Организация учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия функции

Марушенко, Любовь Юрьевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Организация учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия функции

Автореферат

Автор научной работы: Марушенко, Любовь Юрьевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Москва
Год защиты: 2009
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Организация учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия функции"

На правах рукописи

Марушенко Любовь Юрьевна

ОРГАНИЗАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ, НАПРАВЛЕННОЙ НА ПОДГОТОВКУ К ФОРМИРОВАНИЮ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика)

Автореферат ии34ЕЮ72б

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва-2009

003480726

Работа выполнена на кафедре теории и методики начального образования Московского государственного гуманитарного университета им! М.А. Шолохова

Научный руководитель

доктор педагогических наук, профессор

ИСТОМИНА-КАСТРОВСКАЯ

Наталия Борисовна

Официальные оппоненты доктор педагогических наук, профессор

МОРДКОВИЧ Александр Григорьевич

кандидат педагогических наук, доцент ВОИТЕЛЕВА Галина Викторовна

Ведущая организация

Оренбургский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится «17» ноября 2009 г. в

14оо

часов на заседании

диссертационного совета Д 212.136.02 при Московском государственном гуманитарном университете им. М.А. Шолохова по адресу: 109391, Москва, Рязанский проспект, д. 9

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГГУ по адресу: 109240, Москва, ул. Верхняя Радищевская, д. 16/18

Автореферат разослан » октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат технических наук

А.В. Корниенко

Общая характеристика исследования

Актуальность исследования. Основные тенденции развития современного школьного образования находят свое выражение в идеях гуманизации, гуманитаризации, деятельностного и личностно-ориентированного подхода к организации учебного процесса. В русле этих тенденций изменяет свои цели и математическое образование.

В качестве основополагающего принципа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе выдвигается принцип приоритета развивающей функции обучения. «В соответствии с этим принципом главной задачей обучения математике становится общеинтеллектуальное развитие - формирование у учащихся в процессе изучения математики качеств мышления, необходимых для полноценного функционирования человека в современном обществе, для динамичной адаптации человека к этому обществу»1.

Не утратила своей актуальности и цель сохранить фундаментальность российского образования. В концепции модернизации российского образования на период до 2010 года сказано, что «...фундаментальным понятием школьной математики, составляющим основу ее практических приложений, является понятие функции. Идея функциональной зависимости - основополагающая для понимания и изучения процессов и явлений, происходящих в природе и обществе»2.

На современном этапе развития школьного образования с понятием функции учащиеся встречаются в курсе алгебры и поэтому не случайно предметом диссертационных исследований стали: процесс формирования функциональных умений и навыков у учащихся в курсе алгебры средней школы (М.В.Ткачева, 1987), сопоставление функциональной и алгоритмической линий с целью совершенствования методики изучения материала функциональной линии (Е.К. Попова, 1990), графические умения и навыки (Л.М. Савинцева, 1992), применение компьютерных технологий к изучению функций (М.Е. Степанов, 1994, Е.В. Никольский, 2000), система изучения функций, их свойств и графиков в условиях личностно-ориентированного обучения (Л.В. Тихонова, 2002), дифференцированный подход при формировании понятия функции (И.В. Антонова, 2004), разработка методики модульного изучения функциональной линии (О.В. Мишенина, 2004).

Анализ школьной практики позволяет констатировать, что учащиеся формально усваивают определение понятия функции, не имеют целостного представления о функциональной зависимости, т.е. не могут применить свои знания к решению математических и практических задач; связывают функцию исключительно с аналитическим выражением, в котором переменная у выражается через переменную х; не могут интерпретировать

' Дорофеев Г. В. Гуманитарно-ориентированный курс - основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе // Математика в школе. - 1997. - №4. - С.59-66, с. 59.

2 Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года: Приказ Министерства /

образования РФ от 11.02. 2002 № 393 // Вестник. - 2002. - № 6. - С. 11-40. ^

I 1 у

представления о функции на различных моделях; затрудняются при построении графиков функции по ее свойствам и т.д.

Можно предположить, что причины этих трудностей связаны не только и не столько с методикой изучения функционального материала в курсе алгебры, сколько с неподготовленностью мышления учащихся к восприятию и усвоению понятия «функция». А это значит, что до введения понятия «функция» необходимо вести работу по формированию навыков функционального мышления, чтобы «в момент, когда общая идея функциональной зависимости должна будет войти в сознание учащихся, это сознание было достаточно подготовлено к предметному и действенному, а не только к формальному восприятию нового понятия и связанных с ним представлений и навыков» (А.Я. Хинчин)3.

Обосновывая основные положения авторской концепции курса алгебры, А.Г. Мордкович пишет: «Сложное математическое понятие (.. .такое, как функция...) следует вводить при выполнении двух условий:

1) у учащихся накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия - опыт, содействующий пониманию всех слов, содержащихся в определении (вербальный опыт) и опыт использования понятия на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях (генетический опыт);

2) у школьников появилась потребность в формальном определении понятия»4.

Мы полагаем, что методическая реализация первого условия может начинаться не в курсе алгебры, а значительно раньше, до знакомства учащихся с понятием «функция», то есть в курсе математики 1-6 классов. Конечно, при этом необходимо учитывать возрастные особенности учащихся, тот программный материал, который изучается в этих классах, а также делать это «совершенно непринужденно, исподволь, не обременяя детского сознания непосильными ему абстракциями, и в то же время настойчиво, планомерно и повседневно вести формирование навыков функционального мышления»5.

В числе исследований, посвященных функциональной пропедевтике в начальных классах, можно назвать диссертации М.А. Байтовой (1961), Л.Г. Петерсон (1985), Е.Д. Цыдыповой (1994). В работе М.А. Байтовой исследовалось формирование представления о функциональной зависимости у младших школьников в процессе решения определенных типов задач на прямую и обратную пропорциональные зависимости, позволяющих на конкретном материале рассматривать идею соответствия путем раскрытия существующих связей и зависимостей без использования специальной терминологии, относящейся к понятию функции.

Л.Г. Петерсон предлагала начать формирование понятия функции с построения моделей функциональной зависимости в третьем классе при решении задач на движение.

3 Хинчин А.Я. Основные понятия математики и математические определения. - М.: Учпедгиз, 1940, с.38.

4 Мордкович А.Г. Алгебра 7-9 кл.: методическое пособие для учителя. - 3-е изд. - М.: Мнемозина, 2004, с. 5.

5 Хинчин А.Я. Основные понятия математики и математические определения. - М.: Учпедгиз, 1940, с. 37.

Особый интерес с точки зрения нашего исследования представляет диссертация Е.Д. Цыдыповой, в которой функциональная пропедевтика направлена на формирование у детей 1-4 классов представлений об изменении, соответствии, закономерностях и зависимостях.

Приоритет в современном математическом образовании деятельностного метода, его направленность на развитие интуиции, логического мышления, на способность учащихся применять знания и умения в практической деятельности создают условия для продолжения этой работы в курсе математики 5-6 классов, предметное содержание которых включает такие понятия как «прямая и обратная пропорциональная зависимости», «координатная плоскость», «график» и т.д.

По отношению к 5-6 классам исследований, связанных с подготовкой учащихся к формированию понятия «функция», не проводилось, хотя это представляет научный интерес как с точки зрения проблемы преемственности, так и с точки зрения предметного содержания курсов пятого и шестого классов.

Это обусловило выбор темы диссертационного исследования, актуальность которой определяется:

- модернизацией математического образования на современном этапе развития школы;

- недостаточной разработанностью способов организации деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия «функция»;

- потребностью школьной практики в преемственности различных этапов школьного математического образования.

Проблема исследования заключается в поиске средств и способов организации учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к восприятию и усвоению понятия «функция».

Объект исследования - процесс обучения математике в 5-6 классах.

Предмет исследования - средства и способы организации учебной деятельности учащихся, направленной на подготовку к формированию понятия функции в процессе обучения математике в 5-6 классах.

Целью исследования является разработка учебных заданий, включение которых в процесс обучения математике учащихся 5-6 классов, обеспечит их подготовку к восприятию и усвоению понятия функции в курсе алгебры.

Гипотеза исследования. Если разработать учебные задания, нацеленные на развитие функционального мышления школьников, и систематически их использовать в процессе усвоения программного содержания курса математики 5-6 классов, то это позволит повысить качество усвоения понятия «функция» в курсе алгебры средней школы.

Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:

1. Выявить состояние проблемы изучения функционального материала в

теории и практике обучения математике.

2. Выявить и обосновать дидактические условия, при которых возможно организовать деятельность учащихся 5-6 классов, направленную на подготовку к формированию понятия функции.

3. Выделить виды учебных заданий, способствующих формированию функциональных представлений и понятий, необходимых для усвоения и восприятия понятия «функция».

4. Провести педагогический эксперимент с целью проверки гипотезы исследования.

Методологическую основу диссертационного исследования составили системный подход, принцип ведущей роли обучения в развитии, теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф.Талызина), теория о структуре учебной деятельности (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов), методическая концепция развивающего обучения математике в 1-6 классах (Н.Б.Истомина), современные представления о развитии когнитивных структур (Н.И.Чуприкова).

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:

- теоретические: анализ психолого-педагогической, дидактической, методической, научно-методической литературы и документов по проблемам модернизации школьного образования; анализ изучения функционального материала в теории и практике обучения математике.

- экспериментальные: анкетирование, тестирование, наблюдение, беседы с учителями и учащимися, констатирующий, формирующий и сравнительный педагогические эксперименты, экспериментальное преподавание (организация учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия функции посредством учебных заданий), статистические методы интерпретации данных педагогического эксперимента.

Организация исследования. Исследование проводилось с 2003 года по 2009 год и включало три этапа.

На первом этапе (2003-2004 гг.) анализировалась психолого-педагогическая литература по проблемам развития мышления, осуществлялся анализ программ и учебников для 5-6 классов с точки зрения возможности организации деятельности учащихся, направленной на подготовку к формированию понятия функции.

