автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методика отбора и использования историко-научного материала в процессе обучения математике в школе

Автореферат диссертации по теме "Методика отбора и использования историко-научного материала в процессе обучения математике в школе"

Р Г Б ОД

4 -

На правах рукописи

АЛЕКСЕЕВА ВАЛЕНТИНА АЛЕКСАНДРОВНА

МЕТОДИКА ОТБОРА И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИСТОРИКО-НАУЧНОГО МАТЕРИАЛА В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ (НА ПРИМЕРЕ ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ)

13.00.02 - теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Санкт-Петербург 1998

Раоота выполнена на кафедре методики обучения математике Российского государственного педагогического университета имени А.И,Герцена

Научный руководитель: Кандидат педагогических наук,

профессор И.В.Баранова

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук,

профессор Г.Г.лоИОВ

Кандидат педагогических наук, доцент 3,Ф.Груданова

Ведущая организация Сашет-Петербургскяй

государственный университет педагогического мастерства

Зашита диссертации состоится 9 сентября 1598 года в 16.15 на заседании Диссертационного Совета К 112.05.14 по присуждению ученой степени кандидата наук при Российском государственном педагогическом университете имени А.И.Герцена по адресу: 191186, Санкт-Петербург, наб. Р. Мойки, 48, корпус 1, ауд. 209,

С диссертацией можно ознакомиться э фундаментальней библиотеке РХ'ПУ им. А= И.Герцена.

Автореферат разослан

1998 г-

Ученый секретарь Диссертационного Совета

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Основные задачи современного российского образования состоят в смене ценностей и целей образования, в замене технократического подхода к обучению и воспитанию культурно-гуманистическим содержанием этих процессов. Выдвинутая идея гуманизации является одной из ведущих идей з рефорж-ровании образования . Одной из конкретных ферм реализации идеи гуманизации - гуьаниггаризаиия, т.е. поворот от познания мира как неодушевленного механика к изучению швей и целостной карданы мира, на очеловечивание знаний.

Гуманитаризация школьного образования предполагает самые разнообразные направления. Одним из наиболее дерстеетивких представляется использование истс^зяао-наушюго материала в учебном процессе. Фаетьс из истории машемажюга* позволяют дать широкую истерическую картину возне-жновения и развггамя математики, а также позволяют в процессе обучения возводить жат ьюкяу штешзикей и обшечелове«есвой культурой.

Учебно-воспитательные возможности-! истерии науки подчеркивает танке додаеты как И.Я.Лернер, М.Н.Скаткин, Г.Й.Е&кина и др.

Вопросы использования элементов истории магемашш в преподавании рассматриваются в ряде работ. Авторами наиболее значительных являются; А.Д.Александров, Н.М.Бескин, З.Е.Гельман, Г.Д.Глейзер, И.Я.Депман, А.В.Дэрофеева, Л.Я.Зорина, Л.а.ВЬгоардана, К.Г.Кзжабаев, Н.А.Леоншюва. К. А. Рыбников, В.И.Еыякк, Л.Я.Рязанова, Е.С.Смирнова, И.МХмирнов,

B,М.Тихогжфов, И.Е.Феоктистов, А.ПЛСижевич, М.Г.Яетиевский и др.

Различном аспектам использования истерического материала при

обучении ь^етематике посвящены даозерташшнье иссяедэванияг З.ЛтадааноЕсй, Б.М.Беркутова, М.А.Исаевсй, З.Касаевсй,

C. М. Насибова, Ю.С.Свиогунова, М.А.Сшробогатовой, А.Т.Шарова, О.В.Шабачювой, У.К.Шерлатовсй и др.

В работах и дасскртаиюнных исследованиях названных авторов рассматриваются вопросы необходимосаи и целесообразности включения элементов историк! науки в школьный курс математики; предлагался варианты решения оздальяых аспектов дамкой проблемы как на уроках, так и во внеурочное время и т.д.

Вместе с тем, в указанных работах проблема отбора материала из истории математики, вьктгупакщаго как средство формирования у школьников представлений о развитии математики, и методика его использования не являются предметом специального исследования.

Стметим также, что все авторы указывают на то, что истории науки еще не заняла подобакщего места в практике школы. Это касается и сегодняшнего дня. В действукхдах учебниках и учебных пособиях до математике для средней школы содержится крайне мало исто-Е®2ж-научного материала и в результате математика рассматривается как отвлеченная данность, а не как итог работа многое? поколений: исследователей. Наука воспринимается школьниками как «готовое знание», а не как деятельность направленная на получение новых знаний, не как сфера духовного производства.

Вкзючение иагсрико-научнаго материала дает возможность в процессе обучения математике ферлфовать представление о развитии математики, а также показать, что математика возникла и развивалась для удовлетворения непрерывно возраставших потребностей человеческого общества. Этот итог служит достаточным основанием для вывода: в настоящее время необходимы поиски новых путей и приемов изучения вопросов истории науки, что обусловлено сменой ценностей и целей образования вообще и математического в частности.

Таким образом, противоречие меяиу общепризнанным значением знаний из истории науки для формирования у учащихся представлений о развитии математики с одной стороны, недостаточностью и несис-тематичноегью истсрико-научного материала в школьной математике, с другой стороны, обусловило актуальность темы исследования.

Проблема исследования, исходя из приведенных положений, состоит в определении содержания кстсрико-научного материала к поиске средств его использования, которые дозволяли бы сформировать у учащихся представления о развитии математики.

Существенную характеристику .любого процесса развития (в тем числе к махеыатки) составляет время: во-первых, всякое развитие осуществляется в реальном времени, во-вторых, только время выявляет' направленность развития. Поэтому в своем исследовании в качестве одного из средств формирования у учащихся представлений с развитии математики, г« предлагаем использовать хронологию, в частности, хронологические таблицы.

Цель исследования : обосновать целесообразность включения в учеОный процесс ис?гсрико-научного материала дня фсрмирования у учавдссаг представлений с развитии математики; сфсрмулзфОЕать общие -требования к отберу содержания иотсрико-научного материала, определить это содержание и разработать методику его использования.

Объект исследования: процесс вкжнения историно-научнэго материала и его использования при изучении элементов теории чисел в курсе магемаякки средней школы.

Элементы теории чисел играет важную роль в матшатияеекем образовании учащихся: формирование понятия числа; свойства дели-мэстк дашк чисел явяяотся той базой, без котсрей кевозшжно усвоение понятая целого числа - фундаментального понятия, при пемз-шн которого схроятся все ¡пруше числовые системы. Креме того, этот материал обладает значительна«! возможностями для развитая логического маипения учзащхся на доступном числовсм материале, позволяет увидеть взаимосвязь истории и осяфеменности. Он так«« имеет баяыше значение не только как самостоятельный набор понятий и фастез, но и как сведения, необходимые дач изучения после-дукщего тесретагаесюэго материала. Этот раздел математики богат своей историей.

Пре^ле? исследования; методика использования исторкко-научного материала на основе хронологии в процессе обучения математике, в целях формирования у учащихся представлений о развитии математики (при изучении элементов теории чисел в средней школе).

Гипотеза исследования: если в процесс обучения математихе еклкнить иотсриио-научньй материал с использованием хронологических таблиц, тс -это будет способствовать усвоению математических хюшшяй и фор&адрованмз представлений о развитом математики.

Включение историко-науодюго материала и хронологии, которая запечатлевает последовательность сонершапшхся соботий в истори-ческсм времени, неразрывно связано с ферщрезанием у учаодесся таких представлений и понятий как: историческое время и единицы его измерения; движение времени; хронологическая последовательность историческик событий. Эти понятия и представления хжаэкгг целью добиваться сознательности при исшяьзовании хронологии с тем, чтобы

хронология была не самоцелью, а средствам понимания процесса раз-виия математики.

В процессе исследования проблемы: и проверки достоверности о®ср«улированшй гипотезы необходима было реши» слещжлие задачи:

1. Изучить состояние проблемы использования историко-научного ¡материала в теории и практике обучения математике в средней школе.

2. Рассмотреть основные этапы разЕИШЯ теории чисел на фоне развитая матемажки.

3. Обосновать требования отбора, материала по истории математики и на их основе определить содержа!®® историко-научного материала для формирования представлений с развипаи математики при изучении эашжс® теории чисел в курсе математики 5-6 классов.

4. Разработать и описать методику включения историко-научного материала с использованием жонолотичесгсих данных при изучении элементов теории чисел в курсе математика 5-6 классов,

5. Экспериментально проверить эффективность предложенной Методики.

Для решения поставленных задач бьши использованы сяедукадие метопы исследования: анализ филоотфсжой, истормескей, психолого-педагогической к методической литераторы по рассматриваемой проблеме; изучение и анализ программ и учебников по математике, главным образом для 5-6 классов средней школы; беседы с учащимися и учотоляь®!, наблюдение за деятельностью учаилхся при работе с историко-научны»! материалом по математике и за деятельностью учителя при сютанизации такой работы; анкетирование учителей и уч.а-тдахся; организация и проведение консгсяирукщгго и обучающего экспериментов; ксэтгаественная и качественная обработка полученных экспериментальных данных.

