автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обучение решению стереометрических задач с учетом взаимосвязи образного и логического компонентов мышления

Автореферат диссертации по теме "Обучение решению стереометрических задач с учетом взаимосвязи образного и логического компонентов мышления"

На правах рукописи

ШЕРЕМЕТЬЕВА Ольга Владиславовна

ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С УЧЕТОМ ВЗАИМОСВЯЗИ ОБРАЗНОГО И ЛОГИЧЕСКОГО КОМПОНЕНТОВ МЫШЛЕНИЯ (на примере задач на подвижные сечения многогранников)

13.00.02 - теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена на кафедре методики обучения математике Российского государственного педагогического университета имени А.И.Герцена

Научный руководитель:

Кандидат педагогических наук, профессор Е.И.Лященко

Официальные оппоненты:

Доктор педагогических наук, профессор Е.И.Казакова

Кандидат педагогических наук В. И. Рыжик

Ведущая организация:

Карельский государственный педагогический университет (г.Петрозаводск)

Защита диссертации состоится 10 сентября 1997 года в 1615 часов на заседании Диссертационного Совета К 113.05.14 по присуждению ученой степени кандидата наук при Российском государственном педагогическом университете имени А.И.Герцена по адресу: 191186, Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, 48, корпус 1, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке РГПУ им.А.И.Герцена.

Автореферат разослан "_"_1997 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Актуальность исследования. Стереометрические задачи играют важную роль в обучении, т.к. позволяют применять знания, полученные при изучении многих тем школьного курса математики, и тем самым способствуют пониманию изучаемого материала, формированию необходимых умений и навыков. Такие задачи являются одним из наиболее эффективных средств развития логического и пространственного мышления школьников, воспитания их графической культуры.

Проблеме отбора стереометрических задач и обучения их решению посвящены исследования таких специалистов в области методики обучения математике как А. К. Артемов, В.Г.Бевз, А. Б. Василевский, Г.Л. Глейзер, Я. Е. Гольдберг, В. А. Далин-гер, Г.Д. Зайцева, С.Г. Корнфельд, В.В. Орлов. H.H. Пономарева, В. И. Рыжик, Л. В. Рыжкова, А. И. Фетисов, А. Халиков и др.

Несмотря на большое внимание к решению стереометрических задач в теоретических исследованиях и практике преподавания геометрии в школе, эти задачи продолжают оставаться для учащихся одними из самых трудных математических задач.

Опыт работы в школе, результаты вступительных экзаменов в вузы, результаты анкет, проводимых с учителями, свидетельствуют о том, что основные трудности учащихся при решении стереометрических задач, предполагающих работу с многогранниками. связаны с недостаточной развитостью пространственных представлений, которая выражается в неумении увидеть элементы внутренней области многогранников. К элементам внутренней области многогранников могут быть отнесены:

а) углы, внутренние области которых содержат внутренние точки многогранников (в частности, углы между ребрами и гранями, между высотой и гранями, линейные углы двугранных углов между гранями, между секущей плоскостью и гранями),

б) отрезки, содержащие внутренние точки многогранников (в частности, отрезки, длины которых являются расстоянием между несоседними вершинами, расстоянием от вершины до ребра, не лежащего в одной грани с этой вершиной, до какого-либо отрезка, принадлежащего грани, от вершины до плоскости

грани, до секущей плоскости, между ребрами, не принадлежащими одной грани, между прямыми, лежащими в различных гранях, между ребрами и гранями, между гранями, между секущей плоскостью и гранями).

Вопросы, связанные с видением внутренней области многогранников, затрагиваются практически во всех работах, посвященных решению задач по теме "Многогранники". В работах рассматриваются:

- различные методы построения сечений (но при этом не устанавливается взаимосвязь между построенным сечением и его видением, которое нужно для решения стереометрических задач) (А. Б. Василевский, Я.Е. Гольдберг, н. Ф. Четверухин и др.);

- способы построения различных элементов, принадлежащих внутренней области многогранников (но при этом построение опирается на рассмотрение плоских фигур, заключенных внутри многогранника; а видение этих фигур и является одной из главных трудностей учащихся) (Н.М. Веснин, А.Б. Василевский, Я. Е. Гольдберг, Т.В. Гришина, К. К. Джумаев, Г.Д. Зайцева, В.В. Орлов, Т.Г. Ходот и др.).

