучении математике в средних школах Польши.

Вообще говоря, можно констатировать, что эти гипотезы подтверждают следующее мнение З.Крыговской : Нам хотелось бы сегодня не только учить математике, но и развивать математикой п [j23] .

Для решения исследуемой проблемы и для проверки соответ -ствующих гипотез мы поставили ряд основных задач ? разрешение которых ведет к реализации целей исследования :

3 I - описание и анализ :

- характерных черт геометрии в качестве математической теории и предмета обучения,

- существующих до сих пор "волн реформ", программ и учебников, которые имели большое влияние на современные идеи обучения, программы и учебники, с целью раскрытия важных проблем обучения геометрии в поль -ских средних школах.

3 2 - описание и анализ сущности и принципов глобально и локально дедуктивной организации процесса обучения математике в средних школах и обоснование пригодности в этом обучении локально дедуктивной организвции изучения кчебного материала*

3 3 - определение компонентов методической системы локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии в средних школах и критериев их отбора в школьной практике•

3 4 - описание дидактических ситуаций - примеров этой системы обучения геометрии.

3 5 - выделение других проблем обучения геометрии в польских средних школах, актуальных для повышения качества этого

- 12 обучения и эффективного внедрения локально дедуктивной его организации*

Методологической основой исследования явились фундаментальные достижения следующих научных дисциплин: дидактика математики [58, 112, 123, 125, 180, 252, 369] , основания математики [34, 53, 141, 247, 302, 365] , основания элементарной геометрии [l4, 35, 55, 64, 75, 204, 237, 265, 2б7, 2ft), 2?7, 295, 349] , общая теория систем [73, 161, 185, 197J , теория научного познания : многосторонность, причинность, взаимозависимость, развитие, познавательный "треугольник", структураль-ность [2, 167, 214, 273, 34S] , познавательная психология [24, 25, 65, 85, 99, 100, 173, 188, 2X6, 254, 256, 317 , 329, зб4]:

Существенное влияние на разработку концепции локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии в средних школах оказали работы Г«Бигальке, Э.Витманна, П.Гильтона, Э.Кастельнуово, М.Клайна, Ф.Клейна, Ю.Козелецкого, Г.С*Кокс-тера, Я.Кониора, З.Крыговской, В.Новак, Д.Пойа, Р.Тома, Т.То-машевского, Г,Шоке, Г.Фройденталя и также А.Д. Александрова, Л.С.Атанасяна, В.Г.Болтянского, Г.Д.Глейзера, Б.В.Гнеденко, В.А.Гусева, Н.В.Ефимова, А*Н.Колмогорова, Ю.М.Колягина, Л.Д.Кудрявцева, Г«Л„ Луканкина, В.М.Монахова, Н.В.Метельского, А.Г.Мордковича, В.А.Оганесяна, 3»И.Слепкань, А.А.Столяра, Л.М.Фридмана и др.

С целью решения выдвинутых задач исследования мы приняли определенную логику исследования С этапы и их очередность ), на которую указывает нижеследующая схема № I.

- »

Схема

Математика Геометрия

Дидактика математики

Общие идеи обучения

Обучение математикой [Автономия геометрии .Единство математики jГеометричеокое воображение

Критерии ofбора и упорядочения содержания программы тучность, полезность , структурность (оптимизация .активизация

Понятие программы обучения

Структура программы обучения олои X разделых!темат» ческие линии а

Дели обучения " j Программа обучения геометрии в средних школах

Типы локально дедуктивной организации материала обучения Ж

Принципы и этапы локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии

Критерии .отбора аксиоматики для локально дедуктивной организации процесса обучения д е д у к т и в н ы е I минисистемы ("островки") I

Локально дедуктивная организация процесса обучения геометрии

- 14

В исследовании проблем обучения геометрии в средних школах Польши используются различные методы : теоретический анализ и синтез С качественный ) предмета исследования, прогнозирование направлений будущих реформ и перемен программы обучения математике, конструирование и моделирование систем и дидактических предложений»

Как полагает автор, степень научной ценности и новизны данной работы определяется тем, что при помощи полученных результатов исследования : а) выполнена теоретическая разработка основных проблем, касающихся локально дедуктивной организации процесса обучения математике как новой концепции в средней школе, б) эта проблематика исследована системно и комплексно, в) разработана методическая система локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии в общеобразовательной средней школе, г) предложены направления решения современно важных проблем, касающихся повышения уровня обучения геометрии в средних школах сегодня и в будущем*

Практическая значимость реализации результатов исследования заключается прежде всего в том, что их основной результат, т.е. компонент ( в ) научной новизны является важной и полезной для школьной практики во всех польских средних школах. Эта система по-разному конкретизирована примерами, которые можно использовать в системе национального образования авторами программ обучения, учебников и учителями математики средних школ.

