Содержание и методические особенности изучения темы "Определенный интеграл" в средней школе

Гераськина, Елена Викторовна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Содержание и методические особенности изучения темы "Определенный интеграл" в средней школе

Автореферат

Автор научной работы: Гераськина, Елена Викторовна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Москва
Год защиты: 2007
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Содержание и методические особенности изучения темы "Определенный интеграл" в средней школе"

На правах рукописи

ГЕРАСЬКИНА Елена Викторовна

СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

13 00 02 — теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

□03071041

Работа выполнена в Московском государственном гуманитарном ■ университете им М А Шолохова

Научный руководитель- кандидат физико-математических наук,

профессор

Цукерман Виталий Владимирович

Официальные оппоненты: академик РАО,

заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Баврин Иван Иванович

кандидат физико-математических наук, профессор

Константинов Николай Николаевич

Ведущая организация: Московский государственный областной

университет

Защита диссертации состоится 22 мая 2007 г в 14.00 час на заседании диссертационного совета Д 212 136 02 при Московском государственном гуманитарном университете им М А Шолохова по адресу. 109391, г Москва, Рязанский проспект, д 9

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного гуманитарного университета им. МА Шолохова по адресу 109240, г Москва, ул Верхняя Радищевская, д 16-18.

Автореферат разослан апреля 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор педагогических наук, профессор А.Х Ин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современный период развития общества характеризуется стремительным прогрессом научного знания, быстрой сменой технических идей, математизацией не только науки, но и большинства практических видов деятельности человека, всесторонним применением точных математических методов в самых разнообразных областях Математика предлагает общие и достаточно четкие модели для изучения окружающей действт-елыюсти

На школьном математическом образовании не могли не сказаться и преобразования, происходящие в системе российского образования в целом. Среди главных тенденций, оказывающих наиболее сильное влияние на содержание и организацию обучения математике, можно выделить гуманизацию, гуманитаризацию, профилизацию образования, направленности на развитие ребенка Очевидно, эти тенденции должны найти отражение в методике обучения математике и внести коррективы в преподавание отдельных линий школьного курса математики, в частности

Одной из тем школьного курса математики, которая вызывает много споров, является «Определенный интеграл» Интеграл появился в школе вследствие реформ школьного математического образования конца 60-х — начала 70-х годов XX века, вводивших в школе элементы математического анализа Многие специалисты, в частности Гнеденко Б В, Канторович Л В , Колмогоров А Н, Кудрявцев Л Д, Маркушевич А.И , Понтрягин Л С , Хинчин А Я , подчеркивали, что ознакомление учащихся с понятиями и методами математического анализа даже на уровне общих представлений имеет для них большое познавательное, развивающее, общекультурное значение

Такая точка зрения не утратила своей актуальности и в настоящее время Специфика рассуждений, свойственная математическому анализу, привносит диалектичность в мышление учащегося, способствует формированию представлений о математике как развивающейся науке, позволяет учащимся совершить следующий шаг в обобщении полученных ими знаний из курса элементарной математики, а также открывает перспективу дальнейшего расширения имеющихся знаний Все это способствует формированию качеств мышления, необходимых в настоящее время каждому

образованному человеку, и отвечает социальным требованиям концепции модернизации российского образования на период до 2010 года

Вопросы содержания, методики изложения темы «Определенный интеграл и его приложения» являлись объектом исследований, начиная с момента введения этого материала в программу средней школы по математике Этому посвящены работы Баврина И И, Виленкина Н Я, Галицкого М Л , Дорофеева Г В , Ивашева-Мусатова О С , Колмогорова А Н., Коля-гина Ю М, Корешковой Т А , Кудрявцева Л Д, Маркушевича А И, Монахова В М, Мордковича А Г , Ованесова Н Г, Цукермана В В , Шварц-бурда С И, Яковлева Г Н и др , диссертационные исследования Баранова И А., Вавилова Ш М, Ветрова В В , Глушковой А И , Ионина Ю.И , Ки-сельникова И В, Кулаевой 3 А и др

Однако практика показывает, что трудности, возникающие при изучении этой темы в средней школе, сохраняются Об этом говорят в своих работах Дорофеев Г В , Цукерман В В и др Причины трудностей - высокий уровень абстракции понятий, сложная логическая структура их определений, недостаточность времени для осмысления сложных вопросов и многое другое Поэтому преподавание темы «Определенный интеграл» зависит от необходимости решения многочисленных проблем, связанных как с определением целей изучения курса, с отбором содержания, так и с особенностями методики Традиционно минимизация этих проблем считалась сложной задачей В результате их наличие приводит к тому, что знания школьников по теме носят формальный характер, отсутствует структурность знаний У учащихся не складывается целостного представления о понятии определенного интеграла, а остаются разрозненные, часто не связанные между собой сведения, что не только не способствует развитию математической культуры, но и затрудняет дальнейшее обучение в вузе

Известно, что для непрерывной функции эквивалентны три подхода к понятию определенного интеграла- интеграл как

- единственное разделяющее число множеств нижних и верхних сумм Дарбу,

- предел интегральных сумм,

- разность значений первообразной

Отметим, что сочетание (комплекс) этих подходов обеспечивает удобство и эффективность приложений определенного интеграла

В средней школе к настоящему времени сложились два основных способа введения интеграла

Первый способ, идущий от вузовских курсов математического анализа, предполагает определение интеграла как предела интегральных сумм Моделирование многих процессов приводит к одной процедуре, результатом которой и является построение интеграла указанным способом При таком определении интеграл появляется как закономерная необходи-

мость Однако такое определение, рассматриваемое как исходное, оказывается достаточно сложным, поэтому в целях упрощения изложения приходится жертвовать строгостью курса или же оставлять значительное число фактов без доказательства

Другой способ определяет интеграл как приращение первообразной подынтегральной функции. При таком подходе к определению интеграла достаточно просто доказываются его свойства, однако возникает затрудненность приложений интегрального исчисления

Возникающие при изложении трудности приводят к тому, что используемые подходы оказываются недостаточно связанными между собой и не создают у учащихся четкого и ясного представления о понятии «интеграл», богатстве его содержания и широких возможностях приложений

Таким образом, можно говорить, что в средней школе реализация единства указанных выше подходов для общей непрерывной функции на доказательном уровне представляется очень проблематичной, так как возникают трудности сочетания логической строгости рассуждений, с доступностью и наглядностью излагаемого материала

Итак, в настоящий момент изучение темы «Определенный интеграл» в средней школе характеризуется наличием серьезных методических проблем, связанных с определением содержания темы «Определенный интеграл», формальностью усвоения основных понятий этой темы учащимися; а также наличием противоречий между научностью изложения темы и доступностью ее для учащихся, между задачей повышения эффективности и качества образования и недостаточной разработанностью методики изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе Необходимость решения указанных проблем и противоречий обосновывает выбор темы нашего диссертационного исследования и определяет ее актуальность.

Исходя из названных положений, может быть сформулирована проблема исследования, недостаточная разработанность методической системы изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе, одновременно сочетающей и доказательность изложения, и доступность для учащихся, реализующей единство трех подходов к понятию определенного интеграла, учитывающей основные тенденции концепции модернизации образования

Объект исследования процесс обучения элементам математического анализа в средней школе

Предмет исследования методика обучения теме «Определенный интеграл и его приложения» в средней школе

Цель исследования состоит в разработке содержания темы «Определенный интеграл» в средней школе, раскрывающей возможности проблемного, доказательного и доступного ее изложения, и определение ме-

тодических особенностей такого изложения, способствующих повышению качества образования

Гипотезу исследования составили предположения о том, что можно одновременно и доказательно, и доступно рассмотреть в средней школе тему «Определенный интеграл», при этом сформировать многосторонний подход к понятию определенного интеграла, познакомить школьников с богатством приложений интеграла, повысить уровень математического развития учащихся, если

- при введении основных понятий интегрального исчисления использовать эвристический метод, опирающийся на знания и опыт учащихся,

- ограничить класс рассматриваемых функций рассматривать функции, монотонные, имеющие первообразную,

- в качестве исходного подхода к введению интеграла принять подход к интегралу как единственному числу, разделяющему множества верхних и нижних сумм Дарбу

Исходя из сформулированной гипотезы, для достижения цели исследования необходимо было решить следующие задачи-

1 Провести анализ научной, учебно-методической, психолого-педагогической литературы по теме исследования

2 Рассмотреть становление и развитие понятия интеграла в математике и преподавания начал анализа в системе российского образования

3 Выявить особенности различных подходов к введению понятия определенного интеграла в общем среднем образовании

4 Разработать содержание темы «Определенный интеграл».

5 Выделить методические аспекты изучения темы «Определенный интеграл»

6 Осуществить экспериментальную проверку разработанного подхода к изучению темы «Определенный интеграл».

