автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Структурирование учебного материала курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики

Автореферат диссертации по теме "Структурирование учебного материала курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО СРЕДНЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

^ На правах рукописи

- " АВГ *

Тыщенко Оксана\ |лат||)ль/внй^

^- 1 Д ДА

СТРУКТУРИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА КУРСА АЛГЕБРЫ 8-9 КЛАССОВ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ

13.00.02 - теория и методика обучения математике

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва 1997

Работа выполнена в Институте общего среднего образования Российской академии образования

Научный руководитель: кандидат педагогических наук, старший научный сотрудник Н.Г.Миндюк

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор В.И.Крупич,

кандидат педагогических наук, доцент И.Л.Никольская

Ведущая организация: Московский городской педагогический университет Защита состоится 3 " £ 1997 года в //часов

на заседании диссертацион ) совета К 018.06.04

в Институте общего среднего образования РАО по адресу: 119903, г.Москва, ул. Погодинская, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке

А II А 3 А Ыр » ,Л

Автореферат разослан а^г^-УО-^

института.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.С.Лесневский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Современная система математического образования, адекватная потребностям общества, должна обеспечивать не только минимально необходимую всеобщую математическую грамотность и соответствующее общее развитие учащихся, но и полноценную математическую подготовку определенного контингента учащихся, способного в будущем составить кадровую основу социального и научного-технического прогресса. В связи с этим одной из ведущих педагогических идей в обучении математике становится идея дифференциации.

Проблеме дифференциации посвящены работы ведущих отечественных математиков и методистов М.И.Балашова, В.Г.Болтянского, Г.Д.Глейзера, В.А.Гусева, Г.В.Дорофеева, Ю.М.Колягина, Л.В.Кузнецовой, З.И.Слепкань, С.Б.Суворовой, В.В.Фирсова и др., в которых показано, что дифференциация является важным условием повышения качества обучения математике и раскрыты теоретические основы ее реализации.

Различные аспекты дифференцированного подхода к учащимся в процессе обучения математике рассмотрены в диссертационных исследованиях К.Б.Абишевой, Е.Ю.Головановой, В.Д.Головиной.В.Я.Заб-ранского, Н.И.Кузьмичевой, М.Б.Миндюка, М.И.Немытовой, И.А.Пав-ленковой, Е.А.Седовой, Н.Е.Федоровой и др.

Различают два основных направления дифференциации обучения математике - это уровневая дифференциация и профильная. При уров-невой дифференциации учавдеся занимаются по единым программам и учебникам, дифференциация происходит по уровню предъявляемых требований. При профильной дифференциации создаются классы и школы, которые занимаются по специальным программам и учебникам, соответствующим данному профилю.

В настоящее время в рамках профильной дифференциации усиленно развивается система углубленного изучения математики.

Углубленное изучение математики на старшей ступени имеет богатые традиции и достаточно длительную историю. Значительный вклад в развитие системы углубленного изучения математики в старших классах внесли В.Г.Ашкинузе, О.А.Боковнев, Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев-Мусатов, А.Н.Колмогоров, В.М.Монахов, С.И.Шварцбурд и ДР.

Сравнительно новое (80-е годы) для отечественной школы явле-

ние представляет собой организация 8-9 классов с углубленным изучением математики. Появление таких классов создает предпосылки для решения важной задачи, стоящей перед школой, - сделать систему углубленного изучения математики непрерывной, охватывающей и среднюю, и старшую ступени обучения.

Принципиальное отличие углубленного изучения математики на первом этапе (8-9 классы) и на втором (10-11 классы) заключается в том, что углубленное изучение математики в основной школе ориентировано в целом на учащихся, у которых только начинает формироваться интерес к предмету, в то время как система углубленного изучения математики в старшей школе рассчитана на учащихся не только проявляющих интерес к математике и отдающих ей предпочтение, но и имеющих для ее изучения уже достаточно развитые способности. В связи с этим первый этап, как подчеркивает Г.В.Дорофеев, должен быть ориентационным, призванным помочь учащемуся осознать степень своего интереса к предмету , свои возможности в овладении математическими знаниями и умениями с тем, чтобы по окончании 9 класса он мог сделать сознательный выбор в пользу углубленного изучения математики.