Экспериментальное исследование по теме проводилось с 1994 по 1998 гг. и состояло из трек этапов.

В первый этап исследования с целью выяснения состояния исследуемой проблемы в теории обучения и определения теоретической основы, исследования был вкжгаен анализ псиг;олоктлескай, педагогической и методической литературы по вопросам использования историко-научного материала в учебнсм процессе по математике- Были

определены, цель, сОьект, предает исследования; оформулг-фованы его гипотеза и задачи; разработан план исследования.

На атером, этапе исследования были выявлены специфические особенности факторов отбора историко-научного материала для включения в содержание обучения; был определен экспериментальный учебный материал л произведен отбор средств обучения, спссобст-вуганих повышению эффективности использования историко-научного материала по формированию у учащихся представлений о развитии математики. На данном этапе тесретатаеские пожжения конкретизировались в разработанных экспериментальных уроках и внеклассных занятиях.

На третьем. -этапе был продолжен педагогический (обучакший) эксперимент с учетом внесенных корректив з содержание отобранного историко-научного материала и методику его включения в учебный процесс на основе предадущегс» этапа исследования, В это же время осуществлялось теоретическое осмысление результатов эксперимента.

Научная новизна исследования заключается в тем, что

- теоретически и экспериментально обоснована целесообразность вклкяекия истеросо-научисго материала с использованием, хронологических таблиц для формирования у учащихся представлений о развитии математики;

- наделены и обоснованы требовании отбора материала по истории математики для формирования представлений о развитии математики;

- определено содержание историко-научного материала при изучении элементов теории чисел в средней школе дня формирования у учащихся представлений о развитии матемаамю*, в "частности, о развитии научных представлений о числе.

Дракздгаеекая значимость проведенного исследования заключается в чем, что разработано содержание историко-научного материала, методика его включения и использования на основе :<ронологических таблиц для Фсгазирсвания дредставлений о развитии маталатики. Разработанные материалы могут быть использованы учителями математики средних школ при проведении уроков и факультативных занятий.

Достоверность результатов исследования обеспечивают:

- теоретический анализ проблемы;

- результаты экспериментальной проверки, подтвердившей на качественном уровне справедливость основных, положений диссертации.

Апробация результатов исследования. Результаты исследования докладывались: на Герценовских чтениях в РГПУ им А.И.Герцена (1996 т.;, на международней научно-практической конференции «Гуманитаризация естественнонаучного образования» в СПГУШ (1996 г.), на методологических семинарах кафедры методики обучения математике ЕГПУ им. А.И.Герцена (1996 г.), на заседании районного методического объединения учителей математики Колпинского района г. Санкт-Петербурга (1597 г.), на педагогических советах средней общеобразовательной школы 9 404 г, Санкт-Петербурга (1997 г., 1998г.). Апробация результатов исследования осуществлялась в ходе экспериментальной работа в школе № 404 г. Санкт-Петербурга.

На защиту выносятся:

1. Теоретическое и экспериментальное обоснование целесообразности и возможности включения в школьный курс математики исто-рико-научного материала при изучении элементов теории чисел для фср«фования у учащихся представлений о развияии математики, в частности, о развитии научных представлений о числе в 5-6 классах.

2. Требования, предъявляемые к отбору истсриго-научного материала и его содержание, раэработанное на их основе.

3. Методика использования историко-научного материала на основе хронологических таблиц при изучении элементов теории чисел в курсе математики 5-6 классов.

СТРУКТУРА И СОДЕШАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, биб-лр-тографии,. приложений.

Во введении обосновывается актуальность исследуемзй прсбле-ш; определяются цель, объект и предает1 исследования; формулируется гипотеза; указываются задачи и метода исследования; анализируется теоретическая и практическая значимость исследования; выдвигаются основные положения, выносите на защиту.

3 первой главе на основе анализа пагссиюго-педагогических исследований, связанных с включением хюгорико-научного материала з курс математики средней школы, обосновывается возможность и целесообразность включения истгорико-научного материала с учетом жонологдоеских таблиц дня формирования представлений о развитии математиках. Расс^.1атривэ57гся конкретные требования, определявшие отбор материала из истории, математики.

В § 1 на основе концепции шкального образования обосновывается приоритет разЕИвакщей функции в обучении и, с этой точки зрения, математика рассматривается как одна из основ формирования личности. Особую роль в становлении личности играет формирование научного шрозоззрения, в частности, формирование у учаодвсся представлен! о развитии математики. Этот вопрос мажет быть частично решен при использовании иеяюрико-научного материала с учетом хронологии, так как существенной характеристикой развитая ма-тодаяики является время. Ярсйзяогия обладает большими возбсжно-стями, помогающими в решении выделенного вопроса, а именно:

1. Хронология дает воэькяшость определить место и значение отдельных достижений в многовековом процессе развития науки.

2. Хронология не только приближает современного ученика ко всему ходу развития науки, но и вскрывает логику развития науки, в частности математики.

3. ¡фонология позволяет показать сложный путь, который прошло то или иное открытие с момента постановки научной проблемы.

4. уГрояслог!-!*! учит —осл^'иниг-^ать науку не как нечто застывшее, а как развивающееся и динамичное«

Проеодится анализ проблемы включения историко-научного материала з курс математики средам школы, начиная с первых Всероссийских съездов преподавателей математики по сегодняшний день.

Анализ приводит к следукшим выводам.

В основном определены дали введения историко-научного материала, обозначены пути и формы включения его в курс математики средней школы, методически обоснован принцип использования историзма в структуре школьного курса математики и разработаны конкретные рекомендации. Однако, в целом проблему вютшения и использования историко-научного материала как ранее так и в настоящее время успешно решаемой признать нельзя.

Итак, мы предполагаем, что идея приоритета развиваодей функции обучения по отнсшению к его чисто образовательной функции требует переориентации методической системы сбучекия математике. В решении выделенной проблемы существенную роль играет вклкнение историко-научного материала с учетсм жонологии.

В § 2 рассматриваются характерные особенности подросткового возраста и делается вывод о тем, что в подростнэвсм возрасте имеются Сотагоприятные условия для использования историко-научного материала с учетом ^фонологии дня формирования представлений о развитии математики. В соответствии с раса-ютренными особенностями подросткового периода разбирается, какая именно информация позволит сформировать представления о развитии математики (под информацией понимается историш-научный материал). Этому способствует, по мнению В.В.Гнеденко, исгсоринэ-научный материал, ишюст-рхфукший пути появления нового в математике. А именно:

- решение задач практики;

- обобщение ранее полученных результатов, стремление довести их пр естественных границ;

- -объединение разрозненных результатов единой идеей и построение на этой базе теории;

- ккишческий пересмотр содержания математики в целсм.

Г.А.1ЗДрева!ЮВ взделяет еще один путь появления нового в

математике « науку... двигает вперед не только то, что... известно, но и выяснение того, что ете не известно ».

В связи с щ>едларае^2ЬЕ-4 включением историко—научного материала в школьное обучение возникает ряд проблеск, одна из которых связана с поиском средств использования Евделенной информации. В дакнем параграфе также рассматривается вопрос о средствах обучения. Дается общая характеристика средств обучения в дидактике, а затем более подробно рассматриваются хронологические таблицы. В нашем исследовании иогорико-ыаучнкй материал является идеальным средством, а хронологические таблицы - материальные.

Целенаправленное знакомство школьников с историко-научным материалом, используя зфснслогические данные, предполагает прежде всего формирование представлений и понятий таких как: историческое время и единицы его измерения; движение времени; зфонологи-

ческая последовательность. Именно эти представления и понятия являются основой любой хронологической таблицы.

В § 3 обосновывается как можно реализовать принцип соответствия между историческим и логическими факторами. Рассматриваются конкретные требования, олределякпие отбор материала из истории математики, а именно:

1) органическое включение историко-научного материала в школьный курс математики, т.е. истсриюэ-научный материал по математике включается в школьный курс в связи с изучаемой темой, а не как дополнительный материал. Этот историко-научный материал привлекается в зависимэсти от дели и содержания изучаемого вопроса, требукщего использования исторических сведений;

2) целенаправленность з изложении истсрзюо-научного материала в курсе машемаяики, т.е. использование историко-научного материала должно отвечать целям и интересам успешного изучения учебного материала. Иначе говоря, исторические сведения не должны быть использованы сами по себе, а должны подчиняться учебной функции, которая служит доминантой в процессе обучения;

3) доступность в изложении истсрико-научного материала в курсе математики. Бри сообщении историко-научного материала надо помнить, что общее и отвлеченное дается всегда труднее, чал частное и наглядное, и вводить это общее и отвлеченное лишь постепенно, осторожно, не обременяя учащихся непосильны* материалом, а тайке зорко следить» как воспринимается излагаемый материал каждым учеником, чтобы вовремя вносить необходимые поправки в намеченной план, пробовать разные пути и находить наилучше.

4) эмоциональность в изложении историко-научного материала в курсе математики. Змэи?юнальное изложение позволяет стимулировать познавательною деятельность шкэльникзв, пустить в ход такие важные психолошческие факторы как готовность к действию, вдохновение, познавательны?! интерес, волевые усилил и т.д.

