Обучение учащихся предельной аналогии при реализации внутрипредметных связей школьного курса геометрии

Костюченко, Роман Юрьевич

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обучение учащихся предельной аналогии при реализации внутрипредметных связей школьного курса геометрии

Автореферат

Автор научной работы: Костюченко, Роман Юрьевич
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Омск
Год защиты: 2000
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Обучение учащихся предельной аналогии при реализации внутрипредметных связей школьного курса геометрии"

ргз од

О / - « л I

^ .---Л ¿л.)

На правах рукописи

КОСТЮЧЕНКО Роман Юрьевич

ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ АНАЛОГИИ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ

13.00.02 - теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Омск - 2000

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики Омского государственного педагогического университета.

Научный руководитель -

Официальные оппоненты:

Ведущая организация -

доктор педагогических наук, профессор В.А. Далингер.

доктор физико-математических наук, профессор Г. П. Кукин;

кандидат педагогических наук, профессор О.Б. Епишева.

Новосибирский государственный педагогический университет.

Защита диссертации состоится 4 июля 2000 г. в 1500 часов на заседании диссертационного Совета К 064.36.04 в Омском государственном университете по адресу: 644077, г. Омск, пр. Мира, 55а, зал заседаний ученого Совета ОмГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОмГУ. Автореферат разослан 2 июня 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат педагогических наук, доцент

^ ^¿г. я о

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Проблема передачи подрастающему поколению опыта, накопленного человечеством, находится в центре внимания многих исследователей. Она особо актуальна для школьного образования, и в частности школьного математического. Одним из аспектов указанной проблемы является разработка эффективных методов преподавания учебных предметов и обеспечение усвоения их содержания.

Использование в обучении такого метода научного познания, как аналогия, предполагает включенность ученика в процесс добывания знаний и, как следствие этого, более доступное, прочное и осознанное усвоение учебного материала, так как позволяет осуществить мысленный перенос определенной системы знаний, умений и навыков от известного объекта к неизвестному.

Вопрос об аналогии в разных аспектах рассматривали в своих работах отечественные и зарубежные ученые К.Б.Батороев, Г.Д.Балк, Е.А.Беляев, В.Г.Болтянский, С.Ф.Бондарь, В.А.Далингер, А.И.Жохов, А.А.Ивин, Ю.М.Колягин, В.В.Кочагин, Д.Пойа, Г.И.Саранцев, М.Н.Сизова, А.А.Столяр, А.И.Уемов, Л.М.Фридман, Б.З.Хынг, П.М.Эрдниев и др. Но тем не менее до сих пор актуальными являются проблемы, связанные с различной трактовкой понятия аналогии, множественностью ее видов и, как следствие, разными подходами к использованию ее в обучении.

В большинстве работ авторами отмечается положительная роль применения аналогии в обучении, однако в методических руководствах недавнего прошлого (60-е годы) нередко говорилось об ограниченном и осторожном ее применении. Отметим, что такие высказывания направлены скорее не на запрет применения аналогии вообще, а против необоснованных и непроверенных выводов по аналогии. Так, еще АЛ.Хинчин в свое время говорил о борьбе «против необоснованных аналогий» в математике.

Подчеркнем, что аналогия дает возможность получать новые знания. Методы, позволяющие самостоятельно добывать необходимую информацию, сегодня имеют большую актуальность в жизни, поскольку объем знаний, получаемых людьми, значительно больше того, которым в состоянии овладеть один конкретный человек.

Рассматриваемая нами предельная аналогия отвечает стремлениям человека наблюдать и изучать различные предметы и явления в случаях их крайних, предельных состояний. Тот факт, что предельная аналогия является одним из видов аналогии, позволяет применить к разработке

методики ее использования в обучении те же идеи и приемы, которые уже высказывались в методике преподавания математики различными авторами. Однако, в силу своей специфичности, предельная аналогия требует разработки собственной методики преподавания, которая на сегодняшний день отсутствует.

Необходимость использования аналогии в обучении подтверждается также исследованиями психологов. Так, МАХолодная говорит о необходимости таких форм организации учебной информации, которые позволяли бы ребенку мысленно участвовать в процессе рождения нового понятия, пересматривать его содержание по мере углубления представлений о соответствующих математических объектах вплоть до самостоятельного выстраивания нового понятия на базе некоторых исходных понятийных знаний.

Этому во многом способствует логическое строение геометрии: с одной стороны, многие геометрические понятия определяются через другие понятия, с другой стороны, предельные преобразования одних геометрических объектов приводят к образованию других.

Лежащая в основе аналогии возможность переноса свойств планиметрических объектов и отношений между ними на стереометрические и наоборот есть не что иное, как процесс установления связей курсов планиметрии и стереометрии. Вообще при поиске решения задачи или доказательстве теоремы происходит перенос фактов, способов, а иногда одновременно и фактов, и способов решения одних задач на другие. Перенос знаний, то есть их использование в новых условиях, является тем действием, которое позволяет формировать у школьников представление о внутрипредметных связях в геометр™.

В.А.Далингер отмечает, что реализация внутрипредметных связей не может происходить сама по себе, для этого нужна специальная организация как учебного материала, так и самого процесса обучения, направленная на установление этих связей.

ются абсолютно новыми, установление связей внутри геометрии на уровне деятельности с использованием аналогии в научных исследованиях не рассматривалась.

Традиционный подход в обучении геометрии в школе строится на последовательном изучении вопросов планиметрии и стереометрии, абсолютное большинство стереометрических фактов излагается без установления внутрипредметных связей с аналогичными фактами планиметрии. Примером может служить изолированное изложение тем «Треугольник и его свойства» и «Тетраэдр и его свойства», «Окружность, круг и их свойства» и «Сфера, шар и их свойства» и т.д. Все это есть следствие линейного построения курса геометрии.

Как показал наш опыт, целесообразно на основе линейно-концентрической организации курса увязать изучение этих и других тем. Большую роль при этом будут играть аналогии, устанавливающие связь между планиметрическими и стереометрическими объектами.

Таким образом, актуальность нашего исследования обусловлена:

• новыми требованиями общества к развитию личности, способной к активному творческому овладению знаниями;

• недостаточностью знаний учащихся о тех связях между объектами геометрии, которые существуют объективно и которые можно установить посредством аналогии;

• тем, что школьный курс геометрии отражает те логические связи науки геометрии, которые объединяют ее в единое целое;

• выводами психологов, которые отмечают важность предшествующих знаний, умений и навыков в формировании и развитии новых путем включения известных в связи и отношения с неизвестными;

• отсутствием разработанной методики обучения школьников предельной аналогии и отсутствием задачного материала, на котором можно учить их применять предельную аналогию.

Результаты анализа психолого-педагогической и методической литературы, а также наблюдения за процессом обучения позволили определить проблему исследования: разрешение противоречия между необходимостью установления учащимися внутрипредметных связей между объектами геометрии на уровне деятельности по применению аналогии и реально сложившейся практикой обучения, при которой такая реализация связей происходит спонтанно н нецеленаправленно.

Цель исследования: разработка теоретически обоснованной методики обучения учащихся предельной аналогии и использования последней как средства реализации внутрипредметных связей школьного курса геометрии.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в школе.

Предметом исследования являются методические условия, обеспечивающие эффективную учебно-познавательную деятельность учащихся по установлению внутрипредметных связей посредством использования предельной аналогии в процессе обучения геометрии.

Гипотеза исследования: если выявить закономерности установления аналогии между геометрическими объектами и использовать их при обучении учащихся предельной аналогии, то это будет способствовать реализации внутрипредметных связей курса геометрии на уровне видов деятельности, а следовательно, и повышению эффективности обучения, так как мысленный перенос определенной системы знаний, умений и навыков от известного объекта к неизвестному способствует более легкому, прочному и осознанному усвоешпо учебного материала.

Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:

1. Определить содержание понятия «аналогия», выявить ее виды и определить роль и место в изучении геометрии.

2. Выявить психолого-педагогические и дидактико-методические основы реализации внутрипредметных связей в курсе геометрии и определить возможности аналогии как одного из средств их реализации.

3. Проанализировать логико-математические и логико-методические связи между различными объектами курса геометрии, устанавливаемые посредством аналогии.

4. Разработать методику использования предельной аналогии при обучении учащихся стереометрии, которая позволила бы реализовывать внутрипредметные связи курса геометрии и экспериментально проверить ее.

Для решения проблемы и поставленных частных задач нами были использованы методы теоретического анализа и методы экспериментального исследования.

Научная новизна проведенного исследования состоит в том, что предложен новый подход к установлению связей внутри курса геометрии на уровне деятельности с использованием предельной аналогии. Разработана методика, позволяющая строить процесс обучения на основе целенаправленного и систематического использования метода аналогии на материале курса геометрии.

в обучении; 2) выявлены виды аналог™ и способы ее установления между геометрическими объектами: фигурами, величинами, отношениями и задачами; 3) определены требования к системе задач, направленных на реализацию . внутрипредметных связей посредством использования предельной аналогии; 4) установлена связь между умением учащихся пользоваться предельной аналогией и их знаниями о внутрипредметных связях в геометрии.

Практическая значимость исследования состоит в том, что разработана эффективная методика обучения школьников использованию предельной аналогии и система соответствующих упражнений, которая может быть применена учителями в школьном курсе геометрии и преподавателями вузов при формировании у студентов профессиональных методических умений.

Обоснованность и достоверность результатов исследования подтверждаются совпадением выводов теоретического анализа различных научных воззрений на проблему исследования с результатами педагогического эксперимента и статистической обработкой данных.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные теоретические положения и результаты диссертационного исследования были доложены и обсуждены на заседаниях кафедры методики преподавания математики ОмГПУ (Омск, 1998, 1999). Апробация осуществлялась посредством выступлений и публикацией статей на II и III Сибирских методических Чтениях (Омск, 15-20 декабря 1997. 22-27 ноября 1999); участия в научно-практической конференции по проблеме: «Геометрия в школе - реальность и перспектива» (Москва, 17-18 ноября 1998); чтения лекций и проведения семинаров со студентами математического факультета ОмГПУ по теме: «Метод аналогии как средство обучения учащихся стереометрии» (Омск, 1999); докладов школьников на конференциях НОУ «Поиск» по темам, связанным с аналогией. Результаты исследования также отражены в учебном пособии «Метод аналогии как средство реализации внутрипредметных связей при обучении стереометрии» и статье «Предельная аналогия как эффективный метод обучения геометрии», опубликованной в газете «Математика».

