Обучение поиску способа решения геометрической задачи учащихся основной школы

Шеренцова, Ольга Михайловна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обучение поиску способа решения геометрической задачи учащихся основной школы

Автореферат

Автор научной работы: Шеренцова, Ольга Михайловна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Киров
Год защиты: 2004
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Обучение поиску способа решения геометрической задачи учащихся основной школы"

На правах рукописи

Шеренцова Ольга Михайловна

Обучение поиску способа решения геометрической задачи учащихся основной школы

13 00.02 Теория и методика обучения и воспитания (математика) АВТОРЕФЕРАТ

1 диссертации на соискание ученой степени

кандидата педагогических наук

Саранск - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа и методики преподавания математики Вятского государственного гуманитарного

университета

Научный руководитель - член-корреспондент РАО, доктор

педагогических наук, профессор Саранцев Геннадий Иванович

Официальные оппоненты - доктор педагогических наук, доцент

Родионов Михаил Алексеевич, - кандидат педагогических наук, доцент

Амутнова Светлана Петровна

Ведущая организация - Вологодский государственный

педагогический университет

Защита состоится Ж января 2005 г в_часов на заседании

диссертационного совета ДМ 212 11801 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Мордовском государственном педагогическом институте имени М Е Евсевьева по адресу 430007, г Саранск, ул Студенческая, 13 б, аудитория 120.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного педагогического института имени М Е Евсевьева

Автореферат разослан « у 'о » декабря 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

М.А Якунчев

¿006 - 4

233

Общая характеристика работы

Актуальность исследования проблемы обучения поиску способа решения математической задачи определяется современной тенденцией гуманизации образования, основной акцент в которой сделан на всестороннем развитии личности учащихся Указанная концепция открывает новые аспекты обучения, нацеливающие на создание условий для саморазвития, самоопределения и активизации школьников в процессе познания В связи с этим особое значение приобретает проблема изучения процессов познания и обучения школьников поиску способа решения задачи. Умение вести поиск является составной частью умения решать задачи, которое определяет уровень математической подготовки школьника

Взгляды на проблему обучения поиску высказывают, прежде всею, психологи (Л Л Гурова, И И Ильясов, Ю Н Кулюткин, Я А Пономарев, С Л. Рубинштейн, Н Ф Талызина, О К. Тихомиров и др), исследуя механизмы процесса решения творческих и репродуктивных задач и разрабатывая стратегии их решения В педагогической среде данная тематика пересекается с проблемой формирования познавательной самостоятельности (В А Крутецкий, М И Пидкасистый, М Н Скаткин, Г И Саранцев), с проблемой творческой деятельности ученика (В А Гусев, СН. Дорофеев), с вопросами обучения эвристической деятельности (В Н Соколов, В Н Пушкин, А В Хуторской)

В методике обучения математике исследование проблемы поиска получило широкое развитие в работах Д Пойа, где с помощью системы правил, советов, указаний предлагалось побудить учащихся к самостоятельному поиску способа решения задачи В русле данного направления можно выделить различные аспекты решения проблемы формирование эвристических приемов (А К Артемов, Г Д Балк, М Б Балк, В И Крупич, Л М Фридман), обучение общим и специальным приемам поиска доказательства (В Г Болтянский, В А Далингер, Ю М Колягин, Г И Саранцев, В М Туркина), формирование исследовательских умений (В А Гусев, ТА Иванова, X Инке, М И Зайкин, ЕВЛарькина, Н К Рузин), обучение аналитико-синтетическим умениям вести поиск (Я И Груденов, В А Гусев, А Д Шапиро), мотивационный аспект поиска (М А Родионов), методологические основы поиска (И Лакаюс, Д Пойа, Г И Саранцев, 3 И Слепкань)

Результаты выше названных исследований выступают фундаментом для осуществления обучения решению задач В работах этих авторов заложены общие методологические положения' идея единства логической и эвристической составляющих деятельности, идея едина ва методов анализа и синтеза Поэтому потенциальное расширение концепции поиска решения возможно через рассмотрение и других его составляющих (информационной, мотивационной, эстетической, эмоционально-волевой), как компонент, влияющих на отыскание способа решен дожить, что

введение новых составляющих поиска позволит уточнить его содержание, дать системное представление об объекте исследования.

Школьная практика традиционно свидетельствует о низком уровне умения школьников решать задачи, формализме в знаниях, стремлении школьников запомнить приведенные рассуждения Большинство учащихся, даже физико-математических школ и классов, затрудняются в осуществлении поиска решения нестандартных задач, требующих эвристических рассуждений Все это подтвердил констатирующий эксперимент и наблюдения за ходом уроков геометрии, интервьюирование учителей. В качестве наиболее вероятной причины трудностей в обучении поиску способа решения задачи учащихся основной школы следует считать несовершенство традиционной методики, которая не учитывает структуру и функции поиска, не рассматривает всех его аспектов

Поэтому противоречие между потребностью практики в эффективном (целесообразном) обучении поиску способа решения и её реальным состоянием определяет актуальность проблемы исследования, которая заключается в отыскании и систематизации путей совершенствования обучения решению задач в курсе планиметрии основной школы

Цель исследования состоит в разработке теоретических основ обучения поиску способа решения задачи и условий их реализации.

Объект исследования: обучение поиску способа решения геометрической задачи

Предмет исследования: функции, структура, виды, содержание поиска способа решения задачи, действия, адекватные ему, уровни обучения поиску в курсе планиметрии основной школы. Гипотеза исследования:

Если уточнить содержание понятия поиска способа решения задачи, определить его структуру и функции, выделить совокупность действий, адекватных содержанию, и на этой основе разработать методику обучения поиску способа решения задачи, то это позволит повысить результативность обучения решению задач в курсе планиметрии основной школы

В соответствии с выдвинутой целью и гипотезой были поставлены следующие задачи:

1 Провести анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы с целью определения базовых понятий и методологической основы исследования

2 Определить структуру, состав действий, функции поиска способа решения задачи

3 Уточнить понятие поиска способа решения геометрической задачи в рамках системного представления его компонентов

4 Определить виды поиска, выяснить их роль в формировании уровней обучения поисковой деятельности.

5 Разработать методику обучения поиску способа решения задачи, проверить экспериментально эффективность разработанной методики

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: изучение психолого-педагогической и научно-методичсской литературы по проблеме исследования, сравнительный анализ публикаций в периодических методических изданиях, анализ учебников, учебных и методических пособий по геометрии для средней школы; анкетирование учеников основной школы; изучение и обобщение педагогического опыта, педагогический эксперимент, позволивший изучить состояние проблемы исследования в практике обучения геометрии в основной школе и апробировать предложенную методику обучения поиску, анализ и обработка результатов эксперимента с помощью статистических методов

Методологической основой исследования послужили основные положения теории системного анализа, деятельностного подхода, методологии методики обучения математике, основные психолого-педагогическис и методические положения теории использования задач и обучения их решению в курсе математики средней школы, концептуальные основы изучения геометрии, исследования по использованию эвристик в процессе обучения и в контексте продуктивного мышления

Исследование проводилось поэтапно Проводился анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы, а также диссертационных исследований по данной проблеме, изучалось состояние исследуемой проблемы в школьной практике, проводился констатирующий эксперимент В результате исследования была выявлена необходимость совершенствования методики обучения решению геометрических задач На втором этапе проводился поисковый эксперимент, в ходе которого разработана методика формирования у школьников умения вести поиск способа решения геометрической задачи На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности и корректировки предлагаемой методики, изучались его результаты, формулировались выводы, полученные в ходе теоретического и экспериментального исследования

Научная новизна исследования заключается в том, что проблема обучения поиску решена на принципиально новой основе, составленной системным представлением его функций, структуры, содержания, видов, уровней обучения Исследована проблема обоснования возможностей поиска способа решения геометрической задачи в учебной математической деятельности, решение которой позволило сформулировать функции поиска Впервые разработана и обоснована модель структуры поиска как совокупность составляющих его компонент В рамках данной модели выделены действия, адекватные деятельности по нахождению решения задачи, определены и обоснованы виды поиска, разработаны этапы обучения поиску

Теоретическая значимость исследования заключается в том, чю существенное развитие получили

методика обучения поиску способа решения задачи через выявление и систематизацию действий, адекватных поиску,

научные представления о поиске способа решения определенные на основе единства составляющих его компонент (логической, эвристической, мотивационной, эстетической, эмоционально-волевой, операционно-действенной, информационной), современные подходы к поиску способа решения задачи как информационному процессу.

Практическая значимость работы определяется тем, что результаты исследования расширяют представление о поиске способа решения задачи, выводят его за рамки отдельного этапа и повышают его значимость в деятельности, связанной с решением задач Разработанная в диссертации методика обучения поиску способа решения геометрической задачи может быть использована в школьной практике преподавания математики с целью повышения качества знаний учащихся по геометрии

На защиту выносятся следующие положения:

1 Одним из главных путей повышения эффективности математической подготовки учащихся является целенаправленное систематическое обучение их поиску решения геометрических задач Совершенствование процесса обучения математике в основной школе определяется реализацией следующих функций поиска' обобщающего повторения, прогностической, методологической, мотивационной, воспитательной, познавательной, информационной, эстетической функциями

2 Этапами формирования умения вести поиск способа решения задачи являются переборный поиск, выводной поиск, эвристический поиск, эстетически направленный поиск

3 К числу структурных составляющих поиска способа решения планиметрической задачи относятся мотивационная, информационная, операционно-действенная, эстетическая, логическая, эвристическая, эмоционально-волевая компоненты Доминирование одной или нескольких компонент определяет вид поиска, влияет на процесс отыскания решения, характеризует уровень владения умением вести поиск

4 Сугь предлагаемой методики обучения поиску способа решения геометрической задачи состоит в разработке и использовании специальных упражнений, связанных с формированием действий (извлечение информации из условия и требования задачи, оперирование ею и привлечение эвристической информации), адекватных структурным составляющим поиска; упражнений, использующих сформированные действия для нахождения способа решения, а также адаптированном применении упражнений, направленных на формирование понятий и усвоение теорем

5 Реализация методики обучения поиску способа решения задачи должна осуществляться на основе выделенных критериев умения вести поиск (осознание цели поиска, знание структуры и действий поиска, характер выбора действий, самоанализ проведенного поиска) и уровней их сформированности.

Внедрение результатов исследования осуществлялось и продолжает осуществляться в ходе экспериментальной проверки разработанной методики обучения поиску способа решения геомегрической задачи В эксперименте участвовали учителя и ученики школ г Кирова, Кировской области.

