Развитие у учащихся умения рассуждать при обучении математике в 5-6 классах

Смирнова, Светлана Иосифовна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Развитие у учащихся умения рассуждать при обучении математике в 5-6 классах

Автореферат

Автор научной работы: Смирнова, Светлана Иосифовна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Петрозаводск
Год защиты: 1999
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Развитие у учащихся умения рассуждать при обучении математике в 5-6 классах"

На правах рукописи

СМИРНОВА Светлана Иосифовна

РАЗВИТИЕ У УЧАЩИХСЯ УМЕНИЯ РАССУЖДАТЬ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В 5 - 6 КЛАССАХ

13.00.02 - теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук

Петрозаводск 1999

Работа выполнена на кафедре естественно-математических дисциплин и методик их преподавания Карельского государственного педагогического университета

Научный руководитель - кандидат педагогических наук,

доцент В.М. ТУРКИНА

Официальные оппоненты - доктор педагогических наук,

профессор Н.Л. СТЁФАНОВА

кандидат педагогических наук, доцент Л.А. БАСОВА

Ведущая организация ' - ' " ' Псковский государственный

педагогический институт

Разовая защита диссертации состоится " 15~" ^е/са^-иь 1999 г. в часов на заседании диссертационного совета К 113. 65. 01 по защите диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук в Карельском государственном педагогическом университете (185000, Петрозаводск, ул. Пушкинская, 17, ауд. 113).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан "/3" MP&tfoji 1999 г.

Учёный секретарь -

диссертационного совета К113:65.01, """

кандидат педагогических наук, доцент А.М.Федоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Одной из важнейших целей обучения математике в школе является интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, необходимых для полноценной жизни в обществе.

Умение рассуждать имеет огромное значение для общего развития ученика, является необходимым условием для глубокого и сознательного усвоения математики.

Практика математического образования в современной школе такова, что обучение доказательствам традиционно связывается с началом изучения систематического курса геометрии в 7-м классе.

Многие методисты и учителя (А.Д. Александров, А.А. Ефимчик, М.Г. Мехтиев, Т.Ф. Фролова и др.) указывают на ознакомление семиклассников с первыми логическими доказательствами как на одну из труднейших проблем. Действительно, усвоение доказательств в начале изучения систематического курса геометрии связано с рядом трудностей: учащиеся не осознают необходимости доказательства теорем, не понимают его сути, плохо представляют результат, который необходимо получить при решении задач на доказательство.

Чтобы понять причины указанных трудностей, были проанализированы действующие программы по математике для общеобразовательных учреждений. Было отмечено, что современные программы математического образования не нацеливают учителя на формирование умения рассуждать, в связи с чем данное умение оказывается побочным результатом обучения. В требованиях к математической подготовке учащихся об умении проводить рассуждения говорится только в разделах, относящихся к курсу геометрии.

Таким образом, игнорируются возможности курса математики 5-6 классов и курса алгебры в решении поставленной проблемы. Между тем, умение рассуждать является общеучебным умением, поэтому недостаточно формировать его лишь на уроках геометрии. Тем более что длительное отсутствие теоретического осмысления сути доказательства не позволяет воспринимать осознанно весь изучаемый с 1-го по 7-й класс учебный материал.

В теоретических исследованиях и методической литературе по данной проблеме отмечена особая роль имеющегося у учащихся опыта в развитии умения доказывать. Вследствие этого особую актуальность приобретает необходимость в систематическом и целенаправленном формировании у учащихся опыта в построении логических рассуждений ещё до изучения систематического курса геометрии.

Выявленные в ходе анализа теоретических источников и образовательной практики типичные затруднения учащихся

- свидетельствуют об их неподготовленности к переходу на дедуктивный уровень изучения геометрического материала, предполагающий строгую обоснованность изучаемых (в том числе очевидных) фактов;

- связаны, в частности, с односторонностью и ограниченностью имеющегося у учащихся логического опыта;

- отражают специфику программы и учебников по курсу математики 5-6 классов.

Выше изложенное позволяет сделать вывод о необходимости и возможности начала ознакомления учащихся с доказательствами на более раннем этапе обучения в соответствии с содержанием школьных программ по математике к с возрастными особенностями учащихся.

Вопросы, связанные с обучением учащихся доказательствам, рассматриваются в научно-методической литературе давно (К.О. Аганченко, Ж.Д. Ахмедов, Г.Р. Бреслер, М.И. Бурда, Г.А. Буткин, О.Н. Журавлёва, Т. А. Кондрашенкова, В.П. Лёхова, Е.И. Лященко, В.Н. Медведская, Б.Д. Пайсон, Г,И. Саранцев, В.М. Туркина и др.). Однако авторами недостаточно освещена проблема формирования верных представлений о сущности доказательства у младших подростков, что не позволяет учащимся раскрыть механизм использования имеющихся знаний при проведении доказательств. Опыт показывает, что ученики овладевают отдельными умениями, не складывняцимися в целостное умение доказывать.

Анализ психолого-педагогической и методической литературы, специальных исследований, а также изучение образовательной практики позволили выделить один из наиболее эффективных путей решения данной

проблемы - создание учащимися под руководством учителя локальных теорий.

Построение таких теорий описывается в методической литературе (А.А. Столяр). Однако оно предусматривается при изучении курсов алгебры и геометрии (7-9 классы).

Ценность создания локальных теорий заключается в том, что эта деятельность позволяет:

- объединить отдельные, разрозненные умения в новое целостное образование, на основе которого будет происходить развитие умения рассуждать;

• эффективно влиять на понимание учащимися сущности доказательства;

- мотивировать проведение логических рассуждений;

- приобретать учащимся опыт в логических рассуждениях;

- способствовать пониманию учащимися изучаемого материала, то есть позволяет им рассматривать новый материал как элемент теории, выстроенной кем-то другим.

Необходимость совершенствования сложившейся практики обучения юказательствам при изучении математики посредством создания локальных теорий, роль и значимость формирования у учащихся целостного умения рассуждать, недостаточная разработанность всех аспектов обучения юказательствам в методической литературе, а также низкий уровень овладения учащимися умением логически рассуждать определили гктуальность темы данного исследования.

Объект исследования - процесс формирования умения рассуждать при >бучении математике.

Предмет исследования - содержание учебного материала, :пособствующего развитию умения рассуждать, и методика его изучения.

Изучение указанного предмета должно привести к решению юставленной проблемы и достижению цели исследования, состоящей в фоектировании арифметического материала, допускающего построение 'чащимися локальной теории, способствующего развитию у них умения »ассуждать, и в разработке методики построения такой теории в 5 - 6

массах.

►

Гипотеза исследования строилась на предположении о том, чт развитие у школьников умения рассуждать будет более эффективным, есл при изучении математики в 5 - 6 классах осуществляется систематическое целенаправленное обучение доказательствам посредством построен» локальных теорий и последующего их применения при решени математических задач.

Гипотеза проверялась на построении двух локальных теорий - г нематематическом и математическом (арифметическом) материале.

Задачи исследования:

1. Проанализировать ведущие идеи в обучении доказательствам в курс математики основной школы;

2. Изучить содержание и методику обучения доказательствам и выяви: имеющиеся возможности использования локальных теорий в качесп средства развития у учащихся умения рассуждать;

3. Выявить критерии оценки уровня развития у учащихся умеш рассуждать;

4. Спроектировать материал, допускающий построение локальш теории, и разработать методику его изучения;

5. Экспериментально проверить эффективность полученной методики разработать научно-практические рекомендации по совершенствовав процесса обучения математике в 5-6 классах.

Методы исследования: анализ психолого-педагогической, научн методической и математической литературы, действующих программ учебников по математике для основной школы; наблюдение деятельностью учащихся на уроках; опросы и беседы с учащимися учителями; педагогический эксперимент; обработка и интерпретац полученных данных.

Этапы исследования. Исследование проводилось с 1993 по 1999 гг. включало несколько этапов.

На первом этапе был проведён анализ психолого-педагогическс научно-методической и математической литературы по пробле исследования. В ходе работы учителем математики в 5 - 6 классах (1993 1995 гг.) диссертантом вёлся активный поиск содержания и метод<

позволяющих обучать школьников обоснованным рассуждениям. В результате теоретического анализа литературы и практической работы были выявлены возможности обучения младших подростков доказательствам, а также возможности использования локальных теорий для этого обучен; . Проведён анализ состояния обучения доказательствам в курсе математики основной школы (содержания и методики обучения), организован констатирующий эксперимент. Результатом этого этапа явилась разработка теоретической концепции исследования и основных положений методики использования локальных теорий в качестве средства развития у учащихся умения рассуждать, в том числе - требований к отбору материала.

На втором этапе в ходе поискового эксперимента с учётом требований к отбору материала, позволяющего выстраивать локальную теорию, такой материал был отобран и разработана методика его изучения.

На третьем этапе была уточнена методика изучения отобранного материала с учётом результатов поискового эксперимента, проведён обучающий эксперимент, обобщены все полученные экспериментальные и теоретические результаты, сделаны выводы, разработаны и внедрены в образовательную практику научно-методические рекомендации по совершенствованию процесса обучения математике в 5 - 6 классах основной школы.

Теоретической базой исследования явились положения теории познания, современной философии образования, психологии; системный подход в построении методики обучения; теория учебной деятельное г; работы в области развивающего обучения математике.

Научная новизна исследования состоит в теоретическом обосновании возможности использования локальных теорий как эффективного средства развития у школьников умения проводить обоснованные рассуждения в курсе математики 5-6 классов и в определении требований к отбору материала, позволяющего выстраивать локальную теорию, выявлены критерии для определения уровня развития умения рассуждать;

содержания понятий "рассуждение" и "доказательство" и их взаимосвязи, теоретическим обоснованием возможности и целесообразности организации целенаправленной работы по развитию у учащихся умения рассуждать, предусматривающей построение локальных теорий.

