автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методическая система непрерывного обучения дискретной математике в школе и вузе

Автореферат диссертации по теме "Методическая система непрерывного обучения дискретной математике в школе и вузе"

На правах рукописи

ПЕРМИНОВ Евгений Александрович

МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА НЕПРЕРЫВНОГО ОБУЧЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ

13 00.02 Теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук

'охааз

Саранск-2007 --------

003061883

Работа выполнена на кафедре высшей математики ГОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет»

Официальные оппоненты доктор педагогических наук, профессор

Родионов Михаил Алексеевич, ГОУ ВПО «Пензенский государственный педагогический университет имени В Г Белинского»

доктор физико-математических наук, профессор Вечтомов Евгений Михайлович, ГОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет»

доктор педагогических наук, профессор Назиев Асланбек Хамидович, ГОУ ВПО «Рязанский государственный педагогический университет»

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Московский городской педагогический

университет»

Защита диссертации состоится ¿Л сентября 2007 г вО часов на заседании диссертационного совета ДМ 212 118 01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при ГОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М Е.Евсевьева» по адресу 430007, г Саранск, ул Студенческая, 11 а, ауд 321

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е Евсевьева»

Автореферат разослан августа 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета —Я.С. Капкаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования Двадцать первый век ознаменовался глобальным переходом к информационному обществу, внедрением информационных технологий во все сферы деятельности В связи с этим появились новые профессии, изменились требования к качеству подготовки специалистов, что в свою очередь привело к необходимости модернизации образования Главной задачей модернизации образования является повышение его качества, а этого нельзя достигнуть без оптимизации содержания обучения

В подготовке современного специалиста все более возрастает роль математики В самой математике за минувший век произошли грандиозные изменения, она превратилась в мощный инструментарий анализа, исследования и прогнозирования Поэтому сегодня очень важно оптимизировать содержание обучения математике в зависимости от получаемой специальности

Один из основоположников информатики В М, Глушков прозорливо предсказал, что математика в начале XXI в. «будет в большей мере математика дискретных, а не непрерывных величин»1. Именно из этого в первую очередь и следует исходить при оптимизации содержания обучения математике Другой выдающийся специалист в области информатики А П Ершов подчеркивал базовую роль математики дискретных величин, т е в современной терминологии -дискретной математики (ДМ), в доведении системы законов «обработки информации до той же степени стройности и заразительности, какой сейчас обладает курс математического анализа, читаемый в лучших университетах»2

Так как процесс вычисления на компьютерах дискретный, основной особенностью ДМ является отсутствие предельного перехода и непрерывности, характерных для классической математики Понятие «конечности» (числа значащих цифр в записи числа, числа операций и т.д.) также является определяющим в работе компьютера Поэтому в процессе формирования ДМ появились идейно и содержательно отражающие это обстоятельство разделы математики конечная математика, компьютерная математика, конкретная математика, дискретный анализ (по аналогии с функциональным анализом) Фактически основные понятия и факты этих разделов, играющие фундаментальную роль в моделировании с использованием компьютера, разработке систем компьютерной математики, новых компьютерных технологий, стали постепенно определять основное содержание ДМ Сейчас становится вполне очевидным, что современная дискретная математика является математической основой информатизации всех областей деятельности В М Глушков указывал, что «расширение области математизации знания потребует и будет опираться на развитие новых разделов математики, прежде всего - новых разделов дискретной математики» 3

1 Глушков В М Кибернетика Вопр теории и практики М Наука, 1986 с 122

2 Ершов А П Избранные труды Новосибирск Сиб издат фирма, 1994 с 294

' Глушков В М Указ соч С 122

Несмотря на обилие исследований и публикаций по ДМ, в настоящее время нет общепринятой системы представлений о ДМ как о разделе математики Выработка таких представлений облегчается тем обстоятельством, что, как следует из анализа предмета и функций ДМ, определенный круг «дискретных» представлений уже исторически и естественным образом сложился на практике Подтверждением этому является то, что любой специалист, достойно для своей профессии знающий современную математику, наряду с такими понятиями, как предел, производная, интеграл, дифференциальное уравнение, функциональный ряд, вероятность случайного события, закон распределения и др, должен владеть ключевыми понятиями ДМ комбинаторная конфигурация, бинарное отношение, алгебраическая операция, высказывание, предикат, квантор, формализованный язык, граф, алгоритм, исполнитель алгоритма и др

Глубокое знание специалистом дискретной математики наилучшим образом проявляется в умении строить полную цепочку использования компьютера реальная ситуация, математическая модель, алгоритм, программа, симуляция решения (проверка на простом примере правильности построения полной цепочки использования компьютера в процессе решения задачи), анализ результатов Поэтому Л Д Кудрявцев аналогичным образом характеризует основные цели, стоящие перед современным математическим образованием обучение умению ставить математические задачи (иными словами, обучать переводу реальной ситуации, задачи на математический язык), строить математические модели, выбирать подходящий математический метод и алгоритм для решения задачи, на основе проведенного математического анализа вырабатывать практические выводы

Обучение построению полной цепочки использования компьютера наиболее глубоко отражает суть комплексного обучения моделированию на основе ДМ, обеспечивающей естественные связи математики, информатики и других предметов Важность обучения школьников моделированию с использованием компьютера обоснована в работах Н Н Красовского, А Г Мордковича, А А Кузнецова, С А Бешенкова и др Необходимость комплексного обучения моделированию в системе «школа-вуз» диктуется реалиями развития профессионального образования А М Новиков наряду с гуманизацией и демократизацией профессионального образования выдвигает идеи опережающего профессионального образования и непрерывного образования - «образования через всю жизнь»4 С позиций непрерывного опережающего профессионального образования необходимо уже в школе изучать математические основы информатизации, т е дискретную математику

В действующих «функционально ориентированных» программах для общеобразовательной школы и в учебниках по алгебре и началам анализа не предусмотрено изучение начальных элементов ДМ Отсутствие элементов дискретной математики в программе обучения математике в школе влечет за собой нарушение преемственности в обучении математике Это, в свою очередь, пре-

4 Новиков А М Профессиональное образование России Перспективы развития М ИЦП НПО РАО, 1997

пятствует подготовке пособий по ДМ для всего спектра специальностей Учебные программы по дискретной математике очень разнообразны по содержанию, что далеко не всегда оправданно. На некоторых специальностях преподаются лишь отдельные разделы ДМ, например, элементы теории алгоритмов или теории графов, что не может дать учащимся целостное представление о предмете дискретной математики Однако следует отметить, что проблема системного обучения ДМ в значительной мере решена для математиков и инженеров, специализирующихся в области прикладной математики, благодаря ряду пособий, изданных для этих специальностей

В 2000 - 2005 гг предмет «Дискретная математика» был включен в государственные стандарты высшего профессионального образования по многим специальностям

Анализ предмета, функций и состояния обучения ДМ в вузах позволяет сделать вывод о том, что проблема разработки программ и пособий по дискретной математике для студентов той или иной специальности, отвечающих всем необходимым требованиям, неразрешима на базе действующих «функционально-ориентированных» программ и учебников для общеобразовательных средних школ Так, на базе этих программ и учебников нельзя реализовать преемственность в изложении, необходимую динамику изменения «тактических» целей и динамику изменения содержания, форм, методов и средств обучения ДМ Именно по этой причине стала насущной проблема тщательного отбора начальных элементов дискретной математики, которые необходимо изучать в школе

В связи с этим актуальность диссертационного исследования определяется следующими мотивами

1) рассогласованием содержания обучения дискретной математике в школах, колледжах (техникумах) и вузах, что свидетельствует об отсутствии принципов отбора содержания ДМ

2) чрезмерным увлечением информационной стороной обучения математике и информатике в школе и вузе, что наносит ущерб подлинной интеграции обучения этим предметам и не соответствует требованию опережающего практику профессионального образования,

3) отсутствием преемственности обучения ДМ В обучении матемагике в школах и колледжах и на многих вузовских специальностях, не связанных с приложениями математики, преобладает в основном «функциональный» подход

Модернизация школьного курса математики возможна только на основе тезисов о единстве и внутренней логике математики5 и поэтому ее невозможно осуществить без обучения методам как классической («непрерывной») математики, так и современной ДМ

Таким образом, в связи с назревшей проблемой введения непрерывного профильного обучения ДМ имеются противоречия между объективной ролью дискретной математики как математической основы информатизации (в част-

5 Кудрявцев ЛД Современная математика и ее преподавание М Наука, 1980

5

ности, моделирования с использованием компьютера) и отсутствием методической системы непрерывного профильного обучения ДМ в системе «школа -вуз», между психолого-педагогическим значением дискретной математики как дисциплины, необходимой для формирования стиля мышления, присущего специалисту, умеющему строить полную цепочку использования компьютера, и игнорированием этого в системном интегрированном обучении математике и информатике

Компонентами этих основных противоречий являются следующие

В «функциональной-ориентированной программе обучения математике в общеобразовательной школе отсутствуют элементы ДМ Раздельное изучение элементов комбинаторики, логики, теории графов или теории алгоритмов, предлагаемое в методической литературе для школы, уже не отвечает требованиям системного интеграционного подхода в обучении математике и информатике, необходимого для профильного обучения моделированию

Разрозненное преподавание элементов теории графов, алгоритмов, комбинаторного анализа или других разделов ДМ в вузах и отсутствие соответствующего профильного обучения дискретной математике в школе влечет фрагментарность, несистемность обучения моделированию по той или иной специальности из госстандартов высшего (среднего) профессионального образования

Выявленные противоречия позволяют сформулировать проблему исследования: какой должна быть концепция непрерывного профильного обучения ДМ в системе «школа-вуз», благодаря которой в учебном процессе достигался бы адекватный избранной профессии уровень обучения моделированию с использованием компьютера (на основе языка математики и неформального языка той специальной науки, которой обучается будущий специалист)?

Объектом исследования является процесс обучения математике в системе «школа-вуз»

Предмет исследования - методическая система непрерывного профильного обучения дискретной математике в школе и вузе

Цель исследования - выявление закономерностей обучения дискретной математике в системе «школа - вуз» посредством методологического анализа предметного содержания дискретной математики, оценка и анализ факторов, их обуславливающих, разработка теоретически обоснованной и экспериментально проверенной методической системы такого обучения в школе и вузе

Гипотеза исследования Методическая система непрерывного обучения дискретной математике в школе и вузе будет наиболее эффективной, если при ее разработке исходить из роли дискретной математики как „

- математической основы обучения построению полной цепочки использования компьютера,

- содержательной основы интеграции обучения математике и информатике и другим предметам,

- основы развития дискретной компоненты стиля мышления, поволяюще-го наименьшими средствами достигать наилучших результатов во многих областях исследования с использованием компьютера

- системообразующей и методологической учебной дисциплины, необходимой для формирования у учащихся представлений о современной математике как единой науке со своей внутренней логикой, особенно ярко отражающейся в современной модельной методологии

Установленные объект, предмет цель и гипотеза исследования потребовали решения в ходе него следующих задач, разделившихся на три группы

1) Задачи методологического характера

- исследование роли предмета и функций дискретной математики в оптимизации процесса информатизации и содержания математического образования,

- исследование гносеологических, онтологических, теоретико-модельных, методических, социокультурных закономерностей обучения дискретной математике в системе «школа - вуз»,

2) Задачи аналитического характера, связанные с разработкой теоретических основ методической системы обучения дискретной математике в школе и вузе

- исследование роли математических структур в стратегии отбора содержания непрерывного обучения дискретной математике,

- исследование психологических аспектов и дидактических принципов профильного обучения дискретной математике,

- разработка теоретических основ преемственности в обучении дискретной математике между школой и вузом и поэтапного, профильного обучения дискретной математике в школе,

- разработка «жесткой» и «мягкой» моделей обучения дискретной математике,

- исследование состава и структуры методической системы обучения дискретной математике

2) Задачи теоретико-методического характера, связанные с непосредственной разработкой методики обучения ДМ

- анализ особенностей методики обучения и разработка инвариантной части содержания профильного обучения дискретной математике в школе,

-исследование различных направлений и особенностей методики обучения ДМ в системе высшего профессионального образования

4) Задачи, связанные с практической реализацией обучения дискретной математике в школе

- разработка методики изучения основных понятий и фактов дискретной математики в школе,

- экспериментальная проверка теоретических основ обучения ДМ в системе «школа-вуз»

Методологическими и теоретическими предпосылками исследования

являются

- исследования по философии и методологии математического познания и математического образования (Н Я Винер, В М Глушков, Б В Гнеденко, В А Гусев, Г В Дорофеев, А Н Колмогоров, Л Д Кудрявцев, Г Л Луканкин,

К Б Морозов, А.Х Назиев, Я Г Неуймин, В А Тестов, Г И Рузавин, А А Столяр, Г И Саранцев, Е М Вечтомов, А И Уемов),

- методология и методика педагогического исследования (Ю К Ба-банский, В В Краевский, В С Леднев и др ),

- применение теории системного подхода в образовании к обучению математике (Г И Саранцев, В А Гусев, И В Егорченко, В И Крупич, Ю М Колягин, В А Тестов и др), информатике (С. А Бешенков, А П Ершов, А А Кузнецов, Е А Ракитина, В А Успенский и др),

- исследования по методологии методики обучения математике (Г И Саранцев, М Нугмонов, Н В Метельский, А М Пышкало, Н Л Стефанова, А А Столяр и др ),

- исследования по методике обучения математике (Б В Гнеденко, А Н Колмогоров, Ю М Колягин, В И Крупич, Л Д Кудрявцев, Г Л Луканкин, В М Монахов, А Г Мордкович, А Д Мышкис, М Нугмонов, В А Оганесян, М А Родионов, Г И Саранцев, А А Столяр, В В Фирсов, Р А Утеева и др), по психологии обучения моделированию (Н М.Амосов, И А Гибш, Э Ю Верник, Н Г Салмина, Л М Фридман), по методике обучения моделированию (С А Бешенков, И А Кузнецова, Ю А Кусый, Е А Ракитина, В И Стукалов и

др).

- исследования по математическим основам информатики (В М Глушков, А П Ершов, Д Кнут, А Н Колмогоров, А И Мальцев, В А Успенский и др),

- концептуальные положения методики обучения математике (М И Башмаков, Н Я Виленкин, В А Гусев, Г В Дорофеев, Ю М Колягин, Г Л Луканкин, А Г Мордкович, Н.В Метельский, В А Оганесян, Д Пойа, Г И Саранцев, А А Столяр, В А Тестов, В В.Фирсов и др ),

- исследования по общедидактическим принципам обучения (С И Архангельский, Ю К Бабанский, Дж Брунер, В Оконь, М Н Скаткин и др ) и работы о дидактических принципах обучения математике и построения математических курсов (В А Далингер, Г В Дорофеев, Л Д Кудрявцев, Н В Метельский, А Г Мордкович, В А Оганесян, В А Тестов и др ),

- теория деятельностного подхода и развивающего обучения (О Б Епишева, В И Крупич, Г И Саранцев и др),

- концепции психического развития (Дж Брунер, Л С Выготский, А Н Леонтьев, Ж Пиаже), интеллекта (Б Г Ананьев, Л М Веккер, Ж Пиаже, М А Холодная),

- работы по исследованию математических когнитивных (познавательных) структур и схем мышления (Л С. Выготский, Л Б Ительсон, Л А Калужнин, Д Норман, Ж Пиаже, Я А Пономарев, А А Столяр и др)

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования

- теоретический анализ философской, психолого-педагогической, методологической и методической литературы по теме исследования,

- теоретический анализ научных монографий и обзоров по дискретной математике, абстрактной алгебре, математической логике, теории алгоритмов,

теории графов, комбинаторному анализу и смежным математическим дисциплинам,

- изучения научной и методической литературы по системам компьютерной математики и компьютерным технологиям,

- анализа вузовских и школьных программ, учебников и учебных пособий по дискретной математике для студентов вузов (включая более трех десятков отечественных и зарубежных пособий),

- анализ организации процесса преподавания математики в реальной вузовской практике, лонгитюдные наблюдения за педагогической деятельностью учителей и преподавателей вузов и учебно-познавательной деятельностью учащихся,

- изучение и анализ педагогического опыта отечественных и зарубежных преподавателей высшей школы, а также собственного опыта работы автора (и его последователей) в школах, гимназиях, лицеях и вузах гг Екатеринбурга, Кирова, Самары, интервьюирование и тестирование учащихся и студентов,

- широкий педагогический эксперимент по проверке основных теоретических положений исследования и эффективности разработанной методической системы обучения ДМ со статистической обработкой результатов эксперимента

Научная новизна исследования заключается в следующем

1 На основе комплексного исследования философских, теоретико-модельных, предметно-методических, социокультурных аспектов методологии обучения дискретной математике в школе и вузе обоснована необходимость введения элементов дискретной математики на всех этапах школьного и профессионального обучения

2 Создана целостная концепция непрерывного обучения дискретной математике в системе «школа - вуз» (основные положения которой изложены на с 26-27)

3 В процессе обоснования и разработки концепции дан исторический анализ возникновения, формирования и развития дискретной математики как научной дисциплины Установлено следующее

- понятие полной цепочки использования компьютера стало идейной и содержательной основой формирования дискретной математики,

- дискретная математика является основой моделирования с использованием компьютера во многих областях исследований,

- дискретная математика является математической основой информатизации разработки и совершенствовании систем компьютерной математики, компьютерных технологий, внутриматематических исследований на основе компьютера

4 В рамках концепции разработаны теоретические основы методической системы непрерывного обучения дискретной математике в школе и вузе, а именно, исследованы и обоснованы,

- роль математических структур как основы стратегии отбора содержания непрерывного обучения дискретной математике,

- психологические аспекты стратегии обучения дискретной математике (психологические истоки и основы математического моделирования, системно-структурный подход в обучении дискретной математике на основе формирования и развития математических когнитивных структур и схем),

- система дидактических принципов построения профильных курсов обучения дискретной математике (принципы развивающего обучения, научности, генерализации знаний, внутрипредметных связей и других),

- теоретические основы преемственности в обучении дискретной математике между школой и вузом (возрастные особенности формирования и развития математических когнитивных структур, внутрипредметные и межпредметные связи математики, принципы развивающего обучения, реализуемые на основе задач с сюжетным текстом),

- этапы обучения дискретной математике (предобучение с 1-го по 7-й класс, предпрофильное обучение в 8 - 9-х классах, профильное обучение в 10 -11-х классах, профессиональная подготовка в вузе),

- теоретические основы профильного обучения дискретной математике в школе (методика отбора содержания предпрофильного обучения дискретной математике, выбор профилей обучения, концептуальная характеристика профилей обучения дискретной математике),

- «жесткая» и «мягкая» модели обучения дискретной математике,

- роль дискретной математики в обучении моделированию с использованием компьютера (дискретная математика, обеспечивает фундаментальность профильного обучения математическому моделированию, необходима Для создания реестра образцов математического моделирования, дает возможность обучаемому представить классификацию всех основных видов моделирования в избранной профессиональной области, выработать умение анализировать возможности математического языка в решении поставленной задачи и представлять необходимые для этого средства и персонал)

5 Исследованы внешняя среда и состав, структура методической системы непрерывного обучения дискретной математике в школе и вузе в зависимости от лидирующего компонента или фактора, которыми являются цели обучения или содержание обучения, либо структура личности ученика или система дидактических принципов обучения (схемы 3 — 6)

6 Выявлены основные особенности методики обучения дискретной математике в системе «школа — вуз» отбора основного содержания дискретной математики для профильного обучения в 8 - 11 классах, реализации принципа преемственности в обучении между школой и вузом, изучения понятий алгебраической операции, математической модели, отбора задач ро дискретной математике

Теоретическая значимость исследования определяется следующим

- теория обучения математике пополнена целостным представлением о фундаментальной роли изучения дискретной математики в общеобразовательной и профессиональной подготовке современных школьников и специалистов с высшим и средним образованием

- обосновано, что современная дискретная математика является математической основой обучения информатизации, гармоничного сочетания формального языка математики, неформального языка науки, в области которой проводится исследование и уникальных возможностей современного компьютера,

- исследованы функции современной дискретной математики в математическом моделировании, в совершенствовании систем компьютерной математики, в компьютерных технологиях, во внутриматематических исследованиях на основе компьютера,

- исследована роль дискретной математики как основы системного интегрированного обучения математике и информатике,

- обосновано, что целый ряд понятий современной дискретной математики (комбинаторная конфигурация, граф, бинарное отношение, отображение, логическая и алгебраическая операция, изоморфизм, предикат и квантор, алгоритм, формализованный язык) являются общеобразовательными общекультурными понятиями, важными в модернизации школьного курса математики,

- уточнены понятия полной цепочки использования компьютера и модели как необходимые общекультурные педагогические категории

Практическая значимость исследования состоит в том, что предложены конкретные пути непрерывного профильного обучения дискретной математике в системе «школа - вуз»

* разработано учебно-методическое обеспечение для школ программы и учебное пособие по дискретной математике, которые могут быть использованы учителями средней школы на факультативных занятиях, при разработке элективных курсов, на уроках математики (в классах физико-математического, физико-химического, информационно-технологического, индустриально-технологического, социально-экономического профилей) и школьниками при изучении дискретной математики,

* разработано учебно-методическое обеспечение для вузов программа и учебные пособия по дискретной математике, которые могут быть использованы преподавателями, читающими основной курс дискретной математики и спецкурсы, и студентами педвузов,

* разработана методика изучения в школе понятий и фактов дискретной математики, имеющих фундаментальное значение в обучении построению полной цепочки использования компьютера,

* разработана методика изучения в школе видов алгоритмически разрешимых и неразрешимых задач, важных для классификации задач математического моделирования,

* систематизированы имеющиеся и разработаны новые методы формирования практических умений и навыков моделирования с использованием компьютера в системе «школа - вуз»

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечивается

обоснованностью и четкостью выбранных методологических, математических, историко-математических и историко-кибернетических, психолого-

педагогических и методических позиций, положенных в основания исследования, корректным применением к исследуемой проблеме системного деятельно-стного, культурологического (социокультурного) и исторического подходов, а также комплекса методов, адекватных объекту, предмету, цели и задачам исследования, достаточной продолжительностью опытно-экспериментальной работы в процессе личного преподавания и преподавания по разработанным основам методики коллегами из многих школ, гимназий, лицеев и вузов Екатеринбурга, Кирова, Самары и многих других городов страны, имевшими возможность использовать в своей работе разработанное автором пособие для общеобразовательной школы и совместно с Г А Клековкиным учебное пособие для педуниверситетов, логической непротиворечивостью проведенных рассуждений, согласованностью полученных выводов с положениями базисных наук и принципиальной согласованностью с собственным опытом и опытом коллег

Основные этапы исследования. I Констатирующий этап (1988-1993 гг) На первом констатирующем этапе проводился анализ состояния обучения дискретной математике в высшем профессиональном образовании А именно, вначале исследовалась проблема преемственности обучения ДМ между школой и вузом, возникшая в связи с введением обучения дискретной математике в конце 70-х годов прошлого века на специальностях, связанных с математикой и ее приложениями, а в конце 80-х годов - на инженерно-технических и сельскохозяйственных специальностях вузов Проблема преемственности возникла в связи с тем, что подавляющее большинство выпускников общеобразовательных учреждений испытывали большие трудности в изучении ДМ в вузе (и особенно - в изучении математических структур, доминирующих в дискретной математике)

Для решения проблемы преемственности проводился анализ содержания первых учебных изданий по дискретной математике и учебников по математике для 10-11 классов Была выявлена необходимость введения обучения дискретной математике школьников, профессионально ориентированных на математику и ее приложения в программировании и инженерных науках, связанных с разработкой и эксплуатацией электроннно-вычислительной техники

Наряду с другими проблемами обучения высшей математике был предпринят также анализ проблем обучения первокурсников теоретико-модельному языку ДМ (и таким его понятиям, как отношение и алгебраическая операция)

II Поисковый этап (1994-1998 гг) Началась целенаправленная работа по анализу проблем обучения дискретной математике в школе В 1994-1995 гг выявлена необходимость разработки программы обучения ДМ на факультативных занятиях в школе В процессе разработки программы сначала проводился анализ первых учебных изданий по дискретной математике, а затем - литературы по приложениям математики в системном программировании и литературы по разработке ЭВМ (позднее получивших название литературы по системам компьютерной математики и компьютерным технологиям соответственно) В результате возникла необходимость анализа философской и математической литературы по модельной методологии Анализ различных аспектов модельной методологии в эпоху информатизации позволил охарактеризовать предмет и

функции ДМ Выявлена и исследована фундаментальная роль дискретной математики в методологии математического моделирования на основе компьютера и интеграции обучения математике и информатике в школе и вузе. Более того, обосновано, что с философско-математической точки зрения ДМ является основой гармоничного использования формального языка математики, неформального языка той науки, в области которой проводится исследование, и уникальных возможностей современного компьютера

На основе всего перечисленного выявлена необходимость введения непрерывного обучения дискретной математике в системе «школа-вуз» В частности, выявлена роль логико-алгебраических и комбинаторных понятий дискретной математики в обучении школьников решению сложных нестандартных задач вступительных экзаменов, необходимых для проверки их готовности к обучению в вузах на специальностях, связанных с математикой и ее приложениями

Ш Мотивационно-целевой этап (1999-2001 гг) Характеризуется как этап разработки концепции обучения дискретной математике в системе «школа-вуз» Проанализированы межпредметные связи школьной математики и информатики, роль ДМ как содержательной основы прикладной направленности обучения математике в школе и вузе В результате анализа элементов дискретной математики в литературе для школьников выявлены особенности методики обучения ДМ в школе Анализ содержания обучения дискретной математике в пособиях для вузов выявил различные направления обучения и особенности методики обучения ДМ в системе высшего профессионального образования Проанализирована проблема подготовки адаптированных пособий по дискретной математике

Исследованы методологические и теоретические основы непрерывного обучения дискретной математике в системе «школа - вуз» В частности, исследована роль математических структур как основы стратегии отбора содержания непрерывного обучения ДМ, психологические аспекты теории обучения дискретной математике, дидактические принципы разработки содержания и определения целей профильных курсов обучения ДМ, теоретические основы преемственности в обучении дискретной математике между школой и вузом и поэтапного профильного обучения ДМ.