На втором этапе (2005-2008 гг.) выявлялись условия, в которых возможно организовать деятельность учащихся 5-6 классов, направленную на подготовку к формированию понятия функции, разрабатывались виды заданий, способствующих формированию у учащихся 5-6 классов функциональных представлений и понятий, необходимых для восприятия и усвоения понятия «функция»; проводились формирующий и сравнительный эксперименты, в процессе которых проверялась эффективность учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия функции посредством учебных заданий.

На третьем этапе (2009 г.) анализировались полученные результаты, проводилась статистическая обработка результатов эксперимента, выполнялось оформление диссертационного исследования.

Научная новизна проведенного исследования состоит в том, что:

наличие в курсе математики идей, непосредственно связанных с функциональными представлениями, таких как идея изменения, соответствия, закономерности и зависимости;

наличие в содержании курса математики понятий, необходимых для осознанного усвоения понятия функции;

создание проблемных ситуаций в процессе усвоения программного содержания;

систематическое использование различных моделей (предметной, вербальной, символической, схематической и графической); использование учебных заданий, в основу которых положены приемы выбора, сравнения, преобразования и конструирования; организация целенаправленного наблюдения, сравнения, анализа и обобщения в процессе выполнения учебных заданий.

2. Разработаны ситуационные задачи для оценки сформированности функциональных умений.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:

2. Выявлены основные характеристики заданий, направленных на подготовку учащихся к восприятию и усвоению понятия функции (вариативность, неоднозначность решений, нацеленность на формирование приемов умственной деятельности (таких, как анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация и обобщение), отображение разнообразных закономерностей и зависимостей, включенность их в содержательную линию курса математики 5-6 классов).

Практическая значимость исследования заключается в том, что разработанные виды учебных заданий и ситуационные задачи могут быть использованы для совершенствования учебников математики для 5-6 классов, а также для совершенствования методической подготовки студентов педвузов, педколледжей, учителей школ.

Обоснованность и достоверность полученных в диссертационном исследовании результатов и выводов обеспечивается методами исследования, адекватных задачам.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения диссертационного исследования обсуждались на заседаниях кафедры теории и методики начального образования Московского государственного гуманитарного университета им. М.А. Шолохова, научно-методических семинарах кафедры методики начального обучения Благовещенского государственного педагогического университета, на городских семинарах учителей математики г. Благовещенска, а также на региональных научно-методических конференциях преподавателей и студентов БГПУ (март 2005 г., март 2006 г., март 2007 г., март 2008 г.), Всероссийской научно-практической конференции (Биробиджан, апрель 2006 г.).

На защиту выносятся следующие положения:

1. Для организации учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на эффективную подготовку к формированию понятия функции должны выполняться следующие дидактические условия: наличие в курсе математики идей, непосредственно связанных с функциональными представлениями, таких как идея изменения, соответствия, закономерности и зависимости; наличие в содержании курса математики понятий, необходимых для осознанного усвоения понятия функции; создание проблемных ситуаций в процессе усвоения программного содержания; систематическое использование различных моделей (предметной, вербальной, символической, схематической и графической); использование учебных заданий, в основу которых положены приемы выбора, сравнения, преобразования и конструирования; организация целенаправленного наблюдения, сравнения, анализа и обобщения в процессе выполнения учебных заданий.

символической модели, соответствующей вербальной модели; на конструирование числовых равенств по заданным условиям; на установление соответствия между символической и графической моделью; на выбор графической модели соответствующей символической модели; на преобразование на плоскости; на конструирование графической модели, соответствующей символической модели и т.д.

3. Учебные задания, способствующие формированию функциональных представлений и понятий, необходимых для осознанного усвоения понятия функции, должны характеризоваться: 1) вариативностью; 2) неоднозначностью решений; 3) нацеленностью на формирование приемов умственной деятельности (таких, как анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация и обобщение); 4) отображением разнообразных закономерностей и зависимостей; 5) включенностью их в содержательную линию курса математики 5-6 классов.

4. Для оценки сформированности функциональных умений целесообразно использовать ситуационные задачи.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы; сформулированы цель и задачи исследования; определены объект и предмет; выдвинута гипотеза; раскрыта научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, перечислены методы и этапы исследования; сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе «Теоретические основы изучения функционального материала в общеобразовательной школе» представлен анализ исторического развития понятия функции и сопоставлены различные подходы к его трактовке, который позволил выделить следующие идеи как родовые по отношению к понятию «функция»: кривая или график (Г.Лейбниц), переменная величина (И. Бернулли), аналитическое выражение или формула (Л. Эйлер), правило (Л. Эйлер), соответствие (Н.И. Лобачевский, П. Дирихле).

В параграфе «Различные методические подходы к формированию понятия функция в современном школьном курсе алгебры» проанализировано состояние проблемы изучения функционального материала в теории и практике обучения математике. Анализ исследований показал, что большое количество работ, как научных, так и методических, приходится на 60-80 г.г. прошлого столетия (М.А. Бантова, H.H. Забежанская, В.А. Гуськов, Г.Г. Левитас, P.A. Майер, В.И. Севбо, М.В.Ткачева и др.). В конце XX века и начале XXI века проблемы изучения числовых функций нашли отражение в исследованиях И.В. Антоновой, Е.В. Никольского, О.В. Мишениной, Е.К. Поповой, Л.М. Савинцевой, М.Е. Степанова, Л.В. Тихоновой, Е.Д. Цыдыповой и др.

Были проанализированы современные школьные учебники алгебры с точки зрения изучения в них функционального материала (авторы

А.Г. Мордкович, Г.В. Дорофеев, С.М. Никольский и др.). Автор учебника алгебры А.Г. Мордкович считает, что определение функции в школе следует ввести в курсе алгебры 9 класса через понятие соответствия, когда учащиеся уже накопят достаточный опыт в оперировании этим понятием.

Г.В. Дорофеев перестраивает логику всего курса и переносит знакомство школьников с понятием «функция» в курс алгебры 8 класса, для того, чтобы в 7 классе провести работу, подготавливающую учащихся к изучению этого понятия.

В учебнике С.М. Никольского изучение функционального материала сосредоточено в курсе алгебры 8 класса, где сначала идет повторение и изучение вопросов, связанных с понятием функции, таких как координатная плоскость, множества и т.д., а потом дается определение понятия функции через соответствие и изучаются последовательно все классы функций, предусмотренные содержанием курса.

Проведенный анализ показал, что необходимо проводить определенную подготовительную работу по формированию функциональных представлений и понятий, которые связаны с понятием функции, и приобретения опыта в оперировании ими.

Организовать такую деятельность возможно посредством учебных заданий, направленных на формирование функциональных представлений (представления об изменении, о зависимости, о соответствии, о правиле (как описании закономерностей)) и понятий («формула», «прямая и обратная пропорциональная зависимости», «координатная плоскость» и «график»), необходимых для осознанного усвоения понятия функции. Для этого необходимо создать определенные дидактические условия, при которых учебная деятельность учащихся 5-6 классов, направленная на подготовку к формированию понятия функции, была бы наиболее эффективна. Нами были выявлены следующие дидактические условия:

наличие в содержании курса математики понятий, необходимых для осознанного усвоения понятия функции;

создание проблемных ситуаций в процессе усвоения программного содержания;

Вышеперечисленные условия были нами сформулированы с учетом характеристик, свойственных функциональному стилю мышления:

а) представление математических объектов в движении, изменении;

б) операционно-действенный подход к математическим фактам,

оперирование причинно-следственными связями; в) склонность к содержательным интерпретациям математических фактов, повышенное внимание к прикладным аспектам математики (P.A. Майер)6.

Таким образом, в первой главе проведен анализ современного состояния проблемы изучения функционального материала в теории и практике обучения математике и выделены дидактические условия, в которых деятельность, направленная на подготовку к формированию понятия функции, была бы наиболее эффективна.

Вторая глава «Учебные задания как средство организации деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия функции» содержит три параграфа.

В параграфе 2.1. «Учебные задания, направленные на формирование функциональных представлений у учащихся 5-6 классов» выделены следующие функциональные представления: представление об изменении, представление о соответствии, представление о зависимости и представление о правиле (как описании закономерностей).

На основе выделенных функциональных представлений нами разработаны учебные задания, направленные на их формирование:

1. Задания на формирование представлений об изменении и зависимости: на изменение результата арифметического действия в зависимости от изменения его компонентов; на использование основного свойства дроби; на классификацию числовых выражений (равенств) на основе их результата арифметического действия; тождественные преобразования числовых выражений (равенств) на основе смысла арифметического действия; на преобразование числовых выражений; на преобразование дробных выражений; на конструирование символической модели по заданной вербальной модели и др.).

Например, «Чем похожи все пары выражений? Найди их значения: а) 89 + 47 б) 57+29 в) 76+57

90 + 47 57+30 76+60

Сравни равенства в каждой паре и сделай вывод».

2. Задания на формирование представления о закономерности, как правила по которому записаны ряды чисел: на выявление закономерности.

Например, «Найди правила, по которым составлены ряды чисел:

а) 0,5; 0,05; 0,005; 0,0005;...;

б) 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;...;

в) 0,12; 2,14; 4,16; 6,18; ....

Запиши в каждом ряду еще три числа по тому же правилу».

3. Задания на формирование представления о соответствии: на соотнесение предметной, графической и символической моделей; на установление соответствия между символическими моделями.

6 Майер P.A. Система задач с функциональным содержанием в курсе алгебры восьмилетней школы. Автореф. дисс. насоиск. учен. степ. канд. пед. наук (13.00.02). - М., 1972, с. 5.

Например, «Соедини с числом 5 те выражения, значения которых делятся на 5, если о делится на 5».

а •7

а+ 20

а -20

а+ 44

15 -я+10

17+7 • а

а + (9 + 6)

45 + а • 5

а + а + 25 + а ■ (8+5)

Эти учебные задания формулируются в основном на числовом материале, причем они усложняются и варьируются как по форме, так и по содержанию.

