Заключительный этап решения геометрических задач в основной школе

Зеленина, Наталья Алексеевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Заключительный этап решения геометрических задач в основной школе

Автореферат

Автор научной работы: Зеленина, Наталья Алексеевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Киров
Год защиты: 2004
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Заключительный этап решения геометрических задач в основной школе"

На правах рукописи

Зеленина Наталья Алексеевна

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания

(математика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Киров-2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа и методики преподавания математики Вятского государственного гуманитарного университета

Научный руководитель:

доктор педагогических наук, профессор,

член-корреспондент РАО Саранцев Геннадий Иванович

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор

Перевощикова Елена Николаевна

кандидат физико-математических наук, профессор

Понарин Яков Петрович

Ведущая организация -

Московский педагогический государственный университет

Защита состоится 24 ноября 2004 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета КМ 212.041.01 при Вятском государственном гуманитарном университете по адресу: 610002, г. Киров, ул. Ленина, д. 111, ауд. 202.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вятского государственного гуманитарного университета.

Автореферат разослан « » октября 2004 г

Ученый секретарь

диссертационного совета I/ ¡О ^¿^ \ К.А. Коханов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Современный этап совершенствования математического образования характеризуется направленностью процесса обучения на формирование у школьников активной позиции в приобретении глубоких и прочных знаний, умения осмысленно и творчески применять их. Значительный потенциал для этого содержит в себе геометрия.

Вместе с.тем практика обучения показывает, что качество геометрических знаний и умений учащихся основной школы остается невысоким. Это объясняется и относительной сложностью этого предмета по сравнению с другими дисциплинами математического цикла, и традиционно небольшим количеством времени, отведенным на его изучение. По-прежнему актуальным остается вопрос: как в этих условиях не только обеспечить высокий уровень знаний учащихся, но и добиться его повышения? В связи с этим приоритетной становится проблема интенсификации обучения геометрии в основной школе, в частности, решения планиметрических задач как основного вида учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваиваются базовые геометрические понятия и факты, формируется логическое мышление, развиваются эвристические и исследовательские умения, творческие способности.

В этом контексте особое значение приобретает заключительный этап решения задачи, поскольку его реализация сочетает в себе как усвоение, повторение, систематизацию и обобщение изученного, так и открытие новых знаний. Различные аспекты использования заключительного этапа решения задачи при обучении математике широко обсуждаются в научной и методической литературе, работах известных математиков, методистов, учителей. Так, определению содержания рассматриваемого этапа посвящены труды Д. Пойа, Е. С. Канина, Ю. М. Колягина, Ф. Ф. Нагибина, Г. И. Саранцева. Отдельные приемы работы с задачей на заключительном этапе ее решения названы в статьях Г. Д. Зайцевой, Д. Ф. Изаака и др. В ряде исследований содержатся некоторые способы варьирования задач (С. Г. Губа, Т. А. Иванова и др.). Построение блоков взаимосвязанных задач рассмотрено в работах Т. М. Калинкиной, Г. И. Саранцева и др. Методику обучения учащихся решению задач различными способами освещают А. И. Мостовой, М. Н. Наконечный, 3. А. Скопец и др. Кроме того, Г. И. Саранцевым предложена концепция использования заключительного этапа решения задачи как средства реализации эстетического потенциала математики.

Несмотря на разноаспектность проанализированных исследований, можно выделить общий для них тезис: заключительный этап работы с задачей является необходимой и существенной частью решения и содержит в себе значительный потенциал для обучения, развития и воспитания учащихся, совершенствования процесса обучения математике.

Вместе с тем изучение опыта работы учителей математики показывает, что возможности заключительного этапа решения задачи используются в практике школьного обучения недостаточно. Многие учителя не обращают внимания на этот этап или считают, что с получением ответа работа с задачей закончена.

Среди причин этого явления - отсутствие в теории и методике обучения решению задач методики работы с задачей на заключительном этапе ее решения, на

необходимость создания которой указывают в своих трудах Ю. М. Колягин, Е. С. Канин и Ф. Ф. Нагибин, Г. И. Саранцев.

Заключительный этап решения задачи до сих пор не рассматривался как целостное явление, не являлся предметом самостоятельного исследования в области методики математики, в том числе и диссертационного. Материал, посвященный этой проблеме, носит разрозненный, несистематизированный характер, отражая в большинстве случаев отдельные ее аспекты.

Таким образом, имеется противоречие между значительным потенциалом заключительного этапа решения задачи для обучения школьников математике и неразработанностью теории и методики его использования в учебном процессе. Необходимость разрешения этого противоречия определяет актуальность проблемы нашего исследования.

Объектом исследования является заключительный этап решения математической задачи, а его предметом - функции и структура заключительного этапа работы с задачей, действия, адекватные этому этапу, средства их формирования.

Цель исследования состоит в разработке теории и методики работы с задачей на заключительном этапе ее решения в курсе геометрии основной школы.

В основу исследования положена гипотеза: выявление совокупности действий, адекватных заключительному этапу решения задачи, разработка методики их формирования в процессе обучения геометрии в основной школе, а также организация целенаправленной и систематической работы с задачей на заключительном этапе ее решения будут положительно влиять на качество решения школьниками планиметрических задач, способствовать повышению уровня знаний и умений учащихся, что, в свою очередь, приведет к более успешному усвоению геометрии.

Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1. Проанализировать состояние проблемы использования заключительного этапа в процессе обучения математике в психолого-педагогической и научно-методической литературе, в пргИсгик^'работы учителей средней школы.

2. Исследовать возможности заключительного этапа решения математической задачи, сформулировать и теоретически обосновать его функции.

3. Выявить и исследовать структуру заключительного этапа работы с задачей и на ее основе выделить действия, составляющие названный этап.

4. Разработать методику работы с планиметрической задачей на заключительном этапе ее решения.

5. Экспериментально проверить целесообразность и эффективность предложенной методики и дать рекомендации для использования ее в практике обучения геометрии в основной школе.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: изучение психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме диссертации, сравнительный анализ публикаций в периодических методических изданиях, анализ учебников, учебных и методических пособий по геометрии для средней школы; анкетирование учителей математики и учащихся основной школы; изучение и обобщение педагогического опыта; педагогический эксперимент, позволивший изучить состояние проблемы исследования

в практике обучения геометрии в основной школе и апробировать предложенную методику обучения работе с задачей на заключительном этапе ее решения; анализ и обработка результатов эксперимента с помощью статистических методов.

Методологической основой исследования послужили основные положения теории системного анализа, деятельностного подхода, методология методики обучения математике, основные психолого-педагогические и методические положения теории использования задач и обучения их решению в процессе математической подготовки учащихся.

Исследование осуществлялось поэтапно.

На первом этапе (1998-2000 гг.) проводилось изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме использования заключительного этапа решения задачи в процессе обучения математике с целью выявления возможностей этого этапа и разработки методики их реализации.

На втором этапе (2000-2002 гг.) разрабатывались теоретические основы использования заключительного этапа решения задачи в процессе обучения: выделялись его содержание и структура, определялись и обосновывались функции и методика их реализации, разрабатывались методические средства и требования к организации заключительного этапа работы с математической задачей; проводился поисковый эксперимент.

В ходе третьего этапа (2002-2004 гг.) проводился обучающий эксперимент, нацеленный на проверку эффективности изложенной в диссертации методики обучения учащихся основной школы работе с планиметрической задачей на заключительном этапе ее решения, и исследовались его результаты.

Научная новизна выполненного исследования состоит в рассмотрении заключительного этапа работы с математической задачей не только в контексте "взгляда назад" (Д. Пойа), но и как средства математического развития и воспитания школьников, формирования у них методов научного познания, приобщения к творческой деятельности. Выявлен ряд специфических функций заключительного этапа, реализация которых при обучении математике положительно влияет на качество решения задач и учебный процесс в целом. Определена его структура, что позволило выделить определенный набор действий, составляющих умение работать с задачей на заключительном этапе ее решения. Для формирования этих действий в процессе изучения геометрии основной школы предложена специальная методика.

Теоретическая значимость проведенного исследования заключается в следующем:

- исследована роль заключительного этапа решения задачи в процессе обучения математике, выявлены и обоснованы его функции (обучающие, развивающие, организационные, воспитательные);

- определена структура заключительного этапа решения задачи, включающая в себя две стадии - рефлексивную и преобразующую;

- выделены действия, адекватные деятельности по реализации заключительного этапа решения задачи;

- разработана методика формирования выделенных действий при обучении геометрии в основной школе.

J (

Результаты исследования расширяют представление о роли геометрических задач в развитии и воспитании учащихся, путях совершенствования методики обучения решению геометрических задач в основной школе.

Практическая значимость результатов исследования определяется тем, что разработанная методика работы с задачей на заключительном этапе ее решения в курсе геометрии основной школы может быть использована учителями математики в школьной практике в целях повышения эффективности обучения решению задач, авторами методических пособий для учащихся и учителей, а также послужить основой спецкурса для студентов педагогических вузов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Одним и^ важнейших путей совершенствования процесса обучения математике в основной школе является целенаправленное систематическое обучение школьников решению геометрических задач с учетом реализации заключительного этапа работы с ними. Эффективность данного направления определяется следующими функциями заключительного этапа: повторения, обобщения, систематизации, открытия новых знаний и умений; реализации межпредметных и внутрипредметных связей; приобщения к творческой деятельности; дифференциации; рефлексии, а также эвристической, исследовательской, воспитательной функциями.