На основе всего перечисленного выявлена роль дискретной математики в обучении математическому моделированию Также обосновано, что с психолого-педагогической точки зрения дискретная математика - дисциплина, являющаяся основой развития дискретной компоненты стиля мышления, позволяющего наименьшими средствами достигать наилучших результатов в любой области исследования, как правило, с использованием компьютера

IV Экспериментально-обучающий этап (2002-2006 гг) На этом этапе проводилось (и продолжается в настоящее время) экспериментальное преподавание по учебному пособию автора по дискретной математике для общеобразовательных учебных заведений с анализом результатов эксперимента Охарактеризованы различия жесткой» и «мягкой» модели обучения ДМ

В результате преподавания по пособию разработаны основы методики обучения дискретной математике в школе и варианты отбора содержания пред-профильного и профильного обучения ДМ по математическому, базовому и общему профилю

Выявлены особенности методики изучения первых понятий и фактов комбинаторики, понятий графа, бинарного отношения, алгебраической операции и алгебры, математической модели, математического языка, алгоритма и алгоритмической разрешимости

Основные положения, выносимые на защиту.

1 Дискретная математика - это учебная дисциплина, являющаяся основой развития дискретной компоненты стиля мышления, позволяющего наименьшими средствами достигать наилучших результатов во многих областях исследования с использованием компьютера

2 Профильный курс дискретной математики для студентов должен быть нацелен на адекватное специальности обучение всей системе методов математического моделирования с использованием компьютера, основанных, как на классической («непрерывной»), так и дискретной математике

3 Основными лидирующим компонентами или факторами методической системы обучения дискретной математике (определяющими состав и взаимосвязи ее традиционных компонентов) наряду с целями или содержанием обучения в зависимости от профиля обучения могут стать структура личности ученика или система дидактических принципов обучения

4 Методика непрерывного профильного обучения дискретной математике является основой методики обучения построению полной цепочки использования компьютера реальная ситуация, математическая модель, алгоритм, программа, симуляция решения, анализ результатов

5 Доминирующие в дискретной математике алгебраические, порядковые структуры и логические, алгоритмические, комбинаторные схемы (как средства, методы математического познания) являются основой стратегии отбора содержания обучения учебному предмету «Дискретная математика»

6 Для реализации непрерывного обучения дискретной математике необходимо введение математического, базового и общего профилей обучения дискретной математике в школе

Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты диссертационного исследования апробировались в ряде общеобразовательных учреждений и вузов Основные положения и результаты исследования представлены

- на международных конференциях «Педагогический процесс как культурная деятельность», IV Международная научно-практическая конференция (Самара, 2002), «Проблемы математического образования и культуры», Международная научная конференции (Тольятти, 2003), «57-е Герценовские чтения», Международная научная конференция (С -Петербург, 2004), «Математика Образование Культура», И Международная научная конференция (Тольятти, 2005); «Математическое образование прошлое, настоящее, буду-

щее», I Международная научно-практическая конференция (Москва - Самара, 2006)

- на Всероссийских конференциях «Актуальные проблемы обучения математике», Всероссийская научно-практическая конференция (Орел, 2002), «Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики», Всероссийская научно-практическая конференция (Нижний Новгород, 2002), «Проблемы современного математического образования в вузах и школах России», III Всероссийская научная конференция (Киров, 2004), «Задачи в обучении математике», Всероссийская научно-практическая конференция (Вологда, 2007)

- на Всероссийских семинарах «Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики», XXI Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Санкт-Петербург, 2002), «Математическая и методическая подготовка студентов педвузов и университетов в условиях модернизации образования», XXII Всероссийский семинар преподавателей математики педвузов и университетов (Тверь, 2003), «Актуальные проблемы преподавания математики в педагогических вузах и средней школе», XXIII Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Челябинск, 2004), «Проблемы и перспективы информатизации математического образования», Всероссийская научно-методическая школа-семинар (Елабуга, 2004), «Современные проблемы школьного и вузовского математического образования», ХХ1У Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Саратов, 2005), «Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах», ХХУ Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Киров, 2006)

- на российских конференциях «Математика и информатика в модернизации современного гуманитарного образования», Российская научно-практическая конференция (Екатеринбург, 2003). «Математика в современном мире», 2-й Российская научно-практическая конференция (Калуга, 2004)

- на межрегиональных конференциях «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России», II Межрегиональная научная конференция (Киров, 2001), «Колмогоровские чтения - IV» (Ярославль, 2006)

- на областных конференциях «Модернизация содержания математического образования и новые средства обучения математике, областная научно-практическая конференция (Самара, 2003)

Струю ура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается общая характеристика работы

Первая глава «Методологические основы обучения дискретной математике» посвящена исследованию гносеологических истоков методологии обучения ДМ, предмета современной дискретной математики, функций дискретной математики в прикладной математике и информатике, теоретико-модельных основ обучения дискретной математике, методических и социокультурных аспектов обучения ДМ В результате выявлены основные цели обучения дискретной математике

Вначале в результате анализа роли дискретной математики в информатизации и обновлении содержания математического образования обоснована актуальность введения непрерывного обучения ДМ в системе «школа - вуз»

По причине дискретности вычислений на компьютере ДМ стала общепризнанным названием математических основ информатизации (кибернетизации) Поэтому у учащихся следует формировать дискретную компоненту стиля мышления, необходимую не только для владения основами информатизации и, в частности, системами компьютерной математики, компьютерными технологиями, но, что не менее важно, для моделирования в избранной профессиональной области Таким образом, наряду с «функциональной» линией в обновлении содержания математического образования в школе важное значение имеет «дискретная» линия, необходимая для реализации в обучении основополагающего тезиса о единстве и внутренней логике математики

Наиболее целостное представление об идеях и методах современной математики учащиеся получают в процессе обучения математическому моделированию с использованием компьютера Такое обучение основано на построении полной цепочки использования компьютера реальная ситуация, математическая модель, алгоритм, программа, симуляция решения, анализ результатов

Обучение построению полной цепочки использования компьютера необходимо, во-первых, для выработки представлений об идеях и методах классической («непрерывной») и дискретной математики, что способствует созданию у обучаемых цельной картины современной математики как единой науки, обладающей внутренней логикой и совершенством Во-вторых, благодаря такому обучению наиболее оптимально будет внедрена «дискретная» линия в содержание математического образования В-третьих, такое обучение позволяет реализовать системный подход при обучении математике и информатике, в том числе при изучении математических основ программирования

Поскольку образование должно быть непрерывным («образование через всю жизнь»), необходимо вводить непрерывное обучение ДМ в системе «школа

- вуз» Оно должно основываться на системном анализе методологии обучения дискретной математике, целью которого является разработка, теоретических основ методической системы обучения ДМ Как отмечает Г И Саранцев, методическая система, адекватная исследуемому феномену («Дискретная математика»

- ЕП), содержит структуру, содержание этого феномена, цели, средства, методы и формы его функционирования Поэтому методологическое исследование обучения дискретной математике в системе «школа - вуз» должно начинаться с анализа феномена «Дискретная математика», возникшего в последние деся-

тилетия в образовании и обучении. Гносеологический анализ феномена «Дискретная математика» выявил следующее.

В прошлом веке в результате постепенной замены «натурного» эксперимента на вычислительный постепенно в обиход вошло понятие полной цепочки использования компьютера (этапов решения задач на ЭВМ), что явилось гносеологической причиной появления и формирования ДМ. В настоящее время идет процесс математизации наук, выражающийся в применении математических методов для поиска новых закономерностей в науках, построении более глубоких теорий и создании специальных формализованных языков наук При этом математическое моделирование определяет суть и направления современной математизации наук, а ДМ является математической основой обучения построению полной цепочки использования компьютера и поэтому важнейшим звеном математического образования

В процессе формирования ДМ как раздела математики появились существенно отличающиеся трактовки и даже разные названия предмета ДМ конечная математика, дискретный анализ (по аналогии с функциональным анализом), конкретная математика, компьютерная математика

На основании проанализированной литературы предмет ДМ охарактеризован следующим образом Поскольку процесс вычисления на компьютере дискретный, основной особенностью дискретной математики является отсутствие предельного перехода и непрерывности, характерных для классической математики Поэтому с помощью термина «дискретность» как антипода термина «непрерывность» выделяется предмет ДМ как объективно существующая область математики, являющаяся математической основой моделирования с использованием компьютера в самых различных областях науки При этом совокупность идей, методов ДМ исключает использование тем или иным образом бесконечности в достижении результата научных исследований на основе компьютера (в том числе использование бесконечности в операциях и операции той или иной формы предельного перехода) Вследствие этого ДМ является синонимом математики, служащей математической основой информатизации самых разнообразных областей деятельности и необходимой для создания программного обеспечения, разработки вычислительной техники, в том числе и появившихся совсем недавно биовычислительных устройств (ДНК-компьютеров) с уникальными вычислительными возможностями

В результате анализа функций современной ДМ в математическом моделировании, в дальнейшем совершенствовании систем компьютерной математики, в развитии компьютерных технологий, в стохастическом моделировании и во внутриматематических исследованиях детально охарактеризована ДМ как математическая основа информатизации, что в свою очередь выявляет необходимость анализа роли феномена «Дискретная математика» в современной модельной методологии

Постановка возникающих задач, их перевод на адекватный научный язык, рациональная разработка моделей исследуемых объектов или явлений (в частности, корректная формализация описания их свойств и характеристик), разработка эффективных алгоритмов и компьютерных программ для решения задач

на основе созданных моделей - все это является предметом модельной методологии Модельная методология служит основой решения проблем на новом, качественно более высоком уровне по сравнению с докомпьютерной эпохой

Для того, чтобы осуществить моделирование с использованием компьютера, необходимо владеть методами как классической («непрерывной) математики, так и дискретной математики ДМ позволяет гармонично сочетать формальный язык математики, неформальный язык той науки, в области которой проводится исследование, и уникальные возможности современного компьютера Адекватное знание систем компьютерной математики, компьютерных технологий и, в частности, баз данных является основой работы с компьютером Без изучения дискретной математики невозможно научиться точно воспринимать и перерабатывать весь объем имеющейся информации по исследуемой проблеме Таким образом, благодаря ДМ специалист в любой области знания может объединить свои возможности в исследовании с возможностями математика и программиста Знание ДМ необходимо в математической культуре специалиста так же, как и знание произведений классиков литературы для общей культуры человека

В анализе феномена «Дискретная математика» важно знать причины невозможности полной формализации достаточно содержательных теорий и «структурализм», являющийся синонимом абсолютизации математического стиля мышления, основанного на структурах и схемах современной математики Установлено, что расширение границ возможностей ДМ происходит в процессе развития теории информационных систем (баз данных) и «нечеткой» математики, в рамках которой возможно решение практических задач, недоступных формализму «обычной» математики

В обучении гармоничному сочетанию в исследовании формального языка математики, неформального языка той науки, в области которой проводится исследование, и уникальных возможностей современного компьютера определяющую роль играет методика обучения ДМ В исследовании методических аспектов феномена «Дискретная математика» установлено, что ДМ является основой межпредметных связей математики и информатики Обучение дискретной математике необходимо для постепенного перехода от «информационного» моделирования, основанного на иерархической системе развивающихся исполнителей и обеспечивающего усвоение учащимися базовых понятий информатики, к математическому моделированию на основе естественных связей математики и информатики и других предметов Обучение ДМ сделает возможным переход от популярного изучения понятий модели и алгоритма к изучению посильных для восприятия школьников теоретико-модельных понятий дискретной математики Оно необходимо для создания реестра разнообразных и ярких образцов искусства моделирования на основе полной цепочки использования компьютера в самых разных областях школьного знания Такой реестр образцов моделирования является определяющим в прикладной направленности обучения математике в школе, поскольку он обеспечивает его фундаментальность, и в частности опережающее практику обучение В результате обос-

новывается, что ДМ является содержательной основой обучения моделированию с использованием компьютера в школе.

Обучение дискретной математике дает возможность почувствовать силу и красоту искусства моделирования с использованием компьютера Владеющий таким искусстовом исследователь обладает стилем мышления, присущим «многоборцу», удачно «выступающему» на всех этапах разработки полной цепочки использования компьютера благодаря прежде всего совершенному знанию всех основных понятий ДМ

Установлено, что с психолого-педагоги ческой точки зрения особое значение в прикладной направленности обучения, обеспечивающей развитие у учащегося стиля мышления «многоборца», является изучение доминирующих в ДМ математических структур и схем Математические структуры и схемы должны быть в основе стратегии отбора содержания любого обучения математике На основе изучения математических структур и схем формируются так назывемые когнитивные структуры или схемы (прилагательное когнитивный, происходящее от слова «cognitio», т е знание, подчеркивает, что речь идет о психических процессах в голове человека, а не просто о стимулах и реакциях) Эти когнитивные структуры или схемы обеспечивают хранение, упорядочение и преобразование наличной и поступающей информации и отвечают за воспроизведение в психике познающего субъекта устойчивых закономерных аспектов его окружения Формирование когнитивных структур и схем необходимо начинать уже с 11 - 12-летнего возраста В результате обосновано положение о том, что дискретная математика - это учебная дисциплина, являющаяся основой развития дискретной компоненты стиля мышления, позволяющего наименьшими средствами достигать наилучших результатов во многих областях исследования с использованием компьютера.

В разработке методики обучения ДМ нельзя не учитывать социокультурные аспекты обучения учащегося, оказывающие важное влияние на формирование его личности Анализ социокультурных аспектов феномена «Дискретная математика» показывает, что в силу фундаментальной роли ДМ в моделировании с использованием компьютера она является тем методологическим и методическим «механизмом», который обеспечивает действенность обучения моделированию и тем самым позволяет раскрыть характер соответствия между структурами реальных процессов, операционными структурами и структурами математики, что очень важно в обучении математике

На основе проведенного в главе методологического анализа феномена «Дискретная математика» выявлена и охарактеризована модель влияния внешней среды на методическую систему обучения ДМ В этой модели отражены взаимосвязь уже исследованных гносеологических, математических, прикладных, теоретико модельных, методических и социокультурных аспектов методологии непрерывного обучения ДМ в системе «школа - вуз» В результате выявлены главные цели обучения ДМ обучение основам информатизации, формирование дискретной компоненты мышления учащегося и подготовка его к осознанному выбору профессии

Во второй главе «Теоретические основы обучения дискретной математике в системе «школа - вуз», исходя из методологии обучения ДМ исследованы стратегии отбора содержания и поэтапного обучения ДМ, преемственности в обучении ДМ между школой и вузом, психологические аспекты обучения ДМ, дидактические принципы разработки содержания и определения целей профильных курсов обучения ДМ; теоретические основы профильного обучения ДМ в школе, «жесткая» и «мягкая» модели обучения ДМ, роль ДМ в обучении математическому моделированию В результате выявлены основные положения концепции непрерывного обучения дискретной математике в системе «школа - вуз» и исследована методическая система обучения ДМ

В начале главы на основе характеризации модели влияния внешней среды на методическую систему обучения дискретной математике дается описание состава, структуры и состояний исследуемой методической системы В результате выявляются ее основные лидирующие компоненты и факторы цели обучения предмету «Дискретная математика», содержание обучения, структура личности ученика, система дидактических принципов обучения Они определяют состав и взаимосвязи компонентов методической системы обучения ДМ в зависимости от профиля обучения в школе и направления подготовки в вузе

В математике различают формальную математическую модель (алгебраическую систему, формальную систему) и ее содержательную интерпретацию Аналогично, в результате выбора лидирующего компонента или фактора возникает модель методической системы, те содержательная интерпретация «формальной» общей методической системы обучения математике, «формализованно» описанная в терминах методологии и методики обучения математике

В составе и структуре той или модели методической системы обучения ДМ проявляются такие характерные состояния любой сложной системы (природной, социальной, экономической, педагогической и т д) как динамичность, статичность, стохастичность, управляемость Эти состояния необходимо учитывать при исследовании конкретной модели методической системы обучения ДМ

В исследовании различных моделей методической системы обучения ДМ важную роль играют доминирующие в дискретной математике алгебраические, порядковые структуры и логические, алгоритмические, комбинаторные схемы Из приведенной характеризации этих структур и схем следует, что они играют фундаментальную роль в качественном анализе сложных проблем математического моделирования (в том числе и в решении проблем различных систем управления) Они играют ключевую роль в систематизации того, что известно по интересующей проблеме, в ее структуризации, представлении имеющихся знаний в виде, удобном для последующего анализа как «вручную», так и с использованием современных средств компьютерной техники Выявляются базовые понятия языка доминирующих в ДМ структур и схем В результате обосновано, что эти структуры и схемы являются основой стратегии отбора содержания обучения учебному предмету «Дискретная математика»

Проведенный анализ возрастных особенностей формирования доминирующих в дискретной математике когнитивных структур и схем позволил сде-

лать вывод о том, что полноценное обучение ДМ возможно только в рамках современного системно-структурного подхода в преподавании математики, основанного на математических структурах и схемах Отсутствие такого системного подхода и явилось главной причиной того, что реформа математического образования 1960 - 70-х гг не достигла желаемых результатов К тому же большинство ученых модернизаторов, опираясь на отдельные результаты выдающегося французского психолога Ж Пиаже, ограничились попытками внедрения в школьную математику только алгебраических, порядковых и топологических структур и не уделили должного внимания комбинаторным, алгоритмическим, образно-геометрическим схемам, играющим особую роль в исследовательской активности, в образовании новых понятийных структур

В формировании и развитии математических когнитивных структур и схем в мышлении учащихся определяющую роль играет система дидактических принципов обучения, правильное использование которой обеспечивает разработку целей и содержания профильных курсов обучения дискретной математике с учетом главных целей обучения ДМ Характеризуется система классических дидактических принципов, признаваемых большинством ученых, и в соответствии с этим - роль этих принципов в построении профильных курсов ДМ Наиболее полно раскрывается роль в обучении ДМ принципов развивающего обучения, научности, генерализации знаний и использования внутри-предметных связей

В силу нарушения преемственности в обучении ДМ между школой и вузом, выявленного в главе 1, исследуется принцип преемственности и его роль и место в системе дидактических принципов.

Анализ различных трактовок понятия «развития» позволяет сделать вывод о том, что преемственность - закономерность развития, а принцип преемственности - педагогическое требование, основанное на этой закономерности Таким образом, принцип преемственности играет решающую роль в проектировании и реализации процесса обучения Поэтому для осуществления преемственности обучения ДМ сначала необходимо учесть главное в проектировании и реализации процесса обучения, а затем - в динамике изменения взаимосвязей всех основных компонентов методической системы обучения.

