автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обучение теоретической составляющей курса алгебры и начал анализа на основе целостного подхода

Автореферат диссертации по теме "Обучение теоретической составляющей курса алгебры и начал анализа на основе целостного подхода"

На правах рукописи УДК 373.016:51

СОЛДАЕВА МАРИЯ ВЛАДИМИРОВНА

ОБУЧЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ КУРСА АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА НА ОСНОВЕ ЦЕЛОСТНОГО ПОДХОДА

13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень общего образования)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата педагогических наук

1 4 АВГ 2014

Санкт-Петербург

2014

005551721

005551721

Работа выполнена на кафедре методики обучения математике и информатике федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена»

Научный руководитель:

доктор педагогических наук, профессор кафедры методики обучения математике Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена Подходова Наталья Семеновна Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор, заведующая кафедрой информационных и образовательных технологий федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Смоленский государственный университет» Сенькина Гульжан Ержановна

кандидат педагогических наук, доцент, заместитель начальника управления проектирования образовательных программ федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики». Багаутдинова Алия Шамилевна Ведущая организация:

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Псковский государственный университет»

Защита состоится 18 сентября 2014 года в 11 часов на заседании Совета Д 212.199.03 по защите докторских и кандидатских диссертаций на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Российский государственный педагогический университет им. А.И.Герцена» по адресу: 191186, г. Санкт-Петербург, наб. реки. Мойки, д. 48, корп. 1, ауд. 237.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке имени императрицы Марии Фёдоровны Российского государственного педагогического университета им. А.И.Герцена, 191186, (Санкт-Петербург, наб. реки Мойки, 48, корпус 5) и на официальном сайте ФГБОУ ВПО РГПУ им. А.И. Герцена (http://www.herzen.spb.nx). Автореферат размещен на официальном сайте ФГБОУ ВПО РГПУ им. А.И. Герцена и на сайте ВАК (http://vak2.ed.gov.ru).

Автореферат разослан «14» июля 2014 года. Ученый секретарь Диссертационного

совета, доктор педагогических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Одной из основных целей школьного образования является формирование целостного мировоззрения учащихся, целостной системы знаний, в том числе, и внутри каждого учебного предмета, а также умения применять знания на практике.

Умение применять знания в различных ситуациях, в разных предметных областях является требованием и современного информационного общества, для которого характерны быстрый рост объема информации, и стремительно меняющегося мира в целом. Однако, как показывают результаты нашего исследования и практика работы в школе, ученики, усваивая учебный материал по математике, часто успешно справляются с вычислительными операциями, связанными с понятиями, и при этом не владеют сутью понятий, не связывают между собой различные их смыслы. Такая разобщенность знаний, отсутствие связи между различными смыслами понятий не только не позволяет сформировать целостную систему знаний, но и является основной причиной неспособности учащихся к практическому применению математических знаний как в окружающем мире, так и при изучении других предметов.

Причинами неспособности учащихся к практическому применению математических знаний является формальная подача знаний, невыявление связи с окружающим миром, отсутствие мотивации. В результате ученик запоминает полученную информацию, но не всегда ее понимает, и, поэтому, не применяет. Такое положение привело к необходимости разработки новых требований к образованию, которые легли в основу федерального государственного образовательного стандарта второго поколения для средних общеобразовательных школ (ФГОС). Во ФГОС второго поколения прописаны как предметные результаты освоения учебных предметов, ориентированные на формирование целостных представлений о мире и общей культуре обучающихся, путем освоения систематических научных знаний и способов действий на метапредметной основе, так и метапредметные результаты, ориентированные на формирование ¡/елосптого мировоззрения. Достижение таких результатов обучения формирует у учащихся способность восприятия объекта (явления, предмета) в его целостности, в его сущности, в совокупности всех его связей и отношений, в том числе с окружающим миром, с другими предметами. Но объект может быть задан разными формами представления информации, поэтому ученику для целостного восприятия информации необходимо владеть разными способами представления учебного материала, и уметь переходил, сгг одного способа представления к другому. Так, I ыпример, выделяют следующие способы представления ш формации:

- словесный (информация представлена на естественном языке - формулировка заданий, задач и пр.);

- символьный (информация записана средствами алгебраического языка -формулы, цепочки рассуждений и пр.). В дальнейшем, так как в математике используются знаки, мы будем называть этот способ «знаково-символьный»;

- образно-графический (информация представлена с помощью визуально-пространственных характеристик - графики, схемы, рисунки, чертежи, диаграммы, таблицы и пр.);

- тактильно-кинестетический (информация представляется через чувственные ш гечах; 1спия с домш п 1рова1 тем такп пы юосязшелы 1ых ощущений) (МА. Холодная).

Все вышесказанное подтверждает необходимость реализации целостного подхода к обучению. Термин «целостный подход» часто встречается в философской и психолого-педагогической литературе (Е.А. Марковская, Н.В. Маслова, С.Г. Башаева,

Ю.Н. Солонин и др.), но, несмотря на это, четкое определение данного понятия отсутствует.

Для того, чтобы определить понятие «целостный подход» применительно к обучению математике, необходимо выделить специфику данного учебного предмета. Математика, и алгебра в частности, оперирует идеальными объектами, требующими сформированности абстрактного мышления. Математический язык относится к формальным языкам, он выражен знаками, которые иногда называют символами. И именно при обучении алгебре в школе ставится задача овладения символьным (знаково-символьным) языком, имеющим высокий уровень абстрактности. При обучении алгебре и началам анализа многие понятия даются в столь абстрактной и обобщенной форме («производная», «непрерывная функция», «интеграл»), что главная трудность состоит в умении установить связь с реальным миром, увидеть за математическими понятиями множество конкретных образов, обобщением которых они являются. К тому же, курс алгебры и начал анализа является завершающим в процессе обучения математике, и именно поэтому он должен взять на себя функции формирования целостного мировоззрения учащихся, целостной системы знаний.

Анализ научно-педагогической, методической литературы, результатов международных исследований позволил выделить ряд противоречий между:

- процессами интеграции в науке и построением процесса обучения па основе «изолированности» друг от друга учеб! ых предметов и изучаемых на них научных гоняшй;

- способностью учеников, осваивающих учебный материал по математике, успешно справляжя с вычислительными операциями, связанными с понятиями, и неспособностью учащихся к практическому применению математических знаний и умений как в окружающем мире, так и при шучении других гредмегов;

- предмепшми результатами обучения, прописанными во ФГОС (формирование целостна представлений о мире), и результатами, полученными при обучении математике в рамках преобладающей в настоящее время в школе методике обучения, для которой характерно отсутствие систематической работы по установлению связи межау различными смыслами поняли, изучаемых в различных учебных предметах и в рамках предмета математики.

Таким образом, возникает необходимость разработки методики обучения математике в старшей школе на основе целостного подхода.

Вопрос о реализации целостного подхода к формированию теоретической составляющей базового курса алгебры и начал анализа в методике обучения математике рассматривается впервые.

Все вышесказанное определяет актуальность темы исследования, направленного на построение процесса обучения курсу алгебре и начал анализа на основе целостного подхода.

Проблема диссертационного исследования заключается в поиске путей и средств реализации целостного подхода к обучению базового курса алгебры и начал анализа.

Объектам исследования выступает процесс обучения алгебре и началам анализа

Курс математики включает теоретический и задачный материал. Задачный материал, в свою очередь, базируется на теории. Поэтому теоретический материал играет определяющую роль в курсе математики. Теоретическая составляющая базового курса алгебры и начал анализа включает основные теоретические компоненты - понятия, утверждения и их доказательства.

