автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обучение школьников работе с чертежом в процессе решения планиметрических задач

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Кондратьева, Елена Викторовна, 2002 год

ВВЕДЕНИЕ.

Г JI А В А 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЙ

РАБОТАТЬ С ЧЕРТЕЖОМ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ.

§ 1. Проблема обучения школьников работе с чертежом в психолого-методической литературе.

§2. Требования к геометрическому чертежу.

§3. Функции чертежа при решении задач.

§4. Приемы работы с чертежом в процессе решения задачи и действия, адекватные этим приемам.

Г JI А В А 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБУЧЕНИЯ РАБОТЕ С ЧЕРТЕЖОМ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ

ЗАДАЧ.

§5. Формирование действий, адекватных приемам работы с чертежом (формирование приемов).

§6. Методика обучения школьников преобразованию задачного чертежа.

§7. Организация учебной деятельности с использованием задач, ориентированных на формирование приемов работы с чертежом

§8. Результаты экспериментальной работы.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Обучение школьников работе с чертежом в процессе решения планиметрических задач"

Одним из путей успешного решения стоящих перед школой задач является приобщение учащихся к исследовательской деятельности и развитие способностей к ней. Исследовательская деятельность, как один из видов творческой деятельности, характеризуется направленностью на получение нового знания. Необходимость включения в процесс обучения элементов творчества признается всеми. Некоторые авторы предлагают все усилия направить на то, чтобы школьник усваивал материал в порядке активной работы над ним, всеми средствами насыщая эту работу элементами самостоятельности и хотя бы самого скромного творчества. Творческая деятельность школьника связана со способностями. Одним из важных условий развития исследовательских способностей является включение учащихся в активную познавательную деятельность в процессе изучения геометрии. Познавательная потребность, выражающаяся в познавательном интересе, определяет уровень активности, которая необходима при открытии человеком новых знаний. В обучении геометрии большое значение имеет умение работать с чертежом. В развитии исследовательских способностей при работе с чертежом к геометрической задаче большое значение имеет специальное формирование приемов работы с чертежом. Широкое овладение алгоритмическими приемами дает возможность школьникам правильно решать задачи известных им типов, а также служит им тем фондом, из которого они могут черпать "строительный материал" для конструирования методов решения новых для них задач, а эвристические приемы позволяют действовать в условиях неопределенности, когда человек еще не знает способов решения новой задачи. Для творческой деятельности, реализуемой в процессе переконструирования задачного чертежа, нет алгоритма, нет системы действий, которую можно было бы передать школьнику. Но возможно сформировать действия и приемы на более раннем этапе решения задачи - на этапе вычерчивания чертежа, на этапе «рассматривания чертежа» (его анализа и установления связей с условием задачи) и его исследовании.

В геометрии решение любой задачи требует установления определенных соотношений между данными и искомыми. В одних задачах эта связь ясна и требуется произвести лишь определенные операции с числами, чтобы эта связь сделалась очевидной. В других задачах связь данных и искомых скрыта от непосредственного усмотрения. Раскрыть ее, сделать очевидной можно только при использовании других, хорошо известных данных. Эти задачи основаны на выборе теорем, определений, применение которых и дает решение.

При решении подобного рода задач, к которым относится большинство задач планиметрии, необходимо умение работать с чертежом, умение рассматривать чертеж с разных точек зрения, осуществлять выбор фигур, нужных для решения; комбинировать различные линии, фигуры, рассматривать в различных соотношениях понятия, заключенные в условии задачи и т. д. Такого рода задачи требуют от ученика достаточной логической подготовленности, умения вести рассуждения, вычленять проблему. Конечно, это зависит от работы с задачей в двух направлениях: хороший анализ условия дает правильные связи на чертеже, и наоборот, высокая степень проанализированное™ чертежа дает успешный анализ условия задачи. При решении задач подобного рода ярче всего проявляется уровень математического развития. Если ученик хорошо знает те или иные теоремы и научился решать некоторые типовые задачи (задачи по формуле), но не обладает способностью исследовать, преобразовывать, переформулировать задачу, то он будет справляться только с простейшими задачами на вычисление и несложными задачами на доказательство. Те задачи, где необходимо осуществить самостоятельные поиски решения, найти промежуточные данные и включить их в систему исходных, данных по условию, будут представлять для него большую трудность. Практика обучения геометрии в школе, опыт учителей свидетельствуют о том, что наибольшие трудности учащиеся испытывают именно при решении геометрических задач. Геометрическая задача и выделяется из всего класса математических задач тем, что имеет чертеж. Решая задачу, ученик должен уметь работать с чертежом. В чем же состоят основные трудности учащихся при решении задач, какова их психологическая природа? Выяснением этих вопросов занимались многие методисты и психологи.