Апробация основных положений и результатов исследования осуществлялась в виде докладов и выступлений на методических семинарах кафедры математического анализа и методики преподавания математики ВятГТУ (2001,2002,2003,2004), кафедры математики и информатики ВСЭИ (2001,2002,2003,2004), на межрегиональных (II,III) научных конференциях ВятГТУ (Киров, 2001, 2004), международной научно-практической конференции ВГПУ (Киров, 2003), Всероссийской научной конференции (Саранск, 2002), научно-практической конференции НГПУ (Нижний Новгород, 2002), IV межрегиональной научно-практической конференции ВСЭИ (Киров, 2001), на 57-х Герценовских чтениях РГПУ (Санкт-Петербург, 2004), на заседаниях методических объединений учителей математики школ № 21 г. Кирова, №14 г Слободского Кировской области, средней общеобразовательной школы д Стулово, п Вахруши Слободского района Кировской области

Достоверность и обоснованность полученных результатов исследования обеспечиваются опорой на фундаментальные исследования психологов, педагогов, математиков-методистов, учетом современных достижений в теории и практике методики обучения математике, комплексом методов педагогического исследования, адекватных его задачам, положительными итогами проведенного эксперимента По теме исследования имеется 8 публикаций

Диссертация (195 с) состоит из введения (9 с ), двух глав (гл 1 78 е., гл2 - 65 с), заключения (2 с), списка использованной литературы (201 ед наименований) и приложений Текст диссертации содержит 17 таблиц и 73 рисунка

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность исследования, определены проблемы научного поиска, объект и предмет исследования, сформулированы его гипотеза и задачи, показаны новизна, теоретическая и практическая значимость работы, раскрыты этапы и методы исследования, сформулированы положения, выносимые на защиту

В первой главе диссертации «Теоретические основы поиска способа решения геометрической задачи» излагается анализ проблемы исследования в научно-методической и учебной литературе Выявлены различные подходы к понятию поиска способа решения задачи Существенно, что поиск характеризуется как интуитивный процесс, проводимый на основе непрерывного прогнозирования Логическая структура задачи, а также

используемых в ходе поиска её решения определений, теорем, определяет логическую основу поиска Нахождение решения связывают с аналитико-синтетической деятельностью и действиями, составляющими её Эвристическая деятельность позволяет находить способ решения задачи, делать открытия Часть эвристических приемов, востребованных в ходе поиска, представлены как рекомендации по управлению эмоционально-волевой сферой ученика, что определяет поиск как общечеловеческую деятельность, подчиняемую закономерностям внимания, восприятия Объединяющим началом выступает когнитивная теория учения, согласно которой поиск представляет собой процесс переработки информации

Отсутствие связующей информации между условием и требованием задачи выступает условием возникновения поиска ее решения Содержание поиска определяется умением извлекать информацию из условия и требования задачи, умением оперировать полученной информацией и умением привлекать эвристическую информацию. Умение оперировать информацией в большинстве случаев сводится к переформулированию условия и требования задачи па основе аналитико-синтетических методов

Для поиска решения многих задач можно рекомендовать эмпирические правила, используемые для прогнозирования результативности применяемых действий Все такие правила зависят от специфической информации о задаче Вслед за Н Нильсон будем называть информацию такого рода эвристической информацией (помогающей найти решение) Формирование умения привлекать эвристическую информацию является необходимым условием обучения поиску

Поиск способа решения нестандартной задачи находится во взаимосвязи с двумя фазами творческой деятельности' получение информации о задаче, содержащейся непосредственно в формулировке; выполнение действий, порождающих новую информацию выводным или поисковым способом

Информация, необходимая для отыскания решения подразделяется на три вида' информация непосредственно заданная, информация выведенная, информация эвристическая

Информацию первого вида, непосредственно заданную в условии, можно получить, если выделить данные, связи и требование; определить тематическую принадлежность задачи на основе выделения данных; построить чертеж, соответствующий задаче; ввести подходящие обозначения на чертеже, распознать фигуры на чертеже (Е С Канин)

В ходе поиска происходит обнаружение или выведение неявно заданной информации - вторичной Эта информация может быть получена путем' выведения следствий, переосмысления некоторых объектов с точки зрения других понятий, заменой термина его определением; использованием характеристических свойств понятия; интерпретацией символических записей, переводом содержания задачи на язык другой теории Приведенные действия, с одной стороны характеризуют умение извлекать информацию, с другой - умение оперировать ранее полученной информацией (Г.И Саранцев)

Для осуществления поиска необходимо «активно воздействовать на изучаемую систему» (Н. М Амосов), такого рода воздействие возможно в ходе оперирования информацией Умение оперировать информацией выступает необходимым условием успешности поиска способа решения задачи и характеризуется такими операциями с данными, как формализация, фильтрация, сортировка, организация хранения данных Формализацию данных следует понимать как формализацию содержания, то есть перевод задачи на язык определенной теории, составление математической модели задачи, введение системы координат, векторов Фильтрация данных есть отсеивание «лишних» условий, в которых нет необходимости для поиска решения, при этом должен уменьшаться уровень влияния несущественных факторов, а достоверность и адекватность данных должны увеличиваться Разделяя существенные и несущественные признаки объекта, осуществляя контроль над необоснованным расширением состава условий задачи, ученик фактически занимается фильтрацией Сортировка и организация хранения данных (фиксация) служат для снижения эргономических затрат памяти человека Они основываются на способах хранения информации рисунках, таблицах, схемах, символьных записях

Рассмотренные выше операции приводят к формально-логическому преобразованию задачной информации Наиболее существенную роль при поиске способа решения задачи играет операция преобразования данных, которая осуществляется на основе привлечения эвристической информации Разнообразие информации этого вида привело к определенному порядку её использования Сначала востребованы эвристики логического выведения дополнительных характеристик элементов задачи (базовые и частные), затем эвристики менее определенные по составу действий (специальные), наконец, общие эвристики, как неопределенные по составу действий для конкретной задачной ситуации

Общие эвристики (моделирование, включение в новые связи, разделение г на части, изменения уровня общности задачи) применимы для поиска

решения любой задачи, тогда как остальные отличаются специальной математической терминологией, узкой направленностью рекомендуемого действия Специальная эвристика (дополнительное построение, введение вспомогательного элемента) формируется на базе общей с учетом конкретного вида решаемых задач Способ получения специальных эвристик связан с переформулировкой общих эвристик в контексте предмета или темы Частные эвристики порождаются каждой темой школьного курса и представляют собой возможный способ поиска, полученный в результате переформулировки некоторого теоретического положения (теоремы) Базовые эвристики есть фиксированные действия' выведение следствий, подведение под понятие Они составляют основу любого поиска

Привлечение эвристической информации выступает важнейшим средством подключения интуиции к процессу поиска Основу для «работы» интуиции составляет оперирование полученной и привлеченной информацией, в ходе которого происходит актуализация знаний,

обобщенного опыта решения с целью увеличения объема информации, сопоставления имеющихся знаний с целью игнорирования избыточной информации.

Сущность поиска способа решения задачи, определяемая тремя сложными совокупными действиями извлечение информации, оперирование информацией (преобразование), привлечение эвристической информации -дает возможность выделить его функции' мотивационную, познавательную, информационную, эстетическую, прогностическую, методологическую, воспитательную, обобщающего повторения функции.

Функциональность поиска способа решения задачи способствует реализации целей обучения математике Деятельность по обнаружению решения позволяет дополнять, повторять и обобщать изученный материал Основополагающие умения, составляющие содержание поиска' прогнозировать, обобщать, оперировать информацией, привлекать эвристическую информацию, - характеризуют соответствующие функции поиска Эти умения носят общеучебный характер, имеют приложения в практике, в научном исследовании, что подчеркивает методологическую функцию. Поиск способа решения приучает школьника нести ответственность за предложенный способ, его правильность, полноту, оригинальность, а значит, обладает воспитательной функцией Обоснованный выбор действий, приближающих к идее решения, обуславливает мотивационную функцию Поиск способа решения задачи, проводимый на основе эвристик, приобщает ученика к методологическим основам знания, приобщает к эвристике Поиск завершается сравнением полученных способов решения, их оценкой, выбором эстетически привлекательного, поэтому в ходе поиска ученик нацелен на получение «красивого» решения, что позволяет говорить об эстетической функции поиска.

Знание структурной информации может влиять на успешность обучения математике (П M Эрдниев) К вопросу о структуре поиска способа решения можно подходить с разных позиций, учитывая, что поиск есть единый процесс, и всякое расчленение его на компоненты условно Проведенная в ходе анализа научной литературы систематизация приемов по отысканию решения дает возможность рассматривать поиск как деятельность, определяемую отдельными составляющими

Структура поиска способа решения задачи представлена как сложная совокупность компонентов' мотивационного {mot}, операционно-действенного {орег}, логического {log}, эвристического {evr}, информационного {info}, эстетического {aest}, эмоционально-волевого {ет-will}

Основными компонентами структуры поиска являются операционно-действенный, информационный, логический и эвристический, так как они определяют ведущие умения, необходимые ученику при поиске решении задачи Остальные компоненты, оказывают опосредованное влияние на процесс поиска Объединяя их в интуитивную группу, мы указываем

механизмы, позволяющие «увидеть» способ решения задачи Это мотивационная, эстетическая, эмоционально-волевая составляющие Компоненты этой группы в исследованиях научного творчества выступают как противоположные логике и одновременно дополняющие ее (М.А Родионов)

В зависимости от этапа обучения поиску роль составляющих этой группы меняется На начальном этапе обнаружение идеи решения во многом определяется эмоционально-волевым компонентом и внешне мотивированным характером деятельности по решению задач Воздействие этих составляющих на продвижение в поиске решения воспринимается как акт внезапного озарения С переходом на более высокий уровень поиск приобретает осознанный характер, реализуется как результат сознательного выбора из целого ряда содержательных альтернатив Не только внешняя красота объекта привлекает ученика при решении задач, но и взаимообусловленность связей, свойств объектов Волевые свойства личности преобладают над эмоциональным возбуждением, что характеризует готовность ученика к творческой деятельности

Соотнесение известных видов поиска (В И Крупич, Ю M Колягин) с общими закономерностями его осуществления (Г И Саранцев), выделенными структурными составляющими позволило охарактеризовать виды поиска как устойчивые совокупности доминирующих компонент его структуры. Объект структуры поиска представлен следующей совокупностью составляющих {mot, oper, log, evr, info, aest, em - will} В диссертации представлена характеристика пяти видов поиска Среди компонент совокупности выделены основные (выделение жирным шрифтом) и вспомогательные (выделение подчеркиванием) компоненты Слепой поиск (mot, oper} Переборный поиск (mot, oper, info, em-will} Выводной поиск (I) (mot, oper, log, aest}. Выводной поиск (II) {mot, oper. log, evr, aest. em-will} Эвристический поиск {mot, log, evr, info, em-will} Эстетический поиск {mot, oper. log, evr, aest, em-will} В работе помимо известных видов поиска (слепой, переборный, эвристический) рассматривается поиск выводной и эстетический Выводной поиск опирается на элементарные логико-математические рассуждения, правильное понимание определений рассматриваемых понятий, прямые ссылки на известные, ранее доказанные факты или аксиомы Направление выводного поиска определяется логическими законами, часто по случайному критерию такой поиск может строиться как восходящий или нисходящий анализ. Логическая составляющая выступает ведущим компонентом выводного поиска, поэтому он обусловлен особенностями самих задач, а не индивидуальными качествами субъектов, их решающих Иначе складывается поиск при ведущей позиции эстетической составляющей

Эстетический поиск есть эстетически направленный поиск, в основе которого лежит стремление к красоте Его осуществление характеризуется

избирательным подходом к выбору действий, получением эстетически привлекательного способа решения

Итак, системный подход к проблеме исследования позволил выделить действия, адекватные поиску способа решения задачи, компоненты, составляющие его структуру, определить их влияние, выявить виды поиска, представить процесс в единстве логической, эвристической и интуитивной (мотивационный, эстетический, эмоционально-волевой компоненты) составляющих.