Компонент ( г ) научной новизны можно использовать в образовании будущих учителей математики.

Использование полученных результатов исследования в Польше показывает наша монография : Локальная дедукция в обучении геометрии в средней школе - проблемы и предложения. Жешув, 1992, 209 с.

Апробация работы осуществлялась по-разному и постепенно. Основные результаты исследования были доложены автором на научно-дидактических конференциях в Польше, Украине, Чехословакии, ГДР. Автор неоднократно выступал по проблемам локальной дедукции на курсах повшения квалификации учителей и перед студентами и работниками Высшей педагогической школы в Жешуве. Проблематика и результаты исследования были также доложены на съездах Польского математического общества, на научном семинаре в Высшей педагогической школе в Кракове и в Центральном институте совершенствования учителей в Варшаве.

Все результаты исследования нашли свое отражение в разных публикаях автора - прежде всего в вышеуказанной монографии. За последние сорок лет она является первой в Польше книгой об обучении геометрии в средних школах, написанной одним автором.

На защиту выносится раскрытая в решении задач исследования, разработана при помощи принятых методов :

I) комплексная концепция ( существо, значение, конструкция) методической основы системы локально дедуктивной организации обучения геометрии в средних школах, которая учитывает актуальную ситуацию обучения математике и направления перемены системы польского просвещения; в частности касается это следующих ее подсистем :

- критерии отбора и упорядочения содержания обучения,

- структура программы обучения геометрии в средних школах и системные типы этих программ,

- критерии отбора аксиоматики и содержания для локально

- 16 ~ дедуктивной организации процесса обучения, - принципы и этапы локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии в средних школах,

- образцы разработки избранных тем из программы обучения, 2) предложения решения других современно важных проблем, касающихся повшения качества обучения геометрии в средних школах , которые образуют необходимые условия широкого внедрения локально дедуктивной организации ее обучения :

- автономия школьной геометрии в рамках единой математики,

- использование геометрической интуиции,

- практическая направленность обучения геометрии,

- роль заблуждений и парадоксов в обучении геометрии,

- модернизация геометрического образования учителей.

Задачи исследования определили структуру диссертации, которая состоит из введения, трех глав, ню с ти приложений, заключения и списка использованной литературы.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Запроектированная здесь дидактическая система является примером состава последствий, выведеных из теоретических предпосылок и практических исследований школьной действительности»

Первый замысел нашего рассуждения это обоснование необходимости и возможности анализа с другой точки зрения одной из самых трудных и сложных проблем дидактики математики : организация процесса обучения геометрии в средней школе» Факт, что существующая до сих пор глобально дедуктивная её организация всё хуже приставает к современному знанию ( математическому и дидактическому ) не подлежит сомнению»

В решении этой проблемы надвигается такое продвижение :

- привести в порядок узловые проблемы ( вопросы ), касаю -шиеся конструкции локально дедуктивной организации процесса обучения математике,

- для каждой такой проблемы определить пршщипы, указания и эвристики действия ; здесь нужно направляться том, что "подсказывает" и математика и психология мышления, общая дидактика и дидактика математики, общая теория систем и т.н. "здровый смысл", традиция и современность, и в конце уже показывающиеся тенденции развития просвещения»

Автор диссертации убеждён, что ученик хочет тгознавать действительность с разных точек зрения и на различных уровнях точности и сложности» Одновременно считаем, что ученика можно обучать, но не возможно научиться вместе его - ему это нужно сделать самому»

В своей деятельности ученик выходит вне того, что до сих пор знает и умеет, кем является как личность. Это всё делает с помощью познавательных действий, намеренных на решение различных проблем. Полученные на такой пути знания и умения следовательно кодирует в абстрактной или воображаемой форме. Эти знания и умения разрешают построению и развитию дальнейших познавательных структур, знания и опыта.

Описана здесь концепция локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии может в значительной степени вызвать именно такое действие учеников и учителей. Она выясняет много явлений, которые подтверждают кризис обучения геометрии-кроме того на этой основе ставятся новые проблемы к дальнейшему рассуждению.

Выполненное нами исследование показало, что в современных условиях обучения математике в общеобразовательной средней школе можно эффективно решать крупные проблемы обучения математике (ив частности геометрии ) только при структурной и содержательной перестройке организации процесса обучения. Это является необходимым условием решения поставленной общей проблемы исследования : повышение качества обучения, в соответствии с современными требованиями просвещения и дидактики математики .

Результаты, полученные в ходе выполнения цели и задач исследования, позваляют сформулировать следующие выводы.