Экспериментальная проверка теоретических положений диссертации и их внедрение проводились в 1997-2000 г. в школах №107, №108 и № 125 Ленинского округа г. Омска. В эксперименте также принимали участие студенты математического факультета Омского государственного педагогического университета.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, трех приложений.

Положения, выносимые на защиту:

1. Установление аналогий между геометрическими фигурами, величинами и задачами позволяет проводить логико-математический анализ реализации внутрипредметных связей школьного курса геометрии посредством использования предельной аналогии, а также логико-методический анализ реализации этих связей в процессе обучения.

2. Разработанная методика использования предельной аналогии в обучении геометрии, при которой школьники учатся находить аналогичные геометрические объекты и указывать их свойства, решать задачи, перенося в процесс их решения результаты и способы решения других задач, составлять задачи геометрического содержания, используя уже .ранее составленные, способе! вует развитию у учащихся системы взглядов на планиметрию и стереометрию как на единую науку.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы проблема, цель, объект, предмет, гипотеза и задачи исследования, указаны методы исследования, научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, а также основные положения, которые выносятся на защиту.

Первая глава «Теоретические основы использования метода аналогии в процессе обучения учащихся геометрии» посвящена научному обоснованию использования аналогии в школе на уроках геометрии и возможности использования ее в качестве средства реализации внутри-предметных связей курса геометрии. В ней содержится четыре параграфа.

Анализ философской, математической, психолого-педагогической и методической литературы показал существование нескольких подходов к определению понятия аналогии. Выделим наиболее часто встречающиеся из них: 1) аналогия как понятие, выражающее отношение сходства между различными объектами, системами, явлениями, процессами; 2) аналогия как особая логическая форма умозаключения; 3) аналогия как метод познания.

В соответствии с первым подходом, обобщая приводимые в литературе определения аналогии, можно дать следующее толкование этого понятия: аналогия - сходство в каком-либо отношении между явлениями, предметами, понятиями.

Определение понятия «аналогия» как формы умозаключения в работах разных авторов не имеет особых различий и принимается ими как особый вид умозаключения, который используется наряду с индукцией и дедукцией. Приведем свое толкование понятия аналогии как формы умозаключения, основанное на определении, данным Б.Форгаши: аналогия -умозак-

лючение, при котором из некоторых сходных признаков двух предметов (явлений, процессов) и известного признака одного предмета делается умозаключение о том, что и другой предмет обладает этим сходным признаком.

С логической точки зрения схема умозаключения по аналогии такова:

• пусть объект Л" обладает признаками а, Ь, с, <1;

• пусть объект V обладает аналогичными признаками а', Ъ\ с';

• следовательно, объект У, по всей видимости, будет обладать и признаком с!\ аналогичным признаку с?.

Отметим, что выводы по аналогии всегда лишь вероятны и в некоторых случаях дают даже ложные высказывания, а поэтому их дальнейшее использование возможно только после строгого доказательства.

Аналогия как метод познания выступает в различных качествах: средство решения проблемных ситуаций, учебных задач; способ восприятия и передачи информации; способ осмысления недоступных восприятию человека явлений, процессов, объектов; моделирование как средство предвидения результата и др.

Нетрудно заметить, что отмеченные аспекты использования аналогии как метода познания, имеют место и в процессе обучения. Как отмечает Ю.М.Колягин, это связано с тем, что на уроке учащиеся ставятся в положение первооткрывателей математических истин, и поэтому научные методы математического исследования в то же время служат и методами учебной работы учащихся. Однако отождествлять аналогию как метод научного познания с методом обучения было бы неверно, поскольку обучение включает в себя и методы преподавания, и методы учения.

Следуя подходу И.Я.Лернера, под методом обучения будем понимать способ упорядоченной взаимосвязанной деятельности преподавателя и обучаемых, в ходе которой осуществляется организация и регулирование познавательной и практической деятельностью учащихся.

Под аналогией в обучении геометрии будем понимать такой метод обучения, при котором обоснованно и целенаправленно устанавливаются связи между геометрическими фигурами, величинами и задачами с целью выявления их сходства и различия, обеспечивающего перенос свойств, отношений с одних объектов на другие.

Во втором параграфе рассмотрены и проиллюстрированы примерами различные виды аналогии. В нашей работе ведущим видом является предельная аналогия. Предельная аналогия заключается в том, что предельное преобразование математического объекта приводит к возникновению у него системы свойств, совпадающей с системой свойств какого-либо другого математического объекта.

Поскольку в курсе школьной геометрии мы рассматриваем геометрические фигуры, их свойства и отношения, то при раскрытии понятия предельной аналогии необходимо показать то, что мы понимаем под предельным преобразованием геометрических фигур.

Под предельным преобразованием геометрической, фигуры Р, переводящим ее в фигуру /•"будем понимать такое изменение первоначальной фигуры, при котором в результате замены величин некоторых элементов фигуры F их предельными значениями получаем фигуру ^'. Предельные значения определяются из условия каждой конкретной задачи.

Практика показала, что дать строгое определение предельным преобразованиям геометрических фигур, на основе которого можно было бы однозначно отвечать на вопрос задачи, не представляется возможным. Это связано с тем, что, в зависимости от условия задачи, в результате одних и тех же преобразований мы можем получать различные объекты, а следовательно, и различщле ответы, поэтому в условии каждой задачи мы подробно описываем предельные преобразования.

В математике Е.А.Беляев выделяет три вида предельной аналогии: 1) между исходным объектом и тем же самым объектом, но после применения к нему предельного преобразования; 2) между двумя объектами, но после того, когда над каждым из них было совершено предельное преобразование; 3) между объектом, к которому применено предельное преобразование, и каким-либо другим, неизменным в этом смысле объектом. Как показала "практика, наиболее используемыми при обучении геометрии являются два первых вида предельной аналогии. Особое внимание к предельной аналогии в нашей работе связано с рядом причин:

1. Предельные преобразования вносят в геометрию динамичность, что в свою очередь заставляет анализировать результат (следить за ответом) при различных состояниях исходного объекта, а это положительно сказывается на развитии продуктивного мышления школьников;

2. Мысленное оперирование изменяющимися фигурами и их элементами положительно сказывается на развитии пространственного мышления, а также позволяет развивать интерес учащихся к геометрии.

3. Включение в процесс обучения геометрии задач, которые предполагают использование предельной аналогии, позволяет обучать школьников: а) переносу метода решения одних задач на другие; б) составлять задачи, используя уже ранее составленные. Это в свою очередь обеспечивает реализацию внутрипредметных связей в процессе обучения геометрии.

В геометрии в зависимости от принадлежности рассматриваемых объектов либо к планиметрии, либо к стереометрии нами выделены два

вида аналогии. Аналогию между двумя объектами назовем внутренней, если аналогичные объекты изучаются либо в планиметрии, либо в стереометрии. Если же один из объектов является планиметрическим, а другой — стереометрическим, то аналогию между ними назовем внешней.

В зависимости от рассматриваемых объектов нами выделены четыре вида аналогии в геометрии и описана методика работы с ними: аналогия между фигурами; аналогия между величинами; аналогия между отношениями; аналогия между теоремами, задачами.

Третий параграф посвящен анализу психолого-педагогических и ди-дактико-методических основ реализации внутрипредметных связей курса геометрии.

Под внутрипредмгтными связями мы понимаем всевозможные отношения взаимной зависимости, обусловленности, общности между объектами одного учебного предмета. А под реализацией внутрипредметных связей - использование таких связей в планировании, организации и анализе практики обучения, обеспечивающее формирование у учащихся системности знаний по учебному предмету в единстве с действиями, которые оно вызывает.

Методики, связанные с совершенствованием процесса отбора и конструировать учебного материала, позволяют реализовывать связи на уровне знаний, раскрывая те из них, которые заложены в учебниках и других учебных пособиях. Однако увеличивающийся объем знаний и соответственно изменяющаяся программа школьного курса требуют построения новых методик обучения, повышающих эффективность учебно-познавательной деятельности учащихся за счет установления связей на уровне видов деятельности. И как показал эксперимент, к таким методикам можно отнести систематическое, обоснованное и целенаправленное использование аналогии в обучении школьников геометрии.

Среди основных причин, обуславливающих необходимость реализации внутрипредметных связей в школьном курсе геометрии, мы выделяем следующие: а) многие геометрические понятия определяются через другие геометрические понятия; б) при решении многих планиметрических или стереометрических задач используются те же способы, методы, приемы, результаты решения, что и в других задачах; в) такие требования к качествам знаний учащихся, как их действенность и глубина, систематичность и системность, есть не что иное, как знание о внутрипредметных связях изучаемого предмета; г) психологами отмечается важность предшествующих знаний, умений, навыков в формировании и развитии новых, путем включения известных в связи и отношения с неизвестными.

Реализация внутрипредметных связей будет осуществляться в процессе составления и расширения списков пар (основного и производного) аналогичных объектов планиметрии и стереометрии, причем в создании основного списка ведущая роль принадлежит учителю, а создание производного списка в большей мере определяется деятельностью ученика.

Создавая список пар аналогичных понятий планиметрии и стереометрии, следует поступить так: учитель составляет конечный список пар основных геометрических понятий (назовем его основным); далее для каждой пары основного списка учащиеся под руководством учителя составляют отдельные, не обязательно конечные списки пар геометрических фигур и их свойств, каким-либо образом связанных с основной парой (такие списки назовем производными).

В четвертом параграфе мы проводим анализ логико-математических и логико-методических связей между задачами (теоремами) школьного курса геометрии, устанавливаемых посредством аналогии.

