автореферат и диссертация по психологии 19.00.13 для написания научной статьи или работы на тему: Динамика риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте

Автореферат диссертации по теме "Динамика риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С.Л.СОБОЛЕВА

На правах рукописи

Волков Юрий Степанович

ХОРОШО ОБУСЛОВЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СПЛАЙНОВ ВЫСОКИХ СТЕПЕНЕЙ И СХОДИМОСТЬ ПРОЦЕССОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск — 2006

Работа выполнена в Институте математики им.С.Л.Соболева Сибирского отделения РАН

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН

доктор физико-математических наук профессор Субботин Ю. Н.

Защита состоится 28 сентября 2006 г. в 15 час. на заседании диссертационного совета Д 003.015.04 при Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН по адресу:

630090, г. Новосибирск, проспект Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

доктор физико-математических наук профессор Блатов И. А.

доктор физико-математических наук профессор Васкевич В. Л.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет, г. Санкт-Петербург.

Автореферат разослан

г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических паук

В.Н. Белых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Ещё совсем недавно стандартным решением задачи интерполяции функции по значениям, известным в некоторых точках отрезка, выступали интерполяционные многочлены Лагранжа, но теперь наиболее распространённым решением являются полиномиальные сплайны, т. е. кусочно-многочленные функции. Классическими являются сплайны нечётной степени, только они появляются как решения некоторых вариационных задач.

Конечно же, в настоящее время сплайны полномасштабно внедрились в вычислительную математику, и, пожалуй, не осталось ни одного раздела вычислительной математики, связанного с аппроксимацией функций, где сплайны не нашли бы применения. Но всё-таки по-прежнему большинство задач связано именно с интерполяцией функций.

Практическое построение интерполяционного сплайна заключается в определении каких-либо параметров (коэффициентов) сплайна, участвующих в его представлении. Простейшими сплайнами являются ломаные, при их вычислении и исследовании сходимости процессов интерполяции не возникает никаких трудностей. Но уже кубические сплайны и выше являются нелокальными, и для нахождения определяющих параметров необходимо решать систему уравнений, вытекающую из условий интерполяции. Конкретный вид системы и её свойства определяются набором параметров, используемых для представления сплайна или, говоря другими словами, базисом в конечномерном пространстве полиномиальных сплайнов.

Наиболее развитыми и изученными являются интерполяционные кубические сплайны. Для них достаточно хорошо изучены и аппроксимативные свойства, и разработаны надёжные и эффективные методы практического их построения. Для кубических сплайнов предпочтительным является представление их через узловые значения какой-либо из его производных. Получаемые системы уравнений имеют ленточную струк-

туру. Системы относительно наклонов сплайна (первых производных) в узлах и моментов (вторых производных), являясь трёхдиагональными, имеют диагональное преобладание. Указанные свойства систем уравнений позволяют использовать очень эффективный и надежный метод решения — метод прогонки.

Привлекателен выбор в качестве определяющих параметров сплайна коэффициентов его разложения по базису из нормализованных .В-сплай-нов. В-сплайны имеют конечный носитель, и существует устойчивый метод вычисления этих базисных функций произвольной степени в любой точке, основанный на рекуррентном соотношении. Хотя В-сплайновая коллокационная матрица является вполне неотрицательной ленточной матрицей, и при решении системы уравнений с этой матрицей методом Гаусса отпадает необходимость осуществлять выбор главного элемента для проведения исключения, тем не менее этот метод построения имеет ограниченное применение. Известно, что его можно уверенно использовать только на сетках, близких к равномерным, или специальной структуры, в противном случае обусловленность системы уравнений данного метода может стать сколь угодно плохой1. Конечно, в отдельных частных случаях система уравнений может устойчиво решаться и при плохой обусловленности, но в данном случае показано2, что при интерполяции кубическим сплайном данных вида fi = Sitk (фундаментальный сплайн) на сильно неравномерных сетках возможен неограниченный рост осцил-ляций сплайна и, следовательно, В-сплайн-коэффициентов и элементов обратной матрицы. В данной ситуации плохая обусловленность и накопление ошибок округления при решении системы тесно взаимосвязаны.

Тем не менее, несмотря на плохую обусловленность, метод вычисления интерполяционных сплайнов через разложение их по В-сплайнам это, пожалуй, единственный способ, который получил некоторое распространение для сплайнов выше третьей степени. Казалось бы надо вы-

1 Завьялов Ю. С.г Квасов Б. И., Мирошниченко В, Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. ' de Boor С. On cubic spline functions that vanish at all knots // Adv. math. 1976. V. 20, n. 1. P. 1-17.

брать параметрами представления сплайна значения в узлах сетки одной из производных сплайна (как для кубических сплайнов), но получение соответствующих систем уравнений является непростой задачей. В литературе известна только одна такая система3 — относительно узловых значений (2п — 2)-й производной, если степень сплайна равна In — 1, которая не получила распространения в силу её громоздкости и также плохой обусловленности.

Можно упомянуть ещё про некоторые способы решения задачи интерполяции для сплайнов произвольной степени4, однако какой-либо анализ устойчивости вычисления параметров сплайнов при этом отсутствует. Таким образом, задача поиска хорошо обусловленных способов построения интерполяционных сплайнов высоких степеней представляется востребованной и актуальной.

Второй вопрос, который также актуален, это исследование сходимости процессов интерполяции сплайнами. Впервые вопрос о сходимости процессов интерполяции для сплайнов и их производных при минимальных требованиях гладкости интерполируемой функции был сформули-рова И.Шёнбергом в 1963 году на конференции в Обервольфахе (ФРГ).

Задача состоит в следующем. Рассмотрим последовательность сплайнов {s} степени 2п — 1, интерполирующих некоторую функцию / на последовательности сеток {Д} таких, что h = — Х{) -> 0. Бу-

дет ли иметь место сходимость sW к /W для произвольной функции / G Ск[а, 6] (0 ^ к ^ 2п — 1) ? Если сходимости в общем случае нет, то каким ограничениям должна удовлетворять последовательность сеток {Д}, чтобы сходимость имела место? Мы будем говорить про сходимость в равномерной метрике.

Для последовательности сеток с равномерным распределением узлов сходимость есть всегда для любой производной. Для произвольных сеток

3АлбергДж., Нилъсон Э., Уольл Дж. Теория сплайнов я её приложения. М.: Мир, 1972.

4Anselone P. М., Laurent P. J. A general method for the construction of interpolating or smoothing spline functions // Numer. Math. 1968. V. 12, n. 1. P. 66-82.

вопрос значительно сложнее. Для кубических сплайнов довольно быстро было установлено, что сходимость без каких-либо ограничений на сетки имеет место при к = 1 или к = 2. А изучение сходимости самих сплайнов в С[а, Ь] и третьих производных в С3[а, 6] растянулось более, чем на десять лет. Эти вопросы исследовались в работах Ю. С. Завьялова, С. Б. Стечкина, Ю. Н. Субботина, В. JI. Мирошничеко, Ал. А. Привалова, А. Шармы, А. Меира, С. Норда, Э. Ченьи, Ф. Шурера, Ч. Холла, Т. Лича, Л. Шумейкера. Окончательные необходимые и достаточные условия сходимости в терминах локальной характеристики сетки для кубических сплайнов установили М. Марсден, Н. Л. Зматраков, К.де Бор.

Для интерполяционных сплайнов более высоких степеней, чем кубические, результатов не так много и, особенно, окончательных. В 1973 году К. де Бор высказал предположение, что в случае сплайнов s произвольной степени 2га — 1, интерполирующих функцию / € С"[а, Ь], будет имееть место безусловная равномерная сходимость производных s^ к Эквивалентная формулировка этого предположения более известна как знаменитая гипотеза К. де Бора5 (за её проверку был даже объявлен денежный приз) об ограниченности норм операторов наилучшего среднеквадратичного приближения сплайнами степени п — 1 как операторов из С[а, Ь] в C[a,t] константой, зависящей только от п, но не от сетки.

В 1975 году К.де Бор дополнительно предположил безусловную сходимость s^"-1) к в классе Cn-1[a, 6], вместе с тем он показал, что сходимость sW к при / G Ск[а, Ь] без ограничений на сетки для к = 0,... ,п — 2 невозможна. Позднее невозможность сходимости без ограничений была доказана автором и при к = га+1,..., 2п — 1. Отметим вклад в изучение вопросов сходимости ГО. Н. Субботина, А. Ю. Шадрина, К. де Бора, С. Фридленда, Ч. Мичелли, К. Хёллига, И. Фенга, Дж. Козака, Б.Митягина, Р.-К. Дзя.

Bde Boor С. The quasi-interpolant as a tool in elementary polynomial spline theory // Approxim. Theory: Proc. conf. New York: Academic Press, 1973. P. 269-276.

И, наконец, отметим, что в 2001 году А. Ю. Шадрин6 решил проблему К.де Бора, установив безусловную сходимость s^ к для функций / из Сп[а,Ь]. Второй вопрос К. де Бора о возможной безусловной сходимости производных к для функций / из класса С"-1 [а, Ь] оставался, однако, открытым.

Приведённый краткий обзор известных результатов по обозначенной тематике наглядно свидетельствует об актуальности избранной для исследования темы.

Цель работы. Во-первых, исследование вопросов построения классических интерполяционных сплайнов нечётных степеней дефекта 1. Разработка новых подходов к решению задачи вычисления таких сплайнов, поиск хорошо обусловленных методов построения. Во-вторых, это изучение сходимости процессов интерполяции для сплайнов и производных при минимальных требованиях гладкости интерполируемой функции.

Методы исследования. Для изучения свойств и получения решений задач в рамках описанной выше проблематики использованы методы линейной алгебры, математического анализа, функционального анализа, вычислительной математики.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором лично. При этом был предложен новый подход к получению систем определяющих уравнений для построения интерполяционных сплайнов. Изучены свойства возникающих систем уравнений, указаны способы эффективного вычисления их элементов. Выделены устойчивые хорошо обусловленные системы. Отметим, что даже в хорошо изученном случае кубических сплайнов новый подход привёл к новому устойчивому способу построения интерполяционных кубических сплайнов. Кроме того, показано, что новый подход можно перенести и на случай сплайнов чётных степеней, что в свою очередь и там позволяет

*Shadrin А. Уы. The Д»-norm of the La-spline projector is bounded independently of the knot sequence: A proof of de Boor's conjecture // Acta Math. 2001. V. 187, n, I. P. 59-137.

получить существенный прогресс.

Обнаружена связь обусловленности возникающих в предлагаемом подходе систем с вопросами сходимости процессов интерполяции. Положительно решена гипотеза К. де Бора (1975) о безусловной сходимости ещё одной средней производной сплайнов при минимальных требованиях гладкости интерполируемой функции. Установлена симметрия условий сходимости процессов интерполяции для младших и старших производных. Применительно для сплайнов чётных степеней впервые была установлена связь условий сходимости процессов интерполяции двух наиболее распространённых конструкций по Марсдену и по Субботину.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации приводят к эффективным и хорошо обусловленным способам построения интерполяционных сплайнов произвольных нечётных степеней. Таких методов ранее не было известно для общего случая. Данные результаты могут быть использованы для создания программного обеспечения по вычислению сплайнов высоких степеней. Установленная симметрия условий сходимости позволяет изучать вопросы сходимости только для младших или наоборот для старших производных, а затем сразу переносить на остальные производные. Новые системы уравнений послужили основой для установления новых условий формосохранения сплайнов при интерполяции. Приведенные в диссертации теоремы, леммы, аналитические оценки значительно расширяют объём известной информации о свойствах полиномиальных сплайнов, развитые в диссертации методы исследования, как уже отмечалось, переносятся на сплайны чётной степени, также могут быть применены и для других видов сплайнов. Полученные результаты также можно использовать в университетских курсах по вычислительной математике и теории приближения.