Анализ первой и второй "волны реформ" обучения математике показует, что изменяется её "философия" в направлении :

- от усваивании охватенной общими структурами школьной математики к развитию математической активности ученика на основе системы разных знаний,

- от жёсткой программы обучения к дифференцированного учителем подбора этой системы знаний,

- от чистой" математики к применению основных знаний и умений,

- от математических знаний к математическим умениям и процедурам,

- от статичного к динамическому мышлению •

Это всё образует гуманизацию школьной математики^ см. глава I, I.I, 1.2, 1.5, 1,6, 1.7 ). Тем самым задача 3! нашей диссертации выполнена.

2. Геометрия и как математическая теория и как предмет обучения имеет очень много ценностей, которые сегодня и в будущем существенно влиляют на организацию процесса обучения и его результаты. Эти ценности и нужно сохранить в необходимой новой конструкции школьной математики ( глава I, §§: 1.3, 1.4, 1.5, L б).

Это также означает , что задача 3 1 выполнена.

3. Разработанные : сущность, принципы, этапы и компоненты локально дедуктивной организации процесса обучения являются полезными не только для обучения геометрии. Системный подход к этой проблеме показал не толко недостатки глобально дедуктивной организации, но прежде всего обосновал новые возможности и пригодность локально дедуктивной организации для обучения всей школьной математики. Показана соответственность этой новой ( выдвинутой известными в Европе дидактами ) концепции и новой "философии" обучения математике : "математика для всех", "образовать математикой" ( глава I, §§: 1.6, 1.7; глава II , §§: ИЛ, II.2; глава III, § IIIЛ )

Это всё позваляет констатировать, что задачи 3 2 и 3 3 нашего исследования выполнены.

Конкретизация концетщшг локально дедуктивной организации процесса обучения охватывает достаточно много примеров, разного типа и подробности описания ( глава II, §§: II.2, II.3; глава

III, §§: III.l, III.2; приложение :11,Ш,1У).0ни не только полностыо разъясняют выдвинуты идеи и предложения но также являются важными компонентами диссертации. Все эти примеры были по разному проверены студентами педвуза в Жешуве ( в их 34 дипломных работах ) и докладами на 5 научно-методических конференциях ( Польша, Чехословакия, Украина, ГДР )♦

Тем самым задача исследования 3 4 также реализована,

5. Реализации задачи 3 5 посвящена глава III нашей диссертации, Выделяются там основные проблемы, которых эффективное решение ( кроме компьютеризации ) разрешит внедрению описанной в главе II концепции в школьную практику. Эти проблемы непо -средственно вытекают из рассуждений сдеданых также в главе I.

В очередных параграфах III главы показаны желательные направления решения поставленых проблем, в связи с новым подходом к обучению геометрии.

Вышеуказанный отчёт о результатах последовательной работы позволяет признать гипотезы Г I и Г 2. правильными и достоверными ( согласно методологии дидактики математики )«

Из результатов нашего исследования "вытекают следующие важные рекомендации :

- разработка программы обучения математике , прежде всего геометрии, в соответствии с принятой в § 1.7 структурой и выводами, сделаными в главе II ,

- составление экспериментальных ( пробных ) учебников, пособий и необходимых дидактических средств, с целью их проверки,

- подготовка избранных учителей и потом студентов к реализации этого эксперимента, дальнейшее исследование указанных вопросов и проблем.

- ггъ

В йринципе , разработанная нами система локально дедуктивной организации процесса обучения геометрии может быть включена в курсы геометрической и дидактической подготовки будущих учителей.

Несоменно, она будет способствовать созданию оптимальной методики обучения математики и формированию личности ученика*

Список литературы диссертации автор научной работы: доктора педагогических наук, Тоцки, Ежи, Жешув

1. Ajdukiewicz K* J^zyk i poznanle^ Warszawa : PWN, 1985« 3o Aleksandrow AoD© Go to jest geometria //wiadomoSci Matematycz»ne; 1955* - N£ - S0 4 « 46 0

2. Yolk : Springer, 1968„ 9* Bachmann Рь Aufbau der G-eometrie auf dem Spiegelumgsbegriff

3. Berlin : Springer, 1959 о 10, Baldy R0 De l'espace du dessin a celui de l1 objet //Educational Studies in Mathematics. 1988e - N? 1. - S. 43 - 57. 11« Benerji Hi Theory of problem solving. - New York : Cambridge

4. UniVi- Press, 1979 J* 180 Booker G; Rola bi^dow w konstrukcji wiedzy matematycznej fj

5. Bruner J.S. 0 poznawaniu. Szkice na lew3. r$k§; Warszawa : PIW, 1971.

6. Bruner J^S. Poza dosfcarczone informacje. ~ Warszawa : PWN, 1978;

7. Neuchatel : Delachaux et Niestle, 1985 i' S. 75 - 130 ,

8. Courant R;; Matematyka w swiecie wspoiczesnym / Matematykaw swiecie wspoiczesnym. Warszawa : PWN, 1966; - S; 9 - 34

9. Coxeter H.S. Wst§p do geometrii dawnsj i nowej. Warszawa : PWN, 1967.

10. Davies P. Superforces. The search for a grand unified theory of nature; New York : A Touchstone Book, 1985.37P Davis R;H., Alexander LeTOJ> Yelon S.L^ Konstruowanie systemu ksztaicenia. Warszawa : PWN, 1983.

