Методика обучения учащихся основной школы доказательству теорем при изучении геометрии с использованием GeoGebra

Ширикова, Татьяна Сергеевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методика обучения учащихся основной школы доказательству теорем при изучении геометрии с использованием GeoGebra

Автореферат

Автор научной работы: Ширикова, Татьяна Сергеевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Архангельск
Год защиты: 2014
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Методика обучения учащихся основной школы доказательству теорем при изучении геометрии с использованием GeoGebra"

На правах рукописи

ШИРИКОВА ТАТЬЯНА СЕРГЕВНА

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЕОСЕВИА

13. 00. 02 — теория и методика обучения и воспитания (математика) (педагогические науки)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

1 5 № гщ

Ярославль— 2014

005548299

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики института математики, информационных и космических технологий ФГАОУ ВПО «Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова»

Научный руководитель: Шабанова Мария Валерьевна, доктор педагогических

наук, профессор, заведующая кафедрой методики преподавания математики ФГАОУ ВПО «Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова»

Официальные оппоненты: Далингер Виктор Алексеевич, доктор педагогических

наук, профессор, заведующий кафедрой теории и методики обучения математике ФГБОУ ВПО «Омский государственный педагогический университет им. Ф.М. Достоевского»

Зуева Марина Леоновна, кандидат педагогических наук, доцент, заместитель директора ГОУ СПО ЯО «Ярославский техникум пищевой промышленности»

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Красноярский государственный педаго-

гический университет им. В. П. Астафьева»

Защита состоится «18» июня 2014 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.307.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук при ФГБОУ ВПО «Ярославский государственный педагогический университет имени К. Д. Ушинского» по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Республиканская, д.108, ауд. 210.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБОУ ВПО «Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского», адрес сайта http://vspu.org

Автореферат разослан «_»_2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Трошина Т. Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современный период информатизации общества и образования определяет необходимость обновления и совершенствования методики обучения математике в средней школе, о чем свидетельствует содержание всех обсуждаемых сегодня проектов Концепции развития математического образования в Российской Федерации. Особенно остро эта необходимость проявляется в отношении методики обучения геометрии, где все активнее начинают применяться системы динамической геометрии (DGS): Cabri Géomètre, Математический конструктор, Живая математика, GeoGebra, Crocodile, Cinderella, GeoNext, Geometr's Sketchpad и др. Общей особенностью этих систем является возможность создания и использования для целей учебного исследования динамических чертежей - «...геометрических конструкций, которые можно изменять при сохранен™ алгоритма их построения путем задания изменений одного или нескольких геометрических величин конструкций (параметров)» . Эффективность программных продуктов этого класса в реализации исследовательского подхода к обучению геометрии сегодня уже не вызывает сомнении. Она подтверждена многочисленными зарубежными и российскими исследованиями (G. Наппа, К. Jones, A. Mariotti, В.А. Далингер, В.Н. Дубровский, С.Н. Поздняков, Т.Ф. Сергеева, М.В. Шабанова, М.Г. Шабат). Между тем учителями (В.И. Рыжик, И.С. Храповицкий) и специалистами в области теории и методики обучения математики (Н.Х. Розов, В.А. Далингер, С.Н. Поздняков) все чаще высказываются опасения, что увлечение экспериментальным методом в геометрии может нанести вред формированию готовности учащихся основной школы к использованию дедуктивного метода как основы обоснования истинности геометрических утверждений: утрате потребности в его использовании и соответствующих умений. При этом не подвергается сомнению coxpaiieime высокой общекультурной значимости владения данным методом в современном мире. Овладение искусством доказательства признается одной из важнейших целей обучения геометрии в школе, начиная с момента зарождения системы геометрического образования. Об этом свидетельствуют как результаты исследований, посвященных истории геометрического образования (Ф. Клейн, Т.С. Полякова, О.В. Тарасова, P.C. Черкасов и др.), так и содержание государственных образовательных стандартов 1 и 2 -го поколения. В стандартах 2-го поколения отмечается общекультурная значимость умения проводить доказательство высказанных утверждений. Доказательством этого является включение соответствующих требований не только в перечень предметных, но и метапредметных результатов обучения: «Мета-предметные результаты освоения основной образовательной программы основного общего образования должны отражать:... 9) умение ... аргументировать и отстаивать своё мнение» .

Методический подход к обучению доказательству дедуктивным методом, ставший традиционным для российской школы, описан в трудах Г.Д. Глейзера, В.А. Гусева, В.А. Далингера, Г.В. Дорофеева, Ю.М. Колягина, Е.И. Лященко, Г.И. Саранцева, И.М. Смирновой, А.А. Столяра, И.Ф. Шарыгина, А.В. Ястребова и др.

Основу этого подхода составляет аксиоматический (в локальном или глобальном смысле) метод построения школьного курса геометрии, систематическое включение учащихся в деятельность овладения представленными в учебниках способами доказательств теорем, а также использование этих способов при решении задач на доказательство и обоснование правильности шагов решения геометрических задач других типов.

1 Обучение математике с использованием возможностей GeoGebra [Текст]//Шабанова М.В., Безумова О.Л, Ерилова Е.Н., Котова С.Н., Ларин C.B., Овчинникова Р.П., Патронова Н.Н., Павлова М.А., Томилова АЕ., Троицкая О.Н., Форкунова Л.В., Ширчкова Т.С. -M.: Издательство Перо, 2013 -128 с. (Коллективная монография), с.7

2 ФГОС: основное общее образование. URL: http://standart.edu.ni/catalog.aspx?CataloeId=2587. (дата обращении 24.11.2013), с. 9.

вание учащимися других критериев убедительности (критерий авторитетности, критерий при-знанности большинством, критерий практики, критерий наглядности, критерий привлекательности, критерий логической сводимости к истинным утверждениям) и иных методов проверки (метод наглядно-эмпирического подтверждения, метод применения на практике, контрпример и др.) истинности утверждения.

Многочисленными исследованиями психологов (P.C. Немов, В.В. Давыдов, Ж. Пиаже, Р. Солсо, Д. Халперн) установлено, что формирование способности к дедуктивным рассуждениям должно идти через переосмысление и переоценку компонентов, входящих в содержание субъективного (доучебного) опыта аргументации высказываемых утверждений, и проверку истинности утверждений, высказанных собеседником. Как показывает проведенный нами констатирующий эксперимент, в содержании этого опыта у учащихся, приступающих к обучению геометрии, преобладает наглядность в качестве субъективного критерия убедительности, экспериментирование, как метод проверки высказанных утверждений, в ситуациях появления сомнений или возражений (см. параграф 2.3). Аналогичные результаты представлены в работах зарубежных ученых. Однако эти данные пока не нашли применение в методике работы с теоремой. Между тем механизм интеграции субъектного и социокультурного опытов в процессе обучения составляет основу достаточно большого количества методик, связанных с достижением иных образовательных результатов: методики формирования предпонятий геометрического объекта в пропедевтическом курсе геометрии начальной школы (Н.С. Подходова); методики ознакомления учащихся 5-6 класса с элементами логики при изучении пропедевтического курса геометрии (O.JI. Безумова); технологии методологически-ориентированного обучения математики (М.В. Шабанова) и др.

DGS, которые стали бурно развиваться с конца 1980-х г.г., а также широко использоваться в практике обучения геометрии во Франции, США, Канаде, Австрии, Великобритании, Германии, Испании, Италии и др., существенно изменили взгляды учителей этих стран на сложившуюся систему работы с теоремой. Основное внимание в ней стало уделяться этапам подведения учащихся к открытию факта теоремы путем постановки перед ними исследовательской задачи, решаемой средствами DGS, и проверки истинности утверждения методом контрольного компьютерного эксперимента. Интерес учащихся к экспериментальному открытию геометрических фактов и убедительность наглядно-эмпирического их подтверждения оказались столь высоки, что в этих странах появилась опасность, что доказательство дедуктивным методом«...будет «заброшено» в пользу экспериментального подхода к математическому обоснованию» (Mason, 1993). Подтверждением этих опасений являются экспериментальные данные о заметном снижении познавательной активности учащихся на этапе доказательства утверждений дедуктивным методом, открытых с помощью компьютерного эксперимента, а также об отказе самих учителей-экспериментаторов от этого этапа работы с теоремой (R.Marrades, A.Gutierrez, 2000, C.Christou, N.Mousoulides, 2004, R.Leikin, D.Grossman, 2012). Таким образом, появление DGS, создав благоприятные условия для реализации исследовательского подхода в обучении геометрии, привело к неоправданному снижению доли теоретических методов в методике работы с теоремой. Данная ситуация охарактеризована многими зарубежными исследователями как «экспериментально-теоретический разрыв» в обучении геометрии (G. Hanna, К. Jones, A. Mariotti). Она вызвала бурную дискуссию и среди ученых, занимающихся проблемами использования DGS в обучении.

На Западе пик этой дискуссии пришелся на 90-е г.г. XX века. Итогом обсуждений стало внесение изменений в стандарты и программы по математике, которыми регулируются соотношения и устанавливаются образовательные функции теоретических и эмпирических методов (включая компьютерный эксперимент). Так, например, в стандартах математического образования США (NCTM, 2000 г.), говорится, что:

• обучение доказательству должно быть частью программ на всех уровнях математического образования;

системологии науки, открытие следствий, коммуникация, построение теории из отдельных фактов, исследование, установление связей);

• основным результатом обучения доказательству в школе должно стать умение выбирать и разумно сочетать различные методы обоснования утверждений.

В нашей стране острота этих проблем только еще нарастает, что связано с введением в действие ФГОС общего образования, требованиями которых предусматривается самое широкое использование ООУ в процессе обучения геометрии в качестве средства поддержки проектной и исследовательской деятельности учащихся, но не формулируются ориентиры, связанные с определением оптимального соотношения экспериментальных и теоретических методов в образовательном процессе.

Вопросами определения роли и места компьютерного эксперимента в системе методов работы с теоремой в нашей стране занимаются такие ученые, как В.А. Далингер, В.Н. Дубровский, В.И. Рыжик, Т.Ф. Сергеева, М.В. Шабанова, Г.Б. Шабат, и др. Основным направлением их исследований является определение условий использования компьютерного эксперимента на различных этапах работы с теоремой с учетом закономерностей развития теоретического мышления учащихся.

Представленные нами данные о накопленном в России и за рубежом опыте применения систем динамической геометрии при изучении теорем, а также о результатах проведенного нами констатирующего эксперимента позволили выявить следующие противоречия:

- между признанием общекультурной значимости овладения дедуктивным методом учащимися основной школы и тенденцией к постепенному отказу от обращения к данному методу в целях увеличения доли учебного времени для исследовательской деятельности средствами ОвБ;

- между высоким уровнем активности учащихся на этапе открытия теоремы методом компьютерного эксперимента и их пассивностью на этапе доказательства теоремы дедуктивным методом;

- между наличием экспериментальных данных о содержании субъектного (доучебного) опыта учащихся, связанного с оценкой истинности утверждений с использованием наблюдений и экспериментов, и методикой обучения доказательству теорем в курсе геометрии основной школы, не учитывающей эти особенности содержания субъектного опыта учащихся.

