автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обучение учащихся 6-7 классов доказательствам геометрических теорем через задачи

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Муравьева, Галина Леонидовна, 1985 год

Введение.

Глава I. Некоторые психолого-педагогические проблемы формирования у учащихся умений самостоятельно доказывать теоремы с помощью системы задач.

§ I. Обучение через задачи как один из методов организации учебного процесса по геометрии и его значение для активизации познавательной деятельности учащихся

§ 2. Психологические основы управления умственной деятельностью учащихся в процессе самостоятельного доказательства теоремы

§ 3. Необходимость и объективные предпосылки совершенствования обучения доказательству теорем через задачи

§ 4. Основные пути управления деятельностью учащихся в процессе самостоятельного доказательства теорем.

Глава П. Методические основы применения системы задач для формирования у учащихся умений самостоятельно открывать" и доказывать теоремы

§ I. Система задач, направленная на формирование у учащихся приемов поиска самостоятельного доказательства теорем

§ 2. Методика применения системы задач для обучения учащихся доказательству теорем.

§ 3. Использование дидактических наглядных средств для изучения доказательств теорем.

§ 4. Исследование эффективности использования системы задач и дидактических наглядных средств при изучении доказательств теорем

Введение диссертации по педагогике, на тему "Обучение учащихся 6-7 классов доказательствам геометрических теорем через задачи"

Актуальность проблемы» В условиях продолжающейся научно-технической революции, когда наблюдается быстрый рост научных зна -ний и их широкое внедрение в производство, перед школой стоит задача вооружить своих выпускников умением самостоятельно пополнять знания, развивать их познавательные способности. Поэтому и проблема формирования и развития у школьников активного, самостоятельного, творческого мышления продолжает привлекать внимание психологов, педагогов и педагогов математики.

Перестройка школы, осуществляемая на основе программных установок ХХУ1 съезда КПСС, июньского (1983 г.), февральского и и апрельского (1984 г.) Пленумов ЦК КПСС и основных направлений реформы общеобразовательной и профессиональной школы,одобренных Верховным Советом СССР, охватывает различные стороны жизни и деятельности школы, в том числе формы и методы обучения в сторону всемерного развития самостоятельности и инициативы учащихся. В Основных направлениях реформы отмечается, что одной из главных задач, способствующих осуществлению реформы школы,является повышение качества образования и воспитания; обеспечение более высокого научного уровня преподавания каждого предмета, прочное овладение основами наук, улучшение идейно-политического, трудового и нравственного, эстетического и физического развития; усовершенствование учебных планов и программ, учебников и учебных пособий, методов обучения и воспитания; устранение пере -грузки учащихся, чрезмерного усложнения учебного материала. [4, с. 40] .

Все это требует глубокого и всестороннего изучения и обобщения передового опыта работы школы, разработки и экспериментальной проверки новых, более активных методов обучения.

Решение этих задач влечет за собой применение целого комп -лекса мер, среди которых ведущей является совершенствование методических подходов к изложению материала в учебных пособиях, а также методики обучения. Совершенствование методики обучения предполагает осуществление широкого круга мероприятий, без которых невозможно прочное и сознательное овладение основами знаний, умений и навыков, необходимых для продолжения образования в высших и средних специальных учебных заведениях, для самообразования.

В советской педагогике одним из исходных положений проблемы развития самостоятельности учащихся является тезис В.И. Ленина: ".без человеческих эмоций никогда не бывало, нет и быть не может человеческого искания истины" [3, с.112] . В связи с этим одной из ведущих проблем в современной методике преподавания любого предмета, и в частности геометрии, является управление познавательной деятельностью школьников, развитие их умствен -ных способностей в процессе изучения нового материала. Обучение должно идти по пути общего развития учащихся, повышения их активности, самостоятельности, способствовать формированию у них широты наблюдательности, полноты, гибкости, абстрактного мышления.

В формировании теоретических знаний по геометрии, умений и навыков важную роль играет применение школьных задач в процессе обучения - одного из основных практических методов, которому принадлежит значительное место в преподавании предмета на разных этапах обучения.

Решая задачи, учащиеся сознательно и прочно овладевают системой математических знаний, навыков и умений, предусмотренных программой, глубже вникают в смысл приобретаемых знаний, вырабатывают практический опыт их применения. "Необходимо помнить, -отмечает И.Т.Огородников, - что теоретический материал курса осознается и усваивается в основном в процессе его применения в задачах" [lI3, с.1б] . Однако наибольшую пользу в практике преподавания геометрии могут принести те задачи, с помощью которых учитель вовлекает учащихся в познавательную работу на уроке, активизирует процесс их умственной деятельности. В свя -зи с этим важной и актуальной задачей в методике преподавания геометрии является проблема разработки и исследования системы учебных задач, с помощью которых формируются у учащихся умения самостоятельно "открывать" теоремы и способы их доказательства.

Возможности существенного усовершенствования методики доказательства теорем с помощью задач значительно расширились благодаря результатам исследований С.И.Шохор-Троцкого, Д.ПоЙа , Ю.М.Колягина, П.М. Эрдниева, Л.М.Фридмана, А.А. Столяра, Я. И.Гру-денова и др.

В этих исследованиях было установлено, что при систематическом изучении нового материала через задачи обеспечивается бо -лее сознательное, а следовательно и более прочное усвоение знаний, умений и навыков всеми учащимися класса; формируется правильное отражение в сознании учащихся изучаемых ими новых фактов, явлений и связей между ними; создаются условия для перехода знаний в действие, в практику.

Все это привело к обогащению теории обучения и отразилось на практической работе учителей.

Однако, в этих и других исследованиях не нашли отражения следующие вопросы:

I. Четкое определение того, что понимается в литературе под обучением через задачи.

2. Недостаточно полно изучена роль задач на этапе изучения учащимися нового материала, хотя как известно, что "учить ду -мать" означает, что учитель математики должен не только слу -жить источником информации, но обязан также стараться разви -вать способности учащихся по использованию этой информации; он должен развивать у своих учеников умение думать, относящиеся сюда навыки, определенный склад ума" [l3I, с.287] .

Ценные рекомендации и предложения, соответствующие решению актуальной задачи повышения активизации умственной деятельно -сти учащихся в процессе решения поисковых задач, содержатся в исследованиях С.И.Шохор-Троцкого, Ю.М.Колягина, А .А. Столба, М.П.Понарина, Р.И.Иванова, И.Я.Лернера, И.Т. Федоренко и других.

