Теория и практика обучения учащихся средней школы опровержению доказательств математических утверждений

Костромитина, Екатерина Васильевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Теория и практика обучения учащихся средней школы опровержению доказательств математических утверждений

Автореферат

Автор научной работы: Костромитина, Екатерина Васильевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Пенза
Год защиты: 2006
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Теория и практика обучения учащихся средней школы опровержению доказательств математических утверждений"

На правах рукописи

КОСТРОМИТИНА Екатерина Васильевна

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ ОПРОВЕРЖЕНИЮ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ УТВЕРЖДЕНИЙ

13.00.02. Теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Саранск - 2006

Работа выполнена на кафедре теории и методики обучения математике ГОУ ВПО «Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г. Белинского»

Научный руководитель:

член-корреспондент РАО. доктор педагогических наук,

профессор Саранцев Геннадий Иванович

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор Зайкин Михаил Иванович

кандидат педагогических наук, доцент Лялысина Анна Трофимовна

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского»

Защита состоится « & » 2006 г. в на заседании

диссертационного совета ДМ 212.118.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при ГОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева» по адресу: 430007, г. Саранск, ул. Студенческая, 11а, ауд. 320.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного педагогического института имени М.Е. Евсевьева.

Автореферат разослан « ^ » 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ^.С. Капкаева

Л0о£ А

¿"097 з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В школьном математическом образовании доказательство, как известно, представляет наиболее существенный вклад математики в общую культуру человека. Однако автоматический перенос понимания строгости доказательства, принятого в математической науке, на школьное преподавание привносит в него существенные сложности, связанные с убедительностью обоснований рассматриваемых содержательных утверждений. Решение данной проблемы в рамках деятельностного подхода предполагает рассмотрение доказательства как системы специфических приемов учебной деятельности, среди которых одно из наиболее важных мест занимает прием опровержения учебных математических доказательств.

Мысль о важности обучения опровержению математических доказательств подчеркивалась в работах В. М. Брадиса, С. И. Векслера, Я. С. Дубнова, О. Н. Журавлевой, М. И. Зайкина, Д. И. Икрамова, И. Лакатоса, В. Литцмана, В. Л. Минковского, В. И. Обреимова, Д. Пойа, Ф. Ф. Притуло, М. А. Родионова, Г. И. Саранцева, Д. С. Скрыпника, А. И. Фетисова, А. К. Харчевой, Р. Хашимова, 3. П. Чиркиной, П. М. Эрдниева. Большая значимость умения опровергать доказательства в математике и других науках обусловила появление многочисленных исследований, посвященным различным аспектам обучения опровержению.

Анализ работ, в которых рассматривается проблема обучения опровержению, показывает, что в ее решении можно выделить несколько подходов. Представители первого (В. М. Брадис, Я. С. Дубнов, В. Л. Минковский, Ф. Ф. Притуло, А. И. Фетисов, А. К. ХарчеЕа, 3. П. Чиркина и др.) решают данную проблему при помощи внедрения в учебный процесс работы по разбору софизмов. Исследования данных авторов, выполненные в основном на материале геометрии, посвящены изучению отклонений рассуждений учащихся от логически верных математических рассуждений и построению на их основе содержания обучения умению опровергать. Однако развитию личности ученика в процессе обучения умению опровергать предложенные рассуждения, которое сводилось к разбору софизмов, практически не уделялось внимания. Ученики не привлекались к открытию фактов, поиску закономерностей, высказыванию гипотез, и поэтому не испытывали потребности в поиске и устранении ошибок, допущенных в рассуждениях. Кроме того, рассмотрение ошибок в математических рассуждениях было оторвано от общего контекста обучению доказательству. Второй подход связан с формированием логических приемов, правил опровержения утверждений. Это направление получило развитие в основном в работах Д.Пойа. В основе третьего направления решения проблемы обучения умению опровергать лежит современная методическая концепция обучения доказательству в средней школе. В настоящее время обучение доказательству рассматривается с позиций целостного (логико-эвристического) подхода. Его представители (И. Лакатос, Г. И. Саранцев, О. Н. Журавлева) рассматривают опровержение предложенных доказательств в

1РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА I

С. Петербурге* /О Г

~ 09 уУиу^:

качестве отдельного (завершающего) этапа в концепции обучения доказательству.

Анализ учебно-методической литературы, результаты констатирующего эксперимента, наблюдение за уроками учителей позволяют сделать вывод о том, что, в целом, проблема обучения опровержению доказательств еще далека от полного разрешения. В частности, как показывает практика преподавания математики, у большинства школьников приемы опровержения формируются спонтанно. С другой стороны, как отмечается в литературе, имеет место значимая взаимосвязь между успешностью самостоятельного поиска и конструирования доказательства и умением опровергать математические доказательства. С целью совершенствования методики обучения опровержению целесообразно с новых позиций проанализировать содержание понятия «обучение опровержению»; определить структуру деятельности по обучению опровержению, и в частности, действия, входящие в ее состав; выделить уровни овладения умением опровергать, соотнести их со структурой деятельности по обучению доказательству.

Таким образом, противоречие между потребностью в научно-обоснованной методике обучения опровержению доказательств и реальным состоянием сформированности умения опровергать у школьников определяет актуальность проблемы исследования. Сама же проблема заключается в поиске путей и средств совершенствования обучения опровержению доказательств математических утверждений.

Цель исследования состоит в разработке теории и методики обучения учащихся средней школы опровержению доказательств математических утверждений.

Объектом исследования является обучение доказательству и опровержению в курсе математики средней школы.

Предмет исследования - цели, содержание, методы, формы и средства обучения опровержению доказательств в курсе математики средней школы.

Гипотеза исследования: если уточнить содержание понятие обучения опровержению, выделить уровни обучения опровержению, соотнести их с этапами деятельности по обучению доказательству, разработать методику их формирования и внедрить ее в практику обучения школьной математике, то это позволит успешно обучать опровержению доказательств учащихся средней школы.

Проблема, цель, предмет и гипотеза исследования обусловили следующие задачи:

1. Провести анализ состояния проблемы обучения опровержению доказательств в учебно-мстодической и научной литературе и практике обучения школьной математике.

2. Уточнить содержание понятия обучения опровержению доказательств математических утверждений.

3. Выделить совокупность действий, составляющих основу обучения доказательств математических утверждений, и соотнести их- со структурой деятельности по обучению доказательству.

4. Разработать методику формирования компонентов умения опровергать доказательства математических утверждений.

5. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики и составить рекомендации для ее использования в практике обучения.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: системный анализ; деятельностный подход; анализ психолого-педагогической, учебно-методической литературы по проблеме исследования, анализ школьных учебников, программ и учебных пособий; изучение и обобщение педагогического опыта учителей математики; проведение эксперимента по проверке основных положений работы, статистические методы обработки его результатов.

Исследование проводилось поэтапно.

На первом этапе осуществлялся анализ учебно-методической и научной литературы по проблеме исследования с целью выявления предпосылок для разработки теоретических основ методики обучения опровержению в курсе школьной математики, изучалось состояние исследуемой проблемы в практике обучения, проводился констатирующий эксперимент.

На втором этапе разрабатывалась теория и методика обучения учащихся средней школы опровержению доказательств математических утверждений, апробировались возможтгые варианты ее использования в практике обучения с целью отбора наиболее эффективных методических решений в аспекте проблемы исследования, проводился поисковый эксперимент.

На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики, изучались его итоговые результаты, формулировались выводы исследования.

Научная новизна исследования состоит в том, что в нем решение проблемы обучения опровержению доказательств математических утверждений происходит на основе концепции единства логики и эвристики. Впервые обоснована и реализована на практике возможность организации процесса формирования готовности школьников к опровержению математических доказательств в адекватном соотнесении с известными стадиями обучения доказательным рассуждениям.

Теоретическая значимость работы заключается в:

- уточнении содержания понятия обучения опровержению;

- выделении совокупности действий, составляющих его основу, и соотнесении их со структурой деятельности по обучению доказательству;

- построении динамической модели формирования умения опровергать математические доказательства, отражающей адекватное соотнесение этапов деятельности по опровержению со средствами обучения и достигаемыми результатами.

Выводы, полученные в результате проведенного исследования, позволяют определить конкретные роль и место опровержения в обучении математике, расширить представление об обучении доказательству, раскрыть содержание понятия «обучение опровержению».

Практическая значимость исследования состоит в том. что разработанная методика обучения опровержению доказательств в курсе математики средней школы может быть использована учителями, а также авторами учебных пособий, предназначенных для учителей, студентов и учащихся.