Опираясь на четырехкомпонентную структуру задачи, предложенную Ю.М.Колягиным, мы выделяем аналогичные по структуре задачи, которые можно разделить на две группы: 1) если в основу аналогии положить начальное или конечное состояние задачи, то можно выделить задачи, аналогичные по рассматриваемым в них объектам; 2) если в основу аналогии положить базис решения или само решение задачи, то можно выделить задачи, аналогичные по методу решения.

При выделении задач, аналогичных по рассматриваемым в них объектам, мы в эксперименте установили, что процесс их составления с помощью аналогии доступен не только сильным, но и слабым учащимся. Отметим, что процесс обучения школьников составлению задач не является самоцелью, а имеет дидактическую и методическую направленность: составление задач учащимися помогает им осознать структуру исходной задачи, найти план ее решения, контролировать правильность решения, проверять наличие необходимых и достаточных условий для существования решения и многое другое.

Интересны случаи, когда составленные задачи образуют своеобразные четверки аналогичных задач, связанных попарно внутренней и внешней аналогией. Покажем это на примере. '

Задача А. Вписать в окружность радиуса г прямоугольник, имеющий наибольшую площадь.

Задача В. Вписать в сферу радиуса г правильную четырехугольную призму наибольшего объема.

Задача С. Вписать в окружность радиуса г равнобедренный треуголь-

ник, имеющий наибольшую площадь.

Задача Р. Вписать в сферу радиуса г конус, имеющий наибольший объем.

Видно, что внутренняя аналогия существует между задачами А и С, В и £>, а внешняя - между задачами А и В, С и Б.

Существенным признаком разработанной нами методики обучения учащихся использованию аналогии при изучении стереометрии является обеспечение уровневой дифференциации. Менее подготовленных учащихся целесообразно оставлять на уровне работы лишь с готовыми парами аналогичных задач, более продвинутых учащихся выводить на уровень составления четверок аналогичных задач, а еще для более способных учеников создавать условия, когда они будут дополнять новыми уже составленные ими четверки аналогичных задач. В отношешш последнего проиллюстрируем это на указанной выше четверке задач, дополнив ее задачами Е и Р.

Задача Е. В равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что две смежные вершины прямоугольника лежат на стороне основания треугольника, а две другие принадлежат его боковым сторонам. Каким должен быть прямоугольник, чтобы его площадь была наибольшей?

Задача Г. Найдите отношение высоты правильной четырехугольной призмы к стороне ее основания, если призма имеет наибольший объем и вписана в конус следующим образом: четыре вершины призмы, принадлежащие одной грани, лежат в плоскости основания конуса, а четыре другие вершины принадлежат образующим конуса.

Часто оказывается, что задачи, аналогичные по рассматриваемым в них объектам, аналогичны и по методу решения. Выделение задач аналогичных по методу решения, имеет важное значение, поскольку часто при решении таких задач имеет место перенос метода, приема решения от одной задачи к другой.

При этом выделяют четыре способа переноса, которые характеризуются особенностями сопоставляемых задач и характером отношений между ними. Например, имеем задачу А, метод решения которой мы хотим использовать при решении задачи В, тогда возможны следующие случаи.

1. Переносится метод в том же виде, в каком он был использован в задаче Л.

2. Переносится метод в таком же виде, как и в задаче А, но при этом требуются дополнительные действия с задачей В.

3. Задача В остается без изменения, а метод используют, выполняя с ним дополнительные действия.

4. Выполняются дополнительные действия как над задачей В, так и над ' используемым методом.

Вторая глава «Методика обучения учащихся предельной аналогии при реализации внутрипредметных связей курса геометрии» содержит четыре параграфа, в которых рассматриваются вопросы, связанные с организацией деятельности учителя и учащихся в процессе обучения последних предельной аналогии.

Задачи, связанные с аналогией, должны отвечать требованиям, которые разработаны в дидактико-методической литературе по отношению к любой системе задач. Как и в отношении любого понятия, формирование понятия предельной аналогии должно проходить в три этапа: содержательный, формальный и прикладной. В первом параграфе указаны те требования, которым должна удовлетворять система задач для формирования понятия предельной аналогии на каждом этапе.

В системе задач должны присутствовать такие их пары, в которых один и тот же факт рассматривается со стороны как планиметрии, так стереометрии; необходимы задачи, используя которые, школьники смогут самостоятельно формулировать, а затем решать для плоскостных фактов их пространственные аналоги и наоборот; также необходимы задачи, демонстрирующие, что аналогия может привести и к ложным выводам.

Во втором параграфе мы показали способы нахождения аналогичных фигур геометрии, которые позволяют указывать пары, отмеченные нами как в основном, так и производном списках. Для нахождения аналогичных фигур используется аналогия, связанная: 1) с визуальным сходством фигур; 2) с распределением геометрических фшур на группы; 3) со сходством в определениях фигур; 4) с преобразованием вращения плоскостных фигур; 5) с преобразованиями геометрических фигур (гомотетия, параллельный перенос и др.). Как показала практика, отмеченных способов для организации учебного процесса по составлению списка пар аналогичных понятий планиметрии и стереометрии учителю вполне достаточно.

Приведем основной список пар аналогичных понятий планиметрии и стереометрии, который является конечным и состоит из наиболее часто встречаемых понятий при использовании аналогии в геометрии:

1) треугольник — тетраэдр, конус;

2) окружность (круг) — сфера (шар);

3) угол — двугранный угол, трехгранный угол;

4) плоскость — пространство;

5) многоугольник — многогранник;

6) параллелограмм — параллелепипед;

7) прямоугольник — прямоугольный параллелепипед, цилиндр;

8) квадрат — куб;

9) трапеция — усеченная пирамида, усеченный конус;

10) «-угольник — л-угольная призма, пирамида;

11) векторы двумерные — векторы трехмерные.

Основной список составляется и выписывается на первой странице рабочей тетради, он же играет роль оглавления. Далее составляются производные списки пар аналогичных понятий планиметрии и стереометрии, которые пополняются аналогичными понятиями, а также и аналогичными задачами, свойствами геометрических фигур.

Для того чтобы учить школьников пользоваться предельной аналогией, нужен соответствующий учебный материал. В третьем параграфе предлагаемые с этой целью задачи нами разбиты на три группы: 1) задачи, при решении которых учащиеся знакомятся с предельной аналогией; 2) задачи, в условии которых для предельных преобразований предложены комбинации нескольких геометрических фигур; 3) задачи, содержащие одновременное преобразование геометрической фигуры и аналитического выражения, связанного с этой фигурой.

Многие го задач первой группы должны являться подготовительными, в них необходимо рассматривать предельные преобразования, не представляющие особой трудности, но в то же время их решение формирует у учащихся понятие о предельных преобразованиях геометрических объектов.

Эксперимент показал, что целесообразно рассматривать предельные преобразования геометрических фигур, связанные с преобразованием длин отрезков, площадей фигур, объемов тел, величин углов. Начинать знакомство с предельной аналогией следует на примере планиметрических задач, составляя в дальнейшем их стереометрические аналоги.

Организуя учебную деятельность учащихся при решении первых задач, мы реализуем синтетический метод поиска ответа на вопрос задачи. При этом целесообразно использовать метод эвристической беседы в форме диалога. Поскольку ранее учащиеся сталкивались с задачами, для которых характерны статичные чертежи, то у школьников отсутствует навык построения чертежей к задачам, предусматривающим динамику в их условии, а следовательно, и в чертеже. При выполнении чертежа полезно предложить такое предписание.

1. Изобразить пунктиром исходную фигуру.

2. Обвести сплошной линией те элементы исходной фигуры,- которые при предельном преобразовании не изменяются.

3. Указать стрелками перемещения точек, заданные в задаче.

4. Определить и выделить линией результат предельного преобразования для изменяющихся элементов.

В дальнейшей работе, когда школьники уже будут знакомы с предельными преобразованиями и могут свободно их осуществлять, полезно предлагать задачи, имеющие неоднозначное решение. При этом, подводя итог рассмотрению различных случаев, полезно предложить учащимся самостоятельно изменить условие задачи так, чтобы описанное ими предельное преобразование приводило к единственности ответа. Работу по доопределению условия задачи можно организовать по-разному:

• учитель предлагает варианты, учащиеся принимают их как верные или опровергают;

• ученики вместе с учителем ищут и проверяют возможные варианты;

• школьники сами приводят варианты доопределения, учитель контролирует их правильность;

• одни учащиеся формулируют задачу, а другие проверяют единственность ответа к ней.

В процессе работы, направленной на знакомство учащихся с предельными преобразованиями геометрических фигур, нами предлагались и такие задания, в которых указывалась исходная фигура и фигура, полученная в результате предельного преобразования, которое необходимо описать. Отметим, что в процессе решения задач при описании предельного преобразования полезно указывать не только начальное и конечное состояние объектов, но и их промежуточные значения.

Задачи второй группы отличаются от задач первой группы более сложными преобразованиями, в них, как правило, описываются комбинации нескольких геометрических фигур.

При решении таких задач целесообразно выделять те фигуры и их элементы, которые при осуществлении предельных преобразований не изменяются, и элементы, которые после предельных преобразований изменятся. Для обозначения неизменяющихся объектов мы пользовались терминами "статичные объекты" и "инварианты", соответственно для изменяющихся объектов - терминами "динамичные объекты" и "неременные".

В эксперименте мы учили школьников переносу метода решения одних задач на другие. Для этого на начальном этапе обучения целесообразно для решения предлагать учащимся такие задачи, в которых параллельно формулируется плоскостной и аналогичный ему пространственный факт. По мере осознания школьниками связей между планиметрическими и стереометрическими объектами полезно предлагать им составлять, а затем решать задачи, аналогичные данным. Это будет способствовать не только осознанию школьниками самих задач и методов их решения, но и установлению внутрипредметных связей между фактами планиметрии и стереометрии.

При решении пар задач, в которых один и тот же факт рассматривается со стороны как планиметрии, так и стереометрии, целесообразно использование аналогии. Последовательность решения таких задач может быть различной. Однако, какую бы последовательность мы не выбрали, целесообразно краткую запись решения обеих задач приводить одновременно (для этого мы делили классную доску пополам и на левой ее половине приводили решение одной задачи, а на правой - решение другой задачи).

