Реализация идеи дидактического опережения при обучении высшей математике

Лушникова, Надежда Викторовна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Реализация идеи дидактического опережения при обучении высшей математике

Автореферат

Автор научной работы: Лушникова, Надежда Викторовна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Арзамас
Год защиты: 2006
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Реализация идеи дидактического опережения при обучении высшей математике"

На правах рукописи

ЛУШНИКОВА Надежда Викторовна

РЕАЛИЗАЦИЯ ИДЕИ ДИДАКТИЧЕСКОГО ОПЕРЕЖЕНИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

(на примере курса линейной алгебры)

Специальность 13.00.02 - Теория и методика обучения и воспитания по (математике, уровень высшего образования) (педагогические науки)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Нижний Новгород - 2006

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Арзамасский государственный педагогический институт им. А.П. Гайдара»

Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор,

Заслуженный работник высшей школы РФ, Зайкин Михаил Иванович

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор

Родионов Михаил Алексеевич

кандидат педагогических наук, доцент Фомина Наталья Ивановна

Ведущая организация: Московский государственный областной

университет

Защита состоится « 12 » сентября 2006г. в 9.00 часов на заседании диссертационного совета КМ 212.030.02 по присуждению учёной степени кандидата педагогических наук по специальности 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания по (математике, уроьгьь высшего образования) (педагогические науки) в Волжском государственном инженерно-педагогическом университете по адресу: 603002, г. Нижний Новгород, ул. Луначарского, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волжского государственного инженерно-педагогического университета по адресу: Нижний Новгород, ул. Челюскинцев, 9.

Автореферат разослан «_» июля 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат педагогических наук, доцент

А.А. Толстенева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Магистральные направления совершенствования профессиональной подготовки специалистов с высшим образованием на современном этапе, зафиксированные в документах правительства Российской Федерации, ориентируют на достижение трёх главных целей: расширение доступности, повышение качества и эффективности отечественного образования. На фоне усиления гуманитарной составляющей профессиональной подготовки специалистов сегодня заметно снижение уровня их математического образования, проявляющееся, прежде всего, в недостаточно осознанном усвоении студентами математических фактов, определений, теорем, закономерностей и теорий, что определяет необходимость дальнейшего совершенствования методики обучения высшей математике.

Отечественные и зарубежные педагоги и математики предлагают различные варианты усовершенствования методики обучения математике в высшей школе. Предлагается, например, введение в учебный процесс адаптационных, вводных, поддерживающих математических курсов, ориентированных, в первую очередь, на облегчение понимания студентами сущности ведущих математических идей, понятий, методов рассуждения, доказательства. Анализ сущности предлагаемых подходов вскрывает такие плодотворные дидактические идеи, как идея актуализации ранее изученных знаний, их коррекции и обогащения. Этим подходам свойственна ещё одна новация, известная в теории обучения как идея дидактического опережения. Суть этой идеи заключается в том, что в учебно-познавательную деятельность студентов намеренно вовлекается информация (учебный материал), которая станет предметом усвоения (изучения) в дальнейшем. Это делается с целью облегчения восприятия и понимания студентами изучаемого в дальнейшем математического содержания.

Об использовании идеи дидактического опережения с абстрактными математическими идеями, понятиями и методами неоднократно высказывались видные учёные. Так, академик Л.Д. Кудрявцев, придаёт особую значимость постановке в процессе обучения образовательных перспектив. Известный педагог-математик В.А. Тестов в своих книгах ориентирует на активное использование в высшей школе различных вариантов пропедевтической работы. Профессор Е.М. Вечтомов считает необходимым использование в образовательной практике вузов такого приёма мотивации к учению, как выдачу студентам для предварительного ознакомления текста одной или нескольких очередных лекций. Автором известных вузовских и школьных учебников математики М.И. Шабуниным предложен принцип «последовательных фаз», суть которого заключается в том, что учебный материал сначала воспринимается на интуитивном или эвристическом уровне, затем осваивается терминология, определения и

доказательства, а далее наступает фаза усвоения, расширения запаса знаний и их использования.

Ценные рекомендации по использованию в учебном процессе метода опережающего обучения содержатся в работах учителя-новатора С.Н. Лысенковой. ES подход к оптимизации учебной деятельности школьников выражается в особых способах сочетания ранее приобретенных и новых знаний. Он характеризуется опережающим (или по автору - «пробно-порциальным») введением последующего материала в текущий и в открытии тем самым учебной перспективы. Усвоение материала по системе С.Н. Лысенковой происходит в три этапа: 1) предварительное введение первых (малых) порций будущих знаний; 2) уточнение новых понятий, их обобщение и применение; 3) открытие новых перспектив и развитие беглости мыслительных приемов и учебных действий. Однако её теоретические положения и методические рекомендации создавались применительно к курсу начальной математики. Автор не высказывает каких-либо ценных предложений относительно возможности переноса предлагаемой методики на среднее или старшее звено школы, а тем более вузовское обучение.

В диссертационных исследованиях по высшей школе также содержатся указания на целесообразность использования идеи дидактического опережения при обучении высшей математике (И.П. Калошина, И.И. Паньковой, O.A. Сотникова и др.). Однако в них имеются лишь частные указания на этот счёт. Например, приведённая в диссертационном исследовании O.A. Сотниковой мысль о концентрическом построении учебно-познавательной деятельности студентов при изучении высшей алгебры касается лишь пропедевтического аспекта методики дидактического опережения.

Таким образом, имеет место противоречие между необходимостью и целесообразностью использования в методике обучения высшей математике идеи дидактического опережения с целью облегчения понимания студентами сущности ведущих идей, понятий и методов высшей математики и отсутствием эффективного методического обеспечения, позволяющего эту идею осуществлять. Данное противоречие обусловило актуальность темы диссертационного исследования, проблема которого заключается в поиске путей использования возможностей дидактического опережения с целью совершенствования методики обучения высшей математике студентов вуза.

Цель диссертационного исследования заключается в разработке теоретических и методических основ реализации идеи дидактического опережения при обучении высшей математике.

Объектом исследования является процесс обучения студентов высшей математике в вузе.

Предметом исследования являются методы, средства и формы реализации идеи дидактического опережения при изучении высшей математики в вузе.

Гипотеза исследования. Использование дидактического опережения с целью совершенствования методики обучения высшей математике будет эффективным, если:

описать сущность дидактического опережения на основе категориального аппарата теории внутрипредметных связей;

- определить номенклатуру учебных вопросов курса высшей математики, при изучении которых целесообразно использовать методику дидактического опережения с целью облегчения их усвоения студентами;

- определить основные направления реализации идеи дидактического опережения при обучении высшей математике;

- разработать методическое обеспечение, позволяющее реализовать методику дидактического опережения при обучении студентов высшей математике.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие основные задачи:

1. Изучить психолого-педагогическую и методическую литературу, касающуюся различных аспектов дидактического опережения как средства совершенствования методики обучения математике, с целью уточнения его сущностных характеристик и дефиниций.

2. Определить номенклатуру учебных вопросов курса высшей математики, при изучении которых целесообразно использовать методику дидактического опережения с целью облегчения усвоения их студентами.

3. Исходя из специфики учебного материала курса высшей математики и особенностей усвоения его студентами, определить стратегию проведения опережающей работы.

4. Разработать методическое обеспечение, позволяющее проводить опережающую работу в процессе усвоения содержания курса высшей математики в вузе.

5. Экспериментально проверить разработанное методическое обеспечение.

Теоретико-методологическую основу исследования составляют:

- основополагающие идеи гносеологии, раскрывающие методы математического познания, его движущие силы и источники развития (Ж. Адамар, Д. Гильберт, М. Клайн, Ф. Клейн, И. Лакатос, Д. Пойа, А. Пуанкаре и др.);

- концепция деятельностного подхода к усвоению математических знаний (П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр и др.);

- теория педагогических систем (Н.В. Кузьмина, В.Я. Сквирский, П.И. Пидкасистый и др.);

- основы методики преподавания высшей математики (В.И. Загвязинский, Л.Д. Кудрявцев, М.В. Потоцкий, А.Я. Хинчин и др.);

- исследования по методике обучения доказательству теорем (В.А. Далингер, Т.А. Иванова, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев и др.).

Для решения поставленных задач и проверки выдвинутой гипотезы использовались следующие методы педагогического исследования:

- анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования;

- анализ образовательных стандартов и программ по высшей математике;

- наблюдение, анкетирование, анализ и обобщение опыта обучения математике в высшей школе;

- экспериментальная проверка основных положений диссертационного исследования с использованием разработанных учебно-методических материалов в реальном учебном процессе;

- статистическая обработка данных, полученных в ходе эксперимента.

Организация и этапы исследования. Исследование проводилось с

2003 по 2006 год и состояло из нескольких этапов.

На первом этапе исследования (2003 - 2004 уч. год) изучалась и анализировалась психолого-педагогическая и учебно-методическая литература, а также диссертационные исследования по данной проблеме; анализировалось реальное состояние проблемы в теории и практике обучения высшей школы; проводился констатирующий эксперимент; формулировалась гипотеза исследования, его цель и основные задачи.

На втором этапе (2004 — 2005 уч. год) формулировались концептуальные положения авторского подхода к реализации идеи дидактического опережения при обучении высшей математике, разрабатывались методические материалы, а также проводилась первичная их апробация.

На третьем этапе (2005 - 2006 уч. год) проводился обучающий эксперимент, формулировались основные выводы и положения, выносимые на защиту, оформлялась диссертационная работа и проходила её апробация.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

- обоснована необходимость и целесообразность использования методики дидактического опережения с целью облегчения усвоения студентами содержания курса высшей математики;

- уточнена сущность педагогической категории дидактического опережения на основе категориального аппарата теории внутрипредметных связей;

- выявлены и описаны основные виды дидактического опережения при усвоении элементов высшей математики: постановка образовательных перспектив, опережающее ознакомление, предварительное изучение, пропедевтическое обучение;

- определена стратегия опережающей работы по каждому из выделенных видов дидактического опережения;

- разработаны основы конструирования методического обеспечения для реализации идеи дидактического опережения при обучении высшей математике, включающие рекомендации по структурированию учебного материала, составлению вспомогательных теорем (лемм), дополнительных задач и их цепочек, модельных примеров, предметных интерпретаций, учсбпо-мстодической карты дидактического опережения и др.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что теория обучения математике в высшей школе обогащена научно обоснованным подходом к использованию дидактического опережения с целью облегчения усвоения студентами вузов содержания курса высшей математики, основанным на внутрипредметных связях содержательно-математического, логико-математического и методико-математического видов обратного действия.

