Развитие базовых свойств мыслительных операций учащихся 5-6 классов при обучении математике

Ксенева, Вера Николаевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Развитие базовых свойств мыслительных операций учащихся 5-6 классов при обучении математике

Автореферат

Автор научной работы: Ксенева, Вера Николаевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Омск
Год защиты: 2004
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Развитие базовых свойств мыслительных операций учащихся 5-6 классов при обучении математике"

На правах рукописи

КСЕНЕВА ВЕРА НИКОЛАЕВНА

РАЗВИТИЕ БАЗОВЫХ СВОЙСТВ МЫСЛИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень общего среднего образования)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Омск - 2004

Диссертация выполнена на кафедре математики Томского государственного педагогического университета

Научный руководитель: кандидат педагогических наук, профессор

Эмануила Григорьевна Гельфман

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор

Защита состоится 21 сентября 2004 г. в 9.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.177.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора педагогических наук в Омском государственном педагогическом университете по адресу: 644099, г. Омск, наб. Тухачевского, 14, ауд. 212.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан «20» августа 2004 г.

Валерий Александрович Гусев; кандидат педагогических наук, доцент Роман Юрьевич Костюченко

Ведущая организация:

Кузбасская государственная педагогическая академия

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В документах по стратегии модернизации российского образования отмечается, что содержание образования - важнейшая составляющая образовательной системы и главная цель планируемых в ней изменений. Современное общество нуждается в интеллектуально развитых гражданах, умеющих не только и не столько усваивать знания и приобретать умения и навыки, сколько способных эти знания интерпретировать в соответствии с обстоятельствами, добывать их самостоятельно.

Для разрешения противоречия между потребностями общества и традиционными методами обучения необходима такая организация предметного содержания школьного математического образования, которая учитывала бы реальные механизмы интеллектуального развития учащихся. Многочисленные исследования (Е.И. Жилина, А.Л. Жохов, Л.С. Иванова, Н.Г. Килина, В.А. Колосова, Г.В. Краснослабоцкая, Л.Р. Приндуле, A.M. Пышкало, А.С. Сычиков, В.И. Таточенко, Ж. Фарсиян, М.Н. Чукота-ев и др.) показывают, что содержательные и психологические предпосылки усвоения алгебраического материала складываются на этапе обучения математике в 5-6 классах. В связи с этим актуальной является проблема выявления и создания методических условий, способствующих такому развитию мыслительной деятельности при изучении математики в 5-6 классах, которое давало бы учащимся возможность улучшить качество усвоения учебного предмета и подготовиться к изучению систематического курса алгебры. В качестве таких условий выступает развитие основных свойств мыслительных операций - системности, обратимости, рефлексивности, гибкости, формирование которых происходит с помощью специальных учебных текстов и заданий. В работах П.П. Блонского, Л. С. Выготского, В.А. Крутецкого, Н.С. Лукина, Ж. Пиаже, А.З. Редько, С.Л. Рубинштейна, М.А. Холодной и др. именно эти свойства мыслительных операций выделяются как базовые для понятийного уровня усвоения математического материала.

Особое место в курсе математики 5-6 классов занимает тема «Целые числа». На примере ее изучения учащиеся могут в явном виде познакомиться с мотивами, которые стимулируют введение новых математических объектов. При изучении операций сложения и умножения целых чисел предоставляется возможность обсудить целесообразность сохранения известных свойств операций над натуральными числами, а также развивать у учащихся умения анализировать, обобщать, обосновывать свои действия, видеть целостность объектов, явлений и т. д.

ГК. UAUMOKA.UHA* i ЯМ ПОТЁКА

3 с.н*«— оэ

Тема «Целые числа» традиционно считалась методистами переходной от арифметики к алгебре (И.В. Арнольд, К.С. Барыбин, А.Н. Барсуков, В.М. Брадис, И.А. Гибш, В.Л. Гончаров, П.Я. Дорф, В.Ф. Каган, М.Д. Кошкина, В.М. Кухарь, В.Н. Молодший, К.Ф. Лебединцев, В.В. Репьев, И. Ружа, А.А. Столяр, И.И. Чистяков, Ф.М. Шустеф и др.). Так, по словам А.И. Кострикина, алгебра определяется как «наука об алгебраических операциях, выполняемых над элементами различных множеств», а ее «истоки кроются в искусстве складывать, умножать и возводить в степень целые числа». Практика преподавания данной темы показывает, что ее возможности в развитии базовых свойств мыслительных операций далеко не полностью реализуются в школьном курсе математики.

Сказанное выше позволяет сделать вывод о том, что актуальность исследования, определяется противоречием между потенциальными возможностями курса математики для 5-6 классов (в частности, темы «Целые числа») как средства пропедевтики систематического курса алгебры на основе формирования таких базовых свойств мыслительных операций учащихся, как системность, обратимость, рефлексивность и гибкость, с одной стороны, и существующей практикой обучения математике в 5-6 классах, с другой стороны.

Разрешение данного противоречия составило проблему диссертационного исследования.

Целью данного диссертационного исследования является разработка и обоснование методических средств реализации психолого-педагогических требований, которым должна отвечать мыслительная деятельность учащихся 5-6 классов при обучении математике (на примере темы «Целые числа»).

Объектом данного исследования является процесс обучения математике учащихся 5-6 классов основной школы.

Предмет диссертационного исследования связан с выявлением и развитием средствами содержания математического образования у учащихся 5-6 классов базовых свойств мыслительных операций в качестве предпосылки последующего успешного освоения ими систематического курса алгебры.

При этом мы исходили из следующей гипотезы; если содержание образования (в частности, изучение темы «Целые числа») будет строиться с учетом особенностей развития базовых свойств мыслительных операций, то это позволит повысить уровень знаний по данной теме и обеспечит необходимую содержательную и психологическую подготовку учащихся 5-6 классов к изучению систематического курса алгебры.

Такой подход к организации процесса обучения обеспечит тем самым возможность целенаправленного руководства со стороны учителя

процессом развития мыслительных операций учащихся в плане оптимизации их мыслительной деятельности.

В соответствии с проблемой и гипотезой исследования и для реализации поставленной цели потребовалось решить следующие частные задачи:

1) определить роль темы «Целые числа» как средства пропедевтики систематического курса алгебры;

2) на основе анализа психолого-педагогической литературы выделить основные свойства мыслительных операций на понятийном уровне и определить требования к организации познавательной деятельности учащихся 5-6 классов, способствующие их развитию;

3) разработать систему деятельности учителя по преподаванию темы «Целые числа» с учетом развития базовых свойств мыслительных операций;

4) проверить уровень развития базовых свойств мыслительных операций учащихся, а также качество их подготовки к изучению систематического курса алгебры по итогам экспериментального обучения. .

Теоретико-методологическую основу исследования составили:

положения отечественных и зарубежных психологов по проблеме развития мышления (А.В. Брушлинский, Дж. Брунер, Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, А.З. Зак, E.^ Кабанова-Меллер, З.И. Калмыкова, A.M. Матюшкин, Н.А. Менчинская, Ж. Пиаже, Я.А. Пономарев, O.K. Тихомиров, А.С. Шаров, СИ. Шапиро, и др.);

исследования, посвященные формированию мыслительных операций (Л.С. Выготский, В.А. Гусев, В.А. Крутецкий, Ж. Пиаже, С.Л. Рубинштейн, СИ. Шапиро);

идеи деятельностного подхода в обучении (В.А. Байдак, Л.С Выготский, О.Б. Епишева, В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, Н.Г. Салмина, Н.Ф. Талызина, А.А. Столяр, Л.М. Фридман, Д.Б. Эльконин и др.);

теоретические достижения в области формирования понятийного мышления (М.Б Гельфанд, Э.Г. Гельфман, В.А. Далингер, Т.А. Иванова, Л.В. Занков, Ю.М. Колягин, В.А. Крутецкий, И.Я. Лернер, Е.И. Лященко, A.M. Пышкало, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, М.Н. Скаткин, А.В. Усова, М.А. Холодная, П.М. Эрдниев и др.);

теории развивающего и личностно-ориентированного обучения (Э.К. Брейтигам, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, В.В. Репкин, И. С Якиманская);

работы но обоснованию содержания курса математики 5-6 классов (Э.Г. Гельфман, Г.В. Дорофеев, Е.И. Жилина, И.Е. Малова, З.П. Матушкина, А.Г. Мордкович, Л.Г. Петерсон и др.).

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: изучение и теоретический анализ философской,

психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования; анализ учебной литературы, учебных пособий и дидактических материалов по математике для общеобразовательной школы; обобщение собственного опыта и опыта работы учителей математики с учащимися в основной школе; проведение педагогических измерений: анкетирование учителей математики, тестирование и опросы учащихся; педагогический эксперимент по внедрению разработанной методики и статистическая обработка результатов.

Научная новизна исследования заключается в том, что:

• обоснована возможность и необходимость развития базовых свойств мыслительных операций учащихся 5-6 классов (системности, обратимости, рефлексивности, гибкости) при обучении математике как условия повышения качества знаний и предпосылки успешного освоения основных понятий алгебры;

• разработан подход к изложению курса математики для 5-6 классов на примере темы «Целые числа», основанный на учете закономерностей развития мыслительных операций учащихся на понятийном уровне.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:

• выделены базовые свойства мыслительных операций учащихся, соответствующие уровню понятийного мышления: системность, обратимость, рефлексивность и гибкость;

• обоснованы содержательные и психологические условия успешной подготовки учащихся 5-6 классов к усвоению систематического курса алгебры;

• разработана типология учебных текстов и заданий, с помощью которых возможно создать условия для развития базовых свойств мыслительных операций, обеспечивая тем самым подготовку учащихся к усвоению систематического курса алгебры.

Практическая значимость работы.

Разработана методика, способствующая развитию базовых свойств мыслительных операций учащихся (системности, обратимости, рефлексивности, гибкости) с помощью специальных учебных текстов и заданий на примере изучения темы «Целые числа», что позволяет повысить качество усвоения соответствующей темы, а также уровень подготовки учащихся к усвоению систематического курса алгебры на основе одновременного учета содержательного и психологического аспектов учебной деятельности.

Разработана и внедрена система учебных текстов и заданий, логическая структура которых обеспечивает развитие базовых свойств мыслительных операций. Предложены и апробированы средства диагностики их сформированности при усвоении темы «Целые числа».

Методика обучения математике на примере темы «Целые числа», разработанная в соответствии с методическими требованиями к развитию таких свойств мыслительных операций, как обратимость, рефлексивность, гибкость, системность, активно применяется в практике обучения математике в 5-6 классах.

Материалы диссертационного исследования (в виде учебных заданий и учебных текстов) включены в учебное пособие «Математика - 5. Ч. 2. Положительные и отрицательные числа».

На основе материалов исследования проводятся проблемные семинары с учителями математики, работающими в 5-6 классах основной школы.

Материалы диссертационного исследования используются при чтении курса «Методика преподавания математики» для студентов Томского государственного педагогического университета

Достоверность и обоснованность полученных научных результатов обусловлены методологическим и методическим инструментарием исследования, адекватным его целям, предмету и задачам; кроме того, они подтверждаются совпадением выводов теоретического анализа проблемы исследования с результатами педагогического эксперимента и статистической обработкой данных.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Развитие базовых свойств мыслительных операций (системности, обратимости, рефлексивности и гибкости), характеризующих понятийное мышление, способствует повышению качества усвоения учебного материала учащимися 5-6 классов и создает условия для их подготовки к усвоению систематического курса алгебры.