Предметом исследования является методика обучения теоретической составляющей курса алгебры и начал анализа на основе целостного подхода.

Цель исследования - разработка методики обучения теоретической составляющей курса алгебры и начал анализа на основе целостного подхода.

Одной из основных задач обучения является обеспечение понимания изучаемого материала. Алгебра, как школьный предмет, имеет свою специфику, связанную с проблемой понимания, а именно - использование преимущественно знаково-символьного способа представления информации, который вызываеттрудносгиу учащихся.

В психологии термин «понятие» у человека рассматривается как многоуровневая иерархическая организованная структура, включающая образы разной степени обобщенности, а, значит, формирование понятия в сознании человека предполагает формирование образов (объема понятия) и существенных свойств (содержание понятия) (Л.М. Веккер). При этом первичность образов и выделение существенных свойств тих основе самими учащимися даег более высокие результаты при усвоении учебного материала, как соответствующие психологическим заки юмерностям понятия в сознаши человека

Понимание в процессе обучения алгебре включает две взаимосвязанные составляющие:

1. Понимание рассматривается как процесс включения алгебраических знаний в субъектный опыт ученика.

2. Понимание предполагает владение разными образами (значениями) алгебраических понятий, отраженными в объеме понятия, и постижение разных смыслов алгебраических понятий, отраженных в содержании алгебраического понятия; а также установление связей между ними(НС.Подходова, ДА Филиппова).

В соответствии с первой составляющей процесса понимания в ходе обучения предполагается работа с субъектным опытом учащегося. Излагаемая на определенном уровне строгости система математических знаний требует приспособления ученика к задаваемому уровню абстракции, что может вступить в противоречие с его субъектным опытом. И.С. Якиманская считает, что «далеко не все понятия, организованные в систему по всем правилам логики, усваиваются учащимися, а только те, которые входят в состав их личного опыта». Это делает необходимым включение субъектного опыта ученика в процесс изучения алгебры и начал анализа в 10-11 классах и его постоянное соотнесение с отраженным в учебниках общественно-историческим опытом. В рамках данного исследования под субъектным опытом, вслед за И.С. Якиманской, мы будем понимать «принадлежащий конкретному ученику жизненный опыт, включающий различные формы и способы деятельности, источниками которого являются биография ученика (влияние семьи, национальной, социокультурной принадлежности), результаты его повседневной жизнедеятельности, взаимоотношений с миром вещей и людей, итоги обучения, в том числе и специально организованного».

Согласно второй составляющей процесса достижения понимания предполагается работа с различными характеристиками понятия - имя, смысл, значение. Понятие является основным теоретическим компонентом, причем оно является базой для усвоения других теоретических компонентов, в том числе и теорем. Поэтому при изучении алгебры, как и любого другого учебного предмета, в первую очередь, необходимо создавать условия для реализации целостного подхода к формированию понятия.

Каждое научное понятие объединяет в себе множество объектов (значение этого понятия) и существенные свойства, присущие всем элементам этого множества (содержание понятия). К тому же, характеристики понятия могут быть представлены различными способами, но обязательно во взаимосвязи.

Таким образом, умение устанавливать связи между характеристиками понятия, представленными различными способами, а также включение этих характеристик в субъектный опыт ученика, фактически характеризует достижение учащимися понимания сути понятия и формирование у них целостного представления о понятии.

Гипотеза исследования:

Если обучение теоретической составляющей базового курса «Алгебра и начала анализа» построить на основе целостного подхода, то это будет способствовать:

1) формированию целостного представления о понятии;

2) повышению уровня усвоения учебного материала;

3) развитию целостного мышления на уроках алгебры и начал анализа.

Для достижения поставленной цели и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо решить следующие задачи исследования:

- описать особенности целостного подхода к обучению курса алгебры и начал анализа;

- раскрыть суп. реализации целостного подхода к формированию математических noi кгий;

- раскрыл, суп. реализации целостного подхода три работе с теоремой и ее доказательством;

- охарактеризовать процесс формирования целостного представления о понятии при обучении курса алгебры и начал анализа;

- разработать типологию математических задач, направленных на формирование целостного представления о математическом понятии;

- выделить уровни сформированное™ целостного представления о понятии при обучении курсу алгебры и начал анализа;

- обосновать необходимость разработки целостного подхода к обучению теоретической составляющей курса алгебры и начал анализа;

- на основе выделенных требований и этапов разработать методику обучения частным видам функциональных зависимостей в основной и старшей школе;

- осуществить экспериментальную проверку разработанной методики.

При решении поставленных задач нами использовалась следующая методологическая основа исследования:

- философское учение о целостности мира и его отражение в сознании человека, в частности, триединство логической структуры понятия - имя, смысл, значение (Г. Фреге);

- психологические теории о значении субъектного опыта (JI.C. Выготский,

A.К. Осницкий, O.K. Тихомиров, И.С. Якиманская) и теоретические разработки в области формирования понятий в сознании человека, методики формирования понятий (JI.M. Веккер, JI.C. Выготский, H.A. Менчинская, Е.И. Лященко, Н.С. Подходова) при формировании целостного представления о понятии;

- комплекс педагогических подходов к осуществлению образовательной деятельности как условие формирования целостной картины мира (JI.C. Выготский, C.JI. Рубинштейн, Д.Б. Эльконин, А.Н. Леонтьев, И.В. Блауберг, Э.Г. Юдин,

B.А. Сластенин, И.С. Якиманская, Н.Л. Стефанова и др.).

Для решения поставленных задач и проверки гипотезы использовался комплекс взаимоуточняющих и взаимодополняющих методов исследования:

- научно-теоретические: теоретический анализ научной литературы по философии, педагогике, возрастной и педагогической психологии, математики и методике ее преподавания, нормативных и программно-методических документов по проблеме исследования; изучение и анализ педагогического опыта отечественного и зарубежного математического образования;

- диагностические: различные виды опросов, тестирования, проведение когпршшых работ;

- экспериментальные: констатирующий, поисковый и обучающий эксперимент;

- математические методы обработки результатов исследования, их системный и качественный анализ.

Кроме этого, в ходе исследования учитывался собственный опыт преподавания математики в средней школе.

Основные этапы н организация исследования.

Исследование проводилось на кафедре методики обучения математике в РГПУ им А.И. Герцена с 2009 по 2013 годы и включало три этапа.

1 этап (2009-2010 гг.) — поисково-теоретический. Изучение и анализ отечественной и зарубежной философской, психолого-педагогической, учебно-методической литературы по проблеме исследования. Выбор темы исследования и обоснование её актуальности. Выбор методологических основ и методов исследования. Проведение констатирующего эксперимента. Полученные данные позволили определить проблему, цель, предмет и объект исследования, выдвинуть гипотезу и задачи исследования, наметить план экспериментальной работы.

2 этап (2010-2012 гг.) — опытно-экспериментальный. Продолжалось изучение методической и психолого-педагогической литературы по теме исследования. Была сформулирована концепция целостного подхода к обучению математике учащихся, на ее основе разработана методика работы с понятием и утверждением на основе целостного подхода. На этом же этапе был проведен поисковый эксперимент, для которого были разработаны учебные материалы по темам курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов и методика работы с ними. Также была выполнена разработка и реализация программы формирующего этапа эксперимента, направленного на проверку выдвинутой гипотезы исследования.

