автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Определение целесообразного уровня строгости при проведении обоснований в курсе алгебры и начал анализа

Автореферат диссертации по теме "Определение целесообразного уровня строгости при проведении обоснований в курсе алгебры и начал анализа"

Р Г Б ОД

1 г дьн г-'

российская академия образования институт общеобразовательной: школы

Диссертационный совет К 018.06.04

На правах рукоипсц

ЕРШОВА Александра Алсксеевпа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЕСООБРАЗНОГО УРОВНЯ СТРОГОСТИ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ОБОСНОВАНИЙ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА

Специальность 13.00.02;— методика преподавания математики

автореферат

диссертации па соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва 1994

Работа выполнена в Институте общеобразовательной школы Российской академии образования.

доктор физико-математических наук, профессор Г. В. ДОРОФЕЕВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор С. В. ПЧЕЛИНЦЕВ,

кандидат педагогических наук Г. К. МУРАВИН

Ведущая организация — Орехово-Зуевский государственный педагогический институт.

Защита состоится «.. 1994 г. в ..¿.(2... часов

на заседании диссертационного совета К 018.06.04 по присуждению ученой 'степени кандидата педагогических наук по специальности 13.00.02 — методика преподавания математики в Институте общеобразовательной школы Российской академии образования по адресу: 119903, г. Москва, ул. Погодинская, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Научный руководитель:

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

ЛЕСНЕВСКИЙ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

.....Актуальность темн.Одной из основных целей модернизации

обучения математике .в школе..проводившейся начиная о 50-60-х гг. во всем мире и в 60-70-х годах затронувшей' советскую школу,было, приближение- школьного, курса математики к современному состоянию математической науке1 как по-содержанию, так и по уровню общности, и логической строгости изложения.. .

..... В этот яериод школьная математика строилась на активном

использовании теоретико-множественных понятий.логика построения каадого жз отдельных математических предметов значительно в большей степени, чем ранее,следовала логике построения соответствующей, современной математической .теория.

-------Возникшие.при реформировании-школьного математического-

образования проблемы.весьма существенно.повлияли на традиционные- курен- алгебры и геометрии.однако с особой остротой встали в, преподавании, курса начал математического анадиза»Зтот- цурс для советской щколы бал совершенно новна,несмотря на определенный опыт.его преподавания, в. школах с углубленным изучением математики... В то. же время, накопленный вполне положительный опыт явился,, по-видимому, неправильным.ориентиром для переноса в обычную общеобразовательную школу. ■.'...

Б. соответствии с обидами .тенденциями к.повышению логической, .строгости изложения,лолностыо.адекватяой в данном.случае традициям преподавания математического анализа как раздела так называемой .". высшей математики", обучение началам анализа в школе.проводилоЬь в отрнве от основной цели его. включения в школьный, курс. Этот курс должен был иметь.прежде всего -общекультурную ориентацию и. предусматривал, лишь ознакомление учащихся, с. -существующими в математике методами исследования функций для решения, практических задач.

—. Мезду. тем--авторы программ и учебников ориентировались .— презде-всего на внутренние потребности этого-курса как раздела., математики и практически не учитывали психологических и педагогических аспектов.обучения, в частности, уровня логического мышления учащихся,.недостаточно высокого для его освоения, и объективной;¿сложности математического-материала. ........Новая концепция школьной математики, поставившая в " математике для всех " на первый план развитие учащихся, отводит

курсу начал анализа-место, соответствующее его.значению в математической образовании современного человека.Однако при этом возникают серьезные методические проблемы, связанные с необходимостью не только определить содержание этого курса,но.и найти методические пути для преодоления основного для данного курса внутреннего противоречия мезду.научностью его изложения и доступностью его для учащихся. Разрешение этого противоречия ..с.ос-^ тавляет в настоящей время актуальную проблему как для методики преподавания математики,, так и для школьной практики.