Методологической основой исследования послужили: системный анализ и концепция деятельностного подхода; работы по теории и методике обучению доказательству; работы по проблеме обучения школьников приемам опровержения; теория развития личности; труды известных методистов, психологов.

Достоверность и обоснованность проводимого исследования, его результатов и выводов обусловлены опорой на основные теоретические положения в области теории и методики обучения математике, учетом современных достижений в области педагогики и психологии и обработкой экспериментальных данных.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Под обучением опровержению доказательств математических утверждений мы будем понимать обучение учащихся нахождению и исправлению ошибок в предложенных рассуждениях и в своих собственных, разбор готовых опровержений предложенных рассуждений, обучение восстановлению неполных доказательств, обучение приемам опровержения отдельных частей доказательства, самостоятельному проведению опровержений ютовых математических доказательств.

2. Обучение опровержению доказательств необходимо рассматривать как естественный компонент деятельности по обучению школьников математическим доказательствам на всех ее этапах. Процесс формирования умений, адекватных опровержению доказательств математических утверждений, представляет собой иерархию определенных уровней, каждый из которых реализуется через комплекс составляющих его действий.

3. Характер конструирования системы задач для формирования умения опровергать математические доказательства должен определяться качественным составом приемов опровержения и последовательностью этапов такого формирования.

Апробация основных положений и результатов исследования проводилась через публикацию статей и тезисов, в форме докладов и выступлений на заседаниях научно-методического семинара кафедры теории и методики обучения математике Пензенского государственного педагогического университета имени В. Г. Белинского (2002-2005 годы), на Всероссийской научной конференции (Пенза, 2005 год). По теме исследования имеется 11 публикаций.

Внедрение разработанных методических материалов осуществлялось в ходе экспериментальной проверки в процессе обучения математике в многопрофильной гимназии при ПГПУ им. В.Г.Белинского и в общеобразовательной школе №12 города Пензы, на практических занятиях по решению геометрических задач, на лабораторных занятиях и спецсеминаре по теории и мето-

дике обучения математике в Пензенском государственном педагогическом университете имени В. Г. Белинского.

Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Она состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Основное содержание работы изложено на 166 страницах машинописного текста. Библиография составляет 154 наименования. В тексте диссертации имеются рисунки (34), таблицы (8) и схемы (2).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, определены объект, предмет исследования, цель, задачи, методы исследования, раскрыты научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, описаны этапы исследования, пути апробации и внедрения результатов.

Первая глава диссертации посвящена теоретическим основам обучения учащихся опровержению доказательств в школьном курсе математики. Эту главу составили три параграфа.

В первом из указанных параграфов приведен анализ учебно-методической и научной литературы, в которой рассматривается проблема обучения опровержению математических доказательств. Выявлено, что обучение опровержению доказательств необходимо рассматривать как естественный компонент деятельности по обучению школьников математическим доказательствам на всех ее этапах.

Второй параграф посвящен выявлению логических основ опровержения доказательств. Определено, что содержание умения опровергать готовые доказательства включает в себя: опровержение тезиса, опровержение аргументов и опровержение демонстрации. Умение опровергать доказательства представляет собой владение определенными приемами. Поэтому обучение опровержению предложенных доказательств математических утверждений должно идти по пути целенаправленного формирования у учащихся приемов опровержения составных частей доказательства. Рассмотрены возможные логические ошибки, которые могут быть допущены в тезисе, аргументах, демонстрации доказательства. Проведена классификация логических приемов опровержения.

В основу разработки приемов опровержения готовых доказательств положены известные правила вывода (правило отрицания, закон исключенного третьего), а также требования, предъявляемые к логически безупречным тезису, аргументам и демонстрации. Для опровержения ложных доказательств в школьном курсе математики могут быть использованы следующие приемы:

- приемы опровержения тезиса (прием приведения контрпримера, прием доказательства истинности отрицания тезиса, прием изучения следствий тезиса);

- приемы опровержения аргументов (прием проверки истинности аргументов, прием проверки доказанности аргументов, прием проверки достаточности аргументов, прием проверки независимости аргументов);

- приемы опровержения демонстрации (прием проверки полноты доказательства, прием проверки правильного использования логических правил вывода).

Каждый из указанных приемов представлен совокупностью составляющих его действий. Выделенные приемы соотнесены со школьным математическим содержанием.

Третий параграф посвящен построению методической концепции обучения опровержению доказательств математических утверждений, которая с необходимостью предполагает учет особенностей восприятия школьниками рассмотренных видов ошибок.

Эффективная и целенаправленная работа по формированию у школьников умения опровергать предложенные доказательства должна являться постоянной составляющей процесса обучения математике в школе. Реализация такой работы регулируется рядом методических принципов.

Принцип деятелъностного подхода. Применение деятельностного подхода к обучению школьников опровержению доказательств математических утверждений предполагает своей целью включение учащихся в особый вид учебной деятельности (деятельности по обучению опровержению), обучение приемам этой деятельности. Для этого нужно выработать у школьников мотивы и цели этой деятельности, обучить способам ее осуществления и регулирования.

Принцип целеполагания. Этот принцип заключается в том, что обучение опровержению доказательств утверждений должно являться специальной целью математического образования на всех уровнях его представления.

Принцип интеграции логического и эвристического. Обучение опровержению невозможно без усвоения его содержания и формирования представления о его логической форме, о логических приемах опровержения. Однако в процессе обучения опровержению необходимы и некоторые общие рекомендации, облегчающие его. Очевидно, что все общие эвристики, специальные эвристические приемы, выделенные методистами, будут иметь место не только при поиске закономерностей, способа доказательства, решения задач, открытии фактов, но и при опровержении доказательств математических утверждений, неверных решений. Деятельность по опровержению должна пронизывать «красной нитью» весь процесс обучения математике, приобретая по мере совершенствования математической подготовки и развития учащихся качественно новые черты, связанные с их самообучением и саморазвитием.

Принцип соотнесения этапов деятельности по обучению доказательству с динамикой формирования приемов опровержения. Обучение опровержению предложенных доказательств является специфической деятельностью, элементы которой можно рассматривать на разных ступенях обучения, параллельно с обучением доказательству. Выделены действия, составляющие

основу деятельности по обучению опровержению доказательств математических утверждений. Указанные действия соотнесены со структурой деятельности обучения доказательству. Компонентный состав, структуру содержания обучения опровержению, а также соотнесение его с другими компонентами обучения доказательству можно представить следующей схемой (схема 1).

Схема 1

Приведенная схема фиксирует уровневую организацию обучения опровержения. Основным средством формирования выделенных действий являются специальные упражнения.

Принцип адекватного контроля. В качестве критерия сформированно-сти у школьников умения опровергать мы рассматриваем уровень владения умением проводить опровержение предложенного доказательства, обеспечивающим успешность процесса изучения математики, показателями которого являются: овладение приемами опровержения, выбор рационального приема опровержения и оценка возможности его применения, овладение умением находить ошибку в предложенном доказательстве. На основании данных показателей мы выделяем следующие уровни сформированности у школьников умения опровергать:

нулевой - школьники не испытывают потребности в опровержении, не владеют приемами опровержения, не исправляют ошибок в предложенных рассуждениях;

низкий - школьники владеют некоторыми (простейшими) приемами опровержения, и если в задании содержится требование применить конкретный (изученный) прием для опровержения доказательства, выполняют последовательность необходимых действий;

средний - школьники владеют всеми приемами опровержения, могут определить тип ошибки и применить прием, который указан в задании;

высокий - школьники владеют всеми приемами опровержения, могут самостоятельно определить тип ошибки в предложенном доказательстве и применить для его опровержения наиболее рациональный прием без каких-либо указаний на него.

Данный диагностический аппарат в последствии используется для оценки результатов обучающего эксперимента.

Принщп дифференцированной работы. Дифференцированный подход к обучению школьников умению опровергать должен состоять в использовании разноуровневых заданий, предлагаемых учащимся на различных этапах соответствующей деятельности. Согласно данному принципу наиболее эффективным оказывается формирование умения опровергать у каждого конкретного ученика в соответствии с уровнем усвоения основных компонентов математических знаний, на котором он находится. Каждому уровню сформированности умения опровергать доказательства соответствуют упражнения, использование которых позволяет учащимся повысить свой уровень.

Реализация выделенных принципов обеспечивает целенаправленную организацию процесса формирования у школьников умения опровергать доказательства математических утверждений, который представлен на схеме 2.

Во второй главе диссертации раскрыты методические аспекты обучения учащихся опровержению доказательств в курсе математики средней школы.