С.И.Шохор-Тропкий следующим образом определил цели подготовительных (целесообразных) задач: с помощью надлежащих задач ученик может не только усвоить себе важный в практическом отношении навык в употреблении "чертежных инструментов, но й прийти к мысли о необходимости доказательств и набрести (в случае, если задача преследует эту цель) на самый способ доказательства некоторой геометрической истины" [173, с.5] .

Я.П.Понарин считает, что "из рассматриваемых задач следует извлекать возможно больше пользы для развития учащихся, для этого необходимо применять такие задачи, которые либо используют математические понятия в конкретной ситуации и тем самым полезны на практике, либо связаны с рядом ранее изученных вопросов, либо заключают в себе потенциальную возможность создания новых задач" [l32, с.з] .

Если преподавание, - считает А.А.Столяр, - нацелено главным образом не на заучивание уже построенной системы, а на организацию рассуждений учащихся с тем, чтобы они были в состоянии открывать для себя те факты, которые составляют содержание предложений системы, а затем и логически упорядочить их, то это приводит к более быстрому развитию мышления учащихся и к пони -манию изучаемого материала" [бб, с.12] .

Ю.М. Колягин, рассматривая обучение через задачи, выделяет два аспекта использования задач и упражнений, решение которых способствует: а) глубокому и прочному усвоению школьниками той системы математических знаний и умений, которые предусмотрены программой; б) формированию тех или иных математических навыков [202, с. 166] .

А.Б.Василевский, А.П. Громов, Ф.А. Орехов рассматривают некоторые примеры применения поисковых задач на уроках алгебры и геометрии в средних и старших классах общеобразовательной школы. Ф.А.Орехов считает, что "при изучении лобого материала целесообразно подготавливать ученика к изучению последующего не только конечным результатом, но также содержанием упражнений, накоплением запаса представлений" [121, с. 7] . В графических лабора -торных работах сочетаются повторение ранее известного и изучение нового материала, создаются необходимые предпосылки для изучения последующих тем, на основе накопления геометрических представлений. Цель этих работ Ф.А.Орехов видит в том, чтобы развивать у учащихся навыки логического мышления; дать им материал для последующего обобщения; облегчить усвоение новых знаний.

Психологами установлено, что активная работа мысли начинается у человека тогда, когда перед ним возникает проблема([13], [53], [63], [65] ). Учитель должен стимулировать мыслительную деятельность учащихся, побуждать учеников осуществлять самостоятельные попытки доказательства теорем, учить учащихся самостоятельно "открывать" новые для них знания, самостоятельно добывать часть информации, вести исследовательский поиск. Основной упор при этом делается не на память, а на умение ученика самостоя -тельно добывать знания и творчески усваивать новое.

Основные черты, - отмечает Э.Стоуне, - помогающие разви -вать у учащихся способности к решению проблем являются: первое -это то, что решение проблем весьма полезно рассматривать как частный случай научения, второе - это то, что при решении проблем оказываемая ученикам помощь должна быть минимальной, поскольку, находя собственное решение, они научаются более эффективно" [155, с.267] .

И.Я.Лернер отмечает, что возможность управления формированием познавательной самостоятельности возникает лишь тогда, когда учащиеся включаются в процесс самостоятельного решения субъек -тивно новых для них проблем, изоморфных уже решенным обществом проблемам, и тем самым содержащих запрограммированную деятель -ность, благодаря которой у учащихся формируются необходимые творческие потенции к решению новых проблем. [88, с.112].

В структуру познавательной самостоятельности И.Я.Лернер включает следующие элементы: а) средства (знания, навыки и умения, опыт творческой дея -тельности); б) положительные мотивы, без которых независимо от их характера, познавательная самостоятельность не проявляется; в) процесс поисковой деятельности; г) продукты этой деятельности (новые знания, новые способы деятельности, новый опыт творческой деятельности) [88, с. III].

Рассмотренные выше вопросы, связанные с использованием поисковых задач для развития познавательной самостоятельности, отракают самые разные подходы авторов к определению роли и места задач. На наш взгляд, эти подходы не противоречат друг другу, они дополняют одно другое, раскрывают многообразие аспектов проблемного обучения.

Вместе с тем разработка системы задач, позволяющей ученику самому находить и "открывать" теорему и способ ее доказательства, представляется актуальной, так как она, во-первых,позволит более рационально использовать задачи на всех этапах обучения учащихся доказательству теорем; во-вторых, будет содействовать решению актуальной проблемы обучения - активизации познавательной деятельности учащихся в процессе изучения нового материала; в-третьих, поможет преодолеть существенный недостаток в обучении геометрии - устранение разрыва между теоретическими знаниями и их практическим применением.

Можно предположить, что эффективным способом форм^ования умственных способностей учащихся является обучение доказательству геометрических теорем через задачи, основанное на знании закономерностей мыслительной деятельности школьников.

Психологический анализ процесса обучения геометрии через задачи - это анализ того: а) как учитель с помощью системы задач подводит учащихся к самостоятельному "открытию" теоремы и способа ее доказательства; б) как происходит восприятие,осознание этих ситуаций учащимися и постановка ими проблемы,установление нового способа действия; в) как практически реализовываеТ' ся этот метод; г) как осуществляется само решение проблемы , ее проверка и оценка.

С 1982 учебного года в школах страны введено новое учебное пособие по геометрии академика А.В. Погорелова "Геометрия 6-10" [128] . В связи с переходом на обучение школьников по новому учебному пособию по геометрии возникает ряд новых проблем,связанных с методикой изложения материала и организацией учебного процесса.

В этом учебном пособии изложено содержание учебного материала, подлежащего усвоению с помощью учителя, а в конце каждого параграфа предложены система вопросов для повторения и задачи. Однако среди вопросов и задач совершенно недостаточно заданий, которые бы знакомили учащихся с приемами познавательной деятельности, наталкивали бы их на самостоятельное доказательство задачи или теоремы, прививали бы им умения и навыки самостоятельной работы, развивали бы их интересы, способности.

В пособиях для учителя "Методические рекомендации к преподаванию курса 6-7 класса по учебному пособию "Геометрия 6-10" [34], [35],[57] предлагается на уроке изучать ряд теорем с по -мощью системы практических задач (лабораторных работ), решение которых должно подготавливать учеников к доказательству теоремы. Однако, вся нагрузка по изучению теоремы по-прежнему падает на учителя.