2. При работе с задачей на заключительном этапе ее решения деятельность учащихся проходит две стадии: рефлексивную и преобразующую. На рефлексивной стадии происходит возвращение к уже реализованным этапам решения задачи и их осмысление, на преобразующей стадии деятельность ученика направлена на дальнейшее развитие задачи. Каждая стадия предполагает наличие определенных составляющих работы с задачей на заключительном этапе ее решения. Так, рефлексивная включает в себя: а) осмысление условия задачи; б) осмысление поиска и хода решения; в) осмысление результата решения задачи. Преобразующую стадию составляют: а) формулирование новых задач на основе частичного изменения условия;

б) формулирование и решение новых задач на основе применения методов познания;

в) поиск новых способов решения задачи. Каждая из выделенных составляющих включает в себя блок действий, адекватных заключительному этапу работы с математической задачей. Обучение школьников этим действиям является важной задачей учителя с точки зрения повышения качества знаний, результативности процесса решения задач.

3. Методика обучения школьников работе с планиметрической задачей на заключительном этапе ее решения предусматривает разработку и использование специальной системы упражнений: а) ориентирующих на выделение и формирование действий, адекватных составляющим заключительного этапа; б) использующих сформированные действия для реализации заключительного этапа их решения.

В связи с этим целесообразно выделить среди упражнений: 1) упражнения, содержащие в своей формулировке указания, побуждающие учащихся выполнить те или иные действия, адекватные заключительному этапу; 2) задачи, заключающие в себе определенный потенциал для прохождения учащимися рефлексивной и преобразующей стадий заключительного этапа их решения.

Достоверность и обоснованность проведенного исследования, его результатов и выводов обусловлены внутренней согласованностью выдвигаемых теоретических

положений, их опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, методики обучения математике, совокупностью разнообразных методов исследования, а также результатами количественной и качественной обработки полученных экспериментальных данных.

Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись в ходе преподавательской работы автора со школьниками Открытого лицея ВГПУ (ныне ВятГГУ), на практических занятиях по методике преподавания математики и в период педагогической практики со студентами математического факультета ВятГГУ, в практике учителей математики средних школ № 27, 48, 70 г. Кирова, а также в виде докладов и выступлений на научно-методическом семинаре кафедры математического анализа и методики преподавания математики Вятского государственного гуманитарного университета (2003,2004 гг.), на Всероссийских научных конференциях "Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе" (г. Саранск, 1998 г.), "Гуманитаризация среднего и высшего образования: методология, теория и практика" (г. Саранск, 2002 г.), "Проблемы современного математического образования в вузах и школах России" (г. Киров, 2004 г.), Международной научной конференции "Проблемы математического образования и культуры" (г. Тольятти, 2003 г.), региональных научно-практических конференциях "Преподавание математики в вузах и школах: проблемы содержания, технологии и методики" (г. Глазов, 2003 г.), "Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и в вузе" (г. Коряжма, 2004 г.). По теме исследования имеется 8 публикаций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографического списка. Основное содержание изложено на 145 страницах машинописного текста. Библиографический список включает 121 наименование. В тексте диссертации имеются схемы (1), рисунки (33), таблицы (5).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются проблема, цель, объект и предмет исследования, выдвигается гипотеза, определяются задачи и методы исследования, раскрывается новизна, теоретическая и практическая значимость работы, излагаются основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена исследованию теоретических основ использования заключительного этапа решения задач курса геометрии основной школы в обучении и воспитании учащихся.

Отправной точкой нашего исследования явился анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы, в результате которого выявлено несколько направлений разработки вопросов, связанных с использованием заключительного этапа решения задачи в обучении математике (таблица на с. 9).

Обобщение точек зрения различных специалистов в области методики математики, анализ заключительного этапа решения ряда задач позволили нам сделать следующий вывод. Заключительный этап как часть процесса решения задачи обладает всеми функциями задач в обучении математике. Вместе с тем он является особым видом деятельности, поэтому отдельные функции задач проявляются наиболее отчетливо или с некоторой спецификой. Мы выделяем следующие функции

заключительного этапа работы с задачей, условно объединяя их в четыре группы: образовательные, развивающие, организационные, воспитательные. Названный этап выступает как средство:

- обучения самостоятельному открытию новых знаний; |

- реализации межпредметных и внутрипредметных связей; р образовательные

- итогового повторения, обобщения и систематизации знаний;

- формирования исследовательской деятельности школьников;

- обучения учащихся эвристическим приемам; развивающие

- рефлексии;

- дифференциации обучения; [»организационные

- оценки знаний учащихся;

- приобщения школьников к творческой деятельности;

- реализации эстетического потенциала математической воспитательные деятельности.

Для обеспечения наиболее полной реализации вышеперечисленных функций в процессе обучения математике необходимо, прежде всего, знание преподавателем структуры рассматриваемого этапа.

В зависимости от характера деятельности учащихся на заключительном этане работы с задачей мы, в результате проведенного теоретического исследования, выделяем в его структуре две стадии, названные нами рефлексивной и преобразующей.

Деятельность ученика на рефлексивной стадии сконцентрирована на осмыслении условия, поиска, хода и результата решения задачи - «взгляд назад» (Д. Пойа). На этом этапе ученик «находится внутри» задачи, то есть возвращается к отдельным этапам ее решения, анализирует их, фиксирует полученные в ходе работы с задачей новые для себя результаты: факты, формулы, свойства, признаки, теоремы, способы, методы, приемы решения задач; соотносит решенную задачу с известными ему типами задач, имеющимися теоретическими знаниями; выделяет и формулирует эвристические предписания; осознает и намечает пути дальнейшего развития задачи. В результате этого происходит переконструирование, переоценка, систематизация, приращение имеющихся у ученика знаний и умений. Полученное таким путем знание является не усвоенным извне, а построенным самим учеником, что подчеркивает творческий характер такой деятельности.

Рефлексивная стадия заключительного этапа решения математической задачи может осуществляться в нескольких различных направлениях. Представим эти направления в виде схем, отражающих способ деятельности ученика, введя предварительно следующие обозначения:

УЗ - условие задачи; ПРЗ - поиск решения задачи; РЗ - решение задачи; РРЗ -результат решения задачи; ЗЭРЗ - заключительный этап решения задачи; НЗ - новая задача, НСРЗ - новый способ решения задачи.

*-1 *--1

1. УЗПРЗ-> РЗРРЗЗЭРЗ 2. .УЗ —* ПРЗ —♦ РЗ —► РРЗ —» ЗЭРЗ

- ■■ ■ _1 Содержание о заключительного § -5 этапа решении ¡2 5 задачи § = 1 10 1 Исследователи Д.Пойа Ю.М.Калягин Е.С.Канин Ф.Ф Нагибин Г.И.Саранцев Трактовка Закзиочигельный ЗШ1 работы с задачей Полученные результаты Рассмотрено содержание заключительного этапа решения задачи

Варьирование математических задач С Г.Губа 'Г.П.Череианова Н.М.Эрдниев Т А Иванова Варьирование условия задачи Выделены некоторые способы варьирования с целью составления новых задач на основе решенной, приведены примеры.

И Б Ольбииский Э.1 '.Готман Развитие задачи Сформулированы некоторые способы развития задачи с целью анализа решенной задачи и составления новых задач

А.Я 11укарь Дополнительная работа над задачей Под дополнительной работой над задачей понимается составление на ее основс новых задач

Д.Ф Изаак А.Ю Эвнин Исследование решения задачи Основными приемами исследования задачи являются обобщение. конкретизация, рассмотрение частых и предельных случаев

Построение блоков Выделение приемов взаимосвязанных задач работы на заключительном этапе ', решения задачи 1 Г. Д. Зайцева Заключительный :лш1 работы с задачей Выделены два приема работы на заключительном этапе решения стереометрической задачи по теме «Многогранники»

Э АСграчевский Э А.Ясжювый Д Ф.И заак Дальнейшая работа над задачей В качестве приемов работы на заключительном этапе рассматриваются аналогия и обобщение

Т А Иванова Н.. 11.11еревотикова Т ПЛрнюрьева Л.И Кузнецова Заключительный этан работы с задачей Рассмотрены конкрешые примеры реализа1(ии заключительного этапа решения задач школьного курса математики

Г.И.Саранцев Т.М Калинкина Динамические задачи Рассмотрены примеры упорядочения геометрических задач (объединение в блоки) посредством использования методов познания

Г В Токмазов Задачи динамического характера Выделены некоторые способы поароения блоков взаимосвязанных задач

Г.В.Дорофеев О.А.Иванов П.С Мслышк Е.АЛихота и др. Изучение окрестностей задачи Рассмотрены примеры построения серий и циклов взаимосвязанных задач

Решение | задачи различными способами З.А.Сконец Э.Г Гогман А И.Мосшвой А А Окунев Я.П Понарин и др. Решение задачи различными способами Исследованы различные аспеюы решения задачи различными способами, разработаны новые типы уроков. Приведены примеры конкретных задач, решенных различными способами

Реализация эстетического потенциала математики Г И.Сараннев Заключительный этап решения задачи Осознание заключительною этана решения задачи как средства реализации эстетического потенциала математики, приобщения школьников к 1 ворческой деятельности

*-1 i-1

3. УЗ —► IIP3 —>F3 РРЗ-> ЗЭРЗ 4. УЗ -» ПРЗ —> РЗ-» РРЗ ЗЭРЗ

I_t I_i

Допустимы также их различные комбинации.

