автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обучение доказательству теорем геометрии с использованием компьютера

Автореферат диссертации по теме "Обучение доказательству теорем геометрии с использованием компьютера"

РГ6 од 2 3 ЙЮН 1997

На правах рукописи

ВАСИЛАС Николаос

ОБУЧЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ ГЕОМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРА

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва 1997

Работа выполнена в Симферопольском государственном университете

имени М.В.Фрунзе

Научный руководитель: д.п.н., профессор Н.В.Апатова

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор Ю.А.Первин кандидат педагогических наук Н.Б.Мельникова

Ведущая организация - Институт информатизации образования РАО

Защита состоится " " 1997 года в Л 4 часов на

заседании диссертационного совета К.018.06.04 в Институте общего среднего образования РАО по адресу: Москва, ул.Погодинсткая, дом 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан " >16 " - 1997 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 018.06.04 доктор педагогических наук, с.н.с.

А.С.Лесневский

Введение

Актуальность исследования. Все большее распространение во всем мире получают обучающие компьютерные программы. Они имеют различных адресатов, от дошкольников до учителей, но предназначены для одной цели: самостоятельного обучения. Усложнение этих программ, использование в них методов и средств искусственного интеллекта, а также различных информационных технологий, производится для того, чтобы, прежде всего, способствовать развитию личности обучаемого, его способностей, а также вооружению его новыми знаниями и умениями. Однако, несмотря на большое количество появившихся электронных учебников, в основной их массе отсутствует целенаправлешюе обучение сложным вопросам тех или иных курсов. Декларируемое авторами развитие обучаемого чаще всего сводится к насыщению программ разнородными, часто привлекательными по форме, но не способствующих достижению учебных целей, сведениями.

При обучении математике развиваются логическое мышление и пространственное воображение учащихся. Этому служат многочисленные задачи и упражнения, многолетнее формирование определенных умений и навыков. Несмотря на это, многие учащиеся с трудом овладевают аппаратом доказательства теорем, нуждаются в индивидуальных дополнительных занятиях. Написанные для "среднего" ученика учебники в этом слабо помогают. Поэтому использование компьютерного обучения доказательству теорем, возможности индивидуального репетиторства по некоторой общей методике, систематический контроль результатов обучения, имеет актуальное значение.

В работах В.Г.Болтянского,И.Г.Габович,В.Н.Осинской, Л.Н.Фридмана и E.H.Турецкого большое внимание уделяется различным аспектам обучения решению математических задач, в частности, разработке различных алгоритмов решения, выделению главного, построенхпо схем. Однако в большинстве случаев, учащийся если и вооружается определенной методологией и общим подходом, но разнообразие описаний решений не дает ему возможности их унифицировать и тем самым глубже понять логику доказательства. На важность расположения материала в побуждении учащегося к самостоятельной работе указывал еще Д.Пойа. Ряд педагогов, в том числе А.Я.Хинчин подчеркивали важность самостоятельного получения результата при

доказательстве теоремы, причем тем лучше для обучаемого, чем более нетрадиционным путем получен этот результат. П.М.Эрдниев и Б.П.Эрдниев указывали на необходимость побуждения и направления мысли учащегося при решении задачи, но в то же время само обучение в школе должно представляться учащемуся "серией маленьких открытий".

Ряд советских, российских и большое количество зарубежных исследователей уделяют внимание в своих работах использованию компьютеров в обучении в целом и в математике в частности. Следует отметить таких авторов, рассматривающих основные вопросы информационных технологий обучения, как Н.В.Апатову, А.А.Кузиецова, В.М.Монахова, Р.Николова и Е.Сендову. Однако, несмотря на многообразие рассмотренных аспектов использования компьютеров в обучении математике, при использовании их на уроках геометрии в основном находили применение различные конструкторские программы, позволяющие выполнять двух- и трехмерные чертежи (Л.Е.Фрейзон, Ю.Михеев, разработчики пакетов Geometry Tutor Адерсон, CABRI и др.).

Таким образом, во всем множестве компьютерных обучающих программ, в том числе и по геометрии, явно отсутствует предназначенная для самостоятельной работы система обучения доказательству теорем геометрии. Это и определило проблему исследования', выявление возможностей компьютерного обучения доказательству теорем и формирования логического мышления школьника.

Цель исследования состоит в разработке содержания компьютерного курса обучения доказательству теорем геометрии, предназначенного для самостоятельной работы учащихся, определении форм организации учебного материала и методов преподавания и контроля.

