автореферат и диссертация по педагогике 13.00.08 для написания научной статьи или работы на тему: Преодоление познавательных затруднений учащихся на основе метакогнитивных знаний

Автореферат диссертации по теме "Преодоление познавательных затруднений учащихся на основе метакогнитивных знаний"

. На правах р\ когтиси

т> Г

Фараж Хамисса /

Преодоление познавательных затруднений учащихся на основе метакогнитивных знаний

(сопоставительный анализ состояния проблемы в России и в Израиле)

13.00. ОН - Теория и методика профессионального образования

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре социологии, психологии и педагогики Московского государственного гехноло! ического университета «СТАНКИН»

Научный руководитель: кандидат психологических наук, доцент

Можаровский Игорь Львович

Официальные оппоненты: Самоненко Юрий Анатольевич - доктор

педагогических наук, профессор; Архангельская Юлия Серафимовн? -кандидат педагогических наук, доцент.

Ведущая организация: Московский гуманитарный университет

Защита состоится 18 октября 2005 года на заседании диссертационного совета Д 501.002.07 в МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу: 119998, Москва, ГСП-2 Ленинские горы, МГУ, II учебный корпус, факультет глобальных процессов.

С диссертацией можно ознакомиться в На\чной библиотеке факультета глобальных процессов.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета профессор

"В.Й. Гав*» илов

1 03&

М65Я?

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность. Главной задачей сегодняшней школы является развитие личности, формирование способностей ученика, будущего члена общества. Эта задача обычно провозглашена всеми системами образования, но эффективность её практической реализации не всегда высока. Развивающую функцию должны выполнять все школьные предметы, в том числе и математика. Общепринятая декларация, что «математика - гимнастика ума», не снимают ряда острых вопросов, связанных с преподаванием этой дисциплины. Необходимо понять, почему усвоение математических знаний у значительной доли учащихся вызывает серьезные затруднения. Нередко приходится слышать, что низкий уровень достижений обусловлен недостатком у учащегося интереса к предмету, отсутствием у него необходимых способностей или условий для систематических занятий. Указанные причины, конечно, надо принимать во внимание, однако, они в полной мере не могу! объяснить низкие показатели успеваемости но данному предмету. Многие специалисты усматривают в качестве источника затруднений учащихся недостатки, обусловленные самим процессом преподавания. Выдвигаются предложения об изменении как процесса, так и содержания учебных предметов. Процессуальная сторона должна предусматривать повышение мотивации активности и самостоятельности учащихся, содержательная - усиление методологического компонента знаний. Вместе с тем, реалии школьного образования оалкивает нас с большим разнообразием интересов отдельных детей, образа жизни и стилей их учебной деятельности, в том числе и предпочтений в выборе для себя приоритетных учебных предметов. Данное обстоятельство делает актуальным дальнейший поиск путей дифференцированных подходов к изучению математики.

В диссертационной работе в качестве материала исследования

избраны темы алгебры:

1) алгебраическое выражение и уравнение;

2) правило дистрибутивного распределения при умножении и его применение в различных ситуациях.

Выбор именно этого материала не случаен. Многочисленные работы специалистов, занимавшихся изучением затруднений учащихся, выделяют значительное число ошибок, сопряженных с изучением этих тем. В этом также убеждает и собственный продолжительный опыт профессиональной деятельности автора в должности учителя математики и методиста по данному предмету.

Проблема исследования обусловлена противоречием между двумя теоретическими схемами, связанными с проектированием учебной деятельности учащихся. Первая схема описывает структуру познавательного действия в проблемной ситуации. Эта структура включает не только знания из соответствующей предметной области, но и метазнания, содержание которых выходит за рамки предметных знаний. Вторая схема задаёт нормативы организации усвоения предметных знаний. В традиционном обучении она опирается на алгоритмический подход. При этом рефлексивного плана мышление не развивается. Обучение закономерно сопряжено с затруднениями, ошибками и недостаточно глубоким пониманием учебного материала.

Цепь исследования состоит в изучении возможностей модернизации преподавания школьной математики (на материале отдельных её тем) предусматривающих формирование у учащихся метакогни1ивной ориентировки в математических знаниях, а также в си гуациях выполнения математических преобразований.

Объектом исследования являются учебная деятельность учащихся при изучении школьной математики.

Предмет исследования причины затруднений и ошибочных действий при усвоении программного материала школьной математики.

Гипотезы исследования

1 Применение в обучении мсiакогнпiiibuoíí системы приведет к pociy учебных досчижсний учащихся.

2 Улучшение учебных досшжений у учеников более высокою уровня буд>1 бопес значшельными.

3 Применение опорных юдач и ciicicMa конфликт приведет icpociy дос i иженпп учащихся

А Применение меч акчи ни шиной сисюмм обучения приведет к более полипвному ошошеиню к мшемашке учеников всех уровней. Задачи исследования

1 Оеущеавшь анализ проблем формирования mciакогнпшвных лшнпн в сисiемс обраювання Израиля и России.

2 Раipnñoiaii. учебно-mciодические ма1српалы и рекомендации учшепем для осутсс тления обучения, предусматривающего усиление моакопнпивною компонеша знаний, а также мсюднчсские приемы по использованию опорных задач.