На основе выделенных требований стбсра кстсрссо-научиого материала было определено содержание вопросов из истерии математики, которые с целью формирования у учащихся представлений о развитии науки мзгао включить з с гезйоцьдз хронологических таблиц в курс математики 5-6 классов.

Основываясь на проведенном отборе содержания историко-научного материала в исследовании имеются приложения:

Цришкение 2. Исторические сведения, рекомендуемы для включения в разделы школьного курса математики 5-6 классов.

Приложение 3. Историко-научньй материал для рассказа учителя на уроках или на внеклассных занятиях.

Этот конкретный материал учителя вюгут использовать в своей работе.

Е § 4 рассматривался обшие представления о развитии теории чисел. Этот раздел математики богат своей историей и обладает знаиительньми возможностями показать взаимосвязь истории и современности; играет важную роль в матеыэгичесякм образовании школьников, а также имеет большое значение не только как самостоятельный набор понятий и фактов, но и как сведения, необходимые для последукщрто изучения тесретатаеского материала.

Как известно, в развитии математики выделяют четыре основных периода: период накопления математических сведений, период математики постоянных величин, период математики переменных величин и период современной мзгеыагияи.

В этом .параграфе сообщается историко-научньй материал по развитию теории чисел на каждад из четырех указанных периодов. Приведенный материал ьаэвет быть использован в практике работы учителя.

Во втсрой главе раскрываются подхода к практической' использованию исторнко-научного материала в обучении матемагике.

В § 5 описываются обшие методические река»58Ш1ации по включению истор11ко-научного материала на основе использования хронологических данных:

- ознакомление учащейся с историей математики должно проходить прежде всего на уроках математики. Внеклассные занятия дадут возможность углубить и расширить испюрико-научные сведения, сообщаемые на уроках;

- ист'срико-научный материал должен быть организован на основе учета хронологии, которая позволяет передать динамику развитая математики, ¡фонология, как было показано ваше, обладает большими бошожностяьм в формировании представлений о развитии математики, заключающемся в переходе от незнания к неполному зна-

нио, от неполного знанги к более полному знанию, от более полного знания к еще более полному знанию.

Организация историко-научдого материала на основе учета хронологии предполагает прежде всего разъяснение -таких понятий как: единицы измерения исторического времени, ;фонологическая последовательность, движение времен;-;.

Рассматриваются оСшие методические рекомендации по формированию этих понятий и шедставлений.

- Одних яигейсаеос представлений, недостаточно для образования представлений об историческом времени. Целесообразно «поднять» учащихся от житейских ¡бытовых) даэдставлений и от математических абстракций до представлений о реальней историческом времени, как о «пространстве человеческой истодам». При рассмотрении единиц измерения исторического времени остановиться на наиболее трудных для учащихся - эра и век. Вводная беседа о летоис-числекж ькжет быть проведена з начале 5 класса. Для проверки понимания учащимися соотношений единиц измерения времени мсино решить ряд задач, в тал числе и с переходом через эру. Дидактическая ценность этак задач не только в обучении учащихся умению оперировать датами (как нашей эры, так и до нашей эры), но и в знакомстве с именами велики;-; ученых-математиков.

- Все исасрино-научные события связаны друг с другом; одно событие вытекает из другого и подготавливается предоествукшим. Понять причинность, а следовательно взаимосвязь и взаимообусловленность исторкно-научных событий ааю только изучая их в определенной последовательности. Позтсьзу дети должны усваивать не отрывочные исторические факты, а цепь фактов в их хронологической последовательности. Например, на уроке в 6 классе по теме «Положительные и отрицательные числа» учитель, рассказывая исто-риш-научньй материал «Как появились отрицательные числа», мсжет сообщить следугадую цепь фактов.

Отрицательные числа стали изучаться значительно позже натуральных чисел и обыкновенных пробей. Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н.э. фупнейаий индийский ттшахик Вравлагупга (598-660) з своих трудах дал правила сложения и вшигадая положительных и отрада-тельных чисел. Другой индийский математик - Бхаскара (1114-1178)

дал правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел. В ЕЕропе отрицательными числами начали пользоваться с XIII в., ко до XVI в., как и в древности, они понимались как долг, большинство ученых считали их «лсжньыи» в отличие от положительных чисел - «истинных».

Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика Рене Декарта (1596-1650).

В приведенном гримере соответствукзцая хронологическая последовательность исторических событий и будет являться основой следующей таолицы.

Событие Место Ученый Годы Век

Первые сведения об отрицательных числах Витай Китайские математики II в. до н.э.

Правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел Индия Ерамагупта 598-660 VII б.

Правила умножения и делении положительных и отрхщательных чисел Индия Ехаскара 1114-1178 XII е.

Начали пользоваться отрицательными числами Европа с XIII в.

Геометрическое истолкование подюаительных и отрицательных чисел Франция Рене Декарт 1596-1650 XVII в.

- Само знание хронологических дат не дает ясного и осознанного представления оО истории развития науки, для правильного понимания которой необходимо осознать продолжительность историче-

I

ского времени - времени, отделяющего сооыгия друг от друга. Поэтому, для понимания движения времени слезет постоянно устанавливать пронзительность явлений.

Основной формой изложения исторических сведений является рассказ учителя, сопровоадакшийся показсм хронологических таблин, которые выполняют одну из ниге перечисленных функций:

- функция иллюстрации;

- функция источника визуальной информации;

- функция средства познания в проблемном обучении.

В первом случае, рассказ учителя предваряет показ хронологической таблицы.

Во втсрсм случае, рассказ учителя мажет осуществляться синхронно показу гфонологическсй таблицы, т.е. сообщая историко-научный материал, учитель привлекает данные таблицы.

Б третьем случае, историко-научньй материал организован так, что при его изложении мсязю проследить за процессом добывания знаний по конкретному вопросу в науке, выдвинуть проблему, показать как было найдено решение вопроса.

В § 5 представлено описание проведения и результаты эксперимента. Цель экспериментальной работы, выполненной в ходе исследования: проверить выдвинутую гипотезу. В параграфе описаны этапы исследования, формулируются выводы по каждому этапу.

При проверке в школе разработанной нами методики использования исторического материала с учетом хронологии мы отчетливо представляли трудности, стоящие на пути исследователя. Основная трудность - в оценке влияния обучения на мировоззрение учащихся, в частности, на формирование представлений о развитии математики, на устойчивость и прочность формирующегося миропонимания.

Весьма трудно оценить влияние истсриюэ-научного материала (т.е. материала, имеющего непосредственное отношение к истории математики) на качество знаний учащихся, так как здесь играют роль ряд факторов, которые с трудил поддаются учету - педагогическое мастерство учителя, его отношение к использованию истсрико-научного материала на уроке, знание истории математики, его взаи-

моотношение с классом и т.д. Поэтому мы отказались от постановки педагогического эксперимента в его развернутом виде. Вряд ли целесообразно было сравнивать между собой результаты обучения в классах, где курс математики насыцен историческим материалом и где исторический материал практически отсутствует. Нами было организовано эксдер-ментальное преподавание темы «Делимость натуральных чисел» курса математики 5-х классов.

В процессе экспериментального преподавания мы хотели выяснить :

1. Чал руководствоваться при отборе содержания историко-научного материала: по существу, по уровню сложности, по доступности.

2. Возможность сообщения историко-научного материала в учебное враля, отведенное доя изучения раздела или темы школьного курса математики.

3. Влияние знаний исторических сведений на усвоение учащимися основных математических понятий, идей, теорий.

4. Использование учащимися сообщаемого на уроках историко-научного материала для раскрытия основных положений курса математики.

Учет данных положений проводился нами на основе:

- тащтельного планирования отдельных разделов и тем курса математики с учегсм того, чтобы включение исторического материала не привело к увеличению времени, отведенного програм-юй на их изучение и соответствовало бы изучаемой теме или разделу;

- тшдтельной отработки планов уроков, продумывания методических приемов, которые наилучшим образом способствовали бы активизациям познавательной деятельности учащихся на уроке и отражали специфику историко-научного материала;

- проверки усвоения учащимися изученных вопросов математики обычньми формами учета. При закреплении материала на уроках, а также в самостоятельные и контрольные работы нами включались и отдельные вопросы, ответы на которые позволили сделать выводы о влиянии историко-научного материала на знания учащихся.

В результате эксперимента было показано:

1. Цредлагаемая методика доступна и может быть использована при обучении математике.

2. Отобранный с помощью выделенных в нашем исследовании требований историко-научный материал способствует формированию у учзшихся представлений о развитии математики.

3. Использование разработанной методики, натравленной на включение в процесс обучения математике истсрико-научного материала на основе хронологических таблиц, привело к полеяительньм изменениям в уровне усвоения школьниками учебного материала.

4. В ходе эксперимента доказана возможность сообщения исто-рико-научного материала в период времени отведенного для изучения раздела или темы школьного курса математики.

В Заключении изложены основные результаты работы:

1. Изучено и проанализировано состояние проблемы использования историкз-научнсго материала в теории и практике обучения математике в средней школе.