Объектом исследования является процесс формирования логического мышления учащихся при доказательстве теорем геометрии, умения строить последовательность логических рассуждений и обоснований, а предметом исследования -содержание и построение компьютерной обучающей программы.

Исследование поставленнной проблемы потребовало решения следующих частных задач:

1) определить основные психолого-педагогичсские и дидактические положения, составляющие теоретическую основу эффективной методики обучения доказательству теорем геометрии;

2) на основе имеющегося мирового опыта построения и использования компьютерных обучающих программ определить возможности компьютерного обучения в формировании логического мышления учащихся при проведении геометрического доказательства и сформулировать требования к обучающей программе;

3) разработать многоуровневую систему вопросов и задач для подготовки учащегося к решению задач на доказательство;

4) разработать систему задач различной степени трудности для компьютерного курса "Основы геометрии";

5) осуществить отбор учебного материала для компьютерного курса "Основы геометрии";

6) разработать сценарий компьютерного курса и обучающую программу, соответствующую сформулированным требованиям;

7) проверить экспериментально эффективность разработанной методики.

Решение поставленных задач осуществлялось с ипользованием следующих методов:

- анализ учебно-педагогической, философской и методической литературы по проблеме исследования;

- изучение современных компьютерных обучающих программ для учащихся школ, в том числе обучащих математике и, в частости, геометрии;

- анализ программ, учебников и методических пособий по геометрии в различных странах, в том числе в Греции, России и Украины;

- анализ 20-летнего личного опыта преподавания геометрии в школах Греции;

- проведение педагогического эксперимента.

Гипотеза исследования состоит в том, что эффективность обучения доказательству теорем и развития тем самым логического мышления учащихся может быть повышена за счет трех факторов: 1) систематизации знаний учащихся по основам геометрии путем постоянного контроля понимания связей между понятиями и темами курса; 2) целенаправленного и последовательного обучения решению задач на доказательство с использованием табличной формы записи доказательства; 3) применения компьютера для самостоятельного обучения с возможностью выдачи разного вида помощи и различных комбинаций фрагментов учебного материала, а также для контроля знаний учащегося и проводимых им этапов доказательства.

б

Научная новизна исследования заключается в том, что: разработана методика обучения доказательству теорем школьного курса геометрии с использованием компьютера;

- разработана система задач и упражнений для самостоятельного изучения и проведения доказательств учащимися;

- разработан компьютерный курс по основам геометрии для обучения решению задач на доказательство.

Теоретическая значимость работы состоит в создании методики, развивающей логическое мышление учащихся на примере обучения доказательству теорем геометрии.

Практическая значимость состоит в создании компьтерного обучающего курса по основам геометрии, содержащего теоретический материал в форме семантической сети, контролирующие знания учащихся вопросы и упражнения, а также развивающие логическое мышление задачи на доказательство нескольких уровней сложности. Компьютерный курс может быть использован как при самостоятельной работе учащегося вне школы, так учителем на уроках со всем классом.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается многолетней проверкой методики обучения доказательству теорем в школах Греции, положительными результатами эксперимента с учащимися г. Симферополя, а также опорой на фундаментальные исследования педагогов, математиков-методистов, на исторический опыт преподавания курса геометрии.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Методика обучения решению задач на доказательство в геометрии, основанная на использовании компьютера в учебном процессе.

2. Система учебных задач для поэтапного обучения решению задач на доказательство.

3. Компьютерный курс по основам геометрии, содержащий справочный учебный материал, контрольные вопросы и упражнения, а также задачи для самостоятельного решения.

Апробация работы. Основные положения и результаты исследования докладывались и обсуждались на заседаниях кафедры информационных систем Симферопольского госуниверситета, конференциях профессорско-преподавательского состава СГУ (1995-97 г.г.), на международных конференциях "Экспертные системы в образовании" (Казань, 1996 г.) и 8-й

конференция "Meeting the Challenge of the New Technologies" (Болгария, 1997).

Основные результаты исследования отражены в пяти публикациях.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии и приложений.

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность проблемы исследования, сформулированы объект, предмет, гипотеза, этапы и методы исследования, раскрыты научная новизна, теоретическая и практаческая значимость диссертации.