Много работ в научно-методической литературе посвящено функциям чертежа, требованиям к чертежам ( Н.Г. Воробьева, Я. Е. Гольдсберг, В.А. Далингер, Д.Ф. Изаак, и др.). Так,например, Я.Е. Гольдсберг указывает, что чертеж «позволяет охватить, причем в наглядной форме, все условие целиком. .,без него трудно, а в ряде случаев и невозможно усвоить условие задачи. .и решить ее». В. А. Далингер наиболее подробно рассматривает функцию чертежа при формировании геометрического понятия. Отмечает необходимость с помощью геометрического чертежа варьировать существенные и не существенные признаки и отойти от «стандартного» чертежа, который вызывает у учащегося неправильные «житейские» ассоциации, которые ведут к некоторым противоречиям с геометрическими знаниями. Т. А. Воронько упоминает об основных функциях чертежа, заключающихся в сосредоточении в восприятии выявляемых свойств, характеристик элементов, удержании сознанием всех связей в единстве. Не мало уделяют внимания ученые и геометрическим задачам как таковым, их решению. Многие авторы говорят о чтении чертежа, о чтении условия геометрической задачи, о рассматривании чертежа (А.К. Артемов, Г.А. Владимирский, А.Д. Герасимова, C.B. Гуревич, А.Т. Зверева, E.H. Кабанова-Меллер, И.Ф. Протасов, В.П. Покровский, Г.И.Саранцев, Е.В. Силаев, И.С. Якиманская, и др. ).

Они указывали на то, что использование чертежа в процессе решения предполагает умение улавливать те соотношения между элементами чертежа, которые могут быть нужны при решении данного вопроса, умение видеть нужный образ и выделять его из разнообразных сочетаний с другими геометрическими фигурами, умение устанавливать зависимость между элементами фигуры, умение видеть геометрические объекты умственным взором, умение мысленно преобразовывать фигуру. Но, как видим, все рассматривают чертеж оторванным от преобразования условия и заданной ситуации в целом.

Так, Е. В. Силаев указывает на характер основных связей, которые можно установить между фигурами, используя дополнительные построения. Их три типа: 1) связь между фигурой и ее элементами, 2) связи, возникающие в дополнительно построенной фигуре (в том числе связи первого типа между элементами вновь построенной фигуры), 3) связи типа сравнения, когда дополнительные фигуры сравниваем в некотором отношении с другими фигурами. Он рассматривает работу с чертежом в отрыве от преобразования задачи.

Анализ исследований подтверждает, что недостаточно освещены вопросы, связанные с обучением школьников 7-9 классов преобразованиям чертежа, сделанного именно к геометрической задаче, вопросов, связанных с переосмыслением, перестроением чертежа в единстве с преобразованием задачи в целом. С появлением проблемы, связанной с умениями школьников преобразовывать заданный чертеж во взаимосвязи с преобразованием задачи следует пересмотреть и функции, требования к чертежу. Конечно, на умение работать с геометрическим заданным чертежом влияют функции чертежа, а функции чертежа следует пересмотреть в связи с изменением обучающих функций задач, которое вытекает из изменения функций обучения, о которых все больше говорят ученые. Можем заметить лишь, что некоторые авторы-исследователи занимались анализом деятельности учащихся на уроках геометрии. В подавляющем большинстве работ методистов - исследователей освещаются вопросы формирования элементов деятельности при работе с чертежом либо в классах с углубленным изучением математики (Б. А. Викол), либо в старших классах при изучении дополнительных вопросов стереометрии (Н.Д. Волкова, Т.А .Сотникова, А. Халиков, Т.А. Воронько и др.). А если деятельность учащихся при работе с чертежом и рассматривалась в планиметрии, то либо лишь в контексте конструктивных умении школьников при решении задачи, либо преобразования чертежа в отрыве от преобразовании самой задачи

А.К.Артемов, Г.А. Владимирский, А.Ф. Герасимова, Г.Н . Глыва,, С.В. Гуревич, А. Т. Зверева, В.Е. Куценок, И.Ф. Протасов, В.П. Покровский, Е.В. Силаев и др.).

Анализ имеющейся литературы дает нам основание утверждать, что недостаточно освещены такие методические вопросы, как организация формирования у школьников навыков работы с чертежом к геометрической задаче.

Конечно же, научиться решать геометрические задачи, а значит уметь работать с чертежом - это, в первую очередь, включать исследовательские , творческие начала в работу над задачей.

При работе школьников над чертежом к геометрической задаче, которая характеризуется активизацией исследовательской деятельности всех обучаемых, проблема усиления творческих начал в обучении учащихся стоит особенно остро.

Поэтому с целью обеспечить постоянное развитие активности, самостоятельности и исследовательских способностей при работе с чертежом к планиметрической задаче на первый план выдвигаются методы и приемы обучения, способствующие формированию активной деятельности учащихся.

Геометрия, как учебный предмет, обладает особенностями, создающими благоприятные условия для приобщения учащихся к исследовательской деятельности и развитию способностей к ней в процессе обучения решению задач, имеющих чертеж. К сожалению, надо признать, что в настоящее время при обучении геометрии в основной школе способность к преобразованию чертежа к геометрической задаче развивается недостаточно.