В настоящее время сложились два принципиально различных подхода к построению курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики. Первый из них состоит в том, что материал общеобразовательного курса жестко связан с дополнительным материалом без четко очерченной границы между ними. Этот подход соответствует традиционному построению повышенного курса математики старшей школы. Такое построение курса можно назвать шейным. Пример линейного построения представлен в учебниках для классов с углубленным изучением математики "Алгебра,8" Н.Я.Виленкина, А.Н.Вилен-кина, Г.С.Сурвилло и др. под редакцией Н.Я.Виленкина, "Алгебра,9" Н.Я.Виленкина, Г.С.Сурвилло, А.С.Симонова, А.И.Кудрявцева под редакцией Н.Я.Виленкина.

Другой подход к построению курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики состоит в том, что дополнительный учебный материал предъявляется в виде относительно независимых друг от друга блоков с достаточно четко очерченной границей содержания, отделяющей каждый из них от материала общеобразовательного курса. Блоки дополнительного материала получили название "модулей" в соответствии с употреблением этого термина, принятым в архитектуре, строительстве, радиоэлектронике, когда под модулем

понимается составная часть системы, которая оформлена как относительно независимое самостоятельное изделие и может быть привлечена для реализации общих целей функционирования системы либо может оставаться невостребованной, причем в последнем случае целостность системы не нарушается. Соответствующее построение курса называют модульным или иначе построением по принципу модульного дополнения общеобразовательного курса. Модульное построение повышенного курса алгебры реализуется в учебном комплекте, состоящем из учебника для общеобразовательной школы и дополнительного учебного пособия. Примером является учебный комплект, состояпщй из учебника для общеобразовательной школы "Алгебра,8" Ю.Н.Макарыче-ва, Н.Г.Мивдюк, К.И.Нешкова, С.Б.Суворовой под редакцией С.А.Те-ляковского и учебного пособия "Алгебра,8. Дополнительные главы к школьному учебнику" Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк под редакцией Г.В.Дорофеева. Аналогично строится учебный комплект для 9 класса.

При линейном построении повышенного курса алгебры 8-9 классов структура изложения учебного материала однозначно определяется порядком следования материала в учебнике. При модульном построении структура изложения учебного материала требует дополнительного выстраивания.

Массовость появления 8-9 классов с углубленным изучением математики и, как следствие, широкий разброс в их уровнях подготовки требуют создания такой системы обучения, которая бы, в частности, позволяла варьировать объем дополнительного учебного материала в соответствии с реальными возможностями конкретного класса. Модульное построение повышенного курса потенциально обладает необходимым качеством и, следовательно, создает условия для удовлетворения познавательных потребностей математических классов с различными уровнями подготовки, но при этом ставит проблему определения структуры изложения учебного материала, другими словами, проблему структурирования.

Различные стороны проблемы структурирования учебных курсов рассмотрены на общедидактическом уровне в работах И.К.Журавлева, Л.Я.Зориной, Т.А.Ильиной, Л.Б.Ительсона, В.В.Краевского, И.Я.Лер-нера, А.М.Сохора и др. Вопросам логической структуры учебных предметов математического цикла и ее влияния на определение структуры изложения материала посвящены исследования Дж.Брунера, В.Л.Гончарова, А.Н.Колмогорова, Е.И.Лященко, А.А.Столяра и др.

Вопросы, связанные со структурированием учебного материала

курса алгебры, в частности с построением системы алгебраических упражнений, рассматриваются в работах А.Я.Блоха, В.Л.Гончарова, И.А.Гибша, В.А.Дапингера, Е.С.Канина, Ю.М.Колягина, В.И.Крупича, М.Р.Леонтьевой, Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк, Т.Н.Мираковой, А.Г.Мордковича, Г.К.Муравина, К.С.Ыуравина, С.Б.Суворовой и др. Проблеме повышения эффективности усвоения учащимися алгебры на основе структурирования учебного материала посвящено диссертационное исследование И.Ф.Сафир.

Перечисленные исследования, однако, не учитывают особенностей структурирования материала курса, предназначенного для углубленного изучения математики. Традиционные подходы к построению повышенного курса математики таких исследований не требовали. При модульном подходе к построению курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики, предполагающем специальное выстраивание структуры изложения, возникла необходимость в исследовании вопросов структурирования учебного материала.

