Обучение учащихся проведению доказательств на уроках геометрии в основной школе

Ветошкина, Елена Сергеевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обучение учащихся проведению доказательств на уроках геометрии в основной школе

Автореферат

Автор научной работы: Ветошкина, Елена Сергеевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Коломна
Год защиты: 2004
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Обучение учащихся проведению доказательств на уроках геометрии в основной школе"

На правах рукописи

ВЕТОШКИНА Елена Сергеевна

ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ ПРОВЕДЕНИЮ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

13.00.02. - теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук

Москва-2004

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии физико-математического факультета Коломенского государственного педагогического института

Научный руководитель доктор педагогических наук, профессор

Гусев Валерий Александрович

Официальные оппоненты доктор педагогических наук, профессор

Шамсутдинова Ирина Георгиевна кандидат педагогических наук Грачёва Наталья Юрьевна

Ведущая организация Московский государственный

открытый педагогический университет им. М.А. Шолохова

Защита диссертации состоится «б »О&КЮЬ^У^ 2004 г. в_ ш с о в на заседании Диссертационного совета! К 212.154.11 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г.Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, аудитория 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат

разРаланО'

ч2^5^2004 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

Чиканцева Н.И.

Яео5-Ч 91\ЪЪ>\

ЯМ 5 5

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Современный этап исторического развития России способствует проведению реформирования и модернизации системы образования. На каждом этапе развития перед обществом возникают новые задачи, которые требуют переосмысления имеющихся у человечества теоретических знаний и практических умений.

Приоритетным направлением в современном образовательном процессе называют гуманизацию и гуманитаризацию. Новые целевые установки в системе образования предполагают направленность обучения на развитие личности, в частности, на формирование логического мышления, чему способствует обучение доказательству.

Формирование и использование умений рассуждать, проводить доказательства, аргументировать высказывания проводится во всех учебных предметах. Однако бесспорно, что развитию способностей школьников анализировать данные, рассуждать, принимать решения и обосновывать свой выбор в наибольшей мере способствует изучение математики.

Основную нагрузку по формированию у учащихся умения доказывать несёт курс геометрии. Исторически сложилось так, что геометрия как учебный предмет имеет большое значение для изучения окружающего мира и создаёт благоприятные условия для приобщения учащихся к творческой исследовательской деятельности. Изучение геометрии способствует развитию умения доказывать, т.е. умения логически мыслить и рассуждать. Развитие логического мышления происходит в ходе изучения приводимых в учебниках и учителем доказательств теорем, при решении задач.

Методы рассуждения и доказательства, обоснование собственного мнения и психическая деятельность, связанная с поиском доказательства, сходны и в жизненных, и в производственных, и в школьных задачах. Поэтому ознакомление учащихся с методами и приёмами рассуждения и доказательства является средством улучшения учебных навыков учащихся, их воспитания и подготовки к будущей производственной деятельности.

Поиск доказательств и обучение учащихся доказательству - проблема сложная и многоаспектная. Она занимала и занимает в психолого-педагогической науке и в теории обучения математике одно из ведущих мест.

Вопрос о сущности математического доказательства изучается в работах И.И. Баврина, В.Г. Болтянского, Ф.Н. Гоноболина, И.С. Градштейна, В,А. Далингера, Я.С. Дубнова, И.В. Игошина, С.К. Клини, Ю.М. Колягина, Л.И.Креера, И. Лакатоса, В.Л. Матросова, А.И. Мостовой, В.А. Оганесяна, М.И.Орленко, Ф.Ф. Притуло, А.П. Савина, А.А. Столяра, А.И. Фетисова, Г.Фройденталя и др. В этих работах доказательство рассматривается как мыслительный процесс обоснования какого-либо суждения (Ф.Ф. Притуло), как логическая форма мышления (А.И. Мостовой), как цепь логических суждений (М.И. Орленко), как конечная послиавашлшюс-ш ииши)»

помощи которой устанавливается истинность какого-нибудь предложения (А.И. Фетисов).

Существует большое количество работ, посвященных проблеме обучения школьников усвоению, поиску и проведению доказательств. Среди всех этих исследований можно выделить несколько основных направлений.

Первое направление исследований посвящено проблеме подготовки учащихся к проведению математических доказательств. На подготовительном этапе обучения учащихся проведению доказательств методисты рекомендуют использовать специально подобранные упражнения (Л.В. Виноградова, В.А.Далингер и др.), средства наглядности (Ж.Д. Ахмедов, В.Н. Медведская и др.), строить локальные теории и применять их при решении математических задач (С.И. Смирнова).

В работах второго направления затрагивается проблема усвоения учащимися готовых доказательств. В процессе обучения школьников доказательству на всех этапах изучения теоремы рекомендуется использовать цепочки взаимосвязанных упражнений (Г.И. Саранцев, Ю.Й. Ревуцкас и др.), специальные дидактические тесты (Т.В. Столярова), краткое изложение доказательства в символической форме (З.И. Слепкань, МБ. Тимощук и др.), план доказательства (Я.И. Грудёнов, Д.М. Фрейверт и др.).

Третье направление исследований посвящено проблеме обучения учащихся поиску доказательств и самостоятельному осуществлению доказательств при изучении геометрии. В этих работах рассматриваются вопросы формирования эвристических приёмов поиска способов доказательства (А.К. Артёмов, Г.Д. Балк, Я.И. Грудёнов, В.И. Крупич,

A.Сонцов, В.М. Туркина, Л.М. Фридман и др.), обучения учащихся проведению дедуктивных выводов (В.А. Байдак, М.И. Бурда, Г.Р. Бреслер, А.А. Столяр и др.), единства логики и эвристики при проведении доказательства (Г.И.Саранцев, О.Н. Журавлева и др.), использования приёма сведения задачи к подзадачам (И.Г. Габович, В.А. Гусев, Г.Л. Муравьёва, Е.Н. Турецкий, Л.М.Фридман, И.Хан и др.).

Вопросы использования приёмов мыслительной деятельности при проведении доказательств при изучении геометрии затрагиваются в исследованиях А.К. Артёмова, Г.Х. Воистиновой, В.А. Гусева, В.И. Крупича, Е.В. Ларькиной, В.И. Осинской, Н.Н. Поспелова, И.Н. Поспелова, Е.В. Силаева,

B.И. Тамоченко, Н.С. Тюиной, И. Хана и др. В некоторых из этих работ даны характеристики четырёх основных приёмов мыслительной деятельности, которые используются при проведении доказательств математических утверждений (Г.Х. Воистинова, В.А. Гусев, Е.В. Ларькина, Е.В. Силаев, Н.С.Тюина, И. Хан и др.).

Анализ психолого-педагогической и методической литературы свидетельствует о том, что накоплен большой опыт по вопросам обучения учащихся проведению доказательств. Вместе с тем, эта проблема окончательно не решена, существует потребность в конкретных методиках обучения учащихся проведению доказательств. Действующие учебники не всегда

учитывают индивидуальные особенности учащихся, в них учащимся часто предлагаются готовые доказательства.

Противоречие между потребностью в научно обоснованной методике обучения проведению доказательств и реальным состоянием определяет актуальность проблемы исследования.