На основе выявлешшк противоречий нами была определена проблема диссертационного исследования: какая методика обучения доказательству теорем обеспечит формирование у учащихся основной школы умений правильно использовать сочетание дедуктивного метода и метода компьютерного эксперимента при проверке и демонстрации истинности геометрических утверждений?

Все вышесказанное и определило актуальность избранной нами темы исследования «Методика обучения учащихся основной школы доказательству теорем при изучении геометрии с использованием СеоСеЪга».

Объект исследования- процесс обучения геометрии учащихся основной школы.

Предмет исследования — обучение учащихся основной школы доказательству теорем при изучении геометрии с использованием системы динамической геометрии СеоСеЬга

Цель исследования — выявить теоретические и методические основы формирования умений, связанных с проведением доказательств теорем при обучении геометрии учащихся основной школы с использованием системы динамической геометрии ОеоОеЬга.

Гипотеза исследования — формирование у учащихся основной школы умений, связанных с проведением доказательства теорем при изучении геометрии с использованием ОеоОеЬга, будет успешным, если:

-в процессе обучешм доказательству теорем будет осуществлен поэтапный переход от овладения методом компьютерного эксперимента к овладению дедуктивным методом на основе осознания учащимися границ, норм и условий их применения;

- при проектировании условий обучения доказательству будет реализована идея интеграции содержания субъектного опыта учащихся, связанного с проверкой истинности утверждений экспериментальным методом, с социокультурным опытом использования этого мето-

да в сочетании с дедуктивным методом при аргументации утверждений в коммуникативной деятельности и опытом доказательства утверждений в математике;

-при изучении теорем DGS GeoGebra будет использована не только в качестве средства, подводящего учащегося к открытию факта теоремы, но и в качестве средства предварительной проверки истинности гипотез и визуализации шагов доказательства.

Для достижения поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы необходимо было решить ряд задач исследования:

1. Уточнить содержание понятия компьютерного эксперимента, проводимого средствами DGS; раскрыть объем данного понятия путем выделения видов эксперимента, отнесенных к различным этапам элементарного цикла учебного познаш1я; отобрать программные средства, поддерживающие все виды компьютерных экспериментов, необходимых для реали-захши методики работы с планиметрической теоремой.

2. Разработать модель поэтапного формирования умений, связанных с проведением доказательства теорем при обучении геометрии учащихся основной школы с использованием GeoGebra, которая обеспечит интеграцию в учебном процессе содержания субъектного опыта учащихся, связанного с проверкой истинности утверждений с социокультурным опытом аргументации утверждений в коммуникативной деятельности, и опытом доказательства утверждений в математике.

3. Разработать педагогические условия практической реализации модели поэтапного формирования умений, связанных с проведением доказательства теорем при обучении геометрии учащихся основной школы с использованием DGS GeoGebra;

4. Экспериментально проверить эффективность предлагаемой нами методики обучения доказательству теорем учащихся основной школы при изучении геометрии с использованием DGS GeoGebra.

Теоретико-методологическими основами исследования являются:

-концепция информатизации образования (С.А. Бешенков, Я.А. Ваграменко,

A.П. Ершов, A.A. Кузнецов, В.М. Монахов, И.В. Роберт и др.):

-деятельностный подход в образовании и его применение к обучению математике (JI.C. Выгодский, В.В. Давыдов, О.Б. Епишева, Н.Х. Розов и др.);

-личностно-ориентированный подход в образовании и его применение к обучению геометрии (В.А. Гусев, Н.С. Подходова, И.С. Якиманская и др.);

-исследовательский подход в образовании и его применение к обучению геометрии (Н.Г. Алексеев, A.B. Леонтович, М.И. Махмутов, Н.И. Мерлина, A.C. Обухов, H.H. Поддъ-яков, А.И. Савенков, М.В. Шабанова, A.B. Ястребов и др.);

-философские и методологические основы обучения доказательству в математике (A.JI. Жохов, О.В. Зимина. В.В. Мадер, Н.В. Метельский, Дж. Пойа, А. Пуанкаре, Г.И. Саранцев, A.A. Столяр, В.А. Тестов, В.А. Успенский, Л.М. Фридман, Дж. Ханна и др.);

-когнитивно-визуальный подход к обучению геометрии и его психологические основы (Р. Арнхейм, Д. Гильберт, В.А. Далингер, М. Иден, С. Конн-Фоссен, H.A. Резник и др.);

-концептуальные основы использования DGS в обучении математике (С. Гроздев,

B.А. Далингер, Н. Джакив, В.Н. Дубровский, С.Г. Иванов, Ж.-М. Лаборд, В.Р. Майер,

C.Н. Поздняков, В.И. Рыжик, Т.Ф. Сергеева, X. Шуман, М. Хохенватер, М.В. Шабанова, Г.Б. Шабат и др.);

-теория педагогического эксперимента и статистической обработки результатов (В.В. Афанасьев, В.И. Загвязинский, А.Д. Наследов, Е.В. Сидоренко и др.).

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

• теоретические: анализ зарубежной и отечественной научно-методической и психолого-педагогической литературы по проблеме исследования, нормативных документов, изучение и обобщение педагогического опыта, классификация и систематизация полученных данных, теоретическое моделирование учебного процесса, методическое проектирование экспериментального обучения;

* эмпирические: проведение педагогического эксперимента, наблюдение, анкетирование, тестирование;

• статистические: непараметрические методы статистического анализа данных

2 2 педагогического эксперимента (критерий X - Фридмана, критерий X - Пирсона).

База исследования. Исследование проводилось в период с 2010 по 2013 годы в ФГАОУ ВПО «Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В.Ломоносова». Экспериментальной базой являлись пилотные площадки Архангельской области Российско-Болгарского проекта «Методики и информационные технологии в образовании (МГГЕ)»: МБОУ СОШ №1,МБОУ СОШ №8,МБОУ СОШ №20,МБОУ СОШ №24,МБОУ СОШ №25, МБОУ СОШ №34, МБОУ СОШ №37, МБОУ СОШ №51, МБОУ СОШ №55,МБОУ СОШ №57,МБОУ СОШ №95,МБОУ ОСОШ, МБОУ «ОГ № 21», ГБОУ АКШИ АМКК г.Архангельска, МАОУ СОШ № 2 г. Северодвинска, МБОУ СОШ № 24 г. Северодвинска, МБОУ «СОШ № 90» п. Кулой Вельский р-н, МБОУ «Верхнее-Матигорская средняя школа», Холмогорский р-н, МБОУ Усть-Шоношская СОШ № 19, МБОУ «Пежемская СОШ №14», МБОУ «Левковская СОШ № 7», МБОУ «Солгинская СОШ № 86», МБОУ «СОШ №92 г. Вельска», МБОУ «Аргуновская ООШ № 11», МБОУ «Судромская ООШ №13», МБОУ «Угреньг-скаяООШ № 10», МБОУ СОШ № 3 г. Вельск (27 школ).

Этапы исследования:

На первом этапе (2010-2011 гг.) был осуществлен теоретический анализ проблемы исследования; определены объект, предмет, цель, гипотеза и задачи исследования; проведен констатирующий эксперимент, в результате которого зафиксированы проявления «экспериментально-теоретического разрыва» при обучении геометрии с использованием DGS на пилотных площадках проекта МГГЕ, собраны данные о субъективных критериях убедительности учащихся, приступающих к изучению геометрии, выявлены затруднения учащихся основной школы, возникающие при оценке, анализе и построении доказательств геометрических утверждений дедуктивным методом; намечены пути преодоления выявленных негативных явлений.

На втором этапе (2011-2012 гг.) была осуществлена разработка и детализация теоретических положении методики поэтапного обучения доказательству, выявлены возможности DGS и осуществлен обоснованный выбор GeoGebra в качестве средства поддержки образовательного процесса, проводился поисковый эксперимент, основными задачами которого являлись предварительная проверка и корректировка задачного материала и цифровых образовательных ресурсов, разработанных для реализации теоретически спроектированных этапов обучения доказательству учащихся основной школы.

На третьем этапе (2012-2013 гг.) проводились обоснование теоретически разработанной методики обучения доказательству геометрических утверждений с использованием возможностей DGS, формирующий эксперимент, целью которого являлась проверка эффективности разработанной методики на различных этапах изучения систематического курса геометрии в 7-9 классах. Полученные экспериментальные и теоретические результаты были обобщены, сформулированы выводы, подтверждающие выдвинутую гипотезу.

Достоверность н обоснованность результатов исследования достигается благодаря опоре на фундаментальные методологические, педагогические и психологические исследования, а также на работы в области теории и методики обучения математике и информатике; непротиворечивости использованных положений в области теории и методики обучения математики; согласованности теоретических и эмпирических методов, которые адекватны целям и задачам исследования; экспериментальной проверкой полученных результатов исследования, а также использованием для обработки экспериментальных данных стандартизированных статистических методов.

Личный вклад автора заключается в разработке методики формирования умений, связанных с проведением доказательства теорем при обучении геометрии учащихся основной школы с использованием GeoGebra; в разработке учебных материалов для практической реализации этой методики и ее экспериментальной апробации с непосредственным участием в ходе экспериментов в качестве учителя математики МБОУ ОСОШ г. Архангельска, а также в качестве консультанта учителей-экспериментаторов других пилотных площадок.

Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись: • через применение результатов исследования в практике работы школ- участников проекта;

• через выступления с сообщениями:

- на Ломоносовских чтениях (ноябрь 2009 г., ноябрь 2010г.ПГУ, Архангельск, ноябрь 2011 г. САФУ, Архангельск);

-на Международных Колмогоровских чтениях (май 2011 г., май 2012 г., ЯП [У, Ярославль); -на Международной научно-практической конференции «Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика» (2-5 февраля 2010 г., САФУ, Архангельск); -на Международной научно-практической конференции «Информатизация как целевая ориентация и стратегический ресурс образования» (29 февраля-4 марта 2012г., САФУ, Архангельск);

-на ХЬУШ Всероссийской (с международным участием) конференции «Математическое образование и информационное общество: проблемы и перспективы» (18-21 апреля 2012г.РУДН, Москва);

-на Восьмой международной научно-практической конференции педагогов России и ближнего зарубежья в Санкт-Петербурге по теме «Особенности современных школьников, их потребности и запросы» (ноябрь 2011г., Санкт-Петербург);

-на Всероссийском съезде учителей математики в МГУ имени М.В. Ломоносова (28-30 октября 2010 г. Москва);

-на методических семинарах для учителей математики подготовила и провела два практических занятия: «Методика работы с теоремой в ИГС СеоОеЬга», «Подготовка ИГС СеоОеЬга для организации исследовательского обучения при решении задач с параметром» (САФУ, Архангельск);

- на курсах повышения квалификации учителей математики г.Архангельска и Архангельской области выступила с докладом «Виды компьютерного эксперимента и их использование в обучении математике (февраль 2013 г.);

- на методическом объединении учителей математики окружного ресурсного центра г.Архангельска выступила с докладом «Обучение геометрии с использованием ИГС» (апрель 2012 г.);

• через проведение открытых мероприятий - открытого урока «Параллельный перенос и поворот» с учащимися 9 класса МБОУ ОСОШ г.Архангельска в рамках Международной научно-практической конференции «Информатизация как целевая ориентация и стратегический ресурс образования» (1 марта 2012г.);

• через участие в конкурсе научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области информатики и информационных технологий в рамках Всероссийского фестиваля науки (сентябрь 2011 г. г.Белгород); в фестивале авторских методических разработок по организации проектной и исследовательской деятельности учащихся в рамках VII Международного конкурса «Математика и проектирование» (апрель 2013 г.);

• через участие в написании учебно-методического пособия по математике.