Апробация работы. Основные результаты диссертации в целом и отдельные её разделы докладывались на Всесоюзном симпозиуме по теории приближения функций (Уфа, 1987), Всесоюзной конференции «Ак-

туальные проблемы вычислительной и прикладной математики» (Новосибирск, 1987), Воронежской зимней математической школе «Понт-рягинские чтения-IX» (Воронеж, 1998), Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике «ИНПРИМ-98» (Новосибирск, 1998), Международной конференции «Теория приближения функций и операторов» (Екатеринбург, 2000), Четвёртом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике «ИНПРИМ-2000» (Новосибирск, 2000), Международной конференции «Геометрия и приложения» (Новосибирск, 2000), Сибирской конференции, посвящённой памяти Ю. С. Завьялова, «Методы сплайн-функций» (Новосибирск, 2001), Международной конференции «Wavelets and Splines» (Санкт-Петербург, 2003), Международной конференции «Workshop on Nonlinear Approximations in Numerical Analysis» (Москва, 2003), Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2004), Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004), а также на научных семинарах Института математики и механики УрО РАН (рук. чл.-корр. РАН Ю.Н.Субботин), «Математика в приложениях» ИМ СО РАН (рук. академик С.К.Годунов), отдела численных методов математического анализа Института математики им. С. Л.Соболева СО РАН (рук. к.ф.-м.н. В.Л.Мирошниченко, д.ф.-м.н. С. И. Фадеев), на Общеинститутском математическом семинаре Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (рук. академик Ю. Г. Решетняк), Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (рук. д.ф.-м.н. В.П.Ильин).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 работы, полный перечень которых имеется в диссертации. В автореферате приведен список основных публикаций автора по указанной теме.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 180 наименований. Объем работы 198 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из оглавления, введения, основной части, включающей шесть глав, заключения и списка литературы. Краткое содержание основной части приводится далее. Главы разбиты на разделы, нумерация разделов внутри главы формируется из номера главы и номера раздела, разделённых точкой. Приводимые здесь формулы и теоремы имеют ту же нумерацию, что и в тексте диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, даётся краткий исторический обзор результатов по обозначенной тематике и приводится краткое содержание работы.

Первая глава является вспомогательной и включает в себя 5 разделов. Она полностью посвящена вопросам решения систем линейных уравнений и оцениванию норм обратных матриц. Дальнейшее решение вопросов в следующих главах опирается на результаты, приводимые и устанавливаемые в этой главе. Хотя эти результаты и носят вспомогательный характер, однако они могут представлять и самостоятельный интерес, а также могут быть использованы в других разделах математики.

Раздел 1.1 состоит из основных определений и обозначений. В разделе 1.2 обсуждаются способы и возможности оценивания норм обратных матриц. Наиболее простой способ существует для матриц А = (ас диагональным преобладанием, т. е. если выполнены условия

и = а,,, - £ КИ > °> *=!..•■> ЛГ, (1.11)

то

НА-1!!«, ^ 1/г„ (1.12)

где г, = т.1П{ г,. Известно7, что если кроме того все внедиагональные элементы неположительны иг, = г*, где г* — тах< то в (1.12) можно

7 Завьялов 10. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функцай. М.: Наука, 1980.

поставить знак равенства. В теореме 1.3 приводится небольшое усиление для матриц монотонного вида

1/г* < НА"1!!«, < 1/г.. (1.14)

Для вполне неотрицательных матриц при получении оценок норм обратной матрицы условие диагонального преобладания можно ослабить. Вместо условий (1.11) достаточно выполнения неравенств

U = + > 0, i = l,...,N. (1.15)

К. де Бором8 установлена оценка ¡|Л_1|| < l/г«, где г, = min; т\. Мы также установили некоторое усиление этой оценки

1/г* < IIA-^loo ^ 1/г., (1.16)

где г* — шах, fj.

Результат данного раздела, представляющий наибольшую ценность, следующий.

Теорема 1.7. Для любой невырожденной вполне неотрицательной матрицы А существует диагональная матрица С = diag(7i,..., 7дг) такая, что

ai,iJi + Yli-^Oijyj = Р = «"»si» i = l,...,N, (1.18)

где 0 < л ^ 1, ЦСЦ« = 1, и имеет место равенство |[-4.~г||оо = 1/р-

Данная теорема показывает, что оказывается, промасштабировав подходящим образом столбцы вполне неотрицательной матрицы, всегда можно вычислить норму обратной матрицы (или получить оценку, теорема 1.8) через элементы получившийся матрицы. Правда не всегда ясно, как подбирать коэффициенты для масштабирования.

8 de Boor С. On the convergence of odd-degree spline interpolation //J. Approxim. Theory. 1968.

V. 1, n. 4. P. 452-463.

В разделе 1.3 приводится удивительное свойство ленточных матриц, обнаруженное С.Демко9, что элементы их обратных экспоненциально убывают при удалении от диагонали. Данный результат устанавливает фактическую эквивалентность р-норм ленточных матриц, в частности, позволяет переходить от оценок норм самой матрицы к транспонированной, что для нас в дальнейшем оказывается очень существенным. В этом разделе мы распространили указанное свойство на циклические ленточные матрицы (теоремы 1.14, 1.16).

Раздел 1.4 посвящён трёхдиагональным матрицам со столбцевым диагональным преобладанием. Здесь показано, что преобразование В. JI. Мирошниченко10, введённое им для матриц с обычным (строчным) диагональным преобладанием, приводит трёхдиагональную матрицу со столбцевым диагональным преобладанием к матрице монотонного вида, что в дальнейшем будет использовано при изучении условий монотонности кубического сплайна. Отметим, что попутно установлена устойчивость метода циклической редукции для трёхдиагональных матриц со столбцевым диагональным преобладанием.

Последний раздел первой главы опять связан с преобразованием В. Л. Мирошниченко. На основе этого преобразования строится подобное преобразование симметрического циркулянта. Мы устанавливаем условия на компоненты правой части системы уравнений с такой матрицей, чтобы решение было положительным. Результаты данного раздела применяются при решении задачи положительной интерполяции (а также fc-монотонной) сплайнами произвольной степени на равномерной сетке.

Ещё раз отметим, что глава 1 является вспомогательной, устанавливаемые здесь результаты не имеют прямой связи со сплайнами, но получены именно для нужд изучения сплайнов и используются в после-

'Demko S. Inverses of band matrices and local convergence of spline projections // SIAM J. Numer. Anal. 1977. V. 14, n. 4. P. 616-619.

10Miroshnichenko V. L. Convex and monotone spline interpolation // Constructive theory of function. Sofia, 1984. P. 610-620.

дующих главах при исследовании соответствующих вопросов. Поскольку некоторые из приводимых здесь результатов имеют самостоятельное значение, и могут быть использованы в других разделах математики, мы сочли целесообразным выделить их в отдельную главу.

Глава 2 уже относится к числу основных глав диссертации, она состоит из шести разделов. В этой главе излагается новый подход к получению определяющих систем уравнений для вычисления каких-либо параметров искомого интерполяционного сплайна. Разными авторами предпринималось много попыток получения систем уравнений относительно значений сплайна в узлах сетки какой-нибудь, например, ¿-той производной сплайна степени 2п —1. Предполагалось, что такие системы при к = п—1 и к = п могут оказаться хорошо обусловленными (именно эти системы для первых и вторых производных в кубическом случае являются хорошо обусловленными), но, как уже отмечалось ранее, в общем случае получена только система относительно (2п — 2)-й производной.

Наш подход заключается в следующем. Мы попытались простоту получения определяющей системы уравнений при решении задачи интерполяции сплайном, представленным в базисе из В-сплайнов, перенести на представления, использующие производные сплайна. Нам пришлось отказаться от использования в качестве параметров значений производных сплайна в узлах. Вместо этого мы предлагаем использовать коэффициенты разложения к-й производной интерполяционного сплайна по соответствующим В-сплайнам. Ясно, что при разложении по нормализованным В-сплайнам эти коэффициенты в некотором смысле "близки" к узловым значениям соответствующей производной сплайна, и есть надежда, что для средних производных (к = п — 1 или к = п) получаемые системы окажутся хорошо обусловленными.

Пусть сетка Д является разбиением отрезка [а, Ь]:

Д : а = ха < < ... < = Ь. И

Символом §Г(Д) или §г будем обозначать множество всех полиномиальных сплайнов или сплайн-функций на отрезке [а, Ь] порядка г (или степени г — 1) с узлами на сетке Д, т. е.

§Г(Д) = Sг = {s G СГ-2[а, Ь] : a|(,4iSm) € Рг, г = 0,1,..., N - 1},

где через Рг обозначено множество всех многочленов степени г — 1. Здесь мы выделили сплайны максимальной гладкости, т.е. дефекта 1, так как мы будем иметь дело только с такими. Подмножество {Ь — а)-периодических сплайнов будем обозначать §г.

Нас интересует задача интерполяции некоторой функции / полиномиальным сплайном 5 степени 2п — 1 по известным в узлах сетки Д значениям /(х <) = /¿, i = О,..., N. Для однозначного определения интерполяционного сплайна необходимы какие-либо дополнительные условия. Мы будем рассматривать две задачи, имеющие единственное решение: 1) задача периодической сплайн-интерполяции, т. е. будем считать, что s £ &2П, если интерполируемая функция / является (Ь — а)-периодической; 2) задача интерполяции полным сплайном, когда сплайн s € §2п дополнительно удовлетворяет краевым условиям

eM(o)=/M(a), = /М(Ь), «/ = 1,...,п-1.

В разделе 2.1 даются определения Л-сплайнов, образующих базис пространств §г и Sr, приводятся основные их свойства.

Сплайн с носителем из г последовательных интервалов разбиения Д называется B-сплайном степени г — 1 (порядка г) на сетке Д. На каждом таком носителе .B-сплайн определяется однозначно с точность до нормирующего множителя. 5-сплайн Л^д или просто Ni)T с носителем (х;,х,•+,.), определяемый равенством

Щ,г,а(х) = Ni,r(x) = (xi+r - х,)(- - х);-1^,-,..., xi+r], (2.1)

называется нормализованным или ¿^-нормализованным /?-сплайном. Здесь g[xi,..., х;+г] означает разделённую разность r-го порядка от функ-

ции д(х) по точкам ..., Xi+r разбиения Д. Распространены В-сплайны и с другой нормировкой

М,-,г,д( х) = MUr(x) =---Ni,r(x), (2.2)

называемые Li-нормализованными.

Во втором разделе, считая к фиксированным, устанавливаются соотношения линейной зависимости между значениями Si сплайна s 6 8гп в узлах сетки и а^ — коэффициентами разложения к-й производной (О ^ к ^ 2п — 1) сплайна s по ¿(»-нормализованным Л-сплайнам

¿+*-1

к\з[х{,...,х{+к] = Y1 Rha?]' (2-23)

i=i+ft+l—2«

и, соответственно, между s,- и ß^ — коэффициентами разложения к-й производной (1 ^ к ^ 2п — 1) сплайна по Li-нормализованным £?-сплай-нам

i+fc-l

(к - 1 )\{s{xi+u a;j+fc] - s[Xi,xi+fc_j]} = £ R%~k ßf\ (2.24)

j=«+*+l-2n

где

R?j= J Miik(T)Nj<2n.k(T)dT. (2.22)

Xi

Устанавливаемые разными авторами линейные соотношения, связывающие значения сплайна и значения производных или интегралов от сплайнов, использовались для получения оценок погрешности интерполяции для производных и асимптотических разложений погрешности. Однако раньше такие соотношения, в основном, удавалось получить только для равномерных сеток. Для произвольных сеток известны лишь соотношения (2.23) при к = 0, поскольку R^ = А^,2п(а;<), и при к — 2п — 2.

Следующие два раздела 2.3 и 2.4 содержат вывод систем линейных уравнений относительно коэффициентов

а?) и /f >

применительно к задаче интерполяции. Более прост периодический случай, рассмотренный

в разделе 2.3. Получаемые здесь системы имеют вид

Акак = с\ 0 ^ к < 2п - 1, (2.26)

А%п-к0к = 1 < к ^ 2п - 1, (2.27)

причём элементами матриц Ак = являются интегралы от про-

изведений разного вида периодических В-сплайнов

ь

= У Щк{тЩап-к{т)д.т.