Во второй главе раскрывается методика обучения поиску способа решения геометрической задачи, описание педагогического эксперимента и приводятся его результаты

Методика формирования умения вести поиск предполагает обучение адекватным ему действиям

Извлечение явно заданной информации из требования и условия задачи Цель сформировать у школьника умение получать информацию, непосредственно содержащуюся в задаче Состав этого действия'

1 Выделение условий задачи, выделение требований

2 Выделение понятий, выделение суждений, связывающих эти понятия

3. Выделение существенных признаков понятий

4 Выделение элементов задачи, выделение связей между элементами

5 Контроль над необоснованным расширением состава усчовий задачи

6 Выполнение рисунка, адекватного условию задачи

7 Осуществчение симвочьной записи усчовия и требования

Действия по извлечению явно заданной информации имеют общую цель с анализом условий и требований задачи, суть которой есть явное представление всех фактов Извлечение явно заданной информации позволяет сориентироваться в задачной ситуации, обеспечивает информацией для перебора готовых алгоритмов и способов решения, что характеризует поиск переборный, осуществляемый па основе распознавания образцов и операции сравнения.

Оперирование информацией Цель' сформировать у школьника умение преобразовывать полученную информацию Обучение школьников оперированию информацией необходимо начать с извлечения неявно заданной информации, в ходе которого сформировать умение получать информацию, непосредственно не заданную условием Состав данного действия'

1 Переходить от понятия к его свойствам

2 Заменять термин его опредечением

3 Переосмысливать объекты в пчане других понятий

4 Распознавать ситуации, удовчетворяющие усчовию применения теоремы

5 Выводить счедствия

6 Интерпретировать символические записи

Извлечение информации из условия и требования связано с формальнологическим преобразованием содержания задачи, что характеризует выводной (логический) поиск.

Более высокий уровень поиска соотносится с действием привлечения эвристической информации при поиске способа решения задачи

Привлечение эвристической информации Цель активизировать «невыводные» мыслительные процессы Состав приема определяется общими, специальными и частными эвристиками Содержание специальных и частных эвристик варьируется в зависимости от конкретной темы

Эвристики не даются учащимся в готовом виде, а составляются самими школьниками в процессе изучения темы и дополняются в последующем Условием получения и систематизации эвристик выступает

целенаправленная работа с задачами и теоремами, в ходе которой полученные соотношения и закономерности формулируются в виде эвристик, соотносятся с тематическим разделом и пополняют общий перечень Самостоятельность в получении и оперировании эвристиками защищает от формального их перебора в ходе поиска

При обучении поиску используем методику организации упражнений, в процессе выполнения которых учащиеся овладевают умениями, адекватными этой деятельности (Г И Саранцев) Упражнения понимаются как многоаспектное явление обучения, выступающее средством целенаправленного развития ученика. Представленные в диссертации упражнения по формированию умения вести поиск способа решения задачи адекватны действиям, составляющим его Например, упражнения, формирующие умение оперировать информацией, могут содержать следующий набор заданий'

1 Сформулируйте вопрос по данным условиям (выведи следствия) «Через середину высоты равнобедренного треугольника проведены две прямые, соединяющие её с вершинами основания»

2 Дополните задачу условиями, необходимыми для получения известного следствия (подведи под известные конструкции, определения, свойства понятий) «Дан треугольник ABC При каком условии луч ВК, проходящий между сторонами угла ABC разделит треугольник на два равновеликих?».

3 Установите, обладает данный объект выделенными свойствами или не обладает' «Каждая сторона выпуклого четырехугольника разбита двумя точками в отношении 1 42 1 Через две соседние с каждой вершиной точки проводится прямая Установите параллельность сторон образующегося четырехугольника»

Эффективность в осуществлении поиска определяется умением выполнять все выделенные действия

Задача. Доказать, что если длины сторон треугольника ЛВС удовлетворяют соотношению а2+Ь2=5с2 , то две его медианы, проведенные из вершин А и В, взаимно перпендикулярны Извлечение явно заданной информации

треугольник ABC, a, b, с - длины сторон треугольника, соотношение между сторонами треугольника а2^Ь2=5с2,

m¡, т2- две медианы треугольника ABC, проведенные из вершин А и В, ср - угол между медианами (т,, т2), проведенными из вершин А и В треугольника ABC.

Необходимость введения обозначений и выполнения рисунка обусловлена получением неявно заданной информации, которая должна демонстрировать связь между стороной треугольника ABC, медианами (AM, ВК) и углом ф (рис 1) Например, выразить длину стороны а можно трижды, используя треугольники АМВ, ОМВ, AMC Рассуждения такого рода характеризуют поиск переборный

Например, из треугольника AMC следует соотношение

-Ь1 +т.2 - 2-Л тх cos(ZCAM), из треугольника АМВ -= с2 +т,2 -2 с т] cos(ZBAM), из треугольника ОМВ -

г)2 +(.]/2Щ)2 - 2(2/^m2)(y^ml)cos(x - <р) Аналогично

можно выразить Ь2 и с2.

Попытка оценить значимость каждого равенства для поиска решения задачи, обосновать правильный выбор нужного соотношения позволит говорить о выводном поиске.

Найти результативное соотношение между элементами треугольника трудно, поэтому есть смысл привлечь эвристическую информацию и сделать поиск направленным Воспользуемся общей идеей упрощения задачи Начнем поиск с рассмотрения обратного утверждения' «Если две медианы треугольника ABC, проведенные из вершин А и В, взаимно перпендикулярны, то длины его сторон удовлетворяют соотношению а2+Ь2=5с2» Наличие прямого угла дает возможность применить теорему Пифагора для образовавшихся прямоугольных треугольников, а почленное суммирование двух равенств и подстановка третьего позволяют прийти к требованию задачи.

В ходе поиска решения обратной задачи раскрывается идея решения основной задачи Суть её состоит в том, чтобы выразить стороны треугольника через медианы, используя угол между ними Решение обратной задачи подсказывает правильный выбор треугольников для составления соотношений.

В ходе поиска решения задачи формулировалась обратная задача, привлекались эвристики изменение уровня общности, доопределение задачи привнесенными условиями В рассмотренной задаче преднамеренно подчеркивается использование общей эвристики, такой возможностью школьные планиметрические задачи обладают редко

Умение вести поиск способа решения есть сложная деятельность, которая характеризуется разными качественными уровнями (табл 1)

Выделение их обусловлено различием существующих видов поиска, владением школьником отдельными составляющими поиска способа решения задачи.

Таблица 1 Уровни сформированности умения вести поиск

Виды поиска способа решения задачи(СРЗ)

0 (слепой) I (переборный) и (выводной) ni (выводной) IV (эвристический) V эстетический)

{mot, opeг, log, info, aest, em-will) (mot, орег, log, evr, info, aest, em-will} (mot, орег, log, evr, info, aest, em-will} (mot, орег, log, evr, info, aest, era- Wl 11) {mot, орег, log, evr, info, aest, em-will} {mot, орег, log, evr, info, aeet, em-will}

Слепой поиск СРЗ (угадывание) При отсутствии результата приводит к отказу от поиска Поиск как перебор готовых алгоритмов Выводной (логический) поиск СРЗ Выводной (логический) поиск СРЗ (на основе частных эвристик) Эвристический поиск СРЗ (на основе эвристической информации) Направленный поиск СРЗ, определяемый эстетической составляющей

Содержание поиска решения Задачи

Случайные пробы осуществления знакомых действий на основе опыта Перебор знакомых действий, извлечение явно заданной в задаче информации Преобразован ие задачной ситуации на логической основе, извлечение неявно заданной информации Преобразов ание задачной ситуации на основе применения частных эвристик Преобразование задачной ситуации на основе привлечения эвристик (базовых, частных, специальных и обших) Прогнозирова нис изменений задачной ситуации в соответствии с эстетическим вку сом

Уровни сформированности умения вести поиск способа решения задачи

Начальный Первый Второй Третий Четвертый

Содержание обучения поиску способа решения задачи

Не требует формирования Констатируется Обучение извлечению информации ш условия и требования задачи Обучение конкретным методам решения задач Обучение логическим основам построения суждений Обучение извлечению информации Понятие о базовых эвристиках Обучение оперирован ию информацией Накопление банка частных эвристик, правила их формирован ия и формы выражения Обучение использованию эвристичсскои информации Накоптснис банка специальных и обших эвристик Использование методов научного познания Формирование эстетических вкусов Формирование прогностическ ого у мсния

В процессе изучения геометрии формируются отдельные сосшвляющие компоненты данного умения, что позволяет предложить этапы обучения поиску в основной школе (табл 2).

Таблица 2 Этапы обучения поиску

Содержание отдельного этапа Ведущие составляющие поиска Классы

Формирование потребности осуществления слу чайных проб по реализации знакомых действий в конкретной заданной ситуации {mot, opcr, cm-nill} 1-4,5-6* классы

Обучение поиску способа решения геометрической задачи в основной школе

Формирование умения вести систематический перебор известных способов решения на основе распознавания задачной ситуации {mot, oper, info, cm-will} 7,8 классы

Формирование учения вести выводной (логический) поиск применять базовые эвристики, методы прямого доказательства, использовать метод от противного {mot, opcr, log info, em-mll} 7,8 классы

Формирование умения вести поиск на основе частных эвристик, у чения составлять элементарные задачи {mot, oper, log, evr, info aest, em-will} 7,8,9 классы

Обучение эвристическим приемам и методам, их применению, формирование учения выделять идею решения {mot, oper, log, evr, info, aest, em-will} 8,9 классы

Обучение самостоятельному поиску эстетически привлекательного решения {mot, oper, log, evr, info, aest. em-will} 8,9 класс

* Выделены классы, которые несут основную нагрузку при формировании данного умения

Обучение поиску способа решения задачи может осуществляться как в рамках специального факультативного курса, так и в рамках традиционной учебной математической деятельности Потенциальные возможности обучения поиску содержатся в деятельности по формированию понятий и изучению теорем Оперируя понятием, можно действовать «по определению», посредством использования его свойств, через осмысление объекта, описываемого понятием, в плане другой фигуры

Экспериментальная проверка предлагаемой методики обучения учащихся поиску способа решения задачи, проведенная нами в школах Кировской области, описана в заключительном параграфе второй главы Для исследования влияния разработанной методики на качество знаний учащихся испытуемым была предложена контрольная работа по курсу планиметрии 7-8 классов Для оценки различий полученных результатов при выполнении

контрольной работы использовался медианный критерий Полученные результаты дают основание считать, что различия в распределении учащихся по числу баллов за выполнение контрольной работы в

совокупностях экспериментального и

контрольного классов существенны При этом результаты учащихся ЭК имеют тенденцию быть выше результатов учащихся КК, то есть качество знаний выше в ЭК

I Распределение учащихся по уровням сформированное™ умения вести поиск

' / J S /

* / /

Для сравнения двух эмпирических распределений учащихся (ЭК и КК) по уровням сформированности умения вести поиск предлагалось диагностическое задание и использовался критерий х2 («хи- квадрат»). Так как верно неравенство х2набл> Х2кРи. (38,36>13,3), то на уровне значимости 0,01 принимается гипотеза методика обучения поиску повлияла на результаты распределения по уровням. Мы склонны объяснять этот факт отсутствием целенаправленной работы по формированию умения вести поиск

Полученные в эксперименте данные свидетельствуют о том, что разработанная методика формирования у школьников умения вести поиск способа решения задачи способствует успешному обучению их умению решать геометрические задачи

В процессе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с его целью и задачами получены следующие основные выводы и результаты

1. Анализ научно-методической и психолого-педагогической литературы по проблеме обучения поиску способа решения геометрической задачи показал, что возможности поиска используются не полностью, не выявлены его функции, структура поиска, действия, его составляющие, настолько разнообразны, что отсутствует единый подход к пониманию данного феномена.