Отдельные замечания по использованию того или иного дополнительного материала приведены в разделе "Методический комментарий" авторами учебных пособий "Алгебра,8. Дополнительные главы к школьному учебнику", "Алгебра,9. Дополнительные главы к школному учебнику" Ю.Н.Макарычевым и Н.Г.Миндюк. Однако эти замечания носят фрагментарный характер и в целом не решают вопроса структурирования материала при модульном построении курса.

Итак, противоречие между потребностями практики в гибкой системе обучения, учитывающей широкий разброс уровней подготовки создаваемых математических классов, и неразработанностью такой системы обучения определило актуальность исследования, проблема которого состоит в определении теоретических и методических основ структурирования учебного материала повышенного курса алгебры 8-9 классов, обеспечивающего гибкость и вариативность организации процесса обучения в 8-9 классах с углубленным изучением математики.

Нем исследования состоит в выявлении возможностей использования модульного построения курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики и в разработке методики структурирования учебного материала, соответстврщей такому построению.

Объектом нашего исследования является курс алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики.

Лредмет исследования - структура курса алгебры 8-9 классов с

углубленным изучением математики, построенного по принципу модульного дополнения общеобразовательного курса.

При исследовании проблемы мы исходили из следующей гипотезы: взаимосвязь и взаимопроникновение основного и дополнительного учебного материала при выстраивании структуры изложения курса алгебры 8-9 классов, построенного модульным способом, будет способствовать повышению эффективности обучения алгебре в классах с углубленным изучением математики.

В соответствии с проблемой и гипотезой исследования были поставлены следующие частные задачи.

- Выявить психолого-педагогические особенности углубленного изучения математики в основной школе.

- Исследовать целесообразность построения курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики на основе модульного дополнения общеобразовательного курса.

- Определить требования к системе модулей, дополняющих общеобразовательный курс, и механизму ее функционирования в учебном процессе.

- Разработать и экспериментально проверить методику структурирования учебного материала курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики, построенного по принципу модульного дополнения общеобразовательного курса, на этапе изложения новых тем и на этапе обобщающего повторения.

В ходе работы над диссертацией применялись различные метода исследования : анализ психолого-педагогической, научно-методической и учебной литературы по проблеме исследования; изучение нормативных документов по вопросам школьного образования, в частности по вопросам повышенной математической подготовки; изучение опыта преподавания в 8-9 классах с углубленным изучением математики; педагогический эксперимент.

Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключается в том, что обоснована целесообразность построения курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики на основе модульного дополнения общеобразовательного курса; определены требования к системе модулей, дополняющих общеобразовательный курс, и механизму ее функционирования в учебном процессе.

Практическая значимость состоит в том, что предложена методика структурирования учебного материала курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики на этапе изложения новых

тем и на этапе обобщающего повторения при модульном построении этого курса.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается опорой на достижения педагогической и психологической наук; соответствием полученных выводов основным положениям новой концепции математического образования и концепции углубленного изучения математики в 8-9 классах; данными экспериментальной проверки; применением методов, адекватных задачам каждого этапа исследования; позитивным отношением учителей к разработанной методике структурирования учебного материала при построении курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики модульным способом.

На защиту выносится:

1. Требования к системе модулей, дополняющих общеобразовательный курс, и механизму ее функционированию в учебном процессе.

2. Методика структурирования учебного материала курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики, построенного по принципу модульного дополнения общеобразовательного курса.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационного исследования обсуждались на заседаниях отдела математического образования ИОСО РАО (г.Москва, 1995-1997 гг), на семинаре учителей математики Западного округа "Школа передового опыта" (г.Москва, 1996 г), на семинаре по методике преподавания математики в МГОПУ (г.Москва, 1996 г), на общероссийском научно-практическом семинаре "Обучение математике и информатике в педагогических классах, лицеях, гимназиях" (г.Барнаул,1995 г).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, главы 1 "Теоретические основы структурирования курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики", главы 2 "Методика структурирования учебного материала курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики", заключения и библиографии.