а

Немного сложнее вывод систем в задаче интерполяции полным сплайном в разделе 2.4. Теперь число неизвестных зависит от к, а именно, коэффициенты а!|^2п+*> • • • >аЛ'-1 являются неизвестными. При к ^ п для их нахождения получена система уравнений

Акак = с* (2.29)

Г (*) 1к) \Т иг \Т

такая, что ак = (а\^2п+к,ау^) , с" — (сь..., ск+2П-к-1) — век-

л /к \ЛГ+2л-*-1

торы, Ак — — матрица, причем

= 4 = к- Я^-п,*,--„+*] •

При 0 < к < п для нахождения крайних неизвестных а^2п+(Ь,..., а^ п+*> • • •' выписаны явные формулы в терминах симметрических функций через задаваемые значения производных интерполируемой функции на краях отрезка [а, 6], а для нахождения вектора остальных неизвестных ак — (а_п+1> ■■■> &м-п+к-1) выведена система уравнений

Акак = с* (2.36)

с матрицей Ак — имеющей структуру, подобную структуре

матрицы системы (2.29), — её элементами также являются интегралы от произведений В-сплайнов

а^ = Ь 3 = 1. • • ■. N + к - 1.

Заметим, что хотя количество определяемых параметров а,-*' зависит от к, но система (2.29) для производной порядка к и система (2.36) для производной порядка 2п—к имеют одинаковую размерность N+211—к—1.

А при выводе систем уравнений относительно параметров /3^ оказалось, что здесь возникают матрицы из тех же элементов Я^, что и в предыдущем случае. Все неизвестные /3к — {@[-2п+к> • • • > Ря-1) ПРИ к ^ п определяются из системы

= ¿к (2-38)

с вектором правой части (1к — ..., ^и+2п-к-г)Т> гдс

= - 1)! {/[^¿-п+1.....я<-п+1ь] - /[*«-п, • • •. г1-п+*-х]}-

При 1 < к < п крайние неизвестные /з[к}2п+к,..., /31*2 и ..., !

опять находятся по явным формулам, а из системы уравнений

¿Ъп-фк = <* (2-41)

определяются остальные неизвестные ¡Зк — (Р[к-П1 ■ • ■ >Ря-п+к- 1)Т-

Обратим внимание на то, что матрицы системы для определения коэффициентов разложения к-й производной сплайна по ¿оо-нормали-зованным В-сплайнам и системы уравнений для определения коэффициентов разложения (2п — к)-й производной по ¿х-нормализованным В-сплайнам имеют одинаковую размерность и являются взаимно транспонированными.

Поскольку системы уравнений относительно параметров получены для 0 ^ к ^ 2п — 1, а относительно /?,' — для 1 ^ А; ^ 2п — 1, то отмеченная симметрия не полная. Для восстановления симметрии в следующем разделе 2.5 выводится ещё одна система уравнений — относительно разрывов старшей производной сплайна — совпадающая с системой (2.38) при к = 2п, т. е. матрица этой системы будет

Последний раздел главы 2, раздел 2.6, посвящен изучению свойств матриц полученных систем уравнений. Практическое вычисление элементов матриц Ак и Ak в каждом конкретном случае не вызывает особых проблем, например, целесообразно воспользоваться квадратурными формулами Гаусса, которые точны на многочлене« соответствующей степени. С другой стороны, для вычисления интегралов от произведений из 5-сплайнов известны11 устойчивые рекуррентные формулы, являющиеся обобщением традиционных рекуррентных формул для В-сплайнов. Тем самым можно считать, что сложность вычисления элементов матриц выведенных нами систем уравнений сравнима со сложностью нахождения коэффициентов коллокационных В-сплайновых систем.

Далее показывается (теоремы 2.3 и 2.4), что матрицы Ak и Ak являются (2п — 1)-диагональными ленточными матрицами такими, что ||-Afc||oo = ||-Afcl|oo = 1. В теореме 2.5 устанавливается вполне неотрицательность матриц для непериодического случая. Это свойство позволяет при практическом решении систем методом исключения Гаусса существенно экономить в вычислениях не ухудшая точность, отказавшись от выбора главного элемента. Кроме того, для таких матриц для получения оценки max-нормы обратной матрицы можно пользоваться результатами раздела 1.2 главы 1. Здесь же заметим, что хотя в периодическом случае матрицы не являются вполне неотрицательными, но при N чётном миноры порядка N — 1 у них неотрицательны (теорема 2.7), что позволяет использовать технику раздела 1.2 как для вполне неотрицательных матриц. Наша дальнейшая цель — выделить из предлагаемого множества систем такие, величину обусловленности которых можно ограничить константой, не зависящей от неравномерности сеток.

В главе 3 детально рассматриваются получаемые методы построения сплайнов для малых значений п. В главе всего два раздела, раздел 3.1

11 de Boor С., Lyche Т., Schumaker L.L. On calculating with J?-splines, П. Integration // Numerische Methoden der Approximationstheorie, ISNM 30. Basel: Birkhäuser, 1976. P. 123-146.

о построении интерполяционных кубических сплайнов (п = 2) и раздел 3.2, в котором показывается, что система относительно коэффициентов разложения второй производной (к — 2) сплайна пятой степени (п = 3) по нормализованным ¿?-спл айнам хорошо обусловлена. Отметим, что даже для кубического случая, который казалось бы полностью изучен и все устойчивые и надёжные способы построения известны, наш подход привёл к новому устойчивому алгоритму построения интерполяционного кубического сплайна через коэффициенты разложения его производной по ¿оо-нормализованным В-сплайнам (к — 1), матрица системы имеет столбцевое диагональное преобладание.

Основные вопросы главы 4 заключаются в нахождении оценок погрешностей приближения производных интерполяционными сплайнами и в исследовании процессов интерполяции. Все устанавливаемые здесь оценки основываются на выведенных в главе 2 системах определяющих уравнений. Задача сводится к получению оценок норм обратных матриц этих систем. Поскольку нормы самих матриц равны 1, то можно говорить, что всё определяется величиной обусловленности. Таким образом, от величины обусловленности с одной стороны зависит точность практического решения системы уравнений и нахождения параметров сплайна, с другой стороны погрешность метода, т. е. величина отклонения е« = в« — Мы устанавливаем оценки отклонения к-тых производных в тах-норме считая, что / 6 Ск[а, Ь]. В разделе 4.1 вывод оценок осуществляется исходя из систем относительно коэффициентов а« т.е. коэффициентов разложения по //„¡-нормализованным В-сплайнам. Установлены следующие теоремы

Теорема 4.1. Если периодический сплайн в интерполирует периодическую функцию / € Ск[а,Ь], 1 ^ к ^ 2п — 1, то справедлива оценка

Це^Ноо = - /МЦ. <[» + (»- 1 + *)||^||]«,(/Ю; К), (4.1)

где А). — матрица системы (2.26) задачи построения периодического

интерполяционного сплайна 5.

Теорема 4.2. Для к-й производной погрешности е^ интерполяции полным сплайном в функции / € Ск[а,Ь], п — 1 ^ к ^ 1п — 1, о узлах сетки Д и значений производных /^(а) и р = 1,...,п — 1,

справедлива оценка

Цв^Цоо = - < [« + (»- 1 + ЧКЦ]^1; Л), (4.7)

в которой Ак — матрица системы (2.29) при к ^ п или системы (2.36) при к = п — 1 задачи построения полного интерполяционного сплайна в.

Теорема 4.3. Для к-й производной погрешности е^ интерполяции полным сплайном в функции / £ Ск[а,Ь], 1 ^ к < п — 1, в узлах сетки А и значений производных (а) и /^(Ь), р = 1,..., п— 1, справедлива оценка

[п + (г.+ +(1+1^11)^, (4.12)

где

п-к-1

К= ]£ (» - гУ^тах^/^Щ, |/(*+р)(Ь)|} , (4.13)

р=1

Ак — матрица системы (2.36) задачи построения полного интерполяционного сплайна з.

Заметим, что при к < п—1 некоторые необходимые для интерполяции полным сплайном производные на концах отрезка [а, Ь] могут не существовать, если / е Ск[а, 6]. Задание вместо них произвольных значений, как следует из теоремы 4.3, не влияет на сходимость к-тых производных.

В разделе 4.2 устанавливаются оценки на основе систем относительно коэффициентов т.е. коэффициентов разложения по .^-нормализованным -В-сплайнам. Здесь доказаны теоремы

Теорема 4.4. Если периодический сплайн в интерполирует периодическую функцию / € Ск[а,Ь\, 0 ^ к 2п — 2, то справедлива оценка

Це^Цоо ^ (1 + Л)[1 + (2т.- ОНС^-*-!)-1!!]«(/«*>;А), (4.25)

где А„ — матрица системы (2.26) задачи построения периодического интерполяционного сплайна я.

Теорема 4.5. Для к-й производной погрешности е^ интерполяции полным сплайном в функции / € Ск[а, Ь], п — 1 ^ к ^ 2п — 2, в узлах сетки А и значений производных /^(а) и /^(Ь), р — 1,...,п — 1, справедлива оценка

Це^Цоо < (1 + *)[1 + (2п - ЩКА^.,)-1!!]«^«^), (4.30)

где Аи — матрица системы (2.29) при к ^ п или системы (2.36) при к = п — 1 задачи построения полного интерполяционного сплайна в.

Теорема 4.6. Для к-й производной погрешности е^ интерполяции полным сплайном в функции / £ Ск[а, Ь], 0 ^ к ^ п — 2, в узлах сетки А и значений производных /^(а) и /^(Ь), р = 1,..., п — 1, справедлива оценка

ИеМ^ < (1 + *)[1 + (2п- 1)||№_,_1)-1||1ш(/т;/г) +

+ [(п - к - 1) + (2п - 1)(* + ^И^-*-!)"1!!] ък,

где Аи — матрица системы (2.36) задачи построения полного интерполяционного сплайна в.

В разделе 4.3 выводится оценка погрешности приближения старшей производной интерполяционного сплайна через систему уравнений для разрывов старшей производной сплайна. Устанавливаемые здесь теоремы 4.7 и 4.8 являются дополнением теорем 4.4 и 4.5 при к = 2п — 1.

Теорема 4.7. Если периодический сплайн в интерполирует периодическую функцию / 6 С2п~1[а,Ь], то справедлива оценка

Не'2-1»«» ^2п[1 + (2п + 1)||(^)-1||]а;(/(2"-1);Л), (4.38)

где Ло — В-сплайн-коллокационная матрица задачи построения периодического интерполяционного сплайна е.

Теорема 4.8. Если полный сплайн в интерполирует функцию / € С2п_1[а, 6] в узлах сетки А и значения производных /'р'(а) и /^(6), р = 1,..., п — 1, то справедлива оценка

||е(2"-1>|и<2п[1 + (2п + 1)|[(Л?,)-1||]Ы(/(2"-1);Л)) (4.39)

где Ао — В-сплайн-коллокационная матрица задачи построения полного интерполяционного сплайна в.

В следующем разделе 4.4 проводится анализ оценок, полученных в предыдущих разделах главы 4. Поскольку наличие оценки нормы матрицы А^1 даёт оценку нормы её транспонированной и наоборот (следствия 1.13 и 1-17), то «хорошая» оценка последовательности норм ЦА^Ц^ или || (Л^ЧЬ соответствующих некоторой последовательности сеток {Д}, гарантирует равномерную сходимость к при Ъ, 0 для функций / 6 Ск[а,Ь] и одновременно сходимость б(2п_*_1) к /С2"-*-1) для функций / € С2п~к~^\а, Ь] на рассматриваемой последовательности сеток {Д}. Как следствие, получаем доказательство предположения К.де Бора о сходимости производной к — п — 1 на любой последовательности сеток (теоремы 4.9 и 4.10) как при интерполяции полным сплайном, так и периодическим.

Теорема 4.9. Для любой периодической функции / € Сп-1[а, 6] и любой последовательности сеток {Д}, удовлетворяющей условию Ъ, 0, последовательность в*"-1) сходится равномерно к /С"-1), где периодические сплайны в степени 2п — 1 интерполируют / в узлах сеток Д.

Теорема 4.10. Для любой функции / 6 Сп-1[а, 6] и любой последовательности сеток {Л}, удовлетворяющей условию Й —>• 0, последовательность сходится равномерно к где полные сплайны в степени 2п — 1 интерполируют / в узлах сеток А и значения производных (а) и/М(Ь),р= 1,...,п-1.

