Методические особенности изучения функции в классах гуманитарного направления профильной школы

Елизарова, Наталья Анатольевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методические особенности изучения функции в классах гуманитарного направления профильной школы

Автореферат

Автор научной работы: Елизарова, Наталья Анатольевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Москва
Год защиты: 2004
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Методические особенности изучения функции в классах гуманитарного направления профильной школы"

На правах рукописи

Елизарова Наталья Анатольевна

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ФУНКЦИИ В КЛАССАХ ГУМАНИТАРНОГО НАПРАВЛЕНИЯ ПРОФИЛЬНОЙ ШКОЛЫ

13.00.02^геория и методика обучения и воспитания (математика в системе начального, среднего и высшего образования)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук

Орёл - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского государственного областного университета

Научный руководитель:

Заслуженный деятель науки РФ, член-корреспондент РАО, доктор педагогических наук, профессор Луканкин Геннадий Лаврович

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор Мерлина Надежда Ивановна

кандидат педагогических наук, доцент Тарасова Оксана Викторовна

Ведущая организация: Московский государственный открытый педагогический университет им. Шолохова М.А.

Защита состоится 11 ноября 2004г. в 10 часов на заседании диссертационного совета К 212.183.03 по защите диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук при Орловском государственном университете по адресу: 302026, г. Орёл, ул. Комсомольская, 95.

С диссертацией можно ознакомиться в^ библиотеке Орловского государственного университета

Автореферат разослан

Учёный секретарь диссертационного совета

/¿г/з

2005-4 12736

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. Сущностью современного этапа развития образования является переход к личностно-ориентированному обучению, цель которого заключается в обеспечении развитая и саморазвития личности ученика, основанных на выявлении его индивидуальных особенностей как субъекта познания и учебной деятельности. В новой образовательной парадигме содержание образования, средства и методы обучения структурируются так, что позволяют ученику проявить изобретательность при изучении учебного материала. Изменяется критериальная база обучения: отслеживаются не столько знания, умения и навыки, сколько сформированность личностных новообразований, переносится акцент с узкопредметных на метапредметные методологические знания

Проблемы отбора и обновления содержания образования, математической подготовки на всех уровнях образования постоянно привлекают внимание общественности, причем не только педагогов или специалистов - математиков. Некоторые пути решения этих проблем были рассмотрены в исследованиях Ф.С. Авдеева, ГОК. Бабанского, М.И. Башмакова, В.В. Ветрова, Г.Д. Глейзера, В.А. Гусева, Г.В. Дорофеева, Ю.М. Колягнна, Л.М Коротковой, Г.Л. Луканкина, Н.И. Мерлиной, А.Г. Мордковича, С М. Никольского, А.И. Нижникова, Г. И. Саранцева, И М. Смирновой, В. Д. Селютина, МИ. Шабунина и др Развитию новых технологий обучения математике учащихся средней школы уделяли внимание - И.Н. Ангипов, М.И. Зайкин, В.М. Монахов, Е.И. Смирнов, П.М. Эрдниев и др.

Анализ работ ведущих психологов Д.Н. Богоявленского, Л.С. Выготского, В.А. Крутецкого, А.Н. Леонтьева, Н.А. Менчинской и др., связанных с развитием у школьников самостоятельного мышления, активизации их познавательной деятельности, творческой инициативы показал, что по - настоящему сознается учащимися лишь то содержание, которое является предметом их активных действий, причем эти действия должны соответствовать содержанию изучаемого материала

Методисты-математики: Ю.М. Колягин, А.А. Столяр, Л.М. Фридман, А.Я. Хинчин и др.-отмечают, что математика отличается от других предметов школьного курса стилем мышления, который подразумевает доминирование логической схемы рассуждения, лаконизм и

НОС ИАиИОНЛЛкнлсЛ

точность символики. В зависимости от возрастной группы учащихся учитель должен постепенно формировать у них логические приемы мышления (анализ, синтез, индукция и др.). Эти положения отражены в работах И.Л. Никольской, H.H. Поспелова, Н.Ф. Талызиной и других.

Специфика организации учебного процесса в классах гуманитарного направления рассмотрена в работах Ю.М. Колягина, Н.Е. Федоровой, М.В. Ткачёвой, Л.М. Коротковой, Г.Б. Луднной, А.Г. Гостева, М.И. Немыгова, И.О. Соловьёвой и др.

Некоторые вопросы изучения функционально-графической линии освещены в работах учёных-педагогов: А.Г. Мордковича, С.А. Теляковского, О.Б. Епишевой, В. А. Гусева, Г.В. Дорофеева, М.В. Ткачёвой и других. Диссертационные исследования Б.П. Бычкова, С.М. Головиной, А.И. Жаворонкова, Е.И Лященко, И.А. Марьянского, В.И. Севбо, Л.В. Тихоновой, В.М. Чернова и другие затрагивают вопросы методики изучения функционального материала. Вопросам формирования у

учащихся функциональных понятий посвящены диссертационные исследования Б.Б. Беседина, Г.Л. Гукасяна, Н.И. Ковалевича, Н А. Ильиной, Г.И. Кузнецовой, В.В. Затакавай, М.В. Злобиной, Л.Г. Петерсон и др, Тем не менее, в этих исследованиях, как и в большинстве других, прослеживается некоторая односторонность: разрабатывая некоторую теоретическую модель формирования общего понятия функции или отдельных функциональных понятий и предлагая определенную систему изложения материала, их авторы не ставили задачу изучения образования и развития понятия функции в сознании учащихся.

Для сознательного изучения функциональных понятий, позволяющего в дальнейшем использовать и применять эти понятая необходимо на самых ранних этапах обучения раскрыть первосмыслы, лежащие в основе названных понятий. Роль первосмыслов играют имеющие методологический характер идеи бесконечности, зависимости, соответствия, стремления, непрерывности и др. Они не могут быть изучены учащимися и осмыслены сразу на аналитическом языке. Поэтому важно, чтобы у ученика был сформирован образ, причём на первом этапе обучения - визуальный, который впоследствии развивается до концептуального. Функциональные понятия не желательно изучать вне взаимосвязи друг с другом, т.к. раскрытие гтервосмысла при изучении одного понятия обогащает понимание другого, связанного идейно с ним.

Функциональные понятия имеют преимущество перед другими изучаемыми в школе понятиями, т.к. обладают богатыми выразительными возможностями. Могут быть использованы различные формы представления содержания этих понятий: вербальная (словесная), знаково-символическая, геометрическая (графическая). В качестве средств обучения, использующих эти возможности, могут бьпъ выбраны задачи на представление содержания функциональных понятий в различных формах и их перевод с одного языка представления на другие.

Возможность использования различных языков представления понятий существует уже на самых первых этапах обучения, начиная со знакомства с основными функциональными понятиями, т.к заложенные в них идеи имеют в качестве приоритетных различные языки представления, доступные для сознательного усвоения учащимися.

Таким образом, несоответствие между педагогическим значением и фактическими результатами усвоения учащимися гуманитарных классов профильной школы понятия функции, а также возможности использования житейских представлений гуманитариев при первичном знакомстве с функциональным и понятиями, изучение этих понятий во взаимосвязи, организации на первых этапах обучения деятельности по переводу содержания понятий на различные языки представления, позволяющие развивать индивидуальные образы учащихся гуманитарных классов профильной школы адекватно научному смыслу изучаемых

математических фактов, определяет актуальность тематики данного исследования.

Исходя из названных положений, может быть сформулирована проблема исследования: поиск средств обучения функциональным понятиям, использующих богатые выразительные возможности этих понятий, обращенных к личному опыту учеников гуманитарных классов профильной школы; позволяющих задействовать логический''и образный компоненты мышления школьников.

Объект исследования - процесс обучения математике в старших классах гуманитарного направления профильной школы.

Предмет исследования - средства представления в различных формах и перевода на различные языки содержания функциональных понятий.

Цель исследования состоит в построении и теоретическом обосновании методических основ обучения учащихся гуманитарных классов профильной школы функциональным понятиям с использованием средств представления в различных формах и перевода на различные языки их содержания.

Гипотеза исследования: если функциональные понятия изучать на основе использования соответствующих средств представления содержания и перевода на различные языки, то это будет способствовать их сознательному усвоению учащимися гуманитарных классов профильной школы, повысит качество обучения математике.

В процессе исследования проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. На основе психофизиологических данных выявить специфику организации учебного процесса в классах гуманитарного направления.

2. Установить причины недостатков усвоения учащимися гуманитарных классов функциональных понятий и определить возможные пути устранения этих причин.

3. На основе анализа литературы, содержания школьного курса математики, изучения опыта работы учителей средних школ выяснить возможность использования в процессе обучения функциональным понятиям таких средств обучения, которые позволяют представить изучаемый материал в различных формах, а также переводить содержание с одного языка на другой.

4. Выявить особенности и основные этапы познания функциональных понятий и возможности учета этих особенностей в процессе обучения математике учащимися гуманитарного направления профильной школы.

5. Разработать методику реализации выявленных путей повышения эффективности формирования функциональных понятий в классах гуманитарного направления профильной школы.

6. Осуществить экспериментальную проверку разработанной методики изучения функциональных понятий и гипотезы.

Для решения представленных задач использовались следующие методы исследования: теоретическое исследование состояния проблемы с использованием анализа психолого-педагогической, научно-медицинской литературы по теме диссертации, изучение литературы по истории математики, анализ программ, учебников и учебных пособий по математике; анализ состояния знаний учащихся по функциональным темам в рамках констатирующего эксперимента; изучение и обобщение педагогического опыта работы учителей, а также личный опыт обучения учащихся гуманитарных классов; изучение и обобщение опыта изучения теоретико-множественного материала в классах гуманитарного направления; анкетирование, беседы с учителями и учащимися; организация и проведение констатирующего, поискового и обучающего экспериментов, количественная, качественная и статистическая обработка данных, полученных в результате эксперимента.

Методологической основой исследования явились: труды выдающихся физиологов, психологов, педагогов, математиков и методистов, философские положения теории познания, положения теории деятельности в обучении, дидактические принципы обучения, личностно-ориентированная образовательная парадигма, концепция нового гуманитарного курса математики в основной и старшей школе.

Научная новизна данного исследования:

1.Разработаны основные направления совершенствования формирования функциональных понятий у учащихся гуманитарного направления профильной школы.

2.Разработана методика формирования понятия функции на основе использования графической, вербальной и знаково-символической форм её представления и задач по переводу математического содержания функциональных понятий на различные языки представления при изучении курса алгебры и начал анализа в классах гуманитарного направления профильной школы.

3.Разработаны методические рекомендации по формированию функциональных понятий в процессе их применения, позволяющие обеспечить сознательное обучение математике учащихся гуманитарного направления профильной школы и применение полученных знаний в других областях науки.

планирования и разработки методики проведения уроков по алгебре и началам анализа, факультативных курсов и организации самостоятельной активной познавательной деятельности учащихся гуманитарного направления профильной школы; реализация основных методических положений данного исследования при изучении математики в классах гуманитарного направления позволяет существенно повысить теоретический уровень и практическую направленность обучения алгебре и началам анализа в профильной школе.