Практическая значимость исследования состоит в том, что созданная методическая система опережающей работы с основными структурными элементами содержания курса линейной алгебры может быть непосредственно использована в образовательной практике высшей школы. Методические рекомендации по практической реализации идеи дидактического опережения при работе с математическим материалом могут быть также использованы на спецкурсах для студентов педагогических вузов, а также в системе повышения квалификации работников высшего образования.

Достоверность и обоснованность полученных результатов исследования обеспечивается опорой нп теоретические разработки в области психологии, педагогики, теории и методики обучения математике; использованием разнообразных методов теоретико-экспериментальных исследований, их адекватностью целям и задачам диссертационного исследования, сочетанием качественного и количественного анализа результатов, включая применение методов математической статистики.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Сущность дидактического опережения уточнена на основе категориального аппарата теории внутрипредметных связей обратного действия содержательно-математического, логико-математического и методико-математического видов.

2. Стратегия методической работы по реализации идеи дидактического опережения с математическими идеями и понятиями определяется последовательностью уровней: уровнем интуитивных представлений, уровнем конкретного выражения, уровнем формального описания; стратегия методической опережающей работы с методами доказательств определяется основными аспектами рассмотрения метода (идейным, процессуальным, формально-логическим, функционально-

оценочным); опережающая работа со способами доказательств математических теорем определяется логической структурой доказательства, его доказательной базой, используемыми законами логики.

3. К основным методическим средствам осуществления работы по дидактическому опережению с элементами математического содержания следует отнести: вспомогательные теоремы (леммы), дополнительные задачи и их цепочки, модельные примеры, предметные интерпретации, логико-смысловые модели, текстовые выкладки. Выбор каждого из этих средств определяется видом дидактического опережения, наличием учебного времени, степенью абстрактности изучаемого материала, квалификацией педагога, предшествующим опытом студентов.

Апробация основных положений работы осуществлялась на заседаниях кафедры теории и методики обучения математике Арзамасского государственного педагогического института им. А.П. Гайдара (2004 - 2006 гг.), на семинарах научно-исследовательской лаборатории «Проблемы естественнонаучного образования в технических вузах» Саровского государственного физико-технического института, на научно-практических конференциях: «Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и вузе» (Коряжма, 2004г.), «Экономическое образование: проблемы преподавания общепрофессиональных, естественнонаучных и гуманитарных дисциплин» (Арзамас, 2005), «Междисциплинарный подход в становлении специалиста-профессионала в гуманитарном вузе» (Коряжма, 2005), на 10-ой Нижегородской сессии молодых учёных (гуманитарные науки) («Голубая Ока», 2005г.).

Внедрение результатов исследования осуществлялось автором на физико-математическом факультете Арзамасского государственного педагогического института им. А.П. Гайдара. Эксперимент проводился в Саровском государственном физико-техническом институте.

Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, насчитывающего 186 наименований и приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется проблема и цель, определяются объект, предмет, задачи, гипотеза исследования, формулируются основные положения, выносимые на защиту, научная новизна, теоретическая значимость и практическая ценность работы.

Первая глава «Теоретические основы реализации идеи дидактического опережения при обучении высшей математике» содержит три параграфа и посвящена теоретическому анализу исследуемой проблемы.

В первом параграфе проведён анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы с целью выявления особенностей методической системы обучения математике в вузе; учебно-методических особенностей курса линейной алгебры; основных трудностей изучения студентами линейной алгебры.

Анализ методической литературы показал наличие нескольких моделей методической системы обучения математике в высшей школе. За основу нами была примята модель методической системы обучения математике, предложенная В.Я. Сквирским и усовершенствованная P.M. Зайкиным, основными компонентами которой являются: цели обучения, общедидактические и специальные принципы обучения, деятельность преподавателя, содержание обучения, организационные формы занятий, методы обучения, средства обучения, деятельность студентов, результат обучения. Содержание компонентов методической системы определяется спецификой изучаемого курса и будущей профессиональной деятельностью студентов.

Особенностью линейной алгебры как базовой математической дисциплины является высокая абстрактность теории, формально-дедуктивный характер её изложения и использование аксиоматического метода. Терминология и идеи (идея структуры, абстрактности, изоморфизма и линейности) линейной алгебры, опирающиеся на геометрическую интуицию, относятся к пространству произвольного числа п измерений -основному объекту её изучения. Предмет изучения линейной алгебры -алгебраические операции на множествах вне рассмотрения природы элементов этих множеств.

Анализ особенностей содержания курса линейной алгебры, опыта её преподавания в высшей школе позволил нам построить логико-смысловую модель учебной дисциплины «линейная алгебра», структурными компонентами которой являются: логическое строение, основные разделы, алгебраические объекты, особенности изложения содержания, методы рассуждения, смежные дисциплины, теоретико-познавательные уровни изложения линейной алгебры. Данная логико-смысловая модель целостно характеризует строение курса линейной алгебры и является одним из эффективных средств по опережающему ознакомлению с содержательным и идейным аспектами данного курса.

Установлено, что трудности усвоения студентами линейной алгебры обусловлены, главным образом, высокой абстрактностью теории и обилием в ее курсе теорем, которые усваиваются студентами вне специально организованной математической деятельности (без выполнения упражнений), как это принято в общеобразовательной школе.

Во втором параграфе проведён анализ научно-методической литературы по математике с целью обоснования целесообразности и необходимости использования идеи дидактического опережения, суть которой заключается

в том, что в учебно-познавательную деятельность студентов намеренно вовлекается информация (учебный материал), которая станет предметом усвоения (изучения) в дальнейшем. Это делается с целью облегчения восприятия и понимания студентами изучаемого в дальнейшем математического содержания.

В процессе теоретической работы было установлено, что сущность дидактического опережения может быть уточнена на основе категориального аппарата теории внутрипредметных связей (ВПС). Теоретический анализ ВПС содержания математического материала основан на выделении его структурных единиц (понятий, теорем и их систем, методов решения задач, доказательств теорем, учебных вопросов, учебных тем и др.).

Проблеме реализации внутрипредметных связей при обучении математике посвящены исследования В. Ю. Гуревича, В.А. Далингера, Г.Б. Лудиной, К.С. Муравина, В.М. Монахова и др. При выявлении внутрипредметных связей курса линейной алгебры мы использовали методику известных учёных В.М. Монахова и В.Ю. Гуревича.

Структуру учебного материала рассматриваемого курса можно представить наглядно, разбив его на структурные элементы (А|,...,АП) (рис. 1). При этом согласно теории ВПС связь типа А1 —> означает

использование ¡-го элемента (фрагмента, темы) при изучении .¡-го элемента (фрагмента, темы).

Рис. 1. Ориентированный граф структуры учебного материала Дидактическое опережение с математическим содержанием целесообразно осуществлять за счёт ВПС обратного действия, означающего возможность привнесения информации .¡-го элемента (фрагмента, темы) в процесс усвоения Ьго элемента (фрагмента, темы). При этом нами выделены связи трёх основных типов:

- связь логико-математического типа А1 —> Ау означает, что при

изучении .¡-го элемента будут задействоваться рассуждения, логические приёмы, правила дедуктивного вывода, используемые ранее, при изучении ¡-го элемента, но в другом контексте, в изменённой ситуации, в других обозначениях и т.п.;

- связь содержательно-математического типа А/ —> Aj (связь

включения) характеризуется тем, что элемент А1 является составной частью элемента А}. Данная связь может быть и не предусмотрена последовательностью изложения математического материала в учебном

А,

пособии. Однако с методической точки зрения её реализация является целесообразной;

- связь методико-математического типа А1 Aj— это связь,

характеризующаяся тем, что при изучении элемента А/ используются такие же аналогии, сравнения, обобщения, интерпретации и т.п., что и при изучении элемента А).

Анализ особенностей методики преподавания математике в высшей школе позволил выделить основные способы организации дидактического опережения с теоретическим материалом: предварительное ознакомление студентов со строгим доказательством изучаемой теоремы посредством её доказательства на более доступном уровне с привлечением модельных примеров, ярких ассоциаций и образов (Е.М. Вечтомов, В.А. Тестов и др.); предварительное рассмотрение преподавателем лемм при изучении сложного доказательства теоремы (А.Я. Хинчин, Я.С. Дубнов и др.); самостоятельное выполнение студентами предваряющих заданий (М.И. Зайкин, Н.В. Метельский, Г.И. Саранцев и др.); введение в изложение лекционного материала новых терминов без строгого их определения ещё до того, как студенты будут ознакомлены с ними более основательно (Я.И. Понарин, С.И. Калинин и др.); постановка преподавателем образовательных перспектив на вводных лекциях к основным курсам или разделам высшей математики (Л.Д. Кудрявцев, М.В. Потоцкий и др.); выдача студентам текста или развёрнутого плана одной или нескольких очередных лекций для предварительного изучения (В.И. Варанкина, О.А. Сотникова и др.).

На основе анализа способов организации дидактического опережения в школе и вузе, а также особенностей проявления в этих случаях внутринрсдмстных связей нами были выделены виды дидактического опережения: постановка образовательных перспектив, опережающее ознакомление, предварительное изучение, пропедевтическое обучение (рис.

Рис. 2. Основные виды дидактического опережения

Постановка образовательных перспектив предполагает вовлечение в учебный процесс информации об изучаемом в дальнейшем материале. Она раскрывает ценностный потенциал содержания этого материала, то есть, отражает его методическую, общенаучную, профессиональную значимость и практическую ценность. Такой дидактический приём используется с целью мотивации учебно-познавательной деятельности обучаемых. В результате происходит формирование у обучаемых определённой установки на то, что материал, подлежащий изучению в будущем, личностно значим. При этом содержательная часть этого математического материала может быть различной. Она может касаться не только математических символов и терминов, но и формул, понятий, методов, идей, теорий и т.п.

Под опережающим ознакомлением мы понимаем включение в процесс обучения элементов перспективного учебного материала, который характеризуется тем, что изучение этих элементов происходит без использования специальной терминологии, без обязательного заучивания, перед студентами явно не ставится цель осуществляемой в действительности подготовительной работы, преподавателем не контролируется степень усвоения обучаемыми сведений опережающего характера.