Проблема, цель и задачи обусловили выбор следующих методов исследования анализ психолого-педагогической, научно-методической и учебной литературы, школьных программ, учебников и учебных пособий, используемых в школе сборников задач, изучение и обобщение опыта преподавания темы «Определенный интеграл» в средней школе, беседы с учителями; анализ письменных работ и устных ответов учащихся, педагогический эксперимент, статистическая обработка полученных данных

Методологическую и теоретическую основу исследования составляют теория поэтапного формирования умственных действий (П Я Гальперин, Н Ф Талызина), психологическая концепция деятельностного подхода к проблеме усвоения знаний (Л С, Выготский, А Н Леонтьев); общие положения теории и методики обучения математике в средней школе (В Г Болтянский, Г Д Глейзер, Я И Груденов, В А. Гусев, НЯ Виленкин, М Б

Волович, В А Далингер, Ю М Колягин, В И Крупич, Г Л Луканкин, А Г. Мордкович, Г И Саранцев и др), основные положения теории интегрального исчисления (Кудрявцев Л Д, Никольский С.М., Смирнов В И., Фих-тенгольц Г М и др )„ исследования в области преподавания начал анализа в средней школе (М. И Башмаков, Н Я Виленкин, М Б Волович, Г.В Дорофеев, О С. Ивашев-Мусатов, А Н Колмогоров, А И Маркушевич, А Г Мордкович С.М Никольский и др) и др

Основные этапы и организация исследования На первом этапе (1999—2000 гг.) были решены задачи теоретического характера, служащие основой для дальнейшего развития эксперимента. Изучалась психолого-педагогическая и учебно-методическая литература, нормативно-правовые документы, регулирующие образовательный процесс в школе, проводились наблюдения за ходом учебного процесса на уроках алгебры и начала анализа в школе, проводились беседы с учителями, опрашивались учащиеся Результаты, полученные на этом этапе, позволили четко сформулировать цель и задачи исследования, а также выдвинуть гипотезу и определиться с методами исследования, послужили исходными предпосылками для разработки методической системы изучения темы «Определенный интеграл и его приложения»

Во время второго этапа (2000-2001 гг) определилось содержание темы «Определенный интеграл» было разработано поурочное планирование, подобраны задачи и упражнения; уточнялись основные методические положения исследования, осуществлялась подготовка к проведению обучающего эксперимента

Третий этап - эксперимент (2001-2004 гг.) Целью этого этапа была проверка доступности, эффективности предлагаемой методической системы изучения определенного интеграла.

Научная новизна и теоретическая значимость результатов исследования состоят в том, что

- разработан эвристический подход к введению основных понятий интегрального исчисления: сумм Дарбу (как границ поиска искомой величины), интегральных сумм (как приближенных значений искомой величины с определенной границей точности), самого понятия определенного интеграла (сначала как единственного числа, разделяющего множества нижних и верхних сумм Дарбу, а затем как разности значений первообразной и предела интегральных сумм), опирающийся на опыт и знания, имеющиеся у учащихся, и возникающий как естественное разрешение проблемных ситуаций,

- ограничение класса рассматриваемых функций позволило доказательно и одновременно доступно и наглядно построить процесс изучения темы «Определенный интеграл»,

- формируется многосторонний подход к понятию определенного интеграла,

- задача о площади криволинейной трапеции впервые в средней школе рассмотрена с позиции теории квадрируемости, в результате, понятие площади криволинейной трапеции связано с понятием площади квадрируемой фигуры при сохранении требования доказательности и доступности изложения

В результате исследования создана целостная методическая система изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе, что вносит существенный вклад в методику обучения математике

Практическая значимость исследования состоит в том, что разработанная система изучения темы «Определенный интеграл» в средней образовательной школе методически доведена до непосредственного использования учителями на уроках математики разработано содержание темы, приведено поурочное планирование материала, представлена система задач и методические рекомендации для учителей по подготовке и проведению уроков Результаты исследования могут быть использованы преподавателями математики в средних школах, колледжах, училищах, вузах, на курсах повышения квалификации учителей

Достоверность результатов проведенного исследования обеспечивается методологической и теоретической обоснованностью исходных данных, опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, методики преподавания математики, результатами экспериментальной проверки, подтвердившей на качественном уровне справедливость основных положений диссертации

На защиту выносятся положения*

- Основные понятия интегрального исчисления вводятся эвристически, опираясь на знания и опыт, уже имеющиеся у учащихся или возникающие в процессе изучения темы, как разрешение проблемных ситуаций, возникающих при рассмотрении известных задач в определенной последовательности, что способствует формированию многостороннего подхода к определенному интегралу, обеспечивающему богатство его приложений

- Сочетание доказательности и доступности изложения темы «Определенный интеграл» в средней школе достигается за счет рассмотрения функций, монотонных и имеющих первообразную.

- Использование разработанных методических рекомендаций для проведения уроков по теме «Определенный интеграл» способствует повышению качества и эффективности образования

Апробация результатов исследования проводилась в 11 классах средних общеобразовательных школ №№ 911,582 г Москвы в 2001 -2004 годах По результатам исследования был сделан доклад на заседании

научно-методического семинара «Передовые идеи в преподавании математики в России и за рубежом», работающем на базе Московского государственного областного университета, в феврале 2006 года

Результаты исследования отражены в 8 публикациях Структура диссертации. Диссертация (144 с) состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы (128 наименований), 4 приложений, текст диссертации содержит 19 рисунков, 2 таблицы, 4 диаграммы

Основное содержание работы

Во Введении обоснована актуальность исследования, сформулированы проблема, цель, объект, предмет, гипотеза и задачи исследования, раскрыты научная новизна, теоретическая и практическая значимость проведенного исследования

В первой главе «Исторические и теоретические аспекты проблемы изучения определенного интеграла в средней школе» прослеживается становление и развитие понятия определенного интеграла в науке, рассматриваются традиции отечественной школы в изучении определенного интеграла, проводится обзор содержания темы «Определенный интеграл» в современных учебниках по алгебре и началам анализа для средней школы

Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади (квадратуру) любых фигур и объемы (кубатуру) произвольных тел Начала интегральных методов прослеживаются в трудах Архимеда В книгах по истории математики соответствующие разделы так и называются - «Интегральные методы Архимеда» Рассматривая вписанные и описанные фигуры с соответствующими объемами, он, фактически, вводит понятие верхних и нижних интегральных сумм, находит объем тела как общий предел этих сумм при п —> со

Совершенствование методов Архимеда и создание интегрального исчисления, его развитие осуществлялось в работах Кеплера, Кавальери, Торричелли, Паскаля, Ферма, Валлиса, Роберваля, Барроу, Ньютона, Лейбница, братьев Якоба и Иоганна Бернулли, Эйлера, Коши, Римана, Асколи и Вольтера. Затем развитие идеи интеграла шло в направлении придания понятию интеграла все большей общности, расширения его применимости к решению новых классов задач математики и физики, построения многомерных, поверхностных и криволинейных интегралов

Важно отметить, что на всех этапах возникновения, становления и превращения идеи интеграла в строгую и развитую математическую теорию непосредственно научная, математическая составляющая тесно пере-

плеталась с прикладными потребностями и навыками, что способствовало развитию различных подходов к введению понятия интеграла.

Исторический анализ становления обучения высшей математике в системе российского образования позволил выделить следующие периоды

- Вторая треть XVIII века - 1845 год. Это время характеризуется тем, что вопросы высшей математики включились в преподавание стихийно, что было обусловлено явными успехами в анализе бесконечно малых, полученными к началу XVIII века. Однако обучение элементам высшей математики в школе не носило массового характера

- 1846 - 1906 года Происходит стабилизация математического образования и появление общегосударственных программ, целого ряда учебных руководств, содержащих начала анализа Высшая математика занимает прочные позиции в университетских курсах, преподается в военных училищах, но вместе с тем элементы высшей математики отсутствуют в программах гимназий.

- 1907 - 1917 года Это период «парадного марша» элементов высшей математики в средней школе Появляются новые учебные руководства. Многие высказанные в них идеи были положены в основу создания современной учебной литературы Среди наиболее распространенных можно выделить следующие учебники Билибин Н И. «Основания анализа бесконечно малых (для дополнительного класса реальных училищ)», 1907 г; Войнов АД «Основания анализа бесконечно малых. Курс 7 класса реальных училищ», 1910 г.; Пениожкевич К Б. «Основания анализа бесконечно малых. Курс 7-го класса реальных училищ», 1913 г., Киселев А П «Начала дифференциального и интегрального исчислений», 1913 г, Александров В «Основания анализа бесконечно малых, начала дифференциального и интегрального исчислений», 1913 г; Паренаго А «Основания анализа бесконечно малых», 1907 г. Появление большого количества учебников по анализу сыграло положительную роль в деле быстрого распространения преподавания новых разделов в средней школе

- 1918 - 1933 года. Время характеризуется тем, что вопросы высшей математики, заложенные в дореволюционные курсы отдельных типов средних учебных заведений, включались в проекты программ для средних школ, но не нашли воплощения на практике

- 1934 - 1964 года Создание и функционирование советской модели классического школьного математического образования, игнорирующего элементы высшей математики на старшей ступени обучения

- 1965 — 1977 года Происходит широкая апробация элементов математического анализа в школьном курсе (в том числе на факультативах и в математических кружках), постепенно вводятся элементы дифференциального и интегрального исчислений в массовую среднюю школу, одно-

временно идет поиск наиболее рациональной конструкции модели (объема, содержания и порядка изложения).

