Обращение задач как средство развития гибкости мышления учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике

Абрамова, Олеся Михайловна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обращение задач как средство развития гибкости мышления учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике

Автореферат

Автор научной работы: Абрамова, Олеся Михайловна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Арзамас
Год защиты: 2013
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Обращение задач как средство развития гибкости мышления учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике"

На правах рукописи

АБРАМОВА Олеся Михайловна

ОБРАЩЕНИЕ ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ГИБКОСТИ МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

13.00.02 — теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук

2 6 СЕН 2013

Саранск-2013

005533766

Работа выполнена на кафедре математики, теории и методики обучения математике Арзамасского филиала федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского»

доктор педагогических наук, профессор Зайкин Михаил Иванович

Егорчеико Игорь Викторович,

доктор педагогических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева», профессор кафедры методики преподавания математики

Харитонова Ирина Владимировна,

кандидат педагогических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный университет им Н. П. Огарева», доцент кафедры алгебры и геометрии

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ульяновский государственный педагогический университет имени И. Н. Ульянова»

Защита состоится » октября 2013 года в часов на заседании совета по за-

щите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук Д 212.118.01, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева» по адресу: 430007 г. Саранск, ул. Студенческая, 11а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт им. М. Е. Евсевьева»: 430007 г. Саранск, ул. Студенческая, 11а

Автореферат разослан « @ » г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Научный руководитель Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Гш

Капкаева Л. С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В современном информационном обществе полноценно реализовать себя, быть успешными могут люди, не просто обладающие системой предметных знаний, а интеллектуально развитые личности, свободно ориентирующиеся в быстро меняющемся мире, умеющие самостоятельно принимать ответственные решения в ситуации множественности выбора, анализировать причины и прогнозировать возможные последствия тех или иных событий и явлений, способные находить инновационные решения в условиях неопределенности, преодолевать консерватизм и отличающиеся мобильностью, динамизмом, конструктивностью. Всё это требует развития такого важного интеллектуального качества как гибкость мышления.

На протяжении длительного времени проблема развития гибкости мышления учащихся привлекала к себе пристальное внимание представителей самых различных областей научного знания - философии (Демокрит, В. Ф. Асмус, Г. В. Ф. Гегель, П. В. Копнин, А. Н. Лук и др.), психологии (Д. Н. Богоявленский, В. А. Крутецкий, 3. И. Калмыкова, Н. А. Менчинская, М. А. Холодная и др.), дидактики (М. А. Данилов, В. И. Загвязинский, И. Я. Лернер, А. В. Хуторской и др.), методики математики (В. А. Гусев, Ю. М. Колягин, Г. И. Саранцев, Л. М. Фридман, П. М. Эрдниев и др.).

В контексте деятельностного подхода к обучению математике, утвердившегося повсеместно в предметных методиках, существенно возросла роль задач, их значение в достижении как дидактических, так и развивающих и даже воспитательных целей обучения. А потому и проблема развития гибкости мышления учащихся в процессе обучения математике постепенно стала обретать задачный контекст. Один из подходов к её решению связан с составлением и решением в процессе обучения математике обратных задач по отношению к задачам решаемым или решённым ранее. Указания на этот счёт имеются в работах многих современных зарубежных и отечественных педагогов-математиков: К. Гатгеньо, М. Монтессори, Д. Пойа, Г. В. Дорофеева, М. И. Зайкина, Т. А. Ивановой, А. Г. Мордковича, И. М. Смирновой, В. А. Тестова, В. М. Финкелынтейна, А. Я. Цукаря, Б. П. Эрдниева и др.). Многие из них, отмечая продуктивную направленность работы с уже решённой задачей, настоятельно рекомендуют в обучении математике не останавливаться только на решении задачи, а, используя приём обращения, видоизменять её, получать обратные задачи и решать их (Э. Г. Готман, И. Е. Дразнин, Т. М. Калинкина, Е. С. Канин, Ю. М. Куликов, И. Б. Ольбинский и др.).

В целесообразности включения обратных задач в учебный процесс по математике с целью развития гибкости мышления убеждают и следующие соображения.

Во-первых, составление и решение обратных задач способствует лучшему пониманию структуры математической задачи, обеспечивает более глубокое осознание тех взаимосвязей и отношений, которые свойственны заданной ситуации, позволяет школьникам как бы заглянуть внутрь структуры задачи и увидеть взаимосвязи её данных, данных и искомых и тем самым понять её математическую сущность. Во-вторых, такая работа над уже решённой задачей приобщает учащихся к математическому творчеству, способствует развитию их креативности, поскольку

процесс обращения задачи адекватен процессу исследования определённой проблемы и обеспечивает формирование у школьников умений, необходимых для выполнения творческих исследовательских работ. В-третьих, что, на наш взгляд, является исключительно важным в условиях развивающей образовательной парадигмы современной школы, ценность приёма обращения заключается в том, что путём обращения получаются новые задачи, при решении которых используются мыслительные операции, математические действия обратные по отношению к тем, которые применялись в процессе решения исходной задачи, т.е. имело место своеобразное превращение прямой связи мыслей в обратную, что способствует развитию такого фундаментального умственного качества как дивергентность мышления.

Разделяя мнение о том, что дополнительная работа над задачей, безусловно, содержит в себе значительный дидактический и развивающий потенциал, отметим, что на практике он далеко не полностью реализуется в силу ряда обстоятельств. На это указывают многие педагоги-математики: А. К. Артёмов, В. Г. Болтянский, Г. В. Дорофеев, В. А. Крутецкий, В. В. Репьёв, Г. И. Саранцев, Л. М. Фридман и др.

Причина тому коренится в недостаточной изученности феномена обратных задач и тех приёмов, посредством которых их получают, а также в неразработанности принципов их включения в учебный процесс с целью развития гибкости мышления школьников.

Сказанное выше обуславливает противоречие между потребностью школьной практики обучения математике в использовании в учебном процессе обращения задач с целью развития гибкости мышления школьников и отсутствием необходимого для этого научного обоснования и методического обеспечения.

Необходимость решения этого противоречия определяет актуальность проблемы диссертационного исследования, определяющейся вопросами: «Как осуществлять обращение математической задачи?» и «Как, используя обращения математических задач в процессе обучения математике в 5-6 классах обеспечить развитие гибкости мышления учащихся?».

Объектом исследования является процесс обучения математике учащихся 5-6 классов общеобразовательных школ.

Предмет исследования — обращение математических задач как методический феномен, обеспечивающий развитие гибкости мышления учащихся при обучении математике в 5-6 классах.

Цель исследования заключается в научном обосновании и экспериментальной проверке методического сопровождения обращения математических задач, обеспечивающего развитие гибкости мышления учащихся при обучении математике в 5-6 классах.

Гипотеза исследования заключается в следующем: обращение математических задач в курсе математики 5-6 классов будет обеспечивать развитие гибкости мышления учащихся, если:

- целостно описать процедуру обращения математической задачи и определить те характеристики задачи, которые раскрывают её возможности в развитии гибкости мышления учащихся;

- определить последовательность включения заданий на обращение задач при изучении учебной темы и формы их выполнения учащимися;

- разработать комплекс заданий по всему учебному материалу курса математики 5-6 классов, выполнение которых обеспечит развитие гибкости мышления учащихся, и реализовать этот комплекс в учебном процессе.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1. Изучить состояние проблемы развития гибкости мышления учащихся в теории и практике школьного обучения и обосновать целесообразность использования с этой целью в обучении обращения математических задач;

2. Целостно описать процедуру обращения математической задачи и определить те характеристики задачи, которые раскрывают её возможности в развитии гибкости мышления учащихся;

3. Научно обосновать и построить модель методической системы обучения математике учащихся 5-6 классов с использованием обращения задач;

4. Разработать методическое обеспечение к обучению математике учащихся 5- 6 классов с использованием обращения задач;

5. Экспериментально проверить эффективность разработанного методического обеспечения.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы педагогического исследования:

— изучение и анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы по математике, касающейся проблемы исследования;

— наблюдение за ходом решения учащимися прямых и обратных задач, анализ рассуждений и действий, выполняемых ими;

— анкетирование и интервьюирование учителей математики и учащихся общеобразовательных школ;

— системный анализ педагогических объектов;

— констатирующий, поисковый и формирующий эксперименты;

— статистические методы обработки данных, полученных в ходе формирующего эксперимента.