Создавая пособия нового типа [l08],[l09] и используя их в практической работе, мы имели в виду содействовать, во-первых, увеличению объема самостоятельной работы каждого ученика на этапе изучения доказательства им теорем, привитию ему навыков са -мостоятельного овладения новыми знаниями, во-вторых, повышению самостоятельности на этапе подготовки школьников к усвоению теорем и их доказательств в процессе группировки фактов, приведе -нии в готовность Определенной совокупности ранее усвоенных аксиом,определений и теорем, необходимых для успешного доказательства изучаемой теоремы; в-третьих, активизации познавательной деятельности каждого учешжа при восприятии,осмыслении доказательства теоремы, привитию умений наблюдать, находить признаки, в результате поиска самостоятельно формировать новые теоремы, обосновывать свои практические действия; в-четвертых,повышению развивающей роли упражнений и задач, обеспечению умственной активной деятельности учащихся по углублению и осмыслению знаний, на которых основываются совершенствующиеся в процессе решения задач практические действия; в-пятых, организованности и созданию на уроке и дома благоприятных возможностей для изучения новых теорем.

Итак, I) обучение доказательству теорем занимает одно из основных мест в процессе изучения геометрии, поскольку именно теоремы дают необходимые факты для решения геометрических задач на доказательство. Поэтому обучение доказательству теорем связано с эффективностью изучения самого курса геометрии. Оно оказывает непосредственное влияние на умение учащихся решать задачи,которое является основным показателем успешного усвоения изучаемого материала;

2) умственная деятельность учащихся в процессе самостоятельного доказательства теорем является своеобразной моделью дея -тельности ученого по открытию новых фактов ранее в науке неиз -вестных;

3) обучение учащихся самостоятельному применению знаний при доказательстве теорем, нахождение способа доказательства теоремы и ее формулировки являются необходимыми условиями успешного обучения умению решать нестандартные задачи.

Поэтому, если удастся сформулировать у школьников эти умения, то в значительной степени будут сняты трудности усвоения нового материала по геометрии, поскольку каждая задача на доказательство является теоремой, а в свою очередь теоремы и задачи на доказательство являются составными частями задач на вычисление и построение. Отсюда,умение учащихся доказывать теоремы является важным условием умения решать задачи различных типов.

Именно это и обусловило выбор нами теш исследования "Обучение учащихся У1-УП классов доказательствам геометрических теорем через задачи".

Объектом исследования является процесс обучения учащихся У1-УП классов доказательству теорем через задачи.

Предметом исследования явились дидактические и методические основы управления умственной деятельностью учащихся в процессе самостоятельного доказательства теорем.

Проблема исследования: разработка таких систем задач, которые обеспечивали бы оптимальные условия для развития умений у учащихся самостоятельно "открывать" и находить способ доказательства теоремы каждым учеником.

Оптимальными условиями мы считаем такие, которые создают возможность для проявления способностей,творческих сил каждого ученика в полной мере.

Целью исследования является выявление и обоснование целе -сообразной структуры системы задач, реализация которой будет способствовать выработке у учащихся умений самостоятельно доказывать теоремы и решать геометрические задачи.

Анализ психолого-педагогической и методической литературы и результатов практики работы учителей математики позволили сформулировать гипотезу: Поскольку задачи являются важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, ведущей формой учебной деятельности в процессе изучения математики, то обучение доказательству теорем через задачи, вероятно, будет способствовать выработке у учащихся умений самостоятельно находить путь к доказательству теоремы, с одной стороны, и формированию творческой активности и самостоятельности, с другой стороны. Если обеспечить управление умственной дея -тельностью учащихся при изучении доказательств теорем с помощью системы задач и логико-структурных схем доказательства теоремы, то одновременно осуществляется постепенное, целенаправленное и планомерное развитие математического мышления учащихся, а следовательно и формирование у них творческих познавательных способностей.

В ходе решения поставленной проблемы и проверки сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие частные задачи исследования:

1. Изучить и обосновать психолого-педагогические и методические аспекты использования задач при изучении нового материала и доказательстве теорем.

2. Разработать дидактические требования, которые необходимо предъявлять к системе задач и логико-структурным схемам доказательства теоремы, обеспечивающие формирование у учащихся твор -ческой активности и самостоятельности.

3. Разработать содержание и методику обучения учащихся доказательству теорем с помощью системы задач и логико-структурных схем и экспериментально проверить эффективность предлагаемых положений.

Проблема, гипотеза и задачи исследования обусловили выбор следующей совокупности методов исследования:

I. На этапе теоретического состояния проблемы проводился анализ литературных источников из области философии, педагогики и психологии.

2. Анализ научных работ, программ, учебных и методических пособий по теме и близких к теме исследований.

3. Изучение опыта работы учителей математики г.Минска,

4. Личное преподавание в общеобразовательной школе № 130 г.Минска в 6-7 классах,

5. Практический эксперимент, анализ письменных работ и протоколов уроков, анкетирование.

Методологической основой исследования явились положения марксистско-ленинской теории познания и связи теории и практики, руководящие документы Коммунистической партии и Советского правительства о воспитании подрастающего поколения, подготовке его к активному, творческому труду.

Научная новизна исследования заключается в том, что:

1) уточнено содержание понятия "обучение доказательству теорем через задачи", разработаны кошдэетные требования к содержанию системы задач, позволяющих готовить детей к самостоятельному "открытию" теорем и их доказательств;

2) составлена и опубликована система задач, позволяющая ученику самостоятельно находить и формулировать теорему и способ ее доказательства, разработан один из вариантов методики обучения учащихся самостоятельному "открытию" теоремы и способа ее доказательства на основе сочетания прямого и косвенного управления деятельностью учащихся;

3) разработана и опубликована система логико-структурных схем, описывающих ход доказательства теоремы по данному учебному пособию, предложен один из вариантов методики работы с ними.

Теоретическое значение исследования заключается в том, что создана научно-обоснованная концепция управления умственной деятельностыо учащихся в процессе самостоятельного "открытия" теоремы и способа ее доказательства с помощью системы задач и логико-структурных схем доказательства теоремы.