2. Понимание поиска как информационного процесса позволило уточнить содержание этого вида деятельности тремя сложными совокупными действиями извлечение информации (поиск как процесс воспроизведения), оперирование ею (выводной поиск), привлечение эвристической информации («невыводной» поиск) С этих позиций поиск выступает в единстве логической, эвристической и интуитивной (мотивационной, эмоционально-волевой, эстетической) составляющих

3 Теоретически и экспериментально установлено, что формирование умения вести поиск способа решения задачи при обучении математике можно осуществить на 4-х уровнях (переборном, выводном, эвристическом, эстетическом). Предложены задачи, позволяющие констатировать умение вести поиск на заявленном уровне.

4. Разработана методика обучения учащихся поиску способа решения задачи Основным средством формирования действий, адекватных поисковой деятельности, выбраны специальные упражнения Консфуирование упражнений на основе модифицирования задач учебника показано на примере темы «Площади фигур»

5 Определено место обучения поиску способа решения задачи Рассмотрены возможности учебной деятельности по формированию понятий и обучению доказательствам в контексте обучения поиску способа решения задачи Они заключаются в единстве действий, направленных на усвоение, использование понятий, и единстве действий, адекватных поиску, общности эвристик, использующихся при доказательстве теорем

6 Эффективность разработанной методики обучения, направленной на формирование умения учащихся осуществлять поиск способа решения задачи, подтверждена экспериментально

Основные положения и результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях:

1 Шеренцова О М Функции поиска решения задачи /О М Шеренцова // Гуманитаризация среднего и высшего математического образования методология, теория и практика Материалы Всерос науч конф 18-20 сснт 2002 г Часть 2 - Саранск МПГИ, 2002 - С 243-247 (0,3 п л)

2 Глушкова А И, Шеренцова ОМ К вопросу о структуре поиска способа решения задачи / А И Глушкова, О М Шеренцова // Гуманитаризация математического образования в школе и вузе Межвуз сб науч тр - Саранск Поволжск отд РАО, МПГИ, СВМО, 2002 - Вып 2 -С 19-25 (0,4 п л , авторских 50%).

3 Шеренцова ОМ К вопросу о преемственности преподавания в школе и в вузе /ОМ Шеренцова // Научные труды Вятского социально-экономического института Ежегодник - Киров ВСЭИ, 2002 - Вып 1 -С 344-350 (0,4 п л )

4 Шеренцова ОМ Мотивационная функция поиска способа решения задачи / ОМ Шеренцова // Научные труды Вятского социально-экономического института Ежегодник - Киров ВСЭИ, 2003 Вып 2 -С.248-253 (0,4 п л )

5 Шеренцова О М Исследование особенностей поиска при решении геометрической задачи несколькими способами / ОМ Шеренцова // Проблемы математического образования и культуры' Сб тезисов международной конференции Тольятти ТГУ, 2003 - С 112-113. (0,1 п л)

6 Шеренцова О М Составляющие умения вести поиск способа решения задачи / ОМ Шеренцова // Проблемы социального самоопределения учащейся молодежи в условиях современного общества Материалы международной научно-практической конференции (Россия, г Киров, 3-4 марта 2003г) - Киров- Изд-во ВятТТУ, 2003 - С 492-502 (0,7п л )

7 Шеренцова О М Формирование умения вести поиск способа решения на основе распознавания задачной ситуации / О М Шеренцова //Проблемы теории и практики обучения математике Сб науч раб представл на 57-е Герц чтен / Под ред В В Орлова. - СПб Изд-во РГПУ им ЛИ Герцена, 2004 -С 185-187. (0,2 п л.)

8 Шеренцова О М О структуре поиска способа решения задачи как совокупности составляющих /ОМ Шеренцова // Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России Тезисы докладов III межрегиональной научной конференции - Киров- Изд-во ВятГТУ, 2004 -С 103-104 (0,1 п л)

р 2 7 1 2 О

PH Б Русский фонд

2006-4 833

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Шеренцова, Ольга Михайловна, 2004 год

Введение.

I. Теоретические основы поиска способа решения геометрической задачи.

§ 1. Анализ проблемы исследования в научно-методической и учебной литературе.

§2. Содержание поиска способа решения геометрической задачи.

§3. Функции поиска способа решения задачи.

3.1. Мотивационная функция поиска.

3.2. Познавательная функция поиска.

3.3. Информационная функция поиска.

3.4. Эстетическая функция поиска.

3.5. Прогностическая функция поиска.

3.6. Методологическая функция поиска.

3.7. Воспитательная функция поиска.

3.8. Функция обобщающего повторения

§4. Структура поиска способа решения задачи.

II. Методические аспекты обучения поиску способа решения геометрической задачи учащихся основной школы.

§ 1. Методика формирования действий, адекватных поиску способа решения геометрической задачи.

§2. Методические аспекты обучения поиску способа решения задачи при формировании понятий и обучении доказательству.

§3. Структура обучения поиску способа решения задачи в основной школе.

§4. Эксперименты и их результаты.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Обучение поиску способа решения геометрической задачи учащихся основной школы"

Актуальность исследования проблемы обучения поиску способа решения математической задачи определяется современной тенденцией гуманизации образования, основной акцент в которой сделан на всестороннем развитии личности учащихся. Указанная концепция открывает новые аспекты обучения, нацеливающие на создание условий для саморазвития, самоопределения и активизации школьников в процессе познания. В связи с этим особое значение приобретает проблема обучения школьников поиску способа решения задачи.

Анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы позволяет констатировать, что проблема обучения поиску решения задачи носит многоаспектный характер и для своего разрешения на современном этапе развития науки требует комплексного подхода в рассмотрении целого спектра вопросов. Взгляды на указанную проблему высказывают, прежде всего, психологи JI.JI. Гурова, И.И. Ильясов, Ю.Н. Кулюткин, Я.А. Пономарев, C.JI. Рубинштейн, Н.Ф. Талызина, O.K. Тихомиров и др. В работах этих авторов поиск способа решения задачи представлен как процесс решения творческих задач в контексте продуктивного мышления.

Психологам удалось установить механизмы осуществления поисковых операций, выделить и систематизировать эвристические приемы, продвигающие решение задачи. Полученные результаты потенциально содержит две проблемы: первая кроется в использовании профессиональной психологической терминологии, вторая - в специфических особенностях предмета математики. Наличие символического языка, абстрактность рассматриваемых математических объектов, дедуктивность доказательств затрудняют использование выделенных психологами эвристических приемов в ходе поиска решения математических задач.

В педагогической среде заявленная тематика пересекается с проблемой формирования познавательной самостоятельности (В.А. Крутецкий, М.И.

Пидкасистый, М.Н. Скаткин, Г.И. Саранцев), с проблемой творчества и творческой деятельности ученика (В.А. Гусев, Я.А. Пономарев), с вопросами обучения эвристической деятельности (В.Н. Соколов, В.Н. Пушкин, А.В. Хуторской).

В методике обучения математике поиск рассматривается в контексте общих подходов к решению задач в работах К.С. Богушевского, Н.В. Метельского, Е.С. Канина, М.И. Орленко, А.В. Репьева и др. Учеными выявлена роль мыслительных операций и логического мышления в процессе поиска решения задач.

Обучение школьников самостоятельному поиску способа решения задачи в методике обучения математике получило широкое развитие под влиянием работ Д. Пойа, в которых с помощью системы советов и указаний предлагалось побудить учащихся к самостоятельному нахождению решения. В русле данного направления можно назвать различные аспекты решения проблемы: формирование эвристических приемов (А.К. Артемов, Г.Д. Балк, М.Б. Балк, В.И. Крупич, JI.M. Фридман); обучение общим и специфическим приемам поиска доказательства (В.Г. Болтянский, В.А. Далингер, Ю.М. Колягин, JI.H. Ланда, Г.И. Саранцев, В.М. Туркина). Установлено, что обучение поиску есть процесс усвоения общих и специальных приемов решения различных классов задач, а также формирование необходимых для их решения приемов логического мышления. Обучение организовано с учетом общих и специальных закономерностей поиска решения задач. Показано, что умение вести поиск зависит от ряда факторов, что приводит к выводу о том, что решение проблемы возможно в контексте единства составляющих его компонент.

О целесообразном объединении логической и эвристической составляющих поиска высказывались И. Лакатос, Д. Пойа, Г.И. Саранцев, З.И. Слепкань. В работах этих авторов заложены методологические положения: идея единства логической и эвристической составляющих деятельности, идея единства методов анализа и синтеза.

Анализ методической литературы показывает, что наиболее результативно проблема обучения поиску способа решения задачи решается в контексте эвристики. Привлечение эвристической информации в ходе поиска способа решения задачи определяет его эффективность. Под эвристической информацией мы понимаем всю совокупность различных видов эвристик, эвристических приемов, методов, правил. На основе системного анализа и деятельностного подхода к обучению разнообразие эвристических приемов, выделенных в ходе анализа решения задач (Г.И. Саранцев, Л.И. Кузнецова, М.Н. Ерохина, O.K. Огурцова и др.), требует дальнейшей систематизации. В работах А.К. Артемова, Г.Д. Балк, М.Б. Балка, В.И. Крупича, Ю.М. Колягина, JI.M. Фридмана рассмотрен вопрос о применении эвристик при решении математических задач.

Состояние теоретической разработанности исследуемой проблемы в научно-методической литературе характеризуется отсутствием целостной концепции обучения поиску решения задачи, перечисленные механизмы поиска изучаются разрозненно, не выявлена его роль при обучении математике, нет четкого представления о структуре поиска. Все это свидетельствует об актуальности специально организованного исследования.

Практика свидетельствует о низком уровне умения школьников вести поиск способа решения задачи, формализме в знаниях, стремлении учеников запомнить приведенные рассуждения. Учащиеся затрудняются в осуществлении поиска решения нестандартных задач, требующих эвристических рассуждений. Все это подтверждают констатирующий эксперимент, наблюдение за ходом уроков геометрии. В качестве наиболее вероятной причины трудностей в обучении поиску способа решения задачи следует считать несовершенство традиционной методики, которая не учитывает структуру и функций поиска.

Целостный подход к проблеме открывает её новые аспекты, требующие дальнейшего изучения. Необходимо в комплексе проанализировать содержание деятельности поиска, определить его структуру, состав действий, функции. Следует дополнить концепцию поиска и другими его составляющими (информационной, мотивационной, эстетической, эмоционально-волевой), как компонентами, влияющими на отыскание способа решения задачи. Специального исследования требует выяснение роли составляющих на определение видов поиска.

Таким образом, противоречие между потребностью в совершенствовании методики обучения поиску способа решения задачи и её реальным состоянием определяет актуальность проблемы исследования, которая заключается в нахождении и систематизации путей и средств совершенствования обучения поиску способа решения задачи в курсе планиметрии основной школы.

Объект исследования: обучение поиску способа решения геометрической задачи.

Гипотеза исследования: если уточнить содержание понятия поиска способа решения задачи, определить его структуру и функции, выделить совокупность действий, адекватных содержанию, и на этой основе разработать методику обучения поиску способа решения задачи, то это позволит повысить результативность решения задач в курсе планиметрии основной школы.

В соответствии с выдвинутой целью и гипотезой были поставлены следующие задачи:

1. Провести анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы с целью определения базовых понятий и методологической основы исследования.

2. Определить структуру, состав действий, функции поиска способа решения задачи.