- 1978 - конец 80-х годов XX века Стабилизация содержания сведений из высшей математики в школьном курсе, период массового включения начал дифференциального и интегрального исчислений в среднюю школу, введение стабильного учебника «Алгебра и начала анализа» под редакцией Колмогорова Несмотря на контрреформацию содержания математического образования начала 80-х годов, элементы математического анализа в школьном курсе были сохранены

- Начало 90-х годов XX века - настоящее время Настоящий момент можно рассматривать как время поиска оптимального объема и конструкции начал математического анализа в средней школе в условиях реализации профильной дифференциации обучения на старшей ступени школы В целом, этот этап характеризуется ослаблением составляющей начал математического анализа в школьном курсе математики. И если элементы дифференциального исчисления еще сохраняются в средней школе, то про определенный интеграл так сказать нельзя Вопрос его изучения так и остается открытым

Массовое введение интегрального исчисления в школьный курс произошло вследствие реформы математического образования А.Н Колмогорова в 60-е годы XX века Первым пробным учебником, содержащим интегральное исчисление, оказался учебник Б Е Вейца и И Т Демидова, под редакцией А Н. Колмогорова, изданный в 1971 году Содержание данного раздела в учебнике достаточно объемно Интеграл вводится как разность значений первообразной, что позволяет рассмотреть и свойства интеграла, выражаемые равенствами, и свойства, выражаемые неравенствами Доказанная теорема о выражении площади криволинейной трапеции разностью значений первообразной позволяет говорить о геометрическом смысле интеграла Далее рассматривается интеграл как предел суммы, причем сначала иллюстрируется на примере площади криволинейной трапеции под графиком параболы, а после рассказывается точное описание идеи В учебнике вводится понятие квадрируемой фигуры и ее площади Можно сказать, что данный учебник наметил основную структуру содержания интегрального исчисления в средней школе, определил основной подход к введению понятия интеграла

Результатом эксперимента, введения новых программ по математике, их широкого обсуждения стало первое издание учебника по алгебре и началам анализа для 9 и 10 классов средней школы авторов А Н Колмогорова, О С Ивашева - Мусатова и др, под редакцией А Н Колмогорова в 1976 году В этом учебнике элементы математического анализа входят в основной курс алгебры и продолжают основную функциональную линию

По сравнению с пробным учебником 1971 года, в содержании темы произошли изменения В основе изложения лежит задача о нахождении площади криволинейной трапеции. В отличие от пробного учебника, авторы не рассматривают понятие квадрируемой фигуры и ее площади Для введения интеграла, в качестве основного, выбран подход к интегралу как к разности значений первообразной Определение интеграла как предела сумм не рассматривается авторами как обязательное

В последующих редакциях учебника происходило постепенное сокращение содержания темы «Определенный интеграл» из учебника исключили понятие интеграла с переменным верхним пределом, правила вычисления интеграла, или свойства, были отнесены к упражнениям на вычисление интеграла с помощью формулы Ньютона - Лейбница, не стало в учебнике приложения интеграла для нахождения координаты по заданной скорости, по-прежнему не рассматривается вычисление объемов тел вращения, так как этот материал отнесен к геометрии Исключение понятия предела, замена его предельным переходом, повлияло и на рассмотрение интеграла

Можно сказать, что содержание интегрального исчисления в учебнике под редакцией А Н. Колмогорова со временем утрачивает свой первоначальный объем, но оно соответствует существующим стандартам общего образования.

Анализ содержания темы «Определенный интеграл» в учебниках: Мордковича А Г «Алгебра и начала анализа 10-11 классы», «Алгебра и начала анализа 10-11» под ред ША Алимова, ЮМ Колягина и др «Алгебра и начала анализа 11 класс» и других, позволяет сделать вывод, что в современных учебниках для общеобразовательных учреждений изложение раздела «Определенный интеграл» носит, в основном, описательный характер и опирается на неопределяемые в учебниках понятия (предел, площадь) В качестве основных подходов к введению понятия интеграла используются понятия интеграла как предела сумм и разности значений первообразной Однако эти подходы оказываются не достаточно связанными между собой и не позволяют создать четкого и ясного представления о понятии интеграла, о богатстве его содержания

Представляется, что для определения интеграла использование понятия разделяющего числа множеств нижних и верхних сумм Дарбу как основного, значительно упрощает изучение темы «Определенный интеграл» Особенно это становится заметно, если на рассматриваемые функции наложить требования монотонности и существования первообразной Доказательства при этом становятся достаточно простыми, а все богатство понятия интеграла представляется ясным и наглядным

Во второй главе «Содержание и методические аспекты изучения определенного интеграла в среднем школе» представлена разработан-

пая методическая система изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе

Введению понятия определенного интеграла предшествует рассмотрение практических и естественнонаучных задач, необходимых для того, чтобы математическое введение понятия определенного интеграла воспринималось как естественно необходимое Рассматриваются задачи о работе переменной силы, площади криволинейной трапеции, нахождении пути по известному закону изменения мгновенной скорости

Если предположить, что сила, действующая по направлению движения, скорость тела при прямолинейном движении, функция, определяющая криволинейную трапецию, постоянны, то искомые величины работа силы, площадь фигуры под графиком функции, путь, пройденный телом, - как известно, выражаются просто произведениями

А = /1, где А - величина работы,/ - величина силы, / - расстояние,

Р = 1-И, где Р — площадь, /- длина основания прямоугольника, И -высота прямоугольника,

5 = V Г, где З- путь, V- величина скорости, Т- время движения Во всех этих случаях геометрическая интерпретация приводит к численному значению площади прямоугольника (при определенном выборе масштаба) (см рис 1).

у. (сила)

уд (скорость)

к т I, Т

Рисунок I

Этот графический способ определения искомых величин позволяет оценить величину работы переменной силы, площадь криволинейной трапеции, путь, пройденный телом при изменении мгновенной скорости

Рассмотрим задачу о работе переменной силы Пусть зависимость силы / от координаты х изображается графиком монотонной функции (см рис 2). Разобьем отрезок [а, Ь] на п частей точками деления Х\, х2, .. , х,. ь х„. х„. 1 (а = х0 < XI < х2 < .. < х, .1 < х, < ...< хп.1 < х„=Ъ) Обозначим длину /-го участка дробления [х,_ь х,] Лх„ Ах, = х, - х,.\ (г =

1, 2, 3,.. , п),т, и М, соответственно наименьшее и наибольшее значения силы на г—м участке

У V

О а = ха

Х,-1 х,

Рисунок 2

Ь = х„ х

Если бы на /-ом участке действовала постоянная сила, равная наименьшему значению переменной силы на этом участке т„ то работа этой постоянной силы была численно равна площади прямоугольника с основанием Ах, и высотой т, Ясно, что истинная работа на этом участке не меньше этой величины Если бы на каждом /-ом участке разбиения действовала постоянная сила, равная наибольшему значению переменной силы на этом участке М„ то работа такой силы была бы равна площади прямоугольника с основанием Дх, и высотой М,. Ясно, что истинная работа не больше этой величины

То же самое верно для каждого участка разбиения, и поэтому площадь ступенчатой фигуры «под нижней лесенкой» численно не превышает работы переменной силы на всем отрезке [а; й], а площадь ступенчатой фигуры «под верхней лесенкой» численно не меньше искомой работы на

Если площади построенных ступенчатых фигур обозначить Л и то для их вычисления получим

Построенные указанным образом суммы носят название нижних и верхних сумм Дарбу

[а,Ь]

5 = — + т2Ах2 + т3Ах3 +...+ т„Ах„ и

1=1

= М/ Ах, + М2Лх2 + М3Ах3 +. +М„Ах„.

1=1

Тогда из сказанного следует, что если А - численное значение искомой работы переменной силы, то это значение должно удовлетворять условию s < А < S, то есть величины s и S являются границами поиска искомой величины Суммы s и S зависят от разбиения отрезка на части, но при любом разбиении соотношение s < А < S останется справедливым Поэтому, если между всевозможными значениями s и S, отвечающими различным разбиениям отрезка [a; b] на части, существует единственное число, удовлетворяющее условию s < I < S, то это число I неизбежно является величиной работы переменной силы Отсюда появляются два вопроса существует ли такое число и единственно ли оно. Так возникает задача поиска единственного разделяющего числа множеств нижних и верхних сумм Дарбу

Эта задача попутно решает вопрос о квадрируемости криволинейной трапеции Ведь число, заключенное между площадями всевозможных многоугольников, содержащихся в криволинейной трапеции, и площадями многоугольников, ее содержащих, лежит между всеми нижними и верхними суммами Дарбу, так как s и S есть частный случай площадей таких многоугольников Поэтому единственное число, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу, если такое число существует, является площадью криволинейной трапеции как квадрируемой фигуры

Если в формулах, определяющих нижнюю и верхнюю суммы Дарбу, вместо т, и М, поставить какое-либо промежуточное значение

/(<?,), <4,<хпто получим интегральную сумму а = ]£/(<{;,)Л*, Она зависит от разбиения отрезка [a; b] на части и выбора точек внутри участков разбиения Поскольку т, </(£,)<А/,, то интегральная сумма удовлетворяет условиям s < сг < S, где s, cr, S вычислены при одном и том же разбиении отрезка [a; b] на части. Так как одновременно s < Л < S, то |сг — Л| < S—j. Таким образом, интегральная сумма представляет собой приближенное значение искомой величины А с погрешностью, не превышающей S — S