Практическая значимость работы заключается в том, что разработаны наборы задач на представление понятий и перевод их содержания с одного языка представления на другие. Подготовлены методические рекомендации по формированию функциональных понятий в процессе их применения, которые могут быть использованы учителями средних школ при проведении уроков и факультативных занятий по математике.

Обоснованность и достоверность выводов, положений и рекомендаций достигается:

1) согласованностью полученных выводов и конкретных рекомендаций с достижениями современных физиологических и методических наук, лежащих в основе проблемы исследования;

2) использованием различных методов исследования, адекватных поставленным целям и задачам;

3) проведением детального анализа сложившейся системы проведения функционально-графической линии школьного математического образования в историческом и современном аспектах;

4) результатами экспериментальной проверки, подтверждающей на качественном уровне справедливость основных положений диссертационного исследования.

На защиту выносятся следующие положения:

1) для сознательного изучения функциональных понятий, позволяющего в дальнейшем использовать и применять эти понятия, необходимо на самых ранних этапах обучения раскрыть первосмыслы, лежащие в основе названных понятий;

2) формирование функциональных понятий может осуществляться на основе актуализации «житейских» интуитивных представлений, а в дальнейшем - постепенного совершенствования образов этих понятий : от отражения в представлениях математического содержания, выраженного в одной форме, к комплексному представлению в различных формах, а от него - к целостному концептуальному представлению;

3) использование задач по переводу математического содержания функциональных понятий на различные языки представления при изучении курса алгебры и начал анализа позволяет повысить качество обучения математике учащихся гуманитарных классов профильной школы.

Апробация результатов исследования.

Результаты исследования докладывались и обсуждались на международной конференции «Математика. Образование. Экология и здоровье человека» (Воронеж,2000г.), на XX Всероссийском семинаре преподавателей математики педвузов и университетов «Формирования духовной культуры личности в процессе обучения математике в школе и вузе» (Вологда, 2001г.), на Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы обучения математике» (Орел, 2002г.), на международной научной конференции «Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2002г.), на Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики»(Н.Новгород, 2002 г.), на межвузовской научной конференции «Россия: перспективы прорыва в цивилизацию знаний» (Москва, 2004 г.), на 23 Всероссийском семинаре преподавателей математики педвузов и университетов «Актуальные проблемы преподавания математики в средней школе и педагогических вузах» (Челябинск, 2004 г.).

Внедрение выдвинутых в диссертации положений, методических рекомендаций осуществлялось в ходе экспериментальной проверки, которая проводилась в МОУ средних школах №6 и №7 г. Наро - Фомин ска Московской области.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность темы исследования, сформулированы объект, предмет, цель, гипотеза исследования, определены задачи и методы исследования, научная новизна работы, ее теоретическая и практическая значимость, изложены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава «Психолого-педагогические основы формирования у учащихся гуманитарного направления математических понятий» состоит из четырёх параграфов.

В первом параграфе рассмотрены психофизиологические и психологические особенности гуманитарного мышления. Под психофизиологическими особенностями мы понимаем физиологические особенности психической деятельности и поведения человека. Известны две концепции, относящиеся к проблеме функциональной специализации полушарий в онтогенезе: эквипотенциальности полушарий и прогрессивной латерализации. Первая предполагает изначальное равенство, или эквипотенциальность полушарий в отношении всех функций, в том числе и речевой. В пользу этой концепции говорят многочисленные данные о высокой пластичности мозга ребенка и взаимозаменяемости симметричных отделов мозга на ранних этапах развития. В данном исследовании мы

придерживаемся, концепции прогрессивной литерализации полушарий, в соответствии с которой специализация полушарий существует уже с момента рождения. Действительно, установлено, что уже у плода, т.е. задолго до реального развития речевой функции, можно обнаружить проявление межполушарной асимметрии в морфологическом строении будущих речевых зон.

Многие исследователи рассматривают межполушарные отношения лишь при слуховом восприятии; проблема специализации полушарий в обеспечении зрительного восприятия недостаточно изучена. В нашем исследовании осуществлена попытка объединить и дополнить разрозненные результаты, касающиеся психофизиологических особенностей учащихся гуманитарного направления профильной школы, оказывающих влияние на обучение этих школьников математике. В общем виде специализация полушарий в обеспечении зрительного восприятия сводится к следующему:

Левое полушарие Правое полушарие

Лучше узнаются стимулы

Вербальные Невербальные

Легко различимые Трудно различимые

Знакомые Незначимые

Лучше воспринимаются задачи

Оценка временных отношений Оценка пространственных отношений

Установление сходства Установление различий

Установление идентичности стимулов по названиям Установление физической идентичности стимулов

Переход к вербальному кодированию Зрительно-пространственный анализ

Особенности процессов восприятия

Аналитичность Целостность

Последовательность Одновременность

Абстрактность, обобщённость, инвариантное узнавание Конкретное узнавание

Предполагаемые морфофизиологические различия

Фокусированное представление элементарных функций Диффузное представление элементарных функций

Таким образом, наш мозг и анатомически и физиологически, по-видимому, от рождения подготовлен к восприятию слов и образов и к их переработке, однако эти процессы в разных полушариях протекают по -

разному. Правое полушарие обеспечивает чувственные формы отражения мира, левое связано с вербально - логическими процессами. Это объясняет связь некоторых сторон языковых способностей с активированностью правого полушария, а математических способностей - с активированностью левого полушария. Поэтому можно с определенной уверенностью полагать, что «гуманитариям» свойственно «правополушарное» мышление, а «технарям» - «левополушарноее».

В следующих разделах данного параграфа рассмотрены психологические аспекты - индивидуальные особенности познавательных процессов, вопросы способностей и мотивации учащихся гуманитарных классов профильной школы.

Учитывая выше изложенное, можно с уверенностью сказать, что самой лучшей обучающей методикой является та, которая написана с учётом знаний об устройстве и развитии мозга

Во втором параграфе выделены основные принципы, на которых целесообразно построить технологию обучения по профильным и непрофильным дисциплинам. Рассмотрены возможности профильного образования в гуманизации образования и общества, а также влияние основных принципов профильной дифференциации на практику обучения математике в гуманитарных классах.

В третьем параграфе настоящей главы раскрываются возможности и особенности формирования математических понятий. На основе анализа педагогической, психологической и учебно-методической литературы определяются основы образования и усвоения учащимися понятия, а также принципы совершенствования развитого понятия.

Обеспечение универсальности образования, предполагает создание системы, включающей спектр образовательных областей, каждая из которых была бы представленаа в форме языка познания и отражения окружающего мира, и разработку внутри каждой из них содержания обучения, основанного на выделении определенных категорией (фундаментальных понятий, определяющих «язык» данной предметной области и обладающих широким прикладным значением).

Под термином «фундаментальные понятия математического анализа», в частности, мы понимаем в первую очередь понятия действительного числа, функции и предела функции, а также связанные с ними понятия числовой последовательности и непрерывности функций.

Необходимость изучения этих понятий в школьном курсе математического анализа раскрывается в научном, общекультурном и прикладном аспектах.

Познание понятий числа, функции, непрерывности и предела не ограничиваются рамками одного школьного предмета «Алгебра и начала анализа». Они носят характер метапредметных первосмыслов. Метапредметные первосмыслы - ключевые, фундаментальные объекты, имеющие свое проявление и проблематику в самых разных учебных

дисциплинах. Первосмысл - это ключевое понятие, категория, которая концентрирует в себе достаточно широкую область знания и выводит за рамки одного учебного предмета.

Другими примерами первосмыслов являются категории пространства, времени, движения, понятия буквы, ноты; стихии мира -огонь, вода, воздух, земля. К первосмыслам отнесём и идеи измерения, движения, зависимости. Эти идеи тесно связаны с фундаментальными понятиями.

Процесс обучения фундаментальным понятиям математического анализа может бьпъ построен таким образом, чтобы в ходе его осуществления была дана «жизнь» тем идеям, которые в их основе лежат. Это дает возможность установить связи (не логическую, а идейную) между изучаемыми понятиями, между идеями и понятиями; проследить исторический путь формирования научных понятий (а ученику индивидуально повторить этот путь в процессе познания); приблизить теорию к её практическому применению

Начинать обучение фундаментальным понятиям возможно с раскрытия заложенных в них первосмыслов. Поскольку достичь этого средствами только аналитического мышления затруднительно, важно, чтобы у ученика был сформирован образ. На первом этапе обучения - визуальный образ, который впоследствии развивается до концептуального. При этом для познания каждого из фундаментальных понятий необходимо прохождение учеником ряда этапов, которые можно представить в виде схемы:

Необходимость формирования у учеников гибкого мышления, в основе которого лежат комплексы представлений содержания фундаментальных понятий в различных формах, служит причиной специального рассмотрения перевода математического содержания на различные языки представления, которому посвящен § 3 гл. П.

В четвёртом параграфе рассмотрены различные подходы к реализации функциональной линии в школьном курсе математики, а также история возникновения понятия функции.

В историческом развитии понятия функции можно выделить три основных периода: отождествления функции с аналитическим выражением; определение функции через понятие зависимой переменной; теоретике -множественная трактовка понятия функции. Каждый переход от одного периода к другому был обусловлен расширением представлений о функции как объекте математических исследований. Если на первом этапе объем понятия функции был ограничен заданными при помощи формулы соответствиями между элементами числовых множеств, то на втором этапе с функциональной точки зрения рассматривались произвольные соответствия между элементами числовых множеств, а на третьем - соответствия между элементами множеств произвольной природы. Однако следует заметить, что современное понятие функции не является окончательно сформировавшимся, так как и сама математика не останавливается в своем развитии. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции.

В данном параграфе приведен сравнительный анализ учебных пособий по математике (начиная с 30-х гг. XX в.), а также методических подходов к введению и изучению функциональных понятий, выделены некоторые особенности реализации функциональной линии в современном школьном курсе алгебры.

Вторая глава «Методические особенности формирования функциональных понятий в старших классах гуманитарного направления» состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе этой главы приведён анализ состояния усвоения учащимися функциональной линии школьного курса математики, выделены знания и умения, овладение которыми свидетельствует об образовании у ученика того или иного функционального понятия (общее понятие функции, понятие графика числовой функции, понятие функции, обладающей конкретным свойством).

Анализ усвоения учащимися функциональных понятий показал, что знания и умения большей части школьников не удовлетворяют требованиям, характеризующим усвоение ими понятий.

Второй параграф посвящен разработке методических особенностей формирования понятия функции у учащихся гуманитарного направления профильной школы.