В первом параграфе второй главы рассмотрена пропедевтика обучения опровержению ложных математических утверждений. Овладение логическими приемами опровержения невозможно без овладения учащимися действиями,

Схема 2

Модель формирования умения опровергать математические доказательства

Направленность целей обучения на формирование умения опровергать

Формирование умения опровергать доказательства

Овладение действиями по опровержению доказательств

Осознание необходимости в опровержении; умение находить ошибки в простейших дедуктивных выводах

Выявление и устранение пробелов предложенных доказательствах, овладение умением проводить анализ условия теоремы, задачи

Умения, адекватные опровержению доказательств математических утверждений

которые составляют указанные приемы. Некоторые из этих действий, такие как выделение условия и заключения предложенного утверждения, приведение контрпримеров, определение истинности (ложности) математических предложений, формулирование отрицания утверждения, а также подготовка к использованию логических правил вывода, можно формировать у школьников младших и 5-6 классов. Средством формирования перечисленных действий должны явиться специальные упражнения. Предложена следующая типология упражнений, помогающих воспитать у учащихся потребность в опровержении, дать им первичное представление о его сущности:

I. Упражнения на формирование понятия «высказывание».

II. Упражнения на определение истинности или ложности высказывания.

III. Упражнения на ознакомление с понятием отрицания высказываний.

IV. Упражнения на иллюзию зрения. •

V. Упражнения на обнаружение допущенной ошибки, объяснение ее причины и исправление этой ошибки.

VI. Упражнения на поиск ошибок в простейших дедуктивных выводах.

VII. Решение противоречивых, неопределенных и переопределенных

задач.

VIII. Упражнения на выделение условия и заключения утверждения.

IX. Упражнения на приведение примеров и контрпримеров.

IX. Упражнения, направленные на формирование логических правил (правила заключения, правила отрицания).

Во втором параграфе рассмотрена методика формирования умения опровергать доказательства на первых уроках алгебры и геометрии, методика обучения учащихся приемам опровержения, а также методика обучения самостоятельному проведению опровержений предложенных математических доказательств.

Начальная стадия обучения опровержению доказательств должна учитывать опыт учащихся, носить наглядно-индуктивный характер с постепенным расширением элементов доказательности нарастающей трудности. В это время ученикам на примерах необходимо показывать, как следует находить и •

исправлять ошибки в предложенных рассуждениях, знакомить учеников с «готовыми опровержениями».

Появление в школьном курсе теорем, доказательство которых основано на большом количестве логических шагов, позволяет вести работу по приобщению учеников к самостоятельному разбору доказательств, формируя тем самым умение самостоятельно разбираться в готовых доказательствах. А это позволяет в полной мере обучать школьников различным приемам опровержения готовых доказательств. Для отработки приемов необходимы специально подобранные упражнения. Выделены следующие типы упражнений, направленных на формирование того или иного приема опровержения доказательств:

А. Упражнения на отработку всех действий, составляющих тот или иной прием, на отработку последовательности их применения.

B. Упражнения, содержащие требование применить конкретный (изученный) прием для опровержения предложенного доказательства.

C. Упражнения, содержащие требование или опровергнуть предложенное доказательство (без каких-либо указаний на прием опровержения), или показать истинность этого доказательства.

Состав систем упражнений типа А различается, для каждого приема опровержения он имеет свою специфику. Упражнения В будут однотипными для всех приемов опровержения, это задачи со специальным указанием на необходимость применения того или иного приема для опровержения доказательства предложенного математического утверждения. Упражнения типа С являются упражнениями, обобщающими применение всех изученных приемов опровержения.

Приведенные типы упражнений направлены как на формирование приемов опровержения у школьников, так и на проверку у них уровня сфор-мированности умения опровергать. Причем выполнение только упражнений типа А свидетельствует о низком уровне сформированное™ умения опровергать у данного ученика, выполнение упражнений типа В - о среднем уровне, выполнение упражнений типа С - о достаточно высоком уровне.

Для формирования каждого приема опровержения математических доказательств нами разработаны системы целесообразных упражнений типов А и В. Разработаны упражнения, направленные на обобщение приемов (С).

Рассмотрим, например, систему упражнений, направленную на формирование у школьников приема проверки независимости аргументов. Овладение данным приемом предполагает овладение учащимися следующими действиями: 1) выделением в предложенном доказательстве теоремы последовательности всех аргументов, приведенных в защиту тезиса; 2) установлением «природы» каждого аргумента; 3) определением зависимости каждого доказываемого аргумента от исходного тезиса.

После соответствующего инструктажа учителя, для отработки первого действия ученикам 7-8 классов средней школы могут быть предложены следующие упражнения (типа А):

1. Прочитайте внимательно предложенное доказательство. Выделите условие и заключение доказываемого утверждения. Перечислите все аргументы, приведенные в защиту тезиса.

«Целое число п, кратное 3, либо делится на 6, либо нечетно.

Доказательство: Пусть п - число, кратное 3. Предположим, что оно четно. Тогда оно делится не только на 3, но и на 2. А значит, оно делится на их наименьшее кратное, т.е. на число 6. Поскольку целое число может быть только четным или нечетным, утверждение доказано полностью».

При отработке второго действия целесообразно использовать упражнения, подобные следующему:

2. Докажите, что если точка пересечения диагоналей четырехугольника делит их пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм. Сколько аргументов вы привели в защиту утверждения? Выпишите все аргументы. Уста-

Рис. 1

новите, чем является каждый аргумент - аксиомой, определением, теоремой, следствием из теоремы или определения, условием.

Для отработки третьи о действия предложены следующие упражнения:

3. Прочитайте доказательство. Выделите аргументы в доказательстве. Вьивите суждения, которые являются следствиями доказываемого утверждения. Можно ли считать такое доказательство правильным? Предложите свое доказательство утверждения.

«Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство. Пусть ABC - прямоугольный треугольник, ZA-90°, АК - медиана (рис. 1). АК- медиана AABC, следовательно, ВК=КС, т.е. КС - половина гипотенузы ВС. ZKAC=ZKC.A, следовательно, tsAKC - равнобедренный. А значит, АК=КС. Получили, что АК равна половине гипотенузы ВС».

После отработки всех действий, составляющих указанный прием опровержения, и последовательности их применения становится возможным выполнение учениками упражнений типа В:

4. Используя прием проверки независимости аргументов, опровергните предложенное доказательство равенствау55 + V3024 +V55-V3024 =5. Верно ли это равенство?

Доказательство: «Возведем обе части равенства в куб, используя

(a+b/=c^+b3+3ab(a+b):__

55 + л/3024 + 55 - V3024 + 3^/(55 + л/3024)(55 - л/3024)(^55 + V3024 + V55 - л/3024 ) = 125 Затем вместо суммы ^55 + V3024 +\¡55- V3024 в последнее равенство подставим 5 согласно условию. И далее 110+3-5^55^3024 = 125 И следовательно, 125 = 125. А если кубы чисел равны, то равны и сами числа. Л значит равенство, предложенное выше, доказано».

Выполнение упражнений типа С возможно после отработки каждого приема опровержения в отдельности.

5. Установите истинность или ложность предложенного доказательства «Доказать, что параллелограмм, один из углов которого равен 120°, является ромбом.

Доказательство. Пусть ABCD - параллелограмм и ^»-120° (рис. 2). Тогда ^=180°-120°=60°; ZC=f>0o; ZD~ 120° Диагональ BD - биссектриса ZABC и ZADC, поэтому ZABD^ZCBD=60° и ZADB=ZCDB -60°. Тогда получим, что в SABD и ÍS.DBC все углы по 60°, это значит, что \ABD и ADBC -равносторонние и АВ AD, BC=CD. Следовательно, ABCD - ромб». Какие приемы вы использовали?

После обучения учащихся каждому из приемов опровержения целесообразно провести их обобщение. Возможности целесообразного использования упражнений на опровержение готовых доказательств возрастают по мере продвижения учащихся по ступеням классной лестницы, по мере развития их логического мышления, а также роста их интереса к науке.

Заключительным этапом диссертационного исследования явилась экспериментальная проверка разработанной методики обучения учащихся средней школы опровержению доказательств математических утверждений. Экспериментальное исследование проводилось в естественных условиях учебного процесса в течение трех лет с 2002 по 2005г.

На этапе констатирующего эксперимента исследовалось состояние проблемы обучения школьников опровержению доказательств математических утверждений. Для этого осуществлялось изучение и обобщение опыта преподавания школьного курса математики; наблюдение за ходом проведения уроков по математике; проводился анализ учебной и научно-методической литературы. На этом же этапе осуществлялось выявление недостатков существующей методики обучения опровержению и обоснование необходимости ее совершенствования.