Практическая значимость проведённого исследования заключается в том, что вскрыты и охарактеризованы резервы и возможности обучения учащихся 5-6 классов доказательству математических утверждений; определены этапы в обучении школьников доказательству математических утверждений и сформулированы основные задачи каждого этапа; разработана методика построения локальных теорий при обучении математике в 5 - 6 классах на нематематическом и арифметическом материале; разработаны принципы проектирования учебного материала, позволяющего выстраивать локальную теорию.

Сформулированные теоретические положения и научно-методические рекомендации могут послужить основой для создания локальных теорий на другом конкретном материале. Результаты исследования могут быть использованы учителями в практике обучения математике, методистами - в курсе методики преподавания математики на математических факультетах педагогических университетов и институтов.

Полученные результаты используются автором при проведении спецкурса "Формирование и развитие у учащихся умения обоснованно рассувдать при обучении математике" на факультете начального образования Карельского государственного педагогического университета.

Апробация результатов исследования. Основные теоретические и практические положения исследования, результаты эксперимента и выводы докладывались и обсуждались на Герценовских чтениях в Российском государственном педагогическом университете им. А.И.Герцена (Санкт-Петербург, 1995, 1997 гг.), на семинаре аспирантов и преподавателей кафедры методики преподавания математики РИТУ (1996 г.), на семинаре аспирантов и преподавателей физико-математического факультета и факультета начального образования Карельского государственного педагогического университета (1997 - 1998 гг.), на научно-практических конференциях КГПУ (1993 - 1999 гг.), на международной научно-

практической конференции (КГПУ и Университет г.Йоэнсуу) (1998 г.), в 8 публикациях по проблеме исследования.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии, включающей 150 названий, и двух приложений.

На защиту выносятся:

1. Характеристика трёх видов рассуждений, позволяющих описывать процесс развития умения рассуждать.

2. Теоретическое положение о целесообразности и возможное: построения учащимися локальных теорий при изучении математики в 5 - •< классах;

3. Разработанная методика построения локальных теорий на нематематическом и на арифметическом материале способствует развитию умения рассуждать. Это развитие проявляется в переходе учащихся от проведения содержательных рассуяедений к доказательству.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность проблемы исследования, указаны объект и предмет, сформулированы проблема, гипотеза и задачи, раскрыты новизна, теоретическая и практическая значимость работы.

В первой главе "Психолого-педагогические и методические основы обучения доказательствам" на базе анализа литературы, посвящённой проблемам доказательства и обучения доказательству математических утверждений, приведены трактовки понятий "рассуждение" и "доказательство", "развитие умения рассуждать", обоснована необходимость выделения этапов в развитии умения рассуждать; сформулированы основные цели в обучении доказательству, соответствующие каждому этапу (§ 1).

В этой же главе выделены особенности младшего подросткового возраста, которые должны учитываться в процессе отбора содержания и методов обучения учащихся 5-6 классов, обоснована возможность и целесообразность обучения младших подростков доказательству утверждений (§ 2), проанализирована научно-методическая литература по

исследуемой проблеме, относящаяся к начальному этапу обучения (1-4 классы) и к обучению математике в 5 - 6 классах (§ 3).

Анализ литературы позволяет проследить две тенденции в установлении связи между понятиями "доказательство" и "рассуждение". Первая заключается в том, что эти понятия считают рядоположенными. Доказательство, как и рассуждение, есть цепочка суждений или мыслительный процесс. Вторая тенденция связана с установлением родовидовых отношений между этими понятиями. В этом случае "рассуждение" -более широкое понятие и является родовым для понятия "доказательство". В качестве видовых отличий выделяется цель, с которой проводится рассуждение, или соблюдение определённых правил при построении рассуждения.

В диссертации обосновывается целесообразность разделения понятий "рассуждение" и "доказательство". Не каждое рассуждение можно считать доказательством. Например, индуктивные рассуждения являются лишь правдоподобными и, следовательно, могут привести к ложному выводу. В доказательстве всегда имеется цель (заключительное звено в цепочке суждений). Рассуждение может не иметь конкретной цели. В ситуациях, когда человек чего-то не понимает, не знает, настроен в основном положительно на восприятие информации, ему объясняют, используя рассуждения. Доказывают, когда у собеседника есть или, может быть, подразумевается другая точка зрения, когда его надо даже не убедить, а переубедить (Р.И. Никольская). В таком случае меняется сам характер рассуждения, оно обязательно сопровождается аргументами, не подлежащими сомнению. Рассуждение (объяснение) может не содержать всех аргументов, в то время как структура доказательства предусматривает их наличие.

Именно это условие - наличие аргументации - позволяет разграничить понимание терминов "рассуждение" и "доказательство".

Под рассуждением в диссертации понимается цепочка суждений, каждое из которых логически вытекает из предыдущих. Доказательство рассматривается как рассуждение, в котором каждое звено цепочки снабжено аргументацией.

Различаются и обстоятельно характеризуются рассуждения трёх видов:

1) содержательное рассуждение (неаргументированное рассуждение в силу недостаточности знаний);

2) аргументированное рассуждение (доказательство);

3) свёрнутое доказательство (неаргументированное рассуждение, которое при необходимости может быть дополнено учеником до рассуждения второго вида).

Выделение указанных трёх видов рассуждения позволяет говорить о совершенствовании, развитии умения рассуждать.

Под умением рассуждать понимается способность выстраивать логическую цепочку суждений, используя имеющиеся знания. Под умением доказывать понимается способность выстраивать логическую цепочку суждений, каждое звено которой снабжено соответствующей аргументацией.

Проблема обучения доказательствам является объектом внимания преподавателей математики, методистов и психологов. Однако, ни в методической, ни в психологической литературе исследуемая проблема не находит полного отражения с точки зрения развития умения доказывать, выделения этапов этого развития. Развитие связано с количественными качественными изменениями, со структурными преобразованиями. Основываясь на этих позициях, развитие умения рассуждать понимается как последовательный переход от содержательного рассуждения к аргументированному (доказательству) и далее к свёрнутому доказательству. Этот переход обеспечит рост внутренней организации рассуждений, снабдив их (рассуждения) такими качествами как последовательность, полнота и обоснованность.

На основе анализа психолого-педагогической и научно-методической литературы и в соответствии со сложившейся традицией в преподавании математики были выделены этапы в обучении доказательствам.

В курсе математики начальной школы мало явно сформулированных определений понятий и свойств. Поэтому на данном этапе учащиеся используют доступные им способы обоснования. Во-первых, это так называемые способы "предматематического" доказательства: эксперимент, неполный индуктивный вывод, измерение, умозаключение по аналогии. Во-

вторых^ это достоверные способы обоснования, а именно, вычисление в дедуктивный вывод.; Содержание учебного материала, а также психологические возможности младших школьников позволяют им проводить простейшие одно-двухшаговые рассуждения. Следовательно первый этап в развитии умения рассуждать целесообразно отнести i обучению в начальной школе.

В 7-м классе учащиеся начинают изучать основы наук, что требуа овладения дедуктивными рассуждениями на достаточно высоком уровне учеников к этому надо готовить. Кроме того, к 12 - 13 годам складываюта определённые логические структуры (Д. Пиаже). Однако исследована (например, H.A. Подгорецкой) показывают, что при стихийном обучении эп логические структуры могут оказаться неправильно сформированными Следовательно, необходим этап в обучении, который позволит подготовит) у чащихся к восприятию и самостоятельному проведению доказательств ] 7-ом классе и будет способствовать становлению правильных логически: структур. Сказанное позволяет сделать вывод об особом месте 5-6 классов i развитии у учащихся умения доказывать. Именно в этот период должна быт: решена основная задача (в рамках исследуемого вопроса) - создание услови для предоставления учащимся возможности осуществить переход о содержательных рассуждений к доказательствам.

На основе выше сказанного были выделены этапы в развитии умени рассуждать. В диссертации сформулированы основные цели каждого этапа.

I этап - 1 - 4 классы (возраст учащихся составляет 6-10 лет) - эта содержательных рассунадений.

II этап - 5 - 6 классы (11 - 12 лет) - этап перехода от содержательны рассуждений к доказательствам.

П1 этап - 7 класс (13 лет) - этап овладения умением доказывать.

IV этап - 8 - 11 классы (14 - 17 лет) - этап овладения математическим методами доказательства.

С учётом важности этапа обучения математике в 5 - 6 классах, бых поставлена задача отыскать эффективное средство, позволяющее обеспечт учащимся возможность перехода от содержательных рассуждений доказательству в этот период.

Разработка методики, направленной на достижение основных целей в обучении доказательству учащихся 5-6 классов, требует учитывать психолого-педагогические закономерности процесса обучения, возрастные особенности младших подростков. В диссертации представлен анализ таких особенностей, который позволяет сделать следующие выводы:

- В младшем подростковом возрасте дети способны обучаться обоснованным рассуждениям.

- Необходимо специально создавать условия для формирования и развития у учащихся умения правильно рассуждать.

В научных исследованиях, посвященных обучению доказательствам, чаще всего находит отражение следующий круг вопросов:

1. Воспитание потребности в обосновании утверждений.

Как правило, здесь особую роль играют специально подобранные упражнения, в которых учащимся предлагается установить истинность или ложность данных предложений. Такие задания, безусловно, полезны для знакомства с разными способами обоснования суждений, но навряд ли они существенно повлияют на воспитание у учащихся потребности обосновывать свои суждения.

2. Формирование некоторых логических понятий, умений и действий.