11. Delachet A. La geometrie contemporaine; Paris : Press Uni«* versitaires de France, 1973.

12. Dieudonne J. Algehre lineaire et geometrie elementaire. -Paris : Hermann, 1964.40;' Doneddu A. Geometrie euclidienne plane; Paris : Dunod, 1965. 41; Dubikajtis L. Jakiej geometrii uczymy w szkole sredniej \ fj

13. The Mathematics Teacher; ~ 1984. N£2. - S. 129 - 134 . 45i Duval R. Structure du raisonnement deductif et apprentissage de la demonstration //Educational Studies in Mathematics, « 1991; - N£ 22. - S. 233 - 261 e

14. Dyskutujemy nad programami matematyki ^ Oswiata i Wychowanie;- 1976. w.C, N5 12. - S. 3 - 35 ;

15. Ehrenfeucht A. Rozwoj szkolnych programow matematyki w Polsee ^Matematyka. 1979. - N£ 2 . - S. 67 - 74.

16. Einstein Ae G-eometria a doswiadczenie [Delta. 1977. -N£ 2e - S; 1 - 5 ;

17. EinsteiDA,|Infeld:b. Ewolucja fizyki. Warszawa : PWN^ 1962.

18. Fletcher T. Ulepszanie programow nauczania matematyki w zmienia-niaj^cyeh si§ spoleczenstwach jf Wiadomosci Matematyczne.1986 . NO XXVII.1 . - S; 93 - 108 ;

19. Frerikel J. G^ometrie pour l' £leve-professeur; Paris : Her -mann, 1973.

20. Freudenthal H; Go znaczq. struktury naukowe i struktura nauki w rozwoju poznawczym i mysleniu f( Dydaktyka Matematyki. — 1987. -N07,- S; 27 42 «

21. Freudenthal H. Geometry between the devil and the deep sea ff Sducational Studies in Mathematics. 1971; - 3/4; - S;8~29;

22. Freudenthal eH; Maxthematik als padagogische Aufgabe. Stuttgart E.Klett Verlag , 1973i

23. Freudenthal H# Mathematik in Wissenschaft und Alltag. •» Mun « chen : Kindler Yerlag, 1968 0

24. Greenwood I.J. Geometry in the 90s //The Mathematics Teacher.- 1985» N£6. - S. 402 - 409.

25. Grochowska M^ An axiom system of oriented euclidean paralle-lity// Demonstratio Mathematica. 1984. - NJ2 4. - S; 937-943.

26. Grochowska M; Euclidean two dimensional equidistance theory^y Demonstratio Mathematica. 1984. - N23; - S; 593 - 607.71 о Gusciora H. Klasyfikacja pewnych geometrii w oparciu о grupy przeksztaicen//Matematyka. 1968. - №3. - S; 2 - 12p

27. Harpel J; Project MEGSS3ЦThe Mathematics Teacher. 1983.-N54.: - S. 286.

28. Janowski W. Geometria dla klasy II liceum ogolnoksztaic^cego i technikum. Warszawa : PZWS, 1970.

29. Janowski We Geometria dla klasy IV liceum ogolnoksztalc^cego i technikum. Warszawa : PZWS, 1972;

30. Jurkowski A. Rozwoj umyslowy i efektywnosc poznawcza uczniow.-Warszawa : WSiP, 1986.

31. Kandulski M. 0 istnieniu i naturze przedmiotow badanych w mar-tematyce//Matematyka. 1986. - №4 . - Si 157 - 163 .

32. Kerekjarto B0 Les fondements de la g/ome'trie. Budapest: 1955.

33. Kittel C., Knight W.D., Rudeimann M.A. Mechanika , Warszawa: PWN, 1973.89; Klein P; Elementarmathematik vom hoheren Standpunkte. Berlin: Springer, 1924.90; Klein P; Vergleichende Betrachtungen uber neure geometrische Porschungen^ Erlangen : 1872.

34. Kline M. G-eometria /Matematyka w swiecie wspoiczesnym.- War -szawa : PWN, 1964. S; 61 - 91 ;92; Kline M. Matematyka a swiat fizyczny; Warszawa : PWN, 1964.