3 OcyiucciBiiib псдаюгпчсскни эксперимент с цслыо проверки выдвинутых 1ii1io 1с ¡.

Методы исследования

1 Наблюдение

2 Анализ продукюв дея1Слыюе1И

3 Формируемый 'жсперимсш

Теоретическую основу pafioi cocían |яю: исследовании км ■••юн позолоти, а киоке сисппалне mu. ¡анимлющичея прои кмам. ра uiHiiíiioiuei о обра юнлиия Н основном, н> рабош. иредстишс.юи научных школ Ж Пиаже и Л (/.Выпискою Конкрсию-прсдметыми p.i ¡работами, опредениншимн uopci ическую 1ма|форму иеепедовапия, явились исследования Дениса. Лампорта. Петерсон, Р Скемпе, Э.Фпшбейна. II Шондольфа. а 1акже фуды М.П.Скаткинс, II К Албанскою, II Я.Лернсрл. II.М Шахмасва и др.

Эмпирическая Cata исследования нрелоавляни учащиеся i.iko/ арабскою сек юра Ифанчя Коппимент обучающихся в

экспериментальных классах составляли школьники 9, 10 и 11-х классов. Всего в экспериментальном обучении участвовало 12 классов. Такое же количест во классов выступили в качестве контрольных.

Практическая значимость. Внедрение разработок в практику обучения позволит повысить успеваемость и качество знаний учеников, углубит интерес учащихся к изучению математики, усилит действенность этого предмета как фактора общего развития школьников.

Апробация результатов исследования проводилась в школах, ставшими экспериментальными площадками для данного исследования. Ход работы и его результаты обсуждались на кафедре социологии, психологии и педагогики МГТУ «СТАНКИН» и кафедре педагогики и педа1 огической психологии факультета психологии МГУ им.М.В.Ломоносова.

Научная новизна исследования:

• Впервые проведен сравнительный анализ путей преодоления познавательных затруднений школьников, возникающих при изучении и применении математических знаний, развиваемых в российской и израильской педагогике на основе метакогнитивного подхода к преподаванию.

• Разработана и успешно внедрена в педагогическую практику система дидактических и методических приемов, стимулирующих рефлексию учащимися особенностей своего понимания изучаемых понятий и его своевременную корректировку.

• Впервые разработана система приемов, которая позволяет эффективно реализовать индивидуальный подход к преодолению познавательных зафуднений учащихся с различной успеваемостью за счет использования различных педагогических приемов при обучении слабоуспевающих и хорошо успевающих школьников.

• Экспериментально доказано, что использование метакогнитивных приемов в процессе преподавания математики учащимися средних школ арабского сектора Израиля ведет к предубеждению ошибок применения

математических знаний, характерных для традиционного подхода к обучению, ведет к улучшению академических достижений учащихся и их отношения к данному учебному предмету.

Положения, выносимые па защиту:

• Изменение способов преподавания - переход от традиционного алгоритмического преподавания математики к преподаванию, стимулирующему метапознавательную (рефлексивную) активность учащихся в процессе усвоения и применения знаний, ведет к значительному улучшению понимания школьниками учебного материала и в результате к повышению их успеваемости.

• Использование метакогнитивного подхода к преподаванию математики ведет к преодолению типичных познавательных затруднений учащихся и предупреждению характерных ошибок применения математических знаний в решении задач.

• Эффективность различных педагогических приемов, направленных на преодоление познавательных затруднений в процессе изучения математики, зависит от исходного уровня успеваемости и возраста учащихся. Применение приемов, стимулирующих моапошавазельную (рефлексию) активность школьников дас! лучший ре гул м а I при обучении сильных учеников и в старших классах Для слабоуспевающих школьников и в младших классах более эффективным окашв.юся применение системы опорных задач.

• Применение метакогнитивного подхода к преодолению познавательных затруднений школьников ведет к изменению позиции учащихся по отношению к учебному предмету, способствует формированию позитивной мотивации к его усвоению.

Достоверность результатов обеспечивалась фундаментальной теоретико-методологической базой исследования, адекватными целями исследования методами, значительным контингентом участвующих в эксперименте школьников, а также наличие достаточно большого практического опыта работы в данной области.

Структура диссертации. Работа состоит из 4 глав, выводов, заключения, списка литературы и приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, фиксируется проблема, излагаются его цель, задачи, гипотезы, раскрывается научная новизна, теоретическое и практическое значение.

Глава \ «Обучение и развитие учащихся в процессе изучения математики» состоит из двух параграфов.

В первом параграфе даётся сопоставление двух систем обучения, -опирающихся соответственно на инструментачьное и на реляционное понимание.

Под первым их них имеется ввиду знание, не предполагающее понимания генетических оснований его происхождения. Обычно такого рода знания ориентированы на умении применять некоторые правила. Например, правила решения квадратных уравнений, или «минус на минус даёт плюс» или что площадь треугольника это произведение длины основания и высоты, деленное на два. Этот тип понимания легко достижим, что является важным обстоятельством для самоощущения учеников, поскольку даёт немедленные результаты.