Поэтому проблема видения внутренней области многогранников до сих пор остается актуальной.

Проблема исследования: поиск эффективных средств, позволяющих формировать видение внутренней области многогранников, и тем самым направленных на развитие пространственных представлений учащихся, с целью повышения эффективности решения стереометрических задач.

В дальнейшем, говоря о стереометрических задачах, будем иметь в виду задачи, предполагающие работу с многогранниками.

Объектом исследования является процесс обучения старшеклассников решению стереометрических задач.

■ Практически любая школьная стереометрическая задача может считаться принципиально решенной как стереометрическая после сведения ее к планиметрической. Отметим, что решение планиметрических задач вызывает определенные затруднения учащихся, но в данном исследовании речь идет о решении собственно стереометрических задач, т.е. задач, связанных с анализом отношений между фигурами и их элементами в простране-

тве. Поэтому основной трудностью в решении стереометрической задачи можно считать сам процесс сведения ее к задаче на плоскости. Такое сведение предполагает использование умения видеть плоскую фигуру в пространстве с разных точек зрения.

В связи с этим важную роль в процессе решения задачи играют определенные качества, присущие, по мнению психологов, развитым пространственным представлениям СМ.С. Шехтер, И.С. Якиманская). Основными из этих, связанных между собой качеств, являются динамичность, целостность, многозначность. О наличии этих качеств можно судить по сформированное™1 соответствующих умений: умения мысленно изменять положение и структуру объекта; умения сохранять и воссоздавать в пространственном образе структуру объекта, т. е. все элементы объекта и связи между ними; умения распределять внимание между различными элементами одного и того же пространственного объекта или разными объектами.

Констатирующий эксперимент, связанный с решением задач, в которых использовались преобразования известных многогранников, показал:

1) Названные качества сформированы у учащихся недостаточно.

2) Трудности видения пространственной ситуации связаны:

- с неумением применять в процессе мысленного выполнения преобразований имеющиеся знания и опыт;

- с неумением логически обосновывать результаты видения.

Поэтому можно вести речь о недостаточной взаимосвязи

образного и логического компонентов мышления в процессе решения стереометрических задач.

Для формирования умения использовать эту взаимосвязь в обучение могут быть включены стереометрические задачи, предусматривающие преобразование фигур и обоснование свойств полученных фигур.

Учитывая то, что для решения стереометрической задачи важно видение плоской фигуры с разных точек зрения, целесообразно использовать, б обучении задачи, предусматривающие параллельный перенос и поворот секущей многогранник плоскости и рассмотрение получающихся при этом сечений, определение их видов и свойств. Решение таких задач на подвижные сечения

будет основано на взаимосвязи образного и логического компонентов мышления, т.к. правильное видение получающихся сечений может являться следствием определенных рассуждений, которые, в свою очередь, опираются на видение пространственной конструкции.

Подвижные сечения являются одним из средств формирования видения внутренней области многогранников как непосредственно. так и опосредованно, в результате целенаправленной работы по развитию пространственных представлений учащихся (схема 1). Средством формирования действия, проявляющегося в умении выполнять к использовать перемещение секущей плоскости, монет послужить специальная система задач, которая может быть использована в процессе изучения стереометрии в старших классах.

Схема 1.

Роль подвижных сечений при решении стереометрических

задач.

Подвижные сечения многогранников

Пространственные представления учащихся

Решение стереометрических задач

Видение внутренней области многогранников

Поэтому предметом исследования является система стереометрических задач, в которых используются подвижные сечения многогранников, для развития пространственных представлений учащихся и формирования видения внутренней области многогранников.

Для того, чтобы такая система задач смогла послужить средством формирования умения выполнять перемещение секущей многогранник плоскости, она должна удовлетворять определенным требованиям.

Сказанное выше позволило определить цель исследования: сформулировать общие требования к системе стереометрических задач, в которых используются подвижные сечения многогранников, для развития пространственных представлений учащихся и формирования видения внутренней области многогранников; разработать конкретную систему задач, соответствующую этим требованиям, и методику работы с ней. Требования к системе задач и методике ее использования изложены в § 3 диссертации.

Результатом использования в обучении такой системы задач может стать умения перемещать секущую многогранник плоскость, которые будут способствовать правильному видению внутренности многогранника и развитию пространственных представлений учащихся. Это позволит улучшить качество решения задач школьного курса стереометрии, предусматривающих работу с многогранниками.