Практическое значение работы заключается в том, что обучение доказательству теорем с помощью системы задач дает возможность учителю более широко использовать задачи в своей практике для повышения самостоятельности и творческой активности каждого школьника в условиях классно-урочной системы обучения. Предложена конкретная методика обучения учащихся доказательству теорем с помощью системы задач и логико-структурных схем.

На основании материалов данного диссертационного исследования разработаны методические рекомендации для учителей математики, работающих по учебному пособию А.В.Погорелова "Геометрия-6-10" в 6-8 классах. Рекомендации обсуждались на заседаниях методического объединения средней школы й 130 г. Шнека, а также на конференциях профессорско-преподавательского состава 19821984 гг., молодых ученых МГПИ им. А.М.Горького, на заседаниях кафедры методики преподавания математики и были одобрены.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Обучение учащихся У1-УП классов доказательствам геометрических теорем с помощью системы задач должно стать органической частью изучения геометрии. Совершенствование управления умственной деятельности школьников в процессе изучения доказательств теорем возможно при использовании системы задач,обеспечивающей: а) повышение эффективности усвоения доказательств теорем, б) развитие математического мышления, в) развитие творческой активности и самостоятельности учащихся.

2. Развитие творческой активности учащихся в процессе изучения геометрии происходит более интенсивно, если основными путями изучения доказательств теорем являются решение специальной системы задач и использование логико-структурных схем доказательства.

На защиту выносятся также:

1) система требований, предъявляемых к организации обучения доказательству теорем через задачи;

2) содержание и методика обучения доказательству теорем с помощью системы задач и логико-структурных схем доказательства.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы;

I. Система задач, позволяющая ученику самостоятельно находить путь к доказательству теоремы, способствует наилучшей актуализации знаний, умений и навыков учащихся, необходимых .для успешного доказательства теоремы, активизирует учебную деятельность дома и на уроке, придает ей практическую направленность и создает предпосылки для оптимального усвоения новой теоремы.

2. При самостоятельном изучении учащимися доказательств теорем значительный педагогический эффект дает рациональное использование систем задач.

3. Мы выделяем следующие виды взаимодействия учителя и учащихся при изучении теорем с помощью системы задач: а) учащиеся решают на уроке, предложенную систему задач, а учитель организует деятельность учащихся по нахождению путей "открытия" теоремы и способа ее доказательства; б) учитель предлагает дома решить систему задач, а на уроке направляет деятельность школьников по нужному руслу.руководит ею; в) учитель предлагает решить дома систему задач, школьники сами находят путь к "открытию" теоремы и способа ее доказательства, а на уроке учитель организует работу по обсуждению результатов.

4. Эффективность использования системы задач при изучении доказательств теорем повышается в результате включения в активную, практическую деятельность каждого ученика, т.к. самостоятельное выполнение логических операций и практических действий активно готовит учащихся к сознательному доказательству теоремы.

§ 3. Использование дидактических наглядных средств при обучении учащихся доказательству теорем

В последнее время в связи с более широким применением различных наглядных средств обучения в процессе преподавания геометрии внимание методистов привлек сам принцип наглядности обучения. Этот принцип уточняется как с точки зрения марксистско-ленинского положения о единстве конкретного и абстрактного, так и в связи с решением задач развивающего обучения.

Основное назначение применяемых в обучении наглядных средств -способствовать формированию обобщений, необходимых для познания сущности изучаемых явлений, при этом одно из главных мест на уроке отводится той деятельности учителя, которая связана с использованием средств обучения не только для передачи знаний учащимся, но и для организации и управления различными видами учебной деятельности учащихся, главным образом самостоятельной работой на всех этапах обучения.

Еще Я.А. Коменский считал одним из основных принципов обучения принцип наглядности - построение обучения на конкретных образах, непосредственно воспринимаемых школьниками.

Наглядный материал, будучи составной частью задачи или теоремы, должен привлекаться в такой форме, чтобы способствовать решению задач развивающего обучения. Как установили советские психологи для этого необходимо включать средства наглядности в такой форме, чтобы они становились материальной опорой формирования необходимых умственных действий. "Имея в своем распоряжении определенный фонд мыслительных приемов, - пишет Д.Н.Богоявленский, - благодаря чему знания приобретают динамичность и действенность, школьник будет не только знать, но и уметь думать" [18, с. 74 ] .

Функции средств наглядного обучения многообразны. В основном они заключаются в том, чтобы помочь раскрытию содержания и объема новых знаний, содействовать формированию необходимых навыков, служить средством контроля и самоконтроля.

Роль и значение средств наглядности в обучении обусловливаются глубиной понимания тех дидактических задач, которые должны быть осуществлены с их помощью. Важно четко определить учебные функции средств наглядности. В одном случае они могут быть иллюстрацией слов учителя, в другом - средством постановки задачи, в третьем - средством решения задачи.

А.Н. Леонтьев, рассматривая функции наглядного обучения,считает, что они служат внешней опорой внутренних действий,совершаемых ребенком под руководством учителя в процессе овладения знаниями [82, с. 258-259] .

Наглядное обучение должно обеспечивать формирование у уча -щихся первичных обобщений и установление простых связей. Оно должно способствовать углублению мысли, движению от жизненных наблюдений к сущности изучаемого понятия, от сущности одного порядка к сущности другого, более высокого порядка и т.п. В решении этих задач неоценимую помощь должны оказать логико-структурные схемы доказательства теоремы.

Важную роль, - отмечает П.В. Стратилатов, - играют схемы, иллюстрирующие условие задачи, таблицы для более компактной записи условий задач, графы, позволяющие изобразить взаимосвязи между рассматриваемыми объектами. Необходимо отметить ведущую роль чертежа-рисунка к теоретическому материалу или задаче в курсе геометрии" [152, с. 41].

Самым распространенным видом наглядности в обучении геометрии является чертеж на доске. Если чертеж создается на доске учителем постепенно, то учащиеся получают возможность видеть его динамику, взаимосвязь отдельных элементов, следить за пояснениями к чертежу. Этим объясняется высокая эффективность его воздействия на учащихся в процессе обучения. Заранее выполненный чертеж менее эффективен, хотя и требует меньших затрат времени.

В психолого-педагогической литературе разработаны требования к системе наглядных средств обучения. Система наглядных средств должна во-первых составлять дидактическую систему.подчиненную определенным целям; во-вторых, способствовать развитию у детей абстрактного мышления; в-третьих, учитывать возрастные и индивидуальные особенности школьников; в-четвертых,правильно сочетать слова учителя и наглядность; в-пятых способствовать обучению учащихся на чертежах находить главное, сравнивать,анализировать и т.д.