Выбор формы определения функции, опорного понятия зависит от общей направленности программы по математике, от функциональной пропедевтики. По проекту новой программы по математике уже в начальной школе изучаются элементы математической логики, стохастики, учащиеся знакомятся с разными видами конкретных множеств и простейшими видами соответствия между элементами множеств. Эти понятия находят отражение и в последующих классах. Следовательно, работа по новым программам создает благоприятные условия для формирования представления о понятии функции на основе понятий множества и соответствия. Однако анализ

методической литературы и наблюдения в школах показывают, что заданию функции стрелочной диаграммой и таблицей не уделяется должного внимания. В этом одна из причин того, что в сознании учащегося вытесняется самое бущественное в понятии функции и выдвигается на передний план изменяемость значений функции с изменением значений архумента.

В данном параграфе разработана система задач на тему «Функциональная зависимость», при её построении были учтены те цели, которые ставились перед изучением этой темы: с помощью уточнения, углубления и расширения имеющихся у учащихся знаний о конкретных функциях сформировать на множественной основе более общее понятие функции с учетом широкого применения этого понятия.

В третьем параграфе даны методические рекомендации по формированию функциональных понятий в процессе их применения. ^

При построении методики формирования у учащихся гуманитарных классов функциональных понятий мы обратили внимание на возможность (а в силу особой важности применения понятия для прочного его формирования) и на необходимость осуществления перевода математического содержания на различные языки представления. Выделены три группы факторов, обуславливающих необходимость осуществления подобного перевода: математические, психологические и факторы методического характера.

Возможность использования перевода содержания с одного языка на другой, задействующего различные по форме представления о математических понятиях, осуществляемого учеником самостоятельно при решении задач, условия которых такого перевода не требуют в явном виде (функциональные уравнения и неравенства, «нестандартные» задачи с применением фундаментальных математических понятий др.), является показателем сознательности усвоения фундаментальных понятий.

Рассмотренные в исследовании возможности использования перевода математического содержания позволяют осуществить поиск средств обучения фундаментальным математическим понятиям, нацеленных на вовлечение учащихся в деятельность по переводу смысла понятий на различные языки представления. Средства обучения функциональным понятиям по возможности выбираются такие, которые могут обеспечить: представление содержания в различных формах на начальном этапе изучения понятий; максимально возможное число переходов от одной формы представления функциональных понятий к другой, осуществляемых учениками в процессе познания; возможность в дальнейшем применять перевод математического содержания из одной формы представления в фугую (к примеру, при решении функциональных уравнений и неравенств и др.) на основе актуализации комплексных представлений о функциональных понятиях, включающих вербальные, графические и знаково-символические представления.

Такими средствами могут бьггь задачи по переводу содержания из одной формы представления математического содержания в /фугую и специальные тестовые задания.

В работе рассмотрена методика работы с задачами, требующими в процессе решзмня переводов различных типов; выделены требования к задачам на перевод математического содержания с одного языка представления на другие.

Эффективность разработанных методических рекомендаций по формированию функциональных понятий у учащихся старших классов гуманитарного направления подтвердилась результатами педагогического эксперимента, описанию которого посвящён четвертый параграф второй главы.

Педагогический эксперимент проводился в МОУ средних школах №6 и № 7 г. Наро-Фоминска Московской области в период с 1999г. по 2002г. и состоял из трёх этапов: констатирующий, поисковый и обучающий.

На первом этапе (1999 - 2000 гг.) осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и медицинской литературы по проблеме исследования, изучение опыта работы учителей в классах гуманитарного направления. Целью этого изучения и анализа являлось выявление предпосылок для разработки теоретических основ проблемы исследования. Были выявлены возможности использования при изучении функциональной линии образных компонентов мышления школьников. Проведена первая стадия констатирующего эксперимента.

Рассмотренные на I этапе эксперимента опрос, анкета, тест и примеры позволили сделать следующие выводы:

1. Приступая к изучению начал математического анализа, школьники имеют житейские представления, которые могут быть использованы при введении фундаментальных понятий математического анализа.

2. Учащиеся гуманитарных классов испытывают потребности в осмыслении понятий, имеют предпосылки к этому в виде умений ориентироваться на свойства графиков при решении математических задач.

3. При изучении фундаментальных понятий в средней школе большое внимание уделяется операционной стороне, идейный смысл практически не раскрывается.

4. Необходимо найти средства обучения функциональным понятиям, использующие разные формы их представлений, а также связывающие эти формы посредством перевода.

5. Существует необходимость разработки методики обучения, направленной на сознательное усвоение функциональных понятий.

На втором этапе (2000 - 2001 гг.) в условиях поискового эксперимента был произведен отбор средств изучения функциональных "понятий, разработана методика обучения, ориентированная на учащихся гуманитарных классов и учитывающая результаты констатирующего эксперимента. Подготовлены методические рекомендации для учащихся по

использованию различных форм представления функциональных понятий. Проведена первая стадия* обучающего эксперимента.

На этом этапе решались задачи: 1) поиск для функциональных понятий наиболее адекватной формы представления их содержания, выбор средств обучения, использующих эту форму; 2) отбор задач и заданий по переводу математического содержания на различные языки представления.

Этот экспериментальный этап позволил сформулировать следующие

выводы:

1. Для сознательного усвоения функциональных понятий в обучении могут быть использованы на самом первом этапе изучения различные формы представления содержания. В качестве первоначальной формы предъявления функциональных понятий может быть выбрана геометрическая склонность, к восприятию которой имеет большинство учащихся гуманитарных классов профильной школы.

2. Перевод математического содержания с одного языка на другие может быть использован для осознания идейного смысла фундаментальных понятий на начальных этапах обучения.

3. В качестве средств обучения могут быть использованы задачи на перевод математического содержания на различные языки и специально составленные тесты.

4. Приоритет идейно-смыслового начала при обучении положительно сказывается и на операционных умениях «гуманитариев»

Сформулированные выводы позволили выделить ряд методических особенностей изучения функциональных понятий и осуществить их экспериментальную проверку.

Результаты, полученные в ходе поискового этапа эксперимента, позволили перейти к следующему его этапу - к обучающему эксперименту (2001-2002гг.), основной целью которого являлась окончательная проверка гипотезы исследования.

Обучающий эксперимент состоял из следующих этапов:

1) Для выяснения уровня контрольного и экспериментального класса, их сравнения была проведена письменная работа. Анализ её результатов показал приблизительно одинаковый уровень подготовки учащихся обеих трупп до начала эксперимента.

2) Изучение функциональных понятий в опытных классах осуществлялось по экспериментальной методике, основные положения которой отражены в § 2 и §3 главы II.

3) Осуществление контроля и анализа его результатов.

Анализ выполнения самостоятельных и контрольных работ показал, что у учащихся экспериментальных классов значения проверяемых параметров в конце эксперимента оказались выше, чем у учащихся контрольных классов.

Была проведена статистическая обработка результатов эксперимента. Анализ результатов подтверждает выдвинутую гипотезу.

В процессе теоретического и экспериментального исследования поставленной научной проблемы, в соответствии с целью и задачами исследования, получены следующие основные результаты и выводы:

1. Для сознательного изучения функциональных понятий, позволяющего в дальнейшем использовать и применять эти понятия, необходимо на самых ранних этапах обучения раскрыть первосмыслы, лежащие в основе названных понятий.

2. Функциональные понятия не желательно изучать вне взаимосвязи друг с другом, так как раскрытие первосмысла при изучении одного понятия обогащает понимание другого, идейно связанного с ним.

3. Богатые выразительные возможности функциональных понятий позволяют использовать в процессе обучения задания на представления в различных формах (графической, вербальной, знаково-символической) содержания понятий и задачи на перевод содержания с одного языка на другой. Определены структура и содержание системы задач основных и факультативных курсов.

4. Необходимость осуществления в процессе обучения математике учениками перевода математического содержания на различные языки представления обусловлена тремя группами факторов: математические, психологические и факторы методического характера!

5. Выделены основные направления совершенствования формирования функциональных понятий в процессе их применения, позволяющие обеспечить сознательное обучение учащихся гуманитарных классов функциональному материалу.

6. Разработанные методические особенности изучения функциональных понятий прошли опытную и экспериментальную проверку, я была подтверждена рабочая гипотеза исследования: если функциональные понятия изучать на основе использования соответствующих средств представления содержания и перевода на различные языки, то это будет способствовать их сознательному усвоению.

Основные положения и результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях:

1. Капотова H.A. Гуманизация школьного образования через профильное обучение.// Материалы международной конференции «Математика. Образование. Экология». - Воронеж: НОУ «Интерлингва», 2000. -С. 17.

2. Капотова H.A. Эстетическое воспитание учащихся в процессе обучения математике // Формирование духовной культуры личности в процессе обучения математике в школе и вузе: Труды XX Всероссийского семинара преподавателей математики педагогических вузов и университетов.- Вологда: Изд-во ВШУ 2001. - С. 10-11.

3.Елизарова H.A. Организационно-педагогические и методические основы реализации интегрированного курса математики и информатики в классах гуманитарного направления // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики». - Н. Новгород: Изд-во НГПУ, 2002. - С.28.

4. Елизарова H.A. Особенности формирования математических категорий // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы обучения математике». - Орёл: Изд-во ОГУ, 2002,-С. 183-186.

5. Елизарова H.A. Методические рекомендации по формированию функциональных понятий в процессе их применения // Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики: Труды XXI Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов,- С-П.: Изд-во РГПУ им. А.И.Герцена, 2002. - С.64-65.

6. Елизарова H.A. Особенности формирования фундаментальных понятий математического анализа // Народное образование в XXI в.: Сборник статей. Москва: Изд-во Прометей, 2003. - С. 115-123.

7. Елизарова H.A. Математическое моделирование в научных исследованиях // Материалы межвузовской научной конференции «Россия: перспективы прорыва в цивилизацию знаний». - Москва: Изд-во РосНоу, 2004. - С. 190-192.

Елизарова Н.А. Методические особенности изучения функции в классах гуманитарного направления профильной школы. Автореф. дис....канд. пед. наук.- Орёл, 2004.-18с.

Подписано в печать: 04.10.2004 г. Бумага офсетная. Гарнитура «Times New Roman». Печать офсетная. Формат бумаги 60/84 Ш6 Усл. п.л. 1,25.

_Тираж 150 экз. Заказ № 184._

Изготовлено: Издательство МГОУ 105005 г. Москва, ул. Радио, д. 10-а, тел.: 265-41-63, факс:265-41-62.

i i (

i lî

(

I I

ИвбУО

РНБ Русский фонл

2005-4 12736

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Елизарова, Наталья Анатольевна, 2004 год

Введение.

Глава I. Психолого-педагогические основы формирования у учащихся гуманитарного направления профильной школы математических понятий.

§ 1.1 Психофизиологические и психологические особенности гуманитарного мышления.

§ 1.2 Принципы технологии обучения в профильных классах.

§ 1.3 Особенности формирования математических понятий.

§ 1.4 Различные подходы к реализации функциональной линии в школьном курсе математики.

Выводы по главе 1.

Глава И. Методические особенности формирования функциональных понятий в классах гуманитарного направления профильной школы.

§ 2.1 Анализ состояния усвоения учащимися функциональной линии школьного курса математики.

§ 2.2 Методические особенности формирования понятия функции у учащихся гуманитарного направления профильной школы.