Но у этой системы есть много недостатков. Она заставляет учеников запоминать, какие типы задач можно решать по определенным правилам, а также обуславливает необходимость заучивать разные системы решения для каждою новою 1ипа задач. По эюй сис!еме ученики не могут применять известные им правила и приёмы для решения в новых случаях. Инструментальная математика действует только на коротких отрезках времени и в ограниченных областях.

Реляционное понимание это знание не только что, но почему нужно делать. Ученики перед применением правил или приёмов решения

должны их понять. Реляционное понимание приводит к тому, что ученики воспринимают правила как обобщенное знание, подлежащее переносу. Иными словами, знания, полученные в рамках рассмотрения одной темы, можно использовать для самостоятельного изучения новой темы. В свете множества достоинств реляционного понимания, возникает вопрос: почему учителя выбирают инструментальный подход? Объяснение этого феномена, по мнению ряда авторов, может быть дано следующим образом:

• нужно много времени для достижения реляционного понимания, в то время как ученикам чаще всего требуется только определенная техника решения;

• давление экзаменов; результаты экзаменов имеют большое значение для выбора будущей профессии, поэтому ученики больше обеспокоены не пониманием, а успехом на экзаменах;

• перегруженность учебной программы не составляет много времснн для обсуждения и углубления в тему, требуемых реляционным пониманием;

• трудности оценки: как известно, трудно оценшь. являскя ли понимание ученика, когда он решает задачу, реляционным или инструментальным. Невозможно узнагь способ ею мышления и н ном случае лучше всего провести с ним беседу, вещь, нереальная в существующих условиях;

• многие учителя не выражают готовности переходить к реляционному обучению, поскольку это требует от них значительных усилий для осуществления дополнительной теоретической подготовки и для освоения новой системы преподавания.

Во втором параграфе главы рассматриваются особенности математики как основы развития мышления школьников. Математика не похожа на другие науки, вроде химии, физики или биологии. Её происхождение - не эмпирические данные. Она основана на абстрактном знании, в котором каждое положение принимается логическим,

последовательным путем на основе системы аксиом, определений и доказательств. По этой причине, функция математики, как учебного предмета, - развитие математического мышления в составе общих интеллектуальных процессов, которые обычно основываются па конкретном эмпирическом мышлении.

Рдна из проблем по Пиаже (1950) в том, что не все ученики способна абстрактно мыслить. Мышление, по Пиаже, развивается у учеников поэтапно, и они не приходят к одним и тем же этапам в одном и том же возрасте. Некоторые приходят на более высокий уровень раньше других.

В новых исследованиях по теме присутствуют опровержения подхода Пиаже. Фишбейн (1993) приводит аргумент, что ментальные способности, которые Пиаже описывает как характеризующие этап абстрактных действий, существуют только в рамках потенциала и активизируются только вследствие процесса обучения и тренировки, то есть созревание не является спонтанным, и только упражнение должно пробудит ь спящие способности.

Исследования, проведенные Паришем и Людвигом показывают, что развитие мышления не является общим, но зависит от области применения, и, в любом случае, оно не проявляется на возрастных этапах, описанных Пиаже, а юлько на более поздних этапах.

В изучении математики можно выделить апгоритмическую и интуитивную составляющие. Алгоритмическая составляющая математическою мышления развивается благодаря выполнению большого количества упражнений. Однако это не избавляет учащегося от большою числа ошибок вследствие неоправданного переноса сформированною навыка. Другая крайность состоит в представлении (его разделяют многие учителя), что если ученики прекрасно знают теорию, термины, формулировки и правила математической ар^ментации, то они способны спонтанно применять эти правила для решения задач, и нет острой необходимости в выполнении множества

упражнений. В действительности же требуется большая систематическая тренировка, чтобы превратить теоретические знания в практические, приводящие к решению задач. Другими словами, существуют два проявления магматических способностей, и нет возможности удовлетвориться одним из них теоретическое/формальное и алгоритмическое/практическое.

Интуитивная составляющая математического мышления. Несмотря на то, что математика является абстрактным знанием, и её основы существуют благодаря определениям, аксиомам и теоремам, определенная доля математических представлений формируется благодаря опыту. Эти представления не всегда четко осознаются, но вместе с тем, служат основой принятия решения. Например, если задать ученикам начальных классов такой вопрос: «Цена килограмма яблок -пя1ь шекелей. Сколько стоят четыре килограмма яблок?», они задействуют интуицию и придут к ответу. Но если спросить тех же учеников, сколько стоят 0,75 килограмма яблок, они затрудняться ответить. Несмотря на то, что оба случая похожи, и для получения ответа используется тот же алгоритм умножения, ответ на первый вопрос интуитивный, а на второй - нет.

В параграфе приводятся другие примеры проявлений интуиции в математическом знании. Следует также отмстить, что ученики не принимают непосредственно знания, которые мы пытаемся передать им, но дают им свою интерпретацию. То есть ученики познают новые вещи путем толкования, основанного на личном опыте интуиции.

Когда ученики сталкиваются с утверждением, для его принятия или отклонения они используют один из трех путей:

• Путь авторитетного убеждения, на основе высказывания учителя или текста учебника.