Теоретико-методологическую основу исследования составляют:

— психологические теории развития личности в обучении (Л. С. Выготский, В. В. Давыдов, Л. В. Занков, Н. А. Менчинская, Д. Б. Эльконин и др.);

— теория упражнений в обучении математике (Г. И. Саранцев); теория укрупнения дидактических единиц в обучении математике (П. М. Эрдниев); теория сюжетных математических задач (Л. М. Фридман); теория организационной структуры учебного процесса (М. И. Зайкин);

— работы методистов-математиков, касающиеся методики видоизменения задач в обучении математике (А. А. Аксёнов, В. А. Далингер, С. Н. Дорофеев, И. В. Егорченко, Н. Н. Егулемова, Т. А. Иванова, Т. М. Калинкина, Л. С. Капкаева, Е. С. Канин, Ю. М. Куликов, Д. Пойа, М. А. Родионов, Е. И. Санина, В. А. Тестов, Р. А. Утеева, А. Я. Цукарь и др.).

Этапы исследования. Исследование осуществлялось в несколько этапов.

На первом этапе была изучена психолого-педагогическая и учебно-методическая литература, касающаяся использования в курсе математики обратных

и обращенных задач с целью развития гибкости мышления школьников. Проанализировано реальное состояние обучения математике учащихся 5-6 классов общеобразовательной школы, проведён констатирующий эксперимент.

На втором этапе определялись концептуальные положения обучения математике учащихся 5-6 классов с использованием обращения задач с целью развития гибкости мышления учащихся, осуществлялась разработка необходимых материалов и их первичная апробация в образовательном процессе, проводился формирующий эксперимент.

На третьем этапе обрабатывались результаты педагогического эксперимента, формулировались положения, выносимые на защиту, систематизировался, обобщался теоретический материал и целостно излагался в виде диссертации и автореферата.

Научная новизна исследования определяется тем, что предложен подход к обучению математике учащихся 5-6 классов, характерной особенностью которого является использование обращения математических задач в процессе их решения, позволяющий обогатить деятельностную основу методики обучения и осуществлять целенаправленное развитие такого важного интеллектуального качества, как гибкость мышления учащихся.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что теория обучения математике обогащена:

— определением понятия обращенной математической задачи;

— модельным представлением процесса обращения математической задачи;

— характеристиками обращённой задачи: мерой обращения и мерой обратимости, отражающими её возможности в развитии гибкости мышления учащихся;

— моделью методической системы обучения математике в 5-6 классах общеобразовательной школы с использованием обращения задач с целью развития гибкости мышления учащихся, включающей блоки: целевой (главная и сопутствующие цели), содержательный (обращение мыслительных операций, обращение математических действий, обращение математической деятельности), процессуальный (стратегия включения обращения задач в процесс обучения математике; средства реализации обращения задач; виды занятий по обращению задач) и результативно-оценочный (выражение результата обучения с использованием обращения задач, критериев и показателей его оценки).

Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что разработанная автором методическая система обучения с использованием обращения математических задач с целью развития гибкости мышления учащихся применима к практике обучения математике в 5-6 классах общеобразовательных школ. Описанная процедура и предложенный алгоритм обращения математической задачи могут быть непосредственно задействованы в учебном процессе.

Обоснованность и достоверность выполненного исследования, его результативность и выводы обусловлены опорой на фундаментальные исследования в области философии, психологии, дидактики, теории и методики обучения математике; на исторический опыт обучения математике в общеобразовательной школе; совокупностью применённых методов исследования, а также положительными результатами проведенного эксперимента.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Обращение математической задачи следует понимать как последовательное видоизменение её путём извлечения из условия части или даже всех данных и включения их в требование; при этом из него, соответственно, исключаются несколько или все найденные искомые и переводятся в условие; обращенная задача станет обратной по отношению к исходной, если все её требования и условия полностью поменяются местами (мера обращенности задачи в этом случае будет равняться 100%).

2. Возможности обращённой задачи в развитии гибкости мышления учащихся можно характеризовать мерой её обратимости, определяющейся числом изменений мыслительных операций, математических действий используемых при её решении на обратные по сравнению с теми которые применялись при решении исходной задачи.

3. Обучение математике в 5-6 классах общеобразовательной школы с использованием обращения задач с целью развития гибкости мышления учащихся целесообразно осуществлять на основе модели, включающей блоки: целевой (главная и сопутствующие цели), содержательный (обращение мыслительных операций, обращение математических действий, обращение математической деятельности), процессуальный (стратегия включения обращения задач в процесс обучения математике; средства реализации обращения задач; виды занятий по обращению задач) и результативно-оценочный (выражение результата обучения с использованием обращения задач, критериев и показателей его оценки).

На защиту выносится также теоретическое описание процедуры обращения математической задачи и сконструированный на её основе алгоритм для самостоятельного осуществления этой деятельности учащимися.

Апробация основных положений и результатов исследования осуществлялась в виде докладов и выступлений:

— на заседании научно-методического семинара кафедры математики, теории и методики обучения математике Арзамасского филиала Нижегородского государственного университета имени Н. И. Лобачевского;

— на Международных научно-практических конференциях: «Современные проблемы математики и её преподавания» (Курган-Тюбе, 2013), «Педагогические технологии математического творчества» (Арзамас, 2011), «Актуальные вопросы современной науки» (Горловка, 2011), «АкШа1т уутогепови уёс!у» (Прага, 2011), «Смешанное и корпоративное обучение: проблемы и решения в сфере подготовки выпускников ВУЗов для реального сектора экономики» (Москва, 2009), «Колмого-ровские чтения» (Ярославль, 2010), «Современная наука: теория и практика» (Ставрополь, 2010), «Актуальные вопросы теории и методики обучения» (Москва, 2011);

— на Всероссийских научно-практических конференциях: «Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы. Артемовские чтения» (Пенза, 2009), «Актуальные проблемы и перспективы развития современного образования. Вахтеровские чтения» (Арзамас, 2009), «Современный учитель сельской школы России» (Арзамас, 2010), «Актуальные проблемы современной науки и образования» (Уфа, 2010), «Научное творчество XXI века» (Красноярск, 2011), «Инновационные технологии организации обучения на пути к новому качеству образования» (Арзамас, 2011), «Математическое образование и информационное общество: проблемы и пер-

спективы» (Москва, 2012), «Гуманитарные традиции математического образования в России» (Арзамас, 2012), «Наука молодых» (Арзамас, 2013), «Новые педагогические технологии: содержание, управление, методика» (Нижний Новгород, 2013);

— на межрегиональных научно-практических конференциях: «Нижегородская сессия молодых ученых. Гуманитарные науки» (Нижний Новгород, 2009, 2012), «Актуальные проблемы обучения математике, физике и информатике в школе и вузе» (Пенза, 2011).

Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось автором в ходе экспериментальной проверки разработанного методического обеспечения в МБОУ СОШ № 2 им. A.C. Пушкина, МБОУ «Лицей», МБОУ СОШ № 14 г. Арзамаса.

Структура диссертации обусловлена логикой исследования и состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 28 статей, из них 3 в изданиях, рекомендованных ВАК.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, определяются его проблема, цель, объект, предмет и гипотеза, ставятся задачи, формулируются научная новизна, теоретическая и практическая значимость, положения, выносимые на защиту, раскрываются методологические и теоретические основы исследования, его методы и этапы выполнения.