Проблема диссертационного исследования заключается в уточнении теоретических основ понятия доказательства геометрических утверждений, а также в разработке методики обучения учащихся проведению доказательств геометрических утверждений в курсе геометрии основной школы.

Цель исследования состоит в разработке методики обучения учащихся проведению доказательств на уроках геометрии в основной школе с учетом психолого-педагогических особенностей и способностей школьников на базе использования и формирования приемов мыслительной деятельности

Объектом исследования является процесс обучения учащихся геометрии в основной школе (на примере изучения темы «Параллелограмм»).

Предметом исследования является процесс обучения учащихся проведению доказательств математических утверждений и систематизация задач в курсе планиметрии основной школы (на примере изучения темы «Параллелограмм»).

В ходе исследования была выдвинута следующая гипотеза. Предполагается, что целенаправленное обучение учащихся 7-9 классов проведению геометрических . доказательств с опорой на аналитико-синтетическую деятельность позволит повысить результативность обучения доказательствам в курсе геометрии основной школы, а предложенная на этой основе система геометрических задач будет способствовать успешному изучению геометрии в основной школе.

Проблема, предмет и гипотеза исследования определили следующие задачи:

1. Проанализировать существующие взгляды в теории методики преподавания математики на процесс доказательства математических утверждений.

2. На основании анализа психолого-педагогической и методической литературы изучить вопрос использования приемов мыслительной деятельности при обучении учащихся проведению доказательств математических утверждений.

3. Выявить возможности эффективной организации процесса обучения учащихся проведению доказательств в курсе геометрии основной школы.

4. Разработать методику целенаправленного обучения проведению доказательств на примере изучения темы «Параллелограмм», обеспечивающую формирование и использование основных приемов мыслительной деятельности.

5. Составить систему задач, обеспечивающую реализацию разработанной нами методики обучения учащихся проведению доказательств при изучении темы «Параллелограмм».

6. Экспериментально проверить эффективность и целесообразность

разработанной методики обучения проведению доказательств.

При решении поставленных задач использовались следующие методы исследования; изучение и анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы по проблеме исследования; изучение и обобщение опыта обучения школьников проведению доказательств математических утверждений; анализ школьных программ, учебных пособий и сборников задач по геометрии; посещение и анализ уроков в школе, наблюдение за учебным процессом и деятельностью учащихся; изучение и анализ письменных работ учащихся по геометрии; беседы со школьниками и учителями; анализ личного опыта работы соискателя в школе и работы других учителей; педагогический эксперимент по проверке основных теоретических положений исследования; количественная, качественная и статистическая обработка данных, полученных в результате эксперимента.

Научная новизна проведенного исследования состоит в следующем.

1. На основе анализа сущности процесса доказательств математических утверждений, накопленного методического опыта разработана методика обучения учащихся проведению доказательств математических утверждений в курсе геометрии основной школы, включающая в себя следующие основные положения:

- необходимость четкой формулировки посылок и заключения математических утверждений, без выявления которых невозможен процесс доказательства;

- выделение каждого шага доказательства и их мотивирование, явное выявление общей стратегии проведения доказательств;

- аргументация каждого шага проведённого доказательства в виде ссылок на соответствующие определения, аксиомы, теоремы, ранее решенные задачи;

- чертежи, используемые при доказательстве, должны приводиться в соответствии с выполняемыми шагами доказательства; не следует все построения выполнять на одном чертеже.

2. Предлагаемая методика базируется на использовании приёмов мыслительной деятельности "синтез", "анализ", "синтез через анализ", "анализ через синтез", что позволяет учитывать индивидуальные особенности и способности учащихся.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что уточнена теоретическая база обучения проведению доказательств в курсе геометрии основной школы; разработана методика обучения проведению доказательств при изучении геометрии в основной школе, основанная на использовании приёмов мыслительной деятельности учащихся; определено содержание системы задач по теме «Параллелограмм».

Практическая значимость исследования заключается в следующем:

- разработана и внедрена методика обучения проведению доказательств, обеспечивающая формирование и использование основных приемов мыслительной деятельности учащихся;

- разработана и внедрена система задач по теме «Параллелограмм»,

способствующая формированию у учащихся основных приемов мыслительной деятельности, обеспечивающая овладение всеми учащимися необходимыми умениями для проведения доказательств в геометрии;

- разработаны практические рекомендации для учителей по организации работы по обучению учащихся проведению доказательств и решению задач на доказательство.

Обоснованность и достоверность проводимого исследования, его результатов и выводов обеспечиваются системным и целостным подходом к исследуемой проблеме; использованием научных достижений в области психологии, педагогики, методики преподавания математики; широким набором различных методов исследования, соответствующих поставленным задачам; результатами опытно-экспериментальной работы; обсуждением и использованием полученных результатов и выводов с методистами и учителями математики.

На защиту выносятся следующие положения:

1) Разработанная теоретическая база процесса обучения проведению доказательств, включающая в себя умозаключение, рассуждение, вывод, доказательство, способствует эффективной организации обучения учащихся проведению доказательств при изучении геометрии в основной школе.

2) Методика обучения учащихся проведению доказательств математических утверждений при изучении геометрии в основной школе, способствующая формированию и развитию основных приёмов мыслительной деятельности учащихся.

3) Система геометрических задач по теме «Параллелограмм», построенная с учётом всех особенностей изучения этой темы и позволяющая реализовать разработанную нами методику проведения доказательств.

Апробация и внедрение результатов исследования. О сновные положения и результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на заседаниях кафедры алгебры и геометрии КГПИ, на научно-методическом семинаре при этой кафедре, на научных конференциях студентов и аспирантов КГПИ; на педагогических чтениях КГПИ, на заседаниях городских методических объединений учителей математики г. Коломны, на региональной конференции «История и перспективы развития образования Московской области» (Коломна, 2002), на Всероссийской научной конференции «Геометрия «в целом». Преподавание геометрии в вузе и школе» (Великий Новгород, 2004). Результаты исследования отражены в 5 публикациях и нашли применение в практике работы учителей математики школ г. Коломны Московской области.

Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения поставленных задач. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, приложений.

Объём диссертации. Общий объём диссертации составляет 196 страниц. Основное содержание изложено на 165 страницах машинописного текста. Библиография составляет 210 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования; определены проблема, объект, предмет и гипотеза исследования; намечены задачи теоретического и экспериментального характера; показаны новизна, теоретическая и практическая значимость работы; раскрыты этапы и методы исследования; сформулированы положения, выносимые на защиту.

Первая глава «Доказательства и их роль при обучении геометрии в основной школе» содержит два параграфа и посвящена изучению теоретических и методических основ процесса обучения учащихся проведению доказательств математических утверждений в курсе геометрии основной школы.

В первом параграфе «Рассуждения и доказательства в математике как элемент общего образования» на базе анализа литературы, посвященной проблемам доказательства и обучения школьников доказательству математических утверждений, подробно рассмотрены теоретические основы понятия доказательства математических утверждений.