3 этап (2012—2013 гг.) — аналитико-обобщающий. Проведены формирующий и контрольный эксперименты, направленные на проверку разработанной методики в процессе обучения алгебре. Осуществлен сбор, количественная и качественная обработка полученных данных. Были сформулированы общие выводы и заключения по проведенному исследованию.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Процесс обучения курсу «Алгебра и начала анализа» целесообразно строить на основе целостного подхода. Это обусловлено необходимостью формирования целостного мировоззрения учащихся, целостной системы знаний, в том числе и внутри каждого учебного предмета, а такжеумения применять знания на практике. Но как показывают практика работы в школе и результаты нашего исследования, ученики зачастую не владеют сутью понятий, не связывают различные смыслы понятий, что является основной причиной неспособности учащихся к практическому применению математических знаний и умений в окружающем мире и при изучении других предметов. Поэтому любой учебный предмет, в том числе и математика, должен изучаться таким образом, чтобы ученики воспринимали его в целостности, во взаимосвязи всех компонентов, теоретического и задачного материала. Организация таких связей возможна при всестороннем рассмотрении изучаемого объекта, организации связей объектов и их частей, как внутри математики, так и во взаимодействии различных дисциплин. Обеспечить такую организацию возможно на основе целосп юге подхода к процессу обучения математике.

2. Суть целостного подхода к обучению математике раскрывается во взаимосвязи философского, психолого-педагогического и генетического аспектов.

7

В рамках философского аспекта целостность достигается за счет установления связей между щя/етшвиым пространством (то, которое ученик воспринимает своими органами чувств),решыя>п/ (в котором отражены свойства и опюшення предметов и явлений обьекшвной реальности) и различными кящептуспьныш пространствами (те, когерые состоят щ абстрактных моделей и структур, изучаемых в рамках учебных предметов).

Целостность в психолого-педагогическом аспекте обеспечивается учетом в процессе обучения субъектного опыта учащихся, а так же специфики внелогического и логического мышления (Б.В. Раушенбах). Учет психологических особенностей разных учащихся позволит создать условия для развития целостного мышления, которое психологи видят в активизации образных и логических компонентов мышления и рассматривают как один из важнейших психологических ресурсов, оказывающих существенное влияние на успешность учебной деятельности школьника (A.B. Брушлинский, О.М. Железнякова, В.П. Зинченко, Н.В. Маслова, И.В. Смоквина и др.).

В рамках генетического аспекта целостность достигается при учете особенностей формирования понятия, как в истории науки, так и в сознании человека (МЛВеккер).

3. Любая наука представляет собой систему понятий, а, значит, понятие является основным элементом содержания материала, изучаемого на уроках, в том числе и на уроках математики. Одно и то же понятие может иметь разные смыслы, как в различных учебных дисциплинах, так и в рамках одного учебного предмета. Реализация целостного подхода к обучению математике предполагает формирование целостного представления о понятии, которое характеризуется умением устанавливать связи между именами, смыслами и значениями этого понятия, представленными разными способами (словесный, символьный, образно-графический, тактильно-кинестетический). Также необходимо учитывать особенности формирования понятий в сознании человека и их связи с субъектным опытом учащихся, субъективными смыслами понятия. Поэтому при обучении курсу «Алгебра и начала анализа» на основе целостного подхода необходимо отслеживать факт включения полученных знаний в субъектный опыт учеников.

4. Обучение алгебре и началам анализа на основе целостного подхода требует включения в учебный материал не только заданий на выявление смыслов понятия и его значений, но и заданий на установление связи между ними, представленными разными способами. Основным средством формирования целостного представления о поняли являются запачи В качестве основы тапалоти задач, направленных на формирование целостного представления о поняли, нами были выделены следующие:

- характеристики поняли (имя, смысл, значение), представленные в тексте задачи;

— связи, устанавливаемые между характеристиками понятия («имя - значение», «имя - смысл», «смысл - значение», «имя - значение - смысл»), с учетом способа их представления, и специфики характеристик понятия, отраженных в субъектном опыте ученика.

5. Целостное представление о поняли может бьпь сформировано на трех разработанных нами уровнях, которые должны осваиваться учащимися последовательно:

Уровень 1. Ученик умеет связывать имя понятия как с его значением, так и с его смыслом, представленными одним (не обязательно одинаковым для различных понятий) способом.

Уровень 2. Ученик способен связывал, между собой любые две характеристики пошпия, при этом умеет переводить характеристики поняли из одаэш способа представления в другой.

Уровень 3. Ученик способен устанавливать связи между всеми характеристиками понятия, представленными различными способами, в различных концептуальных пространствах, в том числе и с субъективными смыслами понятия.

В процессе обучения ученик последовательно проходит эти уровни.

6. Методика работы с математическими понятиями и теоремами должна строиться на основе разработанных требований к учебному материалу, которые являются основой реализации целостного подхода. Эти требования включают группы требований к этапам урока и задачному материалу.

7. Обучение теоретической составляющей курса «Алгебра и начала анализа» на основе целостного подхода способствует формированию целостного представления о математическом понятии, повышению уровня усвоения учебного материала, развитию целостного мышления на уроках алгебры и начал анализа.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

- раскрыта суть целостного подхода к обучению математике;

- описан процесс реализации целостного подхода к обучению курса «Алгебра и начала анализа»;

- выделены требования к учебному материалу, направленному на реализацию целостного подхода к обучению курса «Алгебра и начала анализа»;

-разработана типология математических задач, направленных на формирование целостного предсгааля ПШ0П01СТШИ в курсе алгебры и I ичал анализа;

- описаны уровни сформированное™ целостного представления о понятии в курсе алгебры и начал анализа;

- описана специфика работы с понятиями и утверждениями в условиях реализации целостного подхода к обучению курса «Алгебры и начал анализа».

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что:

—обосноващ целесообразность использования целоспюго подхода к обучетвпо математике;

- выдела и специфика цеяосп юго подхода при обучении курсу алгебры и начал анализа;

- разработана трактовка целостного представления о понятии;

- обоснована необходимость формирования целостного представления о математическом понятии;

-выделены основы типологии математических задач, направленных на формирование целоспюго представления о понятии в курсе алгебры и начат анализа;

- раскрыто содержание этапов формирования математических понятий и этапов работы с теоремой на основе целостного подхода к обучению математике;

- выделены уровни сформированное™ целостного представления о понятии;

- обоснована последовательность работы с задачами, направленными на формирование целостного представления о понятии.

Практическая значимость исследования состоит в:

- разработке методики формирования целостного представления о понятии на уроках алгебры и начал анализа;

-разработке учебного материала, который можно использовать для обучения теоретической составляющей курса алгебры и I ичал анализа на основе целостного подхода;

-возможности применения основных аспектов реализации целостного подхода не только к математическим понятиям, но и к понял шм других учебных дисциплин.

Рекомендации по использованию результатов диссертационного исследования: разработанная методика и учебный материал могут бьпь использованы учителями математики общеобразовательных школ в процессе работы, результаты исследования могут бьпь

использованы преподавателям! педагогических вузов три подготовке учшелей математики, а также в системах повышения квалификации учителей математики

Обоснованность и достоверность полученных выводов основывается на анализе научной литературы по проблеме исследования; проведении констатирующего и формирующего экспериментов, в которых участвовали 256 учащихся из городов Санкт-Петербург, Архангельск, Бокситогорск; применении методов исследования, адекватных предмету, целям, задачам исследования; апробацией результатов в процессеопытной работы в школах.