Параграф 2.2. «Формирование функциональных представлений у учащихся при решении задач на прямую и обратную пропорциональные зависимости» посвящен решению текстовых задач на прямую и обратную пропорциональные зависимости арифметическим способом. Среди таких задач выделяются задачи, в которых числовые данные находятся в некотором отношении, что предполагает ещё один способ решения, представляющий интерес с точки зрения функциональной пропедевтики.

Кроме того, придать функциональный характер текстовым задачам можно с помощью дополнительных вопросов, направленных на изменение данных задачи, условия, вопроса, на соотнесение условия с различными выражениями и равенствами. Эти приемы помогают учащимся представить величины, рассматриваемые в- задаче в движении, изменении, что позволяет формировать у учащихся функциональный стиль мышления.

В параграфе 2.3. «Подготовка учащихся 6 класса к изучению понятия функции при изучении тем «Отношение», «Пропорции» и «Координатная плоскость» выделены те понятия, которые должны быть сформированы у учащихся к моменту введения понятия «функция»: «формула», «прямая и обратная пропорциональная зависимости», «координатная плоскость» и «график». На программном содержании курса математики 5-6 классов показано, как сформировать эти понятия, используя для этой цели учебные задания следующих видов:

1) задания на соотнесение предметной модели с числовым выражением (равенством);

2) задания на установление соответствия между символическими моделями;

3) задания на конструирование графической модели по заданной графической модели;

4) задания на конструирование символической модели по заданной вербальной модели;

5) задания на выбор символической модели, соответствующей вербальной модели;

6) задания на конструирование числовых равенств по заданным условиям;

7) задания на установление соответствия между символической и графической моделью;

8) задания на выбор графической модели, соответствующей символической модели;

9) задания на преобразование на плоскости;

10) задания на конструирование графической модели, соответствующей символической модели и т.д.

Приведем примеры заданий:

1. Задание на конструирование числовых равенств по заданным условиям:

Выбери два отношения, из которых можно составить верное равенство. Запиши это равенство:

1,5:2; 3:6; 4,5:8; 6:8; 15:10.

2. Задание на конструирование графической модели, соответствующей символической модели'.

Проверь, будут ли величины х и у прямо пропорциональными при данных значениях:_

X 1 4 16 64 256

У 0,6 2,4 9,6 38,4 153,6

Если возникнут трудности при выполнении задания, то: представь данную таблицу в таком виде:

•4 -4 -4 -4

о-о-о-о-о

. 4 -4 -4 .4

©—О—О—О—О

и найди отношения соответствующих значений величин х и у.

3. Задание на преобразование на плоскости:

Впиши пропущенные слова и числа, чтобы получились верные высказывания:

1) точка А (3; 4) при перемещении вправо на 2 единичных отрезка перешла в точку В (...;...);

2) точка Ь (5; -2) при перемещении _на_единичных

отрезков перешла в точку М (5; 2);

3) точка X (1; 1) при перемещении вверх на 3 и вправо на 6 единичных отрезков перешла в точку У (...;...);

4) точка V (2; 3) при перемещении_на_и_

на_единичных отрезков перешла в точку W (7; -2).

4. Задание на конструирование графической модели, соответствующей символической модели:

а) Выбери единичный отрезок и построй точки в координатной плоскости:

А (0,6; 0), В (0; -1), С (0,1; 0,7), Б Е К (¿.-0.4].

б) Выбери единичный отрезок и построй точки в координатной плоскости:

А(600; 0), В(0; -300), С(100; 700), Е(-500; -600), К(900; -400).

Все разработанные нами учебные задания, обладают следующими характеристиками: 1) вариативностью; 2) неоднозначностью решений; 3) нацеленностью на формирование приемов умственной деятельности (таких, как анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация и обобщение); 4) отображением разнообразных закономерностей и зависимостей; 5) включенностью их в содержательную линию курса математики 5-6 классов.

В третьей главе «Организация и результаты экспериментального исследования» описана организация и проведение педагогического эксперимента (констатирующий, формирующий и сравнительный).

В ходе констатирующего эксперимента организовывались беседы с учащимися 5-8 классов, проводились контрольные работы, как в основной, так и в старшей школе, по результатам выполнения которых выявлялись трудности, возникающие у учащихся при усвоении понятия функции.

С целью проверки эффективности учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия функции в рамках диссертационного исследования, были организованы формирующий и сравнительный эксперименты на базе МОУ СОШ №26 г. Благовещенска Амурской области, в которых приняли участие школьники 5-6 классов (всего 4 класса, 105 учащихся). Для проведения формирующего этапа эксперимента в качестве экспериментальных классов были выбраны классы, в которых соблюдались дидактические условия, выделенные в первой главе нашего исследования и была организована деятельность учащихся, подготавливающая к восприятию понятия функции, посредством учебных заданий, направленная на формирование функциональных представлений и понятий, необходимых для усвоения понятия функции, описанная во второй главе. В качестве контрольных классов были выбраны классы, в которых специальной работы не проводилось и указанные дидактические условия целенаправленно не создавались. Следует отметить, что как в контрольных, так и в экспериментальных классах содержание курса математики совпадало, темы изучались одни и те же и состав классов, по пятибалльной оценке за курс математики начальной школы, был одинаковым.

Как в контрольных, так и в экспериментальных классах систематически велись наблюдения на уроках за процессом обучения математике, анализировались работы учащихся, регулярно проверялось качество усвоения программного материала.

С целью проверки выдвинутой гипотезы был организован сравнительный эксперимент, который включал три этапа:

Первый этап сравнительного эксперимента проводился в конце 4 четверти 2006-2007 уч. года с целью проверить сформированность у учащихся 6 класса умений, необходимых для усвоения понятия «функция».

Учащимся экспериментальных и контрольных классов предлагались задания, направленные на проверку следующих умений: 1) находить значение координат точки в координатной плоскости; 2) строить точку по ее

координатам; 3) читать график; 4) строить график по заданным значениям и отвечать на вопросы по построенному графику.

На рисунке 1 по горизонтали представлены номера функциональных умений, по вертикали - количество учащихся в процентах, у которых они сформированы.

□ экспериментальные классы

Э контрольные классы

12 3 4

Рис. 1. Результаты сформированности функциональных умений у учащихся экспериментальных и контрольных классов (6-е классы)

Как видно из диаграммы, в экспериментальных классах с предложенными заданиями успешно справилось большее количество учащихся, нежели в контрольных. Тем не менее, эти различия несущественны. Это объясняется тем, что и те и другие учащиеся с заданиями, предложенными в контрольной работе, встречались в процессе обучения математике.

Чтобы оценить способность учащихся применять функциональные умения для решения практических задач на этом же этапе сравнительного эксперимента им были предложены разработанные нами ситуационные задачи. В силу своей межпредметности, интегративности ситуационные задачи способствуют систематизации предметных знаний на деятельностной практико-ориентированной основе, когда ученики, осваивая универсальные способы деятельности, решают личностно-значимые проблемы с использованием предметных знаний. Следует отметить, что в процессе обучения математике учащиеся ни экспериментальных, ни контрольных классов с такими задачами не встречались.

Приведем пример одной из ситуационных задач, которые предлагались учащимся:

Задача. «Эти простые - непростые зависимости»

Каждый слышал поговорку: «Как аукнется, так и откликнется». А ты

замечал на себе проявление такой закономерности?

***

Текст 1. Маша и Миша решили посадить одновременно цветы, чтобы подарить их маме к 8 марта. В течение 12 недель Маша поливала цветок регулярно, а Миша иногда забывал. Высота цветка Маши в конце каждой

Неделя, 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Высота цветка, 11 (см) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Текст 2. Существуют различные шкалы для измерения температуры. Для перевода температуры, измеренной в градусах Цельсия, в градусы

Фаренгейта пользуются формулой Р^-С + 32, где С - число градусов по

шкале Цельсия, а Р - число градусов по шкале Фаренгейта. Для каждого значения температуры по Цельсию с помощью этой формулы можно найти соответствующее значение температуры по шкале Фаренгейта.

Задания

1. Пользуясь таблицей роста цветка Маши, составь таблицу роста цветка Миши, учитывая, что его цветок рос в два раза медленнее (из-за забывчивости Миши).

2. Найди высоту цветка Миши через 3,5 недели. Опиши процесс нахождения ответа на вопрос.

3. Составь таблицу перевода значений температуры из градусов по Цельсию в градусы по Фаренгейту (для значений от 0°С до 30°С).

4. Выяви зависимости, описанные в тексте 1 и тексте 2. Сравни их.

5. Предложи жизненные ситуации, в которых проявляются закономерности, выявленные тобой из анализа текста 1 и 2.

Проанализировав результаты работ учащихся по четырем интегративным умениям: 1) понимание представленной информации (задания); 2) предложение способа решения проблемы; 3) обоснование способа решения проблемы (своего выбора); 4) предложение альтернативных вариантов, можно прийти к следующим выводам:

- учащиеся как контрольных, так и экспериментальных классов понимают представленную информацию, предлагают способы решения проблемы, но при обосновании способа решения учащиеся экспериментальных классов в большей степени оперируют функциональными представлениями;

- учащиеся экспериментальных классов при выполнении задания, где нужно было привести примеры зависимостей, аналогичных тем, что были предложены в задаче, приводят примеры таких зависимостей, т.е. зависимостей, которые являются функциональными, в то время как учащиеся контрольных классов предлагают зависимости, исходя из своего житейского представления о них.

Таким образом, большее количество учащихся экспериментальных классов оперирует функциональными представлениями и способно применить сформированные функциональные умения для решения новых практических задач.