§ 2.3 Методические рекомендации по формированию функциональных понятий в процессе их применения.

§ 2.4 Педагогический эксперимент.

Выводы по главе 2.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методические особенности изучения функции в классах гуманитарного направления профильной школы"

Сущностью современного этапа развития образования является переход к личностно-ориентированному обучению, цель которого заключается в обеспечении развития и саморазвития личности ученика, основанном на выявлении его индивидуальных особенностей как субъекта познания и учебной деятельности. В новой образовательной парадигме содержание образования, средства и методы обучения структурируются так, что позволяют ученику проявить изобретательность к предметному материалу. Изменяется критериальная база обучения: отслеживаются не только знания, умения и навыки, сколько сформированность личностных новообразований, переносится акцент с узкопредметных на метопредметные методологические знания.

Изменение образовательной парадигмы влечёт не только появление новых предметов изучения в средней школе, но и изменение подходов к изучению традиционных предметов, в частности математики. В современных подходах к модернизации математического образования в нашей стране главная роль отводится обучающей и развивающей функциям обучения, дифференциации и гуманитаризации математического образования. Уже .перестраивается курс геометрии в направлении развития пространственного мышления, более результативного использования взаимосвязей образного и логического компонентов мышления учеников. Перенос акцента с операционных умений учеников на эвристические касается усовершенствований курса алгебры.

Коротковой, Г.Л. Луканкина, Н.И. Мерлиной, А.Г. Мордковича, С.М

Никольского, Г.И. Саранцева, В.Д. Селютина, И.М. Смирновой, М.И. Шабунина и др. Развитию новых технологий обучения математике учащихся средней школы уделяли внимание И.Н. Антипов, М.И. Зайкин, В.М. Монахов, А.И. Нижников, П.М. Эрдниев и др.

Анализ работ ведущих психологов: Д.Н. Богоявленского, Л.С. Выготского, В.А. Крутецкого, А.Н. Леонтьева, Н.А. Менчинской и др., связанных с развитием у школьников самостоятельного мышления, активизации их познавательной деятельности, творческой инициативы показал, что по-настоящему сознается учащимися лишь то содержание, которое является предметом их активных действий, причем эти действия ^ должны соответствовать содержанию изучаемого материала.

Методисты - математики: Ю.М. Колягин, В.Л.Матросов, А.А. Столяр, Л.М. Фридман, А.Я. Хинчин и др. - отмечают, что математика отличается от других предметов школьного курса стилем мышления, который подразумевает доминирование логической схемы рассуждения, лаконизм и точность символики. В зависимости от возрастной группы учащихся учитель должен постепенно формировать у них логические приемы мышления (анализ, синтез, индукция и др.). Эти положения отражены в работах И.Л. % Никольской, Н.Н. Поспелова, Н.Ф. Талызиной и других.

На интеллектуальное развитие человека и, прежде всего таких его компонентов, как способность к усвоению новой информации, сила и гибкость ума, критичность, умение планировать действия, способность к аргументации и др., оказывает большое влияние математический анализ. Отметим также, что курс начал анализа основной школы имеет большую практическую направленность, требующую от учащихся прочного овладения основными понятиями, умения выполнять различного рода преобразования всевозможных выражений, исследовать функции и строить графики и т.д. Школьники должны иметь прочные знания по каждой из указанных тем, т.к. ^ они являются звеном огромной цепи понятий и имеют большое значение в реализации межпредметных связей. Однако, изучение элементов математического анализа в средней школе связанно с рядом трудностей: высокий уровень абстракции понятий, сложная логическая структура их определений, недостаточность учебного времени для осмысления сложности вопросов и др. Минимизация этих проблем традиционно считалось сложной задачей и в связи с этим возникали попытки исключения отдельных вопросов математического анализа из школьной программы. Например, это затронуло рассмотрение понятий действительного числа и предела функции. Однако, наряду с понятием функции они принадлежат к фундаментальным понятиям математического анализа. Их значимость определяется не только предметным и прикладным аспектами, но и общекультурным аспектом. Изучение понятий функции, предела функции не ограничивается рамками одного школьного предмета, поскольку они отражают достаточно широкую область человеческого бытия, причинно-следственные связи, воплощая идеи актуальной и потенциальной бесконечности, непрерывности и др. Реализация различных аспектов формирования функциональных понятий может быть осуществлена за счёт привлечения не только аналитических, но и образных компонентов мышления школьников. В образной форме можно выразить идеи бесконечности, непрерывности и др., лежащие в основе функциональных понятий. Эти понятия и идеи носят характер метапредметных первосмыслов и имеют своё проявление не только в математике, но и в других учебных дисциплинах.

Раскрытие первосмыслов особенно важно для учащихся гуманитарных классов, поскольку это способствует осознанию общекультурной ценности математики, развитию мировоззрения. Рассмотрение физических процессов при изучении математики вызывают затруднения у таких учащихся.

Специфика организации учебного процесса в классах гуманитарного направления рассмотрена в работах Ю.М. Колягина, Н.Е. Федоровой, М.В. Ткачёвой, JLM. Коротковой, Г.Б. Лудиной, А.Г. Гостева, М.И. Немытова, И.О. Соловьёвой и др.

Начиная с середины пятидесятых годов, методика изучения функций в школе разрабатывается в рамках функциональной линии, выделение которой в школьном курсе алгебры признаётся единогласно. «Понятие функциональной зависимости, - писал А.Я. Хинчин, - должно стать не только одним из важнейших понятий школьного курса математики, но и основным стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии, тригонометрии, вокруг которого группируется всё математическое преподавание.»[208]. Однако, до проведения реформы математического образования 60-70 годов понятие функции в школе явно вводилось лишь в старших классах и было оторвано от других разделов курса математики; практически не использовалось оно и в курсе физики. По существу нельзя было считать, что в школьном курсе математики реализуется «Функциональная линия». Работы B.JI. Гончарова, А.Я. Хинчина, ряда других математиков и методистов, материалы дискуссии, прошедшей в 50-х годах на страницах журнала «Математика в школе» по вопросу о выяснении роли и места в школьном курсе математики понятия функции, выявили возможность и целесообразность ознакомления с этим понятием не только учащихся старших классов, но и учащихся среднего и более младшего школьного возраста. «Главное условие успешного изучения функций, в школьном курсе алгебры, - пишет Ю.Н. Макарычев, - заключается в широком использовании фундаментальных понятий внутри этого курса, в установлении связей с другими понятиями курса алгебры, делающее всю структуру курса легко обозримой»[132].

После введения в 1968 году новой программы по математике были проведены исследования (Н.Н. Шунда, И.М. Степуро, А.А. Ундуск и др.) показывающие, что изучение понятия функции тесно связывается с изучением практически всего школьного курса математики. В работах Р.А. Архонтовой, Т.В. Кожекиной, А. А. Пинского вскрываются резервы взаимосвязи изучения понятия функции в школьных курсах математики и физики.

В исследованиях последующих лет прослеживается стремление к разработке методики ознакомления с понятием функции учащихся ещё более младшего возраста. В этом плане заслуживает внимания исследования Г.Г. Кравцова [ ], который экспериментально доказал возможность введения понятия функции в 4 классе, написал и обосновал геометрически-исходное предметное действие, лежащее в основании деятельности, адекватной содержанию понятия функции - это действие, цель которого — сообщить кому-либо другому местоположение объекта на плоскости при условии, что непосредственный показ невозможен.

Диссертационные исследования Б.П. Бычкова, С.М. Головиной, А.И. Жаворонкова, Е.И. Лященко, И.А. Марьянского, В.И. Севбо, В.М. Чернова и другие затрагивают вопросы методики изучения функционального материала; вопросы методики изучения функций и функционального подхода к некоторым разделам алгебры (тождественные преобразования, уравнения, неравенства) - в диссертациях Ю.Н. Макарычева, К.С. Муравина, Н.Н. Шунды и других. Некоторые вопросы изучения функционально -графической линии освещены в работах ученых - педагогов: А.Г. Мордковича, С.А. Теляковского, О.Б. Епишевой, В.А. Гусева, Г.В. Дорофеева, М.В. Ткачевой и других.

Вопросам формирования у учащихся функциональных понятий посвящены диссертационные исследования Б.Б. Беседина, Г.Л. Гукасяна, Н.И. Ковалевича, Н.А. Ильиной, Г.И. Кузнецовой, В.В. Затакавай, М.В. Злобиной, Л.Г. Петерсон, JI.B. Тихоновой и др. Тем не менее, в этих исследованиях, как и в большинстве, других прослеживается некоторая односторонность: разрабатывая некоторую теоретическую модель формирования общего понятия функции или отдельных функциональных понятий и предлагая определенную систему изложения материала, их авторы не ставили задачу изучения образования и развития понятия функции в сознании учащихся. I

Между тем, усвоение понятий - «сложный процесс, в результате которого содержание понятия, усвоенное учащимися, далеко не всегда соответствует тому, что вкладывается в данное понятие взрослыми и что надо передать учащимся при обучении их этому понятию» [55].

Наиболее значимым в плане соотношения излагаемого учителем функционального материала со знаниями учащихся является исследование Р.А. Майера [131], который изучил функциональные навыки учащихся в 68 классах и представил эти навыки в процессе развития: последовательная их отработка способствует формированию у школьников «функционального стиля мышления».

Следует также иметь в виду, что изложение материала в определённой системе не является достаточным условием для возникновения в сознании учащихся системы понятий, адекватной системе понятий в школьном курсе. B.C. Цетлин отмечает, что часто «учебный предмет предстаёт перед учащимся как конгломерат отдельных, не связанных друг с другом элементов Изучаются понятия, правила, действия одни за другими, и всё внимание сосредоточенно на каждом в отдельности. Связь вновь изучаемого с ранее известным раскрывается только линейно, об объединении, систематизации материала в крупные блоки заботятся мало. Формирование системы понятий реализуется скорее стихийно, чем целенаправленно» [213].

Для сознательного изучения функциональных понятий, позволяющего в дальнейшем использовать и применять эти понятия необходимо на самых ранних этапах обучения раскрыть первосмыслы, лежащие в основе названных понятий. Роль первосмыслов играют имеющие методологический характер идеи бесконечности, зависимости, соответствия, стремления, непрерывности и др. Они не могут быть изучены учащимися и осмыслены сразу на аналитическом языке. Поэтому важно, чтобы у ученика был сформирован образ, причём на первом этапе обучения - визуальный, который впоследствии развивается до концептуального. Функциональные понятия не желательно изучать вне взаимосвязи друг с другом, т.к. раскрытие первосмысла при изучении одного понятия обогащает понимание другого, связанного идейно с ним.

Функциональные понятия имеют преимущество перед другими изучаемыми в школе понятиями, т.к. обладают богатыми выразительными возможностями: могут быть использованы различные формы представления содержания этих понятий вербальная (словесная), знаково-символическая, геометрическая (графическая). В качестве средств обучения, использующих эти возможности, могут быть выбраны задачи на представление содержания функциональных понятий в различных формах и их перевод с одного языка представления на другие.