Апробация результатов исследования: основные теоретические и практические положения исследования докладывались на конференции Герценовские чтения (2009,2010,2012 гх), конференции «Мегамегодика как перспективное направление предметных методик» (2010, 2011 гп), Всероссийсиэй к^чно-практчеснэй конференции (г Барнаул), международной конференции «Традиции и инновации в современном образовании и воспитании: детский сад, шкала, Архангельск, 2013). на методологических и паучт го-мсгод! мсских семинарах кафедры мещдики обучения математике РГПУ им. АЛ Герцена.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав (6 параграфов),' заключения, библиографического списка и трёх приложений. Содержательная часть диссертации иллюстрирована 7 таблицами, 4 схемами, 12 рисунками, 3 диаграммами.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулированы проблема, цель и задачи исследования, гипотеза и положения, выносимые на защиту, раскрыты научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, выделены методы и этапы исследования.

Первая глава «Теоретические основы целостного подхода к обучению математике» состоит из трех параграфов.

Приведённый в первом параграфе теоретический анализ литературы и результаты констатирующего эксперимента позволили обосновать необходимость разработки целостного подхода к обучению математике с целью формирования целостной системы знаний у учащихся и раскрыть его суть.

В процессе обучения математике, в силу специфики предмета, существует уклон в логическую составляющую обучения, в частности, формирование математических понятий происходит на основе логического подхода. Данный подход не учитывает специфику формирования понятия в сознании человека, и специфику внелогического стиля мышления (Б.В. Раушенбах). Хотя среди учащихся, изучающих математику на базовом уровне, встречаются учащиеся с логическим и внелогическим стилями мышления.

Само понятие «целостный подход» опирается на понятие «целостность». Проведенный анализ литературы позволил нам во всем разнообразии взглядов на принцип целостности выделить следующие аспекты: философский, психолого-педагогический, генетический (кратко описаны выше).

Во втором параграфе диссертации рассматривается специфика реализации целостного подхода к обучению математике в старшей школе во взаимосвязи философского, психолого-педагогического и генетического аспектов.

Философский аспект целостного подхода раскрывается на основе исследований в философии образования. В философии образования выделяют три вида пространств -реальное, концептуальное и перцептивное. Реальное (окружающее нас), ¡«ищептуалыюе (физическое, геометрическое, и пр., в которых «работают» разные

науки), перцептивное (воспринимаемое человеком через органы чувств). Ученик познает реальное пространство, изучая разные учебные предметы. Каждый из них знакомит его с концептуальным пространством, имеющим свой понятийный аппарат. В свою очередь, это знакомство происходит через перцептивное пространство, которое связано с субъектным опытом ученика.

Целостность в философском аспекте обеспечивается:

1) учетом связей между тремя видами пространств;

2) учетом межпредмелных связей, то есть учетом связей между концептуальными пространствами. В процессе обую и и учетж нередко встречается с поняшями, полное представление о которых невозможно патучшъ на уроках какой-либо одной дисциплины (например, такие поняли как функция, система, модель и пр.), поэтому необходимо организовать изучение таких поняшй во взаимосвязи различных учебных дисциплин;

3) целостностью относительно формирования понятий и утверждений внутри концептуальных пространств. Основной задачей обучения является знакомство ученика с реальным пространством через изучение концептуальных пространств (каждое из которых имеет свой понятийный аппарат) в их взаимосвязи (схема 1). У ребенка уже имеются представления о реальном пространстве и эти представления носят личностный характер и часто далеки от объективной оценки. Обучение должно помочь учащимся максимально приблизить собственное перцептивное пространство к реальному через работу в концептуальных пространствах.

При работе в концептуальных пространствах ученик любые знания соотносит со своим собственным перцептивным пространством, то есть с уже имеющимися представлениями о мире. Перцептивное пространство, отражая свою реальную основу, не может полностью ей соответствовать и носит субъективный характер.

В этом случае задача учителя состоит в том, чтобы организовать связь новой информации с перцептивным пространством ученика, так как именно это пространство играет значимую роль в познании учеником реального мира.

В гшшхюго-гкдагогьмескаи аспекте целостного подхода к обучению целостность достигается учетом специфики фор.\пцэования знаний в сознании учащихся. В процессе обучения ученик любую информацию пропускает через свой субъектный опыт (Якиманская ИС.), к тому же восприятие и обработка информации учащимися зависит от стиля мышления ученика. Поэтому в процессе обучения математике необходимо учитывать субьекшый опыт (СО) учащихся и их стиль мышления. Стиль мышления опре/еляется приоритетной акпшизанией мыслительных компонентов полушарий головного мозга (образных или логических). Учтпывая специфику разных стилей мышления, целесообразно оргшвоовалъ процесс обучения математике учацдкея старших классов на основе целостного подхода, при реализации которого задействованы оба полушария головного мозга. Необходимо учитывать не только специфику мышления учащихся, но и их СО, поэтому процеос обучения необходимо оргэдяшвывать да основе связи обществешо-исгоршеского опыта и СО ученика Учет СО учеюжа будет способствовать формированию целостного представления об объективной дейсшпельности и создашпо условий для использования знаний на пракшке.

Подача учебной информации должна происходить не посредством формальной передачи знаний, ученика необходимо «провести» через открытие определенного понятия, такая организация знакомства с вводимым понятием отражает один из аспектов генетического подхода к обучению математике. В генетическом аспекте целостность достигается при учете особенностей формирования понятия в сознании ученика, с учетом этимологии слова, и развития понятия в процессе образования и истории, что способствует формированию личностных универсальных учебных действий (УУД).

В третьем параграфе диссертации раскрыта специфика целостного подхода к обучению при работе с теоретической составляющей курса «Алгебра и начала анализа». Теоретические компоненты курса «Алгебра и начала анализа» включают понятия и утверждения.

Схема 1 - Реализация философского аспекта целостного подхода к обучению

Каждое понятие объединяет в себе множество объектов (объем этого понятия) и существенные свойства, присущие всем элементам этого множества (содержание понятия). Связь всех трех характеристик понятая (имя, смысл, значение) в рамках логического подхода может быть представлена с помощью логического треугольника Г. Фреге. Одно и то же понятие может иметь не один смысл и (или) не одно значение, в этом случае треугольник Фреге преобразуется в серию треугольников, появляются дополнительные вершины для казвдой из характеристик, в том числе и из субъектного опыта учащихся, при этом все характеристики связаны между собой, (рис. /.).

Связи между смыслами понятия используются при введении теоретического материала, при решении задач. В зависимости от специфики задачи, ученику в процессе решения может потребоваться актуализировать любой смысл понятия и в любом способе представления. Кроме объективных смыслов, отраженных в концептуальных пространствах, для учащихся многие понятия имеют субъективные смыслы, которые носят личностный характер и зачастую далеки от объективности. Любая научная информация превращается в знание, если она приобретает личностный смысл, а для этого она должна быть согласована с уже имеющимися индивидуальными ценностями, установками. При этом далеко не любые понятия,

организованные в систему (даже по теоретическому принципу, по всем правилам логики), усваиваются учащимися, а только те, которые вошли в состав их субъектного (личностно-значимого) опыта (И.С. Якиманская).

Рисунок 1 Связь характеристик понятия

Умения устанавливать связи между различными характеристиками поняли, представленными разными споообами, характеризуют г/етоагиюе rqxdcmaeiemte о понятии. Формирование целостного представлен 1Я о поняли является основной задачей реализации целостного подхода к обучению теорепиеской составляющей математики

Познание целого означает нахождение не только его компонентов, но и их внутренних взаимосвязей, определяющих его особенности (IIB. Вгауберг). Следовательно, для формирования целостной системы знаний учащихся необходимо не только формировать целостное представление о поняли, но и взаимосвязи между понятиями Именно отношения между поняшями отражены в тесремах и их доказательствах.