Второй этап сравнительного эксперимента проводился в конце 20072008 уч. года после изучения темы «Линейная функция». Учащимся 7 классов были предложены задания, которые проверяли сформированность функциональных умений, таких, как: 1) строить точки на координатной плоскости; 2) строить график линейной функции; 3) графически решать уравнения; 4) находить наибольшее и наименьшее значения функции на

заданном промежутке; 5) преобразовывать графики функций; 6) оперировать функциональной символикой; 7) находить участки монотонности.

На рисунке 2 по горизонтали представлены номера представленных функциональных умений, по вертикали - количество учащихся в процентах, у которых они сформированы.

120

□ экспериментальные классы

Э контрольные классы

1 2 3 4 5 6 7

Рис. 2. Результаты сформированности функциональных умений у учащихся экспериментальных и контрольных классов (7-е классы)

Анализируя результаты работы, можно прийти к выводу, что большее количество учащихся экспериментальных классов овладели функциональными умениями по сравнению с контрольными классами. Причем качество выполнения заданий экспериментальными классами значительно выше результатов контрольных классов по сравнению с результатами предыдущего этапа сравнительного эксперимента

Третий этап сравнительного эксперимента проходил в конце 2008-2009 уч. года и был направлен на проверку качества усвоения понятия функции учащимися 8 класса.

Учащимся была предложена контрольная работа, в которой проверялись следующие функциональные умения: 1) строить график квадратичной функции; 2) записывать координаты точек; 3) находить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке; 4) находить промежутки монотонности; 5) находить область определения функции; 6) находить множество значений функции; 7) преобразовывать графики функций; 8) переходить от графической модели задания функции к аналитической модели; 9) устанавливать соответствие между графическими моделями функций и их названиями; 10) оперировать функциональной символикой.

На рисунке 3 по горизонтали представлены номера перечисленных функциональных умений, по вертикали - количество учащихся в процентах, у которых они сформированы.

Из результатов контрольной работы, отраженных на диаграмме (рисунок 3) можно сделать вывод, что функциональные умения (записывать координаты точек в координатной плоскости, строить график квадратичной функции, находить область определения функции), т.е. те умения, которые должны быть сформированы еще в 7 классе, сформированы примерно у одинакового количества учащихся экспериментальных и контрольных классов, а функциональные умения, которые формируются на материале

курса алгебры 8 класса сформированы у большего числа учащихся экспериментальных классов.

100 т------------

□ экспериментальные классы

I контрольные классы

Рис. 3. Результаты сформированное™ функциональных умений экспериментальных и контрольных классов (8-е классы)

На этом же этапе сравнительного эксперимента для проверки качества усвоения понятия функции учащимся 8 класса были предложены задачи, разработанные для проведения международного исследование PISA. Использование этих задач обусловлено несколькими причинами:

- во-первых, эти задачи направлены на оценку способности учащихся применять полученные в школе знания и умения в жизненных ситуациях;

- во-вторых, при решении этих задач учащимся необходимо применить: знания о функциональной зависимости; умения читать график; соотносить реальную жизненную ситуацию с её графической моделью; способность представить предложенную в задаче зависимость в виде символической модели;

- в-третьих, при решении такого рода задач предоставляется возможность проверить у учащихся сформированность функционального стиля мышления, опираясь на характеристики, выделенные P.A. Майером.

После выполнения задач с учащимися проводились индивидуальные беседы, в процессе которых уточнялись способы их выполнения школьниками. В результате чего было выявлено, что большее количество учащихся экспериментальных классов показывают способность представлять математические объекты в движении, изменении, оперируют причинно-следственными связями, способны применять понятие функции к решению нешаблонных учебных и вполне конкретных типичных жизненных задач, т.е. у них проявляются черты функционального стиля мышления. Таким образом, в результате проведенного педагогического эксперимента удалось установить, что организация деятельности учащихся 5-6 классов, направленная на подготовку к формированию понятия функции в курсе математики посредством учебных заданий, оказала положительное влияние на качество усвоения понятия «функция» в курсе алгебры средней школы.

В заключении сделаны выводы о результатах теоретического и эмпирического исследований, подтверждающих гипотезу и положения, выносимые на защиту.

Основные результаты исследования

1. Выявлены и обоснованы дидактические условия, при которых возможно организовать учебную деятельность учащихся 5-6 классов, направленную на эффективную подготовку к формированию понятия функции:

наличие в содержании курса математики понятий, необходимых для осознанного усвоения понятия функции;

создание проблемных ситуаций в процессе усвоения программного содержания;

2. Разработаны учебные задания следующих видов (задания на тождественные преобразования числовых выражений (равенств) на основе смысла арифметического действия; на соотнесение предметной модели с числовым выражением (равенством); на соотнесение предметной, графической и символической моделей; на выявление закономерности; на установление соответствия между символическими моделями; на конструирование символической модели по заданной вербальной модели; на выбор символической модели, соответствующей вербальной модели; на конструирование числовых равенств по заданным условиям; на установление соответствия между символической и графической моделью; на выбор графической модели соответствующей символической модели; на преобразование на плоскости; на конструирование графической модели, соответствующей символической модели и т.д.) и экспериментально проверена их эффективность в процессе организации обучения математике в 5-6 классах.

3. Разработаны ситуационные задачи, позволяющие проверить сформированность функциональных умений и способность учащихся применять знания и умения к решению практико-ориентированных задач.

Основное содержание диссертационного исследования нашло отражение в следующих публикациях:

Публикации в ведущих рецензируемых журналах и изданиях, указанных в перечне ВАК:

1. Марушенко, Л.Ю. Функциональный подход к решению текстовых задач на прямо пропорциональную зависимость [Текст] / Л.Ю. Марушенко // Начальная школа. - 2007. - №7. - С. 44-51.

Статьи в сборниках научных трудов и тезисы докладов на научно-практических конференциях:

2. Марушенко, Л.Ю. К вопросу об изучении функций в школе [Текст] / Л.Ю. Марушенко // Новые технологии в обучении физике, математике и информатике: материалы региональной научно-практической конференции, посвященной памяти чл.-корр. РАЕН, проф., доктора педагогических наук A.A. Пинского. - Благовещенск: Издательство БЕЛУ, 2005.-С. 81-83.

3. Марушенко, Л.Ю. К проблеме изучения понятия функции в школьном курсе математики [Текст] / Л.Ю. Марушенко // Актуальные вопросы методики преподавания математики и информатики в свете модернизации Российского образования: сборник научных трудов Всероссийской научно-практической конференции, 17 апреля 2006 г. -Биробиджан: Изд-во ДВГСГА, 2006. - 263 с. - С. 49-50.

4. Марушенко, Л.Ю. Пропедевтика функциональной зависимости в курсе математики 5-6 классов средней школы [Текст] / Л.Ю. Марушенко // Новые технологии в обучении физике, математике и информатике: материалы региональной научно-практической конференции, посвященной памяти чл.-корр. РАЕН, проф., доктора педагогических наук A.A. Пинского. - Благовещенск: Издательство БГПУ, 2006. -С. 110-111.

5. Марушенко, Л.Ю. Арифметическая задача как средство формирования первых функциональных представлений у учащихся [Текст] / Л.Ю. Марушенко // Новые технологии в обучении физике, математике и информатике: материалы региональной научно-практической конференции, посвященной памяти чл.-корр. РАЕН, проф., доктора педагогических наук A.A. Пинского. - Благовещенск: Издательство БГПУ, 2007.-С. 107-115.

6. Марушенко, Л.Ю. Об оценке качества усвоения понятия функции учащимися старших классов [Текст] / Л.Ю. Марушенко // Новые технологии в обучении физике, математике и информатике: материалы региональной научно-практической конференции, посвященной памяти чл.-корр. РАЕН, проф., доктора педагогических наук A.A. Пинского. -Благовещенск: Издательство БГПУ, 2008. - С. 121-125.

Отпечатано в ООО «Компания Спутник+» ПД № 1-00007 от 25.09.2000 г. Подписано в печать 13.10.2009 Тираж 120 экз. Усл. п. л. 1,2 Печать авторефератов: 730-47-74,778-45-60

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Марушенко, Любовь Юрьевна, 2009 год

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО МАТЕРИАЛА В

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ

1.1. Понятие «функция» в науке и в школьной практике

1.2. Различные методические подходы к формированию понятия функция в современном школьном курсе алгебры

1.3. Дидактические условия реализации функциональной пропедевтики в 5-6 классах 27 Выводы по первой главе -

Глава 2. УЧЕБНЫЕ ЗАДАНИЯ КАК СРЕДСТВО ОРГАНИЗАЦИИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

5:6 КЛАССОВ, НАПРАВЛЕННОЙ НА ПОДГОТОВКУ К ФОРМИРОВАНИЮ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ

2.1. Учебные задания, направленные на формирование функциональных представлений у учащихся 5-6 классов

2.2. Формирование функциональных представлений у учащихся при решении задач на прямую и обратную пропорциональные зависимости '

2.3. Подготовка учащихся 6 класса к изучению понятия функции при изучении тем «Отношение», «Пропорции» и «Координатная плоскость» 61 Выводы по второй главе

Глава 3. ОРГАНИЗАЦИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

3.1. Цели экспериментальной работы

3.2. Сравнительный эксперимент в 6 классах

3.3. Сравнительный эксперимент в 7-8 классах 101 Выводы по третьей главе 113 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 115 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации по педагогике, на тему "Организация учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия функции"

Основные тенденции развития современного школьного образования находят свое выражение в идеях гуманизации, гуманитаризации, деятельностного и личностно-ориентированпого подхода к организации учебного процесса. В русле этих тенденций изменяет свои цели и математическое образование.

В качестве основополагающего принципа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе выдвигается принцип приоритета развивающей функции обучения. «В соответствии с этим принципом главной задачей обучения математике становится общеинтеллектуальное развитие -формирование у учащихся в процессе изучения математики качеств мышления, необходимых для полноценного функционирования человека в современном обществе, для динамичной адаптации человека к этому обществу» [33, с. 59].