3. Уточнить понятие поиска способа решения геометрической задачи в рамках системного представления его компонентов.

4. Определить виды поиска, выяснить их роль в формировании уровней обучения поисковой деятельности.

5. Разработать методику обучения поиску способа решения геометрической задачи, проверить экспериментально эффективность разработанной методики.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: изучение психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования, сравнительный анализ публикаций в периодических методических изданиях, анализ учебников, учебных и методических пособий по геометрии для средней школы; анкетирование учеников основной школы; изучение и обобщение педагогического опыта; педагогический эксперимент, позволивший изучить состояние проблемы исследования в практике обучения геометрии в основной школе и апробировать предложенную методику обучения поиску; анализ и обработка результатов эксперимента с помощью статистических методов.

Методологической основой исследования послужили основные положения теории системного анализа, деятельностного подхода, методологии методики обучения математике, основные психолого-педагогические и методические положения теории использования задач и обучения их решению в курсе математики средней школы, концептуальные основы изучения геометрии, исследования по использованию эвристик в процессе обучения и в контексте продуктивного мышления.

Исследование проводилось поэтапно.

На первом этапе осуществлялось изучение и проводился анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы, а также диссертационных исследований по данной проблеме; изучалось состояние исследуемой проблемы в школьной практике; проводился констатирующий эксперимент. В результате исследования была выявлена необходимость совершенствования методики обучения решению геометрических задач.

На втором этапе проводился поисковый эксперимент, в ходе которого разработана методика формирования у школьников умения вести поиск нескольких способов решения геометрической задачи. При этом учитывались основные особенности построения геометрии как учебного предмета, специфика содержания отдельных тем школьного курса геометрии и основные аспекты их изучения.

На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности и корректировки предлагаемой методики, изучались его результаты, формулировались выводы, полученные в ходе теоретического и экспериментального исследования. Полученные результаты были проанализированы и обработаны средствами математической статистики, что позволило подтвердить справедливость теоретических выводов и целесообразность разработанной методики.

Научная новизна исследования заключается в том, что проблема обучения поиску решена на принципиально новой основе, составленной системным представлением его функций, структуры, содержания, видов, уровней обучения. Исследована проблема обоснования возможностей поиска способа решения геометрической задачи в учебной математической деятельности, решение которой позволило сформулировать функции поиска. Впервые разработана и обоснована модель структуры поиска как совокупность составляющих его компонент. В рамках данной модели выделены действия, адекватные деятельности по нахождению решения задачи, определены и обоснованы виды поиска, разработаны этапы обучения поиску.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что существенное развитие получили: методика обучения поиску способа решения задачи через выделение и систематизацию действий, адекватных поиску; научные представления о поиске способа решения определенные на основе единства составляющих его компонент (логической, эвристической, мотивационной, эстетической, эмоционально-волевой, операционно-действенной, информационной); современные подходы к поиску способа решения задачи как информационному процессу.

Практическая значимость работы определяется тем, что результаты исследования расширяют представление о поиске способа решения задачи, выводят его за рамки отдельного этапа и повышают его значимость в деятельности, связанной с решением задач. Разработанная в диссертации методика обучения поиску способа решения геометрической задачи может быть использована в школьной практике преподавания математики с целью повышения качества знаний учащихся по геометрии.

Внедрение результатов исследования осуществлялось и продолжает осуществляться в ходе экспериментальной проверки разработанной методики обучения поиску способов решения задачи. В эксперименте участвовали учителя и ученики школы № 21 г. Кирова, №14 г. Слободского Кировской области, средней общеобразовательной школы д. Стулово, п. Вахруши.

ВСЭИ (Киров, 2001), на 57-х Герценовских чтениях РГПУ (Санкт-Петербург, 2004), на заседаниях методических объединений учителей математики школ № 21 г. Кирова, №14 г. Слободского Кировской области, средней общеобразовательной школы д. Стулово, п. Вахруши Слободского района Кировской области.

Достоверность полученных результатов исследования и обоснованность представленных выводов и рекомендаций обеспечиваются методологическими основами исследования, опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, учётом современных достижений в теории и практике методики обучения математике, комплексом методов педагогического исследования, адекватных его задачам, положительными итогами проведённого эксперимента.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Одним из главных путей повышения эффективности математической подготовки учащихся является целенаправленное систематическое обучение их поиску решения геометрических задач. Совершенствование процесса обучения математике в основной школе определяется реализацией следующих функций поиска: обобщающего повторения, прогностической, методологической, мотивационной, воспитательной, познавательной, информационной, эстетической функциями.

2. Этапами формирования умения вести поиск способа решения задачи являются переборный поиск, выводной поиск, эвристический поиск, эстетически направленный поиск.

3. К числу структурных составляющих поиска способа решения планиметрической задачи относятся мотивационная, информационная, операционно-действенная, эстетическая, логическая, эвристическая, эмоционально-волевая компоненты. Доминирование одной или нескольких компонент определяет вид поиска, влияет на процесс отыскания решения, характеризует уровень владения умением вести поиск.

4. Суть предлагаемой методики обучения поиску способа решения геометрической задачи состоит в разработке и использовании специальных упражнений, связанных с формированием действий (извлечение информации из условия и требования задачи, оперирование ею и привлечение эвристической информации), адекватных структурным составляющим поиска; упражнений, использующих сформированные действия для нахождения способа решения, а также адаптированном применении упражнений, направленных на формирование понятий и усвоение теорем.

5. Реализация методики обучения поиску способа решения задачи должна осуществляться на основе выделенных критериев умения вести поиск (осознание цели поиска, знание структуры и действий поиска, характер выбора действий, самоанализ проведенного поиска) и уровней их сформированности.

По теме исследования имеется 7 публикаций.

Диссертация (195 с.) состоит из введения (9 е.), двух глав (гл.1 - 78 е., гл.2 - 65 е.), заключения (2 е.), списка использованной литературы (201 ед. наименований) и приложений. Текст диссертации содержит 17 таблиц и 73 рисунка.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Основные результаты обучающего эксперимента состоят в том, что школьники экспериментальной группы имеют более высокие показатели качества знаний и уровня сформированности умения вести поиск способа решения геометрической задачи. Статистическая обработка результатов показала значимость наблюдаемых различий. Результаты анкетирования свидетельствуют, что используемая методика способствовала осознанию школьниками поиска способа решения и действий, адекватных ему. Эксперимент подтвердил наше предположение о положительном влиянии методики обучения поиску способа решения геометрической задачи на повышение качества знаний учащихся, умение решать задачи.

Изложим основные результаты проведенного исследования, посвященного обучению поиску способа решения геометрической задачи:

1. Обучение поиску способа решения геометрической задачи должно осуществляться в комплексе: формируются действия, адекватные поиску, учитывается структура поиска, целенаправленно формируются уровни поиска, при этом работа по формированию действий, адекватных поиску, должна охватывать все компоненты процесса обучения математике, то есть формирование понятий, изучение теорем, решение задач.

2. Основным методическим средством при обучении поиску способа решения геометрической задачи выступают специальные упражнения, в процессе выполнения которых происходит формирование действий, позволяющих находить решение. Предлагаемые упражнения должны соответствовать формируемому уровню поиска, допускать несколько возможных решений.

3. Методика обучения поиску способа решения задачи состоит в разработке и использовании специальных упражнений, связанных с формированием совокупных действий (извлечение информации из условия и требования задачи, оперирование ею и привлечение эвристической информации), адекватных структурным составляющим поиска; упражнений, использующих сформированные действия для нахождения способа решения, а также адаптированном применении упражнений, направленных на формирование понятий и усвоение теорем. Реализация методики обучения поиску способа решения задачи должна осуществляться на основе выделенных критериев умения вести поиск (осознание цели поиска, знание структуры и действий поиска, характер выбора действий, самоанализ проведенного поиска) и уровней их сформированности.

4. Определен состав умения извлекать явно заданную информацию: выделение условий задачи, выделение требования, выделение элементов, выделение связей между элементами, выделение понятий, выделение суждений, связывающих эти понятия, выделение существенного, разделение существенных и несущественных признаков, контроль над необоснованным расширением состава условий задачи, выполнение рисунка, адекватного условию задачи, осуществление символьной записи условия и требования.

5. Уточнено содержание действия «оперирование информацией» как получение выводной информации из условия и требования задачи. В его состав входят действия: переходить от понятия к его свойствам; заменять термин его определением; переосмысливать объекты в плане других понятий; распознавать ситуации, удовлетворяющие условию применения теоремы, алгоритма; выводить следствия; интерпретировать символические записи. Каждое действие, входящее в состав этого приема, является сложным, поэтому определена совокупность операций, его образующих.

6. Состав приема привлечения эвристической информации определяется общими, специальными и частными эвристиками, варьируется в зависимости от содержания темы.

7. Работа по формированию умения вести поиск способа решения задачи должна проводиться систематически. Обучение, обеспечивающее формирование умения вести поиск способа решения задачи, опирается на потребность осуществления случайных проб и проходит этапы операциональной деятельности (переборный поиск), логически обоснованной деятельности (выводной поиск), эвристической деятельности (эвристический поиск), эстетически направленной деятельности (эстетический поиск).

8. Рассмотрены возможности обучения поиску способа решения задачи при формировании понятий и обучению доказательствам.

9. Выделены уровни владения поиском, предложены задачи, позволяющие констатировать умение вести поиск на заявленном уровне.

180

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном исследовании мы ставили цель - разработать методику обучения поиску способа решения геометрической задачи. Полученные результаты теоретико-экспериментального исследования подтвердили гипотезу и позволяют сделать следующие выводы:

1. Анализ научно-методической и психолого-педагогической литературы по проблеме обучения поиску способа решения геометрической задачи показал, что возможности поиска используются не полностью (для их реализации необходимо выявить функции, структуру, виды поиска); действия, его составляющие, настолько разнообразны, что отсутствует единый подход к пониманию данного феномена.

2. Понимание поиска как информационного процесса позволило уточнить содержание этого вида деятельности тремя сложными совокупными действиями: извлечение явно заданной информации (поиск как процесс воспроизведения), оперирование неявно заданной информацией (выводной поиск), привлечение эвристической информации («невыводной» поиск). С этих позиций поиск выступает в единстве логической, эвристической, мотивационной, информационной, операционно-действенной, эстетической и эмоционально-волевой составляющих.

3. Теоретически и экспериментально установлено, что формирование умения вести поиск способа решения задачи при обучении математике можно осуществить на 4-х уровнях (переборном, выводном, эвристическом, эстетическом). Предложены задачи, позволяющие констатировать умение вести поиск на заявленном уровне.

4. Разработана методика обучения учащихся поиску способа решения задачи. Основным средством формирования действий, адекватных поисковой деятельности, выбраны специальные упражнения.

Конструирование упражнений на основе модифицирования задач учебника показано на примере темы «Площади фигур».

5. Определено место обучения поиску способа решения задачи. Рассмотрены возможности учебной деятельности по формированию понятий и обучению доказательствам в контексте обучения поиску способа решения задачи. Они заключаются в единстве действий, направленных на усвоение, использование понятий, единстве базовых эвристик и эвристических приемов, использующихся при доказательстве теорем, и единстве действий, адекватных поиску.

6. Эффективность разработанной методики обучения, направленной на формирование умения учащихся осуществлять поиск способа решения задачи, подтверждена экспериментально.

Сказанное позволяет считать, что поставленные в диссертационной работе задачи решены, и цель исследования достигнута.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Шеренцова, Ольга Михайловна, Киров

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. Пер. с франц. - М.: «Советское радио», 1970. - 152 с.