В том случае, если для решения предлагалась одна задача, мы учили школьников составлять более легкий ее аналог - вспомогательную задачу, а затем метод решения и факты, полученные при ее решении, переносить на исходную задачу.

При составлении вспомогательной задачи необходимо провести анализ исходной задачи с целью выявления рассматриваемых в ней объектов и связей между ними. Затем необходимо перенести отношения, связывающие фигуры в исходной задаче, на. другие аналогичные фигуры. Как правило, если исходная задача является стереометрической и для нее составлена планиметрическая задача, то решение вспомогательной задачи учащиеся находят самостоятельно.

Для нахождения решения исходной стереометрической задачи необходимо, сохраняя "идею" каждого этапа в решении вспомогательной задачи, применить эти этапы для стереометрических аналогов. Однако найденное таким образом решение стереометрической задачи будет получено синтетическим способом, поэтому полезнее провести анализ исходной задачи, используя для этого уже имеющееся решение вспомогательной задачи.

После нахождения решения исходной задачи полезно составлять ее аналоги. Так, при составлении новых задач на базе решенной мы использовали различные способы. Укажем три наиболее часто встречающихся.

1. Замена некоторых геометрических фигур на аналогичные им.

При составлении новых задач на основе исходной учащиеся, как правило, заменяют в ее условии геометрические фигуры на те или иные их аналоги. Одним из путей нахождения таких фигур является использование списка пар аналогичных понятий планиметрии и стереометрии. В тех же случаях, когда учащиеся не использовали такой список для нахождения аналогичных фигур, целесообразно сравнить найденные ими фигуры с имеющимися в списке, а при отсутствии таковых, дополнить сам список. Организовывать деятельность школьников по составлению новых задач на основе исходной следует так же, как это было сделано при составлении вспомогательной задачи.

2. Изменение отношений, которыми связаны фигуры в задаче.

Данный способ наиболее характерен для предельных преобразований. Это связано с тем, что, изменяя предельные значения величин, рассматриваемых в задаче, довольно часто можно получить новую задачу, формулировка условия которой имеет смысл. Учитель предлагает школьникам выделить в условии задачи то предельное значение переменной, стремление к которому приводит к предельному преобразованию геометрических фигур. Далее ставится вопрос о возможности рассмотрения других предельных значений переменной, нежели данного в условии задачи. На первых порах обучения предельным преобразованиям учителю следует самому предлагать такие значения, затем учащиеся могут выделять их самостоятельно.

Если для геометрических фигур, рассматриваемых в задаче, можно указать, какие из них "внешние", а какие "внутренние", то изменение таких отношений на противоположные им также может привести к получе-шпо новых задач.

В условии многих задач указано, какие элементы геометрических фигур не изменяются, а какие изменяются. Тогда замена таких характеристик фигур на противоположные может привести к получению новых задач.

3. Введение числовых данных в условие задачи.

При анализе ответа к решенной задаче необходимо ответить на вопрос о его единственности. Если указанные в условии задачи преобразования приводят к однозначному результату, то можно говорить о составлении новых задач на базе исходной путем введения в ее условие числовых данных. Например, ввести численные значения сторон, углов и т.д. Если же ответ задачи неоднозначен, то целесообразно говорить о введении в ее условие данных, необходимых для конкретизации ответа.

Как показала практика, учащиеся с большим интересом решают и устанавливают связь между парами задач, в которых устанавливаются аналоги плоскостных и пространственных фактов, нежели, когда задачи не связаны между собой. Решение и составление пар аналогичных задач в большей степени способствует осознанию школьниками внутрипредмет-ных связей курса геометрии.

Задачи третьей группы не имеют принципиальных различий с ранее предложенными нами, однако отличаются от последних тем, что в результате одного н того же предельного преобразования, примененного, с одной стороны, к фигуре Р, а с другой - к формуле, отражающей некоторую характеристику фигуры р, получается аналогичная исходной фигура Р' и формула, отражающая характеристику фигуры Р'.

Покажем это на примере.

С одной стороны, можно получить цилиндр, если радиус одного го оснований усеченного конуса устремить к радиусу другого основания.

С другой стороны, в результате такого же предельного преобразования можно получить из формулы, выражающей объем усеченного конуса (к = -ттКг* + л,г, +/•/)> где Г1 и г2 - радиусы оснований усеченного конуса, И - его высота), формулу для нахождения объема цилиндра ( у = жг * ^ , где гик- соответственно радиус и высота цилиндра). Действительно:

« = ,1т + г<г2 + гг)= + ггг2 + гг)~ • 3т1 - яг*к = Уц

В зависимости от уровня развития учеников подход к преобразованию формул может быть различным. Так, например, условие данной задачи можно сформулировать тремя различными способами.

1-й способ. Задано предельное преобразование и указаны элементы, к которым оно применяется (Пример. Найдите формулу объема цилиндра, если известно, что его можно получить из усеченного конуса, увеличивая или уменьшая радиус любого из его оснований.).

2-й способ. Указаны лишь элементы, к которым применяется предельное преобразование (Пример. Найдите предельное преобразование усеченного конуса, которое приводит к преобразованию его в цилиндр.).

3-й способ. Задано лишь предельное преобразование (Пример. Продолжите следующее предложение. Пусть радиус одного из оснований усеченного конуса стремится к радиусу другого основания, тогда ... ).

В приложении к диссертационному исследованию мы приводим пары задач, при решении которых целесообразно использование аналогии.

В четвертом параграфе описываются организация и результаты экспериментальной работы.

На этапе констатирующего эксперимента было определено понятие «аналогия», выявлены виды аналогии, а также логико-математические и логико-методические связи между различными объектами курса геометрии, устанавливаемые посредством аналогии, и подготовлен заданный материал для проведения обучающего эксперимента. В результате поискового эксперимента была выдвинута гипотеза диссертационного исследования. " .

В процессе обучающего эксперимента апробировалась разработанная система упражнений, направленная на обучение школьников использованию предельной аналогии. При этом выявлялись эффективные формы и приемы работы с учащимися с целью формирования у них навыка применять метод аналогии.

С целью подтверждения выдвинутой нами гипотезы и выявления изменений в умственной деятельности учащихся мы воспользовались различными методами статистической обработки результатов эксперимента.

1. Метод сравнения выборочных средних величин предполагает сравнение средних оценок учащихся экспериментальной и контрольной групп, характеризующих их знания о внугрипредметных связях в геометрии.

На начало эксперимента по результатам выполнения контрольной работы (К/р №1) средние значения баллов, набранных учениками обеих групп, соответственно равны х,=8,04 и хк=7,96 (0-14 баллов) и статистически достоверно не отличаются друг от друга. Чтобы показать это, мы воспользовались Меритерием Стьюдента.

По окончании эксперимента учащимся экспериментальной и контрольной групп были предложены для решения задачи (К/р №3, группа заданий С ), направленные на выяснение уровня знаний школьников о внутрипредметных связях в геометрии. Средние значения баллов, набранных учениками дашплх групп, соответственно равны хэ=14,3 и хк=12,0 (0-20 баллов) и уже статистически достоверно отличались друг от друга. Чтобы показать это, мы также воспользовались ¿-критерием Стыодента.

Следовательно, использование разработанной методики обучения учащихся предельной аналогии в геометрии способствует совершенствованию учебного процесса и позволяет развивать у учащихся систему взглядов на планиметрию и стереометрию как на единую науку.

2. Метод ранговой корреляции показывает, каким образом одно явление влияет на другое или связано с ним в своей динамике.

Для нахождения данной статистики учащимся экспериментальной группы были предложены задания, направленные на выяснение уровня их знаний о предельной аналогии и о внутрипредметных связях в геометрии (К/р №3, задания групп Л и С).

Коэффициент ранговой корреляции вычисляется по формуле:

одних и тех же испытуемых в упорядоченных рядах; п - число испытуемых или цифровых данных (рангов) в коррелируемых рядах.

Сравнивая набранные учащимися баллы, мы получили коэффициент ранговой корреляции 0,95. Найденное значение К5 больше соответствующего критического табличного значения (при вероятности допусти. мой ошибки 0,05). Это говорит о том, что между умением пользоваться аналогией и знанием о внутрипредметных связях в геометрии действительно существует высоко статистически достоверная зависимость.

, где d, — разница между рангами показателей

3. Метод сравнения частотных распределений данных (х -критерий) был использован нами, чтобы определить наличие или отсутствие изменений в умственной деятельности школьников, обучавшихся предельной аналогии. Данный метод состоит в том, что сравниваются не абсолютные средние значения некоторых величин до и после эксперимента, а частотные распределения данных.

Результаты выполнения учащимися экспериментальной группы контрольных работ (К/р №1 и К/р №2) до и после эксперимента представлены ниже в виде гистограммы.

Oi 1в,

О до эксперимента Q после эксперимента

1 задание

2 задание

3 задание

4 задание

Полученное нами значение %2=14,39 больше соответствующего табличного значешш «-1=3 степеней свободы, составляющего 11,34 при вероятности допустимой ошибки меньше, чем 1%. Следовательно, экспериментально подтверждаются значимые позитивные изменения в умственной деятельности школьников по применению аналогии, и это мы можем утверждать, допуская ошибку, не превышающую 1%.

Основные результаты и выводы исследования

В процессе исследования полностью подтвердилась основная гипотеза, решены поставленные частные задачи и получены следующие результаты и выводы:

1. На основе анализа научно-методической литературы по теме исследования уточнен категориально-понятийный аппарат, относящийся к процессу использования метода аналогии в обучении геометрии. Нами понятие аналогии определено исходя из трех наиболее значимых аспектов: аналогии как понятия, выражающего отношение сходства между различными объектами; аналогии как формы умозаключения; аналогии как метода познания.

2. Выделены и охарактеризованы различные виды аналогии, описанные в научно-методической литературе; к ним нами добавлены виды аналогии, характерные для геометрии: аналогия внешняя и внутренняя, а также аналогия между фигурами, между величинами, между отношениями, между теоремами, задачами.