Не утратила своей актуальности и цель сохранить фундаментальность российского образования. В концепции модернизации российского образования на период до 2010 года сказано, что «.фундаментальным понятием школьной математики, составляющим основу ее практических приложений, является понятие функции. Идея функциональной зависимости - основополагающая для понимания и изучения процессов и явлений, происходящих в природе и обществе» [63].

На современном этапе развития школьного образования с понятием функции учащиеся встречаются в курсе алгебры и поэтому не случайно предметом диссертационных исследований стали: процесс формирования функциональных умений и навыков у учащихся в курсе алгебры средней школы (М.В.Ткачева, 1987 [130]), сопоставление функциональной и алгоритмической линий с целью совершенствования методики изучения материала функциональной линии (Е.К. Попова, 1990 [112]), графические умения и навыки (Л.М. Савинцева, 1992 [117]), применение компьютерных технологий к изучению функций (М.Е. Степанов, 1994 [121], Е.В. Никольский, 2000 [106]), система изучения функций, их свойств и графиков в условиях личностно-ориентированного обучения (Л.В. Тихонова, 2002 [129]), дифференцированный подход при формировании понятия функции (И.В. Антонова, 2004 [8]), разработка методики модульного изучения функциональной линии (О.В. Мишенина, 2004 [95]).

Обосновывая основные положения авторской концепции курса алгебры, А.Г. Мордкович пишет: «Сложное математическое понятие (.такое, как функция.) следует вводить при выполнении двух условий:

I) у учащихся накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия - опыт, содействующий пониманию всех слов, содержащихся в определении (вербальный опыт) и опыт использования понятия на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях (генетический опыт);

2) у школьников появилась потребность в формальном определении понятия» [100, с.5].

Мы полагаем, что методическая реализация - первого условия может начинаться не в курсе алгебры, а значительно раньше, до знакомства учащихся с понятием «функция», то есть в курсе математики 1-6 классов. Конечно, при этом необходимо учитывать возрастные особенности учащихся, тот программный материал, который изучается в этих классах, а также делать это «совершенно непринужденно, исподволь, не обременяя детского сознания непосильными ему абстракциями, и в то же время настойчиво, планомерно и повседневно вести формирование навыков функционального мышления» [141, с.37].

В числе исследований, посвященных функциональной пропедевтике в начальных классах, можно назвать диссертации М.А. Байтовой (1961 [9]), Л.Г. Петерсон (1985 [111]), Е.Д. Цыдыповой (1994 [145]). В работе М.А. Байтовой исследовалось формирование представления о функциональной зависимости у младших школьников в процессе решения определенных типов задач на прямую и обратную пропорциональные зависимости, позволяющих на конкретном материале рассматривать идею соответствия путем раскрытия существующих связей и зависимостей без использования специальной терминологии, относящейся к понятию функции.

Особый интерес с точки зрения нашего исследования представляет диссертация Е.Д. Цыдыповой, в которой функциональная пропедевтика направлена на формирование у детей 1 -4 классов представлений об изменении, соответствии, закономерностях и зависимостях.

Приоритет в современном математическом образовании деятельностного метода, его направленность на развитие интуиции, логического мышления, на способность учащихся применять знания и умения в практической деятельности создают условия для продолжения этой работы в курсе математики 5-6 классов, предметное содержание которых включает такие понятия как «прямая и обратная пропорциональная зависимости»,' «координатная плоскость», «график» и т.д.

Это обусловило выбор темы диссертационного исследования, актуальность которой определяется:

- модернизацией математического образования на современном этапе развития школы;

Объект исследования - процесс обучения математике в 5-6 классах. Предмет исследования - средства и способы организации учебной деятельности учащихся, направленной на подготовку к формированию понятия функции в процессе обучения математике в 5-6 классах.

Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:

1. Выявить состояние проблемы изучения функционального материала в теории и практике обучения математике.

4. Провести педагогический эксперимент с целью проверки гипотезы исследования.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:

- экспериментальные: анкетирование, тестирование, наблюдение, беседы с учителями и учащимися, констатирующий, формирующий и сравнительный педагогические эксперименты, экспериментальное преподавание (организация учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия функции посредством учебных- заданий), статистические методы интерпретации данных педагогического эксперимента.

Организация исследования. Исследование проводилось с 2003 года по 2009 год и включало три этапа.

На первом этапе (2003-2004 гг.) анализировалась психолого-педагогическая литература по проблемам развития мышления, осуществлялся анализ программ и учебников для 5-6 классов с точки зрения 'возможности организации деятельности учащихся, направленной на подготовку к формированию понятия функции. ?

На втором этапе (2005-2008 гг.) выявлялись условия, в которых возможно организовать деятельность учащихся 5-6 классов, направленную на подготовку к формированию понятия функции, разрабатывались виды заданий, способствующих формированию у учащихся 5-6 классов функциональных представлений и понятий, необходимых для восприятия и усвоения понятия «функция»; проводились, формирующий и сравнительный эксперименты, в процессе которых проверялась эффективность учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия функции посредством учебных заданий.

Научная новизна проведенного исследования состоит в том, что:

1. Выявлены, теоретически обоснованы и экспериментально проверены дидактические условия эффективной подготовки учащихся к восприятию и усвоению понятия функции в курсе математики 5-6 классов: наличие в курсе математики идей, непосредственно связанных с функциональными представлениями, таких как идея изменения, соответствия, закономерности и зависимости; наличие в содержании курса математики понятий, необходимых для осознанного усвоения понятия функции; создание проблемных ситуаций в процессе усвоения программного содержания; систематическое использование различных моделей (предметной, вербальной, символической, схематической и графической); использование учебных заданий, в основу которых положены приемы выбора, сравнения, преобразования и конструирования; организация целенаправленного наблюдения, сравнения, анализа и обобщения в процессе выполнения учебных заданий.

2. Разработаны ситуационные задачи для оценки сформированности функциональных умений.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что: .

1. Определены виды заданий в курсе математики 5-6 классов, способствующие формированию функциональных представлений и понятий, необходимых для восприятия и усвоения понятия «функция» (на тождественные преобразования числовых выражений (равенств) на основе смысла арифметического действия; на соотнесение предметной модели с числовым выражением (равенством); на соотнесение предметной, графической и символической моделей; на выявление закономерности; на установление соответствия между символическими моделями; на конструирование символической модели по заданной вербальной модели; на выбор символической модели, соответствующей вербальной модели; на конструирование числовых равенств по заданным условиям; на установление соответствия между символической и графической моделью; на выбор графической модели соответствующей символической модели; на преобразование на плоскости; на конструирование графической модели, соответствующей символической модели и т.д.). 2. Выявлены основные характеристики заданий, направленных на подготовку учащихся к восприятию и усвоению понятия функции (вариативность, неоднозначность решений, нацеленность на формирование приемов умственной деятельности (таких, как анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация и обобщение), отображение разнообразных закономерностей и зависимостей, включенность их в содержательную линию курса математики 5-6 классов).

Обоснованность и достоверность полученных в диссертационном исследовании результатов' и выводов обеспечивается методами исследования, адекватных задачам.

На защиту выносятся следующие положения:

1, Для организации учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на* эффективную подготовку к формированию понятия функции должны выполняться следующие дидактические условия: наличие в курсе математики идей, непосредственно связанных с функциональными представлениями, таких как идея изменения, соответствия, закономерности и зависимости; наличие в содержании курса математики понятий, необходимых для осознанного усвоения понятия функции; создание проблемных ситуаций в процессе усвоения программного содержания; систематическое использование различных моделей (предметной, вербальной, символической, схематической и графической); использование учебных заданий, в основу которых положены приемы выбора, сравнения, преобразования и конструирования; организация целенаправленного наблюдения, сравнения, анализа и обобщения в процессе выполнения учебных заданий.

2. Для организации деятельности учащихся, направленной на формирование функциональных представлений и понятий, необходимых для восприятия и усвоения понятия «функция», целесообразно использовать учебные задания следующих видов: задания на тождественные преобразования числовых выражений (равенств) на основе смысла арифметического действия; на соотнесение предметной модели с числовым выражением (равенством); на соотнесение предметной, графической и символической моделей; на выявление закономерности; на установление соответствия между символическими моделями; на конструирование графической модели по заданной графической модели; на конструирование символической модели « » по заданной вербальной модели; на выбор символической модели, соответствующей вербальной модели; на конструирование числовых равенств по заданным условиям; на установление соответствия между символической и графической моделью; на выбор графической модели соответствующей символической модели; на преобразование на плоскости; на конструирование графической модели, соответствующей символической модели и т.д.

4. Для оценки сформированности функциональных умений целесообразно использовать ситуационные задачи.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по третьей главе

В ходе констатирующего эксперимента организовывались беседы с учащимися 5-8 классов, проводились контрольные работы, как в основной, так и в старшей школе, по результатам выполнения которых были выявлены трудности, возникающие у учащихся при усвоении понятия функции.

Для проведения формирующего этапа эксперимента в качестве эксперимерггальных классов были выбраны классы, в которых соблюдались дидактические условия, выделенные в первой главе нашего исследования и была организована деятельность учащихся, подготавливающая к восприятию понятия функции, посредством учебных заданий, направленная на формирование функциональных представлений и понятий, необходимых для усвоения понятия функции, описанная во второй главе. В качестве контрольных классов были выбраны классы, в которых специальной работы не проводилось и указанные дидактические условия целенаправленно не создавались. Следует отметить, что как в контрольных, так и в экспериментальных классах содержание курса математики совпадало, темы изучались одни и те же и состав классов, по пятибалльной оценке за курс математики начальной школы, был одинаковым.

Результаты проведенного сравнительного эксперимента дают возможность констатировать, что у учащихся экспериментальных классов:

- к концу б класса сформированы понятия и умения, необходимые для осознанного восприятия понятия функции и они способны применять для решения практических задач;

- к моменту изучения функционального материала сформированы функциональные представления (представления об изменении, зависимости, соответствии, правиле);

- после изучения функционального материала к концу 7 и к концу 8 класса сформированы соответствующие функциональные умения;

- сформировано понятие функции, о чем свидетельствует то, что они осознанно могут применить это понятие к решению практических задач.