2. Рассмотрены основные этапы развития теории чисел на фоне развития математики.

3. Обоснован вьбор соответствующего периода обучения математике для данного исследования.

4. Обоснованы требования отбора истсрико-научного материала для учебного процесса по математике.

5. На основе выделенных требований отбора разработан и экспериментально проверен конкретный учебный историко-научный материал для использования при изучении элементов теории чисел в курсе математики 5-6 классов.

6. Осуществлено расширение существукщей системы вкжяения истсрико-научного материала, направленное на реализацию принципа историзма в учебном процессе, на формирование у учащихся представлений о развит?®! математики.

7. Проведена экспериментальная проверка разработанной методики использования историко-научного материала на основе хронологических таблиц, при изучении элементов теории чисел в курсе математики 5-6 классов. Показаны возможность и эффективность использования истсрико-научного материала с учетсм хронологии.

Таким образом, в ходе теоретико-экспериментального исследования были решены поставленные задачи и подтверждена рабочая гипотеза.

Основные положения дассертадаонного исследования отражены в слепукших публикациях:

1. Использование исторических фактов как одно из средств гуманитаризации математического образования// Особенности обучения математике в профильной школе и подготовка учителя к работе в ней: Тезисы докладов на Герценовских чтениях. - СПб.: Образование, 1996. - с. 9.

2. Возможные пути гуманитаризации школьного математического образования//Гуманитаризация естественнонаучного образования: проблемы и перспективы: Тезисы международной научно-практической конференции. - СПБ.: «Крисмас+», 1996. - с. 31-32.

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Алексеева, Валентина Александровна, 1998 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ЗНАЧЕНИЕ ИСТОРИКО-НАУЧНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ

ФОРМИРОВАНИЯ У УЧЙШИХСЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О РАЗВИТИИ МАТЕМАТИКИ

§1. Элементы историко-научного материала и их роль в процессе обучения математике.

§2. Психолого-педагогические основы включения историко-научного материала с учетом хронологии в курс математики средней школы для формирования у учащихся представлений о развитии математики.

§3. Отбор историко-научного материала для включения в содержание обучения математике

§4. Основные этапы развития теории чисел как одного из разделов математики.

ГЛАВА II. подхода К ПРАКТИЧЕСКОМУ ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ИСТОРИКО-НАУЧНОГО МАТЕРИАЛА В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

§5. Методика включения историко-научного материала с использованием хронологических данных в курс математики 5-6 классов как одного из средств формирования у учащихся представлений о развитии математики.

§6. Описание и результаты экспериментальной работы.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методика отбора и использования историко-научного материала в процессе обучения математике в школе"

Основные задачи современного российского образования состоят в смене ценностей и целей образования, в замене технократического подхода к обучению и воспитанию культурно-гуманистическим содержанием этих процессов [43, с. 3] . Вьщвинутая идея гуманизация является одной из ведущих идей в реформировании образования. В.Г.Болтянский, Г.Д.Гдейзер, Р.С.Черкасов под гуманизацией обучения математике понимают - «обучение, для которого главное - личность ученика, его духовный мир, "интересы м способности» [16, с. 233]. Одной из конкретных форм реализации идеи гуманизации - гуманитаризация, т.е. «поворот от познания мяра как неодушевленного механизма к изучению живой и целостной картины мира, на очеловечивание знаний» [9, с. 34] .

В последние годы гуманитаризация математического образования в школе часто становится темой для обсуждения. Внутренняя логика развития математики, ее место в современной научной картине мира приводят к необходимости интеграции гуманитарных и математических знаний.

Гуманитаризация школьного образования "предполагает самые разнообразные направления. Одним из наиболее перспективных представляется использование историко-научного материала в учебном процессе. Хотелось бы отметить, что в нашей исследовательской работе предпочитаем пользоваться термином «историко-научный», вместо широко распростра:'-ненного «исторический»,- присоединяясь при этом к мнению Р.Н.Щербакова [137], который считает, что первый термин предполагает применение в учебном процессе фрагментов истории науки, в то время как за вторым скрывается бессвязный набор фактов, сомнительных по своей объективности и воспитательной значимости.

Факты из истории математики позволят дать широкую историческую картину возникновения и развития математики, а также позволят в процессе обучения возводить мост между математикой и общечеловеческой культурой. «История науки может помочь вернуть математическим знаниям статус важной составляющей культуры каждого человека» [137, с. 68] .

Посредством формирования у школьников представлений о математике как части общечеловеческой культуры реализуется гуманитарная направленность школьного курса математики. В программе по математике для средней школы, в связи с рассмотрением науки математики как элемента человеческой культуры, говорится, что нужно отказаться «от сложившейся практики построения школьного математического курса как последовательности изложения готовых (подчеркнуто автором) результатов и сведений. Здание математики должно создаваться на глазах у учащихся. В содержание школьного курса должны органически вплетаться . . эпизоды истории науки, знакомящие школьника с трудной борьбой идей, судьбами великих открытий, именами людей, творивших науку» [101, с. 4].

Проблема использования историко-научного материала в преподавании школьного курса математики всегда была актуальной. Например, еще в 1920 г. в первом выпуске программы по математике мы можем прочитать, что «история математики в старой школе была в полном пренебрежении. О ней упоминалось разве в связи с предложениями, связанными с тем или другим именем (теорема Пифагора, бином Ньютона) . Между тем история математики может сильно помочь в уяснении генезиса математических идей и методов. Экскурсы в историю математики необходимы. На эту сторону следует обратить серьезное внимание» [95, с. 7] .

В программах же средней школы по математике 1933 г. сказано, что «Наркомпрос в основу программ 1933 г. положил программы издания 1932 г., устранив в них недочеты и ошибки. Особое внимание было обращено на разгрузку программ от непосильного и излишнего материала, на согласование программ между собой и на пронизование программ историзмом» [98, с. 1] .

Учебно-воспитательные возможности истории науки подчеркивают такие дидакты как И.Я.Лернер [68], М.Н.Скаткин [117], Г. ЩЩукина [139] и др.

Вопросы использования элементов истории математики в преподавании рассматриваются в ряде работ. Авторами наиболее значительных являются: А.Д.Александров, Н.М.Бескин, З.Е.Гельман, Г.Д.Глейзер, И.Я.Депман, А.В.Дорофеева, Л.Я.Зорина, Л.П.Кибардина, К.Г.Кожабаев, Н.А.Леонидова, К.А.Рыбников, В.И.Рыжик, Л.Н.Рязанова, Е.С.Смирнова, И.М.Смирнов, В.М.Тихомиров, И.Е.Феоктистов, А.П.Юшкевич, М.Г.Ярошевский и др.

Различным аспектам использования исторического материала при обучении математике посвящены диссертационные исследования: З.Атаджановой, В.М.Беркутова, М.А.Исаевой, З.Касаевой, С.М.Насибова, Ю.С.Свистунова, М.А.Скоробогатовой, А.Т.Хмарова, О.В.Шабашовой, У.К.Шерматовой и др.

В работах и диссертационных исследованиях названных авторов рассматриваются вопросы необходимости и целесообразности включения элементов истории науки в школьный курс математики; предлагаются варианты решения отдельных аспектов данной проблемы как на уроках, так и во внеурочное время и т.д.

Вместе с тем, в указанных работах проблема отбора материала из истории математики, выступающего как средство формирования у школьников представлений о развитии математики, и методика его использования не являются предметом специального исследования.

Отметим также, что все авторы указывают на то, что история науки еще не заняла подобающего места в практике школы. Это касается и сегодняшнего дня. В действующих учебниках и учебных пособиях по математике для средней школы содержится крайне мало историко-научного материала и в результате математика рассматривается «как отвлеченная данность, а не как итог работы многих поколений исследователей» [34, с. 25]. Наука воспринимается школьниками как «готовое знание», а не как деятельность направленная на получение новых знаний, не как сфера духовного производства [Там же, с. 25] .

Первоначальные математические сведения приобретались человечеством, конечно, не из книг, не путем усвоения готового материала, а путем открьлтий, из жизни, при соприкосновении с действительностью, в борьбе с природой. Накопленные таким опытным путем математические знания обрабатывались затем в активной, творческой умственной работе, приводились в возможной мере в систему и затем прилагались снова к решению возникавших жизненных и практических вопросов и задач: эти последние в свою очередь давали новые стимулы для теоретической разработки математических вопросов, а это снова облегчало и оплодотворяло практическую работу человека и т.д. Этим путем «синтеза практического труда и абстрактной умственной работы идет развитие математического знания» [96, с. 4].

Итак, математика находится в непрерывном развитии, обусловленном двумя основными причинами: потребностями жизненной практики и внутренними потребностями самой науки [63, с. 15] .

Подводя итог, следует сказать,' что включение историко-научного материала даёт возможность в процессе обучения математике формировать представление о ее развитии. Этот итог служит достаточным основанием для вывода: в настоящее время необходимы поиски новых путей и приемов изучения вопросов истории науки, что обусловлено сменой ценностей и целей образования вообще и математического в частности, как было показано выше.