2. Выделение темы «Целые числа» в курсе математики 5-6 классов методически целесообразно для организации активной познавательной деятельности учащихся по изучению способов расширения числовых множеств.

3. Целенаправленное развитие базовых свойств мыслительных операций (системности, обратимости, рефлексивности и гибкости) возможно при условии использования учебных материалов, логическая структура которых способствует выработке умений, направленных на формирование выделенных свойств мыслительных операций.

I Сибирских методических чтениях «Современные проблемы методики преподавания математики и информатики» (Омск, 1998 г.); на Международной научно-практической конференции «Школьное математическое образование на пороге XXI века» (Самара, 18-20 мая 1999 г.); на Международной конференции, посвященной проблемам преподавания математики (Саранск, 2002 г.); на Всероссийской конференции «Модернизация содержания школьного образования: проблемы, решения, перспективы» (Томск, 2003 г.). Экспериментальная проверка теоретических положений диссертации и их внедрение проводились в 1998-2003 гг. на базе общеобразовательных школ г. Томска.

Структура и содержание работы соответствуют логике научного исследования. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка использованной литературы и 6 приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность исследования; формулируются проблема, цель, гипотеза исследования, определяются объект, предмет, задачи и методы исследования; раскрываются новизна, теоретическая и практическая значимость работы; излагаются основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава «Теоретическое обоснование необходимости развития базовых свойств мыслительных операций учащихся при обучении математике» состоит из трех параграфов. В первом параграфе на основе анализа философской, психолого-педагогической и методической литературы выявляются и раскрываются требования к развитию мыслительных операций учащихся 5-6 классов, то есть обосновывается необходимость развития таких свойств мыслительных операций школьников, как системность, обратимость, рефлексивность, гибкость.

Под системностью мыслительных операций мы понимаем наличие взаимосвязи между основными мыслительными операциями, а также умение одновременно применять разные операции в зависимости от требований учебной ситуации.

Под обратимостью мыслительных операций понимается способность совершать мысленное действие, противоположное по своему характеру предшествующему, а также обеспечивающее возможность мысленно вернуться от полученного результата к исходным условиям и требованиям.

Рефлексивность мы определяем как меру осознанности мыслительных операций, в том числе умение оценивать и контролировать ход собственной мыслительной деятельности при выполнении определенных

мыслительных операций, а также обосновывать использование тех или иных операций при планировании своей деятельности.

Под гибкостью мы понимаем вариативность мыслительных операций, их оперативность в применении к различным ситуациям, в том числе умение преодолевать барьер прошлого опыта, использовать разные способы действия с одним и тем же математическим объектом, а также легкость перехода от одной деятельности к другой в соответствии с измененными условиями задачи.

Основные проблемы введения понятия целого числа и трудности его усвоения учащимися в школьном курсе математики анализируются во втором параграфе.

Корни проблем, связанных с введением и усвоением понятия целого числа, следует искать в истории. Понятие отрицательного числа в течение многих столетий представлялось математикам не обладающим объективным содержанием. Они не находили тех естественных связей между положительными и отрицательными числами, использование которых помогло бы им включить последние в алгебраическое исчисление. Природа и смысл действий с отрицательными числами были далеко не ясны, и именно это обстоятельство явилось основой трудностей, с которыми встретились математики при обосновании арифметики положительных и отрицательных чисел.

При изучении в школе отрицательных чисел происходит расширение множества натуральных чисел до множества целых, и от того, как организована деятельность по изучению множества целых чисел, зависит отношение учащихся к построению других множеств, и не только числовых. «Новое» число можно считать созданным только тогда, когда выяснено его отношение к «старым» числам. Отрицательному числу надо не только дать определение, но и сделать это число равноправным с ранее известными положительными числами. Для этого необходимо определить понятие равенства; указать критерий сравнения новых чисел между собой и с ранее известными числами; определить правила действий. Необходимо исследовать, при каких условиях соответствующая арифметическая операция, выполненная над новыми числами, приводит к тождественному результату в старой числовой области, и распространить этот критерий на новую область чисел.

Решающее значение для правильного усвоения раздела об отрицательных числах имеет понимание конкретного, реального значения новых чисел как переходов, изменений, приращений, способных изменяться во взаимнопротивоположных направлениях. В качестве мотива введения отрицательных чисел может выступать противоречие между невыполнимостью вычитания на всем множестве натуральных чисел и желанием сде-

лать его выполнимым, необходимость записать результат изменения величины, поиск координаты точки. Это даст возможность не только воо-. ружить школьников различными моделями для изучения операций над целыми числами, но и показать значимость отрицательных чисел для решения задач как внутри математики, так и вне нее.

Соответствующая организация учебного материала позволит учащимся приобрести опыт создания определений операций и изучения их свойств, что способствует развитию у них умений обосновывать свои действия, строить гипотезы, оценивать результаты мыслительной деятельности, то есть эта тема может стать для учащихся примером проведения ги-потетико-дедуктивной деятельности. Мотивируя целесообразность вводимых определений в каждом частном случае, в котором появляется новая операция, учащиеся получают выход на практическое использование теоретических знаний. Таким образом, методически целесообразно выделение темы «Целые числа» в отдельный раздел.

В третьем параграфе сформулированы основные требования к учебным текстам и методические приемы изложения учебного материала, выделены умения, позволяющие реализовывать эти требования. Общие требования к организации познавательной деятельности, способствующие развитию базовых свойств мыслительных операций, конкретизированы для построения изучения темы «Целые числа».

Большое значение для изучения действий над целыми числами имеет первое задание. Оно должно быть сформулировано таким образом, чтобы вывести ученика на гипотетико-дедуктивную деятельность, то есть подготовить к самостоятельному получению правила соответствующего действия над целыми числами. Задание должно формулироваться в свободной форме, чтобы пробудить инициативу учащегося, стимулировать самостоятельность, предоставить возможность проявить себя, высказать различные, в том числе, возможно, и ошибочные, предположения по поводу искомого правила действия. Оно должно способствовать актуализации и анализу прошлого опыта, как учебного, так и житейского, а также обобщению и объединению ранее усвоенных и новых знаний. Кроме того, в процессе продвижения по учебному материалу учащимся должна быть предоставлена возможность осуществлять перевод с обычного языка на язык знаков, язык образов и наоборот.

Учебный текст предлагается в форме диалога, что ориентирует учащихся на учет и использование разных способов анализа нового математического понятия. Текст также должен предоставить учащимся возможность осознать ситуации, в которых возникает необходимость в конкретном действии над целыми числами, показать целесообразность этого действия, дать возможность соотнести прошлый опыт работы на

множестве натуральных чисел с заданным действием на новом множестве. Учащиеся не сразу овладевают понятием, а постепенно усваивают его содержание, объем, связи и отношения с другими понятиями. Учебный текст должен создать условия для осознанного планирования учащимися своей деятельности по усвоению нового материала. Наконец, овладение понятием осуществляется на основе преодоления противоречия между установленными научными фактами и имеющейся понятийной базой, оказывающейся недостаточной для объяснения новых фактов.

В ходе и в итоге изучения учебного материала должны создаваться условия для возникновения у учащихся системности мыслительных операций для создания устойчивых представлений об изучаемом. Этому могут способствовать учебные тексты, вводящие фокус-примеры, закрепляющие процедуры действий, фиксирующие знания в виде конспектов, схем и т. д.

Вторая глава «Методика обучения математике, способствующая развитию базовых свойств мыслительных операций учащихся (на примере темы «Целые числа») состоит из трех параграфов. В первом из них приводится методика изучения арифметических действий, соответствующая теоретическим положениям исследования.

Проанализируем узловые методические проблемы, связанные с логикой изложения учебного материала и его структурой. Заметим, что наиболее сложной в изучении действий над целыми числами является задача введения прямых арифметических действий - сложения и умножения. Действия вычитания и деления вводятся как обратные к ним. Приведем пример методики изучения действия сложения целых чисел.

В методике математики существует несколько путей введения правила сложения целых чисел: формально-логический, мотивированный и их сочетание. Мотивированный путь изучения сложения начинается с того, что учащимся предлагается задание, выполняя которое они могут увидеть целесообразность соответствующего правила и принять активное участие в его формулировании. Мотивация правила может осуществляться по-разному. Чаще всего учащимся предлагается серия жизненных ситуаций, разделенных по классам: сложение положительных чисел, сложение отрицательных чисел, сложение чисел с разными знаками и специальные случаи. Учащиеся при этом не принимают участие в классификации различных случаев сложения целых чисел, что в дальнейшем часто становится одной из причин появления ошибок при выполнении действий.

Мы считаем, что работа по получению правила должна быть организована так, чтобы учащиеся могли не только сами обнаружить связи между компонентами действия сложения целых чисел, но и самостоятельно выявить различные случаи выполнения данного действия, то есть провести

их классификацию. При этом большое значение имеет первая задача. Обсуждение и решение ее необходимо так организовать методически чтобы учащиеся могли привлечь известные им различные интерпретации целых чисел. Это даст возможность учащимся перейти от хорошо знакомых житейских ситуаций к самостоятельным обобщениям. Такого рода деятельность способствует развитию обратимости мыслительных операций.

Получение правила в словесно-символической форме требует от учащегося активной работы, направленной на развитие таких умений, как умение переходить от одной формы кодирования информации к другой, умение выделять существенные отношения между изучаемыми объектами, устанавливать связи между различными явлениями. Иными словами, учащиеся приобретают опыт математической деятельности.

Исходя из задачи развития основных свойств мыслительных операций и в соответствии с методическими принципами, изложенными в первой главе исследования, мы предлагаем следующую схему изучения действия сложения целых чисел: мотивационное задание, актуализирующее опыт учащихся и знания их о действиях над натуральными числами; поиск различных моделей, которые помогают прогнозировать правило; установление и фиксация существенных связей между компонентами действия на словесно-символическом и визуальном уровнях; выделение различных случаев сложения целых чисел; поиск формулировки правила и сравнение его с нормативным; овладение правилом на уровне осознанного отношения к отдельным его шагам; применение полученного правила к решению различных задач.

Рассмотрим фрагмент учебного текста, с которого начинается изучение сложения целых чисел. Учащимся предлагается задание.

Задание 1. Расшифруйте записку (рис. 1).

I II Итого

+5 , +3 +8

-3 -5 -8

-2 +5 +3

+5 -10 -5

0 -5 -5

+5 0 +5

+5 -5 0

Рис. 1. Записка

В записке речь идет о каких-то связях между числами. Эти связи необходимо обнаружить. Учащиеся, анализируя записку, должны вычле-

нить самое существенное и сформулировать для себя задачу учебной деятельности. Для того чтобы помочь им определить цель, нужно обсудить вопросы, которые возникают у них в связи с предложенной запиской. Приведем некоторые из них.

Что могут означать числа в записке ? Что может означать колонка «итого» ? Как связаны между собой числа в первой строке ? Можно ли установить аналогичную связь между числами второй строки? Как получено «итого»? Зачем проведена черта? И т. д.

Вопросы помогают выявить основу для включения именно данных чисел в записку, выделить существенные признаки, по которым она составлена, отделить их от несущественных, то есть найти тот системообразующий признак, который является основой для формулирования правила сложения целых чисел. По мере того, как учащиеся выделяют и обобщают существенные компоненты сложения целых чисел, они осуществляют перенос способа действия с натуральных чисел на целые.