Основная задача геометрии состоит не только в том, чтобы дать учащимся глубокие знания, но и в том, чтобы научить их самостоятельно решать возникающие вокруг задачи и творчески мыслить, уметь соотносить и преобразовывать чертеж и задачу в целом. Поэтому решение геометрических задач, в частности, при обучении работе с чертежом к геометрической задаче, нужно предлагать такие задачи, чтобы учащиеся стремились самостоятельным путем приобрести определенные знания, получили навыки самостоятельной и творческой деятельности.

Умения работать с чертежом являются составляющими умений решать задачи. От того как ученик владеет умениями работать с чертежом зависит решение задачи. Приобщение учащихся к исследовательской деятельности и развитие их способностей при решении геометрической задачи, посредствам работы с чертежом — проблема сложная и многоаспектная. Она может бьггь исследована в психофизиологическом, дидактическом, методическом и других аспектах. В методическом плане существенным отличием учебной исследовательской деятельности является то, что она происходит под управлением учителя. Учитель испытывает потребность в хороших методических разработках и методиках обучения. Это обстоятельство порождает противоречие между разработкой методик работы с чертежом и фактическим их наличием. Это противоречие должно быть разрешено при разработке методики формирования умений работать с чертежом к геометрической задаче. Чтобы деятельность ученика была эффективной, он должен действовать самостоятельно, с другой стороны, обучение (а не стихийное самообучение) предполагает управление учеником со стороны учителя.

К сожалению, изучение опыта работы школ говорит о том, что многие учащиеся, имея формальные знания по геометрии, испытывают значительные затруднения при решении геометрических задач. Они в подавляющем большинстве не владеют методами, приемами исследования геометрической ситуации, геометрического чертежа, не умеют анализировать условие данной задачи и соотносить с чертежом, не способны сформулировать гипотезу решения, затрудняются в выборе эффективного способа решения задачи, не делают выводов по решению, хотя психофизиологические особенности их возраста свидетельствуют об их способности к осуществлению всех мыслительных операций, актуализируемых в процессе исследования и преобразования задачного чертежа. Наблюдения за процессом обучения школьников курсу геометрии основной школы показали, что многие из них при решении сложных задач остаются пассивными. Работа в процессе поиска возможных преобразований чертежа, как правило, отсутствует. Это связано с тем, что ученики привыкли смотреть на чертеж как на самостоятельный объект без исследования условия и преобразования задачной ситуации в целом. Обучение школьников элементам исследовательской деятельности осуществляется недостаточно. Школьников мало учат анализировать результаты своей работы, применять полученные знания в различных ситуациях, поиску наиболее эффективного способа решения, осмысливать и самостоятельно выделять проблемы в знакомой или новой ситуациях. Формирование элементов анализа, исследования и преобразования задачного чертежа у школьников в учебном процессе, как правило, идет стихийно в отрыве от преобразования заданной ситуации, не планируется учителем.

Основные проблемы обучения школьников работе с чертежом в процессе решения геометрической задачи, системы методов достижения этой цели разработаны пока еще недостаточно. Остается неясной сущность деятельности школьников при работе с заданным чертежом в геометрии и уровней ее развития у учащихся. Недостаточно еще освещен вопрос возможности формирования навыков работы с чертежом к геометрической задаче учащихся 7-9 классов основной школы. Не сформирована еще общая точка зрения на вопрос: какие типы заданий способствуют наибольшей эффективности процесса формирования действий работы с чертежом, каковы должны быть структура этих заданий, объем, временная характеристика их решения. Возможно ли, необходимо ли создание системы таких заданий, в процессе решения которых учащиеся осуществляют деятельность по преобразованию задачи в единстве с преобразованием чертежа к этой задаче.

Все вышесказанное обусловливает актуальность проблемы формирования приемов работы с чертежом, формирования действий, адекватных приемам работы с чертежом.

Актуальность проблемы обучения учащихся работе с чертежом через формирование действий и приемов работы с заданным чертежом в процессе решения планиметрических задач, большие возможности этих приемов в формировании элементов исследовательской деятельности учащихся, а также недостаточная разработанность методики организации этого вида учебной деятельности в условиях преподавания курса геометрии, побудили нас избрать проблему исследования, которая состоит в выявлении методических возможностей использования задач курса планиметрии для целенаправленного формирования действий и приемов работы с чертежом к геометрической задаче , в выявлении возможности включения исследовательских заданий в курс геометрии; в разработке методики обучения решению таких заданий через исследование чертежа, его преобразование в единстве с преобразованием задачной ситуации, в раскрытии особенностей методики , обеспечивающей реализацию этих возможностей в практике преподавания. Обучение школьников работе с чертежом осуществляется вне процесса поиска способа решения задачи. Чертеж оторван от требований задачи и исследования самой задачи, от ее преобразования. Чертеж производится сам по себе, исследование задачи - само по себе. Можно предположить, что единство двух аспектов поможет разработать методику организации учебной деятельности, направленной на решение проблемы, будет способствовать улучшению качества умения выполнять и преобразовывать геометрические чертежи к задачам.

Проведенный анализ литературы по проблеме исследования и практика преподавания позволили выдвинуть гипотезу исследования: целенаправленная методическая работа по формированию приемов работы с чертежом, соответствующих процессу решения геометрических задач, осуществленная в единстве преобразования чертежа и задачи, снизит трудности и повысит эффективность решения геометрических задач, будет способствовать повышению прочности и осознанности усвоения основных понятий, фактов, методов геометрии, что, в свою очередь, приведет к более успешному усвоению самой геометрии.

