Формирование умения решать задачи с помощью дополнительных построений у учащихся 7-9 классов

Устинкова, Татьяна Вячеславовна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Формирование умения решать задачи с помощью дополнительных построений у учащихся 7-9 классов

Автореферат

Автор научной работы: Устинкова, Татьяна Вячеславовна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Санкт-Петербург
Год защиты: 2006
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Формирование умения решать задачи с помощью дополнительных построений у учащихся 7-9 классов"

На правах рукописи УДК 372.016:51

Устинкова Татьяна Вячеславовна

, ФОРМИРОВАНИЕ УМЕНИЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПОСТРОЕНИЙ У УЧАЩИХСЯ 7-9 КЛАССОВ

Специальность: 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень общего образования)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена на кафедре геометрии и методики преподавания математики Карельского государственного педагогического университета

Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент

Любовь Андреевна Басова

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор

Елена Ивановна Казакова

кандидат педагогических наук, доцент Татьяна Федоровна Кириченко

Ведущая организация: Мурманский государственный

педагогический университет

Защита состоится «1» июня 2006 г. в 1130 часов на заседании Диссертационного Совета Д 212 199.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора педагогических наук при Российском государственном педагогическом университете им. А.И. Герцена (191186, г. Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, д. 48, корпус 1, ауд. 237).

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена.

Автореферат разослан «28» апреля 2006 г.

Ученый секретарь ___,,

Диссертационного Совета ¿^¿^¡/¿^ И.В. Симонова

¿aotA-7wTU

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. В геометрии важнейшим средством активизации обучения и воспитания у школьников качеств, присущих творческой личности, является решение задач. Задачи способствуют сближению деятельности ученика с деятельностью исследователя. Рассуждение, основанное на собственном опыте, знаниях и умении преломить эти знания в зависимости от поставленной проблемы для получения верного математического результата, можно рассматривать как учебное открытие. Решение задач как метод приобретения новых знаний является наилучшим путем развития учащихся.

Умение решить задачу - это, прежде всего, умение самостоятельно провести поиск способа ее решения. И научить учащихся решать задачи значит научить их осознанному поиску решения. Проблеме обучения школьников поиску решения геометрических задач посвящено много различных научно-методических исследований (Г.Д. Балк, М.Б. Балк, В.Г. Болтянский, Я.И. Груденов, Е.Ф. Данилова, В.В. Орлов, Д. Пойа, Ю.А. Розка, В.М. Тур-кина, JI.M. Фридман и др.). В этих работах выявляется сущность поиска решения геометрической задачи, рассматривается процесс осуществления поиска ее решения, большое внимание уделяется описанию различных приемов, используемых для поиска решения математических и, в частности, геометрических задач, поднимаются вопросы обучения поиску решения геометрических задач.

Традиционная методика преподавания геометрии уделяет большое внимание усвоению учащимися содержания предмета. При таком подходе задачи используются преимущественно для закрепления изученной темы и недостаточно для развития мышления. Приемы, способы действий, заложенные в предложенных задачах, остаются для учащихся неосмысленными и неосознанными. У школьников не вырабатываются критерии и правила, которыми в дальнейшем можно руководствоваться при самоопределении стратегии и тактики решения новых задач. Практика показывает, что, несмотря на бо'/ьшое число задач, решаемых в курсе геометрии основной школы, учащиеся испытывают трудности при самостоятельном поиске их решения.

В психолого-педагогической и методической литературе одной из основных причин механического заучивания формулировок теорем, непонимания логики построения доказательства теоремы и неумения школьников решать геометрические задачи чаще всего называют низкий уровень умения работать с чертежом (А К Артемов, Г.А. Владимирский, С.Ю. Дивногорцева, Б.Б Журавлев, В.И. Зыкова, E.H. Кабанова-Меллер, И.С. Якиманская и др.).

Чертеж широко используется в обучении геометрии. С привлечением чертежа учащиеся знакомятся с геометрическими понятиями, изучают свойства геометрических фигур, доказывают теоремы и решают задачи. Чертеж выполняет различные функции В одних случаях он является лишь средством наглядности, в других зрительной опорой в проведении рассуждений, в третьих - источником новых знаний, справедливость которых затем доказывается логическим путем, в четвертых, основой для мыслительных операций.

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.-Петербург

Мы убедились на собственном опыте, что многие учащиеся затрудняются самостоятельно пользоваться чертежом. Они беспомощно глядят на чертеж и не видят в нем всех его особенностей, позволяющих сделать необходимые выводы. Поиск новых отношений между данными задачи по чертежу часто производится ими только с помощью наводящих вопросов учителя Одной из причин низкого уровня умения работать с чертежом мы считаем недостаточность практических действий, связанных не только с самостоятельным выполнением чертежа, но и действий, связанных с его фактическим преобразованием.

В геометрии существует целый класс задач, решение которых предполагает преобразование геометрического чертежа. Например, задачи на разрезание, задачи, решаемые путем геометрических преобразований, задачи на отыскание геометрического места точек. К определенным изменениям на чертеже также приводят дополнительные построения.

При решении задач с помощью дополнительных построений учащийся, как правило, работает с чертежом, являющимся комбинацией различных фигур. В процессе выполнения таких задач необходимо проводить анализ имеющейся геометрической конфигурации с точки зрения недостаточности для решения фигур на чертеже, преобразовывать чертеж путем проведения новых линий на чертеже, и осуществлять повторный анализ, но уже новой геометрической конфигурации с целью получения окончательного решения. Следовательно, решение таких задач оказывает положительное влияние не только на развитие умения преобразовывать чертеж, но и на развитие умения читать чертеж.

Преобладание в ныне действующих учебниках задач, решаемых с помощью алгебраических приемов, приводит к сужению роли практических действий, связанных с преобразованием геометрического чертежа. Вслед за И.Ф. Шарыгиным нам кажется бесспорным, что «геометрия должна быть геометрической, а не аналитической или алгебраической...» и «главным действующим лицом геометрии должна быть фигура, а главным средством обучения - рисунок, картинка». И для пробуждения интереса к изучению геометрии и развития способностей к ней следует представить учащимся геометрию в виде, наибольшим образом соответствующим ее реальной сущности. Дополнительные построения являются одним из наиболее геометрических приемов решения геометрических задач.

Умение решить задачу с помощью дополнительного построения - это, прежде всего, умение найти необходимое для решения построение и реализовать его на чертеже. Данное умение предполагает владение соответствующим приемом' - приемом дополнительного построения. Прием (и, следовательно, соответствующее ему умение) формируется методикой обучения.

Проблеме обучения школьников решению задач с использованием дополнительных построений посвящены различные научно-методические рабо-

' В данном исследовании принимается определение приема учебной работы, сформулированное в трудах 1'. н Кабановой-Меллср, как системы действий, направленных на решение учебных задач

ты (С. Белый, А.И. Волхонский, П. Горштейн, З.Г. Готман, Е.Ф. Данилова, Д.Ф. Изаак, Э. Капленко, И. Кушнир, Я. Суконник, Н.А. Тарасепкова, И.Ф. Шарыгин, В. Финкельштейн и др.). В работах указанных авторов, как правило, демонстрируются решения геометрических задач с использованием различных дополнительных построений, поднимаются вопросы обучения поиску решения задач с помощью дополнительных построений, которые зачастую высказываются в виде отдельных рекомендаций. Следует сказать, что авторами особенности реализации на чертеже некоторых дополнительных построений практически не рассматриваются.

Непосредственно методике обучения школьников решению задач с помощью дополнительных построений посвящены диссертационные исследования А.Д. Герасимовой, В.Е. Куценка.

А.Д. Герасимовой разработана методика формирования и развития творческого воображения у учащихся в процессе поиска решения задач, требующих дополнительные построения. В.Е. Куценком в рамках своего исследования разработана методика обучения решению геометрических задач с помощью вспомогательной окружности. Следует сказать, что направление, связанное с использованием в решении данного дополнительного построения, в научно-методической литературе является наиболее разработанным.

Работы А.Д. Герасимовой и В.Е. Куценка заслуживают внимания. Однако наряду с достоинствами, которые, на наш взгляд, выражаются в указаниях о проведении некоторой подготовительной работы, предшествующей решению задач с использованием дополнительных построений, имеют и определенные недостатки Ни в одном из научно-методических исследований не уделяется внимание установлению состава приема дополнительного построения.

В учебной литературе имеется достаточное число задач, решаемых с помощью дополнительных построений. Наш собственный опыт показывает, что такие задачи, как правило, вызывают трудности у решающих. Умение решать задачи с помощью дополнительных построений формируется у учащихся стихийно и, вследствие этого, не обладает широким переносом. В связи с этим мы обратились к исследованию проблемы нахождения путей эффективного формирования у учащихся умения решать задачи с использованием дополнительных построений в курсе геометрии основной школы.

Актуальность данного исследования определяется противоречием, которое заключается в том, что, с одной стороны, имеются геометрические задачи, существенной составной частью решения которых является не только выполнение чертежа, но и его преобразование, а, с другой стороны, методика целенаправленного формирования у учащихся умения решать такие задачи остается недостаточно разработанной.

Цель исследования: разработать вариант методики обучения приему дополнительного построения при изучении геометрии в 7-9 классах.

Объектом исследования выступает процесс обучения решению геометрических задач.

Предметом исследования выступает процесс обучения решению задач с использованием дополнительных построений.