С учетом выше отмеченного была сформулирована гипотеза исследования: если в процессе обучения стереометрии использовать систему задач на подвижные сечения и соответствующую методику обучения решению этих задач, при условии, что система и методика ее использования удовлетворяют названным требованиям, то такое обучение будет способствовать развитию пространственного мышления учащихся (в том числе формированию видения внутренней области многогранников) и повлияет на эффективность решения стереометрических задач.

В ходе исследования решались следующие общие задачи:

1. Теоретически обосновать влияние умения выполнять перемещение секущей плоскости на развитие пространственных представлений учащихся и видение внутренней области многогранников и, в конечном счете, на эффективность решения стереометрических задач.

2. Разработать систему задач, являющуюся средством формирования действия перемещения секущей многогранник плоскости, и требования к ней.

3. Разработать методику реализации этой системы задач в процессе изучения стереометрии.

4. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики.

Для решения поставленных задач были использованы методы

исследования: анализ психолого-педагогической, научно-методической литературы по проблеме исследования и содержания школьного курса геометрии; изучение опыта преподавания геометрии в средней школе и учебной деятельности школьников, а также изучение и анализ ее результатов; организация и проведение констатирующего, поискового и формирующего экспериментов; количественная и качественная обработка их результатов.

Экспериментальное исследование по теме проходило с 1992 по 1997 год и состояло из трех этапов. Первый этап связан с работой автора учителем математики в старших классах средней школы и характеризуется анализом трудностей, испытываемых учащимися в процессе решения стереометрических задач.

Второй этап исследования связан с созданием системы стереометрических задач, решение которых основано на взаимосвязи образного и логического мышления, в содержание которых входит преобразование фигур и обоснование свойств полученных фигур; определением требований к такой системе задач; разработкой и частичной проверкой методики ее использования в процессе обучения.

На третьем этапе, в 1996-1997 годах, проводились формирующий эксперимент и теоретическое осмысление его результатов.

Научная новизна. Впервые создана и теоретически обоснована система стереометрических задач, в которых используются подвижные сечения многогранников, с целью развития пространственных представлений учащихся и видения внутренней области изучаемых многогранников. Разработана методика использования зтой системы задач в процессе обучения стереометрии.

Практическая значимость. Разработана система задач на подвижные сечения многогранников и методика ее реализации, которая может быть использована при обучении стереометрии в средней школе. Подготовлены методические рекомендации "Использование задач на движение при изучении стереометрии", которые могут быть использованы учителями средних школ при проведении уроков и факультативных занятий по геометрии. А также преподавателями при обучении студентов математических специальностей педагогических вузов в курсе методики обучения математике.

Достоверность результатов исследования обеспечивают:

- теоретический анализ проблемы;

- результаты экспериментальной проверки, подтвердившей на качественном уровне справедливость основных положений диссертации.

Апробация результатов исследования. Результаты исследования докладывались, на Герценовских чтениях в РГПУ им. А.И.Герцена (1995 г.), методологических семинарах кафедры методики обучения математике РГПУ им. А.И.Герцена (1996 г.). Апробация результатов исследования осуществлялась в ходе экспериментальной работы в гимназии N 13, гимназии К 6, гимназии N 44. педагогическом лицее при школе-интернате N 3 г. Пензы.

На защиту выносятся:

1. Теоретическое и экспериментальное обоснование целесообразности использования в процессе обучения стереометрии системы задач, в которых используются подвижные сечения многогранников, для развития пространственных представлений учащихся и формирования видения внутренней области многогранников.

2. Методика использования системы задач на подвижные сечения многогранников в курсе стереометрии для повышения эффективности решения стереометрических задач, предусматривающих работу с многогранниками, основным требованием которой является использование взаимосвязи образного и логического мышления в процессе решения задач.

СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Во введении дан краткий анализ состояния вопросов темы исследования, сформулированы проблема исследования, цели и задачи исследования, гипотеза и полозкения, выносимые на защиту, указывается теоретическая и практическая значимость исследования.

В первой главе на основе анализа психолого-педагогических исследований, связанных с рассмотрением процесса решения стереометрических задач, обосновывается возможность и целе-

сообразность использования при обучении стереометрии системы задач на подвижные сечения многогранников, решение которых основано на взаимосвязи образного и логического компонентов мышления.