В ряде исследований предлагается при изучении математики в 5 - 6

классах познакомить учащихся с явными определениями таких логических понятий, как отрицание, конъюнкция, дизъюнкция (JI.A. Латотин, B.C. Нодельман), а также с построением умозаключений по правилам вывода (Ж.Д. Ахмедов, Г.Р. Бреслер, Б.Д. Пайсон). Однако подход, связанный с введением формальных определений логических понятий и обобщённых схем умозаключений, в 5 - 6 классах не всегда оправдан. И вот почему. Проведённая в рамках констатирующего эксперимента контрольная работа показала, что шестиклассники, знакомые с правилами заключения, отрицания и силлогизма, намного успешнее справляются с построением одношаговых рассуждений (это проявляется в полноте умозаключения). С другой стороны при построении доказательств, содержащих более двух шагов, их решения практически не отличаются от решений сверстников, не владеющих указанными знаниями. Эти результаты наводят на мысль о том, что

недостаточно для доказательства математических утверждений уметь только определять логическую структуру доказываемого тезиса и строить умозаключение по известным правилам вывода.

Кроме того, письменный опрос и беседы, проведённые с учащимися разного возраста, абитуриентами и студентами педагогического университета, показали, что в подавляющем большинстве они затрудняются определить, что значит "доказать некоторое утверждение", а также выявить различия в понятиях "доказательство" и "рассуждение". Это позволяет говорить о том, что в процессе обучения у них не формируются правильные и чёткие представления о сути доказательства.

3. Формирование методов доказательства, например, метода "подведения под понятие путём выделения системы необходимых и достаточных признаков, скрытых за другими понятиями" (ГЛ. Буткин) или апагогического метода (М.И. Бурда).

Анализ методической литературы, рассматривающей отдельные проблемы обучения доказательству, а также полученные выше выводы позволили заключить следующее. Практически нет работ, в которых оргакмзация арифметического материала рассматривалась бы как средство развития умения доказывать. Таким образом, возможности арифметического материала в обучении логическим рассуждениям используются недостаточно. Изучение этого материала не служит в полной мере средством формирования адекватных представлений о сущности доказательства, а также средством, позволяющим учащимся приобрести опыт в доказательстве утверждений.

Сказанное свидетельствует, что для развития у учащихся 5-6 классов способности проводить обоснованные рассуждения целесообразно в процессе обучения математике предусмотреть построение локальных теорий Под локальной теорией понимается совокупность обобщённых положений, относящихся к конкретной теме. Именно построение локальных теорий может выступать в качестве средства, помогающего объединить отдельные, разрозненные умения учащихся в новое целостное образование, которое является ядром общего умения рассуждать.

Во второй главе формулируются основные положения методики обучения учащихся 5-6 классов доказательству утверждений посредством построения локальных теорий (§ 4), описываются разработанные в соответствии с этими положениями две локальные теории (§ 5), а также приводятся основные результаты экспериментальной работы (§ 6).

Основные положения методики построения локальных теорий разбиты нами на две группы. Первая группа в большей степени характеризует организационную сторону методики. На базе этих положений была получена методическая схема организации обучения учащихся. Суть этой схемы состоит в следующем: в процессе построения учащимися 5-6 классов локальной теории выделяются три этапа.

На первом - подготовительном - этапе построения локальной теории проводится мотивация рассмотрения данной теории, а также работа, связанная с введением терминологии в рамках этой теории.

Второй этап посвящён непосредственному построению локальной теории, т.е. формулированию теоретических положений, их обоснованию и первичному закреплению. Этот этап составляет основу разрабатываем методики и является наиболее значимым.

Как известно, всякая теория, в том числе и математическая, важна своими применениями. Одна из целей изучения какой-нибудь теории состоит в том, чтобы научиться её применять. Поэтому третий этап - применение полученной на предыдущем этапе теории к решению задач.

Каждый этап процесса построения локальной теории предполагает: воспитание у учащихся потребности в обосновании своих суждений; формирование различных способов обоснования суждений; уточнение сущности понятия "доказательство"; раскрытие логики доказательства;

ознакомление (на интуитивном уровне) с косвенными методами доказательства.

Следующая группа положений отражает специфику содержания локальных теорий.

В обучении школьников обоснованным рассуждениям на уроках математики в 5 - 6 классах необходимо предусмотреть построение, как

А5

минимум, двух локальных теорий: на нематематическом и математическом материале. Их построение не должно быть отделено большим промежутком времени.

К первой локальной теории предъявляются следующие основные требования. Она должна:

1) строиться на нематематическом материале,

2) позволять мотивировать проведение логических рассуждений,

3) давать возможность учащимся контролировать правильность полученного путём рассуждения результата.

Благоприятной для построения локальных теорий и по содержанию, и по времени изучения является первая тема - "Натуральные числа". Так как данная тема предполагает работу с числовым материалом, то оправдано построение математической, локальной теории, связанной с изучением чисел. Базой для построения такой теории могут стать чётные и нечётные числа. Выбор именно этого материала обусловлен следующими причинами:

1) Изучение чётных и нечётных чисел тесно связано с программным материалом (с темой "Натуральные числа").

2) Учащиеся знакомы с понятиями чётных и нечётных чисел.

Эти два условия позволяют безболезненно ввести построение локальных теорий в изучение первой темы курса математики 5-го класса.

3) Доказательство свойств операций " над чётными и нечётными числами, а также решение задач с использованием этих свойств дают возможность:

- использовать различные способы обоснования суждений (вычисление, индуктивный вывод, дедуктивное рассуждение);

- показать использование рассуждений не только для обоснования отвегч, но и для получения новых теоретических положений;

- уточнить сущность доказательства (как цепочки суждений, в которой каждый шаг аргументирован);

раскрыть логику доказательства; познакомить со способами косвенного доказательства; приобрести учащимся опыт построения цепочек логических рассуждений разной длины.

4) Материал отчасти знаком учащимся, вызывает у них интерес и поэтому привлекает их к активному участию в построении локальной теории.

5) Материал допускает компактное его оформление: свойства операций над числами представлены в виде таблиц, а доказательства свойств - в виде граф-схем. Это облегчает восприятие учащимися данного материала и его использование при решении конкретных задач.

Эти положения соответствуют основным положениям методики построения локальных теорий, сформулированным в диссертации.

6) Сравнительно небольшой по объёму теоретический материал позволяет решать широкий класс задач.

Обычно задачи на доказательство с использованием свойств чёгтны> а нечётных чисел предлагаются учащимся в качестве олимпиадных задач, так как эти свойства в курсе математики рассматриваются разрозненно (в виде отдельных задач) и не обобщаются. Специальное изучение указанных свойств превращает эти задачи из нестандартных в стандартные.

В диссертации основные положения методики реализованы в двух локальных теориях. Первая из них - "Кирпичики" (такое название происходит от вида предметного материала, с помощью которого организуется деятельность учащихся на уроке). Кирпичики - это бруски (деревянные прямоугольные параллелепипеды), длины сторон которых относятся как 1:2:4 (как в настоящем кирпиче).

Построение локальной теории "Кирпичики" включает в себя несколько этапов.

Первый этап - подготовительный. Его основное содержание:

1) Знакомство с предметным материалом - кирпичиками, чертежом и расположением на чертеже трёх видов - вида спереди, вида сверху и вида сбоку (слева).

2) Построение по чертежу простейших конструкций, состоящих из 1 - 2 кирпичиков (рис. 1).

3) Мотивация проведения рассуждений в случае более сложкш; конструкций (чертежей). В работе рассматриваются конструкции, при построении которых используется 4-8 кирпичиков.

Рис. 1 Пример простейшей конструкции из одного кирпичика и её чертёж

Второй этап - построение теории - включает:

1) введение терминологии, описывающей положение одного кирпичика (введение понятий),

2) введение правил (свойств понятий).

Третий этап - применение теории к решению задач.

На данном этапе предлагаются задания следующих видов: на соответствие элементов на чертеже и конструкции: на построение чертежа; на нахождение ошибки на чертеже или при построении конструкции; на восстановление чертежа; на преобразование чертежа или конструкции. В диссертации приведены примеры задач каждого вида.

Построение учащимися под руководством учителя теории "Чётные и нечётные числа" может проходить в следующей последовательности:

1. Подготовительный (мотивационный) этап.

2. Построение локальной теории:

- уточнение определений понятий "чётное число" и "нечётное число",

- вывод свойств операций над чётными и нечётными числами.

3. Решение задач с применением полученной теории.

Понятие чётного (нечётного) числа знакомо учащимся. Они определяют чётное число через условие делимости на 2. В то же время утверждается, что на 2 делятся чётные числа. Во избежание "порочного круга" в определении, а также для удобства применения на практике вводятся следующие определения: чётным называется натуральное число, десятичная запись

которого оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8; число 0 - чётное. Нечётным называется натуральное число, десятичная запись которого оканчивается цифрой 1, 3, 5, 7 или 9. Далее на основе этих определений рассматриваются некоторые свойства чисел.

На следующем шаге мотивируется необходимость введения аксиомы. Рассмотренные определения, свойства и аксиома позволяют учащимся доказать свойства операций сложения и умножения над чётными и нечётными числами. Эти свойства кратко можно представить в виде таблиц (ч - произвольное чётное число, н - произвольное нечётное число) (рис. 2):

+ ч н X ч н

ч ч н ч ч ч

н н ч н ч н

Рис.2 Свойства операций сложения и умножения над чётными и нечётными числами

В записи доказательства каждого свойства используются граф-схемы.

При решении задач с использованием в качестве аргументации рассмотренных положений теории чётных и нечётных чисел учащиеся могут пользоваться листом - справочником, который содержит введённые определения, аксиому и свойства. Такой помощник позволяет учащимся быстро находить нужное предложение.

Задачи, предлагаемые для решения на заключительном этапе построения локальной теории, распределены в три группы. Задачи первой группы (А) содержат в своей формулировке термины "чётное число" или "нечётное число", что указывает учащимся на применение соответствующей теории. Причём практически не требуется использование других теоретических сведений.