В первой главе "Современные методы обучения математике с использованием компьютера" рассмотрены основные виды и характеристики компьютерных обучающих систем, содержание наиболее известных обучающих программ как по математике в целом, гак и, по геометрии в частности, произведен анализ возможностей и эффективности использования компьютера в обучении математике, на основе которого сформулированы требования к обучающим программам по геометрии. Особое внимание уделяется формированию и развитию логического мышления учащегося с использованием компьютера.

Разные исследователи отмечали многообразие обучающих функций компьютера при использовани и его на уроках математики. Выделим пять основных функций компьютера в преподавании математики:

1) выполнение упражнений (выдача заданий, контроль выполнения, комментарии процесса выполнения);

2) электронная доска (цветное, динамическое, визуальное учебное средство);

3) моделирование;

4) исследование ( обучаемый выбирает и аргументирует собственное решение);

5) математические расчеты в курсах других дисциплин.

Обучение геометрии призвано формировать пространственные представления и развивать логическое мышление учащихся. Как показывает педагогический опыт разных стран, с этими двумя задачами успешно справляется компьютер.

Анализируя достоинства и недостатки распространенных в мире систем автоматизированного обучения математике (таких как ELISE, CABRI, DEFI CABRI, ARCHIMEDE и др.), можно сказать следующее:

1) самым главным преимуществом имеющихся обучающих программ является то, что все большее количество пользователей, как обучаемых, так и преподавателей, убеждаются в необходимости подобных программ и их органичное включение в процесс обучения, а также о явном начале новой эпохи в истории математического обучения;

2) преимуществами являются также направленность программ на развитие мышления обучаемого, создание среды для успешной работы обучаемого и преподавателя, повышение эффективности процесса обучения за счет его ускорения и улучшения качества знаний обучаемого, а также появление новых форм преподавания и, соответственно, новых ролей для участников процесса;

3) к недостаткам систем относятся отсутствие возможности включения обширного учебного материала, организация и демонстрация достаточно простых математических процессов, отсутствие в методиках развивающих стратегий, направленных на совершенствование способностей и математического мышления обучаемых, а также отсутствие в большинстве случаев планирования обучения и конкретизации ролей обучаемого, преподавателя и компьютера.

Очевидно, что формирование пространственных представлений в процессе изучения геометрии тесно связано с развитием логического мышления. Любое мышление, в том числе и абстрактно-логическое, не может осуществляться без имеющихся предметных знаний, которые являются основой для развития мышления. Известный венгерский математик Д.Пойа считал, что само расположение учебного материала должно побуждать к самостоятельной работе, прививать навыки творческого мышления.

При обучении доказательству теорем главными являются два момента: знание формулировки и знание идеи доказательства. Для сложных теорем необходимо помнить и понимать также план или схему доказательства. Очевидно, что для использования такой схемы необходимо также помнить дополнительные теоремы и аксиомы, а также некоторые определения. Таким образом, логика доказательства может быть нарушена не из-за слабо развитого

логического мышления, а из-за забывания вспомогательных сведений.

Мы разделяем точку зрения дидактов и методистов, которые считают целесообразным сохранить в школьном курсе математики типизацию задач. В своей практике мы убедились, что без глубокой отработки умений решать типовые задачи на доказательство не может быть речи о существенном совершенствовании умений решать нестандартные задачи. Таким образом, знания о распознавании типа задач играют важную роль. Подкрепленные общей схемой решения и списком используемых вспомогательных сведений, они способствуют быстрому достижению результата -получению правильного решения.

При использовании компьютера в обучении решению задач и логическому рассуждению в частности, компьютер осуществляет проверку решения, заставляет учащегося по определенным правилам четко формулировать и вводить ответ, производит, по требованию, анализ решения (выдает текст пояснений и обоснований каждого выполненного шага). Получившее в последнее время широкое распространение использования компьютера как инструмента исследований, позволяет варьировать данными задачи при ее проверке, иллюстрируя догадки об особых случаях решения задачи. Для единообразия оформления схемы решения используются одинаковые приемы, в том числе, расположение окон на экране, использование инструментальной панели, выбор возможных подсказок. Это дисциплинирует учащегося и сосредотачивает его внимание на логике решения задачи, выборе и обосновании используемых дополнительных сведений.

В главе также рассмотрены обучающие возможности компьютерной графики, определены способы выдачи инструкций, выделение главного на экране, представление текста, таблиц, иллюстраций. Для индивидуального компьютерного обучения математике дана схема занятия, для других форм - игр и тренировки - определены их обучащие возможности и характеристики, приведены примеры.