В силу того, что решение задач с помощью дополнительных построений оказывает положительное влияние на развитие умения читать, преобразовывать чертеж, то сформированность умения решать такие задачи позволит учащемуся более грамотно и уверенно работать с геометрическим чертежом. Естественно предположить, что это будет способствовать более успешному решению школьниками различных задач в курсе геометрии основной школы, поскольку умение работать с чертежом является важным для решения любой геометрической задачи.

В обучении школьников решению геометрических задач методической наукой накоплен положительный опыт, в частности, связанный с формированием приемов поиска - анализ условия и анализ требования задачи. Представляется, что в случае конкретизации и уточнения этих приемов путем введения действий, составляющих прием дополнительного построения, в процессе формирования умения решать задачи с помощью дополнительных построений имеется возможность повлиять на более успешное решение школьниками различных геометрических задач, поскольку прием анализа является достаточно универсальным - в большей или меньшей степени он используется при решении любой задачи.

В связи с высказанными соображениями была сформулирована следующая гипотеза исследования: если установить состав приема дополнительного построения, разработать наборы задач, методику работы с ними и на этой основе сформировать у учащихся соответствующее умение, то это будет способствовать более успешному решению школьниками задач в курсе геометрии основной школы.

Для решения поставленной проблемы и проверки сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. Определить виды различных дополнительных построений, особенности их реализации; установить место и значение задач, решаемых с помощью дополнительных построений, в учебных пособиях для учащихся 7-9 классов.

2. Изучить существующие методики обучения учащихся решению задач с использованием дополнительных построений.

3. Установить состав приема дополнительного построения.

4. Выявить требования к наборам задач, служащим основным средством обучения школьников приему дополнительного построения.

5. Разработать наборы задач и методику работы с ними на уроках геометрии в 7-9 классах.

6. Осуществить экспериментальную проверку разработанной методики.

В ходе исследования использовались различные методы: У анализ математической, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования; ^ педагогическое наблюдение; ^ беседы с учителями по проблеме исследования;

педагогический эксперимент с последующей качественной и количественной обработкой его результатов.

Исследование проводилось с 2002 по 2006 гг. и включало в себя следующие этапы.

На первом этапе (2002-2003 гг.) был проведен анализ психолого-педагогической и методической литературы, содержания современных школьных учебников, содержания материалов вступительных экзаменов в ВУЗы и олимпиад. Были изучены ведущие идеи в обучении поиску решения геометрических задач, определены виды различных дополнительных построений, особенности их реализации, изучены существующие методики обучения решению задач с помощью дополнительных построений Был подобран материал для проведения констатирующего эксперимента Итогом работы на эгом этапе стала разработка теоретической базы исследования, проведение констатирующего эксперимента.

На втором этапе (2003-2004 гг.) в рамках поискового эксперимента определялись принципы конструирования наборов геометрических задач, служащих основным средством обучения школьников приему дополнительного построения, и методика работы с ними Результатом этого этапа стала разработка набора задач, решаемых с помощью дополнительных построений, и методических основ работы с ними.

На третьем этапе (2004-2006 гг.) по разработанным материалам осуществлялся обучающий эксперимент для проверки достоверности выдвинутой гипотезы. Была проведена количественная и качественная обработка материалов эксперимента, сформулированы общие выводы.

Научная новизна и теоретическая значимость проведенного исследования заключается в том, что'

1) описаны отдельные особенности реализации дополнительного построения отрезка и прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже;

2) определен состав приема дополни гельного построения;

3) выделены требования к наборам задач, служащим основным средством обучения учащихся приему дополнительного построения;

4) разработана методика обучения приему дополнительного построения в процессе изучения каждой темы курса геометрии основной школы.

Практическая значнмос1ь исследования состоит в том, что:

1) выполнена группировка различных видов дополнительных построений, в результате чего выделены три вида построений - отрезок, прямая, параллельная одной из имеющихся на чертеже, и окружность;

2) установлен состав приема дополнительного построения;

3) разработаны наборы задач, направленные на обучение учащихся приему дополнительного построения;

4) разработанная методика обучения приему дополнительного построения в курсе геометрии 7-9 классов может быть использована в условиях основной школы без перестройки учебных планов и программы, она ориентирована на любой из действующих учебников, ее внедрение не требует дополнительного времени.

Рекомендации об использовании результатов диссертационного исследования. Материалы могут быть использованы учителями средней школы при обучении геометрии в 7-9 классах, а также преподавателями педагогических ВУЗов, ведущими курсы методики преподавания математики.

Достоверность результатов исследовании обеспечивают: ^ теоретический анализ проблемы;

^ выбор методов исследования, адекватных поставленным целям и задачам; качественная и количественная интерпретация результатов эксперимента, подтвердившая гипотезу исследования; воспроизводимость результатов исследования.

На защиту выносится следующее:

1. Состав приема дополнительного построения.

2. Требования к наборам задач и основные положения методики обучения учащихся приему дополнительного построения.

Апробация результатов исследования. Экспериментальная проверка разработанных материалов осуществлялась в Университетском лицее, школах № 14, 34, 43 (г. Петрозаводск). Основные теоретические и практические положения исследования, результаты эксперимента докладывались и обсуждались на научных конференциях «Герценовские чтения» в Российском государственном педагогическом университете им. А.И. Герцена (Санкт-Петербург, 2004, 2005 гг.), на научно-практических конференциях Карельского государственного педагогического университета (Петрозаводск, 2003 -2005 гг.), на семинаре аспирантов и преподавателей физико-математического факультета и факультета начального образования КГПУ (2004 г.), на методических семинарах кафедры геометрии и методики преподавания математики КГПУ (2003 - 2005 гг.), на городском методическом семинаре учителей математики г. Петрозаводска (2005, 2006 гг.), на методическом семинаре кафедры методики обучения математике РГПУ им. А.И. Герцена (2006 г.).

По теме диссертационного исследования имеются 5 публикаций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 2 глав (6 параграфов), заключения и библиографии. Работа изложена на 155 страницах машинописного текста, иллюстрирована 16 таблицами, 7 схемами и 4 диаграммами. Список литературы содержит 165 источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе «Теоретические основы методики обучения школьников приему дополнительного построения в процессе изучения планиметрии» представлена теоретическая база исследования. Данная глава содержит три параграфа.

В первом параграфе «Дополнительные построения как методическая проблема», прежде всего, показана целесообразность специального обучения школьников приему дополнительного построения. Целенаправленное обучение решению задач с помощью дополнительных построений дает возможность учащимся реализовать себя в познавательной деятельности при откры-

тии новых геометрических фактов (самостоятельное доказательство теорем с использованием новых линий на чертеже) и позволяет усилить практическую и развивающую направленность преподавания геометрии (развитие у учащихся умения работать с чертежом).

С целью установить место и значение приема дополнительного построения в курсе геометрии основной школы и выявить степень разработанности методики формирования у учащихся соответствующего умения в параграфе проведен анализ учебной и научно-методической литературы.

Анализ учебной литературы показал, что в учебниках геометрии (Л.С. Атанасян и др , А.Д. Александров и др., А.П. Киселев, И.Ф. Шарыгин) дополнительные построения используются при доказательстве теорем (практически половины) и решении задач в 7-х и 8-х классах В диссертации установлено, что в учебниках геометрии имеет место неравномерность распределения задач, решаемых с помощью дополнительных построений (в 8-м классе такие задачи составляют практически треть всех представленных в учебниках задач, в 7-м классе - их значительно меньше).

Анализ методической литературы показал, что особенности реализации отдельных дополнительных построений практически не рассматриваются. Поднимающиеся вопросы обучения учащихся поиску решения задач с использованием новых линий на чертеже, как правило, высказываются в виде отдельных рекомендаций. Существующие в рамках диссертационных исследований варианты методики обучения школьников решению задач с помощью дополнительных построений имеют определенные недостатки - в своих работах авторы не уделяют внимание установлению состава приема дополнительного построения.

В завершении данного параграфа описаны результаты консташрующе-го эксперимента, которые позволили установить, что значительная часть учащихся испытывает трудности как при выполнении дополнительных построений для решения геометрической задачи (при выполнении преобразования чертежа), так и при чтении чертежа. Полученные результаты свидетельствуют о том, что умение решать задачи с помощью дополнительных построений формируется у учащихся стихийно (по ходу усвоения шаний, в процессе решения задач и т.п.). Для эффективного формирования указанного умения необходимо соответствующий прием (прием дополнительного построения) сделать предметом специального изучения и усвоения.

Прием дополнительного построения состоит из умственных (поиск) и практических (реализация) действий. Виды дополнительных построений и способы их реализации рассмотрены во втором параграфе «Дополнительные построения как составная часть решения геометрической задачи».

Прежде всего, в данном параграфе раскрыто содержание понятия «преобразование чертежа». Под преобразованием чертежа мы понимаем замену одной фигуры на другую с помощью операций разбиения (если дополнительные построения производятся внутри фигуры) и достраивания (если дополнительные построения производятся за пределами фигуры).

Исходный чертеж можно преобразовать, используя различные дополнительные построения. В научно-методической литературе обсуждаются вопросы, связанные с проведением группировки видов дополнительных построений, так как с методической точки зрения выгодно учить общему приему решения большого класса задач. В результате проведения фуппировки в исследовании выделены следующие три euóa дополнительных построений•

1)отрезок (соединение отрезком каких-либо точек, лежащих на сторонах многоугольника, построение высот треугольника или четырехугольника, радиусов или хорд окружности, диагоналей многоугольника, продолжение отрезков до взаимного пересечения между собой и т.д.);

2) прямая, параллельная одной из имеющихся на чертеже;

3) окружность.