- 9 -

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Структура является одной из основных характеристик системного объекта. Структура - это внутреннее устройство системы, характеризуемое наличием устойчивых связей между элементами системы, обеспечивающих ее неизменность в процессе функционирования, и являющееся общим для всех систем данного типа /Т.А.Ильина/.

Использование для учебных курсов такой системной характеристики как структура не случайно, поскольку содержание отдельного учебного курса является системным объектом, представляя собой упорядоченное множество взаимосвязанных элементов знаний, объединенных общей целью обучения учащихся.

Содержание любого учебного курса может быть охарактеризовано, во-первых, с точки зрения логической структуры учебного материала, за которой стоят структурные особенности соответствующей области знаний, и, во-вторых, с точки зрения последовательности предъявления учащимся единиц учебной информации или, говоря иначе, структуры изложения, учитывающей закономерности самого процесса обучения.

При педагогической адаптации объективного научного знания, при его трансформации в учебный предмет должен сохраняться некоторый инвариант, необходимый для создания у учащихся адекватного представления о рассматриваемой научной области. Этот инвариант отражает логическая структура учебного предмета, которая представляет собой совокупность понятий, предложений и логических связей между ними и отражает логику соответствующей научной области.

Задавая определенные рамки для выбора структуры изложения, логическая структура учебного материала в то же время допускает различные логически верные последовательности изложения. Такая неоднозначность делает важным вопрос об определении структуры изложения, наиболее рациональной с точки зрения усвоения учащимися содержания учебного предмета. Значимость этого вопроса в методике преподавания учебных предметов объясняется ведущей ролью структуры изложения учебного материала в управлении процессом обучения, что подтверждается научными исследованиями Л.Б.Ительсона, Б.И.Ко-ротяева, П.И.Пидкасистого, А.М.Сохора, Н.Ф.Талызиной и др.

В нашем исследовании логическая структура учебного предмета алгебра принимается в качестве исходного положения. Под структурированием мы понимаем процесс формирования структуры изложения учебного материала.

При структурировании содержания на уровне учебного материала, в соответствии с концепцией содержания общего среднего образования /В.В.Краевский, И.Я.Лернер и др./, необходимо учитывать и общие закономерности процесса обучения, и особенности его протекания в том или ином типе учебного заведения при обучении учавдх-ся того или иного профиля. В связи с этим в первой главе диссертации (§2) рассмотрены психолого-педагогические особенности углубленного изучения математики в 8-9 классах.

Результаты исследований психологов Т.В.Драгуновой, В.А.Кру-тецкого, Н.С.Лукина, А.В.Петровского и др. свидетельствуют о том, что познавательный интерес, являясь одним из сильнейших мотивов учебной деятельности, определяющим ее успешность и эффективность и имеющим особое значение в развитии личности, начинает формироваться и проявляться именно в подростковом возрасте, иногда приобретая форму серьезного увлечения и становясь в дальнейшем основой профессионального выбора. При этом психологами подчеркивается тот факт, что активная любознательность подростков, стремление познать больше очень часто приводят к разбросанности и неустойчивости их интересов. В ряде случаев, как отмечает В.А.Крутецкий, подросток таким образом (часто неосознанно) нащупывает свой центральный, стержневой интерес как основу жизненной направленности и пробует себя в разных областях.

Перед школьным обучением стоит задача - на основе уже имеющихся у учащихся интересов формировать и развивать социально ценные интересы, наиболее соответствующие индивидуальным особенностям и способностям учащихся. Интересы учащихся к учебным предметам математического цикла, безусловно, являются социально ценными и поэтому их формирование и развитие требуют особого внимания.

В 5-6 классах, когда учащееся еще не приобрели опыт систематического изучения математики и имеют достаточно поверхностное представление о характере математических знаний и математической деятельности, их интерес к математике чаще всего возникает эпизодически и вызван обычно внешней привлекательностью отдельных фрагментов содержания учебного предмета. В 7 классе в процессе систематического изучения алгебры и геометрии учащиеся получают возможность осознать и оценить степень своего интереса к этим предметам. В связи с этим в 5-7 классах углубленное изучение математики целесообразно осуществлять в рамках уровневой дифферен-

- и -

циации, посредством индивидуального подхода к учащимся, кружковой и факультативной работы. В 8-9 классах, когда учащиеся могут сделать более осознанный выбор, появляется возможность осуществления профильной дифференциации, способствующей более основательной, целенаправленной и систематической работе с учащимися, проявляющими интерес и склонность к математике. Однако при этом профильная дифференциация в основной школе возможна лишь при соблюдении определенных условий ее осуществления, главное из которых определяется психологическими особенностями подросткового возраста и заключается в предоставлении учащимся возможности изменить профиль обучения в случае неадекватной или ошибочной оценки ими своих способностей, склонностей и интересов.