Таким образом, полученные результаты позволили сделать вывод о том, что организация деятельности учащихся 5-6 классов, направленная на подготовку к формированию понятия функции в курсе математики посредством учебных заданий оказала положительное влияние на качество усвоения понятия «функция» в курсе алгебры средней школы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационном исследовании разработана и научно обоснована организация учебной деятельности учащихся 5-6 классов, направленной на подготовку к формированию понятия функции посредством учебных заданий.

Целью исследования явилось разработка учебных заданий, включение которых в процесс обучения математике учащихся 5-6 классов, обеспечит их подготовку к восприятию и усвоению понятия функции в курсе алгебры.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи: На основе анализа научной, учебно-методической и учебной выявлено состояние проблемы изучения функционального материала в теории и практике обучения математике

Выявлены и обоснованы дидактические условия, при которых возможно организовать учебную деятельность учащихся 5-6 классов, направленную на эффективную подготовку к формированию понятия функции: наличие в курсе математики идей, непосредственно связанных с функциональными представлениями, таких как идея изменения, соответствия, закономерности и зависимости; наличие в содержании курса математики понятий, необходимых для осознанного усвоения понятия функции; создание проблемных ситуаций в процессе усвоения программного содержания; систематическое использование различных моделей (предметной, вербальной, символической, схематической и графической); использование учебных заданий, в основу которых положены приемы выбора, сравнения, преобразования и конструирования; организация целенаправленного наблюдения, сравнения, анализа и обобщения в процессе выполнения учебных заданий.

Разработаны учебные задания следующих видов: задания на тождественные преобразования числовых выражений (равенств) на основе смысла арифметического действия; на соотнесение предметной модели с числовым выражением (равенством); на соотнесение предметной, графической и символической моделей; на выявление закономерности; на установление соответствия между символическими моделями; на конструирование символической модели по заданной вербальной модели; на выбор символической модели, соответствующей вербальной модели; на конструирование числовых равенств по заданным условиям; на установление соответствия между символической и графической моделью; на выбор графической модели соответствующей символической модели; на преобразование на плоскости; на конструирование графической модели, соответствующей символической модели и т.д.

Экспериментально проверена эффективность разработанных учебных заданий в процессе обучения математике в 5-6 классах. Для этой цели разработаны ситуационные задачи, позволяющие проверить сформированность функциональных умений и способность учащихся применять знания и умения к решению практико-ориентированных задач. Результаты, полученные в ходе педагогического эксперимента, подтвердили гипотезу исследования.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Марушенко, Любовь Юрьевна, Москва

1. Акулова, О.В. Конструирование ситуационных задач для оценки компетентности учащихся: учебно-методическое пособие для педагогов школ Текст. / О.В. Акулова, С.А. Писарева, Е.В. Пискунова. — СПб.: КАРО, 2008. 96 с.

2. Алгебра и начала анализа Текст.: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.Н. Колмогоров, A.M. Абрамов, Ю.П. Дудницын [и др.]; под ред. А.Н. Колмогорова. 13-е изд. - М.: Просвещение, 2003. — 384 с.

3. Алгебра Текст.: учеб. для 7 кл. сред. шк. / Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В. Сидоров [и др.] 2-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 191 с.

4. Алгебра Текст.: учеб. для 7 кл. сред. шк. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. -3-е изд. М.: Просвещение, 1993. - 240 с.

5. Алгебра Текст.: учеб. для 8 кл. сред. шк. / С.М. Никольский, М.К.Потапов, H.H. Решетников, A.B. Шевкин. 5-е изд. -М.: Просвещение, 2007. - 287 с.

6. Аммосова, Н.В. Понятие функциональной зависимости в школе Текст. /Н.В. Аммосова//Начальная школа.- 2000.- №5.- С. 109-114.

7. Андреев, В.И. Эвристическое программирование , учебно-исследовательской деятельности Текст. / В.И. Андреев. — М.: Прометей, 1981.-240 с.

8. Антонова, И.В. Дифференцированная работа учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы Текст.: автореф. дис. . канд. пед. наук. / И.В. Антонова. Саранск, 2004.- 19 с.

9. Бантова, М.А. Работа над пропорциональной зависимостью величин в начальной школе и ее перспективное значение Текст.: автореф. дис. . канд. пед. наук. / М.А. Бантова. Л., 1961. - 19 с.

10. Богоявленский, Д. Н. Приёмы умственной деятельности и их формирование у школьников Текст. / Д.Н. Богоявленский // Вопросы психологии. 1969. - №2 - С.25-28.

11. Богоявленский, Д. Н. Психология усвоения знаний в школе Текст. / Д.Н. Богоявленский, Н. А. Менчинская. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959.- 347 с.

12. Бурбаки, Н. Теория множеств Текст. / Н. Бурбаки. — М.: Мир, 1965. . 456 с.

13. Виленкин, Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты Текст. / Н.Я. Виленкин // Математика в школе.- 1988.-№4.-С. 7-14.

14. Виленкин, Н.Я. Функции в природе и технике Текст. / Н.Я. Виленкин. -М.: Просвещение, 1985. 192 с.

15. Воителева, Г.В. Преемственность в изучении чисел в начальной и основной школе Текст.: дисс. . канд. пед. наук / Г.В. Воителева. М., 1999.- 179 с.

16. Выготский, JI.C. Лекции по педологии 1933-1934 Текст. / Л.С. Выготский. Ижевск: Изд-во Удмурд. ун-та, 1996.

17. Выготский, Л.С. Лекции по психологии Текст. / Л.С. Выготский. СПб.: Союз, 1997. —144 с.

18. Выготский, Л.С. Психология развития ребенка Текст. / Л.С. Выготский. -М.: ЭКСМО, 2005. — 507 с.

19. Гальперин, П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка Текст. / П.Я. Гальперин. -М.: МГУ, 1985. 45 с.

20. Гладкая, И.В. Оценка образовательных результатов школьника Текст.: учебно-методическое пособие / И.В. Гладкая; под общ. ред. А.П. Тряпицыной. СПб.: КАРО, 2008. - 144 с.

21. Глейзер, Г.И. История математики в школе IX-X классы Текст. /Г.И. Глейзер. М.: Просвещение, 1983. - 350 с.

22. Гончаров, B.JI. Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика в средних классах школы Текст. / B.JI. Гончаров // Математика в школе. 1996.- №3.- С.7-14.

23. Горина, О.П. Проблемные задания как средство организации развивающего обучения математике в 5-6 классах Текст.: дисс. . канд. пед. наук / О.П. Горина. -М., 2002. 130 с.

24. Городниченко, О.Э. Преемственность в изучении уравнений между начальной и средней школой Текст.: дисс. . канд. пед. наук / О.Э. Городниченко. М., 2000. - 181 с.

25. Грабарь, М.И. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы Текст. / М.И. Грабарь, К.А. Краснянская. М.: «Педагогика», 1977. - 136 с.

26. Гурский, И.П. Функции и построение графиков Текст.: псобие для учителей / И.П. Гурский. М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1961. - 216 с.

27. Гуськов, В.А. Об одной проверке качества усвоения понятия функции Текст./ В.А. Гуськов // Математика в школе. 1981. - №1. - С. 50-52.

28. Гуськов, В.А. Функциональная пропедевтика и трактовка понятия функции Текст.: автореф. дис. . канд. пед. Наук / В.А. Гуськов. М., 1985.- 14 с.

29. Давыдов, В.В. Концепция учебной деятельности школьников Текст. / В.В. Давыдов, А.К. Маркова // Вопросы психологии.- 1981. №6. -С. 13-26.

30. Давыдов, В.В. О понятии развивающего обучения Текст. / В.В. Давыдов // Педагогика.- 1995. №1. - С. 29-39.

31. Давыдов, В.В. Теория развивающего обучения Текст. / В.В. Давыдов. — М.: Просвещение.- 1996.-580 с.

32. Денищева, Л.О. Проверка компетентности выпускников средней школы при оценке образовательных достижений по математике Текст. / JI.O. Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Краснянская // Математика в школе. -2008.-№6.-С. 19-30.

33. Дорофеев, Г. В. Гуманитарно-ориентированный курс основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе Текст. / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. — 1997. - №4. - С.59-66.

34. Дорофеев, Г.В. Математика. 5 класс Текст. / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. Часть 1. -М.: Издательство «Ювента», 2002. - 176 с.

35. Дорофеев, Г.В. Математика. 5 класс Текст. / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. Часть 2. - М.: Издательство «Ювента», 2004. - 240 с.

36. Дорофеев, Г.В. Математика. 6 класс Текст. / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. Часть 1. - М.:«Баласс», 2003. - 112 с.

37. Дорофеев Г.В. Математика. 6 класс Текст. / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. Часть 2. - М.:«Баласс», «С-инфо», 2003. - 128 с.

38. Дорофеев, Г.В. Математика. 6 класс Текст. / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. Часть 3. - М.:«Баласс», «С-инфо», 2002. - 176 с.

39. Дорофеев, Г. В. О принципах отбора содержания школьного математического образования Текст. / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. 1990. - №6.- С.2-5.

40. Дорофеев, Г.В. Понятие функции в математике и в школе Текст. / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. 1978. - №2. - С. 10-27.

41. Дукарт, М. Научно-методические основы развивающего учебника математики для начальных классов. Текст.: дисс. . канд. пед. наук / М. Дукарт. М., 2000. - 135 с.

42. Епишева, О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода Текст. / О.Б. Епишева. М.: Просвещение, 2003.-223 с.

43. Епишева, О.Б. Учить школьников учиться математике Текст. / О.Б. Епишева, В.И. Крупич. М.: Просвещение, 1990. - 128 с.