В диссертации раскрыты основания для выделения указанных видов дополнительных построений в курсе геометрии основной школы.

По вопросу использования окружности в решении геометрических задач в рабоге использован опыт, накопленный методической наукой, в частности, выделены три теоремы, которые полезны при решении задач с помощью данного дополнительного построения.

В случае построения дополнительною отрезка и прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже, некоторые особенности их реализации в научно-методической литературе практически не рассматриваются. Здесь мы имеем в виду построение на чертеже суммы (разности) отрезков (углов), о которых идет речь в задаче.

Выполнять действия над отрезками (углами) можно разными способами:

S алгебраически - вычислять сумму или разность отрезков (углов), если заданы их величины;

S геометрически - выполнять построение суммы или разности отрезков (углов), сравнивать отрезки (углы) с помощью циркуля и линейки; ■S логически - выполнять сравнение отрезков (углов) путем построения цепочки умозаключений на основании использования ранее изученных геометрических фактов (к примеру, равенство отрезков (углов) можно установить из равных треугольников, определить большую или меньшую сторону треугольника мЬжно, используя теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника и т.д.)

При решенйи'геометрических задач полсшо иметь на чертеже отрезок (угол), который представляет собой сумму (разность) отрезков (углой), данную по условию задачи. Рассмотрим следующий пример.

Задача 1. В треугольнике ABC проведена медиана ВМ. Угол СВК является внешним по отношению к треугольнику ABC. Известно, что АВ~2ВМ. Докажите, что ВС является биссектрисой угла МВК.

Данный по условию отрезок 2ВМ отсутствует ñ

на первоначальном чертеже. Его построение (рис. 1) >'«<■ 1

lü

и далее соединение новой точки N с вершиной А (или С) исходного треугольника приводит к появлению на чертеже пары равных треугольников и равнобедренного треугольника, изучение которых позволяет получить окончательное решение задачи

В диссертации описаны особенности дополнительного построения отрезка в случае выполнения действий над отрезками, а именно:

1) сумму (разность) отрезков целесообразно строить от обшей вершины;

2) вычитание (сравнение) отрезков выполняется, как правило, наложением меньшего отрезка на больший. При решении задач с применением дополнительных построений удачным будет также построение, если на продолжении меньшего построить отрезок, равный большему (другими словами, больший отрезок наложить на меньший).

Также в работе рассмотрено использование дополнительного построения прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже, для выполнения действий над углами (а именно: построения их суммы).

К частному случаю построения отрезка или прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже, в диссертации отнесен общеизвестный в геометрии вид дополнительного построения - увеличение медианы в 2 раза.

В решении задачи 1 построение отрезка, в два раза большего медианы, возникает естественным образом - об этом говорится в условии задачи. В некоторых случаях анализ формулировки не приводит к соображениям увеличивать медиану в 2 раза. Рассмотрим в качестве примера следующую задачу.

Задача 2. В треугольнике ABC проведена медиана ВМ. Какой из углов больше: АВМ или СВМ, если АВ меньше ВС?

В результате применения разных дополнительных построений - увеличение медианы ВМ в два раза или построение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне АВ, - мы имеем один и тог же чертеж (рис. 2). Отличие между способами решения задачи заключается в построении различных цепочек умозаключений. Уровень сложности решения при указанных отличиях является одинаковым. Поэтому при решении задач с медианой, анализ формулировки которых не приводит к соображениям построения отрезка, в два раза большего медианы, в диссертации предложено вести речь о построении прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже, как наиболее часто встречающемся приеме решения геометрических задач. С методической точки зрения это выгодно.

Такое предложение представляет ценность и с математической точки зрения - в этом случае появляется возможность решить одну и ту же задачу разными способами. Например, новую линию можно провести через основание медианы и параллельно стороне АВ, или чере? вершину С параллельно медиане треугольника.

В завершении данного параграфа онисаны возможности реализации одного и того же дополнительного построения по-разному (например, no-

строение прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже, в задаче 2); использования различных видов дополнительных построений для решения одной и той же задачи (например, прямая, параллельная одной из имеющихся на чертеже, или окружность); последовательное использование различных дополнительных построений в решении одной задачи (например, построение двух отрезков в задаче 1 или построение прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже, и отрезка в задаче 2).

В третьем параграфе «Дополнительные построения как эвристический прием» рассмотрена стратегия поиска решения задач с использованием дополнительных построений и установлен состав приема дополнительного построения.

В учебной и методической литературе для осуществления выбора необходимого для решения задачи дополнительного построения, как правило, рекомендуется запоминать некоторые построения, связанные с определенными геометрическими конфигурациями. К примеру, если в условии задачи фигурирует медиана треугольника, то помочь решению может продолжение медианы на расстояние, ей равное, или если в задаче идет речь о прямоугольном треугольнике, то полезно его достроить до равнобедренного и т.д

В диссертации показано, что поиск дополнительного построения, необходимого для решения геометрической задачи:

1) направляется требованием или условием задачи;

2) основывается на всесторонней изученности данного чертежа (отсутствие на рисунке фигур, которые необходимы для установления требуемого или о которых говорится в условии задач);

3) основывается на знании того, какие построения ведут к образованию фигур с известными отношениями элементов.

Рассмотрим задачу, на примере которой продемонстрируем поиск дополнительного построения на основании апапша требования.

Задача 3. Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (свойство прямоугольного треугольника).

Решение любой задачи начинается с анализа требования. Проанализируем требование задачи 3 - установить равенство отрезков АС и ВС/2. Другими словами: необходимо доказать, что в отрезке ВС укладывается ровно два отрезка, равных АС, то есть ВС=2АС=АС+АС. Для доказательства данного утверждения можно поступить по-разному:

1) построить на отрезке ВС отрезок СМ, равный АС (рис. За). Далее логическим путем доказать, что другая часть ВС (отрезок ВМ) также равна АС. Для этого соединить точку М с вершиной А и изучить полученные на чертеже фигуры;

2) построить отрезок СБ, равный по длине 2АС (рис. 36), так как данный отрезок отсутствует на чертеже. Далее

логическим путем установить равенство отрезков ВС и СО. Для этого соединить новую точку О с вершиной В и изучить полученные на чертеже фигуры.

В диссертации процесс поиска решения задач с помощью дополнительных построений представлен последовательностью действий, которые наглядно демонстрируются определенными схемами. Например, объединение схем, иллюстрирующих процесс поиска способов решения задачи 3, выглядит следующим образом:

(^^Изучить формулировку мдачи и выполнить чертеж

В диссертации также выделены действия, последовательностью которых представляется процесс поиска решения задачи с использованием до-

полнительного построения на основании аналиш условия (примером таких задач служит задача 1).

Наряду с рассмотрением задач, в решении которых дополнительные построения появляются на основании анализа условия или требования, в работе выделены существующие в геометрии задачи, ни условие, ни требование которых не ориентирует решающих на построение новых линий на чертеже (примером такого рода задач служит задача 2). В случае решения таких задач вступают в силу имеющиеся в научно-методической литературе рекомендации запоминать некоторые построения, связанные с определенными геометрическими конфигурациями. В подавляющем же большинстве случаев, как показано в исследовании, логика поиска решения задачи с помощью дополнительного построения является вполне определенной.

Объединяя выделенные действия, последовательностью которых представляется процесс поиска решения задачи с помощью дополнительных построений, в данном параграфе осуществлен вывод схемы поиска решения таких задач (часть ее представлена на с. 13). В работе описан процесс ее получения по мере изучения материала в курсе геометрии основной школы. Состав приема дополнительного построения представлен в схеме блоками, заключенными в ромб (ориентировочные действия) и в прямоугольник (исполнительские действия). Таким образом, прием анализа, используемый для поиска дополнительного построения, необходимого в решении задачи, конкретизируется и уточняется путем введения действий, составляющих прием дополнительного построения.

Во второй главе «Методика обучения приему дополнительного построения» раскрыты методические аспекты формирования у учащихся умения решать задачи с помощью дополнительных построений в курсе геометрии основной школы. Данная глава содержит три параграфа.

В первом параграфе «Наборы задач как основное средство обучения школьников приему дополнительного построения» сформулированы требования, предъявляемые к наборам задач, и показана их реализация в различных темах курса планиметрии.

Методические требования к основному средству обучения школьников приему дополнительного построения:

1. Задачи должны быть распределены на три набора в зависимости 01 учебных целей:

^ задачи, направленные на формирование у учащихся умения выполнять действия над отрезками (углами) различными способами; задачи, направленные на формирование у учащихся умения разбивать и достраивать геометрическую конфигурацию путем построения отрезка, прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже, окружности; ^ задачи, направленные на формирование у учащихся умения выполнять дополнительные построения в ходе решения.