В учебниках по алгебре и началам анализа имеется достаточно много утверждений, большинство из которых представлены как «свойство», «следствие», «правило», но все они являются с точки зрения математики теоремами. Для понимания доказательства теоремы недостаточно просто запомнить цепочки силлогизмов. Часто ученик, знающий каждый силлогизм в отдельности, не в состоянии понять все доказательство (А. Пуанкаре). Запоминание и понимание доказательства требует создания целостного образа, в котором связи отражены симультанно. Использование образа при доказательстве теоремы изменяет его функцию в обучении с демонстрационной на опорную.

Опытный учитель математики рассматривает текст доказательства теоремы в учебнике в качестве основы методики изучения доказательства. Он перестраивает текст учебника так, чтобы процесс доказательства был приближен к естественному направлению его поиска, то есть указывает путь поиска идеи доказательства теоремы. Вслед за М.Г. Макарченко под «идеей доказательства теоремы» мы будем понимать «основу обобщенного способа действия или сам способ, который:

• опирается на теорепнсский факт (определенный учебником, либо выводимый, либо априорно допущенный, но явно не сформулированный в учебнике);

• характеризуется глобальным и (или) локальным направлением хода (или изучения по тексту) доказательства данной теоремы от ее заключения к условию».

В методическом исследовании М.Г. Макарченко все идеи школьного курса математики условно разделены на группы: 1) предметные; 2) метрические; 3) логические; 4) теоретико-множественные.

Реализация целостного подхода при работе с доказательством теоремы требует организации дополнительной работы, направленной на создание образа теоремы и выявление идеи доказательства теоремы.

В процессе исследования были выделены требованш к учебному материалу курса «Алгебра и начала анализа», построенному на основе целостного подхода к обучению математике:

1) в рамках реализации философского аспекта целостного подхода к обучению математике:

- при изучении учебного материала необходимо устанавливать связи между различными смыслами одного и того же математического понятия, как внутри предмета, так и с другими учебными предметами (реализуются связи различных концептуальных пространств);

- должна быть установлена связь между всеми характеристиками математического понятия;

- должна быть организована специальная работа с объемом понятия, предшествующая работе с содержанием понятия, и направленная на формирование достаточного количества образов адекватных понятию (согласно трактовке понятия, данной Л.М.Веккером);

2) в рамках реализации психолого-педагогического аспекта целостного подхода к обучению математике:

- знакомство с новым материалом должно осуществляться на основе выявленного субъектного опыта учащихся;

- учебная информация и задания должны быть представлены различными способами (словесным, символьным, образно-графическим, такгилы ю-кинестетическим);

- примеры и задачи должны учитывать специфику как логического, так и внелогического стилей мышления, то есть учащимся должны предлагаться задачи, имеющие как образную, так и аналитическую стратегии решения;

-образы понятий, используемые при обучении, должны выполнять опорную функцию, а не только демо1Клраццонную, то есть то возможности знакомство с новым материалом должно осуществляться от образов понятий к аналитическому определимо (особенно доя учащихся с преобладающим внелогическим стилем мышления);

- должна быть организована работа, направленная на создание образа теоремы;

- должна быть организована работа, направленная на выделение (поиск) идеи доказательства теорем;

3) в рамках реализации генетического аспекта целостного подхода к обучению математике:

- учебный материал должен «подводить» учащихся к открытию понятия, например, через организацию проблемной ситуации, работу с этимологией понятий и с учетом субъектного опыта учащихся;

- подача теоретических компонентов материала должна осуществляться с учетом их генезиса с привлечением исторического материала.

В данном параграфе также представлен анализ школьных учебников курса «Алгебра и начала анализа». Цель анализа - выявить, реализуется ли целостный подход к обучению математике, а значит, выполняются ли выделенные требования к учебному материалу в школьных учебниках. Был проведён анализ школьных учебников алгебры и начал математического анализа (10-11 класс) базового уровня следующих авторов, входящих в федеральный перечень учебников, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных убеждениях, на 2012/2013 учебный год: Алимова ША, Башмакова МИ, Бутузова В.Ф, Мордковича АХ".

Проведённый анализ школьных учебников показал, что предъявление учебного материала организуется преимущественно на основе логического подхода. Чаще авторы учебников организуют связь математического концептуального пространства

с физическим. При изложении нового материала указывается на возможность использования понятия «Производная функции» при решении задач из школьного курса физики. Более подробно подобные примеры рассмотрены в учебнике Башмакова М.И. Например, демонстрируется, как производная используется при нахождении таких физических характеристик, как сила, импульс, кинетическая энергия. Разъясняется суть понятия дифференциала: «дифференциалом функции называют произведение производной на приращение аргумента». Рассказывается, как с помощью дифференциала можно найти заряд, работу, массу тонкого стержня, теплоту. При нахождении производной в учебнике Алимова Ш.А. можно встретить формулировку «найти линейную скорость объекта», «кинетическую энергию», «линейную плотность стержня».

Таким образом, можно сделать вывод, что связь с концептуальными пространствами организована частично. При введении понятий, в анализируемых нами учебниках, авторы рассматривают выполнение типовых заданий, при этом не выявляется и не используется субъектный опыт учеников.

В силу приоритета логического подхода к подаче учебного материала в учебниках не учитывается специфика образного мышления при выборе способа представления информации. Наиболее часто в школьных учебниках алгебры и начал анализа встречается символьный и словесный способы представления информации. Фактически нет задач, в которых присутствуют одновременно символьный, словесный и образный способы представления информации. Большое количество информации, представленной символьным способом, создает сложности для учащихся при изучении учебного материала, особенно для учащихся с преобладающим образным стилем мышления, так как их мысли «выстраиваются в виде образов, с нечеткими взаимными связями, с перетеканием одного образа в другой» (Б.В. Раушенбах). При этом образы, используемые в тексте учебника, выполняют вспомогательную функцию при объяснении материала, используются лишь для наглядности, то есть знакомство с новым материалом осуществляется по аналитическому пути. Образы не используются и при работе с доказательством теорем. Доказательство теорем чаще всего приводится «под звездочкой», то есть является не обязательным для рассмотрения и изучения. Работа, направленная на поиск идеи доказательства или построение образа доказательства, отражающих целостный подход к обучению и теорем, в анализируемых нами учебниках не осуществляется.

В школьных учебниках не организуется систематическая работа, направленная на установление связей между характеристиками математических понятий, что является основным условием понимания. Результаты такого предъявления учебного материала проявились в ходе нашего констатирующего эксперимента. Ученикам и учителям предлагалось изобразить секущую и касательную к некоторым линиям, в том числе и прямой, и к графикам различных функций, в том числе, и линейной. Шесть различных вариантов ответов для одного и того же задания с прямой и графиком линейной функции дали учителя, еще больше - ученики. Многие секущую к прямой изобразили пересекающей ее линией, что отвечает их субъектному опыту, при этом объясняли, что касательной нет. Аналогичные ответы были даны и для графика линейной функции. И это при том, что производную линейной функции они вычисляют правильно, и она, по их мнению, существует. Такое отсутствие связи между различными смыслами понятия объясняется: 1) отсутствием систематической работы, направленной на установление связей между характеристиками понятия; 2)

фрагментарностью работы с объемами понятий. В школьных учебниках алгебры и начала анализа приведены рисунки касательной и секущей для графиков функций, представленных кривыми линиями, для графиков же функций, представленных прямой, таких образов нет. Отсутствие внимания в школьных учебниках к объему понятия и привело к отсутствию у учащихся связи на деятельностном уровне между разными смыслами (например, аналитическим и геометрическим) и значениями одного понятия, в частности, между вычислением производной линейной функции в точке и равенством ее тангенсу угла наклона касательной, проведенной к этой функции в этой же точке. Как показал эксперимент, секущая доя некоторых учащихся в данной ситуации существует, а касательная, являющаяся ее предельным положением, нет. Так же учащиеся вычисляют производную линейной функции, но три этом считают, что построил, секущую и касательную к графику линейной функции нельзя.