Содержание указанного противоречия концентрируется в. проблеме логической строгости рассувдений, которая, разумеется, имеет общий характер, но в особенности существенна по отношению к.курсу начал математического анализа. Традиционный для советской школы, весьма высокий в сравнении с мировым уровень строгости оказался неэффективным в изучении начал анализа, однако его существенное понижение может как бв вывести этот курс за общепринятые рамки математики, что также яедоцустимо. .. .. Проблема логической строгости рассуждений.естественным образом связана с еще более.общей проблемой доказательства в. школьном курсе математики,является одной из ее основных сторон, В-методике преподавания математики этой более общей проблеме -посвящено много работ: воспитание у учащихся потребности в-доказательствах (Г.Р.Ереслер, Ф.Ф.Притуло, А.Н.Капинасов;и др.^, формирование, у учащихся умения анализировать готовые доказа-т тельства теорем (Я.И.Груденов,-А.И.Мостовой), обучение доказательству теорем (К.О.Ананченко, К.С.Богушевский, М.И.Бурда и др.)...

Однако эти. исследования касавтся, в основном, обучения алгебре и геометрии, но что еще более существенно, центром внимания авторов являются исключительно логические аспекты доказательств, в то время как само понятие доказательства, или говоря более точно, свойство доказательности рассуждений, в частности, его психологические и интуитивные аспекты лдбо затрагивается лишь.в малой степени, либо вообще не затрагивается. Но именно. ... к этому аспекту понятия доказательства и относится уровень логической строгости.

..... Проблема строгости в обучении , математике в школе рассматривалась в фундаментальных.работах В.А.Гончарова, Г.В.Дорофеева, Л.Д.Кудрявцева, М.Клайна, Г.Фрейденталя,однако в этих работах

она фактически лишь обозначилась, и.единственный вывод, который можно сделать на основании этих-исследований .состоит в том, .что никакой школьный математический курс нецелесообразно излагать в виде строгой математической теорш.В более конкретном плане представляет интерес и статья А.И.Медяника (лурнал " № тематика в школе. 1984г.5), где в связи с обучением геометрии вводится понятие учебного уровня строгости.

Таким образом, . .

Проблема исследования определяется противоречием между принципами.научности и доступности при обучении началам математического анализа и состоит в определении целесообразного уровня.строгости-доказательств и определений в этом курсе.

Объект исследования:, процесс обучения началам математического анализа в старших классах гуманитарного направления

средней яжолы-----------------

. Предмет исследования.» вопросы строгости рассуадений е курсе начал-математического анализа.

. -Гипотеза исследования: установление целесообразного уровня, строгости рассуждений,- соответствующего целям изучения эле-, ментов математического анализа в школе.и возможностям учащихся, приведет к повышению эффективности усвоения учащимися курса начал анализа. .

- . Проблема исследования потребовала решения следующих

задач:, .....

. 1. Исследовать основные черты понятия " доказательства " в школьной математике. Проследить в этой связи степень строгос-. ти доказательств, в разных курсах школьной математики. Найти возможности для совершенствования рассуждений, которые выполняются при.доказательствах в курсе начал анализа.

2.Описать понятие " учебного " уровня строгости, разработать и обосновать методические критерии этого уровня.

- 3.Подвергнуть анализу различные подходы к построению курса, математического анализа с точки зрения исследуемой проблемы.

. 4.Выделить методы и приемы изучение понятий и доказательств начал анализа, с учетом критериев учебного уровня строгости.

-. - 5.Экспериментально проверить, существует ли зависимость мевду выбором строгости изложения материала и формированием необходимых зншщй.и умений.

Проблема.цель, задачи исследования обусловили выбор мето-

дов.исследования: изучение к анализ философской, пСЕхолого-пе-дагогической-и. учебной литературы по. исследуемой.проблеме; теоретическое исследование проблемы; изучение опыта, накопленного в практике преподавания начал математического анализа; экспериментальная работа; тестирование учащихся с цельэ выявления достигнутого - ими-уровня усвоения .понятий .математического анализа.

......Научная новизна и теоретическая значимость исследования

состоит, в.выявлении и. обосновании характерных черт учебного уровня строгости; в обосновании необходимости.изменения в понимании строгости математического рассуждения, в частности, лри изложении теоретического материала начал математического анализа,, ............ ............

. Практическая значимость: полученные результаты могут быть. использованы в практике работы школы в рамках действующих программ, а также при совершенствовании школьных учебников и методических- пособий.

На зашту выносятся; .. .......

1. Дидактические требования, к учебному уровню-строгости в курсе начал математического анализа: согласованность., естественность, педагогическая-целесообразность, учет индукции навыков, простота а ясность языка.. -. 2. Типология, утверждений в Бурсе начал математического анализа и-методика.их. введения. - ..........-

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной, работе результатов и выводов обеспечивается опорой на.ре^ зультаты психолого-педагогических, философских.и методических, исследований; теоретическим анализом исследуемой проблемы; ре-зультатами-педагогизеского эксперимента.