Организацию обучения доказательству теорем с помощью средств наглядности (логико-структурных схем) можно считать полноценной лишь в том случае,когда наглядность используется для формирования у учащихся самостоятельных выводов,доказательств теорем.

Логико-структурные схемы доказательства теоремы позволяют организовать с помощью кодоскопа постепенно кадр за кадров изучение доказательства теоремы. Это обеспечивает динамику процесса изучения теоремы. Изучение теорем, основанное на наглядном материале, становится средством организации самостоятельных поисков доказательства теоремы, приводит к усвоению новых знаний и новых способов действия или закреплению навыков путем применения знаний в новых ситуациях. Активность учащихся проявляется в том, что они формулируют теорему, ищут пути ее доказательства, обосновывают, доказывают предположения, проверяют правильность доказательства теоремы.

В зависимости от познавательных возможностей школьников.дидактические цели урока и применение логико-структурных схем изменяются, а вместе с ними меняется степень самостоятельности поисковой деятельности учащихся: с самой низкой-при пассивном рассмотрении схемы доказательства, до самой высокой, когда ученики могут восстановить самостоятельно ход доказательства теоремы, если отсутствуют некоторые картинки в схеме.

Логико-структурные схемы теоремы помогают школьникам в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами,побуждают активно мыслить, искать наиболее рациональные пути доказательства теоремы, помогают не только усваивать знания, но и овладевать умениями применять их. Как известно, эти условия необходимы для того, чтобы обучение носило развивающий характер.

Используемые для постановки доказательства теоремы графические изображения, наглядно представляя соотношения между данными и искомыми фактами (определениями, аксиомами, теоремами), помогают ученикам понять смысл изучаемой теоремы, а затем и О наити возможный путь ее доказательства.

Использование графических изображений создает лучшие условия для управления учебным процессом. Это подтверждается и психолог о-педагогическими выводами П.Я. Гальперина , А.Н.Леонтьева, Н.Ф. Талызиной.

Логико-структурные схемы создают большие возможности для активизации познавательной деятельности учащихся при изучении теорем, по наблюдению, сравнению, обобщению и применению теорем и мыслительных операций в практической работе, а также создают возможности для контроля изученных теорем.

В экспериментальной работе нами были созданы логико-структурные схемы и использованы при изучении доказательства теорем. Логико-структурная схема теоремы включает в себя совокупность картинок-чертежей, расположенных в определенной логической последовательности, в соответствии с доказательством теоремы.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Муравьева, Галина Леонидовна, Минск

1. Ленин В.И, Философские тетради,-Поли.собр.соч.,т.29,с.782.

2. Ленин В.И. Очередные задачи советской власти.-Полн.собр. соч.,т.36, издание 5 165-208с.

3. Ленин В,И. Рецензия. Н.А.Рубакин. Среди книг,том. П, Полн.собр.соч. т.25.- c.III-114, Официально-документальные материалы

4. Основные направления о реформе общеобразовательной и профессрюнальной школы: Сборник документов и материалов. М.: Политиздат, 1984. Ш с

5. Постановление ЦК КПСС и Совета Мшистров "О дальнейшем совершенствованрш общего среднего образования молодежи и улучшении условий работы общеобразовательной школы".-"Правда",29 апреля, 1984 г. Философско-методическая и психологопедагогическая литература

6. Алтухов Б.П., Громов А.Н. Самостоятельная работа учащихся и проблема школьного учебника геометрии для шестого класса.Ученые зап. Мелесского пед.ин-та, т.2, ч.2, 1962. с. 57-75.

7. Арекелян К С Оганесян В.А. Опыт проблемного обучения геометрии в 8-летней школе. В кн.: Из опыта преподавания математшш в средней школе.-М.: Просвещение,1978. с. 20-28.

8. Аристова Л.П. Акттаность учения школьников. М.: Просвещение, 1968. 139с.

9. Аристова Л.П. Воспитание познавательной самостоятельно10. Артюхова А.Г. Организация познавательной деятельности учащихся при изучении основных понятий геометрии.- В кн. Сельская общеобразовательная школа: проблемы, опыт.- Смоленск,вып.3, 1975. с.73-83.

11. БабанскиЁ Ю.К. Как оптимизировать процесс обучения.М.: Знание, 1978. 48с.

12. Бабанский Ю.К. Оптжшзация учебно-воспитательного процесса.- М.: Просвещение,1982. 192с.

13. Бабанский Ю.К. Проблемное обучение как средство повышения эффективности учения школьншшв. Ростов-н/Д. 1970.- 32с.

14. Бабанский Ю.К. Рациональная организация учебной деятельности. М.: Знание, I98I. 96с.

15. Баева Т.В. Некоторые условия формирования у школьников активного и осознанного воспроизведения. В кн.: Вопросы педагогики и психологии. Благовещенск, 1972. с.41-53,

16. Балл Г.А. О психологическом содержании понятия "задача".Вопросы психологии, 1970, 6, с. 75-85,

17. Беспалько В.П. Элементы теории управления процессом обучения. М.: Знание, 1970. 80с.

18. Богоявленский Д.И., Менчинская И.А. Психология усвоения знаний в школе. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. 347с.

19. Борисов Н.И. Как обучать математике: Учитель математики учится. М.: Просвещение, 1979. 96с.

20. Бурда М.И. Формирование у учащихся 4-8 классов умений доказывать геометрические утверждения. Автореф. дис. ...канд. пед.наук. Киев, 1980. 21с.

21. Василевский А.Б. Устные упражнения по геометрии. Шнек: Народная а света, 1983. 80с.

22. Векслер С И Подготовка учащихся к самостоятельно решению учебных проблем. "Советская педагогика", 1983,А 3. с.43-44.

23. Викол Б.А. Формирование элементов исследовательской деятельности при углубленном изучении математики. Автореф. дис... канд.пвд.наук. М., 1977. 22с.

24. Вилькеев Д.В. Методика организащи поисковой познава тельной деятельности учащихся на проблемных уроках физшш Л классе. Казань, 1974. 45с,

25. Вилькеев Д.В. Применение пшотезы в познавательной деятельности школьншшв при проблемном обучении, Казань: Казан, пед.ин-т. 67с.