2. Александров А.Д. Геометрия: Уч. пособ. М.: Наука, 1990. - 671 с.

3. Амосов Н.М. Автоматы и разумное поведение. Опыт моделирования. -Киев: «Наукова думка», 1973. 375 с.

4. Артемов А.К. Состав и методика формирования геометрических умений школьников. Ученые записки. Выпуск 23. Пенза: Приволжское книжное изд-во, 1969. - 365 с.

5. Артемов А.К. Об эвристических приемах при обучении геометрии // Математика в школе. 1973. - № 6. - С. 25-28.

6. Артемова М.А. Формирование прогностического умения учащихся при изучении алгебры и начал анализа в средней школе // Дисс. . .к.п.н. СПб., -1994.

7. Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и математике. (Очерк истории: XVII нач. XX в.) - 2-е изд. - М.: Мысль, 1965. - 312 с.

8. Балк Г. Д. О применении эвристических приемов в школьном преподавании математики // Математика в школе. 1969. - № 5. - С. 21-28.

9. Балк М.Г., Балк Г.Д. Математика после уроков: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1971. - 460 с.

10. Балк М.Г., Балк, Г.Д. О привитии навыков эвристического мышления // Математика в школе. 1985. - № 2. - С. 55-60.

11. Бенерджи Р.Б. Теория решения задач. Подход к созданию искусственного интеллекта. Перевод с англ. С.П. Чеботарева / Под ред. Ю.В. Буркина. М.: Мир, 1972. - 224 с.

12. Березина Л.Ю, Денищева JI.O., Никольская И.Л. О воспитательных возможностях обучения математике // Повышение эффективности обучения математике в школе: Кн. для учителя: Из опыта работы // Сост. Г.Д. Глейзер. -М.: Просвещение, 1998. С. 38-51.

13. Бернштейн М.С. Задачи на доказательство в курсе геометрии // Математика в школе. — 1941. — № 4. — С. 19—30.

14. Богоявленская Д.В. Интеллектуальная активность как проблема творчества. Ростов-на-Дону, 1983. - 173 с.

15. Богушевский К.С. Вопросы преподавания геометрии в восьмилетней школе. М.: Просвещение, 1969. - 109 с.

16. Болтянский В. Г. Анализ поиск решения задачи // Математика в школе. — 1974. — № 1. — С. 34-40.

17. Болтянский В.Г. Функции учебного оборудования и организация поиска решения задач // Сов. педагогика, 1975. № 10. - С. 40-47.

18. Болтянский В. Г. Математическая культура и эстетика // Математика в школе. — 1982. — № 2. С. 40-43.

19. Бине А. Измерение умственных способностей. СПб.: Союз, 1998. -432с.

20. Боно Э. Рождение новой идеи. О нешаблонном мышлении. Пер. с англ. -М.: Прогресс, 1976. 143 с.

21. Великина П.Я. Задачи для систематического повторения геометрии в школе. Ярославль: Изд-во ЯГПИ (Яр. обл. ин-т усов, учит.), 1959. - 95 с.

22. Вечтомов Е. М. О философии математики. Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та. 2000. 80 с.

23. Волович М.Б. Ключ к пониманию геометрии/ 7-9 кл.: Пособие для учителя, ученика и его родителей. К.: ГИППВ, 1998. - 272 с.

24. Волхонский А. И. К методике обучения решению задач // Математика в школе. 1973. -№ 5.

25. Восканян К.В. Разные способы решения геометрических задач как средство развития мышления школьников // Вопросы психологии. 1995. -№5-С. 26-33.

26. Выготский JI.C. Собрание сочинений: В 6-ти т. /Гл. ред. А.В. Запорожец. М.: Педагогика, 1982. - т.2.: Проблемы общей психологии /Под ред. В.В. Давыдова. - 504 с.

27. Гальперин П. Я. Развитие исследований по формированию умственных действий: В сб. «Психологическая наука в СССР». Т. 1., М, 1959. С. 441469.

28. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий //В кн. Исследования мышления в советской психологии. М., 1966, - С. 236-277.

29. Гальперин П.Я. Формирование творческого мышления// Деятельность и псих, процессы: Тезисы докладов V Всесоюз. съезда психологов СССР. М.: АПН СССР, АН СССР, 1977. - С. 54-55.

30. Геометрия 7-9. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений/ А.Д. Александров, A.JI. Вернер, В.И. Рыжик. 2-изд. - М.: Просвещение, 1995. - 318 с.

31. Геометрия: Учебник для 7 9 кл. сред. шк. // Г.А. Бахурин, В.Н. Руденко. -М.: Просвещение, 1998.

32. Геометрия: Учебник для 7 9 кл. сред. шк. // J1.C. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 1996. - 335 с.

33. Герасимова А.Д. Формирование творческого воображения учащихся в процессе поиска решения планиметрических задач, требующих дополнительных построений: Автореферат диссертации .к.п.н., 1995.— 18с.

34. Гильманов Р.А., Татуцкий С.Ф. Как решать конкурсные задачи по геометрии. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976. - 220 с.

35. Глыва Г.Н. Формирование обобщенных умений решать геометрические задачи у учащихся 6-8 классов: Диссертация на соискание ученой степени к. п. н.-Киев, 1988.- 179 с.

36. Гончаров B.C. Зависимость стратегии поиска решения от типа мышления //Вопросы психологии. 1981. - №4. - С. 132-136.

37. Готман Э.Г., Скопец З.А. Задача одна решения разные: Геометрические задачи: Кн. для учащихся. - М.: Просвещение, 2000. - 224 с.

38. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990. - 224 с.

39. Гуревич В.Ю. Формирование приемов поиска решения задач на уроках математики в 6 классе: Дисс.к.п.н. -М.,1972. 308 с.

40. Гурова JI.JI. О соотношении формальных и эвристических компонентов в решении задач // Вопросы психологии. 1968. - №2. - С. 80-90.

41. Гурова JI.JI. Структурные особенности эвристических процессов и условия их формирования как продуктивных компонентов решения задач // Вопросы психологии. 1968. - № 4. - С. 71-82. ,

42. Гурова JI.JI. Психологический анализ решения задач. Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та. - 1976. - 313 с.

43. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. -М.: ООО «Издательство «Вербум М», ООО «Издательский центр «Академия», 2003. - 432 с.

44. Давыдов В.В. Состояние и проблемы исследований учебной деятельности. //Деятельностный подход в психологии: проблемы и перспективы. Сб. науч. тр./ Под ред. В.В. Давыдова и Д.А. Леонтьева. М.: Изд-во АПН СССР, 1990. - 180 с.

45. Далингер В.А. Внутрипонятийные связи и методика их реализации в процессе обучения геометрии //Актуальные вопросы обучения геометрии в средней школе: Межвуз. сб. науч. тр. Владимир: ВГПИ, 1989. - С. 16-26.

46. Данилова Е.Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач. М.: Учпедгиз, 1961. - 143 с.

47. Декарт Р. Разыскание истины. СПб.: Азбука, 2000. - 288 с.

48. Декарт Р. Рассуждение о методе с приложениями: диоптрика, метеоры, геометрия. М.: Изд-во АН СССР, 1953. - 654 с.

49. Демидова Т.Е. Теория и практика решения текстовых задач: Уч. пособие для студентов вузов /Т.Е. Демидова, А.П. Тонких. М.: Академия, 2002. -288с.

50. Добровольская Н.А. Формирование обобщенных умений по решению некоторых классов творческих задач: Автореф. дисс. .к.п.н. М., 1979. - 22 с.

51. Дорофеев Г.В. Переформулировка задачи //Квант. 1974. - №1. - С. 5356.

52. Дорофеев Г. В. О принципах отбора содержания школьного математического образования // Математика в школе. 1990. - № 6. - С. 2-5.

53. Дункер К. Психология продуктивного (творческого) мышления // Психология мышления: Сб. ст. М.: Прогресс. - 1965. - С. 86-234.

54. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учеб. деятельности: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990. - 128 с.

55. Еременко С.В., Сохет A.M., Ушаков В.Г. Элементы геометрии в задачах.- М.: МЦНМО, 2003. 168 с.

56. Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов: Учебник / О.Ю. Ермолаев. 2-е изд., испр. - М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 2003. - 336 с.

57. Ерохина М.Н. Формирование эвристической деятельности старшеклассников при изучении углубленного курса геометрии // Дисс. .к.п.н.-М.- 1999.

58. Журавлева О.Н. Теория и методика обучения доказательству в курсе планиметрии средней школы: Автореферат .дисс. . к.п.н. Саранск, 1996.- 16 с.

59. Иванова Т.А. Гуманитаризация математического образования: Монография. Нижний Новгород: Изд-во НГПУ, 1998. - 206 с.

60. Иванова Т.А., Огурцова O.K. Ключевые задачи темы «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве» // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона: Периодический сб. научно-метод. работ. -Выпуск 3. Киров. 2001, - С. 170-175.

61. Из опыта работы учителей математики. Выпуск 2: Сб. статей. - Киров, 2001.-34 с.

62. Изаак Д.Ф. Поиски решения, исследование и обобщение задач по геометрии // Математика в школе. 1998. - № 3-4. - С. 83-87.

63. Ильясов И.И. Система эвристических приемов решения задач. М.: Изд-во Российского открытого ун-та, 1992. - 140 с.

64. Инке X. Методика осуществления поиска решения геометрической задачи в условиях дифференцированного изучения математики в школах Южной Кореи//Дисс. . к.п.н.-М., 1998.- 195 с.

65. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М.: Просвещение, 1968. -228 с.

66. Калмыкова З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. М.: Педагогика. - 1981. - 200 с.

67. Канин Е.С., Нагибин Ф.Ф. Учебные математические задачи: Учебное пособие. Киров: Изд-во КГПИ, 1980. - 94 с.

68. Канин Е.С. Нагибин Ф.Ф. Заключительный этап решения учебных задач // Преподавание алгебры и геометрии в школе: Пособие для учителей / Сост. О.А. Бокавнев. М.: Просвещение, 1982. - С. 131-138.

69. Канин Е.С. Учебные математические задачи: Учебное пособие. Киров: Изд-во ВГГУ, 2003. - 191 с.

70. Ковалев В.И. Мотивы поведения и деятельности. М.: Наука. - 1988. -192 с.

71. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. 4.1-2. - М.: Просвещение, 1977. — 110; 144 с.

72. Колягин Ю.М. Учись решать задачи: Пособие для учащихся VII-VIII кл.- М.: Просвещение. 1980. - 96 с.

73. Корнилова Т.В., Каменев И.И., Степаносова О.В. Мотивационная регуляция принятия решений // Вопросы психологии. 2001. - №6. - С. 5565.

74. Корнилова Т.В., Тихомиров O.K. Принятие интеллектуальных решений в диалоге с компьютером. М.: Изд-во МГУ, 1990. - 191 с.

75. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач // Дисс. . .д.п.н. М. - 1992. - 376 с.

76. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников /В.А. Крутецкий под ред. Чуприковой Н.И. М.: Институт практической психологии; Воронеж, 1998. - 432 с.

77. Крыговская А. С. Развитие математической деятельности учащихся и роль задач в этом развитии // Математика в школе. 1966. - №6. - С. 19-30.

78. Кузнецова Л.И. Формирование эвристических приёмов умственной деятельности учащихся при решении геометрических задач // Развитие учащихся в процессе обучения математике: Межвузовский сборник науч. тр.- Н. Новгород, 1992. С. 33-45.