На преобразующей стадии деятельность учащегося направлена на развитие задачи - «взгляд вперед» (Г.И. Саранцев). Ученик «выходит за рамки» задачи, то есть, возвращаясь к отдельным составляющим решения и анализируя их, формулирует на основе решенной новые задачи, объединяет их в блоки, циклы, «цепочки», серии взаимосвязанных задач, находит новые способы решения. Этот процесс представлен частичным изменением условия задачи, применением основных методов познания: наблюдения, сравнения, аналогии, обобщения, конкретизации, анализа, синтеза, а также формулированием, доказательством или опровержением выдвинутых гипотез. Ученик выступает в роли исследователя. Его деятельность включает в себя эвристическую, логическую составляющие и, вне всякого сомнения, является творческой.

Преобразующая стадия заключительного этапа решения математической задачи, как и рефлексивная, может осуществляться в нескольких различных направлениях, которые также представлены схемами, отражающими способ деятельности учащегося:

*-1 f-1

1. —» ПРЗ —> РЗ —» РГЗ —» З^^З Hg 3. УЗ —» ПРЗ —» ip -» РРЗ -> З^РЗ ИЗ

2. УЗ —> ПРЗ —> РЗ —> РРЗ —► ЗЭРЗ ИЗ 4.УЗ—» ПРЗ —» РЗ —> Д*3 —* З^РЗ 113

I_H_* I__*

* I

5. УЗ -> ПРЗ РЗ -» РРЗ -+ ЗЭРЗ НСРЗ

I_* *_*

Каждой из выделенных в структуре стадий соответствуют определенные составляющие работы с задачей на заключительном этапе ее решения. Так, рефлексивная включает в себя: осмысление условия задачи; осмысление поиска и хода решения задачи; осмысление результата решения задачи.

Преобразующую стадию составляют: формулирование новых задач на основе частичного изменения условия решенной задачи; выдвижение, доказательство или опровержение гипотез, формулирование и решение новых задач на основе применения методов познания; поиск новых способов решения задачи.

Каждая составляющая включает в себя блок действий, адекватных ей. Блоки взаимосвязаны, взаимозависимы, входят в состав умения работать с задачей на заключительном этапе ее решения. Приведем развернутую характеристику действий, составляющих каждый из блоков.

Рефлексивная стадия

Осмысление условия задачи: анализ условия задачи на предмет неоднозначности трактовки; анализ условия задачи с точки зрения недостатка или избытка данных; осознание путей частичного изменения; переосмысление математических объектов или их элементов в плане новых математических понятий; осознание путей поиска новых способов решения.

Осмысление хода решения задачи: проверка правильности выполнения вычислений и преобразований в решении задачи; осознание теоретического базиса решения задачи; выявление главной идеи решения задачи; выделение схемы решения задачи; определение метода или приема решения задачи; выявление новых математических фактов, формул, а также свойств, признаков рассматриваемых в задаче математических объектов; установление связей решенной задачи с ранее решенными задачами, имеющимися теоретическими знаниями; формулирование опорных и вспомогательны* задач; выделение известных и новых эвристических приемов; установление вНутрипредметных связей; установление, если возможно, межпредметных связей; систематизация знаний, а также приемов, методов решения задач.

Осмысление результата решения задачи: оценка правдоподобности результата с точки зрения здравого смысла; проверка результата решения задачи по размерности; проверка по условию; интерпретация полученного результата с точки зрения практического применения и прикладного значения; использование одной и той же закономерности в различных ситуациях; осознание возможностей использования результата решения задачи при решении и постановке других задач; осознание пу тей изменения заключения задачи; построение математической модели.

Преобразующая стадия

Частичное изменение условия задачи: принятие некоторых элементов задачи за переменные (задачи с параметрами); замена части данных исходной задачи другими данными без замены заключения; замена данных задачи при сохранении ее заключения; замена заключения задачи при сохранении данных; переформулировка заключения задачи и частичное изменение данных; формулирование обратной задачи; выделение элементов рассматриваемого в задаче математического объекта и включение их в новые связи; введение дополнительных элементов или отношений и включение их в новые связи, рассмотрение предельного случая.

Применение методов познания: анализ, синтез, сравнение, обобщение данных или заключения задачи; конкретизация данных или заключения задачи; применение аналогии.

Поиск новых способов решения задачи: переосмысление математических объектов или их элементов в плане новых математических понятий; введение дополнительных элементов или отношений и включение их в новые связи; перевод содержания задачи на язык определенной теории.

Анализ различных компонентов структуры заключительного этапа показывает, что эта часть работы с задачей может успешно применяться на этапе активного усвоения знаний, углублять изучаемые зависимости, объединять разделы одной темы и использоваться на уроках повторения, обобщения и систематизации знаний, охватывать несколько тем, устанавливать внутрипредметные и межпредметные связи, тогда его использование может выходить за пределы одного или нескольких уроков и распространяться на внеурочные занятия, реализуя тем самым такую форму обучения, как "урок - внеклассное мероприятие".

Выделенные и описанные выше функции и структура дают основание утверждать, что заключительный этап решения задачи является эффективным средством приобщения школьников к творческой деятельности. Ученик учится видеть и формулировать проблемы, открывать новые и включать имеющиеся у него знания в новые связи, строить вокруг данной задачи целый блок новых задач, применяя при

этом обобщение, конкретизацию, аналогию, рассматривать несколько различных способов решения задачи, устанавливать внутрипредметные и межпредметные связи, то есть в той или иной степени воспроизводит путь познания в математике. Кроме того, в деятельности на заключительном этапе решения задачи формируются выделенные в дидактике процессуальные черты творческого мышления.

Во второй главе диссертации представлены методические аспекты организации работы с задачей на заключительном этапе ее решения в процессе изучения геометрии основной школы.

Успех в осуществлении исследуемого этапа во многом определяется умением учащихся выполнять выделенные в его структуре действия. Одним из основных средств формирования этих действий являются специальные упражнения: на осмысление условия задачи; на анализ поиска и хода решения задачи; на осмысление • результата решенной задачи; на частичное изменение условия задачи; на применение методов познания; на поиск новых способов решения. Дадим характеристику каждой группе и приведем примеры упражнений первых двух групп.

I. Упражнения на осмысление условия задачи

Цель выполнения упражнений этого вида - научить школьников использовать условие задачи для ее дальнейшего развития. Реализация этой цели предполагает формирование видения различных связей между объектами, данными в условии задачи, между данными и требованием задачи, умения извлекать информацию из условия и заключения задачи. Для этого необходимо предусмотреть упражнения, в процессе выполнения которых учащиеся осуществляли бы выделение структуры задачи; выведение следствий из данных задачи; переформулировку требования; построение утверждения, обратного данному, противоположного, противоположного обратному; подбирали соответствующее заключение (данные) к данному условию (требованию); анализировали условие задачи с точки зрения неоднозначности трактовки, возможностей установления новых или другого рода связей между объектами задачи.

1. Проанализируйте условия следующих задач. Сколько случаев нужно рассмотреть, чтобы решение бьшо полным?

а) Найдите длины сторон АВ и АС треугольника ABC, если ВС-8, а длины высот, проведенных к АС и ВС, равны соответственно 6,4 и 4. г

б) Длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равна 20л. Найдите площадь этого треугольника, если его основание равно 12.

2. Сформулируйте задачи с указанным условием (подберите требование и решите полученную задачу):

а) В треугольнике ABC сумма величин двух углов равна 90°.

б) Дан параллелограмм ABCD. Прямая /, проходящая через точку пересечения его диагоналей, пересекает стороны параллелограмма в точках К и L (К е= И(\ л е AD).

Упражнения на осмысление условия задачи должны содержать в себе указания, побуждающие учащихся вернуться к условию решенной задачи, еще раз осмыслить или переосмыслить его, установить как можно больше зависимостей между элементами задачи. Такого рода дополнительная работа с условием задачи способствует осознанию путей развития задачи, поиска новых способов решения.

Именно на этапе осмысления условия закладывается умение преобразовывать заданную ситуацию.

II. Упражнения на осмысление хода решения задачи

Основное назначение этого вида упражнений заключается в формировании умения учащихся извлекать полезные выводы из поиска и хода решения задачи, фиксировать их и использовать в дальнейшем. Реализации этой цели служат упражнения, в процессе выполнения которых школьники учатся выделять теоретический базис, схему и главную идею решения задачи; выявлять и фиксировать новые математические факты, формулы, а также свойства, признаки рассматриваемых в задаче математических объектов; определять метод или прием решения задачи; формулировать появившиеся в ходе решения эвристики, а также опорные и вспомогательные задачи; устанавливать внутрипредметные и межпредметные связи, а также связи решенной задачи с ранее решенными задачами, имеющимися теоретическими знаниями.