Задачи второй группы (В) не направляют мысль учащегося на применение теории чётных и нечётных чисел, что требует более широкого поиска способа решения и определённой доли смекалки. В некоторых задачах этой группы целесообразно использовать метод рассуждения "от

ЛЭ

противного" (предполагается знакомство с этим методом на интуитивной основе в 5-м классе и более подробно - в 6-м классе).

Задачи третьей группы (С), так называемые задачи олимпиадного характера, требуют от учащихся более высокого уровня логического мышления. При их решении необходимо использовать жизненный опыт школьников и дополнительные теоретические сведения. В диссертации приведены примеры задач из каждой группы.

Последний параграф второй главы посвящён описанию этапов и основных результатов педагогического эксперимента.

Чтобы судить о том, произошло или не произошло развитие умения рй ;суждать, были выделены два критерия:

1. Правильность выбора способа обоснования. Подразумевается, что учащиеся при изучении математики в 1 - 6 классах должны познакомиться с такими основными способами обоснования, как приведение примера (подтверждающего или опровергающего), перебор всех возможных вариантов, рассуждение. Все эти способы равноценны. Однако в конкретной ситуации некоторые из них не приемлемы. В этом случае и необходимо осуществить правильный выбор способа обоснования.

2. Аргументированность рассуждения. Этот критерий позволяет проверить, выработана ли у учащихся потребность в обосновании, и если да, то насколько полно проводится это обоснование. Были введены уровни аргументированности рассуждений, которые дали возможность определить для каждого ученика тот уровень аргументированности рассуждений, на котором он в данный момент находится. Это привело к ввыделению показателя, позволяющего делать вывод о развитии умения рассуждать. Таким показателем является значение приращения уровня аргументированности, вызванное приращением времени обучения (сдвиг в уровнях аргументированности).

Для оценки достоверности полученных результатов были использованы ст; гистические методы обработки. Для выявления различий в контрольной и экспериментальной группах по первому критерию использовано угловое преобразование Фишера (ф*). Для оценки сдвига в уровнях аргументированности рассуждений проведены независимая обработка двух

го

зыборок (с помощью критерия знаков в) и сопоставление сдвигов в двух зыборках (с помощью критерия и - Манна-Уитни).

Результаты качественного и количественного анализа данных, полученных в ходе экспериментальной работы, свидетельствуют о справедливости выдвинутой гипотезы и основных положений методики обучения обоснованным рассуждениям посредством построения локальных теорий, а также о действенности внедрения в практику школьного обучения разработанных методических материалов.

Таким образом, в результате теоретического и экспериментального исследования:

1. Показана необходимость и целесообразность обращения в процессе обучения математике к понятиям "рассуждение" и "доказательство".

2. Предложено различать эти понятия по наличию характерного признака - аргументации. При этом термины "обоснованное рассуждение", "аргументированное рассуждение", "логическое рассуждение" и "доказательство" считаются синонимами.

3. Обоснована целесообразность поэтапного формирования и развития у школьников умения доказывать. Выделено четыре этапа, которые согласуются с установившейся практикой обучения математике в школе. Определены основные задачи каждого этапа в плане обучения обоснованным рассуждениям.

4. Обоснована необходимость и возможность обучения младших подростков некоторым аспектам доказательства как совокупности умений, не разделяя обучение отдельным умениям во времени.

5. Выявлены возможности использования локальных теорий как эффективного средства обучения школьников обоснованным рассуждениям при изучении математики в 5 - 6 классах.

6. Сформулированы требования: к отбору материала для построения локальных теорий и основные положения методики обучения обоснованным рассуждениям в курсе математики 5-6 классов. Доказано, что разработанная с учётом этих положений методика является эффективным средством развития у учащихся умения рассуждать.

Результаты экспериментальной проверки показали, что внедрение разработанных материалов способствует повышению уровней аргументированности суждений у учащихся, прочности полученных умений, а также формированию у них элементов теоретического мышления. Это позволяет сформулировать следующие выводы:

1) У значительной части детей этого возраста можно сформировать и обеспечить предпосылки последующего развития основ теоретического мышления;

2) Эту задачу можно решить, если организовать усвоение знаний (некоторой их части) младшими подростками посредством локальных теорий.

Перечисленные результаты убеждают в практической значимости проведённого исследования.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

1. К вопросу об умении доказывать/ТМатематическое образование: современное состояние и перспективы: Тезисы докладов международной конференции. - Могилёв, 1999. - С. 175-176.

2. К вопросу о развитии у учащихся умения рассуждать при обучении математике в 5 - 6 классах//Прикладная математика, информатика, электроника (методические и научно-практические вопросы). Межвузовский сборник научных трудов. - СПб., 1997. -С.92-103.

3. Проблемы организации предметных действий при обучении доказательствам/Юсобенности обучения математике в профильной школе и подготовка учителя к работе в ней: Тезисы докладов на Герценовских чтениях. - СПб.: Образование, 1996. - С.35.

4. Работа над речью учащихся на уроках математики//Проблемы развития речи. Материалы межвузовской научно-практической конференции. - Петрозаводск, 1992. - С.46-51.

5. Teaching Children to Think Logically at Mathematics Lessons/Beaching "Mathematics and Physics in Secondary and Higher Education. - Joensuu University Press, 1998.-P.151-154.

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Смирнова, Светлана Иосифовна, 1999 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Психолого-педагогические и методические | основы обучения доказательствам.

§ 1. Понятия «рассуждение» и «развитие ф умения рассуждать».

§ 2. Психологические основания развития умения рассуждать.

§ 3. Обучение доказательству в методических исследованиях.

ГЛАВА II Методика построения локальных теорий ^ при изучении математики.

§ 4. Основные положения методики построения

1 локальных теорий.

§ 5. Построение локальных теорий при обучении j математике в 5 - 6 классах. j

§ 6. Методика и основные результаты j экспериментальной работы.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Развитие у учащихся умения рассуждать при обучении математике в 5-6 классах"

Для общего развития ученика огромное значение имеет развитие умения рассуждать. Кроме того, как указывает И.А. Гибш, «умение логически мыслить, правильно рассуждать является необходимым условием для глубокого и сознательного усвоения математики» [28, С.2].

Сегодня практика обучения математике такова, что обучение доказательствам традиционно связывается с началом изучения в 7-м классе систематического курса геометрии.

Многие методисты и учителя (А.Д. Александров, А.А. Ефим-чик, М.Г. Мехтиев, Т.Ф. Фролова и др.) отмечают, что ознакомление семиклассников с первыми логическими доказательствами является одной из сложнейших проблем. Действительно, усвоение доказательств в начале изучения систематического курса геометрии связано с рядом трудностей. о-первых, учащиеся не осознают необходимости доказательства теорем. В 7-м классе они сталкиваются с обилием логических доказательств, которые, как указывает А.А. Столяр, «вынуждены заучивать, не понимая ещё необходимости доказательства и идеи самого доказательства» [127, С,5]. Практика показывает, что типична ситуация, когда даже хорошо успевающий ученик «имитирует некоторые приёмы, не понимая сути . доказательства» [81> С.41]. В этом непонимании заключена вторая причина трудностей. В 7-м классе изучение сущности доказательства оказывается отодвинутым на второй план, так как более важным для большинства учителей является усвоение учащимися программного материала определений новых геометрических понятий, свойств понятий, доказательств этих свойств). Поэтому на уроке не уделяется должное внимание рассмотрению сути доказательства. Ученик, вынужденный заучивать готовое доказательство, не понимая, откуда оно взялось и почему именно такое, постепенно утрачивает интерес к предмету. Следовательно, третья причина - в перегрузке учащихся на первых шагах изучения систематического курса геометрии. В-четвёртых, особенности геометрических задач на доказательство, в отличие от знакомых алгебраических задач, создают психологический барьер. Как показывает опыт, учащиеся подчас отказываются от выполнения задания, только увидев требование «докажите». Ведь в задаче на доказательство известны не только некоторые условия (как в алгебраической), но и результат (например, что прямые параллельны или четырехугольник является квадратом).

Ещё более серьёзные проблемы возникают при самостоятельном доказательстве утверждений. Главной причиной этого, на наш взгляд, является недостаточность личного опыта учащихся в построении логических доказательств. Известно, что центральным звеном в доказательстве утверждения является нахождение пути, принципа или основного способа его доказательства. Идея доказательства возникает в виде догадки, предположения, гипотезы. Огромную роль в поиске идеи доказательства играет предшествующий накопленный опыт. На это указывает А.Д. Александров: «. вообще нужно много упражняться, чтобы научиться какому-либо виду деятельности, будь то работа напильником, ходьба на лыжах или логические рассуждения» [5]. Поэтому появляется необходимость в накоплении учащимися опыта в построении логичен ских рассуждений ещё до изучения систематического курса геометрии. \

Чтобы понять истоки трудностей, возникающих у семикласс- * ников в связи с усвоением доказательств в начале изучения систематического курса геометрии, мы проанализировали программы по математике для общеобразовательных учреждений и отметили, что они не нацеливают учителя на формирование умения рассуждать (это умение оказывается побочным результатом обучения). Как следствие, учитель часто не уделяет должного внимания данной проблеме. Кроме того, в требованиях к математической подготовке учащихся об умении проводить рассуждения говорится только в разделах, относящихся к курсу геометрии. Таким образом, игнорируются возможности курса математики 5-6 классов и курса алгебры в решении поставленной проблемы. Но, как известно, умение рассуждать является общелогическим умением, поэтому недостаточно формировать его лишь на уроках геометрии. Тем более что длительное отсутствие теоретического осмысления сути доказательства не позволяет весь изучаемый с 1-го по 7-й класс материал воспринимать осознанно.

Выявленные затруднения учащихся:

1) свидетельствуют об их неподготовленности к переходу на дедуктивный уровень изучения геометрического материала, предполагающий строгую обоснованность изучаемых (в том числе очевидных) фактов;

2) могут быть связаны с односторонностью и ограниченностью имеющегося у учащихся логического опыта, что, в свою очередь, тормозит формирование основных мыслительных операций;

3) отражают специфику программы и учебников по курсу математики 5-6 классов.