26. Возрастные возможности усвоения знаний (под ред.Д.Б.Эльконина и В.В. Давыдова.- М.: Просвещение, 1966, 442с.

27. Вопросы воспитания познавательной активности и самостоятельности учащихся. Казань: Казан, пед.ин-т, 1975. 180с.

28. Вопросы проблемного обучения в школе (под ред.М.И.Махмутова. Казань: Изд-во Казан.ун-та, 1970. 119с.

29. Гаибулаев Н.Р. Повышение эффективности практической деятельности учащихся при обучении математшш. "Математика в школе", 1982, А 6. с. 22-24.

30. Гальперин П.Я. теории программированного обучения.М.: Знание, 1967. 44с.

31. Гальперин П.Я., Котик Н.Р. К психологии творческого мышления. "Вопросы психологии", 1982, В Ъ. с. 80-84.

32. Тарунов М.Г. Развитие у учащихся восьмилетней школы опыта творческой деятельности в процессе выполнения самостоятельных в

33. Геометрия в 6 классе: Методические рекомендации к преподаванию курса 6 класса по учебному пособш "Геометрия" А.В.Погорелова (авторы: Н.Б.Мельникова, И.

34. Никольская,Л.Ю.Чернышева.М.: Просвещение,1982, 159с.

35. Геометрия в 7 классе: Методические рекомендации к преподаванию курса 7 класса по учебному пособию "Геометрия" А.В.Погорелова (авторы: Н.Б.Мельникова, Т.М.Мищенко,Л.Ю.Чернышева. М.: Просвещение, 1984. 144с.

36. Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математ1ше.-11/1.: Просвещение, 1982. 144с.

37. Гнеденко Б.В. О математических способностях и их развитии. "Математика в школе", 1982, J I. с. 31-34. 5

38. Гольтиков В.Ф. О задачах и упражнениях по геометрии в средней школе (из истории вопроса). Уч. зап. Сверд.пед.ш-та, сб.52, 1967. с. 15-22.

39. Громов А.П. Тетрадь для самостоятельных работ по геометрии. Пособие для учащихся У1 классов. Тетрадь первая. Мелекес, 1963. 83с.

40. Громов А.П. Тетрадь для самостоятельных работ по геометрии. Пособие для учащихся УП классов. Тетрада вторая. Псков, I97I. 68с.

41. Груденов Я.И. Изучение определенш!, теорем, аксиом.-М.: Просвещение, I98I. 96с.

42. Гуреврн В.Ю. Формргрование приемов поиска решения задач на уроках математики в 6-ом классе. Автореф. дис, канд. пед. наук. М.,1972. 20с.

43. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения Воронеж. Изд-во Воронеж.ун-та. 1976. 327с. задач.-

44. Давыдов В.В. Виды обобщений в обучении. М.: Педагогика. 1972. 423с.

45. Давыдов В.В., Маркова А.К. Концепция учебной деятельности школьников. "Вопросы психологии",I98I, 6, с. 13-26. й

46. Демидова С И Шнаева С, Обеспечить качественное усвоение математических знаний. "Штематика в школе", 1982, Ш I. с.34-36.

47. Дидактика средней школы: Некоторые проблемы современной V школы /под ред. М.Н.Скаткина.-М.: Просвещение,1982,- 319 с.

48. Древе У., Фурманн Э. Организация урока (в вопросах и ответах). Перевод с немецкого. М.: Просвещение,1984. 62с.

49. Дынник Т.В. Тетрадь для самостоятельных работ по арифметике А? I. М.: Просвещение, 1967. 89с.

50. Есипов Б.П. Активизация мышления учащихся в процессе обучения (1-1У классы). Изв. АПН РСФСР, вып. 20, 1949.

51. Есипов Б.П. Самостоятельная работа учащихся на уроке. -М.: Учпедгиз, I96I. 239с.

52. Журавлев И,К. Система познавательных задач по учебному предглету.- "Советская педагогшш", I98I, J 9. с. 49-55. 53. Зак А.З, Развитие теоретического мышления у младших школьников. М.: Педагогика, 1984. 152с.

53. Иванов Р.И. Развитие мышления школьников в процессе выполнения т ш учебно-логических заданий.- Куйбышев: Б.И.,1978.152с.

54. Иванов Р.И. Учебно-логическое задание как дидактическая категория. В кн.: Развитие познавательной активности и самостоятельности т1сольников. Куйбышев, 1976. 117с. 56. Р1з опыта преподавания математики в средней школе (сост. А.В.Соколова, В.В. Пикан, В.А. Оганесян, М.: Просвещение,1979. 192с.

55. Илларионова В.Р. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процессе. "Математика в школе",1982, Ш 6. с. 21-22.

56. Исследование мышления в советской психологии (под ред. Е.В.Шорохова. М.: Наука, 1966. 475с.

57. Исследование развития познавательной деятельности (под ред. М. Брунера. М.: Педагогика, I97I. 391с.

58. Ительсон Л.Б. Лекции по проблемам современной психологии обучения. Владимир, 1970. 64с.

59. Кабанова-Меллер Е.Н. Приемы учебной работы и овладение шли."Вопросы психологии", 1980, J M с. 145-150.

60. Кабанова Меллер Е.Н. Психологш формирования знаний и навыков у школьников. Проблема приемов умственной деятельности.М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. 376с.

61. Калгшкова З.И, Продуктивное мышление как основа обучаемости. М.: Педагогика, I98I. 200с.

62. Каллшкова З.И. Психологические принципы развивающего обучения. М.: Знание, 1979. 48с.

63. Каплан Б С Рузин И.К., Столяр А.А. Методы обучения математике. Шшск: Народная асвета,1981. 191с.

64. Качество знаний и пути его совершенствования /дод ред. М.Н.Скаткина.-М.: Педагогика,1978. 208с.

65. Кобалевский Ю.Д. Развитие самостоятельности учащихся при Р1зучении курса математики.- Автореф. дис. канд.пед. наук.- М.,1979. 25с.

66. Кодалогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С.Геометрия. Учебное пособие для 6-8 классов средней школы.- М.: Просвещение, 1979. 383с,

67. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. 4.

68. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся.М.: Просвещение. Ш с 72, Коляпш Ю.М. Задачи в обучении математике. 4.