1. Дайте геометрическую иллюстрацию таким равенствам с положительными числами: a) a(b+c)=ab+ac; б) а(Ь c)~ab-ac; в) (a*V)(c+d) = ас + ad + Ьс + bd; г) (a+b)(a - b) = а1-Ь2; д) (a+b+cf = а +Ь2 + сг + 2ab + 2be + 2ас; е) a:b = c:d.

2. Пусть ЛЛВС прямоугольный, ZC = 90" . CD 1 AB,AM = MB,¿ACL = ZLCB. Обозначим CD=h, AB=b, ВС-a, AB=c, AD=b¡, DB=a¡, CM=m,p - полупериметр, г -радиус вписанной в МВС окружности, 5 - площадь МВС. Установите как можно больше связей между перечисленными элементами МВС. Сформулируйте на основе выполненного задания опорные задачи по теме "Прямоугольный треугольник".

Осмысление поиска и хода решения задачи является самой разнообразной по составу действий составляющей рефлексивной стадии заключительного этапа работы с задачей. Это обусловлено тем, что именно поиск и ход решения несут в себе наибольшее количество информации, определяют пути и способы дальнейшего развития задачи. Важно научить школьников возвращаться к этому этапу решения задачи и получать из проделанной работы максимум полезных выводов, чему в значительной степени способствует описанная выше группа упражнений.

III. Упражнения на осмысление результата решения задачи

Упражнения этой группы предназначены для формирования у учащихся умения

проверять результат решения задачи, использовать его для развития задачной ситуации, включать в систему имеющихся знаний с целью применения при решении других задач или практических проблем. В связи с этим необходимо предусмотреть наличие упражнений на оценку правдоподобности результата с точки зрения здравого смысла, проверку по размерности и условию; на интерпретацию полученного результага с точки зрения практического применения и прикладного значения; на использование одной и той же закономерности в различных ситуациях; на сознание возможностей использования результата решения задачи при решении и постановке других задач.

IV. Упражнения на частичное изменение условия задачи

Назначение этой группы упражнений состоит в формировании умения составлять на основе решенной новые задачи путем частичного изменения ее условия. Достижению поставленной цели будут способствовать упражнения, выполнение которых связано с полной или частичной заменой данных (требования) задачи при

сохранении ее требования (данных); выделением или введением новых элементов рассматриваемых в задаче объектов и включением их в новые связи; принятием некоторых элементов задачи за переменные; формулированием и решением обратных тадач.

Упражнения на частичное изменение условия задачи тесно связаны, а зачастую являются логическим продолжением упражнений первых трех групп. Это объясняется тем, что преобразующая стадия заключительного этапа решения задачи является следствием рефлексивной, поскольку именно осмысление условия, поиска, хода и результата решения позволяет наиболее глубоко осознать пути и способы преобразования и дальнейшего развития задачи. Сказанное в полной мере относится и к упражнениям следующих двух групп.

V. Упражнения на применение методов познания

Трудно переоценить значение овладения методами научного познания для * математического развития ученика. Умение проводить аналогию, сравнивать, обобщать, рассматривать частные случаи, выдвигать на основе этого различные гипотезы является неотъемлемой частью творческой математической деятельности. 1 Научить школьников составлять на основе решенной новые задачи, применяя при этом методы научного познания, призваны упражнения этой группы. Для этого в своих формулировках они должны содержать указание на составление задач-обобщений, задач-конкрейязаций, задач-аналогов.

VI. Упражнения на обучение поиску новых способов решения задачи

Выполнение упражнений этой группы призвано обеспечить формирование

умения и потребности учащихся в решении задачи различными способами. Реализация этой цели предполагает формирование умения переосмысливать математические объекты или их элементы в плане новь« математических понятий; вычленять, вводить дополнительные элементы или отношения и включать их в новые связи; переводить содержание задачи на язык определенной теории. Упражнения этой группы должны содержать комментарии, указывающие направление поиска другого способа решения задачи. Тогда выполнение таких упражнений будет способствовать созданию у учащихся определенного запаса идей и методов отыскания различных способов решения.

Выполнение такого рода упражнений является начальной ступенью формирования умения школьников работать с задачей на заключительном этапе ее решения. Ученик получает представление о возможностях исследования задачной г ситуации, осознает пути дальнейшего ее развития, усваивает действия, адекватные заключительному этапу. Продолжение обучения может быть организовано при помощи специально подобранных задач, заключительный этап решения которых является наиболее полным и разнообразным по своей структуре. В диссертации выделены типы таких задач. Приведем пример одной из них.

Задача 1 В треугольнике ABC проведены высоты А К и BD. Докажите, что в МВС СО AEDC.

С'

Доказательство.

Из подобия треугольников ЛЕС и BDC (по двум углам)

ЕС АС АЕ заключаем, что -—= —=— .(*) DC ВС ВО 4 '

FC АС

В треугольниках ABC и RDC угол С - общий и = —-.

ВО

Рис 1

DC ВС

Следовательно, ААВС со AEDC по двум пропорциональным сторонам, заключающим равные углы, что и требовалось доказать (рис. 1).

Проверим, имеет ли место доказываемый в задаче 1 факт, если угол С - тупой, так как случай, когда угол С - прямой, данные задачи исключают. Формулируем задачу, решение которой аналогично решению задачи 1:

1.1. В треугольнике ЛВС угол С — тупой. АЕ и BD - высоты. Являются ли треугольники ABC и EÜC подобными?

Далее замечаем, что в записи равенства отношений (*) используются катеты и гипотенузы прямоугольных треугольников ЛЕС и В DC. По основному свойству

пропорции — = =к = cos С, где к - коэффициент подобия. -

АС ВС

Получаем новый полезный факт: коэффициент подобия треугольников ABC и EDC равен косинусу их общего угла С,если угол С-острый и |cosC|, если угол С тупой.

Продолжая анализировать условие и решение задачи 1 (ZC- острый), замечаем, что центром окружности, описанной около прямоугольных треугольников ABE и ABD с общей гипотенузой АВ, является середина стороны АВ - точка О. Таким образом, четырехугольник ABED оказывается вписанным в окружность. Отсюда, /BAD + /BED = /Afín + ZADE = 180 ° и другой способ доказательства подобия треу голышков 'А ВС и EÚC.

Решив задачу вторым способом, формулируем эвристическое предписание: «Если в ходе решения задачи приходится рассматривать прямоугольные треугольники с общей гипотенузой, кожно описать около них окружность. Это позволит сравнивать и определять yhiibí».

Кроме того, делаем еще один вывод из проделанной работы: отрезки, соединяющие середину стороны треугольника с основаниями высот, проведенных к двум другим сторонам, равны.

Сформулируем теперь более общую задачу:

1.2. В остроугольном треугольнике ЛВС проведены высоты AA¡,BBt, СС,. Докажите, что каждый из треугольников А, Д i С, Л фС\,АВ]С\ подобен треугольнику ЛВС. Используя доказательство задачи 1, заключаем: ААВС со АА\В\С с коэффициентом подобия k = cos С, ААВС со АА,ВС\, к, =созД, ААВС со AABiCt, к2 - cos Л. Кроме того, отсекаемые треугольники подобны между собой: АА\СВ\ со АЛiC¡B, AA¡CB¡ со AACiBi, AABiCt со AA,BC¡ (рис. 2). Таким образом, мы получили еще несколько новых свойств треугольника ABC.

Возникает вопрос: исчерпывается ли количество пар подобных треугольников перечисленными выше? Рассматриваем треугольники, одной из вершин которых, является точка пересечения высот треугольника ABC - точка Н (рис. 2). Простейший анализ выдвинутой проблемы позволяет сформулировать следующую (уже третью в списке) задачу, полученную на заключительном этапе работы с задачей 1.

1.3. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты ААи ВВ\, СС\, пересекающиеся в точке Н. Докажите, что АЛИС со АС\11А\, АВПСсл ДС,//Д,, А.АНВ со AB¡HAX.

Изучая далее конфигурацию, изображенную на рис. 2, получаем следующую задачу, описывающую свойство ортоцентра непрямоугольного треугольника ABC:

1.4. Докажите, что каждая из четырех точек А, В, С, И является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками.

Обращаем внимание на тот факт, что при доказательстве подобия треугольников часто использовалось равенство углов. Нельзя ли теперь найти их величины? Появляется предположение: если углы А ЛВС известны, можно попытаться найти углы ЛЛ1Д1С1. Формулируем задачу, соответствующую описанной ситуации.

1.5. В остроугольном A ABC проведены высоты АА ВВ\, СС\. Найти углы A A ifíiC¡, зная углы A ABC.

Решение. Пусть ZA=a,ZB = = у ,-rori»zAl=lHff'-2a, Z В{=18(Р-2 р, ZСг18(Р-2у.

В результате анализа решения задачи 1.5 появляется гипотеза о том, что высоты А ЛВС являются биссектрисами углов AA¡B\C¡, справедливость которой легко устанавливается: zAA,B¡=90o-a=ZAAiCi, следовательно,А,Л - биссектриса zC\A\B\. Аналогично для В\В и С\С.

Таким образом, появляется еще одна задача.