Научная новизна работы заключается в том, что:

1. Создана модель поэтапного формирования умений, связанных с проведением доказательства теорем при обучении геометрии учащихся основной школы с использованием СеоОеЬга. Модель реализует идею интеграции содержания субъектного опыта учащихся, связанного с проверкой истинности утверждений экспериментальным методом на основе актуализации социокультурного опыта аргументации утверждений в коммуникативной деятельности, и опытом доказательства в математической деятельности геометрических утверждений дедуктивным методом. Модель включает три основных этапа: обучение эмпирической проверке геометрических утверждений; обучение логическому контролю правильности алгоритма построения динамического чертежа для целей контрольного компьютерного эксперимента; обучение доказательству дедуктивным методом.

2. Раскрыты механизмы реализации модели поэтапного формирования умений, связанных с проведением доказательства теорем, в глобальном и локальном смыслах. Механизм реализации модели в глобальном смысле представлен методической схемой достижения этапных целей, которые реализуются через комплекс задач, отнесенных к этапам: актуализации и раскрытия содержания имеющегося опыта обоснования утверждений, переосмысления под воздействием социокультурного опыта, формирования нового опыта. Механизм реализации

модели в локальном смысле представлен методикой работы с теоремами и задачами на проверку. обоснование (доказательство) утверждений. Эта методика включает в себя те же этапы интеграции опытов.

3. В соответствии с механизмами определен комплекс педагогических условий достижения этапных результатов обучения доказательству: содержательные условия - темы курса геометрии основной школы, отнесенные к этапам формирования умений, и их основные содержательные элементы (теоремы и специальные виды задач на обоснование утверждений); организационные условия - методика изучения теорем, адекватная по своей структуре этапам исследовательского цикла учебного познания с учетом достигнутого уровня овладения дедуктивным методом; материально-технические условия- готовые динамические чертежи для проведения контрольных компьютерных экспериментов, схемы оформления отчета об экспериментах, образцы записи алгоритмов построения и обоснования динамических чертежей, компьютерные визуализации доказательств теорем.

Теоретическая значимость результатов исследования состоит:

- в уточнении и дополнении существующих описаний этапов процесса информатизации общего геометрического образования в России: создание и включение микрокалькуляторов (МКШ) в комплект учебного оборудования (1981 - 1984 г.г.), определение принципов создания обучающих систем и перспектив от их внедрения (1985 -1993 г.г.), создание обучающих систем программных продуктов образовательного назначения (1993 - 2000 г.г.), разработка компьютерных инструментов поддержки учебной деятельности (2001 — 2005 г.г.), создание электронных информационно-образовательных ресурсов, развитие, оптимизация и модернизация управления системой федеральных образовательных порталов (2006 — 2010 г.г.), подготовка к переходу на использование возможностей новых ИТ ( с 2011 г.).

- в раскрытии спектра семантических значений термина «доказательство», включенного в содержание субъектного опыта учащихся, приступающих к изучению курса геометрии основной школы и спектра значений, освоение которых определено требованиями к результатам обучения доказательству, представленным в содержании ФГОС ООО;

- в уточнении понятия компьютерного эксперимента, проводимого средствами образовательных программ, относящихся к классу систем динамической геометрии, через раскрытие роли этих программных средств в постановке, проведении и обработке данных эксперимента;

- в установлении соответствия видов компьютерного эксперимента различным этапам элементарного цикла учебного познания: конструктивный эксперимент (направлен на проверку существования объекта, описанного в условии теоремы); разведочный эксперимент (направлен на открытие факта теоремы); контрольный эксперимент (направлен на проверку выдвинутой гипотезы); модифицирующий эксперимент (направлен на развитие идеи доказанного утверждения).

Праотическая значимость результатов исследования состоит в том, что:

- предложен банк задач для обучения доказательству с БОБ ОеоОеЬга учащихся с 7 по 9 класс, согласованный с поурочным планированием изучения геометрии с использованием базового УМК Л.С. Атанасяна и электронного образовательного ресурса «Наглядная планиметрия», авторы Н.Х. Розов, А.Г.Ягола, Т.Ф.Сергеева, И.Н.Сербис; банк задач создан в соответствии с требованиями к содержательным условиям реализации модели поэтапного формирования умений, связанных с проведением доказательств; в баше задач включены задачи на экспериментальную проверку правильности утверждений в 008 ОеоОеЬга с последующим логическим объяснением результатов (для реализации этапа обучения эмпирической проверки), на обоснование правильности алгоритмов построения динамических чертежей в Б05> ОеоОеЬга (на этапе обучения логическому контролю) и на исследование возможности развития идеи доказанного утверждения (на этапе обучения доказательству дедуктивным методом); все задачи сопровождаются методическими указаниями по их использованию и могут быть использованы при обучении геометрии в основной школе;

- подготовлено учебное пособие, включающее описание методики обучения доказательству теорем при изучении геометрии основной школы с использованием возможностей системы динамической геометрии ОеоОеЬга; данное пособие внедрено в практику ДПО САФУ имени М.В.Ломоносова.

Положения, выносимые на защиту:

1. DGS GeoGebra является эффективным средством формирования умений, связанных с проведением доказательства теорем, при обучении геометрии учащихся основной школы с использованием GeoGebra в связи с тем, что:

-разработка алгоритмов создания динамических чертежей в DGS требует самого широкого использования определений и теорем геометрии;

-динамические чертежи делают видимыми взаимосвязи свойств геометрических объектов;

-открытые средствами DGS факты требуют привлечения дедуктивного метода доказательства в качестве объяснительной основы наблюдаемых явлений;

-DGS облегчает учащимся способ восприятия геометрического объекта при проведении доказательств дедуктивным методом (дает возможность выделять значимые и скрывать незначимые элементы чертежа, менять ракурс, реконструировать объект);

-DGS позволяет развернуть ход рассуждений во времени, представить его с той или иной полнотой, которая необходима для помощи учащемуся.

2. В методической модели поэтапного формирования умений, связанных с проведением доказательства теорем при обучении геометрии учащихся основной школы с использованием GeoGebra, ведущая роль принадлежит идее интеграции трех видов опыта: субъектного опыта учащихся, связанного с оценкой истинности утверждений; социокультурного опыта аргументации и критической оценки утверждений в коммуникативной деятельности; опыта использования дедуктивного метода при доказательстве утверждений в математике.

3. Модель поэтапного формирования умений, связанных с проведением доказательства теорем при обучении геометрии учащихся основной школы с использованием GeoGebra, реализуется, во-первых, через комплекс задач, обеспечивающих актуализацию и раскрытие содержания имеющегося у учащихся опыта обоснования утверждений, его «окультуривание» (т.е. переосмысление под воздействием социокультурного опыта), формирование нового опыта в соответствии с этапными целями обучения; во-вторых, через методику изучения теорем планиметрии и обучения решению задач на проверку, обоснование (доказательство) утверждений.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем работы 250 страниц, основное содержание изложено на 203 страницах. Список литературы содержит 171 наименование.

Основное содержание работы

В первой главе «Компьютерный эксперимент в методике работы с теоремой и обучении решению задач на доказательство в курсе геометрии основной школы» описаны исторические этапы информатизации геометрического образования в России, а также положительные и отрицательные образовательные эффекты, вызванные привлечением программно-аппаратных средств к обучению геометрии; представлены результаты анализа российского и зарубежного опытов использования компьютерных экспериментов при работе с теоремой и обучении решению задач на доказательство; выявлены возможности различных DGS в проведении компьютерных экспериментов.

В §1 главы 1 «Информатизация геометрического образования: положительные и отрицательные эффекты применения компьютерных средств» представлены результаты ретроспективного анализа развития научных взглядов российских ученых на роль и место компьютерной техники в системе средств обучения геометрии, а также истории становления и развития программно-аппаратных средств образовательного назначения.

В результате были выделены шесть основных периодов в истории решения данных вопросов^___

Период Основные задачи информатизации образования Вклад в геометрическое образование

1981J-1984 Создание и включение микрокалькуляторов (МКШ) в комплект учебного оборудования МКШ используется для упрощения вычислений, для подведения к гипотезам

3 Приказ министра просвещения СССР от 30.12.1981 года об утверждении типового перечня учебно-наглядных пособий и учебного оборудования для общеобразовательных школ.

19854-1993 Определение принципов создания обучающих систем и перспектив от их внедрения (Ершов А.П., Монахов В.М. и др.) Поставлена задача динамизации математических объектов, которая позволит приблизить учебный процесс к исследованию и эксперименту

1993ь-2000 Создание обучающих систем программных продуктов образовательного назначения. (Марюков М.Н., Баранова Е.И. и др.) Показана возможность создания и использования предметно-ориентированных сред для формирования геометрических понятий, развития пространственного мышления, сближения процесса обучения с исследовательской деятельностью. Введены в теорию и методику обучения математике понятия «компьютерный эксперимент», «компьютерная демонстрация», «компьютерная модель геометрической фигуры».

2001"-2005 Разработка компьютерных инструментов поддержки учебной деятельности (Роберт И.В., Майер и др. Разработан 21-С: Математический конструктор. Популяризация использования его и других Бвв в процессе обучения геометрии

2006'-2010 Создание электронных информационно-образовательных ресурсов, развитие, оптимизация и модернизация управления системой федеральных образовательных порталов (Дубровский , Рыжик, и др.) Разработка технологий и методик обучения геометрии с использованием электронных образовательных ресурсов (ЭОР)

С 2011" по настоящее время Подготовка к переходе на использование возможностей новых ИТ В ФГООС сформулированы требования к результатам обучения и использования компьютерных средств поддержки геометрической деятельности. Создаются электронные приложения ко всем базовым учебникам геометрии. Апробация методик, оценка эффектов и рисков.