Предварительное изучение предполагает вовлечение в учебный процесс отдельных фрагментов учебного материала, подлежащего изучению в дальнейшем, с целью облегчения понимания структуры и содержания этого материала. При этом предварительное изучение фрагментов перспективного материала проходит на соответствующем уровне строгости, с соответствующей терминологией и т.п.

Пропедевтическое обучение — это предварительное обучение студентов структурным элементам математического материала на незавершённом конкретно-интуитивном уровне. То есть, пропедевтическое обучение предполагает изучение математического материала по содержанию, формам и методам более доступным, нежели в основном курсе. При этом данный материал подлежит обязательному заучиванию, перед студентами явно ставится цель осуществляемой в действительности подготовительной работы, преподавателем контролируется степень усвоения обучаемыми сведений опережающего характера.

В третьем параграфе раскрываются основные направления опережающей работы при обучении высшей математике.

Анализ специфики учебного материала высшей математики позволил к основным структурным элементам содержания, вовлекаемым в работу по реализации дидактического опережения, отнести математические идеи, понятия и доказательства.

Пропедевтическая работа при изучении высшей математики может реализовываться по трём направлениям: первое - вводные, адаптационные и поддерживающие курсы; второе - вводные лекции перед изучением

основных курсов или разделов, в которых ограничиваются наглядными соображениями, правдоподобными рассуждениями, очерком основных понятий и постановкой образовательных перспектив; третье -использование понятий до их строгого формального определения на незавершённом конкретно-интуитивном уровне (концентрическое изложение материала).

Стратегия методической работы по реализации дидактического опережения с математическими идеями и понятиями определяется последовательностью уровней: уровнем интуитивных представлений, уровнем конкретного выражения, уровнем формального описания.

Весьма важной при обучении математике в вузе является опережающая работа с доказательствами теорем. Она может касаться понимания логической составляющей структуры теоремы; сущности доказательства, полноценности аргументации; владения методами доказательств и проведения опровержений. Основываясь на анализе научно-методических работ, касающихся обучения доказательствам (Я.С. Дубнов, Ф.Ф. Притуло, Г.И. Саранцев, А.И. Фетисов и др.), нами были выделены в качестве основных следующие аспекты метода доказательства, которые необходимо учитывать при реализации идеи дидактического опережения: идейный, процессуальный, формально-логический и функционально-оценочный.

Идейный аспект рассмотрения метода доказательства мы связываем, прежде всего, с определением характеристики общего замысла метода; процессуальный аспект - с наличием в методе доказательства определенной последовательности логических действий или алгоритмических предписаний, которые, в конечном счёте, определяют его структуру; формачьно-логический аспект — с определением правил и законов логики, лежащих в основе данного метода; функционально-оценочный аспект связан с определением условий и области применимости метода, его достоинств и недостатков.

Охарактеризованные таким образом аспекты рассмотрения методов доказательства были положены нами в основу проведения пропедевтической работы по ознакомлению с синтетическим, аналитическим методами, а также методом от противного и методом математической индукции (ММИ).

Опережающая работа, касающаяся способов доказательств, предполагает предварительное изучение структурных элементов доказательства (шагов и фрагментов). Большое значение имеет также опережающее ознакомление студентов с идеей фрагментов доказательства или всего способа доказательства. К основным методическим средствам осуществления работы по дидактическому опережению со способом доказательства следует отнести: вспомогательные теоремы (леммы), дополнительные задачи и их цепочки, модельные примеры, предметные интерпретации.

Цели и задачи изучаемого курса

Принципы проектирования опережающей работы:

наглядности, доступности, генетического подхода к методике, концентризма, множественного воздействия и др.

Основные виды ДО

постановка образовательных перспектив опережающее ознакомление предварительное изучение пропедевтическое обучение

Содержательные Методические Место

элементы курса средства опережающей

ВМ, вовлекаемые опережающей работы в

в опережающую работы уч. процессе

работу

• вспомогатель- • адаптацион-

ные теоремы ный курс

• идеи (леммы) математики

• дополнитель- • вводный

• понятия ные задачи и их курс

цепочки математики

• доказательства • модельные • систематиче-

примеры ский курс ВМ

• предметные • поддержива-

интерпретации ющий курс

• ЛСМ математики

Активная учебно-познавательная деятельность студента по

усвоению математического материала

Результат обучения

Рис. 3. Дидактическая модель обучения студентов высшей математике с использованием идеи дидактического опережения

Дидактическая модель обучения студентов высшей математике с использованием идеи дидактического опережения представлена на рис. 3,

Во второй главе диссертации раскрываются методические аспекты реализации дидактического опережения при обучении линейной алгебре в вузе.

Постановка образовательных перспектив, как одна из разновидностей дидактического опережения, становится осуществимой благодаря использованию различных методических средств: матриц внутрипрсдметных связей учебного материала, структурно-логических схем учебных тем, логико-смысловых моделей учебных дисциплин типа модели, приведённой на рисунке 4.

Р УРОВНИ изучения ( 1 ^ЛО™Ч*СКО* стоовнив Основные разлель|

(у \ основные идеи: идея структуры, ; 2 ;

"линейности, изоморфизма, -часть , - основной аппарат 'абстрактности тензорная

общечеловеческой матричное Т * ^гебра

«ультуры исчисление I теория алгеора

- форма описания и л # - исходная задача • квадратичных форм

метод познания I изучение теория линейных

действительности - предмет изучения .¡произвольных СЛАУ преобразований

^ А алгебраические • теория линейных и

операции йобьект , —^пространств

. овладение конкретными». Тлин. пространство теория определителей знаниями ___-—■—---—— _ -

- теория матриц

, УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА*

- векторная алгебра. "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА".

• ——,________.__—— .. - элементы множеств (матрицы

- аналитическая -' аналитический/ \ " -. # векторы, функции и т. д)

геометрия» "етад • \

-функциональный -алгебраические

анализ- • - синтетический е-аксиоматический х структуры (линейное

-вычислительные - метод от мвтоя метод • пространств.

методы л»«, протипного* # , нютим

апгобры ■ митод м«1 фирмапьно-дидуктишкш

I 5 ) - специальные методы , ИпДу,1ЧИИ.-замкнутость-¿,рассмотрвнив °6ъвкт0в 3

Смежные метод/Тафанжа^и'т.п) * рассмотрении* адибмизмт»

ДИСЦИПЛИНЫ Ф / алгебраических \ на ге0мв^ич1К,у10 абМЕШ

Действий интуицию

Методы мссужаениИ ' — сиирияния

Рис. 4. Логико-смысловая модель учебной дисциплины «линейная алгебра» как основа методической работы по постановке образовательных перспектив

Пропедевтическое изучение методов доказательств теорем

целесообразно осуществлять в соответствии с выделенными выше

аспектами их рассмотрения. (Ниже приведён пример, раскрывающий

содержание каждого из этих аспектов для метода математической индукции (табл. 1).)

Таблица 1

Характеристика аспектов пропедевтического изучения метода математической индукции

Аспекты рассмотрения метода Характеристика аспекта метода

Идейный аспект Идея математической индукции была, фактически, известна уже в древности. Действительно, налицо связь этого метода с античным парадоксом «кучи»: одно зерно не образует кучи; если п зерен не могут образовать кучи, то п+1 зерно не может образовать кучи, а потому куч не существует, что противоречит опыту. ММИ был строго сформулирован Б. Паскалем и Я. Бсрнулли для доказательства математических утверждений. В настоящее время в теории и практике обучения используется в качестве иллюстрирующей идеи этого метода идея «бегущей волны доказательств», модельным примером которой является волна падений (доказательств) бесконечного ряда костяшек (утверждений) домино.

Процессуальный аспект ММИ можно рассматривать как алгоритмическое предписание, состоящее из тргх этапов: базы индукции (БИ), шага индукции (ШИ) и индукционного вывода (ИВ). /. БИ. Проверяется истинность предложения А(п) для п =1. Или на основе разбора нескольких частных случаев, среди которых есть и п-\, высказывают гипотезу Л(п), в формулировку которой входит натуральное число п. 2. ШИ. Доказывается, что если утверждение Л(п) справедливо при и = к, то оно справедливо и при п = к+\. 3. ИВ. Делается вывод, что А(п) истинно при всех натуральных значениях п.

Формальнологический аспект ММИ базируется на принципе математической индукции, справедливость которого доказывается на основании аксиомы индукции (аксиомы Ислно). ММИ яиляется дедукпшным но сути и индуктивным по форме. Известны различные формулировки принципа математической индукции. Одна из них следующая: если предложение Л(п), зависящее от переменного натурального числа п, истинно при п= 1, а из того, что оно истинно при всех и гкк следует, что оно истинно и при п = к, то А(п) истинно для всех натуральных значений п.

Функционально-оценочный аспект Понятие «математическая индукция» прошло стадии развития от идеи, аксиомы индукции, принципа индукции и, наконец, до понятия метода математической индукции. ММИ используется при доказательстве предложений, зависящих от переменного натурального числа п или при доказательстве утверждений для бесконечного количества математических объектов. Для ММИ безразлична природа этих объектов. Они могут быть геометрическими, теоретико-числовыми и т.д. ММИ широко применяется при доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость и некоторых геометрических задач; является основным инструментом доказательства правильности рекурсивных алгоритмов.

Основными средствами опережающего ознакомления и предварительного изучения являются вспомогательные теоремы (леммы), задачи и их цепочки, модельные примеры, предметные интерпретации. Методические особенности реализации таких видов дидактического опережения проиллюстрируем на примере доказательства теоремы об изоморфизме двух конечномерных векторных пространств (F= W <=> dim V = dim W = n).

Структурированное доказательство данной теоремы представляем н следующем виде:

I. Доказательство изоморфности конечномерных линейных пространств V и W размерности п.

1) доказательство того, что если dim V = п, то У= R".

1а) построение отображения f -.V -> R" ■

16) доказательство того, что отображение/взаимно однозначное.

1в) проверка выполнения условий линейности для установления факта изоморфности отображения/

2) доказательство того, что если dim V = dim W = п, то V= W.

II. Доказательство утверждения, что два изоморфных пространства имеют одинаковую размерность.

Доказательство того, что система образов базисных векторов ё1,ё2,—,ё„, т.е. система векторов /(ej)...../(?„) является базисом.