Мы рассмотрели трактовки родственных понятий "предложение", "высказывание", "суждение", "утверждение" в философском, филологическом и логическом смыслах. Далее проводится анализ широко используемых в школе понятий "теорема" и "аксиома".

Кроме этого, в параграфе рассмотрены такие важные для проведения математического доказательства понятия как "умозаключение", "рассуждение", "вывод". Далее подробно рассмотрена сущность доказательства, его структура и виды, общематематические методы доказательства.

Особое место в этом параграфе отводится рассмотрению понятия "обучение доказательству" в курсе геометрии основной школы. Существуют различные трактовки этого понятия: обучение готовым доказательствам (З.КСлепкань), обучение мыслительным процессам поиска и построения доказательств (А.А. Столяр), обучение анализу готовых доказательств и самостоятельному поиску доказательств (Г.И. Саранцев).

Во втором параграфе «Существующий опыт обучения проведению доказательств в курсе геометрии средней школы и пути его совершенствования» проанализирован и обобщён накопленный в методике преподавания математики опыт по обучению школьников проведению доказательств и намечены пути совершенствования этого процесса.

Как указано во введении, можно выделить три основных направления исследований, проводимых в области обучения учащихся доказательству. В начале этого параграфа мы более подробно изучаем накопленный опыт обучения учащихся доказательству.

В первом направлении исследований мы отмечаем работы В.А.Далингера, который рекомендует при подготовке школьников к проведению доказательств использовать специально подобранные упражнения, способствующие формированию у учащихся умений подмечать закономерности, выделять условие и заключение в утверждениях, воспитанию

понимания необходимости доказательств, знакомству учащихся с высказываниями» обучению учащихся пользоваться контрпримерами и т.д. Эти положения мы довольно широко используем в нашем исследовании.

Второе направление работ связано с изучением учащимися готовых доказательств. Мы возражаем против стиля "готовых доказательств", которые имеются в учебниках. Вместе с тем правильно организованная работа над готовыми доказательствами позволяет формировать у школьников необходимые умения для осуществления самостоятельного поиска и проведения доказательств.

Мы отметили методику работы с готовыми доказательствами, предложенную З.И. Слепкань. З.И. Слепкань считает, что для создания психологических предпосылок успешного усвоения учащимися предлагаемого доказательства, понимания ими его основной идеи нельзя допускать пропуски промежуточных звеньев доказательства. Однако наряду с детальным изложением доказательства следует обращать внимание учащихся на структуру доказательства в целом: выделять основную идею доказательства, раскрывать метод доказательства и т.п.

Для лучшего осознания и запоминания учащимися структуры доказательства З.И. Слепкань рекомендует записывать в тетради краткое изложение доказательства в виде таблицы из двух столбцов: в левом записывать цепочку утверждений, из которых слагается доказательство изученной теоремы, а в правом — обоснование каждого из утверждений. Упражнения такого характера, по мнению З.И. Слепкань, выполняют и воспитательную функцию, поскольку учат школьников рассуждать аргументировано, доказательно, применять изученные ранее аксиомы и теоремы.

В исследованиях третьего направления мы выделяем разработанные методистами рекомендации для достижения учащимися наилучших результатов при самостоятельном поиске и проведении доказательств.

В нашей работе приводятся указания, сформулированные М.И. Бурдой, которые следует, по его мнению, применять при поиске доказательства математических утверждений:

1) Вспомнить и применить теорему (или другое истинное утверждение), которая непосредственно устанавливает зависимость между данными и искомыми величинами.

2) Сделать попытку расчленить данное утверждение на ряд более простых утверждений, последовательное доказательство которых может привести к доказательству.

3) Вспомнить утверждение, аналогичное данному. Воспользоваться способом его доказательства.

4) Если возникает трудность при доказательстве равенства двух величин, то одну из них или обе заменить равносильными им величинами и доказывать равенство последних.

5) При необходимости заменить утверждение, которое надо доказать, другим, равносильным данному.

Особое место при описании опыта работы с доказательствами занимает анализ группы работ, в которых рекомендуется при поиске и проведении доказательств геометрических утверждений использовать приёмы мыслительной деятельности. Описывая это направление, можно отметить исследование И. Хана. Он разработал методику решения геометрических задач, направленную на активизацию самостоятельного поиска решения. Разработанная методика основывается на использовании учащимися приёмов мыслительной деятельности при осуществлении поиска решения задач и доказательств математических утверждений. И. Хан считает, что для осуществления самостоятельного поиска решения задач учащимся необходимо иметь информацию о задаче, которая включает в себя данные, требование, связи между данными и требованием и др. И. Хан рекомендует находить информацию о задаче, пользуясь системой исследовательских умений, разработанную В.А. Гусевым.

Главное место в этом параграфе занимают предлагаемые нами пути обучения учащихся проведению доказательств геометрических утверждений на примере изучения темы «Параллелограмм». Эти пути основаны на использовании приёмов мыслительной деятельности ("синтез", "анализ", "синтез через анализ", "анализ через синтез") и работы с системой задач.

Мы проанализировали системы задач по теме «Параллелограмм», имеющиеся в учебниках по геометрии. В работе составлена сводная таблица, отражающая наличие задач в учебниках. Анализ показал, что авторы учебников подходят к составлению систем задач субъективно. Например, в большинстве учебников отсутствуют задачи на отработку понятия параллелограмма, в некоторых учебниках не вводится понятие периметра параллелограмма, но учащимся для решения предлагается большое количество задач, связанных с этим понятием, и наоборот. Часто при построении систем задач чётко не выделен единый подход, идея, положенные в основу системы.

В результате анализа систем задач мы выделили 5 видов задач по теме «Параллелограмм»:

1 вид - задачи на определение параллелограмма, на свойства сторон и углов параллелограмма, на периметр параллелограмма;

2 вид - задачи, связанные со свойствами диагоналей параллелограмма и разбиением параллелограмма на треугольники;

3 вид — задачи, связанные со свойствами биссектрис углов параллелограмма;

4 вид - задачи, связанные со свойствами высоты параллелограмма;

5 вид - прочие задачи.

Для нашей системы задач мы предлагаем соблюдать принципы внутренней дифференциации. В каждом виде задач мы выделяем группы, соответствующие определённому приёму мыслительной деятельности: 1) "умей делать выводы" ("синтез"); 2) "ищи причину вывода" ("анализ"); 3) задачи, при решении которых используется приём мыслительной деятельности "синтез через анализ"; 4) задачи, решение которых основано на использовании приёма мыслительной деятельности "анализ через синтез".

В результате анализа доказательств свойств и признаков параллелограмма, помещённых в школьных учебниках по геометрии, мы сформулировали основные положения предлагаемых нами путей проведения доказательств.

1) Необходимость чёткой формулировки посылок и заключения математических утверждений. В работе проведён анализ, который показывает, что в современных школьных учебниках существует большое количество доказательств, где не выделены условия и заключения теорем. В таких случаях очень трудно обучать учащихся проведению доказательств.

2) В доказательствах, приводимых в школьных учебниках, чаще всего отсутствует стратегия проведения доказательства. С нашей точки зрения, необходимо чётко выделять каждый шаг доказательства, притом этот шаг должен быть мотивирован, должна быть понятна потребность в его проведении. Мы предлагаем нумеровать основные этапы доказательства и выделять текст, который посвящен мотивировке каждого шага.