Последняя задача о вычислении пути по закону изменения мгновенной скорости допускает и иное решение Если функция s — s(t) задает положение движущейся точки в момент времени t, то путь, пройденный ею за промежуток времени a<t<b, есть разность s(b) - (при неизменном направлении движения) В тоже время разность s(b) - s(a) есть разность значений первообразной функции v — fit) для моментов времени t — а и t = b, поскольку v — fit) = s'(t) Разность значений первообразной в

двух точках не зависит от выбора первообразной, и потому путь, пройденный за промежуток времени a<t<b, есть F(b) — F(a), где F(t) - любая первообразная для функции v =fit)

Такой двоякий подход к решению этой задачи эвристически указывает направление поиска решения поставленной проблемы число, заключенное между всеми нижними и верхними суммами Дарбу, является разностью значений первообразной для функции, для которой строятся эти суммы

Итак, в соответствии с указанным выше, нужно показать

- что число, равное разности значений первообразной этой функции на отрезке [а, Ъ], лежит между всеми нижними и верхними суммами Дарбу, вычисленными для этой функции на отрезке [а, ¿>],

- что такое число единственно

Рассмотрение монотонных и имеющих первообразную функций позволяет найти решение наглядно, доказательно и доступно.

Предполагая знакомство учащихся с формулой Лагранжа (хотя бы на уровне геометрической интерпретации теоремы Лагранжа см рис. 3), легко доказывается первое утверждение

F(b)-F(a) = \ga-(b-a) = = F{c){b-ä). F(b) — F(a) M(c, F(c)) - точка, в которой касательная параллельна секущей.

Рисунок 3

Пусть fix) - функция, монотонная на отрезке [а, Ъ] Обозначим через / разность F(b) - F(a) значений первообразной для функции Дх) на этом отрезке

Докажем, что для любой нижней суммы Дарбу справедливо неравенство. s s I

Пусть s отвечает какому- либо разбиению отрезка [а, Ь]. Приращение первообразной на z-м участке разбиения (í = 1, 2, ..., ri) равно F(x¡) — F(x,. j) Применим к нему формулу Лагранжа

F(x,) - Fix,. О = F(c,Xx, - х,.,) =fic,)Ax„ где с, — некоторая внутренняя точка отрезка [а, Ь], Ах, — длина отрезка ь X,] Так как т, — наименьшее значение функции fix) на отрезке [х,_ьX,],тот, 5fie),тогда

т,Ах, < fic,)Ax, = F(pc,) - F(x,. j) Поскольку это неравенство справедливо при любом i (/= 1,2,...,«), то получаем совокупность неравенств:

miAxi ¿F(x{)-F(a), т2Ах2 < F(x2)-F(xly,

т„Ах„ <, F{b)-F(x„.-¡)

Складывая эти неравенства, получим то есть

/=i

s<I.

Совершенно аналогично доказывается, что для любой верхней суммы Дарбу справедливо неравенство / < S.

Следовательно, независимо от разбиений отрезка [а, 6], для которых вычислены суммы s и S, имеет место соотношение s < I < S

В предположении монотонности функции_Дх) наглядно и легко доказывается, что число I = F(b) — F(a) есть единственное число, заключенное между всеми нижними и верхними суммами Дарбу Действительно, легко получить оценку S-s< Я | f(b) - f(a)|, где Л - длина наибольшего из участков разбиения отрезка [а, Ь], то есть Я = max {Ах,} Число Я служит мерой измельченности разбиения отрезка Разность S — s представляет собой сумму площадей заштрихованных прямоугольников (см рис 4) Если эти прямоугольники перенести параллельно оси Ох к вертикальной прямой, то сумма их площадей не превзойдет площади прямоугольника с основанием Я = max{Ax,}(í = 1, 2, 3,..., ri) и высотой, равной fib)-fiá) (Если учесть случай монотонного убывания функции, когда fib) >fia), то следует поставить знак модуля

Данная оценка показывает, что разность S - s становится меньше любого наперед заданного положительного числа, как только Я становится

достаточно малым, это означает, что разность стремится к нулю при Л, стремящемся к нулю

Рисунок 4

Соотношение 5—5 <Я|/(й)—/(а)| можно без труда доказать и аналитически

Единственность числа I доказывается с использованием полученной оценки

Наконец, естественным образом устанавливается смысл предела интегральных сумм а при Я -» 0 и равенство I ^(Ь) - F(a)

Поскольку при заданном разбиении отрезка [а; 6] интегральные

суммы = удовлетворяют условию 5 < сг < Б и одновре-

1=1

менно

5 <;/ = Дг>) — Да) <£,

то

]Сг-/|<5-5<Я|/(6)-/(а)|. В этом соотношении а — переменная величина, зависящая и от разбивши отрезка [а; Ъ], и от выбора точек внутри участков разбиения, а Л может быть сделано сколь угодно малым Следовательно, модуль разности между а и / может быть сделан меньше сколь угодно малого положитель-

ного числа, то есть можно добиться любого приближения а к I за счет достаточной малости Л Это и есть определение предела интегральных сумм с при Л —» 0, то есть о = I Отсюда легко получить формальное

определение предела интегральных сумм на языке «£ - ¿>», но вряд ли это стоит делать в школе

Итогом рассмотренного выше является совпадение для любой функции Лх), монотонной на отрезке [а, Ъ] и имеющей первообразную Р(х) на этом отрезке, трех величин 1 — единственного разделяющего числа множеств нижних и верхних сумм Дарбу, 2 - разности значений первообразной /г(£) — Р(а), 3 — предела интегральных сумм

Это приводит к трем эквивалентным для рассматриваемого класса функций определениям определенного интеграла

1 — единственное число, заключенное между всеми

нижними и верхними суммами Дарбу,

3 //(*)<& = \та

Формула

носит название формулы Ньютона

— Лейбница, ее содержательный смысл состоит в том, что под левой частью равенства можно понимать и единственное разделяющее число множеств нижних и верхних сумм Дарбу, и предел интегральных сумм

Возвращаясь к рассмотренным задачам, можно сделать вывод, что работа переменной силы, площадь криволинейной трапеции и длина пути, пройденного телом за определенное время, есть определенный интеграл, то есть

А = }/(х)& , 5 = )г{х)<к . / = }у(0*

а а

Далее указываются свойства определенного интеграла (выражаемые равенствами), используемые в упражнениях, и рассматриваются приложения интеграла вычисление площади в декартовых координатах, нахождения объемов тел, длины кривой

В главе приводятся примерное поурочное планирование по теме «Определенный интеграл и его приложения», даются подробные методические рекомендации по ее изучению.

В рамках исследования для проверки доступности и эффективности предлагаемой методической системы изучения определенного интеграла был проведен педагогический эксперимент.

Эксперимент проходил в средних общеобразовательных школах г. Москвы №№ 9Ц и 582 в 2001-2004 годах. Экспериментальные и контрольные группы формировались из учащихся 11 классов: экспериментальная группа - 104 человека, контрольная группа - 106 человек.

Результаты эксперимента представлены на диаграммах 1 и 2.

Изменения в контрольных классах

■уровень (уровень ^уровень Ы уровень

О До эксперимента «После эксперимента

Диаграмма /. Качественные изменения в кшггрольных классах.

Изменения в экспериментальных классах

[уровень IIуровень Шуровень IVуровень Я До эксперимента ■ После эксл ери мента Диаграмма 2. Качественные изменения в экспериментальных классах

Диаграммы 1 и 2 показывают, как изменился уровень усвоения знаний учащимися в контрольных и экспериментальных классах. На диаграммах видно, что усвоение материала в экспериментальных классах более осознано, большее количество учащихся перешло на высший, по сравнению с предыдущим, уровень. Трудность изучаемой темы по традиционной

методике отразилась на изменениях в контрольных классах, где произошло незначительное падение уровня усвоения материала учащимися

Кроме того, для сравнения эффективности новых и традиционных методик использовался двусторонний критерий (хи-квадрат) Полученные в ходе эксперимента результаты позволили нам для окончательного подтверждения дидактической эффективности экспериментальной методики рассчитать значение статистики Т Тиа(-Ш = 7,85 При исходных параметрах критическое значение статистики оказывается равным Ткршп = 3,841. Таким образом, ТНабл > Ткрип1 Это позволило нам сделать вывод- разработанная методика обучения учащихся по теме «Определенный интеграл» приводит к более высокому результату обучения учащихся

В Заключении подведены итоги исследования и сформулированы основные выводы

1 В ходе проведенного исследования был разработан способ изложения темы «Определенный интеграл» в средней школе, к его особенностями относятся

- все рассматриваемые понятия, относящиеся к интегральному исчислению, вводятся эвристически, опираясь на знания и опыт учащихся, как естественное разрешение проблемных ситуаций,

- в качестве исходного подхода к введению понятия определенного интеграла принимается подход к интегралу как единственному, разделяющему числу множеств нижних и верхних сумм Дарбу,

- формируется сочетание известных подходов к определенному интегралу, что позволяет рассматривать широкий круг приложений интеграла

2 Использование при построении теории функций, монотонных и имеющих первообразную, позволяет доказательно, одновременно доступно и наглядно построить процесс изучения темы «Определенный интеграл»

3 Понятие площади криволинейной трапеции впервые в средней школе доказательно и доступно рассмотрено с позиции теории квадрируемости и площади квадрируемой фигуры

4 Разработано методическое обеспечение изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе поурочное планирование, система задач, методические рекомендации для учителей, электронное представление теоретического материала (СО) Таким образом, разработанный подход к изучению определенного интеграла методически доведен до возможности непосредственного использования учителями на уроках математики и может существенно повысить качество и эффективность обучения, что подтверждается результатами проведенной экспериментальной работы

5. В результате проведенного исследования построена целостная методическая система доказательного и доступного изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе.

