автореферат и диссертация по педагогике 13.00.01 для написания научной статьи или работы на тему: Моделирование как способ формирования обобщённого умения решать задачи

Автореферат диссертации по теме "Моделирование как способ формирования обобщённого умения решать задачи"

На правах рукописи

Буренкова Наталья Владимировна

Моделирование как способ формирования обобщённого умения решать задачи

13.00.01 - Общая педагогика, история педагогики и образования (педагогические науки)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук

' 4 «.13 23®

Москва - 2009

Работа выполнена на кафедре психологии образования и педагогики факультета психологии Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор психологических наук, профессор

Салмина Нина Гавриловна

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор Бакланова Наталья Константиновна

кандидат психологических наук Филимонова Ольга Геннадьевна

Ведущая организация:

Московский городской психолого-педагогический университет

Защита состоится «, 22 » мая

_2009 года в. 15 часов на

заседании диссертационного совета Д 501.001.11 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 125009, г. Москва, улица Моховая, дом 11, корпус 5, аудитория ,_.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан апреля

.2009 года.

Учёный секретарь диссертационного совета

Володарская И. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Проблема моделирования в обучении младших школьников умению решать задачи всегда вызывала интерес как в педагогике, так и в психологии. Именно оно многими рассматривается как важнейшее, которым должны владеть учащиеся в средней школе. Это связано с необходимостью повышения теоретического уровня знаний, формируемых на разных этапах обучения. Из анализа литературы следует, что одним из путей формирования теоретических знаний является моделирование, использование моделей, которые выступают как «абстракции особого рода» (В.В.Давыдов), позволяющие выявить внутренние связи и отношения объектов. Проблема моделирования исследуется в разных науках: философии, психологии, педагогике. В философии средства познания рассматриваются с точки зрения их места, функций в процессе познания. (Б.С.Грязнов, Б.С.Дынин, И.Б. Новик, В.А.Штофф и др.). В психолого-педагогических работах исследование этой проблемы определяется психологической теорией учения (П.Я. Гальперин, В.В.Давыдов, Д.Пойа, Н.Ф.Талызина, Л.М.Фридман). В психологии придается исключительное значение освоению знаковых средств в психическом развитии ребенка. Л.С.Выготский, А.Р.Лурия и др. писали об особенностях психического развития человека: «подобно тому, как в процессе исторического развития человек изменяет не свои естественные органы, а орудия, в процессе своего психического развития человек совершенствует работу своего интеллекта главным образом за счет развития особых технических вспомогательных средств мышления и поведения». Психическое развитие человека осуществляется через усвоение предшествующего опыта, культуры, включающей, в том числе, и различные знаково-символические средства. Несмотря на то, что моделирование используется в учебно-познавательном процессе современной начальной школы (учебники И.И.Аргинской, Э.А.Александровой, Т.Е.Демидовой, Н.Б.Истоминой, Г.Г.Микулиной, Л.Г.Петерсон и др.), в методических пособиях для начальной школы проблема обучения моделированию не нашла должного отражения. В системе Д.Б. Эльконина - В.В.Давыдова моделирование выделено в качестве учебного действия, входящего в состав учебной деятельности, которое должно быть сформировано к концу начальной школы. Анализ моделирования и его роли в развитии исследуется в теории поэтапного формирования умственных действий (П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина), теории учебной деятельности (Д.Б. Эльконин, В.В.Давыдов, И.И.Ильясов), проведены экспериментальные исследования на языковом и математическом материалах в начальных классах школы (Л.И. Айдарова, И.А. Володарская, Н.Г. Салмина, Л.М. Фридман, и др.). Вместе с тем специальных программ по формированию моделирования, как и экспериментальных исследований, показывающих роль моделирования в процессе обучения решению задач, недостаточно. Все это выступило основанием для постановки исследования о роли моделирования при решении задач.

В условиях образования, ориентированного на развитие мышления у младших школьников, особое значение в обучении и, прежде всего, при решении задач, приобретает овладение действием моделирования, поскольку, как показали исследования В.В. Давыдова, оно способствует формированию обобщённых знаний. Это определяет и основные пути организации деятельности учащихся, направленных на развитие мышления в процессе анализа задачи и поиска плана решения на основе моделирования, формирование необходимых для осуществления этого умений и способов действий. Моделирование в данной работе рассматривается не только как способ формирования обобщённого умения решать задачи, но и как одна из целей обучения математике.

Объект исследования - процесс обучения младших школьников умению решать задачи.

Предмет исследования - моделирование как способ формирования у младших школьников обобщённого умения решать задачи.