Следует отметить, что использование разных языков для введения функциональных понятий, а также перевода их содержания на различные языки представления ранее не давало желаемых результатов, поскольку место в процессе обучения для применения этих средств было выбрано не совсем удачно. На первом этапе обучения ставилась цель формального усвоения понятий, к осуществлению перевода содержания понятий на различные языки представления учащиеся приступали лишь на следующем этапе обучения, что оказывалось малоэффективным.

Существует возможность использования различных языков представления понятий на самых первых этапах обучения, начиная со знакомства с основными функциональными понятиями, т.к. заложенные в них идеи имеют в качестве приоритетных разные языки представления, доступные для сознательного усвоения учащимися.

Понятие функции в действующем школьном курсе изучается школьниками на протяжении пяти лет, однако, несмотря на это, фактические результаты усвоения ими этого понятия не всегда соответствуют предполагаемым. Об этом свидетельствуют многочисленные проверки знаний учащихся по функциональному материалу, беседы с учителями, анализ школьных выпускных экзаменов.

Таким образом, несоответствие между педагогическим значением и фактическими результатами усвоения учащимися гуманитарных классов профильной школы понятия функции, а также возможности использования житейских представлений гуманитариев при первичном знакомстве с функциональными понятиями, изучение этих понятий во взаимосвязи, организации на первых этапах обучения деятельности по переводу содержания понятий на различные языки представления, позволяющие развивать индивидуальные образы учащихся гуманитарных классов профильной школы адекватно научному смыслу изучаемых математических фактов, определяет актуальность тематики данного исследования.

Исходя из названных положений, может быть сформулирована проблема исследования: поиск средств обучения функциональным понятиям, использующих богатые выразительные возможности этих понятий, обращенных к личному опыту учеников гуманитарных классов профильной школы; позволяющих задействовать логический и образный компоненты мышления школьников.

Предмет исследования — средства представления в различных формах и перевода на различные языки содержания функциональных понятий.

Использование при обучении функциональных понятий разнообразных средств представления и перевода математического содержания на различные языки представления может обеспечить на первом уровне усвоения, адекватное научному смыслу понятий. Экспериментально проверить, адекватны ли индивидуальные образы учеников научному смыслу понятий, не представляется возможным. Теоретическое исследование позволяет обосновать этот факт.

Использование средств представления содержания понятий и его перевода с одного языка на другие (графические наглядные пособия, пособия

- схемы, целесообразно подобранные задания на представление понятий, задачи на перевод содержания понятий с одного языка на другие, тесты) позволяет достичь сознательного усвоение функциональных понятий учащимися гуманитарных классов профильной школы. Сознательность усвоения выражается в возможности использования разных форм представления содержания при решении задач; в возможности переноса деятельности по переводу содержания на различные языки представления в новые ситуации (решение уравнений, неравенств, «нестандартных» задач и т.д.). t

3. На основе анализа литературы, содержания школьного курса математики, изучения опыта работы учителей средних школ выяснить возможность использования в процессе обучения функциональных понятий таких средств обучения, которые позволяют представить изучаемый материал в различных формах, а также переводить содержание с одного языка на другой.

6. Осуществить экспериментальную проверку разработанной методики изучения функциональным понятиям и проверку гипотезы.

Для решения представленных задач использовались следующие методы исследования: теоретическое исследование состояния проблемы с использованием анализа физиологической, психолого-педагогической, научно-медицинской литературы по теме диссертации, изучение литературы по истории математики, анализ программ, учебников и учебных пособий по математике; анализ состояния знаний учащихся по функциональным темам в рамках констатирующего эксперимента; изучение и обобщение педагогического опыта работы учителей, а также личного опыта обучения учащихся гуманитарных классов; изучение и обобщение опыта изучения теоретико-множественного материала в классах гуманитарного направления; анкетирование, беседы с учителями и учащимися; организация и проведение констатирующего, поискового и обучающего экспериментов, количественная, качественная и статистическая обработка данных, полученных в результате эксперимента.

Исследование осуществлялось поэтапно в 1999 — 2002 гг.

На первом этапе (1999 - 2000 гг.) осуществлялось изучение и анализ физиологической, психолого-педагогической и медицинской литературы по проблеме исследования, изучение опыта работы учителей в классах гуманитарного направления. Целью этого изучения и анализа являлось выявление предпосылок для разработки теоретических основ проблемы исследования. Были выявлены возможности использования при изучении функциональной линии образных компонентов мышления школьников. Проведена первая стадия констатирующего эксперимента.

На втором этапе (2000 - 2001 гг.) в условиях поискового эксперимента был произведен отбор средств изучения функциональных понятий, разработана методика обучения, ориентированная на учащихся гуманитарных классов и учитывающая результаты констатирующего эксперимента. Подготовлены методические рекомендации для учащихся по использованию различных форм представления функциональных понятий. Проведена первая стадия обучающего эксперимента.

На третьем этапе (2001 - 2002 гг.) был продолжен обучающий эксперимент, обобщены экспериментальные и теоретические результаты, сделаны выводы.

Научная новизна данного исследования:

1. Разработаны основные направления совершенствования формирования функциональных понятий у учащихся гуманитарного направления профильной школы.

2. Разработана методика формирования понятия функции на основе использования графической, вербальной и знаково-символической форм её представления и задач по переводу математического содержания функциональных понятий на различные языки представления при изучении алгебры и начал анализа в классах гуманитарного направления профильной школы.

3.Подготовлены методические рекомендации по формированию функциональных понятий в процессе их применения, позволяющие обеспечить сознательное обучение математике учащихся гуманитарного направления профильной школы и применение полученных знаний в других областях науки.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что теоретически и экспериментально обоснована целесообразность использования различных форм представления функциональных понятий, организации деятельности учеников по переводу их содержания на различные языки представления; сформулированные положения системы изучения функциональных понятий реализованы при рассмотрении планирования и разработки методики проведения уроков по алгебре и началам анализа, факультативных курсов и самостоятельной активной познавательной деятельности учащихся гуманитарного направления профильной школы; реализация основных методических положений данного исследования при изучении математики в классах гуманитарного направления позволяет существенно повысить теоретический уровень и практическую направленность обучения алгебре и началам анализа в профильной школе.

Обоснованность и достоверность выводов, положений и рекомендаций достигается:

2) использованием различных методов исследования, адекватных поставленным целям и задачам;

3) проведением детальных анализов сложившейся системы проведения функционально-графической линии школьного математического образования в историческом и современном аспектах;

На защиту выносятся следующие положения:

2) формирование функциональных понятий может осуществляться на основе актуализации «житейских» интуитивных представлений, а в дальнейшем - постепенного совершенствования образов этих понятий: от отражения в представлениях математического содержания, выраженного в одной форме, к комплексному представлению в различных формах, а от него - к целостному концептуальному представлению;

Апробация результатов исследования.

Результаты исследования докладывались и обсуждались на международной конференции «Математика. Образование. Экология и здоровье человека» (Воронеж, 2000г.), на XX Всероссийском семинаре преподавателей математики педвузов и университетов «Формирования духовной культуры личности в процессе обучения математике в школе и вузе» (Вологда, 2001г.), на научно-практической конференции «Актуальные проблемы обучения математике» (Орел, 2002г.), на международной научной конференции «Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2002г.), на Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики» (Н.Новгород, 2002г.), на межвузовской научной конференции «Россия: перспективы прорыва в цивилизацию знаний» (Москва, 2004г.). Апробация результатов исследования осуществлялась в ходе экспериментальной работы в МОУ средних школах №6 и №7 г. Наро-Фоминска Московской области.

Основное содержание работы отражено в публикациях [86-92].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы к главе II.

Основные положения методики:

1. Сложное математическое понятие ( не такое, как степень с натуральным показателем, а такое, как функция, свойства функций, равномерность уравнений и т.п.) следует вводить при выполнении двух условий:

- у учащихся накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия — опыт, содействующий пониманию всех слов, содержащихся в определении (вербальный опыт), и опыт использования понятия на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях (генетический опыт);

- у школьников появилась потребность в формальном определении понятия;

2. Для понимания учащимися гуманитарных классов курса алгебры в целом прежде всего важно, чтобы они полноценно усвоили первичные модели - функции. Следовательно, нужно организовать их деятельность по изучению той или иной функции так, чтобы рассмотреть новый объем (конкретную математическую модель - фунцию) системно, с различных сторон, в разных ситуациях.

3. На начальном этапе изучения фундаментальных понятий на образном уровне раскрываются идеи, в них заложенные, имеющие методологический характер ( идея измерения, зависимости, движения, идеи бесконечности и стремления). Таким образом, осознание фундаментальных понятий начинается с образного представления первосмыслов этих понятий.

4. При изучении фундаментальных понятий на первом этапе не ставится цель формирования операционных умений. В связи с этим к решению уравнений, неравенств при исследовании конкретных функций, заданных аналитически следует приступить лишь после того, как у ученика сформированы гибкие образы соответствующих свойств функций.

5. Развитие в процессе обучения «житейских» представлений гуманитариев до уровня адекватных научному смыслу понятий с использованием разнообразных форм представлений содержания фундаментальных понятий. В качестве приоритетной выбрана графическая форма, как наиболее доступная учащимся гуманитарных классов (подтверждение этого факта получено на констатирующем этапе эксперимента, что отражено в § 2.4 диссертации).

6. Использование в качестве средств обучения фундаментальным понятиям задач по переводу содержания понятий с одного «языка» представления на другие, заданий по формулированию и переформулированию математических фактов способствует сознательному усвоению фундаментальных понятий.

7. Система специально составленных тестов, применяемая в совокупности с задачами по переводу математического содержания из одной формы представления в другую, может быть эффективно использована для формирования математических понятий у гуманитариев. Являясь определенным нестандартным типом математической задачи и будучи психометрическим инструментом, тест вызывает определенное напряжение, нестандартную психологическую реакцию, и усиливает тем самым активность и сознательность усвоения материала, способствует формированию устойчивой системы образов в сознании школьника.

8. Использование заданий на переформулирование свойств изучаемых понятий, разнообразных формулировок задач, тестовых заданий имеет целью развитие языковой функции учеников, умений рассуждать с использованием различных форм выражения содержания понятий, что в последствии облегчает введение понятия предела функции и других понятий математического анализа.

Заключение

В ходе теоретического и экспериментального исследования проблемы изучения функции в классах гуманитарного направления, а также поиска средств обучения функциональным понятиям были использованы богатые выразительные возможности этих понятий, личный опыт учеников и возможность задействовать логический и образный компоненты мышления школьников. В результате проведённого исследования доказано:

1). Для сознательного изучения функциональных понятий, позволяющего в дальнейшем использовать и применять эти понятия необходимо на самых ранних этапах обучения раскрыть первосмыслы, лежащие в основе названных понятий. Роль первосмыслов играют имеющие методологический характер идеи бесконечности, зависимости, соответствия, стремления, непрерывности и др. Они не могут быть изучены учащимися и осмысленны сразу на аналитическом языке. Поэтому важно, чтобы у ученика был сформирован образ, причём на первом этапе обучения - визуальный, который в последствии развивается до концептуального.