В работе особое внимание уделено предельной аналогии. Это связано с тем, что человек стремится исследовать явления и объекты в их крайних, предельных состояниях; использование предельной аналогии вносит в геометрию динамичность; задачи, в которых описываются предельные преобразования, включают и другие виды аналогии.

3. Аналогия имеет большое значение, ибо ее целенаправленное использование в обучении способствует более легкому, прочному и осознанному усвоению школьниками учебного материала, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному.

4. Долгое время реализация внутрипредметных связей разрабатывалась на уровне знаний, что было связано с совершенствованием процесса отбора и структурирования учебного материала. Разработанная нами методика позволяет реализовывать внутрипредметные связи на уровне видов деятельности. Это обусловлено тем, что метод аналогии включает в себя: во-первых, деятельность учащихся под руководством учителя по нахождению аналогичных понятий планиметрии и стереометрии; во-вторых, деятельность учащихся по переносу метода решения одних задач на другие; в-третьих, деятельность учащихся по составлению аналогичных задач.

5. В работе проведен анализ логико-математических и логико-методических связей между различными объектами курса геометрии (геометрические фигуры, величины, отношения и задачи) и показана роль аналогии в процессе их установления. При обучении школьников методу аналогии мы рекомендуем составлять и расширять список пар аналогичных объектов планиметрии и стереометрии.

6. Нами разработана и апробирована методика использования предельной аналогии в обучении геометрии, позволяющая учить школьников находить аналогичные геометрические объекты и указывать их свойства, решать задачи, перенося в процесс их решения результаты и способы решения других задач, составлять задачи геометрического содержания, используя уже ранее составленные.

7. Экспериментальная часть исследования, получившая статистическую обработку, достоверно подтвердила возможность и эффективность предлагаемой нами методики.

Таким образом, поставленные задачи исследования решены в полном объёме.

В процессе работы мы подошли к рассмотрению таких вопросов применения аналогии в обучении, которые могут стать темами дальнейших специальных исследований. Укажем их: аналогия как основа классификации геометрических объектов; предельная аналогия как геометрическая интерпретация бесконечно больших и малых величин; аналогия как средство решения задач, позволяющих применять аффинные преобразования; преобразования геометрических фигур и величин с помощью компьютера; аналогия между векторами двумерных и трехмерных пространств; аналогия как средство реализации межпредметных связей.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Костюченко Р.Ю. Развитие учащихся посредством метода аналогии в процессе обучения их стереометрии // Современные проблемы методики преподавания математики и информатики: Материалы II Сибирских методических Чтений (15-20 декабря 1997 г.) / Под общ. ред. И.К.Жинеренко и З.В.Семеновой. - Омск: ОмГУ, 1997. - С. 102-103.

2. Костюченко Р.Ю. Аналогия как основа для классификации геометрических понятий // Современные проблемы методики преподавания математики и информатики: Материалы III Сибирских методических Чтений (22-27 ноября 1999 г.) / Под общ. ред. И.К.Жинеренко, З.В.Семеновой, Т.А.Ширшовой. - Омск: ОмГУ, 2000. - (В печати).

3. Костюченко Р.Ю. Школьная геометрия - реальность и перспектива: Материалы конференции // Математика. - №7. - 1999. - С. 3.

4. Костюченко Р.Ю. Метод аналогии как средство реализации внут-рипредметных связей при обучении стереометрии: Учебное пособие / Под ред. В.Л.Далингера. - Омск: Издательство ОмГПУ, 1999. - 78 с.

5. Костюченко Р.Ю. Предельная аналогия как эффективный метод обучения геометрии // Математика. - №3. - 2000. - С. 3-9. - (В соавторстве).

Подписано в печать 23.05.00. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,3. Уч.-изд. л. 1,2. Тираж 120 экз. Заказ Ь2061. Отпечатано: Изд-во ОмГПУ. Омск, наб. Тухачевского, 14.

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Костюченко, Роман Юрьевич, 2000 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА АНАЛОГИИ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ГЕОМЕТРИИ

§1. Анализ различных подходов к понятию аналогии в научно-методических исследованиях.

§2. Предельная аналогия, ее роль и место в процессе обучения учащихся геометрии.

§3. Метод аналогии как Средство реализации внутрипредметных связей в школьном курсе геометрии.

§4. Теоретическая модель системы задач, обеспечивающая реализацию внутрипредметных связей посредством метода аналогии.

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ АНАЛОГИИ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ КУРСА ГЕОМЕТРИИ

§1. Требования к системе задач, направленных на обучение учащихся предельной аналогии.

§2. Методика создания основного и производного списка пар аналогичных фигур планиметрии и стереометрии.

§3. Методика обучения учащихся решению задач, которые предполагают использование предельной аналогии.

§4. Организация и результаты экспериментальной работы. 1 3j

Введение диссертации по педагогике, на тему "Обучение учащихся предельной аналогии при реализации внутрипредметных связей школьного курса геометрии"

Проблема передачи подрастающему поколению опыта, накопленного человечеством, находится в центре внимания многих исследователей. Она особо актуальна для школьного образования, и в частности школьного математического. Это связано с тем, что в школе закладываются первоначальные знания основ наук, вырабатываются навыки и умения применять их на практике, формируется научное мировоззрение. Математика же как наука, изучающая величины, количественные отношения и пространственные формы, имеет применение во многих учебных предметах, используется во многих научных областях.

На современном этапе развития школьного образования одним из аспектов указанной проблемы является разработка эффективных методов преподавания учебных предметов и обеспечение усвоения их содержания. Отметим, что она не является новой для теории и практики обучения математике в средней школе. Однако на различных этапах становления школьного математического образования существенно менялись цели и способы ее осуществления.

Если ранее методы обучения главным образом нацеливались на усвоение знаний, умений и навыков, когда большой удельный вес знаний дается в готовом виде учителем без опоры на самостоятельную работу учащихся, то наметившаяся сейчас тенденция гуманизации образования, требующая поставить в центр учебного процесса личность ученика, сделав ее высшей ценностью и смыслом работы школы, предполагает изменение системы методов обучения, идущее за счет сокращения репродуктивных и фронтальных методов и форм. Учитель должен использовать методы и формы обучения, ориентированные на персонифицированную личность ученика, а не на обобщенную ее модель.

Активная позиция человека в процессе овладения знаниями ^ предполагает использование методов научного познания. Их удачное преломление к процессу обучения в школе находится в центре внимания многих исследователей, поскольку обеспечивает активную позицию школьников в учебном процессе и, следовательно, повышает его эффективность и гуманизацию.

Использование в обучении такого метода научного познания, как аналогия, предполагает включенность ученика в процесс добывания знаний и, как следствие этого, более доступное, прочное и осознанное усвоение учебного материала, «так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному» [93, с. 95].

Известно, что дети уже с первых шагов познания мира, а также в процессе учения стихийно пользуются аналогией, и поэтому оп-ф равдано обучение учащихся ее целенаправленному использованию.

Вопрос об аналогии в разных аспектах рассматривали в своих работах отечественные и зарубежные ученые: К.Б.Батороев, Г.Д.Балк, Е.А.Беляев, В.Г.Болтянский, С.Ф.Бондарь, В.А.Далингер, А.И.Жохов, А.А.Ивин, Ю.М.Колягин, В.В.Кочагин, Д.Пойа, Г.И.Саранцев, М.Н.Сизова, А.А.Столяр, А.И.Уемов, Л.М.Фридман, Б.З.Хынг, П.М.Эрдниев и др. Отдельные вопросы об использовании аналогии в обучении поднимаются также в различных публикациях [21, 26, 29, 37 50, 59, 64, 66, 82, 87, 124, 130, 148, 165] и в учебниках по методике преподавания математики [43, 92, 93]. Но тем не менее до сих пор актуальными являются проблемы, связанные с различной трактовкой понятия аналогии, множественностью ее видов и, как следствие, разными подходами к использованию ее в обучении. "* В большинстве работ авторами отмечается положительная роль применения аналогии в обучении, однако, как отмечает А.И.Жохов, в методических руководствах недавнего прошлого (60-е годы) нередко говорилось об ограниченном и осторожном ее применении [46, с. 4]. Отметим, что такие высказывания направлены скорее не на запрет применения аналогии вообще, а против необоснованных и непроверенных выводов по аналогии. Так, еще А.Я.Хинчин в свое время говорил о борьбе «против необоснованных аналогий» в математике [146, с. 22].

Рассматриваемая нами предельная аналогия - один из видов аналогии - отвечает стремлениям человека наблюдать и изучать различные предметы и явления в случаях их крайних, предельных состояний. Так, например, в физике исследуют твердость, упругость, электрическую проводимость тел при высших и низших достижимых температурах, подвергают исследованию самые длинные и самые короткие световые волны. Э.Мах пишет, что, предпринимая опыты такого рода, всегда возможно рассчитывать на плодотворные результаты [87, с. 222].

В математике предельная аналогия возникает в том случае, если предельное преобразование математического объекта приводит к возникновению у него системы свойств, совпадающей с соответствующей системой свойств какого-либо другого математического объекта. В зависимости от того, к каким фигурам применены предельные преобразования, мы рассматриваем два вида предельной аналогии: а) предельная аналогия возникает между исходным объектом и тем же самым объектом, но после применения к нему предельного преобразования; б) предельная аналогия между двумя объектами возникает после того, когда над каждым из них было совершено предельное преобразование.

Тот факт, что предельная аналогия является одним из видов аналогии, позволяет применить к разработке методики ее использования в обучении те же идеи и приемы, которые уже высказывались в методике преподавания математики различными авторами. Однако в силу своей специфичности, предельная аналогия требует разработки собственной методики преподавания, которая на сегодняшний день отсутствует.

Необходимость использования аналогии в обучении подтверждается исследованиями психологов. Так, М.А.Холодная говорит о необходимости таких форм организации учебной информации, которые «позволяли бы ребенку мысленно участвовать в процессе рождения нового понятия, пересматривать его содержание по мере углубления представлений о соответствующих математических объектах вплоть до самостоятельного выстраивания нового понятия на базе некоторых исходных понятийных знаний» [147, с. 329].