• Путь интуитивного убеждения, когда утверждение выглядит очевидным в глазах учеников и принимается без нофебности в рассуждении.

• Путь убеждения на основе формального доказательства, опирающегося на теоретические материалы - теоремы, аксиомы и определения.

В принятии убеждения интуитивным путем есть как вышеупомянутые достоинства, так и недостатки. Убеждение, принятое интуитивно, перекрывает путь мышлению и затрудняет процесс обучения. Ишуитивное решение приходит мгновенно, оно не создает ощущения пофсбности в дополнительных объяснения, и, из-за того, что оно просто, оно легко принимается, оказывая деструктивное влияние на стратегии мышления (Венгер. 1987; Фишбейн, 1990).

В icKcie диссертации приводятся иллюстрации поясняющие сказанное. Один из образцов интуитивного убеждения был получен, когда ученикам, не изучавшим темы сложения тригонометрических функций было предложено упростить следующее выражение:

sin а+ sin За

Ученики не отказались от выполнения задания, полагая его простым. Они сразу же написали:

sin За+ sin а= sin (За+ ф = sin 4а

Ученики воспользовались вынесением за скобки на основе правила дистрибутивною распределения при умножении. Когда их спрашивали, как они получили ответ, они объясняли, что это так ясно, что ответ напрашивается. Иными словами, ученики опирались на свою интуицию (Фишбейн, 1993).

Глава 2, «Формирование математического мышления на основе деятельностной концепции учения» состоит из двух параграфов.

В первом параграфе описываются основные положения теории управления процессом усвоения знаний учащихся Описаны теоретико-меюдологические основания разработки данной теории, а также опыт внедрения этих раэработк в практику обучения (П.Я Гальперин, Н.Ф.Талызина, Г.А.Буткин, И.А Володарская, Н.Г.Салмина, Сохина и др.) В этих исследованиях изучались затруднения учащихся при усвоении

математических понятий и намечались пути их преодоления. В частности, определялись условия формирования логических знаний и действий. Значительное внимание уделялось формированию начальных понятий (число, система исчисления, точка, линия, угол и т.д.). Была установлена невозможность передачи понятия в готовом виде. Учащийся может усвоить понятие лишь в результате своей собственной деятельности с предметами, понятие о которых мы хотим сформировать В этом случае действие приобретает качество разумности и обобщенности. Отсутствие организации собственной деятельности с понятием приводит к его формальному усвоению. В ряде работ, осуществленных под руководством Н.Ф. Талызиной, изучались возможности формирования специфических приемов иознава!елыюй деятельности при усвоении математических понятий.

Во втором параграфе представлены результаты исследований по проблемам связи обучения и развития, выполненные в рамках научной школы В.Л.Занкова, а также в русле концепции развивающего обучения Д Б.Эльконина - В.В.Давыдова. В исследованиях этого направления разрабатывались проблемы теоретического обобщения и организации учебной деятельности учащихся. В диссертации рассмотрены ряд работ, выполненных на ма1ериале математики. Особое внимание было обращено на исследования, выполненные Ю.В. Громыко, который обращается к проблеме интеграции учебных предметов различных дисциплинарных зон. Решение этой проблемы, по мнению данного автора, связано с конструированием, так называемых, метапредметов. Их функция - обеспечить метапознание, направленное на рефлексивную интеграцию понятий, схем, категорий, идеальных объектов, знаний из разных дисциплин. Ю.В. Громыко выделяет четыре метапредмета: метапредмет «проблема», метапредмет «знак», метапредмет «знание», метапредмет «задача». Были разработаны схемы построения каждого из метапредметов и формы орг анизации учебной работы на его основе.

Глава 3 «Типичные затруднения и ошибочные действия учащихся в курсе алгебры» состоит из 4 параграфов.

В главе на основе литературных данных описываются наиболее характерные ошибки учащихся. Их выделение представляло интерес для целей настоящего исследования, поскольку именно этот материал был избран в качестве основы для формирующего эксперимента.

В первой параграфе описываются типичные ошибки, связанные с пониманием учащимися сути алгебраических выражений и уравнений. Мно! ис авторы полагают, что некоторые трудности связаны с переходом ог арифметики к алгебре.

В проведенном Нетой Шохат исследовании о доминировании натуральных чисел у учащихся приступивших к изучению алгебры (1994) сделаны следующие выводы:

1. Группы чисел, которые ученики имеют в виду, решая алгебраические задачи, - это в большинстве случаев группы действительных чисел, как то: группа натуральных чисел, группа положительных чисел и группа отрицательных чисел.

2. Группы чисел, которые ученики имеют в виду, решая разны задачи, это не одни и те же группы. Выбор группы находится под влиянием разных причин, как то. характеристик формы, так «-х» воспринимается как отрицательное число, «1/х» воспринимается как число между 0 и 1. Если под знаком модуля находится выражение без знака «минус», то при снятии знака модуля выражение сохраняет свой вид: | а | = а.

Ученики осуществляют обобщение арифметики и алгебры путём экстраполяции. Например, 2 + 1/2 записывается в виде 254, значит а + Ь, записывается аЬ. Точно ¡ак же как число, содержащее б десятков и 5 единиц, записывается в виде 65.