Вышеизложенное позволяет сделать следующие выводы: v начинать знакомство с доказательствами следует на более раннем этапе обучения математике; для каждого этапа обучения полезно определить конкретные задачи в плане развития указанного умения.

Выделяя этапы и формулируя задачи каждого этапа, следует руководствоваться содержанием школьных программ по математике и учитывать возрастные особенности учащихся.

В методической литературе различное содержание логических умений и последовательность в их формировании у учащихся предлагают А.К. Артёмов, И.Л. Никольская* Н.Ф. Талызина и др.

На основе анализа литературы и в соответствии со сложившейся традицией в преподавании математики мы выделили следующие этапы в обучении доказательствам:

I. - 1 - 4 классы,

II. - 5 - 6 классы,

III. - 7 класс,

IV. -8-11. классы.

В курсе математики начальной школы мало явно сформулированных определений понятий и свойств. Поэтому на данном этапе учащиеся используют доступные им способы обоснования. Это, во-первых, так называемые способы «предматематического» доказательства: эксперимент, неполный индуктивный вывод, измерение, умозаключение по аналогии [77]. Во-вторых, это достоверные способы обоснования, а именно: вычисление и дедуктивный вывод. Содержание учебного материала, а также психологические возможности младших школьников позволяют им проводить простейшие одно- двухшаговые рассуждения.

В 7 классе учащиеся начинают изучать основы наук, что требует овладения дедуктивными рассуждениями на достаточно высоком уровне; учеников к этому надо готовить. Кроме того, к 12 - 13 годам складываются определенные логические структуры [97]. Однако исследования [например, 102] показывают, что при стихийном обучении эти логические структуры могут оказаться неправильно сформированными. Следовательно, необходим этап в обучении, который позволит подготовить учащихся к восприятию и самостоятельному проведению доказательств в 7-м классе и будет способствовать становлению правильных логических структур.

Сказанное позволяет сделать вывод об особом месте 5-6 классов в развитии у учащихся умения доказывать. Именно поэтому мы обратились к данному этапу школьного обучения и поставили перед собой задачу отыскания средства, позволяющего учащимся при обучении математике в 5 - 6 классах:

1) вырабатывать потребность в обосновании суждений;

2) формировать правильные представления о сущности доказательства;

3) развивать умение рассуждать;

4) приобретать опыт построения доказательств.

Вопросы, связанные с обучением учащихся доказательствам, рассматриваются в методической литературе давно, и здесь накоплен достаточно большой опыт. Однако чаще всего в исследованиях находит отражение следующий круг вопросов.

1. Воспитание потребности в обосновании утверждений.

2. Формирование некоторых логических понятий, умений и действий.

В ряде исследований предлагается при изучении математики в 5-6 классах познакомить учащихся с явными определениями таких логических понятий, как отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, а также с построением умозаключений по правилам вывода (правилам заключения, отрицания и^силлогизма). Мы считаем, что подход, связанный с введением формальных определений логических понятий и обобщенных схем умозаключений, в 5 - 6 классах не всегда оправдан. И вот почему. Проведённая в рамках констатирующего эксперимента контрольная работа показала, что шестиклассники, знакомые с правилами заключения, отрицания и силлогизма, намного успешнее справляются с построением одношаговых рассуждений (что проявляется в полноте умозаключения). С другой стороны, при построении доказательств, содержащих более двух шагов, они практически не отличаются от сверстников, не владеющих указанными знаниями. Эти результаты наводят на мысль о том, что для доказательства математических утверждений недостаточно уметь определять логическую структуру доказываемого тезиса и уметь строить умозаключение по известным правилам вывода.

Кроме того, письменный опрос и беседы, проведённые с учащимися разного возраста, абитуриентами и студентами педагогического университета, показали, что в подавляющем большинстве они затрудняются определить, что значит «доказать некоторое утверждение», а также выявить различия в понятиях «доказательство» и «рассуждение». Это позволяет говорить о том, что в процессе обучения у них не формируются правильные и чёткие представления о сути доказательства.

3. Формирование методов доказательства, например, метода «подведения под понятие путём выделения системы необходимых и достаточных признаков, скрытых за другими понятиями» [19] или апагогического метода [18].

В некоторых исследованиях авторы предлагают свои программы воспитания у школьников логической культуры. Например, Т.А. Кондрашенковой разработана программа формирования общелогических умений учащихся 5 — 6 классов, состоящая из трёх разделов: «Определение», «Классификация», «Элементы дедукции» [51]. Последний раздел включает следующий материал:

1) простейшие умозаключения modus ponens и modus tollens;

2) опровержение контрпримером;

3) логическое следование;

4) простейшие умозаключения по правилу силлогизма;

5) структура доказательства в 1 - 3 шага.

Однако, говоря о доказательствах, автор важное место отводит построению умозаключений, не уделяя должного внимания усвоению логики доказательства, выделению шагов доказательства, установлению взаимосвязи между отдельными шагами.

Таким образом, имеющиеся методические работы, рассматривающие вопросы обучения доказательствам в курсе математики 5-6 классов, раскрывают не все аспекты формирования умения доказывать. Во-первых, недостаточно освещена проблема формирования у младших подростков верных представлений о сущности доказательства. Во-вторых, у учащихся не вырабатывается понимание того, что для проведения доказательств в рамках некоторой темы необходимы: 1) совокупность понятий (терминов), позволяющих говорить и быть понятым, 2) совокупность свойств понятий, позволяющих аргументировать суждения по данной теме. Тем самым не раскрывается механизм использования имеющихся знаний при проведении доказательств.

Необходимость совершенствования сложившейся практики обучения доказательствам при изучении математики, роль и значимость формирования у учащихся (для более осознанного изучения математики, а также для общего развития) целостного умения рассуждать, недостаточная разработанность всех аспектов обучения доказательствам в методической литературе, низкий уровень овладения учащимися умением логически рассуждать определили актуальность темы данного исследования.

Мы считаем, что решению вышеобозначенных проблем будет способствовать создание учащимися под руководством учителя локальных теорий. Построение таких теорий описывает А.А. Столяр [48, 128]. Автор рассматривает построение математической теории в качестве одного из трёх основных аспектов математической деятельности.

Ценность создания локальных теорий может заключаться в том, что эта деятельность позволит:

• мотивировать проведение логических рассуждений,

• эффективно влиять на понимание учащимися сущности доказательства,

• объединить отдельные, разрозненные умения в новое целостное образование, на основе которого будет происходить развитие умения рассуждать,

• приобретать учащимся опыт в логических рассуждениях.

Кроме того, изучение локальных теорий

• будет способствовать пониманию учащимися изучаемого материала, то есть позволит им рассматривать новый материал как элемент теории, выстроенной кем-то другим.

Поэтому мы обратились к исследованию проблемы выявления возможностей использования локальных теорий с целью развития у учащихся умения логически рассуждать.

Данные практики обучения доказательству, анализ методических исследований, посвященных формированию умения доказывать, показали, что обучение доказательству проводится в основном на геометрическом материале. Однако в рамках обучения математике в 5 - 6 классах это требует высвободить достаточно много времени, что не всегда удается. Практически нет работ, в которых организация арифметического материала рассматривалась бы как средство развития умения доказывать. Это привело нас к выводу о том, что возможности арифметического материала в обучении логическим рассуждениям используются недостаточно. Изучение этого материала не служит в полной мере средством формирования адекватных представлений о сущности доказательства, а также средством, позволяющим учащимся приобретать опыт в доказательстве утверждений. Сказанное свидетельствует о важности исследования возможностей построения в курсе математики 5-6 классов локальных теорий на арифметическом материале.

Решение поставленной выше проблемы мы связывали с изучением математики в 5 - 6 классах и стремились при этом ответить на следующие вопросы:

1. Какой конкретно арифметический материал целесообразно использовать при построении локальных теорий?

2. Какие методы изложения этого материала наиболее эффективны?

Объектом исследования служит процесс формирования умения рассуждать при обучении математике.

Выбор указанного объекта исследования обусловлен двумя основными причинами. Во-первых, умение рассуждать является общекультурным умением, и поэтому его формирование должно пронизывать весь процесс обучения, в том числе математике. Во-вторых, умение рассуждать является общеучебным умением, и поэтому его формирование преимущественно при изучении геометрии не оправдано.

Предметом исследования является содержание учебного материала, способствующего развитию умения рассуждать, и методика его изучения.

Исследование указанного предмета должно привести к решению поставленной проблемы и достижению цели настоящего исследования, состоящей в проектировании арифметического материала, допускающего построение учащимися локальной теории, которое даёт возможность развивать у них умение рассуждать, и в разработке методики построения такой теории в 5 - 6 классах.

Гипотеза исследования строилась на предположении о том, что развитие у школьников умения рассуждать будет более эффективным, если при изучении математики в 5 - 6 классах осуществляется систематическое и целенаправленное обучение доказательствам посредством построения локальных теорий и последующего их применения при решении математических задач.

В ходе исследования предполагалось решить следующие задачи:

1. Проанализировать ведущие идеи в обучении доказательствам в курсе математики основной школы;

2. Изучить содержание и методику обучения доказательствам и выявить имеющиеся возможности использования локальных теорий в качестве средства развития у учащихся умения рассуждать;

3. Выявить критерии оценки уровня развития у учащихся умения рассуждать;

4. Спроектировать материал, допускающий построение локальной теории, и разработать методику его изучения;

5. Экспериментально проверить эффективность полученной методики и разработать научно-практические рекомендации по совершенствованию процесса обучения математике в 5-6 классах.