44. Забежанская, H.H. Пропедевтика функциональных представлений у учащихся 4-5 классов Текст.: автореф. дис. . канд. пед. наук / H.H. Забежанская. Алма-Ата, 1975. — 26 с.

45. Занков, J1.B. Избранные педагогические труды Текст. / JI.B. Занков; сост. М.В. Зверева, Н.К. Индик, В.В. Занков. 3-е изд., доп. - М.: Дом педагогики, 1999. - 606 с.

46. Зимняя И. А. Педагогическая психология: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по пед. и психол. направлениям и специальностям Текст. / И.А. Зимняя. Изд. 2-е, доп., испр. и перераб. - М.: Логос, 2005. -382 с.

47. Ильенков, Э.В. Школа должна учить мыслить Текст. / Э.В. Ильенков // Народное образование. 1964. - №1. - с. 2 -16.

48. Истомина, Н.Б. Математика Текст.: учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений / Н.Б. Истомина. — 4-е изд., испр. и доп. Смоленск: «Ассоциация XXI век», 2007. 240 с.г

49. Истомина, Н.Б. Математика Текст.: учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений / Н.Б. Истомина. 4-е изд., испр. и доп. - Смоленск: «Ассоциация XXI век», 2007. - 208 с.

50. Истомина, Н.Б. Математика. Натуральные числа и нуль Текст.: рабочая тетрадь к учебнику 5 класса общеобразовательных учреждений в 3 ч. Ч. 1 / Н.Б. Истомина, Г.В. Воителева. 4-е изд., испр. и доп. - Смоленск: Ассоциация XXI век, 2007. - 64 с.

51. Истомина, Н.Б. Математика. Обыкновенные дроби Текст.: рабочая тетрадь к учебнику 5 класса общеобразовательных учреждений в 3 ч. Ч. 2

52. Н.Б. Истомина, Г.В. Воителева. 4-е изд., испр. и доп. - Смоленск: Ассоциация XXI век, 2007. - 64 с.

53. Истомина, Н.Б. Математика. Десятичные дроби Текст.: рабочая тетрадь к учебнику 5 класса общеобразовательных учреждений в 3 ч. Ч. 3 / Н.Б. Истомина, Г.В. Воителева. — 4-е изд., испр. и доп. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2007. 64 с.

54. Истомина, Н.Б. Математика. Обыкновенные и десятичные дроби Текст.: рабочая тетрадь к учебнику 6 класса общеобразовательных учреждений в 2 ч. Ч. 1 / Н.Б. Истомина, З.Б. Редько. 4-е изд., испр. и доп. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2007. - 64 с.

55. Истомина, Н.Б. Математика. Рациональные числа Текст.: рабочая тетрадь к учебнику 6 класса общеобразовательных учреждений в 2 ч. Ч. 2 / Н.Б. Истомина, З.Б. Редько. — 4-е изд., испр. и доп. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2007. 64 с.

56. Истомина, Н.Б. Методическая система развивающего обучения математике в начальной школе Текст.: автореферат дисс. док. пед. наук / Н.Б. Истомина-М. -1996.-36 с.

57. Истомина, Н.Б. Уроки математики: 5 класс. Содержание курса. Планирование уроков. Методические рекомендации Текст.: пособие для учителей / Н.Б. Истомина, З.Б. Редько. Смоленск: Ассоциация XXI век, 2007.-232 с.

58. Истомина, Н.Б. Уроки математики: 6 класс. Содержание курса. Планирование уроков. Методические рекомендации Текст.: пособие для учителей / Н.Б. Истомина, З.Б. Редько. Смоленск: Ассоциация XXI век, 2007. - 224 с.

59. Истомина-Кастровская, Н.Б. Эволюция учебных заданий в связи с изменением содержания обучения (На материале начальной школы) Текст.: дисс. канд. пед. наук / Н.Б. Истомина-Кастровская. — М.- 1973. -120 с.

60. Кабанова-Меллер, E.H. Учебная деятельность и развивающее обучение Текст. / E.H. Кабанова-Меллер. М.: Знание, 1981. - 96 с.

61. Кабанова-Меллер, E.H. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся Текст. / E.H. Кабанова-Меллер. М.: Просвещение, 1968. — 288 с.

62. Карпенко, Г.М. Изучение функций в V и VI классах на основе понятий множества и соответствия Текст. / Г.М. Карпенко // Математика в школе. 1949.- №6 - С.9 - 18.

63. Клецкина, A.A. Организация вычислительной деятельности младших школьников в системе развивающего обучения Текст.: дисс. . канд. пед. наук / A.A. Клецкина. М., 2001. - 152 с.

64. Колмогоров, А.Н. Что такое функция? Текст. / А.Н. Колмогоров //Математика в школе. 1978. - №2; - С.27-29.

65. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года Текст. // Вестник образования. 2002. - №6. - С. 11-40.

66. Краснянская, К.А. Оценка математической подготовки школьников по результатам международного тестирования: кн. для учителя Текст. / К.А. Краснянская, JI.B. Кузнецова. М.: Просвещение, 1995. - 96 с.

67. Крупич, В. И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе Текст. / В.И. Крупич. — М.: М-во просвещ. РСФСР, МПГИ им. В.И. Ленина, 1985. 117 с.

68. Кузнецов, В.Т. К вопросу о введении понятия функции в средней школе Текст. / В.Т. Кузнецов // Математика в школе. — 1954. №4. - С. 35-40.

69. Леонтьев, А. Н. Умственное развитие ребенка Текст. / А.Н. Леонтьев.-М.:Правда, 1950.- 32 с.

70. Лернер, И. Я. Дидактические основы методов обучения Текст. / И.Я. Лернер.— М.: Педагогика, 1981. 185 с.

71. Лернер, И. Я. Проблемное обучение Текст. / И.Я. Лернер. — М.: Знание, 1974.-64 с.

72. Лобанов, А.П. Когнитивная психология: от ощущений до интеллекта: учеб. пособие Текст. / А.П. Лобанов Минск: Новое знание, 2008. -376 с.

73. Лященко, Е.И. Содержание и система упражнений, раскрывающая идею функции в курсе алгебры восьмилетней школы Текст.: автореф. дис. . канд. пед. наук / Е.И. Лященко. Л., 1967. - 20 с.

74. Майер, P.A. Задачи, направленные на развитие функционального стиля мышления школьников Текст. / P.A. Майер // Роль и место задач в обучении математике Сб. статей под ред. Ю.М. Колягина. — М.: Ротапринт НИИ школ МП РСФСР, 1973.- С. 36-51.

75. Майер, P.A. Задачи по формированию функциональных понятий Текст. / P.A. Майер. М.: Просвещение, 1965.- 112 с.

76. Майер, P.A. Система задач с функциональным содержанием в курсе алгебры восьмилетней школы Текст.: автореф. дис. . канд. пед. наук / P.A. Майер. М., 1972.- 19 с.

77. Математика Текст.: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин [и др.]; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. 9-е изд. - М: Просвещение, 2007. -302 с.

78. Математика Текст.: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин [и др.]; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. 9-е изд., стереотип. - М: Просвещение, 2007. — 301 с.

79. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс Текст.: учеб. для общеобразоват. учеб. Заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова,

80. Е.А. Бунимович и др.; под ред. Г.В. Дорофеева. 8-е изд., с испр. - М: Просвещение, 2007. — 255 с.

81. Математика Текст.: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, A.C. Чесноков, С.И. Шварцбурд. — 24-е изд., испр. М.: Мнемозина, 2008. - 279 с.

82. Математика Текст.: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, A.C. Чесноков, С.И. Шварцбурд. — 23-е изд. М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.

83. Матюшкин, A.M. Психология мышления. Мышление как разрешение проблемных ситуаций Текст.: учеб. пособие для студ. вузов, обучающихся по направлению и специальностям психологии / A.M. Матюшкин; под ред. A.A. Матюшкиной. М.: КДУ, 2009. - 190 с.

84. Матюшкин, A.M. Проблемные ситуации в мышлении и обучении Текст. / A.M. Матюшкин. М., 1977.

85. Марнянский, И.А. Пути преодоления устойчивых ошибок вфункциональной подготовке учащихся Текст.: автореф. дис. . канд.пед. наук / И.А. Марнянский. М., 1967. - 16 с.

86. Менчинская, H.A. К проблеме психологии усвоения знаний Текст. / H.A. Менчинская. Известия АПН РСФСР, вып. 61, 1954.

87. Менчинская, H.A. Проблемы обучения, воспитания и психического развития ребенка Текст. / H.A. Менчинская. М.: Изд-во МПСИ, Воронеж: МОДЭК, 2004.- 511 с.

88. Менчинская, Н. А. Психологические проблемы активности личности в обучении Текст. / H.A. Менчинская.- М.: АПН СССР, 1971. 11с.

89. Менчинская, H.A. Психология усвоения понятий Текст. / H.A. Менчинская. М.: Известия АПН РСФСР, вып.28, 1950. - С. 3-16.

90. Метельский, Н. В. Психолого педагогические основы дидактики математики Текст. /Н.В. Метельский. - Минск, 1977. -158 с.

91. Методика и технология обучения математике. Курс лекций Текст.: пособие для вузов / Под науч. ред. Ы.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. -М.: Дрофа, 2005.-416 с.

92. Методика и технология обучения математике. Лабораторный практикум Текст.: учеб. пособие для студентов матем. факультетов пед. университетов / под науч. ред. В.В. Орлова. М.: Дрофа, 2007. - 320 с.

93. Минковскнй, В.Л. С.И. Шохор-Троцкий — педагог-новатор Текст. / В.Л. Минковский, Л.И. Муромцева // Математики в школе. 1978.- №1. - С.84-86.

94. Мишешша, О.В. Теория и методика изучения функций в основной школе в контексте модульного обучения Текст.: автореф. дис. . канд. пед. наук / О.В. Мишешша. Киров, 2004. - 18 с.