Ученики затрудняются принять, что одно выражение представляет одновременно процесс и ответ. Это проявляется в затруднении отнестись к ал1 сбраичсскому выражению как к самостоятельной единице математического содержания, а также к знакам действий и равенства

иным образом, чем тот, к которому ученики приучены арифметикой, побуждающей учеников спрашивать: «Какой ответ?» в отношении некоего выражения и к добавлению знака равенства, чтобы выражение выглядело правильным или законченным (Кьеран, 1983, 1989, 1991).

Например, ученики, получившие выражение вида 2% + 5*, добавили к нему знак равенства: 2х + 5х = . Другие добавили ещё и ноль: 2* + 5х=0.

Потребность превратить алгебраическое выражение в равенство проистекает из существующих в арифметике последовательности «упражнение = > результат». Эта привычка затрудняет восприятие понятия «алгебраическое выражение» самого по себе (Матц 1980; Бут, 1984, 1988; Кьеран, 1981). В тексте диссертации дается развернутое описание других типичных затруднений учащихся обусловленных не адекватным переносом способов действий из одной ситуации в другую, обусловленную лишь внешним их сходством, установок на упрощение выражений, приводящей к совершению не по правилам объединениям, сокращениям и т.п. операциям.

Второй параграф главы посвящен описанию затруднений учеников в действиях с уравнениями. В диссертации дастся подробное описание результатов исследований, касающихся использования учащимися двух подходов: алгоритмического и формального

Алгоритмический подход включает арифметические ¡г..•.:•".у. ¡-. понимание процессов, в то время, как формальный подход относится к правилам, определениям и законам, применяемым во время решения Исследователями были систематизированы и обобщены типичные ошибки учащихся. Так, Девис и Куни (1977) исследовали типы ошибок, которые обычно делают ученики в решении линейных уравнений и отнесли их к одной из десяти категорий:

• Ошибочное применение законов сложения и вычитания чисел

• Арифметические ошибки при сложении и вычитании чисел.

• Ошибочное применение законов умножения и деления положительных и отрицательных чисел.

• Арифметические ошибки при умножении и делении положительных и офицшельных чисел.

• Ошибочное применение правил сохранения равенства при сложении.

• Ошибочное применение правил сохранения равенства при умножении.

• Ошибки, связанные с коэффициентами. Использование противоположного коэффициента вместо противозначного.

• Ошибки, связанные с коэффициентами. Ошибочное использование противоположного коэффициента.

• Отказ от доведения до решения уравнений, в которых есть дроби.

• Отказ от доведения до решения других уравнений.

• Другие виды ошибок, в большинстве случаев в результате неправильного переписывания.

В исследовании Гутвирц (1989) исследователь сфокусировал внимание на ошибочных правилах, заставляющих учеников приходить к ошибочному решению при работе с линейными уравнениями.

Исследователь охарактеризовал пять ошибочных правил, которые фигурировали с наибольшей частотой:

1. Деление большего числа на меньшее, ко1да нужно было совершить обратное деление, например, при поиске решения уравнения ах = Ь, в случае если а > Ь ко1 да ученики написали- х = а/Ь

2. Перенос числа или переменного из одной части уравнения в другую без перемены знака.

3. Сложение и вычитание числа и переменного, например,

а + ах = (а +а) х.

4. Перенос коэффициента в другую часть уравнения как вычитаемого, а не как делителя Например, ах = Ь представили как х = Ь - а. вместо

х = Ь /а.

5. Выполнение арифметических действий не в соответствии с установленным порядком, а в порядке их расположения в уравнении. Например, 10-6:3 представили как 10-6 = 4; 4:3 = 1

В тексте диссертации приведены еще ряд типологий и примеры ошибок, связанных с алгоритмическим подходом.

В данном параграфе также анализируются затруднения учащихся связанные с формальным подходом к решению уравнений. Ученики учатся решать уравнения механическим путем без того, чтобы глубоко понять действия, сохраняющие равносильность уравнений при их преобразовании. Этот феномен обнаружен в исследовании Кторца, Шлеемана и Штейнебра (1990).

Чтобы сохранить равносильные уравнения многие учении предпочли решить уравнение и сравнить ответы, даже когда уравнение можно было легко понять. Например:

х + 2 = 5;х + 2-2 = 5-2 Не использовалась идея, что прибавление любого числа к обеим частям уравнения сохраняет равенство.

Проблемы непонимания равносильное >ь уравнений обсуждались и в исследовании Сфарад и Линдавски (1994).

В одном из объемлющих исследований, осущсстлённых Г>ра\оп Музыкант (1996), которая сосредоточилась на проблемах в понимании алгебраических выражений и уравнений и допустимых теш-шин >м I ними, обнаружились следующие факты:

• у многих учеников были проблемы в понимании сути алгебраических выражений и уравнений;

• большинству учеников не удалось дать примеров этих понятий и только сорок процентов справилось с этой задачей;

• существует разрыв в способности учеников различать понятия между учениками высокого и низкого уровней;

• часть учеников обяснили, что они классифицировали алгебраические выражения по внешним признакам (выяснилось в ходе интервью);

• в уравнениях с дробями ученики склонны осуществлять действия только в одной части уравнений;

• мно1ис ученики уверены, что можно осуществлять допустимые для уравнений действия так же и над алгебраическими выражениями.