а) доказательство линейной независимости системы векторов Дё,),..., /(ё„).

б) доказательство того, что любой вектор линейного пространства /С можно представить и виде линейной комбинации системы некторои

Анализ структурированного доказательства данной теоремы показывает, что в качестве средств дидактического опережения по ознакомлению с доказательством целесообразно взять цепочку лемм и вспомогательную задачу. Так, для предупреждения возникновения у студентов трудностей с пониманием первой части доказательства данной теоремы целесообразно использовать в качестве методического средства опережающего ознакомления следующую задачу.

Задача. Доказать, что линейное пространство У} геометрических векторов, вы.ходящих из начала координат, с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на число изоморфно действительному арифметическому

пространству Л3.

Для полноценного понимания студентами второй части доказательства данной теоремы целесообразно предварительно изучить доказательства следующих лемм.

Лемма 1. При изоморфизме линейных пространств V и РУ нулевому вектору О е V соответствует нулевой вектор О е IV .

Лемма 2. Для изоморфных линейных пространств V и IV каждой линейной независимой системе векторов в линейном пространстве V соответствует линейно независимая система векторов в линейном пространстве IV.

Лемма 3. Пусть отображение / : V —> IV - изоморфизм и ё], ё2 ё„ -базис линейного пространства V, тогда ),...,/(ё„) - базис линейного пространства IV.

Планирование систематической работы по реализации методики дидактического опережения при обучении линейной алгебре нами осуществлялась на основе так называемой карты дидактического опережения.

Экспериментальная проверка эффективности предложенной методики реализации дидактического опережения при обучении линейной алгебре описана в заключительном параграфе второй главы. При сравнительной оценке были использованы следующие критерии а) интерес обучаемых к занятиям математикой; б) качество усвоения математического содержания.

Оценка качества усвоения студентами математического содержания проводилась по итогам срезовой работы комплексного характера (проверялось усвоение понятий, доказательств теорем, понимание математических идей), а также на основе результатов проведённых зачётов и экзаменов. Диапазон разброса количественной оценки качества математических знаний студентов нами разбит на три основных уровня: низкий, средний, высокий.

Распределение студентов экспериментальных и контрольных групп по уровням усвоения математических знаний приведено на диаграмме (рис. 5).

НИЗКИЙ СР*АНИЙ высокий уровень уроннь уроввнь

Рис.4. Распределение студентов ЭГ и КГ по уровням усвоения математических знаний

□ эг ■ кг

с редкий высокий уромнь уровень уровень

Рис.5. Распределение студентов ЭГ и КГ по уровням сформированности интереса

Сравнение по второму критерию производилось путём измерения интереса студентов к занятиям линейной алгеброй. Распределение студентов

экспериментальной и контрольной групп по уровням интереса к занятиям линейной алгеброй приведено на диаграмме (рис. 6).

Установленные различия проверялись на статистическую значимость с

помощью критерия X2 - В соответствии с правилом принятия решения полученный результат Т=6,68 > Т,ф=б,0 даёт основание свидетельствовать о статистической значимости установленных экспериментальных различий.

Таким образом, гипотеза диссертационного исследования получила экспериментальное подтверждение.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Обоснована целесообразность использования методики дидактического опережения при обучении студентов высшей математике.

2. Уточнена сущность категории дидактического опережения на основе категориального аппарата внутрипредметных связей обратного действия содержательно-математического, логико-математического и методико-математического видов.

3. Определены и охарактеризованы основные виды дидактического опережения (постановка образовательных перспектив, опережающее ознакомление, предварительное изучение, пропедевтическое обучение).

4. Проведён логико-содержательный анализ курса линейной алгебры, позволивший определить основные структурные элементы содержания, опережающую работу по усвоению которых целесообразно осуществлять.

5. Стратегия методической работы по реализации идеи дидактического опережения с математическими идеями и понятиями определяется последовательностью уровней: уровнем интуитивных представлений, уровнем конкретного выражения, уровнем формального описания.

6. Стратегия методической опережающей работы с методами доказательств определяется основными аспектами рассмотрения метода (идейным, процессуальным, формально-логическим, функционально-оценочным).

7. Опережающая работа со способами доказательств математических теорем определяется логической структурой доказательства, его доказательной базой, используемыми законами логики.

8. Постановка образовательных перспектив, как одна из разновидностей дидактического опережения, становится осуществимой благодаря использованию различных методических средств: матриц внутрипредметных связей учебного материала, структурно-логических схем учебных тем, логико-смысловых моделей учебных дисциплин и др.

9. Основными средствами опережающего ознакомления и предварительного изучения являются вспомогательные теоремы (леммы),

задачи и их цепочки, модельные примеры, предметные интерпретации, текстовые выкладки и др.

10. Создана система методической работы по реализации идеи дидактического опережения с основными структурными элементами курса линейной алгебры.

11. Гипотеза исследования получила своё экспериментальное подтверждение.

Всё это даёт возможность считать, что задачи диссертационного исследования решены.

Основные результаты исследования нашли отражение в следующих публикациях автора.

Статьи

1. Лушникова, Н.В. Об использовании лемм при опережающем ознакомлении с доказательствами теорем в курсе линейной алгебры/ Н.В. Лушникова // Экономическое образование: проблемы преподавания обще профессиональных, естественнонаучных и гуманитарных дисциплин: Сб. науч. статей. - Арзамас, 2005. - С. 292 - 295.

2. Лушникова, Н.В. О доказательстве теорем линейной алгебры на гуманитарных факультетах с использованием дидактического опережения / Н.В. Лушникова // Междисциплинарный подход в становлении специалиста-профессионала в гуманитарном вузе: Сб. ст. Всерос. науч.-практ. конф.: В 2 т. - Т. 2 / Под ред. М.Н. Заостровцевой, В.З.Юсупова. - М., Коряжма: Изд-во «Старая Вятка», 2005. - С. 132 - 133.

3. Лушникова, Н.В., Зайкин М.И. К вопросу о структуре метода математического доказательства / Н.В. Лушникова, М.И. Зайкин // Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы: Мат-лы всерос. науч.-практ. конф. / Под ред. доктора пед. наук, профессора М.А. Родионова - Пенза, 2006. - С. 102 - 105 (50 %).

4. Лушникова, Н.В. Некоторые учебно-методические особенности курса линейной алгебры / Н.В. Лушникова // Перспектива 5. Межвуз. Сб. трудов молодых учёных. — Арзамас: АГПИ, 2006. — С. 207 -210.

5. Лушникова, Н.В. Об идее изоморфизма в курсе линейной алгебры / Н.В. Лушникова // Вестник Саровского ФИЗТЕХА: Научно-популярный журнал. - Саров: ФГОУ ВПО «СарФТИ», 2006. - №10, С. 53 -55.

Тезисы докладов

6. Лушникова, Н.В. К вопросу использования элементов опережающего ознакомления с доказательствами теорем в курсе линейной алгебры / Н.В. Лушникова // Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и вузе: Сб. науч. трудов и метод.

работ регион, науч.-практ. конф. / Под ред. М.И. Зайкина. - Арзамас: АГПИ, 2004.-С. 165-167.

7. Лушникова, Н.В. Об использовании элементов опережающего ознакомления с доказательствами теорем курса линейной алгебры гуманитарных факультетов / Н.В. Лушникова // X нижегородская сессия молодых ученых. Гуманитарные науки: Мат-лы докладов. - Н.Новгород: Изд-во Гладкова О.В., 2006. - С. 101 - 103.

Лушникова Н.В. Реализация идеи дидактического опережения при обучении высшей математике (на примере курса линейной алгебры) Автореф. дис...канд. пед. наук.— Нижний Новгород, 2006. —21 с.

Подписано к печати 09.07.2006. Формат 60x84/16. Усл. печ. листов 1,0. Участок оперативной печати ГОУ ВПО «АГПИ им. А.П. Гайдара» 607220, г. Арзамас, Нижегородская обл., ул. К.Маркса, 36

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Лушникова, Надежда Викторовна, 2006 год

Введение.

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕАЛИЗАЦИИ ИДЕИ ДИДАКТИЧЕСКОГО ОПЕРЕЖЕНИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

§ 1. Специфика методической системы обучения математике в высшей школе.

§2. Сущность идеи дидактического опережения и целесообразность её использования при обучении математике в вузе.

§3. Основные направления реализации идеи дидактического опережения при обучении математике в высшей школе.

Выводы по главе 1.

Глава 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РЕАЛИЗАЦИИ ИДЕИ ДИДАКТИЧЕСКОГО ОПЕРЕЖЕНИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ В ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ

§1. Стратегия постановки образовательных перспектив в курсе линейной алгебры.

§2. Методические средства опережающего ознакомления и предварительного изучения при обучении линейной алгебре.

§3. Методические особенности пропедевтического обучения линейной алгебре.

§4. Постановка и результаты педагогического эксперимента.

Выводы по главе 2.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Реализация идеи дидактического опережения при обучении высшей математике"

Магистральные направления совершенствования профессиональной подготовки специалистов с высшим образованием на современном этапе, зафиксированные в документах правительства Российской Федерации, ориентируют на достижение трёх главных целей: расширение доступности, повышение качества и эффективности отечественного образования. На фоне усиления гуманитарной составляющей профессиональной подготовки специалистов сегодня заметно снижение уровня их математического образования, проявляющееся, прежде всего, в недостаточно осознанном усвоении студентами математических фактов, определений, теорем, закономерностей и теорий, что определяет необходимость дальнейшего совершенствования методики обучения высшей математике.

Об использовании идеи дидактического опережения с абстрактными математическими идеями, понятиями и методами неоднократно высказывались видные учёные. Так, академик Л.Д. Кудрявцев [87], придаёт особую значимость постановке в процессе обучения образовательных перспектив. Известный педагог-математик В.А. Тестов [163] в своих книгах ориентирует на активное использование в высшей школе различных вариантов пропедевтической работы. Профессор Е.М. Вечтомов [34] считает необходимым использование в образовательной практике вузов такого приёма мотивации к учению, как выдачу студентам для предварительного ознакомления текста одной или нескольких очередных лекций. Автором известных вузовских и школьных учебников математики М.И. Шабуниным предложен принцип «последовательных фаз», суть которого заключается в том, что учебный материал сначала воспринимается на интуитивном или эвристическом уровне, затем осваивается терминология, определения и доказательства, а далее наступает фаза усвоения, расширения запаса знаний и их использования [163].