Первая глава «Теоретическое обоснование использования обращения задач в качестве средства развития гибкости мышления учащихся 5-6 классов при обучении математике» посвящена анализу различных подходов к пониманию сущности категории гибкости мышления, обоснованию возможности использования обращения задач с целью развития этого умственного качества у учащихся 5-6 классов при обучении математике, а также теоретическому описанию сущности самого процесса обращения математической задачи.

В первом параграфе показано, что, несмотря на то, что гибкость мышления как научная категория уже длительное время находится под пристальным вниманием исследователей (философов, психологов, педагогов) в её трактовке пока ещё нет единства мнений учёных, как и нет устраивающего всех определения этого понятия.

В работах по методике обучения математике и методических исследованиях гибкость мышления рассматривается как феномен математических способностей, который проявляется и развивается в процессе решения задач и выражается в умении переключаться с одной умственной операции на другую, перестраивать сложившиеся схемы рассуждения или действия в соответствии с изменившимися условиями, преодолевать сковывающее влияние шаблонных способов решения и выходить за рамки известного.

Успех развития гибкости мышления учащихся зависит от учёта их возрастных особенностей. Выбор возрастного периода учащихся 5-6 классов обусловлен тем, что в психолого-педагогической и научно-методической литературе отмечается, что данный период является сензитивным для развития гибкости мышления школьников.

Во втором параграфе рассмотрены и проанализированы смысловые контексты употребления терминов «обратная задача» и «обращённая задача» в учебной и методической литературе по математике. Установлено, что в геометрии, чаще всего, говорят об обратных теоремах по отношению к рассматриваемым (прямым), а в арифметике и алгебре - об обратных задачах, получаемых приёмом обращения. Зачастую имеет место смешение этих терминов или разночтения каждого из них в отдельности. Напротив, авторы практически солидарны в том, что решение задач, полученных приёмом обращения, является эффективным средством развития гибкости мышления учащихся при обучении математике.

В качестве аргументов при этом приводится следующее.

Во-первых, обращение задач с целью развития гибкости мышления учащихся позволяет рациональнее использовать учебное время, решать большее число задач. Экономия учебного времени происходит за счёт того, что не требуется изучения условия и требования обращённых задач, понимания соотношений, связывающих условие и заключение.

Во-вторых, обращение задачи является привлекательным для учащихся видом познавательной деятельности, способствует повышению их интереса к занятиям математикой, разнообразит учебную работу. А, кроме того, интерес поддерживается на эмоциональном уровне за счёт удовлетворённости от процесса и результата конструирования и решения обращённых задач, ведь школьники активно участвуют в создании «своей» задачи.

В-третьих, обращение задачи способствуют более глубокому пониманию школьниками учебного материала. Поскольку для решения каждой последующей обращённой задачи применяются знания, используемые при решении предыдущей задачи, то связи и отношения между данными и искомыми более полно осознаются и прочно укрепляются в памяти, учебный материал охватывается сознанием целостно, что способствует предупреждению формализма в знаниях школьников.

В-четвёртых, приобщение школьников к обращению математических задач является хорошим полигоном для развития их познавательной самостоятельности и творческой активности.

В-пятых, поскольку обращение может производиться, в принципе, над любой задачей, то этот вид учебно-познавательной деятельности можно практиковать как на уроках, так и на внеурочных занятиях по математике.

Третий параграф посвящен целостному описанию процесса обращения математической задачи.

Совокупность условий задачи У представим в виде множества {у,}, а совокупность её требований Т - в виде множества {))}.

Если одно данное из условия (например, у,) исходной задачи переводится в искомые и одно найденное значение (например, ф — в условие, то процесс обращения задачи схематично можно представить так (рис. 1а).

Если же таковых элементов будет взято больше, к примеру,^, у2 и гь г2, г3, то схематичное представление процесса обращения задачи будет несколько иным (рис. 16).

Действуя таким образом, можно перебрать все различные комбинации из элементов условия и требования исходной задачи, включая и тот самый случай, когда

вся совокупность {г,} перейдет в условие У, а вся совокупность {у,} перейдет в требование Г (рис. 1в).

Очевидно, мера обращённости исходной задачи в приведённой цепочке случаев а), б), в) последовательно нарастает. Она достигает своего максимума в последнем случае в), когда получается задача, в которой условие и требование полностью поменяны местами по сравнению с исходной задачей.

Рис. 1. Модельное представление процесса обращения задачи

На предложенной модели не трудно увидеть своеобразный оборот (обращение) элементов условия и требования исходной (прямой) задачи, а потому, каждую вновь получаемую задачу логичнее всего было бы назвать обращённой, а не обратной, как она традиционно называется в методической литературе.

Обратим внимание также и на то, что среди обращённых задач есть одна, которая занимает особое положение, она соответствует тому случаю, когда все до одного элемента из {у,} перешли в Г, и все до одного элемента из {/,} перешли в У, что, по сути, будет означать, что обращение элементов условия и требования задачи выполнено по максимуму — то, что в исходной задаче было известно (дано), в ней необходимо найти, а то, что требовалось определить, наоборот, — стало известным. Фактически здесь имеет место предельный случай обращения задачи. А потому эту обращенную задачу логично называть обратной по отношению к исходной (прямой).

Приведём поясняющий пример.

Пусть в качестве исходной задачи взята следующая.

Задача 1. Скорость катера по течению реки равна 22 км/ч, а собственная скорость катера - 20 км/ч. Найдите скорость катера против течения реки и скорость течения реки. (Ответ: 18 км/ч, 2 км/ч).

В результате обращения данной задачи можно получить 9 обращённых задач, две из которых будут не разрешимыми (тексты не приводятся) и одна из обращённых задач будет являться обратной (1.7) по отношению к исходной (прямой):

1.1. Собственная скорость катера равна 20 км/ч, а скорость течения реки - 2 км/ч. Найдите скорость катера по течению и против течения реки.

1.2. Скорость катера по течению реки равна 22 км/ч, а скорость течения реки - 2 км/ч. Найдите собственную скорость катера и скорость катера против течения реки.

1.3. Скорость катера против течения реки равна 18 км/ч, а собственная скорость катера - 20 км/ч. Найдите скорость течения реки и скорость катера по течению реки.

1.4. Скорость катера по течению реки равна 22 км/ч, а против течения - 18 км/ч. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера.

1.5. Скорость катера против течения реки равна 18 км/ч, собственная скорость катера - 20 км/ч, а скорость течения реки - 2 км/ч. Найдите скорость катера по течению реки.

1.6. Скорость катера по течению реки равна 22 км/ч, а против течения - 18 км/ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки - 2 км/ч.

1.7. Скорость катера против течения реки равна 18 км/ч, а скорость течения реки - 2 км/ч. Найдите скорость катера по течению реки и собственную скорость катера.

Модельное представление процесса обращения задачи, приведённое выше, наглядно показывает, что в одних случаях вновь получаемая задача претерпевает небольшие структурные изменения, а в других, напротив, — значительные. Поскольку обращённые задачи, как уже говорилось, получаются в результате своеобразного оборота (обращения) элементов условия и требования исходной задачи, то для отражения этих изменений можно ввести специальную характеристику - меру обращённости задачи. Для её выражения обозначим число элементов условия исходной задачи через а число искомых в её требовании через Ыи, число данных перешедших после процесса обращения задачи в её требование примем за а число искомых, включенных в её условие, - за И'и, тогда меру обращённости задачи (обозначим её буквой т) можно условно выразить формулой:

Очевидно, мера обращённости будет максимальна у обратной задачи и она равна 100%. Если же имело место не полное, а частичное обращение исходной задачи, то мера обращённости будет меньше 100%. Диапазон варьирования меры обращённости определяется промежутком 0 < т < 100% .