Отсутствие систематической работы с объемом понятия препятствует усвоению математики учащихся с образным мышлением, так как такие учащиеся содержание понятия воспринимают через его объем. Так, например, в учебниках в ситуациях «точки перегиба» не объясняется отсутствие касательной через несовпадение секущих справа и слева от точки А ни на образном (на конкретных рисунках), ни на аналитическом уровнях. При введении понятия «производная функции у=/(х) в точке х0» целесообразно проиллюстрировать геометрический смысл касательной через совпадения секущих, построенных «справа» и «слева», если производная существует.

Итак, требования, предъявляемые к учебному материалу, построенному на основе целостного подхода к обучению математике, в школьных учебниках «Алгебра и начала анализа» практически не реализуются.

Во второй главе «Реализация целостного подхода при обучении математике» описаны методические особенности обучения математике на основе целостного подхода.

Средством введения н усвоение теоретического материала учениками являются задачи. В четвертом параграфе представлена разработанная нами типология задач, направленных на формирование целостного представления о понятии при реализации целостного подхода к обучению математике. В качестве основ типологии задач были выделены:

1) характерней юг подали (имя, смысл, значение), представленные в тексте задач;

2) связи, устанавливаемые между характеристиками понятия («имя - значение», «имя - смысл», «смысл - значенгге», «имя - значение - смысл»), с учетом способа их представления и субъективного смысла и значения, отраженных в СО ученика.

Большинство учащихся, изучающих базовый курс математики, не отличаются высоким уровнем логического мышления, поэтому целесообразно организовать введение понятия через организацию связи «имя — значение».

Одному значению понятия могут соответствовать различные имена понятий. Например, значенгге «число» может быть отнесено к именам понятий «производная функции в точке», «у/я а», «логарифм положительного числа» и т.п. В школьном курсе алгебры и начал анализа значение математического понятия почти всегда определегго однозначно и преимущественно представлено словесным и знаково-символьным способами, например, число, геометрическая фигура, отношение, tga, ЬАВС и пр. Это обусловлено тем фактом, что при попытке представить имя или значение понятия образным или тактильно-кинестетическими способами представления информации, мы уже опираемся на смысл понятггя.

Несмотря на то, что математические понятия, в основном, определяются однозначно, имя понятия, представленное знаково-символьным способом - знаками, может иметь различное значение в разных концептуальных пространствах. Например, знак «О» используется в качестве: 1)буквы «О» в русском алфавите; 2) буквы «О» [ои] в английском алфавите; 3) цифры 0 в системах счисления; 4) символа химического элемента «О» (кислорода) в таблице Д.И. Менделеева.

При дальнейшей работе с понятием устанавливаются связи «смысл - значение». Исходя из связей, устанавливаемых между характеристиками понятия и учитывая первичность связей характеристик понятия с именем, мы разделили математические задачи, направленные на формирование целостного представления о понятии, на три типа:

Тип 1. Задачи, при решении которых требуется установить хотя бы одну из связей «имя - значение», либо «имя - смысл», при этом не требуется перевод характеристик понятия из одного способа представления в другой.

Тип 2. Задачи, при решении которых требуется установить связи «имя -значение», либо «имя - смысл», либо «смысл - значение», при этом требуется перевод характеристик понятия из одного способа представления в другой.

Тип 3. Задачи, при решении которых требуется установить всевозможные связи между всеми характеристиками поняли, представленными различными способами.

На схеме 2 изображена типология малематических задач по выделенным основам. Каждому типу задач соответствует определенный тип связей между характеристиками поняло!: в задачах первого типа требуется установить хотя бы одну из связей «ши - значение» или «имя - смысы, в задачах второго типа к этим связям добавляется еще одна — «смысч — значение,»; в задачах третьего типа реализуется связь всех трех характеристик поняли «гля - смыа - значение». В процессе обучения ученик последовательно работает с каждым топом задач.

Рассмотрим примеры заданий для некоторых типов задач, направленных на формирование целостного представления о понятии.

Задачи первого типа широко представлены в школьных учебниках курса «Алгебра и начала анализа».

Задачи второго типа практически не встречаются в школьных учебниках.

Задание 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону х(г)=!2-141+29 (где х -расстояние от точки отсчета в метрах, I - время в секундах, измеренное с начала движения). Представьте, что вы яаляегсеь моделью материальной точки, изобразите в движении изменеше вашей сксросш со временем.

Данная задача направлена, во-первых, на установление связи «имя-смысл», во-вторых, на перевод характеристики понятия, в данном случае смысла понятия, из одного способа представления в другой, а именно из словесного и знаково-символьного способов представления - «скорость движения в момент времени 1о», в тактильно-кинестетический, с учетом направления движения и остановки.

Задачи третьего типа. Задачи, при решении которых, требуется установить разные связи между всеми характеристиками поняли, предстааленными различными способам.

Задание 2. Выпишите номера карточек, записи на которых описывают одно и тот же математическое понятие (рис. 2). На карточках с графиками обозначение рассматриваемого понятия обведено.

В процессе последовательного решешм задач всех типов происходит формирование целостного представления о понялш на трех выделенных нами уровнях:

Уровень 1. Ученик умеет связывать имя понятия как с его значением, так и с его смыслом, предстаала шьм 1 о;цшм (не обязательно одинаковым для рахл иных пет ип ш) способом.

Уровень 2. Ученик способен связывать межлу собой любые две характеристики понятия, при этом умеет перепоя ггь характер] клики понятая из одного способа представления в фугой.

Уровень 3. Ученик способен устанавливать связи между всеми характеристиками понятия, представленными различными способами, в различных концептуальных пространствах, в том числе и с субъективными смыслами понятия.

Схема 2 - Типология математических задач, поправленных на формирование

целостного представления о понятии

В процессе обучения ученик последовательно проходит эти уровни.

В пятом параграфе ((Организация работы с учебным материалом, направленная на формирования целостного представления о понятии при обучении математике в старшей школе» раскрывается содержание этапов формирования математических понятий и этапов работы с теоремой. В данном параграфе описана методика работы с понятием на основе целостного подхода к обучению. С целью реализации целостного подхода к обучению математике должна быть организована дополнительная работа на каждом из этапов работы с понятием и теоремой.

С опорой на СО и учшывая тему урока, необходимо создать учебную доминанту урока Данный подзггап реализуется в рамках пакалого-педагогического аспекта целостного подхода к обучению. «Задание (вопрос) на «создание учебной доминанты» должно удовлетворять р!щу требований: казаться учащимся легким, но содержать «изюминку»; не требовал, специальных предметных знаний; бьпъ приалекагельным для учеников за счет, например, сюжета, необычности вопроса; по возможности, бьпь связанным с темой урока». (Подходова НС.) Целью создания учебной доминанты является ((настройка» учеников на урок, снятие отрицательных эмоций. Важность и необходимость этого подэлапа определяется первичностью активизации эмоционально-ценностной составляющей субъектного опыта.