3) После каждого шага доказательства следует указывать основания сделанных выводов (это могут быть аксиомы, определения, уже доказанные теоремы, а также предыдущие пункты проводимого доказательства), т.е. аргументировать рассуждение. В работе нами показано, что часто в действующих учебниках аргументация не проводится вовсе или проводится не полностью.

4) Чаще всего в учебниках по геометрии доказательство теорем и решение задач сопровождает один чертеж. Однако практика показывает, что ученик не всегда может проследить за всеми изменениями на одном чертеже. Необходимо, чтобы чертежи появлялись по мере необходимости и сопровождали весь ход решения задачи. Особенно это важно при решении задач, где нужны дополнительные построения.

Вторая глава «Методика обучения учащихся доказательствам при изучении курса геометрии в основной школе» включает в себя три параграфа.

В первом параграфе «Методика изучения теоретического материала и решение подготовительных задач по теме «Параллелограмм» мы анализировали изучение учебного материала по этой теме в школьных учебниках по геометрии.

Нами проведён анализ наличия свойств и признаков параллелограмма в школьных учебниках по геометрии и составлена сводная таблица. Оказалось, что во всех учебниках рассматриваются свойства противоположных сторон и углов параллелограмма и свойство диагоналей параллелограмма. Мы отмечаем, что свойство углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, изучается только в учебнике А.П. Киселёва. Ситуация, связанная с изучением признаков параллелограмма, сложнее. Авторы большинства школьных учебников по геометрии предлагают учащимся изучить 2-3 признака параллелограмма. Только в учебниках А.В. Погорелова и И.Ф. Шарыгина изучается по одному признаку параллелограмма - по диагоналям и по равным противоположным углам соответственно. В нашей работе отмечено, что в ряде учебников некоторые признаки параллелограмма перенесены в систему задач. Такое

положение имеет свои недостатки, так как заданный материал не всегда полностью используется на уроках.

Особое место в этом параграфе уделено вопросу о том, как происходит доказательство свойств и признаков параллелограмма в различных учебниках по геометрии. Мы цитировали доказательства, приведённые в различных школьных учебниках, отмечали их достоинства и недостатки, приводили все доказательства по разработанной нами методике и показывали преимущества такого изложения. Оказалось, что во многих учебниках не выделяются условия и заключения математических утверждений, отсутствует мотивировка рассуждений, нет общей стратегии доказательств.

Далее в параграфе рассматриваются подготовительные задачи по всем указанным выше видам, при решении которых используются приёмы мыслительной деятельности "синтез", "анализ", "синтез через анализ".

Начинаем в диссертации с рассмотрения задач 1 вида - задач на определение параллелограмма, на свойства сторон и углов параллелограмма, на периметр параллелограмма.

Приведём пример задачи, при решении которой отрабатывается синтетическая деятельность (задача из группы "умей делать выводы"). Подобные задачи содержат в себе уровень знаний и умений, который соответствует стандартам математического образования. Такие задачи должен уметь решать каждый ученик. При их решении не надо ничего вычислять, строить, конструировать. Задачи этой группы формируют у учащихся представление о свойствах некоторого объекта, учат делать выводы, т.е. получать следствия из условия задачи.

Задача 1. На рис. 1 изображён параллелограмм ABCD. а) Сколько вершин имеет параллелограмм? б)Сколько сторон у параллелограмма? Назовите его стороны, в) Какие стороны у параллелограмма параллельны? г) Сколько углов имеет параллелограмм? д) Глядя на рисунок, назовите равные стороны параллелограмма; равные углы параллелограмма.

Далее в диссертации рассматриваются задачи 2 вида, т.е. задачи, связанные со свойствами диагоналей параллелограмма и разбиением параллелограмма на треугольники.

Здесь приведём примеры задач, решение которых основано на использовании мыслительного приёма "анализ", т.е. задачи группы "ищи причину вывода". В таких задачах нужно не только получить следствие из условия задачи, но и выяснить причину появления этого следствия, провести обоснование выводов. Эти задачи формируют у учащихся представление о признаках некоторого объекта. Здесь тоже не надо ничего строить, вычислять, конструировать. Все выводы учащиеся обосновывают, используя только определение параллелограмма и простейшие теоретические факты.

Задача 2. Имеют ли диагонали параллелограмма общие точки ? Сколько таких точек?(без обоснования).

Задача 3. Может ли диагональ параллелограмма равняться его стороне?

Задача 4. Стороны параллелограмма равны 3 и 5 см. Может ли диагональ этого параллелограмма равняться: а) 10 см; б) 8 см; в) 4 см? Объясните ответ.

Затем в работе рассматриваются примеры задач 3 вида - задач, связанных со свойствами биссектрис углов параллелограмма.

Здесь приведём формулировки нескольких задач, решение которых требует применения приёма мыслительной деятельности "синтез через анализ". При решении этих задач используется весь набор умений по аналитико-синтетической деятельности.

Задача 5. Биссектриса угла параллелограмма делит одну из его сторон на отрезки, длины которых а и Ь. Выразите через а и Ь периметр параллелограмма.

Задача 6. Докажите, что биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны.

Задача 7. Докажите, что биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны.

Второй параграф «Методика решения задач повышенной сложности по теме «Параллелограмм» посвящен задачам, решение которых основано на использовании приёма мыслительной деятельности "анализ через синтез", а также задачам, для решения которых необходимы знания по другим темам школьного курса геометрии. Эти задачи не удается решить стандартными методами, т.е. с использованием только свойств и признаков параллелограмма. Для их решения нужно выдвинуть некоторую новую идею. Они требуют хорошей математической подготовки, достаточно развитого логического мышления и, иногда, длительных временных затрат.

При рассмотрении решения этих задач мы применяли ту же сравнительную методику, что и раньше: приводили решения задач по теме «Параллелограмм» из учебных пособий, анализировали их и предлагали решения, основанные на разработанной нами методике.

В параграфе рассмотрены, например, такие задачи:

Задача 8. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех заданных точках, не лежащих на одной прямой? Постройте их.

Задача 9. На каждой стороне одного параллелограмма лежит одна из вершин другого параллелограмма. Докажите, что точки пересечения диагоналей у этих параллелограммов совпадают.

Задача 10. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов являются вершинами квадрата.

Далее мы рассмотрели несколько задач, которые решаются позже, чем изучается тема «Параллелограмм», иногда даже другими методами. Мы не ставили перед собой цель - изучить все такие задачи. Мы хотели проверить, эффективны ли предложенные нами пути при решении сложных задач, требующих новых знаний по сравнению с темой «Параллелограмм».

В нашей работе первая задача затрагивает свойства угла, вписанного в окружность и опирающегося на её диаметр.

Задача 11. На стороне АВ параллелограмма ABCD как на диаметре построена окружность, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину сторону AD. Найдите углы параллелограмма.

Следующая задача решается с помощью центральной симметрии и свойств центра симметрии параллелограмма (напомним, что в нашем исследовании симметрия параллелограмма не изучается).