2. Задачи, решаемые с помощью дополнительных построений (набор 3), должны быть распределены натри серии в зависимое!и от учебных целей:

^ задачи, направленные на формирование умения выполнять дополнительные построения на основании анализа требования; ^ задачи, направленные на формирование умения выполнять дополнительные построения на основании анализа условия; ^ задачи, направленные на формирование умения выполнять дополнительные построения на основании соображений заключения исходных и искомых величин в одну (вспомогательную) фигуру, если в результате анализа условия и требования не удается установить зависимость между исходными и искомыми величинами. 3. В задачах должны быть представлены различные:

^ способы выполнения действий над отрезками (углами); ^ операции преобразования геометрического чертежа: разбиение и достраивание;

^ виды построений: отрезок, прямая, параллельная одной из имеющихся на чертеже, окружность;

способы реализации дополнительных построений; ^ ситуации появления дополнительных построений на чертеже (в результате анализа требования, анализа условия, на основании соображений заключения исходных и искомых величин в одну фигуру).

В работе показана реализация сформулированных требований. Выделенные три различных набора задач расположены по темам в соответствии с их последовательностью в учебнике геометрии под редакцией Л.С. Атанася-на. Содержание набора 1 составляют задачи на вычисление, доказательство и построение, решаемые без дополнительных построений. Посредством решения задач первого набора у учащихся формируется умение выполнять действия над отрезками (углами) различными способами - алгебраически, геометрически и логически. Данное умение в дальнейшем при решении задач с помощью дополнительных построений позволит ученикам правильно проанализировать условие и требование задачи и догадаться об использовании новых линий на первоначальном чертеже.

В содержание набора 2 включены задачи на построение, а точнее, на разбиение или достраивание исходной геометрической фигуры путем построения отрезка, прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже, окружности. Посредством решения задач второго набора ученики знакомятся с различными видами построений, с помощью которых можно преобразовать первоначальный чертеж, и тренируются в построении новых фигур.

Набор 3 представлен задачами, решаемыми с помощью дополнительных построений, которые разбиты на три серии (Т, У и УТ). Основанием разбиения служит механизм аналитико-синтетической деятельности, выполняемой учащимися на этапе поиска решения.

Во втором параграфе «Этапы обучения учащихся приему дополнительного построения» сформулированы основные положения методики обучения приему дополнительного построения и описаны этапы обучения.

Основные положения методики обучения учащихся приему дополнительного построения:

1. Основным средством обучения должны служить специально созданные наборы задач.

2. Обучение приему дополнительного построения должно быть реализовано в 3 этапа: подготовительный, ознакомительный и формирующий.

3. Подготовка учащихся должна быть направлена на развитие до необходимого уровня геометрических знаний и умений.

4. В обучении должно быть реализовано поэлементное усвоение состава приема дополнительного построения, а именно: последовательное изучение действий, связанных:

^ с анализом требования задачи, ^ с анализом условия задачи,

^ с решением задач, в которых ни условие, ни требование не подталкивает решающего к выполнению дополнительных построений.

5. Развитие умения решать задачи с помощью дополнительных построений должно быть обеспечено повышением уровня сложности задач - решение задач серий Т, У должно предшествовать решению задач серии УТ. В процессе решения задач серий Т и У, во-первых, у учащихся формируется представление о пользе перехода от исходной фигуры к новой (о заключении исходных данных и искомых величин в одну фигуру для установления связи между ними) путем построения новых линий на чертеже, во-вторых, учащиеся в какой-то степени запоминают, какие виды построений приводят к появлению на чертеже определенных 1 еометрических конфжураций (визуальный опыт). В силу этого решение задач серий Т и У способствует как появлению догадки об использовании дополнительных построений при решении задач серии УТ, так и выбору способа преобразования первоначального чертежа.

Сформулированные основные положения методики обучения школьников приему дополнительного построения можно реализовать: ^ начиная с 7-го класса; ^ начиная с любой темы курса планиметрии; в 9 классе (или в рамках курса по выбору).

В диссертации подробно описаны варианты методики в случае обучения, начиная с 7-го класса, и в рамках курса по выбору.

Для проверки эффективности разработанной методики обучения решению задач с использованием дополнительных построений и подтверждения выдвинутой гипотезы, было проведено экспериментальное исследование, ход и результаты которого описаны в третьем параграфе «Методика и основные результаты экспериментальной работы».

Чтобы судить о степени эффективности разработанной методики обучения приему дополнительного построения был проведен ряд контрольных работ. При этом выявлялись изменения:

1)в развитии умения учащихся экспериментальных классов решать задачи с помощью дополнительных построений;

2) в развитии умения учащихся экспериментальных и контрольных классов читать чертеж.

Для исследования процесса развития умения решать геометрические задачи с помощью дополнительных построений были разработаны специальные задания, для решения которых учащимся необходимо было выполнить дополнительные построения на основании: анализа требования (№1), анализа условия (№2). соображений заключения исходных и искомых величин в одну фигуру (№3).

Для исследования процесса развития умения читать чертеж были разработаны специальные задания (две задачи), решение которых не предполагало использование дополнительных построений. Для их решения учащимся необходимо было: вычленить на чертеже фигуры, о которых говорится в условии задачи; вычленить фигуры, не данные по условию прямо, которые возникают на чертеже в результате соединения элементов тех фигур, которые указаны в условии прямо (мысленное конструирование); включить одни и те же элементы чертежа в разные геометрические конфигурации (переосмысливание элементов чертежа в плане различных понятий).

Для выявления динамики в развитии выделенных умений учащихся была использована уровневая методика. Итоги выполнения контрольных работ позволили нам выделить 4 уровня сформированное™ умения решать задачи с использованием дополнительных построений и 3 уровня сформированное™ умения читать чертеж

Уровни сформированности умения решать задачи с помощью дополнительных построений:

1) нулевой (неумение выполнять дополнительные построения);

2) низкий (умение выполнять дополнительные построения либо на основании анализа условия, либо на основании анализа требования задачи);

3) средний (умение выполнять дополнительные построения и на основании анализа условия, и на основании анализа требования задачи);

4) высокий (умение выполнять дополнительные построения как на основании анализа условия и требования задачи, так и на основании соображений ключения исходных и искомых величин в одну фигуру путем дополнительных построений).

Распределение учащихся экспериментальных классов по уровням сформированности умения решать задачи с помощью дополнительных построений на начало и конец эксперимента отражено на диаграмме (рис 4).

Уровни сформированности умения читать чертеж: 1) низкий (ученики распознают на чертеже данные по условию фигуры, но не выполняют мысленное конструирование и переосмысливание элементов чертежа в плане различных понятий);

Умение решать задачи с помощью дополнительных построений

Рис 4

2) средний (ученики частично вычленяют различные фигуры на чертеже и переосмысливают элементы чертежа в плане различных понятий);

3) высокий (ученики выполняют разностороннее рассмотрение чертежа).

Распределение учащихся контрольных и экспериментальных классов по уровням сформированное™ умения читать чертеж на начало и конец эксперимента показано на диаграммах (рис. 5 а, б).

Умение читать чертеж (КК) Умение читать чертеж {ЭК)

Рис 5

На основании анализа полученных результатов, выраженных в процентном отношении, мы констатировали, во-первых, произошедшее перераспределение в положительную сторону учащихся экспериментальных классов по уровням сформированное™ умения решать задачи с помощью дополнительных построений, во-вторых, более интенсивный переход учащихся экспериментальной группы по сравнению с учащимися контрольных классов на высокий уровень умения читать чертеж. Сформулированные выводы позволили нам судить о степени эффективности разработанной методики

Для проверки выдвинутой гипотезы мы использовали результаты контрольной работы, проводимой в экспериментальных и контрольных классах с целью исследования развития умения читать чертеж (две задачи, решаемые без использования дополнительных построений).

Результаты данной контрольной работы позволили установить уровни успешного решения геометрических задач:

1) низкий (ученики не решили ни одной задачи);

2) средний (ученики решили одну задачу);

3) высокий (ученики решили две задачи).

Обработка полученных данных с применением статистических методов

(критерий <р"- угловое преобразование Фишера) показали, что различие в *

количестве учащихся контрольных и экспериментальных классов, достигших высокого уровня успешного решения геометрических задач на конец обучения, оказалось статастически значимым. Мы расценили это как свидетельст- » во того, что методика, использованная при обучении в экспериментальных классах, способствует более успешному решению геометрических задач.

Кроме того, в исследовании с помощью рангового коэффициента корреляции г, Спирмена установлена статистически значимая связь между уров-

нем сформированное™ умения решать задачи с помощью дополнительных построений и уровнем успешного решения геометрических задач: S учащимся, находящимся на высоком и среднем уровнях (низком и нулевом) сформированности умения решать задачи с помощью дополнительных построений, в основном, соответствует высокий (средний и низкий) уровень успешного решения различных геометрических задач; ■S изменения в уровнях сформированности умения решать задачи с помощью дополнительных построений и уровнях успешного решения геометрических задач являются согласованными.

В заключении диссертации обобщены полученные теоретические и практические результаты исследования.

Таким образом, в результате проведенной работы была подтверждена гипотеза исследования и достигнута цель - разработана методика обучения школьников приему дополнительного построения в школьном курсе геометрии основной школы.

Основные положения и результаты исследования отражены в следующих публикациях•

1) The complementary constructions as a component of geometry problem's solution // Mathematics and Science Education in the North-East of Europe: History, Traditions & Contemporary Issues. Proceedings of the Sixth Inter-Karelian Conference Sortavala, Russia 11-14 September, 2003 - Joensuu: University Press, 2003. - p. 151 - 154. (0,22 п. л.)

2) Дополнительные построения как составная часть решения задачи // Проблемы теории и практики обучения математике. Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию «57-е Герценовские чтения» / Под ред. В.В. Орлова. - СПб: Изд-во РГПУ им А.И. Герцена, 2004. - с. 187 - 190. (0,25 п. л.)