Апробация и-внедрение:.результаты исследования докладывались и обсуждались на научно-практических конференциях аспирантов Липецкого педагогического института, на.заседаниях лаборатории обучения, математики НИИ СиМО АПН СССР, .на заседаниях ка-седры алгебры и геометрии Липецкого педагогического института, ка курсах повышения .квалификации.учителей математики Липецкого областного института усовершенствования учителей, методических заседаниях учителей математики Октябрьского района г.Липецка, методическими рекомендациями по изложению тем " Производная " Интеграл. " пользуется учителя ряда школ г. Липецка.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения,

спнска литературы и приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации;. формулируется гипотеза;, определяйтся задачи, и методы исследования;-показывается научная новизна и практическая значимость работы; формулируются положения, выносимые, т защиту.

.....Первая, глава " Теоретические и методологические аспекты

проблемы уровня строгости в процессе обучения математике в средней школе " посвящена анализу понятий доказательства и строгости доказательства, вводится понятие учебного уровня строгости, выявляются н описывается его характеристики. В зависимости от типа рассуждений выделяются и описываются четыре уровня строгости.

Современный эталон строгости математического доказательства вырабатывался не сразу. На примере развития математического анализа в работе показывается, как пио движение к строгости. -Математический анализ, родившийся на базе конкретных геометрических и физических задач, на начальном этапе своего развитая не обладал, достаточно развитой системой понятий, на основе которых могли бы.быть обоснованы.общие алгоритмы. В обосновании дифференциального и интегрального исчисления на первом этапе ша-тематиют ашзралиеь либо на метафизические соображения, либо на геометрическую наглядность.

. . Все эти способы.обоснования были отвергнуты к концу ХУ111 в., когда.представление о математическом доказательстве уточнилось: строгое доказательство не может опираться на. соображения внема-тематического .характера, в,частности, не должно использовать геометрическую очевидность. В XIX в. было выдвинуто требование выявления всех посылок доказательства, даже самых очевидных, обоснование-всех.шагов с точки.зрения принятых определений и принципов логики. Особенную роль здесь сыграла история создания неевклидовых.геометрий. Обращение к анализу внутренней логики математического рассуждения.привела в конце XIX в. к идее полной формализации доказательства.

Из истории преподавания математики в школе известно, что развитие науки всегда, хотя и с большим опазданием, вносит'свои

коррективы в школьное преподавание:, меняется содержание и подходы к изложению, изменяется уровень строгости изложения. С начала .XX столетия в преподавании математики уровень строгости определяется логической необходимостью: всякий шаг доказательства- должен быть логическим следствием одной или нескольких аксиом, или ранее доказанных.теорем. Другими словами, понятие строгости доказательства иа математики-науки переносится практически без всякого, изменения в обучение- во всяком случае в старших,..классах. Однако реализовать. таксе:яоякмание строгости в-обучении привело к возникновению сложных дидактических проблем, и в частности, принцип научности стал противоречить принципу доступности. Логика стала, противоречить педагогике / М.Клайи

.В настоящей работе прослеживается трансформация строгости математического доказательства в различных курсах школьной математики:., началах анализа, геометрии, алгебре.

Система изучения начал математического анализа в школе подвергалось. неоднократным изменениям: менялся, объем, изучаемого, материала, основные подходы к изложению нового материала, набор задач.. В соответствии с этим изменялся уровень строгости .Однако несмотря на все. предпринимавшиеся усилия по совершенствованию преподавания курса начал анализа, этот курс остается одним из наиболее сложных разделов школьной математики. При. этом яракти-. ка-обучения.убедительно показала иллюзорность возможности достаточно строгого изложения этого раздела.

Ери изучении элементов анализа у учащихся возникает ряд трудностей, которые определяются: а / специфическими особенностями математического.анализа, а именно: высокая степень абстрактности основных понятий и их диалектический характер; б / особенностями умственной деятельности: переход к новым по сравнению с элементарной математикой, объектам и формам мышления, осмысле- . яием логической структуры определений формулируемых понятий, доказательств.