Доказательство основало на «хорошей» оценке нормы Ц-А"1^, установленной недавно А. Ю. Шадриным при доказательстве гипотезы К. де Бора относительно сходимости гс-й производной.

Проведённый здесь анализ позволяет лишь в одну сторону из ограниченности нормы обратной матрицы А1 на какой-либо последовательности сеток {Л} получить сходимость процессов интерполяции для к-й и (2п — к — 1)-й производных для функций из Ск[а,Ь] и С2"-*-1^, Ь] соответственно, следовательно из сходимости к-й производной мы пока не можем говорить о сходимости (2п — к — 1)-й производной (или наоборот). Решению этого вопроса посвящён раздел 4.5.

Здесь мы рассматриваем операторы связывающие /(*) с соответствующей производной полного сплайна в, интерполирующего / на сетке Д, а именно = з® (для периодического случая операто-

ры Рд*'). Сходимость процесса интерполяции для к-й производной на последовательности сеток {Д}, если / € С*[а, 6], равнозначна ограниченности последовательности норм операторов Р^. Основной результат данного раздела — это эквивалентность норм матриц 1 и операторов Р™ (соответственно А^1 и Рд^). Установлены следующие неравенства

«Р*1!!«, < \\Рл\\ < 1№11оо- 0 < * < 2п - 1, (4.40)

^М-^Ц^Иоо < 11^11 < (4.41)

с константами зависящими только от к, р и п.

Чтобы уйти от лишних сложностей с заданием производных интерполируемой функции / в точках а и Ь при к < п — 1 вместо оператора

Р^ мы рассматриваем оператор \ отличающийся от Рд^ лишь тем, что полный сплайн Рд/ всегда интерполирует в точках а и Ь нулевые значения необходимых производных. Такое изменение оператора не влияет на сходимость процессов интерполяции для к-й производной. Также установлена оценка

^ 11^1! < И^Иоо- О О < п - 1. (4.42)

Неравенства (4.40), (4.41) и (4.42) позволяют установить симметрию условий сходимости процессов интерполяции для к-й и (2п — к — 1)-й производных.

Теорема 4.11. Если для любой периодической функции / € Ск[а, Ь], к = 0,..., 2п — 1, на некоторой последовательности сеток {Д}, удовлетворяющей условию К 0, последовательность я^ сходится равномерно к где периодические сплайны в степени 2п — 1 интерполируют / в узлах сеток А, то на этой оке последовательности сеток {Д} последовательность е(2п-к~1) сходится равномерно к f^.2n~k-1) для любой периодической функции / € С2"-*-1 [а, Ь].

Теорема 4.13. Если для любой функции / £Ск[а,Ь], к = 0,..., 2п — 1, на некоторой последовательности сеток {Д}, удовлетворяющей условию Ъ. —> 0, последовательность в® сходится равномерно к где полные сплайны в степени 2п — 1 интерполируют f в узлах сеток Д и значения производных /О(а),..., /("-1)(Ь) м /^'(6),..., то на

этой же последовательности сеток {Д} последовательность в(2п-*-1) сходится равномерно к f^2n-k-'^) дЛЯ любой функции / С С2п~к~1[а, Ь].

Как следствия этих теорем и основной итог рассмотрения систем уравнений для построения интерполяционных сплайнов получаем, что величины НА-^Ц^ и ||на любой сетке Д ограничены константой К, не зависящей от Д.

Следствие 4.12. Система уравнений (2.26) при к = п — 1 хороша обусловлена, и имеет место оценка

НД^хНсо < ^

с константой К зависящей только от п, но не от N или Д.

Следствие 4.14. Система уравнений (2.36) при к — п — 1 хорошо обусловлена, и имеет место оценка

с константой К зависящей только от п, но не от N или Д.

Тем самым из всего множества предлагаемых систем уравнений для построения интерполяционных сплайнов произвольной нечётной степени выделены две (к = п — 1 и к = п), которые хорошо обусловлены. Это системы относительно коэффициентов разложения (п — 1)-й или п-й производной сплайна по нормализованным В-сплайнам.

Полученная в теоремах 4.11 и 4.13 симметрия ранее для кубических сплайнов была обнаружена Н. Л. Зматраковым12,13 и воспринималась скорее как случайное совпадение, а не закономерность, однако это является очень интересным внутренним свойством интерполяционных сплайнов произвольной нечётной степени. Теперь устанавливаемые какие-либо условия сходимости (или расходимости) для некоторой производной автоматически можно переносить и на симметричную производную. Так условия сходимости самих сплайнов в терминах локальной характеристики сетки будут и условиями сходимости старших производных для функций из С2п_1[а, 6]. '

пЗматраков Н.Л. Сходимость интерполяционного процесса для параболических и кубических сплайнов // Тр. МИАН СССР. 1975. Т. 138. С. 71-93.

13 Зматраков Н. Л. Равномерная сходимость третьих производных интерполяционных кубических сплайнов // Вычислительные системы. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1977. Вып. 72. С. 10-29.

Отметим ещё один результат, полученный как следствие приведённых здесь теорем. Ранее минимальные требования к гладкости интерполируемой функции /, достаточные для равномерной сходимости в к / на последовательности произвольно неравномерных сеток, были известны такие: / 6 И^'[а, Ь]. Мы же теперь можем понизить гладкость до Сп-1[а, 6], более того уже при Сп~2[а, Ь] сходимости нет.

Теорема 4.15. Если периодический сплайн 5 £ интпсртъолирустп периодическую функцию / € Сп~1[а,Ь], то

-/(°11со « КТГ-'-'и^Щ, 1 = 0,...,п- 1,

с константой К, зависящей только от п, но не от N или А.

Теорема 4.16. Если полный сплайн з € §2п интерполирует функцию / е С"-1 [а, Ь] в узлах сетки А и значения производных /^'(а),..., /«»-^(а) и /^>(6),..../«"-^(Ь), то

|И> - /«Ц^ < К), I — 0,... ,п — 1,

с константой К, зависящей только от п, но не от N или А.

Следующая глава 5 рассматривает применение новых систем уравнений, полученных в главе 2, рассматриваемых как линейные соотношения, связывающие значения сплайна в узлах и коэффициенты В-сплайн-разложения производных, в задачах изогеометрической интерполяции. В разделе 5.1 получены достаточные условия монотонности кубического сплайна, интерполирующего монотонные данные. Задаче монотонной интерполяции посвящено очень много работ и особенно кубической, однако вопрос поиска условий, при которых классический кубический сплайн будет монотонным, рассматривал только В. Л. Мирошниченко. Хотя в большинстве работ строятся различные обобщения кубических сплайнов, обеспечивающие монотонность аппроксиманта, но при решении практических задач, связанных с монотонной интерполяцией, оттал-

киваться всё-таки следует от классического кубического сплайна. Естественно, отказываться от его использования следует только в том случае, если невозможно гарантировать его монотонность. Установленные нами достаточные условия монотонности отличны от условий В. Л. Мирошниченко, наши условия и В. Л. Мирошниченко эффективны, вообще говоря, на разных данных.

В разделе 5.2 рассмотрена задача положительной интерполяции сплайнами произвольной степени при интерполяции неотрицательных данных. На основе упоминавшегося ранее преобразования В. Л. Мирошниченко и результатов раздела 1.5 получены достаточные условия положительности сплайнов произвольной степени па равномерной сетке в периодическом случае. Для сплайнов выше кубических подобные условия установлены впервые. Приведём пример условий, гарантирующих положительность сплайна пятой степени,

Д_2 - 26Д-1 + 66Д - 26Д+, + /<+2 > 0.

Кроме того, установлены величины д* такие, что если отношения соседних значений не превосходит д*, то сплайны будут положительны. Опять, например, для сплайнов пятой степени д* « 1.31.

Полученные нами в главе 2 системы уравнений позволяют легко перенести рассмотренные в разделе 5.2 вопросы относительно положительности периодической интерполяции на монотонность, выпуклость или вообще /¿-монотонность (положительность к-й производной), однако для периодического случая эти вопросы лишены смысла. В связи с этим в разделе 5.3 изучение ¿-монотонности ведётся для случая сплайнов на всей числовой прямой (кардинальная интерполяция). Достаточные условия положительности интерполяционного сплайна предыдущего раздела перенесены (просто значения функций в узлах сетки заменены на конечные, разности) как достаточные условия ¿-монотонности. В заключение раздела рассмотрена задача почти периодической интерполяции на равномерной сетке. Здесь рассмотрен случай когда сама функция не

периодическая, а все её производные периодические. Для почти периодических сплайнов произвольной нечётной степени на равномерной сетке получены достаточные условия монотонности.

Последнюю главу диссертации, главу 6, можно рассматривать как дополнение или приложение, так как в ней рассматриваемыми объектами уже не являются классические интерполяционные сплайны нечётной степени минимального дефекта. Здесь мы показываем, что развитый в диссертации подход для получения методов построения интерполяционных сплайнов нечётных степеней можно применить для задачи интерполяции сплайнами чётных степеней. В качестве определяемых параметров также выбираются коэффициенты разложения одной из производных искомого сплайна по B-сплайнам соответствующей степени. С одной стороны сплайны чётной степени принципиально от сплайнов нечётной степени не отличаются, они так же являются многочленами на интервалах между узлами и гладко состыкованы в этих узлах. Но с другой — начинаются проблемы, когда мы используем их в задаче интерполяции.

Первая проблема заключается в том, что сплайны чётной степени не обладают вариационными свойствами, которые для сплайнов нечётной степени обеспечивают разрешимость задачи интерполяции для ряда наиболее распространённых типов краевых условий. Про разрешимость задачи интерполяции для сплайнов чётной степени можно говорить только основываясь на теореме Шёнберга-Уитни14.

Другая проблема может возникнуть, если, как и в случае сплайнов нечётной степени, точки интерполяции и узлы сплайна будут совпадать. Известно15, что в этом случае интерполяционный сплайн может и не существовать даже на равномерной сетке. Поэтому при интерполяции сплайнами чётных степеней принято точки интерполяции выбирать

^Schoenberg T.J., Whitney A. On Pölya frequency functions, HI: The positivity of translation determinants with application to the interpolation problem by spline curves // Trans. Amer. Math. Soc. 1953. V. 74, n. 2. P. 246-259.

15Стечкин С. Б. Субб&тин Ю. H. СллаЗны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976.

отличными от узлов сплайнов. Наиболее распространены два подхода: точки интерполяции выбираются посередине между узлами сплайна (по Марсдену), или наоборот, узлы сплайна находятся строго посреди между точками интерполяции (по Субботину). Первый подход для квадратиче-ских сплайнов впервые наиболее подробно был рассмотрен М. Марсде-ном16, а второй подход также для сплайнов второй степени (параболических) был рассмотрен Ю. Н. Субботиным17.

Как в одном подходе, так и в другом, вопросы построения, исследования сходимости и многие другие в какой-то степени изучены только для сплайнов второй степени.

В разделе 6.1 рассматривается постановка задачи интерполяции сплайнами чётной степени 2га, определяются конструкции сплайнов по Марсдену и по Субботину.

Пусть на отрезке [а, 6] заданы две сетки узлов

X : X(j = а < xi < ... < XN = b, Y : уо = a <yi < ... <yN <b = Vn+u

причём

Vi = (xi-i + Xi)/2, i = l,...,N. (6.1)

Мы будем рассматривать два различных множества сплайнов порядка г (степени г — 1) дефекта 1 по сеткам узлов X или V, которые, как и прежде, будем обозначать Sr(X) и §Г(У), соответственно.

Интерполяционным сплайном чётной степени 2п по Марсдену будем называть сплайн s 6 §2n+i(-^0i который принимает в узлах сетки Y известные значения некоторой функции /, т. е.

e(w) = /(w), * = °.....+

leMarsden M. Quadratic spline interpolation // Bull. Amer. Math. Soc. 1974. V. 80, n. 5. P. 903-906.

17 Субботин Ю.Н. О кусочно полиномиальной интерполяции // Матем, заметки. 1967. T. 1, № 1. С. 63-70.