Лежащая же в основе аналогии возможность переноса свойств планиметрических объектов и отношений между ними на стереометрические и наоборот есть не что иное, как процесс установления связей курсов планиметрии и стереометрии. Вообще при поиске решения задачи или доказательстве теоремы происходит перенос фактов, способов, а иногда одновременно и фактов, и способов решения одних задач на другие. Перенос же следует рассматривать как активный процесс, который на основе сопоставления, сравнения, анализа изучаемого материала приводит к обобщению переносимых знаний и способов деятельности учащихся. Перенос знаний, то есть их использование в новых условиях, является тем действием, которое позволяет формировать у школьников представления о внутрипредметных связях геометрии и представление о математике как единой науке. 1

Установление внутрипредметных связей школьного курса геометрии становится наиболее актуальной задачей при изучении стереометрии, и это во многом связано с тем, что курс стереометрии является логическим продолжением планиметрического курса и одновременно завершающим этапом при обучении геометрии в школе. на основе целенаправленной реализации внутрипредметных и межпредметных связей посвящены многие исследования [2, 36, 38, 53, 61, 85, 89, 96, 97, 99, 117, 126, 129, 162].

В.А.Далингер отмечает, что реализация внутрипредметных связей не может происходить сама по» себе, для этого нужна специальная организация как учебного материала, так и самого процесса обучения, направленная на установление этих связей. [34, с. 7]. !

Долгое время совершенствование учебного процесса осуществлялось лишь за счет варьирования содержанием учебного материала, а вместе с тем, как показали наши исследования, большие резервы лежат в области разработки новых форм и методов обучения. И хотя проблемы реализации внутрипредметных связей и использования аналогии в обучении не являются абсолютно новыми, установление связей внутри геометрии на уровне деятельности с использованием аналогии в научных исследованиях не рассматривалась. мам совершенствования процесса обучения математике

Однако в школьной практике учителя не уделяют особого внимания обучению учащихся строить и использовать выводы, полученные с помощью метода аналогии. На наш взгляд, это связано с двумя причинами. Во-первых, выводы по аналогии всегда лишь вероятны и в некоторых случаях дают даже ложные высказывания, а поэтому их дальнейшее использование возможно только после строгого доказательства. Во-вторых, действующая школьная программа и учебный материал не позволяют учителю математики в полной мере использовать в своей практике умозаключения по аналогии.

Таким образом, актуальность нашего исследования обусловлена:

• новыми требованиями общества к развитию личности, способной к активному творческому овладению знаниями;

Результаты анализа психолого-педагогической и методической литературы, а также наблюдения за процессом обучения позволили определить проблему исследования: разрешение противоречия между необходимостью установления учащимися внутрипредметных связей между объектами геометрии на уровне деятельности по применению аналогии и реально сложившейся практикрй обучения, при которой такая реализация связей происходит спонтанно и нецеленаправленно.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в школе.

Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:

1. Определить содержание понятия «аналогия», выявить ее виды и определить роль и место в изучении геометрии.

4. Разработать методику использования предельной аналогии при обучении учащихся стереометрии, которая позволила бы реали-зовывать внутрипредметные связи курса геометрии и экспериментально проверить ее.

Для решения проблемы и поставленных частных задач нами были использованы следующие методы исследования:

• анализ психолого-педагогической и методической литературы по теме исследования;

• анализ учебного материала: учебников и рабочих тетрадей, учебных и методических пособий, дидактических материалов, программ по математике;

• анализ организации процесса преподавания математики в практике работы школ: наблюдения за работой учителей и учебно-познавательной деятельностью учащихся при усвоении нового материала, его закреплении и повторении, решении задач, доказательстве теорем и т.д;

• проведение педагогических измерений: анкетирование, опросы учителей и учеников;

• экспериментальная проверка учебно-методических материалов;

• статистическая обработка результатов педагогического эксперимента.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что: 1) показаны различные подходы к понятию аналогии в научно-методических исследованиях и различные ее виды, а также показаны роль и место аналогии в обучении; 2) выявлены виды аналогии и способы ее установления между геометрическими объектами: фигурами, величинами, отношениями и задачами; 3) определены требования к системе задач, направленных на реализацию внутрипредмет-ных связей посредством использования предельной аналогии; 4) установлена связь между умением учащихся пользоваться предельной аналогией и их знаниями о внутрипредметных связях в геометрии.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные теоретические положения и результаты диссертационного исследования были доложены и обсуждены на заседаниях кафедры методики преподавания математики ОмГПУ (Омск, 1998, 1999). Апробация осуществлялась посредством выступлений и публикацией статей на II и III Сибирских методических Чтениях (Омск, 15-20 декабря 1997. 22-27 ноября 1999); участия в научно-практической конференции по проблеме: «Геометрия в школе - реальность и перспектива» (Москва, 17-18 ноября 1998); чтения лекций и проведения семинаров со студентами математического факультета ОмГПУ по теме: «Метод аналогии как средство обучения учащихся стереометрии» (Омск, 1999); докладов школьников на конференциях НОУ «Поиск» по темам, связанным с аналогией. Результаты исследования также отражены в учебном пособии «Метод аналогии как средство реализации внутрипредметных связей при обучении стереометрии» [67] и статье «Предельная аналогия как эффективный метод обучения геометрии» [39].

Экспериментальная проверка теоретических положений диссертации и их внедрение проводились в 1997-2000 г. в школах № 107, №108 и № 125 Ленинского округа г.Омска. В эксперименте также принимали участие студенты математического факультета Омского государственного педагогического университета.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе использованы различные виды аналогии. Но при этом большое внимание уделено предельной аналогии. Это связано с тем, что человек стремится исследовать явления и объекты в их крайних, предельных состояниях; использование предельной аналогии вносит в геометрию динамичность; задачи, в которых описываются предельные преобразования, включают и другие виды аналогии.

Предельная аналогия заключается в том, что предельное преобразование математического объекта приводит к возникновению у него системы свойств, совпадающей с системой свойств какого-либо другого математического объекта.

Это обусловлено тем, что метод аналогии включает в себя: во-первых, деятельность учащихся под руководством учителя по нахождению аналогичных понятий планиметрии и стереометрии; во-вторых, деятельность учащихся по переносу метода решения одних задач на другие; в-третьих, деятельность учащихся по составлению аналогичных задач.

При обучении школьников методу аналогии мы рекомендуем составлять и расширять список пар аналогичных объектов планиметрии и стереометрии. При его создании следует поступить так: учитель составляет конечный список пар основных геометрических понятий (назовем его основным); далее ученики вместе с учителем для каждой пары основного списка составляют отдельные, не обязательно конечные списки пар геометрических фигур и их свойств, каким-либо образом связанных с основной парой (такие списки назовем производными).

6. Нами разработана и апробирована методика использования предельной аналогии в обучении учащихся геометрии, позволяющая учить школьников находить аналогичные геометрические объекты и указывать их свойства, решать задачи, перенося в процесс их решения результаты и способы решения других задач, составлять задачи геометрического содержания, используя уже ранее составленные.

Проведенная статистическая обработка результатов эксперимента показывает, что: а) использование разработанной методики изучения предельной аналогии в геометрии способствует совершенствованию учебного процесса и позволяет развивать у учащихся систему взглядов на планиметрию и стереометрию как единую науку; б) между умением учащихся пользоваться аналогией и их знаниями о внутрипредметных связях в геометрии существует высоко статистически достоверная зависимость; в) подтверждаются значимые позитивные изменения в умственной деятельности школьников по применению аналогии.

Таким образом, поставленные задачи исследования решены в полном объёме.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

4. Костюченко Р.Ю. Метод аналогии как средство реализации внутрипредметных связей при обучении стереометрии: Учебное пособие / Под ред. В.А.Далингера. - Омск: Издательство ОмГПУ, 1999. - 78 с.

5. Костюченко Р.Ю. Предельная аналогия как эффективный метод обучения геометрии // Математика. - №3. - 2000. - С. 3-9. -(В соавторстве В.А.Далингер).

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Костюченко, Роман Юрьевич, Омск

1. Бабанский Ю.К. Методы обучения в современнойЩv общеобразовательной школе. М.: Просвещение, 1985. - 208 с.

2. Байдак В.А. Деятельностный подход в обучении математике в школе: Методические рекомендации для студентов физико-математических факультетов по курсу "Методика преподавания математики". Омск: Изд-во Омского пединститута, 1990. - 38 с.

3. Балл Г.А. О психологическом содержании понятия "задача" // Вопросы психологии. №6. - 1970. - С. 75-86.

4. Балл Г.А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. М.: Педагогика, 1990. - 184 с.

5. Батороев К.Б. Аналогия и модели в познании. Новосибирск, Наука, 1981. - 319 с.

6. Батороев К.Б. Кибернетика и метод аналогий: Учебное пособие.1. А.- М.: Высшая школа, 1974. 104 с.ж

7. Батороев К.Б. Структура и методологическое значение кибернетического моделирования и аналогии / Под ред. И.Б.Новика. Новосибирск, 1970. - 292 с.

8. Беляев Е.А., Киселева Н.А., Перминов В.Я. Некоторые особенности развития математического знания. М.: Изд-во МГУ, 1975. - 112 с.

9. Большая Советская Энциклопедия: В 30 т. Т.23 / Гл. ред. А.М.Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1976. - С. 463-464.

10. И). Брунер Д. Процесс обучения. М.: Педагогика, 1962. - 264 с. 11. Богоявленский Д.Н. Некоторые теоретические вопросы психологии обучения // Вопросы психологии. - № 2. - 1976. -С. 75-82.

11. Болтянский В.Г. Аналогия общность аксиоматики // Советскаяспедагогика. №1. - 1975. - С. 73-82.

12. Болтянский В.Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры. -М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1956. 64 с.Ш

13. Бондарь С.Ф. Дидактические основы применения аналогии на уроке (на материале предметов естественно-математического цикла): дисс. . канд. пед. наук. Киев, 1975. - 178 с. - на укр. яз.