1.6. Докажите, что биссектрисы АЛ \B\C\ в задаче 1.5 лежат на высотах А ЛВС.

Из задачи 1.5 следует, что точка пересечения высот А ABC является центром вписанной в АА\В\С\ окружности. Снова формулируем задачу:

1.7. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты ЛА\, BB¡, СС\. Докажите, что центром окружности, вписанной в треугольник A¡BiCx> является точка пересечения высот треугольника ABC.

Результаты решения рассмотренных задач используются при работе со следующими задачами:

1.8. Известны длины отрезков 5, 12, 13, соединяющих основания высот A¡, В\, С], остроугольного треугольника ЛВС. Найдите величину угла С.

1.9. Известны длины отрезков 5, 12, 13, соединяющих основания высот A¡, B¡, Сь остроугольного треугольника ЛВС. Найдите длину отрезка АС.

1.10. Известны длины отрезков 5, 12, 13, соединяющих основания высот A¡, B¡, C¡, остроугольного треугольника Л ВГ. Найдите площадь треугольника А ВС.

Заключительным этапом диссертационного исследования явилась экспериментальная проверка эффективности разработанной методики, которая проводилась в 8-х и 9-х классах средних школ № 27, 48, 70 г. Кирова в условиях естественного учебного процесса. Контрольную группу составили ученики 9-х классов, которые специально заключительному этапу решения задачи не обучались, но обучающиеся у учителя, который, работая с задачей, достаточно часто обращается к заключительному этапу ее решения. В экспериментальную группу вошли ученики 9-х классов, обучение которых по предложенной нами методике началось с 8-го класса.

Контроль в ходе эксперимента проводился в двух формах - в виде контрольной работы по курсу планиметрии, цель которой состояла в выявлении и сравнении качества знаний учащихся экспериментальных и контрольных классов, и специального диагностического задания на проверку уровня овладения действиями, адекватными рефлексивной и преобразующей стадиям заключительного этапа решения задачи. При конструировании этого задания были использованы задачи контрольной работы, решение которых ученикам было известно.

Статистическая обработка данных по медианному критерию показала, что ученики экспериментальных классов лучше решают планиметрические задачи. У них существенно, в сторону повышения, отличаются и показатели уровня сформированности действий, адекватных заключительному этапу. Это обусловлено применением специально разработанной методики обучения учащихся работе с задачей на заключительном этапе ее решения.

Итак, в процессе теоретического и экспериментального исследования поставленной научной проблемы в соответствии с задачами и целью исследования получены следующие основные выводы и результаты:

1. В результате обобщения точек зрения различных исследователей на роль заключительного этапа работы с задачей в процессе обучения математике, а также анализа рассматриваемого этапа решения ряда математических задач выделены и обоснованы его функции - образовательные, развивающие, организационные, воспитательные, реализация которых в процессе обучения геометрии в основной школе позволяет повысить его эффективность.

2. Теоретически и экспериментально установлено, что деятельность учащихся на заключительном этапе работы с задачей проходит две стадии, названные нами рефлексивной и преобразующей. Каждая из них включает в себя определенные блоки действий, адекватных заключительному этапу решения задачи. Так, рефлексивная стадия состоит из осмысления условия задачи, осмысления поиска и хода решения, осмысления результата решения задачи. Преобразующую стадию составляют: формулирование и решение новых задач на основе частичного изменения условия, применения методов познания, а также поиск новых способов решения задачи.

3. Разработана методика обучения школьников действиям, составляющим заключительный этап работы с задачей. В соответствии с ней формирование указанных действий происходит посредством выполнения системы специальных упражнений, предусматривающих а) выделение действий, адекватных составляющим заключительного этапа; б) использование сформированных действий на заключительном этапе их решения. В связи с этим среди упражнений выделены: а) упражнения, содержащие в своей формулировке указания, побуждающие учащихся выполнить вышеупомянутые действия; б) задачи, заключающие в себе значительный

' потенциал для организации заключительного этапа их решения.

4. В ходе обучающего эксперимента показано положительное влияние предложенной методики на качество знаний учащихся и результативность решения

* планиметрических задач. Основанием для вывода об эффективности разработанной методики явились количественные и качественные показатели контрольных срезов по материалу геометрии основной школы.

5. Теоретические положения и практические рекомендации, разработанные в диссертации, могут быть использованы учителями математики, при составлении учебных и методических пособий по геометрии для основной школы, послужить основой спецкурса по методике преподавания математики.

реализуя тем самым образовательный, развивающий и воспитательный потенциал

обучения математике. Таким образом, подтверждена верность выдвинутой гипотезы и

решены задачи исследования.

Основные положения исследования отражены в следующих публикациях:

1. Зеленина Н. А. Заключительный этап работы с математической задачей / Н. А. Зеленина П Математика. Образование. Культура: Сб. тр. по м-лам 1 мйкдунар. науч. конф. / Под общ. ред. Р. А. Утеевой. - Тольятти: ТГУ, 2004. -4.2.-С. 71 -74. (0,2 п. л.)

2. Глушкова А. И. Использование заключительного этапа решения математической задачи как средства формирования творческой деятельности школьников / А. И. Глушкова, Н. А. Зеленина // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Вып. 6: Периодический межвуз. сб. пауч,-метод. работ. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. - С. 218-225. (0,5 п. л.; автбрских 70%). t

3. Зеленина Н. А. К вопросу о повышении эффективности обучения школьников решению математических задач / Н. А. Зеленина // Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и в вузе: Сб. науч. работ и метод, тр. по м-лам регион, науч.-практ. конф. / Под ред. М. И. Зайкина. - Арзамас: АГПИ, 2004. - С. 150 - 153. (0,2 п. л.)

4. Зеленина Н. А. Развитие творческой деятельности школьников при обучении математике / Н. А. Зеленина // Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России: Тез. докл. III Всерос. науч. конф. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. - С. 79-80. (0,1 п. л.)

5. Зеленина Н. А. Формирование творческой деятельности школьников на заключительном этапе работы с математической задачей / И. А. Зеленина // Вопросы технологии в обучении математике: М-лы регион, науч.-практ. конф. "Преподавание математики в вузах и школах: проблемы содержания, технологии и методики". - Глазов: Изд-во Глазов, гос. пед. ин-та, 2003. - С. 43-45. (0,2 п. л.)

6. Зеленина Н. А. Функции заключительного этапа работы с задачей / И. А. Зеленина // Проблемы математического образования и культуры: Сб. тез. междунар. науч. конф. ~ Тольятти: ТГУ, 2003. - С. 92-93. (0,1 п. л.)

7. Зеленина Н. А. Заключительный этап работы над задачей как средство приобщения 1 школьников к творческой деятельности / Н. А. Зеленина // Гуманитаризация среднего и высшего образования: методология, теория и практика: М-лы Всерос. науч. конф. Ч. 2. Мордов. гос. пед. ин-т. - Саранск, 2002. - С. 144-148. (0,3 п. л.)

8. Логинова Н. А. (Зеленина) Творческая деятельность учащихся в современных концепциях образования / Н. А. Зеленина // Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе: М-лы Всерос. науч. конф. - Саранск: Изд-во Морд. гос. пед. ин-та, 1998. - С. 50-52. (0,2 п. л.)

Подписано в печать 19.10.2004 Формат 60х84Хь Бумага типографская

Усл. печ. л. 1,2 Тираж 100 экз.

Заказ /¿,ч Отпечатано в типографии ВятГГУ 610002, г. Киров, ул. Ленина, д. 1И

»193 15

РНБ Русский фонд

2005-4 14587

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Зеленина, Наталья Алексеевна, 2004 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ЭТАПА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ.

§ 1. Проблема использования заключительного этапа решения задачи в процессе обучения в научно-методической литературе по математике.

§ 2. Функции заключительного этапа решения задачи.

§ 3. Структура заключительного этапа решения задачи.

§ 4. Формирование творческой деятельности учащихся при работе с задачей на заключительном этапе ее решения.

Выводы по главе I.

ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РАБОТЕ С ПЛАНИМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕЙ НА ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОМ ЭТАПЕ ЕЕ РЕШЕНИЯ

§ 1. Методика формирования действий, адекватных заключительному этапу решения задачи.

§ 2. Типология задач, раскрывающих возможности заключительного этапа решения задачи.

§ 3. Организация и результаты экспериментальной работы.

Выводы по главе II.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Заключительный этап решения геометрических задач в основной школе"

Вместе с тем? практика обучения показывает, что качество геометрических знаний и умений, учащихся основной школы остается низким. Это объясняется и относительной сложностью этого предмета по сравнению с другими дисциплинами математического цикла, и традиционно; небольшим количеством времени, отведенным на его изучение. По-прежнему актуальным остается вопрос: как в этих условиях не только обеспечить высокий уровень знаний учащихся, но и добиться его повышения? В связи с этим приоритетной становится проблема интенсификации обучения геометрии в основной школе, в частности, решения планиметрических задач как основного вида учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваиваются, базовые геометрические понятия и факты, формируется логическое мышление, развиваются эвристические и исследовательские умения, творческие способности.