Понятно, что определённая таким образом мера обращённости является внешней характеристикой, показывающей величину «оборота» структурных элементов исходной задачи и мало что даёт в оценке тех перемен в задачной ситуации, которые связаны с внутренними процессами, происходящими при её решении. Для отражения развивающей ценности обращения задач нужна характеристика, показывающая изменения в мыслительных процессах. Так, для оценки обращения как средства, развивающего гибкость мышления, таким показателем может выступать число изменений хода мысли на обратный по сравнению с тем, который имел место при решении исходной задачи. Такие изменения могут быть связаны, например, с использованием в решениях взаимно обратных мыслительных операций, математических действий, видов математической деятельности. Если, к примеру, при решении прямой задачи по значениям двух слагаемых определялось значение их суммы, а при решении обращённой задачи по значению суммы и одного из слагаемых находилось значение другого слагаемого, то можно констатировать, что произошло изменение мысли с прямого хода на обратный.

В школьном курсе математики изучается немало взаимно обратных действий арифметического, алгебраического, логического характера: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, логарифмирование и потенцирование, нахождение корней уравнения и составление уравнения по значениям его корней, раскрытие скобок и заключение в скобки, дифференцирование и интегрирование и т.д. Взаимосвязь обратных действий выражается в том, что они показывают две различные стороны одно и того же процесса. Они существуют в синтезе, взаимно дополняя друг друга.

Характеристику обращения, показывающую изменения, связанные с переключением с прямого хода мысли на обратный в решениях исходной и обращённой задачи логично назвать мерой обратимости. Для её численного выражения обозначим за Ы'п/о - реальное количество изменений хода мысли с прямого на обратный в

решениях исходной и обращённой задачи, а за - возможное количество изменений хода мысли с прямого на обратный. Тогда математически меру обратимости задачи (обозначим её буквой М) можно записать так:

И'

м =112^.100%.

К,о

Ещё одной не менее важной характеристикой можно считать потенциал обращения задачи Р, показывающий максимально возможное количество обращений исходной задачи. Понятно, что количество обращений задачи зависит от числа данных {у, } условия У исходной задачи и числа её искомых {г, } требования Т.

Процесс обращения задачи строится на всевозможных комбинациях элементов у,-условия У задачи, переходящих в её требование Т, и различных комбинациях элементов Ц требования исходной задачи, поступающих в её условие У. Комбинацию элементов из множества У можно выбрать 2" -1 способами, а комбинацию элементов из множества Т- (2*- 1), где пик, число элементов условия и требования исходной задачи. Тогда потенциал обращения любой задачи определяется по формуле:

Р = (2"-1)-(2*-1), где п — число данных задачи, к — число её искомых.

Поскольку реально не все обращённые задачи получаются корректно поставленными, то считаем необходимым выделить ещё одну характеристику — продуктивность обращения задачи Р, отражающую меру полезности использован™ этой задачи с целью получения обращённых задач. Для её определения используем формулу:

Р=— 100%, Р

где Р+ - количество разрешимых обращённых задач, а Р — потенциал обращения задачи.

Выделенные характеристики задействованы при составлении комплекса заданий, позволяющего целенаправленно развивать гибкость мышления учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике.

Вторая глава «Методические аспекты использования обращения задач с целью развития гибкости мышления учащихся 5-6 классов при обучении математике» посвящена вопросам практического воплощения обращения математических задач в учебный процесс.

В первом параграфе строится модель методической системы обучения математике учащихся 5-6 классов с использованием обращения задач с целью развития гибкости их мышления.

При этом мы исходили из того, что под моделью в педагогической и методической литературе по математике чаще всего понимается «некий объект, исследование которого служит средством получения новых знаний о другом объекте (оригинале)». Моделирование, как известно, позволяет акцентировать внимание на сущностных сторонах объекта исследования и представлять их в структурной и функциональной взаимосвязи друг с другом, обеспечивающей установление новых отношений, свойств или качеств моделируемых объектов.

В методологическое основание методической модели закладывают такие фундаментальные подходы, как системный, личностно-ориентированный, деятельност-ный и интегративный. Системный подход требуется при определении компонентно-

го состава и структуры модели, установлении комплекса внутрисистемных связей и характеристик особенностей взаимодействия системы с внешней средой. С помощью системного анализа достигается целостность в изучении исследуемого процесса или явления и обеспечивается функционирование всех блоков модели. Опираться на личностно-ориентированный подход необходимо для того, чтобы цели, содержание и технология обучения математике в 5-6 классах с использованием обращения в качестве средства развития гибкости мышления учащихся формулировать или отбирать с учётом индивидуальных особенностей обучаемых, позволяющих им быть активными участниками учебного познания на всех этапах усвоения учебного материала. С позиций деятельностного подхода необходимо рассматривать обучение математике в 5-6 классах с использованием обращения в качестве средства развития гибкости мышления учащихся как активную математическую деятельность, адекватную усваиваемому содержанию, обеспечивающую целостное развитие личности школьника. Он ориентирует на обеспечение активной познавательной деятельности обучаемых с целью овладения её содержанием. В нашем случае он ориентирует, прежде всего, на использование заданий на обращение математических задач, которое способствуют развитию гибкости мышления. Наконец, задействование интегра-тивного подхода продиктовано необходимостью решения вопроса преемственной связи в определении основных стадий вовлечения учащихся в работу с обращённы-ми задачами в курсе математики 5-6 классов. Он позволяет многообразие частных случаев обращения хода мысли или действия оценить с единых идейных, теоретических и методических позиций и придать свойственной этому виду учебного познания содержательной вариативности инвариантную логическую форму.

В исследованиях по методике обучения математике чаще всего практикуются модели, включающие в качестве основных компоненты, раскрывающие сущность целей проектируемой деятельности, описывающие её содержательную специфику, регламентирующие сам учебный процесс или используемые технологии (формы, методы, средства), дающие представление о результатах деятельности или способах их диагностики. Эти компоненты отвечают целям и задачам настоящего исследования, а потому проектируемую модель обучения математике учащихся 5-6 классов общеобразовательных школ можно представить в виде четырёх взаимосвязанных блоков (рис. 2).

Модель методической системы обучения математике в 5-6 классах с использованием обращения задач в качестве средства развития гибкости мышления учащихся, построенная в этом параграфе, включает в качестве основных блоки: целевой (главная и сопутствующие цели), содержательный (обращение мыслительных операций, обращение математических действий, обращение математической деятельности), процессуальный (стратегия включения обращения задач в процесс обучения математике; средства реализации обращения задач; виды занятий по обращению задач) и результативно-оценочный (выражение результата обучения с использованием обращения задач, критериев и показателей его оценки).

Во втором параграфе раскрыты возможности включения обращённых задач в систему упражнений на усвоение математических знаний.

Показано, что обращенные задачи под различными названиями используются в практике школьного обучения математике.

ЦЕЛЕВОЙ БЛОК

Основная цель использование обращения задач в процессе обучения математике - развитие гибкости мышления учащихся 5-6 классов и на этой основе более глубокое и прочное усвоение сущности математических абстракций

Сопутствующие цели

Развитее качеств мышления: логичности; критичности; ком бннаторностн

Развитие креативности школьников средствами математики

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ БЛОК

Основные содержательные компоненты обращения

ПРОЦЕССУАЛЬНЫЙ БЛОК

Стратегия включения обращения задач в процесс обучения математике

• на начальных этапах усвоения учащимися учебного материала - на заключительных этапах изучения школьниками учебной темы

Деформированные упражнения

Фронтальный инструктаж

в процессе итогового обобщающего повторения пройденного материала

Средства реализации обращения задач

Задачи с пропусками в условии, но с ответом

Обращенные задачи

Виды занятий по обращению задач

Индивидуальный тренинг

Самостоятельный практикум

РЕЗУЛЬТАТИВНО-ОЦЕНОЧНЫЙ БЛОК

Результат: развитие гибкости мышления учащихся 5-6 классов при обучении математике с использованием

обращения задач_

| Уровни развития гибкости мышления учащихся |

(низкий — характерен для обучающих^ ся, которые лишь с использованием подсказок или помощи из вне способны осуществлять варьирование способов действия; актуализировать знания соответственно изменяющимся условиям; переключаться с прямого хода мысли на обратный; осуществлять обращение простейших математических задач;