Таким образом, при организации углубленного изучения математики в 8-9- классах содержание обучения и требования, предъявляемые к учащимся, должны быть максимально гибкими.

В диссертации проанализированы модульный и линейный подходы к построению повышенного курса алгебры 8-9 классов на предмет соответствия выявленным особенностям первого этапа углубленного изучения математики. При этом мы рассматривали линейное и модульное построение повышенного курса алгебры, реализованные в учебной литературе, как две различные тактические модели (в соответствии с терминологией й.Я.Лернера) углубленного изучения математики в 8-9 классах. Проведенный анализ позволил выявить преимущества модульного подхода к построению рассматриваемого курса.

Линейное построение, реализованное в специальных учебниках для профильных классов, автоматически переносит в основную школу тактическую модель углубленного изучения математики, принятую в старшей школе, без учета существенных особенностей первого этапа углубления. Жесткие связи основного и дополнительного учебного материала при линейном построении курса заранее очерчивают максимальный объем содержания, при этом дополнительный материал приобретает статус обязательного, поскольку при его изъятии целостность курса может нарраться.

При модульном построении повышенный курс алгебры 8-9 классов обладает определенной устойчивостью, благодаря автономности материала общеобразовательного курса, и одновременно, за счет возможности использования содержания модулей в большем или меньшем объеме, допускает достаточную вариативность. Тактическая модель процесса обучения, реализованная при модульном построении в

учебном комплекте, в большей степени соответствует характеру и функциям первого этапа углубленного изучения математики. Вариативность и подвижность структуры изложения при модульном построении повышенного курса позволяет регулировать объем дополнительного учебного материала в процессе обучения, не нарушая общей логики изложения. Указанное качество модульного построения является особенно ценным в условиях широкого разброса уровней подготовки создаваемых математических классов, так как позволяет учитывать реальные возможности конкретного класса. Необходимо подчеркнуть также, что такой подход к построению повышенного курса алгебры в 8-9 классов предоставляет возможность учитывать не только исходный уровень подготовки учащихся, но и динамику развития их интересов, склонностей и способностей. Преимущество модульного построения, кроме того, состоит в том, что оно создает условия для включения учащихся в процесс углубленного изучения математики, а также для перехода в случае необходимости в массы с общеобразовательной подготовкой на промежуточных этапах обучения. Это отвечает ориентационному характеру первого этапа углубления.

В первой главе диссертации (§3) показано, что совокупность модулей можно рассматривать как определенную систему. Дополняя общеобразовательный курс и потенциально обладая с ним общей логической структурой, модули, во-первых, содержательно связаны друг с другом и, во-вторых, объединены общей целью функционирования, состоящей в более полной реализации предметных целей изучения курса алгебры.

Нами были выдвинуты и обоснованы требования к системе модулей, дополняющих общеобразовательный курс, и механизму ее функционирования в учебном процессе. Эти требования состоят в следующем.

- Система модулей должна обеспечивать углубление по всем содержательно-методическим линиям, причем это углубление должно ре-ализовываться за счет расширения круга задач, включение дополнительных теоретических знаний, рассмотрения новых математических методов и специфических приемов решения задач.

- Введение дополнительного учебного материала не должно нарушать обшую логическую структуру курса алгебры и структуру его изложения, т.е. дополнительный материал должен вплетаться в структуру общеобразовательного курса, содержательно наполняя его структурные элементы. Это означает, что при определении структуры

изложения курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики учебный материал каждого из модулей должен изучаться либо в рамках соответствующей темы общеобразовательного курса (для модулей, примыкающих к одной из тем), либо распределяться между несколькими темами общеобразовательного курса ( для модулей, примыкающих к нескольким темам).