. . Стадо очевидным, что все основные понятия математического анализа должны вводиться на.интуитивной основе с привлечением геометрических, графических, физических соображений. Доказательства этого курса прежде всего должны объяснять смысл доказываемого факта,, убеждать в верности результата, а не являться в глазах . учащихся каким-то навязанным сверху ритуалом. Оказалось, исходя

из .принятого понимания строгости математических рассуждений, . ряд утверждений невозможно обосновать убедительным для учащихся, образом. Строгие.доказательства были для учащихся слишком формальными и не проясняли сути дела. Эта ситуация вызвала тенденцию к.пересмотру стандартов строгости рассуждений в этом . курса,, восстановления доверия.-к содержательно-интуитивным методам. доказательств, аппеляция в процессе доказательства к интуитивным соображениям - физическим, графическим, геометрическим - перестала рассматриваться как нарушение строгости математической.

В геометрии интуицию пытались, если не исключить полностью из доказательства, то. уж.во всяком случае скрыть, .замаскировать с.помощью строгой логики', й хотя курс геометрии удается построить в виде дедуктивной системы с четкой структурой, отражающей, логику науки, однако и при таком построении должны.быть полностью учтены принципы дидактики, т.о. должны быть строго-учтены.цели и задачи обучения на данном этапе развития школя, возраст и общеобразовательная подготовка учащихся.

.. . Фактически этого:', к сожалению, не произошло, в .полной мере. Чрезмерная строгость изложения геометрии не только затрудняет, но и существенно меняет акценты: вместо изучения геометрии как предмета, определенным образом описывающего реальный мир,.происходила тренировка учащихся в доказательстве примитивных простейших., фактов. При. .этом-сами факты были для-учащихся совершенно, очевидны, а осознать логическую необходимость их доказательства учащиеся еще не бит готовы..Ученик может проводить доказательства-, на.том уровне, который соответствует его опыту и знаниям. Перевод его на.слишком высокий уровень, может принести вред и его инициативе, творчеству, вызвать внутреннее сопротивление. -. - . Особенности школьного курса алгебры таковы, , что. традиционно этот учебный .предмет представляет собой конгломерат различных-математических дисциплин:, собственно алгебра,.арифметика, аналитическая геометрия и т., п. Доказательства в этом разделе не всегда бывают исчерпывающими, полными. В некоторых случаях... аксиомы, например,, арифметические, на которых базируются доказательства либо не приводятся совсем, либо приводятся неполностью . ..Другими.словами, степень выявлеяности свойств в доказательст вах различна. Число свойств, необходимых для строгого обоснования действий с буквенными и числовыми выражениями довольно ве-

лико, и полное выявление их вряд ли педагогически целесообразно.

.... Б этом курсе сильнее всего выражена операционная, преобразовательная сторона математического символизма, тогда как строгая теория предмета в школьном курсе алгебры не представлена. Это и естественно: курс алгебры не может строиться на тех точных, строго и исключительно логических началах, которые легли в основу современных научных курсов. .

В определении уровня строгости необходимо считаться и с требованиями психологии. С.И.Шохор-Троцкий, выступая на 1-ом. Всероссийском съезде математиков, отмечал, что стремление воз^ действовать-только на. ум и отвлеченное'мышление учащихся обречено на безрезультатность в силу того, что поток психического процесса не ограничивается исключительно одной областью психических переживаний-учащихся, а захватывает все области..

Таким образом, анализировать в доказательствах, и зто особенно относится к курсу начал математического анализа, следует не только логический аспект, но и психологический. Доказательство должно не только формально убеждать'ученика, "но и прояснять, объяснять смысл доказываемого утверждения, правильно" воспитывать интуицию.

Для того чтобы доказательство обладало этими свойствами, необходима взаимодополняемость логических и интуитивных компонентов. Убедительное объяснение факта в курсе.начал анализа далеко не всегда совпадает с формально-логическим доказательством. Процедура такого доказательства не является строго математической и выводит за.пределы математики, вступает в различные области эмпирического, чувственного. Доказательства в обучении, началам анализа.должны быть интуитивно-логическими с. психологической окраской, должны быть отражением двух точек зрения: как результата / в логике, математике /, и как процесса / в психологии /. ......-

. .. Бели принять такое понимание доказательства, то адекватная методическая система обучения в. отношении понятия доказательства должна включать и более.широкую аргументацию, расширяя тем .самым .границы математической строгости. В преподавании речь должна идти не.о полной логической строгости, а о методически необходимом уровне строгости. Этот уровень назван в работе учеб ным. Существенное значение имеет описаний методических крите-

риев этого уровня. К ним мы относим: согласованность, естественность, педагогическую целесообразность, учет индукции навыков, ясность и простоту языка.