Важную роль в проектировании процесса обучения ДМ и, следовательно, в стратегии преемственности играют возрастные особенности формирования и развития математических когнитивных структур (структурный фактор), внуг-рипредметные и межпредметные связи математики (межпредметный фактор), фактор сюжетности (использование различных видов задач с сюжетным текстом при обучении построению полной цепочки использования компьютера)

В основе теории развивающего обучения лежат идеи Л Выготского о пути обретения знаний посредством объяснительной реконструкции соответствующих обстоятельств Для такой реконструкции обстоятельств «жизни» необходимы задачи с занимательным или практическим сюжетным текстом Ярким подтверждением этому являются известные книги для начальной школы с сюжетными задачами (на графы, круги Эйлера, линейное упорядочение элементов множества, комбинаторику, умение логически рассуждать и т д) Традицион-

ное обучение математике, превращая знаки, символы чуть ли не в единственное средство познания, игнорирует ключевое значение двух других способов накопления знаний о мире - через действие и образ Благодаря задачам с сюжетным (демонстрирующим какое-то действие) текстом эмпирически выявленный ранее факт постепенно трансформируется в строго сформулированное и доказанное утверждение Без «сюжетного» подхода переход из неявного в явное может оказаться роковым, поскольку нередко ученик не может установить или ясно понять связь между своей умственной деятельностью и предлагаемым ему абстрактным описанием В этом случае обучение остается для него мертвой буквой, что подтвердилось в 1960 - 70-е гг в процессе реформ математического образования как у нас в стране, так и за рубежом Это стало еще одной причиной, по которой оказалось неудачным изучение в школах Франции структурно-схемных понятий группы, кольца, поля, алгебраической операции и др

В реализации преемственности в обучении ДМ важную роль играет стратегия поэтапного обучения дискретной математике» При выявлении этапов обучения ДМ использована периодизация уровней сформированное™ математических когнитивных структур на основе пяти уровней мышления, выделенных П -X ван Хилле, и описанная В А Тестовым соответственно для геометрических и алгебраических структур С учетом системно-структурного подхода в отборе содержания, психологических аспектов обучения ДМ и литературы для школьников выявлены и охарактеризованы следующие этапы предобучение (с 1-го по 7-й класс), предпрофильное обучение (8 - 9-й классы), профильное обучение (10-11-й классы), профессиональная подготовка (в вузе)

Наиболее характерной особенностью этапа предобучения является то, что возникающие у ребенка структуры мышления неотделимы от множеств конкретных предметов Операции ребенок может выполнять только с элементами множеств «предметов» в конкретной ситуации На этапе предпрофильного обучения на уровне конкретных когнитивных структур наблюдается стадия формальных операций, выполняемых без необходимой связи с действительностью. Возможно популярное изучение понятий графа, бинарного отношения и его основных видов, алгебры высказываний, кольца остатков от деления натуральных чисел, группы преобразований, конечного поля («новой арифметики»), алгебраической операции, алгоритма, простейших комбинаторных понятий Важную роль в отборе содержания обучения должны играть нестандартные задачи на доминирующие в ДМ структуры и схемы, особенно логические, комбинаторные, алгоритмические, а также образно-геометрические схемы

На этапе профильного обучения на уровне синтеза содержательных структур возможно дедуктивное построение ряда разделов математики в данной конкретной интерпретации, те когда буквы, обозначающие объекты исчисления, применяются в качестве имен и переменных для чисел или объектов другой природы из некоторого заданного множества» (например, многочленов, векторов, конечных колец и полей, алгебры матриц и т д) На этом уровне осуществляется «содержательная» аксиоматизация теории, те теории в определенной конкретной ее интерпретации Учащиеся еще не осознают роли аксиом в математическом определении, неточно представляют его схему Этот уро-

вень можно рассматривать как необходимый предварительный этап формирования понятия о доминирующих в ДМ математических структурах и схемах, роль которого сводится к четкому описанию математического определения и вспомогательных понятий (отношения, алгебраической операции, предиката и т д ) В содержание обучения необходимо включить те или иные элементы языка математических структур (особенно базовые понятия) Они играют роль своеобразных маяков в выборе дидактических принципов профильного обучения ДМ и в осуществлении преемственности этого обучения с учетом исходных знаний обучаемых

На этапе профессиональной подготовки при выходе на уровень абстрактных структур отвлекаются от конкретной природы объектов исчисления, от конкретного смысла операций На этом уровне строятся различные математические теории как абстрактные дедуктивные системы, т е осуществляется переход от известных моделей к абстрактной теории, а от нее к другим моделям Впервые возникает возможность осуществлять адекватное избранной профессии обучение математическому моделированию на базе курсов высшей математики и обучения ДМ. В силу фундаментальной роли дискретной математики в различных видах моделирования с использованием компьютера необходим поиск конкретных целей, дидактических принципов в формировании содержания профильного обучения дискретной математике на основе базовых понятий ДМ При этом особенно важно учесть внутри- и межпредметные связи и «преемственный» выбор всех предварительно изучаемых понятий языка доминирующих в ДМ структур и схем и выбрать «профильный» уровень строгости и методов их изучения С позиций системно-структурного подхода обосновывается выбор профилей обучения ДМ в 10 - 11-х классах математического, базового, общего («нетехнического»), обеспечивающих реализацию непрерывного обучения дискретной математике в системе «школа - вуз». Дается их концептуальная характеристика, на основе которой в дальнейшем разрабатываются соответствующие программы обучения

Ввиду отсутствия элементов ДМ в программах обучения математике в школе в реализации той или иной модели методической системы обучения ДМ важную роль играет «мягкая» модель обучения ДМ

Термины «жесткая» и «мягкая» математические модели введены в обиход академиком В И Арнольдом «Жесткая» модель обучения является основой централизованной плановой классно-урочной системы обучения Суть «мягкого» управления учебным процессом обучения ДМ, управления через советы и рекомендации заключена в «резонансном» воздействии на существующую систему обучения математике

В «мягкой» модели обучения ДМ ведущую роль играют принципы преемственности, поэтапности, профильности обучения, а также гармоничное сочетание дискретного и непрерывного начал в обучении математике Наиболее ярко значение такого сочетания подтверждается новой программой обучения ДМ на математических факультетах педвузов, предусматривающей изучение элементов комбинаторного анализа, основанного на методах дискретной и непрерывной математики

Естественно, в случае полного отсутствия предпрофильного обучения ДМ необходима кардинальная перестройка содержания и принципов обучения на этапе профильного обучения в 10 - 11-х классах В этом случае для отбора того или иного минимального содержания обучения ДМ (по любому профилю) можно воспользоваться учебным пособием автора «Дискретная математика»

Поскольку современная дискретная математика является основой гармоничного сочетания в моделировании формального языка математики, неформального языка науки, в области которой проводится исследование и уникальных возможностей современного компьютера, неотъемлемой частью теоретических основ обучения ДМ является анализ роли дискретной математики в профильном обучении моделированию (на этапах профильного обучения в 10 -11-х классах и профессиональной подготовки в вузе), опирающийся на уже исследованное в этой главе При анализе выявлено следующее

Во-первых, обучение ДМ обеспечивает фундаментальность обучения математическому моделированию путем тщательного отбора содержания изучаемых математических структур и схем современной математики, доминирующих в ДМ Исходя из психологических аспектов стратегии обучения ДМ выбирается разумный уровень абстрактности и обеспечивается учет возрастных познавательных возможностей обучения выбранному содержанию моделирования На основе системы использования дидактических принципов обучения, стратегии преемственности, поэтапности и профильности обучения выбираются средства, формы и методика обучения

Во-вторых, обучение ДМ играет важную роль в создании реестра образцов математического моделирования и в выявлении стратегии обучения построению полной цепочки использования компьютера В-третьих, обучение ДМ дает возможность обучаемому научиться классифицировать все основные виды моделирования в избранной профессиональной области и уяснить особенности их применения В результате этого обучаемый может грамотно определить необходимый раздел (разделы) математики для решения поставленной задачи В-четвертых, обучение понятию математического языка, теории алгоритмов и проблем разрешимости позволяет выработать обучаемому умение анализировать возможности выбранного математического языка для решения поставленной задачи и представлять необходимые для этого средства и персонал Все это основано на обучении классификации видов математических задач и методов их решений на компьютере В-пятых, обучение ДМ позволяет заложить у обучаемых еще со школьной скамьи основы культуры использования всего математического аппарата, применяемого в профессиональной области Это объясняется тем, что ДМ является необходимым дополнением к «функционально-ориентированной» действующей школьной программе и играет важнейшую роль в установлении внутриматематических и межпредметных связей В-шестых, использование развивающего потенциала ДМ при «жесткой» или «мягкой» модели обучения содействует гармоничному развитию математического мышления и способности к творческой работе

На основе анализа теоретических основ обучения ДМ исследуется состав и структура моделей методической системы обучения ДМ со следующими ли-

дирующими компонентами и факторами цели обучения предмету «Дискретная математика», содержание обучения, структура личности ученика и система дидактических принципов обучения

Цели обучения наиболее часто являются лидирующим компонентом модели методической системы в рамках «жесткой» (технологической) модели обучения математике, в которой предполагается обязательное достижение целей обучения, на основе которых проектируются гарантирующие успех педагогические действия и их точное воспроизведение

В формировании состава и структуры модели методической системы обучения дискретной математике с лидирующим компонентом «цели обучения» определяющую роль играет описываемая на основе анализа теоретических основ обучения ДМ иерархия целей обучения дискретной математике

Содержание обучения является типичным лидирующим компонентом модели методической системы обучения ДМ математиков, программистов и инженеров, специализирующихся в области прикладной математики и некоторых других областях На этих специальностях дисциплина ДМ является дисциплиной предметной подготовки и ее содержание формируется в соответствии с общими целями изучения курса математики и других дисциплин предметной подготовки (например, математической логикой, абстрактной алгеброй, теорией алгоритмов, численными методами и пр ) Как следует из § 4 этой главы, важным компонентом рассматриваемой модели методической системы обучения дискретной математике выступают дидактические принципы научности обучения и генерализации знаний, обеспечивающие фундаментальность обучения моделированию с использованием компьютера при подготовке «многоборца»

Модель методической системы обучения ДМ с лидирующим фактором «структура личности ученика», как представляется, будет распространенной после, на наш взгляд, очень вероятного введения элементов ДМ в программы обучения в школе. В настоящий момент она более подходит для индивидуального обучения в небольшой группе учеников (например, работающих над рефератами по математике и готовящихся к олимпиадам по математике).

Система (использования) дидактических принципов обучения становится лидирующим фактором методической системы обучения ДМ при выборе «предметных», «методических» и «корректирующих» целей и содержания обучения в рамках «мягкой» модели обучения Например, модель методической системы обучения ДМ с таким лидирующим фактором целесообразно реализовать в сельской малокомплектной школе с разновозрастными группами учащихся

В результате исследования теоретических основ обучения ДМ выявлены основные положения концепции непрерывного обучения дискретной математике в системе «школа - вуз»

I Высокая значимость обучения дискретной математике как математической основе информатизации определяется тем, что владение идеями и методами дискретной математики стало неотъемлемой частью общей культуры

специалиста, умело использующего современные информационные технологии

2 Целенаправленное формирование в процессе обучения «дискретной» компоненты математического стиля мышления становится необходимым условием, обеспечивающим в будущей профессиональной деятельности эффективность и продуктивность в моделировании с использованием компьютера

3 Обучение дискретной математике должно быть целостным непрерывным процессом, охватывающим все этапы школьного и профессионального обучения

4. Непрерывное обучение дискретной математике (и на базе этого моделированию) в системе школа-вуз, отвечающее сегодняшним и перспективным требованиям и запросам общества, должно на каждом этапе обучения строиться на следующих общих дидактических принципах

а) развивающего и воспитывающего характера обучения,

б) научности, фундаментальности и прикладной направленности,

в) системности, систематичности и последовательности,

г) учета возрастных и индивидуальных возможностей и особенностей учащихся, уровня их обученности на предыдущих этапах обучения,

д) активности, самостоятельности и сознательности обучающихся Реализация этих принципов позволит обеспечить содержательную и процессу-ально-деятельностную преемственность между отдельными этапами непрерывного образовательного процесса

5. Курс дискретной математики необходим для комплексного обучения моделированию, обеспечивающего межпредметные связи математики, информатики и других дисциплин

6 Непрерывное обучение моделированию с использованием компьютера должно строиться на гармоничном сочетании фундаментальных методов как классической {«непрерывной»), так и дискретном математики

7 Обучение дискретной математике позволяет учащимся глубже понять сущность происходящего процесса математизации наук и информатизации всех сфер деятельности, способствует усилению прикладной направленности математического образования Тем самым обучение ДМ повышает познавательную мотивацию и интерес учащихся и студентов к изучению математики и информатики

8 Постановка единого курса дискретной математики в системе высшего (среднего) профессионального образования позволяет преодолеть разрозненность в преподавании элементов теории графов, теории алгоритмов, комбинаторного анализа и других разделов ДМ и на этой основе избежать фрагментарности обучения моделированию (по той или иной специальности)

В третьей главе «Основные методические аспекты обучения дискретной математике в системе «школа - вуз» с точки зрения теоретических основ обучения ДМ анализируются элементы дискретной математики в учебной литературе для школьников и методика их изложения, исследуются основные направления обучения ДМ в системе высшего профессионального образования и основные особенности методики обучения дискретной математике на этих на-

правлениях В результате разрабатывается методика изучения основных понятий и фактов ДМ в школе

При анализе элементов дискретной математики в учебной литературе для школьников кратко охарактеризованы методические особенности изложения понятий объединения, пересечения, дополнения, прямого произведения множеств, отображения, обратного отображения, композиции отображений, бинарного отношения, алгебраической операции, алгебры (группы, кольца, модуля, тела, структуры и булевой алгебры); алгебры логики, начальных понятий логики предикатов, аналитического представления булевых функций; основных определений, относящиеся к графам, числовых характеристик графов и прикладных задач на графах, начальных элементов теории алгоритмов, алгоритмической разрешимости, элементов комбинаторики

Как следует из теоретических основ обучения ДМ и проведенного анализа элементов дискретной математики в учебной литературе для школьников, методика обучения ДМ в школе является методической основой прикладной направленности обучения математике в школе Анализируются аспекты методики отбора основного содержания ДМ для профильного обучения в 8 - 11 -х классах, реализации преемственности в обучении, изучения понятий математической модели, алгоритма, алгоритмической разрешимости и математического языка, использования дискретного и непрерывного в обучении математики, отбора задач по ДМ

Характеризуются важные в методике обучения дискретной математике инварианты мышления специалиста, т е (в трактовке Н Ф Талызиной) долго-живущие знания, формирование которых должно быть основной целью обучения В соответствии с теоретическими основами обучения ДМ выявляются цели и соответствующие им инвариантные части содержания профильного обучения дискретной математике В результате разрабатываются программы для математического, базового и общего профиля обучения ДМ в школе, приводимые в Приложении

Исследуются различные направления и методические аспекты обучения дискретной математике в системе высшего профессионального образования Установлено, что в процессе становления ДМ как предмета возникли направления обучения дискретной математике, которые можно условно разделить на четыре группы обучение математиков, программистов и инженеров, специализирующихся в области прикладной математики, обучение на инженерно-технических специальностях (электротехнических, машиностроительных и т д), обучение на экономических и управленческих специальностях, обучение на гуманитарных (психология, филология и др ) специальностях Далее детально характеризуются цели и содержание обучения ДМ и его концептуальные особенности для перечисленных направлений

Для специальностей других направлений подготовки (например, сфера обслуживания, транспортные средства и т д) предусмотрено изучение лишь некоторых отдельных понятий и фактов ДМ или вообще не предусмотрено обучение дискретной математике.

В условиях реформирования образования актуальной для всех направлений является необходимость использования «жесткой» и «мягкой» моделей обучения

Характеризуются основные методические аспекты обучения ДМ для каждого из рассмотренных направлений обучения Установлено, что методика обучения дискретной математике на экономических, управленческих и гуманитарных специальностях находится в начальной стадии разработки

Выявляются и анализируются причины существующей в настоящее время проблемы разработки пособий по ДМ для студентов той или иной специальности, отвечающих всем необходимым требованиям,

В последующих параграфах главы на основе методической системы обучения ДМ разрабатывается методика изучения в школе понятий и фактов дискретной математики, являющихся основными в содержаний профильного обучения ДМ

Вначале исследуются особенности методики изучения понятий графа и бинарного отношения, С которых обычно начинается изучение ДМ Анализируется формальный подход к изложению понятий и фактов теории графов, неправомерно «унаследованный» из учебников по ДМ, предназначенный для подготовки математиков и специалистов по системам компьютерной математики и компьютерным технологиям Такой формальный подход к определению графа усугубляется наличием большого числа различных определений, обычно весьма сжато излагаемых на нескольких страницах

В соответствии с программами профильного обучения ДМ систематическое изучение понятия графа, основных видов графов и их свойств целесообразно начать на этапе предпрофильного обучения в 8 - 9-х классах При этом должна быть осуществлена целенаправленная пропедевтика изучения в 10-м классе бинарных отношений и алгоритмов К сожалению, в методике изучения элементов теории графов в большинстве изданий для учащихся средних профессиональных учебных заведений такой пропедевтики не предусмотрено

Описывается схема» изучения элементов теории графов из учебного пособия автора «Дискретная математика», отличительной особенностью которой является структура занимательных и практических задач с сюжетным текстом, благодаря чему обеспечивается постепенное изучение рассматриваемых понятий При этом доказательства теорем возникают как естественное продолжение и обобщение решения ранее рассмотренных задач

Как известно, граф без кратных ребер является частным случаем бинарного отношения Поэтому при изучении понятия бинарного отношения следует опираться на методические особенности изучения понятия графа

Исходя из характеристики этапов профильного обучения в 10-11-х классах и объема отводимых на обучение часов предлагается следующая методическая схема изучения понятия бинарного отношения в школах, колледжах и вузах (для специальностей, не связанных с математикой и ее приложениями)

Вначале приводятся примеры отношений порядка на множестве чисел, параллельности и перпендикулярности на множестве прямых, отношения «делиться нацело» и т д, в результате достигается преемственность в усвоении не-

привычного для восприятия учащихся обозначения Р произвольного бинарного отношения Затем определяются основные свойства бинарных отношений и выявляются эти свойства у отношений, неявно изучаемых в школьной программе или легко определяемых в рамках ее содержания, а также отношений, задаваемых графами На основе правила произведения множеств определяется декартов квадрат множества.

Приводятся примеры бинарных отношений, являющихся графами, примеры таких отношений из окружающей (школьной) жизни Объясняется, что функции и геометрические отображения являются бинарными отношениями, обладающими одним легко определяемым свойством

Анализируется методика изложения комбинаторики в популярной и учебной литературе для школьников и студентов колледжей и техникумов Предлагается методика изучения первых комбинаторных понятий и фактов в 810-х классах в рамках концепции предпрофильного обучения ДМ, важной отличительной особенностью которой является использование задач с некорректным условием В процессе их решения предлагаются различные ответы в зависимости от уточнения формулировки вопроса задачи, после чего целесообразно перейти к изучению перестановок, размещений и сочетаний (в том числе и с повторениями) Методика предусматривает также изучение бинома Ньютона и треугольника Паскаля

В результате анализа особенностей методики изучения понятий алгебраической операции и алгебры в популярной литературе для школьников и других категорий читателей обосновано, что может быть реализована следующая методическая схема изучения алгебраической операции и алгебры из учебного пособия автора «Дискретная математика»

1) простейшие методы шифровки, основанные на понятиях остатков от деления суммы и произведения натуральных чисел, таблицы Кэли операций сложения, вычитания и умножения в кольце остатков от деления на 4, свойства операций кольца, в частности, формулы сокращенного умножения и свойства степеней (для операции умножения), вычисление значений и тождественные преобразования выражений, решение уравнений (в том числе и с параметром),

2) вращения правильного пятиугольника, являющиеся его самосовмещениями и различающиеся только расположением вершин, таблицы Кэли операций сложения, вычитания умножения и деления в пятиэлементном поле («новой арифметике»), свойства операций пятиэлементного поля, вычисление значений и тождественные преобразования выражений, решение уравнений (в гом числе и с параметром)

3) понятие высказывания, грамматические связки и логические операции, таблицы истинности, вычисление значений логических выражений, логические тождества, тождественные преобразования логических выражений, решение логических уравнений, простейшие примеры анализа и синтеза электрических схем

Особое значение имеют задачи на вычисление значений, тождественные преобразования выражений и решение уравнений в пятиэлементном поле, называемом также «новой арифметикой», в которой нет «дробей» и «отрицатель-

ных чисел» Благодаря этим задачам осуществляется уход от довлеющих рекомендаций с установившимся инструктивным материалом из арифметики и элементарной алгебры

В пятиэлементном поле, кольце остатков (алгебре высказываний), для операций (логического) сложения и умножения справедливы аналоги основных законов арифметических действий Поэтому целесообразно вычисление значений, тождественные преобразования выражений и решение уравнений, являющихся аналогами обычных «школьных» алгебраических выражений и уравнений (в том числе и квадратных), что обеспечивает преемственность в изучении ДМ, а также наглядность изучения операции сложения в пятиэлементном поле на основе ее определения с помощью вращений правильного пятиугольника

В результате исследования особенностей методики изучения понятия математической модели (в учебной и популярной литературе для школьников) и на основе приведенного краткого описания разных трактовок смысла понятия математической модели предлагается рассматривать математическую модель

1) как абстрактный образец решения задачи На основе потребности в решении математических задач следует дать первое представление о математической модели как о «рекламном» математическом образце (теореме, формуле, правиле и тд), готовом для массового использования в приложениях, те для решения различных задач или хотя бы задач однотипного вида

2) как важнейший этап в построении полной цепочки использования компьютера Раскрытие понятия математической модели нужно осуществлять на основе понятия полной цепочки использования компьютера. Яркие примеры такого построения на языке теории графов, геометрии и тригонометрии, дифференциального и интегрального исчисления и тд необходимы для популярного объяснения роли и места математической модели в процессе исследования объекта или явления Понятие математической модели, «вырванное» из процесса исследования, не отражает сам процесс исследования и поэтому не может служить ориентиром в обучении

3) как множество с заданными на нем операциями и отношениями заданного типа (т е абстрактная структура) Тип операции и отношения (т е способ определения, задания, арность, свойства и т д), образно говоря, играет такую же важную роль в классификации математических моделей, что и атомный бес-элемента в периодической таблице химических элементов Менделеева Данное определение универсально с точки зрения математического моделирования На основе типа модели возможно уяснить и запомнить самые главные «параметры» каждого вида моделей, что существенно облегчает запоминание, классификацию и описание многообразных видов математического моделирования

4) как представитель класса математических моделей Этот смысл понятия математической модели, по-видимому, целесообразно обьяснять в рамках физико-математического профиля обучения ДМ При этом следует начать с того, что в математике (например, в современной алгебре) изучаются классы математических моделей, т е множества, образованные теми и только теми моделями, на каждой из которых истинны заданные аксиомы или законы (в частности, алгебраические тождества или дифференциальные уравнения), описываю-

щие конкретные свойства моделей этого класса В качестве примера можно привести законы, определяющие понятия группы, полугруппы, кольца, гармонического колебания, периода радиактивного полураспада и т д Следует показать содержательные различия между моделями, принадлежащими одному классу.