В этом контексте особое значение: приобретает заключительный этап решения задачи, поскольку его реализация! сочетает в себе как усвоение, повторение, систематизацию и обобщение изученного, так и открытие новых знаний. Различные аспекты; использования заключительного этапа решения задачи при обучении математике широко обсуждаются в научной и методической литературе, работах известных математиков, методистов, учителей. Так, определению содержания рассматриваемого этапа посвящены труды Д. Пойа,. Е. С. Канина, Ю. М. Колягина, Ф. Ф. Нагибина, F. И. Саранцева. Отдельные приемы работы с задачей на заключительном этапе ее решения названы в статьях F. Д. Зайцевой, Д. Ф. Изаака и др. В ряде исследований содержатся некоторые способы варьирования задач (С. F. Губа, t г

Т. А. Иванова и др.). Построение блоков взаимосвязанных задач рассмотрено в работах. Т. М. Калинкиной,. Г. И. Саранцева и др. Методику обучения учащихся решению задач различными способами освещают А. И. Мостовой, М. Н. Наконечный, 3. А. Скопец и др. Кроме того, Г. И; Саранцевым предложена концепция; использования заключительного- этапа; решения задачи как средства реализации эстетического потенциала математики.

Несмотря, на разноаспектность проанализированных исследований, можно выделить общий для них тезис: заключительный этап работы с задачей является необходимой и существенной частью решения и содержит в себе значительный потенциал для обучения, развития и воспитания, учащихся, совершенствования процесса обучения математике.

Среди причин этого явления — отсутствие в теории и методике обучения решению задач методики работы с задачей на заключительном, этапе: ее решения, на необходимость, создания которой указывают в своих трудах Ю. М. Колягин, Е. С. Канин и Ф. Ф. Нагибин, Г. И. Саранцев.

Заключительный этап решения задачи до сих пор не рассматривался как целостное явление, не являлся предметом самостоятельного исследования, в области методики математики, в том числе и диссертационного. Материал, посвященный этой проблеме^ носит разрозненный, несистематизированный характер,, отражая в большинстве случаев отдельные ее аспекты.

Таким образом, имеется противоречие между значительным потенциалом заключительного этапа решения задачи для обучения школьников математике и неразработанностью теории и методики его использования в учебном: процессе. Необходимость разрешения этого противоречия определяет актуальность проблемы нашего исследования.

В основу исследования положена гипотеза: выявление совокупности действий, адекватных заключительному этапу решения задачи,. разработка методики их формирования в процессе обучения геометрии в основной школе,, а также организация; целенаправленной и систематической работы с задачей на заключительном этапе ее решения будут положительно влиять на качество решения школьниками планиметрических задач, способствовать повышению уровня знаний и умений учащихся, что, в свою очередь, приведет к более успешному усвоению геометрии.

1. Проанализировать состояние проблемы использования заключительного этапа в процессе обучения математике в психолого-педагогической и научно-методической1 литературе, в практике работы учителей средней школы.

4. Разработать методику работы с планиметрической задачей на заключительном этапе ее решения.

Для решения поставленных задач. использовались следующие методы исследования: изучение психолого-педагогической, и научно-методической литературы; по проблеме диссертации,, сравнительный анализ; публикаций в < периодических методических изданиях, , анализ учебников; учебных и методических пособий по геометрии для , средней школы; анкетирование учителей математики и учащихся основной школы; изучение и обобщение педагогического опыта; педагогический эксперимент, позволивший изучить состояние: проблемы исследования в практике обучения геометрии в основной школе и апробировать предложенную. методику обучения работе с задачей на заключительном этапе ее решения; анализ и- обработка результатов эксперимента с помощью статистических методов.

Методологической основой исследования послужили основные положения теории системного анализа, деятельностного подхода, методология методики обучения математике, основные психолого-педагогические и методические положения, теории использования задач и обучения их решению в процессе математической подготовки учащихся.

Исследование осуществлялось поэтапно.

На первом- этапе (1998-2000' гг.): проводилось изучение, и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме использования заключительного этапа решения задачи в процессе обучения математике с целью выявления возможностей этого этапа и разработки методики их реализации.

На втором : этапе (2000-2002 гг.) разрабатывались теоретические основы, использования заключительного этапа: решения задачи в; процессе обучения: выделялись его содержание и структура,, определялись и обосновывались функции и методика их реализации, разрабатывались методические средства и требования к; организации заключительного этапа f » работы с математической задачей; проводился поисковый эксперимент.

В ходе третьего! этапа (2002-2004 гг.) проводился обучающий эксперимент, нацеленный на проверку эффективности изложенной в диссертации методики обучения учащихся основной школы работе с планиметрической задачей на заключительном этапе ее решения, и исследовались его результаты.

Научная новизна выполненного исследования состоит в рассмотрении заключительного этапа- работы с математической задачей не только в контексте "взгляда назад" (Д. Пойа), но й как средства математического развития и!. воспитания школьников, формирования у них методов научного познания, приобщения! к творческой деятельности. Выявлен ряд специфических функций заключительного этапа, реализация которых при обучении математике положительно влияет на качество решения задач и учебный процесс в целом. Определена его структура, что позволило выделить определенный набор действий, составляющих умение работать с задачей на- заключительном этапе ее решения. Для формирования этих действий в процессе изучения геометрии основной школы предложена специальная методика.

Теоретическая значимость проведенного исследования заключается в следующем:;

- исследована роль заключительного этапа решения задачи в процессе обучения математике, выявлены и обоснованы: его функции (обучающие, развивающие, организационные, воспитательные);

- определена: структура заключительного этапа: решения задачи, включающая в себя две стадии — рефлексивную и преобразующую;

- выделены действия, адекватные деятельности по реализации; заключительного этапа решения задачи;

- разработана методика формирования выделенных действий при обучении геометрии в основной школе.

Результаты исследования расширяют представление о роли г * геометрических задач в развитии и воспитании учащихся, путях совершенствования- методики обучения решению геометрических задач в основной школе.

Практическая значимость результатов исследования определяется тем, что разработанная методика работы с задачей на заключительном этапе ее решения в курсе геометрии основной. школы может быть использована учителями математики в школьной практике в целях повышения эффективности обучения решению задач, авторами методических пособий для учащихся и учителей, а также послужить основой спецкурса для студентов педагогических вузов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Одним из важнейших путей совершенствования процесса обучения математике в основной школе является целенаправленное систематическое обучение школьников решению геометрических задач с учетом; реализации заключительного этапа работы с ними. Эффективность данного направления определяется следующими функциями заключительного этапа: повторения,. обобщения; систематизации, открытия новых знаний и умений; реализации межпредметных и внутрипредметных связей; приобщения к творческой деятельности;: дифференциации; рефлексии, а также эвристической, исследовательской, воспитательной функциями.

2. При работе с задачей на заключительном: этапе ее решения деятельность учащихся проходит две стадии: рефлексивную и преобразующую. На рефлексивной стадии? происходит возвращение: к уже реализованным этапам решения задачи и их: осмысление, на преобразующей стадии деятельность ученика направлена на дальнейшее развитие задачи. Каждая стадия предполагает наличие определенных составляющих работы с задачей на заключительном этапе ее решения. Так, рефлексивная включает в себя: а) осмысление условия задачи; б) осмысление поиска и хода решения; в) осмысление результата: решения задачи. Преобразующую стадию составляют: а) формулирование новых задач на основе частичного изменения условия; б) формулирование и решение новых задач на основе применения методов познания; в) поиск новых способов: решения задачи. Каждая из, выделенных составляющих включает в себя блок действий,, адекватных заключительному этапу работы с математической, задачей; Обучение школьников этим действиям является важной задачей учителя с точки зрения повышения качества знаний, результативности процесса решения задач.

3. Методика обучения школьников работе с планиметрической задачей на заключительном этапе ее- решения предусматривает разработку и использование специальной системы упражнений:, а) ориентирующих на выделение и формирование действий, адекватных составляющим заключительного этапа;: б) использующих сформированные действия для реализации заключительного этапа их решения:

В связи с этим! целесообразно выделить, среди упражнений:: 1) упражнения^ содержащие в своей: формулировке указания, побуждающие учащихся выполнить те или иные действия, адекватные заключительному этапу; 2) задачи,, заключающие в себе определенный потенциал для-прохождения учащимися рефлексивной; и преобразующей стадий заключительного этапа их решения.;

Достоверность и обоснованность проведенного исследования, его результатов и выводов обусловлены внутренней согласованностью выдвигаемых теоретических положений, их опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, методики обучения математике, совокупностью разнообразных методов исследования, а также результатами количественной' и качественной обработки полученных экспериментальных данных.

Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись в ходе преподавательской работы автора со школьниками Открытого лицея ВГТТУ (ныне ВятГГУ), на практических занятиях по методике преподавания математики и в период педагогической практики со студентами математического факультета ВятПТУ, в практике учителей математики средних школ № 27, 48, 70 г. Кирова, а также в виде докладов и выступлений на научно-методическом семинаре кафедры математического анализа и методики преподавания математики Вятского государственного гуманитарного университета (2003, 2004 гг.), на Всероссийских научных конференциях «Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе» (г. Саранск, 1998 г.), «Гуманитаризация среднего и высшего образования: методология, теория и практика» (г. Саранск, 2002 г.), «Проблемы современного математического образования в вузах и школах России» (г. Киров, 2004 г.), Международной научной конференции «Проблемы математического образования и кулыуры» (г. Тольятти, 2003 г.), региональных научно-практических конференциях «Преподавание математики в вузах и школах: проблемы содержания, технологии и методики» (г. Глазов, 2003 г.), «Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и в вузе» (г. Коряжма, 2004 г.).