Согласованность. Этот критерий означает согласование в определенной мере строгости определений и строгости рассуждений. Уровень логической строгости доказательств зависит, от того, как были определены в нем понятия. Логическая строгость доказа- . тельства индуцируется строгостью определений. Строгость определения коренным образом может изменить методическую ситуацию.

Под педагогической целесообразностью понимается соответствие выбранного уровня строгости возрастным особенностям учащихся. ......

Естественность уровня строгости понимается как соответствие его сформированным на данном этапе математическим представлениям .учащихся.

Ясность и простота языка. Строгость рассуждений связана с.о строгостью, выражения, его на языке. Язык не должен, создавать дополнительных трудностей для восприятия, понимания и усвоения математики. ..'''..

Учет индукции навыков. При выборе способа доказательства необходимо выбрать такой, чтобы была возможность применения структуры подобных рассуждений в ряде ситуаций, в том числе ис-' ходных. Необходимо учитывать и перенос знаний, полученных на более низких ступенях обучения, на более высокие. ....... Выделенные-критерии позволяют обеспечить методически оптимальный. уровень, учитывающий задачи и цели обучения, элементам

математического анализа. .....

— .В зависимости от использования дедуктивных средств, условно можно выделить несколько уровней строгости: нулевой, учебный, дедуктивный, формальный. .

- - .Нулевой уровень - это уровень, когда учащиеся только приступают к. изучению математики. Например, на этом уровне геометрические фигуры только описываются, но не определяются. Понятие числа на первых порах тесно связано с множеством конкретных примеров и операции проводятся непосредственно в множестве предме-. тов. Практические, действия со множеством вещей приводят к.формированию понятия натурального, числа,-операций над ними. Свойства операций устанавливаются индуктивно, исходя из наблюдений отдель-

ных фактов, случаев- На этом уровне применяются индуктивные выводы. Следует также отметить и использование здесь рассуждений, которые можно назвать дедуктивными. Дедуктивные рассувде-ния в основе используют выводы, полученные индуктивным путем.

На каждом этапе обучения можно выделить основной уровень, на котором ведется преподавание, а также элементы соседних уровней. Переход от одного уровня к следующему происходит, постепенно, и в.то же время элементы более высокого уровня появляются до того,.как осущесвляетея переход к этому уровню.

. На втором - учебном уровне роль дедукции возрастает. Если в .5^6 .кл. доминирует еще нулевой уровень, то в 7-11 кл. преобладает второй.

. . Наличие в курсе математики. 5-6 кл. значительного числа общих правил.и определений создает условия для проведения определенных рассуждений. Е большинстве случаев для получения ответа требуется однократное проведение какого-либо заключения, хотя и имеются математические.предложения, где нужный вывод получается с помощью не одного, а ряда умозаключений. В качестве обоснований приводятся рассмотренные ранее свойства, некоторые из них являются по сути аксиомами.

. Рассматривая дедуктивные рассуждения и предложения в курсах алгебры, началах анализа, можно утверждать, что здесь присутствуют и предложения, имеющие .характер .аксиом, и предложен ния, доказательства которых, опираются на другие утверждения г-, -.либо ранее доказанных, либо принятых без доказательств..Можно говорить-, что в этих курсах осуществляется локальное логическое упорядочивание свойств объектов.разной природы: чисел, уравнений,.функций, .производных и. т. д. Изучение свойств раз-, ных объектов проводится в .курсах алгебры, начал математического анализа с разной глубиной .и полнотой.

----В систематических курсах геометрии 7-11 ,кл. уже другой ..

уровень-дедуктивности. Геометрия строится дедуктивно, осуществляется содержательная аксиоматизация теории. Доказательства появляются с;: начала изучения геометрии как метод науки и учебного, предмета. Кавдое новое утверждение рассматривается не. как отдельно взятый факт /.как это имеет место при других способах., построения геометрий /, а как определенное звено, в целой системе. Осуществляется на этом уровне логическое упорядочивание свойств фигур и самих фигур. Этот уровень дедукции применяется

и для изложения математики как .учебного предмета в вузах, ряда разделов математики.. Этот уровень будем называть дедуктивным.