69. Обучение математике через задачи и обучение решению задач. М.: Просвещение, 1977. 143с,

70. Колягин Ю.М, Математические задачи как средство обучения и развития учащихся средней школы.- Автореф, дис. доктора пед.наук. М., 1977. 55с.

71. Колягин Ю.М. Методические проблемы пригленения задач в обучении математике, В кн.: Преподавание алгебры и геометрии в школе. М.: Просвещение, 1982. с.116-123, 75, Копытов И.А. Методика построения системы упражнений, ориентированной на формирование геометрических понятий. Автореф. дис. ...канд.пед.наук. М., 1977. 25с. 76, Крутедкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. М Просвещение, 1976. -303с.

72. Кулько В.А., UexfjHCTpoBa Т.Д. Формирование у учащихся умений учиться. М.: Просвещение, 1983. 80с, 78, Кулюткин Ю.Н. Эвристические методы в структуре решений.М.: Педагогика,1970. 231с. 79, Курохтина T.PI. О построении системы проблемных ситуаций в обучении. Саратов, 1976, 43с.

73. Кухарев Н.В, Формирование умственной самостоятельности. Мн.: Народная асвета,1972. 136с.

74. Леонтьев А.Н, Категории деятельности в современной психологии. "Вопросы психологии", 1979, 1Ь 3. с.13-20.

75. Леонтьев А.Н. Автоматизация и человек. В сб.: Психологические исследования. Вып.2. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1970. с.24-25.

76. Леонтьева М.Р., Решетштеов Н.Н., Сорокин Б.В, Об ито гах преподавания геометрии в шестых классах в I982/I983 учебном году, "Математика в школе", 1983, }Ь 6. с. 7-12,

77. Лернер И.Я, Проблемное обучение, М,: Знание, 1974, 64с.

78. Лернер И.Я. Качества знаний у учащихся. Какими они долнсны быть? М,: Знание, 1978, 47с,

79. Лернер И.Я. Развитие мышления учащихся в процессе обучения истории. М.: Просвещение, 1982. 191 с.

80. Лернер И.Я, О построении логики дидактического исследования (на пршлере исследования проблемы формирования познана тельной самостоятельности учащихся, "Советская педагогика", 1970, 5, C.I06-II9.

81. Лернер И.Я. Поиск доказательств и познавательная самостоятельность учащихся. "Советская педагогика", 1974, 7. с. 28-37.

82. Максимова В.Н, Проблемный по.цход к обучению в школе.Л.: Ленингр. гос.пед.ин-т им.А.М.Герцена,1973. 82с.

83. Матюшкин A.M. Проблемные ситуации в мышлении и обучении.М.: Педагогика, 1972. 208 с.

84. Махмутов М.И. Вопросы организации процесса проблемного обучения. Казань: Изд-во Казан.ун-та, 1972. 57с.

85. Махмутов М.И, Проблемное обучение: Основные вопросы теоремы. М Педагогика, 1975. 367с.

86. Махмутов M.PI. Теория и практика проблемного обучения.Казань: Таткнигоиздат, 1972. 551с.

87. Махмутов М.И. Некоторые особенности проблемного обучения. "Советская педагопша", 1970, В Э, с. 49-57. 97. Ме.дяник А.И. Научно-методические достоинства учебного пособия по геометрш А.В.Погорелова. "Штематика в школе", 1983, 2. с. 48-51.

88. Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметики в начальных классах. М.: Просвещение,1965. 224с.

89. Метельский Н.В. Дидактика математики. Минск: Изд-во БГУ, 1982. 256с.

90. Мотова 3_П. Методика формирования геометрических понятий с помощью системы обучающих задач. Автореф. дис. канд.пед. наук. М.,1975. 23с.

91. Мотова З.П, О системе задач по курсу геометрии средней школы. В кн.: Математика и методрша ее преподавания.-Ростов-н/Д, 1972. с.56-66.

92. Методика преподавания математики в средней школе /под ред. В.А.Оганесяна, 10.М. Колягина и др.- М.: Просвещение, 1980. 367с.

93. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. /Под ред. Ю.М. Колягина, В.А. Оганесяна и др. М.: Просвещение, 1975. 462с.

94. Методические рекомендации по активизации методов изу95. Методические рекомендации по активизации методов изучения математики в восьмилетней школе. М.: М Ш И шл.В.И.Ленина, Ч.2, 1982. 86с.

96. Методические рекомендации по методике преподавания математики в средней школе. М.: М Ш И им.В.И.Ленина, I98I. 85с.

97. Моляко В,А. Психология решения школьниками творческих задач. Киев: Рад.школа, 1983. 96с.

98. Муравьева Г.Л, Задания по геометрии для 6 класса,-Мн.: М Ш И им.А.М.Горького, 1982. 21с.

99. Огородников И.Т. Повышение самостоятельности и творческой активности учащихся по основам наук в школе. Уч.зап.МГПИ шл.В.И.Ленина, 273, 1967. 120с. 115. О диагностике психологического развития личности. Таллин: НИИ педагогики ЭССР, 1974, 145с. 116, О преподавании геометрии в шестых классах по учебнику А.В.Погорелова. Ворошиловоград, 1982. 31с.

100. Оконь A.M. Основы проблемного обучения. -М.: Просвещение, 1968. 208с.

101. Онищук В.А. Типы, структура и методика урока в школе.Киев: Рад.школа, 1976. 184с.

102. Орехов Ф.А. Графические лабораторные работы по геометрии, М.: Просвещение, 1964. 112с.

103. Педагогика (под ред.Ю.К.рабанского. М.: Просвещение, 1983. 608с.

104. Педагогическая энциклопедия. Т.1-4. М.: Изд-во "Советская энциклопедия". 1966.

105. Пидкасистый П.И. Самостоятельная деятельность учащихся. Дидактический анализ процесса и структуры воспроизведешш и творчества. М.: Педагогика, 1972. 184с.

107. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении. М.: Педагогика,1980.-240с.

108. Повышение познавательной активности учащихся в обучении. /Под ред.И.Т.0городнр1Кова.-М.: Просвещение, 1972. 182с.

109. Повышение эффективности обучения математике учащихся средней школы. /Под ред. Е.И.Лященко. Мн.: Народная асвета, 1969.- 96с.

110. Погорелов А.В. Геометрия. Учебное пособие для 6-10 классов средней школы.-М.: Просвещение,1984. 287с.