Как следует из анализа особенностей методики изучения понятий математического языка, алгоритма и алгоритмической разрешимости в учебной литературе для вузов, при изучении математического языка следует исходить из концептуальных различий формального языка (в системах компьютерной математики и математической лингвистике), формальной системы (теории, исчисления) в математической логике и алгебре, формального языка в компьютерных технологиях («представимого машиной»)

Излагаются особенности методики последовательного изучения понятий алфавит, формула (слово), аксиома, правило вывода, теорема, доказательство, формальная теория, интерпретация формальной теории. Объяснение понятий следует сопровождать примерами корректного и некорректного перевода формулировок практических задач на математический язык

Пропедевтика понятий алфавита и формулы (слова) формального языка осуществляется на основе различных упорядочений множеств «предметов» (сочетаний, перестановок, размещений таких множеств), биекций, операций пересечений и объединения и других задач

Установлено, что важнейшим в изучении алгоритма и алгоритмической разрешимости является «дискретный» подход, заключающийся в решении разнообразных алгоритмически разрешимых задач (из теории графов, комбинаторного анализа, булевых функций и других разделов ДМ). При этом задача является алгоритмически разрешимой или неразрешимой, если существует или соответственно не существует алгоритм ее решения на используемом математическом языке Отличительной особенностью этого подхода в школе являются вымышленные персонажи Смекалкин (из учебника-собеседника по математике для 5 - 6-х классов Л Н Шеврина и др), Ленивкин и не знающий математику Кнопкин Приводятся различные алгоритмы решения этими персонажами одних и тех же (практических) задач в кольце целых чисел, поле рациональных чисел, пятиэлементном поле и др

В методике предусмотрено изучение видов задач (с неправильно составленным условием, нерешенных задач, задач, которые не имеют решения, задач с бесконечным и конечным числом действий исполнителя) и вычисления в изученных ранее алгебрах на микрокалькуляторах, различающихся перечнем выполняемых операций и размером табло

В разделе экспериментальной проверки теоретических основ обучения дискретной математике в системе «школа-вуз обоснованы логика, формы, методы и полученные результаты эксперимента, подтвердившие выдвинутую гипотезу, достоверность и обоснованность результатов исследования, в частности, положения, вынесенные на защиту Всеми видами диагностики при проведении эксперимента было охвачено около 500 учащихся общеобразовательных

учебных заведений, более 120 учителей математики и около 600 студентов и более 50 преподавателей вузов

Заключение

В заключении диссертации сформулированы результаты исследования, сделаны выводы, подтверждающие гипотезу исследования и положения, выносимые на защиту Намечены перспективы дальнейших исследований

Основными результатами исследования являются следующие результаты

Результаты методологического характера

1 На основе комплексного исследования философских, теоретико-модельных, предметно-методических, социокультурных аспектов методологии обучения дискретной математике в школе и вузе создана целостная концепция непрерывного обучения дискретной математике в системе «школа - вуз», базирующаяся на том, что дискретная математика как математическая основа информатизации стала неотъемлемой частью общей культуры специалиста, умело использующего современные информационные, компьютерные, мультимедийные и телекоммуникационные продукты

Сущность концепции заключена в том, что обучение дискретной математике должно быть направлено на адекватное специальности обучение методам моделирования с использованием компьютера и формирование «дискретной» компоненты математического стиля мышления учащегося

2 В процессе разработки концепции дан исторический анализ возникновения и формирования дискретной математики как научной дисциплины Установлено следующее

- понятие полной цепочки использования компьютера стало идейной и содержательной основой формирования дискретной математики,

- дискретная математика является основой моделирования с использованием компьютера во многих областях исследований,

- дискретная математика является математической основой информатизации разработки и совершенствовании систем компьютерной математики, компьютерных технологий, внутриматематических исследований на основе компьютера

Результаты теоретического характера

1 В рамках концепции разработаны теоретические основы методической системы непрерывного обучения дискретной математике в школе и вузе, а именно, исследованы

- роль математических структур как основы стратегии отбора содержания непрерывного обучения дискретной математике,

- психологические аспекты обучения дискретной математике (психологические истоки и основы математического моделирования, системно-структурный подход в обучении дискретной математике на основе формирования и развития математических когнитивных структур и схем),

- дидактические принципы построения профильных курсов обучения дискретной математике (система использования принципов развивающего обучения, научности, генерализации знаний, внутрипредметных связей и других),

- теоретические основы преемственности в обучении дискретной математике между школой и вузом (возрастные особенности формирования и развития математических когнитивных структур, внутрипредметные и межпредметные связи математики, принципы развивающего обучения, реализуемые на основе задач с сюжетным текстом)

~ этапы обучения дискретной математике (предобучение с 1-го по 7-й класс, предпрофильное обучение в 8 - 9-х классах, профильное обучение в 10 -11-х классах, профессиональная подготовка в вузе),

- теоретические основы профильного обучения дискретной математике в школе (методика отбора содержания предпрофильного обучения дискретной математике, выбор профилей обучения, концептуальная характеристика профилей обучения дискретной математике),

- «жесткая» и «мягкая» модели обучения дискретной математике,

- роль дискретной математики в обучении моделированию с использованием компьютера (дискретная математика обеспечивает фундаментальность профильного обучения математическому моделированию, необходима для создания реестра образцов математического моделирования, дает возможность обучаемому представить классификацию всех основных видов моделирования в избранной профессиональной области, выработать умение анализировать возможности математического языка в решении поставленной задачи и представлять необходимые для этого средства и персонал)

2 Исследованы внешняя среда и состав, структура методической системы обучения дискретной математике в системе «школа - вуз» в зависимости от лидирующего компонента или фактора, которыми являются цели обучения или содержание обучения, либо структура личности ученика или система дидактических принципов обучения (схемы 3-6)

3 Выявлены основные особенности методики обучения ДМ в системе «школа - вуз» отбора основного содержания дискретной математике для профильного обучения в 8 - 11 классах, реализации принципа преемственности в обучении между школой и вузом, основные особенности методики обучения дискретной математике в системе высшего профессионального образования в зависимости от направления обучения

Практические результаты Разработано учебно-методическое обеспечение для школ программы и учебное пособие по ДМ, которые могут быть использованы учителями средней школы на факультативных занятиях, при разработке элективных курсов, а также на уроках математики

Разработано учебно-методическое обеспечение для вузов программа и учебное пособие по ДМ, которые могут быть использованы преподавателями, читающими основной курс ДМ и спецкурсы, а также студентами педвузов

Разработана методика изучения в школе понятий и фактов ДМ, имеющих фундаментальное значение в обучении построению полной цепочки использования компьютера и изучении видов алгоритмически разрешимых и неразре-

шимых задач, важных для классификации задач математического моделирования

Систематизированы имеющиеся и разработаны новые методы формирования практических умений и навыков моделирования с использованием компьютера в системе «школа - вуз»

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в журналах, рекомендованных ВАК

1 Перминов, ЕА О концептуальной роли дискретной математики в формировании общей культуры специалиста // Образование и наука Известия УрО РАО Приложение -2006 - №2(2) - С 37-40

2 Перминов, ЕА О методике изучения понятия математической модели// Информатика и образование - 2006 - № 7 — С 40-43

3 Перминов, ЕА О проблемах и методике обучения дискретной математике в средней профессиональной школе // Среднее профессиональное образование -2006 №3 -С 15-18

4 Перминов, ЕА О фундаментальной роли дискретной математики в обучении алгоритмизации в школе и вузе П Педагогическая информатика -2006 -№2 -С 30-32

5 Перминов, ЕА О числе попарно невложимых друг в друга жестких графов//Известия высших учебных заведений Сер Математика - 1985 -№5 -С 78-79

Монография

6 Перминов, Е А Методические основы обучения дискретной математике в системе «школа-вуз» / Е А Перминов - Екатеринбург изд-во РГППУ, 2006 -237 с

Учебные пособия

7 Перминов, ЕА Дискретная математика учеб пособие для 8-9-х кл сред общеобразоват шк / Е А Перминов - Екатеринбург ИРРО, 2004 -206 с

8 Перминов, ЕА Дискретная математика В 4 ч Ч I Комбинаторные конфигурации и комбинаторные числа учеб пособие для студентов пед ун-ов и ин-ов /ГА Клековкин, Е А Перминов - Самара СФ МГПУ, 2005 - 112 с (Авт 50 %)

9 Перминов, Е А Дискретная математика. В 4 ч Ч II Рекуррентные соотношения и производящие функции учеб пособие для студентов пед ун-ов и ин-ов / Г А Клековкин, Е А Перминов - Самара СФ МГПУ, 2005 - 110 с (Авт 50 %)

10 Перминов, ЕА Дискретная математика В4ч Ч III Графы учеб пособие для студентов пед ун-ов и ин-ов /ГА Клековкин, Е А Перминов - Самара СФ МГПУ, 2005 - 194 с (Авт 50 %)

И Перминов, ЕА Дискретная математика В 4 ч Ч. ГУ Асимптотические оценки и приближения учеб пособие для студентов пед. ун-ов и ин-ов / Г А.Клековкин, Е.А.Перминов - Самара. СФ МГПУ, 2005 - 50 с (Авт 50 %)

12 Перминов, ЕА Чистовик экзаменационной работы абитуриента по математике / Е А Перминов - Екатеринбург. УГПУ, 2001 -75 с

13 Перминов, Е А Элементы абстрактной и компьютерной алгебры В 4 ч Часть I Алгебры Алгебраические системы учеб пособие для студентов пед ун-ов и ин-ов /ГА Клековкин, Е А Перминов - Самара СФ МГПУ, 2006. - 73 с (Авт 50 %)

14 Перминов, Е А Элементы абстрактной и компьютерной алгебры В 4 ч. Часть II Группы Кольца учеб пособие для студентов пед ун-ов и ин-ов / Г А Клековкин, Е А Перминов - Самара СФ МГПУ, 2006 - 91 с (Авт 50 %)

Статьи, методические разработки

15 Перминов, Е А Введение в дискретную математику / Е А Перминов -Екатеринбург СИПИ, 1993 - 46 с

16 Перминов, Е А «Жесткая и «мягкая» модели обучения дискретной математике // III Междун науч конф «Математика Образование Культура» труды - Тольятти ТГУ -2007 - С. 206-210.

17 Перминов, Е А Понятия кольца и поля на факультативных занятиях в школе // Всерос науч -практ конф «Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики» мат-лы - Н. Новгород НГПУ, 2002 - С 135 -136

18 Перминов, ЕА Пособие и программа «Дискретная математика для школьников» // Матем весгник педвузов и университетов Волго-вятского региона Вып 5 -Киров ВГПУ, 2003 - С 193-204

19 Перминов, Е А Проблемы изучения понятий дискретной математике в школе // Межвузовский сборник науч -метод работ «Современное математическое образование в вузах и школах России, опыт, тенденции, проблемы». - Вологда ВГПУ, Изд-во «Русь» - 2006 - С 36-38

20 Перминов, Е А Программа обучения дискретной математике учащихся классов экономического профиля //1 Междун науч - практич конференция «Математическое образование, прошлое, настоящее, будущее» мат-лы - Москва-Самара СГГГУ -2006 -С 294-299

21 Перминов, ЕА О концепции содержании и методике обучения дискретной математике в классах физико-математического профиля // «IV Колмо-горовские чтения» сб трудов - Ярославль ЯГПУ -2006 - С 264-270

22 Перминов, ЕА О методической системе обучения дискретной математике в школе и вузе // Всерос науч конф «Предметно-методическая подготовка будущего учителя математики, информатики и физики», сб. ст В 2-х т -Тольятти ТГУ -2003 -Т 1 -С 330-335

23 Перминов, Е А О преемственности изучения понятий отношения, алгебраической операции и предиката на гуманитарных специальностях // Росий-ская науч -практ конф «Математика и информатика в модернизации совре-

менного гуманитарного образования» мат-лы - Екатеринбург УГИ - 2003 -С 17 -22

24 Перминов, Е А О проблемах и перспективах обучения ДМ в школе // Междун науч конф. «Проблемы математического образования и культуры» мат-лы В2 ч -Тольятти ТГУ -2004 -Ч 2 -С. 77-79

25 Перминов, ЕА О различных концепциях обучения дискретной математике // II Междун науч конф «Математика Образование Культура» труды -Тольятти ТГУ -2005 -С 129-133

26 Перминов, Е А О роли дискретной математики в концепции прикладной направленности обучения математике в школе // Обл науч -практ конф «Модернизация содержания математического образования и новые средства обучения математике» труды - Самара СИПКРО - 2003 -С 39-47

27 Перминов, ЕА О роли дискретной математики в модельной методологии // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона Вып 7 - Киров Изд-во ВятГУ -2005 -С 23-31

28 Перминов, ЕА О роли дискретной математики в обучении стохастическому моделированию в школе и вузе // 2-я Российская науч -практ конф мат-лы Калуга Изд-воКГУ -2004 -С 244-249

29 Перминов, Е А О роли дискретной математики в формировании профессиональной культуры решения задач // Всерос науч -практ конф «Задачи в обучении математике» мат-лы - Вологда ВГПУ, Изд-во «Русь» - 2007 -С 87-92

30 Перминов, ЕА Об изучении алгебраической операции и алгебры // Всерос науч конф «Гуманитаризация среднего и высшего математического образования состояние, перспективы (методическая подготовка учителя математики)» мат-лы - Саранск изд-воМГПИ -2005 - С 158-160

31 Перминов, Е А Об изучении алгоритма и алгоритмической разрешимости // Междун научн конф «57-е Герценовские чтения» сб работ - С -Петербург- изд-воРГППУ -2004 -С 154-156

32 Перминов, ЕА Учебное пособие по дискретной математике // Всерос науч -метод школа-семинар «Проблемы и перспективы информатизации математического образования» сб работ /ГА Клековкин, Е А Перминов - Ела-буга Изд-воЕГПУ -2004 -С 158-161 (Авт 50%)

Тезисы докладов

33 Перминов, Е А Жесткие решетки и графы // Вестник МГУ Сер Математика -1984 — №5 -С 95

34 Перминов, ЕА О гуманитарном потенциале непрерывного обучения дискретной математике в школе и вузе // III Всерос науч конф «Проблемы современного математического образования в вузах и школах России» тез докл -Киров ВятГГУ -2004.-С 92

35 Перминов, ЕА О «мягкой» модели обучения ДМ XIV Всерос семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов»' тез докл М .Саратов Ред -изд отдел Моек гор пед ун-та, изд-во Сарат ун-та -2005 -С 118-119

36 Перминов, Е А О роли дискретной математики в обучении математическому моделированию учащихся классов экономического профиля // ХУ Всерос семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах», мат-лы -Киров Изд-воВятГУ -2006 - С 265-266

37 Перминов, ЕА О роли структурно-схемных понятий в обучении дискретной математике // XXIII Всерос семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов тез докл -Челябинск, М -2004 — С. 105106

38 Перминов, Е А О программе и пособии «Дискретная математика» для школьников // XXI Всерос семинар преп мат ун-тов и пед вузов «Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики» труды - СПб Изд-во РГПУ им А И Герцена -2002 - С 180181

39 Перминов, Е А О стратегии обучения дискретной математике в школе и вузе // XXII Всерос семинар преподавателей математики педвузов и ун-тов «Математическая и методическая подготовка студентов педвузов и университетов в условиях модернизации образования» мат-лы - Тверь ТвГУ - 2003 -С 28

40 Перминов, ЕА Об объяснении содержательного смысла операций и кванторов учащимся 10-11 классов школы // II Межрегиональная науч конф «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России» тез докл -Киров ВГПУ -2001 -С 110-111.

41 Перминов, Е А Понятие математической модели на факультативных занятиях в школе // IV Междунар науч -практ конф «Педагогический процесс как культурная деятельность» тез докл - Самара СИПКРО -2002 - С 351 — 353

42 Перминов, Е А Программа обучения дискретной математике учащихся классов экономического профиля // Международная науч -практ конф «Математическое образование прошлое, настоящее, будущее» мат-лы - Москва -Самара СГПУ, 2006 - С 194-199.

Бумага офсетная Формат 60x84 1/16 Гарнитура Тайме Печать способом ризографии Уел печ л 2,42 Уч - изд л 3,55 Тираж 100 экз Заказ № 563

Отпечатано с оригинала-макета заказчика в ООО «Референт» 430000, г Саранск, пр Ленина, 21 тел (8342)48-25-33

Содержание диссертации автор научной статьи: доктора педагогических наук, Перминов, Евгений Александрович, 2007 год

Введение.

Глава 1. Методологические основы обучения дискретной математике.

§ 1. Роль дискретной математики в информатизации и обновлении содержания математического образования.

§ 2. Гносеологические истоки методологии обучения дискретной математике в школе и вузе.

§ 3. Предмет современной дискретной математики.

§ 4. Функции дискретной математики в прикладной математике и информатике.

§ 5. Теоретико-модельные основы обучения дискретной математике.

§ 6. Методические аспекты обучения дискретной математике.

§ 7. Социокультурные аспекты методологии обучения дискретной математике и основные цели обучения.

Глава 2. Теоретические основы обучения дискретной математике в системе «школа - вуз».

§ 1. Состав, структура и состояния методической системы обучения математике.

§ 2. Математические структуры как основа стратегии отбора содержания обучения дискретной математике.

§ 3. Психологические аспекты обучения дискретной математике.

§ 4. Дидактические принципы разработки содержания и определения целей профильных курсов обучения дискретной математике.

§ 5. Стратегия преемственности в обучении дискретной математике между школой и вузом.

§ 6. Стратегия поэтапного обучения дискретной математике.

§ 7. Теоретические основы профильного обучения дискретной математике в школе.

§ 8. «Жесткая» и «мягкая» модели обучения дискретной математике.

§ 9. Роль дискретной математики в обучении математическому моделированию.

§ 10. Модели методической системы обучения дискретной матемаке.

Глава 3. Основные методические аспекты обучения дискретной математике в системе «школа-вуз».

§ 1. Анализ элементов дискретной математики в учебной литературе для школьников.

§ 2. Основные аспекты методики обучения дискретной математике в школе.

§ 3. Цели и содержание и профильного обучения дискретной математике учащихся 8-11-х классов общеобразовательных учебных заведений.

§ 4. Различные направления и методические аспекты обучения дискретной математике в системе высшего профессионального образования.

§ 5. Особенности методики изучения понятий графа и бинарного отношения.

§ 6. Особенности методики изучения первых понятий и фактов комбинаторики.

§ 7. Особенности методики изучения понятий алгебраической операции и алгебры.

§ 8. Особенности методика изучения понятия математической модели.

§ 9. Особенности изучения математического языка, алгоритма и алгоритмической разрешимости.

§ 10. Экспериментальная проверка теоретических основ обучения ДМ в системе «школа-вуз».

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методическая система непрерывного обучения дискретной математике в школе и вузе"

Актуальность исследования. Двадцать первый век наступил в условиях радикально новой экономики и информационных технологий, что вызывает необходимость модернизации образования. Главной целью модернизации образования является повышение его качества, которую не решить без оптимизации отбора его содержания.

За минувший век в математике произошли грандиозные изменения, что превратило ее в мощный инструментарий анализа, исследования и прогнозирования. Поэтому для повышения качества образования необходимо оптимизировать содержание обучения математике в зависимости от специальности.

Как предсказал один из основоположников информатики В.М. Глуш-ков, математика в начале XXI в. «будет в большей мере математика дискретных, а не непрерывных величин» [55, с. 122], из чего в первую очередь следует исходить при оптимизации содержания обучения математике. Не случайно другой выдающийся специалист в области информатики А.П.Ершов подчеркивал базовую роль математики дискретных величин т.е. в современной терминологии дискретной математики (ДМ), в доведении системы законов «обработки информации до той же степени стройности и заразительности, какой сейчас обладает курс математического анализа, читаемый в лучших университетах» [95, с. 294].

Так как процесс вычисления на компьютерах дискретный, основной особенностью ДМ является отсутствие предельного перехода и непрерывности, характерных для классической математики. Понятие «конечности» (числа значащих цифр в записи числа, числа операций т.д.) также является определяющим в работе компьютера. Поэтому в процессе формирования ДМ появились идейно и содержательно отражающие это обстоятельство разделы математики: конечная математика, компьютерная математика, конкретная математика, дискретный анализ (по аналогии с функциональным анализом).

Фактически основные понятия и факты этих разделов, играющие фундаментальную роль в моделировании с использованием компьютеров, разработке систем компьютерной математики (СКМ), новых компьютерных технологий (КТ), стали постепенно определять основное содержание ДМ. Сейчас становится почти бесспорным, что современная ДМ становится математической основой информатизации всех областей деятельности. В свое время В.М.Глушков указывал, что «расширение области математизации знания . потребует и будет опираться на развитие новых разделов математики, прежде всего - новых разделов дискретной математики» [7, с. 122].

Все перечисленное послужило причиной того, что в последнее десятилетие почти общепризнанным названием математических основ информатизации (компьютеризации) стало название «Дискретная математика», что отражено в содержании многих книг, вышедших в последние десятилетия у нас и за рубежом. В 2000 - 2005 гг. предмет «Дискретная математика» был включен в государственные стандарты высшего профессионального образования по многим специальностям из подавляющего большинства направлений подготовки.

К сожалению, несмотря на обилие исследований и публикаций по ДМ, в настоящее время нет общепринятой системы представлений о ДМ как о разделе математики. Выработка таких представлений облегчается тем обстоятельством, что, как следует из анализа предмета и функций ДМ, определенный круг "дискретных" представлений уже исторически и естественным образом сложился на практике. Подтверждением этому является то, что любой достойно для своей профессии знающий современную математику специалист наряду с понятиями "предел, производная, интеграл, дифференциальное уравнение, функциональный ряд, вероятность случайного события, закон распределения" и др. знает ключевые понятия ДМ "комбинаторная конфигурация, бинарное отношение, алгебраическая операция, высказывание, предикат, квантор, формализованный язык, граф, алгоритм, исполнитель алгоритма" и др.

Глубокое знание специалистом дискретной математики наилучшим образом проявляется в умении построить полную цепочку использования компьютеров: реальная ситуация, математическая модель, алгоритм, программа, симуляция решения, анализ результатов. Поэтому фактически в терминах цепочки использования компьютеров Л.Д.Кудрявцев характеризует основные цели, стоящие перед современным математическим образованием: обучение умению ставить математические задачи (иными словами - обучать переводу реальной ситуации, задачи на математический язык), строить математические модели, выбирать подходящий математический метод и алгоритм для решения задачи, на основе проведенного математического анализа вырабатывать практические выводы [151].

Обучение построению полной цепочки использования компьютеров наиболее глубоко отражает суть комплексного обучения моделированию на основе ДМ, обеспечивающей естественные связей математики и информатики и других предметов. Необходимость введения обучения школьников моделированию с использованием компьютеров обоснована в работах Н.Н.Красовского, А.Г.Мордковича, А.А.Кузнецова, С.А.Бешенкова и др. Необходимость комплексного обучения моделированию в системе «школа-вуз» диктуется реалиями развития профессионального образования, что фактически с более общих позиций отражено А.М.Новиковым в [200], где он наряду с идеями гуманизации и демократизации профессионального образования формулирует идеи опережающего профессионального образования и непрерывного образования - «образования через всю жизнь». С точки зрения непрерывного опережающего профессионального образования необходимо уже в школе изучать математические основы информатизации, т.е. дискретную математику. Здесь следует с грустью констатировать тот факт, что внезапная преждевременная кончина в 1967 г. выдающегося математика А.И.Мальцева не позволила ему осуществить его мечту о реальном создании института дискретной математики и математической логики с многими подразделениями и отделами, в котором, в частности, планировалось всести научные разработки и подготовку научных кадров, что бы способствовало становлению опережающего практику непрерывного профессионального образования.

Итак, как следует из изложенного, современная дискретная математика играет фундаментальную роль в оптимизации содержания обучения математике в системе «школа-вуз».

К сожалению, в действующих «функционально ориентированных» программах для общеобразовательной школы и, как следствие, в учебниках по алгебре и началам анализа не предусмотрено изучение начальных элементов ДМ. Отсутствие элементов ДМ в программе обучения математике в школе влечет за собой нарушение преемственности в обучении математике. Это в свою очередь препятствует подготовке пособий по ДМ для всего спектра специальностей. Созданные учебные программы по специальностям отличаются большим разнообразием, что далеко не всегда оправданно. На некоторых специальностях преподаются некоторые отдельные разделы ДМ, например элементы теории алгоритмов или теории графов или что-то другое, что не может дать учащимся целостное представление о предмете ДМ. Справедливости ради следует отметить, что проблема системного обучения ДМ в значительной мере решена для математиков и инженеров, специализирующихся в области прикладной математики благодаря ряду известных пособий, изданных для этих специальностей.