средний - учащиеся испытывают трудности при необходимости образовывать прямые и обратные связи, перестраивать способы деятельности в соответствии с изменившимися условиями, способны самостоятельно осуществлять обращение задач, но допускают ошибки

/высокий- школьники целесообразно варьируют способы действий, перестраивают систему знаний и навыков в соответствие с новыми условиями, быстро переключаются с одного известного способа действия на другой, легко образуют прямые и обратные связи, переход от одних к другим не затруднен, безошибочно самостоятельно обращают задачи

Рис. 2. Модель методической системы обучения математике в 5-6 классах с использованием обращения задач в качестве средства развития гибкости мышления учащихся

Так, получили распространение обращенные задачи, названные П. М. Эрдни-евым деформированными упражнениями, решение которых основывается на поисках недостающих звеньев замкнутого круга умозаключений путём анализа всей её цепи, что превращает мыслительный процесс в более сложный, более содержательный, поскольку действия выполняются не в прямом порядке, от компонентов к его результату, как это традиционно требуется в большинстве школьных математических задач, а в обратном - когда один из компонентов действия становится неизвестным, а результат входит в условие примера, т.е. происходит постоянное изменение хода мысли с прямого на обратный, а это, в конечном счёте, является своеобразным рычагом развития мышления школьников и в частности его гибкости.

В системе упражнений по усвоению основных дидактических единиц, предложенной Г. И. Саранцевым, обращённые задачи также присутствуют; учёный называет их упражнениями на заполнение пропущенных мест. Их использование оказывает влияние на развитие гибкости мышления учащихся. Оно достигается путём переключения мышления школьника с прямых на обратные действия и наоборот, что предполагается при выполнении таких упражнений.

В методической литературе по теории и методике обучения математике для названия таких задач употребляются и другие термины: «примеры с окошечками», «задачи с «кляксами»» и т.п.

Нами предложен комплекс таких задач по курсу математики 5-6 классов. Он обеспечивает достижение целей первой стадии развития гибкости мышления обучаемых (см. фрагмент в табл. 1).

Таблица 1

№ п/п Разделы курса математики 5-го класса Обращённые задачи Методические комментария

1. Натуральные числа и шкалы № 1. Заполните пропущенные места в выражении: а) ...+35-18 = 885; б) (87+ 35)-... = 3050; в)...: 36 + 164 = 449; г) 52998 :(... +29) = 803. № 2. Расстояние от дома до школы 640 м, а от школы до библиотеки .... На сколько расстояние от дома до школы меньше расстояния от школы до библиотеки? Ответ: на 150 м. № 3. Сердце собаки делает в минуту 120 ударов, а сердце синички в ... раз больше. Сколько ударов с минуту делает сердце синички? Ответ: 1200 ударов в минуту. № 4. Заполните пропуски: а) 5м2 = ... дм2; б) 3 м2 = ... мм2; в) ... м2 = 6000000 ЛШ2; г) ... м2 = 500 дм2. по результатам выполнения таких задач можно оценить умения каждого учащегося выполнять арифметические действия с натуральными числами, а также умения решать текстовые задачи, требующие понимания смысла отношений «больше на...», «меньше на...» и др.

В третьем параграфе процесс обращения математической задачи представлен в виде последовательности пяти основных этапов: этап анализа содержания прямой задачи; этап решения прямой задачи и его проверки; этап подготовки к обращению задачи; этап осуществления обращения задачи; этап исследования обращённой за-

дачи. К реализации каждого из этих этапов даны необходимые методические рекомендации.

Предложено алгоритмическое предписание из шести шагов, облегчающее деятельность школьников по самостоятельному выполнению процедуры обращения математической задачи, обеспечивающее достижение целей второй стадии развития гибкости мышления учащихся (рис. 3).

Рис. 3. Алгоритмическое предписание процесса обращения математической задачи

Выделены требования, предъявляемые к формулировкам обращенных задач. Одним из них является обязательная включённость всех элементов задачи в содержание её текста.

Второе требование - лаконичность вопроса, многословные, витиеватые, трудно воспринимаемые формулировки подлежат редактированию. Если учащиеся затруднятся самостоятельно грамотно составить вопрос, учитель может сам привести несколько его вариантов и предложить ученику выбрать из них наиболее подходящий, обосновав свой выбор. Затем уже целесообразно практиковать самостоятельное формулирование вопросов учащимися.

В четвёртом параграфе раскрываются методические особенности третьей стадии развития гибкости мышления учащихся 5-6 классов средствами обращения математических задач. Акцент сделан на воспитательно-развивающую функцию домашних заданий творческого характера по обращению задач в индивидуальной ра-

боте со школьниками. В предложенных заданиях задействуются такие характеристики обращения как мера обращения, мера обратимости, потенциал обращения и продуктивность обращения математической задачи.

В качестве примера приведём следующие задания:

№1. Составьте для данной задачи все возможные обращенные задачи на движение в одном направлении велосипедиста и мотоциклиста, представляя их условие с помощью соответствующих схем.

ом = 75 км/ч ? ч

ов = 15 юи/ч

№2. а) Решите задачу: бригада трактористов вспахала в первый день — всего поля, во второй день на ^ всего поля больше, чем в первый день, а в третий день на -j всего поля меньше,

чем во второй день. Какую часть поля вспахала бригада за 3 дня? б) Составьте и решите обращенную задачу с вопросом: «На какую часть поля бригада вспахала в третий день меньше, чем во второй день?».

№3. Укажите, какие задачи из приведённых ниже (1.1-1.3) являются обращенными по отношению к исходной задаче 1, а какие нет.

1. Первый мастер выполнил 5 норм, а второй был учеником и он выполнил только 2 нормы. Вместе они заработали 2100 рублей. Найдите заработок каждого из них.

1.1. Первый мастер заработал 1500 рублей, а второй - 600 рублей. Вместе они выполнили 7 норм. Сколько норм выполнил каждый из них в отдельности?

1.2. Первый мастер выполнил 5 норм, а второй - только 2 нормы. Поэтому первый заработал на 900 рублей больше, чем второй. Каков заработок каждого из мастеров в отдельности?

1.3. Первый мастер выполнил 5 норм, а второй - только 2 нормы и заработал 600 рублей. Найдите заработок первого мастера и укажите, сколько рублей они заработали вместе.

В последнем параграфе второй главы приведены описание и результаты педагогического эксперимента, проведённого на базе МБОУ «СОШ №2 им. A.C. Пушкина», МБОУ «Лицей», МБОУ «СОШ №14».

В качестве основных критериев оценки эффективности разработанного методического обеспечения использовались: а) успешность учащихся в решении математических задач, предполагающих изменение хода мысли с прямого на обратный; б) интерес школьников к обращению математических задач; в) уровень математической подготовки школьников.

Сравнение по первому критерию осуществлялось на основе срезовой работы.

Количественная оценка уровня успешности учащихся в решении задач, предполагающих изменение хода мысли с прямого на обратный приведена в таблице 2.

____Таблица 2

Классы Кол-во учащихся Низкий уровень Средний уровень Высокий уровень

Экспериментальные 69 10 (15%) 35 (50%) 24 (35%)

Контрольные 76 25 (33%) 37 (49%) 14 (18%)

Табличные данные наглядно представлены на рисунке 4.

□ эксп. кл. Ш контр, кл.

низкий средний высокий

Рис. 4. Распределение учащихся контрольных и экспериментальных классов по уровням успешности в решение задач, предполагающих изменение хода мысли с прямого на обратный

Для определения статистической значимости экспериментально установленных различий в успешности школьников в решении задач, предполагающих изменение хода мысли с прямого на обратный, использовался критерий Пирсона %2.

Сравнение по второму критерию производилось посредством измерения интереса школьников к обращению задач (использовалась методика, предложенная И. М. Смирновой).