Цель исследования - разработать способы и средства формирования обобщённого умения решать задачи на основе моделирования. Замысел и организация исследования предполагали проверку следующей гипотезы: при определённых условиях организации учебной деятельности, моделирование может выступать в качестве универсального способа формирования обобщённого умения решать задачи. Задачи исследования:

.1 .Анализ проблемы обучения младших школьников умению решать задачи на основе моделирования в психолого-педагогической литературе. 2.Выявление возможностей моделирования в обучении.

3.Определение содержания действия моделирования в структуре общего метода решения задач.

4.Разработка программы по формированию у младших школьников обобщённого умения решать задачи на основе моделирования, экспериментальная проверка её эффективности. Методологической основой исследования является:

.- современные представления об методах познания и их применении в практике обучения (В.А. Штофф, И.Б. Новик, В.В. Давыдов);

.- теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина);

Для поставленных задач использовался комплекс методов исследования:

- теоретический анализ философской, психолого-педагогической, методической литературы;

- экспериментальные методы (психолого-педагогический эксперимент);

- методы изучения продуктов деятельности;

- методы статистической обработки данных.

Опытно - экспериментальная база. Экспериментальная работа проводилась на базе МОУ «Гимназия №2», МОУ «СОШ №55», МОУ «СОШ №63» г. Брянска. В эксперименте участвовало 200 учащихся. Работа выполнялась в три этапа.

Первый этап (1998 - 1999г.) Анализ современного состояния проблемы моделирования в теории и практике с целью конкретизации задач исследования.

Второй этап (2000 - 2001г.) Разработка комплексной программы исследования. Третий этап (2001 - 2008г.) Проведение констатирующего, формирующего и контрольного экспериментов. Новизна исследования:

- Исходя из структуры учебного моделирования (анализ текста задач, перевод текста на язык моделей, работа с моделью, соотнесение результатов) и типов трудностей учащихся при решении задач было определено содержание обобщённого умения решать задачи, в которое включены следующие действия, выступившие в качестве показателей сформированное™ этого умения: анализ структурных компонентов задач, осознание общих принципов при анализе и решении; решение задач с разными типами текстов; преобразование и нахождение различных способов решения с обоснованием оптимального, их классификация; составление и решение задач по знаково-символическим и математическим моделям (по графической модели, по выражению).

- Показано, что уже у младших школьников можно сформировать обобщённое умение решать задачи (по выделенным показателям).

-Выявлена связь уровня сформированности учебного моделирования и общего

умения решать задачи.

Теоретическое значение исследования.

Проведенное исследование позволяет конкретизировать представления о моделировании как универсальном учебном действии, выступающем в качестве способа обучения обобщённому умению решать задачи.

Содержащиеся в исследовании данные, теоретические положения и выводы расширяют имеющиеся представления о решении задач на основе моделирования, дают возможность выделить основные этапы и средства его формирования.

Практическое значение работы.

Разработанная система обучающих заданий, направленных на формирование анализа, сравнения, выбора, преобразования, конструирования моделей и реализующих комплекс методических приемов, способствует формированию умения решать текстовые задачи. Разработанная в диссертации программа и методические рекомендации по её реализации могут быть использованы в системе повышения квалификации педагогов, в практике работы учителей.

Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов и выводов обеспечиваются опорой на фундаментальные психологические исследования закономерностей и условий психического развития; применением комплекса методов, соответствующих цели, объекту, предмету, задачам, гипотезе исследования; проведением экспериментальной проверки разработанной методики. Положения, выносимые на защиту.

1.Учащиеся младшего школьного возраста могут овладеть обобщенным умением решать задачи, показателями которого являются:

-умение проводить анализ и выделять структурные компоненты задач, решать задачи при соответствии хода решения и арифметических операций условию; -умение преобразовывать задачи и находить различные способы решения с обоснованием оптимального;

-проводить классификацию задач по способу решения, осознавать общий подход при анализе и решении задач;

-уметь подбирать способы решения к задачам с нечётко выраженной структурой, включающих несколько типов разных отношений; -уметь составлять и решать задачи по знаково-символическим и математическим моделям (по графической модели, по выражению). В роли способа формирования этого умения выступает моделирование как универсальное учебное действие, так как анализ структуры умения решать задачи и моделирования показал, что есть общие компоненты в деятельности решения задач и моделирования, что делает целесообразным параллельное формирование обоих умений.

2. Выявлена взаимосвязь между уровнем сформированности учебного моделирования и общим умением решать задачи: чем выше уровень моделирования, тем выше уровень решения задач. Однако умение моделировать не является безусловным фактором умения решать задачи.