79. Кузнецова JI.И. Эвристики в структуре решений геометрических задач// Методологические знания как основа развивающего обучения математике: Межвузовский сб. науч. тр. Н. Новгород: Изд-во НГПУ, 1995. - С.48 -63.

80. Кулюткин Ю.Н., Сухоборская ГС. Эвристический поиск при решении задач // Новые исследования XI. 1967. - С. 97-103.

81. Кулюткин Ю.Н. Эвристические методы в структуре решений. М., 1970. -231 с.

82. Кулюткин Ю.Н. Эвристические методы в мыслительной деятельности и в обучении взрослых: Автореф.дисс. докт. психол. наук. JL, 1971. - 42 с.

83. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. Пер. с англ. И.Н. Веселовского. -М.: Наука, 1067. 152 с.

84. Ланда Л.Н. О формировании у учащихся общего метода мыслительной деятельности при решении задач // Вопросы психологии. №3. - С. 14-27.

85. Ларькина Е.В. Методика формирования исследовательской деятельности учащихся основной школы на уроках геометрии // Дисс. .к.п.н. М. - 1996. -256 с.

86. Леднев B.C. Содержание общего среднего образования: Проблемы структуры. М.: Педагогика, 1980. - 264 с.

87. Леонтьев А.Н. Избранные психологические произведения. Т.2. М.: Педагогика, 1983. - 318 с.

88. Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности. М.: Знание, 1980. -96 с.

89. Лоповок Л.М. Варианты доказательства геометрических теорем // Математика в школе. — 1975. — № 5. — С. 29-31.

90. Людмилов Д.С. Задачи без числовых данных. М.: Просвещение, 1961. -240 с.

91. Медяник А.И. Учителю о школьном курсе геометрии: Кн. для учителя. -М.: Просвещение, 1984. 95 с.

92. Медяник А.И. Контрольные и проверочные работы по геометрии: 7-9 кл.: Метод пособие. М.: «Дрофа», 1996. - 137 с.

93. Менчинская Н.А. Проблемы обучения, воспитания и психологического развития ребенка: Избранные психологические труды /Под ред. Е.Д. Божович. М.: Ин-т практич. психологии; Воронеж: МОДЭК, 1998. - 448 с.

94. Метельский Н.В. Дидактика математики. Лекции по общим вопросам. -Минск: Изд-во БГУ, 1975.-256 с.

95. Метельский Н.В. Психолого-педагогические основы дидактики математики. Мн.: «Высшейшая школа», 1977. - 156 с.

96. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособ. для студ. пед. ин-тов / А.Я. Блох, Е.С. Канин и др. М.: Просвещение, 1985. -336 с.

97. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Санинский. 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Просвещение, 1980. - 368 с.

98. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. М.: Просвещение, 2002. - 224 с.

99. Методика обучения геометрии: Учеб. пособ для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. М.: Изд. Центр «Академия», 2004. - 368 с.

100. Мостовой А.И. Различные способы доказательства в курсе геометрии восьмилетней школы: Пособие для учителей. М.: Просвещение. - 1965. -102 с.

101. Мостовой А.И., Шарипов Т.А., Наконечный М.Н. О создании проблемных ситуаций при решении задач различными способами. //Математика в школе. 1976. - №5. - С. 44-48.

102. Никольская И.Л., Семенов Е.Е. Учимся рассуждать и доказывать: Книга для учащихся 6-10 кл. ср. шк. М.: Просвещение, 1989. - 192 с.

103. Нильсон Н. Искусственный интеллект. Методы поиска решений. Пер. с англ. - М.: Мир, 1973. - 270 с.

104. Ньюэл А., Шоу Д., Саймон Г. Процессы творческого мышления // Психология мышления: Сб. ст. М.: Прогресс. - 1965. - С. 500-530.

105. Огурцова O.K. Частные эвристики как условие включения учащихся в поисковую деятельность на уроках стереометрии: Автореф. . к.п.н. -Саранск. 2002. 18 с.

106. Ожегов С.И. Словарь русского языка / Под ред. Н.Ю. Шведовой. М.: Русский язык, 1988. - 750 с.

107. Ольбинский И.Б. Методика обучения учащихся старших классов рефлексивному исследованию математических задач: Автореф. . к.п.н. -М., 2002.- 18 с.

108. Орлов В.В. Организация самостоятельного поиска решения стереометрических задач с помощью опорных конструкций: Дисс. .к.п.н. — Л., 1990.-171 с.

109. Островский А.И., Кордемский Б.А. Геометрия помогает арифметике. -М.: Физматгиз, 1960. 167 с.

110. Панарин Я.П. Задача одна решений много. //Математика в школе. -1992.-№1.-С. 15-16.

111. Панарин Я.П. Геометрия для 7-11 классов: Уч. Пособ. Ростов-на-Дону: «Феникс», 1997. - 512 с.

112. Педагогика: курс лекций // Под ред. Г.И. Щукиной. М.: Просвещение. - 1966. - 648 с.

113. Писаренко И.Б. Стратегия решения нестандартных задач //Математика в школе. 2002. - №5. - С. 40-44.

114. Платонов К.К. Структура и развитие личности. М., 1986. - 255 с.

115. Плаус С. Психология оценки и принятия решений. М.: Филинъ, 1998.

116. Повышение эффективности обучения математике в школе: Кн. для учителя: Из опыта работы / Сост. Г.Д. Глейзер. М.: Просвещение, 1989. -240 с.

117. Пойа Д. Как решить задачу. М.: Учпедгиз. - 1967. - 207 с.

118. Пойа Д. Математическое открытие: Решение задач: основные понятия, изучение, преподавание. М.: Наука, 1970.-451 с.

119. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Т.2. - Схемы правдоподобных умозаключений. - 2-е изд., испр. - М.: Наука, 1975. - С. 227-463.

120. Покровский В.П. Учебные приемы развития геометрического воображения учащихся при изучении пропедевтического курса геометрии. // Актуальные вопросы обучения геометрии в средней школе: Межвуз. сб. науч. тр. Владимир: ВГПИ, 1989. - С. 4-16.

121. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Учимся решать задачи по геометрии. Уч.-метод. пособие. - К.: «Магистр-S», 1996. - 256 с.

122. Пономарев Я.А. Психология творчества и педагогика. М.: Педагогика, 1976.-280 с.

123. Пономарев Я.А. Фазы творческого процесса. В кн.: Исследование проблем психологии творчества. - М.: Просвещение. - 1983. - С. 3-26.

124. Потапков А.Г. Эвристика, методология диалектика моделирования. -Суздаль: ВНИИСХ, 1993.

125. Проблемы теории и практики обучения математике: Сб. научных работ, представленных на международную научную конференцию «57 Герценовские чтения» /Под ред. В.В. Орлова. СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2004. -351 с.

126. Пуанкаре А. Наука и гипотеза. Пер. со 2-го испр. франц. изд. — СПб.: Слово, 1906.-230 с.

127. Пушкин В.Н. Эвристика наука о творческом мышлении. - М.: Политиздат. - 1967. - 272 с.

128. Развитие логического мышления учащихся в процессе преподавания математики в средней школе: Пособие для учителей. Издание 2-е. - М.: Учпедгиз. - 1958.- 131 с.

129. Регуш Л.А. Развитие способностей прогнозирования в познавательной деятельности. Л.: ЛГПИ им. Герцена, - 1983. - 84 с.

130. Репьев А.В. Общая методика преподавания математики. М.: Просвещение, 1958. 223 с.

131. Репьев А.В. Очерки по методике преподавания геометрии (планиметрия). Горький: Изд-во ГПТУ, 1959. - 276 с.

132. Родионов М.А. Теория и методика формирования мотивации учебной деятельности школьников в процессе обучения математике // Дисс. . д.п.н. Саранск, 2001.

133. Розет М.И. Что такое эвристика: Кн. для уч-ся. 2-е изд. - Минск: Народная асвета, 1988. - 168 с.

134. Розин В.М. Мышление в контексте современности // Общественные науки и современность. 2001. - №5. - С. 132-142.

135. Рощина Н.Л. О воспитании эстетического вкуса учащихся при решении планиметрических задач // Математика в школе. 1997. - № 2. - С. 4-7.

136. Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования. М.: Изд-во АН СССР, 1958.-147 с.

137. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии. СПб.: Изд-во «Питер», 1999.-720 с.

138. Руденко В.Н., Бахурин Г.А. Учебное пособие для самостоятельного изучения геометрии в 8-м классе. М.: «Сантакс-Пресс», 1996. - 158 с.

139. Рузин Н.К. Методика обучения и стимулирования поисковой деятельности учащихся по решению школьных математических задач: Учебное пособие. Горький: 1111И им. М. Горького, 1989. - 80 с.

140. Саранцев Г.И. О методике обучения школьников поиску решения математических задач // Преподавание алгебры и геометрии в школе:

141. Пособие для учителей /Сост. О.А. Бокавнев. М.: Просвещение, 1982.- С. 123-131.

142. Саранцев Г. И. Составление геометрических задач на заданных чертежах. // Математика в школе. — 1993. — № 6. — С. 14-16.

143. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995.-240 с.

144. Саранцев Г.И. Решаем задачи на геометрические преобразования. 3-е изд. перераб. доп. - М.: АО «Столетие», 1997 - 192 с.

145. Саранцев Г.И. Формирование познавательной самостоятельности студентов педвузов в процессе изучения математических дисциплин и методики преподавания математики / Мордов. гос. пед. ин-т им. М.Е. Евстафьева. Саранск, 1998. - 160 с.

146. Саранцев Г. И. Формирование математических понятий в средней школе // Математика в школе. — 1998. — № 6. — С. 27-30.

147. Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 2000. - 173 с.

148. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математике. Саранск: «Красный Октябрь», 2001. - 135 с.

149. Саранцев Г. И., Миганова Е.Ю. Эстетические мотивы продвигают решение задачи // Математика в школе. — 2002. — № 7. — С. 27-30.

150. Саранцев Г.И. Эстетическая мотивация в обучении математике. -Саранск: ПО РАО, Мордов. пед. ин-т., 2003. 136 с.

151. Семенов Е.Е. Изучаем геометрию. М.: Просвещение, 1987. - 256 с.

152. Ситникова И.В. Формирование математических понятий в средней школе. Дисс. .к.п.н. Киров: ВГПУ, 2000. - 174 с.

153. Славская К. А. Мысль в действии (психология мышления). — М.: Политиздат, 1968. 208 с.

154. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике. М.: Просвещение, 1963. - 200 с.

155. Снегурова В.И. О характеристиках рационального способа решения задачи // Проблемы теории и практики обучения математике: Сб. науч. работ. СПб: Изд-во РГПУ им. Герцена, 2004. - С. 117-122.

156. Соколов В.Н. Педагогическая эвристика: Введение в теорию и методику эвристической деятельности: Уч. пособ. для студ. высш. учеб. зав. М.: Аспект Пресс, 1995. - 255 с.

157. Степин B.C. Теоретическое знание. М.: «Прогресс-традиция», 2000. -744 с.

158. Талызина Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний. М., Изд-во Моск. ун-та, 1984. - 344 с.

159. Талызина Н. Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников. М.: Просвещение. - 1988. - 173 с.

160. Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учеб. пособие / Т.А. Иванова, Е.Н. Перевощикова, Т.П. Григорьева, Л.И. Кузнецова; Под ред. проф. Т.А. Ивановой. Н. Новгород: НГПУ, 2003. -320с.