Интерполяционным сплайном чётной степени 2п по Субботину будем называть сплайн в е §2п+1(^), который принимает в узлах сетки X известные значения некоторой функции /, т.е.

в^,-) = Да*), i = 0,...,N.

Мы ограничились рассмотрением только полных сплайнов, т. е. в качестве краевых условий на концах отрезка [а, Ь] задаётся необходимое количество младших производных интерполируемой функции.

В разделе 6.2 по аналогии с разделами главы 2 проводится вывод систем уравнений для обоих конструкций. Для сплайнов по Марсдену степени 2 п матрицы Ак — получаемых систем уравнений

Акак = с*

относительно коэффициентов а¡^ состоят из элементов

У ¿т.

А для сплайнов по Субботину степени 2 п матрицы = систем

Вкак = ск

также относительно коэффициентов а'^ разложения к-й производной по £оо-нормализованным В-сплайнам состоят из элементов

уА- У М^х(т)ЫзМ+1-кХ{т) ¿т.

Xi

Здесь сетки X и У как бы меняются местами. В обоих случаях ситуация аналогична сплайнам нечётной степени — часть крайних неизвестных для младших значений к выражается по явным формулам.

Вывод аналогичных систем уравнений относительно параметров /3* — коэффициентов разложения к-й производной сплайна 5 по ¿^-нормализованным В-сплайнам — приводит к уже знакомым матрицам. Для сплайнов по Марсдену системы имеют вид

В2п+\-Фк -

где В2п+\-к является матрицей вышеприведённой системы для сплайнов по Субботину. И наоборот, для сплайнов по Субботину матрицами соответствующих систем относительно /Зк являются матрицы систем относительно а* для сплайнов по Марсдену

¿1*1 -Фк = с!к.

Матрицы всех этих систем Ак и Вк по свойствам похожи на матрицы аналогичных систем для сплайнов нечётных степеней. Для вычисления их элементов также можно пользоваться устойчивыми рекуррентными формулами. Доказано, что эти матрицы являются ленточными (2п+1)-диагональными и вполне неотрицательными, их шах-нормы равны 1 (теоремы 6.1 и 6.2).

Хотя интерполяционные сплайны конструкций по Марсдену и по Субботину совершенно различны, но оказалось, что они тесно связаны между собой.

Обнаруженная связь между системами позволяет получить одинаковые условия сходимости процессов интерполяции для к-й производной интерполяционных сплайнов чётной степени 2п по Марсдену, если / € Ск[а, Ь], и для (2п — к)-й производной сплайнов той же степени 2п по Субботину, если / 6 С2п~к[а, Ь]. Такие теоремы о сходимости приводятся в разделе 6.3.

Отметим, также, что результаты об эквивалентности норм обратных матриц для Ак или Вк и норм соответствующих операторов интерполяции также имеют место, рассуждения раздела 4.5 главы 4 можно перенести и на случай сплайнов чётной степени.

На настоящий момент для сплайнов чётной степени вопросы сходимости в какой-то степени изучены только для параболических (квадра-тических) сплайнов. Известные результаты хорошо согласуются с приведёнными здесь теоремами. Так, например, сходимость без ограничений на сетки для квадратических сплайнов по Марсдену имеет место при к = 0ик — 1, а. для параболических сплайнов по Субботину — при к = 1ик = 2.

И, наконец, в последнем разделе 6.4 рассматриваются полные интерполяционные сплайны четвёртой степени по Субботину. В нашем подходе система уравнений с матрицей 2?з, т.е. система относительно коэффициентов разложения третьей производной по 1/оо-нормализованным В-сплайнам первой степени. Матрица этой системы имеет обычное диагональное преобладание по строкам, и установлена оценка

№41» ^ 16 (6.40)

для произвольных сеток. Поскольку ||1?з||оо = 1, то соп(300(Вз) ^ 16, и тем самым указан устойчивый и хорошо обусловленный путь вычисления интерполяционного сплайна по Субботину четвёртой степени. Оценка (6.40) позволила установить равномерную сходимость б'" к /"' для любой интерполируемой функции / € С3 [а, 6] и любой последовательности сеток. А для сплайнов четвёртой степени по Марсдену это даёт сходимость я' к /' для любой / е С1 [а, 6] и также любой последовательности сеток.

По нашему мнению, это первые результаты по устойчивым методам построения сплайнов чётной степени выше параболических и первые результаты о сходимости процессов интерполяции.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему учителю и наставнику В. Л. Мирошниченко за постоянное внимание и поддержку данной работы.

Основные работы автора по теме диссертации:

1. Волков Ю. С. Оценки числа обусловленности ЛЗ-сплайновой колло-кационной матрицы // Вычислительные системы. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 1992. — Вып. 147: Интерполяция и аппроксимация сплайнами. — С. 3-10.

2. Волков Ю. С. О построении интерполяционных полиномиальных сплайнов // Вычислительные системы. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 1997. — Вып. 159: Сплайн-функции и их приложения. — С. 3-18.

3. Volkov Yu. S. Properties of matrices in methods of constructing an interpolating spline via the coordinates of its derivatives in B-spline basis // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. — Novosibirsk: NCC Pab-lisher, 2000. — Ser.: Numerical Analysis, Issue: 9. — P. 105-110.

4. Волков Ю. С. О неотрицательном решении системы уравнений с симметрической циркулянтной матрицей построении // Матем. заметки. - 2001. - Т. 70, вып. 2. — С. 170-180.

5. Волков Ю. С. О монотонной интерполяции кубическими сплайнами // Вычисл. технологии. — 2001. — Т. 6, № 6. — С. 14-24.

6. Волков Ю. С. Некоторые свойства интерполяционных сплайнов нечётной степени // Методы сплайн-функций: Тез. докл. / Сиб. конф., посвяш,. памяти Ю. С. Завьялова (1931-1998). — Новосибирск: изд-во ИМ СО РАН, 2001. - С. 19-20.

7. Волков Ю. С. Новый способ построения интерполяционных кубических сплайнов // ДАН. — 2002. - Т. 382, № 2. - С. 155-157.

8. Волков Ю. С. Об оценке элементов матрицы, обратной к циклической ленточной матрице // Сиб. журн. вычисл. матем. — 2003. — Т. 6, № 3. - С. 263-267.

9. Volkov Yu. S. Inverses of cyclic band matrices // Workshop on Nonlinear Approximations in Numerical Analysis: Abstracts. — Moscow, 2003. — P. 28-29.

10. Volkov Yu. S. On convergence of derivatives of odd-degree spline interpolation and de Boor's problem // Wavelets and Splines: Abstracts / Internat. conf. — St.Petersburg, 2003. — P. 100-101.

11. Волков Ю. С. Новый способ построения интерполяционных кубических сплайнов // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2004. — Т. 44, № 2. - С. 231-241.

12. Волков Ю. С. Интерполяция сплайнами пятой степени // Труды Междунар. конф. по вычисл. матем. МКВМ-2004. 4.1 / Под ред. Г.А.Михайлова, В.П.Ильина, Ю.М.Лаевского. — Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2004. - С. 92-97.

13. Волков Ю. С. Вполне неотрицательные матрицы в методах построения интерполяционных сплайнов нечётной степени // Матем. труды. - 2004. - Т. 7, № 2. - С. 3-34.

14. Волков Ю. С. Условия ¿-монотонности интерполяционных сплайнов нечётной степени // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. конф. — Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2004. — С. 30-31.

15. Волков Ю. С. Безусловная сходимость ещё одной средней производной для интерполяционных сплайнов нечётной степени // ДАН. — 2005. - Т. 401, № 5. - С. 592-594.

16. Волков Ю. С. Условия ограниченности операторов сплайн-интерполяции. — Новосибирск, 2006. — 18 с. — (Препринт № 167 / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики им.С.Л.Соболева).

17. Волков Ю. С. Две конструкции интерполяционных сплайнов чётной степени. — Новосибирск, 2006. — 32 с. — (Препринт № 169 / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики им. С. Л. Соболева).

Волков Юрий Степанович

Хорошо обусловленные методы построения сплайнов высоких степеней и сходимость процессов интерполяции

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 01.06.2006. Формат 60 X 84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 1,8. Тираж 100 экз._Заказ № 73._

Отпечатано в ООО «Омега Принт» пр-т Лаврентьева, 6, 630090 г. Новосибирск

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата психологических наук, Рычкова, Марина Викторовна, 2006 год

ВВЕДЕНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 1. АДДИКТИВНОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ПОДРОСТКОВОМ ВОЗРАСТЕ

1.1. Психологическое содержание подросткового возраста

1.2. «Проба» как условие развития в подростковом возрасте

1.3. Условия формирования аддикта

ГЛАВА 2. РИСК АДДИКТИВНОГО ПОВЕДЕНИЯ В ПОДРОСТКОВОМ ВОЗРАСТЕ

2.1. Степени риска формирования аддиктивного поведения в подростковом возрасте

2.2. Факторы, позволяющие определять степени риска аддиктивного поведения

ГЛАВА 3. ДИНАМИКА СТЕПЕНЕЙ РИСКА ФОРМИРОВАНИЯ АДДИКТИВНОГО ПОВЕДЕНИЯ ПОДРОСТКОВ С УЧЕТОМ ПОЛОВЫХ РАЗЛИЧИЙ

3.1. Метод исследования риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте

3.2. Анализ динамики степеней риска аддиктивного поведения с учетом половых различий

Введение диссертации по психологии, на тему "Динамика риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте"

В настоящее время проблема аддиктивного поведения является одной из самых насущных, по данным официальной статистики правоохранительных органов и органов здравоохранения, она носит негативно прогрессирующий характер. Усугубляется проблема тем, что такое поведение относится к варианту тайного, и до определенного момента окружающие могут ничего не знать о потенциальных пристрастиях и формировании аддиктивного поведения подростка. На наш взгляд, необходимо особое внимание уделить именно этому периоду, вмешательство в который еще может предотвратить развитие зависимости.

Специалистами в данной области, наркологами, социальными работниками, педагогами, психологами первостепенное значение придается программам профилактики, которые ориентированы на развитие личности, не подверженной зависимостям, а значит, обладающей сформированной ценностью свободы - самостоятельной, ответственной и инициативной.

Осознанное, правомерное и эффективное включение профилактических мероприятий в процесс образования и воспитания возможно только с учетом специфического содержания подростковых проб, от которого зависит динамика риска аддиктивного поведения.

Решение обозначенной проблемы связано с необходимостью построения образовательного пространства, которое адекватно задачам возраста, ориентированного на развитие личностного ресурса ребенка, а значит, защищающего от аддиктивных проб. В этой связи актуализируется психологическая проблема выявления факторов, оказывающих влияние на динамику риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте.

Исследование проблемы «притягивает» пристальное внимание ученых различных направлений - психологов, педагогов, социологов, наркологов, что свидетельствует о высокой степени ее актуальности. Значительный вклад в исследование закономерностей формирования зависимого поведения подростка в целом (в частности, наркозависимости) внесли отечественные (С.А. Беличева, С.В Березин, H.JI. Бочкарева, А.В. Гоголева, Т.А. Донских, E.JI. Григоренко, Е.В. Змановская, М.С. Иванов, Ц.П. Короленко, Т.В. Корнилова, Н.А. Круглова, Л.Г. Леонова, С.Р. Петросян, С.Д. Смирнова, Н.А. Сирота, В.М. Ялтонский) и зарубежные (А. Бродски, С. Пил, Э. Фромм, Д. Холмс, Э. Эриксон и др.) ученые.

Исследования подросткового возраста личности психологами и педагогами последних десятилетий (Л.И. Божович, Р.Г. Гуровой, Я.Л. Коломинского, Н.С. Лейтеса, А.Н. Лутошкина, Т.Н. Мальковской,

A.В. Мудрика, А.В. Петровского, И.С. Полонского, Л.И. Рувинского,

B.А. Сухомлинского, Л.И. Уманского, П.М. Якобсона, М.М. Ященко) посвящены проблемам формирования мировоззрения, навыков коллективной жизни, социальной активности, эмоций. Работы, связанные с изучением формирования наркозависимости, сводятся к описанию симптомов заболевания, индивидуальных и социальных последствий употребления наркотиков, стратегий совладания, навыков противостояния аддиктогенному влиянию, описанию возможных профилактических программ (Я.П. Гирич, А.В. Голева, А. Данилина, И. Данилина, Е. Иванова, Е.В. Змановская, Г.П. Казакова, Ц.П. Короленко, Т.А. Донских, Н.А. Круглова, Л.Г. Леонова, Н.Л. Бочкарева и др.).