3) Методика обучения школьников выполнению дополнительных построений // Актуальные проблемы обучения математике в школе и ВУЗе Сборник научных трудов, выпуск 2. - Нижневартовск: Изд-во Нижневартовского педагогического института, 2004. - с. 70 - 78. (0,5 п. л.)

4) Использование дополнительных построений при доказательстве теорем курса геометрии 7-го класса // Проблемы теории и практики обучения математике. Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию «58-е Герценовские чтения» / Под ред. В.В. Орлова. - СПб: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2005. - с. 154 - 156. (0,13 п. л.)

5) Формирование умения выбирать дополнительные построения для решения геометрической задачи // Болонский процесс в математическом и естественнонаучном педагогическом образовании: тенденции, перспективы, проблемы. Сборник статей международной конференции 911 сентября 2005, Петрозаводск. - Петрозаводск: Изд-во КГПУ. 2005. - с. 268 - 274. (0,38 п. л.)

Р1 4

Подписано в печать 27.04.06. Формат 60x84 у^. Бумага офсетная. Печ. л. 1. Тираж 100 экз. Изд. № 14. Заказ № 64.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Карельский государственный педагогический университет» Республика Карелия. 185000, г. Петрозаводск, ул. Пушкинская, 17

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Устинкова, Татьяна Вячеславовна, 2006 год

Введение.

Глава I. Теоретические основы методики обучения школьников приему дополнительного построения в процессе изучения планиметрии.

§1. Дополнительные построения как методическая проблема.

§2. Дополнительные построения как составная часть решения задачи.

§3. Дополнительные построения как эвристический прием.

Выводы по главе 1.

Глава II. Методика обучения приему дополнительного построения.

§ 1. Наборы задач как основное средство обучения школьников приему дополнительного построения.

§2. Этапы обучения учащихся приему дополнительного построения.

§3. Методика и основные результаты экспериментальной работы.

Выводы по главе II.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Формирование умения решать задачи с помощью дополнительных построений у учащихся 7-9 классов"

Традиционная методика преподавания геометрии уделяет большое внимание усвоению учащимися содержания предмета. При таком подходе задачи используются преимущественно для закрепления изученной темы и недостаточно для развития мышления. Приемы, способы действий, заложенные в предложенных задачах, остаются для учащихся неосмысленными и неосознанными. У школьников не вырабатываются критерии и правила, которыми в дальнейшем можно руководствоваться при самоопределении стратегии и тактики решения новых задач. Практика показывает, что, несмотря на большое число задач, решаемых в курсе геометрии основной школы, учащиеся испытывают трудности при самостоятельном поиске их решения.

В психолого-педагогической и методической литературе одной из основных причин механического заучивания формулировок теорем, непонимания логики построения доказательства теоремы и неумения школьников решать геометрические задачи чаще всего называют низкий уровень умения работать с чертежом (А.К. Артемов, Г.А. Владимирский, С.Ю. Дивногорцева, Б.Б. Журавлев, В.И. Зыкова, Е.Н. Кабанова-Меллер, И.С. Якиманская и др.).

Чертеж широко используется в обучении геометрии. С привлечением чертежа учащиеся знакомятся с геометрическими понятиями, изучают свойства геометрических фигур, доказывают теоремы и решают задачи. Чертеж выполняет различные функции. В одних случаях он является лишь средством наглядности, в других зрительной опорой в проведении рассуждений, в третьих - источником новых знаний, справедливость которых затем доказывается логическим путем, в четвертых, основой для мыслительных операций.

Мы убедились на собственном опыте, что многие учащиеся затрудняются самостоятельно пользоваться чертеэюом. Они беспомощно глядят на чертеж и не видят в нем всех его особенностей, позволяющих сделать необходимые выводы. Поиск новых отношений между данными задачи по чертежу часто производится ими только с помощью наводящих вопросов учителя. Одной из причин низкого уровня умения работать с чертежом мы считаем недостаточность практических действий, связанных не только с самостоятельным выполнением чертежа, но и действий, связанных с его фактическим преобразованием.

Преобладание в ныне действующих учебниках задач, решаемых с помощью алгебраических приемов, приводит к сужению роли практических действий, связанных с преобразованием геометрического чертежа. Вслед за И.Ф. Шарыгиным нам кажется бесспорным, что «геометрия должна быть геометрической, а не аналитической или алгебраической.» и «главным действующим лицом геометрии должна быть фигура, а главным средством обучения - рисунок, картинка». И для пробуждения интереса к изучению геометрии и развития способностей к ней следует представить учащимся геометрию в виде, наибольшим образом соответствующим ее реальной сущности. Дополнительные построения являются одним из наиболее геометрических приемов решения геометрических задач.

Умение решить задачу с помощью дополнительного построения - это, прежде всего, умение найти необходимое для решения построение и реализовать его на чертеже. Данное умение предполагает владение соответствующим приемом1 - приемом дополнительного построения. Прием (и, следовательно, соответствующее ему умение) формируется методикой обучения.

1 В данном исследовании принимается определение приема учебной работы, сформулированное в трудах Е.Н. Кабановой-Меллер, как системы действий, направленных на решение учебных задач.

Проблеме обучения школьников решению задач с использованием дополнительных построений посвящены различные научно-методические работы (С. Белый, А.И. Волхонский, П. Горштейн, Э.Г. Готман, Е.Ф. Данилова, Д.Ф. Изаак, Э. Капленко, И. Кушнир, Я. Суконник, Н.А. Тарасенкова, И.Ф. Шарыгин, В. Финкелыитейн и др.). В работах указанных авторов, как правило, демонстрируются решения геометрических задач с использованием различных дополнительных построений, поднимаются вопросы обучения поиску решения задач с помощью дополнительных построений, которые зачастую высказываются в виде отдельных рекомендаций. Следует сказать, что авторами особенности реализации на чертеже некоторых дополнительных построений практически не рассматриваются.

Работы А.Д. Герасимовой и В.Е. Куценка заслуживают внимания. Однако наряду с достоинствами, которые, на наш взгляд, выражаются в указаниях о проведении некоторой подготовительной работы, предшествующей решению задач с использованием дополнительных построений, имеют и определенные недостатки. Ни в одном из научно-методических исследований не уделяется внимание установлению состава приема дополнительного построения.

Объектом исследования выступает процесс обучения решению геометрических задач.

3. Установить состав приема дополнительного построения.

5. Разработать наборы задач и методику работы с ними на уроках геометрии в 7-9 классах.

6. Осуществить экспериментальную проверку разработанной методики.

В ходе исследования использовались различные методы: S анализ математической, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования; S педагогическое наблюдение; S беседы с учителями по проблеме исследования;

S педагогический эксперимент с последующей качественной и количественной обработкой его результатов.

Исследование проводилось с 2002 по 2006 гг. и включало в себя следующие этапы.

На первом этапе (2002-2003 гг.) был проведен анализ психолого-педагогической и методической литературы, содержания современных школьных учебников, содержания материалов вступительных экзаменов в ВУЗы и олимпиад. Были изучены ведущие идеи в обучении поиску решения геометрических задач, определены виды различных дополнительных построений, особенности их реализации, изучены существующие методики обучения решению задач с помощью дополнительных построений. Был подобран материал для проведения констатирующего эксперимента. Итогом работы на этом этапе стала разработка теоретической базы исследования, проведение констатирующего эксперимента.

На втором этапе (2003-2004 гг.) в рамках поискового эксперимента определялись принципы конструирования наборов геометрических задач, служащих основным средством обучения школьников приему дополнительного построения, и методика работы с ними. Результатом этого этапа стала разработка набора задач, решаемых с помощью дополнительных построений, и методических основ работы с ними.

Научная новизна проведенного исследования заключается в том, что:

2) определен состав приема дополнительного построения.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что:

1) выделены требования к наборам задач, служащим основным средством обучения учащихся приему дополнительного построения;

2) разработаны основные положения методики обучения приему дополнительного построения в курсе геометрии 7-9 классов.

Практическая значимость исследования:

2) установлен состав приема дополнительного построения;

3) созданы наборы задач, направленные на обучение учащихся приему дополнительного построения;

4) разработана методика обучения приему дополнительного построения в процессе изучения каждой темы курса геометрии 7-9 классов. Разработанная методика может быть использована в условиях основной школы без перестройки учебных планов и программы, она ориентирована на любой из действующих учебников, ее внедрение не требует дополнительного времени.

Достоверность результатов исследования обеспечивают: S теоретический анализ проблемы;

S выбор методов исследования, адекватных поставленным целям и задачам; S качественная и количественная интерпретация результатов эксперимента, подтвердившая гипотезу исследования; S воспроизводимость результатов исследования.

На защиту выносится следующее: 1. Состав приема дополнительного построения. и

По теме диссертационного исследования имеются 5 публикаций:

1) Ustinkova Т. The complementary constructions as a component of geometry problem's solution // Mathematics and Science Education in the North-East of Europe: History, Traditions & Contemporary Issues. Proceedings of the Sixth Inter-Karelian Conference Sortavala, Russia 11-14 September, 2003 - Joensuu: University Press, 2003. - p. 151 - 154. (0,22 п. л.)

2) Устинкова T.B. Дополнительные построения как составная часть решения задачи // Проблемы теории и практики обучения математике. Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию «57-е Герценовские чтения» / Под ред. В.В. Орлова. - СПб: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2004. - с. 187 - 190. (0,25 п. л.)