Раскрытие общего принципа сложения с помощью интерпретаций (речь здесь может идти об уровне воды в реке, о температуре, движении в противоположных направлениях или о чем-либо еще), выделение существенных признаков в результате анализа записки является внутренним, психологическим условием переноса, что формирует системность мыслительных операций. Для того чтобы ситуация была осознанна, нужно, чтобы учащиеся имели возможность создать образное представление о предмете исследования, для чего нужно обратиться к геометрическому образу, который поможет учащимся выйти на обобщение.

При рассмотрении различных жизненных ситуаций, в которых возникает необходимость в сложении целых чисел, актуализируя житейский и учебный опыт, создавая геометрический образ и сравнивая его с предложенным в тексте, учащиеся создают основу для формулировки правила сложения целых чисел.

Необходимо обратить внимание учащихся на записи, сделанные под чертой, то есть рассмотреть различные частные случаи сложения целых чисел. Важным в получении правила сложения является этап схематизации. Здесь полезны тексты, которые позволили бы обобщить предметный опыт учащихся, перевести его на визуальный, а затем и на знако-во-символический уровень. Такая работа способствует развитию обратимости, рефлексивности, системности мыслительных операций.

Итоги всей работы по созданию правила сложения целых чисел учащиеся могут отрефлексировать с помощью конспекта, который составляют самостоятельно, сравнивая его затем с предложенным в учебнике. В конспекте в сжатой форме отражена суть общих выводов по выявлению правила сложения целых чисел.

Во -втором параграфе приведена система заданий, способствующая развитию базовых свойств мыслительных операций учащихся на основе формирования общих интеллектуальных умений.

Так, системность мыслительных операций может развиваться за счет таких умений, как умения анализировать данный алгоритм как систему; классифицировать объекты, исходя из условий, заданных в алгоритме; конструировать правила на основе одновременного использования разных операций; обобщать, делать выводы; моделировать ситуацию с учетом необходимости объединения разных форм знания о соответствующем явлении; выделять существенные отношения между компонентами знаний; выбирать основание для классификации математических объектов.

Приведем пример задания, на котором школьники учатся видеть и частные случаи, и ситуацию в целом.

Задание 2. Выполните деление:

а) -104: 8; б) 98: (-49); в)-10: (-4); г) 123 : 5; д) -17:17; е) 0 : (-389); ж) -1020 : (-1020); з) 365 : (-1); и) -1 : (-5); к) -74 : 1; л) 2: (-3).

Все ли случаи деления целых чисел учтены? Какие особые случаи деления вы бы хотели выделить ? Всегда ли при делении целых чисел получается целое число ? На какие группы вы бы разбили данные числовые выражения (возможно, по результатам деления, по составу компонентов деления и т. д.) ?

Следующие задания являются примерами таких заданий, на которых учащиеся учатся моделировать ситуацию с учетом необходимости объединения разных форм знания о соответствующем явлении.

Задание 3. Даны числа 172, -33, -37, -175, 33.

1. Составьте числовые выражения вида (а + Ь), выбирая в качестве а и Ь такие пары чисел из данных, чтобы легко было найти значение суммы. Найдите значения полученных числовых выражений

Задание 4. Придумайте примеры на различные случаи, которые могут встретиться при сложении целых чисел.

Задание 5. Составьте такое числовое выражение из четырех слагаемых, значение которого удобно находить, используя сочетательный закон сложения.

Развитие обратимости мыслительных операций происходит за счет формирования таких умений, как умения составлять выражения с определенными свойствами; устанавливать связи между различными способами кодирования информации, между прямыми и обратными операциями, между компонентами действия и результатом; находить ошибки, устанавливать их причины с указанием способов исправления на основе воспроизведения процесса решения «с конца к началу»; строить контрпримеры.

Например, следующие задания развивают умение устанавливать связи между компонентами действий.

Задание 6. Сравните сумму положительного и отрицательного целых чисел с каждым из слагаемых. Приведите пример.

Задание 7. Замените знаки вопроса числами так, чтобы равенство ? + ? = -48 оказалось верным.

1. Может ли каждое из неизвестных слагаемых в этом равенстве оказаться положительным числом ? Отрицательным числом ? Могут ли неизвестные слагаемые иметь разные знаки?

2. Может ли одно из неизвестных слагаемых оказаться больше числа 48? меньше числа (- 48)?

3. Могут ли оба слагаемых оказаться неположительными ? неотрицательными?

4. Может ли одно из слагаемых быть нулем?

5. Могут ли оба слагаемых быть целыми однозначными числами? Может ли одно слагаемое быть однозначным, другое - двузначным? одно - однозначным, другое - трехзначным?

Развитие рефлексивности мыслительных операций происходит за счет следующих умений: объяснять необходимость применения той или иной операции; контролировать себя с точки зрения правильности ее применения; делать общие выводы на основе индуктивных рассуждений; понимать чей-то план, решение другого человека, уметь обосновать и продолжить его; анализировать отдельные шаги собственной деятельности; описывать свои знания о каких-либо действиях.

Для того чтобы научить школьников, например, анализировать отдельные шаги при выполнении действия вычитания, полезны специальные задания на выделение уменьшаемого и вычитаемого, замену вычитания сложением, замену вычитаемого числом, ему противоположным. Приведем примеры.

Задание 8. Даны выражения:

а) -3 - 2; б) 1 - (-2); в) 4- (-2); г) -2 - 1.

Укажите в каждом случае вычитаемое и найдите число, ему противоположное.

Задание 9. Вставьте пропущенные знаки арифметических действий или числа так, чтобы равенство стало верным:

а) 2-5 = 2 ... (-5); б) 25-(-12) = 25 ... 12; в) 12-15 = 12 + (... 15);

г) 13 - (-7) = 13 + (... 7); д) -171 - (-99) =-171 + (... 99).

Приведем примеры заданий, которые учат школьников анализировать свои шаги при выполнении сложения целых чисел

Задание 10. Укажите суммы, в которых слагаемые имеют:

а) одинаковые знаки; б) разные знаки.

1) -26 + (-14); 2) -25 + 17; 3) -25 + 163;

4) -32 + (-28); 5) 107 + (-107); 6)0 + (-3).

В какой из групп - а) или б) - вы можете только по виду записи определить знак суммы ?

Задание 11. Сравните модули слагаемых. Укажите в сумме слагаемое с большим модулем:

1) -35 + 27; 2) 14 + (-23); 3) 67 + (-60); 4) -19 + 19; 5) -7 + 0.

Гибкость мыслительных операций развивается за счет формирования таких умений, как умения смотреть на одно и то же с разных точек зрения; использовать имеющиеся знания и навыки в нестандартной ситуации; выходить из ситуации «невозможного опыта»; использовать несколько разных способов при решении одной и той же задачи; выбирать способ деятельности из множества возможных в соответствии с поставленной задачей; выбирать рациональный способ деятельности. Приведем пример задания, при выполнении которого возможно несколько способов решения.

Задание 12. Какие целые числа можно подставить вместо а, чтобы значение выражения было целым числом:

При выполнении данного задания ученик попадает в ситуацию неопределенности. Не указана база знаний, не назван способ действия. Возможных вариантов решения несколько. Учащимся надо предоставить возможность выбора, обсудив с ними варианты решения.

Основное назначение всей системы заданий следует видеть, во-первых, в том, что использование этих заданий на уроках в последовательности, определяемой логикой изучения данного учебного материала, обеспечивает целостное его усвоение, а также способствует развитию базовых свойств мыслительных операций. Во-вторых, указанную систему заданий учитель может использовать в качестве основы при подборе заданий для проведения уроков математики по другим темам.

Эффективность разработанной методики проверялась в ходе педагогического эксперимента, состоящего из следующих этапов. На этапе подготовки к исследованию (1998-1999 гг.) был осуществлен анализ психолого-педагогической и методической литературы по теме исследования, после чего была определена проблема исследования.

Поисковый этап был осуществлен в 1999-2000 гг. в 5-7 классах средних школ № 1, 2, 9, 12 г. Томска. Задачи поискового этапа эксперимента состояли в следующем: выявить зависимость качества знаний учащихся по учебному предмету, а также уровня подготовленности к усвое-

нию систематического курса алгебры от уровня развития базовых свойств мыслительных операций; сформулировать и уточнить общие требования к методике обучения математике в 5-6 классах основной школы; выделить интеллектуальные умения учащихся, способствующие формированию базовых свойств мыслительных операций; разработать систему учебных текстов и заданий по теме «Целые числа», логическая структура которых способствовала бы развитию у учащихся базовых свойств мыслительных операций. В процессе поискового эксперимента была выдвинута гипотеза исследования и определена его цель.

Обучающий этап проходил в 2000-2003 гг. в средних школах № 1, 2, 9, 12 г. Томска. Задачи обучающего эксперимента заключались в том, чтобы внедрить разработанную в соответствии с выделенными требованиями к методике обучения математике систему учебных текстов и заданий по теме «Целые числа» и определить, существует ли зависимость качества предметной подготовки учащихся, а также уровня подготовленности к усвоению систематического курса алгебры от сформированности базовых свойств мыслительных операций.

Особое внимание было уделено изучению действий над целыми числами. При этом после изучения каждого действия учащимся экспериментальных и контрольных классов предлагались проверочные работы с целью мониторинга развития базовых свойств мыслительных операций и оценки знаний по предмету.

На контрольно-диагностическом этапе осуществлялась проверка эффективности предлагаемой методики. Учащимся экспериментальных и контрольных классов были предложены диагностические контрольные работы, позволяющие проверить как уровень сформированности базовых свойств мыслительных операций, так и уровень подготовленности учащихся к усвоению систематического курса алгебры. Сравнительные результаты выполнения диагностических контрольных работ № 1 и № 2 учащимися экспериментальных (опыт) и контрольных (контроль) классов приведены соответственно на рис. 2 и рис. 3.

Для проверки гипотезы о том, что предложенная методика способствует сознательному и прочному усвоению учебного материала, был использован ^критерий Стьюдента. Полученные результаты полностью подтвердили гипотезу исследования.

Таким образом, методика, построенная на системе специально разработанных учебных текстов и заданий, а также методических рекомендаций учителям по теме «Целые числа», способствует сознательному и прочному усвоению учащимися учебного материала.

Рис. 2. Гистограмма 1

6 7 8 Номера заданий

Рис. 3. Гистограмма 2

В заключении проведен содержательный анализ выдвинутой гипотезы, обсуждены основные результаты и определены перспективы исследования , сделаны следующие выводы:

1. На основе анализа психолого-педагогической литературы выявлены психолого-педагогические и методические условия развития базовых свойств мыслительных операций, характеризующих понятийное мышление учащихся 5-6 классов, таких как системность, обратимость, рефлексивность, гибкость, и сформулирован ряд общих требований к организации познавательной деятельности по усвоению числовых множеств в курсе математики 5-6 классов. Конкретизация этих требований была осуществлена применительно к теме «Целые числа».