Объектом исследования является процесс обучения учащихся решению задач в курсе геометрии основной школы.

В соответствии с вышесказанным выделяем предмет исследования: приемы работы с чертежом в процессе решения геометрической задачи, действия, адекватные этим приемам, функции чертежей к геометрической задаче и требования к этим чертежам.

Цель работы заключается в выявлении закономерностей формирования умения анализировать, читать и преобразовывать чертеж в процессе решения задачи и разработке средств их реализации.

Разработка общей проблемы потребовала решения следующих конкретных задач: л

1. Выявить трудности работы с чертежом в процессе решения геометрических задач;

2. Изучить состояние проблемы по литературным источникам и методической практике учителей;

3. Выявить теоретические основы методических предпосылок формирования приемов работы с чертежом в курсе планиметрии;

4. Разработать типологию задач на выполнение, чтение, преобразование задачного чертежа, позволяющую рассмотреть их систему с достаточной полнотой;

5. Разработать методику формирования навыков работы с чертежом к задаче;

6. Экспериментально проверить целесообразность и эффективность использования разработанной методики обучения и дать рекомендации для использования их в практике обучения.

При решении сформулированных задач были использованы следующие методы исследования: анализ психолого-педагогической, методической литературы по проблеме исследования; анализ школьных программ, учебных пособий, сборников занимательных задач по математике; анкетирование учителей математики и учащихся основной школы; изучение и обобщение педагогического опыта; проведение эксперимента по проверке отдельных методических положений работы, статистические методы обработки его результатов.

Научная новизна выполненного исследования состоит в том, что в нем проблема совершенствования процесса формирования у школьников умения решать геометрические задачи решена на основе единства формирования умений преобразовывать чертеж и формирования умений преобразовывать заданную ситуацию.

Теоретическая значимость заключается в

• выявлении и классификации функций заданного чертежа в зависимости от этапа решения задачи, в связи с изменением обучающих функций задачи и с изменением функций обучения математике,

• выяснении влияния функций чертежа на формирование приемов работы с чертежом и адекватных им действий,

• выявлении и обосновании приемов работы с чертежом и действий, адекватных этим приемам,

• разработанной методике формирования этих приемов и действий.

Практическая значимость работы состоит в том, что разработаная методика формирования приемов работы с чертежом к геометрической задаче может быть использовано учителем-практиком в своей работе, а также авторами учебных пособий для учителя математики.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Одним из важнейших направлений совершенствования процесса обучения решению геометрических задач является обучение работе с чертежом в контексте единства преобразования задачного чертежа с преобразованием задачной ситуации.

2. С изменением функций обучения изменяются и обучающие функции задач. Следовательно, изменяются функции чертежа, выполняемого к геометрической задаче. Чертеж в одной и той же функции может выступать не только на одном этапе решения задачи. Эти функции влияют на формирование приемов работы с чертежом (схема 1).

3. При работе с задачным чертежом вся деятельность учащихся делится на три вида: по выполнению чертежа, по чтению чертежа, по преобразованию чертежа в связи с исследованием заданной ситуации. Каждый вид деятельности предполагает наличие определенных приемов работы с чертежом, а каждый из приемов в свою очередь выделяет элементарные действия. Обучение школьников элементарным действиям, адекватным приемам работы с чертежом и есть основная задача учителя при формировании навыков у школьника работы с чертежом к геометрической задаче.

4. Деятельность по преобразованию задачного чертежа в связи с исследованием задачной ситуации есть результат совместных действий по выполнению и чтению чертежа.

5. Формирование приемов работы с чертежом в единстве с преобразованием задачи требует разработки специальной системы упражнений: а) упражнения, ориентирующие на выделение и формирование действий, адекватных приемам работы с чертежом, б) упражнения, использующие сформированные приемы при решении задач Достоверность и обоснованность проводимого исследования, его результатов и выводов обусловлены внутренней согласованностью выдвигаемых теоретических положений, их опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, методики преподавания математики, совокупностью разнообразных методов исследования, а также результатами количественной и качественной обработки полученных экспериментальных данных.

Апробация основных положений и результатов исследования проводилась путем исследования их в личном опыте работы в школе, а также в опыте работы других учителей, выступлений на методических семинарах и научно-практических конференциях, участия в международных, межвузовских и внутривузовских конференциях (межвузовская научно-методическая конференция (Тверь, 7-8 декабря 2000 г., посвященной 110-летию со дня рождения В.М. Брадиса) , межвузовская научная конференция (Пенза, 2000 г.), посвященной 25-летию факультета начальных классов ПГПУ им. В.Г.Белинского, Всероссийская научно-практическая конференция (Бирск, 14-15 июня 2002 г.), международная научная конференция (Черновцы, 1998 г.), третья международная научно-методическая конференция (Пенза, 30-31 марта 2000 г.)).