95. Мищенко, A.C. О некоторых принципах преподавания математики в школе Текст. / A.C. Мищенко, Л.С. Понтрягин // Математика в школе. -1982. №2. - С.50 - 55.

96. Мордкович, А.Г. Алгебра Текст.: 7 кл. в 2 ч. Ч. 1: учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. — 12-е изд., стер. М.: Мнемозина, 2009. - 160 с.

97. Мордкович, А.Г. Алгебра Текст.: 8 кл. в 2 ч. Ч. 1 учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. — 10-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2008. 223 с.

98. Мордкович, А.Г. Алгебра Текст.: 9 кл. в 2 ч. Ч. 1 учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. 10-е изд., перераб. — М.: Мнемозина, 2008. - 192 с.

99. Мордкович, А.Г. Алгебра 7-9 кл. Текст.: методическое пособие для учителя / А.Г. Мордкович. 3-е изд. - М.: Мнемозина, 2004. - 144 с.

100. Мордкович, А.Г. Беседы с учителями математики Текст.: учеб. метод, пособие / А.Г. Мордкович. 2-е изд., доп. и перераб. - М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2005. - 336 с.

101. Мордкович, А.Г. Методические проблемы изучения элементов математического анализа в общеобразовательной школе Текст. / А.Г. Мордкович // Математика в школе. 2002. - №9. - с.2-12.

102. Мухина, B.C. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество: учебник для студ. вузов Текст. / B.C. Мухина. — 5-е изд., стереотип. М.: Издательский центр «Академия», 2000. — 456 с.

103. Нестерук, О.В. Формирование тригонометрических представлений учащихся в курсе геометрии основной школы Текст.: дисс. . канд. пед. наук / О.В. Нестерук. М., 2006. - 271 с.

104. Никитина, Л.И. Функциональная пропедевтика в контексте развивающего обучения математике Текст. / Л.И. Никитина // Развивающее обучение математике: Межвузовский сборник научных статей / Под ред. проф. А.К. Артемова. Пенза: ПГПУ, 1999. - С.92-95.

105. Никольский, Е.В. Визуализация функциональных зависимостей компьютерными средствами в курсе математики средней школы Текст.: дис. . канд. пед. наук / Е.В. Никольский. Арзамас, 2000. - 205 с.

106. Новоселов, С.И. Учение о функциях в средней .школе Текст. / С.И. Новоселов // Математика в школе,- 2004. №9. - с.47-53.

107. Новоселов, С.И. Учение о функциях в средней школе Текст. / С.И. Новоселов // Математика в школе.- 2004. №10. - с.57-64.

108. Овсянников, A.B. К реформе системы школьного образования. Проект A.B. Овсянникова С.И. Шохор-Троцкого / A.B. Овсянников, С.И. Шохор-Троцкий // Русская школа. 1906. - №5-6. - 40 с.

109. Песков, Т.А. Об изучении функций в средней школе Текст. / Т.А. Песков //Математика в школе. 1951. - №5. - С.52-55.

110. Петерсон, Л.Г. Моделирование как средство формирования представлений о понятии функции Текст.: дисс. . канд. пед. наук / Л.Г. Петерсон. М., 1984. - 201 с.

111. Попова, E.K. Взаимосвязь функциональной и алгоритмической линий школьного курса алгебры Текст.: дисс. . канд. пед. наук / Е.К. Попова. -М., 1990.-222 с.

112. Программы общеобразовательных учреждений: основная школа. М.: Просвещение, 1994.

113. Психологический словарь / Под ред. В.П. Зинченко, Б.Г. Мещерякова. -М.: Педагогика, 1996. 439 с.

114. Рамзаева, A.A. Теоретико-множественная основа изучения функций в восьмилетней школе Текст.: автореф. дис. . канд. пед. наук /A.A. Рамзаева.-М., 1970.- 18 с.

115. Пб.Редько, З.Б. Технология продуктивного повторения в процессе обучения математике в 5-6 классах Текст.: дисс. . канд. пед. наук / З.Б. Редько. — М, 2005.- 149 с.

116. Савинцева, J1.M. Формирование графических умений и навыков в курсе алгебры, средней школы Текст.: дисс. . канд. пед. наук / JIM. Савинцева. -М., 1992. 160 с.

117. Сластенин В.А. Общая педагогика Текст.: учеб. пособие для высш. учеб. заведений / В.А. Сластенин, И.Ф. Исаев, E.H. Шиянов; под ред. В.А. Сластенина. В 2 ч. - 4.1. - М.: ВЛАДОС, 2003. - 288 с.

118. Севбо, В.И. Введение математического понятия функции в средней школе Текст./ В.И. Севбо // Математика в школе. 1953. - №5. - С.16 -21.

119. Севбо, В.И. Функциональная зависимость в школьной математике Текст.: дисс. канд. пед. наук / В.И. Севбо. — Ужгород, 1949. 263 с.

120. Степанов, М.Е. Особенности применения компьютерной технологии для изучения функций в средней школе Текст.: автореф. дис. . канд. пед. наук / М.Е. Степанов. М., 1994. - 18 с.

121. Столяр, A.A. Педагогика математики Текст.: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ A.A. Столяр. Мн.: Высш. шк., 1986. — 414 с.

122. Талызина, Н. Ф. Педагогическая психология Текст.: учебник для студентов общеобразоват. учреждений сред. проф. образования / Н.Ф. Талызина. 6-е изд., стер. - М.: Академия, 2008. - 287 с.

123. Талызина, Н. Ф. Управление познавательной деятельностью учащихся Текст. /Н.Ф. Талызина. М., 1975.

124. Талызина, Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний Текст. / Н.Ф. Талызина. — М.: Изд-во МГУ, 1984. 344 с.

125. Талызина, Н. Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников Текст. / Н.Ф. Талызина. —М.: Знание, 1983. 96с.

126. Теляковский, С.А. О понятии функции в школьном курсе математики Текст./ С.А. Теляковский // Математика в школе. — 1989. №4. - С. 9091.

127. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах Текст. / А.К. Артемов, Н.Б. Истомина, Г.Г. Микулина [и др.]; под. ред. Н.Б. Истоминой. — М.: Ин-т практич. психологии. Воронеж: МОДЭК, 1996. - 220 с.

128. Тихонова, JI. В. Методические особенности формирования функционально-графической линии курса алгебры в условиях личностно-ориентированного обучения Текст.: дисс. . канд. пед. наук / JI.B. Тихонова. Чебоксары, 2002. - 208 с.

129. Ткачева, М.В. Формирование функциональных умений учащихся в процессе изучения курса алгебры в средней школе Текст.: дисс. . канд. пед. наук/ М.В. Ткачева. -М., 1987. 180 с.

130. Томашевич, Ф.В. Понятие функции в школьном курсе Текст. / Ф.В. Томашевич // Математика в школе. 1954. - №4. - С. 25-32.

131. Усова, A.B. Психолого-дидактические основы формирования у учащихся научных понятий Текст. / A.B. Усова. Челябинск, 1978. - 100 с.

132. Усова, A.B. Актуальные проблемы развития современной системы школьного образования Текст.7 A.B. Усова. // Наука и школа. — 1999. -№4.

133. Философский словарь Текст.! / Под ред. И.Т. Фроловой. М.: Политиздат, 1991. — 5 60"с.

134. Фридман, Л.В. Изучение процесса личностного развития ученика Текст.: пособие для студентов, учителей и шк. психологов / Л:В; Фридман. — 2-е изд., перераб: и доп. М.: Ин-т практ. психологии; Воронеж: МОДЭК, 1998.-57с. : ' • \

135. Фридман; Л.В: Как научиться решать задачи Текст.: книга для учащихся 9-11 кл. / Л1В. Фридман. Mi: Просвещение, 205. - 255 с.

136. Формирование знаний ^ и умений на основе теории поэтапного формирования умственных действий Текст. / Под ред. П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной. М.: Изд-во МГУ, 1968. - 135 с.

137. Хин чин, А.Я. Основные понятия математики и, математические определения Текст.-/ А.Я; Хинчин. М.: Учпедгиз, 1940. - 51 с.

138. Хинчин, А.Я. О формализме в школьном преподавании математики Текст. / А.Я. Хинчин // Педагогические статьи7 Под ред. Б.В. Гнеденко. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. - сЛ 06-127.вероятностей Текст. / Под ред. А.П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977.-224 с.

139. Цыдыпова, Е.Д. Функциональная пропедевтика в курсе математики начальных классов Текст.: автореф. дисс. . канд. пед. наук / Е.Д. Цыдыпова. -М., 1994. 15 с.

140. Цыдыпова, Е.Д. Функциональная пропедевтика в курсе математики начальных классов Текст.: дисс. . канд. пед. наук / Е.Д. Цыдыпова. М., 1993.- 127 с.

141. Черч, А. Введение в математическую логику Текст. / А. Черч. — т. I. — М.: Изд-во иностранной литературы. -1960. 486 с.

142. Чуприкова, Н.И. Умственное развитие и обучение: Принцип дифференциации Текст. / Н.И. Чуприкова. СПб.: Питер, 2007. - 448с.

143. Чуприкова, Н.И. Умственное развитие и обучение. Психологические основы развивающего обучения Текст. / Н.И. Чуприкова. М.: АО «СТОЛЕТИЕ», 1995.- 190 с.

144. Элысонин, Д.Б. Избранные психологические труды: Проблемы возрастной и педагогической психологии Текст. / Д.Б. Эльконин; под ред. Д.И. Фельдштейна. -М.: Междунар. пед. акад., 1995. -219 с.

145. Якиманская, И.С. Как развивать учащихся на уроках математики Текст. / И.С. Якиманская.- М., 1996.

146. Якиманская, И.С. Развивающее обучение Текст. / И.С. Якиманская.- М.: Педагогика, 1979. 144 с.

147. Яковлева, В. Л. Психологические условия развития творческого потенциала у детей школьного возраста Текст. / В.Л. Яковлева //Вопросы психологии. 1994. - №5. - С. 27.