2. Предложена система работы учителя по изучению темы «Целые числа» в соответствии с содержанием требований по развитию базовых свойств мыслительных операций, выделены интеллектуальные умения, способствующие их развитию. В основу всех видов работ, входящих в систему, была положена специально подобранная система текстов и заданий. Каждое задание было ориентировано на выработку того или иного из умений, выделенных нами. В своей совокупности эти задания выступают в качестве средства развития мыслительных операций на понятийном уровне. Система текстов по изучению действий над целыми числами позволила реализовать методику, которая создала условия для подключения

учащихся к активной познавательной деятельности по получению алгоритмов действий, способов их усвоения, контроля над результатом и т.д.

3. Проведенный обучающий эксперимент по внедрению основных положений в практику обучения и созданный комплекс заданий, позволяющий диагностировать готовность учащихся к изучению систематического курса алгебры с точки зрения развития у них базовых свойств мыслительных операций, показали, что предлагаемая система работы учителя по данной теме школьного курса повышает уровень усвоения учащимися учебного материала и способствует их качественной подготовке к усвоению систематического курса алгебры.

4. Исследование показало, что подтвердилась первоначально выдвинутая гипотеза. Так как содержание образования (в частности, изучение темы «Целые числа») строилось с учетом особенностей развития базовых свойств мыслительных операций, то это позволило повысить качество знаний по данной теме и обеспечить необходимую содержательную и психологическую подготовку учащихся 5-6 классов к изучению систематического курса алгебры.

5. Поскольку сформулированные требования к организации познавательной деятельности по развитию основных свойств мыслительных операций на понятийном уровне носят, с нашей точки зрения, достаточно общий характер, то перспективы дальнейшего исследования следует видеть в разработке подобной системы деятельности учителя по отношению к другим темам школьного курса.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. Ксенева В.Н. Математика - 6. Ч. 2. Рациональные числа: Учебное пособие по математике для 6-го класса // Э.Г. Гельфман, С.Я. Грин-шпон, Л.Н. Демидова и др. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. 120 с. (0,75 а. л.)

2. Ксенева В.Н. Математика - 5. Ч. 1. Натуральные числа и десятичные дроби: Учебное пособие по математике // Э.Г. Гельфман, Ю.Ю. Вольфенгаут, С.Я. Гриншпон и др. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. 420 с. (1,8 а. л.)

3. Ксенева В.Н. Математика - 8. Ч. 3. Неравенства в алгебре: Учебное пособие по математике // Э.Г. Гельфман, Л.Н. Демидова, А.И. Забарина и др. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. 192 с. (2,4 а. л.)

4. Ксенева В.Н. Положительные и отрицательные числа: Учебное пособие по математике для 6-го класса // Э.Г. Гельфман, Ю.Ю. Вольфенгаут, С.Я. Гриншпон и др. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. 284 с. (1,8 а. л.)

5. Ксенева В.Н. Развитие базовых интеллектуальных качеств личности у учащихся 5-6-х классов // Современные проблемы методики пре-

подавания математики и информатики: Материалы II Сибирских методических чтений. Омск, 15-20 декабря 1997. Омск: Изд-во ОмГУ, 1997. С. 92-93.

6. Ксенева В.Н. Школьный курс математики: один из взглядов на его развитие // Э.Г. Гельфман, В.Н. Ксенева, С.К. Росошек и др. Школьное математическое образование на пороге XXI века: Тезисы докладов Международной научно-практической конференции. Самара, 18-20 мая 1999. Самара: Изд-во СИПКРО, 1999. С. 14-16.

7. Ксенева В.Н. Историческое и логическое в школьном курсе алгебры // Дидактика математики: сегодня и завтра: Материалы симпозиума «Итоги и перспективы развития образования на рубеже тысячелетий». Томск: Изд-во Том. гос. пед. ун-та, 2000. С. 50-53.

8. Ксенева В.Н. Развитие мыслительных операций у учащихся восьмых классов (на примере изучения метода интервалов) // Дидактика математики: сегодня и завтра: Материалы школы-семинара «Мастерство учителя в психологически ориентированных моделях обучения». Томск: Изд-во Томского гос. пед. ун-та, 2001. С. 69-72.

9. Гриншпон С.Я., Ксенева В.Н. Инновационные подходы к изучению курса алгебры в средней школе // Педагогическая деятельность в инновационных практиках. Ч. 2. Сетевые программы повышения квалификации Центра инновационного образования. Томск: UFO Press, 2002. С. 68-71.

10. Ксенева В.Н. О подготовке учащихся к систематическому курсу алгебры // Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика: Материалы Всероссийской научной конференции. Саранск, 18-20 сентября 2002 г. Ч. 2 / Мордовский гос. пед. ин-т. Саранск, 2002. С. 218-223.

11. Ксенева В.Н. Об одном из способов оценки сформированности основных качеств мыслительных операций // Модернизация содержания школьного образования: проблемы, решения, перспективы: Материалы Всероссийской конференции. Томск: Изд-во Том. гос. пед. ун-та, 2003. С. 87-93.

Лицензия ЛР № 020074 Подписано в печать 18 08.04 Формат 60x90/16 Бумага офсетная Ризография

Усл печ л. 1,5 Уч.-изд. л 1,5

Тираж 100 экз. Заказ Ya 081-04

Издательство ОмГПУ: 644099, Омск, наб. Тухачевского, 14

" 1 49 2 1

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Ксенева, Вера Николаевна, 2004 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ НЕОБХОДИМОСТИ РАЗВИТИЯ БАЗОВЫХ СВОЙСТВ МЫСЛИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ УЧАЩИХСЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ.

1.1. Проблема развития базовых свойств мыслительных операций в психолого-педагогической литературе.

1.2. Роль темы «Целые числа» в развитии базовых свойств мыслительных операций учащихся.

1.3. Требования к организации познавательной деятельности учащихся по развитию базовых свойств мыслительных операций.

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ, СПОСОБСТВУЮЩАЯ РАЗВИТИЮ БАЗОВЫХ СВОЙСТВ МЫСЛИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ УЧАЩИХСЯ (НА ПРИМЕРЕ ТЕМЫ «ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА»).

2.1. Методика изучения операций над целыми числами.

2.2. Система заданий, направленная на развитие системности, обратимости, рефлексивности и гибкости мыслительных операций.

2.3. Организация и результаты педагогического эксперимента.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Развитие базовых свойств мыслительных операций учащихся 5-6 классов при обучении математике"

Одним из наиболее важных вопросов проектирования школьного образования является вопрос о принципах конструирования его содержания. В документах по стратегии модернизации российского образования отмечается, что содержание образования - важнейшая составляющая образовательной системы и соответственно главная цель планируемых в ней изменений.

В современных психолого-педагогических исследованиях все чаще ставится вопрос о такой организации предметного содержания, которая учитывала бы реальные механизмы интеллектуального развития учащихся. В связи с этим возникает вопрос о развивающей направленности и возрастной адекватности содержания математического образования.

Особую значимость приобретает принцип самоценности каждого возраста, который может быть раскрыт посредством двоякого требования к содержанию и методам образования: обеспечение полноты реализации возможностей ребенка определенного возраста и опоры на достижения предыдущего этапа развития. В частности, при методической организации содержания математического образования в основной школе возникает ряд проблем. Например, что должно быть положено в основу отбора содержания математического образования, создающего условия для интеллектуального развития учащихся 5-6 классов? Какова роль этого возрастного периода в обучении математике? Каким должно быть содержание математического образования в 5-6 классах с точки зрения пропедевтики школьного курса алгебры? Успешность в изучении систематического курса алгебры в средней школе во многом зависит от особенностей преподавания математики в 5-6 классах, поскольку, как показывают многочисленные исследования, именно на этом этапе обучения складываются содержательные и психологические предпосылки усвоения алгебраического материала. Эти предпосылки необходимым образом должны быть основаны на специфических особенностях алгебры как учебного предмета, на базовых элементах алгебраического знания, к которым обычно относят: алгебраический язык как универсальный язык описания реальности и как средство ее моделирования, алгебраическую операцию в контексте ее основных свойств, алгебраические структуры как специфическую форму представления (кодирования) информации, семантику алгебраических понятий как предпосылку создания особых аспектов реальности, которые связаны не только со сферой «возможного» (обыденного), но и со сферой «невозможного» опыта.

Кроме того, при изучении систематического курса алгебры важно учитывать особенности мыслительной деятельности учащихся. Соответственно необходимо выделить те психологические условия, которые необходимы для усвоения алгебраических понятий, что позволит организовать поиск путей и методов изучения предмета, способствующих успешному обучению. Подготовка учащегося к систематическому курсу алгебры должна включать постепенное формирование у него тех содержательных и психологических структур (то есть определенным образом организованной системы знаний и сформированной системы свойств мыслительных операций), которые выступают предпосылкой успешности математической деятельности учащихся при изучении систематического курса алгебры.

Н. Бурбаки пишет во введении в книгу «Алгебра», что изучение алгебры — это «медленный, но неуклонный процесс абстракции, посредством которой понятие алгебраической операции, первоначально ограниченное натуральными числами и измеряемыми величинами, постепенно расширялось параллельно расширению понятия числа» [28, с. 13].

На необходимость специальной подготовки к систематическому курсу алгебры обращают внимание в своих работах такие исследователи в области методики преподавания математики, как Е.И. Жилина, A.JI. Жохов, JI.C. Иванова, Н.Г. Килина, В.А. Колосова, Г.В. Краснослабоцкая, JI.P. Прин-дуле, A.M. Пышкало, А.С. Сычиков, В.И. Таточенко, Ж. Фарсиян, М.Н. Чукотаев и др. Так, например, М.Н. Чукотаев, изучая вопросы пропедевтики школьного курса алгебры, большое значение придает формированию понятия буквенного выражения [171]; Ж. Фарсиян [165] считает, что еще в начальной школе необходимо научить школьника под буквой понимать переменную величину; В.А. Колосова, исследуя природу математических ошибок, большое значение придает общим интеллектуальным умениям, в частности, обучению контролю и самоконтролю [80]. Е.И. Жилина считает необходимым научить школьников алгоритмической деятельности [62].

Каждое из исследований подчеркивает значение пропедевтической подготовки учащихся к курсу алгебры. Таким образом, для того, чтобы деятельность учащихся по усвоению систематического курса алгебры была успешной, необходимо сформировать у них уже в 5-6 классах такие интеллектуальные механизмы, которые смогли бы «принять на себя» сложный алгебраический учебный материал, то есть мыслительные операции школьников должны обладать определенными свойствами. В связи с этим актуальной является проблема выявления психологических условий, способствующих такому развитию мыслительной деятельности при изучении математики в 5-6 классах, которое давало бы учащимся возможность подготовиться к успешному изучению систематического курса алгебры.