Внедрение разработанных методических рекомендаций осуществлялось в ходе экспериментальной проверки в процессе преподавания геометрии в средней школе № 27 г. Пензы, Белинской средней школы №2, на практических занятиях по решению геометрических задач и методике преподавания математики, в период педагогической практики со студентами педагогического университета (гимназия при ПГПУ, школы № 11,12).

Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Она состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе проведенного исследования решены все поставленные задачи и получены следующие основные результаты:

1. На основе анализа психолого-педагогической литературы, целей обучения геометрии, опыта работы лучших учителей математики удалось показать, что целенаправленная работа по формированию и развитию умений выполнять, читать и преобразовывать геометрический чертеж в единстве с исследованием задачи способствует осознанному усвоению школьниками теоретических знаний, успешному их применению к решению разнообразных задач, развитию пространственного воображения и творческого мышления, усиливает прикладную направленность преподавания планиметрии и позволяет расширить внутрипредметные и межпредметные связи.

2.Выделены и обоснованы приемы работы с геометрическим задачным чертежом на этапах выполнения, чтения и преобразования геометрического чертежа, в основу которых положены представления о системе соответствующих умственных действий: выполнение чертежа связывается с умением переводить информацию, представленную в том или ином виде, на графический язык; чтение чертежа — с обратным переводом, а преобразование связывается с тем и другим, являясь объединением деятельности первых двух видов. Такой подход к классификации позволил более полно представить перечень задач на выполнение, чтение и преобразование чертежа, в связи с исследованием задачной ситуации, а также равномерно распределить их по всему курсу планиметрии.

3. Выделены функции задачного чертежа в соответствии с этапами решения задачи. На этапе анализа условия задачи выделены следующие функции: а) чертеж - способ задания задачной ситуации (это не что иное, как упражнения на готовых чертежах); б) чертеж - способ формирования геометрических понятий; в) чертеж - способ развития пространственных представлений; г) чертеж - способ воспроизведения словесной формулировки задачи (иллюстративная функция). На этапе поиска пути решения основными являются функции: а) чертеж - средство графического решения задачи; б) чертеж — наглядное пособие; в) чертеж - средство поиска способа решения задачи; г) чертеж - средство осмысления геометрических понятий. На этапе оформления решения задачи чертеж обладает практически всеми перечисленными функциями. На этапе анализа задачной ситуации в целом выделяем следующие функции: а) чертеж - способ повторения; б) чертеж - способ систематизации знаний; в) чертеж - способ задания условия; г) чертеж - средство развития эвристических приемов (пространственных представлений, нахождения способов решения творческих задач) ; д) чертеж — средство укрупнения дидактических единиц (основа + семьи, блоки фигур); е) чертеж - средство развития ребенка (творческого, эстетического). Такое распределение функций позволило более подробно рассмотреть влияние их на формирование действий , адекватных приемам работы с чертежом.

4. Выделены и обоснованы действия, адекватные приемам работы с чертежом.

5.Разработана и экспериментально проверена методика обучения этим действиям.

Полученные результаты являются новыми, они свидетельствуют о том, что поставленные задачи исследования в основе своей решены, а цель исследования - достигнута. Вместе с тем эти результаты определили направление дальнейших исследований по взаимосвязанному изучению теорем, понятий и задач- это линия формирования стиля мышления на основе его структурных составляющих и взаимосвязанное использование приемов работы с чертежом в процессе решения задач планиметрии.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Кондратьева, Елена Викторовна, Пенза

1. Абремский Б.А. Формирование приемов решения планиметрических задач на вычисление в процессе анализа их решения: Дис. .канд. пед. наук. -М., 1990.

2. Аракелян Р.Л. Формирование начальных графических умений учащихся при обучении геометрии : Дис. канд. пед. наук. М., 1988.

3. Артемов А.К. Состав и методика формирования геометрических умений школьников. Пенза, 1969.

4. Артемов А.К. Методологические основы методики формирования математических умений школьников: Автореф. дис. .д-ра пед. наук. Л., 1985.

5. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия: учебник для 7-9 кл. сред. шк. -М.: Просвещение, 1990.

6. Беспалько В.П. Слагаемые педагогических технологий. — М.: Просвещение, 1989.

7. Болтянский В.Г. Разбиение фигур на меньшие части М.: Наука, 1971.

8. Болтянский В.Г., Груденов Я.И. Как учить поиску решения задач //Математика в школе. 1988. - №1. - С. 8-15.

9. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. Уч. пособие для пед. ин-тов и гос. ун-тов./ Под ред. Маркушевича А.И. М.: Учпедгиз, 1954.

10. Ю.Василевский А.Б. Расчетно-графический метод решения геометрических задач в средней школе: Дис. .канд. пед. наук. Минск, 1967.

11. П.Вересова Е.Е. Практикум по решению математических задач — М.: Просвещение, 1979.

12. Владимирский Г.А. Каким должен быть чертеж преподавателя геометрии // Математика в школе. 1998. - № 4. - С. 72-78.

13. Владимирский Г.А. Система упражнений на графическом материале в преподавании геометрии: Дис. .канд. пед. наук. — Акад. пед. наук РСФСР, 1947.