2).Функциональные понятия не желательно изучать вне взаимосвязи друг с другом, т.к. раскрытие первосмысла при изучении одного понятия обогащает понимание другого, связанного идейно с ним.

3). Богатые выразительные возможности функциональных понятий позволяют использовать в процессе обучения задания, на представления в различных формах (графической, вербальной, знаково-символической) содержания понятий и задачи на перевод содержания с одного языка на другой, имеющие целью сознательное усвоение изученного материала. Задания на представление содержания понятий в различных формах выполняют ряд функций: а) способствуют усвоению каждого из языков, используемых при решении задачи; б) обращают внимание на также существенные свойства понятия, которые наиболее ярко проявляются в той или иной форме и предлагают ученику в соответствующей форме их выразить в) создают ситуации, требующие от ученика перехода от одной формы представления к другой не только по ассоциации, но и произвольно. Приоритетной формы представления функциональных понятий в классах гуманитарного направления выступает геометрическая. В связи с этим на первом этапе изучения начальных понятий математического анализа приходится организовать переход с графического языка на другие. Это диктует выбор соответствующих заданий и задач, использование наглядных средств обучения.

4). Необходимость осуществления в процессе обучения учениками перевода математического содержания на различные языки представления обусловлена тремя группами факторов:

1 группу составляют математические факторы, т.е. вызванные предметом изучения. Каждое из функциональных понятий несёт в своей основе ряд идей, которые в яркой образной форме отражают их суть, важны с методологической точки зрения. Представление этих идей может быть осуществлено в различных формах, среди которых есть приоритетная. Приоритетность определяется по-разному в зависимости от целей, которые в данный момент преследует обучение, и особенностей восприятия этого материала учениками. Осуществление перевода даёт возможность с разных сторон «высветить» ту или иную идею, тем самым давая о ней более глубокое и ясное представление. В процессе перевода в качестве исходной формы представления содержания функциональных понятий выступает приоритетная для понятия.

2 группа содержит психологические факторы, которые позволяют задействовать образный компонент мышления школьников, формируемый при решении интеллектуальных задач по трансформации образов, перекодированию образов из одной модальности в другую и др. связанных с осуществлением деятельности по переводу содержания на различные языки представления. Осуществление этой деятельности способствует развитию гибкость мышления.

3 группа состоит из факторов методического характера. Применение знаний о фундаментальных понятиях при усвоении теоретического материала курса, а также для решения задач невозможно без овладения деятельностью по переводу содержания на различные языки представления. При изучении дифференциального и интегрального исчислений особая роль отводится геометрическому и физическому смыслам понятий производной, интеграла, а также связанных с ними понятий. Если учащиеся к моменту изучения производной будут владеть умениями перевода, то переход от физической модели к геометрической и обратно, а от каждой из них к символической и обратно, будет осуществляться без особых затруднений (произвольно, следовательно с меньшими затратами учебного времени). Важное применение находит перевод в процессе решения уравнений, неравенств, систем уравнений, и систем неравенств.

Рассмотренные положения были использованы при разработке методических рекомендаций по формированию функциональных понятий в классах гуманитарного направления. Перечислим основные методические особенности изучения функциональных понятий в гуманитарных классах.

1. На начальном этапе изучения понятий образно раскрываются методические идеи, первосмыслы этих понятий.

2. При изучении функциональных понятий на первом этапе не ставится цель формирования оперативных умений. В связи с этим к решению уравнений, неравенств при исследовании конкретных функций заданных аналитически следует приступать лишь после того, как у ученика сформированы гибкие образы соответствующих свойств функций.

3. Развитие в процессе обучения житейских представлений школьников до уровня адекватных научному смыслу понятий с использованием разнообразных форм представления содержания функциональных понятий.

4. Использование при обучении перевода содержания функциональных понятий с одного языка представления на другой за счёт использования задач по переводу содержания, заданий по формулированию и переформулированию математических фактов.

Разработанные методические особенности изучения функциональных понятий - прошли опытную и экспериментальную проверку и была подтверждена рабочая гипотеза исследования: если функциональные понятия изучать на основе использования соответствующих средств представления содержания и перехода на различные языки, то это будет способствовать их сознательному усвоению.

Начатое исследование может быть продолжено по следующим направлениям:

1. Разработка методики обучения дальнейшим понятиям начал математического анализа с использованием различных форм представления их содержания и перевода его на различные языки.

2. Разработка методики пропедевтики первосмыслов математического анализа в курсе алгебры неполной средней школы.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Елизарова, Наталья Анатольевна, Москва

1.Абрамович С.М. К вопросу о воспитании графической культуры учащихся //МШ. 1989.№5.С.42.

2. Алгебра:Учеб. Для 7 кл. сред шк./Ю.Н.Макарычев,Н.Г.Миндюк,К.И.Нешк-ов,С.Б.Суворова; под ред. С.А.Теляковского.-М.:Просвещение,1989.-240с.

3. Алгебра: 7 класс.Учебник для общеобразоват. учеб. учреждений/С.М.Никольский,М.К.Потапов,Н.Н.Решетников,А.В.Шевкин.-М.:Издат.отдел УНЦДО МГУ, 1997.-228с.

4. Алгебра:Учеб. для 8 кл. сред.шк./Ю.Н.Макарычев,Н.Г.Миндюк,К.И.Нешк-ов,С.Б.Суворова; под ред.С.А.Теляковского.-М.:Просвещение,1989.-239с.

5. Алгебра:Учеб.для 9 кл. сред. шк./Ю.Н.Макарычев и др.; под ред. С.А.Теля-ковского.-2-е изд.-М.:Просвещение, 1992.-271 с.

6. Алгебра:Учеб. для 9 кл. сред.шк./Ш.А.Алимов и др.-М.:Просвещение,1992.-223 с.

7. Алгебра:Учеб. для 9 кл. сред.шк./Ш.А.Алимов,Ю.М.Колягин,Ю.В.Сидоров и др.-М.:Просвещение,1993.-258с.8. .Алгебра:Учеб. Для 9 кл. сред шк./Ю.Н.Макарычев,Н.Г.Миндюк,К.И.Нешк-ов,С.Б.Суворова; под ред. С.А.Теляковского.-М.:Просвещение,1998.-272с.

8. Алгебра:Учеб.для 9 кл. сред. шк./Ю.Н.Макарычев и др.; под ред. С.А.Теля-ковского.-М.:Просвещение,2001.-234с.

9. Алгебра:Учеб. для 9 кл. сред.шк./Ш.А.Алимов,Ю.М.Колягин,Ю.В.Сидоров, Н.Е.Фёдорова,М.И.Шабунин.-М.:Просвещение,2001 .-187с.

10. Алгебра:Учеб.для 9 кл. сред. шкЛО.Н.Макарычев и др.; под ред. С.А.Теля-ковского.-М.:Просвещение,2002.-267с.

11. Алгебра и начала анализа:Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./А.Н.Колмогоров и др.;под ред.А.Н.Колмогорова.-2-е изд.-М.:Просвещение, 1991 .-320с.

12. Алгебра и начала анализа:Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./А.Н.Колмогоров и др.;под ред.А.Н.Колмогорова.-З-е изд.-М.:Просвещение, 1993.-226с.

13. Алгебра и начала анализа:Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./Ш.А.Алимов и др.-3-е изд.-М.:Просвещение,1994.-254с.

14. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для учащих-сяшкол и классов с углублённым изучением математики/Н.Я.Виленкин,О.С. Ивашев-Мусатов, И.С.Шварцбурд.-М.:Просвещение, 1992.-355с.

15. Алгебра и начала анализа:Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./М.И.Башмаков и др.; под ред.М.И.Башмакова.-М.;Просвещение,2000.-201с.

16. Алгебра и начала анализа:Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./А.Н.Колмогоров и др.;под ред.А.Н.Колмогорова.-12-е изд.-М.:Просвещение.2002.-246с.

17. Алгебра и начала анализа:Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и др.-М.:Просвещение.2003.-253с.

18. Алгебра и начала анализа:Учеб. для 10-11 кл. общеобразов.учреждений/ А.Н.Колмогоров и др.; под ред. А.Н.Колмогорова.-13-е изд.-М.просвещение,2003.-242с.

19. Александров А.Д. Математика и диалектика //МШ.-1972.-№1.-С.З-9.

20. Александров П.С. О некоторых направлениях развития математики и их значение для преподавания.//На путях обновления школьной математики. Сб. статей и материалов. Пособие для учителей.-М.'Просвещение. 1978,С.7.

21. Ананьев Б.Г. Психология чувственного познания. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1960.-468с.

22. Антонов Д.А.Пропедевтика основ математического анализа в курсе математики средней школы: Автореферат диск-та пед. наук-М., 1982.-17с.

23. Антипов И.Н.Методика факультативных занятий в 9-11 классах.Избр. вопр. математики: пособие для учителей. М.,1983.-238с.

24. Аракелян К.Г.Методика изучения основных понятий математического анализа без использования, теории пределов.Автореферат дис. .к-та пед. наук-М., 1991.-16с.

25. Арнольд В.И. «Жёсткие» и «мягкие» математические модели. М.:МЦНМО, 2000.-32с.

26. Арнольд В.И.Математика с человеческим лицом .//Природа 1988.№3.-117с.

27. Арнхейм Р.Визуальное мышление./ Хрестоматия по общей психологии.Пси-хология мышления.М.: Изд-во Моск. ун-та,1981.С.97-108.

28. Архимед. Сочинения. М.,Физматгиз, 1962.

29. Бабанский Ю.К.Оптимизация учебно-воспитательного процесса.-М.Просвещение, 1982.-192с.

30. Байдак В.А.Принципы построения оптимальной системы изучения свойств функций в школе.Дис. .кан. пед. наук.М., 1971.-97с.

31. Баранов С.П. Сущность процесса обучения.-М., 1981.-314с.

32. Башмаков М.И.,Резник Н.А.Развитие визуального мышления на уроках ма-тематики.//МШ.-1991 .-№ 1 .С.4.

33. Белухин Д.А. Основы личностно-ориентированной педагогики: курс лекц-ий.-Воронеж, 1996.-Ч. 1.-125с.

34. Беспалько В.П. Педагогика и прогрессивные технологии обучения.-М., 1995. -336с.

35. Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии.-М.:Педагогика,1989 -190с.

36. Болтянский В.Г. Анализ-поиск решения задачи.//МШ.-1974.-№1.-С.34.

37. Бондаревская Е.В. Гуманистическая парадигма личностно-ориентированно-го образования.//Педагогика.-1997.-№4.

38. Брейтигам Э.К. Предел и непрерывность функции: Методические рекомендации для учителей математики.-Л.:Б.и., 1980.-41с.

39. Брунер Дж. Психология познания.-М.:Прогресс, 1977.-412с.