3) Устинкова Т.В. Методика обучения школьников выполнению дополнительных построений // Актуальные проблемы обучения математике в школе и ВУЗе. Сборник научных трудов, выпуск 2. - Нижневартовск:

Изд-во Нижневартовского педагогического института, 2004. - с. 70 - 78. (0,5 п. л.)

4) Устинкова Т.В. Использование дополнительных построений при доказательстве теорем курса геометрии 7-го класса // Проблемы теории и практики обучения математике. Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию «58-е Герценовские чтения» / Под ред. В.В. Орлова. - СПб: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2005. - с. 154 -156. (0,13 п. л.)

5) Устинкова Т.В. Формирование умения выбирать дополнительные построения для решения геометрической задачи // Болонский процесс в математическом и естественнонаучном педагогическом образовании: тенденции, перспективы, проблемы. Сборник статей международной конференции 9-11 сентября 2005, Петрозаводск. - Петрозаводск: Изд-во КГПУ, 2005. - с. 268 - 274. (0,38 п. л.)

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по главе II

В главе II приводится описание методики обучения школьников решению задач с помощью дополнительных построений, экспериментальной работы и результатов, полученных опытным путем.

I. При разработке наборов задач, направленных на формирование у учащихся умения решать задачи с помощью дополнительных построений, мы руководствуемся следующими сформулированными требованиями: 1} задачи должны быть распределены на три набора в зависимости от учебных целей (направленные на формирование у учащихся умений: выполнять действия над отрезками (углами) различными способами; разбивать и достраивать геометрическую конфигурацию путем построения отрезка, прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже, окружности; выполнять дополнительные построения в ходе решения задачи);

2) задачи, решаемые с помощью дополнительных построений, должны быть распределены на три серии в зависимости от учебных целей (направленные на формирование умения выполнять дополнительные построения на основании: анализа требования; анализа условия; соображений заключения исходных и искомых величин в одну (вспомогательную) фигуру);

3)в задачах должны быть представлены: различные способы выполнения действий над отрезками (углами); различные операции преобразования геометрического чертежа: разбиение и достраивание; различные виды построений: отрезок, прямая, параллельная одной из имеющихся на чертеже, окружность; различные способы реализации дополнительных построений; различные ситуации появления дополнительных построений на чертеже (в результате анализа требования, анализа условия, на основании соображений заключения исходных и искомых величин в одну фигуру).

П.При разработке методики обучения школьников решению задач с помощью дополнительных построений мы опираемся на следующие сформулированные основные положения:

1) основным средством обучения должны служить созданные наборы задач;

2) обучение приему дополнительного построения должно быть реализовано в 3 этапа: подготовительный, ознакомительный и формирующий;

3) подготовка учащихся должна быть направлена на развитие до необходимого уровня геометрических знаний и умений. Посредством решения задач первого набора у учащихся формируется умение выполнять действия над отрезками (углами) различными способами - алгебраически, геометрически и логически. Посредством решения задач второго набора ученики, во-первых, знакомятся с различными видами построений, с помощью которых можно преобразовать первоначальный чертеж, во-вторых, тренируются в построении новых фигур;

4) в обучении должно быть реализовано поэлементное усвоение состава приема дополнительного построения, а именно: последовательное изучение действий, связанных:

S с анализом требования задачи, S с анализом условия задачи,

S с решением задач, в которых ни условие, ни требование не подталкивает решающего к выполнению дополнительных построений;

5) развитие умения решать задачи с помощью дополнительных построений должно быть обеспечено повышением уровня сложности задач - решение задач серий Т, У должно предшествовать решению задач серии УТ.

III. Результаты экспериментальной работы подтверждают:

1) эффективность разработанной методики для формирования у учащихся умения решать задачи с помощью дополнительных построений;

2) справедливость выдвинутой гипотезы относительно того, что внедрение разработанной методики обучения учащихся приему дополнительного построения способствует более успешному решению школьниками различных геометрических задач.

142

Заключение

Данное исследование было направлено на поиск средств решения проблемы, состоящей в нахождении путей эффективного формирования у учащихся умения решать задачи с помощью дополнительных построений в курсе геометрии основной школы.

В результате выполненного исследования:

1) определено место и значение приема дополнительного построения в школьном курсе планиметрии;

2) выполнена группировка различных видов дополнительных построений, в результате чего выделены три вида построений - отрезок, прямая, параллельная одной из имеющихся на чертеже, и окружность; рассмотрены особенности их реализации;

3) раскрыты отдельные особенности реализации дополнительного построения отрезка и прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже (связанные с выполнением действий над отрезками (углами));

4) установлен состав приема дополнительного построения;

5) выделены требования к наборам задач, служащим основным средством обучения учащихся приему дополнительного построения;

6) разработаны наборы задач, направленные на обучение школьников приему дополнительного построения;

7) разработана методика обучения школьников приему дополнительного построения в процессе изучения каждой темы курса планиметрии;

8) экспериментально доказано, что разработанная методика является эффективной для формирования у учащихся умения решать задачи с помощью дополнительных построений.

Получение методики обучения учащихся приему дополнительного построения представляет один из аспектов работы, направленной на развитие у школьников умения работать с чертежом. Данное умение является важным для решения любой геометрической задачи. Изучение практики школы свидетельствует о чрезвычайно слабом развитии у учащихся указанного умения, что является одной из причин низкого уровня умения решать геометрические задачи.

Результаты проведенной нами экспериментальной работы убедительно доказывают, что реализация разработанной нами методики обучения приему дополнительного построения способствует более успешному решению школьниками различных геометрических задач, что обусловлено как развитием умения работать с чертежом, так и усилением роли приема анализа (традиционного приема поиска решения задач) для поиска необходимого в решении задачи дополнительного построения.

В нашем исследовании наборы задач и методика работы с ними разработаны применительно к курсу геометрии 7-9 классов. В связи с этим открывается ряд перспективных направлений дальнейших исследований. Так, например, заслуживает внимания вопрос о том, обладают ли дополнительные построения свойством «приспособляемости» ко всему курсу геометрии средней школы и целесообразно ли их использование в 10-11 классах. Предметом специального исследования могут стать возможности применения приема дополнительного построения к обучению геометрическому материалу в курсе математики 5-6 классов.

144

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Устинкова, Татьяна Вячеславовна, Санкт-Петербург

1. Аверьянов Д.И. и др. Сборник задач по геометрии для проведения устного экзамена в 9 и 11 классах: Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1996.-96 с.

2. Адамар Ж. Элементарная геометрия: Часть I. Планиметрия. М.: Учпедгиз, 1957. - 608 с.

3. Александров А.Д. Диалектика геометрии // Математика в школе 1986 -№1 - с. 12.

4. Александров А.Д. О геометрии // Математика в школе 1980 - №3 - с. 56.

5. Александров. А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 1995. - 319 с.

6. Амирбеков А. Развитие графической грамотности у учащихся 6-8 классов на уроках геометрии и черчения // Автореферат дисс. к.п.н. Киев, 1984. -18 с.

7. Аракелян Р.Л. Формирование начальных графических умений учащихся при обучении геометрии // Дисс. к.п.н. М., 1988. - 155 с.

8. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. М.: Учпедгиз, 1955. - 269 с.

9. Артемов А.К. Об эвристических приемах при обучении геометрии // Математика в школе 1973 - №6 - с. 25.

10. Артемов А.К. Состав и методика формирования геометрических умений школьников. Пенза, 1969. - 250 с.

11. Атанасян Л.С. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений. -11-е изд., доп. М.: Просвещение, 2001. - 384 с.

12. Атанасян Л.С., Бутузов Б.Ф., Кадомцев С.Б. Дополнительные главы к учебнику геометрии 8: Учебное пособие. М: Просвещение, 2001. - 208 с.

13. Балк Г.Д. О применении эвристических приемов в школьном преподавании математики // Математика в школе 1969 - №5 - с. 21.

14. Балк М.Б, Балк Г.Д. Поиск решения: Научно-популярная литература. М.: Дет. лит., 1983 143 с.

15. Балк М.Б. Поиск решения // Квант 1976 - №9 - с. 39.

16. Балк М.Б., Балк Г.Д. О привитии школьникам навыков эвристического мышления // Математика в школе 1985 - №2 - с. 55.

17. Басова JI.A. Задачи на построение в курсе геометрии 7-9 классов: Методическое пособие. Петрозаводск: Изд-во КГПУ, 2002. - 72 с.

18. Белошистая А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии // Математика в школе 2002 - №9 - с. 47.

19. Белошистая А.В. Почему школьникам так трудно дается геометрия? // Математика в школе 1996 - №6 - с. 10.

20. Белый С. Учитесь делать дополнительные построения // Практикум абитуриента: Геометрия, Выпуск 1. Планиметрия / под ред. Егорова А.А. -М.: Бюро Квантум, 1996 с. 76 (Приложение к журналу "Квант" №1/96).

21. Березин В.Н. Методические функции наглядности в обучении математике // Автореферат дисс. к.п.н. М., 1975. - 17 с.

22. Беспалько В.П. Опыт разработки и использование критериев качества усвоения знаний // Советская педагогика 1968 - №4 - с. 52.

23. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. - с. 63.

24. Болтянский В.Г. Анализ поиск решения задачи // Математика в школе -1974-№1 - с. 34.