14. Волкова Н.Д. Исследовательская деятельность учащихся при изучении геометрии как средство развития их творческого мышления: Дис. . канд. пед. наук. Киев, 1972.

15. Волхонский А.И. Последовательности прямоугольных треугольников в решении геометрических задач // Математика в школе. — 1963. №4. - С. 43-55.

16. Вопросы геометрического моделирования: Межвуз тематический сборник трудов. Л.: «ЛИСИ», 1981 .

17. Воробьева Н.Г. Творческие задания средство активизации познавательной деятельности учащихся //Математика в школе - 1987. - №4. - С. 3235.

18. Воробьева Н.Г. Формирование познавательной активности учащихся в процессе решения геометрической задачи: Дис. .канд. пед. наук. — М., 1989.

19. Воронько Т.А. Дидактическая роль теоретических знаний в развитии пространственных представлений учащихся при изучении стереометрии: Дис. . канд. пед. наук М., 1992 .

20. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач. -Киев: Рад. Шк., 1989.

21. Герасимова А.Д. Обоснование дополнительных построений при доказательстве теорем // Математика в школе 1994. - № 5. - С. 30-36.

22. Герасимова А.Д. Формирование творческого воображения учащихся в процессе поиска решения планиметрических задач, требующих дополнительных построений: Дис.канд. пед. наук. Тирасполь, 1994.

23. Гингулис Э.Ж. Методика развития математических способностей учащихся 6-8 классов в ходе решения геометрических задач: Дис. .канд. пед наук.-М.,1988.

24. Глыва Г.Н. Формирование обобщенных умений решать геометрические задачи у учащихся 6-8 классов: Дис.канд пед. наук. Киев, 1988.

25. Гольдберг Я.Е. С чего начинать решение стереометрической задачи: Пособие для учителя. Киев: Радянська школа, 1990.

26. Гольберг Е.М. Одна последовательность треугольников //Математика в школе. 1994. - №4. - С. 64-67.

27. С чего начинать решение стереометрической задачи: Пособие для учителя. Киев: Радянська школа, 1990.

28. Готман Э.Г.Правильное решение геометрической задачи //Квант. 1987. -№5. - С. 50-55.

29. Готман Э.Г.О свойствах центра вневписанной окружности //Квант. 1989. - №9. - С. 38-41.

30. Готман Э.Г. Вариации задачи о квадрате и вписанном в него треугольнике //Математика в школе. 1991. - №1. - С. 26-28.

31. Григорьева Т.П. Творческие задания по геометрии для 7 классов //Математика в школе. 1990. - №3. - С. 17-19.

32. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. М.: Педагогика, 1987.

33. Гуревич C.B. Методика построения чертежа к геометрической задаче при изучении геометрии, основанной на идеях фузионизма: Дис. .канд. пед. наук.-М., 1997.

34. Гуртовой О.С. Некоторые приемы, облегчающие решение геометрических задач // Математика в школе. 1996. - №2. - С. 61-65.

35. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: Дис. .доктора пед. наук. М., 1990.

36. Гусев В.А. Медяник А.И. Дидактические материалы по геометрии. М.: Просвещение, 1992.

37. Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику? 4.1. М.: Авангард, 1994.

38. Гусев В.А Внеклассная работа по математике в 7-9 классах. М.: Просвещение, 1984.

39. Далакян J1.A. Больше внимания геометрическим построениям //Математика в школе. 1980. - № 1. - С. 25-27.

40. Далингер В.А. Чертеж учит думать // Математика в школе . 1990. - № 4. - С. 32-36.

41. Далингер В. А. Некоторые аспекта формирования познавательного интереса в процессе обучения математике //Воспитание учащихся при обучении математике: Кн. Для учителя: из опыта работы / Сост. J1. Ф. Пичурин. -М., 1987.

42. Данилова Е.Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометир-ческих задач. М.: Учпедгиз, 1961.

43. Зверева А.Т. Задачи как средство формирования и развития графических умений при обучении планиметрии: Дис. .канд. пед. наук. -М., 1989.

44. Зыкова В.И. Очерки психологии усвоения начальных геометрических знаний. М.: Учпедгиз, 1955.

45. Зыкова В.И. Формирование практических умений на уроках геометрии -М., 1963.

46. Иванов O.A. Обучение поиску решения задач //Математика в школе. -1997. №6.- С. 47-52.

47. Иванова Т.А. Гуманитаизация общего математического образования: Монография. Нижний Новгород: Из-во НГПУ, 1989. - 206 с.

48. Изаак Д.Ф. Изображение геометрических фигур в средней школе: Дис. . канд. пед. наук. М., 1960.

49. Изаак Д.Ф. Поиски решения геометрической задачи //Математика в школе. 1998. - №6.- С. 30-34.

50. Кабанова-Меллер E.H. Роль образа в решении задач //Вопросы психологии. 1970.-№ 5,- С. 122-131.

51. Кабанова-Меллер E.H. Роль чертежа в применении геометрических теорем // Известия: АПН РСФСР. 1950, вып. 28.