Исследования процесса формирования мышления в онтогенезе показывают, что к подростковому возрасту складывается высшая форма мыслительной деятельности, а именно: понятийное мышление («стадия формального или рефлексивного мышления», в терминах теории Ж. Пиаже, или «мышление в понятиях», в терминах теории JI.C. Выготского). Отличительной чертой понятийного мышления является сформированность мыслительных операций с определенными свойствами, такими как: системность, обратимость, рефлексивность, гибкость. Впервые эти свойства мыслительных операций были описаны в фундаментальных работах JI.C. Выготского. Впоследствии эти свойства мыслительных операций как важнейшее условие продуктивной учебной деятельности, в том числе в условиях школьного обучения, рассматривались целым рядом авторов (П.П. Блонский, JI.C. Выготский, В.А. Крутецкий, Н.С. Лукин, А.З. Редько, C.JI. Рубинштейн, М.А. Холодная и др.). Таким образом, у учащихся 5-6 классов происходит переход от наглядно-образного мышления к понятийному, то есть мыслительные операции приобретают новые свойства. Соответственно меняются требования к организации учебной деятельности учащихся с точки зрения создания условий для формирования:

• системности мыслительных операций (под системностью будем понимать наличие взаимосвязи между основными мыслительными операциями, а также умение их применять, понимать место каждой из них в системе собственных знаний);

• обратимости мыслительных операций, (то есть способности мысли совершать мысленное действие, противоположное по своему характеру предшествующему, а также обеспечивающее возможность мысленно вернуться от полученного результата к исходным условиям и требованиям);

• рефлексивности мыслительных операций (под рефлексивностью мы понимаем меру осознанности мыслительных операций, в том числе умение оценивать и контролировать ходы собственной мыслительной деятельности при выполнении определенных мыслительных операций; обосновывать использование тех или иных операций при планировании своей деятельности; формулировать последствия и результативность применения разных мыслительных операций в ситуации решения различных задач);

• гибкости мыслительных операций (под гибкостью имеется в виду вариативность мыслительных операций, их оперативность в применении к различным ситуациям, в том числе умение преодолевать барьер прошлого опыта, способность варьировать способы действия с одним и тем же математическим объектом; легкость перехода от одной деятельности к другой в соответствии с измененными условиями задачи).

Обеспечить формирование мыслительных операций, обладающих такими свойствами, которые создадут условия для успешного освоения учащимися курса алгебры, способны, с нашей точки зрения, специальные учебные тексты и задания.

Анализируя возможности подросткового возраста, психологи и педагоги отмечают, что подросток готов к новым видам учебной работы, новым формам деятельности, на границах которой лежат резервы его развития. Этот период характеризуется еще и тем, что «параллельно с формированием способностей к выполнению основных мыслительных операций происходит формирование способностей к учебной деятельности, направленной на освоение методов построения теоретических оснований курса математики» [116, с. 194]. В связи с этим представляется важным выбор учебного материала, на котором возможно создать условия для развития необходимых свойств мыслительных операций.

Значительную часть в курсе математики 5-6 классов занимает изучение числовых множеств. Именно здесь учащиеся приобретают опыт введения новых чисел. При этом они могут использовать и усовершенствовать свой опыт в кодировании информации о числе с помощью слов, образов, предметных действий. Осознавая связи между операциями в расширяемой и расширенной числовых системах, учащиеся могут конструировать алгоритмы выполнения операций, сравнивая их с предложенными. При этом большое внимание может быть уделено осознанию проблем, возникающих при введении новых чисел, осознанию теоретических и практических результатов этого шага в познании, что способствует развитию индуктивно-дедуктивной деятельности учащихся. Особое место в курсе математики 5-6 классов занимает тема «Целые числа». Эта тема традиционно считалась методистами переходной от арифметики к алгебре (И.В. Арнольд, К.С. Барыбин, А.Н. Барсуков, В.М. Брадис, И.А. Гибш, B.JI. Гончаров, П.Я. Дорф, В.Ф. Каган, М.Д. Кошкина, В.М. Кухарь, В.Н. Молодший, К.Ф. Лебединцев, В.В. Репьев, И. Ружа, А.А. Столяр, И.И. Чистяков, Ф.М. Шустев и др.). Не случайно А.И. Кострикин пишет: «С чего начинается алгебра? С некоторым приближением можно сказать, что истоки алгебры кроются в искусстве складывать, умножать и возводить в степень целые числа. .алгебра определяется как наука об алгебраических операциях, выполняемых над элементами различных множеств. Сами алгебраические операции выросли из элементарной арифметики» [86, с. 10].

На примере изучения темы «Целые числа» учащиеся могут в явном виде познакомиться с мотивами, которые стимулируют введение новых математических объектов. Аналогичные мотивы могут быть впоследствии использованы при введении таких алгебраических понятий, как одночлен, многочлен, алгебраическая дробь и т. д. Здесь от учащегося потребуется умение кодировать информацию разными способами, переходить от одной формы ее представления к другой. При введении операций сложения и умножения целых чисел предоставляется возможность обсудить целесообразность сохранения известных свойств операций над «старыми» числами, развивать такие умения, как умение обосновывать свои действия, абстрагировать и обобщать, видеть целостность объектов и явлений. Ф. Клейн по этому поводу пишет: «Здесь в первый раз приходится делать переход от реальной математики к формальной, для полного уяснения которой нужно значительное развитие способности к абстракции» [82, с. 38]. Именно в этой теме учащиеся смогут проследить «особенность человеческой натуры, заключающуюся в том, что мы невольно стремимся распространить правила, выведенные для частных случаев, на другие, более общие случаи» [82, с. 42].

В истории преподавания математики тема «Целые числа» долгое время являлась темой курса алгебры. В современных учебниках эта тема выделена в качестве самостоятельной в сериях учебных книг под редакцией Г.В. Дорофеева [110], под редакцией С.М. Никольского [7] и в проекте «Математика. Психология. Интеллект» (МПИ) [42]. Выделение темы «Целые числа» в отдельный раздел является методически целесообразным, так как отсутствие вычислительных затруднений, характерных для изучения положительных и отрицательных рациональных чисел, даст возможность реализовать психолого-педагогические и методологические возможности этого учебного материала.

Все, сказанное выше, позволяет сделать вывод о том, что актуальность диссертационного исследования определяется противоречием между потенциальными возможностями курса математики в 5-6 классах (в частности, темы «Целые числа») как средства пропедевтики систематического курса алгебры на основе формирования таких базовых свойств мыслительных операций учащихся, как системность, обратимость, рефлексивность и гибкость, с одной стороны, и существующей практикой обучения математике в 5-6 классах, с другой стороны.

Разрешение данного противоречия составило проблему диссертационного исследования.

Объектом данного исследования является процесс обучения математике учащихся 5-6 классов основной школы.

Предмет диссертационного исследования связан с выявлением и развитием средствами содержания математического образования у учащихся 5-6 классов базовых свойств мыслительных операций, (таких, как системность, обратимость, рефлексивность, гибкость) в качестве предпосылки последующего успешного освоения ими систематического курса алгебры.

При этом мы исходили из следующей гипотезы: если содержание образования (в частности, изучение темы «Целые числа») будет строиться с учетом особенностей развития базовых свойств мыслительных операций, то это позволит повысить уровень знаний по данной теме и обеспечит необходимую содержательную и психологическую подготовку учащихся 5-6 классов к изучению систематического курса алгебры.

Такой подход к организации процесса обучения обеспечит тем самым возможность целенаправленного руководства со стороны учителя процессом развития мыслительных операций учащихся в плане оптимизации их мыслительной деятельности.

При этом работа учителя по развитию мыслительных операций при усвоении темы «Целые числа» должна строиться, с одной стороны, на основе требований, сформулированных с учетом психологических закономерностей формирования понятийного мышления у подростков (гл.1, 1.1), и, с другой стороны, с учетом положительного опыта изложения данной темы в разных технологиях обучения (в первую очередь, в «Обогащающей модели обучения» в рамках проекта МПИ - «Математика. Психология. Интеллект»).

1) определить роль темы «Целые числа» как средства пропедевтики систематического курса алгебры;

2) выявить психолого-педагогические и методические условия развития базовых свойств мыслительных операций учащихся 5-6 классов (системности, обратимости, рефлексивности, гибкости) и классифицировать интеллектуальные умения учащихся, способствующие их развитию;

Теоретико-методологическую основу исследования составили: работы отечественных и зарубежных психологов, посвященные проблеме развития мышления (А.В. Брушлинский, Дж. Брунер, JI.C. Выготский, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, А.З. Зак, Е.Н. Кабанова-Меллер, З.И. Калмыкова, A.M. Матюшкин, Н.А. Менчинская, Ж. Пиаже, Я.А. Пономарев, O.K. Тихомиров, А.С. Шаров, С.И. Шапиро, и др.); работы, посвященные формированию мыслительных операций (JI.C. Выготский, В.А. Гусев, В.А. Крутецкий, Ж. Пиаже, C.JI. Рубинштейн, С.И. Шапиро); работы, посвященные деятельностному подходу в обучении (JI.C. Выготский, В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, Н.Г. Салмина, Н.Ф. Талызина, Д.Б. Эльконин) и деятельностному подходу в обучении математике (В.А. Байдак, О.Б. Епишева, А.А. Столяр, Л.М. Фридман и др.); работы, посвященные формированию понятийного мышления (М.Б. Гельфанд, Э.Г. Гельфман, В.А. Далингер, Т.А. Иванова, Л.В. Занков, Ю.М. Колягин, В.А. Крутецкий, И.Я. Лернер, Е.И. Лященко, А.М. Пышкало, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, М.Н. Скаткин, А.В. Усова, М.А. Холодная, П.М. Эрдниев и др.); работы по теории развивающего и личностно-ориентированного обучения (Э.К. Брейтигам, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, В.В. Репкин, И.С. Якиманская); работы по обоснованию содержания курса математики 5-6 классов (Э.Г. Гельфман, Г.В. Дорофеев, Е.И. Жилина, И.Е. Малова, З.П. Матушкина, А.Г. Мордкович, Л.Г. Петерсон и др.).

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

• изучение и теоретический анализ философской, психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования;

• анализ учебной литературы, программ, государственных стандартов общего среднего и профессионального образования, учебных пособий и дидактических материалов по математике для общеобразовательной школы;

• обобщение собственного опыта и опыта работы учителей математики с учащимися в средней школе;

• проведение педагогических измерений: анкетирование учителей математики, тестирование и опросы учащихся;

• педагогический эксперимент по проверке основных теоретических положений исследования и статистическая обработка результатов.

Научная новизна исследования заключается в том, что:

• разработан подход к изложению курса математики 5-6 на примере темы «Целые числа», основанный на учете закономерностей развития мыслительных операций учащихся на понятийном уровне.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:

Практическая значимость работы.

Разработана и внедрена система учебных текстов и заданий, логическая структура которых обеспечивает развитие базовых свойств мыслительных операций. Предложены и апробированы средства диагностики их сформированное™ при усвоении темы «Целые числа».

Материалы диссертационного исследования (в виде учебных заданий и учебных текстов) включены в учебное пособие «Математика — 5. Ч. 2. Положительные и отрицательные числа». - Томск: Изд-во Томского гос. ун-та, 2004 (Э.Г. Гельфман, JI. Н. Демидова и др.).

На основе материалов исследования проводятся проблемные семинары с учителями математики, работающими в 5-6 классах общеобразовательной школы.

На защиту выносятся следующие положения: • Развитие базовых свойств мыслительных операций (системности, обратимости, рефлексивности и гибкости), характеризующих понятийное мышление, способствует повышению качества усвоения учебного материала учащимися 5-6 классов и создает условия для их подготовки к усвоению систематического курса алгебры.

• Выделение темы «Целые числа» в курсе математики 5-6 классов методически целесообразно для организации активной познавательной деятельности учащихся по изучению способов расширения числовых множеств.