Анализ предмета, функций и состояния обучения ДМ в вузах позволяет сделать вывод о том, что проблема разработки пособий по ДМ для студентов той или иной специальности, отвечающих всем необходимым требованиям, неразрешима на базе действующих «функционально-ориентированных» программ и учебников для общеобразовательных средних школ. В частности, на базе этих программ и учебников нельзя реализовать преемственность в изложении: необходимую динамику изменения «тактических» целей и динамику изменения содержания, форм, методов и средств обучения ДМ. Именно по этой причине стала злободневной проблема тщательного специализированного отбора начальных элементов ДМ, которые необходимо изучать в школе.

Как следует из изложенного, актуальность исследования определяется следующими мотивами.

1) Большое разнообразие в содержании обучения ДМ в колледжах (техникумах) и вузах свидетельствует об отсутствии принципов в отборе содержания ДМ.

2) Наблюдающееся сейчас чрезмерное увлечение информационной стороной обучения математике и информатике в школе и вузе наносит ущерб подлинной интеграции обучения этим предметам и не соответствует требованию опережающего практику профессионального образования;

3) В обучении школьников и студентов ДМ отсутствует преемственность обучения. В обучении математике в школах и колледжах и на многих вузовских специальностях, не связанных с приложениями математики, преобладает в основном «функциональный» подход.

Модернизация школьного курса математики возможна только на основе тезисов о единстве и внутренней логике математики [151] и поэтому ее невозможно осуществить без обучения методам как классической («непрерывной») математики, так и современной ДМ.

Конечно, вряд ли разумно пытаться, например, внедрять в курс математики общеобразовательной школы «саму» абстрактную алгебру, математическую логику, теорию алгоритмов, комбинаторный анализ (впрочем, как и функциональный анализ) и т.д. Необходимы «такие методы обучения, когда дорога к серьезным проблемам "мостится из упрощенных, пусть даже сказочных и шуточных задач" [145]. На основе занимательных и практических задач уже с 8-го класса возможно изучение некоторых понятий и фактов ДМ.

Таким образом, в настоящее время имеются противоречия, возникшие в связи с назревшей проблемой введения непрерывного профильного обучения ДМ: противоречие между объективной ролью ДМ как математической основы информатизации (в частности, моделирования с использованием компьютера) и отсутствием методической системы непрерывного профильного обучения ДМ в системе «школа-вуз»; противоречие между психолого-педагогической ролью ДМ как дисциплины, необходимой для формирования стиля мышления «многоборца» в построении полной цепочки использования компьютеров и игнорированием этого важнейшего условия в системном интегрированном обучении математике и информатике.

Компонентами этих основных противоречий являются, в частности, следующие.

Противоречие между «функционально»-ориентированной программой обучения математике в общеобразовательной школе и отстутствием элементов ДМ в содержании программы. Как следует из изложенного, раздельное изучение элементов комбинаторики, логики, теории графов или теории алгоритмов, предлагаемое в методической литературе для школы, уже не отвечает требованиям системного интеграционного подхода в обучении математике и информатике, необходимого для профильного обучения моделированию.

Противоречие между разрозненным преподаванием на вузовских специальностях элементов теории графов, алгоритмов, комбинаторного анализа или других разделов ДМ и отстутствием соответствующего профильного обучения ДМ, что влечет фргаментарность, несистемность обучения моделированию в ряде направлений (групп) подготовки госстандартов высшего (среднего) профессионального образования.

Выявленные противоречия позволяют сформулировать проблему разработки концепции непрерывного профильного обучения дискретной математике в системе «школа-вуз», благодаря которой в учебном процессе достигался бы адекватный избранной профессии уровень обучения моделированию с использованием компьютеров (на основе языка математики и неформального языка той специальной науки, которой обучается будущий специалист)?

Объектом исследования является процесс обучения математике в системе «школа-вуз».

Предмет исследования - методическая система непрерывного профильного обучения дискретной математике в системе «школа-вуз».

Цель исследования - выявление закономерностей обучения дискретной математике в системе «школа - вуз» посредством методологического анализа предметного содержания дискретной математики; оценка и анализ факторов, их обуславливающих; разработка теоретически обоснованной и экспериментально проверенной методической системы такого обучения в школе и вузе.

Гипотеза исследования. Методическая система обучения дискретной математике в системе «школа-вуз» будет наиболее эффективной, если при ее разработке исходить из роли дискретной математики как:

- математической основы обучения построению полной цепочки использования компьютеров;

- содержательной основы интеграции обучения математике и информатике и другим предметам;

- основы развития дискретной компоненты стиля мышления, пово-ляющего наименьшими средствами достигать наилучших результатов во многих областях исследования с использованием компьютера.

- системообразующей и методологической учебной дисциплины, необходимой для формирования у учащихся представлений о современной математике как единой науке со своей внутренней логикой, особенно ярко отражающейся в современной модельной методологии.

Установленные объект, предмет цель и гипотеза исследования потребовали решения в ходе него следующих задач, разделившихся на три группы.

1) Задачи методологического характера:

- исследование роли предмета и функций дискретной математики в оптимизации процесса информатизации и содержания математического образования;

- исследование гносеологических, онтологических, теоретико-моделььных, предметно-методических, социокультурных закономерностей обучения дискретной математике в системе «школа - вуз»;

Эти задачи решаются в первой главе диссертационного исследования.

2) Задачи аналитического характера, связанные с разработкой теоретических основ методической системы обучения дискретной математике в школе и вузе:

- исследование роли математических структур в стратегии отбора содержания непрерывного обучения дискретной математике;

- исследование психологических аспектов и дидактических принципов профильного обучения дискретной математике;

- разработка теоретических основ преемственности в обучении дискретной математике между школой и вузом и поэтапного, профильного обучения дискретной математике в школе;

- разработка «жесткой» и «мягкой» моделей обучения дискретной математике;

- исследование состава и структуры методической системы обучения дискретной математике.

Эти задачи решаются во второй главе диссертационного исследования.

3) Задачи теоретико-методического характера, связанные с непосредственной разработкой методики обучения ДМ:

- анализ особенностей методики обучения и разработка инвариантной части содержания профильного обучения ДМ в школе ;

- исследование различных направлений и особенностей методики обучения ДМ в системе высшего профессионального образования.

4) Задачи, связанные с практической реализацией обучения ДМ в школе:

- разработка методики изучения основных понятий и фактов дискретной математики в школе;

- экспериментальная проверка теоретических основ обучения ДМ в системе «школа-вуз».

Решению задач теоретико-методического и практического характера посвящена третья глава диссертационного исследования.

Методологическими и теоретическими предпосылками исследования являются:

- исследования по философии и методологии математического познания и математического образования (Н.Я.Винер, В.М.Глушков, Б.В.Гне-денко, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев, А.Н. Колмогоров, Л.Д.Кудрявцев, Г.Л.Лу-канкин, К.Е.Морозов, А.Х.Назиев, Я.Г.Неуймин, В.А.Тестов, Г.И.Рузавин, А.А.Столяр, Г.И.Саранцев, Е.М.Вечтомов, А.И.Уемов);

- методология и методика педагогического исследования (Ю.К.Бабан-ский, В.В.Краевский, В.С.Леднев и др.);

- применение теории системного подхода в образовании к обучению: математике (Г.И.Саранцев, В.А.Гусев, И.В.Егорченко, В.И.Крупич, Ю.М.Ко-лягин, В.А.Тестов и др.), информатике (С.А.Бешенков, А.П.Ершов, А.А.Кузнецов, Е.А.Ракитина, В.А.Успенский и др.);

- исследования по методологии методики обучения математике (Г.И.Саранцев, М.Нугмонов, Н.В. Метельский, А.М.Пышкало, Н.Л.Стефано-ва, А.А.Столяр и др.);

- исследования: по методике обучения математике (Б.В.Гнеденко,

A.Н.Колмогоров, Ю.М.Колягин, В.И.Крупич, Л.Д.Кудрявцев, Г.Л.Луканкин,

B.М.Монахов, А.Г.Мордкович, А.Д.Мышкис, М.Нугмонов, В.А.Оганесян, М.А.Родионов, Г.И.Саранцев, А.А.Столяр, В.В.Фирсов, Р.А.Утеева и др.), по психологии обучения моделированию (Н.М.Амосов, И.А.Гибш, Э.Ю.Верник, Н.Г.Салмина, Л.М.Фридман,), по методике обучения моделированию (С.А.Бешенков, И.А. Кузнецова, Ю.А.Кусый, Е.А.Ракитина, В.И.Стукалов и др-);

- исследования по математическим основам информатики (В.М.Глушков, А.П.Ершов, Д. Кнут, А.Н.Колмогоров, А.И.Мальцев, В.А.Успенский и др-);

- концептуальные положения методики обучения математике (М.И.Башмаков, Н.Я.Виленкин, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, А.Г.Мордкович, Н.В.Метельский, В.А.Оганесян, Д.Пойа, Г.И.Саранцев, А.А.Столяр, В.А.Тестов, В.В.Фирсов и др.);

- исследования по общедидактическим принципам обучения (С.И.Архангельский, Ю.К.Бабанский, Дж. Брунер, В.Оконь, М.Н.Скаткин, и др.) и работы о дидактических принципах обучения математике и построения математических курсов (В.А.Далингер, Г.В.Дорофеев, Л.Д.Кудрявцев, Н.В.Метельский, А.Г.Мордкович, В.А.Оганесян, В.А.Тестов и др.);

- теория деятельностного подхода и развивающего обучения (О.Б.Епишева, В.И.Крупич, Г.И.Саранцев и др);

- концепции психического развития (Дж. Брунер, Л.С.Выготский, А.Н.Леон-тьев, Ж.Пиаже), интеллекта (Б.Г.Ананьев, Л.М.Веккер, Ж.Пиаже, М.А.Холодная);

- работы по исследованию математических когнитивных (познавательных) структур и схем мышления (Л. С. Выготский, Л.Б.Ительсон, Л.А.Ка-лужнин, Д.Норман, Ж.Пиаже, Я.А.Пономарев, А.А.Столяр и др).

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования:

- теоретический анализ философской, психолого-педагогической, методологической и методической литературы по теме исследования;

- теоретический анализ научных монографий и обзоров по дискретной математике, по абстрактной алгебре, математической логике, теории алгоритмов, теории графов, комбинаторному анализу и смежным математическим дисциплинам;

- изучения научной и методической литературы по системам компьютерной математики и компьютерным технологиям;

- анализа вузовских и школьных программ, учебников и учебных пособий по дискретной математике для студентов вузов (включая более трех десятков отечественных и зарубежных пособий);

- анализ организации процесса преподавания математики в реальной и вузовской практике, лонгитюдные наблюдения за педагогической деятельностью учителей и преподавателей вузов и учебно-позна-вательной деятельностью учащихся;

- изучение и анализ педагогического опыта отечественных и зарубежных преподавателей высшей школы, а таюке собственного опыта работы автора (и его последователей) в школах, гимназиях, лицеях и вузах гг. Екатеринбурга, Кирова, Самары; интервьюирование и тестирование учащихся и студентов,

- широкий педагогический эксперимент по проверке основных теоретических положений исследования и эффективности разработанной методической системы обучения ДМ со статичтической обработкой результатов эксперимента.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

1. На основе комплексного исследования философских, теоретико-модельных, предметно-методических, социокультурных аспектов методологии обучения дискретной математике в школе и вузе обоснована необходимость введения элементов дискретной математики на всех этапах школьного и профессионального обучения.

2. Создана целостная концепция непрерывного обучения дискретной математике в системе «школа - вуз», базирующаяся на том, что дискретная математика как математическая основа информатизации стала неотъемлемой частью общей культуры специалиста, умело использующего современные информационные, компьютерные, мультимедийные и телекоммуникационные продукты. Сущность концепции заключена в том, что обучение дискретной математике должно быть направлено на адекватное специальности обучение методам моделирования с использованием компьютера и формирование «дискретной» компоненты математического стиля мышления учащегося.

3. В процессе обоснования и разработки концепции дан исторический анализ возникновения и формирования дискретной математики как научной дисциплины. Установлено следующее:

- понятие полной цепочки использования компьютеров стало идейной и содержательной основой формирования дискретной математики;

- дискретная математика является основой моделирования с использованием компьютера во многих областях исследований;

- дискретная математика является математической основой информатизации: разработки и совершенствовании систем компьютерной математики, компьютерных технологий, внутриматематических исследований.

3. В рамках концепции разработаны теоретические основы методической системы непрерывного обучения дискретной математике в школе и вузе, а именно, исследованы:

- роль математических структур как основы стратегии отбора содержания непрерывного обучения дискретной математике;

- психологические аспекты стратегии обучения дискретной математике (психологические истоки и основы математического моделирования; системно-структурный подход в обучении дискретной математике на основе формирования и развития математических когнитивных структур и схем);

- дидактические принципы построения профильных курсов обучения дискретной математике (система использования принципов развивающего обучения, научности, генерализации знаний; внутрипредметных связей и других);

- теоретические основы преемственности в обучении дискретной математике между школой и вузом (возрастные особенности формирования и развития математических когнитивных структур; внутрипредметные и межпредметные связи математики; принципы развивающего обучения, реализуемые на основе задач с сюжетным текстом)

-этапы обучения дискретной математике (предобучение с 1-го по 7-й класс; предпрофильное обучение в 8 - 9-х классах; профильное обучение в 10 - 11-х классах; профессиональная подготовка в вузе);

- теоретические основы профильного обучения дискретной математике в школе (методика отбора содержания предпрофильного обучения дискретной математике, выбор профилей обучения, концептуальная характеристика профилей обучения дискретной математике);

- «жесткая» и «мягкая» модели обучения дискретной математике;

- роль дискретной математики в обучении моделированию с использованием компьютеров (дискретная математика: обеспечивает фундаментальность профильного обучения математическому моделированию, необходима для создания реестра образцов математического моделирования, дает возможность обучаемому представить классификацию всех основных видов моделирования в избранной профессиональной области, выработать умение анализировать возможности математического языка в решении поставленной задачи и представлять необходимые для этого средства и персонал).

4. Исследованы внешняя среда и состав, структура методической системы обучения дискретной математике в системе «школа - вуз» в зависимости от лидирующего компонента или фактора, которыми являются цели обучения или содержание обучения, либо структура личности ученика или дидактические принципы обучения (схемы 3 - 6).

5. Выявлены основные особенности методики обучения ДМ в системе «школа - вуз»: отбора основного содержания дискретной математике для профильного обучения в 8 - 11 классах; реализации принципа преемственности в обучении; методики изучения понятий математической модели, алгоритма и алгоритмической разрешимости; изучения математического языка; дискретного и непрерывного в обучении математики; отбора задач по дискретной математике.

Теоретическая значимость исследования определяется следующим:

- теория обучения математике пополнена целостным представлением о фундаментальной роли дискретной математики в общеобразовательной и профессиональной подготовке современных школьников и специалистов с высшим и средним образованием.

- обосновано, что современная дискретная математика является математической основой обучения информатизации, гармоничного сочетания формального языка математики, неформального языка науки, в области которой проводится исследование и уникальных возможностей современных компьютеров;

- исследованы функции современной дискретной математики в математическом моделировании, в совершенствовании систем компьютерной математики, в компьютерных технологиях, во внутриматематических исследованиях на основе компьютера;

- исследована роль дискретной математики как основы системного интегрированного обучения математике и информатике;

- обосновано, что целый ряд понятий современной дискретной математики (комбинаторная конфигурация, граф, бинарное отношение, отображение, логическая и алгебраическая операция, изоморфизм, предикат и квантор, алгоритм, формализованный язык) являются общеобразовательными общекультурными понятиями, важными в модернизации школьного курса математики;

- уточнены понятия полной цепочки использования компьютера и модели как необходимые общекультурные педагогические категории.

Практическая значимость исследования состоит в том, что предложены конкретные пути непрерывного профильного обучения дискретной математике в системе «школа - вуз» , а именно:

• разработано учебно-методическое обеспечение для школ: программы и учебное пособие по дискретной математике, которые могут быть использованы учителями средней школы на факультативных занятиях, при разработке элективных курсов, на уроках математики (в классах физико-математического, физико-химического, информационно-технологического, индустриально-технологического, социально-экономического профилей) и школьниками при изучении дискретной математики;

• разработано учебно-методическое обеспечение для вузов: программа и учебные пособия по дискретной математике, которые могут быть использованы преподавателями, читающими основной курс дискретной математики и спецкурсы, и студентами педвузов;

• разработана методика изучения в школе понятий и фактов дискретной математики, имеющих фундаментальное значение в обучении построению полной цепочки использования компьютеров;

• разработана методика изучения в школе видов алгоритмически разрешимых и неразрешимых задач, важных для классификации задач математического моделирования;

• систематизированы имеющиеся и разработаны новые методы формирования практических умений и навыков моделирования с использованием компьютеров в системе «школа - вуз».

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечивается: обоснованностью и четкостью выбранных методологических, математических, историко-математических и историко-кибернетических, психолого-педагогических и методических позиций, положенных в основания исследования, корректным применением к исследуемой проблеме системного деятельностного, культурологического (социокультурного) и исторического подходов, а также комплекса методов, адекватных объекту, предмету, цели и задачам исследования, достаточной продолжительностью опытно-экспериментальной работы в процессе личного преподавания и преподавания по разработанным основам методики коллегами из многих школ, гимназий, лицеев и вузов Екатеринбурга, Кирова, Самары и многих других городов страны, имевшими возможность использовать в своей работе разработанное автором пособие для общеобразовательной школы и совместно с Г.А.Клековкиным учебное пособие для педуниверситетов, логической непротиворечивости проведенных рассуждений, согласованностью полученных выводов с положениями базисных наук и принципиальной согласованностью с собственным опытом и опытом коллег.

Основные этапы исследования.

I. Констатирующий этап (1988 - 1993 гг.). На первом констатирующем этапе проводился анализ состояния обучения дискретной математике в высшем профессиональном образовании. А именно, вначале исследовалась проблема преемственности обучения ДМ между школой и вузом, возникшая в связи с введением обучения дискретной математике в конце 70-х годов прошлого века на специальностях, связанных с математикой и ее приложениями, а в конце 80-х годов - на инженерно-технических и сельскохозяйственных специальностей вузов (см. соответствующий раздел в Программе [253]). Проблема преемственности возникла в связи с тем, что подавляющее большинство выпускников общеобразовательных учреждений испытывали большие трудности в изучении ДМ в вузе (и особенно - в изучении математических структур и схем, доминирующих в дискретной математике).

Для решения проблемы преемственности проводился анализ содержания первых учебных изданий по дискретной математике и учебников по математике для 10-11 классов. Была выявлена необходимость введения обучения дискретной математике школьников, профессионально ориентированных на математику и ее приложения в программировании и инженерных науках, связанных с разработкой и эксплуатацией электроннно-вычислительной техники.

Наряду с другими проблемами обучения высшей математике был предпринят также анализ проблем обучения первокурсников теоретико-модельному языку ДМ (и таким его понятиям, как отношение и алгебраическая операция), что позднее в явном виде было представлено в небольшой книге по дискретной математике [216], посильной для восприятия школьников.

II. Поисковый этап (1994 - 1998 гг.). Началась целенаправленная работа по анализу проблем обучения дискретной математике в школе. В 1994 -1995 гг. выявлена необходимость разработки программы обучения ДМ на факультативных занятиях в школе. В процессе разработки программы сначала проводился анализ первых учебных изданий по дискретной математике, а затем - литературы по приложениям математики в системном программировании и литературы по разработке ЭВМ (позднее получивших название литературы по системам компьютерной математики и копьютерным технологиям соответственно). В результате возникла необходимость анализа философской и математической литературы по модельной методологии. Анализ различных аспектов модельной методологии в эпоху информатизации позволил охарактеризовать предмет и функции ДМ. Выявлена и исследована фундаментальная роль дискретной математики в методологии математического моделирования на основе компьютеров и интеграции обучения математике и информатике в школе и вузе. Более того, обосновано, что с философско-математической точки зрения ДМ является основой гармоничного использования формального языка математики, неформального языка той науки, в области которой проводится исследование, и уникальных возможностей современных компьютеров.

На основе всего перечисленного выявлена необходимость введения непрерывного обучения дискретной математике в системе «школа - вуз». В частности, выявлена роль логико-алгебраических и комбинаторных понятий дискретной математики в обучении школьников решению сложных нестандартных задач вступительных экзаменов, необходимых для проверки их готовности к обучению в вузах на специальностях, связанных с математикой и ее приложениями.

Результаты второго этапа в отражены в книге [245], в разработанной в 1998 г. программе обучения дискретной математике (внедренной в учебный процесс нескольких общеобразовательных школ и гимназий г. Екатеринбурга в 1996 - 2004 гг. и опубликованной в приложении в учебному пособию [213]) и позднее в работах [228, 230].

III. Мотивационно-целевой этап (1999 - 2001 гг.). Характеризуется как этап разработки концепции обучения дискретной математике в системе школа-вуз». Проанализированы межпредметные связи школьной математики и информатики, роль ДМ как содержательной основы прикладной направленности обучения математике в школе и вузе. В результате анализа элементов дискретной математики в литературе для школьников выявлены особенности методики обучения ДМ в школе. Анализ содержания обучения дискретной математике в пособиях для вузов выявил различные направления обучения и особенности методики обучения ДМ в системе высшего профессионального образования. Проанализирована проблема подготовки адаптированных пособий по дискретной математике.

Исследованы методологические и теоретические основы непрерывного обучения дискретной математике в системе «школа - вуз». В частности, исследована: роль математических структур как основы стратегии отбора содержания непрерывного обучения ДМ; психологические аспекты теории обучения дискретной математике; дидактические принципы разработки содержания и определения целей профильных курсов обучения ДМ; теоретические основы преемственности в обучении дискретной математике между школой и вузом и поэтапного профильного обучения ДМ.

На основе всего перечисленного выявлена роль дискретной математики в обучении математическому моделированию. Также обосновано, что с психолого-педагогической точки зрения дискретная математика - дисциплина, являющаяся основой развития дискретной компоненты стиля мышления, позволяющего наименьшими средствами достигать наилучших результатов в любой области исследования, как правило, с использованием компьютера.

Результаты третьего этапа отражены в работах [215 - 217, 220 - 224, 226, 227, 232 -234].

17. Экспергшенталъно-обучающий этап (2002 - 2006 гг.). На этом этапе проводилось (и продолжается в настоящее время) экспериментальное преподавание по учебному пособию по дискретной математике [213] для общеобразовательных учебных заведений с анализом результатов эксперимента. Охарактеризованы различия жесткой» и «мягкой» модели обучения ДМ.

В результате преподавания по пособию разработаны основы методики обучения дискретной математике в школе и варианты отбора содержания предпрофильного и профильного обучения ДМ по математическому, базовому и общему профилю.