Во второй главе "Содержание курса для обучения доказательству теорем геометрии"выделены критерии отбора учебного материала, определены базовые и второстепенные понятия, а также связи между ними, приведен перечень основных тем курса, контрольные вопросы и задачи.

Доказательство в геометрии является одной из основных компонент преподавания математики в средней школе. Однако при обучении доказательству и учащиеся, и учителя испытывают ряд трудностей. Преодоление этих трудностей учтено в содержании и способе организации учебного материала курса по основам геометрии. К основным проблемам учащихся относятся :

1) пробелы в знаниях теории (аксиомы, теоремы, следствия), включающие непонимание терминов, неправильную их трактовку; введение неправильных обозначений для указанных в формулировках терминов и их сочетаний; затрудненный или полностью отсутствующий поиск аргументов для обоснования собственных выводов; отсутствие или неверное использование слов-связок ("если", "тогда", "потому что", "так, чтобы ..." и т.д.);

2) перевод с естественного языка на язык геометрических отношений и выражений;

3) построение чертежа;

4) проведение доказательства: часто учащийся просто не знает, какие знания необходимо применить, чтобы построить цепочку рассуждений, какие промежуточные факты необходимо доказать, из скольких утверждений состоит вся цепочка.

Преодоление этих трудностей заключается в изучении общих подходов к решению задач на доказательство, постепенному переходу от одного уровня сложности задач к другому, к постоянному напоминанию изученных ранее фактов и зависимостей между геометрическим объектами; для правильного решения задачи учащимися, к задачам дается готовый чертеж. В процессе решения задач на доказательство учащийся должен пройти путь от описательной геометрии к индуктивной, развить свое логическое мышление.

Цели обучения в компьютерном курсе "Основы геометрии":

а) обеспечить понимание учащимся формулировок задач на доказательство,-^выделения в них данных и заключения, а также получения заключения из данных;

б) вооружить учащегося различными способами проведения доказательства, в том числе получение различных комбинаций данных и целей'задачи, поиск аналогов как задач ,так и методов их решения, а также анализ известных способов решения задач и получение новых, более результативных;

в) осуществлять постоянный контроль за действиями учащегося, оказывать ему помощь при анализе получаемых результатов.

и

Основные компоненты целей обучения составляют знание, понимание, применение, анализ, синтез и оценка.

Например, при изучении школьниками понятия "угол", эти компоненты принимают следующие значения.

I. Знания: а) знать, что такое угол и как его обозначать; б)различать вершину и стороны угла; в) знать различные виды углов; г) знать углы, которые находятся в особом отношении между собой; д) знать способы, с помощью которых можно доказать, что два угла равны.

II. Понимание: учащийся может а) формулировать своими словами определения, которые создаются на основе понятий угла; б) объяснять различные теоремы и различать отношения между углами.

III. Применение: применять конкретный материал.

IV. Анализ: отвечать на вопросы типа:

1. Могут ли два дополнительных угла быть равными?

2. Может ли один развернутый угол иметь дополнительный угол?

3. Могут ли два острых угла быть дополнительными?

4. При пересечении двух параллельных прямых секущей могут ли внутренние односторонние углы быть равными?

5.Если при пересечении двух прямых третьей внутренние односторонние углы равны, то будут ли эти прямые параллельными?

6. Может ли треугольник иметь два тупых угла ?

7. Может ли треугольник иметь три острых внешних утла?

8.Являются ли два треугольника равными, если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника?

9. Является ли равносторонним равноугольный треугольник?

V. Синтез: синтезировать отдельные знания об углах, чтобы доказать разные геометрические предложения.

Курс "Основы геометрии" имеет следующую структуру. Введение: геометрия в Древнем Египте; геометрия Древней Греции; планирование выводов; умозаключение с двумя и более выводами; оформление доказательства в виде таблицы. Глава 1. Элементы геометрии. 1.1. Основные понятия: точка, прямая, плоскость; доказательство в геометрии; используемые элементы алгебры. 1.2. Объекты и отношения: отношения между точками и прямыми; отрезок; луч.

Глава 2. Углы. 2.1. Основные понятия: угол; прилежащие углы; виды углов. 2.2. Первые теоремы: специальные пары углов; перпендикулярные прямые; первые теоремы об углах.

Глава 3. Параллельные прямые. 3.1. Свойства: углы, образованные при перссечениии двух прямых секущей; свойства параллельных прямых. 3.2. Признаки параллельности прямых.