Таким образом, противоречие между общепризнанным значением знаний из истории науки для формирования у учащихся представлений о развитии математики с Одной стороны и недостаточностью и нёсистема-тичностыо историко-научного материала в школьной математике, с другой стороны, обусловило актуальность темы исследования. Об этом же свидетельствуют и результаты анкетирования учителей математики г. Санкт-петёрбурга и Ленинградской области. В ходе анкетирования были выявлены трудности, препятствующие включению историко-научного материала в школьную практику.

Учителя математики выделяют следующие трудности:

1. Недостаточный историко-научный материал в учебниках и методических пособиях для учителя.

2. Недостаточная информированность о имеющейся литературе, содержащей историко-научный материал.

3. Нехватка времени на поиск материала с историческим содержанием.

4. Недостаточная методическая оснащенность школьных кабинетов математики (литература, дидактический и раздаточный материал) .

5. Требуется дополнительная подготовка, в том числе и на курсах повышения квалификации.

Проблема исследования, исходя из приведенных положений, состоит в определении содержания историко-научного материала и поиске средств его использования, которые позволяли бы сформировать у учащихся представления о развитии математики.

Существенную характеристику любого процесса развития (в том числе и математики) составляет время: во-первых, всякое развитие осуществляется в реальном времени, во-вторых, только время выявляет направленность развития [145, с. 409]. Поэтому в своем исследовании в качестве одного из средств формирования у учащихся представлений о развитии математики, мы предлагаем использовать хронологию, в частности, хронологические таблицы.

Л.Н.Алексашина [2, с. 15] отмечает, что в школьном курсе ученик должен получить возможность увидеть, как менялись оценки одного и того же события во времени, в устах современников и потомков, «тогда» и «сегодня».

Доктор химических наук А.Н.Шамин в предисловии к книге Я.Фолга, Л.Новы «История естествознания в датах» (М., 1987) обращает внимание на то, что «добротная хронология - лучшая цементирующая основа любой истории, любого изложения или анализа исторического процесса» (С. 5-б).

Цель исследования: обосновать целесообразность включения в учебный процесс историко-научного материала для формирования у учащихся представлений о развитии математики; сформулировать общие требования к отбору содержания историко-научного материала, определить это содержание и разработать методику его использования.

Объект исследования: процесс включения историко-научного материала и его использование при изучении элементов теории чисел в курсе математики средней школы.

Элементы теории чисел играют важную роль в математическом образовании учащихся: формирование понятия числа; свойства делимости целых чисел являются той базой, без которой невозможно усвоение понятия целого числа - фундаментального понятия, при помощи которого строятся все другие числовые системы. Кроме того, этот материал обладает значительными возможностями для развития логического мышления учащихся на доступном числовом материале, позволяет увидеть взаимосвязь истории и современности. Он также имеет большое значение не только как самостоятельный набор понятий и фактов, но и как сведения, необходимые для изучения последующего теоретического материала. Этот раздел математики богат своей историей.

Предает исследования: методика использования историко-научного материала на основе хронологии в процессе обучения математике, в целях формирования у учащихся представлений о развитии математики (при изучении элементов теории чисел в средней школе) .

Гипотеза исследования: если в процесс обучения математике включить историко-научный материал с использованием хронологических таблиц, то это будет способствовать усвоению математических понятий и формированию представлений о развитии математики.

Включение историко-научного материала и хронологии, которая запечатлевает последовательность совершающихся событий в историческом времени, неразрывно связано с формированием у учащихся таких представлений и понятий как: историческое время и единицы его измерения; движение времени; хронологическая последовательность исторических событий. Эти понятия и представления имеют целью добиваться сознательности при использовании хронологии, с тем чтобы хронология была не самоцелью, а средством понимания процесса развития математики.

В процессе исследования проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. Изучить состояние проблемы использования историко-научного материала в теории и практике обучения математике в средней школе.

2. Рассмотреть основные этапы развития теории чисел на фоне развития математики.

3. Обосновать требования отбора материала по истории математики и на их основе определить содержание историко-научного материала для формирования представлений о развитии математики при изучении элементов теории чисел в курсе математики 5-6 классов.

4. Разработать и описать методику включения историко-научного материала с использованием хронологических таблиц при изучении элементов теории чисел в курсе математики 5-6 классов.

Экспериментально проверить эффективность предложенной методики.

Для решения поставленных задач были использованы следующие метода исследования: анализ философской, исторической, психолого-педагогической и методической литературы по рассматриваемой проблеме; изучение и анализ программ и учебников по математике, главным образом для 5-6 классов средней школы; беседы с учащимися и учителями, наблюдение за деятельностью учащихся при работе с историко-научным материалом по математике и за деятельностью учителя при организации такой работы; анкетирование учителей и учащихся; организация и проведение констатирующего и обучающего экспериментов; количественная и качественная обработка полученных экспериментальных данных.

Научная новизна исследования заключается в том, что

- теоретически и экспериментально обоснована целесообразность включения в курс школьной математики историко-научного материала с использованием хронологических таблиц для формирования у учащихся цредставлений о развитии математики;

- вьщелены и обоснованы требования отбора материала по истории математики для формирования представлений о развитии математики;

- определено содержание историко-научного материала при изучении элементов теории чисел в средней школе для формирования у учащихся представлений о развитии математики, в частности, о развитии научных представлений о числе.

Практическая значимость проведенного исследования заключается в том, что разработано содержание историко-научного материала, методика его включения и использования на основе хронологических таблиц для формирования представлений о развитии математики. Разработанные материалы могут быть использованы учителями математики средних школ при проведении уроков и факультативных занятий.

Достоверность результатов исследования обеспечивают:

- теоретический анализ проблемы;

- результаты экспериментальной проверки, подтвердившей на качественном уровне справедливость основных положений диссертации.

Апробация результатов исследования. Результаты исследования докладывались: на Герценовских чтениях в РГПУ им А.И.Герцена (1996 г.), на международной научно-практической конференции «Гуманитаризация естественнонаучного образования» в СПГУПМ (1996 г.), на методологических семинарах кафедры методики обучения математике РГПУ им. А.И.Герцена (1996 г.), на заседании районного методического объединения учителей математики Колпинского района г. Санкт-Петербурга (1997 г.), на педагогических советах средней общеобразовательной школы № 404 г. Санкт-Петербурга (1997 г., 1998г.) .

На защиту выносятся:

1. Теоретическое и экспериментальное обоснование целесообразности и возможности включения в школьный курс математики историко-научного материала при изучении элементов теории чисел для формирования у учащихся представлений о развитии математики, в частности, о развитии научных представлений о числе в 5-6 классах.

2. Требования, предъявляемые к отбору историко-научного материала и его содержание, разработанное на их основе.

3- Методика использования историко-научного материала на основе хронологических таблиц цри изучении элементов теории чисел в курсе математики 5-6 классов.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

заключение

В настоящее время идея приоритета развивающей функции обучения по отношению к его чисто информативной функции требует переориентации методической системы обучения математики, т.к. в нашем исследовании математика рассматривается как одна из основ формирования личности. Особую роль в становлении личности играет формирование научного мировоззрения, в частности, формирование у учащихся представлений о развитии математики. Этот вопрос может быть частично решен при использовании историко-научного материала с учетом хронологии, т.к. существенной характеристикой развития математики является время. Хронология обладает большими возможностями, помогающими формировать представления о процессе развития науки.

В связи с предлагаемым включением историко-научного материала с использованием хронологических таблиц в школьную математику, на основе проведенного теоретического и экспериментального исследования были получены следуЕстие результаты:

1. Изучено и проанализировано состояние проблемы использования историко-научного материала в теории и црактике обучения математике в средней школе.

2. Рассмотрены основные этапы развития теории чисел на фоне развития математики.

3. Обоснован выбор соответствующего периода обучения математике для данного исследования.

4. Обоснованы требования отбора историко-научного материала для учебного процесса по математике.

5. На основе выделенных требований отбора разработан и экспериментально проверен конкретный учебный историко-научный материал для использования при изучении элементов теории чисел в курсе математики 5-6 классов.

6. Осуществлено расширение существующей системы включения исто-, рико-научного материала, направленное на реализацию принципа историзма в учебном процессе, на формирование у учашихся представлений о развитии математики.

7. Проведена экспериментальная проверка разработанной методики использования историко-научного материала с учетом хронологии, при изучении элементов теории чисел в курсе математики 5-6 классов. Показаны возможность и эффективность использования историко-научного материала с учетом хронологии.

До результатам, полученным в нашем диссертационном исследова-ши, могут быть сделашг следующие вьшодш

1. Использование историко-научного материала в обучении математике позволяет решить целый круг образовательных и воспитательных задач процесса обучения, в частности, формирование представлений о развитии математики, что способствует становледапо личности учащихся.

2. В настоящее время является актуальной необходимость разработки методики включения историко-научного материала с учетом хронологии, создания методических пособий для учителей и дидактического материала с исторические содержанием. Возникает необходимость в дополнении содержания учебников историческими сведениями.