Если на дедуктивном уровне аксиоматизация осуществляется в конкретной, интерпретации,, то на.следующем уровне - формальном, развитие теории идет вне всякой конкретной интерпретации. Происходит отвлечение от конкретной природы объектов, конкретного смысла операций.. Процедура формализованного доказательства тождественна процедуре арифметического вычисления. Этот уровень связан с разделом математики, который занимается обоснованием математики и лопши

. На этих четырех уровнях различна роль интуиции. Движение от первого к четвертому представляет, процесс, восхождения от чувственной интуиции .и переход на интеллектуальную. Если античные математики считали, что доказательство может протекать исключительно в рамках логики, то в настоящее время полагают, что практический процесс доказательства существенно связан с интуицией выходит за сферу формально-логического, т. е. в доказательстве присутствует момент ".психологический

Во второй главе Особенности изложения учебного материала по алгебре и началам анализа с учетом уровня строгости " рассматриваются различные подходы в изложении элементов анализа и выясняется, в какой степени они удовлетворяют методическим критериям уровня строгости..Анализировались.подходы в учебных пособиях разных лет издания под редакцией А.НДолмогорова, Л.С.Понтряги-. на, А.П.Киселева, М.Й.Башакова, подход К.Г.Аракеляна и В.Г.Болтянского

— В учебном пособии М.И.Башмакова в большей мере, чем е"других пособиях, в .проведении рассуждений учитываются возрастные . особенности учащихсяг их представления и уровень математических знаний, неподготовленность их к восприятию логических тонкостей в доказательствах математического анализа, учитывается вопрос связи с курсом физики. .

.. Часть рассуждений в .этом учебнике в .качестве обоснований использует физические представления. Здесь это возможно., так-как производная это скорость, и то ,'что производная вводится- сразу, как функция.на отрезке..Использование.нематематических аргументов в обосновании, т. е. ослабление логических требований к доказательствам-, в данном курсе педагогически целесообразна. Это пособие ориентирует учащихся не на заучивание различных рассуж-

дений,. а-направляет их усилия на должное, осознанное понимание изучаемого материала. . . ..

В §2 главы 2 приводится типология доказательтв в курсе математического анализа. .Школьнве доказательства в разных разделах и внутри одного курса проводятся на разных, уровнях строгости. Они могут быть проведены на одном из трех уровней: нулевом, первом, втором.................... - . .. . - , ..........

-Утверждения, доказательства которых не приводятся, а.только. поясняются геометричеки, графически или поясняются с помощью алгебраических понятий мы. отнес ем к нулевому уровня.-К нему же . отнесем и утверждения, которые явно не формулируются, но используются в изложении теории. Утверждения нулевого уровня позвохч-ют проводить доказательства на первом.и.втором уровнях.

------ Утверждения, в доказательствах которых один,, два или нес-?

колько логических шагов заменены графическими, физическими образами, интуитивными соображениями отнесем к первому уровню. Следует отметить, что образы должны быть адекватны логическим шагам. В соответствии с тем, какой именно образ используется.в доказательстве можно выделить три типа теорем первого уровня.

Утверждения, доказательства которых проводятся на уровне строгости принятым в вузе, отнесем ко второму уровню.

Доказательства первого уровня приводятся ко второму уровню Учителю необходимо иметь в своем.распоряжении доказательства, выполненных на различных уровнях. В зависимости от.профиля, степени подготовленности класса, учебного времени он решает вопрос о том,.доказывать ли данное предложение на.первом или втором уровне,, или оно будет оставлено на нулевом. Иначе .говоря, учятель может варьировать уровень строгости проводимых рассуждений.

. В §3 показана методическая реализация выработанных общих положений на примере изучения тем " Производная ", " Интеграл". При организации процесса обучения следует учитывать одну из рекомендаций психологов.по совершенствованию учебно-воспитательного процесса в 9-11 кл. Она состоит в том,.что для развития абстрактных элементов мыслительной деятельности целесообразно так строить методику обучения предметам естественно-научного цикла, чтобы больше, нежели сегодня, уделять внимание устным формам работы.