раздо раньше, то сведения об эффектах и рисках от включения DGS и динамических листов, разработанных на их основе, в систему средств обучения геометрии нами получены на основе анализа зарубежных источников: научных статей (Dawson J. W., 2006, Corfield D., 2003, Rav Y., 1999; Manin, 1998; Thurston, 1994), нормативных документов (Национальный совет учителей математики США и Канады (NCTM, 2000 г.), Британский национальный учебный план, (DfEE, 1999 г.). Полученные данные соотнесены с выводами российских ученых, принимавших участие в экспериментах по использованию DGS в учебном процессе (В.А. Далингер, В.Н. Дубровский, С.Н. Поздняков, В.И. Рыжик, Т.Ф. Сергеева, И.С. Храповицкий, М.В. Шабанова, М.Г. Шабат). Сделанные на этой основе выводы, представлены ниже в таблице.

В §2 главы 1 «Анализ российского и зарубежного опыта использования компьютерного эксперимента при изучении основных теорем планиметрии в школе» уточняется понятие «компьютерного эксперимента» и анализируются подходы к его использованию на этапах работы с теоремами, применительно к основным теоремам школьного курса геометрии.

4 Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 28 марта 1985 года № 271 «О мерах по обеспечению компьютерной грамотности учащихся средних учебных заведений и широкого внедрения электронно-вычислительной техники в учебный процесс»

5 Программа информатизации образования в Российской Федерации на 1994-1995 г.г., Инфо, №6, 1993, с.8-23.

6 Постановление Правительства РФ от 28 августа 2001 г. № 630 об утверждении ФЦП «Развитие единой образовательной информационной среды (2001-2005 годы)».

7 Постановление Правительства РФ от 23 декабря 2005 г. №803 об утверждении ФЦП развития образования на 2006-2010г.г. Задача: «совершенствование содержания и технологий образования».

8 Постановление Правительства РФ от 7 февраля 2011 г.№163-р об утверждении ФЦП развития образования на 2011-2015 годы.

«+»

Доступность исследовательской деятельности учащимся любого уровня подготовки 4 А 5 я 5 а-™ г 5 г ■■ и а / ■ ■< Опасность утраты способности к теорети- ; ческому поиску :

Повышение учебной мотивации ! УтратапотребноСти в дедуктивном обосно-; ,-'■"! ВЭНИИ

Снижение учебной тревожности & а 5 и 1 3 а,:! •¿о ■■ Опасность снижения уровня развития логи-:: '¡сскчго мышления и уровня овладения дй- Г '■■■'■ казательством г

Расширение программного материала за счет возможности рассмотрения дополнительных геометрических фактов Потеря конструктивных навыков использования традиционных инструментов

Повышение наглядности обучения геометрии Опасность дальнейшего снижения уровня визуального мышления учащихся из-за его подмене восприятием готовых изображений.

Проведенный нами анализ смысловых значений, приписываемых термину «компьютерный эксперимент» в разных научных областях (Гейн А.Г., Семакин И.Г., Пигалицын Л.В., Боев В.Д. и Сыпченко Р.П. и др.) привел нас к выводу о необходимости рассматривать его как разновидность модельного эксперимента, в котором в качестве объекта исследования выступает компьютерная модель геометрической фигуры, под которой, вслед за М.Н.Марюковым, мы понимаем «...ее изображение, полученное на экране компьютера в центральной или параллельной проекции, а также числовое представление этой фигуры на компьютере в виде множества мировых (пространственных) и экранных координат точек этой фигуры».

Главной особенностью всех Овв является возможность создания и использования при проведен™ компьютерных экспериментов виртуальных динамических моделей, т.е. изображений геометрических объектов в графическом окне программы, допускающее варьирование исходных параметров без повторной реализации алгоритма построения.

Проведенный нами анализ многочисленных публикаций, посвященных использованию этих возможностей ООЯ, показывает, что компьютерные эксперименты с динамическими моделями применяются в обучении на самых разных этапах работы с теоремой и задачей на доказательство: постановка проблемы (мотивация изучения теоремы); выдвижение гипотезы (ознакомление с фактом теоремы или подведение к открытию); проверка, доказательство, опровержение гипотез (выделение условия и заключения теоремы, иначе усвоение содержания теоремы; построение аналитического рассуждения; проведение доказательства); развитие теории и практики на основе полученного знания (применение теоремы; установление связей изучаемой теоремы с другими теоремами; составление новых задач, вытекающих из доказанного утверждения). При реализации исследовательского подхода к обучению геометрии с использованием БОБ методика работы с утверждением согласуется по своей структуре и основным чертам со структурой модельного исследования. На схеме 1 представлены виды компьютерного эксперимента, которые могут быть использованы на отдельных его этапах.

1. Конструктивные компьютерные эксперименты применяются с целью создания учащимися образа геометрической конфигурации, которая является объектом исследования, а также с целью установления условия существования такой конфигурации (A.B. Анциферова, В.Р. Майер и др.)

2. Разведочные (предварительные) компьютерные эксперименты применяются с целью подведения учащихся к ее открытию факта, сформулированного в теореме, или к постановке задачи на доказательство. (A.B. Анциферова, В.Р. Майер, В.А. Далингер, Де Вилье, Дж.Ханна, и др.). Ставятся в условиях ограниченности знаний об объекте или предмете исследования:

1) неизвестен вид метрического соотношения, имеется лишь подозрение о зависимости одной геометрической величины от другой или других;

2) неизвестен вид геометрического объекта, имеются лишь сведения о его желаемых свойствах;

3) неизвестен характер позиционных свойств элементов геометрической конфигурации, имеется лишь интерес узнать о сохранении или условиях изменения взаимного расположения одних элементов относительно других.

3. Контрольные компьютерные эксперименты применяются с целью выбора рабочей гипотезы из нескольких альтернатив, уточнения гипотезы, опровержения высказанного утверждения или убеждения в его истинности (В.Н. Дубровский, В.И. Рыжик, A.B. Середа, O.A. Боровкова, Джонс, Дж. Ханна и др.)

При обсуждении проблемы соотношения экспериментальных и дедуктивных методов в обосновании математических утверждений, компьютерный эксперимент, проводимый с целью верификации утверждений, математики часто называют «компьютерным доказательством» (H.A. Вавилов, Ю.В. Матиясевич, В.А.Успенский и др.). Тем самым они подчеркивают конкурентоспособность метода компьютерный эксперимент в части реализации функций убедительности. Приведем в подтверждение сказанному слова из выступления H.A. Вавилова, д.ф,-м.н., профессора кафедры алгебры и теории чисел математико-механического факультета СПбГУ на совместном заседании Санкт-Петербургского математического общества и секции математики Дома учёных, 23.03.2010: « ...В последнее время все чаще обсуждается вопрос об изменении статуса доказательства и уменьшении нашей уверенности в справедливости результатов. Критика и скептицизм подобного рода наиболее энергично, часто и агрессивно озвучиваются в двух следующих направлениях: сомнения в надежности доказательств, выполненных с помощью компьютера; сомнения в надежности исключительно длинных и сложных доказательств.... что касается компьютерных вычислений, то лично я склонен доверять им больше, чем любым математическим доказательствам, кроме самых простых...». Контрольный компьютерный эксперимент ставится лишь при наличии альтернатив, фиксирующих причины сомнений в истинности утверждения. Ими определяется способ построения динамической модели, характер вводимых параметров, область задания их изменения, выбор средств контроля устойчивости или изменчивости исследуемых свойств.

4. Компьютерные визуализации доказательств дедуктивным методом применяются с целью облегчения учащимся понимания сущности доказательства, а также подведения их к обнаружению идеи доказательства (В.Н. Дубровский, В.А. Далингер, Т.Ф.Сергеева, Дж.Ханна, Де Вилье, Джонс и др.) Привлечение таких экспериментов к проведению или восприятию дедуктивных доказательств позволяет отслеживать преобразования образа объекта исследования в ходе рассуждений: выделение значимой части, перегруппировку элементов, введение дополнительных элементов, изменение взаимного расположения элементов конфигурации и т.п. Анализ научных статей и нормативных документов, принятых США и Англии, с целью решения проблемы ликвидации «экспериментально-теоретического разрыва», позволил выделить несколько альтернативных методических подходов к использованию контрольных компьютерных экспериментов при обучении доказательствам: введение запрета на использование компьютерных экспериментов для верификации утверждений (Н.Х. Розов); ограничение использования контрольных компьютерных экспериментов случаями, когда дедуктивное доказательство недоступно пониманию учащимися (В.Н.Дубровский, Доусоп, Рава); использование компьютерных экспериментов для обучения доказательству утверждений на «светском» и «пользовательском» уровнях (В.И.Рыжик, Дж.Ханна).

5. Модифицирующие компьютерные эксперименты применяются с целью развития идеи теоремы или установления ее содержательной связи с ранее доказанными утверждениями (В.И.Рыжик, Р. Лейкин, Д. Гроссман и др.) Экспериментирование с динамической моделью направлено на исследование границ справедливости утверждения, оценки значимости тех или иных ограничений, наложенных на изменчивость объекта исследования, выявления скрытых факторов путем варьирования числи отображаемых и не отображаемых элементов построения, использования возможности оставлять «след» объектами в процессе изменения.

В §3 главы 1. «Возможности различных систем динамической геометрии в реализации этапов изучения геометрических утверждений» раскрыта история появления и возможности различных DGS. Представлены основания отбора в качестве основного программного продукта для реализации разработанной нами методики DGS GeoGebra. В качестве объектов для проведения сравнительного анализа выступали те DGS, в отношении которых были получены свидетельства об использовании их в российских школах: Cabri, The Geometr's Sketchpad, «Живая математика», «Математический конструктор», «Планиметрия 7-9», GeoNext, GeoGebra Несмотря на то, что все эти программные продукты разработаны в рачках реализации одной идеи, они обладают разными исследовательскими возможностями, которые обусловлены различием авторских замыслов.

Первой DGS считается появившаяся в 1985 году во Франции среда Cabri («Cahier de В Rouillon Informatique» - в буквальном переводе, «Черновик для информатики»). Данный программный продукт был разработан группой программистов под руководством Жан-Мари Ла-борд. Разработчики Cabri видели этот программный продукт как основное средство изучения геометрии с использованием эксперимента, наглядности, эвристической деятельности. Именно поэтому в нем не предусмотрена возможность аналитического задания геометрических объектов, а также сбора и обработки статистических данных. Это значительно ограничивает возможности проведения конструктивных и численных разведочных экспериментов.