Для решения поставленных задач были использованы различные методы исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы, программ и учебников по математике для основной школы; наблюдение за деятельностью учащихся на уроках; опросы и беседы с учащимися и учителями; педагогический эксперимент; обработка и интерпретация полученных данных.

В ходе исследования учитывался также собственный опыт работы в школе в качестве учителя математики в течение восьми лет.

Исследование проводилось с 1993 по 1999 гг. и включало несколько этапов.

На первом этапе (1993 - 1995 гг.) был проведён анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования. В ходе работы учителем математики в 5-6 классах (1993 - 1995 гг.) вёлся активный поиск содержания и методов, позволяющих обучать школьников обоснованным рассуждениям. В результате теоретического анализа литературы и практической работы были выявлены возможности обучения младших подростков доказательствам, а также возможности использования локальных теорий для этого обучения. Проведён анализ состояния обучения доказательствам в курсе математики основной школы (содержания и методики обучения), организован констатирующий эксперимент. Результатом этого этапа явилась разработка теоретической концепции исследования и основных положений методики использования локальных теорий в качестве средства развития умения рассуждать, в том числе - требований к отбору материала.

На втором этапе (1996 - 1997 гг.) в ходе поискового эксперимента с учётом требований к отбору материала, позволяющего выстраивать локальную теорию, такой материал был спроектировали разработана методика его изучения.

На третьем этапе (1997 - 1999 гг.) была уточнена методика изучения отобранного материала е учётом результатов поискового эксперимента, проведён обучающий эксперимент, обобщены все полученные экспериментальные и теоретические результаты, сделаны выводы, разработаны и внедрены в образовательную практику научно-методические рекомендации по совершенствованию процесса обучения математике в 5 - 6 классах основной школы.

Теоретической базой исследования явились положения теории познания, современной философии образования, психологии; системный подход в построении методики обучения; теория учебной деятельности; работы в области развивающего обучения математике.

Научная новизна исследования состоит в теоретическом обосновании возможности использования локальных теорий как эффективного средства развития у школьников умения проводить обоснованные рассуждения в курсе математики 5-6 классов и в определении требований к отбору материала, позволяющего выстраивать локальную теорию, в выявлении критериев для определения уровня развития умения рассуждать;

Теоретическая значимость исследования определяется научно-методическим обоснованием необходимости выделения этапов в обучении школьников доказательству математических утверждений, уточнением содержания понятий "рассуждение" и "доказательство" и их взаимосвязи, теоретическим обоснованием йозможности и целесообразности организации целенаправленной работы по развитию у учащихся умения рассуждать, предусматривающей построение локальных теорий.

Полученные результаты используются автором при проведении спецкурса «Формирование и развитие у учащихся умения обоснованно рассуждать при обучении математике» на факультете начального образования Карельского государственного педагогического университета.

Апробация результатов исследования. Основные теоретические и практические положения исследования, результаты эксперимента и выводы докладывались и обсуждались на Герценовских чтениях в Российском государственном педагогическом университете им. А.И. Герцена (Санкт-Петербург, 1995, 1997 гг.), на семинаре аспирантов и преподавателей кафедры методики преподавания математики РГПУ (1996 г.), на семинаре аспирантов и преподавателей физико-математического факультета и факультета начального образования Карельского государственного педагогического университета (1997 - 1998 гг.), на научно-практических конференциях КГПУ

1993 - 1999 гг.), на международной научно-практической конференции (КГПУ и университет г.Йоэнсуу) (1998 г.).

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

1. К вопросу об умении доказывать//Математическое образование: современное состояние и перспективы: Тезисы докладов международной конференции. - Могилёв, 1999. - С. 175176.

5. Teaching Children to Think Logically at Mathematics Les-sons//Teaching Mathematics and Physics in Secondary and Higher Education. - Joensuu University Press, 1998. - P. 151-154.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по главе II

В данной главе:

1. Сформулированы основные положения методики:

- Построение локальной теории должно быть мотивированным;

- Процесс обучения доказательству посредством локальных теорий выстраивается в виде создания и снятия учащимися последовательности проблемных ситуаций;

- Предусматривается сочетание различных видов мышления, использование различных средств наглядности;

- На этапе непосредственного построения локальной теории и в дальнейшем её применении при решении задач организуется деятельность, предусматривающая проговаривание вслух выполняемых действий каждым учеником;

- Накапливаемые теоретические положения систематизируются в процессе построения локальной теории.

2. Выявлены требования к материалу, на котором может быть выстроена локальная теория при обучении математике в 5-6 классах:

- связан с программным материалом;

- позволяет использовать опыт учащихся;

- вызывает интерес у учащихся;

- допускает использование различных способов обоснования;

- включает небольшое число теоретических положений;

- даёт возможность применять теорию при решении широкого класса задач.

3. Предложена реализация основных положений для двух конкретных локальных теорий (на нематематическом и арифметическом материале).

4. Экспериментально доказана целесообразность и возможность организации деятельности по построению локальных теорий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цель проведённого исследования состояла в поиске арифметического материала, допускающего построение локальной теории, и в разработке методики построения такой теории в 5 - 6 классах. Получение такой методики представляет один из аспектов работы, направленной на формирование и развитие у школьников умения рассуждать, на достижение учащимися более высокого уровня аргументированности суждений.

Период обучения математике в 5 - 6 классах является наиболее значимым в организации целенаправленной деятельности по формированию у учащихся определённых умений, связанных с обоснованием математических утверждений. Это объясняется возрастными особенностями младших подростков, их потребностями и возможностями, а также особым значением этой деятельности в плане подготовки учащихся к изучению доказательств в курсах геометрии и алгебры.

Построение обоснованных рассуждений имеет важное общеобразовательное значение, отражает специфику и особенности предмета математики на доступном учащимся 5-6 классов уровне. Умение обосновывать свои суждения (доказывать), являясь общелогическим, общекультурным умением, позволяет учащимся приобрести "инструмент" для решения многих задач как в курсах других учебных предметов, так и в жизни вообще.

В деятельности по обучению доказательствам можно выделить несколько аспектов: воспитание потребности в обосновании, знакомство с различными способами обоснования, изучение сущности доказательства и методов доказательства, приобретение опыта в построении аргументированных рассуждений и другие.

Изучение практики работы школы свидетельствует, что> практически, на всех этапах обучения учащиеся испытывают затруднения в восприятии и особенно самостоятельном проведении доказательств. Поэтому обучение учащихся обоснованным рассуждениям требует существенного улучшения.

Одним из средств развития у школьников умения аргументированно рассуждать является внедрение в учебный процесс построения локальных теорий с последующим их применением при решении задач.

В результате выполненного исследования:

1. Показана необходимость и целесообразность обращения в процессе обучения математике к понятиям "рассуждение" и "доказательство". Предложено различать эти понятия по наличию характерного признака - аргументации. При этом термины "обоснованное рассуждение", "аргументированное рассуждение", "логическое рассуждение" и "доказательство" считаются синонимами.

2. Обоснована целесообразность поэтапного формирования и развития у школьников умения доказывать. Выделено четыре этапа:

I - 1-4 классы,

II - 5-6 классы,

III - 7 класс,

IV - 8-11 классы, которые согласуются с установившейся практикой обучения математике в школе. Определены основные задачи каждого этапа в плане обучения обоснованным рассуждениям.

3. Обоснована необходимость и возможность обучения младших подростков некоторым аспектам доказательства как совокупности умений, не разделяя обучение отдельным умениям во времени.

4. Выявлены возможности использования локальных теорий как эффективного средства обучения школьников обоснованным рассуждениям при изучении математики в 5 - 6 классах.

5. Сформулированы требования к отбору материала для построения локальных теорий и основные положения методики обучения обоснованным рассуждениям в курсе математики 5-6 классов. Доказано, что разработанная с учётом этих положений методика является эффективным средством развития у учащихся умения рассуждать.

Результаты экспериментальной проверки показали, что внедрение разработанных материалов способствует не только повышению уровней аргументированности суждений у учащихся, но и формированию у них элементов теоретического мышления. Это позволяет обозначить следующие выводы:

• у значительной части детей этого возраста можно сформировать и обеспечить предпосылки последующего развития основ теоретического мышления;

• эту задачу можно решить, если обеспечить усвоение знаний (некоторой их части) младшими подростками посредством локальных теорий.

Перечисленные результаты убеждают в практической значимости проведённого исследования.

Результаты внедрения разработанных материалов подтвердили выдвинутую нами гипотезу о том, что развитие у школьников умения рассуждать будет более эффективным, если при изучении математики в 5 - 6 классах осуществляется систематическое и целенаправленное обучение доказательствам посредством построения локальных теорий и последующего их применения при рещении математических задач.

Направления дальнейшего исследования проблемы обучения доказательствам мы видим:

1) в разработке других локальных теорий, построенных с учётом требований к материалу и основных положений методику строения локальных теорий;

2) в поиске возможностей представления основного содержания курса математики 5-6 классов в виде последовательных локальных теорий;

3) в более полном установлении возможностей построения локальных теорий и их влияния на общее развитие школьников.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Смирнова, Светлана Иосифовна, Петрозаводск

1. Абилова Г.Т. Методика обучения геометрии в 5 - 6 классах общеобразовательной средней школы: Автореф. дис. . кан^. пед. наук. - Алматы, 1996. - 20 с.

2. Аблова B.C. Формирование элементов логико-алгоритмической культуры учащихся в процессе обучения математике в начальной школе: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Орёл, 1995. - 16 с.

3. Аксиома. Аксиоматика и аксиоматический метод// Энциклопедический словарь юного математика. М., 1985. - С.9—13.

4. Александров А.Д. Геометрия в современной математике и математическом образовании//Математика в школе. 1993. - № 4. — С.3-9. '

5. Александров А.Д. О геометрии//Математика в школе. 1980. -№3,-С.56-62.

6. Ананченко К.О. Обучение индуктивным и дедуктивным умозаключениям в курсе алгебры восьмилетней школы: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1979. - 20 с.