. . В уроки по указанным темам включались на разных этапах устные упражнения. В уроки по формированию и усвоению основных

понятий включались такие задания, которые предворяли формальные определения. Введение и рассмотрение основных понятий проходило. на интуитивном уровне, с опорой на соответствующие физические, геометрические,- графические представления. Они служат. внутренней опорой понятий, создают основу для применения знаний на практике. .

... Работа с теоремами содержит, разное количество методических шагов в зависимости от принадлежности теорем к выделенным уровням. .В методическом.плане наибольшую трудность представляют теоремы 1-го уровня. Доказательства их проводятся с большой . опорой, на интуицию,.физические,, графические, геометрические соображения.- Для обепечения понимания у учащихся проводимых рассуждений е устные упражнения включалась подготовительные задания. Каждое такое задание является одним из элементов доказательства. - - Убедительность.в проводимых доказательствах трудно достичь с помощью чересчур длинного доказательства, расчлененного на . множество " элементарных " шагов, поскольку их может быть настолько много,что доказательство перестает быть воспринимаемым учеником. Поэтому, необходимо доказательство разбивать на небольшое, число блоков.разумной длины, что. сделает.его более коротким и доступным для обозрения и понимания. Переход от одного блока к другому или от одного элементарного шага к другому происходит логически, или интуитивно. Такой прием обепечивает учащимся понимание существа доказательства в целом и смысла отдельных шагов.

Умение выделять идею доказательства одним из компонентов сложного умения доказывать теоремы. Выработать и закрепить умение выделять вначале идею доказательства каждого блока помогут специально, подобранные задания. Приведем некоторые из. них: а./выделение общей идеи.-заданного-.блока; б / озаглавливание каждого, блока;, в / самостоятельное-разбиение доказательства на блоки;- г / предложение идеи доказательства известной теоремы или блока теоремы в соответствии с данным рисунком.

Учитывая особенности теорем первого уровня, желательно их веодить.индуктивным[ путем. Тем.самым у учащихся стимулируется формирование, новых понятий на основе имеющихся ранее образов., . переход от. одних чувственных образов к другим„чувственным образам, .от одних понятий к другим понятиям, от понятий к новым чувственным образам. Часть теорем следует вводить и дедуктивным

путем» Методы изложения корректируется в-зависимости от. конкретных условий обучения: наличия времени, подготовленности класса, склонности учителя и т. д.

§4 главы 2 посвящен педагогическому эксперименту. Педагогический .эксперимент проводился с.1987-1991г. и вкзгачал три вида: констатирующий, поисковый, заключительный (обучающий).

....Констатирующий эксперимент проводился в 1987 и 1988г.г. Задачей этого этапа являлась оценка уровня овладения учащимися основными положениями начал математического анализа по действующим в этот период времени учебным пособиям. - . Поисковый эксперимент проводился в 1988/89 уч. году. Его задачами являлись: разработка отдельных приемов обучения элементам математического анализа на основе разработанных критериев,. .предъявляемых.к учебному уровню строгости, корректировка и -предварительная проверка доступности учебных материалов к темам." Производная " Интеграл " с использованием пособия М.И.Башмакова..

Заключительный эксперимент проводился в 1989/90 уч.г./10 кл. 1990/91 уч. г. /11-кн./ в средних школах № 21,24,55,61,65 г.Липецка-. Задачами- этого этапа являлись: проверка доступности ...методической-системы, изложения, и избранных подходов с использованием -пособия-М.Й.Башмакова; выяснение.эффективности -обеспечения-задаваемого программой.уровня.усвоения начал математичес-кого.анализа; оценка возможностей использования разработанного подхода в обучении началам анализа в обычных классах общеобразовательных школ.......

В контрольных классах обучение проводилось в строгом соответствии .е..изложением материала, учебного пособия по алгебре и началам анализа под ред. А.Н.Колмогорова / изд. 1987 г. /

Эффективность проведенной, работы устанавливалась по критерии-качества. и двустороннему.критериюХ(хи-квадрат). Результаты контрольных.работ., зачетов, отсроченных проверочных срезов свидетельствуют об. улучшении качества учащихся экспериментальных классов.. Повышение качества .знаний выражается, в частности, в. .повышении успеваемости в целом, более глубоком понимании изучаемого .материала, более прочном усвоении умений решать типовые

задания.... ... .....