14. Брушлинский А.В. Психология мышления и проблемное обучение. М.: Знание, 1983. - 95 с.

15. Буй Ван Хуэ Составление задач как учебное и диагностическое средство: дисс. . канд. психолог, наук. М., 1978. - 180 с.

16. Буй Зуи Хынг Метод аналогии при обучении решению стереометрических задач в средней школе: дисс. . канд. пед. наук. Санкт-Петербург, 1991. - 164 с.

17. Буй Зуи Хынг Метод аналогии при обучении решению стереометрических задач в средней школе: автореф. дисс. . канд. пед. наук. Санкт-Петербург, 1991. - 17 с.

18. Вилькеев Д.В. О соотношении методов науки и методов школьного обучения (на примере метода объяснения) // Проблемы методов обучения в современной общеобразовательной школе: Сб. статей / Под ред. Ю.К.Бабанского и др. М.: Педагогика, 1980. - С. 40-48.

19. Возрастная и педагогическая психология: Учебное пособие для студентов пед. ин-тов / Под ред. проф. А.В.Петровского. М.: Просвещение, 1973. - 288 с.

20. Воробьев Н.В. Умозаключение по аналогии. М.: Изд-во МГУ, 1963. - 26 с.

21. Гальперин П.Я., Талызина Н.В. Управление познавательной деятельностью учащихся. М.: Педагогика, 1972. - 262 с.

22. Танеев Х.Ж. Теоретические основы развивающего обученияматематике / Урал. гос. пед. ун-т. Екатеринбург, 1997. - 160 с.

23. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1991. - 335 с.

24. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. М.: Просвещение, 1992. -207 с.

25. Гончарук С.И. Аналогия как метод научного познания // Основные принципы и методы научного познания. М.: Высшая школа, 1970. - С. 352-371.

26. Горский Д.П., Ивин А.А., Никифоров А.Л. Краткий словарь по логике. М.: Просвещение, 1991. - 208 с.

27. Глейзер Г.Д. Психолого-математические основы развития пространственных представлений при обучении геометрии // Преподавание геометрии в 9-10 классах / Сост. 3.А.Скопец, Р.А.Хабиб. М.: Просвещение, 1980. - С. 253-269.

28. Готман Э.Г. Применение аналогии в изучении треугольника иVтетраэдра // Развитие учащихся в процессе обучения математике. Нижний-Новгород: Изд-во Нижнегородского пединститута, 1992. - С. 27-36.

29. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях: Непараметрические методы. М.: Педагогика, 1987. - 160 с.

30. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математики. М.: Педагогика, 1987. - 159 с.

31. Гусев В.А., Иванов А.И., Шебалин О.Д. Изучение величин на уроках математики и физики в школе. М.: Просвещение, 1981. - 79 с.

32. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М.: Педагогика,1972. 423 с.

33. Далингер В.А. Внутрипредметные связи в процессе обучения математике: Методические рекомендации для студентов физико-математических факультетов. Омск: Изд-во Омского пединститута, 1988. - 36 с.

34. Далингер В.А. Метод аналогии как средство обучения учащихся стереометрии: Учебное пособие. Омск: Изд-во ОмГПУ, 1997.- 67 с.

35. Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе алгебры: автореф. дисс. . канд. пед. наук. -М., 1981. 21 с.

36. Далингер В.А. Об аналогиях в планиметрии и стереометрии //V

37. Математика в школе. №6. - 1995. - С. 16-21.

38. Далингер В.А. Совершенствование процесса обучения математике на основе целенаправленной реализации внутрипредметных связей / ОмИПКРО Омск, 1993. - 323 с.

39. Далингер В.А., Костюченко Р.Ю. Предельная аналогия как эффективный метод обучения геометрии // Математика. №3. -2000. - С. 3-9.

40. Даль В.И. Толковый словарь живого великорусского языка: В 4 т., Т. 1. М.: Русский язык, 1978. - 699 с.

41. Дидро Д. Собрание сочинений в десяти томах. Т. 7. M.-JL: Изд-во "Художественной литература", 1939. - 416 с.

42. Евклид Начала Евклида. Книги VII-X / Пер. с греч. и коммент. Д.Д. Мордухай-Болтовского. При ред. участии И.Н. Веселовского.- M.-JL: Гостехтеоретиздат, 1949. 512 с.

43. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе: Курс лекций: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. Тобольск: Изд. ТГПИ им. Д.И.Менделеева, 1997. - 191 с.

44. Жизненные планы старшеклассников России // Народное образование. №5. - 1995. - С. 68-76.

45. Жохов A.JI. Методика систематического применения аналогии при формировании математических понятий и умений решать задачи у учащихся восьмилетней школы: автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1979. - 20 с.

46. Жохов A.JI. Методика систематического применения аналогии при формировании математических понятий и умений решать задачи у учащихся восьмилетней школы: дисс. . канд. пед. наук. М., 1978. - 243 с.

47. Задачи в обучении математике: Методические рекомендации для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов и учителей математики средних школ / Сост. В.А.Далингер. Омск: Омский пединститут, 1990. - 43 с.

48. Задачи как цель и как средство обучения математике учащихся средней школы: Межвузовский сборник научных трудов. Л.: Изд-во Ленинградского пединститута, 1981. - С. 125-126.

49. Зейналов Д.С. Аналогия как метод решения геометрическихVзадач // Роль и место задач в обучении математике / Под ред. Ю.М. Колягина. М., 1978. - С. 99-105.

50. Зимняя И.А. Педагогическая психология: Учеб. пособие. -Ростов н/Д.: Изд-во "Феникс", 1997. 480 с.

51. Зорина Л.Я. Системность качество знаний. - М.: Знание, 1976. - 53 с.

52. Иванова Т.А. Аналитические методы решения геометрических ^ задач в школе как средство осуществления в курсе математикивнутрипредметных связей: автореф. дисс. . канд. пед. наук. -М., 1980. 16 с.

53. Ивин А.А. Искусство правильно мыслить: Книга для учащихся старших классов. М.: Просвещение, 1986. - 224 с.

54. Ивин А.А. Строгий мир логики. М.: Педагогика, 1988. - 128 с.

55. Изучение мотивации поведения детей и подростков / Под ред. Л.И.Божович и Л.В.Благонадежиной. М., 1972 - 351 с.

56. Кабанова-Меллер Е.Н. Роль обобщений в переносе // Вопросы психологии. № 2. - 1972. - С. 55-66.

57. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М.: Просвещение, 1968. - 288 с.

58. Каменецкий С.Е. Применение аналогии в курсе физики средней школы: автореф. . канд. пед. наук. М., 1959. - 13 с.

59. Каплан М.З. Дидактические основы учебного исследования как метода обучения: дисс. . канд. пед. наук. Минск, 1985. - 170 с.

60. Кириллов В.К. Реализация внутрипредметных связей в формировании научных понятий у учащихся (на материале предметов естественно-математического цикла): автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1979. - 17 с.

61. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике: Часть 1: Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. -М.: Просвещение, 1977. 110 с.

62. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике: Часть 2: Обучение математике через задачи и обучение решению задач.- М.: Просвещение, 1977. 144 с.

63. Кондаков Н.И. Логика: Пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1954. - 512 с.

64. Кондаков Н.И. Логический словарь / Отв. ред. Д.П.Горский. -М.: Наука, 1971. 656 с.

65. Кондрушенко Е.М. Развитие интуиции на уроках стереометрии // Математика в школе. №5. - 1991. - С. 14-15.

66. Костюченко Р.Ю. Метод аналогии как средство реализации внутрипредметных связей при обучении стереометрии: Учебное пособие / Под ред. В.А.Далингера. Омск: Издательство ОмГПУ, 1999. - 78 с.

67. Кочагин В.В. Методические особенности применения аналогии в систематическом курсе стереометрии: автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1999. - 16 с.

68. Крупич В.И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе: Методические разработки по спецкурсу для слушателей ФПК. М.: Изд-во МГПИ им. В.И.Ленина, 1985. - 117 с.

69. Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. М.: Просвещение, 1976. - С. 174-187.

70. Крыговская А.С. Развитие математической деятельности учащихся и роль задач в этом развитии // Математика в школе. -№ 6. 1966. - С. 19-30.

71. Кудрявцев П.С. История физики, т. II. От Менделеева до открытия квант. М., 1956. - 488 с.

72. Кулюткин Ю.Н. Эвристические методы в структуре решений.1.

73. М.: Педагогика, 1970. 232 с.

74. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Под ред. Е.И. Лященко. М.: Просвещение, 1988. - 223 с.

75. Ланда Л.Н. Умение думать. Как ему учить? М.: Знание, 1975.- 64 с.

76. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Политиздат, 1977. - 304 с.

77. Леонтьев А.Н. Проблемы деятельности в психологии // Вопросы философии. № 9. - 1972. - С. 95-108.

78. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. М.:v1. Педагогика, 1981. 186 с.

79. Лернер И.Я. Качества знаний учащихся. Какими они должны быть? М.: Знание, 1978. - 48 с.

80. Лернер И.Я Процесс обучения и его закономерности. М.: Знание, 1980. - 96 с.

81. Людмилов Д.С. Задачи без числовых данных: Пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1961. - 240 с.

82. Майергойз Д.М. Аналогия в педагогическом процессе //V

83. Математика в школе. №1. - 1947. - С. 60-65.

84. Маркова А.К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте. М.: Просвещение, 1983. - 96 с.

85. Маркова А.К., Матис Т.А., Орлов А.Б. Формирование мотивации учения: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990. -191 с.

86. Маслова Г.Г., Кузнецова Л.В. Внутрипредметные связи в курсеvматематики // Система межпредметных связей по предметам естественно-математического цикла: Сборник научных трудов.- М.: Изд-во НИИ содержания и методов обучения АПН СССР, 1981. С. 113-131.

87. Матюшкин A.M. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М., 1972. - 208 с.

88. Мах Э. Познание и заблуждение. Очерки по психологии исследования. Изд-во С.Скирмунта, - М., 1909. - 471 с.

89. Махмутов М.И. Организация проблемного обучения в школе. -М.: Просвещение, 1977. 240 с.