40. Будников Е.Г. Система формирования основных понятий начал анализа в 9 классе. Автореферат дис. .к-та пед. наук.-Минск, 1995.-17с.

41. Бурбаки Н. Начала математики.Пер.с фр. Г.Н.Поварова и Ю.А.Шихановича. Под ред. В.А.Успенского. Ч.1:Теория множеств.-М.,Мир,1965.-89с.

42. Бурбаки Н. Архитектура математики.//Математическое просвещение, вып.5. М.:Физматгиз,1960, С.102.

43. Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки.-М.:Наука, 1987.-133с.

44. Быстрова Г.В. Зависимость способностей восприятия и понимания художественных текстов от свойств общего и специального типов высшей нервной деятельности.//Учёные записки Пермского пед. ин-та, т.59, вып.5.-Пермь, 1968.-С.168-181.

45. Быстрова Г.В. Зависимость способностей к усвоению литературы от типологических особенностей во взаимодействии первой и второй сигнальных систем.//Темперамент.: ПГПИ, 1976.-С.104-119.

46. Введение в философию.-М.,Изд-во политической литературы, 1989,Т.2.-640с.

47. Веккер Л.М.Психологические процессы.Т.2.Мышление и интеллект.-Л.:ЛГУ 1976.-340С.

48. Величковский Б.М. Современная когнитивная психология.М.:Изд-во МГУ, 1982.-320с.51 .Вертгеймер М. Продуктивное мышление: пер. с англ./Общ. ред. С.Ф.Горбова и В.П.Зинченко.-М.:Прогресс,1987.-336с.

49. Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики.-М.-Л.: ОНТИД935.-467с.

50. Винер Н.Я. Я-Математик.-М.:Наука,1967.-335с.

51. Войшвилло Е.К. Понятие как форма мышления.-М.: изд-во МГУ,1989.-239с.

52. Волович М.Б. Научно-методические основы создания и использования средств обучения для повышения эффективности преподавания математики всредней школе.Автореферат дис. .д-ра пед.наук-М., 1991.-22с.

53. Восканян К.Г. Зависимость усвоения учебных предметов от особенностей изучения систем исходных понятий.Автореферат дис. .д-ра псих. наук-Л., 1983.-18C.

54. Выготский JI.C. Педагогическая психология./Под ред. В.В.Давыдова-М.:Пе-дагогика, 1991 .-480с.

55. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие.М., 1885.-187с.

56. Ганзен В.А. Восприятие целостных объектов.Л.:изд-во ЛГУ, 1974.-152с.

57. Ганзен В.А.,Гостев А.А. Систематика мысленных образов.//Психологичес-кий журнал, 1989,№2,С. 12-21.

58. Гельфанд И.М. Функции и графики (основные приёмы).-М.:Наука, 1973.-43с

59. Гингулис Э.Ж. Развитие математических способностей учащихся.//МШ.-1990.-№1.-С.14

60. Глейзер Г.Д. Математическое образование как элемент культуры.//Матема-тическое образование традиции и современность (средняя и высшая педагогическая школа):Тез. докл. федеральной научно-практической аонференции. -Н.Новгород:мзд-во НГПУД997.С.З-5.

61. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире.-М.:Просвещение, 1985.-192с.

62. Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике.-М.: Просвещение,1982-144с.

63. Гнеденко Б.В.,Черкасов Р.С. О преподавании математики в предстоящем тысячелетии .//МШ.- 1996.-Вып. 1 .-С.52.

64. Гончаров В.Л. Математика как учебный предмет.//Известия АПН СССР.-1952.-№92.-С.37.

65. Голубева Э.А. Некоторые направления и перспективы исследования природных основ индивидуальных различий// Вопросы психологии.-1983.-№3. -С.16-28.

66. Голубева Э.А. Психофизиологическое изучение способностей в советской психологии.-М.:Изд-во АПН СССР, 1984.- С.84-100.

67. Гостев А.А. Образная сфера человека.-М.:Институт психологии РАН,Всероссийский научно-исследовательский Центр традиционной народной медицины «ЭННОМ», 1992.-194с.

68. Грудёнов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения мате-матике.-М.: Педагогика, 1987.-158с.

69. Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику?-М.: Авангард, 1994.-168с.

70. Гусев В.А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе.//МШ.-1990.-№4.-С.27.

71. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе. Дисс.докт. пед. наук, М.,1990.-364с.

72. Гуськов В.А. Функциональная пропедевтика и трактовка понятия функции в 8-летней школе.-М.,1984.-67с.

73. Давыдов В.В. Основные проблемы развития мышления в процессе обучения //Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии.-М., 1981.-312с.

74. Давыдов Н.А.,Коровкин П.П.,Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу.-М.: Просвещение, 1973.-198с.

75. Далингер В.А. Анализ типичных ошибок допускаемых в курсе алгебры и начал анализа.//М.Ш. 1998 №6.-С.80.

76. Дедекинд Р. Что такое действительные числа и для чего они служат.Пер. с нем.Н.Парфентьева.-Казань:Типо-Литография Императорского Университета, 1905.-62с.

77. Дорофеев Г.В. Математика для каждого.-М.:Аякс, 1999.-292с.

78. Дорофеев Г.В.О принципах отбора содержания школьного математического образования //МШ.-1990.-№6.-С.2

79. Дорофеев Г.В.,Кузнецов Л.В. и др. Дифференциация в обучении математике //МШ,-1990.-№4.-С. 15

80. Дьюи Д.Психология и педагогика мышления.-М.:Совершенство,1997.

81. Евдокимов В.И. Научные основы повышения эффективности обучения средствами наглядности. Автореферат дис. к-та пед. наук-М., 1990.-16с.

82. Елизарова Н.А. Гуманизация школьного образования через профильное обу чение. //Математика. Образование. Экология.- Материалы международной конференции.Воронеж: НОУ «Интерлингва», 2000г., С17.

83. Елизарова Н.А. Особенности формирования математических категорий.// Актуальные проблемы обучения математике.- Материалы Всероссийской научно-практической конференции. Орёл: Изд-во ОГУ,2002г.,С.183-186

84. Елизарова Н.А. Особенности формирования фундаментальных понятий математического анализа.//Народное образование в 21 веке. Сборник статей. Москва:Изд-во Прометей,2003г.,С115-123.

85. Елизарова Н.А. Математическое моделирование в научных исследованиях. // «Россия: перспективы прорыва в цивилизацию знаний».- Материалы меж — вузовской научной конференции. Москва: Изд-во РосНоу, 2004 г.,С-190.

86. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в школе: Курс лекций: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. вузов.-Тобольск:1. Изд-во ТГПИ,1997.-124с.

87. Епишева О.Б., Крупич В. И. Учить школьников учиться математике. Формирование приёмов учебной деятельности: Кн. для учителя.-М.:Просвещение, 1990.-127с.

88. Ермакова Е.С. Изучение психологических механизмов гибкости мышления дошкольников//Вопросы психологии, 1996,№1,С. 124.

89. ЮО.Зорина Л.Я. Дидактические основы формирования системности знаний старшеклассников.М. 1978.- 146с.

90. Иванова Т.А. Гуманитаризация математического образования. Н.Новгород: Изд-во НГПУ, 1998.-206с.

91. Икрамов Д. Язык обучения математике.-Ташкент:Укитувчи, 1989.-175с.

92. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия.М.:Нау-ка,1970.-342с.

93. Каплунович И.Я. Развитие пространственного мышления школьников в процессе обучения математике.Новгород. 1996.-155с.

94. Карпенко М.П. Проблема измерения знаний и образовательные технологии/ Журнал практического психолога 1997,№4.С.107.

95. Юб.Карп А.П. Даю уроки математики.:Книга для учителя: из опыта работы.-М.Просвещение, 1996.-190с.

96. Касьян А.А. Гуманитаризация образования: некоторые теоретические предпосылки// Педагогика.-1998.-№2.-С. 18.

97. Ким A.M. Концепция и учебные планы в 11- летней (12- летней) школе.-Новосибирск: изд-во НГПУ, 1998.-48с.

98. Киселёв А.Ф.Профильное обучение: Эксперимент: совершенствование структуры и содержания общего образования.-М.:Гуманит. Изд. центр ВЛАДОС, 2001.-512с.

99. Ю.Кларин М.В. Инновационные модели обучения в зарубежных поисках.М.: Арена, 1994.-198с.111 .Кларин М.В. Педагогическая технология в учебном процессе. Анализ зарубежного опыта.-М.: Знание, 1989.-189с.

100. Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование: наша гордость и наша боль/ Ю.М.Колягин.-М.: Просвещение,2001.-318с.

101. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. и др. Методика преподавания математики в средней школе : Общая методика: Учеб .пособие для студентов физ.-мат. фак. Пед. ин-тов.-2-е изд., перераб. и доп.-М.: Просвещение, 1980.

102. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Основные понятия школьного курса математики. Пособие для учителей./ Под ред. А.И Маркушевича.-М.,Просвещение, 1974.-382С.

103. Колмогоров А.Н. Научные основы школьного курса математики //МШ.-1969.-№3 .-С. 12-17.

104. Короткова Л.М. Элементарные функции. Требования к математической подготовке учащихся 7-9 классов. М.: Математика. Приложение к газете «Первое сентября», 1994.-№7

105. Кравец Е.В., Радьков A.M. Числа и функции в тестах: Учеб.-метод. пособие Мн.: Изд. В.М. Скакун, 2000.-192с.

106. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников.М.: Просвещение, 1968.-432с.

107. Ксензева Г.Ю. Перспективные школьные технологии: Учебно методическое пособие.- М.: Педагогическое общество России,2000.-224с.

108. Кудрявцев Г.В. Психология творческого мышления. М. 1975.-238с.

109. Леднёв B.C. Содержание образования: сущность, структура, перспективы. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1991.-360с.

110. Леонтьев А.А. Психология общения. М.1997.-390с.123 .Леонтьев А.Н. Психология образа.- Вестник Московского Университета. Сер. 14.Психология, 1979,№2.- С.3-13.

111. Лернер И.Я. Об учебных умениях и их отражении в школьных учебниках//

112. Проблемы школьного учебника. Вып. 12. М., 1983.-132с.

113. Лейбниц Г.В. Избранные отрывки из математических сочинений.-М.:АН СССР, 1959.

114. Литинский Г.И. Функции и графики.- М.: «Аслан», 1995.-192с.

115. Лобачевский Н.И. Научно-педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты письма/ Под. ред. П.С.Александрова и Б.Л.

116. Лаптева.- М.: Наука, Гл.ред. физ.- мат. лит., 1976. 664с.

117. Лошкарёва Н.А. Рекомендации о развитии общих учебных умений и навыков школьников// В.М. Короткое и др. Воспитание ученика. М. 1995.

118. Лященко Е.И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики.М.: Просвещение, 1989.-С42-60.

119. Мадер В.В. Введение в методологию математики (Гносеологические, методологические и мировоззренческие аспекты математики. Математика и теория познания).- М.: Интерпракс, 1994.-448с.