Задача 12. Пусть точка Aj симметрична некоторой точке А плоскости относительно заданной точки Oj; точка А2 симметрична точке Aj относительно другой точки О2; точка Аз симметрична точке А2 относительно третьей точки Оз. Далее, пусть точка А4симметрична Аз относительно точки Oil точка А5 симметрична А4 относительно О2 и точка Аб симметрична As относительно Оз. Доказать, что Аб совпадает с А.

Знания о свойствах подобных фигур требуются при решении такой задачи:

Задача 13. В параллелограммАВСИ ¿ВАС = ^ADB. Доказать, что AC=AD42, BD=ABji.

Третий параграф посвящен описанию организации, содержания и основных результатов педагогического эксперимента, проведённого с целью подтверждения гипотезы в соответствии с поставленными задачами исследования.

Эксперимент был проведён соискателем в естественных условиях в процессе преподавания геометрии в школе № 30 г. Коломны Московской области в период 2000 - 2004 гг. Элементы разработанной нами методики обучения учащихся проведению доказательств использовали студенты физико-математического факультета Коломенского государственного педагогического института при прохождении ими педагогической практики в школах г.Коломны и Коломенского района.

Экспериментальное исследование состояло из двух этапов. Первый этап включал в себя констатирующий и поисковый эксперимент. Второй этап был посвящен обучающему эксперименту.

На первом этапе (2000 - 2001 гг.) мы изучили состояние обучения доказательству на уроках геометрии в основной школе, определили основные трудности, испытываемые учащимися при доказательстве математических утверждений и решении задач на доказательство.

В результате констатирующего эксперимента нами было выявлено, что процессе преподавания геометрии проводится недостаточная работа по обучению учащихся проведению самостоятельного доказательства математических утверждений, не формируются в достаточной мере необходимые общие умения по поиску решения геометрических задач. Обучение геометрии вызывает трудности у учащихся, что обусловлено особенностями изложения учебного материала в учебниках, в которых очень слабо происходит обучение школьников самостоятельной деятельности, особенно доказательствам математических утверждений.

На втором этапе экспериментального исследования (2002 - 2004 гг.) проводился обучающий эксперимент в четырёх 8-х классах. Цель его проведения - проверка эффективности и доступности предлагаемой методики обучения проведению доказательств на примере изучения темы «Параллелограмм». Результатом обучающего эксперимента явилась окончательная отработка основных вопросов методики обучения учащихся самостоятельному поиску и проведению доказательств.

В обучающем эксперименте участвовало 2 экспериментальных и 2 контрольных класса (96 человек). В работе описаны содержание и результаты двух контрольных работ, которые проводились после изучения учащимися разделов «Свойства параллелограмма» и «Признаки параллелограмма». Результаты обучающего эксперимента были статистически обработаны в соответствии с критерием Вилкоксона-Манна-Уитни. Оказалось, что уровень сформированности умений учащихся самостоятельно проводить доказательства при решении геометрических задач в экспериментальной группе выше (средний балл равен 6,27), чем в контрольной (5,1). Результаты эксперимента дают основание утверждать, что разработанная методика обучения учащихся проведению доказательств способствует повышению эффективности обучения геометрии в школе.

В заключении перечисляются основные результаты исследования.

1. На основе анализа психолого-педагогической и методической литературы уточнено содержание понятий "доказательство", "обучение доказательству", представлено описание сущности доказательства математических утверждений.

2. В исследовании разработана методика изучения теоретического материала по теме «Параллелограмм», способствующая целенаправленному обучению учащихся проведению доказательств на уроках геометрии в основной школе, обеспечивающая формирование и использование основных приёмов мыслительной деятельности.

3. Проанализированы имеющиеся в учебниках по геометрии системы задач по теме «Параллелограмм» и вьщелены 5 видов задач:

1 вид - задачи на определение параллелограмма, на свойства сторон и периметр параллелограмма, на свойства углов параллелограмма;

3 вид - задачи, связанные со свойствами биссектрис углов параллелограмма;

4 вид - задачи, связанные со свойствами высоты параллелограмма;

5 вид - прочие задачи.

В каждом виде задач выделяются группы, соответствующие определённому приёму мыслительной деятельности: 1) "умей делать выводы" ("синтез"); 2) "ищи причину вывода" ("анализ"); 3) задачи, при решении которых используется мыслительный приём "синтез через анализ"; 4) задачи, решение которых основано на использовании мыслительного приёма "анализ через синтез".

4. В диссертации разработаны основные положения предлагаемых нами путей проведения доказательств:

- необходимость чёткой формулировки посылок и заключения математических утверждений, без выявления которых невозможен процесс доказательства;

5. Составлена система геометрических задач (подготовительные задачи, задачи повышенной сложности, задачи, для решения которых необходимы знания по другим темам школьного курса геометрии), обеспечивающая реализацию разработанной методики обучения учащихся проведению доказательств на примере изучения темы «Параллелограмм».

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.

Апробированная нами методика обучения учащихся проведению доказательств математических предложений позволяет раскрыть сущность процесса доказательства, повысить научно-методический уровень преподавания. Результаты исследования могут быть использованы при разработке задачников, учебников и учебных пособий по математике, а также в процессе методической подготовки будущего учителя математики.

Основные положения диссертационного исследования отражены в публикациях:

, 1) Тимофеева Е.С. (Ветошкина Е.С.) Использование приёмов "синтез" и "анализ" при решении геометрических задач. // Сборник научных статей аспирантов и соискателей. - Коломна: КГПИ, 2002. - С. 36 - 40. - 0,3 п.л.

2) Ветошкина Е.С. Использование систем задач на уроках геометрии в 8 классе. // История и перспективы развития образования Московской области: Сборник статей и тезисов по материалам региональной научно-практической конференции. - Коломна, 2003. - С. 101 -103. - 0,19 п.л.

3) Ветошкина Е.С. Различные подходы к определению понятия "доказательство". // Сборник научных статей аспирантов и соискателей. -Коломна: КГПИ, 2003. - С. 8-13. - 0,38 п.л.

4) Ветошкина Е.С. К вопросу об обучении доказательствам в курсе геометрии средней школы. // Сборник научных статей аспирантов и соискателей. - Коломна: КГПИ, 2004. - С. 115 -120. - 0,38 п.л.

5) Ветошкина Е.С. Обучение доказательствам в курсе геометрии средней школы. // Материалы Всероссийской научной-методической конференции «Геометрия «в целом». Преподавание геометрии в вузе и школе».- Великий Новгород, 2004. - С. 157 -159. - 0,19 пл.

Подп. к печ. 25.10.2004 Объем 1.00 п,л. Заказ № 360 Тир. 100 Типография МПГУ

$ 21740

РНБ Русский фонд

2005-4 21155

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Ветошкина, Елена Сергеевна, 2004 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА И ИХ РОЛЬ ПРИ ОБУЧЕНИИ

ГЕОМЕТРИИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ.

§ 1. Рассуждения и доказательства в математике как элемент общего образования.

§ 2. Существующий опыт обучения проведению доказательств в курсе геометрии средней школы и пути его совершенствования.