В рамках целостного подхода к обучению на подготовительном этапе работы с понятием, который включает в себя актуализацию необходимых знаний и умений, мотивацию учебного материала, также должна быть организована работа по

18

выявлению субъектного опыта, в частности, субъективных смыслов вводимого понятия, что будет реализовывать психолого-педагогический аспект целостного подхода. На этом же этапе необходимо организовать работу, направленную на выделение свойств объектов, существенных для понятия.

Но работе с содержанием понятая (выделением существенных свойств) должна предшествовать работа с его объемом, включающем конкретных предсгавгпслей поняли (образов поняли) из субъектного опыта ученика, связанных с окружающим миром В этом случае образы будут выполнял» опорную функцию, а не только демонстрационную, и являться базой содержания поняли, что позволит реализовать психологический под ход к трактовке поняли.

В результате этой работы выделяются обобщенные свойства понятия, н учащиеся сами могут сформулировать «вариант» определения.

Например, при изучении темы «синус угла» учащиеся сначала знакомятся с понятием «числовой окружности», и для этого понятия может быть предложен образ гребного колеса парохода и пр. Этот образ представляет собой модель окружности, моделью точки на окружности может быть эмблема, закрепленная на лопасти гребного колеса, которые помогут учащимся создать образ материальной точки, движущейся по числовой окружности, расстояние от этой материальной точки до поверхности воды является образом понятия «синус угла» при условии, что радиус колеса принимается за единицу.

В рамках основного (обучающего) этапа происходит введение и первичное усвоение формулировки определения понятия. На этом этапе организуется работа учащихся с задачами первого типа (открытого типа), направленными на формирование целостного представления о пошлин. Необходимо предложтъ учащимся задачи, демонстрирующие различные смыслы понятия, представленные разными способами.

На этапе первичного закрепления, на котором организуется применение введенного теоретического материала, должна быть организована работа с задачами второго типа, направленными на формирование целостного представления о понятии. На этапе вторичного закрепления, на котором осуществляется установление и развитие связей и отношений с другими понятиями, должна быть организована работа с задачами третьего типа напраалашьмт на формирование целостного предстаалапм о понятии.

Шестой параграф посвящен описанию эксперимента и его результатов.

Педагогический эксперимент проводился на базе школ «ГБОУ СОШ №495 Московского районе Санкт-Петербурга», «МБОУ СОШ №55» г. Архангельска, «СОШ №2» г. Боксшогорска Всего в эксперименте приняли участие 256 учеников одиннадцатых классов. На формирующем этапе экспериментальная группа состояла из 74 человек, контрольная - из 52 человек.

На этапе констатирующего эксперимента и после формирующего эксперимента у учащихся проверялась сформированность целостного представления о математическом понятии на материале темы «производная функции у=/(х) в точке хв». Задания констатирующего эксперимента состояли из двух блоков. Задания первого блока были направлены на выявление необходимости обучения курсу алгебры и начал анализа на основе целостного подхода. Цель заданий второго блока констатирующего эксперимента - определить, умеют ли учащиеся выявлять основные характеристики понятия.

На этапе констатирующего эксперимента были получены следующие результаты:

1) Учащиеся знают имя понятия (термин), но не связывают различные смыслы этого понятия, а именно, геометрический и аналитический смыслы понятия «производная функцииу=^У в точке х,».

2) Учащиеся не распознают смыслы понятия «производная функции у=Цх) в точке хф в друшх учебных предметах, кроме математики и фтитют, а, значит, у них не установлена связь между различттымиюшктуатытьадтпространслкм!.

3) Учащиеся не устанавливают связь между понятиями курса алгебры и начал анализа, их различными смыслами. Например для таких понятий как «секущая графика функции» и «касательная к графику функции» для графика линейной функции были получены четыре варианта ответов: секущая существует, а касательная не существует; секущая не существует, но при этом касательная существует, секущая и касательная совпадают; оба не существуют.

Обобщая вышесказанное, можно сделать вывод, что у учащихся не сформировано целостное представление о рассмотренных выше понятиях.

№ констатирующем же этапе была огцзеделена степень развитая целостного мышления учеников контрольных (КГ) и экспериментальных (ЭГ) трупп. Вслед за СГ. Башаевой, основными критериями развишя целостного мышления мы выделяем степень развития каждого из его компонентов, и их гармонизацию в процессе обучения. В качестве основных измерительных диагностик развития логического, эмощкншьно-образнош и творческого компонентов целостного мышления были взяты классические и модифицированные современными авторами (ХЗиверг, ЕЕ. Туник и гр.) методики П. Торренса, опросник Шиана, методики исследования активности мышления (ИМЛущихина, Р. Равена), тест С. Медника, анализ контрольных работ по дисциплине «Алгебра и начала анализа», нроекгные работы учащихся.

Результаты выполнения тестов показали, что у учащихся экспериментальных и кошрольных групп доминирует развшие логического компонента над эмоционально-образным и творческим В процентном отношении результаты тестирования оказались схожими. Только у 6% учеников экспериментальной группы (5% котпрельного) наблюдается развипте на высоком уровне всех компонентов целостного мышления.

Второй этап эксперттметпальной работы носил поисковый и формирующий характер. Основная его цель состояла в разработке методики обучения математике на основе целостного подхода, а тают® в разработке типологии задач, направленных на формтфование целостного представления о понятаи, и заазч на проверку уровня сформированноспт целостного представления о пошлин.

На этом этапе был проведен отбор учебного материала, апробировалась метод ика формирования целостного представления о понятии при изучении тем «Производная функции в точке», «Определение синуса и косинуса угла».

Третий этап экспериментальной работы носил формирующий и контролирующий характер. Эгог этап был направлен на экспериметпальную проверку выдвинутой гипотезы и статическую обработку полученных результатов. Необходимо было установить, действительно ли разработанная нами методика будет способствовать формированию целостного представления о математическом поняши, повышению уровня усвоения учебного материала и рззвтшпо целостного мышления на уроках алгебры и начат анализа

Целью заданий является проверка сформированносш у учащихся умений: ^устанавливать связи шмя - значение»', 2) устанавливать связь между именам поняптя и сто смытом, представленными разными споообами; 3) устанавлттвать связь между именем поняптя и его значащем, представленными разными способами; 4) усгативливать связь между счысшм понятая и его значением, представленными разными способами; 5) устанавливать связи между всеми характеристиками понятия, представленными разными способами.

Результаты, потученные в экспериментальных и контрольных классах, обрабатывались методами магсгашешки с использованием критерия Пирсона

Карточка 1

lim

А/(*о)

а*0->о Asn

Карточка 6

Cos Xq

Карточка 2

I f(x0)dx

Карточка 7

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функцииy~f(x) в точке х„.

Карточка 3

VYa-J

/7

N /

Карточка 4

Отношение катета прилежащего к углу Хо к гипотенузе.

Карточка 5

1%а, а — угол между касательной к графику функции у-Дх) точке Хо и положительным направлением оси Ох._

Карточка 8

О " » ,v

Карточка 9

Скорость изменения количества фермента при химической реакции, описанного функцией у=/(х), в данный момент времени Хр._

Карточка 11

Показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число Ь.

Карточка 10

Мгновенная скорость изменения процесса, описанного функцией у=/(х), в момент времени л>_

Карточка 12

Значение функцииy=f'(x) в точке х0.