- Введение дополнительного материала не должно быть механическим присоединением его к соответствующей теме общеобразовательного курса. Необходимо, чтобы дополнительный материал предъявлялся в ближайших взаимосвязях с ранее изложенным как общеобразовательным, так и дополнительным материалом. Материал уже изученных модулей должен по возможности задействоваться при дальнейшем изложении.

- Система модулей должна обеспечивать несколько уровней углубления, т.е. необходимо, чтобы внутренняя структура и содержательное наполнение каждого из модулей позволяли излагать повышенный курс алгебры с различной степенью полноты и обеспечивали при этом целостность повышенного курса, независимо от степени полноты его изложения.

Необходимо подчеркнуть, что систему модулей, дополняющих общеобразовательный курс алгебры 8-9 классов, следует рассматривать как открытую. Она должна изменяться как по номенклатуре модулей, так и по их содержательному наполнению с учетом прогрессивных тенденций обновления содержания математического образования.

В диссертации рассмотрены особенности системы модулей, представленной в книгах "Алгебра, 8. Дополнительные главы к школ-ному учебнику", "Алгебра,9. Дополнительные главы к школному учебнику". Предложена классификация модулей по характеру их связей с материалом общеобразовательного курса и даны отдельные рекомендации по использованию дополнительного материала. Проведен анализ указанной системы модулей на предмет соответствия разработанным требованиям. Внесены предложения по ее совершенствованию за счет содержательного наполнения имеющихся модулей и включения новых.

Во второй главе диссертации описана методика локального структурирования учебного материала на различных этапах учебного процесса: на этапе изучения нового материала (§4) и при обобщающем повторении (§5).

Сформулированные требования к системе модулей и механизму ее функционирования в учебном процессе определили ключевые положения

методики локального структурирования учебного материала новой темы, в соответствии с которыми дополнительный материал должен предъявляться в ближайших взаимосвязях с материалом соответствующей темы общеобразовательного курса. При уточнении и конкретизации методических основ структурирования учебного материала в рамках отдельной теш мы исходили из общедидактических принципов и, кроме того, опирались на основные положения теории поэтапного формирования умственных действий /П.Я.Гальперин/.

Предложенная нами методика локального структурирования, целесообразность которой обоснована теоретически и подтверждена экспериментально, предполагает постепенное введение дополнительного учебного материала в процессе изложения основного по мере продвижения по теме. При таком способе структурирования нет четкой границы между основным и дополнительным материалом, что психологически является благоприятным фактором для учащихся. Содержательное наполнение теш дополнительным учебным материалом позволяет с самого начала ее изучения установить достаточно высокий уровень изложения материала, оптимально соответствующий уровню возможностей математического класса.

В соответствии с общими положениями предложенной методики нами было разработано планирование учебного материала теш "Квадратные уравнения" /8 класс/. При планировании принималась во внимание возможная перспектива изложения дополнительного материала, составляющего содержание модулей "Квадратные уравнения" и "Уравнения с параметрами". Фрагменты дополнительного материала указанных модулей вводились уже на начальном этапе изучения теш. При этом сначала вводился только тот дополнительный материал, который мог способствовать более полному и глубокому усвоению основного учебного материала и, кроме того, обеспечивал пропедевтику изложения более сложных дополнительных вопросов. Углубление осуществлялось постепенно на каждом этапе изучения теш, что создавало определенный задел для дальнейшего более эффективного продвижения по материалу данной и последующих тем курса, создавало условия для изучения повышенного курса с большей степенью полноты.

Так, уже на первых уроках изучения теш "Квадратные уравнения" после расмотрения неполных квадратных уравнений было введено понятие уравнение с параметром. При этом учащимся предлагались упражнения следующих видов.

1. Дано уравнение За(а + 5)/ + (2а - 3)х - И = 0 с пара-

метром а. Определите вид уравнения при а - 2; а = 0; а - 1,5; а - -5.

2. Укажите, при каких значениях параметра а уравнение (а - 1)х* + (а*1 - а)х + 8-0 является неполным квадратным уравнением.

3. Выясните, при каких значениях параметра Ь один из корней уравнения 6хг - (Ь - 3)х + - 9 = 0 равен нулю, а другой отличен от нуля.