Выводы по главе.

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА ГЕОМЕТРИИ В

ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ.

§ 1. Методика изучения теоретического материала и решение подготовительных задач по теме «Параллелограмм».

§ 2. Методика решения задач повышенной сложности по теме

Параллелограмм».

§ 3. Организация и проведение педагогического эксперимента и анализ его результатов.

Выводы по главе.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Обучение учащихся проведению доказательств на уроках геометрии в основной школе"

Приоритетным направлением в современном образовательном процессе называют гуманизацию и гуманитаризацию. Новые целевые установки в системе образования предполагают направленность обучения на развитие личности, в частности на формирование логического мышления, чему способствует обучение доказательству.

Формирование и использование умений рассуждать, проводить доказательства, аргументировать высказывания проводится во всех учебных предметах. Однако бесспорно, что развитию способностей школьников анализировать данные, принимать решения и обосновывать свой выбор в наибольшей мере способствует изучение математики.

Основную нагрузку по формированию у учащихся умения доказывать несёт курс геометрии. Д. Пойа указывал на важную роль, которую играют доказательства при построении геометрической системы: «Геометрическая система цементирована доказательствами. Каждая теорема связана с предшествующими аксиомами, определениями и теоремами каким-нибудь доказательством. Без понимания таких доказательств нельзя понять самую сущность системы» [150, с. 85-91]. Исторически сложилось так, что геометрия как учебный предмет имеет большое значение для изучения окружающего мира и создаёт благоприятные условия для приобщения учащихся к творческой исследовательской деятельности. Изучение геометрии способствует развитию умения доказывать, т.е. умения логически мыслить и рассуждать. Развитие логического мышления происходит в ходе изучения приводимых в учебниках и учителем доказательств теорем, при решении задач.

А.В. Погорелов цель преподавания геометрии в школе выразил так: «Главная задача преподавания геометрии в школе - научить учащихся логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. Очень немногие из окончивших школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдётся хотя бы один, которому не придётся рассуждать, анализировать, доказывать» [149, с. 261].

Обучение учащихся проведению доказательства - проблема сложная и многоаспектная. Она занимала и занимает в психолого-педагогической науке и в теории обучения математики одно из ведущих мест. Вопросам понимания сущности доказательства, поиска доказательства, обучения проведению доказательства посвящено огромное количество исследований.

Дадим краткий анализ этой литературы.

Вопрос о сущности математического доказательства изучается в работах И.И. Баврина, В.Г. Болтянского, Ф.Н. Гоноболина, И.С. Градштейна, В.А. Далингера, Я.С. Дубнова, И.В. Игошина, С.К. Клини, Ю.М. Колягина, Л.И.Креера, И. Лакатоса, В.Л. Матросова, Ю.А.Моторинского, А.Х. Назиева, В.А. Оганесяна, Ф.Ф. Притуло, А.П. Савина, З.И. Слепкань, А.А. Столяра, А.И.Фетисова, Г. Фройденталя и др.

А.А. Столяр считает, что в строгом смысле о доказательстве можно говорить лишь в рамках какой-нибудь формальной аксиоматической системы. По его мнению, любое доказательство представляет собой конечную последовательность предложений математической теории.

Ф.Ф. Притуло рассматривает доказательство как мыслительный процесс обоснования какого-либо суждения с помощью ранее известных истинных суждений.

Вопрос о сущности доказательств раскрыт в первом параграфе первой главы.

Существует очень большое количество работ, связанных с осуществлением обучения школьников поиску и проведению доказательств при изучении геометрии.

Этими проблемами занимались Г. Абдуллаев, Э.И. Айвазян,

A.К.Артёмов, Ж.Д. Ахмедов, В.А. Г.Д. Балк, М.Б. Балк, В.Г. Болтянский,

B.М.Брадис, Г.Р. Бреслер, М.И. Бурда, Г.А. Буткин, М.Б. Волович, И.Г.Габович, А.Д. Гибш, В.Е. Гмурман, Я.И. Груденов, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Е.Ф.Данилова, В.П. Демидов, К.К. Джумаев, М.Е. Драбкина, Я.С. Дубнов, О.Н.Журавлёва, Д. Икрамов, Ю.М. Колягин, Н.К. Комлева, В.И. Крупич,

A.Купиллари, И.Я. Лернер, И.М. Лысова, С.Е. Ляпин, Е.И. Лященко, П.С.Марголите, В.Н. Медведская, Н.В. Метельский, А.И. Мостовой, Г.Л.Муравьёва, Ф.Ф. Нагибин, X. Насибуллов, П.А. Немытов, И.Л. Никольская,

B.А. Оганесян, O.K. Огурцова, М.И. Орленко, О.И. Плакатина, Д. Пойа, Н.Н.Пономарёва, Ф.Ф. Притуло, A.M. Пышкало, Т.Б. Раджабов, Ю.Й. Ревуцкас, В.В. Репьев, Ю.А. Розка, П.И. Самсонов, Г.И. Саранцев, Е.Е. Семёнов, А.Д.Семушин, З.И. Слепкань, С.И. Смирнова, В.Г. Соболева, А. Сонцов, А.А.Столяр, Т.В. Столярова, М.Е. Тимощук, Е.Н. Турецкий, В.М. Туркина,

A.И.Фетисов, Д.М. Фрейверт, Л.М. Фридман, И. Хан, Р. Хашимов, З.П.Чиркина, П.М. Эрдниев и др.

Среди всех этих работ можно выделить несколько направлений исследований.

Проблеме подготовки учащихся к проведению математических доказательств посвящены исследования Ж.Д. Ахмедова, Г.Р. Бреслера,

B.А.Далингера, Т.А. Кондрашенковой, В.И. Медведской, С.И. Смирновой и ДР-).

В исследованиях Ж.Д. Ахмедова, Г.Р. Бреслера и др. сквозным понятием является понятие о дедуктивном умозаключении. В этих работах выделен состав логических правил, обеспечивающих изучение доказательств в курсе математики 6-8 классов, предложена методика постепенного подведения учащихся к их осознанию; предложена методика обучения учащихся применению этих правил в доказательствах.

B.Н. Медведская рекомендует на подготовительном этапе обучения учащихся проведению доказательства активнее использовать средства наглядности. В.Н. Медведская считает, что лучший способ раннего введения доказательств - через игру, в ходе которой у детей формируется готовность к мыслительной работе по убеждению другого человека.

C.И. Смирнова предлагает на уроках математики в 5 - 6 классах осуществлять систематическое и целенаправленное обучение доказательствам посредством построения локальных теорий и последующим их применением при решении математических задач.

Во второй группе работ затрагивается проблема усвоения учащимися готовых доказательств (Э.И. Айвазян, В.Г. Болтянский, М.Б. Волович, Я.И.Груденов, В.А. Далингер, В.П. Демидов, О.Н. Журавлёва, Ю.М. Колягин, Н.В. Метельский, А.И. Мостовой, Ф.Ф. Нагибин, В.А. Оганесян, М.И. Орленко, Ф.Ф. Притуло, A.M. Пышкало, Ю.И. Ревуцкас, В.В. Репьев, П.И. Самсонов, Г.И. Саранцев, А.Д. Семушин, З.И. Слепкань, А.А. Столяр, Т.В. Столярова, М.Е. Тимощук, А.И. Фетисов, JI.M. Фридман, П.М. Эрдниев и др.).