В § 1 анализируются проблемы, связанные с решением стереометрических задач учащимися, главной из которых является недостаточная сформированное^ пространственных представлений старшеклассников.

Рассматривается роль чертежа (изображения пространственной фигуры в параллельной проекции) как важного средства формирования пространственных представлений учащихся, а также место образного и логического компонентов мышления в процессе работы со стереометрическим чертежом.

Раскрываются понятие пространственного мышления как разновидности образного, его структура и особенности. Выделяются связанные между собой качества развитых пространственных представлений:

- динамичность, которая связана с умением изменять положение и структуру образа;

- целостность, связанную с умением сохранять и воссоздавать в пространственном образе структуру объекта, т.е. все элементы объекта и связи между ними;

- многозначность, связанную с распределением внимания между несколькими задачами, решаемыми одновременно;

- избирательность, связанную со способностью выделять те элементы и отношения, которые позволяют выбрать способ решения задачи.

Анализируются результаты констатирующего эксперимента, проведенного с учениками 11-ых классов, которым предлагались задания на мысленное преобразование многогранников, формулируются выводы.

1. Пространственные представления учащихся преимущественно не обладают такими качествами пространственного мышления как динамичность, целостность, многозначность, избирательность.

2. Правильное изображение многогранника в параллельной проекции не является свидетельством его правильного видения. Большое количество затруднений учащихся связано с проблемой

видения внутренней области многогранника.

3. В процессе выполнения мысленных действий ученикам не всегда удается осуществлять текущий контроль и регулирование своих действий, привлекая для этого имеющиеся знания. Т.е. большинству учащихся в процессе решения задач не удается реализовать взаимосвязь образного и логического компонентов мышления.

4. Развитие логической составляющей мышления не всегда является достаточным условием развития образной составляющей.

В качестве средства формирования видения внутренней области многогранников предлагается использовать в обучении задачи на подвижные сечения многогранников, которые могут послужить средством формирования пространственных представлений учащихся, и решение которых будет основано на взаимосвязи образного и логического компонентов мышления.

В § 2 рассматриваются вопросы, связанные с использованием взаимосвязи образного и логического компонентов мышления в процессе решения стереометрических задач. Раскрываются функции образного и логического мышления при содержательном анализе пространственных образов, необходимом для эффективного решения стереометрических задач. Образное мышление приоритетно на этапах выдвижения гипотез и наглядной интерпретации выводов, полученных логическим путем, логическое - при обосновании и получении умозаключений.

Учитывая то, что оперирование образами подчинено логике геометрических преобразований, обосновывается целесообразность использования в процессе обучения задач на непрерывное движение в пространстве, одним из видов которых являются задачи, предусматривающие параллельный перенос или поворот секущей многогранник плоскости - задачи на подвижные сечения, позволяющие формировать умение выполнять перемещение секущей плоскости.

В § 3 формулируются требования к системе стереометрических задач на подвижные сечения многогранников.

1. Требования к содержанию задач.

А. В системе необходимы задачи, которые предусматривают рассмотрение процесса перемещения секущей многогранник плос-

кости (в случае параллельного переноса задается множество векторов, имеющих одно и то же направление и длину, которая варьируется в заданных пределах; в случае поворота задается прямая - ось поворота - и множество углов поворота, варьирующихся от 0° до 180°).

Б. Задачи направлены на формирование видения формы и свойств получающихся сечений, а также динамики изменения сечений, как фигур, содержащих элементы внутренней области многогранников.

В. В задачах предусмотрен выбор одного (иногда более) из получающихся сечений, рассмотрение которого позволяет ответить на поставленный вопрос. Это связано с тем, что рассмотрение подвижных сечений означает рассмотрение серий сечений, в которых остается неизменным вид (или какое-либо свойство) многоугольников, являющихся сечениями. Для обоснования вида и свойств многоугольников из этой серии достаточно выбрать один многоугольник и провести для него необходимые обоснования.

2. Требования к структуре систеш забан.

А. Система состоит из групп задач. Задачи разделены на группы по видам многогранников, секущие плоскости которых рассматриваются; по видам перемещения секущей плоскости (параллельный перенос, поворот); по содержанию изучаемого материала. Последнее связано с возможностью использования задач на подвижные сечения при рассмотрении различных тем курса стереометрии.