35. Konior J; 0 poj^ciu lokalnie dedukcyjnej organizacji nauczania matematyki // Dydaktyka Matematyki. 1989. - Nf-|0; - S;99-117;

36. Kopczynski W., Trautman A, Czasoprzestrzen i grawitacja. -Warszawa : PWN, 1981.95; Kordos M, 0 roznych geometriach. Warszawa : Alfa, 1987.96; Kordos M., Szczerba L« Geometria dla nauczycieli. Warszawa : PWN, 1981;

37. Krygowska Z. Analiza zasad i konstrukcji programu matematyki z puriktu widzenia ich zgodnosci z zasadami wspoiczesnej meto-dologii matematyki// Matematyka. 1959. - N51-2. - S. 300-301.

38. Krygowska Z. I)yskusja о nauczaniu geometrii na dorocznym kon-gresie nauczycieli matematyki szkoi srednich w Belgii.// Wiado-mosci Matematyczne. 1962. - N»VI. - S. 17 - 22;

39. Krygowska Z. Nauczanie geometrii w jednolitej matematyce wspoiczesnej // Wiadomosci Matematyczne. 1962.- NfiVI.-S. 323 - 334.

40. Krygowska Z. Nauczanie matematyki uczniow w wieku 10-16 lat stan aktualny i tendencje//wiadomosci Matematyczne.-1979. - NgXXI.2 . - S. 193 - 211.

41. Krygowska Z; Niektore tendencje wyst^puj^ce w matematyce wspolczesnej a nauczanie matematyki w szkole powszechne j// Matematyka. 1975. - N£2. - S. 103 - 114.

42. Krygowska Z. Przyczyny trudnosci i niepowodzen uczniow w matematyce //Matematyka . 1975; - N£4. - S. 241 - 247 .118; Krygowska Z; "Traktat z Echtemacht" о nauczaniu geometrii /^Wiadomosci Matematyczne. 1968. - NfX. - S. 217 - 222.

43. Krygowska Z. Wprowadzenie w geometric dedukcyjn^ ^Matematyka,, 1970. - Nf5„ - S. 257 - 271 .

44. Krygowska Z. Wspoiczesne tendencje w nauczaniu geometrii/^ Wiadomosci Matematyczne . 1976. - N£XIX,2. - S. 165 - 184.

45. Kxygoweka Z. Zrozumied b^d w matematyce //iJydaktyka Matsma»> tyki. 1989. - «219. - S. 141 - 147 .

46. Kxygoweka Z., Kulczycki S.t Straezewlez S; Hauczanie geometrii v klasach licealnych szkoiy ogdlnoksztalc^cej. Warszawa : PZwe f 1954.

47. Krygowska Z#, Maroszkowa J. Qecmetrla dla klasy X llceum ogolnoksztalc^cego. Warszawa s PZVS 1967.

48. Kxygowska Z. Trelinskl Gteometxla dla klasy 4 llceum og61zto-keztaic^cego. Warszawa : PZWS, 1971.

49. Kuntzmann J. Ai»-dela de "matheaatlque modern* /bulletin APMSP. 1973* - He290; - S. 576 - 584;

50. Kuntzmann J, Evolution et etude critique des enselgnements de matbematlque . Paris : CBDIC, 1976.

51. Kuplslewlez Cz. Kooeepcje progremdw nanezanla we wsp&tczes-nej llteraturze zaohodn 1 eJ //Kwartalnlk Pedagoglczny.1978. %3. - S. 15 - 21 ;

52. Kuplslewlez Cz. Podstawy dydaktykl ogdlnej. * Warszawa x PWH, 1970;

53. Kaplslewlcz Cz. Przemlany edukacyjne w £wlecle. Warszawa : PWN, 1978;

54. Ku&na P; Matematika a vyucovaai matematice // Matematyka a fyzika ve skole; 198о/в1; - Н5Ю; - S; 699 - 703;

55. Kurina P. Modernizace vyucovaai matematice//Hatematika a fyzika ve skole. 198l/82. - Ж28; - S. 541 - 550.

56. Memorial Walnego Zgromadzenia Polskiego Towarzystwa Matema -tycznego w sprawie reformy szkolnictwa //Wiadomosci Matema -tyczne. 1976. - NdXXI.2. - S. 213 - 216;

57. Mesquita A.S. Sur une situation d^evil a le deduction en geo-metrique//Educational Studies in Mathematics; 1989. - NP1

58. Ministerstwo Edukacji Narodowej. Program liceum ogolnokszta£c^c« c^cego oraz liceum zawodowego i technikum. Matematyka. -Warszawa : WSiP, 1990.

59. Modienow P.S., Parchomienko A.S. Przeksztaicenia geometryczne. Warszawa : PZWS, 1987. /

60. Moszynska, Swi^cicka. Geometria z algehr^ liniow^. Warszawa : PWN, 1987.156; Murawski "R. "Humanizacja" matematyki, czyli о nowych pr^dach w filozofii matematyki ff Studia Pilozoficzne. 1986. - N58.-S. 67 - 79.