90. Межпредметные и внутрипредметные связи как резерв повышения эффективности обучения. М.: Изд-во НИИ СиМО АПН СССР, 1975. - 132 с.

91. Метельский Н.В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы . Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. - М.: Изд-во Белорусского госуниверситета, 1982. - 256 с.

92. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы / Под ред. А.Н.Фетисова. М.: Просвещение, 1967. - 270 с.

93. Методика преподавания математики в средней школе. ОбщаяVметодика / Составители: Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. М.: Просвещение, 1985. - 336 с.щ

94. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А.Оганесян, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, В.Я.Саннинский. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1980. - 368 с.

95. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / Сост. В.И.Мишин. М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

96. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Составители: Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин и др. М.: Просвещение, 1977. - 480 с.

97. Муравин К.С. Принцип внутрипредметной связи как средство построения системы упражнений по алгебре в восьмилетней школе: автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1967. - 17 с.

98. Недогарок Г.П. Составление геометрических задач учащимися как средство формирования и развития общих умений решения задач: дисс. . канд. пед. наук. М., 1989. - 191 с.

99. Недошивкин Е.Ф. Внутрипредметные связи при изучении уравнений и неравенств в курсе математики 4-8 классов: автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1989. - 16 с.

100. Немов Р.С. Психология. Учеб. для студентов высш. пед. учеб. заведений. В 3 кн. Кн. 1. Общие основы психологии. 2-е изд. - М.: Просвещение: ВЛАДОС, 1995. - 576 с.

101. Немов Р.С. Психология. Учеб. для студентов высш. пед. учеб. заведений. В 3 кн. Кн. 2. Психология образования. 2-е изд. -М.: Просвещение: ВЛАДОС, 1995. - 496 с.

102. Немов Р.С. Психология. Учеб. для студентов высш. пед. учеб. заведений. В 3 кн. Кн. 3. Экспериментальная педагогическая психология и психодиагностика. 2-е изд. - М.: Просвещение: ВЛАДОС, 1995. - 512 с.

103. Нешков К.И., Семушин А.Д. Функции задач в обучении // Математика в школе. № 3. - 1971. - С. 4-7.

104. Ньютон И. Математические начала натуральной философии.V1. М.: Наука, 1989. 670 с.

105. Общая психология / Под ред. А.В.Петровского. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1976. - 479 с.

106. Ожегов С.И. Словарь русского языка. / Под ред. чл.-корр. АН СССР1. Ч/

107. Н.Ю.Шведовой. 18-е изд., стереотип. - М.: Рус. яз., 1986. - 797 с.

108. Орленко М.И. Решение геометрических задач на построение в средней школе. Минск: Учпедгиз БССР, 1953. - 263 с.

109. Орлов В.В. Обучение решению стереометрических задач. JL: Изд-во Ленинградского ГИУУ, 1991. - 39 с.

110. Особенности обучения и психического развития школьников 13-17 лет / Под ред. И.В.Дубровиной, Б.С.Кругловой. М.: Педагогика, 1988. - 192 с.

111. Педагогика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / Ю.К.Бабанский, В.А.Сластенин, Н.А.Сорокин и др.; Под ред. Ю.К.Бабанского. 2-е изд., доп. и перераб. - М.: Просвещение, 1988.- 479 с.

112. Планирование обязательных результатов обучения математике / Сост. В.В.Фирсов. М.: Просвещение, 1989. - 237 с.

113. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1991. - 384 с.

114. Пойа Д. Как решать задачу. М.: Учпедгиз, 1959. - 208 с.с

115. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975. - 463 с.

116. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука., 1970. - 452 с.

117. Пономарев Я.А. Фазы творческого процесса // Исследование проблем психологии творчества / Под ред. Я.А.Пономарева. -М.: Наука, 1983. С. 3-19.

118. Преемственность в обучении математике: Пособие для учителей / Сост. А.М.Пышкало. М.: Просвещение, 1978. - 239 с.

119. Программы для общеобразовательных учреждений. Математика. М.: Просвещение, 1996. - 193 с.

120. Родионов М.А. Систематизация знаний учащихся в процессе обучения алгебре (7-9 кл.): автореф. дисс. . канд. пед. наук. -М., 1990. 16 с.

121. Рубинштейн С.JI. О мышлении и путях его исследования. М.: Изд. АН СССР, 1958. - 147 с.

122. Рузин Н.К. Задача как цель и средство обучения математике // Математика в школе. № 4. - 1980. - С. 13-15.

123. Самарин Ю.А. Очерки психологии ума: Особенности умственной деятельности школьников. М.: изд-во АПН РСФСР, 1962. - 504 с.

124. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995. - 240 с.

125. Саранцев Г.И., Лунина Л.С. Обучение методу аналогии // Математика в школе. №4. - 1989. - С. 42-26.

126. Сизова М.Н. Преемственность в формировании аналогии при обучении математике в начальных и 5-6 классах средней школы: автореф. дисс. . канд. пед. наук. Саранск, 1999. - 19 с.

127. Скаткин М.Н., Батурина Г.И. Межпредметные связи, их роль и место в процессе обучения // Межпредметные связи в процессе преподавания основ наук в средней школе: Тезисы Всесоюзной конференции, ч. I. М.: Изд-во НИИ ОП АПН СССР, 1973. - С. 18-23.

128. Смирнова И.М. Многогранники и их приложения на факультативных занятиях в средней школе: дисс. . канд. пед. наук. М., 1987. - 178 с.

129. Старченко А.А. Роль аналогии в познании. М.: Высшая школа,v1961. 52 с.

130. Столяр А.А. Методы обучения математике: Учебное пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. и матем. фак. ун-тов. М.: Высшая школа, 1966. - 190 с.

131. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск: Вышэйшая школа, 1974. - 384 с.

132. Страчевский Э.А. Составление задач по математике как средство активизации мыслительной деятельности учащихся 7-10 классов: дисс. . канд. пед. наук. Петрозаводск, 1972. - 183 с.

133. Уемов А.И. Аналогия в практике научного исследования. Изv'истории физико-математических наук. М.: Наука, 1970. - 264 с.

134. Уемов А.И. Аналогия и учебный процесс // Логика и проблемы обучения. М.: Педагогика, 1977. - С. 11-36.

135. Уемов А.И. Логические основы метода моделирования. М.: Мысль, 1971.-312 с.

136. Уемов А.И. О достоверности выводов по аналогии // Философские вопросы современной формальной логики. М.: Наука, 1962. - С. 27-42.

137. Философский словарь / Под ред. И.Т.Фролова. 6-е изд.,Vперераб. и доп. М.: Политиздат, 1991. - 560 с.

138. Философский энциклопедический словарь / Редакторы-v составители: Е.Ф.Губский, Г.В.Кораблева, В.А.Лутченко. М.:1. ИНФРА-М, 1998. 576 с.

139. Форгаши Б. Логика / Под ред. П.С.Попова М.: Изд-во Иностранной литературы, 1959. - 496 с.

140. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977. - 207 с.

141. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

142. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: Пособие для учителей, методистов и педагогических высших учебных заведений. М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 1998. - 224 с.

143. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Пособие для учащихся. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1984. - 175 с.

144. Химия: Справ, материалы: Кн. для учащихся / Под ред. Ю.Д.Третьякова. 2-е изд., перераб. М.: Просвещение, 1989. - 224 с.

145. Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики // Повышение эффективности обучения математике в школе: Кн. для учителя: Из опыта работы / Сост. Г.Д.Глейзер. М.: Просвещение, 1989. - С. 18-37.

146. Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы t/исследования. Томск: Изд-во Том. ун-та., Москва: Изд-во "Барс", 1997. - 392 с.

147. Цукарь А.Я. Использование аналогии в преподавании математики // Математика в школе. №4. - 1981. - С. 22-24.

148. Шамова Т.И., Давыденко Т.М. Управление процессом формирования системы качеств знаний учащихся: Методическое пособие. М.: Изд-во Московского пединститута им. В.И.Ленина, 1990. - 112 с.

149. Шапиро А.Д. Зачем нужно решать задачи?: Кн. для учащихся. -М.: Просвещение, 1996. 96 с.

150. Шапиро С.И. От алгоритмов к суждениям. Эксперименты по обучению элементам математического мышления. - М.: Сов. радио, 1973. - 288 с.

151. Шапоринский С.А. Обучение и научное познание. М.:V1. Педагогика, 1981. 208 с.

152. Шимина А.Н. Логико-гносеологические основы процесса формирования понятий в обучении: Пособие к спецкурсу для студентов пед. ин-тов / Отв. ред. Давыдов В.В. М., 1981. - 75 с.

153. Штофф В.А. Об особенностях модельного эксперимента //V

154. Вопросы философии. №9. - 1963. - С. 40-50.

155. Щукина Г.И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процессе. М.: Просвещение, 1979. - 160 с.

156. Эмпахер А. Сила аналогий / Перевод с польского Ф.Г.Хацянова, под ред. А.В.Шилейко. М.: Мир, 1965. - 154 с.

157. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П.Савин. М.: Педагогика, 1985. - 352 с.

158. Эрдниев П.М. Аналогия в математике. М.: Знание, 1971. - 86 с.

159. Эрдниев П.М. Методика упражнений по математике. изд. 2-е. - М.: Просвещение, 1970. - 319 с.

160. Эрдниев П.М. О технологии творческого обучения математике // Математика в школе. №6. - 1990. - С. 15-19.

161. Эрдниев П.М. Сравнение и обобщение при обученииVматематике. М.: Учпедгиз, 1960. - 152 с.

162. Эрдниев П.М., Эрдниев В.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1986. - 255 с.

163. Яглом И.М., Ашкинузе В.Г. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии: Часть 1: Аффинная геометрия. М.: Учпедгиз, 1962. - 248 с.

164. Якиманская И.С. Знание и мышление школьника. М.: Знание, 1985. - 80 с.

165. Ясиновский Э.А. Задачи, составленные по аналогии с другими задачами // Математика в школе. №1. - 1974. - С. 56-58.