25. Болтянский В.Г. Как развивать графическое мышление // Математика в школе 1978 -№3 - с. 34.

26. Болтянский В.Г., Груденов Я.И. Как учить поиску решения задач // Математика в школе 1988 - №1 - с. 8.

27. Ботвинников А.Д., Якиманская И.С. Особенности оперирования учащимися различными видами графических изображений // Известия АПН РСФСР 1968 - №143 - с. 45.

28. Брадис В.М. Методика преподавания геометрии в средней школе. М., 1954.-318 с.

29. Вальдман И. Методы и приемы решения учебных задач // Математика -1999-№39-с. 30.

30. Великина П.Я. Сборник задач по геометрии для восьмилетней школы. -М.: Просвещение, 1964. 167 с.

31. Вернер A.JL, Рыжик В.И., Ходот Т.Г. Геометрия: Учеб. пособие для 7 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 1999. - 192 с.

32. Вернер A.JL, Рыжик В.И., Ходот Т.Г. Геометрия: Учеб. пособие для 8 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2001. - 192 с.

33. Виноградова JI.B. Методика преподавания математики в средней школе (Общая методика): Учебное пособие. Петрозаводск: Изд-во КГПУ, 2003.-244 с.

34. Владимирский Г.А. О методах использования чертежа в преподавании геометрии // Математика в школе 1946 - №4 — с. 12.

35. Владимирский Г.А. Экспериментальное обоснование системы и методики упражнений в развитии пространственного воображения // Известия АПН РСФСР 1949 - вып. 21 - с. 36.

36. Вокач С.А. О решении геометрических задач введением вспомогательного угла // Математика в школе 1952 - №4 - с. 23.

37. Волхонский А.И. К методике обучения решения задач // Математика в школе 1973 - №5 - с.42.

38. Восканян К.В. Построение геометрических фигур как средство развития мышления школьников // Вопросы психологии 1989 - №6 - с 30.

39. Генкин Г. Три подхода к решению некоторых задач // Математика в школе 2002 - №3 - с. 24.

40. Герасимова А.Д. К стратегии поиска дополнительных построений // Математика в школе 1996 - №3 - с. 15.

41. Герасимова А.Д. Обоснование дополнительных построений при доказательстве теорем // Математика в школе 1994 - №5 - с. 30.

42. Герасимова А.Д. Формирование творческого воображения учащихся в процессе поиска решения планиметрических задач, требующих дополнительных построений // Дисс. к.п.н. М., 1995. - 175 с.

43. Гингулис Э. Развитие математических способностей учащихся // Математика в школе 1990 - №1 - с. 14.

44. Глыва Г.Н. Формирование обобщенных умений решать геометрические задачи у учащихся 6-8 классов // Автореферат дисс. к.п.н. Киев, 1988. -22 с.

45. Гончаров B.C. Психологические особенности связи поиска решения задач с типом мышления//Автореферат дисс. к.пс.н. М., 1981 -16 с.

46. Готман Э. Медианы и средние линии // Практикум абитуриента: Геометрия, Выпуск 1. Планиметрия / Под ред. Егорова А.А. М.: Бюро Квантум, 1996 - с.22 (Приложение к журналу "Квант" №1/96).

47. Груденов Я.И. О задачах по готовым чертежам // Математика в школе -1971 -№6-с. 21.

48. Груденов Я.И. Поиск решения задачи // Квант 1973 - №12 - с. 39.

49. Груденов Я.И., Середа A.M., Середа В.И. Психология подсказывает методике // Математика в школе 1990 - №6 - с. 33.

50. Гурова J1.JI. Мыслительные операции в процессе осознанного решения задач // Вопросы психологии 1961 - №6 - с. 93.

51. Гурова JI.JI. О соотношении формальных и эвристических компонентов в решении задач // Вопросы психологии 1968 - №2 - с. 80.

52. Гурова JI.JI. Структурные особенности эвристических процессов и условия их формирования как продуктивных компонентов решения задач // Вопросы психологии 1968 - №4 - с. 78.

53. Гусев В.А., Орлов В.В., Панчищина В.А. и др. Методика обучения геометрии. М.: Издательский центр "Академия", 2004. - 368 с.

54. Гуртовой О.С. Некоторые приемы, облегчающие решение геометрических задач // Математика в школе 1996 - №2 - с. 61.

55. Давод В.М. Активизация мышления учащихся в процессе обучения их геометрии (планиметрии) // Автореферат дисс. к.п.н. Киев, 1974 - 20 с.

56. Далингер В.А. Чертеж учить думать // Математика в школе 1990 - №4 -с. 32.

57. Данилова Е.Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач. М.: Учпедгиз, 1961. - 143 с.

58. Дегтянникова И.Н. Задачи на построение как укрупненная дидактическая единица // Математика в школе 1996 - №6 - с. 11.

59. Дедовец Ж.Г. Задачи на разрезание как одно из средств обучения планиметрии в основной школе //Дисс. к.п.н. С-Пб, 2001.

60. Демидова С.И. Пути формирования обобщенных умений при обучении геометрии в восьмилетней школе // Автореферат дисс. к.п.н. М., 1981.- 18 с.

61. Дивногорцева С.Ю. Развитие геометрического видения учащихся при обучении математике в 1-6 классах // Дисс. к.п.н. Арзамас, 1998. - 149 с.

62. Дорофеев Г.В. О составлении циклов взаимосвязанных задач // Математика в школе 1983 - №6 - с. 34.

63. Дорофеев Г.В., Розов Н. Чертеж в геометрической задаче // Квант 1976 -№6 - с. 49.

64. Дубнов Я.С. Беседы о преподавании математики. М.: Просвещение, 1965.-273 с.

65. Дуванова B.C. Обучение студентов поиску решения задач // Автореферат дисс. к.п.н. Минск, 1986. - 17 с.

66. Дуничев К.И. Теорема о сумме углов треугольника // Математика в школе- 1990 №6 - с. 41.

67. Енгурин Н.К. Методы и приемы решения геометрических задач в восьмилетней школе//Автореферат дисс. к.п.н. Казань, 1961. - 18 с.

68. Епишева О.Б. Формирование приемов учебной деятельности // Математика в школе 1995 - №6 - с. 26.

69. Ерохина М.Н. Формирование эвристической деятельности старшеклассников при изучении углубленного курса геометрии // Дисс. к.п.н. М., 1999.-237 с.

70. Журавлев Б.Б. О математическом зрении // Математика в школе 1940 -№5 - с. 72.

71. Зверева А.Т. Задачи как средство формирования и развития графических умений при обучении планиметрии // Автореферат дисс. к.п.н. М., 1989.- 16 с.

72. Зив Б.Г., Мейлер В.М. Дидактические материалы по геометрии для 7-го класса. 6-е изд. - М.: Просвещение, 2000. - 128 с.

73. Зив Б.Г., Мейлер В.М. Дидактические материалы по геометрии для 8-го класса. 4-е изд. - М.: Просвещение, 2000. - 144 с.

74. Зыкова В.И. Оперирование понятиями при решении геометрических задач // Известия АПН РСФСР вып. 28 - 1950 - с. 155.

75. Зыкова В.И. Психологические предпосылки успешного усвоения понятий и теорем в курсе геометрии VI класса / сб. "Вопросы повышения качества знаний учащихся по математике" под ред. Семушина А.Д. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1955.-с. 151.

76. Зыкова В.И. Формирование практических умений на уроках геометрии // Под ред. чл.-кор. АПН РСФСР Н.А. Менчинской М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963.-200 с.

77. Зыкова В.И. Очерки психологического усвоения начальных геометрических знаний. М.: Учпедгиз, 1955. - 245 с.

78. Иванов О.А. Обучение поиску решения задач // Математика в школе -1997-№6-с. 47.

79. Иванова Н.Н. Восстанови стертую фигуру // Квант 1986 - №1 - с. 30.

80. Изаак Д.Ф. Выручает описанная окружность // Квант 1987 - №2 - с. 41.

81. Изаак Д.Ф. Поиски решения геометрической задачи // Математика в школе 1998-№6-с. 30.

82. Изаак Д.Ф. Поиски решения, исследование и обобщение задач по геометрии // Математика в школе 1998 - №2 - с. 83.

83. Инки Хан. Методика осуществления поиска решения геометрических задач в условиях дифференцированного изучения математики в школах южной Кореи//Дисс. к.п.н. Москва, 1998. - 195 с.

84. Кабанова К.И. Графическое решение геометрических задач // Математика в школе 1975 - №3 - с. 44.

85. Кабанова Меллер Е.Н. Роль чертежа в применении геометрических теорем // Известия АПН РСФСР - вып. 28 - 1950 - с. 195.

86. Кабанова Меллер Е.Н. Психология формирования знаний и навыков у школьников. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. - 376 с.

87. Кабанова-Меллер Е.Н. Роль образа в решении задач // Вопросы психологии 1970 - №5 - с. 122.

88. Кабанова-Меллер Е.Н. Приемы учебной работы и овладение ими // Вопросы психологии 1980 - №4 - с. 145.

89. Капленко Э. Новый метод решения планиметрических задач // Математика 2001 -№№ 39, 40,41.

90. Киселев А.П., Рыбкин Н.А. Геометрия: Планиметрия: 7-9 кл.: Учебник и задачник. М.: Дрофа, 1995. - 352 с.

91. Кондратьева Е.В. Обучение школьников работе с чертежом в процессе решения планиметрических задач // Дисс. к.п.н. Пенза, 2002. - 168 с.