111. Познавательные задачи в обучении гуманитарных наук. /Под ред. И.Я.Лернера.-М.: Педагогика, 1972. 239с.

112. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука,1970.147с.

113. Понарин Я.П. Решение задач как средство развития творческих способностей учащихся. В кн.: За прочные математические знания. Сыктывкар: Коми кн. изд-во, 1969.- с.3-18.

114. Понтрягин А.С. О математрше и качестве ее преподавания. "Кот1унист",1980, 1& 14. с. 99-112.

115. Преподавание алгебры и геометрии в школе (из опыта работы). /Сост. О.А. Боковнев. М Просвещение, 1982.-223с.

116. Проблемы школьного учебника. Вып.12. М.: Просвещение, 1983.-240с.

117. Психолого-педагогические проблемы познавательной деятельности учащихся.-Тула, 1976. 81с.

118. Психолого-педагогические вопросы организации учебновоспитательного процесса /Под ред. Л.В, Комаровской.-Томск: Изд-во Томск.ун-та,1982_- 127с.

119. Раев А.Й.Псраологические основы управления умственной деятельностью учащихся в процессе обучения.-Л.: ЛГПИ им.А.И.Герцена,I97I. 72с.

120. Раев А.И. Управление умственной деятельностью гмадших школьников.-Л.: ЛГПИ шиГерцена, 1976. 134с.

121. Развитие самостоятельности и творческой активности учащихся в обучении /Под ред.И.Т.Огородникова.-М.: МГПИ им. В.И.Ленша,1971. 327с.

122. Разумовский В.Г. Развитие творческих способностей в процессе обучения физшсе. М.: Просвещение,1975. 272с.

123. Ревуцкас Ю.Й. Система упражнений как средство обучения доказательству теорем в курсе геометрии У1 класса.-Автореф, дис. канд.пед.наук. М., 1978. 21с.

124. Роль и место задач в обучении математике /Под ред. Ю.М.Колягина. Вып.5. М.: Ш Ш школ, 1978. 117с.

125. Основы оптимального применения системы учебных задач Б обучении. Ташкент: Укитувчи, I98I. 103с.

126. Рубинштейн Л. Проблемы общей психологии. М.: Педагогика, 1976. 416с.

127. Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики. М.:Педагогика, 1980. 96с.

128. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике.- Киев: Рад. школа, 1983.-192с.

129. Сорокин Н.А. Дидактика.-М.: Просвещение, 1974.-222с.

130. Сохор A.M. Логическая структура учебного материала.Вопросы дидактического анализа.-М.: Педагогика, 1974.-192с.

131. Сравнительная эффективность отдельных методов обучения в школе /Под ред. И.Т. Огородникова. Уч.зап. 1У1ГПИ ИМ.В.И.Ленина 1Ь 379. М.: Просвещение, 1970.-162с.

132. Стратилатов П.В. О системе работы учителя математики.М.: Просвещение,1984. 96с.

133. Столяр А.А. Методы обучения математике.-Мн.: Высшая школа, 1966. 190с.

134. Столяр А.А. Педагогика математики. Ш Высшая школа,1974. 368с.

135. Стоуне Э. Психопедагогшш: Психологическая теория и практика обучения.-М.: Педагогика,1984.-471с.

136. Талызина Н.Ф. 1 С к управлять усвоенным знанием.-"Соа ветская педагогика", 1983, Ш 3. с. 94-98.

137. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знании.М.: Изд-во МГУ, 1975. 343с.

138. Теоретические проблемы управления познавательной деятельностью человека /Под ред.Н.Ф.Талызиной. М.: Изд-во 1ЛГУ, 1975. 214с.

139. Тесленко И.Ф. О мировоззренческой направленности урока математики. В кн.: Воспитание школьшшов в процессе обучения математике. М.: Просвещение, I98I. с.7-17,

140. Титова Т.И. Разработка и исследование системы учебных задач для формирования геометрических понятии в 6-8 классе средней школы,- Автореф, дис. канд,пед.наук. Киев, 1982. 17с.

141. Тихомиров O.K. Структура мыслительной деятельности человека (опыт теоретический и экспериментальное исследование).М.: Изд-во МГУ, 1969. 304с.

142. Толкачева Г.Я, Активизация учащихся на уроке математики, М.: Высшая Ш1шла, 1976, 72с.

143. Управление познавательной деятельностью учащихся /Под ред. П.Я.Гальперина и Н.Ф. Талызиной. М.: Изд-во №У,1972. 262с. 164. ФеДоренко И,Т. Подготовка учащихся к усвоению знаний,Киев: Рад.школа, 1980, 94с.

144. ФирсоБ В.В, Пути повышения эффективности преподавания математики в современных условиях,- "Штематшш в школе",1982, 1 5. с. 8-10. 5

145. Форм1фОвание познавательной самостоятельности школьников в процессе усвоения системы ведущих знаний и способов деятельности /Под ред. Т.И.Шамовой. М.: НИИ школ, 1975. 178с.

146. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных

147. Фридалан Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математики в ш<оле.- М.: Просвещение,1983.-160с.

148. Фридман Л.М., Джумбаев К.К. О некоторых вопросах использования задач в обучешш. "Советская педагогика", 1974, Ш 6, с.50-55,

149. Хабиб Р.А. ОрганизаЩШ учебно-познавательной деятельности учащихся.- М.: Просвещение, 1979. 175с.

150. Харламов И.Ф. Активизация учения школьников. Дидакт. очерки. Ш,: Народная асвета, 1970. 158с.

151. Харламов И.Ф. Некоторые вопросы совершенствования качества урока. "Советская педагогика", 1978, }Ь 12. с.20-24.

152. Шохор-Троцкий С И Геометрия на задачах. М.,1908.

153. Щукина Г.И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процессе.- М.: Просвещение, 1979.-160с.

154. Щукина Т.М. Проблемное обучение математике в восьмилетней школе.- Автореф, дис. канд.пед.наук.- Ярославль, 1975.- 22с.

155. Эльконин Д.Б. Возрастные и индивидуальные особенности младших подростков. М.: Просвещение, 1967. 360с.

156. Эрдниев П.М. Методика упраншений по математике.-М.: Просвещение, 1970. 319с.

157. Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе.-М.: Просвещение, 1978. 303с,

158. Якиманская И.С. Развивающее обучение.-М.: Педагогика, 1979. 144с.