61. Nauczanie geometrii w klasie I i II szkoiy sredniej , pod redakcj'^ S.Turnau. Warszawa : WSiP, 1977;158; Newson C.V; Istota matematyki. Warszawa : PWN, 1967;

62. Norwa J; 0 reformach w nauczaniu matematyki//Matematyka, -1976. N£.1. - S. 20 - 25 .160, Nowak W. Konwersatorium z dydaktyki matematyki. Warszawa : PWN, 1989.161; Ogolna teoria systemow, pod red. G-.J.Klira. Warszawa : WNT, 1976.

63. Okon W. Nowe tendencje w hadaniach nad programami szkolny-mi //Kwartalnik Pedagogiczny. 1978. - N03. - S. 3 - 13.

64. Okon W. Slownik pedagogiczny. Warszawa : PWN, 1975.164; Opial Z, Matematyzacja dziaialnosci ludzkiej^Wiadomosci

65. Matematyczne. -1979. N0XXI.2. S. 138 - 148.- 237 165» Papy G; Ьа geometrie dans 1^enseignement moderne de la mathe-matique/ Tendences Nouvelles de l'Enseignement des Mathemati-ques e Paris : Unesco, 1970. - vol. II.

66. Papy G; Mathematique moderne. Bruxelles-Paris : Didier,1967.

67. Pasenkiewicz K.Logika ogolna. Warszawa : PWN, 1986. 168; Pedagogika. Podr^cznik akademicki pod red. M;Godlewskiego,

68. S;Krawcewicza, T.Wujka. Warszawa : PWN, 1974. 169; Penrose R. Geometria wszechswiata / Matematyka wspoiczesna. Dwanascie esejow. - Warszawa : WNT, 1983; - S; 98 - 141.

69. Perlerey M. Rola bi^du w uczeniu si$ i nauczaniu matematyki/ Dydaktyka Matematyki. 1989. - N©10. - S. 133 - 140.

70. Peters W.S; Visualisieren und Analigisieren// Der Mathematik-linterricht. 1988. - Ng5.172; Piaget J; Nauczanie matematyki a rozwoj dziecka// Wiadomosci Matematyczne . 1979. - N0XXII.1. - S. 143 - 154 .

71. Piaget J. Rownowazenie struktur poznawczych. Warszawa : PWN, 1981.

72. Picker B. Mathematikunterricht als Vermittlung von grundlege-genden Ideen // Der Mathemetikunterricht . 1985. - N£4.1. S. 6 9 .

73. Pietuszko S; Poj^cie struktury w kontekscie budowy programu IIКwartalnik Pedagogiczny. 1978. - N£4. - S. 55 - 60.

74. Podgorski P. 0 koncepcji Wittmanna rozwi^zywania problemow matematycznych^/Matematyka. 1978. - N®1. - S; 14 - 17.

75. Podstawowe zagadnienia dydaktyki matematyki, pod red. I. Gucewicz-Sawickie j. Warszawa : PWN, 1982*178; Pogorieiow A.W^ 0 nauczaniu geometrii//Matematyka. 1984. -Nfi1. - S. 30 - 35 .

76. Polya G; Jak to rozwi^zac . Warszawa : PWN, 1964.

77. Prazmowski K. Pew remarks on the algebraic costruction ofa pencil and congruence^Demonstratio Matematica. 1984 0 -N&4; - S. 817 - 825 .

78. Prazmowski K. On the group similarities in classical geometrical planes IfDemonstratio Mathematica. 1985. - N5 4. «•1. S; 933 943 .185o Proces ksztaicenia podejscie systemowe. Przewodnik dla nauczycieli, - Warszawa : WSiP, 1986;

79. Le programme de mathematique de premiere annee secondaire// Mathematique et Pedagogie. 1978. - N£18; - S; 24 - 48;

80. Programy nauczania matematyki w swiecie. Krakow : WN WSP, 1969.

81. Psychologia, pod red T.Tomaszewskiego. Warszawa : PWN, 1976.

82. Retzer KeA; Logic for algebra : new logic for old geometry// The Mathematics Teacher. 1985. - N£6 .

83. Revuz A; The position of geometry in mathematical education //Educational Studies in Mathematics. 1971. - N£1 .

84. Robinson G; The foundations of geometry. Toronto : Univerv. sity of Toronto Press, 1940.- 239

85. Senechal Б. G-eometrie classique et mathematique moderne. -Paris : Hermann, 1979;

86. Senechal B. Groupes et geometries. Paris : Hermann, 1979;20Q.- S;Serafin, G.Trelinski. Zhior zada» z matematyki elementar*nej. Geometria. Warszawa : PWN, 1976;

87. Servais W„ A comprehensive and modern teaching of geometry/ Universitat Bielefeld. Institut fur Didaktik der Mathematik. Bielefeld : Schriftenreiche des IBM, 1974.- Ш3.- 3.23-64.