По мере продвижения по теме на первый план выходила задача углубления содержания общеобразовательного курса за счет введения дополнительного материала. При этом дополнительный учебный материал предъявлялся учащимся в сочетании с основным. Решение квадратных уравнений методом выделения квадрата двучлена и с применением общей формулы корней было завершено рассмотрением простейших уравнений с параметрами. После изучения теоремы Виета и ее использования в стандартных ситуациях рассматривались выражения, симметрические относительно корней квадратного уравнения, их связь с коэффициентами. Заданиями на решение простейших дробно-рациональных уравнений с параметрами завершалось изучение дробно-рациональных уравнений. В соответствии с нашими рекомендациями особое внимание на протяжении всей темы уделялось решению текстовых задач, в том числе и усложненных по сравнению с задачами общеобразовательного курса.

Кроме того, в рамках темы "Квадратные уравнения" были рассмотрены такие дополнительные вопросы как решение уравнений, сводящихся к квадратным методом введения вспомогательной переменной, решение систем уравнений второй степени с двумя переменными с использованием метода введения вспомогательной переменной.

В диссертации показано как на основе разработанного планирования за счет пропуска отдельных вопросов и варьирования уровня сложности задачного материала могут быть достигнуты различные уровни углубления темы "Квадратные уравнения".

Предложенная нами методика позволяет на материале данной темы выработать у учащихся умения решать простейшие уравнения с параметрами, дать начальные представления о симметрии в алгебре и применении симметрии при решении задач, познакомить учащихся с методом введения вспомогательной переменной и его использованием для решения уравнений с одной переменной и систем уравнений с двумя переменными.

Проведенные в ходе эксперимента наблюдения показали, что учащиеся экспериментальных классов проявляли достаточную самосто-; ятельность при изучении теории и успешно справлялись с решением разнообразных типов задач. Учащиеся свободно выполняли задания на исследование квадратных уравнений, задания, связанные с выражени-" ями, симметрическими относительно корней квадратного уравнения, задания, требовавшие применения теоремы Виета в усложненной ситуации. Кроме того, в экспериментальных классах учащиеся самостоятельно пришли к идее использования метода введения вспомогательной переменной, естественным образом выделяли случаи при решении простейших уравнений с параметрами и т.п.

На этапе обобщающего повторения предлагаемая нами методика предусматривает группирование материала вокруг изученных математических методов и приемов. При этом мы исходили из утверждения о том, что повторение будет наиболее эффективным, если учебный материал структурирован иначе, чем при первоначальном изложении. Эта идея высказывалась в работах В.А.Далингера, Т.М.Мищенко, К.И.Нешкова и др.

При традиционной организации обобщающего повторения курса алгебры по содержательно-методическим линиям недостаточное внимание уделяется задействованным в курсе математическим методам и приемам решения задач, в то время как изучение материала, связанного с методами и приемами, является важной составляющей математического образования.

Наша принципиальная позиция в этом вопросе заключается в том, что изучение методов должно происходить в несколько этапов. При первом предъявлении учебного материала, связанного с отдельным методом, необходимо организовать тщательную отработку этого метода на целесообразном для данной темы материале. При каждом следующем использовании метода необходимо на подходящем для текущей теш материале продолжать формирование у учащихся представлений о диапазоне и условиях применимости метода. Заключительный этап изучения метода - вынесение соответствующего ему теоретического и практического учебного материала на обобщающее повторение курса.

При повторении приемов тождественных преобразований разработанная методика предполагает акцентировать внимание на методе выделения полного квадрата и на методе неопределенных коэффициентов. При повторении приемов решения уравнений и их систем особое

внимание рекомендуется уделить методу введения вспомогательной переменной. В соответствии с нашими рекомендациями специальное внимание уделяется решению текстовых задач, математическими моделями которых являются разнообразные алгебраические объекты: не только уравнения и их системы, но и неравенства и их системы. Кроме того, рекомендуется систематизировать полученные учащимися сведения о применении метода координат на алгебраическом материале.

Рассматривая тот или иной метод, вынесенный на обобщающее повторение, мы стремились показать учащимся его применение для решения широкого круга задач из разных содержательно-методических линий.