3. В учебном процессе, для ознакомления учащихся с воцросами развития математики, целесообразно использовать хронологические таблицы.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Алексеева, Валентина Александровна, Санкт-Петербург

1. Александров П.С. О некоторых направлениях в развитии математики и их значение для преподавания//На путях обновления школьного курса математики. - М.: Просвещение, 1978. - С. 7-13

2. Алексашина Л.Н. Дидактические аспекты преподавания истории //Педагогика. 1993. - №3. - С. 11-16

3. Алешина Т.В. Тесты в школьном курсе математики//Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 1993. - №2. - С.; 2

4. Андреевская Н.В., Вернадский В.Н. Методика преподавания истории в семилетней школе. М.: Учпедгиз, 1947. - 216 с.

5. Арнхейм Р. Новые очерки по психологии искусства: Пер. с англ. М.: Прометей, 1994. - 352 с.

6. Баранова И.В., Борчугова З.Г. Математика. Учебник для 5 класса средних общеобразовательных учреждений /Под редакцией Н.М. Матвеева СПб.: «Специальная Литература», 1997. - 296 с.

7. Баранова И.В., Борчугова З.Г. Математика. Учебник для 6 класса средних общеобразовательных учреждений/Под редакцией Н.М. Матвеева СПб.: «Специальная Литература», 1997 - 280 с.

8. Барсуков А.Н. Исторические элементы в курсе математики V -VII//Математика в школе. 1956. - №1.'- С. 28-37

9. Беседа с министром образования РФ Е.В.Ткаченко//Педагоги -ка. 1993. - №3. - С. 34-37

10. Бе скин Н.М. О некоторых основных принципах преподавания математики//Математика в школе. 1985. - №1. - С. 59-61

11. Блонский П.П. Избранные психологические произведения. М.: Просвещение, 1964. - 547 с.

12. Бобынин В.В. Цели, формы и средства введения исторических элементов в курс математики средней школы//Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики. СПб.: Тип. «Север», Невский пр., 140-2, 1913. - С. 129-149

13. Боев Г-П. Беседы по истории математики. Саратов: ОГИЗ, 1947. - 104 с.

14. Божович Л.И. Личность и ее формирование в детском возрасте. М.: Просвещение , 1968. - 464 с.

15. Болгарский Б.В. Очерки по истории математики. Мы. : Высш. Школа, 1979. - 368 с.

16. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д., Черкасов Р.С. К вопросу о перестройке общего математического образования//Повышение эффективности обучения математике в школе; Кн. Для учителя: Из опыта рабо-ты/Сост. Г.Д.Глейзер. М.: Просвещение, 1989. - 240 с.

17. Боро В., Цагир Д. И др. Живые числа. М.: Мир, 1985.128 с.

18. Боровик О.Г., Гусаков В.А., Юнеева О.Д. Об изучении темы «Сведения из истории»//Математика в школе. 1991. - №4.- С. 53-57

19. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе/Под редакцией А.И. Маркушевича. М.: Учпедгиз, 1949. - 504 с.

20. Бухштаб А.А. Теория чисел/Учеб, пособие для физ.-мат. Фак. пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1966. - 384 с.

21. Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты//Математика в школе. 1988.- №4.- С. 7-13

22. Виленкин Н.Я., Чесноков А.Л., Шварцбурд С.И., Жохов В.И. Математика/Учебник для 5 класса средней школы. М.: Просвещение,1990. 304 с.

23. Виленкин Н.Я., Чесноков А.С,, Шварцбурд С.И., Жохов В.И. Математика/Учебник для 6 класса средней школы. М.: Просвещение,1991. 256 с.

24. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. Геометрия. М.: Просвещение, 1996. - 320 с.

25. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972» -198 с.

26. Вопросы конструирования содержания общего среднего; образования. М.: НИИОП, 1980. - 213 с.

27. Выготский JI.C. Инструментальный метод в психологии //Собрание сочинений: В б-ти Т. М.: Педагогика. 1982. - Т. 1.-С. 103-108

28. Выготский JI.C. Исторический смысл психологического кризиса//Собрание сочинений: В б-ти Т. М.: Педагогика, 1982. - Т. 3. -С. 291-436

29. Выготский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука, 1976. - 336 с.

30. Габай Т.В. Учебная деятельность и ее средства. М.: Изд-во МГУ,1988. - 254 с.

31. Газман О.С. От авторитарного образования к педагогике свободы//Новые ценности образования: содержание гуманистического образования. 1995. - №2. - С. 16-46

32. Гальперин П.Я. Развитие Исследований по формированию умственных действий//Психологическая наука в СССР. М: Просвещение, 1969. - Т. 1. - С. 231-483

33. Гальперин П.Я. Введение в психологию. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. - 150 с.

34. Гельман З.Е. История науки и культуры в общеобразовательной школе//Педагогика. 1993. - №5. - С. 25-28

35. Гиттис Й.В. Методика начального обучения истории. М.: Учпедгиз, 1945. - 116 с.

36. Глейзер Г.И. История математики в школе: IV VI кл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.

37. Глейзер Г.И. История математики в школе: VII VIII кл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 240 с.

38. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX X кл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1983. - 351 с.

39. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. М.: Просвещение, 1982. - 144 с.

40. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. М.: Просвещение, 1985. - 192 с.

41. Гнеденко Б.В. Знание истории науки преподавателю школы/ /Математика в школе. - 1993. - №3. - С. 30-32

42. Гузеев В.В. Гуманитарная составляющая обучения математике //Математика в школе. 1989. - №6. - С. 33-35 •

43. Гуманитарные основы гимназического образования/Под. ред. док. пед. наук О.Е. Лебедева СПб.: ЦПИ, 1995. - 228 с.

44. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. М.: Педагогика, 1986. - 239 с. >

45. Делоне Б.Н. Леонард Эйлер//Квант. 1974. - №5.-С. 26 -35

46. Депман И.Я. Исторические элементы в преподавании математики в средней школе//Идейное воспитание учащихся в процессе обучения. Труды научно-педагогической конференции учителей. Л., тип. им. Володарского, 1948. - С. 360-369

47. Депман И.Я. История арифметики. М. : Учпедгиз, 1965. -434 с.

48. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк. М.: Просвещение, 1989. - 287 с.

49. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования//Математика в школе. 1990. - №6. - С. 2-5

50. Дорофеев Г.В. Гуманитарно ориентированный курс основа учебного предмета//Математика в школе. - 1997. - №4. - С. 59-66

51. Дорофеева А.В. Гуманитарные аспекты преподавания математики//Математика в школе. 1990. - №6. - С. 12-13

52. Драгунова Т. В. Психологические особенности подростка//Возрастная и педагогическая психология. М.:Просвещение,1979. -С. 101-146

53. Загвязинский В.И. О современной трактовке дидактических принципов//Советская педагогика. 1978. - №10. - С. 66-72

54. Зорина Л,Я. Системность качество знания. - М.: : Знание, 1976. - 64 с.

55. Зубелевич Г.И. Занятия математического кружка в 4 классе: Пособие для учителей. -М.: Просвещение, 1980. 79 с.

56. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия/Под ред. А.П.Юшкевича М.: Наука, 1970-1972. - В 3-х т. .

57. Карцов В.Г. Методика преподавания истории СССР. М.: Учпедгиз, 1951. - 216 с.

58. Кедров Б.М. О повторяемости в процессе развития. М.: Госполитиздат, 1961. - 147 с.

59. Кедров Б.М. Наука и учебный предмет.//Советская педагогика. 1965. - №7. - С. 7-8

60. Клайн М. Математика. Утрата определённости: Пер. с англ./Под ред., с предисл. и примеч. И.М.Яглома М.: Мир, 1984 -434 с.

61. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ./Под ред., с предисл. В.И.Аршинова, Ю.В.Саккова М.: Мир, 1988. - 295 с.

62. Кожабаев К.Г. Использование сведений из истории математики в IV VIII классах//Математика в школе. - 1982. - №2.- С. 43-47

63. Колягин Ю.М. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. М.: Просвещение, 1975. - 462 с.

64. Круглов B.C. Роль ценностных ориентаций в формировании личности школьника//Психологические особенности формирования личности школьника. М.:АПН СССР, 1983. - С. 4 - 10

65. Круликовский Н.Н. Сообщение сведений из истории математике в средней школе //Воспитание учащихся при обучении математики./Сост. Л.Ф. Пичурин. М.: Просвещение, 1987. - С. 28 - 31

66. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. М.: Просвещение, 1970. - 128 с.

67. Леонтьев А.Н. Избранные психологические произведения: В 2-х Т. М.: Педагогика, 1983. - Т.2. - 320 с.

68. Лернер И. Я. Развитие мьшшения учащихся в процессе обучения истории. М.: Просвещение, 1982. - 200 с.

69. Лященко Е.И., Мазаник А. А. Методика обучения математике в IV V классах. - Мн.: Нар. асвета, 1976. - 222 с.

70. Малыгин К.А. Элементы истории в преподавании математики в средней школе. М.: Учпедгиз, 1963. - 224 с. j

71. Мантуров О.В. и др. Толковый словарь математический терминов: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1965. - 539 с.1

72. Марков С.Н. Курс истории математики. Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1995. - 248 с.