52. Карелин JI.3. Задачи на исследование в школьном курсе геометрии: Дис. .канд. пед. наук-Киев, 1967.

53. Калошина И.П., Добровольская H.A. Творческие задачи на создание дополнительных построений. Ростов на дону: «Ростовский университет», 1984.

54. Колягин Ю.М Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. -2-е изд., перераб. и доп. -М.: Просвещение, 1980.

55. Колягин Ю.М. Функции задач в обучении математике и развитии мышления школьников //Сов. Педагогика. 1974. - №6.

56. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике: Математические задачи как средства обучения и развития учащихся. 4.1. М.: Просвещение, 1970.

57. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике: Математические задачи как средства обучения и развития учащихся. 4.2. М.: Просвещение, 1977.

58. Колягин Ю.М. Учись решать задачи. М.: Просвещение, 1980.

59. Краизман М.А. Свойства вписанного в окружность четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями //Математика в школе. 1988. - №3. - С. 50-52.

60. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. -М.: Просвещение, 1986.

61. Кузнецова Е.В. Элементы творческой деятельности учащихся 5-6 классов при решении занимательных задач //Математика в школе. 1997. - №5 . С. 66-72.

62. Кулюткин Ю.Н. Эвристические методы в структуре решений. М., 1970.

63. Куценок В.Е Обучение методам решения геометрических задач, основанных на использовании вспомогательной окружности: Дис.канд. пед.наук. М., 1992.

64. Куваев М.Р. Методика преподавания математики в ВУЗе. Томск: Издательство Томского университета, 1992.

65. Кушнир И.А. Проекции точки на две стороны треугольника, когда она движется по третьей. // Математика в школе. — 1989. №6. - С. 120-126.

66. Кушнир И.А Об одном способе решения задачи на построение //Математика в школе. 1982. - № 4.

67. Ланда Л.Н. Алгоритмизация в обучении. /Под ред. Гнеденко Б.В. и Бирюковой Б. В. М.: Просвещение, 1966.

68. Ларькина Е.В. Методика формирования элементов исследовательской деятельности учащихся основной школы на уроках геометрии: Дис. .канд. пед. наук. -М., 1996.

69. Либерзон М.Р.Вспомогательный куб // Квант. 1986. - №5. - С. 46-51.

70. Ломов Б.Ф. Психологические основы формирования графических знаний, умений, навыков //Основы методики обучения черчению. /Под ред. А.Д.Ботвинникова. М.: Просвещение, 1966.

71. Ломов Б.Ф. Формирование графических знаний и умений у учащихся. — М.: АПН РСФСР, 1959.

72. Лоповок JI.M. Методика отбора упражнений по геометрии и обучение их решению. / в кн: Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы./ Под ред. Фетисова А.И. М.: Просвещение, 1967 .

73. Лоповок Л.М. Методика отбора упражнений по геометрии и обучение их решению. / кн: Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы. / Под ред. Фетисова А.И . М.: Просвещение, 1967.

74. Лидский В.Б. и др. Задачи по элементарной математике. М.: Физматгиз, 1962.

75. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика /Сост. В.М. Мишин. -М., 1987.

76. Мишин В.И. Учитесь обучать решению геометрических задач. М.,1983.

77. Мищенко A.C. О пробном учебнике геометрии 6-8. // Математика в школе. 1983,- №2.- С. 46-48.

78. Миганова Е.Ю. Методика конструирования систем учебных математических задач. Учебное пособие. Саранск - Арзамас, 2001.

79. Моденов П.С. Задачи по геометрии . М.: Наука, 1979.

80. Панарин Я.П. Задача одна решений много //Математика в школе. - 1992. - №1. - С. 15-17.

81. Принцев H.A. Постановка преподавания геометрии и методика работы над геометрическими задачами в 7 летней школе: Дис. .канд пед наук. Шк. Б. м,1953.

82. Погорелов A.B. Геометрия. Учебник для 7-11 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1993.

83. Пойа Д. Как решать задачу ? М.: Учпедгиз, 1961.

84. Пойа Д. Математическое открытие. М.; Учпедгиз, 1974.

85. Покровский В.П. Формирование "геометрической зоркости" у учащихся 45 классов //Математика в школе. 1974. - №4. - С. 30-34.

86. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. М.: Наука, 1991.

87. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. 4.1. М.: Наука, 1986.

88. Прасолов В.В. Используя площадь. // Квант .- 1986. №5. - С. 16-20.

89. Прасолов ВВ Несколько доказательств теоремы о высотах треугольника. //Математика в школе. 1988. - №1. - С. 72-73.

90. Применение знаний в учебной практике школы /Сборник статей под редакцией Менчинской H.A. -М.: АПН РСФСР, 1961.

91. Произволов В.В. Геометрия ножниц в задачах. // Математика в школе.- 1998.- №2.-С. 87-89.

92. Протасов И.Ф. Обучение школьников приемам работы с учебным материалом по геометрии (чтение чертежа и составление плана решения задачи): Дис.канд. пед. наук.- Калинин, 1971 .