161. Тихомиров O.K. Эвристика как проблема психологии мышления // Псих, исследования. М.: Изд-во Моск. ун-та. - 1968, - С. 87-100.

162. Тулькибаева Н.Н., Усова А.В. Методика обучения учащихся умению решать задачи: Уч. пособие к спецкурсу. Челябинск: Изд-во ЧГПИ, 1981. -87 с.

163. Туркина В.М. Формирование общих приемов поиска доказательства математических утверждений // Автореф. .дисс. к. п. наук. Л.: 1984. - 19 с.

164. Формирование приемов математического мышления / Под ред. Н.Ф. Талызиной. М.: Изд-во ТОО «Вентана-Граф». - 1995г. - 230 с.

165. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977. - 207 с.

166. Фридман Л.М. Учитесь учиться математике: Кн. для учащихся. М.: Просвещение, 1985 - 113 с.

167. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся. М.: Просвещение, 1989. - 175 с.

168. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: Пособие для учителей, методистов и педагогических высших учебных заведений. М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 1998. -217с.

169. Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике: история, теория, методика: Учеб. Пособие для учителей и студентов педвузов и колледжей. -М.: Школьная Пресса, 2002. 208 с.

170. Хабибулин К.Я. Формирование у учащихся творческого отношения к решению задач // Школьные технологии. 1999. — №1/2. - С. 156-157.

171. Хабибулин К.Я Моделирование в процессе обучения геометрии // Образование в современной школе . 2003. - №5 - С. 41-45.

172. Хазанкин Р. Г. Десять заповедей учителя математики // Народное образование. 1991. - № 1. - С. 70-73.

173. Халперн Д. Психология критического мышления. 4-е межд. изд. -Серия «Мастера психологии». - СПб: Изд-во «Питер», 2000. - 512 с.

174. Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики // Повышение эффективности обучения математике в школе: Кн. для учителя: Из опыта работы. / Сост. Г.Д. Глейзер. М.: Просвещение, 1998. - С. 18-38.

175. Хмель В.П. Формирование у старшеклассников обобщенных приемов решения математических задач: Дисс.к.п.н. Киев, 1983. - 163 с.

176. Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. -Томск: Изд-во Том. Ун-та. М.: Изд-во «Барс». - 1997. - 392 с.

177. Хуторской А.В. Эвристическое обучение: Теория, методология, практика. М.: Межд. пед. академия, 1998. - 286 с.

178. Хуторской А.В. Методы эвристического обучения // Школьные технологии. 1999. - № 1/2. - С. 233-244.

179. А.Г. Цыпкин., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы /Под ред. В.И. Благо датских. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 416 с.

180. Чванов Ю. Анализ математической задачи // Математика в школе. -1993.-№4.-С. 61-62.

181. Шапиро А. Д. Зачем нужно решать задачи? Кн. для уч-ся. М.: Просвещение, 1996.- 96 с.

182. ШаричМ. Сетки-помощницы//Квант. 2003. -№3.- С. 29-30.

183. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7 9кл. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1998. - 352 с.

184. Шевкин А.В. Несколько способов решения одной задачи // Математика в школе. 1998.-№2.-С. 17-18.

185. Шеренцова О.М Функции поиска решения задачи //Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика: Материалы Всероссийской науч. конфер. 18-20 сент. 2002 г. Часть 2. Саранск: МПГИ, 2002. - С. 243-247.

186. Шеренцова О.М. К вопросу о преемственности преподавания в школе и в вузе // Научные труды Вятского социально-экономического института: Ежегодник. Киров: ВСЭИ, 2002. - С. 344-350. - Вып.1

187. Шеренцова О.М. Мотивационная функция поиска способа решения задачи // Научные труды Вятского социально-экономического института: Ежегодник. Киров: ВСЭИ, 2003. - С.248-253 . - Вып.2.

188. Шеренцова О.М. Исследование особенностей поиска при решении геометрической задачи несколькими способами // Проблемы математического образования и культуры: Сб. тезисов международной конференции. Тольятти: ТГУ, 2003. - С. 112-113.

189. Шикова Л.Р. Исследовательская деятельность школьников в процессе решения геометрических задач // Математика в школе. 1995. - № 4. - С. 1317.

190. Эвнин А.Ю. Исследование математической задачи как средство развития творческих способностей учащихся: Дисс. . к.п.н. Челябинск: ЮжУГУ, 2000. - 150 с.

191. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1986. 255 с.

192. Эсаулов А.Ф. Психология решения задач. Методическое пособие. М.: Высшая школа, 1972. - 216 с.

193. Юлов В.Ф. Философия: Проблемный курс лекций для вузов. Киров: ВГПУ, 1998.-512 с.

194. Схема поискового прогнозирования. Выделение элементов задачи1. Элемент условия1. Элемент условия1. Элемент условия

195. Соотнесение элементов друг с другом, имеющимися знаниями, развертывание условия, соотнесение требованием

196. Оценка в пользу одной гипотезы1. Прогноз искомого

197. Примерный перечень эвристик по теме «Площади фигур»1. Общие эвристики:1. Эвристика моделирования.

198. Эвристика включение в известную структуру.

199. Эвристика дополнительных преобразований.

200. Эвристика вспомогательного объекта.

201. Эвристики изменения уровня общности задачи (упрощения). Специальные эвристики:

202. Установить равенство площадей фигур можно, доказав:

203. Равносоставленность фигур.

204. Равновеликость одной и той же фигуре.

205. Что они являются частями одной конфигурации (равновеликих конфигураций), полученными в результате «вычитания» или присоединения равных (равновеликих) фигур.

206. Вычислить площадь фигуры можно, если:1. Разбить её на частио триангуляция,о разбиение на равновеликие фигуры,о разбиение на фигуры с известными отношениямиплощадей, о выделение известной фигуры.

207. Достроить до известной конфигурации (фигуры).

208. Найти равновеликую фигуру, площадь которой известна либо ее можно легко вычислить.

209. Использовать «свободную палетку». Частные эвристики:

210. Вычислить площадь треугольника ABC можно, если:

211. Известна сторона и высота, проведенная к этой стороне1. S = ±aha=±bhb=±chc).

212. Известны две стороны и угол между ними= — absinC = — ас sin 5 = — 6с sin Л). 2 2 2

213. Известны три стороны (S = yjp(p а)(р - Ь)(р - с), где Р-^(а + Ь + с) - полупериметр).

214. Известны радиус вписанной окружности (г) и полупериметр (Р) (S = rp ).

215. Известны радиус описанной окружности (R) и три стороны

216. Известны радиус описанной окружности (R) и три угла (S = 2R2 sin A sin В sin С).

217. Известна площадь подобного треугольника (Smnk) и коэффициент подобия к (или величины сходственныхэлементов: сторон, высот, медиан). АВС =к21. SMNK

218. Известна площадь треугольника, имеющего с треугольником АВС равные высоты или равные стороны.

219. Известна площадь треугольника, имеющего с треугольником АВС равный угол.

220. Выделите ведущее понятие условия в задаче «Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению наибольшей и наименьшей его диагоналей».

221. Выполнение рисунок, адекватный задаче. «Средняя линия равнобедренного треугольника ABC длиной 4 см, параллельная основанию АС, равна половине боковой стороны этого треугольника. Найдите площадь треугольника АВС».

222. Дан прямоугольник ABCD со сторонами а и Ь. Найдите площадь треугольника AMD, где М принадлежит стороне ВС. Выберите расположение точки М так, чтобы рисунок к задаче был симметричным.

223. Внутри угла дана точка М. Постройте прямую, проходящую через точку М и отсекающую на сторонах угла равные отрезки. Выберите расположение точки М так, чтобы рисунок к задаче был симметричным.

224. Дан прямоугольник ABCD. Найти его площадь, если сторона АВ=12 см, а диагональ АС=13 см.

225. Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см2. Найдите7катеты, если отношение их длин равно —.12

226. Треугольник АВС равносторонний. Предложите специальную формулу для нахождения его площади.

227. Найти площадь фигуры ABED изображенной на рисунке 12.

228. Сравните площади закрашенных фигур (рис.14,15,16).н врис. 121. V\рис. 14рис.15рис.16

229. Дан ромб ABCD, диагонали ромба относятся как 2:1. Найти площадь ромба, если меньшая диагональ равна 4 см.

230. Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна к стороне параллелограмма, равной 12 см. Площади каких фигур можно найти при данных условиях?

231. Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Выполните рисунок к задаче. Выделите фигуры, присутствующие на рисунке, удовлетворяющем условию задачи. Найдите площадь параллелограмма.

232. Дан четырехугольник ABCD, у которого ABJJBC, AB=CD=6cm, BC=AD=4cm. Укажите существенные условия, отличающие четырехугольник ABCD от произвольного четырехугольника. Найдите площадь ABCD.

233. Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если большая его сторона равна 15.2 см, а один из его углов равен 45°.

234. Диагональ квадрата равна 6 см. Сформулируйте задачу с указанным условием (подберите требование) и решите её. Найдите площадь квадрата.

235. Найти площадь закрашенной фигуры, если SAbc=S.с

236. Найти площадь закрашенной фигуры, если Sabc=S.1. АМ:МВ=2:1 МО-ОС

237. Найти площадь закрашенной фигуры, если Sabc=S.21.

238. Найти площадь закрашенной фигуры, если Sabc=S.1. АР-РМ-МС, aq= iqb,bn=4 nc

239. Дан AABC. При каком условии луч ВК, проходящий между сторонами угла ABC разделит треугольник на два равновеликих?

240. В треугольнике ABC АВ=5 см, СВ=6 см. Длину какого отрезка надо добавить в условие задачи, чтобы можно было найти площадь треугольника.

241. Что нужно знать, чтобы утверждать, что квадрат разбит отрезком МК на две равновеликие фигуры? Выполните рисунок (рис.22). Придайте отрезку МК разные положения (рис.23,24). Каким свойством обладают получающиеся равновеликие фигуры?рис.22 рис.23 рис.24

242. Продолжите фразу «Треугольник равнобедренный, следовательно.».

243. Продолжите фразу «Две касательные к окружности проведены из одной точки, следовательно.».

244. Продолжите фразу «Окружность описана около прямоугольного треугольника, следовательно.».

245. Продолжите фразу «Сумма двух острых углов треугольника равна 90°, следовательно.».

246. А О-центр окружности, АВиАС-касятсльныебытьВрис.25 рис.26 рис.27

247. Могут ли стороны прямоугольного треугольника пропорциональны числам 5,6,7?

248. Может ли у параллелограмма со сторонами 4 см и 7 см одна из диагоналей быть равной 2 см?

249. Найти площадь фигуры, ограниченной отрезками, соединяющими последовательно середины сторон квадрата со стороной 2см (рис.28).

250. В трапеция ABCD, М середина DC (рис. 31). Доказать, что площадь дАМВ равна половине площади трапеции ABCD.рис.321. О Арис. 33

251. Середины сторон квадрата ABCD соединяются со всеми его вершинами. Построенные отрезки, пересекаясь, образуют внутри квадрата правильный восьмиугольник PQRSTUVX (рис.33). Найдите отношение площади восьмиугольника и квадрата.ряс. 33

252. В параллелограмме ABCD точки Е и F середины сторон АВ и AD соответственно, Р и Q - середины отрезков ЕС и FC соответственно, О- точка пересечения диагоналей параллелограмма (рис.34). Найдите площадь четырех угольника37.