По мнению З.И. Слепкань, готовые доказательства занимают в процессе обучения математике значительное место, и надлежащая постановка обучения готовым доказательствам способствует формированию у школьников необходимых компонентов самостоятельного поиска доказательств. Для того, чтобы учащиеся лучше осознали и запомнили структуру доказательства, З.И.Слепкань предлагает записывать в тетради краткое изложение доказательства в символической форме.

Для усвоения содержания теоремы Г.И. Саранцев предлагает использовать цепочки взаимосвязанных упражнений на выделение условия и заключения теоремы, на вычленение на чертежах и моделях таких фигур, которые удовлетворяли бы условию теоремы, на выполнение чертежа, моделирующего условие и заключение теоремы.

Т.В. Столярова рекомендует в процессе обучения школьников доказательству теорем кроме традиционных методов обучения и контроля использовать «специальные дидактические тесты, позволяющие проанализировать формулировку теоремы, выдвинуть идею и сконструировать доказательство теоремы, применить её в стандартных и нестандартных ситуациях» [179, с. 3]. В своём диссертационном исследовании Т.В. Столярова показала, что тесты можно использовать на всех этапах изучения теоремы. При этом тесты не только помогают формировать определённые знания и умения, но и позволяют определить уровень усвоения школьниками учебной программы.

Ю.И. Ревуцкас раскрывает содержание обучения доказательству теорем в курсе геометрии 6 класса; предлагает систему упражнений как средство обучения доказательству теорем в курсе геометрии 6 класса.

Я.И. Груденов, Д.М. Фрейверт и др. рекомендуют изучать доказательства теорем с помощью составления плана.

Третье направление исследований посвящено проблеме обучения учащихся поиску доказательств и самостоятельному осуществлению доказательств при изучении геометрии.

Много в этом направлении сделано Д. Пойа. Он разработал общую методику решения математических задач, в частности задач на доказательство, методику использования методов научного познания в решении задач. Д. Пойа считал, что у учащихся необходимо развивать не только логические рассуждения, но и навыки эвристического мышления.

Вопрос формирования эвристических приёмов, использования эвристик в процессе обучения учащихся поиску доказательств изучали А.К. Артёмов, Г.Д.Балк, А. Сонцов, JI.M. Фридман и др.

И.Г. Габович, В.А. Гусев, Г.Л. Муравьёва, Е.Н. Турецкий, JI.M. Фридман, И. Хан и др. разрабатывают наиболее общий подход - сведение задачи к подзадачам. Сами подзадачи в этом случае называются базисными или опорными. Эти подзадачи могут являться составной частью решаемой сложной задачи и входить в её решение в качестве готовых блоков.

Ряд исследований посвящён обучению поиску решения геометрических задач через специальную реорганизацию теоретического материала путем выделения операционной основы теоретических знаний (Н.Н. Пономарева), составления эвристических инструкций и картотек понятий, облегчающих выбор при решении задач необходимых теоретических фактов (В.М. Туркина), выделения ориентировочной основы поиска решения задач (Г. Абдуллаев, М.И.Бурда, Ю.А. Розка).

А.К. Артёмов отмечал важность механизма мышления, который принято называть анализ через синтез, и предпринимал попытки его формирования у младших школьников.

Н.С. Тюина выявила состав приёма мыслительной деятельности анализ через синтез. Он состоит из пяти взаимосвязанных, взаимозависимых блоков действий и операций: 1) включение объекта в новые связи и отношения; 2)фиксация новых свойств и качеств объекта; 3) «исчерпание» из объекта новых свойств и качеств имплицитно (неявно) заданных; 4) разноаспектное изучение объекта; 5) альтернативность мышления. Н.С. Тюина выделила центральный блок: разноплановое, разноаспектное рассмотрение математических объектов. Она экспериментально доказала, что формирование умения использовать анализ через синтез как средство учения осуществляется через выполнение специально подобранных упражнений.

Г.Х. Воистинова исследовала возможности использования задач на построение в качестве средства формирования приемов мышления учащихся. Ею выделены основные пути и методы обучения приемам мыслительной деятельности при решении задач на построение. Г.Х. Воистинова разработала методику обучения решению задач на построение, обеспечивающей эффективное формирование основных приемов мыслительной деятельности учащихся в массовой школе и в классах с углубленным изучением математики.

Результаты названных исследований имеют большое значение для совершенствования методики обучения учащихся проведению доказательств. Однако практика свидетельствует о низком уровне умения школьников доказывать, показывает наличие формализма в их знаниях. В современных учебниках геометрии работа по обучению учащихся проводить доказательства проводится недостаточно хорошо: там не обучают школьников правилам и приемам рассуждения, а увлекаются, как указал в М. Клякля, "готовой математикой": «Такую математику можно найти в любой научной диссертации по математике, где дана система определений, теорем и их доказательства, примеры и контрпримеры, а все это дается согласно логически обоснованной очереди. Читая такие исследования, мы часто увлекаемся красотой, сжатостью, логической конструкцией такого "готового здания математических знаний". Иногда, к сожалению, именно только такие знания, такая "готовая математика" преподается в школе для заучивания наизусть. Неудивительно, что многие учащиеся не в состоянии понять ни того, как можно все это предвидеть и составить так, чтобы одно следовало за другим, что то или иное вытекает из другого, что то или иное надо заранее таким образом определить или подготовить; они впадают часто в комплексы неполноценности, говоря себе, что я никогда не в состоянии придумать такое умное изложение, я — плохой ученик» [93, с. 34].

Ещё Г. Фройденталь отмечал: «Математические работы пишутся для специалистов, знающих все тонкости, привыкших прочитывать в готовых трудах между строк, как они были созданы. Авторы, украшающие таким стилем школьные учебники, забывают, что пишут не для математиков, что школьники понятия не имеют, как браться за подобный текст» [196, с. 78].

Наша задача - уйти от командного стиля при изучении доказательств и постараться преодолеть причины неумения доказывать, среди которых можно назвать:

1) Отсутствие сложившейся системы обучения учащихся доказательству как логической категории. Учителя не уделяют достаточного внимания учащихся на логическую структуру доказательства, на высказывания, используемые при доказательстве теорем, на средства вывода и т.п.

2) Основное внимание при изучении теорем обращается на доказательство истинности высказывания, сформулированного в теореме, а не на формирование понятия о доказательстве.

3) Не проводится целенаправленной систематической работы по формированию у учащихся умений и навыков самостоятельно доказывать теоремы.

Проблема диссертационного исследования заключается в уточнении теоретических основ понятия доказательства геометрических утверждений, а также в разработке методики обучения проведения доказательств геометрических утверждений в курсе геометрии основной школы.

В ходе исследования была выдвинута следующая гипотеза. Предполагается, что целенаправленное обучение учащихся 7—9 классов проведению геометрических доказательств с опорой на аналитико— синтетическую деятельность позволит повысить результативность обучения доказательствам в курсе геометрии основной школы, а предложенная на этой основе система геометрических задач будет способствовать успешному изучению геометрии в основной школе.