Внедрение разработанной методической системы в учебный процесс позволит достаточно полно познакомить школьников с понятием определенного интеграла, будет способствовать повышению прочности знаний по этому вопросу, позволит продемонстрировать широкие возможности применения определенного интеграла в различных областях науки, тем самым подготовит их к пониманию современных научных идей и их применения, что приблизит школьное преподавание к современной науке и ее приложениям Таким образом, школьники, которым не придется в дальнейшем заниматься математикой, получат правильное общегуманитарное представление о понятии определенного интеграла, а тем школьникам, которые в вузах продолжат изучение математики, не придется переучиваться, и, наоборот, они с большей легкостью дополнят знания, полученные в школе

Полученные результаты дают основание заключить, что поставленная цель достигнута, задачи исследования решены, гипотеза исследования подтверждена.

Публикации по теме исследования

- Гераськина, Е В Определенный интеграл в средней школе возможность проблемного, доказательного и доступного рассмотрения темы / Е В Гераськина // Математика в школе — 2006. - № 6 — С 79

- Гераськина, Е. В Интеграл и общее среднее образование: проблема и вариант ее решения /ЕВ Гераськина, В В Цукерман // Математическое образование — 2002. — № 4 — С. 76-89

- Гераськина, Е В. Определенный интеграл в средней школе (вариант изучения темы, поурочное планирование) /ЕВ Гераськина // Математика - 2003.-№41 -С 28-32, №46 - С. 30-32. - 2004. - № 2. -С. 19-22, №3 -С 25-28; №11 - С. 29-30, № 13.-С 30-32

Отпечатано в ООО «Компания Спутник+» ПД № 1-00007 от 25 09 2000 г Подписано в печать 17 04.07 Тираж 100 экз Уел п л 1,38 Печать авторефератов (095) 730-47-74,778-45-60

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Гераськина, Елена Викторовна, 2007 год

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель -кандидат физико-математических наук, профессор Цукерман В. В.

Москва

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ИСТОРИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРОБЛЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ.

1.1. Становление и развитие понятия «интеграл» в математике.

1.2. Из истории преподавания начал анализа в системе российского образования.

1.3. Обзор подходов к изучению темы «Определенный интеграл» в современных учебниках по математике для средней школы.

1.4. Психолого-педагогические предпосылки изучения интегрального исчисления в школе.

ГЛАВА 2. СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ.

2.1. Цели и задачи обучения теме «Определенный интеграл».

2.2. Реализация разработанного подхода в содержании темы "Определенный интеграл".

2.3. Примерное планирование и методические рекомендации по теме «Определенный интеграл».

2.4. Экспериментальная работа.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Содержание и методические особенности изучения темы "Определенный интеграл" в средней школе"

Достаточно высокий уровень системы образования в стране является непременных! условием ее прогрессивного развития.

Кудрявцев Л. Д.

Современный период развития общества характеризуется стремительным прогрессом научного знания, быстрой сменой технических идей, математизацией не только науки, но и большинства практических видов деятельности человека, всесторонним применением точных математических методов в самых разнообразных областях. Математика предлагает общие и достаточно четкие модели для изучения окружающей действительности. Роль математических моделей, описывающих взаимосвязь количественных характеристик различных явлений и процессов, возрастает в связи с расширяющимися возможностями компьютерной обработки данных. Довольно часто и в повседневной практике используются математические знания. И это не только простые математические расчеты, но и элементы высшей математики, анализа, теории вероятности. Таким образом, все более широкий спектр математических знаний становится сегодня обязательным элементом общей культуры современного человека.

Возросшая роль математики поднимает ее значение как учебного предмета в средней школе и выдвигает перед ней задачу воспитания людей, способных оперировать не только готовыми знаниями, извлеченными из своей памяти, но и умеющих ориентироваться в нарастающем потоке научной информации, владеющих общими идеями и методами, позволяющими охватить с общей точки зрения многообразные факты и явления. Поэтому одна из задач, которая стоит перед школой - это задача сближения содержания школьного курса математики с достижениями современной науки, повышения уровня математической культуры, уровня математического развития школьников.

На математическом образовании не могли не сказаться и преобразования, происходящие в системе российского образования в целом. Среди главных тенденций, оказывающих наиболее сильное влияние на содержание и организацию обучения математике, можно выделить: гуманизацию, гуманитаризацию, профилизацию образования, направленность на развитие ребенка. Очевидно, эти тенденции должны найти отражение в методике обучения математике и внести коррективы в преподавание отдельных линий школьного курса математики, в частности.

Одной из тем школьного курса математики, которая вызывает много споров, является «Определенный интеграл». Интеграл появился в школе вследствие реформ школьного математического образования конца 60-х -начала 70-х годов XX века, вводивших в школе элементы математического анализа. Многие специалисты, в частности Гнеденко Б.В., Канторович JI.B., Колмогоров А.Н., Кудрявцев Л.Д., Маркушевич А.И., Понтрягин JI.C., Хинчин А.Я., подчеркивали, что ознакомление учащихся с понятиями и методами математического анализа даже на уровне общих представлений имеет для них большое познавательное, развивающее, общекультурное значение.

Такая точка зрения не утратила своей актуальности и в настоящее время. Специфика рассуждений, свойственная математическому анализу, привносит диалектичность в мышление учащегося, способствует формированию представлений о математике как развивающейся науке, позволяет учащимся совершить следующий шаг в обобщении полученных ими знаний из курса элементарной математики, а также открывает перспективу дальнейшего расширения имеющихся знаний. Все это способствует формированию качеств мышления, необходимых в настоящее время каждому образованному человеку, и отвечает социальным требованиям концепции модернизации российского образования на период до 2010 года [71], которые заключаются в ориентации образования не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и развитие личности, познавательных и созидательных способностей, успешной социализации в обществе.

Вопросы содержания, методики изложения темы «Определенный интеграл и его приложения» являлись объектом исследований, начиная с момента введения этого материала в программу средней школы по математике. Этому посвящены работы Баврина И.И., Виленкина Н.Я., Галицкого МЛ., Дорофеева Г.В., Ивашева-Мусатова О.С., Колмогорова А.Н., Колягина Ю.М., Корешковой Т.А., Кудрявцева Л.Д., Маркушевича А.И., Монахова В.М., Мордковича А.Г., Ованесова Н.Г., Цукермана В.В., Шварцбурда С.И., Яковлева Г.Н. и др., диссертационные исследования Баранова И.А., Вакилова Ш.М., Ветрова В.В., Глушковой А.И., Ионина Ю.И., Кисельникова И.В., Кулаевой З.А. и др.

Однако практика показывает, что трудности, возникающие при изучении этой темы в средней школе, сохраняются. Об этом говорят в своих работах Дорофеев Г.В., Цукерман В.В. и др. [46, 124, 126] Причины трудностей - высокий уровень абстракции понятий, сложная логическая структура их определений, недостаточность времени для осмысления сложных вопросов и многое другое. Поэтому изучение темы «Определенный интеграл» зависит от необходимости решения многочисленных проблем, связанных как с определением целей изучения курса, с отбором содержания, так и с особенностями методики. Минимизация этих проблем традиционно считалась сложной задачей. В результате их наличие приводит к тому, что знания школьников по теме носят формальный характер, отсутствует структурность знаний. У учащихся не складывается целостного представления о понятии определенного интеграла, а остаются разрозненные, часто не связанные между собой сведения, что не только не способствует развитию математической культуры, но и затрудняет дальнейшее обучение в вузе.

Известно, что для непрерывной функции эквивалентны три подхода к понятию определенного интеграла: интеграл как

- единственное разделяющее число множеств нижних и верхних сумм Дарбу;

- предел интегральных сумм;

- разность значений первообразной.

При этом суммы Дарбу и их свойства играют важнейшую роль в построении теории определенного интеграла во всех достаточно серьезных учебниках по математическому анализу [76, 99, 116, 120]. Чаще всего определенный интеграл как предел интегральных сумм сводится к единственному числу, заключенному между всеми нижними и всеми верхними суммами Дарбу. Прямое определение: «Определенный интеграл - есть единственное число, заключенное между всеми нижними и всеми верхними суммами Дарбу» использовалось Н.Я. Виленкиным. [27]

Отметим, что сочетание (комплекс) указанных выше подходов обеспечивает удобство и эффективность приложений понятия определенного интеграла.

В средней школе к настоящему времени сложились два основных способа введения интеграла.