• Целенаправленное развитие базовых свойств мыслительных операций (системности, обратимости, рефлексивности и гибкости) возможно при условии использования учебных материалов, логическая структура которых способствует выработке умений, направленных на формирование выделенных свойств мыслительных операций.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные теоретические положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором и обсуждались на семинарах и заседаниях кафедры математики Томского гос. пед. ун-та (1999-2004 гг.). По результатам работы были сделаны доклады на Всесибирских чтениях по математике и механике (Томск, 1997 г.); на I Сибирских методических чтениях «Современные проблемы методики преподавания математики и информатики» (Омск, 1998 г.); на Международной конференции, посвященной проблемам преподавания математики (Саранск, 2002 г.), на Международной научно-практической конференции «Школьное математическое образование на пороге XXI века» (Самара, 18-20 мая 1999 г.); на Всероссийской конференции «Модернизация содержания школьного образования: проблемы, решения, перспективы» (Томск, 2003 г.). Экспериментальная проверка теоретических положений диссертации и их внедрение проводилась в 1998- 2003 гг. на базе общеобразовательных школ г. Томска

Основные этапы исследования.

1) На этапе констатирующего эксперимента, который проходил в 1998-1999 гг., был проведен анализ психолого-педагогической и методической литературы по теме исследования с целью определения особенностей мышления учащихся в процессе изучения математики в 5-6 классах. Это позволило выделить базовые свойства мыслительных операций (системность, обратимость, рефлексивность гибкость), обеспечивающие эффективность обучения математики и, в частности, подготовку учащихся подросткового возраста к усвоению систематического курса алгебры. Эксперимент позволил выявить типичные недостатки в подготовке учащихся к систематическому курсу алгебры, и дал возможность скорректировать дальнейшие исследования. В констатирующем эксперименте приняли участие ИЗ учащихся 6-х классов школ № 1, 2, 9, 12 г. Томска. Уточнена и определена роль темы «Целые числа» в формировании базовых свойств мыслительных операций учащихся и в подготовке их к усвоению систематического курса алгебры.

2) Поисковый этап был осуществлен в 1999-2000 гг. в 5-7 классах средних школ № 1, 2, 9, 12 г.Томска. Задачи поискового этапа эксперимента состояли в следующем: выявить зависимость качества знаний учащихся по учебному предмету, а также уровня подготовленности к усвоению систематического курса алгебры от уровня развития базовых свойств мыслительных операций; сформулировать и уточнить общие требования к методике обучения математике в 5-6 классах основной школы; выделить интеллектуальные умения учащихся, способствующие формированию базовых свойств мыслительных операций; разработать и внедрить систему учебных текстов и заданий по теме «Целые числа», логическая структура которых способствовала бы формированию у учащихся базовых свойств мыслительных операций. В процессе поискового эксперимента была выдвинута гипотеза исследования и определена его цель.

Как показал эксперимент, уровень сформированности базовых свойств мыслительных операций, а также уровень подготовленности к усвоению систематического курса алгебры, оказался выше в экспериментальных классах.

3) Обучающий этап проходил в 2000-2003гг. в восьми экспериментальных классах средних школ № 1, 2, 9, 12 г. Томска, четыре из которых были контрольными. Задачи обучающего эксперимента заключались в еледующем: проверить эффективность разработанной системы учебных текстов и заданий; определить, существует ли зависимость качества предметной подготовки учащихся, а также уровня подготовленности к усвоению систематического курса алгебры от сформированности базовых свойств мыслительных операций.

4) На контрольно-измерительном этапе осуществлялась проверка эффективности предлагаемой методики. Учащимся экспериментальных и контрольных классов были предложены две контрольные работы (гл. 2, 2.3.) с целью проверки уровня сформированности базовых свойств мыслительных операций, а также уровня подготовленности учащихся к усвоению систематического курса алгебры. Полученные результаты показали, что методика, построенная на системе специально разработанных учебных текстов и заданий, а также рекомендаций учителям по теме «Целые числа», способствует сознательному и прочному усвоению учащимися учебного материала. Полученные результаты анализировались с помощью методов математической статистики.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка использованной литературы, приложений.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное теоретическое и экспериментальное исследование было направлено на выявление резервов познавательной деятельности учащихся в процессе преподавания темы «Целые числа», на развитие базовых свойств мыслительных операций у учащихся 5-6 классов.

Сформулируем основные выводы и полученные результаты исследования.

1. На основе анализа психолого-педагогической литературы, связанной с особенностями развития мыслительных операций на понятийном уровне сформулирован ряд общих требований к организации познавательной деятельности по усвоению числовых множеств в курсе математики 5-6 классов. Конкретизация этих требований была осуществлена применительно к теме «Целые числа».

2. Экспериментальное изучение особенностей усвоения учащимися курса алгебры дало возможность провести психолого-педагогический анализ основных, допускаемых учащимися ошибок. На этом этапе исследования был сделан вывод о том, что в реальном процессе обучения математике учащихся 5-6 классов недостаточное внимание уделяется развитию таких свойств мыслительных операций, как обратимость, гибкость, рефлексивность, системность, что сказывается на особенностях усвоения ими систематического курса алгебры. Была подтверждена мысль о необходимости специальной, целенаправленной деятельности учителя по развитию данных свойств мыслительных операций.

3. Предложена система работы учителя по изучению темы «Целые числа» в соответствии с содержанием требований по развитию базовых свойств мыслительных операций. В основу всех видов работ, входящих в систему, была положена специально подобранная система заданий. Каждое задание было ориентировано на выработку того или иного из умений, выделенных нами. Соответственно, в своей совокупности эти задания выступают в качестве средства развития мыслительных операций на понятийном уровне.

Система текстов по изучению действий над целыми числами позволила реализовать методику, которая создала условия для подключения учащихся к активной познавательной деятельности по получению алгоритмов действий, способов их усвоения и контроля над результатом. Кроме того, она формирует у учащихся умения сравнивать, обобщать, переносить свои знания о числовых выражениях на алгебраические, что способствует подготовке школьников к курсу алгебры.

4. Проведенный обучающий эксперимент по внедрению основных положений в практику обучения показал, что предлагаемая система работы учителя по данной теме школьного курса повышает качество усвоения учащимися учебного материала, способствует их подготовке к систематическому курсу алгебры. Создан комплекс заданий, позволяющий диагностировать готовность учащихся к курсу алгебры с точки зрения развития у них базовых свойств мыслительных операций как основы подготовки к данному курсу.

Таким образом, исследование показало, что подтвердилась первоначально выдвинутая гипотеза. Так как содержание образования (в частности, изучение темы «Целые числа») строилось с учетом психологических особенностей развития базовых свойств мыслительных операций, выступающих в качестве предпосылки успешного усвоения учащимися основных понятий алгебры, то это позволило повысить качество знаний по данной теме и обеспечило подготовку учащихся 5-6 классов к изучению систематического курса алгебры.

Поскольку сформулированные требования к организации познавательной деятельности по развитию основных свойств мыслительных операций на понятийном уровне носят общий характер, то перспективы дальнейшего исследования следует видеть в разработке подобной системы деятельности учителя по отношению к другим темам школьного курса.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Ксенева, Вера Николаевна, Омск

1. Агибалов А.В. Конструирование тестов и методика их использования при контроле знаний учащихся по математике: Дис. . канд. пед. наук, М., 1986.- 153 с.

2. Ананьев Б.Г. Человек как предмет познания // Избранные психологические труды: В 2 томах. Т.1. М.: Наука, 1980. - 230 с.

3. Андронов И.К. Полвека развития школьного математического образования в СССР. М.: Просвещение, 1967. - 180 с.

4. Арнольд И.В. Теоретическая арифметика. Гос. уч. пед. изд-во Нар-компроса РСФСР, 1939. - 400 с.

5. Артемов А.К. Методологические основы методики формирования математических умений школьников: Дис. . док. пед. наук. — Пенза, 1984. — 319с.

6. Атаханов Р. Математическое мышление и методика определения уровня его развития / Под науч. ред. действительного члена РАО профессора В.В. Давыдова. Москва Рига, 2000. - 208 с.

7. Арифметика: 6 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. М.: Изд. отдел УНЦ ДО МГУ, 1997. - 312 с.

8. Бабанский Ю.К., Харьковская В.Ф. Проблема оптимизации процесса обучения математике / В кн.: Изучение возможностей школьников в усвоении математики: Сб. статей. М., 1977. - С. 3-11.

9. Барыбин К.С. Методика преподавания алгебры / Пособие для учителей восьмилетней школы. М.: Изд-во «Просвещение», 1965. - 343 с.

10. Барсуков А.Н. Первые уроки алгебры в 6 классе. Методическое пособие для учителей. Учпедгиз, 1951. - 32 с.

11. Баттерворт Д., Харрис М. Принципы психологии развития / Пер. с англ. М.: «Когито-Центр», 2000. - 350 с.

12. Бевз Г.П. Методика викладання алгебри. Пос1бник для вчитшнв. -Кшв: Изд-во «Радяньска школа», 1971. 270 с.

13. Белл Э.Т. Творцы математики: Предшественники соврем, математики. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1979. - 256 с.

14. Белл А. Школьное математическое образование XXI века // Школьное математическое образование на пороге 21 века: Тезисы докладов Международной научно-практической конференции. Самара, 18-20 мая 1999. - Самара: Изд-во СИПКРО, 1999. - С. 7-8.

15. Березанская Е.С. Методика арифметики. М.: Учпедгиз, 1955. - 542 с.

16. Берулава Г.А. Психология естественнонаучного мышления. Томск: Изд-во Томского гос. ун-та, 1991. - 185 с.

17. Берулава Г.А. Диагностика и развитие мышления подростков. Бийск, 1993. - 240 с.

18. Бескин Н.М. Роль задач в преподавании математики // Математика в школе. 1992. № 4. - С.3-4.

19. Блонский П.П. Избранные педагогические и психологические сочинения: В 2 томах. М.: Педагогика, 1979. - 304 с.

20. Блох А .Я. Курс алгебры средней школы: Методические разработки для слушателей ФПК. М.: МГПИ им. Ленина, 1986. - 84 с.

21. Блох А.Я., Гусев В.А., Дорофеев Г.В. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Уч. пособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. спец. / Сост. В.И. Мишин. М.: Просвещение, 1987. -416с.

22. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.И. Психология усвоения знаний в школе. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. - 348 с.

23. Брадис В.М. Теоретическая арифметика. М.: Учпедгиз мин. проев. РСФСР, 1954. - 207 с.

24. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе / Уч. пособие для пед. институтов. М.: Учпедгиз, 1954. - 505 с.

25. Брейтигам Э.К. Интеграция предметно-понятийной и смысловой деятельности при обучении старшеклассников началам математического анализа (теоретический аспект): Монография. Барнаул: Изд-во БГПУ, 2002. - 150 с.

26. Брунер Дж. Психология познания. М.: Прогресс, 1977. - 412 с.

27. Брушлинский А.В. Мышление: процесс, деятельность, общение. М.: Мысль, 1981. -230 с.

28. Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра / Пер. с французского. М.: Изд-во физико-математической литературы, 1962. - 516 с.

29. Веккер JI.M. Психика и реальность: единая теория психических процессов: Уч. пособие для вузов / Под общей ред. А.В. Либина. М.: Изд-во Смысл, 2000. - 679 с.

30. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. - 423 с.

31. Воителева Г.В. Преемственность в изучении чисел в начальной и основной школе: Дис. . канд. пед. наук, Московский открытый гос. пед. ун-т, М., 2000.- 179 с.

32. Всероссийская конференция «Математика и общество». Математическое образование на рубеже веков», Дубна, сентябрь 2000. М.: МЦНМО, 2000. - 664 с.