120. Майер Р.А. Прикладная направленность в преподавании математических дисциплин.// Тезисы докладов Российского семинара. Отв. Ред. Мордкович А.Г. Ульяновск, 1991.- С. 10.

121. Макарычев Ю.Н., Кузнецова Л.В. Функции в школьном курсе алгебры в 68 классах./ Сост.Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк.- М.: Просвещение, 1980,-238с.

122. Майорова Н.А. Тестирование как педагогическое средство измерения успешности обучения.- Автореферат дис. канд. пед. наук,- Ярославль,2000.

123. Маркова А.К. и др. Формирование мотивации учения. М. 1990.-188с.

124. Маркушевич А.И. Действительные числа и основные принципы теории пределов.-М.-Л., 1948.-100с.

125. Маркушевич А.И. Понятие функции// МШ.,1947.№4-С.43.

126. Марнянский И.А. Ещё раз об определении функции// М.Ш., 1991, №4-С.71.

127. Математика-10. Бутузов В.Ф., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Позняк Э.Г., Сидоров Ю.В., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И.- М.: Просвещение, 1995.-232с.

128. Математика-11. Бутузов В.Ф., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Позняк Э.Г., Сидоров Ю.В., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И.- М.: Просвещение, 1996.- 227с.

129. Математика-10: Учебное пособие для 10 класса, гуманитарного профиля/ А.Л. Вернер, А.П. Карп.- М.: Просвещение, 1999.-255с.

130. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс: Учеб. для об-щеобразоват. Учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимо-вич, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; Под ред. Г.В. Дорофеева.-М.:Дрофа, 1998.-288С.

131. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 8 класс: Учеб. для об-щеобразоват. Учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимо-вич, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; Под ред. Г.В. Дорофеева.-М.:Дрофа, 1998.-242С.

132. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 9 класс: Учеб. для об-щеобразоват. Учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимо-вич, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; Под ред. Г.В. Дорофеева.-М.:Дрофа, 1998.-245С.

133. Махмутов М.И. Современный урок: Вопросы теории.- М.:Педагогика,1981 191с.

134. Меднис Н.Е. Концепция и учебные планы профильного обучения.-Новоси-бирск: изд-во НГПУ, 1993.-30с.

135. Мерлина Н.И. Об инновационных процессах в преподавании математики// Инновационные методы преподавания в высшей школе: Материалы региональной научно-практ. конф.- Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 1999.-С.31.

136. Методы выявления особенностей познавательной активности школьников в условиях дифференцированного обучения/ С.Г. Абрамова, А.Ю. Лебедев, О.В. Москаленко, И.С. Якиманская, М.: Институт педагогических инноваций РАО, 1993 .-206с.

137. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьников.

138. М.: Педагогика, 1989.-С.34.

139. Монахов В.М. Что такое информационная технология обучения? //МШ.-1990.-№2.-С.47-52.

140. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики.-М.: Школа-Пресс, 1995. -272с.

141. Мордкович А.Г. Алгебра. 7-9 кл.: Методическое пособие для учителя.-М.: Мнемозина, 2000,-143с.

142. Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. Алгебра 9 аласс:3ада-чник для общеобразовательных учреждений- М.: Мнемозина, 1999.-197с.

143. Мордухай-Болтовский Д.Д. История и методика математического символа //МШ.,1948, №1.-С.24.

144. Мэрили Зденек. Развитие правого полушария,- Мн.: ООО «Попурри», 1997. 320с.

145. Наан Г.И. Понятие бесконечности в математике и космологии.- В кн. Бесконечность и вселенная.-М.: Мысль, 1969.-С.7.

146. Никольская И.Л. Элементы логики.- М.Академия Пед. наук СССР. 1975.-26с.

147. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования / под ред. Е.С. Полат.М.1999.-265с.

148. Павлов И.П. Физиология высшей нервной деятельности // ПСС, т.111,кн.2 -М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1951.-С.219-234.

149. Песталоцци И.Г. Избранные педагогические произведения: В ЗТ.-М.:Изд-во АПН РСФСР, 1961- 1965.-Т.1.-328с.

150. Петерсон Л.Г. Новый развивающий курс// Начальная школа.-1996.-ЖЗО,1. C.l-8.

151. Печенков В.В.Соотношение общих и специально человеческих типов высшей нервной деятельности как проблема физиологии индивидуальных различий: Автореферат дис.к-та пед. наук-М.,1987.-26с.

152. Пиаже Ж. Теория Пиаже// История зарубежной психологии/ 30-60-е годы XX века, тексты/ П.Я. Гальперин, А.Н. Ждан. М., 1968, С.44.

153. Пойа Д. Как решать задачу?- М.: Учпедгиз, 1959.- 206с.

154. Понтрягин JI.C., Мищенко А.С. О некоторых принципах преподавания математики в школе// МШ. 1982 №6 С.50.

155. Поспелов Н.Н., Поспелов И.Н. Формирование мыслительных операций у старшеклассников.-М., 1989.-223с.

156. Постников А.Г. Культура занятий математикой.- М.: Знание, 1975.

157. Программы средней школы. Математика. Просвещение, 2000г.

158. Психология личности в трудах отечественных психологов. Хрестоматия / состав. JI.B. Куликов.- С.-Пет., 2000.-395с.

159. Психология. Словарь / Под ред. А.В.Петровского, М.Г. Ярошевского. 2-е изд., испр. и доп. М.: Политиздат, 1990. -494с.

160. Психология одарённости детей и подростков / под ред. Н.С. Лейтеса.- М., 1996.

161. Пухначёв Ю., Попов Ю. Математика без формул. М.: АО «Столетие», 1995.-512с.

162. Резник Н.А. Использование и развитие визуального мышления на уроках математики. Автореферат дисс.к-та пед. наук Л., 1990.-13с.

163. Роберт И.В. Современные информационные технологии в образовании: дидактические проблемы, перспективы использования. М.: Школа Пресс, 1994.-196с.

164. Российское образование: традиции и перспективы. Материалы международной научно-практической конференции/ под ред. Р.Г. Стронгина. Н.Новгород. 1998.-314С.

165. Рубинштейн Р.Б. Графики функций. М.: Высшая школа, 1991.-160с.1. У „

166. Рубинштейн СЛ. Основы общей психологии.-С.-П., 2000.-712с.

167. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки.- М.: Просвещение, 1987.-159с.

168. Саакян С.М. и др. Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11 классов.-М.,1990.- 255с.

169. Савенков А.И. Одарённый ребёнок в массовой школе / М.:Сентябрь,2001.-208с.

170. Салмина Н.Г. Знак и символ в обучении. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.-288с.

171. Саранцев Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики//МШ.- 1989.-№4.-С.42.

172. W 185. Саранцев Г.И.Метод обучения как категория методики преподавания //Педагогика.- 1998.-№ 1 .-С.29.

173. Сатьянов П.Г. Задачи графического содержания при обучении алгебре и началам анализа.// МШ., 1987, №1.-С.56.

174. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии:Учебное пособие. -М.: Народное образование, 1998.-256с.

175. Селютин В.Д. Методика формирования готовности учителя к обучению школьников стохастике.- Орел: ОГУ,2001.-164с.

176. Селютин В.Д. Методика формирования первоначальных представленийучащихся при обучении математике: Автореф. дис. .канд. пед. наук.- М., 1985.-15С.

177. Славин А.В. Наглядный образ в структуре познания.-М.: Изд-во полит, лит-ры, 1971.-271с.

178. Смирнов А.А. О некоторых вопросах программированного обучения. М.: Знание, 1967.

179. Смирнов Е.И. Технология наглядно- модельного обучения математике: Монография,- Ярославль: ЯГПУ им. К.Д. Ушинского,1998.- 313С.

180. Смирнов С.Д. Психология образа: проблема активности психического отражжения.- М.: Изд-во МГУ, 1985.- 234с.

181. Сойер У.У. Прелюдия к математике.-М.: Просвещение, 1972.- 192с.

182. Соловьёва И.О. Методические особенности обучения математике в старших классах гуманитарного направления: Автореф. дис. .канд. пед. наук,-М., 1995.-16с.

183. Столяр А.А. Роль математики в гуманизации образования// МШ.-1990.-№6. -С.5.

184. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики.-М.: Наука, I960.- 288с.

185. Теляковский С.А. О понятии функции в школьном курсе математики//МШ. -№4.-1989.С.96.

186. Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: Кн. для учителя.- М.: Просвещение, 1990.- 354с.

187. Унт И.Э. Индивидуализация и дифференциация обучения.- М.1990.

188. Ундуск А.А. Формирование понятия функции и установление её связей с другими понятиями курса математики.-Л.1971.

189. Усова А.В. Формирование у учащихся общих учебно-познавательных умений в процессе изучения предметов естественного цикла. Челябинск. 1997.-182с.

190. Утеева Р.А. Формы учебной деятельности учащихся на уроке //МШ.-1995.-№2.-С.ЗЗ.

191. Фадеев Д.К. Алгебра 6-8.-М.: Просвещение, 1983.- 272 с.

192. Фоминых Ю.Ф., Плотникова Е.Г. Педагогика математики.-Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2000.-460с.

193. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов средней школы. М.1989.-226с.

194. Фридман Л.М., Кулагина И.Ю. Психологический справочник учителя. М. 1998.-341с.

195. Хинчин А.Я. Педагогические статьи.-М.:Изд-во АПН РСФСР, 1963.-С.19.

196. Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу.-М.: Наука, 1977.-28с.2Ю.Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования.- Томск:

197. Изд-во Том. ун-та; М.: Барс, 1997.-392С.

198. Хофстедтер Л. Мозг разум и поведение.-М.: Мир, 1988.- 187С

199. Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии.- М., 1981.

200. Цетлин B.C. Предупреждение неуспеваемости учащихся. -М.:3нание,1989, -41с.

201. Шабунин М.И. Пособие по математике для поступающих в вузы.-М.: Прометей, 1993.-24с.

202. Шадриков В.Д. Психология деятельности и способности человека: Учеб. пособие.- М.: Логос, 1996.-320с.

203. Шаталов В.Ф. Точка опоры.-М.: Педагогика, 1987.

204. Шиянов Е.Н., Котова И.Б. Развитие личности в обучении: Учеб. пособие для студ. пед. Вузов.-М.: Издательский центр «Академия», 1999.-288с.

205. Шрейдер Ю.А., Шаров А.А. Системы и модели.-М., 1988.- 54с.

206. Эдвард Де Боно. Латеральное мышление.-С.-Пет., 1997.-158с.

207. Эрдниев Б.П. Тенденции развития математического образования // Сов. Педагогика. 1990.№3.C.34.

208. Якиманская И.С. Личностно- ориентированное обучение в современной школе.-М., 1996.

209. Якиманская И.С. Развивающее обучение.-М.: Просвещение, 1979.-144с.

210. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников.М.: Педагогика, 1980.-240с.

211. Якиманская И.С. Разработка технологии личностно-ориентированного обучения //Вопросы психологии.-1995.-№2.-С.28.