Параллельно с развитием Cabri в США разрабатывалась и аналогичная программа The Geometer's Sketchpad («Блокнот геометра»). Ее первая версия появилась в 1989 году. Автором данного программного продукта стал Николас Джакив (Nicholas Jackiw). В 2005 году программа The Geometer's Sketchpad русифицирована Институтом новых технологий (г. Москва). В России она распространялась сначата под названием «Живая геометрия», что подчеркивало возможность создашь в данной среде динамических моделей геометрических объектов, затем название программы было изменено. Сейчас она называется «Живая математика», что говорит о расширении области ее использования, усилении возможностей аналитического задания геометрических объектов и построения геометрических интерпретаций объектов иной природы. Данная DGS позволяет осуществлять построение геометрических мест точек по их уравнениям, однако четко разделяет алгебраически и геометрически заданные объекты, не позволяя создавать из них общую геометрическую конфигурацию, варьировать способ задания и описания построенного объекта. Данная программа позволяет заносить данные компьютерного эксперимента в электронную таблицу, но не снабжена средствами статистического анализа этих данных. Программа снабжена простым и удобным в использовании инструментом для ведения записей в графическом окне, однако, в нем не предусмотрены средства для создания динамических текстов. Эта особенность программы значительно сужает спектр контрольных экспериментов на проверку справедливости метрических соотношений. Русифицированными и активно развивающимися являются также DGS GeoNext, разрабатываема с 1999 г. на кафедре математики и дидактики в Университете Байройта (Германия), и GeoGebra, первая версия которой появилась в 2002 году благодаря усилиям австрийского математика Markus Hohenwater. Ограничения программы GeoNext связаны с тем, что в ней не предусмотрены инструменты установления метрических соотношений. Программа GeoGebra обладает всеми достоинствами «Живой математики» за исключением простоты работы инструментов по созданию текстов. Однако это недостаток компенсируется возможности получения динамических записей, сочетанием и варьированием разных способов задания геометрических объектов и наличием встроенных инструментов статистического анализа данных, занесенных в электронную таблицу. Кроме того, в ней предусмотрены возможности вывода протокола построения динамической модели и отслеживания конструктивных связей элементов динамического чер-

тежа, что является очень важным условием для обоснования корректности динамической модели.

Собственной разработкой российских программистов является «Математический конструктор». Ее создателем является фирма 1С. Первая версия этой программы была выпущена в 2006г. Главным отличием от остальных Бвв является ее ориентация не на учащихся, а на учителей, а также подготовленных специалистов создания ЭОР. Программа обладает большим спектром инструментов для построения виртуальных динамических моделей геометрических фигур, графиков функций и проведения компьютерных экспериментов. Единственным ограничением является невозможность записи экспериментальных данных в электронную таблицу и проведения их статистического анализа. Еще одной российской разработкой является программа «Планиметрия 7-9». Она создана на кафедре информатики и вычислительной техники РГПУ им А.И.Герцена. Отличительной ее особенностью является наличие инструментов поиска дедуктивного доказательства геометрических фактов.

Проведенный нами сравнительный анализ возможностей различных Б08 позволил сделать обоснованный выбор ОеоОеЬга как программы поддержки учебной деятельности, обладающей наибольшими возможностями для поддержки методики работы с геометрическими утверждениями, а также раскрыть возможности ОеоОеЬга в поддержке обучения доказательства. К ним относятся следующие особенности работы в ЕКй: широкое использование определений н теорем геометрии при разработке алгоритмов создания динамических чертежей; визуализация взаимосвязи свойств геометрических объектов динамическими чертежами; необходимость привлечения дедуктивных доказательств в качестве объяснительной основы наблюдаемых явлений; визуальная поддержка изменения способа восприятия геометрического объекта при проведении дедуктивных доказательств; возможность развернуть ход рассуждений во времени, представить его с той или иной полнотой, необходимой для помощи учащемуся

Во второй главе «Методические особенности изучения теорем и их доказательств при обучении геометрии с использованием БОБ ОеоОеЬга» представлена методическая модель и методика обучения использованию дедуктивного метода в сочетании методом компьютерного эксперимента проводимого средствами ПСХ при изучении теорем в курсе геометрии основной школы.

В §1 главы 2 «Модель поэтапного формирования умений, связанных с проведением доказательства теорем при обучении геометрии учащихся основной школы с использованием ОеоОеЬг» представлены результаты проведенного нами анализа смысловых значений термина «доказательство», раскрывающихся в содержании учебных пособий по геометрии при обучении без использования БОБ. Результатом этой работы является семантическая модель данного понятия, представленная на схеме 2:

Схема 2.

Данная схема показывает, что в этих пособиях термин «доказательство» жестко связывается с дедуктивным методом его проведения. Суть дедуктивного метода раскрывается в большинстве работ, посвященных методике обучения доказательству (А.А. Столяр, В.А. Далингер, Г.И. Саранцев и др.). Доказательство, проводимое дедуктивным методом, определяется как

«выведение истинности какого-либо положения (на основании силлогистических законов) из других положений».

С опорой на данные, полученные в результате анализа методической и учебной литературы, нормативных документов, в которых раскрываются требования к результатам обучения геометрии с использованием DGS нами показано, что привлечение данного средства существенно расширяет спектр смысловых значений термина доказательство, которые должны быть представлены учащимся и освоены ими в учебном процессе (схема 3):

Схема 3.

Доказательство

с тэчги зрения мотилсв оЗрзщгкия мвщоб&я | требовании

-спосоо преоорооваяих научной гипотезы а положение научной ледухтчанего характера (или дедуктивных у и »5 а т юченнй! -способ формальной демонстрации наличия отношения логического с ледования между

-СПОСОб СНЯТИЯ СОлДМННЙ или возражений вкска занвого утверждения (КЛ)

•vm о заключение по схеме полж>й HM:-TUWI (ИЛИ приближенной т гровелення контрольных экспер им е нт оа). -способ повышения доверия к утверждению за счет привлечения со отв е i сгвуюше й характеру возэхкеняя (КД). или переноса ка утвер^иекне доверия t источнику сообщения ild). кти дополнения сообщения оёраэом ентуаиш* (КД)

-способ псрсссмыслеаия старых ГКД1

Семантическая модель образовательно-значимых смысловых значений термина «доказательство» при обучении геометрии с использованием DGS включает как значения, относимые как к социокультурному опыту коммуникативной деятельности (ОКД), так и значения, относимые к опыту доказательства утверждений в математике (ОМД). При обучении доказательству геометрических утверждений, как отмечают специалисты в области педагогической психологии (Ж. Пиаже, Р. Солсо, Д. Халперн), важно учитывать и наличие у учащихся субъектного (до учебного) опыта обоснования, связанного с оценкой истинности утверждений. Содержание этого опыта раскрыто в ходе констатирующего эксперимента. Оно представлено семантической моделью на схеме 4:

Схема 4.

Наличие у учащихся субъектного опыта требует построение обучения доказательству геометрических утверждений с использованием идеи его интеграции с содержанием социокультурного опыта.

Все это позволяет представить процесс обучения доказательству в основной школе, состоящим из трех основных этапов, характеризуемых достижением различных уровней овладе-

ния доказательством и разной степенью интеграции смысловых значений понятия «доказательство», входящих в содержание субъектного и социокультурного опытов:

I. ЭШаП ООучбНиЯ эмпирической птстлениемпнрнчеошми методами тфелр.цщтельноГг пр-жеркн гип-пет

проверке геометрических утвер-

В С[ГТ\'Л1|1| ПОЯВЛСТНМ

с омнете и~| (СО)

ждений (7 класс, тема «Начальные геометрические сведения»): характеризуется интеграцией составляющих субъектного опыта учащихся, связанного с оценкой истинности утверждений, которые характеризуют доказательство с точки зрения мотивов, методов и требований при сохранении естественной для учащихся цели проверки истинности утверждения и ведущего для них критерия убедительности «наглядность».

Овладение логическим методам обоснования корректности динамических моделей (ДМ)_

Цель убеднть(-ся) в нсшнност утверждения (СООКДфМД!

Понять пртгнмъшсптнйстн.оЗъяенть. агстесктгсщн'ватънт.п. (ОМД|

В апулцнн ндтшчня во)р.>жеинп <ОКД>

Аргументы должны быть ШП.ТДНЫЛЛ1 (СО)

Арг> менты должны соответствовать характеру ruf] 1 ,|>к ei и п1

(ОКД)

При введении обнлрул контрпримеров (ОМД)

Подтверждение примером (,СО)

npi.>H<J>K.lK0Hlp<i4UILlMK*.-»,

юечкен-твуюшнм возражению, опровержение контр-прпмеромЮМД -ОЬ-Д»

:ПйГП10ТаИ формат 1чов.1Н4 рзса-жде-ша"!

(ОМД) •

Дедуктивное „ доклчпгелыгво.

ЮМД».

Цель убеднгь(-ся) в

ИСТИННОСТИ

адения(ССмЭ КД^О МД]

В ситуацм н еозра*:еннй (СООКД)

Аргументы д-;л.?ньг

сс'ОГЕстстБОЕЭТЪ характеру возражений (СО=ОКД)

Цель убедить(-ся)в правильное та алгоритма построения ДМ (ОМД)

Всит^зиш обнаружения л<жапьньк контрпримеров (ОВД

Объяснить, система тизиров ать

При первом ■ введении (ОМД)

Полила обоснования шагов алгоритма построения (ОМД)

Проверка контрольным КЗ, соответствз'К'Щнмвсиражегеоо.

| опровергши кон7щтм°рем

(со=омд=окд)

I Формализован- . ! нСсгь рассузде-; гей (ОМД)

Шчгл построен]« ДМ доданы быть теоретически обоснованы (ОМД)

Дедуктивное ' доказательство .(ОМД ■■-.

П. этап обучения логическому контролю правильности алгоритма построения динамического чертежа для целей контрольного компьютерного эксперимента (7 класс, начиная с темы «Треугольники»): характеризуется включением в содержание субъектного опыта учащихся новой цели (убедить в правильности алгоритма построения), как дополнительной, а также соответствующей новой цели мотивов, методов и требований к обоснованию.

III. этап обучения дедуктивному доказательству (8-9 класс): характеризуется замещением ведущего критерия убедительности критерием логической сводимости к истинным утверждениям, а также распространением освоенных приемов дедуктивного вывода на сами утверждения с демонстрацией приоритета данного метода по отношению к методу проверки утверждения контрольным экспериментом.

Ов.1адекие дедуктивным методам доказательства утверждений

Цель убеднтъ(-ся) иегшешетн утверждения н еорреттнастп КЗ (Сй-СКЯ-ОМД1

Е ПГЧЭДПН ИаЛИЧИЯ

^ г НИИ ЛЖаЛЬНЬЕ;

конгрг^киерое (СОСУД)

При Первом введении (ОМД',

Аргумент!

Прзыиднисть демонстрации cßöcHciEamw

Форкэдизгезн-I', . п рассуиде-KiSi (ОМД) ,

В §2 главы 2 «Условия и механизмы реализации в основной школе модели поэтапного обучения доказательству с использованием ГХХЧ СеоОеЬга» представлен обоснованный выбор теоретической основы решения задачи интеграции содержания субъектного опыта учащихся, связшпшго с проверкой истинности утверждений с социокультурным опытом аргументации утверждений в коммуникативной деятельности и опытом доказательства утверждений в математике, которую составляет технология личностно-

ориентированного обучения И.С. Якиманской.

Основу технологии составляет методическая схема интеграции опытов, включающая три основных этапа: актуализация и раскрытие содержания субъектного опыта учащихся; «окультуривание» содержания субъектного опыта учащихся через его сопоставление с социокультурным образцом и переосмысление; формирование нового субъектного опыта учащихся.