Первый способ, идущий от вузовских курсов математического анализа, предполагает определение интеграла как предела интегральных сумм. Моделирование многих процессов приводит к одной процедуре, результатом которой и является построение интеграла указанным способом. При таком определении интеграл появляется как закономерная необходимость. Однако такое определение, рассматриваемое как исходное, оказывается достаточно сложным и для понимания учащимися, и для дальнейшего построения теории. Поэтому в целях упрощения изложения приходится жертвовать строгостью курса, оставлять значительное число фактов без доказательства.

Другой способ определяет интеграл как приращение первообразной подынтегральной функции. При таком подходе к определению интеграла достаточно просто доказываются его свойства, однако возникают трудности при рассмотрении приложений интегрального исчисления.

Все это приводит к тому, что используемые подходы оказываются недостаточно связанными между собой и не создают четкого и ясного представления о понятии «интеграл», богатстве его содержания и широких возможностях приложений.

Необходимость решения указанных проблем и противоречий обосновывает выбор темы нашего диссертационного исследования и определяет ее актуальность.

Исходя из названных положений, проблемой исследования является недостаточная разработанность методической системы изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе, одновременно сочетающей и доказательность изложения, и доступность для учащихся, реализующей единство трех подходов к понятию определенного интеграла, учитывающей основные тенденции концепции модернизации образования.

Объект исследования: процесс обучения элементам математического анализа в средней школе.

Предмет исследования: методика обучения теме «Определенный интеграл» в средней школе.

Цель исследования - разработка содержания темы «Определенный интеграл» в средней школе, раскрывающей возможности проблемного, доказательного и доступного ее изложения, и определение методических особенностей изучения этой темы, способствующих повышению качества образования.

- при введении основных понятий интегрального исчисления использовать эвристический метод, опирающийся на знания и опыт учащихся;

- ограничить класс рассматриваемых функций: рассматривать функции, монотонные, имеющие первообразную;

- в качестве исходного подхода к введению интеграла принять подход к интегралу как единственному числу, разделяющему множества верхних и нижних сумм Дарбу.

Исходя из сформулированной гипотезы, для достижения цели исследования необходимо было решить следующие задачи:

1. Провести анализ научной, учебно-методической, психолого-педагогической литературы по теме исследования.

2. Рассмотреть становление и развитие понятия интеграла в математике и преподавании начал анализа в системе российского образовании.

3. Выявить особенности различных подходов к введению понятия определенного интеграла в общем среднем образовании.

4. Разработать содержание темы «Определенный интеграл».

5. Выделить методические аспекты изучения темы «Определенный интеграл».

6. Осуществить экспериментальную проверку разработанной системы изучения темы «Определенный интеграл».

Проблема, цель и задачи исследования обусловили выбор следующих методов исследования: анализ учебной, научно-методической, психолого-педагогической литературы, школьных программ, учебников и учебных пособий, используемых в школе сборников задач; изучение и обобщение опыта преподавания темы «Определенный интеграл» в средней школе; беседы с учителями; анализ письменных работ и устных ответов учащихся; организация и проведение эксперимента; обработка данных, полученных в ходе эксперимента.

Методологическую и теоретическую основу исследования составляют: теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина); психологическая концепция деятельностного подхода к проблеме усвоения знаний (JI.C, Выготский, А.Н. Леонтьев); общие положения теории и методики обучения математике в средней школе (В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер, Я.И. Груденов, В.А. Гусев, Н.Я. Виленкин, М.Б. Волович, В.А. Далингер, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.Л. Луканкин, А.Г. Мордкович, Г.И. Саранцев и др.); основные положения теории интегрального исчисления (Кудрявцев Л.Д., Никольский С.М., Смирнов В.И., Фихтенгольц Г.М. и др.),; исследования в области преподавания начал анализа в средней школе (М. И. Башмаков, Н. Я. Виленкин, М.Б. Волович, Г.В. Дорофеев, О.С.

Ивашев-Мусатов, А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, А.Г. Мордкович С.М. Никольский и др.), и др.

Научная новизна и теоретическая значимость результатов исследования состоит в том, что

- разработан эвристический подход к введению основных понятий интегрального исчисления: сумм Дарбу (как границ поиска искомой величины), интегральных сумм (как приближенных значений искомой величины с определенной границей точности), самого понятия определенного интеграла, сначала как единственного числа, разделяющего множества нижних и верхних сумм Дарбу, а затем как разности значений первообразной и предела интегральных сумм, опирающийся на опыт и знания, имеющиеся у учащихся, и возникающий как естественное разрешение проблемных ситуаций;

- у школьников формируется многосторонний подход к понятию определенного интеграла;

- ограничение класса рассматриваемых функций позволило доказательно и одновременно доступно и наглядно построить процесс изучения темы «Определенный интеграл»;

Практическая значимость исследования состоит в том, что разработанная система изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе методически доведена до возможности непосредственного использования учителями на уроках математики: разработано содержание темы, приведено поурочное планирование материала, представлена система задач, подготовлены методические рекомендации для учителей по подготовке и проведению уроков. Результаты исследования могут быть использованы преподавателями математики в средних школах, колледжах, училищах, вузах, на курсах повышения квалификации учителей.

Достоверность результатов исследования обеспечивается методологической и теоретической обоснованностью исходных данных, опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, методики преподавания математики, результатами экспериментальной проверки, подтвердившей на качественном уровне справедливость основных положений диссертации.

На защиту выносятся положения:

- Основные понятия интегрального исчисления вводятся эвристически, опираясь на знания и опыт, уже имеющиеся у учащихся или возникающие в процессе изучения темы, как разрешение проблемных ситуаций, возникающих при рассмотрении известных задач в определенной последовательности, способствует формированию многостороннего подхода к определенному интегралу, обеспечивающему богатство его приложений.

Апробация результатов исследования проводилась в 11 классах средних общеобразовательных школ №№ 911, 582 г. Москвы в 2001 - 2004 годах. По результатам исследования был сделан доклад на заседании научно-методического семинара «Передовые идеи в преподавании математики в

России и за рубежом», работающем на базе Московского государственного областного университета в феврале 2006 года.

Результаты исследования отражены в следующих публикациях:

- Гераськина, Е.В. Определенный интеграл в средней школе: возможность проблемного, доказательного и доступного рассмотрения темы / Е.В. Гераськина // Математика в школе. - 2006. - № 6. - С. 79.

- Гераськина, Е.В. Интеграл и общее среднее образование: проблема и вариант ее решения / Е.В. Гераськина, В.В. Цукерман // Математическое образование - 2002 - № 4 - с. 76-89.

- Гераськина, Е.В. Определенный интеграл в средней школе (вариант изучения темы, поурочное планирование) / Е.В. Гераськина // Математика. - 2003. - № 41. - С. 28-32; № 46. - С. 30-32. - 2004. - № 2. - С. 19-22; № 3. - С. 25-28; № 11. с. 29-30; № 13. - С. 30-32.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в ходе проведенного исследования была построена целостная методическая система доказательного и доступного изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе. Ее особенностями являются:

- эвристический подход к введению основных понятий интегрального исчисления: они вводятся как естественное разрешение проблемных ситуаций, опираясь на знания и опыт, имеющиеся у учащихся;

- последовательность рассмотрения известных задач формирует многосторонний подход к определенному интегралу;

- ограничение использованием функций монотонных и имеющих первообразную, позволяет доказательно, одновременно доступно и наглядно построить процесс изучения темы «Определенный интеграл»;

- понятие площади криволинейной трапеции впервые в средней школе рассмотрено с позиции теории квадрируемости и площади квадрируемой фигуры.

В результате исследования разработано методическое обеспечение изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе: поурочное планирование, система задач, методические рекомендации для учителей, электронное представление теоретического материала (CD).

Представленная методическая система доведена до возможности использования учителями на уроках математики и может существенно повысить качество и эффективность обучения, что подтверждается результатами проведенной экспериментальной работы.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Гераськина, Елена Викторовна, Москва

1. Абрамов, A.M. О положении с математическим образованием (1978 -2003) / A.M. Абрамов,- М.: Фазис, 2003. 72 с.

2. Абрамова, Г.С. Возрастная психология: учеб. пособие для студ. вузов / Г.С. Абрамова. -М.: Изд. центр «Академия», 1999.-672 с.

3. Авраменко, Н.И. Особенности структуры уроков по алгебре и началам анализа в 9-10 классах: автореф. дис. . канд. пед. наук: 13.00.02. / Н.И. Авраменко. Киев, 1982. -18 с.

4. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов и др.. 13-е изд.- М.: Просвещение, 2005 - 384 е.: ил.

5. Алгебра и начала анализа: 10-11класс: Учебно-методическое пособие / М.И. Башмаков и др..- 3-е изд., стереотип М.: Дрофа, 2004. - 240 е.: ил.

6. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 10 класса средней школы / А.Н. Колмогоров и др.; под ред. А.Н. Колмогорова- М.: Просвещение, 1976-271с.: ил.

7. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 10 класса средней школы / А.Н. Колмогоров и др.; под ред. А.Н. Колмогорова 5-е изд.- М.: Просвещение, 1980-271с.: ил.

8. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы / А.Н. Колмогоров и др.; под ред. А.Н. Колмогорова- М.: Просвещение, 1988 384 е.: ил.