Однако, на наш взгляд, не получил достаточного изучения период подросткового экпериментирования с аддиктивными пробами, которые разворачиваются по логике нормального возрастного развития и имеют свою специфическую динамику, отличную от характеристики зависимых форм поведения. Поэтому возникает необходимость исследования факторов риска, которые позволят обнаружить первые пробы и формирование аддиктивного поведения до момента, когда оно становится заметно окружающим, выявить степени риска и их динамику.

Актуальность и значимость рассматриваемой проблемы обусловлена противоречиями:

- между требованиями современного общества к организации безопасной, с точки зрения рисков развития образовательной среды, и реальной тенденцией к увеличению аддиктизации подростков;

- между необходимостью организации профилактических мероприятий, с учетом специфики аддиктивных проб в подростковом возрасте в рамках нормы, и отсутствием возможности мониторинга динамики риска аддиктивного поведения на протяжении исследуемого периода.

Актуальность и практическая значимость проблемы, ее недостаточная теоретическая и методологическая разработанность обусловили выбор темы исследования: «Динамика риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте».

Цель исследования: определить динамику степеней риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте.

Объектом исследования является поведение подростков в возрасте от 13 до 16 лет.

Предмет исследования: динамика риска аддиктивного поведения у подростков 13-16 лет, учащихся восьмых-одиннадцатых классов.

В основу исследования легла основная гипотеза: Учитывая и систематизируя факторы риска аддиктивного поведения подростка, можно определить степени риска аддиктивного поведения и их динамику в исследуемом возрастном периоде на примере наркотической аддикции.

Частные гипотезы:

1) определяющими степень риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте являются следующие факторы риска: «субъективные представления подростков о возможности осуществить пробы в рамках асоциального и просоциального пространства», «интерес к объекту аддикции» и «модальность социальных установок», которые измеримы;

2) измерение выделенных факторов в рамках устойчивых подростковых групп (классов, параллелей) позволяет исследовать динамику риска аддиктивного поведения.

Цель исследования и выдвинутая гипотеза обусловили необходимость решения перечисленных далее задач.

1. Провести теоретико-методологический анализ проблемы формирования аддиктивного поведения в подростковом возрасте.

2. Разработать классификацию степеней риска формирования аддиктивного поведения.

3. Выделить факторы, позволяющие определить степень риска аддиктивного поведения у подростков 13-16 лет.

4. Разработать инструмент для мониторинга риска аддиктивного поведения в фиксированных подростковых группах.

5. Провести анализ изменений степеней риска аддиктивного поведения с учетом специфики половых различий на протяжении исследуемого периода.

Методы исследования: фокусированное групповое интервью; опросник «Риск аддиктивного поведения подростков»; метод «Анализ статистически значимых различий».

Экспериментальная база. В исследование включено 625 подростков в возрасте от 13 до 16 лет (мальчиков - 289; девочек - 336), учащиеся восьмых -одиннадцатых классов школ г. Красноярска.

Этапы исследования. Исследование проводилось с 2002 по 2006 гг. в три этапа.

На первом этапе (2002-2003 гг.) проводился анализ литературы по исследуемой проблеме с целью получения информации о формировании аддиктивного поведения в подростковом возрасте; формулировалась проблема исследования, обосновывались его цель, задачи, рабочая гипотеза; разрабатывалась теоретико-методологическая основа исследования.

На втором этапе (2004-2005 гг.) была разработана классификация степеней риска формирования аддиктивного поведения, выделены факторы, позволяющие определить степени риска аддиктивного поведения подростков 13-16 лет, адаптирован к современной ситуации поставленным задачам опросник для исследования риска аддиктивного поведения подростков.

На третьем этапе (2005-2006 гг.) было проведено эмпирическое исследование динамики степеней риска, обобщены, систематизированы и проанализированы полученные результаты исследования, сформулированы выводы, оформлен текст диссертации.

Достоверность и надежность полученных результатов обусловлены адекватностью используемых методов поставленным целям и задачам исследования, учетом статистически значимых различий между изучаемыми параметрами.

Практическая значимость. Предложенная нами классификация степеней риска формирования аддикции подростков 13-16 лет (восьмые-одиннадцатые классы) и опросник для исследования их динамики в указанном возрасте вошли в городскую и краевую программу профилактики аддиктивного поведения, а также в совместный проект Института психологии и педагогики развития (г. Красноярск) и Британского совета (г. Дадли, Англия) по профилактике аддиктивного поведения.

Материалы исследования могут быть использованы специалистами в области педагогики, психологии, наркологии, а также служить базой для проведения дальнейших психолого-педагогических исследований в сфере образования, направленных на проектирование безопасного образовательного пространства.

Научная новизна исследования заключается в том, что разработана новая классификация степеней риска формирования аддиктивного поведения в подростковом возрасте (13-16 лет), усовершенствован опросник «Риск аддиктивного поведения подростков» (РАПП), а также показана специфика динамики степеней риска с учетом специфики половых различий.

Теоретическая новизна. Впервые проблема подросткового аддиктивного экспериментирования рассмотрена с точки зрения психологии развития и возрастной психологии.

Апробация и внедрение. Результаты диссертационного исследования обсуждались на ежегодных Всероссийских научно-практических конференциях

Педагогика развития» (Красноярск, 2002-2005 гг.), на отчетной конференции Британского совета по профилактике наркозависимости в подростковом возрасте (Красноярск, 2005), на большом социальном форуме (Красноярск, 2006), на научных семинарах Института психологии и педагогики СО РАО (Красноярск), заседаниях кафедры психологии развития психолого-педагогического факультета Красноярского государственного университета.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Степени риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте располагаются в следующем порядке по степени близости к зависимости:

- «нулевая» - отсутствие риска формирования аддиктивного поведения;

- «первая степень» - наличие потенциальных факторов риска;

- «вторая степень» - наличие единичных аддиктивных проб;

- «третья степень» - формирование непосредственно аддиктивного поведения.

2. В качестве факторов, позволяющих определить степень риска аддиктивного поведения у подростков 13-16 лет (восьмые - одиннадцатые классы), выделены следующие:

- «субъективные представления подростков о возможности осуществить пробы в рамках асоциального и просоциального пространства»;

- «интерес к объекту аддикции»;

- «модальность социальных установок».

3. В результате сравнительного анализа динамики риска аддиктивного поведения в условиях школы, с учетом половых различий выявлено, что для женской группы характерно начало наркотических проб в возрасте 15 лет (десятый класс) и достижение к школьному финишу максимальной степени риска. Для мужской группы характерно более раннее начало наркотических проб 14 лет (девятый класс), достижение максимальной степени риска к возрасту 14-15 лет (девятый, десятый класс) и понижение риска к окончанию школы.

В главе «Аддиктивнос поведение в подростковом возрасте» сделан обзор зарубежных и отечественных исследований по изучению различных форм аддиктивного поведения подростков, преимущественно наркотической аддикции. Обращено внимание на работы в области изучения подростковых проб. С точки зрения психологии развития рассмотрено возможное содержание обозначенных проб и его значение для развития подростка или формирования аддиктивного поведения.

Во второй главе «Риск аддиктивного поведения в подростковом возрасте» раскрыто понятие аддиктивного поведения, в отличие от зависимого, дается конструктивное определение понятия независимого поведения как «свободы для», анализируется риск аддиктивного поведения и проводится его классификация по степени «близости» к формированию зависимости. На основании проведенного в первой главе теоретического анализа работ, посвященных исследуемой проблеме, выделены факторы риска, позволяющие определить степень риска формирования аддиктивного поведения в подростковом возрасте. Описаны результаты фокусированных групповых интервью, с помощью которых была исследована представленность выделенных факторов в опыте подростков, что позволило внести изменения и дополнения в опросник для исследования риска аддиктивного поведения подростков.

В третьей главе «Динамика степеней риска формирования аддиктивного поведения подростков с учетом половых различий» описан диагностический инструмент «Риск аддиктивного поведения подростков» с учетом внесенных в него изменений. Представлены результаты исследования динамики степеней риска в возрасте 13-16 лет (с восьмого по одиннадцатый классы) с учетом половых различий.

Представленный в данной главе анализ полученных эмпирических данных подтверждает выдвинутую автором в начале исследования гипотезу и значительно расширяет представления современной психологии развития и возрастной психологии о периоде подросткового экспериментирования с аддиктивными пробами до начала формирования зависимости. Анализ позволил выделить степени риска аддиктивного поведения и проследить их динамику на протяжении исследуемого периода развития подростка.

В заключении в обобщенном виде представлены выводы, сформулированы основные результаты работы. Констатируется, что результаты проведенного исследования подтверждают выдвинутую гипотезу и дают положительное решение всех задач исследования.

Текст диссертации иллюстрирован 22 таблицами и 18 рисунками, включает в себя 5 приложений.

Заключение диссертации научная статья по теме "Психология развития, акмеология"

Выводы по главе.

Исследование динамики риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте получены следующие результаты.

Для мальчиков-подростков образовательное пространство носит провоцирующий характер относительно аддиктивных проб (значительное увеличивается количество проб «из любопытства», что говорит о недостаточности среды по отношению к возрасту) в средней школе. К десятому классу оно, напротив, приобретает характеристики избыточности по отношению к мальчикам-подросткам, по всей видимости, провоцируя реализацию защитных механизмов в ответ на собственный дефицит. К одиннадцатым классам данная ситуация преодолевается за счет образовательного эффекта, путем наращивания внутреннего ресурса подростков, что позволяет осуществлять реализацию себя в рамках просоциалыюго пространства и сводит к нулю аддиктивное поведение, т.е. образовательное пространство старшей школы носит характеристики профилактирующего относительно риска формирования аддиктивного поведения для мальчиков-подростков.

В целом динамика риска среди девочек-подростков выглядит следующим образом. От восьмого к одиннадцатому классу постепенно снижается процент респондентов с нулевой степенью риска и группы потенциально рискующих. В основном за счет перераспределения данной группы значительно увеличивается процент осуществивших пробу наркотика, скорее из любопытства, девочек к девятому классу и продолжает увеличиваться в десятом классе. К одиннадцатому классу значительно вырастает процент осуществивших пробу с риском перехода к аддиктивному поведению за счет перераспределения группы осуществивших пробу наркотика наряду с просоциальными пробами. Таким образом, образовательная среда приобретает характеристики дефицитарности по отношению к девочкам подросткам к девятому классу, а к одиннадцатому классу для части девушек образовательная среда становится избыточной.

Проведенный анализ динамики степеней риска аддиктивного поведения на протяжении исследуемого периода с учетом половых различий показал, что в целом динамика степеней риска имеет гетерохронпые характеристики и полоспецифична. В результате сравнительного анализа динамики риска аддиктивного поведения в условиях школы, с учетом половых различий выявлено, что для женской группы характерно начало наркотических проб в возрасте 15 лет (десятый класс) и достижение к школьному финишу максимальной степени риска. Для мужской группы характерно более раннее начало наркотических проб 14 лет (девятый класс), достижение максимальной степени риска к возрасту 14-15 лет (девятый, десятый класс) и понижение риска к окончанию школы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате исследования получены новые сведения, которые в определенной мере восполняют недостающие в возрастной психологии и психологии развития представления об устройстве периода подросткового экспериментирования с аддиктивными пробами до формирования зависимости.

В диссертационной работе на основании проведенного теоретико-методологического анализа исследований формирования аддиктивного поведения в подростковом возрасте обоснована актуальность и выявлены теоретические и методологические предпосылки исследования динамики аддиктивного поведения в подростковом возрасте.