Проблема, предмет и гипотеза исследования определили следующие задачи:

5. Составить систему задач, обеспечивающую реализацию разработанной нами методики обучения учащихся проведению доказательств, при изучении темы «Параллелограмм».

6. Экспериментально проверить эффективность и целесообразность разработанной методики обучения учащихся проведению доказательств.

При решении поставленных задач использовались следующие методы исследования:

- изучение и анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы по проблеме исследования;

- изучение и обобщение опыта обучения школьников проведению доказательств математических утверждений;

- анализ школьных программ, учебных пособий и сборников задач по геометрии;

- посещение и анализ уроков в школе, наблюдение за учебным процессом и деятельностью учащихся;

- изучение и анализ письменных работ учащихся по геометрии;

- беседы и анкетирование школьников и учителей;

- анализ личного опыта работы соискателя в школе и работы других учителей;

- педагогический эксперимент по проверке основных теоретических положений исследования;

- количественная, качественная и статистическая обработка данных, полученных в результате эксперимента.

Научная новизна проведенного исследования состоит в следующем.

2. Предлагаемая методика базируется на использовании приёмов мыслительной деятельности синтез, анализ, синтез через анализ, анализ через синтез, что позволяет учитывать индивидуальные особенности и способности учащихся.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что уточнена теоретическая база обучения проведению доказательств в курсе геометрии основной школы, разработана методика обучения проведению доказательств при изучении геометрии в основной школе, основанная на использовании приёмов мыслительной деятельности учащихся, определено содержание системы задач по теме «Параллелограмм».

Практическая значимость исследования заключается в следующем:

- разработана и внедрена система задач по теме «Параллелограмм», способствующая формированию у учащихся основных приемов мыслительной деятельности, обеспечивающая овладение всеми учащимися необходимыми умениями для проведения доказательств в геометрии;

Обоснованность и достоверность проводимого исследования, его результатов и выводов обеспечиваются:

- системным и целостным подходом к исследуемой проблеме;

- использованием научных достижений в области психологии, педагогики, методики преподавания математики;

- широким набором различных методов исследования, соответствующих поставленным задачам;

- результатами опытно-экспериментальной работы;

- обсуждением и использованием полученных результатов и выводов с методистами и учителями математики.

На защиту выносятся следующие положения:

2) Методика обучения учащихся проведению доказательств математических утверждений при изучении геометрии в основной школе способствующая формированию и развитию основных приёмов мыслительной деятельности учащихся.

Этапы исследования. Исследование проводилось поэтапно с 2000 года по 2004 год.

На первом этапе осуществлялись изучение и анализ философской, психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме диссертации, изучалось состояние исследуемой проблемы в школьной практике, разрабатывались гипотеза, задачи исследования и теоретические основы методики обучения школьников проведению доказательств, проводился констатирующий и поисковый эксперимент.

На втором этапе проводился обучающий эксперимент по проверке эффективности предложенной методики, обобщались и оформлялись результаты, полученные в ходе исследования.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на заседаниях кафедры алгебры и геометрии КГПИ, на научно-методическом семинаре при этой кафедре, на научных конференциях студентов и аспирантов КГПИ; на педагогических чтениях КГПИ, на заседаниях городских методических объединений учителей математики г. Коломны, на региональной конференции «История и перспективы развития образования Московской области» (Коломна, 2002), на Всероссийской научной конференции «Геометрия «в целом». Преподавание геометрии в вузе и школе» (Великий Новгород, 2004). Результаты исследования отражены в 5 публикациях и нашли применение в практике работы учителей математики школ г. Коломны Московской области.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Основные результаты проведенного исследования таковы:

1. На основе анализа психолого-педагогической и методической Литературы уточнено содержание понятия "обучение доказательству", представлено описание сущности доказательства математических утверждений.

3. Проанализированы имеющиеся в учебниках по геометрии системы задач по теме «Параллелограмм» и выделены 5 видов задач:

2 вид - задачи, связанные с диагональю параллелограмма и разбиением параллелограмма на треугольники;

3 вид - задачи, связанные с понятием биссектрис углов параллелограмма;

4 вид - задачи, связанные с понятием высоты параллелограмма;

5 вид - прочие задачи.

В каждом виде задач выделяются группы, соответствующие определённому приёму мыслительной деятельности: 1) задачи, решение которых основано на использовании мыслительного приёма "синтез"; 2) задачи, решение которых основано на использовании мыслительного приёма "анализ"; 3) задачи, при решении которых используется мыслительный приём "синтез через анализ"; 4) задачи, решение которых основано на использовании мыслительного приёма "анализ через синтез".

4. В диссертации разработаны основные положения предлагаемых нами путей проведения доказательств:

5. Составлена система геометрических задач (подготовительные задачи, задачи повышенной сложности, задачи, для решения которых необходимы знания по другим темам), обеспечивающая реализацию разработанной методики обучения учащихся проведению доказательств на примере изучения темы «Параллелограмм».

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.

149

Заключение

В заключении изложим основные результаты проведенного исследования.

Теоретическое и экспериментальное исследования процесса обучения учащихся проведению доказательств подтвердили выдвинутую гипотезу и позволили решить ряд поставленных задач в связи с исследованием проблемы.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Ветошкина, Елена Сергеевна, Коломна

1. Абдуллаев Г. Развитие поисковой деятельности учащихся при изучении математики в 7-9 классах: Дис. . канд. пед. наук. -Ленинабад, 1990. - 265 с.

2. Адамар Ж. Элементарная геометрия. 4.1. Планиметрия. / Под ред. Д.И. Перепёлкина. - М.: Учпедгиз, 1957. — 608 с.

3. Айвазян Э.И. Планирование обязательного уровня усвоения методов .щ геометрического доказательства: Автореф. дис. . канд. пед. наук. —1. М., 1986.- 15 с.

4. Александров А.Д. Геометрия: Учеб. для 7—9 кл. общеобразоват. учреждений / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. 3-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 2003. - 272 с.

5. Александров А.Д. и др. Геометрия для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. М.: Просвещение, 1996. — 415 с.

6. Аристотель. Метафизика.-М., 1934.

7. Артемов А.К. Состав и методика формирования геометрических умений школьников // Учен. зап. Пензенского пед. ин-та. Вып. 23. — Саратов, 1969. - 366 с.

8. Асмус В.Ф. Логика. М., 1947.

9. Асмус В.Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. — М.: Госполитиздат, 1954. 88 с.

10. Ахмедов Ж.Д. Подготовка учащихся 4-5 классов к проведению доказательств в систематическом курсе геометрии: Автореф. дис. .Аканд. пед. наук. М., 1988. - 14 с.

11. Ахмедов Ж.Д. Формирование у учащихся 4-8 классов умений доказывать геометрические утверждения: Дис. . канд. пед. наук. -М., 1988.

12. Байдак В.А. Обучение доказательству теорем: теорема, доказательство теоремы, методы доказательства теорем. — В кн.:13.