88. Thom R; Matematyka "nowoczesna" : pomyika pedagogiczna i fi-lozoficzna чЦ Wiadomosci Matematyczne . 1974; - ИШТ11;2 -S; 113 - 129;

89. Thom R. Parabole i katastrofy* Warszawa : PIW, 1991.

90. Thomson P.W. A Piagetian approach to transfozonation geomet -ry via microworlds/^The Mathematics Teacher . 1985. -N16. - S. 465 - 471 .

91. Tichomirow 0. Struktura czynnosci myslenia cziowieka. -Warszawa : PWN, 1976*

92. Tocki J. 0 poglq.dach Jozefa Czecha^Matematyka; 1988, -N£4 S. 225 - 228.

93. Tocki J. 0 szkolnej geometrii topologiczniefMaterialy do studiowania dydaktyki matematyki pod red. T. Rumaka* -Rzeszow : WSP, 1978; S; 61 - 104.

94. WierzMcki W. Nauczanie matematyki w trzydziestoleciu Pol-ski budowej // Matematyka ; 1974; - N- 6. - S; 329 - 337;

95. WierzMcki W. 0 nowym programie matematyki dla liceum i tecb-nikum // Matematyka; 1985. - № 4^5 . - S* 218-219;

96. Wi^ckowski Re Programy ksztaicenia i ich konstruowanieЦ Nauczyciel i Wychowanie. 1975 ; - N£ 3 . - S; 33 - 41 .

97. Wittmann E; Grundfragen des Mathematikunterricht, -Braunschweig : Yieweg, 1974;

98. The mathematical trining of teachers from the point view of education// J.Math.-Didakt; 1989; - N£4.

99. Wiodarski Zi Psychologia uczenia si$. Warszawa : PWN, 1989.

100. Wybrane zagadnienia nauczania matematyki w szkole sredniej; Wyklady telewizyjne, cz; II; Warszawa : WSiP, 1974.

101. Wygotski L;S, Myslenie i mowa. Warszawa : PWN, 1989.

102. Varga T. Nauczanie matematyki na W^grzech dzisiaj^f Dydaktyka Matematyki. - 1987; - N£ 7; - S. - 152;

103. Александров АД» Основания геометрии» М. % 1987»

104. Александров АД», Вернер АЛ», Рыжик В.Й» Геометрия: Пробный учебник для У1 / УII, УШ/ класса средней школы. М»: 1984 1986 о267» Алексеев П»В<>, Панин А»В» Теория познания и диалектика. М»: 199I.268» Арнольд, В.И. Теория катает ров. М.: 1990.

105. АтанасянЛ.Со Геометрия, ч»!. М»; 198.31»

106. Атанасян Л.С», Гуревич Г.Б. Геометрия, ч.2. М»: 1986. 271 о Атанасян Л.С. и др. Геометрия? Пробный учебник для У1

107. Вейшь Г. Математическое мышление. М.: 1989. 281 о Виленкин Н.Яо Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты // Математика в школе. -1988. - № 4. - С. 7 - 14.

108. Виленкин Н.Я., Мышкис АД. Научно-техническая революция и школьный курс математики // Математика в школе. 1987.- №3. С. 40 - 43.

109. Владимиров B.C., Понтрягин Л .С., Тихонов А»Н. О/ школьном математическом образовании //Математика в школе. 1979.- № 3 о С. 12 - 24 .

110. Глейзер Г .Д. Каким быть школьному курсу геометрии// Математика в школе. 1991. - Jfc 4. - С. 68 - 71.

111. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. М„: 1985.

112. Гнеденко Б.В. 0 математических способностях и их развитии // Математика в школе. 1982. - № I. - С. 31 - 34.287 . Б.В о Гнеденко. 0 математическом творчестве Ц Математика в школе. 1979. - № 6. - С. 16 - 22.

113. Груденов Я.М. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. М.: 1987.

114. Дорофеев Г.В. 0 принципах отбора содержания школьного курса математического образованияЦМатематика в школе.- 1990. Jfc6.-C.2-5.

115. Дорофеев Г,В. Строгость определений математических понятий школьного курса с методической точки зренияЦ Математика в школе. 1984. -13. - С. 56 - 60.

116. Канторович Л.В,, Соболев С .Л , Математика в современной школе //Математика в школе. 1979, - №40-С,6-П.300, Киселев А.П. Геометрия. М.: 1973.

117. Клайн М. Математика Поиск истины. - М.: 1988,

118. Клейн Ф, Элементарная математика с точки зрения высшей М,: 1987.303 о Клопский В.М. Основные понятия и аксиомы стереометрии //Математика в школе. 1985. - № 3. - Со II - 17.