.........Результаты проведанного экспериментального исследования позволяют сделать следующие выводы:

а/'предложенные методические подходы к изложению .тем ' "Производная",. "Интеграл" доступны.для учащихся;, у них повышается интерес к предмету; школьники более активны на уроках, в частности, при выполнении устных упражнений; более внимательны при объяснении нового материала;

б/ реализация методических критериев учебного уровня строгости способствует тому, что знания становятся более осознанными, прочными; .....

в/ выбранный уровень строгости изложения и обучения повышает наглядность при изучении, элементов математического анализа и обеспечивает достаточный, уровень.усвоения основных понятий анализа, позволяющий использовать, эти понятия как инструмент для изучения разнообразных явлений. ■

Основные, результаты диссертационной работы:

......1.Проведеняое исследование подтверждает общее положение; -

обучение математическому анализу в школе не должно являться упрощенным вариантом вузовского пути ни по содержания, ни. по мето-дам-изучения.. Необходимо разрабатывать такие подходы, которые. . .. учитывали психолого-педагогические закономерности обучения школьников ..

2.3 процессе обучения математике в школе необходимо учитывать. интуитивные механизмы мышления и всячески их развивать. В. связи с этим нецелесообразно, увлекаться строго научным изложением предмета и задавать на первоначальных этапах изучения.предмета, высокий уровень дедуктивности.. Даже не совсем строгие, но адекватные интуитивные представления о некоторых понятиях достаточны для успешного овладения математикой. Формальной логики для учащихся в раделе начал анализа недостаточно для проникновения в сущность понятий.и доказательств. Переход на уровень менее формальных доказательств обеспечивает содержательное понимание учащимися .существа математического факта.

3.Понятие доказательства в школьном преподавании должно быть шире логического истолкования этого термина. Око должно быть отражением двух точек зрения:,-как результата / в логике, в математической науке / и как процесса / в психологии /. Такое понимание доказательства приводит к необходимости расширения допустимой в обучении аргументации. В зависимости от аргументации в работе была проведена типология доказательств в курсе матема-

тического. анализа 10-11 - кл., содержащая. три уровня.

4.Для определения, .оптимального уровня строгости при лост-. роении н -отборе, содержания, предмета-и в процессе обучения необходимо учитывать ряд факторов, которые мы.назвали, методическими критериями..К ним мы отнесли:. согласованность, -педагогическую . целесообразность, естественность,.ясность-л-простоту языка, учет индукции -навыков.{.'Экспериментально показано,, что реализация названных критериев в практике обучения помогает, сделать более осознанным усвоение школьниками изучаемого, материала.

5.Оптимальный уровень строгости,- который необходим в.обучении яазван нами " учебным "» Кроме учебного уровня, в работе вводятся и.описываются, нулевой, дедуктивный и формальный уровни.

6.На. основе .результатов-теоретического исследования разработана - конкретная. методика изложения. элементов дифференциального и.интегрального исчисления, с использованием учебного пособия Ю.Башакова.. Разработанная методика-обеспечивает.-формирование вычислительных навыков, и. достаточный, уровень осознанного усвоения основных.понятий, л-доказательств, методов математического анализа, .... Основное содержание диссертации отражено в следующих

публикациях: ...........................

... 1.Этапы формирования и усвоения понятий.//.Тезисы межвузовской конференции молодых учеяых.-Липецк, 1990.-е.35.

- . 2-.Методика изучения, понятия, ."..производная " в Ю кл./Обуче-ние и воспитание..Сб. научных трудов Липецкого пединститута.

- Липецк, 1991.- с.55-100. .......

... З.К проблеме строгости в школьном. 1феподавании.//Тезисы 5-ой межвузовской.конференции молодых ученых,-Липецк, 1991.-с.23

.........4.К вопросу изучения символики, терминологии.в курсе .начал

анализа.,-//Тезисы 5-ой межвузовской конференции молодых.ученых

- Липецк, 1991.- с.22 . .. ..................

. -- 5.0 курсе, элементарной математики в педвузе.//Тезисы докла-. дов.Х Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. Чебоксары,-1992.-С.21/.в.соавторстве /

.....6.Из опыта работы по обучению, математике в профильных.

классах //Тезисы докладов,Х111 Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. - Елабуга, 1994. - с.143 / в соавт./

7.0 спецкурсе " Проблема строгости в- обучении математике" //Тезисы докладов Х111 Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов.-Елабуга, 1994.- с.83 Цуи^—