Глава 4. Треугольники. 4.1. Виды треугольников: треугольники его главные части; классификация треугольников в завмисимости от их сторон; классификация треугольников в зависимости от их углов. 4.2. Теоремы о треугольниках: второстепенные элементы треугольника; сумма углов треугольника. 4.3. Доказательство теорем - некоторые способы доказательства равенства

треугольников; доказательство равенства соответствующих частей; теоремы равнобедренного треугольника.

Все части глав сопровождаются:

а) вопросами группы "А" типа "Вставьте пропущенное слово в тексте...". Текст состоит из 10 строк, в которых отсутствуют 10 слов. Учащийся должен вставить необходимые слова, выбрав их из списка. Например, правильно выполнешюе упражнение имеет вид:

"Вставьте пропущенные слова из списка слов в следующий текст:

Отрезок

Отрезком АВ называется часть прямой, состоящая из двух точек А и В этой прямой и из всех точек, лежащих между ними. Точки А и В называются концами отрезка. Для каждого отрезка АВ существует единственное положительное число, которое называется длиной этого отрезка. Расстояние между точками А и В называют длиной отрезка. Серединой отрезка АВ называется точка М, лежащая между точками А и В так, что АМ = МВ. Каждый отрезок имеет только одну середину.

Список слов для вставок: концами,единственное, двух, всех, длиной, середину, отрезка, между, часть, расстояние."

б) 30 вопросами группы "Б" типа "Определите, какое предложение истинно, а какое - ложно". Вопросы разделены на подгруппы по 10 в каждой и контролируют усвоение теории учащимся.

В конце каждой главы задается еще 10 вопросов для определения уровня готовности учащегося к решению задач. Задачи также сгруппированы в конце глав. Цели задач - изучение геометрических доказательств и изучение в то же время комплексных теорем.

В третьей главе "Использование компьютерного курса в учебном процессе" описаны форма подачи учебного материала, виды и этапы контроля знаний при работе учащегося с обучающей

системой, организация и основные результаты опытного преподавания.

В созданной нами компьютерной системе обучения доказательству в геометрии успешному обучению способствуют следующие факторы:

1) учащийся в любой момент может целенаправленно просмотреть учебный материал, отследить развитие некоторого понятия;

2) при решении задачи на доказательство одновременно с условием и планом решения присутствует перечень необходимых для доказательств утверждений (с избытком и в произвольной последовательности);

3) решение задачи оформляется в виде таблицы, в которой строится цепочка логического вывода и цепочка обоснований каждого шага;

4) последовательность контрольных вопросов обеспечивает требуемый уровень знаний, к решению задач на долказательство можно приступить, только ответив на вопросы теории;

5) система задач различной степени трудности постепенно приводит учащегося к все более сложным, многоэтапным, выводам и тем самым развивает его логическое мышление.

В системе имеется три группы задач различной степени трудности.

1ая степень. Задачи, при доказательстве которых использованы только одно геометрическое выражение и некоторые аксиомы и теоремы из алгебры. Пример задачи:

Даны отрезки АВ, АС не лежащие на одной прямой и точки D и Е на АВ и АС соостветственно. Если АВ = АС и DB = ЕС, то AD = АЕ. Доказать.

2м степень. Задачи, при доказательстве которых используются три или четыре геометрических выражения. Пример задачи: Дана прямая КМ, пересекающая прямые DE и CF в точках А и В соответственно так, что точки А и В находятся между точками К и М, точка А между точками D и Е, а точка В между точками С и F. Если угол МВС дополнительный с утлом BAD, то углы KAD и МВС равны. Доказать.

Заа степень. Задачи, при доказательстве которых используются больше пяти (5) геометрических выражений. Пример задачи данной степени трудности приведен на рис. 1.

X с£х II

Дано

1. ЛАВ С

2. АВ биссектриса .¿ВАС

3. ВЕЦАО

Доказать

Z5 = Z3 + Z2

Доказательство

УТВЕРЖДЕНИЯ | ОБОСНОВАНИЯ

4 ¿5=^3 + Z4 Ш

5 Z4 = Z1 3 п

6 Z5 = ZЗ+Z1 1 4 1 5 I

7 Zl = Z2 НН 2 IV

8 Z5 = Z3 + ¿2 | 6 | 7 I

I. Если а = Ь, то "а" может заменяться на "Ь" в любом равенстве.

II. Если две параллельные прямые пересечены третьей, то внутренние накрест лежаище углы равны.

III. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних отдалённых углов.