92. Коробкова М.В. О приемах чтения чертежа при обучении геометрии // В кн.: Избранные вопросы методики преподавания математики. Под ред. Черкасова Р.С. М., 1976, с. 121.

93. Коровина В.Г. Развитие конструктивных умений и навыков учащихся 910 классов как составная часть политехнического обучения // Математика в школе 1987-№1 - с. 18.

94. Крайзман М. Заменим фигуру // Практикум абитуриента: Геометрия, Выпуск 1. Планиметрия / под ред. Егорова А.А. М.: Бюро Квантум, 1996 -с. 117 (Приложение к журналу "Квант" №1/96).

95. Кулюткин Ю.Н. Эвристические методы в структуре решений. М.: "Педагогика", 1970.-378 с.

96. Куценок В.Е. Обучение методам геометрических задач, основанным на использовании вспомогательной окружности // Дисс. к.п.н. М., 1992. -156 с.

97. Куценок В.Е. Окружность помогает решать задачи // Математика в школе 1990-№2-с. 55.

98. Кушнир И. Метод вспомогательных точек // Квант 1996 - №2 - с.36.

99. Кушнир И.А. Метод вспомогательного элемента // Квант 1974 - №2 - с. 46.

100. Ланда JI.H. Умение думать. Как ему учить? М.: Изд-во «Знание», 1975. -64 с.

101. Лисимова О.А. Система конструктивных задач как метод изучения планиметрии в VII классе. // Дисс. к.п.н. С.-Петербург, 1997. - 149 с.

102. Мансуров Н.С. Влияние речевой формулировки и чертежа на выбор способа решения задачи" // Доклады АПН РСФСР 1958 - №2 - с. 37.

103. Мантуров О.В. И др. Толковый словарь математических терминов (под ред. Диткина В.А.). М., 1965. - 539 с.

104. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988.-845 с.

105. Машбиц Е.И. Зависимость усвоения учащимися способа решения математических задач от метода обучения // Автореферат к дисс. к.п.н. -Киев, 1965.-16 с.

106. Менчинская Н.А. Психология усвоения понятий // Известия АПН РСФСР-вып. 28- 1950-с. 3.

107. Метельский Н.В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы. Мн.: Изд-во БГУ, 1982. - 256 с.

108. Миганова Е., Саранцев Г. Красота математики // Математика 2002 -№43-с. 17.

109. Никитин Н.Н., Фетисов А.И. Геометрия: Учебник для 6-9 классов семилетней и средней школы. М.: Учпедгиз, 1956. - 200 с.

110. Никитина О.Н. Геометрические построения как способ развития пространственного мышления и конструктивных умений школьников // Автореферат дисс. к.п.н. -М., 1990. 16 с.

111. Ш.Никулин Н.А. О построениях с помощью линейки и вспомогательной фигуры // Математика в школе 1977 - №2 - с.68.

112. Огурцова O.K. Частные эвристики как условие включения учащихся в поисковую деятельность на уроках стереометрии // Автореферат дисс. к.п.н. Саранск, 2002. - 18 с.

113. Орлов В.В. Организация обучения поиску решения планиметрических задач // Математика в школе 1996 - с. 5.

114. Осипова М.И. Методика преподавания геометрии (планиметрия). Тула, 1984.-72 с.

115. Педагогический энциклопедический словарь. М.: Большая Российская энциклопедия, 2003. - 527 с.

116. Перепелкин Д.И. Геометрические построения в средней школе. М.: Учпедгиз, 1953.

117. Писаренко И.Б. Стратегия решения нестандартных задач // Математика в школе 2002 - №5 - с. 40.

118. Пойа Д. Обучение через задачи // Математика в школе 1970 - №3 - с. 89.

119. Пойа Д. Как решать задачу. М.: Учпедгиз, 1959. - 207 с.

120. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1976. - 448 с.

121. Покровский В.П. Формирование геометрической зоркости у учащихся 45 классов // Математика в школе 1974 - №4 - с. 30.

122. Полонский В., Рабинович Е., Якир М. Геометрия 7-11 класс. М.: "АСТ-Пресс", 1998.-350 с.

123. Потоцкий М.В. Как помочь школьнику решать задачи? // Математика в школе 1974 -№1 - с. 29.

124. Прокопенко Г. Различные методы решения задач как способ активизации познавательной деятельности учащихся // Математика 1999 - №24 -с. 12.

125. Пушкин В.Н. Эвристика о творческом мышлении. М., 1967. - 425с.

126. Репьев В.В. Очерки по методике преподавания геометрии (планиметрии). Горький, 1959. - 330 с.

127. Решилова Е. К вопросу об обучении доказательству теорем // Математика 2004 - №10 - с. 3.

128. Розка Ю.А. Формирование приемов аналитико-синтетического поиска решения задач на доказательство в курсе стереометрии 9 класса средней школы//Автореферат дисс. к.п.н. М., 1984. - 16 с.

129. Саранцев Г. Гуманитаризация математического образования // Математика 2004 - №5 - с. 2.

130. Саранцев Г.И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях // Математика в школе - 1999 - №6 - с. 39.

131. Саранцев Г.И., Калинина Т.М. Методы научного познания как средство упорядочения геометрических задач // Математика в школе 1994 - №6 -с. 2.

132. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии. М.: Наука, 1976.-648 с.

133. Семенов Е.Е. Размышления об эвристиках // Математика в школе 1995 - №5 - с. 39.

134. Семенов Е.Е. Изучаем геометрию. М.: Просвещение, 1987. - 280 с.

135. Сенников Г.П. Наглядно-конструктивное изучение школьной планиметрии. Горький, 1970. - 345 с.

136. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. СПб: Социально-психологический центр, 1996. - 352 с.

137. Сидорова Е!Н. Возрастная динамика психологической структуры поиска решения проблемных задач у школьников // Автореферат дисс. к.п.н. -М., 1988.- 19 с.

138. Столяров A.M. Эвристические приемы и методы активизации творческого мышления. М., 1988. - 80 с.

139. Суконник Я., Горштейн П. Геометрические решения геометрических задач // Квант 1979 - №9 - с. 38.

140. Тарасенкова Н.А. Пропедевтический этап обучения поиску дополнительных построений // Математика в школе 2002 - №3 - с. 32.

141. Тесленко И.Ф. Методика преподавания планиметрии. Киев, 1986. - 160 с.

142. Туманов С.И. Поиски решения задачи. М., 1969. - 345 с.

143. Туркина В.М. Формирование общих приемов поиска доказательства математических утверждений // Автореферат дисс. к.п.н. Д., 1984. - 19 с.

144. Финкелынтейн В. Вспомогательные построения // Математика 2001 -№№34,37.'

145. Фискович Т. Подумаем вместе // Математика 1999 - №22 - с. 23.

146. Фридман J1.M. Методика обучения решению математических задач // Математика в школе 1991 - №5 - с. 59.

147. Фридман J1.M. Как научиться решать задачи. М., 1999. - 236 с.

148. Харитонов Б.Ф. Методика повторения приемов и методов решения геометрических задач // Математика в школе 1990 - №4 - с. 36.

149. Четверухин Н.Ф. Геометрические характеристики причин трудности узнавания фигур на чертеже // Математика в школе 1965 - №4 - с. 13.

150. Чистякова JI.C. К вопросу о конструктивно-графических и измерительных умениях учащихся // Математика в школе 1986 - №5 - с. 21.

151. Чистякова JI.C. Методика формирования и развития практических умений и навыков учащихся 6-8 классов при обучении геометрии // Автореферат дисс. к.п.н. М., 1987. - 15 с.

152. Чистякова JI.C. Приемы формирования практических умений и навыков при обучении геометрии // Математика в школе 1987 - №4 - с. 33.

153. Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии. М.: Учпедгиз, 1959. -315 с.

154. Шабаев И.Г. Воспроизведение и творчество, алгоритмизация и эвристика в обучении: Учебное пособие. Петрозаводск: Изд-во КГПИ, 1996. -102 с.

155. Шарыгин И.Ф. Геометрия // Математика 2003 - №1 - с. 29.

156. Шарыгин И.Ф. Нужна ли школе 21 века Геометрия? // Математика -2004-№12-с. 2.

157. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 кл. 3-е изд. - М.: Дрофа, 1999. - 352 с.

158. Шарыгин И.Ф. Рассуждения о концепции школьной геометрии. М.: Изд-во МЦНМО, 2000. - 56 с.

159. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1989. - 252 с.

160. Шикова JI.P. Исследовательская деятельность школьников в процессе решения геометрических задач // Математика в школе 1995 - №4 - с. 13.

161. Якиманская И.С. Восприятие и понимание учащихся чертежа и условия задачи в процессе ее решения // В кн.: Применение знаний в учебной практике школьников. Под ред. Менчинской Н.А. М., 1961, с. 54.

162. Якиманская И.С. Организация восприятия учебного материала // Среднее специальное образование 1976 - №3 - с. 50.

163. Якиманская И.С. Уровни анализа, синтеза и абстракции при чтении чертежа у учащихся 4-8 классов // Вопросы психологии 1959 - №1 - с. 114.

164. Якиманская И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе. М.: "Сентябрь", 2000. - 112 с.

165. Якобсон П.М. Психологические особенности конструктивной деятельности учащихся 7-х классов // Вопросы психологии 1956 - №3 - с. 10.