Так, например, диапазон применимости метода выделения полного квадрата был продемонстрирован учащимся на примере задач следующих типов.

1. Докажите, что при любом действительном значении р значе-

о

ние квадратного трехчлена 4р - 12р + 15 положительно.

2. Разложите многочлен а* + 4 на множители.

3. Найдите область значений функции у - (х - 1) + (2х -3) .

4. Упростите выражение Гх + 2/х - 1 + /х - 2|*х - 1 .

5. Докажите неравенство а"3, + 2В2, + 2ав + в + 10 > 0 .

6. Выясните, какую линию задает на координатной плоскости уравнение хг - 14х + 6у + уг + 49 = 0.

Эксперимент, описанию которого посвящен §6, подтвердил наше предположение о целесообразности раннего введения дополнительного учебного материала и органического сочетания материала общеобразовательного курса с материалом соответствующего модульного дополнения при изложении новой темы, а также показал возможность и целесообразность организации обобщающего повторения на материале, сгруппированном вокруг задействованных в курсе математических методов и приемов решения задач. В целом проведенный эксперимент показал реализуемость и эффективность предложенной методики структурирования учебного материала повышенного курса алгебры 8-9 классов на различных этапах учебного процесса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе исследования решены все поставленные задачи и получе-

ны следующие результаты:

1. Выявлены психолого-педагогические особенности углубленного изучения математики в основной школе, которые определяются неустойчивостью и разбросанностью интересов учащихся подросткового возраста, неадекватной оценкой ими собственных возможностей в изучении математики. Первый этап углубленного изучения математики должен создавать условия для оценки учащимися степени своего интереса к математике и уровня возможностей для ее изучения, а также готовить учащихся к продолжению образования в классах математического профиля.

2. Раскрыты преимущества модульного построения повышенного курса алгебры 8-9 классов по сравнению с линейным: возможность регулирования объема дополнительного учебного материала без нарушения общей логики изложения , оптимального учета уровня подготовки конкретного класса, более полной реализации ориентационной функции первого этапа углубленного изучения математики.

3. Определены требования к системе модулей, дополняющих 'общеобразовательный курс, и механизму ее функционирования в учебном процессе. Система модулей должна обеспечивать углубление по всем содержательно-методическим линиям курса алгебры; за счет внутренней структуры и содержательного наполнения каждого модуля предоставлять возможность строить изложение повышенного курса алгебры с различной степенью полноты, сохраняя при этом его целостность. Введение дополнительного учебного материала не должно нарушать логическую структуру общеобразовательного курса алгебры и структуру его изложения; материал каждого из модулей должен предъяв-лятся в ближайших взаимосвязях с ранее изложенным основным и дополнительным материалом.

4. Разработана методика локального структурирования учебного материала при модульном построении курса алгебры 8-9 классов на различных этапах учебного процесса. На этапе изложения теш рекомендуется постепенное введение дополнительного материала и предъявление его в ближайших взаимосвязях с материалом общеобразовательного курса. На этапе обобщающего повторения в конце 9 класса предложенная методика предполагает группирование учебного материала вокруг изученных математических методов и приемов. Возможность реализации и эффективность предложенных подходов подтверждена экспериментально.

Основное содержание диссертационного исследования отражено в

следующих публикациях:

1. Структурирование учебного материала при обобщающем повторении // Сб. тезисов сообщений участников общероссийского семинара "Обучение математике и информатике в педагогических классах, лицеях, гимназиях". - Барнаул, 1995. - с. 64 -65.

2. Некоторые аспекты структурирования учебного материала курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики // Современные подходы к обучению и воспитанию детей и молодежи: Материалы научно-практической конференции 7-8 апреля 1995 г. -М.: Университет РАО, 1995. - с. 74-75.

3. Общие подходы к организации углубленного изучения математики в 8-9 классах // Современные подходы к обучению и воспитанию детей и молодежи: Материалы научно-практической конференции 19-20 октября 1995 г. - М.: Университет РАО, 1995. - с. 84-85.

4. Различные подходы к структурированию учебного материала курса алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики // Современные подходы к обучению и воспитанию детей и молодежи : Сб. статей. - М.: Университет РАО, 1997. (в печати)