Ценные рекомендации по использованию в учебном процессе метода опережающего обучения содержатся в работах учителя-новатора С.Н. Лы-сенковой [105, 106]. Её подход к оптимизации учебной деятельности школьников выражается в особых способах сочетания ранее приобретенных и новых знаний. Он характеризуется опережающим (или по автору - «пробно-порциальным») введением последующего материала в текущий и в открытии тем самым учебной перспективы. Усвоение материала по системе С.Н. Лы-сенковой происходит в три этапа: 1) предварительное введение первых (малых) порций будущих знаний; 2) уточнение новых понятий, их обобщение и применение; 3) открытие новых перспектив и развитие беглости мыслительных приемов и учебных действий. Однако её теоретические положения и методические рекомендации создавались применительно к курсу начальной математики. Автор не высказывает каких-либо ценных предложений относительно возможности переноса предлагаемой методики на среднее или старшее звено школы, а тем более вузовское обучение.

121], O.A. Сотникова [151] и др.). Однако в них имеются лишь частные указания на этот счёт. Например, приведённая в диссертационном исследовании O.A. Сотниковой мысль о концентрическом построении учебно-познавательной деятельности студентов при изучении высшей алгебры касается лишь пропедевтического аспекта методики дидактического опережения.

Объектом исследования является процесс обучения студентов высшей математике в вузе.

Гипотеза исследования: использование дидактического опережения с целью совершенствования методики обучения высшей математике будет эффективным, если:

- описать сущность дидактического опережения на основе категориального аппарата теории внутрипредметных связей;

5. Экспериментально проверить разработанное методическое обеспечение.

Теоретико-методологическую основу исследования составляют:

- теория педагогических систем (Н.В. Кузьмина, В.Я. Сквирский, П.И. Пидкасистый и др.);

- основы методики преподавания высшей математики (В.И. Загвязин-ский, Л.Д. Кудрявцев, М.В. Потоцкий, А.Я. Хинчин и др.);

- исследования по методике обучения доказательству теорем (В.А. Да-лингер, Т.А. Иванова, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев и др.).

- анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования;

- анализ образовательных стандартов и программ по высшей математике;

- наблюдение, анкетирование, анализ и обобщение опыта обучения математике в высшей школе;

- статистическая обработка данных, полученных в ходе эксперимента.

Исследование было организовано следующим образом:

- на первом этапе исследования (2003 - 2004 уч. год) изучалась и анализировалась психолого-педагогическая и учебно-методическая литература, а также диссертационные исследования по данной проблеме; анализировалось реальное состояние проблемы в теории и практике обучения высшей школы; проводился констатирующий эксперимент; формулировалась гипотеза исследования, его цель и основные задачи;

- на втором этапе (2004 - 2005 уч. год) формулировались концептуальные положения авторского подхода к реализации идеи дидактического опережения при обучении высшей математике, разрабатывались методические материалы, а также проводилась первичная их апробация;

- на третьем этапе (2005 - 2006 уч. год) проводился обучающий эксперимент, формулировались основные выводы и положения, выносимые на защиту, оформлялась диссертационная работа и проходила её апробация.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

- определена стратегия опережающей работы по каждому из выделенных видов дидактического опережения;

- разработаны основы конструирования методического обеспечения для реализации идеи дидактического опережения при обучении высшей математике, включающие рекомендации по структурированию учебного материала, составлению вспомогательных теорем (лемм), дополнительных задач и их цепочек, модельных примеров, предметных интерпретаций, учебно-методической карты дидактического опережения и др.

Достоверность и обоснованность полученных результатов исследования обеспечивается опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, теории и методики обучения математике; использованием разнообразных методов теоретико-экспериментальных исследований, их адекватностью целям и задачам диссертационного исследования, сочетанием качественного и количественного анализа результатов, включая применение методов математической статистики.

На защиту выносятся следующие положения:

3. К основным методическим средствам осуществления работы по дидактическому опережению с элементами математического содержания следует отнести: вспомогательные теоремы (леммы), дополнительные задачи и их цепочки, модельные примеры, предметные интерпретации, логикосмысловые модели, текстовые выкладки. Выбор каждого из этих средств определяется видом дидактического опережения, наличием учебного времени, степенью абстрактности изучаемого материала, квалификацией педагога, предшествующим опытом студентов.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2

1. Эффективность процесса обучения студентов линейной алгебре определяется системой методической работы по реализации идеи дидактического опережения в целом.

2. Постановка образовательных перспектив, как одна из разновидностей дидактического опережения, становится осуществимой благодаря использованию различных методических средств: матриц внутрипредметных связей учебного материала, структурно-логических схем основных понятий, логико-смысловых моделей учебных дисциплин и др.

3. Пропедевтическая работа при изучении высшей математики может быть реализована за счёт: 1) вводных, адаптационных и поддерживающих курсов математики; 2) вводных лекций перед изучением основных курсов или разделов, в которых ограничиваются наглядными соображениями, правдоподобными рассуждениями, очерком основных понятий и постановкой образовательных перспектив; 3) использования понятий до их строгого формального определения на незавершённом конкретно-интуитивном уровне (концентрическое изложение материала).

4. Пропедевтическое ознакомление с дедуктивными методами доказательств целесообразно проводить на занятиях адаптационных или вводных курсов математики по следующей схеме: актуализация знаний студентов; ознакомление с идеей метода; изложение структурной схемы метода; проведение логического обоснования метода; определение сферы применения метода, его достоинств и недостатков; отработка метода на конкретных примерах.

5. Основными средствами опережающего ознакомления и предварительного изучения являются вспомогательные теоремы (леммы), задачи и их цепочки, модельные примеры, предметные интерпретации, текстовые выкладки и др.

6. Система методической работы по реализации идеи дидактического опережения с доказательствами теорем курса линейной алгебры может быть организована по следующей схеме:

1). Определение номенклатуры теорем изучаемого курса, доказательства которых недостаточно усваиваются студентами.

2). Определение содержания опережающей работы, т.е. с чем именно желательно провести дидактическое опережение (с методом, способом или идеей доказательства).

3). Определение вида дидактического опережения.

4). Конструирование методических средств дидактического опережения.

5). Определение учебного курса (систематический курс линейной алгебры, адаптационный, вводный или поддерживающий курс математики), учебной темы и учебного вопроса, где целесообразно проводить дидактическое опережение.

6). Построение сводной таблицы (технологической карты) дидактического опережения.

7. Основными действиями преподавателя при конструировании заданий, направленных на опережающее ознакомление или предварительное изучение структурных элементов (шагов или фрагментов) доказательства являются:

1) структурирование выбранного стандартного доказательства теоремы, т.е. его разбиение на шаги и фрагменты;

2) выявление действий, адекватных каждому шагу или фрагменту доказательства;

3) выбор средств дидактического опережения (лемм, задач, проблемных вопросов и др.);

4) составление опережающих заданий.

134

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе теоретического и экспериментального исследования поставленной научной проблемы, в соответствии с целью и задачами диссертационной работы, получены следующие основные результаты.

Обоснована целесообразность использования методики дидактического опережения при обучении студентов высшей математике.

Уточнена сущность категории дидактического опережения на основе категориального аппарата внутрипредметных связей. Дидактическое опережение с математическим содержанием целесообразно осуществлять на основе внутрипредметных связей обратного действия, означающего возможность привнесения информации ]-го элемента (фрагмента, темы) в процесс усвоения ¡-го элемента (фрагмента, темы). При этом целесообразно различать связи трёх основных типов:

- связь логико-математического типа А1 -» А] означает, что при изучении )го элемента будут задействоваться рассуждения, логические приёмы, правила дедуктивного вывода, используемые ранее, при изучении >го элемента, но в другом контексте, в изменённой ситуации, в других обозначениях и т.п.;

- связь содержательно-математического типа А, -» А] (связь включения) характеризуется тем, что элемент А} является составной частью элемента А^ Данная связь может быть и не предусмотрена последовательностью изложения математического материала в учебном пособии. Однако с методической точки зрения её реализация является целесообразной;

- связь методико-математического типа А1-*А]- это связь, характеризующаяся тем, что при изучении элемента А; используются такие же аналогии, сравнения, обобщения, интерпретации и т.п., что и при изучении элемента А;.

Определены и охарактеризованы основные виды дидактического опережения (постановка образовательных перспектив, опережающее ознакомление, предварительное изучение, пропедевтическое обучение).

Пропедевтическое обучение - это предварительное обучение студентов структурным элементам математического материала на незавершённом конкретно-интуитивном уровне. То есть, пропедевтическое обучение предполагает изучение математического материала по содержанию, формам и методам более доступным, нежели в основном курсе. При этом данный материал подлежит обязательному заучиванию, перед студентами явно ставится цель осуществляемой в действительности подготовительной работы, преподавателем контролируется степень усвоения обучаемыми сведений опережающего характера.

Проведён логико-содержательный анализ курса линейной алгебры, позволивший определить основные структурные элементы содержания, опережающую работу по усвоению которых целесообразно осуществлять. К ним относятся математические идеи, математические понятия и математические доказательства.

Стратегия методической работы по реализации идеи дидактического опережения с математическими идеями и понятиями определяется последовательностью уровней: уровнем интуитивных представлений, уровнем конкретного выражения, уровнем формального описания.

Стратегия методической опережающей работы с методами доказательств определяется основными аспектами рассмотрения метода (идейным, процессуальным, формально-логическим, функционально-оценочным).

Опережающая работа со способами доказательств математических теорем определяется логической структурой доказательства, его доказательной базой, используемыми законами логики.

Постановка образовательных перспектив, как одна из разновидностей дидактического опережения, становится осуществимой благодаря использованию различных методических средств: матриц внутрипредметных связей учебного материала, структурно-логических схем основных понятий, логико-смысловых моделей учебных дисциплин и др.

Создана система методической работы по реализации идеи дидактического опережения с основными структурными элементами курса линейной алгебры.

Гипотеза исследования получила своё экспериментальное подтверждение.

Всё это даёт возможность считать, что задачи диссертационного исследования решены. г

138

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Лушникова, Надежда Викторовна, Арзамас

1. Адамар, Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики / Ж. Адамар. -М.: Советское радио, 1970. - 150с.

2. Аксёнов, A.A. Теоретические основы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углубленным изучением математики: Дис. . канд. пед. наук: 13.00.02 / A.A. Аксёнов. Орёл, 2000. -160 с.