По теме исследования имеется 8 публикаций.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ II

1. Работа по формированию умения учащихся работать с задачей на заключительном этапе ее решения должна проводиться учителем целенаправленно и систематически. Ее эффективность подтверждается результатами проведенного эксперимента.

2. При подборе методического обеспечения процесса обучения школьников работе с задачей на заключительном этапе ее решения следует учитывать, что основным средством являются специальные упражнения, в процессе выполнения которых происходит формирование действий, адекватных исследуемому этапу работы с задачей. Формулировка таких упражнений должна содержать указание, побуждающее учащихся продолжить работу с решенной задачей, то есть выполнить те или; иные действия, составляющие деятельность по реализации заключительного этапа решения задачи. Их конструирование состоит в некотором модифицировании задач действующих учебников по указанному выше принципу. Учителю важно понять, что практически каждая задача после соответствующей методической обработки может быть использована для формирования действий, адекватных заключительному этапу работы с математической задачей.

3. Выполнение такого рода упражнений является начальной, ступенью в формировании умения учащихся работать с задачей на заключительном этапе ее решения. Продолжение обучения может быть организовано при помощи специально подобранных задач, заключительный этап решения которых является наиболее полным и разнообразным по своей структуре. Отбирать такие задачи можно, опираясь на предложенную нами типологию.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном исследовании разработаны теоретические и методические основы использования заключительного этапа решения задачи в процессе обучения школьников планиметрии.

В процессе теоретического и экспериментального исследования поставленной научной проблемы в соответствии с задачами и целью исследования получены следующие основные РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Анализ научно-методической и психолого-педагогической литературы по проблеме использования заключительного этапа решения задачи в процессе обучения математике показал, что данная проблема решена не в полной мере: не выявлены, функции заключительного этапа работы с задачей, нет четкого представления о структуре рассматриваемого этапа решения задачи, отсутствует методика реализации его возможностей.

2. Обобщение точек зрения различных исследователей на роль заключительного этапа решения задачи в процессе, обучения математике, анализ рассматриваемого этапа решения ряда математических задач позволили выделить и обосновать его функции - образовательные, развивающие, организационные, воспитательные, реализация которых в процессе обучения геометрии в основной школе позволяет повысить его эффективность.

3. Теоретически; и экспериментально установлено, что реализация заключительного этапа решения задачи — это специфическая деятельность, которая проходит две стадии: рефлексивную и преобразующую. Каждая из них включает в себя определенные блоки действий, адекватных заключительному этапу решения задачи. Так рефлексивная стадия состоит из осмысления условия задачи; осмысления поиска и хода решения, осмысления результата, решения задачи. Преобразующую стадию составляют: формулирование и решение новых задач на основе частичного изменения условия, применения методов познания, а также поиск новых способов решения задачи.

4. Разработана методика обучения школьников действиям, составляющим заключительный этап работы с задачей. В соответствии с ней, формирование указанных действий происходит посредством выполнения системы специальных упражнений, предусматривающих а) выделение действий, адекватных составляющим заключительного этапа; б) использование сформированных действий на заключительном этапе их решения. В связи с этим среди упражнений выделены: а) упражнения, содержащие в своей формулировке указания, побуждающие учащихся выполнить вышеупомянутые действия; б) задачи, заключающие в себе определенный потенциал для организации заключительного этапа их решения.

5. На заключительном этапе решения математической задачи формируются выделенные в дидактике процессуальные черты творческой деятельности учащихся. Этим обусловлена целесообразность, применения рассматриваемого этапа как средства приобщения:школьников к творческой* деятельности;

6. В ходе обучающего эксперимента показано положительное влияние предложенной методики на качество знаний учащихся и результативность решения планиметрических задач. Основанием для вывода об эффективности разработанной методики явились количественные и качественные показатели контрольных срезов по материалу геометрии основной школы.

7. Теоретические положения и практические рекомендации, разработанные в диссертации, могут быть использованы учителями математики, при составлении учебных и методических пособий по геометрии для основной школы, послужить основой спецкурса по методике преподавания математики.

Сказанное позволяет считать, что систематическая организация целенаправленной работы с задачей на заключительном этапе ее решения оказывает существенное влияние на качество обучения геометрии в основной школе, способствует приобщению учеников к исследовательской, творческой деятельности, реализуя тем самым образовательный, развивающий и. воспитательный потенциал обучения математике. Таким образом, подтверждена верность выдвинутой гипотезы и решены: задачи исследования.

146

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Зеленина, Наталья Алексеевна, Киров

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики: Пер. с франц. - М.: Сов. радио, 1970. - 152 с.

2. Александров А. Д. и др. Геометрия для 8 — 9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / А. Д. Александров,

3. A. Л. Вернер, В. И. Рыжик. М.: Просвещение, 1991. - 415 с.3; Александров А. Д. и др. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / А. Д. Александров, А. Л; Вернер,

4. B. И. Рыжик.-М.: Просвещение, 1995. 318 с.

5. Артемов А.К. Об эвристических приемах при обучении геометрии в школе // Математика в школе. — 1973. № 6. - С. 25-29.

6. Балк Г. Д. О применении эвристических приемов в школьном преподавании математики // Математика в школе. — 1969. № 5.1. C. 21 -28.,

7. Баранова Е. В. Спецкурс «Учебные исследования в обучении математике» // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. Выпуск 3; -С. 246-247.

8. Волхонский А. И К методике обучения решению задач // Математика в школе. 1973. - № 5. С. 15- 18.

9. Воспитание учащихся при обучении математике: Книга для учителя: Из опыта работы / Сост. Л. Ф. Пичурин М.: Просвещение, 1987. - 174 с.

10. Танеев X. Ж. Теоретические основы развивающего обучения математике в; средней школе: Дис. .д-ра пед. наук. Екатеринбург, 1997. - 256 с.

11. Ю.Геометрия: Учеб. для 7 — 9 кл. сред. шк. / Л. С. Атанасян, В: Ф. Бутузов,

12. С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 1990. - 336 с. Н.Георгиев В. С. Опыт активизации деятельности школьников на основе использования циклов задач // Математика в школе. — 1988. - № 1. -С. 77-78.

13. Гингулис Э. Ж. Учителя о своей работе // Математика в школе. 1987. -№ 2. - С. 42-44.

14. И.Гнеденко Б. В. О математическом творчестве // Математика в школе. -1979.-№6.-С. 16.

15. Гольдман А. М., Звавич JI. И. Учебные серии на уроках математики // Математика в школе. 1990. - № 5. - С. 19 - 22.

16. Горбачева Н. В. Метод аналогии как средство развития творческого мышления учащихся при обучении их элементам сферической геометрии: Дисканд. пед. наук. Омск, 2001. - 213 с.

17. Горяев Н. А. Развитие творческой деятельности учащихся при обучении математике в средней школе в системе укрупненных дидактических единиц: Дис. .канд. пед. наук.-М., 1997. 167с.

18. Готман Э. Г. Вариации задачи о квадрате и вписанном в него треугольнике // Математика в школе. — 1991. № 1. — С. 26-28.

19. Готман Э. Г., Скопец 3. А. Задача одна решения разные. М.: Просвещение, 2000. - 156 с.

20. Грабарь М. И., Краснянская К. А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. М.: Педагогика, 1977. - 136 с.

21. Григорьева Т. П., Иванова Т. А., Кузнецова JI. И., Перевощикова Е. Н. Основы технологии развивающего обучения математике: Учеб. пособие / Под ред. Т.А. Ивановой. Н. Новгород, 1997. - 134 с.

22. Губа С. Г. Варьирование задач на доказательство как средство активизации математической деятельности учащихся и развития у них интереса к предмету: Дис. .канд. пед. наук. Ярославль, 1972. — 167 с.

23. Губа С. Г. Развитие у учащихся интереса к поиску и исследованию математических закономерностей // Математика в школе. — 1972. № 3. -С.19-22.

24. Губа С. Г. Решение геометрических задач на доказательство с помощью прямоугольной системы координат // Математика в школе. 1970. — № 5. -С. 48-51.

25. Гусев В. А. Как помочь ученику полюбить математику? Ч. 1. — М.: Авангард, 1994: 168 с.

26. Иванов О. А. Теоретические основы построения системы специальной математической и методической подготовки преподавателей профильных школ. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997. 80 с.

27. Иванова Т. А. Варьирование математических задач как средство развития интеллектуальных способностей учащихся // Развитие учащихся в процессе обучения математике: Межвузовский сборник научных трудов. — Н. Новгород: НГПИ им. М. Горького, 1992. С. 6 - 22.

28. Изаак Д. Ф. Возникновение новых задач при исследовании задач по геометрии // Математика в школе. — 1987. № 6. - С. 62 - 65.

29. Изаак Д. Ф. Обобщения задач по геометрии // Математика в школе. — 1983.-№ 2.-С. 55-57.

30. Изаак Д. Ф. Поиски решения, исследование и обобщение задач по геометрии // Математика в школе. 1998. - № 2. - С. 83 - 87.