В ходе исследования выявлены данные, позволяющие судить о частичном несовпадении (5-10%) уровней моделирования и решения задач у одних и тех же учащихся, что говорит об отсутствии жёсткой связи уровней.

3.Разработана программа по формированию обобщённого умения решать задачи, включающая символическую, логическую и предметно-специфическую пропедевтику, направленную на формирование обобщённых умений, необходимых для построения моделей, анализа и решения задач. Разработаны методические рекомендации к обучению, в основании которых -овладение приёмами выбора, конструирования и преобразования моделей. Апробация и внедрение результатов исследования.

Основные положения и материалы исследования апробировались в работе отдельных школ г. Брянска (2000 - 2005г.г.), в работе на дневном и заочном отделениях социально-педагогического факультета Брянского государственного университета, в публикациях тезисов докладов и статей по теме исследования, на межвузовских и международных научно - практических конференциях г.Брянск, г.Орёл, г.Мозырь, г.Брест, г.Донецк (2003 - 2008г.г.). .Структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении описаны контексты, в которых изучается моделирование, обоснованы выбор темы исследования, её актуальность, определены проблема, цель, объект, предмет, задачи, гипотеза, методология, теоретическая и экспериментальная база исследования, раскрыты научная новизна,

теоретическая и практическая значимость полученных результатов, сформулированы основные положения, выносимые на защиту. В первой главе «Теоретические основы моделирования» проведён анализ психолого-педагогической, философской, методической литературы по теме диссертации, обоснованы теоретические подходы к исследованию моделирования как способа формирования обобщённого умения решать задачи у учащихся начальной школы, описаны содержание понятий «модель» и «моделирование», структура моделирования как универсального учебного действия, рассмотрены психолого-педагогические характеристики использования моделирования при формировании обобщённых умений и способов решения задач.

Понятие «моделирование» рассматривается в работе как способ познания какого-либо явления или объекта, универсальное учебное действие, которое используется при обучении младших школьников обобщённому умению решать текстовые задачи.

В первом параграфе даётся анализ основных подходов к определению содержания терминов «модель» и «моделирование». Во всех случаях употребления понятия «модель» можно выделить следующие общие моменты: модель - это средство научного познания; это представитель, заместитель оригинала в познании или на практике; система со структурными свойствами и определёнными отношениями; она охватывает существенные свойства прототипа, которые в данный момент являются объектом исследования и соответствует оригиналу (изоморфное и гомоморфное соответствие).

В данной работе в качестве исходного принимается определение «модели» данное В.А.Штоффом: «модель такая мысленно представляемая или материально реализуемая система, которая, отображая и воспроизводя объект, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте». Моделирование рассматривается нами как способ познания какого-либо явления или объекта через изучение заместителя объекта.

Моделирование, исходя из философского определения, предполагает три этапа: выбор (построение) модели; работа с моделью; переход к реальности;

Практика обучения в начальной школе показывает, что в процессе изучения учебных предметов учащиеся имеют дело с учебными моделями и моделированием. Необходимость овладения моделированием в виде учебного действия диктуется не только его значимостью в качестве средства познания, но и психолого-педагогическими требованиями в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий (П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина), теорией учебной деятельности (В.В.Давыдов, Л.М.Фридман). Согласно этим направлениям, у учащихся формируются умения и навыки моделирования различных ситуаций и явлений, а построение и работа с моделями изучаемых умственных действий составляют обязательный этап овладения ими.

Моделирование в обучении отличается от моделирования в научном познании рядом особенностей, проистекающих из содержания и способов использования моделей. Работы А.У.Варданяна, В.В.Давыдова, Н.Г.Салминой,

Л.М.Фридмана, Д.Б.Эльконина выделили ряд особенностей учебных моделей, наиболее важными из которых в данной работе являются:

•знаковый характер учебных моделей - они всегда представляют собой искусственные образования, которые используются как орудия деятельности; им присуща наглядность, фиксирующая общие отношения ряда явлений;

■ образный характер учебных моделей. В процессе познания знак и образ не только не исключают друг друга, но и дополняют.

•оперативная роль моделей, указывающих способ организации действий, направленных на выяснение основных свойств изучаемого материала; внешний вид учебной модели зависит от того, какие стороны оригинала становятся объектом действий, в какой мере они обобщены;

• эвристическая функция учебных моделей, т.е. при работе с моделями учащиеся выделяют новое знание, которое невозможно или трудно получить при работе с реальным объектом.

•учебные модели при решении задач могут выполнять функции средства анализа и решения при условии четкого отнесения элементов модели и её структуры в целом к реальности или тексту, описывающему её.