9. Алгебра и начала анализа: 10-11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Н. Колмогоров и др.; под ред. А.Н. Колмогорова. 15-е изд.- М.: Просвещение, 2006. - 384 е.: ил.

10. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 11 класса общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский и др.. М.: Просвещение, 2002. - 448 с.

11. Александров, В. Основания анализа бесконечно малых. Начала дифференциального и интегрального исчислений. Курс VII класса реальных училищ / В. Александров. М.,1913.

12. Ахметов, М. Производные и интегралы в школьном курсе математики: автореф. дис. . канд. пед. наук: 13.00.02. / М. Ахметов. Алма-Ата, 1976. -19 с.

13. Бабанский, Ю.К. Оптимизация процесса обучения. Общедидактический аспект: монография / Ю.К. Бабанский М.: Педагогика, 1977. - 256 с.

14. Баранов, И.А. Методика изучения алгебраических приложений производной и интеграла в средней школе: автореф. дис. канд. пед. наук / И.А. Баранов. М., 1981. - 20 с.

15. Баврин, И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании / И.И. Баврин // Математика в школе 1993- № 4.

16. Башмаков, М.И. Определение основных понятий анализа в школьном курсе математики / М.И. Башмаков // Математика в школе 1988.- № 3.

17. Беспалько, В.П. Слагаемые педагогической технологии / В.П. Беспалько-М.: Педагогика, 1989.-190 с.

18. Билибин, Н. Основания анализа бесконечно малых (для дополнительного класса реальных училищ) / Н. Билибин. СПб., 1907.

19. Богоявленский, Д.Н. Психология усвоения знаний в школе / Д.Н. Богоявленский, Н.А. Менчинская М.: Изд-во Акад. пед. наук РСФСР, 1959. -347 с.

20. Богус, В.А. Внутрипредметные связи элементов математического анализа в курсе математики в средней школе: автореф. дис. . канд. пед наук /В.А. Богус,-М., 1988.-21 с.

21. Брадис, В.М. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. для пед. ин-тов / В.М. Брадис; под ред. А.И. Маркушевича.- М.: Учпедгиз, 1954. 504 с.

22. Вакилов, Ш.М. Развитие математического мышления учащихся при решении задач на приложения производной и интеграла: дис. . канд. пед. наук / Ш.М. Вакилов,- М., 1992. 145 с.

23. Вейц, Б.Е. Алгебра и начала анализа. 10 класс. Пробный учебник / Б.Е. Вейц, И.Т. Демидов. М.: Просвещение, 1971 - 204 с.

24. Ветров, В.В. Содержание и методика изучения элементов интегрального исчисления и дифференциальных уравнений в средней школе: автореф. дис. . канд. пед. наук/В.В. Ветров. Казань, 1971.-22 с.

25. Вилейнтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Г. Вилейнтнер. М.: Физматгиз, 1966. - 469 с.

26. Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин и др.. -М.: Просвещение, 1999. 334 с.

27. Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин и др.. М.: Мнемозина, 2000. - 287 с.

28. Виленкин, Н.Я. Производная и интеграл / Н.Я. Виленкин, А.Г. Мордкович. М.: Просвещение, 1976. -150 с.

29. Войнов, А. Основания анализа бесконечно малых. Курс 7 класса реальных училищ / А. Войнов. Павловск н/Д., 1910.

30. Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе: сборник статей. / Сост. Е.Г. Глаголева, О.С. Ивашев-Мусатов. М.: Просвещение, 1981.

31. Волович, М.Б. Наука обучать. Технология преподавания математики / М.Б. Волович.- М.: LINKA-PRESS, 1995. 278 с.

32. Выготский, JI.C. Педагогическая психология / JI.C. Выготский. М.: Педагогика, 1991. - 533 с.

33. Галицкий, M.JI. Углубленное изучение алгебры и математического анализа: Кн. для учителя / M.JI. Галицкий. М.: Просвещение, 2001. - 352 с.

34. Гальперин, П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка / П.Я. Гальперин М.: Изд-во МГУ, 1985. - 41 с.

35. Гальперин, П.Я. Основные результаты исследований по проблеме "Формирование умственных действий и понятий" / П.Я. Гальперин М.: Изд-во МГУ, 1965.

36. Гераськина, Е.В. Определенный интеграл в средней школе (вариант изучения темы, поурочное планирование) / Е.В. Гераськина // Математика.- 2003,- № 41 с.; № 46.- с. . - 2004.- № 2 - с.; № 3,-; № 11-с. ;№ 13-с.

37. Гераськина, Е.В. Определенный интеграл в средней школе: возможность проблемного, доказательного и доступного рассмотрения темы / Е.В. Гераськина // Математика в школе 2006 - № 6 - с. 79.

38. Гераськина, Е.В. Интеграл и общее среднее образование: проблема и вариант ее решения / Е.В. Гераськина, В.В. Цукерман // Математическое образование 2002 - № 4 - с. 76-89.

39. Глейзер, Г.Д. Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / Г.Д. Глейзер. М.: Университет РАО, 2001. - 384 с.

40. Глейзер, Г.И. История математики в школе / Г.И. Глейзер. М.: Просвещение, 1983. - 350 с.

41. Глушкова, А.И. Обучение элементам математического анализа как средство повышения общеобразовательной подготовки учащихся средней школы: дис. . канд. пед. наук / А.И. Глушкова. -М., 1987. 137 с.

42. Гнеденко, Б.Ф. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике/Б.Ф. Гнеденко-М.: Просвещение, 1982. 144 с.

43. Горячев, Д.Н. Основания анализа бесконечно малых (учебник для дополнительного класса реальных училищ) / Д.Н. Горячев М., 1914.

44. Груденов, Я.И. Психолого-педагогические основы методики обучения математике / Я.И. Груденов. М.: Педагогика, 1987. - 158 с.

45. Гусев, В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике / В.А. Гусев. М.: Вербум-М, 2003.- 432 с.

46. Дорофеев, Г.В. Концепция профильного курса математики / Г.В. Дорофеев, Е.А. Седова, С.Д. Троицкая//Математика в школе.-2006 -№ 7-с. 14-25.

47. Дубнов, Я.С. Содержание и методы преподавания элементов математического анализа и аналитической геометрии в средней школе / Я.С. Дубнов // Математической просвещение. 1965 - Вып. 5 - с. 17-57.

48. Жохов, A.JI. Мировоззренчески направленное обучение математике в общеобразовательной и профессиональной школе /A.JI. Жохов. М., 1999. -150 с.

49. Задания для подготовки к выпускному экзамену по алгебре и началам анализа: Кн. для учащихся 11 кл. общеобразоват. учреждений / Е.А. Семенко и др.. -М.: Просвещение, 2001. 190 с.

50. Задачи и упражнения по началам математического анализа: Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изучением математики и для внеклассных занятий математикой / под общ. ред. Е.С. Канина М.: Московский лицей, 2001.- 120 с.

51. Звавич, Л.И. Алгебра и начала анализа. 8 11 кл.: Пособие для школ и классов с углубл. изучением математики / Л.И. Звавич и др.. - М.: Дрофа, 1999.-352 е.: ил.

52. Зив, Б.Г. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса / Б.Г. Зив, В.А. Гольдич. СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2003. - 96 с.

53. Ивашев-Мусатов, О.С. Наглядность в математическом анализе / О.С. Ивашев-Мусатов // Математика в школе 1998- № 6 - с. 3-7.

54. Ивашев-Мусатов, О.С. Начала математического анализа / О.С. Ивашев-Мусатов. М.: Наука, 1973. - 160 с.

55. Избранные вопросы школьного курса математики: материалы для учителей математики учащихся 10-11 классов. Самара: Изд-во СИПКРО, 1999.

56. Ионин, Ю.И. Интеграл и его приложения в школах и классах с углубленным изучением математики: дис. . канд. пед. наук/Ю.И. Ионин. -М., 1975. 136 с.

57. Ионин, Ю.И. Интеграл (сборник заданий для учащихся IX X классов) / Ю.И. Ионин, А.А. Егоров. - М.: Просвещение, 1975. - 76 с.

58. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В 3-х т. Т. 1. С древнейших времен до начала нового времени / Под редакцией А.П. Юшкевича,- М.: Наука, 1970. 353 с.

59. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В 3-х т. Т. 2. Математика XVII столетия / Под редакцией А.П. Юшкевича М.: Наука, 1970.-303 с.

60. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В 3-х т. Т. 3. Математика XVIII столетия / Под редакцией А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1972.-498 с.

61. История математического образования в СССР. Киев: Наукова думка, 1975.-383 с.

62. Кашин, Н.В. Основания математического анализа. Учебная книга / Н.В. Кашин.-М., 1916.

63. Кисельников, И.В. Обучение началам математического анализа в средней школе с использованием различных форм представления его фундаментальных понятий: дис. . канд. пед. наук: 13.00.02 / И.В. Кисельников. СПб., 1997. - 128 с.

64. Колмогоров, А.Н. К новым программам по математике / А.Н. Колмогоров // Математика в школе 1968 - №2 - с. 7-8.