Полученные результаты приведены на рисунке 5.

80 70 60 50 40 30 20 10 0

□ эксп. кл. контр, кл.

5 кл. 5 кл. февраль апрель

□ эксп. КЛ. Шконтр, кл.

6 КЛ. 6 КЛ. ноябрь апрель

Рис. 5. Динамика интереса учащихся 5-6 классов к обращению математических задач

Сравнение по третьему критерию производилось на основе срезовой работы комплексного характера. Полученные данные отражены на рисунке 6.

□ эксп. КЛ. Ш контр, кл.

низкии средним высоким

Рис. 6. Распределение учащихся экспериментальной и контрольной групп по уровням математической подготовки

Установленные различия проверялись на статистическую значимость (использовался критерий согласия Стьюдента).

Гипотеза исследования получила экспериментальное подтверждение.

В процессе диссертационного исследования, в соответствие с его целью и задачами, получены следующие основные результаты и выводы:

1. Показано, что гибкость мышления как феномен математических способностей проявляется и развивается в процессе решения задач и выражается в умении переключаться с одной умственной операции на другую, перестраивать сложившиеся схемы рассуждения или действия в соответствии с изменившимися условиями, преодолевать сковывающее влияние шаблонных способов решения и выходить за пределы известного;

2. Сделан вывод о том, что развитию гибкости мышления учащихся в процессе обучения математике способствует составление и решение обращенных задач, получаемых последовательным видоизменением исходной задачи путём извлечения из её условия части или даже всех данных и включения их в требование; при этом из него, соответственно, исключаются несколько или все найденные искомые и переводятся в её условие;

3. Дано модельное представление процесса обращения задачи в графической и символической форме. Введены характеристики: мера обращенности, отражающая степень обращения задачи; мера обратимости, характеризующая изменения внутренней структуры задачи, связанное со своеобразным превращением прямой связи мысли в обратную в решениях исходной и обращенной задачи; потенциал обращения, показывающий возможное количество обращений исходной задачи; продуктивность обращения, отражающая меру полезности использования этой задачи с целью получения разрешимых обращенных задач.

4. Предложена модель методической системы обучения математике в общеобразовательной школе с использованием обращения задач с целью развития гибкости мышления учащихся 5-6 классов, включающая блоки: целевой (главная и сопутствующие цели), содержательный (обращение мыслительных операций, обращение математических действий, обращение математической деятельности), процессуальный (стратегия включения обращения задач в процесс обучения математике; средства реализации обращения задач; виды занятий по обращению задач) и результативно-оценочный (выражение результата обучения с использованием обращения задач, критериев и показателей его оценки).

6. Целостно описана процедура обращения математической задачи, выделены её основные этапы, даны методические рекомендации к каждому из них, разработан алгоритм для самостоятельного обращения учащимися математической задачи.

7. Разработано методическое обеспечение в виде комплекса задач, позволяющего целенаправленно развивать гибкость мышления учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике.

8. Экспериментально проверена эффективность разработанного методического обеспечения. Гипотеза исследования получила экспериментальное подтверждение.

Основные положения и результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях.

I. Публикации в научных журналах, рекомендованных ВАК

1. Абрамова, О. М. Возможности использования прямых и обратных задач в развитии гибкости мышления учащихся на уроках математики / О. М. Абрамова // В мире научных открытий. - 2011. - №9.1 (21). - С. 183 - 194.

2. Абрамова, О. М. Один из способов обращения задач как средство развития гибкости мышления школьников / О. М. Абрамова // Начальная школа плюс До и После. - 2012 - №1. - С. 79 - 83.

3. Абрамова, О. М. О функциональных и структурных отличиях понятий обратной и обращенной задачи / О. М. Абрамова, М. И. Зайкин // Мир науки, культуры, образования. - 2012. - №6(37). - С. 152 - 154 (авторский вклад 50 %).

II. Публикации в других изданиях

4. Абрамова, О. М. Развитие гибкости мыслительных процессов как компонента математических способностей школьников / О. М. Абрамова // Современные проблемы теории обучения, воспитания и методики математики / Под ред. М. И. Зайкина. - Арзамас: АГПИ, 2012. - С. 299 - 302.

5. Абрамова, О. М. Организация мотивации учебной деятельности школьников на уроках математики с помощью занимательных заданий / О. М. Абрамова, Е. В. Баранова // Актуальные проблемы и перспективы современного образования: материалы II Всероссийских Вахтеровских чтений (Арзамас, 3-5 апреля 2008 г) / Под общ. ред. Е. П. Титкова; АГПИ им. А. П. Гайдара. - Арзамас: АГПИ, 2009. -С. 318 - 320 (авторский вклад 50 %).

6. Абрамова, О. М. Решение задач различными способами как средство повышения гибкости мышления школьников / О. М. Абрамова // Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы: материалы V Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Артемовские чтения» (г. Пенза, 14-15 мая 2009 г) в 2-х т. Т.1 / Под. общ. ред. М. А. Родионова. -Пенза: ПГПУ, 2009. - С. 110 - 114.

7. Абрамова, О. М. Смешанное обучение математике с использованием информационных технологий / О. М. Абрамова // Смешанное и корпоративное обучение: проблемы и решения в сфере подготовки выпускников ВУЗов для реального сектора экономики (СКО - 2009): Труды Ш Международной научно-практической конференции. - М.: РИЦМГГУ, 2009. - С. 17 - 19.

8. Абрамова, О. М. К вопросу о формирование гибкости мышления школьников при обучении математике / О. М. Абрамова //14 Нижегородская сессия молодых ученых. Гуманитарные науки / Отв. за вып. И. А. Зверева. - Н.Новгород: О. В. Гладкова, 2009. - С. 126 - 127.

9. Абрамова, О. М. Задания на развитие гибкости мышления школьников на уроках математики / О. М. Абрамова //Актуальные проблемы современной науки и образования. Общественные науки. Т. УП. Ч. 2. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2010. - С. 124 - 129.

10. Абрамова, О. М. Формирование гибкости мышления учащихся как одна из основных целей обучения математике / О. М. Абрамова // Международный научный альманах. Выпуск 7. Сборник статей преподавателей, аспирантов, магистрантов

и студентов / Под. ред. В. И. Журко, А. А. Калюжного. - Галле; М.; Минск; Бишкек; Актобе: АТУ, 2010. - С. 238 - 244.

11. Абрамова, О. М. Проблема развития гибкости мышления школьников в процессе обучения математике / О. М. Абрамова // Труды VIII Международных Колмогоровских чтений. - Ярославль: ЯГПУ, 2010. - С. 405 - 411.

12. Абрамова, О. М. О различных взглядах на трактовку понятия гибкости мышления в научно-методической литературе / О. М. Абрамова // Современный учитель сельской школы России: Сборник статей участников Всероссийской научно-практической конференции с международным участием / Науч. ред. М. И. Зайкин: АГПИ им. А.П. Гайдара. - Арзамас: АГПИ, 2010. - С. 261 - 265.

13. Абрамова, О. М. Прямые и обратные задачи как средство формирования гибкости мышления школьников / О. М. Абрамова // Современная наука: теория и практика: материалы I Международной научно - практической конференции. Т.2. Часть 2. - Ставрополь: СевКавГТУ, 2010. - С. 8 - 11.

14. Абрамова, О. М. Система учебных задач как средство развития гибкости мышления школьников при обучении математике / О. М. Абрамова // Инновационные технологии организации обучения на пути к новому качеству образования: Сборник материалов VHI Всероссийской научно-практической конференции. Арзамас, 2011 г. - М.: СГУ, 2011. - С. 344 - 354.

15. Абрамова, О. М. О методе прямых и обратных задач как о рациональном способе развития гибкости мышления учащихся / О. М. Абрамова // Актуальные проблемы обучения математике, физике и информатике в школе и вузе: материалы II межрегиональной научно-практической конференции учителей / Под общ. ред. М. А. Родионова. - Пенза: ПГПУ, 2011. - 4.1. - С. 11 - 17.