Б. Каждая группа содержит задачи, расположенные в порядке возрастания сложности. Сложность задач на подвижные сечения оценивается по количеству и качеству изменений, происходящих с многоугольником, являющимся сечением, в процессе перемещения секущей плоскости. Такими изменениями являются изменения видов и свойств многоугольников, последовательно являющихся сечениями многогранника движущейся секущей плоскостью.

3. Требования к методике использования системы задач.

Основное требование- к методике использования подвижных

сечений связано с реализацией в процессе решения таких задач взаимосвязи образного и логического компонентов мышления с

учетом функций этих видов мышления при решении задач.

A. Процесс решения задач на подвижные сечения основан на высказывании предположений о получающихся сечениях в результате видения пространственной ситуации и последующей логической обработке этих предположений, являющейся средством формирования правильного видения пространственной ситуации, т.е. процесс решения таких задач основан на взаимосвязи образного и логического мышления.

Т.к. подвижные сечения - средство формирования действия перемещения секущей плоскости, то методика базируется на теории поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина), согласно которой в процессе формирования действия могут быть выделены формы действия, характеризующие степень присвоения субъектом действия.при его преобразовании во внутреннее. Поэтому следующими требованиями к методике использования системы задач на подвижные сечения будут:

Б. Обучение, направленное на формирование умения выполнять перемещение секущей плоскости, должно основываться на систематическом получении информации о достигнутой учащимися форме действия (материальной, материализованной, перцептивной или умственной).

B. Взаимодействие учителя и учащихся осуществляется на основе установления соответствия между достигнутой учеником формой действия и уровнем сложности решаемой задачи.

Г. В процессе обучения должна быть обеспечена возможность качественного изменения области поиска решения задачи. Качественные изменения области поиска могут выражаться в изменении характера поиска. Для решения задач на подвижные сечения это может означать изменение условий предъявления задачи (использование каркасной модели, серий рисунков с изображениями сечений в параллельной проекции, изображений многогранников и их сечений в ортогональной проекции, без использования изображений).

Вторая глава раскрывает методику изучения и использования подвижных сечений многогранников при решении стереометрических задач.

В § 4 описывается методика обучения решений задач на подвижные сечения многогранников, которая может быть использована при изучении многогранников в 10-ых классах по учебнику Л.С. Атанасяна и др. (Геометрия 10-11, 1992) в рамках изучения темы "Параллельность прямых и плоскостей".

Выделены три этапа обучения, направленного на формирование умения выполнять перемещение секущей многогранник плоскости. Сформулированы цели каждого этапа и особенности использования на этих этапах задач на подвижные сечения многогранников.

I. Подготовительный. Ознакомление с тетраэдром и параллелепипедом и их различными изображениями. Сечение. Методы построения сечений.

На этом этапе проводится работа по формированию умения строить изображения тетраэдра и параллелепипеда не только в параллельной, но и в ортогональных проекциях, что дает возможность рассматривать многогранник с различных точек зрения, а значит, способствует развитию пространственных представлений учащихся. Происходит более раннее знакомство (по сравнению с предусмотренным программой) с прямоугольным параллелепипедом и кубом, которое служит опорой для развития пространственных представлений школьников, т.к. связано с использованием их личного опыта. Предусмотрена работа по формированию умения изображать сечения при рассмотрении с различных точек зрения, в том числе на ортогональных проекциях. Особую роль в этом играет такое рассмотрение сечения, при котором луч зрения перпендикулярен секущей плоскости, т.к. дает возможность определить вид и свойства сечения. Это способствует формированию видения внутренней области многогранников и развитию пространственных представлений учащихся.

II. Формирование умения выполнять параллельный перенос секущей плоскости.

На этом этапе происходит формирование представлений о подвижном сечении на основе рассмотрения процесса выполнения параллельного переноса секущей плоскости на материальных (каркасных) моделях, на чертежах или сериях чертежей с изображением некоторого количества последовательно получающихся сечений. Осуществляется перенос имеющихся знаний и умений.

связанных с параллельным переносом фигур на плоскости, из курса планиметрии на параллельный перенос в пространстве. Продолжается работа по формированию умения изображать сечения многогранников при рассмотрении этих сечений с различных точек зрения. В процессе решения задач происходит формирование умения выполнять параллельный перенос секущей плоскости с использованием материальных моделей, чертежей (изображений в параллельной и ортогональных проекциях), а затем в умственной форме. При этом обеспечивается достаточный уровень трудности решаемых задач за счет использования задач возрастающего уровня сложности и различных форм предъявления таких задач (решение задачи может быть связано как с построением изображения многогранника и его сечений самими учащимися, так и с использованием готовых чертежей).