65. Колмогоров, А.Н. Математика в ее историческом развитии / А.Н. Колмогоров; под ред. В.А. Успенского. М.: Наука, 1991. - 221 с.

66. Колмогоров, А.Н. Современная математика и математика в современной школе / А.Н. Колмогоров // Математика в школе 1971.- № 6 - с. 3-5.

67. Колягин, Ю.М. Алгебра и начала анализа. 11 класс: Учебник для общеобразоват. учреждений / Ю.М. Колягин и др.. М.: Мнемозина, 2004. - 240 е.: ил.

68. Колягин, Ю.М. Русская школа и математическое образование: наша гордость и наша боль / Ю.М. Колягин. -М.: Просвещение, 2001. 318 е.: ил.

69. Колягин, Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учебное пособие для студентов физико-математических ф-тов пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин и др.. М.: Просвещение, 1980. - 462 с.

70. Кон, И.С. Психология ранней юности: книга для учителя / И. С. Кон. -М.: Просвещение, 1989. 254 с.

71. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года // Наука и школа 2003- № 1.

72. Корешкова, Т.А. Об интеграле и его приложениях / Т.А. Корешкова // Математика в школе 1986- № 3 - с. 49-53.

73. Корешкова, Т.А. К введению определенного интеграла / Т.А. Корешкова, В.В. Цукерман // Проблемы подготовки учителя математики в пединститутах. М/.1980 - с. 105-117.

74. Корешкова, Т.А. Многоугольники и их площадь в школьном курсе математики / Т.А. Корешкова, В.В. Цукерман // Математика в школе 2003-№ 3.- с. 70-75.

75. Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников / В.А. Крутецкий. М.: Просвещение, 1986. - 411 с.

76. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа. В 3-х т. Учебник для студентов университетов и втузов. / Л.Д. Кудрявцев М.: Высшая школа, 1981,-Т.1.-686 с.

77. Кудрявцев, Л.Д. Современная математика и ее преподавание / Л.Д. Кудрявцев. -М.: Наука, 1985. 170 с.

78. Кудрявцев, Л.Д. Среднее образование. Проблемы. Раздумья / Л.Д. Кудрявцев. М.: Моск. гос. ун-т печати, 2003. - 84 с.

79. Кулаева, З.А. Интегральное исчисление в школьном курсе математики: автореф. дис. . канд. пед. наук / З.А. Кулаева. Тбилиси, 1975. - 17 с.

80. Кузнецова, И.В. Элементы высшей алгебры и методика их изучения на факультативных занятиях в средней школе: дис. . канд. пед. наук: 13.00.02 / И.В. Кузнецова. М., 2000. - 136 с.

81. Ланков, А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики / А.В. Ланков. М., 1951. - 152 с.

82. Ларионова, О.Г. Психолого-педагогические основы преподавания математики / О.Г. Ларионова. Братск, 1997. - 250 с.

83. Лейтес, Н.С. Умственные способности и возраст / Н.С. Лейтес. М.: Педагогика, 1971.-144 с.

84. Мальцев, А.А. Общее математическое образование: традиции и современность / А.А. Мальцев. Новосибирск, 1997. - 251 с.

85. Маркушевич, А.И. На путях обновления школьного курса математики. Сборник статей и материалов. Пособие для учителя / А.И. Маркушевич, Г.Г. Маслова, Р.С. Черкасов М.: Просвещение, 1978.

86. Математика XIX век / Под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. -М.: Наука, 1987.-370 с.

87. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч. 1./ Под ред. Г.Н. Яковлева. М.: Наука, 1987. - 464 с.

88. Математика: Содержание математического образования в 5 11 классах средних общеобразовательных учебных заведений (три уровня обучения). -М., 1997. -192 с.

89. Математический анализ. Вопросы теории, истории и методики преподавания. Л., 1991.-256 с.

90. Методика преподавания математики / Под ред. С.Е. Ляпина. В двух частях. Л., 1955.

91. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / А.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина и др.. Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. -М.: Просвещение, 1985.-460 с.

92. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.. Сост. В.И. Мишин. М.: Просвещение, 1987.-472 с.

93. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: Уч. пособие для студ. физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, В.И. Саннинский, Г.И. Луканкин — М.: Просвещение, 1975 — 462 с.

94. Монахов, В.М. Тенденции развития содержания общего среднего образования / В.М. Монахов // Советская педагогика 1990 - № 2 - с. 3-17.

95. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. 4.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович- М.: Мнемозина, 2004. 375 е.: ил.

96. Мордкович, А.Г. Беседы с учителями математики: концептуальная методика, рекомендации, советы, замечания. Обучение через задачи / А.Г. Мордкович. М.: Школа-Пресс, 1999. - 272 с.

97. Мышкис, А.Д. О прикладной направленности школьного курса элементов математического анализа / А.Д. Мышкис // Математика в школе-1990.-№6.-с 7-11.

98. Никифоровский, В.А. Путь к интегралу / В.А. Никифоровский. М.: Наука, 1985. - 193 с.

99. Никольский, С.М. Курс математического анализа. В 2-х т. / С.М. Никольский. М.: Наука, 1983. - Т. 1.- 484 с.

100. Об изучении алгебры и начал анализа в X классе. Методическое письмо. -М., 1976.

101. Обязательный минимум содержания среднего (полного) общего образования. М., 2006.

102. Ованесов, Н.Г. Основные понятия математического анализа и методика их изучения в средней школе и педагогическом институте / Н.Г. Ованесов. -Астрахань, 1969. 157 с.

103. Паренаго, А. Основания анализа бесконечно малых. Курс 7 класса Сосновицкого реального училища в 1907- 908 уч. г. / А. Паренаго. -Сосновицы, 1907.

104. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Д. Пойа. М.: Наука, 1975.-464 с.

105. Полякова, Т.С. История отечественного школьного математического образования: Два века. Ростов н/Д, 1997 - Т.1.- 624 с.

106. Попруженко, М. Начала анализа / М. Попруженко. СПб., 1913.

107. Примерная программа среднего (полного) общего образования (математика).- (http//www.mon.gov.ru/edu-politic/standart/pp/08-2-s.doc)

108. Проблемы современного математического образования. Тезисы докладов II межрегиональной научной конференции г. Киров, 9-10 апреля 2001 г.-Киров, 2001.

109. Программа средней школы, переработанный проект. М., 1967.

110. Пуанкаре А. О науке / А. Пуанкаре М.: Наука, 1983. - 561 с.

111. Рыбников, К.А. История математики / К.А. Рыбников. М.: Изд-во МГУ, 1994.-495 с.

112. Рыжик, В.И. Дидактические материалы по алгебре и математическому анализу для 10-11 классов / В.И. Рыжик. М.: Просвещение, 1997. - 144 с.

113. Саввина, О.А. Становление и развитие обучения высшей математике в отечественной средней школе: дис. докт. пед. наук / О.А. Саввина М., 2003. -463 с.

114. Саранцев, Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики / Г.И. Саранцев // Математика в школе-1995.-№5.-с. 36-39.

115. Саранцев, Г.И. Общая методика преподавания математики: Учебное пособие для студентов мат. специальностей пед. вузов и университетов / Г.И. Саранцев. Саранск: Красный октябрь, 1999. - 208 с.

116. Смирнов, В.И. Курс высшей математики. В 5-ти т. / В.И. Смирнов.-М.: Наука, 1974.-Т.1.-479 с.

117. Талызина, Н.Ф. Формирование приемов математического мышления / Н.Ф. Талызина. М.: ТОО «Вентана-граф», 1995. - 232 с.

118. Терешина, Т.Н. Изучение начал математического анализа в условиях дифференциации учебного процесса в средней школе: дис. . канд. пед. наук / Т.Н. Терешина. -М., 1996. 125 с.

119. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Часть II. Среднее (полное) общее образование/ Министерство образования Российской Федерации. -М., 2004 266 с.

120. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х т. / Г.М. Фихтенгольц М.: Наука, 2002 - Т. 1. - 616 с.

121. Фридман, JI.M. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе /Л.М. Фридман. -М.: Просвещение, 1983. 160 с.

122. Фусс, Н. Начальные основания алгебры, в пользу воспитанников 1-го кадетского корпуса / Н. Фусс. СПб, 1821.

123. Фусс, Н. Начальные основания алгебры, в пользу императорского Шляхетского сухопутного кадетского корпуса, выбранные из алгебры Г. Л. Эйлера Н. Фуссом / Н. Фусс. СПб, 1798.

124. Цукерман, В.В. Математический анализ и общее среднее образование / В.В. Цукерман // Математика в школе.- 1996- № 3 с. 33-34.

125. Цукерман, В.В. О судьбе великого наследия / В.В. Цукерман // Математика в школе 1994 - № 3 - с. 44^45.

126. Цукерман, В.В. Элементы математического анализа и наша школа / В.В. Цукерман // Математика 2004- № 41.

127. Черкасов, Р.С. Отечественные традиции и современные тенденции в развитии школьного математического образования / Р.С. Чекасов // Математика в школе 1993.- № 4 - с. 73-77; № 5 - с. 75-79; № 6 - с. 75-77.

128. Шапошников, Н.А. Дополнения элементарного курса математики и введение в высший математический анализ / Н.А. Шапошников. М.: 1862.