Карточка 14_

ШГ)

'ГЫ

Z7&

Карточка 13

log« Ь

Карточка 15

Карточка 16

Сила - есть производная работы по перемещению F = А' (х„)._

Карточка 20

Скорость изменения процесса, описанного функцией y=f(x) в момент времени ха._

Карточка 17

Карточки 18

Производная функции y=f(x) е

ТОЧКС Ха._

Карточка 21

В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента, описанная функцией у=/(х), в данный момент времени х„._

Карточка 19

f'(xо)

Карточка 22

log„b ь"

Карточка 23

F(b)- F(.a), где Y=F(x) -

первообразная функции у~f(x).

Рисунок 2 - Пример задачи третьего типа

Диаграмма 1.

Результаты выполнения учащимися контрольной работы

N°

hl I

о

* 1 2

номер задания контрольной работы

На диаграмме 1 тредставлены результаты выполнения контрольной работы. Количество учащихся, правильно выполнивших каждое задание, приведено в процентном соотношении. Из данных, приведённых на диаграмме, ввден положительный сдвиг в выполнении каждой группы заданий.

Анализ результатов опытно-поисковой работы показал позитивные изменения в уровне развгпия целостного мышления учащихся на уроках математики. Вышесказанное свидетельствует о подтверждении положения гипотезы исследования о формировании целостного представления о матемшическом понятии, повышении уровня усвоения учебного материала и развитии целостного мышления на уроках алгебры и начал анализа

В заключении диссертации изложены основные результаты исследования, сформулированы общие выводы и определены перспективы дальнейших исследований проблемы.

В результате проведённого исследования были получены следующие выводы:

1. Установлено, что одной из причин неумения учащимися использовать математические знания и умения на практике и при изучении других предметов является разобщенность смыслов, значений понятий Ученики, усваивая учебный материал по математике, часто успешно справляются с вычислительными операциями, связанными с понятиями, в то время как не владеют суп>ю понятий, не связывают различные смыслы понятий, и, в результате не могут применять их на практике. В данном исследовании предложено и обосновано одно из направлений решения данной проблемы, а именно построение процесса обучения алгебре и началам анализа на основе целостною подхода.

2. Разработана типология задач, натравленных на формирование целостного представления о понятии Выделены уровни сформированное™ целостного представления о понятии.

Результаты обучения на основе разработанной методики обучения алгебре и начал анализа, полученные в ходе проведения экспериментального исследования, подтвердили выдвинутую гипотезу о том, что если организовать процесс обучения алгебре и началам анализа на основе целостного подхода, это будет способствовал, повышению уровня усвоения учащимися учебного материала и формированию целостного представления о понятии.

Перспективные направления развития исследования мы вцаим в практической реализации разработанной методики и последующего внедрения ее в образовательный процесс.

Основное содержание исследования отражено в публикациях автора:

1. Саддаева VI.R Реализация целостного подхода к обучению математик*' как условие достижения понимания / ¡VLB. Соддаева// Известия Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена. Серия Пеихои юго-педагогические науки. 2013 (июль) № 161, с. 202-206(03 гиг.)

2.Соддаева VLB. Формировашге математических понятий на основе целостного подхода / М.В. Саддаева // Вестник Северного (Арктического) федер&гьного университета. Серия «Гуманитарные и социальные науки» 2013 (сентябрь). - №5- с. 129-133. (03 гьл.)

Контрольная группа, % ■ Экспериментальная группа, %

3. MR Сочиаева, H.C Подходова. Типология задач, направленных на формирование целостного представления о математическом понятии / H.G Подходова, МЛСоядаева // Письма в Эмиссия-Оффлайн (The Emissia-Offline Letters): пегарониый наушмй жлриах - Декабрь 2013, ART 2103. -СПб.2013 г.-URL: httn:/A'wv.emk^or^offlinc/20mi03.htm. ISSN' 1997^588.-(05нлЛ5и-х)

4. Косарева MB. О возможностях магемапжи в развшии когнитивной компегештост учащихся / MB. Косарева //Проблемы теории и пракгеки обучения математике: Сборник научных работ, представленных на Международную конференцию «62 Герцгновские чга шя» - СПб, 2009. - 271с. С131 -132. (0,13)

5. Косарева MB. Развише котнишвной комле тетносш в процессе обучения математике / MB. Косарева // Актуальные проблемы мзтемашческого образования: материалы V Воероссийской научно-практческой конференции 8-10 апреля 2009 г. - Барнаул, 2009. - 392 с. С. 136. (0,1 пл.)

6. Косарева MB. Основные функции образов при обучении математке в гуманитарном профиле / MB. Косарева // Мегамегодика как перспективное направление развития предмешые методик обучения: сборник научных сгатей.Выпуск7-Спб,20Ю.-342сС. 177-181. (0,26 пл.)

7. Косарева М.В. Психологические особенности обучения гуманитариев математике / MB. Косарева //Проблемы теории и практики обучензи математике: О5орник научных работ, представленных на Международную конференцию «63 Герценовские чтения», посвященную 90-легаю кафедры методики обучения магематике-СПб,2010-407 е.С331-338.(0,46 пл)

8. Косарева MB. Анализ учебного материала по математике для гуманитарных классов / МБ. Косарева // Вестник математического факультета. Вып. 10 : межвузовский сборник научных трудов / М-во образования и науки РФ, ГОУ ВПО «Поморский государстве! иый унивфсигег им. MB. Ломоносова»; сост. ИЛ Попов; спиреи. ЕО. Зеель, ЕФ. Фефгсюва- Архангельск, 2011. -138 с. -с. 88-91 (ОД пл.)

9. Подходова 11.С, Салааева MB. Целостный подход к обучению матемашке как основа достижения метапредмешых результатов / RC. Подходова, MB. Сатиет // Мегамегодика как перспекшвное направление развили предметных методик обучения: сборник научных статей. Выпуск 9 - Спб.: ООО «СТАТУС», 2011. — 460 с.-С. 212-215. (0,2 пл/0,1 пл)

Ю. Подходова НС, Салдаева MB. Особенности работы с объемом поняли при реализации целостного подхода к обучению матемашке / НС. Подходова, MB. Сслдаева // Проблемы теории и прагаики обучения математике: Сборник научных работ, предлавленных на Международную кучную конференцию «65 Герцаювские чтения», /Под ред. В.В. Орлова. - CI 1б.:11тню РГПУ им. АЛ. Герцена, 2012. -С. 283-290. (0,46 плД23пл.)

П.Соллэева MB. Реализация целостного подхода при введении поняшй математического анализа / MB. Соддаева'/ Мегамегодика как перспективное направление развили предметные методик обучения: сборник тучных статей. Выпуск9-Спб.: ООО «СТАТУС», 2012-460 с. - С. 289-294. (03 пл)

12 Подходова НС, Сслдаева МБ. Целостный подход к формированию математических поняли в школе как условие обеспечение noi ммш шя / НС. Подходова, МБ. Со.1 кета // Сборник научных работ, представленных на всероссийскую шучно-пракшческую конференцию, с международным участием «Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе» - М.: Mili У,2012.(0,6 пл.)

13. Сгефанова HJL, Подходова НС, Солдаева MB. Методика обучения математике в профильной школе: Учебное пособие для оргамгзации самостоятельной работы студентов /HJL Сгефанова, НС. Подходова, MB. Соллаева/-Спб.: Издательство РПТУ им. АЛ Герцена, 2012.-235 с. (15,6 пл. /5,2 пл.)

Подписано в печать 10.07.14 Формат 60x84'/i6 Цифровая Печ. л. 1.4 Тираж 120 Заказ 10/07 печать

Типография «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)