В третьем параграфе главы рассматриваются исследования, связанные с ошибочным применением учащимися правил дистрибутивного распределения при умножении для решения математ ических задач.

Много раз учителя математики встречаются с ошибками типа: sin (« + b) = sin а + sin b log (a+b) = log a + log b

V a + b = VT+VF

По сути можно отнестись к этим ошибкам как к побочному продукту чрезмерного распространения правила дистрибутивного распределения при умножении. Феномен склонности к применению правила дистрибутивного распределения при умножении также и в неподходящих случаях известен в профессиональной литературе и описан во многих исследованиях (Париш и Людинг, 1994; Маргулис, 1993, Маш, 1982, Фридлендер, 1991).

Эти ошибки присутствуют в разных темах и в разных ибстя1ельс!вах Поэюму фебуется теоретическое объяснение корня проблемы, чтобы появилась возможность попытаться справиться с ней

Мовшович-Кадор, Заславский и Инбар (1987) проверили ошибки учеников на экзаменах на аттсаат зрелости в Израиле. Они разделили ошибки на категории:

• ошибки в понимании формулировки вопроса;

• пут аница в данных;

• технические ошибки;

• отсутствие контроля за результатами;

• путаница в законах и определениях.

Другие исследователи, занимавшиеся ошибками, связанными с правилом дистрибутивного распределения при умножении, - Фишбсйн и Бараш (1993). Они определили ошибки, как подкатегорию применения алгоритмических моделей. Они приводят выражения типа:

(а + Ь)2 = а2 + Ь\

В соответствии с предыдущим опытом учеников, они исходят из ошибочного предположения, что любые математические выражения можно разложить линейно, из чего делается вывод, что на них распространяется правило дистрибутивного распределения при умножении. Их предыдущий опыт в алгебре укрепляет этот подход. Они помнят, что у правила дистрибутивного распределения при умножении есть версия, более общая, чем доминирование умножения над сложением, и это усиливает ошибочный вывод, что это правило допускает распространение на все действия. Проблема в том, что нельзя установит ь, какое действие подходит для этого правила, а какое - нет, так как это зависит от обоих действий и от их взаимного расположения. Так, верным будет разложить умножения и степень, например: (а*Ь)с = а® * Ьс, но не будет верно осуществить подобное действие в другом случае, например: а6"' ■ аь * а®,

несмотря на то, что в этом случае присутствуют те же действия, что и в предыдущем.

Ученикам неизвестно, что у законов есть определённая обласчь применения, но зачастую они обобщают на основе поверхностных признаков, а не на основе формального знания (Маурер, 1987).

Склонность к анализу, которая всё ещё не развита у учеников, - это обязательная составляющая математического знания, нужного им на более сложных этапах.

Четвертый параграф главы обобщает проведенный анализ причин затруднений учащихся и путей их преодоления.

Один из источников помех реляционному пониманию существование у учеников скрытых моделей. Э.Фишбейн утверждает, что

мы продолжаем скрытым образом обращаться к первичным источникам абстрактных моделей намного позже того, как влияние этих источников на мышление должно было завершиться в результате математического образования.

Система обучения, подходящая для преодоления скрытых моделей и для усиления реляционного понимания, это система обучения, побуждающая учеников оценивать свою работу и думать о своем мышлении. Подобная система должна предполагать формирование у учащихся такого новообразования как метакогнитивность. Мстакогни гивност ь - это когнитивное знание или действие, предмет которого - эффект узнавания, это мышление о мышлении. Многие исслсдовагели уверены, что метакогнитивные способности играют центральную роль во многих когнитивных действиях, как-то: передача информации, понимание, память, решение проблем и извлечение логических выводов Кроме прочего, метакогнитивное знание помогает ученику выбрать стратегию, подходящую для определенной задачи. Он знает, чю имеет смысл делать, когда впервые видит учебный материал или проблему, требующую решения.

Применение мета когнитивной системы в обучении.

Применение этой системы в обучении состоит, по Шонфельду (1987) из двух основных этапов:

1. Необходимо в ходе обсуждения в классе анализировать основные ошибки, всфсчающисся в решениях учениками задач определенных типов. Эшм можно пробудить осознание учениками причин ошибок и повлиявшие на учеников скрытые модели. Ученики стоят перед потенциальным конфликтом, возникающим между требованиями моделей и формальными требованиями, вытекающими из математических терминов и теорем.

2. После осознания учениками конфликта имеет смысл предложить им задачи, о I носящиеся к гой же области содержания, но представленных в разных формах, содержащих новые аспекты.

Если периодически будут проводиться такие обсуждения, можно надеяться, что будет достигнут ряд дидактических продвижений:

1. Ученики научатся большей осторожности в своих первых стартовых решениях. Они научатся также осторожно анализировать обобщения и выводы в свете формальных требований.