В ходе поискового эксперимента разрабатывались теоретические основы обучения опровержению в процессе обучения математике. Для этого, на основе анализа методической литературы было уточнено содержание понятия обучения опровержению доказательств математических утверждений; выделены уровни обучения опровержению, выявлена совокупность действий, составляющих основу обучения опровержению доказательств математических утверждений на каждом уровне, выполнено соотнесение их со структурой деятельности по обучению доказательству, разработаны упражнения для школьников, направленные на обучение их различным приемам опровержения. На этапе поискового эксперимента также проводились экспериментальные исследования возможностей применения указанных систем упражнений в процессе обучения школьной математике.

На этапе обучающего эксперимента разработанная методика обучения опровержению доказательств математических утверждений внедрялась в реальный учебный процесс. Системы упражнений использовались при изучении основных тем курса школьной математики, алгебры и геометрии; на отдельных этапах формирования понятий и изучения теорем (мотивации введения понятий и изучения теорем, усвоении содержания теорем, закреплении и применении понятий и теорем, установлении связей изучаемых понятий с другими понятиями). Применяемые задания были направлены на развитие и проверку уровня сформированное™ умения опровергать математические доказательства.

Для сравнения с результатами обучения по традиционной методике наряду с экспериментальными классами были выбраны контрольные, в которых работа велась в соответствии с действующими учебниками по алгебре и геометрии. Статистическая обработка данных по критерию согласия и медианному критерию показала, что в контрольных и экспериментальных классах

различия в уровнях сформированное™ умения опровергать у школьников являются существенными, что обусловлено применением специально разработанной методики.

Отмечено, что предложенная методика обучения учащихся средней школы опровержению доказательств математических утверждений позволяет управлять процессом развития логического мышления школьников: вносить изменения и коррективы в этот процесс; способствует повышению уровня математической подготовки школьников.

В процессе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с целями и задачами получены следующие основные результаты и выводы:

1. Обучение опровержению доказательств математических утверждений необходимо рассматривать как естественный компонент деятельности по обучению школьников математическим доказательствам на всех ее этапах. На основе сложившейся теории и методики обучения опровержению доказательству, новых образовательных идей предложено следующее определение понятия «обучения опровержению». Под обучением опровержению доказательств математических утверждений мы будем понимать обучение учащихся нахождению и исправлению ошибок в предложенных рассуждениях и в своих собственных, разбор готовых опровержений предложенных рассуждений, обучение восстановлению неполных доказательств, обучение приемам опровержения отдельных частей доказательства, самостоятельному проведению опровержений готовых математических доказательств.

2. Целенаправленный процесс формирования знаний и умений, адекватных опровержению доказательств математических утверждений, представляет собой последовательность определенных этапов, соответствующих стадиям формирования доказательных рассуждений. Эти этапы реализуются через овладение комплексом действий, составляющих каждый их них (выделение условия и заключения предложенного утверждения, приведение контрпримеров, определение истинности (ложности) математических предложений, формулирование отрицания утверждения, нахождение ошибки в дедуктивных выводах, анализ условия теоремы, установление различных частных случаев теоремы, выявление и устранение пробелов в цепочках логических шагов, выведение следствий, выделение в предложенном доказательстве последовательности всех аргументов, приведенных в защиту тезиса, проверка истинности, доказанности и независимости каждого аргумента, проверка достаточности приводимых аргументов, анализ отдельных шагов доказательства, использование логических правил вывода).

3. В соответствии с представленной концепцией обучения опровержению доказательств, раскрыта пропедевтика обучения опровержению ложных математических утверждений; разработана методика формирования умения опровергать на первых уроках алгебры и геометрии, а также методика обучения школьников логическим и эвристическим приемам опровержения доказательства.

4. Выделены уровни сформированное™ умения опровергать предложенные доказательства у учащихся средней школы. Разработаны системы целесообразных упражнений, направленных на формирование умения опровергать доказательства математических утверждений. Их особенности и структура определены составом всех компонентов названного умения и последовательностью этапов его формирования.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что поставленные задачи исследования в основе своей решены, цель исследования достигнута. Результаты апробации и внедрения предложенной методики обучения учащихся опровержению доказательств математических утверждений свидетельствуют о возможности и целесообразности ее использования в практике преподавания математики в средней школе.

Основные положения исследования отражены в следующих публикациях:

1. Костромитина, Е. В. Обучение специальным эвристическим приемам опровержения доказательств / Е. В. Костромитина // Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика: материалы всерос. науч.конф., г. Саранск, 18-20 сентября 2002 г./ Мордов. гос. пед. ин-т. - Саранск, 2002. -4.1. - С. 205-209.

2. Костромитина, Е. В. Формирование критической направленности мышления учащихся в процессе обучения опровержению доказательств / Е.В. Костромитина // Актуальные проблемы обучения математике: материалы всерос. науч.-практ. конф., г. Орел, 27-29 ноября 2002 г.- Орел: ОГУ, 2002. -Т.2.-С. 68-70.

3. Костромитина, Е. В. Формирование у учащихся потребности в опровержении готовых доказательств / Е. В. Костромитина // Вестник молодых ученых: сб. науч. статей. - Пенза: ПГПУ, 2003. - С. 95-96.

4. Костромитина, Е. В. Обучение школьников опровержению предложенных утверждений / Е. В. Костромитина // Вопросы методики преподавания математики и информатики: межвуз. сб. науч. трудов,- Ульяновск: УГЛУ, 2003.- С. 62-65.

5. Костромитина, Е. В. Формирование критичности мышления в процессе обучения геометрии / Е. В. Костромитина // Проблемы математического образования и культуры: сб. тезисов междунар. науч. конф., г. Тольятти, 2224 октября 2003 г. - Тольятти: ТГУ, 2003. - С. 39-40.

6. Костромитина, Е. В. Обучение опровержению неверных обоснований математических утверждений как компонента работы с теоремами школьного курса математики / Е. В. Костромитина // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона: межвуз. сб. науч. тр.- Вып.6 — Киров: ВятГТУ, 2004. - С. 241-245.

7. Костромитина, Е. В. Проблема обучения школьников опровержению доказательств в учебно-методической литературе / Е. В. Костромитина // Совершенствование процесса обучения математике в условиях модернизации российского образования: материалы всерос. науч.-практ. конф., г. Волгоград, 26 октября 2004 г. - Волгоград: ВГПУ, 2004. - С. 106-109.

8. Костромитина, Е. В. Подготовка учителя математики к формированию у школьников критического стиля мышления / Е. В. Костромитина // Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики: межвуз. сб. науч. тр. - Вып. 6. - Калуга: КГПУ, 2004. - С. 36-39.

9. Костромитина, Е. В. Обучение умению опровергать математические утверждения и их обоснования в процессе работы с теоремами школьного курса геометрии / Е. В. Костромитина // Вестник молодых ученых: межвуз. сб. науч. тр. - Пенза: ПГПУ, 2005. - С. 146-148.

10. Костромитина, Е.В. О структур«; деятельности обучения опровержению обоснований утверждений в школьном курсе математики / Е. В. Костромитина // Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы: материалы всерос. науч.-практ. конф. «Артемовские чтения», г.Пенза, 23-25 марта 2005 г.- Пенза: ПГПУ, 2005. - С.35-36.

11. Костромитина, Е. В. Цели обучения опровержению обоснований математических утверждений в средней школе / Е. В. Костромитина // Проблемы теории и практики обучения математике: сб. науч. работ междунар. науч. конф. «58 Герценовские чтения», г. С.-Петербург, 19-21 апреля 2005 г. - СПб: РГПУ, 2005. - С. 184.

Теория и практика обучения учащихся средней школы опровержению доказательств математических утверждений

Костромитина Екатерина Васильевна

13.00.02. Теория и методика обучения и воспитания (математика)

Автореферат

Подписано к печати 27.02.06 г. Формат 60x84 1/16_

Бумага ксероксная. Печать ризограф. Объем 1 усл. печ. л.

Тираж 100 экз. Заказ № 27/02. Бесплатно._

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Тугушева 440600, г. Пенза, ул. Московская, 74, к. 220, тел.: 56-37-16.

ИОО(> в -

ч - 5 О В У

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Костромитина, Екатерина Васильевна, 2006 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Теоретические основы обучения опровержению доказательств в школьном курсе математики.

§1. Проблема обучения опровержению доказательств в учебной и научной литературе.

§2. Логические основы опровержения доказательства.

2.1. Ошибки в доказательстве.

2.2 Приемы опровержения доказательства.