16. Абрамова, О. М. Дидактическая ценность прямых и обратных задач в развитии гибкости мышления школьников при обучении математике / О. М. Абрамова // Научное творчество XXI века: материалы IV всероссийской науч.-практ. конференции с международным участием, приложение к журналу «В мире научных открытий». - Красноярск: Научно-инновационный центр, 2011. - Выпуск 1,- С. 82 - 83.

17. Абрамова, О. М. Обращение задач как один из креативных методов обучения математике школьников / О. М. Абрамова // Актуальные вопросы теории и методики обучения. Выпуск 1. Сборник научных трудов. - М.: РУДН, 2011.-С.З-9.

18. Абрамова, О. М. О дидактических и развивающих возможностях прямых и обратных задач в обучении математике / О. М. Абрамова // Актуальные вопросы современной науки: материалы XI междун. науч.-практ. конференции. - Горловка: ООО «НВП «Интерсервис»», 2011. - С. 109 -111.

19. Абрамова, О. М. Обращение математических задач как элемент творческой деятельности школьников / О. М. Абрамова // Педагогические технологии математического творчества: сборник статей участников международной научно-практической конференции / Под общ. ред. М. И. Зайкина: АГПИ. - Арзамас: АГПИ, 2011. - С. 215 - 220.

20. Абрамова, О. М. Многофункциональность прямых и обратных задач при изучении школьного курса математики / О. М. Абрамова // Aktuälni vymozenosti vedy - 2011: materiäly VII mezinärodni vedecko-praktickä conference. - Dil 11. - Praha: Publishing House «Education and Science» s.r.o. - 112 stran, 2011. - C. 94 - 96.

21. Абрамова, О. М. Роль и место прямых и обратных задач в математическом образовании / О. М. Абрамова // Наука молодых. Межвузовский сборник научных трудов молодых учёных. Выпуск 5 / Ассоциация учёных г. Арзамаса, АГПИ им. А. П. Гайдара, АЛИ (филиал НГТУ). - Арзамас: АГПИ, 2012. - С. 13 - 18.

22. Абрамова, О. М. Интеллектуальное воспитание учащихся в ходе обращения школьных математических задач / О. М. Абрамова // Математическое образование и информационное общество: проблемы и перспективы: сборник трудов XLV1II Всероссийской (с международным участием) конференции / Под общ. ред. Е. И. Саниной. - М.: РУДН, 2012. - С. 249 - 253.

23. Абрамова, О. М. К вопросу об обращении задачи при обучении математике / О. М. Абрамова, М. И. Зайкин // Гуманитарные традиции математического образования в России: сборник статей участников Всероссийской научной конференции с международным участием / Под общ. ред. М. И. Зайкина: АГПИ. — Арзамас: АГПИ, 2012. - С. 186 - 195 (авторский вклад 50%).

24. Абрамова, О. М. Обращение математических задач усиливает развивающий эффект их решения / О. М. Абрамова // ХУЛ Нижегородская сессия молодых ученых. Гуманитарные науки / Отв. за вып. И. А. Зверева. - Нижний Новгород: НИУ РАНХиГС, 2012. - С. 84 - 86.

25. Абрамова, О. М. Обращение математических задач / О. М. Абрамова, М.И. Зайкин//Школьные технологии.-2013. -№1.-С. 106- 113 (авторский вклад 50%).

26. Абрамова, О. М. Модель развития гибкости мышления учащихся посредством использования обращения задач на заключительном этапе их решения при обучении математике в основной школе / О. М. Абрамова // Наука молодых: сборник научных трудов VI Всероссийской научно-практической конференции. Выпуск 6. - Нижний Новгород: ННГУ (Арзамасский филиал), 2013. - С. 10 - 20.

27. Абрамова, О. М. О семантическом аспекте категории обратная задача / О. М. Абрамова // Новые педагогические технологии: Содержание, Управление, Методика: тезисы Всероссийской научно-методической конференции. - Н.Новгород: ННГУ, 2013. - С. 105.

28. Абрамова, О. М. Об одном подходе к обучению школьников обращению математических задач / О. М. Абрамова // Современные проблемы математики и её преподавания: материалы международной научно-методической конференции. — Курган-Тюбе: Курган-Тюбинский госуниверситет, 2013. - С. 182 - 186.

Подписано в печать 02.09.2013 г. Формат 60x80 1/16. Печать ризография. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 1,3. Тираж 100 экз. Заказ № 106.

ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева» Редакционно-издательский центр 430007, г. Саранск, ул. Студенческая, д. 11 а

Текст диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Абрамова, Олеся Михайловна, Арзамас

Арзамасский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО»

На правах рукописи

04201362021 АБРАМОВА Олеся Михайловна

ОБРАЩЕНИЕ ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ГИБКОСТИ МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика)

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание учёной степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор М. И. Зайкин

Арзамас - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................... 3

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБРАЩЕНИЯ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ С ЦЕЛЬЮ РАЗВИТИЯ ГИБКОСТИ МЫШЛЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ.................... 12

1.1. Проблема развития гибкости мышления учащихся в теории и практике школьного обучения...................................................................... 12

1.2. Генезис представлений об использовании обращения задач в качестве средства развития гибкости мышления учащихся.................. 31

1.3. Сущность и дидактическая ценность обращения школьных математических задач................................................................................... 43

1.4. Основные характеристики обращённых задач в контексте анализа возможностей их использования с целью развития гибкости мышления

учащихся.......................................................................................................... 59

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1.................................................................................... 70

Глава 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБРАЩЕНИЯ ЗАДАЧ С ЦЕЛЬЮ РАЗВИТИЯ ГИБКОСТИ МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ............................................................................................ 72

2.1. Модель методической системы обучения математике учащихся 5-6 классов с использованием обращения задач с целью развития гибкости их мышления.................................................................................. 72

2.2. Включение обращённых задач в систему упражнений на усвоение учебного материала с целью развития гибкости мышления учащихся........ 90

2.3. Реализация возможностей обращения задач в целях развития гибкости мышления учащихся при обобщающем повторении.............. 103

2.4. Методические особенности использования заданий творческого характера на обращение задач в индивидуальной работе со школьниками.. 121

2.5. Организация и результаты педагогического эксперимента............... 133

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2.............................................................................. 147

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................. 150

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................................................................... 153

ПРИЛОЖЕНИЯ............................................................................................ 170

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. В современном информационном обществе полноценно реализовать себя, быть успешными могут люди, не просто обладающие системой предметных знаний, а интеллектуально развитые личности, свободно ориентирующиеся в быстро метающемся мире, умеющие самостоятельно принимать ответственные решения в ситуации множественности выбора, анализировать причины и прогнозировать возможные последствия тех или иных событий и явлений, способные находить инновационные решения в условиях неопределённости, преодолевать консерватизм и отличающиеся мобильностью, динамизмом, конструктивностью. Всё это требует развития такого важного интеллектуального качества как гибкость мышления.

На протяжении длительного времени проблема развития гибкости мышления учащихся привлекала к себе пристальное внимание представителей самых различных областей научного знания - философии (Демокрит [177], В. Ф. Асмус [15], Г. В. Ф. Гегель [32], П. В. Копнин [96], А. Н. Лук [105] и др.), психологии (Д. Н. Богоявленский [19], В. А. Крутецкий [98], 3. И. Калмыкова [80], Н. А. Менчинская [115], М. А. Холодная [168] и др.), дидактики (М. А. Данилов [43], В. И. Загвязинский [64], И. Я. Лернер [102], А. В. Хуторской [170] и др.), методики математики (В. А. Гусев [39], Ю. М. Колягин [90], Г. И. Саранцев [147], Л. М. Фридман [167], П. М. Эрдниев [182] и др.).