119. Колмогоров А.Б. К новым программам по математике //Математика в школе. 1968. - Л 2. - С. 21 --22.

120. Колмогоров А .Но 0 профессии математика. М,: 1959.

121. Колмогоров А .Б. Современная математика и математика в современной школе //Математика в школе. 1971. - № 6.1. С о 2 — 3 о

122. Колмогоров АоН., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия учебное пособие для 6-8 классов средней школы. -М.: 1982,

123. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. М.: 1977,

124. Колягин Ю.М., Пикан В.В, 0 прикладной и практической направленности обучения математике//Математика в школе. -1985. № 6. - С. 27 - 32 .

125. Комиссарук A.M. Аффинная геометрия .-Минск : 1977.

126. Концепция развития школьного математического образования //математика в шкоде. 1990. - № I. - С. 2 - 13.

127. Костин В.И, Основания геометрии. М.: 1946.

128. Крыговская А.С. Развитие математической деятельности учащихся и роль задач в этой деятельности // Математика в школе. 1966 .-^6.-0.19-30.314о Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников.-М.: 1968.

129. Кудрявцев Л Д . Мысли о современной математике и ее изучении. М„: 1977.

130. Кучеров В. Геометрические аналогии //квант.- 1981. -№ 10 о С. 44 46 .

131. Леонтьев А .И. Деятельность, сознание, личность. М.: 1962.

132. Литцман В. Ifte ошибка ? М.: 1962.319о Ляпунов А.А. 0 реформе математических программ //Математика в школе. 1973. - № 2. - С. 57 - 60.

133. Ляпунов А.А. 0 фундаменте и стиле современной математики.- М.: I960.

134. Малъко Л.Т. Из опыта построения курса стереометрии на основе системы аксиом Г.Вейля //математика в школе. 1973.- № 4. С. 54 - 57.

135. Мантуров О.В. Об аксиоматическом методе в школьном курсе геометрии //математика в школе. 1988. - № 3. - С.38- 41.

136. Метелъский Н.В* Об изучении познавательных ^интересов школьников // Математика в школе. 1979. - А 5. - С. 48 - 50.329 о Метелъский Н.В. Психолого- дидактические основы дидактики математики. Минск : 1977.

137. Метелъский Н„В® Пути совершенствования обучения математике. Минск : 1989.

138. Метелъский Н.В. Реализм основа перестройки школьного математического образования// Математика в школе.- 1989,3. С. 23 - 30.

139. Методика преподавания математики в средней школе : 0<5щая методика. Ред. В .А „Оганесян, Ю.М.Колягин и др. М.:1980.

140. Методика преподавания математики в средней школе : Частная методика. Сост. В.И.Мишин. М.: 1987.

141. Методика преподавания математики; Общая методика. Сост. Р.С.Черкасов, А .А .Столяр. М.: 1985.335о Мищенко А.С., Понтрягин Л.С. 0 некоторых принципах преподавания математики в школе //Математика в школе. Д982.-J& 2. - С. 50- 52.

142. Пойа Дж. Обучение через задачи // Математика в школе 1970. № 3 . - С. 89 - 91 .

143. Преподавание геометрии в У1 X классах. Ред. 3.А .Скопец, Р.А.Хабиб. - М.: 1980.

144. Проект программы средней школы по математике // Математика в школе. 1967. - Jfc I. - С.

145. Рашевский П«К. Риманова геометрия и тензорный анализ . -М.: 1959.

146. Рогановский НоМ. Методика преподавания математики в сред-* ней школе. Минск : 1990.

147. Рубинштейн СЛ. 0 мышлении и путях его исследования . -М.: 1958.

148. Рузин НоКо Задача как цель и средство обучения математике // Математика в школе. 1980. - $ 4. - С. 12 - 15.

149. Рыбников К.А. Геометрия : наука и учебная дисциплина // Математика в школе. 1983. - й 6. - С. 56 - 62.

150. Рыжик В.И о Из опыта преподавания стереометрии на основе аксиом ВеЙля // Математика в школе . 1974. - Jfc 4. -С. 72 - 77 о

151. Серьве В. Аксиоматика и элементарная геометрия // Математика тика в школе . 1967. - Jfc 2. - С.

152. Слепкань З.И. Психолого- педагогические основы обучения математике. Киев : 1983.

153. Современные основы школьного курса математики. Ред. НоЯ. Виленкин и др. М.: 1985.366 о Современные проблемы методики преподавания математики.-Мо: 1985.

154. Математика в школе. 1990. — С. , 5 - 7. 371 о Талызина Н.Ф. Управление процессом усваивания знаний.-М.: 1975.

155. Тоцки Е. Локальная аксиоматизация и дедукция в обучении геометрии в средних школах Польши // Математика в школе. -1993. № 2. - С. 52 - 108.