73. Маркова А.К. Психология обучения подростка. М.: i Знание, 1975. - 64 с.

74. Маркушевич А.И. О повышении идейно-теоретического уровня преподавания математики в средней школе//Математика в школе.! 1950.- №1. С. 1-4

75. Математика: Школьная энциклопедия/Гл. Ред. С.М.Никольский.- М.: Научное изд-во «Большая российская энциклопедия», 1996.-527 с.

76. Методические рекомендации по курсу математики 5-го класса (Учеб. И.В.Барановой и З.Г.Борчуговой): Пособие для учителей/И.В.Баранова, З.Г.Борчугова, Р.Е.Сокуренко, Н.Л.Стефанова. СПб. : «Специальная Литература» 1997. 160 с.

77. Методические рекомендации по курсу математики 6-го' класса (Учеб. И.В.Барановой и З.Г.Борчуговой) : Пособие для учителей/

78. И.В.Баранова, З.Г.Борчугова, Р.Е.Сокуренко, Н.Л.Стефанова. СПб.: «Специальная Литература», 1997. - 144 с.

79. Молодший В.Н. Элементы истории математики в школеv М.: Учпедгиз, 1953. - 36 с.

80. Молодший В.Н. Основы учения о числе в XVIII веке. М.: Учпедгиз, 1953. - 180 с.

81. Мощанский В.Н. Принцип историзма в методических исследованиях//Советская педагогика. 1967. - №12. - С. 30-38

82. Мощанский В.Н. Гуманитарный аспект при изучении физики в средней школе. Псков, ПОИУИ, 1994. - 68 с.

83. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика/Учебник для 5 класса средней школы. М.: Просвещение, 1990. - 304 с.

84. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика/Учебник для 6 класса средней школы. М.: Просвещение, 1991. - 224 с.

85. Ожигов Е*П. Что такое теория чисел. М.: Знание, 1970.94 с.

86. Оре О. Приглашение в теорию чисел (Библиотечка «Квант». Вып. 3). М.: Наука, 1980 - 128 с.

87. Педагогика. Учебное пособие для студентов педагогических вузов И" педагогических колледжей. Под ред. П.И.Пидкасистого. М.: Роспедагенство, 1996. - 602 с.

88. Петровский А.В. Вопросы истории и теории психологии. М.: Педагогика, 1984. - 271 с.

89. Пичурин Л.Ф. За. страницами учебника алгебры: Кн. для учащихся 7-9 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1990. - 224 с.

90. Плоцки А. Стохастика в школе как математика в стадии созидания и как новый элемент математического и общего образования: Ав-тореф. дис. на соиск. ст. док. пед. наук (13.00.02.) СПб.: 1992. -52 с.

91. Подашев А.П. Вопросы внеклассной работы по математике в школе. М.: Учпедгиз, 1962. - 192 с.

92. Пономарев С.А. О коммунистическом воспитании на уроках математики//Математика в школе. 1951. - №3. - С. 8-18

93. Попов Г.Н. Очерки по истории математики. М.: Петроград, Изд. Л.Ф.Френкель, 1923. -166 с.

94. Примерные программы по математике. Выпуск 1 М.: ГИЗ. 1920. - 8 с.

95. Примерные программы по математике.-Калуга, ГИЗ, 1920.- 6 с.

96. Проблемы Гильберта/Сборник. Под общ. ред. П.С.Александрова М.: Наука, 1969. - 239 с.

97. Программы средней школы. Математика. Физика, Черчение. -Свердловск, Уралгиз, 1934. 33 с.

98. Программы восьмилетней школы. Математика. М.: Учпедгиз, 1961. - 34 с.

99. Программы средней школы. Математика VIII X классы. - М.: Учпедгиз, 1962. - 30 с.

100. Программы средней общеобразовательной школы: Математика, -М.: Просвещение, 1991. 127 с.

101. Программы общеобразовательных учреждений. Математика. -М.: Просвещение, 1994. 240 с.

102. Рабинович В. Уроки истории для современной шко-лы//Литературная газета. 1997. - 20 августа

103. Равкин З.И. Историзм как методологический принцип педагогики//Советская педагогика. -1985. -№10. С. 47-54

104. Резник Н.А. Визуальные уроки. Комл. дидакт. матер, к шк. урокам. СПб.: Свет, 1996. - 80 с.

105. Рихтерман Т.Д. Формулирование представлений о времени у Детей. М.: Просвещение, 1991. - 47 с.

106. Рубинштейн С.Л. Бытие и сознание М.: Изд-во АН СССР, 1957. - 328 с.

107. Рыбников К.А. Об историко-матодологических основах математического образования учителей//Математика в школе. 1982. - №3. -С. 48-49

108. Рыбников К.А. Геометрия; наука и учебная дисциплина/ /Математика в школе. 1983. - №6. - С. 56-62

109. Рыбников К.А. Тригонометрия в школе и в системе наук//Математика в школе. 1984. - №6. - С. 50-56

110. Рыбников К.А. История математики: Учебник. М. { Изд-во МГУ, 1994. - 496 с.

111. Рыжик В.И. 25 ООО уроков математики: Книга для учителя. -М.: Просвещение, 1993. 238 с.

112. Салмина Н.Г. Знак и символ в обучении. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. - 288 с.

113. Самойлов И. Исторический элемент в математике средней школы/ /Математика в школе. 1936. - №5. - С. 14-16

114. Селешников С.И. История календаря и хронология. М.: Наука, 1977. - 224 с.

115. Скаткин М.Н. Наука и учебный предмет//Советская педагогика. 1965. - № 7. - С. 22-25

116. Скаткин М.Н. Совершенствование процесса обучения. Проблемы и суждения. М.: Педагогика, 1971. - 208 с.

117. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М. : Наука, 1978. - 336 с.

118. Сухомлинский В.А. Рождение гражданина. М.: «Молодая гвардия», 1971. - 336 с.

119. Тихомиров В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании//Математика в школе. -1993. -№4. С. 3-9

120. Умаров А.П. Педагогические основы использования принципа историзма на уроках математики в средней школе: Автореф. дис. канд. пед. наук (13.00.02.). Ташкент, 1989. - 27 с.

121. Фельдштейн Д.И. Формирование личности ребенка в подростковом возрасте. Душанбе, «Дониш», 1973. - 138 с.

122. Фолта Я., Новы Л. История естествознания в датах: Хронол. обзор: Пер. со словац./Предислов. и общ. ред. А.Н.Шамина. М.: Прогресс, 1987. - 495 с.

123. Фоминых Ю.Ф. Формирование коммунистического мировоззрения при изучении математики. Пермь, ПГПИ, 1987. - 62 с.

124. Фридман JI.M. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М.: Просвещение, 1983. - 158 с.

125. Фридман Л.М., Кулагина И.Ю. Психологический справочник учителя. М.: Просвещение, 1991. - 227 с.

126. Хрестоматия по истории математики/Под ред. А.П.Юшкевича. -М.: Просвещение, 1976 1977. - в 2-х т.

127. Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средние века. М.-Л.: ГОНТИ, 1938 - 204 с.

128. Чебышев П.Л. Черчение географических карт. Полн. собр. соч. М. - Л.: Изд-во АН СССР. 1951. - Т. 5. - С. 150 - 157

129. Черкасов Р.С. История отечественного школьного математического образования//Математика в школе. 1997. - №4. - С. 89-92

130. Чистяков В.Д. Рассказы о математиках. Минск, Изд-во М-ва высш., сред. спец. и проф. образования БССР, 1963. - 346 с.

131. Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. Минск, Нар. асвета, 1969. - 110 с.

132. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика/Учебник собеседник для 5 класса средней школы. - М.: Просвещение, 1992. - 319 с.

133. Шеврин Л.Н. Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика/Учебник собеседник для 6 класса средней школы. - М.: Просвещение, 1992. - 224 с.

134. Шереметевский В.П. Очерки по истории математики. М.: Учпедгиз, 1940. - 180 с.

135. Шерматова У. Из опыта включения в школьный курс элементов истории математики в средней Азии//Математика в школе. 1978. -№6. - С. 39-41

136. Щербаков Р.Н. Социокультурные функции истории науки в процессе обучения//Вопросы психологии. 1992. - №1 - 2.- С.67 -73

137. Щукина Г.И. Проблема познавательного интереса в педагогике. М.: Педагогика, 1971. - 348 с.

138. Щукина Г.И. Формирование познавательных интересов учащихся важный фактор совершенствования современного обучения//Актуальные вопросы формирования интереса в обучении. -М.: Просвещение, 1984. -С. 42 - 85

139. Элементы истории на занятиях по математике в семилетней школе. Методическое письмо. Воронеж, 1952. - 9 с.

140. Эльконин Д.В., Давыдов В.В. Некоторые психологические вопросы построения учебных программ. Тез. докл. Второй съезд общества психологов. -М.: Изд. АПН РСФСР, 1963. 252 с.

141. Эльконин Д.Б. К проблеме периодизации психического развития в детском возрасте//Вопросы психологии. 1971.- №4. - С.6-20

142. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П.Савин. М.: Педагогика, 1985. - 352 с.