Выявлены особенности методики изучения: первых понятий и фактов комбинаторики, понятий графа, бинарного отношения, алгебраической операции и алгебры, математической модели, математического языка, алгоритма и алгоритмической разрешимости.

Результаты четвертого этапа опубликованы в работах [213, 219, 225, 236 - 244].

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Дискретная математика - это учебная дисциплина, являющаяся основой развития дискретной компоненты стиля мышления, позволяющего наименьшими средствами достигать наилучших результатов во многих областях исследования с использованием компьютера.

2. Профильный курс дискретной математики для студентов должен быть нацелен на адекватное специальности обучение всей системе методов математического моделирования с использованием компьютера, основанных, как на классической («непрерывной»), так и дискретной математике.

3. Основными лидирующим компонентами или факторами методической системы обучения дискретной математике (определяющими состав и взаимосвязи ее традиционных компонентов) наряду с целями или содержанием обучения в зависимости от профиля обучения могут стать структура личности ученика или система дидактических принципов обучения.

4. Методика непрерывного профильного обучения дискретной математике является основой методики обучения построению полной цепочки использования компьютера: реальная ситуация, математическая модель, алгоритм, программа, симуляция решения, анализ результатов.

5. Доминирующие в дискретной математике алгебраические, порядковые структуры и логические, алгоритмические, комбинаторные схемы (как средства, методы математического познания) являются основой стратегии отбора содержания обучения учебному предмету «Дискретная математика».

6. Для реализации непрерывного обучения дискретной математике необходимо введение математического, базового и общего профилей обучения дискретной математике в школе.

Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты диссертационного исследования апробировались в ряде общеобразовательных учреждений и вузов. Основные положения и результаты исследования представлены:

- на международных конференциях: «Педагогический процесс как культурная деятельность», IV Международная научно-практическая конференция (Самара, 2002); «Проблемы математического образования и культуры», Международная научная конференции (Тольятти, 2003); «57-е Герце-новские чтения», Международная научная конференция (С.-Петербург, 2004); «Математика. Образование. Культура», II Международная научная конференция (Тольятти, 2005). «Математическое образование: прошлое, настоящее, будущее», I Международная научно-практическая конференция (Москва - Самара, 2006).

- на Всероссийских конференциях: «Актуальные проблемы обучения математике», Всероссийская научно-практическая конференция (Орел, 2002); «Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики», Всероссийская научно-практическая конференция (Нижний Новгород, 2002); «Проблемы современного математического образования в вузах и школах России», Ш Всероссийская научная конференция (Киров, 2004); «Задачи в обучении математике», Всероссийская научно-практическая конференция (Вологда, 2007).

- на Всероссийских семинарах: «Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики», XXI Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Санкт-Петербург, 2002); «Математическая и методическая подготовка студентов педвузов и университетов в условиях модернизации образования», XXII Всероссийский семинар преподавателей математики педвузов и университетов (Тверь, 2003), «Актуальные проблемы преподавания математики в педагогических вузах и средней школе», XXIII Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Челябинск, 2004); «Проблемы и перспективы информатизации математического образования», Всероссийская научно-методическая школа-семинар (Елабуга, 2004); «Современные проблемы школьного и вузовского математического образования», XXIУ Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Саратов, 2005); «Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах», ХХУ Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Киров, 2006)

- на российских конференциях: «Математика и информатика в модернизации современного гуманитарного образования», Российская научно-практическая конференция (Екатеринбург, 2003). «Математика в современном мире», 2-й Российская научно-практическая конференция (Калуга, 2004)

- на межрегиональных конференциях: «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России», II Межрегиональная научная конференция (Киров, 2001); «Колмогоровские чтения - IV» (Ярославль, 2006).

- на областных конференциях: «Модернизация содержания математического образования и новые средства обучения математике, областная научно-практическая конференция (Самара, 2003).

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Заключение

Разработанная методическая система непрерывного профильного обучения ДМ в системе «школа-вуз» состоит из методологической, теоретической части и методики ее реализации, в которых получены следующие основные результаты и выводы диссертационного исследования.

Результаты и выводы методологического характера:

1. На основе комплексного исследования философских, теоретико-модельных, предметно-методических, социокультурных аспектов методологии обучения дискретной математике в школе и вузе создана целостная концепция непрерывного обучения дискретной математике в системе «школа - вуз».

Сущность концепции заключена в том, что обучение дискретной математике должно быть направлено на адекватное специальности обучение методам моделирования с использованием компьютера и формирование «дискретной» компоненты математического стиля мышления учащегося.

2. В процессе разработки концепции дан исторический анализ возникновения и формирования дискретной математики как научной дисциплины. Установлено следующее:

- понятие полной цепочки использования компьютеров стало идейной и содержательной основой формирования дискретной математики;

- дискретная математика является основой моделирования с использованием компьютера во многих областях исследований;

- дискретная математика является математической основой информатизации: разработки и совершенствовании систем компьютерной математики, компьютерных технологий, внутриматематических исследований.

Результаты и выводы теоретического характера:

1. В рамках концепции разработаны теоретические основы методической системы непрерывного обучения дискретной математике в школе и вузе, а именно, исследованы:

- роль математических структур как основы стратегии отбора содержания непрерывного обучения дискретной математике;

- психологические аспекты стратегии обучения дискретной математике (психологические истоки и основы математического моделирования; системно-структурный подход в обучении дискретной математике на основе формирования и развития математических когнитивных структур и схем);

- дидактические принципы построения профильных курсов обучения дискретной математике (система использования принципов развивающего обучения, научности, генерализации знаний; внутрипредметных связей и других);

- теоретические основы преемственности в обучении дискретной математике между школой и вузом (возрастные особенности формирования и развития математических когнитивных структур; внутрипредметные и межпредметные связи математики; принципы развивающего обучения, реализуемые на основе задач с сюжетным текстом)

-этапы обучения дискретной математике (предобучение с 1-го по 7-й класс; предпрофильное обучение в 8 - 9-х классах; профильное обучение в 10 -11-х классах; профессиональная подготовка в вузе);

- теоретические основы профильного обучения дискретной математике в школе (методика отбора содержания предпрофильного обучения дискретной математике, выбор профилей обучения, концептуальная характеристика профилей обучения дискретной математике);

- «жесткая» и «мягкая» модели обучения дискретной математике;

- роль дискретной математики в обучении моделированию с использованием компьютера (дискретная математика: обеспечивает фундаментальность профильного обучения математическому моделированию, необходима для создания реестра образцов математического моделирования, дает возможность обучаемому представить классификацию всех основных видов моделирования в избранной профессиональной области, выработать умение анализировать возможности математического языка в решении поставленной задачи и представлять необходимые для этого средства и персонал).

2. Исследованы внешняя среда и состав, структура методической системы обучения дискретной математике в системе «школа - вуз» в зависимости от лидирующего компонента или фактора, которыми являются цели обучения или содержание обучения, либо структура личности ученика или дидактические принципы обучения (схемы 4 - 7).

3. Выявлены основные особенности методики обучения ДМ в системе «школа - вуз»: отбора основного содержания дискретной математике для профильного обучения в 8 - 11 классах; реализации принципа преемственности в обучении; методики изучения понятий математической модели, алгоритма и алгоритмической разрешимости; изучения математического языка; дискретного и непрерывного в обучении математики; системы отбора задач по дискретной матем.атике.

На основе перечисленных результатов можно в совокупности следующим образом охарактеризовать основные положения концепции непрерывного обучения дискретной математике в системе «школа - вуз»:

1) Высокая значимость обучения дискретной математике как математической основе информатизации определяется тем, что владение идеями и методами дискретной математики стало неотъемлемой частью общей культуры специалиста, умело использующего современные информационные технологии.

2) Целенаправленное формирование в процессе обучения «дискретной» компоненты мател1атического стиля мышления становится необходимым условием, обеспечивающим в будущей профессиональной деятельности эффективность и продуктивность в моделировании с использованием компьютера.

3) Обучение дискретной математики должно быть целостным непрерывным процессом, охватывающим все этапы школьного и профессионального обучения.

4) Непрерывное обучение дискретной математике (и на базе этого моделированию) в системе школа-вуз, отвечающее сегодняшним и перспективным требованиям и запросам общества, должно на каждом этапе обучения строиться на следующих общих дидактических принципах: а) развивающего и воспитывающего характера обучения; б) научности, фундаментальности и прикладной направленности; в) системности, систематичности и последовательности; г) учета возрастных и индивидуальных возможностей и особенностей учащихся, уровня их обученности на предыдущих этапах обучения; д) активности, самостоятельности и сознательности обучающихся. Реализация этих принципов позволит обеспечить содержательную и процессу-ально-деятельностную преемственность между отдельными этапами непрерывного образовательного процесса.

5) Курс дискретной математики необходим для комплексного обучения моделированию, обеспечивающего межпредметные связи математики, информатики и других дисциплин.

6) Непрерывное обучение моделированию с использованием компьютера должно строиться на гармоничном сочетании фундаментальных методов как классической («непрерывной»), так и дискретной математики.

7) Обучение дискретной математике позволяет учащимся глубже понять сущность происходящего процесса математизации наук и информатизации всех сфер деятельности; способствует усилению прикладной направленности математического образования. Тем самым, обучение ДМ повышает познавательную мотивацию и интерес учащихся и студентов к изучению математики и информатики.

8) Постановка единого курса дискретной математики в системе высшего (среднего) профессионального образования позволяет преодолеть разрозненность в преподавании элементов теории графов, теории алгоритмов, комбинаторного анализа и других разделов ДМ и на этой основе избежать фрагментарности обучения моделированию (по той или иной специальности).

Практические результаты и выводы. Разработано учебно-методическое обеспечение для школ: программы и учебное пособие по ДМ, которые могут быть использованы: учителями средней школы на факультативных занятиях, при разработке элективных курсов, на уроках математики в классах с физико-матема-тическим, физико-химическим, информационно-технологическим, индустриально-технологическим, социально-экономическим профилем; школьниками при изучении ДМ.

Разработано учебно-методическое обеспечение для вузов: программа и учебное пособие по ДМ, которые могут быть использованы преподавателями, читающими основной курс ДМ и спецкурсы, а также студентами педвузов.

Разработаны методики изучения в школе понятий и фактов ДМ, имеющих фундаментальное значение в обучении построению полной цепочки использования компьютеров, и видов алгоритмически разрешимых и неразрешимых задач, важных для классификации задач математического моделирования.

Систематизированы имеющиеся и разработаны новые методы формирования практических умений и навыков моделирования с использованием компьютеров в системе «школа - вуз».

Итак, можно сделать следующий важный вывод о том, что полученные результаты подтверждают гипотезу исследования:

Методическая система обучения дискретной математике в системе «школа-вуз» будет наиболее эффективной, если при ее разработке исходить из роли дискретной математики как:

- математической основы обучения построению полной цепочки использования компьютеров;

- содержательной основы интеграции обучения математике и информатике и другим предметам;

- основы развития дискретной компоненты стиля мышления, поволяюще-го наименьшими средствами достигать наилучших результатов во многих областях исследования с использованием компьютера.

- системообразующей и методологической учебной дисциплины, необходимой для формирования у учащихся представлений о современной математике как единой науке со своей внутренней логикой, особенно ярко отражающейся в современной модельной методологии.

Перечисленные результаты и выводы исследования подтвердили справедливость основных положений диссертации, вынесенных на защиту.

Действительно, как следует из анализа методологических основ обучения дискретной математике, ДМ является математической основой информатиаза-ции, гармоничного использования формализованного языка математики, неформализованного языка той науки, в области которой проводится исследование, и уникальных возможностей современных компьютеров. Поэтому наряду с «функциональной» линией в обновлении содержания математического образования в школе важное значение имеет «дискретная» линия, необходимая для реализации в обучении основополагающего тезиса об единстве и внутренней логике математики. В результате обосновано положение диссертационного исследования, согласно которому дискретная математика - это учебная дисциплина, являющаяся основой развития дискретной компоненты стиля мышления, позволяющего наименьшими средствами достигать наилучших результатов во многих областях исследования с использованием компьютера.

В результате исследования теоретических основ обучения, целей и содержания обучения дискретной математики в зависимости от направления подготовки, обосновано второе положение диссертационного исследования о том, что профильный курс дискретной математики для студентов должен быть нацелен на адекватное специальности обучение всей системе методов математического моделирования с использованием компьютера, основанных как на классической («непрерывной»), так и дискретной математике. При этом в силу своей фундаментальной роли в различных видах моделирования с использованием компьютера дискретная математика является тем методологическим и методическим «механизмом», который обеспечивает действенность обучения моделированию, позволя раскрыть конкретный характер важного в обучении ДМ соответствия между структурами реальных процессов, операционными структурами мышления и структурами математикию

Как следует из анализа методологических и теоретических основ обучения дискретной математике, в методической системе обучения дискретной математике выявляются новые «не традиционные» лидирующие компоненты и факторы методической системы обучения ДМ. На различных этапах и уровнях анализа методической системы обучения дискретной математике обоснована справедливость третьего положения диссертационного исследования о том, что основными лидирующим компонентами и факторами, определяющими состав и взаимосвязи компонентов методической системы обучения ДМ могут быть цели обучения предмету «Дискретная математика», содержание обучения, структура личности ученика и дидактические принципы обучения.

Анализ методических аспектов обучения дискретной математике в системе «школа - вуз» показывает, что справедливо четвертое положение диссертационного исследования о том, что методика непрерывного профильного обучения дискретной математики является основой методики обучения построению полной цепочки использования компьютера: реальная задача, перевод задачи на адекватный математический язык, разработка математической модели решения задачи, составление алгоритма решения и соответствующей ему программы для ЭВМ, симуляция решения, анализ результатов.

Как следует из анализа теоретических основ обучения ДМ, определяющую роль в формировании дискретной компоненты мышления учащегося играют математические структуры. Поскольку математические структуры и схемы являются основой стратегии отбора содержания обучения математике, то обучение ДМ должно быть основано на исходящем из этой роли математических структур и схем подходе в обучении математике, называемым системно-структурным подходом. Он позволяет раскрыть характер соответствия между структурами реальных процессов, операционными структурами мышления и структурами математики.

В силу своей фундаментальной роли в различных видах моделирования с использованием компьютера дискретная математика является тем методологическим и методическим «механизмом», который обеспечивает действенность обучения моделированию и тем самым позволяет раскрыть конкретный характер этого важного соответствия для каждого профиля обучения. Поэтому является обоснованным пятое положение диссертационного исследования, согласно которому доминирующие в дискретной математике алгебраические, порядковые структуры и логические, алгоритмические, комбинаторные схемы (как средства, методы математического исследования) являются основой стратегии отбора содержания обучения учебному предмету «Дискретная математика».

Анализ теоретических основ профильного обучения дискретной математике в школе свидетельствует, что справедливо шестое положение диссертационного исследования о необходимости введения математического, базового и общего профилей обучения дискретной математике в школе.

В связи с проведенным исследованием возникают следующие, на наш взгляд, перспективы дальнейших исследований:

1) Глобальная проблема: исследование концептуальной и методологической роли ДМ в разработке стратегии обучения математическому моделированию студентов вузов.

2) Исследование концептуальной роли ДМ в стандартизации обучения курсу математики и информатики в системе высшего и среднего профессионального образования.

3) Отбор общеобразовательных понятий и фактов ДМ для каждого из 14-ти профилей обучения в школе и разработка соответствующих методик их изучения (на основе концепций математического, базового и общего профиля обучения ДМ).

4) Выявление конкретных особенностей «мягкой» модели обучения ДМ для каждого профиля обучения в школе.

Список литературы диссертации автор научной работы: доктора педагогических наук, Перминов, Евгений Александрович, Саранск

1. Абрамян, А. О. Математизация знаний. / А.О. Абрамян. - Ростов-н/Д: Изд. Рост, ун-та, 1972. - 160 с.

2. Акритас, А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. / Акри-тас А. М.: Мир, 1994. - 272 с.

3. Акимов, O.E. Дискретная математика: логика, группы, графы. / Акимов O.E. 2-е изд., доп. М.: Лаб. базовых знаний, 2001. - 272 с.

4. Александров, П.С. Введение в теорию групп. / П.С. Александров. М.: Учпедгиз, 1951. - 125 с.

5. Ананьев, Б.Г. Развитие психологических функций взрослых людей./ Б.Г. Ананьев, Е.И., Степанова. -М.: Педагогика, 1977. 248 с.

6. Андерсон, Д.А. Дискретная математика и комбинаторика: пер. с англ./ Д.А.Андерсон. М.: Изд. дом «Вильяме», 2003. - 960 с.

7. Арнольд, В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. / В.И. Арнольд. М., 2000. - 32 с .

8. Архангельский, С.И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы. / С.И.Архангельский. М.: «Высшая школа», 1980. -368 с.

9. Асанов, М.О., Баранский В.А., Расин В.В. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы. / М.О.Асанов, В.А.Баранский, В.В.Расин. -Ижевск: НИЦ «Регуляр. и хаот. динамика», 2001. 288 с.

10. Асеев, Г.Г., Абрамов О.М., Ситников Д.Э. Дискретная математика: учеб. пособие. / Г.Г.Асеев , О.М.Абрамов, Д.Э.Ситников. Ростов н/Д: Феникс; Харьков: Торсинг, 2003. - 144 с.

11. Ахо, А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. / А Ахо., Дж.Хопкрофт, Дж.Ульман. М.: Мир, 1979. -536 с.

12. Бабанский, Ю.iCПроблемы повышения эффективности педагогического исследований. / Ю.К.Бабанский. М.: Педагогика, 1982. - 192 с.

13. Балк, М. Б. Математика после уроков. / М. Б. Балк, Г. Д. Балк. М.: Просвещение, 1971. - 462 с.

14. Балхаше, В.А. Философско-методологические основы математизации знания. / В.А.Балханов. Улан-Удэ: Бурят, кн. изд-во, 1986. - 171 с.

15. Баранский, В. А. Введение в общую алгебру и ее приложения: учеб. пособие. / В. А.Баранский. Екатеринбург: Изд-воУрГУ, 1991. - 60 с.

16. Белоусов, А.И. Дискретная математика: учеб. для вузов. / А.И.Белоусов, С.Б. Ткачев. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. - 744 с.

17. Беран, Л. Упорядоченные множества и решетки: пер. с чеш. / Л. Беран. М.: Наука, 1981. - 176 с.

18. Берэю, К. Теория графов и ее применения. / К. Берж. М.: Иностр. лит, 1962. -319 с.

19. Бешенков, С.А., Ракитина, Е.А. Решение типовых задач по моделированию. // Информатика в школе. Приложение к журн. «Информатика и образование», 2005. - № 1. - С. 1 - 96.

20. Биркгоф, Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра: пер. с англ. / Г. Биркгоф, Т. Барти. М.: Мир, 1976. - 400 с.

21. Блох, А.Я., Бухштаб А. А. Алгебраические числовые кольца и поля: метод, разработка к спецкурсу «Фак. занятия в ст. кл. сред. шк». / А.Я.Блох, А. А.Бухштаб. М.: МГПИ, 1973. - 63 с.

22. Болтянский, В.Г., Савин А.П. Беседы о математике: Кн. 1. Дискретные объекты. / В.Г.Болтянский, А.П. Савин. М.: ФИМА, МЦНМО, 2002. -368 с.

23. Большая советская энциклопедия. В 51 т. Изд 2-е. / М: «Большая сов. энцикл.», 1954. Т. 26.

24. Борн, М. Физика в жизни моего поколения. / М.Борн. М.: Иностр. лит., 1963. - 142 с.

25. Босова, Л.Л. Развивающие задачи по информатике. / Л.Л. Босова. // Информатика и образование. Серия «Информатика - школе». - 2000. -127 с.

26. Брунер, Дж. Торжество разнообразия: Пиаже и Выготский. // Вопр. психологии. 2001 № 4. - с. 3 - 13.

27. Бруснецов, Н.П. Мини-компьютеры. / Н.П.Бруснецов. М.: 1979.174 с.

28. Бунимович, Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики. // Математика в шк. 2002. - № 6. - с. 52- 58.

29. Бутузов, В.Ф. Математика: учеб. для экономистов. 10 11-й классы. / В.Ф.Бутузов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров, М.В.Ткачева, Н.Е.Фе-дорова, М.И.Шабунин. -М.: САНТАКС-ПРЕСС, 1966. - 199 с.

30. Веккер, Л.М. Психика и реальность: единая теория психических процессов. / JIM. Веккер. М.: Смысл, 1998. - 685 с.

31. Вечтомов, Е.М. Философия математики: моногр. / Е.М.Вечтомов. -Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. 192 с.

32. Виленкин, Н.Я. Популярная комбинаторика. / Н.Я. Виленкин. — М.: Наука, 1975.-208 с.

33. Виленкин, Н.Я. Рассказы о множествах. / Н.Я.Виленкин. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. - 128 с.

34. Виленкин, Н.Я. и др. Современные основы школьного курса математики. / Н.Я.Виленкин, К.И.Дуничев, Л.А.Калужнин, А.А.Столяр . М.: Просвещение, 1980. - 239 с.

35. Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ: учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики. 5-е изд. / Н.Я. Виленкин, Ивашев- О.С. Мусатов, С.И. Шварцбурд. М.: Просвещение, 1996. - 288 с.

36. Винер, Н.Я. Я математик. / Н.Я.Винер. - М.: Наука, 1964. - 355 с.

37. Воробьев, Е.М. Введение в систему «Математика». / Е.М.Воробьев. -М.: Финансы и статистика, 1998. 261 с.

38. Воробьев, H.H. Теория игр. /Н.Н.Воробьев. М.:3нание, 1976.64 с.

39. Ворожцов, A.B. Путь в современную математику. / A.B. Воролщов. -М.:Едиториал УРРС, 2003. 144 с.

40. Гаврилов, Г.П. Задачи и упралснения по дискретной математике. 3-е изд перераб. / Т.П. Гаврилов, А.А.Сапоженко. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. -416 с.

41. Галкин, Е.В. Нестандартные задачи по математике: задачи логич. характера: Кн. для учащихся 5-11-х кл. / Е.В.Галкин. М.: Просвещение: Учеб. Лит. 1996. - 160 с.

42. Гальперин, Г. А. Московские математические олимпиады. / Г.А.Гальперин, А. К.Толпыго. -М.: Просвещение, 1986. 303 с.

43. Гейп, А.Г Земля информатика: пособие для учителей. / А.Гейн. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, Изд-во Дома учителя, 1997. - 206 с.

44. Гейи, А.Г. Изучение информационного моделирования как средство реализации мелспредметных связей информатики с дисциплинами естественнонаучного цикла: автореф. дис.д-ра пед. наук. М., 2000. - 328 с.

45. Гейн, А.Г., Сенокосов А.И. Информатика: учеб. для 8-9-х кл. шк. с уг-лубл. изуч. информатики. / А.Г.Гейн, А.И.Сенокосов. М.: Просвещение, 1995.-256 с.

46. Гейн, А.Г. Информатика, учеб. для 8-9 классов общеобразоват. учре-лсдений. 3-е изд. / Гейн А.Г., Е.В.Линецкий, М.В.Сапир, В.Ф.Шолохович. М.: Просвещение, 1996. - 246 с.