IV. Биссектрисой угла треугольника называется отрезок, проведённый от вершины угла на противоположную сторону и делящий угол пополам.

РЕЗУЛЬТАТ

Сумма Правильные Неправильные Успех Итог

ответов ответы ответы % %

УТВ. 10 5 5 50 75

ОБОС. 11 11 0 100

КОНТРОЛЬ,

Рис. 1. Проверка решения примера 3™ степени трудности.

При решении задачи учащийся заполняет таблицу, содержащую колонки "УТВЕРЖДЕНИЯ", в которых записываются отношения между именами геометрических объектов, и "ОБОСНОВАНИЯ", в которой указываются номера сформулированных в процессе решения отношений и номера из списка-подсказки ранее изученных теорем, аксиом и выводов. Полный вид экрана компьютера при решении задачи на доказательство приведен на рис.1.

Контроль и оценка знаний во время работы с обучающей системой является основным условием для достижения целей обучения - развития логического мышления и умения манипулировать геометрическими объектами. Контроль осуществляется при ответах учащегося на вопросы типа "верно-неверно", "вставьте слово", а также на каждом шаге решения задачи.

К степеням технической трудности, создаваемой компьютером, относятся:

1) задачи, в которых обучаемый заполняет только колонку обоснования;

2) задачи, в которых обучаемый заполняет только "ОБОСНОВАНИЯ" и пустые места в колонке "УТВЕРЖДЕНИЯ";

3) задачи, в которых обучаемый заполняет колонку "ОБОСНОВАНИЯ" и полностью рамки колонки "УТВЕРЖДЕНИЯ". Таким образом, повышение уровня трудности способствует развитию логического мышления учащегося.

В приложениях даны таблицы связей между понятиями компьютерного курса "Основы геометрии", используемый материал из курса алгебры, а также краткие условия задач, которые даиы в таком же виде, как и в компьютерном курсе.

Основные результаты исследования

В настоящем исследовании разработана методика обучения доказательству теорем геометрии. Данная методика может использоваться как в традиционном, так и в компьютерном обучении.

В ходе решения поставленных в диссертации задач получены следующие результаты и выводы:

1. Определено содержание курса основ геометрии, необходимое для успешного решения задач на доказательство.

2. Разработана система контроля знаний учащихся в виде вопросов нескольких типов, позволяющая подготовить учащегося к решению задач на доказательство.

3. Разработана система задач на доказательство трех степеней трудности, обеспечивающая формирование у учащегося навыков логического мышления.

4. Разработана единая схема для проведения доказательства, включающая представление данных задачи в виде чертежа и символических обозначений, построение таблицы доказательства с двумя видами обоснований: а) из данных задачи и промежуточных рассуждений; б) из имеющегося в схеме списка аксиом, теорем и следствий.

5. Определены основные требования к компьютерным обучающим программам в целом и обучающим геометрии в частности на основе изучения современного состояния использования компьютеров в учебном процессе.

6. Создана компьютерная обучающая программа, реализующая разработанную методику, особенностями которой является база знаний с основными понятиями курса и связями между ними, гипертекст, разнообразная обратная связь с обучаемым, наличие большого количества справочного материала, вопросов и задач.

7. Проведенный эксперимент показал, что разработанная методика позволяет освоить учащимся индукутивный логический вывод и успешно применять его при доказательстве теорем геометрии.

Разработанный компьютерный курс может использоваться при самостоятельном изучении учащимися геометрии и способов доказательства теорем, а также на уроке, при работе учителя с классом.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. К вопросу об архитектуре интеллектуальной обучающей системы. Материалы международной конференции "Искусственный интеллект в образовании". Казань, 1996. 0.3 п.л. (в соавторстве)

2. Математическое обучение в Греции. / Кварк, № 3-4. Симферополь, 1996. 0.75 п.л.

3. Teaching Geometry Theorem Proving In the Intelligent Tutoring System. Proceedings of the 8-th PEG Conference "Meeting the Challenge of the New Technologies" ( PEG97). Sozopol, Bulgaria, 1997. 0.22 п.л.

4. Компьютерный учебник математики неполной средней школы. Ученые записки Симферопольского государственного университета №3 (42). 1997. 0.35 п.л. (в соавторстве).

5. Логическое мышление: пути формирования и оценка. Труды международной конференции "Стандарты в образовании: проблемы и перспективы (SE-97)". Москва, 1997.0.2 п.л. (в соавторстве) ( в печати).