33. Выготский Л.С. Собрание сочинений: В 6 т. Т. 2. Проблемы общей психологии / Под ред. В.В. Давыдова. М.: Пед-ка, 1982. - 504 с.

34. Гальперин П.Я. Умственные действия как основа формирования мысли и образа // Вопросы психологии. 1957. № 6. - С. 58-69.

35. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. М.: Педагогика, 1969. - 156 с.

36. Гастева С.А., Крелыытейн Б .И., Ляпин С.Е., Шидловская М.М. Методика преподавания математики: Пособие для учителей и студентов педагогических институтов под общей редакцией С.Е. Ляпина. Изд. 2. Ленинград: Учпедгиз. 1955.-483 с.

37. Танеев Х.Ж. Информационно развивающая модель обучения математике // Школьное математическое образование на пороге 21 века: Тез. докл. Межд. науч.-практ. конференции. Самара, 18-20 мая 1999. - Самара: Изд-во СИПКРО, 1999.-С. 11-12.

38. Гельфман Э.Г. Методические основы организации процесса усвоения алгебраических понятий учащимися 7-8 классов: Дис. . канд. пед. наук, -М., 1982.- 158 с.

39. Гельфман Э.Г., Холодная М.А. Дидактика математики сегодня и завтра // Школьное математическое образование на пороге 21 века: Тезисы докладов Международной научно-практической конференции. Самара, 18-20 мая 1999. Самара: Изд-во СИПКРО, 1999. - С. 16-19.

40. Гельфман Э.Г., Ксенева В.Н., Демидова JI.H. и др. Математика ч.З. Неравенства в алгебре. - Томск: Изд-во Томского ун-та, 2003. - 104 с.

41. Гельфман Э.Г., Ксенева В.Н., Демидова JI.H. и др. «Положительные и отрицательные числа». Математика 6. Томск: Изд-во Томского ун-та, 2004. - 284 с.

42. Гельфман Э.Г., Демидова JI.H., Жилина Е.И., Лобаненко Н.Б., Мало-ва И.Е. Обогащающая модель в проекте МПИ: проблемы, сомнения, открытия. Методические указания, книга для учителя. 2 изд.- Томск: Изд-во Том. гос. ун-та, 2002. 222 с.

43. Гибш И.А, Алгебра. Пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1960.654 с.

44. Гибш И.А. Методика обучения алгебре в 6VI классе средней школы. -М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. 240 с.

45. Гнеденко Б.В. Развитие мышления и речи при изучении математики // Математика в школе. 1991. № 4. - С. 3-9.

46. Гончаров В.Л. Начальная алгебра М.: Изд-во АПН, 1955. - 448 с.

47. Гончаров В.Л. Начальная алгебра. Изд. второе, под ред. И.Н. Шевченко. М.: АПН РСФСР, 1960. - 437 с.

48. Гончарова И.В. Интенсификация учебной деятельности по математике в 5 классе: Дис. . канд. пед. наук, Московский открытый гос. пед. ун-т, М.,1999.- 171 с.

49. Горский Д.П. Обобщение и познание. М.: Мысль, 1985. - 208 с.

50. Гусев В.А. Как помочь школьнику полюбить математику. М.: Авангард, 1994. - 168 с.

51. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. -М.: Академия, 2003. 432 с.

52. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов. М.: Пед. общество в России,2000. 480 с.

53. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: ИНТОР, 1996. -544 с.

54. Далингер В.А. Совершенствование процесса обучения математике на основе целенаправленной реализации внутрипредметных связей / ОмИПКРО Омск, 1993. - 323 с.

55. Далингер В.А. Методика обучения учащихся элементам математического анализа: Учебное пособие. Омск: Изд-во ОмГПУ, 1997.- 149 с.

56. Дорф П.Я. Методика преподавания математики. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1960. - 124 с.

57. Дьюи Д. Психология и педагогика мышления / Пер. с англ. Н. М. Никольской. М.: Совершенство, 1997. - 208 с.

58. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике. -М.: Просвещение, 1990. 127 с.

59. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе. Курс лекций. Тобольск: Изд-во Тобольского гос. пед. института им. Д. И. Менделеева, 1997. - 191 с.

60. Епишева О.Б. Технология обучения математике на основе деятельно-стного подхода: Кн. Для учителя / О.Б. Епишева. М.: Просвещение, 2003. -223 с.

61. Жилина Е.И. Алгоритмическая и алгебраическая линии в изучении числовых систем в курсе математики 4-5 классов: Дис. . канд. пед. наук. Москва, 1980.-219 с.

62. Жохов A.JI. Как помочь формированию мировоззрения школьников: Книга для учителя и не только для него. Самара: Изд-во СамГПУ, 1995. -288 с.

63. Зайкин М.И., Матушкина З.П., Подходова Н.С. Рабочие тетради по математике: Учеб. пособие для 5-6 классов общеобр. учреждений / Под ред. М.И. Зайкина. М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1996. - 128 с.

64. Занков Л.В. Избранные педагогические труды / Л.В. Занков; АПН СССР. М.: Педагогика, 1990.418 с.

65. Зорина Л.Я. Программа учебник - учитель. - М.: Знание, 1989. - 80с.

66. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 кл.: Учеб. для общеоб-разоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2002. - 280 с.

67. Ильясова А.Б. Развитие мыслительных действий учащихся при формировании понятий на уроках математики в младших классах школы: Дис. . канд. пед. наук, Mill У. 1997. 236 с.

68. Иванова Л.С. Методы предупреждения типических математических ошибок учащихся начальных классов: Дис. . канд. пед. наук. Киев, 1987. -175 с.

69. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М.: Просвещение, 1968. - 287 с.

70. Каган В.Ф. Что такое алгебра? Изд-во «Матезисъ», 1910. - 75 с.

71. Калмыкова З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. -М.: Педагогика, 1981.-200 с.

72. Канин Е.С. Формирование алгебраических умений и навыков у учащихся VI-VII классов: Дис. канд. пед. наук. М., 1063. - 276 с.

73. Каплан Б.С., Рузин Н.К., Столяр А.А. Методы обучения математике: Некоторые вопросы теории и практики / Под ред. А.А. Столяра. Минск: Нар. АСВЕТА, 1981.- 191 с.

74. Килина Н.Г. Методика формирования у учащихся понятий начальной алгебры: Дис. . канд. пед. наук. — Киров, 1965. — 172 с.

75. Кирилецкий И.М. Анализ и предупреждение типичных ошибок учащихся при изучении алгебры и начал анализа: Дис. . канд. пед. наук. — Киев, 1986. 157 с.

76. Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: Мир, 1988. - 295 с.

77. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984. - 434 с.

78. Колягин Ю.М. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Уч. пособие для физ. мат. факультетов пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, В.А. Ованесян, В.Я. Синнинский, Г.Л. Луканкин. М.: Просвещение, 1975. - 461 с.

79. Колосова В.А. Совершенствование системы методической работы с математическими ошибками школьников (на материале курса математики 56 классов средней школы): Дис. . канд. пед. наук, Мордовский гос. пед. институт, Мордовия. 1998. - 147 с.

80. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в 19 столетии. М.: Наука, 1989. - 456 с.

81. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2 томах. Т.1. Арифметика. Алгебра. Анализ: Пер. с нем. / Под ред. В. Г. Болтянского. -4-е изд. М.: Наука, 1987.- 432 с.

82. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Основные понятия современного школьного курса математики. Пособие для учителей / Под ред. А.И. Марку-шевича. М.: Просвещение, 1974. - 382 с.

83. Комарова Е.А. Преемственность в обучении арифметике и алгебре как средство повышения результативности математической подготовки учащихся сельских школ: Дис. канд. пед. наук. М., 1999 236с.

84. Концепция и программа проекта «Математика. Психология. Интеллект». Математика 5-9 классы. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1999. - 56 с.

85. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: Учебник для вузов. М.: Физико-математическая литература, 2000. - 272 с.

86. Краснослабоцкая Г.В. Формирование общих интеллектуальных умений у учащихся на математическом материале в основной школе: Дис. . канд. пед. наук. М., 1994. - 183 с.

87. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968. - 431 с.

88. Ксенева В.Н. Историческое и логическое в школьном курсе алгебры // Дидактика математики: сегодня и завтра: Материалы симпозиума «Итоги и перспективы развития образования на рубеже тысячелетий». Томск: Изд-во Томского гос. пед. ун-та, 2000. - С. 50-53.

89. Ксенева В.Н., Гриншпон С.Я. Инновационные подходы к изучению курса алгебры в средней школе // В сб. Педагогическая деятельность в инновационных практиках (часть 2). Томск: UFO Press, 2002. - С. 68-72.

90. Кухарь В.М. Развитие понятия о числе в средней школе: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1990. 19 с.

91. Лаина Параскеви. Результативность обучения математике в школе: Дис. канд. пед. наук. Л., 1991. - 106 с.

92. Лебединцев К.Ф. Курс алгебры. Изд-во «Сотрудникъ», Петербургь -Киевъ, 1910.-250 с.

93. Лебединцев К.Ф. Преподавание алгебры и начал анализа. Киев, 1984.

94. Лебединцев К.Ф. Метод обучения математике в старой и новой школе. Сб. статей по вопросам преподавания математики: Москва, 1914. 402 с.

95. Левшин Н.Н. Особенности обучения математическому языку младших школьников: Дис. канд. пед. наук. Киев, 1981.-156.

96. Лернер И.Я. Состав содержания образования и пути его воплощения в учебнике. В. кн.: Проблемы школьного учебника. М.: Просвещение, 1978. -Вып. 6. - С. - 46-94.

97. Лошкарева Н.А. Проблема формирования системы учебных умений и навыков учащихся // Сов. педагогика. 1980. № 3. - С. 60-67.

98. Лященко Е.И., Мазаник А.А. Методика обучения математике в 4-5 классах. Минск: Народная «асвета», 1976. — 234 с.

99. Ляпин Н.Н. Мысли о работе учителя. М.: Просвещение, 1964. - 53 с.

100. Майергойз Д.М. К изучению математических ошибок учащихся // Математика в школе. 1950. №1. — С. 15-24.

101. Мамардашвили М.К. Эстетика мышления. http://www.mamardashvili.ru/index.php7texts/estetika/03.htm

102. Манвелов С.Г. Конструирование современного урока математики. М.: Просвещение, 2002. - 175 с.

103. Марченко Т.С. Методика использования моделей при изучении числовых множеств в курсе математики 5-6 классов (на примере положительных рациональных чисел): Дис. канд. пед. наук, РГПУ, 1996. 190 с.

104. Математика: 6 класс: Учебник для общеобразоват. учеб. Заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин и др. Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. 3-е изд. М.: Дрофа, 1998.- 416 с.

105. Математика. 6 класс: Учеб. для общеобразоват. учреждений: В 2 ч. Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин и др. Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. М.: Дрофа, 2002. - 224 с.

106. Математика в современном мире. М.: Мир, 1967.- 205 с.

107. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1988. - 847 с.

108. Матушкина З.П. Приемы обучения учащихся решению математических задач. Курган: Изд-во Курганского гос. ун-та, 2003. - 140 с.

109. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М.: Педагогика, 1972. -168 с.

110. Медведева О.С. Методические аспекты развития теоретического мышления учащихся в процессе решения математических задач. (Пособие для студентов матем. фак-тов пед. ун-тов и пед. колледжей). М.: Изд-во Mill У, 2000. - 126 с.

111. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника. М.: Педагогика, 1989. - 224 с.

112. Метельский Н.В. Психолого-педагогические основы дидактики математики. Минск: Изд-во «Вышэйшая школа», 1977. - 160 с.

113. Методические рекомендации по преподаванию математики в средней школе. М.: МГПИ им. Ленина, 1979. - 140 с.

114. Методические разработки по методике преподавания математики в средней школе. М.: МГПИ им. Ленина, 1980. - 94 с.

115. Молодший В.Н. Основы учения о числе в XVIII и начале XIX века / Пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1963. - 262 с.

116. Математическое образование в 21 веке // Наука. Ежемесячное приложение к «НГ». 2000. - 18 окт.

117. Математика в образовании и воспитании / Сост. В.Б. Филиппов. М.: ФАЗИС, 2000. - 256 с.

118. Муханов А.Т. Пути предупреждения устойчивых ошибок в математической подготовке выпускников средней школы: Дисканд. пед. наук.1. Ташкент, 1975. 185 с.

119. Никитин А.А. Новые подходы во взаимодействии средней и высшей школы в математическом образовании // Всероссийская конференция «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков», Дубна, сентябрь 2000.- М.: МЦНМО, 2000. С. 185-189.

120. Никитина Л.П. Связи элементов алгебры курса математики IV-V классов и курса алгебры VI-VIII классов как средство повышения качества знаний учащихся: Дис. канд. пед. наук. -М., 1984. 158 с.

121. Никифоровский В.А. Из истории алгебры XVI XVII вв. - М.: Наука, 1979.-208 с.

122. Никифоровский В.А. В мире уравнений. М.: Наука, 1987. - 176 с.

123. Обухова Л.Ф. Концепция Жана Пиаже: два подхода к проблеме психического развития ребенка // Жан Пиаже: Теория, эксперименты, дискуссии:

124. Сб. статей / Сост. и общ. ред. Л.Ф. Обуховой и Г.В. Бурменской; предисл. Л.Ф.Обуховой. М.: Гардарики, 2001. - С. 352-367.

125. Оганесян В.А. Изучение алгебраических структур в курсе математики средней школы. / Роль и место задач в обучении математики. Сб. научных трудов. Вып. 4. М, 1977. - С. 17-23.

126. Петерсон Л.Г. Теория и практика построения непрерывного образования (на примере курса математики для дошкольников, начальной школы и 5-6 классов средней школы). / Под ред. Г.В. Дорофеева. М.: УМЦ «Школа 2000.», 2001.-255 с.

127. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М.: Просвещение, 1969.-659 с.

128. Пичурин Л.Ф. Методика преподавания математики в IV V классах: уч. пособие для студентов-заочников III-IV курсов физ. мат. факультетов пед. институтов. — М.: Просвещение, 1981. - 79 с.

129. Пичурин Л.Ф., Репьев В.В., Федин Н.Г., Шоластер Н.Н. Вопросы общей методики преподавания математики: уч. пособие для студентов-заочников III-IV курсов физ. мат. факультетов пед. институтов. М.: Просвещение, 1979. - 80 с.

130. Преемственность в обучении математике. Пособие для учителя. Сб. статей. Сост. A.M. Пышкало. М.: Просвещение, 1978. - 239 с.

131. Приндуле Л.Р. Психология формирования начальных алгебраических понятий: Дис. канд. псих. наук. Лиепая, 1972. - 302 с.

132. Прочухаев В.Г. Анализ ошибок учащихся средней школы по математике: Дис. канд. пед. наук. -М., 1945. 143 с.

133. Пуанкаре А.О науке. М.: Наука, 1983. - 560 с.

134. Пышкало А.М. Методические аспекты проблемы преемственности в обучении математике. В кн.: Преемственность в обучении математике. М.: Просвещение, 1978. - С. 1-13.

135. Реньи А. Трилогия о математике. (Диалоги о математике. Письма о вероятности. Дневник. Записки студента по теории информации.) Пер. с венгер. / Под ред. Б.В. Гнеденко. - М: Мир, 1980. - 376 с.

136. Репьев В.В. Методика преподавания алгебры в восьмилетней школе: Пособие для учителей. М.: Изд-во «Просвещение», 1967. - 276 с.

137. Родионов М.А. Теория и методика формирования мотивации учебной деятельности школьников в процессе обучения математике: Дис. . доктора пед. наук. Мордовский гос. пед. ин-т, Саранск. 2001. - 382 с.

138. Рубинштейн C.JI. О мышлении и путях его исследования. М.: Изд-во Академии наук СССР, 1958. - 147 с.

139. Рудакова Е.А. Совершенствование математического образования младших школьников посредством языковой работы: Дис. канд. пед. наук. -Новосибирск, 1998. 181 с.

140. Ружа И. Основания математики / Пер. с нем. Киев: Вища школа, 1981.-352 с.

141. Салмина Н.Г. Знак и символ в обучении. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1988.-288 с.

142. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. специальностей пед. вузов и ун-тов / Г. И. Саранцев. М.: Просвещение, 2002. - 224 с.

143. Семушин А.Д. Экспериментальная система оценки успеваемости учащихся по математике 4-10 классов // Математика в школе. 1979. - №1. - С. 43-48.

144. Симон М. Дидактика и методика математики в средней школе: Пер. с нем. С.-Петербург: Книгоиздательство «Физика», 1912. - 257 с.

145. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы преподавания математики. Киев, 1983. - 230 с.

146. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск: «Вышэйшая школа», 1986.-413 с.

147. Солсо P.JI. Когнитивная психология. М: Тривола, 2002. - 598 с.

148. Сойер У.У. Путь в современную математику: пер. с англ. Под ред. проф. И.К.Андронова. М.: «Мир», 1972. - 200 с.

149. Сойер У.У. Прелюдия к математике. М.: Просвещение, 1965.- 323 с.

150. Сухотин А.К. Философия в математическом познании. — Томск: Изд-во томе, ун-та, 1977. 160 с.

151. Сычиков А.Ф. Анализ математических ошибок учащихся и работа по их предупреждению и исправлению: Дис. . канд. пед. наук. Калинин, 1966.-164 с.

152. Таточенко В.И. Методика формирования у учащихся 6-8 классов приемов умственной деятельности при обучении математике: Дис. . канд. пед. наук. Киев, 1989. - 136 с.

153. Теплова Л.И. Диагностика особенностей умственного развития учащихся при переходе из начальной школы в среднюю: Дис. . канд. пед. наук, Москва. 1999. - 137 с.

154. Тестов В.А. Стратегия обучения математике. М.: Технологическая школа бизнеса, 1999. - 304 с.

155. Тихомиров В.М. О некоторых проблемах математического образования // Всероссийская конференция "Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков», Дубна, сентябрь 2000.- М.: МЦНМО, 2000. -С. 3-14.

156. Торндайк Э. Л. Психология арифметики. Пер. с англ. Под ред. Д.Л. Волковского. Гос. уч. пед. Изд-во. Москва - Ленинград, 1932. - 304 с.

157. Усова А.В. Межпредметные связи как необходимое дидактическое условие повышения научного уровня преподавания основ наук в школе // Межпредметные связи в преподавани основ наук в школе. Вып. 1. Челябинск, 1973.- 173 с.

158. Фарсиян Ж.С. Проблема преемственности изучения арифметического и алгебраического материала в курсе математики начальной школы: Дис. . канд. пед. наук. Баку, 1980. - 144 с.

159. Федотова Т.Я. Математические структуры как основа построения единого курса математики в 8-летней школе: Дис. . канд. пед. наук. М., 1975-154 с.

160. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1982. - 208 с.

161. Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. -Томск: Изд-во Том. ун-та. Москва: Изд-во «Барс». 1997. 392 с.

162. Хуторской А.В. Современная дидактика: Учебник для вузов. СПб: -Питер, 2001.-544 с.

163. Чистяков И.И. Методика алгебры. М.: Учпедгиз, 1934. - 288 с.

164. Чукотаев М.Н. Устойчивые ошибки учащихся по алгебре и началам анализа и способы их устранения: Дис. . канд. пед. наук. — Усть-Каменогорск, 1992. 148 с.

165. Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение (Психологические основы развивающего бучения). М.: АО СТОЛЕТИЕ, 1994. - 192 с.

166. Шапиро С.И. От алгоритмов к суждениям. (Эксперименты по обучению элементам математического мышления). - М.: «Сов. радио», 1973. -288 с.

167. Шардаков М. Н. Мышление школьника. М.: Учпедгиз, 1963. - 255 с.

168. Шаров А.С. Психология образования и развития человека: Уч. пособие для студентов педагогических вузов. Омск: Изд-во ОмГТГУ, 1996. -150 с.

169. Шаров А.С. О-граниченный человек: значимость, активность, рефлексия: Монография. Омск: Изд-во ОмГТГУ, 2000. - 358 с.

170. Шиянова Е.Б. Оценка качества знаний учащихся. Психологические критерии качества знаний школьников. Сб. научных трудов. М., 1990.

171. Школьное математическое образование на пороге 21 века: Тезисы докладов Международной научно-практической конференции. Самара, 1820 мая 1999. - Самара: Изд-во СИПКРО, 1999. - 202 с.

172. Шустеф Ф.М. Методика преподавания алгебры. Минск, «Вышэйшая школа», 1967. - 223 с.

173. Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе. (Из опыта обучения методом укрупненных упражнений). М.: «Просвещение», 1978. - 304 с.

174. Якиманская И.С. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979. -144 с.

175. Якиманская И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе. М.: Сентябрь, 1996. - 96 с.

176. Я иду на урок математики. 5 класс: Книга для учителя. М.: Изд-во «Первое сентября», 1999. - 352 с.

177. Я иду на урок математики / Библиотека «первого сентября». — М: Изд-во «Первое сентября», 1999. 360 с.

178. А.О. Зоткина. Томск, 2002. - 100 с.

179. Arzarello F.: 1991, Procedural and relational aspects of algebraic thinking, PMEXV, vol. 1,80-87.

180. Arzarello F., Bazzini L., Chiappini G.: 1993 Cognitive processes in algebraic thinking: towards a theoretical framework, proc. PME XVII, vol.1, 138-145.

181. Nikolina A. Malara, Giancarlo Navarra. ArAl Projekt. Arithmetic pathways Towards favouring Pre-algebraic thinking. — Pitagora Editrice Bologna, Italy, 2003.-241 c.

182. Bell A.W. The Learning of General Mathematical Strategies. Shell Centre for Mathematical Education, University of Nottingham. 1976. 96 c.

183. Bell A.W. and Low В. C. Additive Problems in Everyday Situations, Shell Centre for Mathematical Education, University of Nottingham. 1982. 84 c.

184. Bell A.W., Fischbein E. and Greer B. Choice of operation in verbal arithmetic problems: the effects of number size, problem structure and context. Educational Studies in Mathematics. 1984. 123 c.

185. Bell A.: 1995, Purpose of School Algebra, Journal of Mathematical Behaviour, vol.14, 42-73.

186. Warren E.: 2000, Visualization and the development of early understanding in Algebra, proc. PME 24, vol.4,273-280.

187. Reggiani M.: 1994, Generalization as a basis for algebraic thinking: observations with 11-12 year old pupil, proc. PME XVIII, vol.4, 97-104.