§3. Методическая концепция обучения опровержению доказательств математических утверждений.

ГЛАВА II. Методические аспекты формирования у учащихся умения опровергать доказательства в курсе математики средней школы.

§ 1. Пропедевтика обучения опровержению ложных математических утверждений.

§2. Обучение школьников опровержению математических доказательств.

2.1. Формирование умения опровергать доказательства на первых уроках алгебры и геометрии.

2.2. Обучение приемам опровержения математических доказательств.

2.3 Формирование умения самостоятельно опровергать предложенные математические доказательства.

§3. Эксперимент.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Теория и практика обучения учащихся средней школы опровержению доказательств математических утверждений"

В школьном математическом образовании доказательство, как известно, представляет наиболее существенный вклад математики в общую культуг ру человека. .Однако автоматический перенос понимания строгости доказательства, принятого в математической науке, на школьное преподавание привносит в него существенные сложности, связанные с убедительностью обоснований рассматриваемых содержательных утверждений. Решение данной проблемы в рамках деятельностного подхода предполагает рассмотрение доказательства как системы специфических приемов учебной деятельности, среди которых одно из наиболее важных мест занимает прием опровержения учебных математических доказательств.

Мысль о важности обучения опровержению математических доказа тельств подчеркивалась в работах В. М. Брадиса, С. И. Векслера, Я. С. Дубнова, О. Н. Журавлевой, М. И. Зайкина, Д. И. Икрамова, И. Лакатоса, В. Литцмана, В. Л. Минковского, В. И. Обреимова, Д. Пойа, Ф. Ф. Притуло, М. А. Родионова, Г. И. Саранцева, Д. С. Скрыпника, А. И. Фетисова, А. К. Харчевой, Р. Хашимова, 3. П. Чиркиной, П. М. Эрдниева. Большая значимость умения опровергать доказательства в математике и других науках обусловила появление многочисленных исследований, посвященным различным аспектам обучения опровержению.

Анализ работ, в которых рассматривается проблема обучения опровержению, показывает, что в ее решении можно выделить несколько подходов. Представители первого (В. М. Брадис, Я. С. Дубнов, В. Л. Минковский, Ф. Ф. Притуло, А. И. Фетисов, А. К. Харчева, 3. П. Чиркина и др.) решают данную проблему при помощи внедрения в учебный процесс работы по разбору софизмов. Исследования данных авторов, выполненные в основном на материале геометрии, посвящены изучению отклонений рассуждений учащихся от логически верных математических рассуждений и построению на их основе содержания обучения умению опровергать. Однако развитию личности ученика в процессе обучения умению опровергать предложенные рассуждения, которое сводилось к разбору софизмов, практически не уделялось внимания. Ученики не привлекались к открытию фактов, поиску закономерностей, высказыванию гипотез, и поэтому не испытывали потребности в поиске и устранении ошибок, допущенных в рассуждениях. Кроме того, рассмотрение ошибок в математических рассуждениях было оторвано от общего контекста обучению доказательству. Второй подход связан с формированием логических приемов, правил опровержения утверждений. Это направление получило развитие в основном в работах Д.Пойа. В основе третьего направления решения проблемы обучения умению опровергать лежит современная методическая концепция обучения доказательству в средней школе. В настоящее время обучение доказательству рассматривается с позиций целостного (логико-эвристического) подхода. Его представители (И. Лакатос, Г. И. Саранцев, О. Н. Журавлева) рассматривают опровержение предложенных доказательств в качестве отдельного (завершающего) этапа в концепции обучения доказательству.

Анализ учебно-методической литературы, результаты констатирующего эксперимента, наблюдение за уроками учителей позволяют сделать вывод о том, что проблема обучения опровержению доказательств, в целом, еще далека от полного разрешения. В частности, как показывает практика преподавания математики, у большинства школьников приемы опровержения формируются спонтанно. С другой стороны, как отмечается в литературе, имеет место значимая взаимосвязь между успешностью самостоятельного поиска и конструирования доказательства и умением опровергать математические доказательства. С целью совершенствования методики обучения опровержению целесообразно с новых позиций проанализировать содержание понятия «обучение опровержению»; определить структуру деятельности по обучению опровержению, и в частности, действия, входящие в ее состав; выделить уровни овладения умением опровергать, соотнести их со структурой деятельности по обучению доказательству.

Объектом исследования является обучение доказательству и опровержению в курсе математики средней школы.

Проблема, цель, предмет и гипотеза исследования обусловили следующие задачи:

1. Провести анализ состояния проблемы обучения опровержению доказательств в учебно-методической и научной литературе и практике обучения школьной математике.

2. Уточнить содержание понятия обучения опровержению доказательств математических утверждений.

3. Выделить совокупность действий, составляющих основу обучения доказательств математических утверждений, и соотнести их со структурой деятельности по обучению доказательству.

5. Экспериментально проверить эффективность разработанной методи ки и составить рекомендации для ее использования в практике обучения.

Исследование проводилось поэтапно.

На втором этапе разрабатывалась теория и методика обучения учащихся средней школы опровержению доказательств математических утверждений, апробировались возможные варианты ее использования в практике обучения с целью отбора наиболее эффективных методических решений в асг пекте проблемы исследования, проводился поисковый эксперимент.

Теоретическая значимость работы заключается в:

- уточнении содержания понятия обучения опровержению;

Практическая значимость исследования состоит в том, что разработанная методика обучения опровержению доказательств в курсе математики средней школы может быть использована учителями, а также авторами учебных пособий, предназначенных для учителей, студентов и учащихся.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Под обучением опровержению доказательств математических утверждений мы будем понимать обучение учащихся нахождению и исправлению ошибок в предложенных рассуждениях и в своих собственных, разбор готовых опровержений предложенных рассуждений, обучение восстановлению неполных доказательств, обучение приемам опровержения отдельных частей доказательства, самостоятельному проведению опровержений готовых математических доказательств.

Апробация основных положений и результатрв исследования проводилась через публикацию статей и тезисов, в форме докладов и выступлений на заседаниях научно-методического семинара кафедры теории и методики обучения математике Пензенского государственного педагогического университета имени В. Г. Белинского (2002-2005 годы), на Всероссийской научной конференции (Пенза, 2005 год). По теме исследования имеется 11 публикаций.

Структура диссертации определена логикой «и последовательностью решения задач исследования. Она состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Основное содержание работы изложено на 166 страницах машинописного текста. Библиография составляет 154 наименования. В тексте диссертации имеются рисунки (34), таблицы (8) и схемы (2).

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по второй главе

1. Курс математики 5-6 классов, учет возрастных особенностей учеников этих классов дает возможность осуществления пропедевтического этапа в обучении опровержению математических утверждений и их обоснований.

На геометрическом и арифметическом материале математики 5-6 классов становится возможным формирование умения распознавать истинные и ложные утверждения, понимания того, что истинные суждения нуждаются в обосновании, а ложные - в опровержении, умения использовать логические правила вывода, умения находить и исправлять ошибки в простейших рассуждениях, простейших дедуктивных выводах.

2. Обучение умению опровергать готовые обоснования утверждений должно идти по пути целенаправленного формирования у учащихся приемов опровержения тезиса, аргументов и демонстрации доказательства. Ведущую роль на каждом этапе формирования приемов опровержения играют целесоt образно подобранные упражнения. Нами были выделены следующие, типы упражнений, направленных на формирование приемов опровержения: упражнения типа А (упражнения на отработку всех действий, составляющих тот или иной прием, на отработку последовательности их применения), упражнения типа В (упражнения, содержащие требование применить конкретный прием для опровержения предложенного доказательства), упражнения типа С (упражнения, содержащие требование показать истинность или опровергнуть предложенное доказательство без каких-либо указаний на прием опровержения). Для формирования каждого приема опровержения разрабо таны системы упражнений всех указанных типов.

3. Практика преподавания подтверждает, что возможности целесообразного использования упражнений на опровержение готовых доказательств возрастают по мере продвижения учащихся по ступеням классной лестницы, по мере роста их интереса к логической структуре науки.

4. Результаты, полученные экспериментально, подтвердили эффективность разработанной методики формирования у школьников умения опровергать доказательства математических утверждений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Обучение опровержению доказательств математических утверждений необходимо рассматривать как естественный компонент деятельности по обучению школьников математическим доказательствам на всех ее этапах. На основе сложившейся теории и методики обучения опровержению доказательству, новых образовательных идей предложено следующее определение понятия «обучения опровержению». Под обучением опровержению доказа тельств математических утверждений мы будем понимать обучение учащихся нахождению и исправлению ошибок в предложенных рассуждениях и в своих собственных, разбор готовых опровержений предложенных рассуждений, обучение восстановлению неполных доказательств, обучение приемам опровержения отдельных частей доказательства, самостоятельному проведению опровержений готовых математических доказательств.