2. Ученики должны получить жизненно важную информацию, касающуюся конкретных интуитивных моделей, которые они уже идентифицировали как способные затруднить и замедлить процесс мышления.

3. Можно надеяться, что в результате влияния этого метакогнитивного упражнения ученики разовьют навыки и правила анализа действий и понятий, которые они совершают.

По нашему мнению, система применения метакогнитвносги будем более трудна для слабых учеников и многие учителя также воспро1ивя1ся ее применению по вышеупомянутым причинам. В этих случаях можно пользоваться системой обучения, помогающей ученикам уже в ходе решения удостовериться, является ли решение верным, посредством сравнения его ответа с параллельной задачей, которая проще и которую он и многие ученики могут решить с легкостью. Такую задачу мы назовем опорной задачей. Опорная задача это, как сказано, задача, которую большинство учеников умеют решать. Например, если ученик хоче( выполнить определенное дейс!вие в ходе работы с ал! ебраическим выражением, скажем, сокращение а в случае (я + Ь) / а и получает Ь+1, подвигнем его записать образец или опорную задачу, которые он умеет решать, например: (2 +10) / 2.

Он знает, что верным является ответ 12 / 2 = 6, а если ученик совершит действие, которое выполнил раньше, то получит 1+10=11. Ученик моментально открывает, что делает ошибку. Система эта не дает ему путь решения, но она открывает ему ошибку, которую он делает, и побуждает его снова подумать и найти верное решение. Иногда она также подталкивает к верному решению.

В свое постановки задачи и обзора литературы решено провести исследование, которое попытается ответить на заданные вопросы в сфере двух важных в математике тем:

• путаница между алгебраическим выражением и уравнением;

• неверное применение правила дистрибутивного распределения при умножении.

В главе 4 «Экспериментальное обучение с усилением метакогнигивного компонента знаний и применением опорных задач» сос I оит из 4 параграфов.

Первый параграф посвящен описанию процедуры подбора учителей и учащихся. Описываются возникшие в связи с этим трудности. Основным возражением учителей было то, что эта система преподавания требует много времени и больших усилий. Подбор учителей, согласных на эксперимент по системе опорной задачи был более легким в силу roi о, чго эта система не требует больших отклонений от обычных путей обучения.

Характеристика и количество классов, привлеченных к экспсримсн 1 у преде 1авлено в Таблице 1. В параграфе описывается также система работы с учителями, осуществлявшими эксперимент.

Таблица 1. Всего 24 класса: 12 экспериментальных 12 контрольных.

К iact и сю уровень 9 10 11

Уровень Уровень

Фумкиня Я ЭккНСрИМСН1С Нижи Среди Высш Нижи Среди Высш

= <e a s 5 ' à ï 1 С X 1 1 1 1 1 1 1

s s 1 § ' Г) s s 7.

опорные задачи 1 1 1 1 1 1

>2 Я X Л 1 и 1 оотвстствующнх 1 классов • « М Е§ 2 | 1 1 1 1 1 1

и 1 1 1 1 1 1

I Г»

Второй, третий и четвертый параграфы главы описывают ход эксперимента соответственно в 9-ом, 10-ом и 11-ом классах Варьируемые переменными выступили: система обучения (обучение по метакогнитивной системе, обучение с применением опорных задач, традиционная методика), а также исходный уровень учебных достижений (в школах Израиля старшие классы дифференцирую 1ся по уровню успеваемости: низкий - 3 балла, средний - 4 балла и высший - 5 баллов) Результаты каждого экспериментального класса сопоставлялись с соответственным ему по уровню контрольным классом. В тексте диссертации подробно описываю 1СЯ ход обучения в каждом классе, характер учебных заданий, действия учителя и учащихся.

В контрольном классе обучение проводилось по обычной системе, которая включала обучение системам решения без углубления в их сузь, решение упражнений дома, проверку в классе и демонстрацию правильного решения на классной доске.

В экспериментальном классе давались те же упражнения, но система обучения была другой Учитель поощрял учеников думать и углубляться в суть, и ученик, решивший упражнение, приглашался объяснить способ, которым он мыслил, и когда обнаруживалась ошибка, ученику путем задаваемых учителем вопросов, поощряющих размышление ученика о его способе мышления, предлагалось выразить мнение о решении. Беседа велась с учеником, решившим упражнение, и

остальным ученикам предоставлялась возможность высказать свои суждения, всс это в процессе поддержки размышления над вопросами:

• почему он решил именно таким образом?

• сущсс гвуе 1 ли дру1 ой иу! ь решение?

• если решение логично, в чем причина ошибки?

С целью демонстрации в параграфе приводится запись одного из уроков в экспериментальном классе.

Динамика развития учащихся фиксировалась по объему и сложности решаемых задач, активности в обсуждении возникших проблем, по прямой оценке применяемой системы, данной в беседах или при заполнении анкс1Ы по результатам контрольных и экзаменационных рабо г.

Фиксировалась также динамика отношений к экспериментальной системе учителей, их мнение о том, при каких условиях экспериментальная система оказывается эффективной, а в каких - нет. На основе этих данных делались общие выводы об эффективности применяемой системы.

Выводы.