47. Генкин, С.А. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. / С.А.Генкин, И.В. Итенберг, Д.В.Фомин. Киров: АСА, 1994.-272 с.

48. Гладкий, A.B. Формальные грамматики и языки. / А.В.Гладкий . -М.: Наука, 1973.-368 с.

49. Гласс, Дж. Статистические методы в педагогике и психологии, пер.с англ. / Гласс, Дж., Стенли Дж. М.: «Прогресс», 1976. - 495 с.

50. Глушков, В.М. Введение в АСУ. / В.М.Глушков. Киев: «Техника», 1974.-319 с.

51. Глушков, В.М. Введение в кибернетику. / В.М.Глушков. Киев: Изд-во АН УССР, 1964.-324 с.

52. Глушков, В.М. Гносеологическая природа информационного моделирования. // Вопросы философии. 1963. - № 10. - С. 12-19.

53. Глушков, В.М. Гносеологические основы математизации науки. /

54. B.М.Глушков. // Труды семинара «Методологические вопросы кибернетики». // Киев: Наук, думка. 1965. - 25 с.

55. Глушков, В.М. Кибернетика. Вопр. теории и практики. / В.М. Глушков. М.: Наука, 1986. - 477 с.

56. Глушков, В.М. Кибернетика, вычислительная техника, информатика. Избр. тр.: В 3-х т. / В.М. Глушков Киев: Наук думка, 1990.

57. Глушков, В.М. Что же такое современная НТР? / В.М.Глушков, Ю.М.Каныгин. Киев: Ин. кибернетики, 1980. - 68 с.

58. Глушков, В.М. Алгебра, языки, программирование. / В.М.Глушков, Г.Е.Цейтлин, Е.Л.Ющенко. Киев: Наук, думка, 1985. - 376 с.

59. Гнедеико, Б.В. Введение в специальность «Математика». / Б.В.Гнеденко. М.: Наука, 1991. - 235 с.

60. Гнедеико, Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. / Б.В.Гнеденко. -М.: Просвещение, 1985. 191 с.

61. Гнеденко, Б.В. О математике. / Б.В.Гнеденко. М: Эдиториал УРСС, 2000. - 207 с.

62. Гнеденко, Б.В. Проблемы математизации современного естествознания. / Б.В.Гнеденко. // Диалектика и современное естествознание: Сб. -М.: Наука.-1970.-С. 34-42.

63. Гнеденко, Б.В. Статистическое мышление и школьное математическое образование. // Математика в шк. 2002. - № 6. - С. 2 - 6.

64. Голованов, Я. Незабываемый апрель. // Новый мир. 1981. - № 4.1. C. 4- 8.

65. Гончарова, Г.А., Мочалин A.A. Элементы дискретной математики: учеб. пособие. / Г.А.Гончарова, А.А.Мочалин. М.: ФОРУМ:ИНФРА-М, 2004. - 128 с.

66. Горбатов, В.А. Основы дискретной математики: учеб. пособие для студентов вузов. / В.А.Горбатов. -М.: Высш. шк., 1986. 311 с.

67. Государственные стандарты высшего профессионального образования. / М.: Электронный каталог стандартов Министерства образования и науки Российской федерации. / М. 1994 2005 гг.

68. Грабарь, М.И. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. / Грабарь М.И, К.А.Краснянская. -М.: Педагогика, 1977. 136 с.

69. Грецкий, М.И. Французский структурализм. / М.Н.Грецкий. М.: Знание, 1971.-48 с.

70. Гринченко, Т.О. Машинный интеллект и новые информационные технологии. / Т.О.Гринченко, А.О. Стогний. Киев: Манускрипт, 1993. -164 с.

71. Груденов, Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. / Я.И.Груденов. -М.: Педагогика, 1987. 158 с.

72. Грэхем, Р. Конкретная математика. Основания информатики: пер с англ. / Р.Грэхем Д.Кнут, О. Паташник. М.: Мир, 1998. - 703 с.

73. Гусев, В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: дис. . д-ра пед. наук. М., 1990. - 364 с.

74. Гусев В. А., Орлов А. Н., Розенталъ А. JI. Внеклассная работа по математике в 6 -8 классах. М.: Просвещение, 1984. 286 с.

75. Гусев, В.А. Методические основы дифференциации обучения математике в средней школе. / В.А.Гусев, Е.В.Силаев. М.: МПГУ, 1996. - 318 с.

76. Давыдов, В.В. Теория развивающего обучения. / В.В.Давыдов. М.: Интор, 1996. - 544 с.

77. Далингер, В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике. / В.А.Далингер. М.: Просвещение, 1991. - 80 с.

78. Далъма, А. Эварист Галуа, революционер и математик: пер. с фр. 2-е изд. / А.Дальма. М.: Наука, 1984. - 111 с.

79. Деменчук, В.В. На пороге алгебры. / В.В. Деменчук. Минск: Вы-шэйш. шк., 1987. - 144 с.

80. Дорофеев, Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования. // Математика в шк. 1990. - № 6. с. 2 - 5.

81. Дьяконов, В. П. Mathematica 4: Учеб. Курс. / В. П.Дьяконов. СПб.: Питер, 2001.-656 с.

82. Дэвенпорт, ДЖ. Компьютерная алгебра: пер с фр. / Дж. Дэвенпорт, И. Сирэ, Э.Турнье. М.: Мир, 1990. - 350 с.

83. Егорченко, И.В. Математические абстракции и методическая реальность в обучении математике учащихся средней школы. / И.В.Егорченко. -Морд. Гос. пед. ин-т, Саранск, 2003. 286 с.

84. Ежов, И.В. Элементы комбинаторики. / И.В.Ежов, A.B. Скороход, М.И Ядренко. -М.: Наука, 1975. 79 с.

85. Елисеев, Е.М. Элементы дискретной математики. / Е.М. Елисеев, М.Е.Елисеев Арзамас: АГПУ, 2003. - 98 с.

86. Епишева, О.Б. Технология обучения математике на основе деятельно-стного подхода: кн. для учителя. / О.Б.Епишева. М.:Просвещение, 2003. -223 с.

87. Епишева, О.Б. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя. / О.Б. Епишева, В.И.Крупич М.: Просвещение, 1990. - 128 с.

88. Ерусалимский, Я.М. Дискретная математика. 5-е изд., перераб. и доп. / Я.М.Ерусалимский. М.: Вуз. кн., 2002. - 268 с.

89. Ершов, А.П. Избранные труды. / А.П Ершов. Новосибирск: Сиб. издат. фирма, 1994. -413 с.

90. Ершов А.П. Компьютеризация школы и математическое образование. // Математика в шк., 1989. № I.e. 14-31.

91. Ершов А.П., Монахов В.М. Бешенков С.А. и др. Основы информатики и вычислительной техники: Проб. учеб. пособие для сред. учеб. заведений: Ч. 1 -2, 2-е изд. М.: Просвещение, 1985. Ч. 1 96 с.

92. Жолков С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев: Учеб. М.: Гардарики, 2002. 531 с.

93. Зайкин, М.И. Региональная наука сельской школе. / М.И.Зайкин. // Материалы научно-практич. семинара «Сельская школа как региональный образовательно-культурный центр». - Арзамас: изд-во АГПИ, 2000. с. 3 - 8.

94. Замятин, А.П.Элементы математической теории информационных систем: выразимость и вычислимость: учеб. пособие. / А.П.Замятин, А.Б. Лив-чак. Екатеринбург: УрГУ, 1996. - 104 с.

95. Иванов, Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы: учеб. пособие. / Б.Н.Иванов. М.: Лаб. баз. знаний, 2002. - 288 с.

96. Иванова, Т.А. Гуманитаризация математического образования. / Т.А.Иванова. Нижний Новгород: НГПУ, 1998. - 206 с.

97. Избранные вопросы алгебры и логики: Сб., посвящен, памяти

98. A.И.Мальцева. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1973. - 339 с.

99. Избранные вопросы математики. 9-й кл.: фак. курс. М.: Просвещение, 1979. - 191 с.

100. Избранные вопросы школьного курса математики. Вып. 7: Комбинаторика. Бином Ньютона: Материалы для учителей математики и учащихся 10-11-х кл. естественно-мат. направления. Самара: СИПКРО, 2002. - 59 с.

101. Информатика 7 9: Базовый курс: Теория: Учеб. Под ред. Н.В.Макаровой. - СПб.: Питер, 2000. - 328 с.

102. Ителъсон, Л.Б. Психологические основы обучения. / Л.Б.Итель-сон. -М.: Знание, 1978. 59 с.

103. Калбертсон, Дж. Т. Математика и Логика цифровых устройств. / Дж. Т. Калбертсон. М.: Просвещение, 1965. - 267 с.

104. Калужнин, К.А. Преобразования и перестановки. / К.А Калужнин,

105. B.И.Сущанский. М.: Наука, 1985.- 160 с.

106. Капитонова, Ю.В. Лекции по дискретной математике. / Ю.В.Капитонова, С.Л.Кривой, А.А.Летичевский, Луцкий Г.М. СПб.: БХВ-Петер-бург, 2004. - 624 с.

107. Каплунович, И.Я. Психологические закономерности генезиса математического мышления. // Математика в школе и вузе: обучение и развитие. Тез. 16-го Всерос. семинара преп. математики и методики ее преподавания. -Новгород. 1997. - с. 106 - 107.

108. Карпов, В.Г. Математическая логика и дискретная математика./ В.Г.Карпов, В.А.Мощенский. Минск: Вышэйш. шк., 1977. - 256 с.

109. Кейслер, Г. Чен Ч. Теория моделей: пер. с англ. / Г. Кейслер, Ч.Чен. -М.: Мир, 1977. 614 с.

110. Кемени, Дж. Введение в конечную математику: пер с англ. / Дж Кемени., Дж.Снелл, Дж.Томпсон. -М.:Иностр лит., 1963. 486 с.

111. Клайн, М. Математика. Утрата определенности: пер. с англ. / М. Клайн . М.: Мир, 1984. - 446 с.

112. Кларин, М.В. Педагогическая технология в учебном процессе. Анализ зарубежного опыта. / М.В Кларин. М.: 1989. -75 с.

113. Клековкин, Г.А. Преемственность в обучении: В поисках теоретических оснований. Ч. 1: Философские и общепсихологические аспекты. / Г.А. Клековкин. Самара: Изд-во СИПКРО, 2000. - 328 с.

114. Клековкин, Г.А.Дискретная математика. В 4 ч. Ч. I. Комбинаторные конфигурации и кобинаторные числа: учеб. пособие для студентов пед. ун-ов и ин-ов. / Г.А.Клековкин, Е.А.Перминов. Самара: СФ МГГГУ, 2005. - 112 с.

115. Клековкин, Г.А. Дискретная математика. В 4 ч. Ч. II. Рекуррентные соотношения и производящие функции: учеб. пособие для студентов пед. ун-ов и ин-ов. /Г.А.Клековкин, Е.А.Перминов. Самара: СФ МГГГУ, 2005. -110 с.

116. Клековкин, Г.А. Дискретная математика. В 4 ч. Ч. III. Графы: учеб. пособие для студентов, пед. ун-ов и ин-ов. /Г.А.Клековкин, Е.А.Перминов. -Самара: СФ МГГГУ, 2005. 194 с.

117. Клековкин, Г.А. Дискретная математика. В 4 ч. Ч. IY. Асимптотические оценки и приближения: учеб. пособие для студентов, пед. ун-ов и ин-ов. /Г.А.Клековкин, Е.А.Перминов. Самара: СФ МГЛУ, 2005. - 50 с

118. Клековкин, Г.А. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. В 4 ч. Часть I. Алгебры. Алгебраические системы: учеб. пособие для студентов, пед. ун-ов и ин-ов. /Г.А.Клековкин, Е.А.Перминов. Самара: СФ МГЛУ, 2006. - с.73 с.

119. Клековкин, Г.А. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры В 4 ч. Часть II. Группы. Кольца: учеб. пособие для студентов, пед. ун-ов и ин-ов. /Г. А.Клековкин, Е.А.Перминов. Самара: СФ МГПУ, 2006. - 91 с.

120. Кодухов, В.И. Общее языкознание. / В.И.Кодухов. М.: Высш. шк., 1974.-303 с.

121. Колемаев, В.А. Математическая экономика: учеб. для вузов. 3-е изд., перараб. и доп. /В.А.Колемаев. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 399 с.

122. Колмогоров, А.Н. Алгоритм, информация, сложность. /А.Н.Колмогоров. -М.: Знание, 1991. -43 с.

123. Колмогоров, А.Н. Комбинаторные основания теории информации и исчисления вероятностей. // УМН. 1983. - Т. 38. - Вып. 4. - С. 27 - 36.

124. Колмогоров, А.Н. Математика наука и профессия. / А.Н. Колмогоров. -М.: Наука, 1988. - 285 с.

125. Колмогоров, А.Н. Современная математика и математика в современной школе. // Математика в шк. 1971. - № 6. - С. 2 - 3.

126. Колмогоров, А.Н. Теория информации и теория алгоритмов. / А.Н.Колмогоров. М.: Наука, 1987. - 303 с.

127. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. I. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. / Ю.М. Колягин. М.: Просвещение, 1977. - 110 с.

128. Комбинаторный анализ: Задачи и упражнения. / Под ред. К.А.Рыбникова. -М.: Наука, 1982. 365 с.

129. Компьютерная алгебра: Символьные и алгебраические вычисления. / Пер с англ.: Под ред. Б. Бухбергера, Дж Коллинза, Р. JIooca. М.: Мир, 1986.-391 с.

130. Конное, В.В., Клековкин Г.А., Коннова Л.П. Геометрическая теория графов. / В.В. Коннов, Г.А.Клековкин, Л.П.Коннова. М.: Народное образование, 1999.-240 с.

131. Коннова, Л.П. Знакомьтесь, графы: учеб. пособие для учащихся 56-х кл. / Л.П.Коннова. Самара: Изд-во СИПКРО, 2001. - 107 с.

132. Конышева, Л.К. Основы дискретной математики. / Л.К. Конышева, В.В.Мешков. Екатеринбург: Изд-во Рос. гос. проф.-пед. ун-та, 2001. - 104 с.

133. Кордемский, Б.А.Математическая смекалка. / Б.А. Кордемский. -СПб: «Манускрипт», 1994. 496 с.

134. Коробков, С.С. Введение в теорию решеток. / С.С.Коробков. -Екатеринбург: УГПУ, 1996. 64 с.

135. Коршунов, Ю.М. Математические основы кибернетики: учеб. пособие для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. / Ю.М.Коршунов. М.: Энергоатом-издат, 1987. - 496 с.

136. Костовский, А.Н. Геометрические построения одним циркулем на плоскости и одним лишь сферографом в пространстве. 3-е изд., перераб. и доп. / А.Н.Костовский. М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1989. - 108 с.

137. Кофман, А. Введение в теорию нечетких множеств: пер. с фр. / А.Кофман. М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

138. Краевский, В.В. Соотношение педагогической науки и педагогической практики. / В.В.Краевский. М.: 1977. - 64 с.

139. Красовский, H.H. Математическое моделирование в школе. // Изв. УрГУ. 1995. - № 4. - С. 12 - 24.

140. Крейдлин, Г. Е., Шмелев А. Д. Математика помогает лингвистике. / Г. Е. Крейдлин, А. Д. Шмелев. М.: Просвещение, 1994. - 174 с.

141. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учеб. для вузов. 2-е изд, перараб. и доп. / Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман. М.: ЮНИТИ, 2004. - 471 с.

142. Криницкий, Н. А. Алгоритмы вокруг нас. Изд. 2-е. / Н. А. Криницкий. М.:Наука, 1984.-224 с.

143. Крупич, В.И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе. / В.И. Крупич. М.: МГПИ, 1985. - 118 с.

144. Крутецкий, В А. Психология математических способностей школьников. /В.А.Крутецкий. -М.: Просвещение, 1968. -432 с.

145. Кудрявцев Л Д. Современная математика и ее преподавание. М.:Наука, 1980. 143 с.

146. Кузнецов АА., Бешенков СА., Ракитина ЕА. Современный курс информатики: от элементов к системе. // Информатика и образование. 2004. -№ 1.-С.2-8.

147. Кузнецов, О.П., Адельсоп-Велъский Г.М. Дискретная математика для инженера. 2-е изд., перераб. и доп. / О.П.Кузнецов, Г.М.Адельсон-Вельский. -М.: Энергоатомиздат, 1988. -480 с.

148. Кузьмин, И А. Социокультурный системный подход к истокам в образовании. / И.А.Кузьмин. //Перекрестки эпох: Т.1 -М.: Технол. шк. бизнеса, 1997.-С. 50-71.

149. Кук, Д. Компьютерная математика: пер. с англ. / Д.Кук, Г. Бейз. -М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. -384 с.

150. Кушниренко А.Г. Основы информатики и вычислительной техники: учеб. для 10 11 кл. общеобразоват. учреждений. / А.Г.Кушниренко, Г.В.Лебедев, Р.А.Сворень. -М.: Просвещение, 1996 . - 224 с.

151. Лавров, И А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. / И.А.Лавров, Л.Л. Максимова. М.: Наука, 1975. - 240 с.

152. Лавров, С.С. Программирование. Математические основы, средства, теория. / С.С.Лавров. СПб.: БХВ-Петербург, 2001. - 348 с.

153. Лаллеман, Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения: пер. с англ. /Ж.Лаллеман. -М.:Мир, 1985. 439 с.

154. Ландо, С.К. Лекции о производящих функциях. 2-е изд., испр. / С.К Ландо. М.: МЦНМО, 2004. - 144 с.

155. Леонтьев, A.A. Избранные психологические произведения. В 2-х томах. / А.А.Леонтьев. М.: Педагогика, 1983.

156. Леднев, B.C. Содержание образования: сущность, структура, перспективы. / В.С.Леднев. М.: Высшая школа, 1991. - 224 с.

157. Лернер, И.Я. Дидактические основы методов обучения. / И.Я.Лер-нер. -М.: Педагогика, 1981.-185 с.

158. Лидл, Р. Прикладная абстрактная алгебра: учеб. пособие: Пер. с англ. / Р.Лидл, Г.Пильц. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 1996. - 744 с.

159. Липский, В. Комбинаторика для программистов. / В. Липский. М.: Мир, 1988,- 213 с.

160. Лихтарников, Л.М. Занимательные логические задачи. / Л.М. Лих-тарников. СПб.: Лань, 1996. - 105 с.

161. Лихтарников, Л.М. Математическая логика: Курс лекций. Задачник-практикум и решения. / Л.М.Лихтарников, Т.Г.Сукачева. СПб.: Лань, 1999. -288 с.

162. Лыскова, В.Ю. Логика в информатике. / В.Ю.Лыскова, Е.А.Раки-тина. // М.: Информатика и образование. 1999. - 141 с.

163. Магнус, Я.Р. Эконометрика: Начальный курс: учеб. 3-е изд, перараб. и доп. / Я.Р.Магнус, П.К.Катышев, А.А.Пересецкий. М.: Дело, 2000. - 400 с.

164. Макарова, Н.В., Титова, Ю.Ф. О подходах к определению базовых понятий раздела «Моделирование» в школьном курсе информатики. // Информатика и образование. 2004. - № 9. - С. 5 - 10.

165. Малыхин, В.И. Финансовая математика: учеб. пособие для вузов. 2-е изд, перараб. и доп. / В.И.Малыхин. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. -237 с.

166. Мальцев, А.И. Алгебраические системы. / А.И. Мальцев. М.: Наука, 1970. - 392 с.

167. Мальцев, А.И. Избранные труды: В 2-х т. / А.И.Мальцев. М.: Наука, 1976. Т. 1 -2.

168. Мантуров, О.В. Mathematica (3.0 5.0) и ее роль в изучении математики. // Сборник научных работ Всеросс. научно-методич. школы-семинара «Проблемы и перспективы информатизации математического образования». -Елабуга: Изд-во ЕГПУ. - 2004. - С. 3 - 10.

169. Марков, А.А. Теория алгорифмов. / А.А.Марков, Н.М.Нагорный. -М.: ФАЗИСТ, 1996. 448 с.

170. Математизация науки (социокультурные и методологические проблемы. Алма-ата: Гылым, 1990. - 230 с.

171. Математика. Учеб.-собеседник для 5-6 кл. ср. школы. / Л.Н.Шеврин, А.Г. Гейн, И.О. Коряков, М.В Волков. М.:Просвещение, 1989. - 495 с.

172. Математика и информатика: учеб. пособие для для студентов пед. вузов. / Н.Л.Стефанова, В.Д.Будаев, Е.Ю.Яшина и др.-М.: Высш. шк., 2004. -349 с.

173. Математическая энциклопедия: В 5-и т. М.: Сов. энцикл., 1979.

174. Матрос Д.Ш., Элементы абстрактной и компьютерной алгебры: учеб. пособие. / Матрос Д.Ш., Поднебеснова Г.Б. М.: Академия, 2004. -240 с.

175. Матросов, В.Л., Стеценко В.А. Лекции по дискретной математике: учеб. пособие. / В.Л.Матросов, В.А.Стеценко. -М.:МГПУ, 1997. 220 с.

176. Мельников, Ю.Б. Математическое моделирование: структура, алгебра моделей, обучение построению математических моделей. / Ю.Б. Мельников. Екатеринбург: Урал, изд-во, 2004. - 383.

177. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов. / А.Я.Блох., Е.С.Канин, Н.Г. Килина и др. М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

178. Методика преподавания математки в средней школе. Общая методика: учеб. пособие для студ. физ. мат. фак. пед. ин-тов / В.А.Оганесян, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, В.Я.Саннинский. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1980. - 368 с.

179. Минькович, Т.В. Классификация моделей в литературе по информатике. // Информатика и образование. 2001. - № 9. - С. 21 - 29.

180. Митрополъский, Ю.А. О роли математики в научно-техническом прогрессе. Математика и научно-технический прогресс. / Ю.А.Митрополь-ский. Киев: Наук. Думка, 1973. - 165 с.

181. Могилев, A.B. Информатика: Учеб. пособие для студ. пед. вузов. 2-е изд., стер. / А.В.Могилев, Н.И.Пак, Е.К.Хеннер. М.:Академия, 2003. -809 с.

182. Монахов, В.М. Формирование алгоритмической культуры школьника при обучении математике / В.М Монахов, М.П.Лапчик, Н.Б.Демидович, Л.П.Червочкина. М.: 1978. - 94 с.

183. Мордкович, А.Г. Новая концепция школьного курса алгебры. // Математика в шк. 1996. - № 6. - С. 28 - 33.

184. Морозов, К.Е. Математическое моделирование в научном познании / К.Е.Морозов. М.: Мысль, 1969. - 212 с.

185. Москинова, Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях: учеб. пособие. / Г.И.Москинова. М. Логос, 2002.- 240 с.

186. Нагибин, Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: пособие для учащихся 4-8-х кл. сред. шк. 5-е изд. / Ф.Ф.Нагибин, Е.С.Канин. М.: Просвещение, 1988. - 160 с.

187. Непрерывный курс информатики (концепция, система модулей, типовая программа). // Информатика и образование. 2005. - № 1 - 6.