3. В соответствии с представленной концепцией обучения опровержению доказательств раскрыта пропедевтика обучения опровержению ложных математических утверждений; разработана методику формирования умения опровергать на первых уроках алгебры и геометрии, а также методика обучения школьников логическим и эвристическим приемам опровержения доказательства.

4. Выделены уровни сформированности умения опровергать предложенные доказательства у учащихся средней школы. Разработаны системы целесообразных упражнений, направленных на формирование умения опровергать доказательства математических утверждений. Их особенности и структура определены составом всех компонентов названного умения и последовательностью этапов его формирования.

Экспериментальная проверка разработанной методики подтверждает справедливость гипотезы исследования. Полученные результаты свидетельствуют о том, что поставленные задачи исследования в основе своей решены, цель исследования достигнута. Результаты апробации и внедрения предложенной методики обучения учащихся опровержению доказательств математических утверждений свидетельствуют о возможности и целесообразности ее использования в практике преподавания математики в средней школе.

Разработанная методическая концепция и результаты предложенного исследования открывают перспективу дальнейшей' разработки проблемы обучения опровержению доказательств, включающую совершенствование методики обучения опровержению доказательств в курсе высшей математики.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Костромитина, Екатерина Васильевна, Пенза

1. Абдукаримов, М. Формирование логических приемов мышления у учащихся 6-8 классов при обучении геометрии: дис. . канд. пед. наук / М. Абдукаримов. - Сырдарья, 1984. - 161 с.

2. Агафонова, И. Н. Учимся думать. Сборник занимательных логических задач, текстов и упражнений: учеб. пособие / И.Н.Агафонова. СПб, 1996.-96 с.

3. Азиев, А. И. Индивидуальные задания для устранения ошибок / А. И. Азиев // Математика в школе. 1993. - №5. - С. 9-10.

4. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш. А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. 10-е изд. — М.: Просвещение, 2002.- 384с.: ил.

5. Алгебра: учеб. для 7, 8, 9 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков и др.; под общ. ред. С.А. Теляковского,- М.: Просвещение, 1992-1999.

6. Ангелов, Д. С. Анализ ошибок по алгебре в знаниях учащихся и пути их устранения и предупреждения: автореф. дис. . канд. пед. наук / Д. С. Ангелов. М., 1980. - 16с.

7. Аристотель. Сочинения. В 4 т. Т.2. О софических опровержениях / Аристотель. М.: Мысль, 1978. - С. 533-593.

8. Артемов, А. К. Об одной причине ошибок школьников по геометрии / А. К. Артемов // Математика в школе.-1963.- №6. С. 24-29.

9. Артемов, А. К. Об эвристических приемах при обучении геометрии / А. К. Артемов // Математика в школе.- 1973.- №6. С. 25-29.

10. Асмус, В. Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении / В.Ф. Асмус. М.: Госполитиздат, 1954. - 88 с. ,

11. П.Байдак, В. А. Алгоритмическая направленность процесса обучения математике в средней школе: учебно-метод. пособие / В. А. Байдак -Омск: ОмПУ, 1999.-98 с.

12. Байрамов, А. С. Динамика развития самостоятельности и критичности мышления у детей младшего школьного возраста: автореф. дис. . д-ра. пед. наук / A.C. Байрамов. Баку, 1968. - 128 с.

13. Березин, В. Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике: книга для учителя / В. Н. Березин. М.: Просвещение, 1985. - 185 с.

14. Бескин, H. М. Аксиоматический метод / H. М. Бескин // Математика в школе. 1993. - №3. - С. 25-29.

15. Блонский, П. П. Избранные пед. и псих, сочинения. В 3 т. Т.2. Развитие мышления школьников / П. П. Блонский. М.: Педагогика, 1979.- С. 5117.

16. Брадис, В. М. Методика преподавания математики в средней школе/ В. М. Брадис,- М.: Учпедгиз, 1954. 240с.

17. Брадис, В. М. Ошибки в математических рассуждениях / В. М. Брадис, В. JI. Минковский, А. К. Харчева.- М.: Просвещение, 1967. 191с.

18. Буловацкий, М. П. Разнообразить виды задач / М. П. Буловацкий // Математика в школе.-1998.-№5. С. 23-25.

19. Буткин, Г.А. Формирование умения осуществлять геометрическое доказательство: дисс. . канд. пед. наук / Г. А. Буткин. М., 1967. - 203с.

20. Валиев, С. Индивидуальные задания по устранению ошибок / С. Вали-ев// Математика в школе. 1989. - №5.- С. 42-46.

21. Векслер, С. И. Найти и преодолеть ошибку / С. И. Векслер // Математика в школе. 1989. - №5. - С.40-42.

22. Виноградова, J1. В. Развитие мышления учащихся при обучении математике / JI. В. Виноградова. — Петрозаводск: Карелия, 1989. 175с.

23. Виола, И. Математические софизмы / И. Виола; пер. с фран. В.И. 06-реимова. СПб, 1883.

24. Выготский, JI. С. Избранные психологические исследования. Мышление и речь. Проблемы психологического развития ребенка / J1. С. Выгодский. М.: АПН РСФСР, 1956. - 386с.

25. Гарднер, М. Математические головоломки и развлечения/ М. Гарднер; пер. с англ.- М.: Наука, 1971. 320с.

26. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ JI. С. Атана-сян и др. -М.: Просвещение, 1998. -335с.

27. Геометрия: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ Л.С.Атанасян и др. М.: Просвещение, 1998. - 190 с.

28. Гетманова, А. Д. Логические основы математики: учеб.пособие / А. Д. Гетманова. М.: Дрофа, 2005.- 253с: ил.

29. ГОСТ 7. 1-2003. Библиографическая запись. Библиографическое описание: Общие требования и правила составления // Библиография. -2004.-№3.-С. 45-72.

30. Грабарь, М. И. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы / М. И. Грабарь, К. А. Краснянская. М.: Педагогика, 1977. - 136с.: ил.

31. Григорян, Г. В. Исследование причин возникновения и методика предупреждения ошибок учащихся (на геометрическом материале IV-V классов): автореф. дис. . канд. пед. наук /Г. В. Григорян. Баку, 1981. -20 с.

32. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: книга для учителя / Я. И. Груденов. М.: Просвещение, 1990. -172с.

33. Гусев, А. А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике / А. А. Гусев // Математика в школе. 1990. - №4. - С. 19-21.

34. Далингер, В.А. Анализ типичных ошибок, допускаемых в курсе алгебры и начал анализа / В. А. Далингер // Математика в школе. 1998.-№6.-С. 13-18.

35. Далингер, В. А. Обучение учащихся доказательству теорем: учебное пособие / В. А. Далингер. Омск: ОГПИ-НГПИ, 1990. -127с.

36. Дегтярникова, И. Н. Остроугольный или тупоугольный / И. Н. Дегтяр-никова // Математика в школе. 1998. - №5. - С.43.

37. Декопольцева, З.П. Как ликвидировать пробелы в знаниях / 3. П. Деко-польцева // Математика в школе,- 1994.-№1. С. 34-35.

38. Джумалиева, Д. Ранние формы проявления критичности мышления у детей дошкольного возраста и особенности ее формирования: дис. . канд. пед. наук / Д. Джумалиева. Фрунзе, 1983.- 141 с.

39. Дорофеев, Г. В. Дифференциация в обучении математике / Г. В. Дорофеев // Математика в школе.-1990.-№4. С. 15-21.

40. Дорофеев, Г. В. О правильности рассуждений и подробности изложения в решении задач / Г. В. Дорофеев // Математика в школе.-1982.-№1.- С. 44-47.

41. Древнегреческая философия: от Платона до Аристотеля: соч.; пер. с древнегреч.; сост., вступ. ст. и коммент. В. Шкоды. М.: ACT, Харьков: 1999.- 829 с.

42. Дубнов, Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах / Я. С. Дубнов. -М.: Наука, 1969.- 64с.

43. Епишева, О. Б. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов умственной деятельности: кн. для учителя / О. Б. Епишева, В. И. Крупич.- М.: Просвещение, 1990. 128с.: ил.

44. Екимова, М. А. Развитие логического мышления учащихся 5-7 классов посредством обучения решению задач с геометрическим содержанием: дис. канд. пед. наук/М. А. Екимова. -М., 1992.- 166с.