На основании проведенного анализа разработана классификация степеней риска формирования аддиктивного поведения подростков 13-16 лет (восьмой -одиннадцатый классы), на примере наркотической аддикции. Нами было выделено четыре основных степени риска:

- «нулевая» - отсутствие риска формирования аддиктивного поведения;

- «первая степень» - наличие потенциальных факторов риска;

- «вторая степень» - наличие единичных аддиктивных проб;

- «третья степень риска» - формирование непосредственно аддиктивного поведения.

Поскольку наличие пробы само по себе, безусловно, повышает степень риска формирования аддиктивного поведения, но не является условием, обязательно приводящим к зависимости, возможны переходы от одной степени риска к другой как в сторону повышения риска, так и в сторону его понижения.

В результате проведенных исследований факторы, позволяющие определить степень риска, были представлены в опроснике «Риск аддиктивного поведения подростков» (РАПП) в виде одноименных шкал:

- «субъективные представления подростка о возможных пространствах проб»;

- «интерес к наркотикам»;

- «социальные установки».

Определенные нами факторы позволили расширить выделенные степени риска, обозначив возможные переходы между ними.

В результате сравнительного анализа динамики риска аддиктивного поведения в условиях школы, с учетом половых различий выявлено, что для женской группы характерно начало наркотических проб в возрасте 15 лет (десятый класс) и достижение к школьному финишу максимальной степени риска. Для мужской группы характерно более раннее начало наркотических проб 14 лет (девятый класс), достижение максимальной степени риска к возрасту 14-15 лет (девятый, десятый класс) и понижение риска к окончанию школы.

Диссертация не исчерпывает весь круг проблем, связанных с формированием аддиктивного поведения в подростковом возрасте, и открывает объективное поле дальнейших исследований по проектированию образовательного пространства как профилактирующего аддиктивное поведение среди подростков с учетом полученных в исследовании данных.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата психологических наук, Рычкова, Марина Викторовна, Красноярск

1. Ананьев В.А. Легальные и нелегальные наркотики. 2 части. Российско-германское учебное пособие. Практическое руководство по проведению уроков профилактики среди подростков: Текст. / В.А. Ананьев. - СПб, 1998.

2. Бабаян, Э.А. Наркомании и токсикомании Текст. / Э.А. Бабаян. М: Просвещение. 1988. - 94 с.

3. Богомолова, Н.Н. Фокус-группы как метод социально-психологического исследования: учеб. пособие Текст./ II.H. Богомолова, Т.В. Фоломеева. М.: Магистр, 1997. - 80 с.

4. Божович, Л.И. Психологические закономерности формирования личности в онтогенезе Текст. / Л.И. Божович //Вопросы психологии. 1976. -№6.-С. 36-41.

5. Божович, Л.С. Личность и ее формирование в детском возрасте Текст. / Л.С. Божович. М.: Педагогика, 1968. - 212 с

6. Божович, Л.И. Этапы формирования личности в онтогенезе Текст. / Л.И. Божович //Вопросы психологии. 1979. - №4. - С. 28-42.

7. Бороздина, Л.В. Исследование уровня притязаний: учеб. пособиеТекст./ Л.В. Бороздина. М.: Изд-во МГУ, 1993. - 140с.

8. Братусь, Б.С. Психология, клиника и раннего алкоголизма. Текст. / Б.С. Братусь, П.И. Сидоров. М.: Изд-вл МГУ, 1984. - 145 с.

9. Братусь, Б.С. Аномалии личности Текст. / Б.С. Братусь. М.: Мысль, 1984 г.-304 с.

10. Бюллетень клуба конфликтологов Текст., 1997. №6. - 84 с.

11. Василюк, Ф.Е. Психология переживания. Анализ преодоления критических ситуаций Текст. / Ф.Е. Василюк. М.: Изд-во МГУа, 1984. -200 с.

12. Возраст и педагогическая психология: учебникТекст. / Под ред. А.В. Петровского М.: Педагогика, 1990. - С.101

13. Возрастная и педагогическая психология: Текст. Хрестоматия.- М.: Просвещение, 1998. 288 с.

14. Возрастные и индивидуальные особенности младших подростков Текст. /

15. Под ред. Д. Б. Эльконина и Т. В. Драгуновой. М.: Просвещение, 1967. - 360 с.

16. Выготский, J1.C. Проблема возраста Текст. / JI.C. Выготский //Вопросы детской психологии. — СПб.: Союз, 1997. 224 с.

17. Выготский, J1.C. Собр. соч. в 6-ти т., т.4. — М., Педагогика, 1984. 432 с.

18. Выготский J1.C., ПсихологияТекст. / J1.C. Выготский. -М.: Изд-во ЭКСМО ПРЕСС, 2000. - 1008 с. (Серия «Мир психологии»)

19. Гаврилюк, В.В. Динамика ценностных ориентаций в период социальной трансформации (поколенный подход). Текст. / В.В. Гаврилюк, Н.А. Трикоз // СОЦИС. 2002. - №1. - С.96-105.

20. Гирич, Я.П. Краевая наркологически ориентированная программа улучшения социального благополучия Текст. / Я.П. Гирич; КрасГМА. -Красноярск, 2000. 48 с.

21. Гоголева, А.В. Аддиктивное поведение и его профилактика Текст. / А.В. Гоголева. М.: Московский психолого-социальный институт; Воронеж: «МОДЭК», 2002.-240 с.

22. Давыдов, В.В. Теория развивающего обучения Текст. / В.В. Давыдова. -М.: Педагогика, 1996. С.111-114.

23. Дальто, Ф. На стороне подростка Текст./ Дальто Ф.-СПб:Дело,1997. -174 с.

24. Данилин, А. Героин. Врачи предупреждают Текст. / Данилин А., Данилин И.-М.: Центрополиграф, 2000. 184 с.

25. Данилин, А. Марихуана Текст. ] / Данилин А., Данилин И.-.- М.: Центрополиграф, 2000. 154 с.

26. Драгунова, Т.В. Проблема конфликта в подростковом возрасте Текст. / Т.В. Драгунова // Вопросы психологии. 1976. - №2. - С. 18-23.

27. Дресвянников, B.JI. Об особенностях аддиктивной мотивации у психически больных с алкогольной аддикцией Текст. / B.JI. Дресвянников // Актуальные проблемы современной психиатрии и психотерапии. -Новосибирск. 1996. С. 22-26.

28. Змановская, Е.В. Девиантология: (психология отклоняющегося поведения): учеб. пособие для студентов высш. уч. заведений Текст. / Е.В. Змановская. М.: Академия, 2003. - 288 с.

29. Иванова, Е. Как помочь наркоману Текст. / Е. Иванова. СПб: Дело, 1997. 89 с.

30. Казакова, Г.П. Программа профилактики употребления психоактивных веществ среди учащихся первой ступени Текст. / Г.П. Казакова. Кемерово, 1998 г.

31. Кинг, М. Гипнотерапия вредных привычек Текст. /Кинг М., Коэн У., Цитренбаум Ч. М., 1998. - 95 с.

32. Клее, М. Психология подростка. Психосексуальное развитие Текст. / Кле М. -М.: Педагогика, 1991. 171 с.

33. Колесов, Д.В. Эволюция психики и природа наркотизма Текст. / Д.В. Колесов. М.: Педагогика, 1991. 310 с.

34. Кон, И.С. Открытие «Я» Текст. / И.С. Кон.- М.: Политиздат, 1978.- 367 с.

35. Кон, И.С. Психология ранней юности: Кн. Для учителя Текст. / И.С. Кон. М.: Просвещение, 1989. - 255 е.: ил. - (Психол. наука - школе).

36. Корнилова Т.В. Психология риска и принятия решений Текст. / М.: Изд-во «Аспект пресс» 2003. 276 с.

37. Короленко, Ц.П. Семь путей к катастрофе Текст. / Ц.П. Короленко, Т.А. Донских Новосибирск: Наука СО АН СССР, 1990.-224 с.

38. Короленко, Ц.П. Личность и алкоголь Текст. / Ц.П. Короленко, В.И. Завьялов- Новосибирск: Наука СО АН СССР, 1987.- 165 с.

39. Котляков, В.Ю. Профилактика наркомании в школе Текст. / В.Ю. Котляков. М.: Педагогика, 1997. - 216 с.

40. Краткий психологический словарь. М.: Политиздат, 1985. - 431 с.

41. Крейг, Г. Психология развития Текст. / Г. Крейг СПб.: Издательство «Питер», 2000. - 992 с.

42. Круглова, Н.А. Некоторые особенности возникновения наркомании в подростковом возрасте Текст./ Н.А. Круглова. // Журнал прикладной психологии. 2000 №2. - С. 12-16.

43. Кулаков, С.А. Диагностика и психотерапия аддиктивного поведения у подростков Текст. / С.А. Круглов. М.: Просвещение, 1998 г. - 112 с.

44. Латышева О.В. Психокоррекционная программа решения задач взросления Текст. / О.В. Латышева // http://psychology.spb.ru/articles/tez/2000/c6.htm

45. Левин, К. Теория поля в социальных науках Текст. / К. Левин. СПб: Речь, 2000. - 365 с.

46. Левин, К. Типы конфликтов Текст. / К. Левин // Психология личности. Тексты / К. Левин. М.; Изд-во МГУ, 1982. - 194 с.

47. Леонова, Л.Г. и., Вопросы профилактики аддиктивного поведения в подростковом возрасте. Учебно-методическое пособие Текст. / Л.Г. Леонова, Н.Л. Бочкарева Новосибирск., Издательство Новосибирского Медицинского института, 1998.-218 с. http://www.narkom.ru

48. Леонтьев, А.Н. Деятельность, сознание, личность Текст. / А.Н. Леонтьев. -М., 1975.-328 с.

49. Леонтьев, Д.А. Очерк психологии личности Текст. / Д.А. Леонтьев. -М.: Смысл, 1993.-44 с.

50. Леонтьев, Д.А. Психология свободы: к постановке проблемы самодетерминации личности Текст. / Д.А. Леонтьев // Психологический журнал. Том 21. 2000. - №1. - 48-50.

51. Лидере, А.Г. Подростковый возраст как возраст психологической соизмеримости с взрослостью Текст. / А.Г. Лидере // Журнал практического психолога. 2001. - №3-4. - С. 19-30.

52. Личко, А.Е. Психопатии и акцентуации характера у подростков Текст. / А.Е. Личко. Л.: Медицина. Ленингр. Отд-ние, 1983.-255 с.

53. Лоренц, К. Агрессия (так называемое зло) Текст./ К. Личко; Пер. нем. -М.: Издательская группа «прогресс», «Универс», 1994. 272 с. - (Б-ка зарубежной психологии)

54. Луков, В.А. Особенности молодежных субкультур в России Текст. / В.А. Луков // СОЦИС. 2002. - №10. - С.79-88.

55. Макаров, В.В. Возможности этологического подхода в прикладных медицинских исследованиях. Текст. / В.В. Макаров // Этологическая теория в разработке лечебных и профилактических программ. Красноярск. 1994. - С. 312.

56. Макаров, В.В. Избранные лекции по психотерапии Текст. / В.В. Макаров. М.:Академический проект, 1999 г. - 424 с.

57. Макаров, В.В. Наркология Текст. / В.В. Макаров, Л.И. Киселева -Красноярск: Изд-во университета, 1991. 176 с.

58. Макеева А.Г. Педагогическая профилактика наркомании в школе Текст. / А.Г. Макеева. М.: Сентябрь, 1999. - 142 с.

59. Мамардашвили, М. Как я понимаю философию Текст. /М. Мамардашвили; Сост. и предисл. Ю.П. Сенокосова. М.: Издательство «Прогресс», 1990. - 368 с.

60. Маркова А.К.Формирование мотивации учения: Книга для учителя Текст. / Маркова А.К. -М.: Просвящение, 1990. 192 с.

61. Мастеров, Б.М. Психология саморазвития: психотехника риска и правила безопасности Текст. / Б.М. Мастеров. Рига ПЦП «Эксперимент», 1996,-190 с.

62. Мастюкова, Е.М. Профилактика и коррекция нарушений психического развития детей при семейном алкоголизме Текст. / Е.М. Мастюкова, Г.В. Грибалова, А.Г. Масковкина. М.: Просвещение, 1989.76 с.

63. Математические методы в психологии. Методическая разработка и задачи Текст. / составитель Т.Г. Попова. Краснояр.гос.ун-т; Красноярск, 2002. -72с.