Э подтверждена обоснованием гтма построен):* ДМ, утеерядени? градено i7i или олр обертку о 1рикером (С О:: О М Д: - О i Д)

Дедуктшдае

докагательсх во (ОМД)

Данная схема реализована в предлагаемой нами методике в двух смыслах: в глобальном (через постановку перед учащимися задач, соответствующих не только этапным целям, но схеме интеграции) и локальном (через методику работы с каждой задачей, которая также выстраивается в соответствии с этапами интеграции опытов).

I этап обучения доказательству представлен следующими видами задач, ориентированными на формирование умений проверять геометрические утверждения с помощью компьютерного эксперимента: планировать, проводить, обрабатывать и анализировать данные, фор-

Этапы интеграции Виды задач

Актуализация и раскрытие содержания опыта 1.На демонстрацию и описание способов использования динамических чертежей для проверки утверждений, для выбора наиболее убедительного из нескольких альтернатив.

Окультуривание 2.На проверку соответствия выводов экспериментальным данным. 3.На проверку соответствия способа проведения контрольного эксперимента характеру сомнений 4.На проверку достаточности экспериментальной проверки для установления истинности утверждения. 5.На выбор способа построения динамического чертежа для проведения контрольного эксперимента.

Формирование нового опыта 6.На формирование умений формулировать альтернативы, сомнения в истинности утверждения. 7.На формирование умений фиксировать п анализировать экспериментальные данные, делать адекватные выводы. 8.На формирование умений планировать и проводить контрольный КЭ в соответствии с характером сомнений. 9.На формирование умений создавать динамический чертеж для проведения контрольного эксперимента.

Пример I. Методика работы с утверждением «Градусная мера угла а равна сумме градусных мер углов, на которые он разделен лучом, делящим а на два угла» (задача 7 вида).

1. Постановка задачи. В качестве мотивации обнаружения факта геометрического утверждения может быть использована задача на вычисление части угла по целому.

2. Выдвижение гипотезы. Учащиеся могут подойти к открытию этого факта в процессе решения данной и ряда сходных с ней задач методом измерений транспортиром.

3. Проверка. Потребность в проверке гипотезы возникает в связи с появлением результатов измерений, которые ставят ее под сомнение. В случае, если учащиеся затрудняются в словесном оформлении своего сомнения, возражение может быть включено в формулировку задания (см. курсив) на проведение компьютерного эксперимента: «Придумайте программу проведения компьютерного эксперимента на готовом динамическом чертеже (рис.1) с возможностью записи данных в таблицу 1, который позволит сиять сомнение человека в справедливости данной гипотезы для спектра значений а».

4— 1—

г С А О» ^ □ АВ-1 »'♦2С-33' В »под: ¿САО* гОАВ-^САВ

Перебор а 0* < у £ а

0° <а:<900 ¿ВАО+/САО С /АВС

¿ВАО+/САО 2 /АБС

¿ВАО+/САО □ /АВС

90° < от <180® /БАО+^САО I /АБС

/ВАС+/САО П/АВС

¿ВАО+/САО £ /АБС

Рисунок 1. Таблица 1.

На данном этапе работы с геометрическим утверждением используем локальную схему интеграции опытов.

1. Актуализация и раскрытие содержания субъектного опыта: учащимся предоставляется возможность самостоятельно обнаружить способ применения динамического чертежа с последующим обсуждением результатов самостоятельной работы.

2. «Окультуривание»: выделение различных точек зрений учащихся, которые проявились в разных ответах на вопросы, формулировку выводов из дискуссии как правил проведения эксперимента, сбора данных, их анализ и формулировка выводов.

3. Формирование нового субъектного опыта: внесение исправлений в проведенный эксперимент и корректировка полученных выводов.

4. Модификация: на этом этапе учащимся может быть получено обобщенное утверждение для случая разбиения данного угла на 3 и более углов.

II этап обучения доказательству представлен следующими видами задач, ориентированными на формирование умения осуществлять логический контроль правильности алгоритма построения динамического чертежа для целей «компьютерного доказательства» с опорой на результаты анализа условия теоремы, а также умением делать выводы об установленной обла-

Этапы интеграции Виды задач

Актуализация н раскрытие содержания опыта 1.На создание своих динамических чертежей для проведения контрольного эксперимента и описание алгоритмов их построения.

Окультуривание 2.На тестирование динамических чертежей с целью оценки их пригодности для проведения контрольного эксперимента. 3.На выбор алгоритма построения динамического чертежа, соответствующего цели контрольного эксперимента. 4.На оценку соответствия алгоритма построения указанным в посылке утверждения свойствам объекта.

Формирование нового опыта 5.На формирование умения формулировать утверждение, лежащее в основе алгоритма построения динамического чертежа. 6.На формирование умения формулировать цепочку утверждений использованных для создания алгоритмов построения отдельных элементов (объектов) динамического чертежа. 7.На формирование умения теоретически обосновывать шаги построения динамического чертежа. 8.На формирование умепия видеть свойства объекта исследования, которые определяются алгоритмом его построений.

1 я Г 1-----1-----г-г-™«..- ^ , лшии! 1

пересекаются в одной точке» (задача 8 вида).

1. Постановка задачи. Учащимся уже известна теорема о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Им предлагается развить идею этой теоремы, проверив, какие еще известные линейные элементы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Выдвижение гипотезы. Может явиться результатом построения статического или динамического чертежа.

3. Проверка и логический контроль правильности алгоритма построения. Потребность реализации данного этапа определяется неточностями построения или обнаружением существовать разных алгоритмов построения. Данный этап работы с геометрическим утверждением реализуется с использованием локальной схемы интеграции опытов.

1) Актуализация и раскрытие содержания субъектного опыта учащихся состоит в предоставлении учащимся возможности самостоятельного выбора метода проверки справедливости утверждения, его планирования и реализации. С целью создания условий для оценки достаточности и избыточности предложенных учащимся мер проверки утверждения, задание может быть дополнено игровым требованием - найти не только правильный, но и самый быстрый способ подтверждения его справедливости. С точки зрения этого требования предложения учащихся могут различаться по количеству процедур, входящих в алгоритм построения динамического чертежа, по характеру реализуемости алгоритма (реальные ми мысленное его исполнение), по характеру оснований, использованных для получения вывода об истинности утверждения (данные эксперимента, обоснование эффективности алгоритма построения точки пересечения биссектрис для семейства треугольников, заданных набором параметров).

2) Окультуривание опыта учащихся может быть связано с введением термина «конструктивное доказательство» и раскрытием его содержания через демонстрацию образца примене-

Входные объекты или посылка Выходные объекты или заключение Обоснование

Треугольник ABC, заданный величинами двух его сторон и угла между ними. Можно построить биссектрисы углов А, В и С. Определение биссектрисы треугольника

Биссектрисы углов А и В Можно отметить точку О -точку пересечения биссектрис А и В Теорема о сумме углов треугольника. Признак параллельности прямых по сумме внутренних односторонних углов.

Биссектриса угла С и точка О - пересечения биссектрис углов А и В. О принадлежит биссектрисе угла С По свойству биссектрисы угла

Вывод: Так как для обоснования ни на одном шаге не использовали свойства самого треугольника, то можно утверждать без проведения эксперимента, что биссектрисы всех трех углов любого треугольника пересекаются в одной точке.

3) Формирование нового субъектного опыта происходит в ходе оценю! возможностей преобразования других алгоритмов в конструктивное доказательство и проведение этих преобразований.

Ш этап обучения доказательству представлен следующими видами задач, ориентированными на формирование умения логически объяснять установленный в ходе компьютерного эксперимента факт динамической устойчивости свойства геометрической конфигурации, т.е. проводить логические доказательства; а также использовать логические доказательства для ликвидации выявленных недостатков эксперимента.

Этапы интеграции

Актуализация и раскрытие содержания опыта

Виды задач

1.На формулировку новых свойств динамического чертежа с опорой на алгоритм его построения с объяснением механизмов связей свойств.

Окультуривание

2.На критическую оценку эффективности компьютерного эксперимента как метода установления истинности утверждений.

3.На анализ готовых доказательств, демонстрирующих различные способы и приемы обоснований, обоснование утверждений разных видов.

Формирование нового опыта

4 .На построение собственных дедуктивных доказательств с опорой на компьютерные визуализации.

5.На логическое объяснение экспериментально установленных фактов.

6.На привлечение дедуктивного метода к решению исследовательских задач.

7.На постановку исследовательских задач на основе доказанного утвер-

___ждения._____

Пример 3. Компьютерная визуализация дедуктивного доказательства теоремы о средней линии трапеции (задача 4 вида).

1. Постановка задачи. Учащимся уже известна теорема о свойствах средней линии треугольника. Им предлагается развить идею этой теоремы, проверив, сохраняются ли эти свойства для средней линии трапеции.

2. Выдвижение гипотезы. Учащимся предлагается самостоятельно спланировать и провести разведочный эксперимент.

3. Доказательство. На данном этапе работы с геометрическим утверждением вновь реализуется локальная схема интеграции опытов.

1) С целью актуализации опыта учащихся, связанного с обоснованием конструктивных действий в контексте обоснования утверждений о свойствах средней линии трапеции, им предлагается прокомментировать доказательство теоремы, представленное в виде следующей анимации:

2) «Окультуривание». С целью создания условий для включения учащихся в деятельность оценки полноты обоснований, представленных в комментариях, им предлагается: 1) записать свои рассуждения; 2) выделить то конструктивное действие, результат которого не является очевидным; 3) проверить наличие обоснований этого шага; 4) дополнить свой комментарий недостающими обоснованиями; 5) проверить, заканчиваются ли комментарии обоснованием доказываемого утверждения, если нет, то внести необходимые дополнения,

В результате этого этапа учащиеся получат следующее доказательство:

- СИ=ЫВ ^ГГ™' (С)=В

- СБЦАВ => 1)ге АВ.

- ГО -средняя линия Д ЛПО,^> Ш |[ АВ и Ш | ПС, + = + Рс ч т д

3) Этап формирования нового опыта может быть организован как запись обоснования этого же утверждения еще одним или несколькими методами, но с опорой на статический чертеж.

4. Модификация может заключаться в поиске другого способа доказательства данного утверждения или проверке справедливости этих свойств для других фигур.

Проведенные примеры показывают, что достижение этапных целей формирования готовности учащихся основной школы к использованию при работе с планиметрической теоремой дедуктивного метода в сочетании с методом компьютерного эксперимента, проводимого средствами БСв, на основе идеи интеграции социокультурного и субъектного опытов, связанных с оценкой и обоснованием истинности утверждения, требует создание комплекса методических условий, среди которых выделяются содержательные условия - темы школьного курса геометрии, отнесенные к этапам формирования готовности, и их основные содержательные элементы (теоремы и специальные виды задач на обоснование утверждений); организационные условия - методика работы с теоремами, адекватная по своей структуре этапам исследовательского цикла учебного познания с учетом достигнутого уровня овладения дедуктивным методом; материально-технические условия - готовые динамические чертежи для проведения контрольных компьютерных экспериментов, схемы оформления отчета о ходе их проведения и результатах, образцы записи алгоритмов построения динамических чертежей, образцы их обосновании, компьютерные визуализации дедуктивных доказательств теорем и решения задач на доказательство.