7. Ананьев Б.Г. О проблемах современного человекознания. — М.: Наука, 1997. С.312-331.

8. Артёмов А.К. Методологические основы методики формирования математических умений школьников: Дисс. . док. пед. наук. -Пенза, 1984. 350 с.

9. Асмус В.Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. -М.: Госполитиздат, 1954.-88 с.

10. Атаханов Р.А. К диагностике развития математического мыш-ления//Вопросы психологии. 1992. - №№ 1 - 2. - С.60-67.

11. Ахмедов Ж.Д. Подготовка учащихся 4-5 классов к проведению доказательств в систематическом курсе геометрии: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1988. — 14 с.

12. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения. Общедидактический аспект. М.: Педагогика, 1977. - 254 с.

13. Байрамов А.С. Динамика развития самостоятельности и критичности мышления у детей младшего школьного возраста: Ав-тореф. дисс. . док. пед. наук. Баку, 1968. - 128 с.

14. Блонский П.П. Избранные педагогические и психологические сочинения: В 2-х т. Т.2. - М.: Педагогика, 1979. - 399 с.

15. Богоявленский Д.Н. Приёмы умственной деятельности и их формирование у школьников//Вопросы психологии. 1969. -№> 2. - С.29-34.

16. Бреслер Г.Р. Методика обучения элементам доказательства в курсе математики 4 и 5 классов: Дисс. . канд. пед. наук. — Л., 1974. 164 с.

17. Брушлинский А.В. Психология мышления и проблемное обучение. -М.: Знание, 1983. 96 с.

18. Бурда М.И. Формирование у учащихся 4-8 классов умений доказывать геометрические утверждения: Автореф. дисс. . кацд. пед. наук. Киев, 1980. - 21 с.

19. Буткин Г.А. Формирование умений, лежащих в основе геометрического доказательства/Формирование приёмов математического мышления. Под ред. Н.Ф. Талызиной. М., 1995. -С. 120-155.

20. Бутко Д.Г. Влияние методов и приёмов обучения на формирование умения доказывать у учащихся старших классов (на материале дисциплин физико-математического цикла): Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Киев, 1983. - 22 с.

21. Быртова Н.А. Обучение обоснованным рассуждениям на уроках математики: Дипломная работа. Петрозаводск, 1999. - 64 с.

22. Верченко С.Б. Развитие пространственных представлений при изучении геометрического материала в 4 5 классах средней школы: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -М., 1984. - 16 с.

23. Возрастная и педагогическая психология. Учебное пособие для студентов пед. ин-тов/Под ред. проф. А.В. Петровского. -М.: Просвещение, 1973. 288 с.

24. Возрастные и индивидуальные особенности младших подростков/Под ред. Д.Б. Эльконина и Т.В. Драгуновой. М.: Просвещение, 1967. - 360 с.

25. Выготский JI.C. Проблема отношения развития и обучения в процессе обучения и развития учащихся: Избранные психологические исследования. М.: Наука, 1977. - 320 с.

26. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребёнка. М.: Изд-во МГУ, 1985. - 45 с.

27. Гальперин П.Я., Эльконин Д.Б. К анализу теории Ж. Пиаже о развитии детского мышления./Послесловие к книге Дж. X. Флей-велл Генетическая психология Жана Пиаже. М.: Просвещение, 1967. - С.596-621.

28. Гибш И.А. Развитие речи в процессе изучения школьного курса математики//Математика в школе. 1995. - №6. - С.2-5.

29. Гнеденко Б.В. Математика в современном мире и математическое образование//Математика в школе. 1991. - № 1. - С.2-4.

30. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. (Логико психологические проблемы построения учебных предметов). - М.: Педагогика, 1972. - 423 с.

31. Давыдов В.В. Основные проблемы развития мышления в процессе обучения//Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии. Под ред. И.И. Ильясова, В.Я. Ляудис. М.: Просвещение, 1981. - Ч. 2. - С.203-207.

32. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: ИНТОР, 1996. - 544 с.

33. Давыдов В.В., Маркова А.К. Концепция учебной деятельности школьников//Вопросы психологии. 1981. - № 6. - С.13-26.

34. Данилова Е.Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач: Дисс. . канд. пед. наук. Калинин, 1958.- 375 с.

35. Демидова С.И. Пути формирования обобщенных умений при обучении геометрии в восьмилетней школе: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1981. - 18 с.

36. Доказательство//БСЭ. М., 1972. - Т.8. - С.398-399.

37. Драгунова Т.В. Подросток. М.: Знание, 1976. - 96 с.

38. Дрозд В.Л. Обучение учебным приёмам логической организации математического материала в курсе геометрии 6-7 класса: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Киев, 1980. - 18 с.

39. Ерицян М.С. Психология дедуктивных умозаключений: Автореф. дисс. . канд. пед. наук, (по психологии) М., 1953. - 15 с.

40. Ефимчик А.А. Изучение первых геометрических понятий и доказательств. (Из опыта работы). Минск: Нар. асвета, 1963. -48 с.

41. Журавлёва О.Н. Теория и методика обучения доказательству в курсе планиметрии средней школы: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Саранск, 1996. - 16 с.

42. Занков Л.В. О предмете и методах дидактических исследований. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. - 148 с.

43. Иванова А.В. Преемственность в обучении геометрическому материалу между курсами математики 1 3 и 4 - 5 классов средней школы: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. - Л., 1987. -16 с.

44. Ивин А.А. Искусство правильно мыслить: Кн. для учащихся. -М.: Просвещение, 1986. 224 с.

45. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. М.: ЛИНКА-ПРЕСС, 1997. - 288 с.

46. Истомина Н.Б. Учить рассуждать младшего школьни-ка//Начальная школа. 1976. - № 9. - С.47-52.

47. Кабанова Меллер Е.Н. Формирование приёмов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. - М.: Просвещение, 1968. - 288 с.

48. Каплан Б.С. и др. Методы обучения математике: Некоторыевопросы теории и практики/Б.С. Каплан, Н.К. Рузин, А.А. Столяр; под ред. А.А. Столяра. -Мн.: Нар. асвета,1981. 191 с.

49. Клименченко Д.В. Задачи, воспитывающие исследовательские умения у младших школьников//Начальная школа. 1983. - № 7. -С.51-55.

50. Кондаков Н.И. Логика. Пособие для учителей. М.: Учпедгиз. - 1954.- 512 с.

51. Кондрашенкова Т.А. Методика формирования общелогических умений при обучении математике в 4 5 классах: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. - М., 1981. - 20 с.

52. Концепция развития школьного математического образова-ния//Математика в школе. 1990. - № 1. - С.2-14.

53. Костюк Г.С. Избранные психологические труды. М.: Педагогика, 1988. - 304 с.

54. Кравцов Г.Г. Психологические особенности учебной деятельности младших подростков: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -М., 1977.- 16 с.

55. Краснослобоцкая Г.В. Формирование общих интеллектуальных умений у учащихся на математическом материале в основной школе: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1994. - 16 с.

56. Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. М.: Просвещение, 1976. - 303 с.

57. Лаина П. Результативность обучения математике в школе. -Л.,1991. 78 с.

58. Латотин Л.А. Развитие логического мышления учащихся 4 — 7 классов на алгебраическом материале: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Минск, 1982. - 16 с.

59. Левинов A.M. О содержании понятий «навык» и «уме-ние»//Советская педагогика. 1980. - № 3. - С.68-72.

60. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Политиздат, 1975. - 304 с.

61. Лёхова В.П. Дедуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов//Начальная школа. 1998. - № 5. - С.28-31.

62. Лоповок Л.М. Варианты доказательства геометрических тео-рем//Математика в школе. 1975. - № 5. - С.29-31.

63. Лященко Е.И., Мазаник Е.И. Методика обучения математике в 4-5 классах. Минск: Народная асвета, 1976. - 222 с.

64. Маланюк Е.П. Подготовка учащихся к проведению доказа-тельств/Шачальная школа. 1980. - № 5. - С.33-36.

65. Маланюк Е.П. Формирование логической грамотности учащихся 1-5 классов в процессе обучения математике: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Киев, 1979. - 24 с.

66. Манцаев Н.Г. Система упражнений на составление задач учащимися как средство повышения эффективности обучения математике в 5 6 классах: Дисс. . канд. пед. наук. - СПб., 1992. -174 с.

67. Маркова А.К. Психология обучения подростка. М.: Знание, 1975.- 64 с.

68. Маркова А.К. и др. Формирование мотивации учения: Книга для учителя/А.К. Маркова, Т.А. Матис, А.Б. Орлов. М.: Просвещение, 1990. - С.78-121.

69. Математика: Учеб. Для 5 кл. общеобразоват. Учреждений/Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева, И.В. Шарыгина. М.: Просвещение, 1994. - 272 с.

70. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. школы/Л.П. Шеврин, А.Г. Гейн, И.О. Коряков, М.В. Волков. М.: Просвещение, 1994. -319 с.

71. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. школы/Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов. М.: Просвещение, 1992. - 304 с.

72. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. школы/Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа. М.: Просвещение, 1994. - 312 с.

73. Матис Т.А. Психологические условия формирования совместной учебной деятельности школьников: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1977. - 21 с.

74. Матюшкин A.M. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М.: Педагогика, 1972. - 208 с.

75. Махмутов М.И. Организация проблемного обучения в школе. -М.: Просвещение, 1977. 240 с.

76. Махров В.Г. Решение логических задач (для внеклассных за-нятий)//Начальная школа. 1979. - Jfe 2. - С.56-59.

77. Медведская В.П. Обучение младших школьников доказательству математических предложений: Авторефер. дисс. . канд. пед. наук. Минск, 1988. - 18 с.

78. Метельский Н.В. Пути совершенствования обучения математике: Пробл. соврем, методики математики. Мн.: Университетское, 1989. - 160 с.

79. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов/А.Я. Блох, Е.С. Канин, П.Г. Килина и др.; сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр.- М.: Просвещение, 1985. 336 с.

80. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннин-ский. М.: Просвещение, 1980. - 368 с.

81. Мехтиев М.Г. Некоторые суждения о проблеме обучения геометрии в школе//Математика в школе. 1994. - № 2. - С.40-42.

82. Михайлович Т.С. Формирование логических умений у младших школьников в процессе решения задач: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Киев, 1992. - 22 с.

83. Мостовой А.И. Различные способы доказательства в курсе геометрии восьмилетней школы. М.; Просвещение,1965.-103 с.

84. Мубараков A.M. Преемственность в изучении геометрического материала между курсами математики 5 6 и 7 - 9 классов: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. - М., 1993. - 18 с.

85. Немов Р.С. Психология. Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений. В двух кн. Кн. 2. Психология образования. М.: Просвещение, 1994. - 496 с.

86. Нечаева О.А. Функционально-смысловые типы речи. (Описание. Повествование. Рассуждение.) Улан-Удэ: Бурят, кн. изд-во, 1974.-261 с.

87. Никитин Б.П. Ступеньки творчества, или Развивающие игры. 3-е изд., доп. - М.: Просвещение, 1990. - 160 с.

88. Никольская И.Л. Воспитание логической культуры при обучении алгебре в 6 8 классах/Преподавание алгебры в 6 — 8 кл.; составители Ю.Н. Макарычев и Н.Г Миндюк. - М.: Просвещение, 1980.-С.168-185.

89. Никольская Р.И. Обучение рассуждениям в 1-м клас-се//Начальная школа. 1981. - № 5. - С.70-74.

90. Нодельман B.C. Система средств обучения для развития логической культуры учащихся на уроках математики в 4 8 классах: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. - М., 1979. - 20 с.

91. Общая психология/Под ред. А.В. Петровского. 2-е изд., доп.- М.: Просвещение, 1977. 479 с.

92. Оганесян В.А. Научные принципы отбора основного содержания обучения математике в средней школе: Дисс. . док. пед. наук. Ереван, 1984. - 349 с.

93. Окунев А.А. Как учить не уча. СПб.: Питер Пресс, 1996. -448 с.

94. Пайсон Б.Д. Развитие логического мышления учащихся с помощью средств дедуктивного вывода (на алгебраическом материале восьмилетней школы): Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -М., 1979. 18 с.

95. Перькова О.П., Сазанова Л.И. Выявление способности ребёнка анализировать, сравнивать, обобщать//Начальная школа. 1994.- № 9. С.30-33.

96. Пиаже Ж. Эволюция интеллекта в подростковом и юношеском возрасте/Шсихологическая наука и образование. 1997. - № 4. -С.56-64.

97. Плакатина О.И. Приёмы управления умственной деятельностью учащихся по актуализации знаний при решении задач надоказательство по геометрии: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -М., 1979. 16 с.

98. Платоненкова М.М. Сравни и сделай вывод//Начальная школа. 1998. - № 7. - С.71-72.

99. Повышение эффективности обучения математике в школе: Кн. для учителя: Из опыта работы/Сост. Г.Д. Глейзер. М.: Просвещение, 1989. - 240 с.

100. Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 6-10 классов средней школы. -М.: Просвещение, 1988. 303 с.

101. Подгорецкая Н.А. Изучение приёмов логического мышления у взрослых. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980. - 150 с.

102. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения: Пер. с англ. И.А. Вайнштейна,- М.: Наука, 1975,- 464 с

103. Пономарёв Я.А. Фазы творческого процесса//Исследование проблем психологии творчества. М.: Наука, 1983. - С.3-26.

104. Программы общеобразовательных учреждений. Математика. -М.: Просвещение, 1994. 240 с.

105. Психология современного подростка/Под ред. О.О. Фельд-штейна. М.: Педагогика, 1987. - 240 с.

106. Пышкало A.M. Методика обучения элементам геометрии в начальных классах: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1973.- 208 с.

107. Развитие творческой активности школьников/Под ред. A.M. Матюшкина. М.: Педагогика, 1991. - 160 с.

108. Ревуцкас Ю.И. Система упражнений как средство обучения доказательству теорем в курсе геометрии 6 класса: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1978. - 21 с.

109. Рогановский Н.М. Формирование навыков дедуктивных рассуждений в процессе решения задач//Математика в школе. -1980.-№ 3. С.52-53.

110. Ротенберг B.C., Бондаренко C.M. Мозг. Обучение. Здоровье: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1989. - 238 с.

111. Рубинштейн C.JI. Основы общей психологии: В 2-х т. М.: Педагогика, 1989. - С.360-483.

112. Рудакова Е.А., Царёва С.Е. Разбор задачи с использованием графических схем//Начальная школа. 1992.- № 11-12.-СЛ4-19.

113. Русанов В.Н. Логические задачи на раскрашивание//Начальная школа. 1991. - № 6. - С.36-38.

114. Саранцев Г.И. Применение карточек при обучении доказа-тельствам//Математика в школе. 1976. - № 3. - С.19-20.

115. Саранцев Г.И. Теоретические основы методики упражнений по математике в средней школе: Дисс. . канд. пед. наук. Саранск, 1985. - 303 с.

116. Сельдюкова С.И. Использование математическх заданий и задач из детских журналов и газет//Начальная школа. 1980. -№ 1. - С.38-42.

117. Семушин А.Д., Кретинин О.С., Семёнов А.Е. Активизация мыслительной деятельности учащихся при изучении математики. Обучение обобщению и конкретизации. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1978. 64 с.

118. Серебрянников О.Ф., Бродский И.Н. Дедуктивные умозаключения. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1969. - 96 с.

119. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. СПб.: Социально-психологический центр, 1996. - 346 с.

120. Слонская Л.П. Узловые вопросы преподавания геометрии в 6 8 классах средней школы: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -Киев, 1968. - 16 с.

121. Слуцкий В.М., Моррис А.К. Когнитивные механизмы способности рассуждать у подростка: вклад культурных и образова169 .Iтельных факторов//Психологический журнал, т. 18. 1997. - № 2. - С.79-96.

122. Сто л л P.P. Множество. Логика. Аксиоматические теории. Перевод с англ. Ю.А. Гастева и И.Х. Шмаина; под ред. Ю.А. Н1и-хановича. -М.: Просвещение, 1968.-231 с.

123. Столяр А.А. Зачем и как мы доказываем в математике: Беседы со старшеклассником. т Мн.: Нар. асвета, 1987. 143 с.

124. Столяр А.А. Как математика ум в порядок приводит. — Мн.: Выпг. школа, 1991. 207 с.

125. Столяр А.А. Как мы рассуждаем? Мн.: Нар. асвета, 1968. -109 с.

126. Столяр А.А. Логика и интуиция в преподавании геометрии. — Мн.: Нар. асвета, 1963. 126 с.

127. Столяр А.А. Педагогика математики: Учеб. пособие для физ.-мат. факульт. пед. ун-тов. Мн.: Выш. школа, 1986. - 414 с.

128. Тагиев Шагин Таги Оглы. Поблема формирования умения учащихся обосновывать правильность своих результатов при изучении математики в 1 классе: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Баку, 1982. - 15 с.

129. Талызина Н.Ф. Теоретические проблемы программированного обучения. М.: Изд-во МГУ, 1969. - 133 с.

130. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М.: Изд-во МГУ, 1975. - 343 с.

131. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1988.- 175 с.

132. Теплов Б.М. Практическое мышление//Хрестоматия по общей психологии: Психология мышления. М.:Изд-во МГУ, 1981. -С.37 - 56.

133. Тоцки Е. Методические основы локально-дедуктивного обучения геометрии в средней школе (с учётом специфики Польши): Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1993. - 33 с.

134. Туркина В.М. Методические рекомендации по формированию общих приёмов поиска доказательства математических утверждений в начале изучения систематического курса геометрии. -Петрозаводск: КГПИ, 1984. 22 с.

135. Туркина В.М. Формирование общих приёмов поиска доказательства математических утверждений: Дисс. . канд. пед. наук. -Л., 1984. 180 с.

136. Удовенко Л.Н. Развитие логической культуры учащихся 5-6 классов средствами логического конструирования при обучении математике: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1996. - 16 с.

137. Ушинский К.Д. Собрание сочинений. Т.5. Методические статьи и материалы к «Детскому миру»,- М.: Изд-во Акад. пед. наук, 1949. 592 с.

138. Фискович Т.Т. Повышение уровня логического развития учащихся 4-5 классов//Математика в школе.- 1973.-№ 6.-С.23-25.

139. Формирование приёмов математического мышления/Под ред. Н.Ф. Талызиной. М.: ТОО «Вентана-Граф», 1995. - 230 с.

140. Фридман Н.Н., Кулагина Ю.И. Психологический справочник учителя. М.: Просвещение, 1991. - 288 с.

141. Фролова Т.Ф. Роль наглядных представлений в преподавании дедуктивного курса геометрии: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -М., 1989. 16 с.

142. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М.: АПН РСФСР, 1963. - 302 с.

143. Хомякова Л.В. Индуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов//Начальная школа. 1988. - № 5. - С.31-36.

144. Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии. Т. 2. М.: МГУ, 1981. - 304 с.

145. Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение (Психологические основы развивающего обучения). М.: АО «Столетие», 1994. - 192 с.

146. Эльконин Д Б. Психология обучения младшего школьника. -М.: Знание, 1974, 64 с.

147. Юнг Дж.В.А. Как преподавать математику/Пер. с англ. А Р. Кулишер: Руководство для преподавателей. М.: Госиздат, 1924. - 288 с.

148. Якиманская И.С. Знания и мышление школьника. М.: Знание, 1985. - 80 с.

149. Якиманская И.С. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979. - 144 с.