93. Рощина H.A. О воспитании эстетического вкуса учащихся при решении планиметрических задач. //Математика в школе. 1997. - №2. - С. 4-8.

94. Рыбкин H.A.Сборник задач по геометрии для семилетней и средней школы. 4.1. М.: Учпедгиз, 1961.

95. Рыжик В.И. 2500 уроков математики. М.: Просвещение, 1977.

96. Саранцев Г.И. Обучение доказательству // Математика в школе. 1996.- №6. С. 16-21.

97. Саранцев Г.И Общая методика преподавания математики: Учеб.пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов. Саранск: Тип. «Красный Октябрь», 1999.

98. Саранцев Г.И. Составление геометрических задач на заданных чертежах. // Математика в школе. 1993. - № 6. - С. 14-16.

99. Саранцев Г.И. Формирование математических понятий в средней школе //Математика в школе . 1998. - №6. - С.27-30 .

100. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. — М.: Просвещение, 1995.

101. Саранцев Г.И., Калинкина Т.М. Методы научного познания как средство упорядочения геометрических задач .- М., 1994.

102. Саранцев Г.И., Королькова И.Г. Примеры многовариативных самостоятельных самостоятельных работ //Математика в школе. 1994. - №4. - С.20-21.

103. Саранцев Г.И. Методы обучения, как категории предметных методик. //Педагогика. 1998,- №1.-С. 28-34.

104. Саврасова С.М., Ястребицкий Г.А. Упражнения по планиметрии на готовых чертежах. -М.: Просвещение, 1987.

105. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике, Киев: Радянська школа, 1983.

106. Семенов Е.Е. Размышления об эвристиках //Математика в школе. — 1995.- №5.-С. 39-43.

107. Семенов Е.Е. Не теряя время попусту //Математика в школе. 1993. -№5. - С. 57-59.

108. Семенов Е.Е. Изучаем геометрию. Книга для учащихся. М.: Просвещение, 1987.

109. Силаев Е.В. Теоретические основы методической подготовки будущего учителя к преподаванию школьного курса геометрии. М., 1997.

110. Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике М.: Просвещение, 1991.

111. Терешин H.A. Прикладная направленность школьного курса математики: Книга для учителя. М.: «Просвещение», 1990.

112. Туманов С.И. Поиски решения задачи. М. : Просвещение, 1969.

113. Фетисов А.И. Геометрия в задачах. М.: Просвещение, 1977.

114. Формирование учебной деятельности школьников /Под ред. В.В.Давыдова, И.Ломпшера, А.К. Марковой. М., 1982.

115. Формирование приемов математического мышления /Под ред. Н.Ф.Талызиной. М.: Вентина Граф, 1995.

116. Формирование графических знаний и умений учащихся. М.: АПН РСФСР, 1959.

117. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи: Пособие для учителя 2 изд. перераб. и доп. М.: Просвещение, 1984.

118. Фридман Л.М. Логико психологический анализ школьных учебных задач. — М.: Педагогика, 1977.

119. Фридман Л.М. Психологический анализ задач. Сообщение 1. Проблемные ситуации и задачи. В.кн. новые исследования в психологии возрастной физиологии. - М., 1970, №1.

120. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. -М,: Просвещение, 1983.

121. Фридман Л.М. Методика обучения решению математических задач //Математика в школе. 1991. - №5. - С. 59-63.

122. Фридман Л.М., Волков К.Н. Наглядность и моделирование в обучении. -М.: Знание, 1984.

123. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М., 1963.

124. Чада Б. Развивать алгоритмическую культуру учащихся//Математика в школе. 1983. - № 2. - С.62-63.

125. Чистякова Л.С. Методика формирования и развития практических умений и навыков учащихся 6-8 классов при обучении геометрии: Дис. .канд. пед. наук.-М., 1987.

126. Шадриков В.Д. Деятельность и способности. М.: Лотос, 1994.

127. Шарыгин И.Ф.Узнайте точку // Квант. 1989. - №9. - С. 52-58.

128. Шарыгин И.Ф.Откуда берутся задачи // Квант. 1991. - №8. - С.42-50.

129. Шарыгин И.Ф.Откуда берутся задачи // Квант. 1991. - №9. - С. 42-50.

130. Шарыгин И.Ф. Несколько эпизодов из жизни вписанной и описанной окружностей // Квант. 1990. - №8. - С. 66-70.

131. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии: планиметрия М.: Наука,1982.

132. Шатилова A.B. Обучение школьников составлению геометрических задач по готовым чертежам: Дис.канд. пед. наук. — Саранск, 1997.

133. Шило Н.Г. Формирование системности знаний учащихся на заключительном этапе решения геометрической задачи: Дис. . канд. пед. наук. -М, 1997.

134. Щукина Г.И. Роль деятельности в учебном процессе. М.: Просвещение, 1986.

135. Юдин Э.Г. Системный подход и принцип деятельности: Методологические проблемы современной науки. М., 1978.

136. Якиманская И.С. Восприятие и понимание учащимися чертежа и условия задачи в процессе ее решения // Применение знаний в учебной практике школьников./Под ред. H.A. Менчинской М.: АПН РСФСР, 1981.