64. Меграбян, А.А. Роль личности в формировании теоретических основ психиатрии Текст. / А.А. Меграбян. // Психология и медицина. М., 1978. - С. 112-120.

65. Межличностное восприятие в группе Текст. / под ред. Г.М. Андреевой, A.M. Донцова. М.: Изд-во Моск. Ун-та., 1981. 295 с

66. Мид,М. Культура и мир детства. Избранные произведения Текст. / Пер. с англ. и коммент. Ю.А. Асеева; составитель и послесловие И.С. Кона. М.: Наука, 1988, 429 с.

67. Мухина B.C. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество: учебник для студ.вузов Текст. / B.C. Мухина. -6-е изд., стереотип. М.: Академия, 2000. - 456 с.

68. Наркомания как форма девиантного поведения Текст. М.: 1997 г.

69. Наркомания: методические рекомендации по преодолению наркозависимости / под ред. А.Н. Гаранского. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. - 29 с.

70. Нарушения поведения у детей и подростков. М: Педагогика, 1998. -101 с.

71. Обухова, Л.Ф. Детская (возрастная) психология: учебник Текст. / Л.Ф. Обухова М.: Российское педагогическое агентство, 1996.-374 с.

72. Особенности обучения и психического развития школьников 13-17 лет Текст. // Под ред. И.В. Дубровиной, Б.С. Круглова; Науч. исслед. Ин-т общей и педагогической психологии АПН СССР. - М.: Педагогика, 1988. - 192 с. (Педагогическая наука - реформе школы)

73. Панюкова, Ю.Г. Психология взаимодействия среды и пространственно-предметной среды его жизнедеятельности (эмоциональный аспект) Текст., дис. док . Красноярск, 2002. -396 с.

74. Петров, В.И. Наркомания. Избавление от зависимости, лечение, программа. Советы врача нарколога Текст. / В.И. Петров. Минск: Беларусь, 1999.- 163 с.

75. Поливанова, К.Н. Возраст: Норма развития и метод Текст./ К.Н. Поливанова // Журнал практического психолога 1992. - №2. - С. 24-26.

76. Поливанова, К.Н. Психологический анализ кризисов возрастного развития Текст.: автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора психологических наук / К.Н. Поливанова-Москва, 1999 г.

77. Поливанова, К.Н. Психологический анализ кризисов возрастного развития Текст. / К.Н. Поливанова // Вопросы психологии. 1994. - №1 - С. 38-43.

78. Поливанова, К.Н. Психологическое содержание подросткового возраста Текст. / К.Н. Поливанова //Вопросы психологии, №1, 1996. С. 63-69.

79. Поливанова, К.Н. Психология возрастных кризисов: учеб. пособие для студентов высш.пед.учеб.заведений Текст. / К.Н. Поливанова М.: «Академия», 2000. - 184 с.

80. Профилактика несвободы: организационно- методическое пособие/ Б.И. Хасан, Н. Н. Дюндик, Е. Ю. Федорненко, И.А. Кухаренко, Т.И. Привалихина; под общ. ред. Л.И. Семиной. М.: изд-во "Бонфи", 2003. - 358с.

81. Психология личности в трудах отечественных психологов Текст. / Составитель и общая редакция Л.В. Куликова. СПб.: Питер, 2002. - 76 с. -(Серия «Хрестоматия по психологии»).

82. Пятницкая, И.Н. Наркомании: Руководство для врачей Текст. / И.Н. Пятницкая. -М.: Медицина, 1994. 554 с.

83. Рабочая книга школьного психолога Текст. / И.В. Дубровина, М.К. Акимова, Е.М. Борисова и др.; Под ред, И.В. Дубровиной. М.: Просвещение, 1991.-303 с.

84. Райе, Ф. Психология подросткового и юношеского возраста Текст. / Райе Ф. СПб.: Питер, 2000. - 624 е.: ил. - (Серия "Мастера психологии")

85. Рычкова, Н.А. Дезадаптивное поведение детей: Диагностика, коррекция, психопрофилактика: учебно-практическое пособие / Н.А. Рычкова. М.: Гном и Д, 2001 -96 с.

86. Селиванова, З.К. Смысложизненные ориентации подростков Текст. / З.К. Селиванова // СОЦИС. 2001. - №2. - С.87-92.

87. Сидоренко, Е.В. Методы математической обработки в психологии Текст. / Е.В. Сидоренко. СПб.: Речь, 2000. - 350 е., ил.

88. Профилактика наркомании у подростков: от теории к практике Текст. / Н.А. Сирота, В.М. Ялтонский В.М., Хажилина И.И., Видерман Н.С. М.: Генезис, 2001.-216 с.

89. Слободчиков, В.И. Основы психологической антропологии. Психология развития человека: Развитие субъективной реальности в онтогенезе: учебное пособие для вузов Текст. / В.И. Слободчиков, Е.И. Исаев. М.: Школьная Пресса, 2000.-416 е.: ил.

90. Смирнов, Г.Л. Советский человек. Формирование социального типа личности Текст. / Г.Л. Смирнов. М.: Политиздат, 1973. - 415 с.

91. Собкин, B.C. Российский подросток 90 -х годов. Движение в зону риска. Текст. / B.C. Собкин, Н.И. Кузнецов. М.: Юнеско, 1998 г. - 108 с.

92. Становление самосознания в ранней юности Текст.// http://www.portalus.ru/modules/psychology/print.php?subaction=showfull&id=l 106 044949&archive=&start from=&ucat=4&

93. Сухарев, А.В. Этнофункциональный подход к проблемам психопрофилактики и воспитания Текст. / А.В. Сухарев // Вопросы психологии». -1996. №4. -С. 81-93.

94. Сухомлинский, В.А. О воспитании Текст. /В.А. Сухомлинский; сост. и авт. вступ. очерков С. Соловейчик. 5-е изд.- М.: Политиздат, 1985. - 270 с.

95. Сэв, Л. Марксизм и теория личности Текст. / Л. Сэв. М.: Прогресс, 1972. - 582с.

96. Тимофеев, Л. Наркобизнес Текст./ Д. Тимофеев. М.: РГТУ, 1998. -131с.

97. Фельдштейн, Д.И. Психология развивающейся личности. Избранные психологический труды Текст./ Д.И. Фельдштейн. М.: Ин-т практической психологии, Воронеж: НПО «Модек», 1996. - 512 с.

98. Формирование личности в переходный период: От подросткового к юношескому возрасту Текст. / Под ред. И.В. Дубровиной; Науч.-исслед. Ин-т общей и педагогической психологии АПН СССР. М.: Педагогика, 1987. - 184 е.: ил.

99. Формирование личности старшеклассника / Под ред. Дубровиной; Науч.-исслед. Ин-т общей и педагогической психологии Акад. пед. наук СССР. -М.: Педагогика, 1989.- 168 е.: ил.

100. Наркология Текст.-М.: Бином. 1997.-319 с.

101. Фрейд, 3. Основной инстинкт Текст. / Фрейд 3. М., 1997 г.

102. Фромм, Э. Искусство любви: исследование природы любви Текст. / Э. Фром; пер. с англ. JI.A. Чернышевой Минск: Политиздат, 1990 г. - 77 с.

103. Фромм ,Э Анатомия человеческой деструктивности Текст. / Э. Фром; пер., вст. ст.П.С. Буренича М.: Республика. 1998 448 с.

104. Фромм, Э. Бегство от свободы Текст. / Э. Фромм; пер. с анг. Г.Ф. Швейника; общ. Ред. И послеслов. П.С. Буревича. М.: Прогресс, 1990. -269 с.

105. Хасан, Б.И. Психотехника конфликта и конфликтная компетентность Текст. / Б.И. Хасан.- Красноярск.: РИЦ КГУ, 1996. 157 с.

106. Хасан Б.И. Пол и образование: анализ конфликтов половозрастной идентификации Текст. / Б.И. Хасан, Г.М. Бреслав; КГУ. Красноярск. 1996. -174 с.109. . Профилактика несвободы: организационно-методическое пособие Текст.- М.: «Бонфи», 2003. 359 с.

107. Хасан, Б.И. Разрешение конфликтов и ведение переговоров Текст. / Б.И. Хасан, П.А. Сергоманов; КГУ. Красноярск.2001. - 183 с.

108. Холмс, Д. Анормальная психология Текст. / Д. Холмс СПб.: Питер, 2003.-304 с.

109. Хорни. К. Невротическая личность нашего времени Текст. / К. Хорни. М.: Республика, - 1993. - 198 с.

110. Цукерман, Г.А., Психология саморазвития: задача для подростков и их педагогов Текст. / Г.А. Цукерман. Рига: ГГЦП «Эксперимент», 1997, - 276 с.

111. Шабалов, П.Д. Наркомании. Патопсихология, клиника, реабилитация Текст. / П.Д. Шабалов, О.Ю. Штакельберг. М.: Просвещение, 1993. - 153 с.

112. Шумилин, Е.А. Психологические особенности личности старшеклассника Текст. / Е.А. Шумилин; под ред. В. В. Давыдова. М.: Педагогика, 1979. - 152 с.

113. Щедровицкий, П.Г Программная инвестиция: норма работы субъектов инвестиции Текст. / П.Г. Щедровицкий. // Старшая школа как взрослая жизнь: программирование содержания образования: материалы семинара. Красноярск: Б.И. 2000. - 381 с.

114. Щукина, Г. И. Проблема познавательного интереса в педагогике Текст. / Г.И. Щукина.- М.: Педагогика, 1971. 352 с. с ил.

115. Эльконин, Б.Д. Введение в психологию развития Текст. / Б.Д. Эльконин. М.: Тривола, 1994. - 252 с.

116. Эльконин, Б.Д. Кризис детства и основания проектирования форм детского развития Текст. / Б.Д. Эльконин // Вопросы психологии. 1992. -№4. - С.7-13.

117. Эльконин, Б. Д. Психология развития: учеб.пособие для студ.высш.учеб.заведений. М.: Издательский центр «Академия», 2001. -144 с.

118. Эльконин, Д.Б. К проблеме периодизации психического развития советского школьника Текст. / Д.Б. Эльконин. // Вопросы психологии. 1971. -N4.-C. 6-20.

119. Эльконин, Д.Б. Избранные психологические труды Текст. / Д.Б. Эльконин; под. ред. В.В. Давыдова, В.П. Зинченко). М.: Педагогика, 1989. -560 с.

120. Эльконин, Д.Б. К проблеме периодизации психического развития в детском возрасте Текст. / Д.Б. Эльконин // Вопросы психологии. 1994. - №4. -С. 7-12.

121. Энн, У. Смит. Внуки алкоголиков Текст. / Энн У. Смит. М.: Просвещение. 1991. - 95 с.

122. Эриксон, Э. Детство и общество Текст./ Э. Эринсон. СПб.: Ленато, ACT, Фонд «Университетская книга», 1996. - 590 с.

123. Эриксон, Э. Идентичность: юность и кризис Текст. / Э. Эриксон; пер. с англ. общ. ред. и предисл. Толстых А.В. М.: Прогресс, 1996. - 344 с.

124. Ягодинский, В.Н. Уберечь от дурмана Текст. / В.Н. Ягодинский. -М.:Просвещение, 1989.95 с.

125. Conrad E.L. The identification of 3 types of gamblers and related personality characteristics and gambling experiences. Chicago. 1978.

126. Dollard J., Miller N. Personaliti and psycoterapy. N.Y., 1950. P.239

127. May R. Man's search for himself. N. Y.: Signet book, 1953,

128. Tokar T. et all. Emotionel States and Behavioural Rappenus in Alcoholics and Nonalcoholics. //Quart. J. Stud. Alcohol. 1973. V 34. N 1. - P. 133-148.

129. Levinson D. A conception of adult development // American psychologist. -1986.-N41.-P.3-13.

130. Marcia J. The status of statuses: Research review/ In: In Marcia, Watterman, et al Ego identity; A handbook for psychologocal research. N. Y.: Springer-Verlag,1993.

131. Stem D.N. The first relationship: infant and mother. Cambridge, Mass. Harvard University Press, 1977.