45. Журавлева, О. Н. Теория и методика обучения доказательству в курсе планиметрии средней школы: дис. . канд. пед. наук/ О. Н. Журавлева. -Саранск, 1995.-209 с. 48.3айкин, М. И. Провоцирующие задачи / М. И. Зайкин, В. А. Колосова //

46. Запорожец, А. В. Развитие логического мышления у детей в дошкольном возрасте / А. В. Запорожец // Вопросы психологии ребенка дошкольного возраста. М.: АПН РСФСР, 1948.- С. 34-42.

47. Ивин, А. А. Искусство правильно мыслить: кн. для уч-ся/ А. А. Ивин.-М.: Просвещение, 1990.- 240 с.

48. Ивин, А. А. Словарь по логике / А. А. Ивин, А. П. Никифоров.- М., 1997.-384 с.

49. Игнатенко, В. 3. Сюрпризы биссектрисы / В. 3. Игнатенко // Математика в школе. 1998.-№5. - С. 42.

50. Икрамов Д. Устойчивые ошибки учащихся восьмилетней школы, догпускаемые в процессе решения геометрических задач на доказательство: автореф.дис. . канд. пед. наук / Д. Икрамов .-Ташкент, 1967.- 20 с.

51. Калинкина, Т. М. Динамические задачи как средство совершенствования процесса обучения геометрии в средней школе: дис. . канд. пед. наук / Т. М. Калинкина. Саранск, 1995. - 167с.

52. Капиносов, А. И. Методика формирования умений проводить доказательные рассуждения при обучении математике в 5-6 классах: автореф. дис. канд.пед.наук / А. И. Капиносов.- М., 1988. 143с.

53. Керимов, О. Ф. Особенности проявления критичности мышления студентов при индивидуальном и групповом решении задач: автореф. дис. . канд. психол. наук / О. Ф. Керимов.- Тбилиси, 1987.- 22с.

54. Кирилецкий, И. M. Анализ и предупреждение типичных ошибок учащихся при изучении алгебры и начал анализа: автореф. дис. . канд. пед. наук/ И. М. Кирилецкий.- Киев, 1987. 20с.

55. Коваленко, В. Г. Круг в доказательстве / В. Г. Коваленко, В. Я. Кривоtшеев // Математика в школе. 1993.- №3. - С. 12-16.

56. Кондрашенкова, Т. А. Методика формирования общелогических умений при обучении математике в 4-5 классах: автореф. дис. . канд. пед.наук / Т. А. Кондрашенкова. M., 1981. - 18с.

57. Копылова, Т. Ю. Особенности проявления критичности младших школьников при решении учебных и нравственных задач: дис. . канд. псих, наук / Т. Ю. Копылова. Санкт-Петербург, 2001. - 198 с.

58. Костромитина, Е. В. Формирование у учащихся потребности в опровержении готовых доказательств/ Е. В. Костромитина // Вестник молодых ученых: межвуз. сб. науч. трудов. Пенза: ПГПУ, 2003. - С. 95-97.

59. Костромитина, Е. В. Обучение школьников опровержению предложенных утверждений/ Е. В. Костромитина // Вопросы методики преподавания математики и информатики: межвуз. сб. науч. трудов. Ульяновск: УГПУ, 2003.- С.62-65.

60. Крупич, В. И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач / В. И. Крупич. М.: Прометей, 1995. - 166 с.

61. Крутецкий, В. А. Психология математических способностей школьников / В. А. Крутецкий. М.: Просвещение, 1968.- 432с.

62. Кулюткин, Ю. М. Эвристические методы в структуре решений / Ю. М. Кулюткин.- М.: Педагогика, 1970.- 232с.: ил.

63. Купиллари, А. Трудности доказательств. Как преодолеть страх перед математикой / А. Купиллари.- М.: Техносфера, 2002. 304 с.

64. Куайн, У. Математическая логика / Уиллард Ван Орман Куайн; пер. с англ.- М.: Праксис: Логос, 2000. 286с.

65. Лакатос, И. Доказательство и опровержения / И. Лакатос; пер. с англ. И.Н.Веселовского.- М.: Наука, 1967.- 152 е.: ил.

66. Леонтьев, А. Н. Деятельность. Сознание. Личность / А. Н. Леонтьев. -М.: Политиздат, 1975.- 304 с.

67. Липкина, А. И. Критичность и самооценка в учебной деятельности / А. И. Липкина, Л. А. Рыбак.- М.: Просвещение, 1968. 142 с.

68. Литцман, В. Где ошибка?/ В. Литцман; пер. с нем. Б.С.Виленской; под ред. В.Г.Болтянского. М.: Учпедгиз, 1962.- 192 с.

69. Люблинская, А. А. Очерки психического развития ребенка / А. А. Люблинская.- М.: Просвещение, 1965.- 363 с.

70. Лященко Е. И. Методика обучения математики в 4-5 классах / Е. И. Лященко, А. А. Мазанник.- Минск: Народная асвета, 1976.- 222 с.

71. Маликов, .С. О доказательствах очевидных фактов школьного курса геометрии / С. Маликов. // Математика в школе.- 1988.- №6.- С. 24.

72. Математика: учеб. для 5 кл. сред.шк./ Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков, В. И. Жохов. М.: Просвещение, 1990. - 300 с.

73. Математика: учеб. для 6 кл. сред.шк./ Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков, В. И. Жохов. -М.: Просвещение, 1990.- 305 с.

74. Материал исты древней Греции: Собрание текстов Гераклита, Демокрита и Эпикура.- М., 1955. -356с.

75. Матюшкин, А. М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении / А. М. Матюшкин. М.: Педагогика, 1972. - 209с.

76. Методика обучения геометрии: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб.заведений/ В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А.Панчищина и др.; под ред.

77. B.А.Гусева.- М.: Издательский центр «Академия», 2004. 368 с.

78. Методика преподавания математики в 8-летней школе/ Под общей ред.

79. C.Е.Ляпина.- М.: Просвещение, 1965. -734 с.

80. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика/ В.А. Оганесян, Ю.М.Колягин и др.- М.: Просвещение, 1980.-368 с.

81. Метельский, Н. В. Дидактика математики. Общая методика и ее проблемы / Н. В. Метельский. -Минск: БГУ, 1982. 185с.

82. Менчинская, Н. А. Психическое развитие ребенка от рождения до 10 лет: дневник развития дочери / Н. А. Менчинская.- М.: Ин-т практ. Психологии, 1996.- 183с.

83. Минковский, В. Л. Опровержение ложных доказательств как средство для развития математического мышления учащихся: дис. . канд. пед. наук / В. Л. Минковский.- М., 1947.- 200с.

84. Муханов, А. Т. Пути предупреждения устойчийых ошибок в математической подготовке выпускников средней школы: автореф. дис. . канд. пед. наук / А. Т. Муханов. Ташкент, 1975. -18с.

85. Нагибин, Ф. Ф. Математическая шкатулка / Ф. Ф. Нагибин. М.: Учпедгиз, 1961. -156с.

86. Никитин, H. Н. Сборник логических упражнений / H. Н. Никитин.t1. Тамбов, 1959. 65 с.

87. Никольская, И. JI. Учимся рассуждать и доказывать: кн. для учващихся 6-10 ют. сред.шк. / И. JI. Никольская , Е. Е. Семенов. -М.: Просвещение 1989.- 192с.: ил.

88. Ожегов, С. И. Словарь русского языка. Ок. 57000 слов / С. И. Ожегов,под. ред. Н. Ю. Шведовой.- 13 изд., испр.- М., 1981. -816 с. 98,Окунев, А. А. Спасибо за урок, дети!: кн. для учителя / А. А. Окунев.

89. М.: Просвещение, 1988,- 126 с. 99.0рлов, В. В. Геометрия в задачах 7кл.: пособие для ученика и учителя / В. В. Орлов.- СПб, НПО Мир и семья -, 1995, ООО «Интерлайн», 1998. -144с.: ил.

90. Пардала, К. С. Об ошибках при выполнении и использованиигеометрических чертежей / К. С. Пардала, П. Н. Свобода // Математикав школе.- 1994. -№1.- С. 35-36.

91. Пиаже, Ж. Речь и мышление ребенка / Ж. Пиаже .- М.: Педагогика-Пресс, 1999.- 528 с.

92. Повышение эффективности обучения математике в школе: кн. для учителя/ Из опыта работы; сост. Г.Д. Глейзер.- М.: Просвещение, 1989.-240с.

93. Погорелов, А. В. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / А. В. Погорелов. М.: Просвещение, 2001. - 224с.

94. Пойа, Д. Как решать задачу / Д. Пойа.- Львов, 1991.- 134с.

95. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения/ Д. Пойа; пер. с англ.-М.: Наука, 1975.-464 с.

96. Пойа, Д. Математическое открытие/ Д. Пойа; пер. с англ.- М.: Наука, 1976.- 448с.

97. Полуянова, Н. В. Технологический подход к реализации развивающих целей обучения алгебре в основной щколе: автореф. дис. . канд. пед. наук / Н. В. Полуянова. Омск, 2003. - 19с.

98. Попков, В. А. Критический стиль мышления в профессиональном становлении преподавателя высшей школы: дис. . д-ра. пед. наук / В. А. Попков.- М., 2002.- 319с.

99. Притуло, Ф. Ф. Методика изложения геометрических доказательств в средней школе: пособие для учителей / Ф. Ф.Притуло. -М.: Учпедгиз, 1958.- 108 с.

100. Притуло, Ф. Ф. О методике изучения геометрических доказательств в средней школе: дис. . канд. пед. наук/ Ф. Ф.Притуло.-М., 1955.-267 с.

101. Репьев, В. В. Общая методика преподавания математики / В. В. Репьев. М.: Учпедгиз, 1958.- 222 с.

102. Рогановский, Н. М. Геометрия 7-9 / Н. М. Рогановский. Мн.: Народная асвета,1997. - 234с.

103. Рогановский, Н. М. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие/ Н. М. Рогановский.- Мн.: Выш.шк.,1990.-267 с.

104. Родионов, М. А. Мотивация учения математике и пути ее формирования: монография / М. А. Родионов Саранск: МГПИ, 2001. - 252 с.

105. Рубинштейн, С. JL Бытие и сознание / С. JI. Рубинштейн. М.: АНСССР, 1957.- 328 с.

106. Самарин, Ю. А. Очерки психологии ум: Особенности умственной деятельности школьников / Ю. А. Самарин.- М.: АПН СССР, 1962.-504с.

107. Самсонов, П. И. Об обучении доказательствам / П. И. Самсонов //Математика в школе.- 2001.-№4.-С. 34-38.

108. Саранцев, Г. И. Методология методики обучения математике / Г. И. Саранцев.- Саранск: Тип. «Крас.Окт.», 2001,- 144 с.

109. Саранцев, Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе: книга для учителя / Г. И. Саранцев.- М.: Просвещение, 2000.173 с.

110. Саранцев, Г. И. Общая методика преподавания математики/ Г. И. Саранцев.- Саранск: Тип. «Крас.Окт.», 1999.- 2Ö8 с.

111. Саранцев, Г. И. Перед встречей с доказательством/ Г. И. Саранцев // Математика в школе.-2004.-№9. С. 41-45.

112. Семенов, Е. Е. Размышления об эвристике / Е. Е. Семенов // Математика в школе.- 1995.- №5.-С. 39-43.

113. Скобелев, Г. Н. Контроль на уроках математики: пособие для учителя / Г. Н. Скобелев.- Минск: Нар. асвета, 1986.- 104 с.

114. Скрыпник, Д. С Математические ошибки в рассуждениях, их предупреждение и методика исправления: дис. . канд. пед. наук / Д. С. Скрыпник.-Киев, 1971.-180с.

115. Слепкань, 3. И. Психолого-педагогические основы обучения математике / 3. И. Слепкань. Киев: Рад.школа, 1983. - 192 е.: ил.

116. Столяр, А. А. Логические проблемы преподавания математики / А. А. Столяр. -Мн.: Выш.шк., 1965.-254 с.

117. Субботин, И. Я. Обучающая функция ошибки / И. Я. Субботин, М. С. Якир // Математика в школе.-1992.-№2-3.-С. 27-28.

118. Талызина, Н.Ф. Контроль и его функции в учебном процессе / Н.

119. Ф. Талызина// Советская педагогика.-1989.-ЖЗ .-С. 11-16.

120. Тарасенкова, Н. А. Найти ошибку / Н. А. Тарасенкова // Математика в школе.- 1997.-№2.-С. 19-23.

121. Тарасова, М. А. Педагогические условия критического стиля деятельности учащихся многопрофильной гимназии: автореф. дис. .канд. пед. наук / М. А. Тарасова. Москва, 2000.- 22с.

122. Тимофеева, И. Л. Как устроено доказательство?/ И. Л. Тимофеева //Математика в школе.-2004.-№8.-С.73-80.

123. Тихомиров, О. К. Обнаружение противоречий как начальный этап формирования задачи / О. К. Тихомиров, В. Е. Клочко //Искусственный интеллект и психология,- М., 1975.-С. 176-204.

124. Тригг, Ч. Задачи с изюминкой / Ч. Тригг; пер. с англ. Ю.Н.Сударева; под ред. с пред. В.М. Алексеева, М.: Мир, 1975. 214с.

125. Фетисов, А. И. О доказательстве в геометрии / А. И. Фетисов.

126. М.: Госполитиздат, 1954.- 60 е.: ил.

127. Фридман, Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о психологии / Л. М. Фридман. М: Просвещение, 1983.- 134 с.

128. Фридман, Л. М. Теоретические основы методики обучения математике: пособие для учит., метод. / Л. М. Фридман. М.: Флинта, 1998.- 224 с.

129. Хамраев, Ч. Деятельностиый подход в процессе обучения решению планиметрических задач на вычисление: дис. . канд. пед. наук /

130. Ч. Хамраев,- Чарджев, 1993. -224 с.

131. Хашимов, Р. Обучение доказательеву в курсе геометрии восьмилетней школы: дис. . канд. пед. наук/ Р. Хашимов: Ташкент, 1984.-171с.

132. Хитрина, Н. А. О применении контрпримеров / Н. А.Хитрина // Математика в школе.- 1974.-№6. -С. 8-14.

133. Челябов, И. М. разработка системы организации исследовательской работы учащихся в процессе изучения факультатива по математике в 7-1 1кл: дис. . канд. пед. наук / И. М. Челябов: Махачкала, 1998.г178 с.

134. Черняева, А. Р. Реализация деятельностного подхода в процессе формирования пространственного мышления учащихся при обучении построению сечений многогранников: автореф. дис. . канд. пед. наук / А. Р. Черняева. Омк, 2004. -19 с.

135. Чиркина, 3. П. Задачи на доказательство в курсе геометрии средней школы: дис. . канд. пед. наук / 3. П. Чиркина: Чебоксары, 1951.-314с.

136. Чукотаев, М. Н. Устойчивые ошибки учащихся по алгебре и началам анализа и способы их устранения: дис. . канд. пед. наук / М. Н.Чукотаев.: Усть-Каменогорск, 1992.- 184с.

137. Шамова, Т. И. Активизация учения школьников / Т. И. Шамова. -М.: Педагогика, 1982.- 208с.

138. Шестакова, Л. Г. Формирование критичности мышления в процессе обучения математике / Л. Г. Шестакова //Актуальные проблемы обучения математике: Материалы Всерос. науч.-практ. конф., Т.2.-Орел, ОГУ, 2002. С. 240-244.

139. Шнейдерман, М. В. Анализ ошибок и затруднений учащихся 5 классов/ М. В. Шнейдерман //Математика в школе.- 1999.-№6.- С. 2123.

140. Шуба, М. Ю. Занимательные задания в обучении математике: кн. для учителя.-2 изд./ М. Ю. Шуба. -М.: Учпедгиз, 1962. 230 с.

141. Шугаипова, 3. М. Преемсвенность в обучении элементам алгебры в 1-6 кл.: дис. . канд. пед. наук / 3. М. Шугаипова. Махачкала, 2000.-144с.

142. Эльконин, Д. Б. Избранные психологические труды / Д. Б. Элько-нин.- М.: Педагогика, 1989.- 560 с.

143. Эрдниев, П. М. Преподавание математики в школе / П. М. Эрд-ниев.- М.: Просвещение, 1978. -345с.151. . Эрдниев, П. М. Развитие навыков самоконтроля при обучении математике/ П. М. Эрдниев.- М.: Учпедгиз, 1957.-71с.

144. Ягудина, Т. А. Преемственность в формировании логических суждений у учащихся IV-V кл. в процессе изучения учебного материала: дис. . канд. пед. наук/Т. А. Ягудина.-М, 1994. -157 с.

145. Ярский, А. С. Что делать с ошибками? / А. С. Ярский // Математика в школе.- 1998.-№2.-С. 8-14.

146. Raymond, A. Barnett. College algebra. -4th ed. by Mc Graw-Hill / A. Barnett Raymond, R. Ziegler Michal. Inc. Printed in USA.-1989. - 529 c.