Указания на этот счёт имеются в работах многих современных зарубеж-

ных и отечественных педагогов-математиков: К. Гаттеньо [126], М. Монтессори [119], Д. Пойа [134], Г.В.Дорофеева [51], М. И. Зайкина [65], Т.А.Ивановой [75], А.Г.Мордковича [120], И.М.Смирновой [152], В.А.Тестова [158], В. М. Финкельштейна [165], А. Я. Цукаря [172], Б. П. Эрдниева [179] и др.). Многие из них, отмечая продуктивную направленность работы с уже решённой задачей, настоятельно рекомендуют в обучении математике не останавливаться только на решении задачи, а, используя приём обращения, видоизменять её, получать обратные задачи и решать их (Э. Г. Готман [34], И. Е. Дразнин [56], Т. М. Калинкина [79], Е.С.Канин [83], Ю.М. Куликов [100], И.Б.Ольбин-ский [122], Г. В. Токмазов [160] и др.).

Во-первых, составление и решение обратных задач способствует лучшему пониманию структуры математической задачи, обеспечивает более глубокое осознание тех взаимосвязей и отношений, которые свойственны за-дачной ситуации, позволяет школьникам как бы заглянуть внутрь структуры задачи и увидеть взаимосвязи её данных, данных и искомых и тем самым понять её математическую сущность.

Во-вторых, такая работа над уже решённой задачей приобщает учащихся к математическому творчеству, способствует развитию их креативности, поскольку процесс обращения задачи адекватен процессу исследования определенной проблемы и обеспечивает формирование у школьников умений, необходимых для выполнения творческих исследовательских работ.

В-третьих, что, на наш взгляд, является исключительно важным в условиях развивающей образовательной парадигмы современной школы, ценность приёма обращения заключается в том, что путём обращения получаются новые задачи, при решении которых используются мыслительные операции, математические действия обратные по отношению к тем, которые применялись в процессе решения исходной задачи, т.е. имело место своеобразное превращение

прямой связи мыслей в обратную, что способствует развитию такого фундаментального умственного качества как дивергентность мышления.

Разделяя мнение о том, что дополнительная работа над задачей, безусловно, содержит в себе значительный дидактический и развивающий потенциал, отметим, что на практике он далеко не полностью реализуется в силу ряда обстоятельств. На это указывают многие педагоги-математики: А.К.Артёмов [13], В.Г.Болтянский [21], Г.В.Дорофеев [52], В. А. Кру-тецкий [98], В. В. Репьев [139], Г. И. Саранцев [147], Л. М. Фридман [167] и др.

Необходимость решения этого противоречия определяет актуальность проблемы диссертационного исследования, определяющейся вопросами: «Как осуществлять обращение математической задачи?» и «Как, используя обращения математических задач в процессе обучения математике в 5-6 классах, обеспечить развитие гибкости мышления учащихся?».

Объектом исследования является процесс обучения математике учащихся 5-6 классов общеобразовательных школ.

Предмет исследования - обращение математических задач как методический феномен, обеспечивающий развитие гибкости мышления учащихся при обучении математике в 5-6 классах.

Цель исследования заключается в научном обосновании и экспериментальной проверке методического сопровождения обращения математических

задач, обеспечивающего развитие гибкости мышления учащихся при обуче-

нии математике в 5-6 классах.

4. Разработать методическое обеспечение к обучению математике учащихся 5-6 классов с использованием обращения задач;

5. Экспериментально проверить эффективность разработанного методического обеспечения.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы педагогического исследования:

- изучение и анализ психолого-педагогической и учебно-методической

литературы по математике, касающейся проблемы исследования;

- наблюдение за ходом решения учащимися прямых и обратных задач, анализ рассуждений и действий, выполняемых ими;

- анкетирование и интервьюирование учителей математики и учащихся общеобразовательных школ;

- системный анализ педагогических объектов;

- констатирующий, поисковый и формирующий эксперименты;

- статистические методы обработки данных, полученных в ходе формирующего эксперимента.

Теоретико-методологическую основу исследования составляют:

- психологические теории развития личности в обучении (JL С. Выготский [29], В. В. Давыдов [40], JI. В. Занков [69], Н. А. Менчинская [116], Д. Б. Эльконин [178] и др.);

- теория упражнений в обучении математике (Г. И. Саранцев [148]); теория укрупнения дидактических единиц в обучении математике (П. М. Эрдниев [184]); теория сюжетных математических задач (JI. М. Фридман [167]); теория организационной структуры учебного процесса (М. И. Зайкин [66]);

- работы методистов-математиков, касающиеся методики видоизменения задач в обучении математике (А. А. Аксёнов [8], В. А. Далингер [42], С. Н. Дорофеев [54], И. В. Егорченко [60], H. Н. Егулемова [61], Т. А. Иванова [75], Т. М. Калинкина [79], Л. С. Капкаева [86], Е. С. Канин [84], Ю. М. Куликов [100], Д.Пойа [133], М.А.Родионов [141], Е.И.Санина [146], В. А. Тестов [158], Р. А. Утеева [162], А. Я. Цукарь [171] и др.).

Этапы исследования. Исследование осуществлялось в несколько этапов.

На первом этапе (2009-2010 гг.) была изучена психолого-педагогическая и учебно-методическая литература, касающаяся использования в курсе математики обратных и обращённых задач с целью развития гибкости мышления школьников. Проанализировано реальное состояние обучения математике учащихся 5-6 классов общеобразовательной школы, прове-

дён констатирующий эксперимент.

На втором этапе (2011-2012 гг.) определялись концептуальные положения обучения математике учащихся 5-6 классов с использованием обращения задач с целью развития гибкости мышления учащихся, осуществлялась разработка необходимых материалов и их первичная апробация в образовательном процессе, проводился формирующий эксперимент.

На третьем этапе (2011-2013 гг.) обрабатывались результаты педагогического эксперимента, формулировались положения, выносимые на защиту, систематизировался, обобщался теоретический материал и целостно излагался в виде диссертации и автореферата.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что теория обучения математике обогащена:

- определением понятия обращённой математической задачи;

- модельным представлением процесса обращения математической задачи;

- характеристиками обращённой задачи: мерой обращения и мерой обратимости, отражающими её возможности в развитии гибкости мышления учащихся;

- моделью методической системы обучения математике в 5-6 классах общеобразовательной школы с использованием обращения задач с целью развития гибкости мышления учащихся, включающей блоки: целевой (главная и сопутствующие цели), содержательный (обращение мыслительных операций, обращение математических действий, обращение математической деятельности), процессуальный (стратегия включения обращения задач в процесс обучения математике; средства реализации обращения задач; виды

занятий по обращению задач) и результативно-оценочный (выражение ре-

зультата обучения с использованием обращения задач, критериев и показателей его оценки).

На защиту выносятся следующие положения:

1. Обращение математической задачи следует понимать как последовательное видоизменение её путём извлечения из условия части или даже всех данных и включения их в требование; при этом из него, соответственно, исключаются несколько или все найденные искомые и переводятся в условие; обращённая задача станет обратной по отношению к исходной, если все её требования и условия полностью поменяются местами (мера обращённости задачи в этом случае будет равняться 100%).

2. Возможности обращённой задачи в развитии гибкости мышления учащихся можно характеризовать мерой её обратимости, определяющейся числом изменений мыслительных операций, математических действий, используемых при её решении на обратные по сравнению с теми которые применялись при решении исходной задачи.

3. Обучение математике в 5-6 классах общеобразовательной школы с

использованием обращения задач с целью развития гибкости мышления

учащихся целесообразно осуществлять на основе модели, включающей блоки: целевой (главная и сопутствующие цели), содержательный (обращение мыслительных операций, обращение математических действий, обращение математической деятельности), процессуальный (стратегия включения обращения задач в процесс обучения математике; средства реализации обращения задач; виды занятий по обращению задач) и результативно-оценочный (выражение результата обучения с использованием обращения задач, критериев и показателей его оценки).

Апробация основных положений и результатов исследования осуществлялась в виде докладов и