III. Формирование умения выполнять поворот секущей плоскости.

Цели и основные особенности этого этапа аналогичны предыдущему.

В рамках выделенных этапов рассмотрены конкретные задачи на подвижные сечения многогранников и методика работы с ними.

В § 5 описывается методика использования подвижных сечений многогранников при решении задач, которая может быть реализована на материале глав "Перпендикулярность прямых и плоскостей", "Многогранники" учебника геометрии. Выделены два этапа обучения, направленного на формирование умения применять подвижные сечения в качестве средства нахождения пути решения задачи, сформулированы цели и особенности каждого из этапов.

I. Формирование умения" использовать подвижные сечения многогранников при решении задач, в которых требуется выполнить перемещение секущей плоскости.

Этот этап характеризуется использованием в обучении задач на подвижные сечения многогранников, в которых предусмотрен выбор сечения, рассмотрение которого даст возможность ответить на вопрос задачи.

II. Формирование умения использовать подвижные сечения многогранников при решении задач, не содержащих требований о

вшолнении перемещения секущей плоскости.

Целью данного этапа является формирование умения использовать подвишне сечения многогранников при выборе нужного сечения для определения элементов внутренней области в процесс решения задач по теме "Многогранники". На этом этапе осуществляется перенос умения выполнять параллельный перенос и поворот плоскости, являющейся секущей для параллелепипеда и тетраэдра, на другие виды многогранников, изучаемых в школьном курсе стереометрии.

В рамках этого этапа показана работа над конкретными задачами, нахождению пути решения которых помогает рассмотрение перемещения секущей плоскости. Примерами таких задач могут служить задачи, в которых требуется построить сечение многогранника, проходящее через данную точку параллельно данным прямым, определить линейный угол двугранного угла и др.

Параграф 6 посвящен описанию проведения и результатов эксперимента. Целю экспериментальной работы, выполненной в ходе исследования являлась проверка выдвинутой гипотезы.

В эксперименте проводилось сравнение результатов решения стереометрических задач в опытных и контрольных классах.

Для обработки результатов эксперимента был использован медианный критерий. Подсчитанное значение медианного критерия дало возможность сделать вывод о том, что с вероятностью 95% и 97,5% можно утверждать, что медиана экспериментальной выборки больше, чем медиана контрольной выборки, т.е. что экспериментальная группа показала лучшие результаты. Это качественно выражается в более высоком уровне сформированное™ видения внутренней области многогранников, а следовательно, более высоком уровне развития пространственных представлений, а также в большей эффективности решения стереометрических задач.

В результате эксперимента было показано:

- подвижные сечения являются средством формирования видения внутренней области многогранников и развития пространственных представлений учащихся, что способствует повышению эффективности решения стереометрических задач;

- сформированное действие перемещения секущей многог-

ранник плоскости может являться средством отыскания пути решения задачи.

Таким образом, в ходе теоретико-экспериментального исследования были решены поставленные задачи и подтверждена рабочая гипотеза.

Основные положения диссертационного исследования отражены в следующих публикациях:

1. Решение стереометрических задач с учетом взаимосвязи образного и логического компонентов мышления //Обучение ' математике и информатике в педагогических классах, лицеях, гимназиях: тезисы сообщений участников научно-практического семинара. - Барнаул: Изд-во БГПУ, 1995,- С.70-71.

2. Система задач как средство косвенного управления умственной деятельностью учащихся в процессе формирования пространственных представлений в курсе стереометрии //Актуальные проблемы преподавания математики в школе и вузе.-Тверь, 1995,- С.153-155.

3. О доступности и уровнях сложности стереометрических задач на подвижные сечения при изучении многогранников // Особенности обучения математике в профильной школе и подготовка учителя к работе в ней. Тезисы докладов на Герценовс-ких чтениях. - СПб: Образование, 1996. - С.38.

4. Использование задач на движение при изучении стереометрии. Методические рекомендации для учителей математики и студентов математических специальностей пединститутов.- Пенза: Изд-во ПГПУ, 1996. - 28 с.