188. Неуймин, Я.Г. Модели в науке и технике. / Я.Г.Неуймин. М.: Наука, Ленингр. отд-ние, 1984. - 189 с.

189. Нефедов, В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики: учеб. пособие. / В.Н.Нефедов, В.А.Осипова. М.: Изд-во МАИ, 1992. - 262 с.

190. Новиков, A.M. Профессиональное образование России. Перспективы развития. / А.М.Новиков. М: ИЦП НПО РАО, 1997. - С. 38 - 39.

191. Новиков, Ф.А. Дискретная математика для программистов. / Ф.А.Новиков. СПб.: Питер, 2001. - С. 38 - 39.

192. Норман, Д. А. Память и научение. / Д. А.Норман. М.:Мир, 1985.159 с.

193. Нугмонов, М. Теоретико-методологические основы методики обучения математике: дисс. . д-ра пед. наук. -М., 2000,- 306 с.

194. Общая психология. Учебник для студентов пед. ин-тов. Под ред. A.B. Петровского. М.: 1976. - 479 с.

195. Оганесян, В.А. Научные принципы отбора основного содержания обучения математике в средней школе: дис. . д-ра пед. наук. Ереван, 1984.- 352 с.

196. Оконъ, В. Введение в общую дидактику. / В.Оконь. М.:Высш. шк.,1990. - 381 с.

197. Ольшанский, А.Ю. Групповые исчисления. // Современное естествознание: Энциклопедия: В 10-и т. М: Изд. дом МАГИСТР-ПРЕСС, 2000. Т. 3. с. 12-16.

198. Ольшанский, А.Ю. Умножение симметрий и преобразований. // Современное естествознание: Энциклопедия. В 10-и т. М: Изд дом МАГИСТР-ПРЕСС, 2000. Т. 3. с. 7- 11.

199. Павлов, А.Н. Интегрированный курс математики и информатики в старших профильных классах: Автореф. дис. . канд. пед. наук. -М.: МГОПУ, 2002. 24 с.

200. Папи, Ф. Дети и графы. Обучение детей шестилетнего возраста математическим понятиям: пер. с фр. / Ф.Папи, Ж.Папи. М.: Педагогика, 1974. - 192 с.

201. Паули, Г., Розенберг Г., Саломаа А. ДНК-компьютер. Новые парадигмы вычислений. / Г.Паули, Г.Розенберг, А.Саломаа. -М.: Мир, 2004.307 с.

202. Перминов, Е.А. Введение в дискретную математику / Е.А.Перминов. -Екатеринбург: СИПИ, 1993.-46 с.

203. Перминов, Е.А. Дискретная математика: учеб. пособие для 8-9-х кл. сред, общеобразоват. шк. / Е.А.Перминов. Екатеринбург: ИРРО, 2004. -206 с.

204. Перминов, Е.А. Жесткие решетки и графы. // Вестник МГУ. Сер. Математика. 1984. - № 5. - С. 95.

205. Перминов, Е.А. Методические основы обучения дискретной мате матике в системе «школа вуз». / Е.А.Перминов. - Екатеринбург: изд-во РГППУ, 2006.-237 с.

206. Перминов, Е.А. О гуманитарном потенциале непрерывного обучения дискретной математике в школе и вузе // III Всерос. научн. конф. «Проблемы современного математического образования в вузах и школах России». Киров: ВятГГУ. - 2004. - С. 92.

207. Перминов, Е.А. О концептуальной роли дискретной математики в формировании общей культуры специалиста. // Образование и наука. Известия УрО РАО. Приложение № 2 (2). 2006. - С. 37 - 40.

208. Перминов, Е.А. О концепции, содержании и методике обучения дискретной математике в классах физико-математического профиля // Материалы межвузовской конференции «Колмогоровские чтения IV»: мат-лы чтений. - Ярославль: ЯГПУ. - 2006. С. 264 - 270.

209. Перминов, Е.А. О методике изучения понятия математической модели. // Информатика и образование 2006. - № 7. - С. 40 - 43.

210. Перминов, Е.А. О методической системе обучения дискретной математике в школе и вузе. // Предметно-методическая подготовка будущего учителя математики, информатики и физики: сб. ст. Всерос. науч. конф. В 2-х т. -Тольятти: ТГУ,- 2003. Т. 1. С. 330-335.

211. Перминов, Е.А. О «мягкой» модели обучения ДМ. // XIV Всерос. семинара преподавателей математики ун-тов и педагогических вузов: тезисы докл. М.:, Саратов: Ред .-изд. отдел Моск. гор. пед. ун-та, изд-во Сарат. ун-та. -2005.-С. 118-119.

212. Перминов, Е.А. О проблемах и методике обучения дискретной математике в средней профессиональной школе. //Среднее профессиональное образование. 2006. - № 3. - С. 15 - 18.

213. Перминов, Е.А. О проблемах и перспективах обучения ДМ в школе. Международная научная конференции «Проблемы математического образования и культуры»: мат-лы конф. В 2 ч. Тольятти: ТГУ. - 2004. - Ч. 2. -С. 77-79.

214. Перминов, Е.А. О различных концепциях обучения дискретной математике. // II Международной научн. конф. «Математика. Образование. Культура»: тр-ды. Тольятти: ТГУ. - 2005. - С. 129 - 133.

215. Перминов, Е.А. О роли дискретной математики в методологии моделирования. // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Вып. 7. Киров: Изд-во ВятГУ. 2005. - С. 23 - 31.

216. Перминов, Е.А. О роли дискретной математики в обучении стохасти-■ ческому моделированию в школе и вузе. // 2-я Российская конф: Мат-лы. -Калуга: Изд-во КГУ. 2004. - С. 244 - 249.

217. Перминов, Е.А. О фундаментальной роли дискретной математики в обучении алгоритмизации в школе и вузе. //Педагогическая информатика. -2006.- №2.-С. 30-32.

218. Перминов, Е.А. О числе попарно невложимых друг в друга жестких графов Известия высших учебных заведений. Сер. Математика, 1985, № 5, с. 78-79.

219. Перминов, Е.А. Об изучении алгоритма и алгоритмической разрешимости в 8 11-х классах. Международная, научн. конф. «57-е Герценовские чтения»: мат-лы. - СПб: Изд-во РГПУ. - 2004. - С. 154 - 156.

220. Перминов, Е.А. Понятие математической модели на факультативных занятиях в школе. // IV Междунар. науч.-практ. конф. «Педагогический процесс как культурная деятельность»: тез. докл. Самара: СИПКРО. - 2002. -С. 351 -353.

221. Перминов, Е.А. Понятия кольца и поля на факультативных занятиях в школе. // Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики: Материалы Всерос. науч.-практ. конф. Н. Новгород: НГПУ, 2002. с. 135 -136.

222. Перминов, Е.А. Программа обучения дискретной математике учащихся классов экономического профиля. I Международная научно-практич. конф. «Математическое образование: прошлое, настоящее, будущее»: мат-лы. Москва - Самара: СГПУ. - 2006. - С. 194 - 199.

223. Перминов, Е.А. Пособие и программа «Дискретная математика для школьников» / Е.А.Перминов // Матем. вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Вып. 5. Киров: ВГПУ. - 2003. - С. 193 - 204.

224. Перминов, Е.А. Проблемы изучения понятий дискретной математики. / Межвузовский научный сборник «Современная математика и математическое образование в вузах и школах России: опыт, тенденции, проблемы». -Вологда: Изд-воВГПУ. 2006. - С. 36 -38.

225. Перминов, Е.А. Чистовик экзаменационной работы абитуриента по математике. / Е.А.Перминов. -Екатеринбург: УГЛУ, 2001. 75 с.

226. Петерсон, Л.Г. Практика построения непрерывного образования. -М.: УМЦ «Школа 2000.». 2001. - 255 с.

227. Пиаже, Ж. Избранные психологические труды: пер.с фр. — М: Ме-ждунар. пед. акад. 1994. - 675 с.

228. Пиаже, Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления. Преподавание математики. М.: Учпедгиз. - 1960. 237 с.

229. Плоткин, Б.И. Универсальная алгебра, алгебраическая логика и базы данных. / Б.И.Плоткин. М.: Наука. - 1991. - 446 с.

230. Полунина, КН. Интеграция курсов математики и информатики как фактор оптимизации общепрофессиональной подготовки в средней профессиональной школе: автореф. дис. . канд. пед. наук. Саранск, 2003. - 18 с.

231. Пономарев, Я.А. Психология творения. / Я.А. Пономарев. М.: Московский психолого-социальный ин-т; Воронеж: НПО «МЭДОК». - 1999.480 с.

232. Постников, М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. / М.М.Постников. М.: Наука. Гл. ред. физ,- мат. лит., 1978. -128 с.

233. Программа по математике для 5-7-х классов с углубленным изучением предмета. Вологда: ИПЦ ИПК и ППК. - 1993. - 5 с.

234. Программы математических дисциплин. М.: Гос. комитет СССР по нар. образованию. - 1988. - 47 с.

235. Проект образовательного стандарта среднего (полного) общего образования по математике (профильный уровень). //Математика. 2003. 1 сент. -С. 12 с.

236. Пухначев, Ю.В. Математика без формул. Вып. 3. / Ю.В. Пухначев, Попов Ю.И -М.: Знание, 1979. 160 с.

237. Пышкало A.M. Средства обучения один из важнейших компонентов методики обучения математике. / А.М.Пышкало. // Сб. статей. Сост. А.М.Пышкало. -М.: Просвещение. - 1980. С. 3 - 11 .

238. Пышкало, A.M. Сборник задач по математике: Пособие для педучилищ. / А.М.Пышкало, Л.П.Стойлова, Н.Н.Лаврова, Н.П.Ирошников. М.: Просвещение, 1979. - 208 с.

239. Пятницын, Б.Н. Философские проблемы вероятностных и статистических методов. / Б.Н.Пятницын. М.: Наука, 1976. - 335 с.

240. Растригин, A.A., Марков В.А. Кибернетические модели познания. / А.А.Растригин, В.А.Марков. -Рига: Зинатне, 1976. -236 с.

241. Риордан, Дэю. Введение в комбинаторный анализ: пер. с англ. / Ри-ордан, Дж. остр. лит. 1963. - 287 с.

242. Родионов, М.А. Теория и методика формирования мотивации учебной деятельности школьников в процессе обучения математике: дис. д-ра пед. наук. Саранск, 2001. 381 с.

243. Розанова, С.А. Математическая культура студентов технических вузов. / СЛ. Розанова. М.: ФИЗМАТГИЗ. 2004. - 176 с.

244. Розов Н.Х. Гуманитарная математика. // Вестн. Моск. ун-та. Серия «Пед. образование». 2004. - № 2. - С. 3 -13.

245. Розов, Н.Х. Дифференцированное обучение и проблема формирования «базиса в пространстве задач». // Федер. науч.-практ. конф. «Математическое образование: традиции и современность»: тез. Н. Новгород: Изд-во 1997.-С. 36-38.

246. Романовский, И.В. Дискретный анализ. Изд. 3-е, перераб. и доп.: учеб. пособие. / И.В. Романовский. СПб.: Невский диалект; БХВ-Петербург, 2004. - 320 с.

247. Российская педагогическая энциклопедия: В 2-х т. / Гл. ред. В.В.Давыдов. М.: Большая Российская энциклопедия, 1998.

248. Рыбников, К.А. Введение к комбинаторный анализ. / К.А. Рыбников. М.: Изд-во МГУ, 1972. - 255 с.

249. Рузавин, Г.И. Математизация научного знания. / Г.И.Рузавин. М: Мысль, 1984.-207 с.

250. Румянцева, Э.А. Инженерно-математический стиль мы-шления в современной науке. / Э.А.Румянцева. -М.: Высш. шк., 1978. 148 с.

251. Самарский, A.A. Компьютеры и жизнь: математическое моделирование. / A.A.Самарский, А.П Михайлов. М: Педагогика 1987. - 127 с.

252. Самсонов, Б.Б. Компьютерная математика (основание информатики). / Б.Б.Самсонов, Е.М.Плохов, А.И.Филоненков. Ростов-н/Д: Феникс, 2002. - 512 с.

253. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. / Г.И.Саранцев. -М.: Просвещение, 2002. 224 с.

254. Саранцев, Г.И. Методология методики обучения математике. / Г.И.Саранцев. Саранск: Тип. «Крас. Okt.», 2001. - 144 с.

255. Саранцев, Г.И. Методологические основы школьного учебника математики. // Педагогика. 2003. - №10.-С. 25- 35.

256. Саранцев, Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе. Кн. для учителя. / Г.И. Саранцев. М., Просвещение, 1995. (Б-ка учителя математики). -173 с.

257. Саранцев, Г.И. Упражнения в обучении математике. / Г.И.Саранцев. М.: Просвещение, 1995. (Б-ка учителя математики). - 240 с.

258. Сачков, В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. / В.Н.Сачков. М.: МЦНМО, 2004. - 424 с.

259. Скаткш, М.Н. Принципы обучения. // Дидактика средней школы. / Под ред. М.Н. Скаткина. М.: Просвещение, 1982. с. 48 89.

260. Слепканъ, З.И. Методическая система реализации развивающей функции обучения математике в средней школе: дисс. . д-ра пед. наук. М., 1987. 342 с.

261. Сойер, У. Путь в современную математику: пер. с англ. / У.Сойер. М.: Мир, 1972. - 200 с.

262. Спирина, М.С., Спирин П.А. Дискретная математика: учеб. для студентов учреждений сред. проф. образования. IМ.С.Спирина, П.А. Спирин. -М.: Академия, 2004. 368 с.

263. Справочная книга по математической логике: В 4-х ч. Теория моделей: пер. с англ. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1982. Ч. 1. - 392 с.

264. Справочная книга по математической логике: В 4-х ч. Теория доказательств и конструктивная математика: пер. с англ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1983. Ч. 4. - 392 с.

265. Столп, Р.Множества. Логика. Аксиоматические теории: пер. с англ. / Р.Столл. М.: Просвещение, 1968. - 231 с.

266. Столяр, A.A. Педагогика математики. / A.A. Столяр. Минск: Вы-шэйш. шк., 1969. - 414 с.

267. Столяр, A.A. Элементарное введение в математическую логику: пособие для учителей. / А.А.Столяр. М.: Просвещение, 1965. - 163 с.

268. Стратилатов, П.В. Дополнительные главы по курсу математики: учебн. пособие по фак. курсу для учащихся 9-х кл. / Сост. П.В.Стратилатов, 2-е изд. испр. и доп. -М.: Просвещение. 1974. - 144 с.

269. Стукалов, В.А. Использование представлений о математическом моделировании в обучении математике: дис. . канд. пед. наук. М., 1979. -19 с.

270. Судоплатов C.B. Элементы дискретной математики: учеб. / С.В.Су-доплатов, Е.В.Овчинникова. М.: ИНФРА-М; Новосибирск: НГТУ, 2003. -280 с.

271. Талызина, Н.Ф. Педагогическая психология. Учеб. для студ. сред, пед. учеб. заведений. 3-е изд., стереотип. / Н.Ф.Талызина. -М.: Изд. центр «Академия», 1999. 288 с.

272. Тахтаджян, A.JI. Тектология: история и проблемы. В кн. Системные исследования. / А.Л.Тахтаджян. -М.: 1971.-341 с.

273. Тейз, А. Логический подход к искусственному интеллекту (От модальной логики к логике баз данных). / А .Тейз. М.: Мир, 1998. - 249 с.

274. Терешин, H.A. Прикладная направленность школьного курса математики: кн. для учителя. /Н.А.Терешин. -М.: Просвещение, 1990. 96 с.

275. Тестов В.А. «Жесткие» и «мягкие» модели обучения математике. // XXIII Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов: тез. докл.- Челябинск, М. 2004. - С. 76 - 78.

276. Тестов, В. А. Стратегия обучения математике. / В.А.Тестов. М.: Технологическая школа бизнеса, 1999. - 304 с.

277. Тестов ВА. Технологический и синергетический подходы к обучению. // III Всерос. научн. конф. «Проблемы современного математического образования в вузах и школах России»: тез. докл. Киров.: ВГПУ. - 2001.1. С. 131-134.

278. Тренина, М.А.,Тырыгина Г.А. Комбинаторные алгоритмы как раздел дискретной математики. // Международная научн. конф. «Проблемы математического образования и культуры»: тез. Тольятти: ТГУ. - 2003. - С. 73 - 74.

279. Турецкий, В.Я. Математика и информатика: учеб. пособие. 3-е изд., испр. и доп. / В.Я.Турецкий. М.:ИНФРА-М, 2002. - 560 с.

280. Тырыгина, Г.А. Ведущая идея курса дискретного анализа для математиков-программистов. // Межд. науч. конф. «Проблемы математического образования и культуры»: тез. Тольятти: ТГУ. - 2003. - С. 74 - 75.

281. Тырыгина ГА., Тренина М.А. О различных подходах к формированию курса дискретной математики в высшем образовании. // Межд. научная конференции «Проблемы математического образования и культуры»: труды. Тольятти: ТГУ. 2004. - С. 102 - 105.

282. Уемов, А.И. Логические основы моделирования. / А.И.Уемов. -М.:Наука, 1971. 311с.

283. Уьшсон, Р. Введение в теорию графов: пер. с англ. / Р. Уилсон. М.: Мир, 1977.-208 с.

284. Урбах, В.Ю. Статистический анализ в биологических и медицинских исследованиях. /В.Ю. Урбах. М. Медицина, 1975. - 295 с.

285. Успенский, В.А. Арифметика вычетов и криптография. // Современное естествознание: энцикл. В 10-ти т. М: Изд. дом МАГИСТР-ПРЕСС, 2000. Т. 3. с. 27-32.

286. Успенский, В.А. Математические беседы. 2-е изд. / В.А.Успенский. — М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2004. 240 с.

287. Успенский, В. А. Машина Поста: попул. лекции по математике. / В. А.Успенский. -М.: Наука, 1979. Вып.54. 93 с.

288. Утеева, P.A. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе. /Р.А.Утеева. -М.: Прометей, 1997. 329 с.

289. Факультативный курс. Избранные вопросы математики (7-8 кл.) -М.: Просвещение, 1978. 192 с.

290. Федеральный базисный учебный план и примерные учебные планы для образовательных учреждений Российской Федерации, реализующих программы общего образования. // Рос. образование, 2005. № 1. - С. 37 - 61.

291. Федосеев, В.Н. Элементы теории вероятностей для VII-VIII классов средней школы. // Математика в шк. 2002. - № 6. - С. 58 - 66.

292. Фомичев, ВМ. Дискретная математика и криптология: курс лекций. / В.М. Фомичев. М.:ДИАЛОГ-МИФИ, 2003. - 352 с.

293. Фрид, Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. / Э.Фрид.-М.: Мир, 1979.-260 с.

294. Фридланд А.Я., Фридланд И.А. О методологии моделирования. // Пед. информатика. 2004. - № 3. - С. 96 - 101.

295. Фридман, A.M. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. / А.М.Фридман. М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

296. Хаггарти, Р. Дискретная математика для программистов: пер. с англ. / Р. Хаггарти. М.: Техносфера, 2003. - 315 с.

297. Хамов, Г.Г. Алгебра и теория чисел в школьной математике. / Г.Г.Хамов. Мурманск: Мурм. гос. пед. ин-т, 1991. - 119 с.

298. Хеннер, Е.К. Математическое моделирование. / Е.К.Хеннер, А.П.Шестаков. Пермь: Перм. гос. пед. ун-т, 1995. - 265 с.

299. Холодная, М.А. Психология интеллекта. Парадоксы исследования. 2-е изд., перераб. и доп. / М.А. Холодная. СПб.: Питер, 2002. - 272 с.

300. Хоркина, H.A. Методические особенности обучения учащихся классов экономического профиля на факультативных занятиях по математике наоснове реализации межпредметных связей: автореф. дис. . канд. педаг. наук. М.:МГПУ, 2002. 19 с.

301. Хорошева, И.П. Элементы компьтерного моделирования. / И.П.Хо-рошева, Б.Г.Киселев. -М.: АО Кудиц, 1992. 317 с.

302. Чуприкова, Н.И. Умственное развитие и обучение. / Н.И.Чуприкова. -М.: Столетие, 1995. (Психол. основы развивающего обучения). 189 с.

303. Шабунин, М.Т. Научно-методические основы углубленной математической подготовки учащихся средних школ и студентов вузов: дис. д-ра. пед. наук. М., 1994. -35 с.

304. Шеврин JI.H. Тождества в алгебре. // Современное естествознание: энциклопедия. В 10-ти т. М: Изд. дом МАГИСТР-ПРЕСС. 2000. - Т. 3. -С. 17-22.

305. Шеннон, Р. Имитационное моделирование систем исскуство и наука. / Р.Шеннон. -М.: Мир, 1978. - 312 с.

306. Штофф, В.А. Моделирование и философия. / В.А.Штофф. M;JI: Наука, 1996. - 302 с.

307. Эббинхауз, Г.-Д. Машины Тьюринга и рекурсивные функции: пер. с нем. / Г.-Д .Эббинхауз, К. Якобе, Ф.-К. Ман, Г.Хермес. М.: Мир, 1972. -264 с.

308. Эвнин, А.Ю. Дискретная математика: конспект лекций. / А.Ю.Эв-нин. Челябинск: ЮурГУ, 1998. - 176 с.

309. Эвнин, А.Ю. Задачник по дискретной математике. / А.Ю.Эвнин. -Челябинск: ЮурГУ, 1998. 123 с.

310. Эрдниев, П.М. Обучение математике в школе. Укрупнение дидактических единиц: кн. для учителя. / П.М.Эрдниев, Б.П.Эрдниев. М.: Столетие, 1996. -320 с.

311. Яблонский, C.B. Введение в дискретную математику: учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. / С.В.Яблонский. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.-384 с.

312. Яглом, КМ. Математические структуры и математическое моделирование. / И.М.Яглом. М.: Советское радио. 1980. - 144 с.

313. Goodaire, Edgar G. Discrete Mathematics with Graf Theory. / Edgar G. Goodaire, Michael M.Paramenter. Prentice-Hall, Upper Saddle River NJ, 1998. -234 p.

314. Gamier, R., Taylor J. Discrete Mathematics for New Thecnology. /-R. Gamier, J. Taylor. Bristol: Institute of Physics Publishing, 1992. - 312 p.

315. Grimaldi, Ralf P. Discrete and Combinatorial mathematics. An Applied Introductions. / Ralf P. Grimaldi. Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Compani, 1994. - 891 p.

316. Johnsonbaugh, R. Discrete Mathematics. / R. Johnsonbaugh. New Jersey: Prentice-Hall, 2001. - 257 p.

317. Lova^sz, L. Discrete Mathematics: Lecture Notes./ L.Lova'sz, K.Vesztergomi. Yale University. Spring, 1999. - 351 p.

318. Piage, J. Structuralism. / J.Piage. P.: Paris University Press, 1968.289 p.

319. Johnsonbaugh, R. Discrete Mathematics. / R. Johnsonbaugh. Prentice-Hall, Upper Saddle River NJ, 1997. - 289 p.

320. Rosen, K.H. Discrete Mathematics and Its Applications. / K.H. Rosen. -New York: MCGraw-Hill, 1998. 367 p.