143. Эрдниев П.М. Математика 5-6/Учебное пособие. М.: Просвещение, 1993. - 383 с.

144. Юдин Э.П. Развитие//БСЭ. 3-е изд. - М.: 1978. - Т. 21. -С. 409 -410

145. Юшкевич А.П. История математики в средние века. М.: Физ-матгиз, 1961. - 448 с.

146. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/Сост. А.П.Савин, В,В,Сташо, А.Ю.Котова; Под, Общ, Ред. 0,Г,}5инн, М,: ACT, 1996. - 480 с.

147. Ярошевский М.Г., Зорина Л.Я. История науки и школьное обучение. М.: Знание, 1978. - 48 с.хронологический обзор разбития теории чисел

148. CL L К временам древнего каменного века восходят первые ступени образования понятия числа.

149. XXX Развитие пальцевого и узлового счета. Создание пятеричной, десятичной и двадцатеричной системы счисления.

150. II Никомах из Герасы (1-2 вв.) - автор труда «Введение в арифметику», пользовавшегося широкой известностью в Древней Греции. Этот труд содержит обзор начал теории чисел (учение о простых, составных, взаимно простых и других числах, о пропорциях) .

151. V 1) Начало расцвета математики в Индии. Возникновение позиционной системы счисления. 2) Ариабхата (476-ок.500) решение неопределенных уравнений 1-й степени.

152. Начало расцвета математики в странах Ближнего и Среднего Востока. Арифметика ал Хорезми (787-ок. 850) -распространение индийской десятичной позиционной нумерации.

153. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ, РЕЖШЕВДУЕМЫЕ ДЛЯ ВКЛЮЧЕНИЯв разделы школьного курса математики 5-6 классов

154. Натуральные числа и число нуль

155. О происхождении арифметики. Счет и десятичная система счисления. О происхождении и развитии письменной нумерации. Цифры разных народов. История нуля. «Арифметика» Л.Ф.Магницкого. Современная запись больших чисел.

156. Литература : 36., [47], [70], [134], [147].

157. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел и числа нуль

158. Литература : 36., [77], [111], [127], [143].

159. Делимость натуральных чисел

160. Вклад великих математиков древности, средневековья, российских математиков в теорию простых чисел. О происхождении признаков делимости. Таблицы простых чисел. Алгоритм Евклида. Нерешенные' задачи теории чисел.

161. Литература : 36., [71], [87], [92], [143]. '

162. Дроби. Преобразование дробей.

163. Сложение, вычитание, умножение и деление дробей

164. О происхождении дробей. Дроби в древнем Египте, в древнем Риме, в древней Греции. Дроби на Руси. История записи дробей.

165. Литература : 36., [48], [56], [77], [147].1. VI класс

166. Десятичные дроби. Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей

167. История метрических мер. Происхождение десятичных дробей. Обозначение десятичных дробей. Распространение десятичных дробей.

168. Литература : 36., [56], [70], [77], [131], [147].1. Цроценты. Пропорции.

169. Пропорции в древней Греции. Как записывались пропорции в прошлом. Задачи на пропорциональное деление из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого. История возникновения процентов.

170. Литература : 36., [118], [127], [131], [134].

171. Положительные и отрицательные числа

172. Возникновение отрицательных чисел. Отрицательные числа в трудах математиков разных времен.

173. Литература : 36., [56], [77], [127], [131].

174. ИСТОРИКО-НАУЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ РАССКАЗА УЧИТЕЛЯ НА УРОКАХ

175. ИЛИ НА ВНЕКЛАССНЫХ ЗАНЯТИЯХ

176. История устной и письменной нумерации

177. Но и в это время они были разобщены, жили небольшими группами, которые легко распадались и меняли свой состав. Можно предположить, что в этот период они ужу умели считать до двух.

178. Узловые числа древней египетской нумерации11. Л 10р 1001000г 1000010000010000001. Примеры111998 I (0(0@@@ЛЛЛЛ200201. Г п п

179. В развалинах древних городов археологи нашли множество глиняных табличек, исписанных очень мелкими клинообразными знаками.

180. VW. V V V VVVV v v V7 vvvv VVVV® VVVV v^vw9 <3 10

181. V 11 <lvv12 <1 VVV- ^vv <CJVV14 VVV <3 Wis3<320 V 31 <.<]v51 V 60 V<] 701. Прочитаем число:j7vw199833 • 60

182. Узловые числа римской нумерации11 V - 5 X - 1с 100 L - 50 D - 500м 1000

183. Происхождение римских цифр окончательно не установлено, (до историки полагают, что знак для единицы это иероглиф, изображающий один палец; знак V - это раскрытая ладонь; знак X - две раскрытые ладони.

184. Имеются специальные знаки и для некоторых других узловых чисел 50, 100, 500, 1000. Остальные числа записываются при помощи этих знаков с применением сложения и вычитания. Для этого важно знать следующие два правила:

185. Если меньшая цифра стоит правее большей, то ее значение прибавляется к значению большей, при этом, меньшую цифру можно писать трижды.

186. Если меньшая цифра стоит левее большей, то она вычитается из нее, повторение меньшей цифры в этом случае не допускается.

187. Чтобы отличить (не путать) число от буквы, над буквой ставится специальный знак / «титло». Число записывали так же, каки называли (не составляли исключения и числа второго десятка) .

188. Как записать числа, больше 1000? Числа: 1000, 2000,.9000 славяне записывали теми же буквами, что и 1, 2, .9, только снизуставили знак Ж^Г —' ^,

189. Например: /JyZ 1000/ ~ 2000'J3^ ' > V- 2222.

190. Для обозначения чисел, больших 9000, славяне обводили букву кружком. ^

191. Например: (/>J ~ 10000 (тьма), ~ 100000 (легион)

192. Славянская нумерация употреблялась в России до XVIII века, после этого только в церковных книгах.

193. Сейчас индусская позиционная система вытеснила все другие записи чисел и стала международным языком математиков.

194. Цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9 называются арабскими, хотя арабы лишь передали в Европу способ записи чисел, разработанный индусами.

195. Слово «три», в контекстах: «три человека», «три озера», передавалось различно, так как в сознании первобытного человека еще не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода.

196. XX" XIX вв. до н.э. Счет предметов с помощью эталонов вызывает возникновение числовых обозначений. Наметился переход к записи чисел условными знаками. Начала зарождаться письменная нумерация (о которой речь шла выше) .

197. Для некоторых дробей использовались особые обозначения:1/2 = , 2/3 С^Р ' 1/3 3/4 = ' 1/4 ^ Х

198. Остальные дробные числа записывались как сумма простейших дробей. При такой системе записи чисел, производить арифметические действия было очень сложно.

199. Происхождение и развитие десятичных дробей

200. I в. Китайские математики, с введением десятичной системы мер, начинают использовать десятичные дроби, но при записи они не пользуются десятичной нумерацией.

201. Многие математики разных стран часто,, независимо .друг от друга, приходили к мысли об удобстве введения дробей со знаменателем, представляющим степень 10.

202. XII XVI вв. В Европе отрицательными числами начали пользоваться с XII - XIII вв., до XVI в., как и в древности, они понимались как долги. Большинство ученых считали их «ложными», в отличие от положительных чисел - «истинных».

203. XVII в. Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика Рене Декарта (1596-1650) . Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел ввел координатную прямую (1637 г.).

204. С.Стевин не был знаком с труда

205. История появления отрицательных чисел

206. Числа и цроблемы, связанные с понятием делимости и теорией делимости чисел Совершенные числа

207. Евклид. (365-300) нашел правило, облегчавшее поиск совершенных чисел. В «Началах» оно формулируется так: (2 1) -2 является совершенным числом, если число 2 - 1 простое. Легко заметить, что все эти числа - четные.

208. Французский философ и математик' Рене Декарт /1596-1650) высказал мысль, что верно и обратное утверждение утверждению Евкшит-* if ifда: всякое четное совершенное число имеет вид 2 -(2 - 1), где 2 -1 простое число. Оно облегчило поиск совершенных чисел.

209. Один из крупнейших математиков, швейцарец по происхождению, но большую часть своей жизни проживший в России, Леонард Эйлер (1707-1783) доказал это утверждение, используя функцию or (л), являющуюся суммой всех делителей натурального числа п.

210. Первые 12 пар дружественных чисел:220 и 284; 12285 и 145951114 и 1210; 17296 и 184162620 и 2924; 63020 и 760845020 и 5564; 66928 и 669926232 и 6368; 67095 и 7114210744 и 10856; 69615 и 87633

211. Н.П.Романов, воспитанник Московского университета, в 1935 г. показал, что число необходимых слагаемых не превосходит 2208,

212. Э.Ландау, улучшив оценку Шнирельмана, уменьшит верхнюю границу для числа необходимых слагаемых до 71.

213. Итальянский математик Ричи в 1937 г. уменьшил это число еще на 4, доведя его до 67.

214. Надо заметить, " что число No было оценено в 1939 г. К.Г.Бороздкиньм, который показал, что оно не больше чем е

215. В Приложении использовалась литература: 16., [18], [26], [36], [48], [56], [70], [77], [92], [131], [141], [147].