1. Разработка путей формирования метакогнитивных знаний осущсствляс1ся во многих странах. Интенсивно это направление развивается в Израиле и России. В Израиле эти исследования опираются, в основном, на западноевропейские традиции в понимании механизмов становления мышления учащихся. В России соответствующие разработки опираются на концепцию деятельностного подхода, заданного в научных школах Л.С. Вьнодского, А.Н. Леонтьева, В.В. Давыдова, ПЛ. Гальперина, Н.Ф. Галызиной и др.

2. Формирование метакогнишвных знаний возможно на материале различных тем математики, особенно тех, усвоение которых связано с затруднениями при изучении. Методические приемы формирования метакогнитивных знаний базируются на анализе и осознании учащимися

причин совершаемых ошибок. Факт совершения ошибки учащийся может установить на основе опорных задач.

3. В результате педагогического эксперимента было установлено, что обучение предусматривающее формирование метакогнитивных знаний повышает мотивацию и учебные достижения относительно сильных учащихся. Для относительно слабых учеников положительный эффект получен в ходе применения опорных задач. Вместе с тем есть основания предполагать, что использование Метакогнитивной системы обучения уже в начальных классах позволит уменьшить долю учащихся, относящихся к числу слабо успевающих, повысит интерес и самостоятельность в учебе.

В заключении подводятся итоги исследования, а также предлагаются некоторые рекомендации по освоению и развитию предложенной системы обучения. Они сводятся к следующему.

1. Мы рекомендуем уже с раннего возраста обучать, пробуждая мышление и поощряя метакогнитивный процесс. Мы ожидаем, что таким образом уменьшим число учеников, слабых в математике. По нашему мнению, большая часть учеников оказывается в положении слабых в математике не потому, что у них нет способностей, а вследствие существующих систем преподавания, которые, в большинстве своем, системы, передающие материал и не развивающие мышление, и. в особенности, мышление о мышлении, нредгтзвняюшес более высокий уровень.

2. Если собираются применять преподавание, поощряющее метакогнитивный процесс, в старших классах, которые раньше не учились по этой системе, то только в классах, обладающих высоким математическим уровнем.

3. В ходе встреч с учителями, участвовавшими в эксперименте, мы обнаружили, что обсуждение ошибок и их возможных источников увеличило мотивацию учителей и открыло им системы, эффективнее справляющиеся с проблемой, вследствие чего улучшились способы

преподавания. Поэтому мы рекомендуем подготовку учителей математики в этом духе

4. Учителя, желающие возглавить метакогнитивный процесс, должны прежде основательно изучить систему и пути ее применения и натренироваться в ней прежде, чем работать с учениками.

5 Желательно дать ученикам простые инструменты, чтобы они смогли проверить себя, решая задачи, особенно, в младших классах. Инструмент ы эти - опорные задачи того типа, который ученики умеют решагь. Таким образом, ученики смогут проверить себя, не очень нуждаясь в помощи учителя, которая может привести ученика к смущению. Таким путем, возможно, нам удастся увеличить самостоятельность учеников и избавить их от стыда, связанного с замечанием учителя, обнаруживающего у ученика ошибку, которая выглядит глупой.

6 Мы рекомендуем в будущем проверить, продолжат ли ученики, столкнувшиеся с метакогнитивным процессом, применять его с течением времени, даже если учителя будут работать по другой системе.

Особо следует сказать о направлениях совершенствования математического образования в школе. Необходима его перестройка на основе психолого-педагогических разработок в области развивающего образования, выполненных российскими специалистами. Обращение к их разработкам позволила нам укрепиться в обоснованности ряда наших исходных положений. Так, в работах научной школы П.Я.Гальперина и Н.Ф Талызиной мы нашли плодотворные идеи, связанные с использованием обобщенных схем ориентировки в учебном материале, а также данные о функциях впешнеречевого этапа в усвоении знаний.

Нам помоию лучше отрефлексировать собственное понимание затруднений учащихся исследования, касающиеся роли моделей в организации познавательных действий (Н.Г.Салмин), системной ориентировки в предмете (З.А.Решетова) и методологического компонента знаний (Ю.А.Самоненко). В работах научной школы

В.В.Давыдова-Д.Б.Эльконина мы также нашли ряд положений, углубляющих наши представления об условиях развития учащихся в обучении Эти положения раскрывают роль теоретического обобщения, значения общения учащихся для развития рефлексивных процессов (Г.А. Цукерман). Особенно близки оказались нам работы Ю.П.Громыко, по проблеме формирования метакогнитивных знаний. Данные обстоятельства обуславливают необходимость объединения усилий специалистов различных государств в поиске наиболее эффективных путей модернизации образования.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях

автора:

1. Faraje Khamessy, How to deal with students mistakes when (he distribution low in grades 8й . / School Maths. 2000. № 7. p. 27

2. Faraje Khamessy Using meta-cognition strategy. / Israel school. 1989 № 4. p. 25

3. Faraje Khamessy Using the surprise effect as a means for learning of graphical represintation of function. / Ministry of Education. Israel. 1988. 30 p.

Í1S295

РНБ Русский фонд

2ША 1Ô97Î