Практическая реализация представленной методики призвана преобразовать естественный для учащихся экспериментальный (исследовательский) подход к получению новых знаний в теоретический подход сначала за счет использования дедукции, как вспомогательного метода (контролирующего корректность исследовательской модели), а затем через применение дедукции как ведущего метода, обеспечивающего обоснование и объяснение установленных фактов и получения нового выводного знания. Тем самым, данная методика позволяет преодолеть «экспериментально-теоретический разрыв» в обучении геометрии, вызванный использованием ОСгЯ в качестве инструмента учебной деятельности.

В §3 главы 2 «Эксперимент п обработка его результатов» представлено экспериментальное обоснование эффективности теоретически разработанной методики. В нем описаны ход и результаты трех основных этапов экспериментальной части исследования: констатирующего, поискового и форми-

рующего экспериментов, базой для проведения которых являлись пилотные площадки международного проекта «Методики и информационные технологии в образовании» (27 школ г. Архангельска и Архангельской области, 676 учащихся, 42 учителя). На констатирующем этапе эксперимента проверялась гипотеза о том, что среди субъективных критериев убедительности, включенных в содержание субъектного опыта учащихся 7 класса, приступающих к изучению систематического курса геометрии, наиболее предпочтительными являются критерии наглядности и практики. Для сбора данных использовались задания на выбор способа подтверждения или опровержения геометрических и бытовых суждений. Справедливость гипотезы о случайности различий двух полученных распределений номинативного признака «выбор критерия убедительности» установлена с доверительной вероятностью 0,95 посредством использования критерий х2 - Пирсона. Ранжирование субъективных критериев убедительности, входящих в содержание субъектного опыта учащихся по частоте использования позволило показать, что наиболее предпочтительными для учащихся являются 2 критерия: критерий практики и критерий наглядности (см. диаграмму Парето).

На поисковом этапе эксперимента уточнялись возрастные границы и методические условия перевода учащихся с одного уровня сформированное™ умений доказывать на другой. Здесь в качестве респондентов выступали учителя-эксперименторы. Сбор данных проводился с использованием контрольных листов и анкетирования. Собранные данные позволили детализировать теоретические положения, включенные в содержание 2 параграфа данной главы. На формирующем этапе эксперимента проверялась готовность учащихся к рациональному сочетанию различных методов обоснования геометрических утверждений.

В основу организации формирующего этапа эксперимента был положен лонгитюдный метод, который в отличие от метода параллельного обучения контрольной и экспериментальной группы позволяет сосредоточить внимание на изменении индивидуальных особенностей испытуемых. Еще одной причиной выбора лонгитюдного метода явилось отсутствие альтернативной методики обучения доказательству геометрических утверждений с использованием Лонгитюдный метод предполагает многократное обследование одной и той же группы испытуемых на протяжении нескольких лет, за которые испытуемые успевают существенным образом поменять какие-либо свои значимые признаки.

Группу испытуемых составили учащиеся, изучающие геометрию с использованием ТЮЗ ОеоСеЬга на протяжении трех лет (7-9 класс, 676 человек). В ходе экспериментального обучения применялась разработанная нами методика формирования умений, связанных с проведением доказательств. Контрольное обследование группы испытуемых осуществлялось 15 раз в рамках проведения тематических контрольных работ с использованием диагностических задач на обоснование утверждений, допускавших рассуждения, относящиеся к разным уровням сформированности умений (на диаграммах: уровень овладения эмпирическими методами проверки утверждений - кр 7.1, уровень овладения логическими методами контроля корректности технических средств, применяемых в ходе компьютерного эксперимента- кр7.2-7.5, уровень овладения дедуктивным методом доказательства - кр 8.1-9.5). Все диагностические задачи допускали возможность самостоятельного выбора методов проверки и обоснования утверждений: метода контрольного компьютерного эксперимента и дедуктивного метода.

Для контроля динамики изменений в выборе критериев убедительности и овладения соответствующими методами обоснования утверждений использовались соответствующие задания тематических контрольных работ.

Критериев сформированности умений, связанных с проведением доказательств, при этом рассматривалось несколько:

К1 - успешность решения диагностических задач выбранным методом К2 - соответствие выбора критерия убедительности задачной ситуации: 1) описанию стилевых особенностей оппонента, включенных в сюжетный план задачи; 2) описанию характера сомнений в истинности утверждения, включенного в требование задачи; 3) указанным в требовании задачи функциям доказательства. Успешность решения диагностической задачи оценивалась по 50-бальной шкале, т.е. могла принимать значения от 0 до 50, в зависимости от степени продвижения ученика в решении задачи. В связи с тем, что учителя-

экспериментаторы принимали активное участие в составлении задач каждой контрольной работы, то подходы к оценке решений учащихся по этому критерию были ими согласованы.

Соответствие выбора критерия убедительности заданной ситуации оценивалось по 3-х бальной шкале: «О» - выбранный метод/методы (критерий убедительности) не соответствует заданной ситуации; «1»- частичное соответствие выбранных методов (критериев убедительности) условию задачи; «2»- полное соответствие выбранных методов (критериев убедительности) условию задачи.

Рациональность выбора критерия ;

убедительности !50

300 - ..... - ■ 30.0

250 ■ --- ■ - - -____^ . ' 2S 0

Успешность решения задачи

20.0003 •

1S.OOOO 1 10 0000

5.ЛООО >

ООО! :

V* .«■ .Л- ^ •«> «> » • Л'1* Л? V* & & & о?

С использованием критерия xl - Фридмана подтверждена (на уровне значимости 0,05) гипотеза о статистической значимости различий результатов выполнения заданий контрольных работ, определяющих существование выявленной тенденции (см. график) в продвижении готовности учащихся к рациональному выбору критериев убедительности и соответствующих им комплекса методов обоснования утверждений, а также в успешности реализации выбранных методов.

Проведенный эксперимент, анализ и статистическая обработка его результатов позволили сделать следующие выводы: применение разработанной методики обучения доказательству с использованием DGS позволяет сформировать умения, связанные с проведением доказательства теорем при обучении геометрии учащихся основной школы с использованием Ge-oGebra, рационального выбора критериев убедительности, использования для обоснования утверждении адекватных нм методов, а также успешной их реализации..

В заключении подведены основные итоги диссертационного исследования. Привлечением к обучению геометрии DGS имеет, как показало проведенное нами теоретическое и экспериментальное исследование, как положительные, так и отрицательные эффекты. Наиболее «опасным» для геометрического образовашгя является отрицательный эффект, получивший название «экспериментально-теоретический разрыв», который характеризуется снижением роли дедуктивного метода и неоправданно широким использованием метода компьютерного эксперимента при работе с теоремами и другими утверждениями.

Проведенное нами исследование показало возможность снижения остроты этого эффекта за счет создания методической модели обучения использования дедуктивного метода в сочетании методом компьютерного эксперимента, проводимого средствами DGS, при работе с планиметрической теоремой, ориентированную на интеграцию содержания субъектного опыта учащихся, связанного с проверкой истинности утверждений с социокультурным опытом аргументации утверждений в коммуникативной деятельности и опытом доказательства утверждений в математике и реализации этой модели в методике.

Методика включает три основных этапа обучения доказательству при работе с утверждениями: этап обучения эмпирической проверке геометрических утверждений; этап обучения логическому контролю правильности алгоритма построения динамического чертежа для целей контрольного компьютерного эксперимента; этап обучения дедуктивному доказательству. Организационно-методической основой ее реализации составляют виды задач на открытие (методом разведочного КЭ), проверку (методом контрольного КЭ), обоснование (дедуктивным методом) и развитие идеи утверждений (методом модифицирующего КЭ), а также методические рекомендации по работе с этими задачами

Результаты опытно-экспериментальной работы показали эффективность разработанной методики, возможность ее использования для формирования готовности учащихся основной

школы к использованию дедуктивного метода в сочетании с методом компьютерного эксперимента.

Основные положения диссертационного исследования отражены в следующих

публикациях

1. Ширикова Т.С., Шабанова М.В. Компьютерный эксперимент в системе методов работы с теоремой// Современные проблемы науки и образования. - 2013. - № 2; URL: http://www.science-education.ru/108-9005 (дата обращения: 29.04.2013). (Журнал входит в перечень ведущих рецензируемых журналов а изданий, рекомендованных ВАК РФ)

2. Ширикова Т.С. Проблема сближения содержания школьного курса математики с передовыми рубежами науки // Вестник Северного (Арктического) федерального университета. Сер. Гуманитарные и социальные науки. - 2012. - № 3. - С.141-145. - Библиогр. в примеч. -(Педагогика. Психология). (Журнал входит в перечень ведущих рецензируемых журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ)

3. Ширикова Т.С., Шабанова М.В. Обучение доказательству с использованием интерактивной геометрической среды// Ярославский педагогический вестник. - 2012. - № 3 - Том II (Психолого -педагогические науки) - с.86-92. (Журнал входит в перечень ведущих рецензируемых журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ)

4. Ширикова Т.С. Виды компьютерного эксперимента и их использование в обучении математике. // Инновационные процессы в современной школе: методология, теория и практика: Сб. ст. Междунар. заочной научн.-практ. конф., посвященной 75-летию ТГПУ им. Л.Н.Толстого (24 апр. 2013 г.) / Под общ. ред. С.В.Митрохиной.- Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 2013.-207 с.(с.183)

5. Ширикова Т.С., Шабанова М.В., Ерилова E.H. Компьютерный эксперимент в системе методов обучения математике. // Математика. Образование: материалы 21-й Междунар. конф. Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 2013.- 420с. (с.279)

6. Ширикова Т.С. Методические особенности обучения геометрии учащихся вечерней школы с использованием ИГС. // Труды X международных Колмогоровских чтений: сборник статей.- Ярославль: Изд-во ЯГПУ,2012 - 305с. (с.131).

7. Обучение математике с использованием возможностей GeoGebra. // Ширикова Т.С., Шабанова М.В., Безумова О.Л., Ерилова E.H., Котова С.Н., Ларин C.B., Овчинникова р.П., Патронова H.H., Павлова М.А., Томилова А.Е., Троицкая О.Н., Форкунова Л.В. -М.: Издательство Перо, 2013 -128 с. (Коллективная монография)

8. Ширикова Т.С. Особенности «компьютерных доказательств» геометрических утверждении. // Труды IX международных Колмогоровских чтений: сборник статей.- Ярославль: Изд-во ЯЛТУ,2011 - 324с. (с.217).