31. Канин Е. С. Развитие темы задачи // Математика в школе. 1991. — № 3. -С. 8-12.,

32. Канин: Е. С. Советы решающему математическую задачу // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. Выпуск 3; — Киров, 2001. С. 176 - 180.

33. Канин Е. С. Учебные математические задачи: Учебное пособие. — Киров: Издательство Вятского 11 У, 2003. 191 с.

34. Колягин Ю. М. Методические проблемы применения задач в обучении математике: // Преподавание алгебры и геометрии в школе:; Пособие для учителей / Сост. О. А. Боковнев. М.: Просвещение, 1982. — С. 116 — 123;

35. Концепция:структуры и содержания; общего среднего образования (в 12-летней школе). Проект // Математика в школе. 2000. - №2. - С. 6-13.

36. Крупич В. И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. М.: Прометей, 1995. 166 с.

37. Кузнецова Е. В. Элементы; творческой- деятельности учащихся 5-6 классов при решении занимательных задач // Математика в школе. — 1997. -№5. С. 66-72.

38. Курант Р., Роббинс Г. Что; такое математика?: Пер. с англ. М.: Просвещение, 1967. - 559 с.59; Кушнир И. А. Воспитание творческой активности учащихся на уроках повторения геометрии // Математика в школе. 1991. - № 1. — С. 12-16.

39. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов

40. Е. И. Лященко, К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко и др.; Под ред. Е.И. Лященко. М.: Просвещение, 1988. — 223 с.

41. Лернер И. Я. Проблемное обучение. — М.: Знание, 1974. 64 е.

42. Лихота Е. А. Варьирование условий задач на внеклассных занятиях // Математика в школе. 1983. —№ 6. — С. 81-82.

43. Маслова С. В. Задачи на поиск закономерностей как средство формирования творческой деятельности младших школьников при обучении математике: Дис. .канд. пед. наук. Саранск, 1996. - 162 с.

44. Математика в образовании и воспитании / Сост. В. Б. Филиппов. М.: ФАЗИС, 2000:-256 с:

45. Мельник Н. С. О взаимосвязанных геометрических задачах // Математика в школе. 1986. - № 6. - С. 48-50.

46. Методика преподавания математики в средней школе. Общ. методика: Учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю. Mi Колягин, В. А. Оганесян, В. Я. Санинский, Г. Л. Луканкин. — М.: Просвещение, 1980.-462 с.

47. Методика преподавания5 математики в; средней школе. Общ. методика: Учеб: пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов / А. Я. Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Килина и др.; Сост. Р: С. Черкасов, А. А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985.-336 с.

48. Мостовой А. И. Различные способы доказательств в курсе геометрии: восьмилетней школы. М.: Просвещение, ,1965. - 103 с.

49. Мостовой А. И., Наконечный М. Н. Решение геометрических задач различными способами // Математика в школе. — 1976. — № 5. С. 44 -48.

50. Мостовой А. И., Шарипов Т. А., Наконечный М. Н. О создании проблемных ситуаций при решении задач различными способами // Математика в школе. 1979. - № 1. - С. 20-23.

51. Певчева Т. В. Обучение самостоятельной постановке проблемных вопросов и составлению задач как условие развития творческих возможностей учащихся: Дис. .канд. пед. наук. -М. 1994. 233с.

52. Первая Всероссийская конференция в Дубне // Математика: учебно-методическое приложение к газете "Первое сентября". — №43. — 2000. — С. 1-3.

53. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. 9-е изд. — М.: Просвещение, 1999. - с. 384.

54. Пойа Д. Как решать задачу. Львов: Квантор, 1991. — 216 с.

55. Пойа Д. Усвоение математики, ее преподавание и обучение педагогическому мастерству // Математика в школе. 1964. — №6. -С. 37-39.

56. Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С. Учимся решать задачи по геометрии. Учеб.-метод. пособие. К.: "Магистр-S", 1996. - 256 с.t

57. Понарин Я. П. Геометрия: Учеб. пособие. Ростов-на-Дону: изд-во "Феникс", 1997.-512 с.

58. Понарин Я. П. Задача одна решений много // Математика в школе. -1992.-№ 1.-С. 15-16.

59. Пономарев Я. А. Психология творчества. М.: Наука, 1976. - 303 с.

60. Потоцкий М. В. Как помочь школьнику решать задачи? // Математика в школе. 1974. - № 1. - С. 29 - 32.

61. Прасолов В. В. Несколько доказательств теоремы о высотах треугольника // Математика в школе. — 1988. № 1. — С. 72 - 73.

62. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5 И кл. / Сост. Г. М. Кузнецова, Н. Г. Миндкж. - М.: Дрофа, 2002. -320 с.

63. Рощина Н. JI. Решение задач различными способами первый шаг к эстетическому восприятию геометрии // Математика в школе. — 1996. -№3.-С. 17-19.

64. Рощина Н. Л. Формирование эстетического вкуса учащихся при решении планиметрических задач: Дис. . канд. пед. наук. — М., 1998. 156 с.

65. Рукшин С. Е. Задачи-серии во внеклассной работе // Математика в школе. 198L— № 6.-С. 62-63.

66. Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г. И. Саранцев. -М.: Просвещение, 2002. 224 с.

67. Саранцев Г. И. Методология методики обучения математике. — Саранск: Тип. "Крас. Окт.", 2001. 144 с.

68. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995. -240 с.

69. Саранцев Г. И. Эстетическая мотивация в обучении математике. -ПО РАО, Мордов. пед. ин-т. Саранск, 2003. - 136 с.

70. Саранцев Г. И., Калинкина Т. М. Методы познания как средство упорядочения геометрических задач // Математика в школе. 1994. - № 6. -С. 2-4.

71. Семенов Е. Е. Размышления об эвристиках // Математика в школе. 1995. - №5. — С. 39-43.

72. Соколов В. Н. Педагогическая эвристика: Введение в теорию и методику эвристической деятельности:: Учеб. пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Аспект Пресс, 1995. - 255 с.

73. Страчевский Э. А. Составление задач по математике как средство активизации мыслительной деятельности учащихся (на материале 7 — 10 классов): Дис. .канд. пед. наук. Петрозаводск, 1972. — с. 172.

74. Талызина Н. Ф. Управление: процессом, усвоения, знаний. М:, 1975. -343 с.

75. Теоретические основы обучения математике: в средней школе: Учеб; пособие / Т. А. Иванова, Е. Н. Перевощикова, Т. П. Григорьева, Л. И. Кузнецова; Под ред. Т.А. Ивановой. Н. Новгород: НГПУ, 2003;.-320 с.

76. Токмазов Г. В. Задачи динамического характера // Математика в школе. -1994:-№5.-С. 9-12.

77. Тучнин Н. П: Как задать вопрос?. (О мат. творчестве школьников): Кн. для учащихся. М.: Просвещение, 1993. - 192 с.

78. Тюина Н. С. Формирование анализа через синтез: как приема творческой деятельности младших школьников в обучении математике: Дисканд. пед. наук. Саранск, 2003. — 144 с.

79. Фридман Л. М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977. - 207 с.

80. Фридман JI. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о пед. психологии. М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

81. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи. М.: Просвещение, 1989.- 191 с.

82. Хазанкин P. F. Кружковое занятие по теме "Трапеция" // Учитель Башкирии. 1990. - № 11. - С. 45 - 48.

83. Хазанкин Р. Г. Урок одного замечательного свойства трапеции // Учитель Башкирии. 1990. - № 7. - G. 35 - 39.

84. Цукарь А. Я. Дополнительная работа над задачей // Математика в школе. 1982. - № 1. - С. 42-43.

85. Черепанова Т. П. Обучение варьированию условия задачи — средство активизации мыслительной деятельности учащихся // Математика в школе. 1964. - №5. - С. 36-39.

86. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 7 9 кл. - 2-е изд. — М.: Дрофа, 1998.- 352 с.

87. Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9 11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учеб. пособие. - М.: Дрофа, 1996. - 400 с.

88. Шварцбурд С. И. О развитии интересов, склонностей и способностей учащихся к математике // Математика в школе. — 1964. — № 6. — С. 32-37.

89. Щварцман 3. О. Развитие творческих способностей учащихся на внеурочных занятиях по математике // Воспитание: учащихся при обучении математике: Книга для учителя: Из опыта работы / Сост. Л. Ф.Пичурин-М.: Просвещение, 1987.-С. 170 173.

90. Эвнин А. Ю. Исследование математической задачи как средстворазвития творческих способностей, учащихся: Дисканд. пед. наук. 1. Киров, 2000. 132 с.

91. Эрдниев П. М. О постановке в университетах спецкурса по содержанию школьных учебников // Математика в школе. 1981. - № 5.-С. 34-36. » . »

92. Эрдниев П. М. Сравнение и обобщение при обучении математике. -Учпедгиз, 1960. 152 с.

93. Ясиновый Э. А. Задачи, составленные по аналогии с другими задачами // Математика в школе. 1974. - № 1. - С. 56-58.

94. Ясиновый Э. А. Составление математических задач учащимися как средство активизации их познавательной деятельности (на материале 9-10 классов): Дис. канд. пед. наук. Ярославль, 1974. - с. 178.