3. Александров, П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / П.С. Александров. М.: Наука, Гл. ред. физ.- мат. лит., 1979. - 512 с.

4. Анохин, П.К. Опережающее отражение действительности / П.К. Анохин // Вопросы философии. 1962. - №7. - С. 97 - 111.

5. Арташкина, Т.А. Проблема целей обучения в высшей школе / Т.А. Арташкина. Владивосток: ДВГУ, 1994. - 176 с.

6. Архангельский, С.И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерности, основы и методы / С.И. Архангельский. М.: Высш. шк., 1980. -368 с.

7. Бабанский, Ю.К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований / Ю.К. Бабанский. М.: Педагогика, 1982. - 192 с.

8. Байдак, В.Ю. Содержание и методика адаптационной подготовки студентов-первокурсников математических специальностей вузов: Дис. . .канд. пед. наук: 13.00.02 / В.Ю. Байдак. Орёл, 2000. - 204 с.

9. Байденко, В.И. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования нового поколения как комплексная норма качества высшего образования: общая концепция и модель / В.И. Байденко,

10. H.A. Селезнева. M.: Исслед. центр проблем качества подгот. специалистов, 2005. - 42 с.

11. Барбашова, Г.JI. Технологический подход к обучению базовым понятиям математического анализа студентов педвуза: Автореф. дис. . канд пед. наук: 13.00. 08 / Г.Л. Барбашова. Н. Новгород, 2005. - 23 с.

12. Беклемишев, Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры: Учеб. пособие для вузов по спец. «Физика» и «Прикладная математика» / Д.В. Беклемишев. М: Наука, 1983. - 335 с.

13. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб / Д.В. Беклемишев. 7-е изд. - М: Высш. шк., 1998. - 320 с.

14. Беклемишева, Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учебн. пособие / Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. / Под ред. Д.В. Беклемишева. 2-е изд., перераб. - М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.-496 с.

15. Бергер, Э.И. Стимул познавательной перспективы как средство развития любознательности учащихся в процессе обучения: Дис. . канд. псих, наук: 19.00.07 / Э.И. Бергер. Йошкар-Ола, 1980. - 188 с.

16. Беспалько, В.П. Основы теории педагогических систем: Проблемы и методы психолого-педагогического обеспечения техн. обучающих систем / В.П. Беспалько. Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1977. - 304 с.

17. Беспалько, В.П. Слагаемые педагогической технологии / В.П. Беспалько. M.: Педагогика, 1989. - 192 с.

18. Бикмурзина, P.P. Дифференцированный подход к формированию познавательной самостоятельности студентов младших курсов вузов в процессе обучения математике: Дис. . канд. пед. наук: 13.00.02 / P.P. Бикмурзина. Саранск, 1996. - 192 с.

19. Болтянский, В.Г. Использование логической символики при работе с определениями / В.Г. Болтянский // Математика в школе. 1973. - №5. - С. 45-50.

20. Болтянский, В.Г. Как устроена теорема? / В.Г. Болтянский // Математика в школе. 1973. -№1.-С. 41 -50.

21. Болынев, JI.H. Таблицы математической статистики / JI.H. Болынев, Н.В. Смирнов. -М.: Наука, 1983. 416 с.

22. Бондарчук, Е.И. Основы психологии и педагогики: Курс лекций / Е.И. Бондарчук, Л.И. Бондарчук. Киев: Межрегион, акад. упр. персоналом, 1999.- 162 с.

23. Брадис, В.М. Ошибки в математических рассуждениях: Пособие для учителей / В.М. Брадис, B.JI. Минковский, А.К. Харчева. 3-е изд. - М.: Просвещение, 1967. -191 с.

24. Бражниченко, Т.Н. Гносеологические, психологические, воспитательные и дидактические основы преподавания высшей математики / Г.Н. Бражниченко, H.A. Бражниченко. Д., 1977. - 253 с.

25. Брушлинский, A.B. Психология мышления и проблемное обучение / A.B. Брушлинский. М.: Знание, 1983. - 96 с.

26. Бурбаки, Н. Очерки по истории математики / Н. Бурбаки. М.: Издательство иностранной литературы, 1963. - 291 с.

27. Бутузов, В.Ф. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учебное пособие / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, A.A. Шишкин / Под ред. В.Ф. Бутузо-ва. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 248 с.

28. Вейль, Г. Математическое мышление: Сборник: Пер. с англ. и нем. / Г. Вейль; ост. Ю.А. Данилов; Под ред. Б.В. Бирюкова, А.Н. Паршина. М.: Наука, 1989.-400 с.

29. Вергасов, В.М. Активизация познавательной деятельности студентов в высшей школе / В.М. Вергасов. Киев: Вища Школа, 1985. - 174 с.

30. Верхола, А.П. Дидактические основы оптимизации процесса обучения дисциплинам вуза: Автореф. дис. . д-ра пед. наук: 13.00.01 / А.П. Верхола.-Киев, 1989.-49 с.

31. Вечтомов, Е.М. О курсе линейной алгебры. Абстрактность и наглядность / Е.М. Вечтомов // Математический вестник Волго-Вятского региона. Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета, 1998. - Вып. 1. - С. 38 -43.

32. Вечтомов, Е.М. Метод Гаусса как теоретический метод в линейной алгебре / Е.М. Вечтомов, Е.М. Ковязина // Математический вестник Волго-Вятского региона. Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета, 2000., Вып. 2. - С.95 - 99.

33. Вечтомов, Е.М. Философия математики: Монография / Е.М. Вечтомов. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. - 192 с.

34. Вечтомов, Е.М. Математические очерки: Учеб.-метод. пособие / Е.М. Вечтомов. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. - 215 с.

35. Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. для учащихся 10—11 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.-320 с.

36. Выготский, Л.С. Педагогическая психология / Л.С. Выготский / Под ред. В.В. Давыдова. М.: Педагогика-Пресс, 1999. - 536 с.

37. Вяткин, Л.Г. Основы дидактики высшей школы: Уч. пос. для студентов / Л.Г. Вяткин. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. - 701 с.

38. Гальперин, П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. М.: Наука, 1966. - 240 с.

39. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. - 575 с.

40. Гершунский, Б.С. Философия образования / Б.С. Гершунский. М.: Флинта, 1998.-432 с.

41. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире / Б.В. Гнеденко. М.: Просвещение, 1985. - 191 с.

42. Головина, Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения / Л.И. Головина. М.: Наука, 1985. - 277 с.

43. Горохова, Р.И. Методы математической статистики в психолого-педагогических исследованиях: Учеб. метод, пособие / Р.И. Горохова, Т.В. Чеснокова. Йошкар-Ола: Изд-во МГПИ, 2004. - 66 с.

44. Государственный образовательный стандарт РФ. Система образования. Высшее профессиональное образование // Высшее образование России. -М., 1993.-С. 25-29.

45. Грабарь, М.И. Применение математической статистики в педагогических исследованиях / М.И. Грабарь, К.А. Краснянская. М.: Педагогика, 1977.- 136 с.

46. Грудёнов, Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем: Пособие для учителей / Я.И. Грудёнов М.: Просвещение, 1981. - 95 с.

47. Гуртовая, Н.Г. Применение методов математической статистики при проведении педагогического эксперимента: Монография / Н.Г. Гуртовая, A.A. Червова. Н.Новгород: ВГИПА, 2004. - 152 с.

48. Далингер, В.А. Методика реализация внутрипредметных связей при обучении математике: кн. для учителя / В.А. Далингер. М.: Просвещение, 1991.-80 с.

49. Далингер, В.А. Совершенствование процесса обучения математике на основе целенаправленной реализации внутрипредметных связей / В.А. Далингер. Омск: ОмИПКРО, 1993. - 323 с.

50. Далингер, В.А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: Кн. для учителя / В.А. Далингер. М.: Просвещение, 2006. - 256 с.

51. Доблаев, Л.П. Смысловая структура учебного текста и проблемы его понимания / Л.П. Доблаев. М.: Педагогика, 1982. - 176 с.

52. Дорофеев, Г.В. Строгость математических понятий с методической точки зрения / Г.Д. Дорофеев // Математика в школе. 1984. - № 3. - С. 56 -60.

53. Дубнов, Я.С. Ошибки в геометрических доказательствах / Я.С. Дубнов. 4-е изд. - М.: Наука, 1969. - 64 с.

54. Загвязинский, В.И. Дидактика высшей школы: Текст лекций / В.И. Загвязинский. Челябинск: ЧПИ, 1990. - 95 с.

55. Загвязинский, В.И. Теория обучения: Современная интерпретация: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.И. Загвязинский. -М.: Издательский центр «Академия», 2004. 192 с.

56. Зайкин, М.И. Избранные вопросы теории обучения. Монография / М.И. Зайкин. Арзамас: АГПИ, 2003. - 323 с.

57. Зайкин, P.M. Реализация профессиональной направленности математической подготовки на юридических факультетах: Дис. . канд. пед. наук: 13.00.02 / P.M. Зайкин. Арзамас, 2004. - 148 с.

58. Закон Российской Федерации «Об образовании»: (с изм. и доп., внесён. Федер. Законом Рос. Федерации от 22.08.2004 г. № 122-ФЗ) М.: ИПК МГУП, 2004. - 66 с.

59. Закон Российской Федерации «Об образовании»: (с изм. и доп., внесён. Федер. Законом Рос. Федерации от 31 дек. 2005 г. № 199-ФЗ) М.: УИЦ МГУП, 2006.-51 с.

60. Зимина, O.B. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учеб. комплекс: Учеб. пособие для студентов вузов, изучающих высш. математику/ О. Зимина; Под ред. А.И. Кириллова. М.: Изд-во МЭИ, 2000. - 327 с.

61. Зимняя И.А. Педагогическая психология: Учебник для вузов / И.А. Зимняя. М.: Логос, 2004 . - 384 с.

62. Знаков, В.В. Понимание как проблема психологии мышления / В.В. Знаков // Вопросы психологии. 1991. - № 1. - С. 18 - 26.

63. Иванова, Т.А. Гуманитаризация общего математического образования: Монография / Т.А. Иванова. Н. Новгород: НГПУ, 1998. - 206 с.

64. Ильин, В.А. Линейная алгебра: Учеб. для вузов / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. 5-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 320 с.