9. Ширикова Т.С. Методические особенности обучения геометрии учащихся вечерней школы с использованием ИГС. // Информатизация как целевая ориентация и стратегический ресурс образования: сборник научных трудов участников Международной научно-практической конференции, 29 февраля-4 марта 2012 / НМС по мат. М-ва образования и науки РФ, Ин-т информатизации образования РАО, Сев. (Аркт.) федер. ун-т им М.В.Ломоносова, Ин-т мат. и информат. Болгар. Акад. Наук, Акад. Социал. упр. - Архангельск: КИРА, 2012. -552 с. (с.455-461) (Формат 60x84 1/16)

10. Ширикова Т.С., Шабанова М.В. Обучение доказательству с использованием интерактивной геометрической среды. // Математическое образование и информационное общество: проблемы и перспективы: сборник трудов XLVIII Всероссийской ( с международным участием) конференции. 18-21 апреля 2012 г. / под общ. Ред. Е.И.Саниной. - М.: РУДН, 2012.-421с. (с.96-107) (Формат 60x84 1/16)

11. Обучение геометрии с использованием возможностей GeoGebra: учебно-методическое пособие / Федер. гос. автоном. образоват. учреждение высш. проф. образования «Север. (Аркт.) федер. ун-т им. М.В.Ломоносова; [Ширикова Т.С., Безумова О.Л., Овчинникова Р.П., Троицкая О.Н., Троицкий А.Г., Форкунова Л.В., Шабанова М.В., Томилова О.М.] - Архангельск: КИРА, 2011. -140 с.

Подписано в печать 21.04.2014. Формат 60x84 1/16. Бумага офисная. Печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 79.

Отпечатано с готового оригинал-макета Типография «КИРА» 163061, г. Архангельск, ул. Поморская, 34, тел. 65-47-11. e-mail: oookira@atnet.ru

Текст диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Ширикова, Татьяна Сергеевна, Архангельск

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Северный (Арктический) федеральный

университет имени М. В. Ломоносова»

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЕОвЕВКА

Специальность 13. 00. 02 — теория и методика обучения и воспитания

(математика)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор Шабанова Мария Валерьевна

На правах рукописи

04201458111

ШИРИКОВА ТАТЬЯНА СЕРГЕЕВНА

Архангельск - 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ 2

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. КОМПЬЮТЕРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ В МЕТОДИКЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМ И ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ 19

1.1. Информатизация геометрического образования: положительные и отрицательные эффекты применения компьютерных средств................................19

1.2. Анализ российского и зарубежного опыта использования компьютерного эксперимента при изучении основных теорем планиметрии в школе....................37

1.3.Возможности различных систем динамической геометрии в реализации этапов

изучения геометрических утверждений.....................................................................62

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1 75

ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМ И ИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ DGS GEOGEBRA 78

2.1 Модель поэтапного формирования умений, связанных с проведением доказательства теорем при обучении геометрии учащихся основной школы с использованием GeoGebra............................................................................................78

2.2 Условия и механизмы реализации в основной школе модели поэтапного

обучения доказательству с использованием DGS GeoGebra..................................104

2.3.Эксперимент и обработка его результатов........................................................: 159

2.3.1. Проведение констатирующего этапа эксперимента и обработка его результатов 161

2.3.2.Поисковый этап эксперимента и его результаты 166

2.3.3. Формирующий этап эксперимента и его результаты 169 ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2 177 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 180 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 185 ПРИЛОЖЕНИЕ 204

Введение

B.Н. Дубровский, С.Н. Поздняков, Т.Ф. Сергеева, М.В. Шабанова, М.Г. Шабат). Между тем учителями (В.И. Рыжик, И.С. Храповицкий) и специалистами в области теории и методики обучения математики (Н.Х. Розов, В.А. Далингер,

C.Н. Поздняков) все чаще высказываются опасения, что увлечение экспериментальным методом в геометрии может нанести вред формированию готовности учащихся основной школы к использованию дедуктивного метода как основы обоснования истинности геометрических утверждений: утрате потребности в его использовании и соответствующих умений. При этом не подвергается сомнению сохранение высокой общекультурной значимости владения данным методом в современном мире. Овладение искусством доказательства признается одной из важнейших целей обучения геометрии в школе, начиная с момента зарождения системы геометрического образования. Об этом свидетельствуют как результаты исследований, посвященных истории

геометрического образования (Ф. Клейн, Т.С. Полякова, О.В. Тарасова, Р.С.Черкасов и др. [39, 40, 41, 61]), так и содержание государственных образовательных стандартов 1 и 2 -го поколения. В стандартах 2-го поколения отмечается общекультурная значимость умения проводить доказательство высказанных утверждений. Доказательством этого является включение соответствующих требований не только в перечень предметных, но и метапредметных результатов обучения: «Метапредметные результаты освоения основной образовательной программы основного общего образования должны отражать:... 9) умение ... аргументировать и отстаивать своё мнение» [121, с.7].

Методический подход к обучению доказательству дедуктивным методом, ставший традиционным для российской школы, описан в трудах Г.Д. Глейзера, В.А. Гусева, В.А. Далингера, Г.В. Дорофеева, Ю.М. Колягина, Е.И. Лященко, Г.И. Саранцева, И.М. Смирновой, A.A. Столяра, И.Ф. Шарыгина, A.B. Ястребова и др.

Обучение дедуктивному методу доказательства традиционно начинается в 7 классе с ознакомления с исходными положениями геометрии и элементарными следствиями из них, с предъявления учащимся образцов доказательных рассуждений, подтверждающих геометрические факты, которые воспринимаются учащимися как очевидные. Реализация такого подхода приводит к типичным для учебной практики трудностям, связанным с запретом на использование учащимися других критериев убедительности (критерий авторитетности, критерий признанности большинством, критерий практики, критерий наглядности, критерий привлекательности, критерий логической сводимости к истинным утверждениям) и иных методов проверки (метод наглядно-

эмпирического подтверждения, метод применения на практике, контрпример и др.) истинности утверждения.

Многочисленными исследованиями психологов (P.C. Немов, В.В. Давыдов, Ж. Пиаже, Р. Солсо, Д. Халперн) установлено, что формирование способности к дедуктивным рассуждениям должно идти через переосмысление и переоценку компонентов, входящих в содержание субъективного (доучебного) опыта аргументации высказываемых утверждений, и проверку истинности утверждений, высказанных собеседником. Как показывает проведенный нами констатирующий эксперимент, в содержании этого опыта у учащихся, приступающих к обучению геометрии, преобладает наглядность в качестве субъективного критерия убедительности, экспериментирование, как метод проверки высказанных утверждений, в ситуациях появления сомнений или возражений (см. параграф 2.3). Аналогичные результаты представлены в работах зарубежных ученых [158, 160, 162, 168, 169]. Однако эти данные пока не нашли применение в методике работы с теоремой. Между тем механизм интеграции субъектного и социокультурного опытов в процессе обучения составляет основу достаточно большого количества методик, связанных с достижением иных образовательных результатов: методики формирования предпонятий геометрического объекта в пропедевтическом курсе геометрии начальной школы (Н.С. Подходова); методики ознакомления учащихся 5-6 класса с элементами логики при изучении пропедевтического курса геометрии (O.JI. Безумова); технологии методологически-ориентированного обучения математики (М.В. Шабанова) и др.

убедительность наглядно-эмпирического их подтверждения оказались столь высоки, что в этих странах появилась опасность, что доказательство дедуктивным методом«... будет «заброшено» в пользу экспериментального подхода к математическому обоснованию» (Mason, 1993). Подтверждением этих опасений являются экспериментальные данные о заметном снижении познавательной активности учащихся на этапе доказательства утверждений дедуктивным методом, открытых с помощью компьютерного эксперимента, а также об отказе самих учителей-экспериментаторов от этого этапа работы с теоремой (R. Marrades, A. Gutierrez, 2000, С. Christou, N. Mousoulides, 2004, R. Leikin, D. Grossman, 2012). Таким образом, появление DGS, создав благоприятные условия для реализации исследовательского подхода в обучении геометрии, привело к неоправданному снижению доли теоретических методов в методике работы с теоремой. Данная ситуация охарактеризована многими зарубежными исследователями как «экспериментально-теоретический разрыв» в обучении геометрии (G. Hanna, К. Jones, A. Mariotti). Она вызвала бурную дискуссию и среди ученых, занимающихся проблемами использования DGS в обучении.

• обучение доказательству должно быть частью программ на всех уровнях математического образования;

• доказательства, проводимые дедуктивным методом, обладают множеством образовательно-значимых функций, кроме функции убедить в истинности утверждений, и в обучении доказательству необходимо делать акцент на них (проверка, объяснение, демонстрация системологии науки, открытие следствий, коммуникация, построение теории из отдельных фактов, исследование, установление связей);

В нашей стране острота этих проблем только еще нарастает, что связано с введением в действие ФГОС общего образования, требованиями которых предусматривается самое широкое использование БОБ в процессе обучения геометрии в качестве средства поддержки проектной и исследовательской деятельности учащихся, но не формулируются ориентиры, связанные с определением оптимального соотношения экспериментальных и теоретических методов в образовательном процессе.

доказательству теорем в курсе геометрии основной школы, не учитывающей эти особенности содержания субъектного опыта учащихся.

На основе выявленных противоречий нами была определена проблема диссертационного исследования: какая методика обучения доказательству теорем обеспечит формирование у учащихся основной школы умений правильно использовать сочетание дедуктивного метода и метода компьютерного эксперимента при проверке и демонстрации истинности геометрических утверждений?

Объект исследования - процесс обучения геометрии учащихся основной школы.

Предмет исследования — обучение учащихся основной школы доказательству теорем при изучении геометрии с использованием системы динамической геометрии ОеоОеЬга

Цель исследования - выявить теоретические и методические основы формирования умений, связанных с проведением доказательств теорем • при обучении геометрии учащихся основной школы с использованием системы динамической геометрии ОеоОеЬга.

Гипотеза исследования - формирование у учащихся основной школы умений, связанных с проведением доказательства теорем при изучении геометрии с использованием ОеоОеЬга, будет успешным, если:

-в процессе обучения доказательству теорем будет осуществлен поэтапный переход от овладения методом компьютерного эксперимента к овладению дедуктивным методом на основе осознания учащимися границ, норм и условий их применения;

дедуктивным методом при аргументации утверждений в коммуникативной деятельности и опытом доказательства утверждений в математике;

1. Уточнить содержание понятия компьютерного эксперимента, проводимого средствами DGS; раскрыть объем данного понятия путем выделения видов эксперимента, отнесенных к различным этапам элементарного цикла учебного познания; отобрать программные средства, поддерживающие все виды компьютерных экспериментов, необходимых для реализации методики работы с планиметрической теоремой.

Теоретико-методологическими основами исследования являются:

-концепция информатизации образования (С.А. Бешенков, Я.А. Ваграменко, А.П. Ершов, A.A. Кузнецов, В.М. Монахов, И.В. Роберт и др.);

-деятельностный подход в образовании и его применение к обучению математике (JI.C. Выгодский, В.В. Давыдов, О.Б. Епишева, Н.Х. Розов и др.); .

-исследовательский подход в образовании и его применение к обуч