65. Ильин, В.П. Линейная алгебра: от Гаусса до суперкомпьютеров будущего / В.П. Ильин // Природа. 1999. - №6 - С.11-17.

66. Ильясов, И.И. Проектирование курса обучения по учебной дисциплине: Пособ. для преподавателей / И.И. Ильясов, H.A. Галатенко. М.: Логос, 1994.-205 с.

67. Калошина, И.П. Построение формулировок теорем и способов доказательств: Логические приёмы мышления в творческой деятельности / И.П. Калошина, Н.В. Менчинская, Г.А. Шманова. Саранск: Изд-во Сарат. ун-та: Саран, фил., 1988.- 118 с.

68. Канатников, А.Н. Линейная алгебра: Учебник для вузов / А.Н. Канатников, А.П. Крищенко / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. - 336 с.

69. Канатников, А.Н. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов / А.Н. Канатников, А.П. Крищенко / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 392 с.

70. Кан-Калик, В.А. Учителю о педагогическом общении / В.А. Кан-Калик. М.: Просвещение, 2004. - 368 с.

71. Каплан, Б.С. Методы обучения математике: Некоторые вопросы теории и практики / Б.С. Каплан, Н.К. Рузин, A.A. Столяр / Под ред. A.A. Столяра. Мн.: Нар. Света, 1981. - 191 с.

72. Колмогоров, А.Н. Математика наука и профессия / А.Н. Колмогоров. - М.: Наука, 1988. - 285 с.

73. Колобаев, В,К. Психология восприятия и организация учебного материала / В.К. Колобаев // Вопросы психологии. 1979. - №6. - С. 61 - 68.

74. Комарова, И.В. Опережающие самостоятельные работы как условие развития познавательной активности учащихся: Дис. . канд. пед. наук: 13.00.02 / И.В. Комарова. Петрозаводск, 1998. - 209 с.

75. Кондаков, Н.М. Логический словарь. М.: Наука, 1971. - 436 с.

76. Коротяев, Б.И. Методы познания в учебном процессе / Б.И. Коротя-ев // Советская педагогика. 1971. - №9. - С. 25 - 33.

77. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Линейная алгебра: Учебник для вузов. 3-е изд., Ч. 2. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 368 с.

78. Костромитина, Е.В. Теория и практика обучения учащихся средней школы опровержению доказательств математических утверждений: Дис. . канд. пед. наук: 13.00.02 / Е.В. Костромитина. Пенза, 2006, - с.

79. Краткий психологический словарь / Сост. Л.А. Карпенко; под общ. ред. A.B. Петровского, М.Г. Ярошевского. М.: Политиздат, 1985. - 431 с.

80. Кремня, В.Г. Философия образования XXI столетия / В.Г. Кремня // Вестник образования России. 2003. - №7. - С. 3 -12.

81. Крупич, В.И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе. М.: МГПИ им. В.И. Ленина, 1985. - 117 с.

82. Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников / В.А. Крутецкий. М.: Просвещение, 1968. - 432 с.

83. Крысько, В.Г. Психология и педагогика: Схемы и комментарии / В.Г. Крысько. М.: Изд-во ВЛАДКО ПРЕСС, 2001. - 368 с.

84. Куваев, М.Р. Методика преподавания математики в вузе / М.Р. Ку-ваев; Под ред. Н.Ф. Пестовой. Томск: Изд-во Том. Ун-та, 1990. - 387 с.

85. Кудрявцев, Л.Д. Современная математика и ее преподавание: Учеб. пособие для вузов / Л.Д. Кудрявцев. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. - 176 с.

86. Кузьмина, Н.В. Очерки психологии труда учителя. Психологическая структура деятельности учителя и формирование ее личности / Н.В. Кузьмина. Л.: Изд-во ЛГУ, 1967. - 183 с.

87. Кузьмина, Н.В. Проблемы отбора и профессиональной подготовки специалистов в вузах / Н.В. Кузьмина. Л.: Знание, 1970. -90 с.

88. Кузьмина, Н.В. Основы вузовской педагогики / Н.В. Кузьмина. Л.: Изд-во ЛГУ, 1972.-311 с.

89. Кузьмина, Н.В. Методы комплексного исследования педагогических факторов академической успеваемости студентов / Н.В. Кузьмина // Пути повышения эффективности обучения в вузе. Горький: Изд-во ГГУ, 1980. - 144 с.

90. Курант, Р. Что такое математика? / Р. Курант, Г. Роббинс. М.: МЦНМО, 2004. - 568 с.

91. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. М.: Физматгиз, 1962.-431 с.

92. Лакатос, И. Доказательства и опровержения / И. Локатос. М.: Наука, 1967.-152 с.

93. Леднёв, B.C. Содержание образования: сущность, структура, перспективы / B.C. Леднёв. М.: Высшая школа, 2002. - 303 с.

94. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы / С.А. Генкин, И.В. Итенберг, И.С. Рубанов, Д.В. Фомин. Киров: Изд-во «Аса», 1994. - 272 с.

95. Лушникова, Н.В. Некоторые учебно-методические особенности курса линейной алгебры / Н.В. Лушникова // Перспектива 5. Межвуз. Сб. трудов молодых учёных. Арзамас: АГПИ, 2006. - С. 207 - 210.

96. Лушникова, Н.В. Об идее изоморфизма в курсе линейной алгебры / Н.В. Лушникова // Вестник Саровского ФИЗТЕХА: Научно-популярный журнал. Саров: ФГОУ ВПО «СарФТИ», 2006. - №10, С. 53 -55.

97. Лушникова, Н.В. Об использовании элементов опережающего ознакомления с доказательствами теорем курса линейной алгебры гуманитарных факультетов / Н.В. Лушникова // X нижегородская сессия молодых учёных.

98. Гуманитарные науки: Мат-лы докладов. Н.Новгород: Изд-во Гладкова О.В., 2006.-С. 101-103.

99. Лысенкова, С.Н. Идея опережения / С.Н. Лысенкова // Учительская газета. 1987. - №27. - С 4.

100. Лысенкова, С.Н. Методом опережающего обучения / С.Н. Лысенкова. -М.: Просвещение, 1988. 128 с.

101. Мадер, В.В. Введение в методологию математики (Гносеологические, методологические и мировоззренческие аспекты математики. Математика и теория познания) / В.В. Мадер. М.: Интерпракс, 1994. - 448 с.

102. Математика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В. Прохорова. М.: Большая Российская энциклопедия, 2003. - 845 с.

103. Ю9.Менчинская, H.A. Проблемы учения и умственного развития: избр. психол. труды / H.A. Менчинская. М.: Педагогика, 1989. - 224 с.

104. Методы педагогических исследований / Под ред. А.И. Пискунова, Г.В. Воробьёва. М.: Педагогика, 1979. - 256 с.

105. Михайлова, Е.П. Предварить изучение нового материала / Е.П. Михайлова // Математика в школе. 1989. - №5. - С. 34 - 35.

106. Мухаметдинова, С.Х. Содержание и методические особенности вводного курса высшей математики в системе математической подготовки учителя физики: Дис. . канд. пед. наук: 13.00.02 / С.Х. Мухаметдинова. -Красноярск, 2002. -174 с.

107. ПЗ.Назаретов, А.П. Внутрипредметные связи как методическая основа совершенствования процесса обучения математике на подготовительных курсах вузов: Дис. канд. пед. наук: 13.00.02 / А.П. Назаретов. М.: 1997. -с.

108. Низамов, P.A. Дидактические основы активизации учебной деятельности студентов / P.A. Низамов. Казань: КГУ, 1975. - 185 с.

109. Никандоров, Н.Д. Педагогика высшей школы / Н.Д. Никандоров. -Л.: ЛГПИ, 1974. 164 с.

110. Орлов, Ю.М. Эксперимент в педагогике / Ю.М. Орлов. М.: Им-принт-Гольфстрим, 1998. - 28 с.

111. Панькова И.И. Дидактические основы опережения в учебном процессе: Дис. . канд. пед. наук: 13.00.02 / И.И. Панькова. Ростов-на-Дону, 1990.- 179 с.

112. Перминов, В .Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства / В. Я. Перминов. М.: Изд-во МГУ, 1986. - 239 с.

113. Петрова, В.Т. Научно-методические основы интенсификации обучения математическим дисциплинам в высших учебных заведениях: Дис. . доктора пед. наук: 13.00.02 / В.Т. Петрова. М., 1998. - 410 с.

114. Пиаже, Ж. Психология интеллекта / Ж. Пиаже. М.: Питер, 2003. -191 с.

115. Плотникова, Е.Г. Педагогика математики: предмет, содержание, принципы / Е.Г. Плотникова // Педагогика. 2003. - №4. - С.32 - 35.

116. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: Учеб. пособие / Под ред. В.Д. Шадрикова. М.: Гардарики, 2002. - 383 с.

117. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Д. Пойа. -М.: Наука, 1975.-464 с.

118. Пойа, Д. Математическое открытие / Д. Пойа. М.: Наука, 1976. -448 с.

119. Потоцкий, М.В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. (Из опыта работы) / М.В. Потоцкий. М.: Просвещение, 1975.-208 с.

120. Притуло, Ф.Ф. Математические предложения и методы доказательств в средней школе / Ф.Ф. Притуло. Дзауджикау: гос. изд. С.-Осет. АССР, 1952.-48 с.

121. Проскуряков, И.В. Сборник задач по линейной алгебре / И.В. Проскуряков. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 384 с.

122. Пуанкаре, А. Наука и метод/ А. Пуанкаре // О науке. М.: Наука, 1990.-272 с.

123. Реньи, А. Трилогия о математике / А. Реньи. М.: Мир, 1980. - 376с.

124. Рогановский, Н.М. Формирование навыков дедуктивных рассуждений в процессе решения задач / Н.М. Рогановский // Математика в школе. -1980.-№3.-С. 52-53.

125. Рогановский, Н.М. О методике подготовительных задач / Н.М. Рогановский // Математика в школе. 1988. - № 2. - С. 15-16.

126. Родионов, М.А. Взаимосвязь теоретических и практических аспектов использования задач в обучении математике: Пособие для учителей и студентов / М.А. Родионов, Н.В. Садовников. Пенза: ГНМЦ, 1997. - 215 с.

127. Родионов, М.А. Формирование мотивации учения математике в школе: Учебное пособие / М.А. Родионов, О.П. Графова. Пенза: ПРОО «Знание» России, 2005. - 148 с.

128. Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии / С.Л. Рубинштейн. -СПб и др.:ПИТЕР, 1998. 705 с.

129. Рубинштейн, С.Л. О мышлении и о путях его исследования / С.Л. Рубинштейн. М.: Изд-во АПН СССР, 1958. - 146 с.

130. Рыбников, К.А. История математики. -М.: Изд-во МГУ, 1974. 555с.

131. Саранцев, Г.И. Упражнения в обучении математике / Г.И. Саранцев. -М.: Просвещение, 2000. 173 с.

132. Саранцев, Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе: Кн. для учителя / Г.И. Саранцев. М.: Просвещение, 1995. - 240 с.

133. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. Пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. -М.: Просвещение, 2002. 224 с.

134. Селевко, Г.К. Современные образовательные технологии: Учебн. пос. / Г.К. Селевко. М.: Народное образование, 1998. - 256 с.

135. Сидоренко, Е.В. Методы математической обработки в психологии / Е.В. Сидоренко. СПб.: Речь, 2000. - 350 с.

136. Сквирский, В.Я. Системный подход к анализу учебно-воспитательного процесса и определению путей его совершенствования. Структура учебно-воспитательного процесса: Учеб. пос. / В.Я. Сквирский. -М.: МАДИ, 1986.-106 с.

137. Смирнова, И.М. Интерес и его измерение на уроках математики / И.М. Смирнова // Психолого-педагогические основы обучения математике. 4.1. М.: Просвещение, 1992. - С. 73 - 80.

138. Средства обучения математике: Сб. статей / Сост. A.M. Пышкало. -М.: Просвещение, 1980. 208 с.

139. Совершенствование содержания математического образования в школе и вузе: Межвуз. сб. науч. тр. / Под ред. В.И. Гришанова. Саранск: Изд-во Мордов. ун-т, 1988. - 168 с.

140. Советский энциклопедический словарь / Гл. ред. A.M. Прохоров. -М.: Советская энциклопедия, 1989. 1632 с.

141. Сотникова, O.A. Изучение высшей алгебры: начальный этап / O.A. Сотникова. Архангельск: ПГУ, 2002. - 143 с.

142. Сотникова, O.A. Целостность вузовского курса алгебры как методическая основа его понимания / O.A. Сотникова. Архангельск: ПГУ, 2002. -143 с.

143. Сотникова, O.A. Алгебра: логика и интуиция / O.A. Сотникова // Высшее образование в России. 2003. - №2. - С. 155 - 156.

144. Сохор, А.М. Объяснение в процессе обучения: элементы дидактической концепции / А.М. Сохор. М: Просвещение, 1974. - с.

145. Столяр, A.A. Вопросы теории в курсе методики преподавания математики // Современные проблемы методики преподавания математики: Сб. статей / Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. М.: Просвещение, 1985. - С. 54 -69.

146. Столяр, A.A. Педагогика математики / A.A. Столяр. Минск.: Вы-шэйш. шк., 1986. - 414 с.

147. Столяр, A.A. Зачем и как мы доказываем в математике: Беседы со старшеклассником / A.A. Столяр. М.: Педагогика, 1988. - 124 с.

148. Талызина, Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний: (Психол. основа) / Н.Ф. Талызина. 2-е зд., доп. и испр. - М.: МГУ, 1984. - 344 с.

149. Татур, Ю.Г. Образовательная система России: высшая школа / Ю.Г. Татур. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 1999. - 278 с.

150. Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие / Под ред. Т.А. Ивановой. Н.Новгород: НГПУ, 2003. - 320 с.

151. Теория и практика педагогического эксперимента / Под ред. А.И. Пискунова, Г.В. Воробьёва. М.: Педагогика, 1979. - 207 с.

152. Тестов, В.А. Стратегия обучения математике / В.А. Тестов. М.: Технологическая школа бизнеса, 1999. - 304 с.

153. Тимофеева, И.Л. Как устроено доказательство? / И.Л. Тимофеева // Математика в школе. 2004. - № 8. - С. 73 - 80.

154. Тимофеева, И.Л. О логических эвристических средствах построения доказательств / И.Л. Тимофеева // Математика в школе. 2004. - № 10. - С. 42-50.

155. Тимощук, М.Е. Как научить доказывать? / М.Е. Тимощук // Математика в школе. 2001. - №4. - С. 38 - 40.

156. Тюрин, Ю.Н. Статистический анализ данных на компьютере / Ю.Н. Тюрин, A.A. Макаров. М.: ИНФРА-М, 1998. - 528 с.

157. Фаддеев, Д.К. Лекции по алгебре: Учеб. пособие для вузов / Д.К. Фаддеев. Изд. 3-е, стер. - СПб: Лань, 2004. - 415 с.

158. Федоренко, И.Т. Предворяющие дополнительные занятия с учащимися / И.Т. Федоренко, H.A. Можаева // Математика в школе. 1980. - №5. -С. 55-56.

159. Философский энциклопедический словарь / Сост. Е.Ф. Губский, Г.В. Кораблёва, В.А. Лутченко. М.: ИНФРА-М, 2004. - 576 с.

160. Финкельштейн, В.М. О подготовке учеников к изучению нового понятия, новой теоремы / В.М. Финкельштейн // Математика в школе. 1996. -№6.-С. 21-23.

161. Хамов, Г.Г. Методическая система обучения алгебре и теории чисел в педвузе с точки зрения профессионально-педагогического подхода / Г.Г. Хамов. СПб.: РГПУ, 1993. - 141 с.

162. Хинчин, А.Я. Педагогические статьи / А.Я. Хинчин. М.: АПН РСФСР, 1963.- 165 с.

163. Хрестоматия по методике математике: Обучение через задачи / Сост. М.И. Зайкин, С.В. Арюткина. Арзамас: АГПИ, 2005. - 320 с.

164. Чиркова, О.И. Реализация идеи опережающего ознакомления при обучении доказательствам теорем в курсе геометрии основной школы: Дис.канд. пед. наук: 13.00.02 / О.И. Чиркова. Архангельск, 2002. - 174 с.

165. Шапоринский, С.А. Обучение и научное познание / С.А. Шапорин-ский. М.: Педагогика, 1981. - 208 с.

166. Шаталов, В.Ф. Педагогическая проза / В.Ф. Шаталов. М.: Педагогика, 1980.-96 с.

167. Шаталов, В.Ф. Система ненавязчивого обучения / В.Ф. Шаталов // Педагогический вестник. 1994. - №1. - С. 3.

168. Шевцов, Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учеб. пособие / Г.С. Шевцов. М.: Финансы и статистика, 2003. - 576 с.

169. Щедровицкий, Г.П. Оптимизация процесса обучения в высшей и средней школе / Г.П. Щедровицкий. Душанбе: Изд-во ТГУ, 1970. - 184 с.

170. Эффективность системы уроков математики / В.Ю. Гуревич, Дж.И. Икрамов, Т.В. Малков, В.М. Монахов. Ташкент: ТашГПИ, 1982. - 122 с.

171. Яглом, И. Поговорим об определениях / И. Яглом // Квант. 1978. -№6.-С. 32-35.

172. Якиманская И.С. Развивающее обучение / И.С. Якиманская. М.: Педагогика, 1979. - 144 с.

173. Номеклату ра теорем курса Пропедевтическое ознакомление с методом доказательства Опережающее ознакомление с идеей доказательства Предварительное изучение фрагментов (шагов) доказательства

174. Методич еские средства Вид ДО Место ДО Методиче ские средства Вид ДО Место ДО Методич еские средства Вид ДО Место ДО

175. Критерий совместно сти СЛАУ 2 свойства ранга матрицы БДО Системати ческий курс Поддержи вающий курс

176. Теорема Грассмана — — — 2 задачи МДО Систематиче ский курс Поддержи ва ющий курс — — —

177. Теорема об изоморфиз ме 2-х лин. пространс ТВ Цепочка лемм, задача МДО БДО Систематиче ский курс Поддержива ющий курс

178. Критерий Сильвестр а демонстр ация метода, система задач ДДО Вводный курс Адаптацио нный курс

179. Аналитический метод (восходящий анализ)

180. Аспекты изучения метода Характеристика аспекта метода

181. Аспекты изучения метода Характеристика аспекта метода

182. Идейный аспект Идея метода истинность тезиса обосновывается тем, что опровергают истинность суждения, противоречащего тезису. Опровержение антитезиса достигается путём установления его несовместимости с заведомо истинным суждением.

183. Формальнологический аспект Логическая основа метода доказательства от противного усматривается в эквивалентности импликации А=>С и её контрапозиции А => С. Формализацией метода доказательства от противного служит следующее одноименное правило: ——.

184. Заметим, что в случаях д) и е) по сути дела используетсяметод исчерпывающих проб, а метод от противногосопутствует ему.

185. Косвенная» форма записи доказательства создаётпреимущества краткости и освобождает от рассмотренияподробностей, имеющих второстепенный интерес с точкизрения поставленной ближайшей цели.

186. Высокий уровень усвоения студентом доказательства теоремы характеризуется тем, что: студент1. даёт логичное и полное доказательство со всеми обоснованиями;2. понимает роль доказательства рассматриваемой теоремы в теории и практике.

187. Средний уровень усвоения доказательства характеризуется тем, что: студент1. знает идею доказательства;2. воспроизводит лаконично лишь основные шаги доказательства;3. допускает ошибки логического обоснования.

188. В ходе проведенного исследования были сделаны следующие выводы.

189. Самыми типичными трудностями при изучении курса линейной алгебры являются трудности, связанные с усвоением способа или идеи доказательства теорем.

190. Уровень усвоения доказательств теорем первокурсниками невысок.1. Анкета для студентов

191. Какой способ изучения теорем Вы предпочитаете:а) когда преподаватель сам доказывает теорему;б) когда преподаватель излагает часть доказательства, а другую часть Вы доказываете самостоятельно;в) доказывать теорему самостоятельно?

192. С чем связаны трудности по усвоению доказательств теорем курса линейной алгебры?а) не могу строить цепочки логических рассуждений;б) зачастую не понимаю идею доказательства;в) не знаю методов доказательства теорем.

193. Какие логические методы доказательства Вы знаете? Подумайте, напишите.

194. Какие доказательства теорем курса линейной алгебры представляют для Вас затруднения? Подумайте, напишите.

195. Вызывает ли у Вас интерес изучение линейной алгебры:а) да; б) нет?