Таким образом, моделирование в обучении выступает способом познания при выявлении и фиксации в наглядной форме тех всеобщих отношений, которые отражают научно-теоретическую сущность изучаемых объектов; это знаково-символическая деятельность, заключающаяся в получении новой информации в процессе оперирования знаково - символическими средствами,. В этой деятельности выделяются следующие составляющие: предварительный анализ текста; перевод текста на знаково-символический язык; работа с моделью; соотнесение результатов, полученных на модели, с реальностью. Каждый из этих компонентов имеет свой операционный состав, специальные средства, которые должны выступить предметом усвоения учащихся.

Второй параграф посвящен анализу возможностей использования моделирования в обучении:

-в содержании и построении учебной деятельности; -при формировании обобщённого умения решать задачи. В концепции учебной деятельности Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова моделирование включено как учебное действие, которое должно быть сформировано у учащихся. Содержанием учебной деятельности выступают теоретические знания, овладение которыми развивает основы теоретического мышления. Изложение научных знаний осуществляется способом восхождения от абстрактного к конкретному, от общего к частному (когда учащиеся сначала ищут и фиксируют исходную общую «клеточку» изучаемого материала, а затем, опираясь на нее, выводят многообразные частные особенности данного предмета). Такое усвоение направлено на выявление школьниками условий происхождения содержания усваиваемых ими понятий.

Учебная деятельность реализуется посредством выполнения школьниками соответствующих действий. Согласно общей закономерности интериоризации, учебные действия направлены на решение учебных задач, которые требуют анализа и содержательного обобщения. Учебная задача направлена на анализ учащимися условий происхождения теоретических

понятий и на овладение соответствующими обобщенными способами действий. В концепции учебной деятельности выделяются следующие учебные действия: принятие от учителя или самостоятельная постановка учебной задачи; преобразование условий задачи с целью обнаружения всеобщего отношения изучаемого объекта; моделирование выделенного отношения в предметной, графической и буквенной формах; преобразование модели отношения для изучения его свойств в «чистом» виде; выделение и построение системы частных задач, решаемых общим способом; контроль за выполнением предыдущих действий; оценка усвоения общего способа действия как результата решения данной учебной задачи.

В рамках концепции развивающего обучения математике формируется общий подход к решению текстовых задач, в соответствии с которым задача рассматривается как модель некоторой проблемной ситуации, а её решение как процесс применения общих теоретических положений математики к условиям задачи для нахождения ответа на вопрос. Решить задачу в широком смысле этого слова - это значит раскрыть связи между данными и искомыми, заданными условием задачи, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и.т.п.), выполнить действия над данными задачи, используя найденные общие положения, и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность его (требования) выполнения.

Моделирование рассматривается как способ переформулирования, преобразования задачи, как процесс построения цепи моделей задач; как учебное средство, которое используется для формирования обобщённого способа решения задач, как важнейшее средство (компонент) теоретического познания. Модели выступают как продукты познавательной деятельности, включающей «мыслительную переработку исходного чувственного материала, его очищение от случайных моментов и как средство осуществления этой деятельности» (В.В. Давыдов).

В работах, проводимых под руководством Л.А. Венгера, схема обучения моделированию строится иначе; сформулированы требования к обучению моделированию:

-целесообразно начинать с моделирования единичных конкретных ситуаций, а позднее переходить к построению моделей, имеющих обобщённый смысл; -следует начинать с иконических, сохраняющих известное внешнее сходство с моделируемыми объектами, приходя к моделям, представляющим собой условно-символические изображения отношений (типа кругов Эйлера, графиков и др.);

-обучение моделированию осуществляется легче, если начинается с применения готовых моделей, а затем - их построения;

-начинать следует с формирования моделирования пространственных отношений, т.к. в этом случае форма модели совпадает с типом отражённого в ней содержания; затем переходить к моделированию временных отношений, а ещё позднее - моделированию всех других типов отношений (механических, звуковысотных, социальных, математических), заканчивая логическими.

Теория поэтапного формирования умственных действий исходит из того, что процесс обучения решению задач это процесс овладения системой умственных действий, составляющих содержание этого умения. Данный процесс является достаточно длительным и состоит из нескольких этапов, начиная с этапа материального или материализованного действия, переходя к этапам речевого действия, умственного действия. Этап материализованного действия предполагает построение и использование моделей для усвоения знаний и умений.

Во второй главе «Программа обучения младших школьников умению решать задачи на основе моделирования» представлены подходы к обучению использованию знаково-символических средств при решении задач.

В первом параграфе, рассмотрены различные подходы к созданию моделей при решении задач: Л.М. Фридман, В.В.Давыдов, Ж. Верньё, И.А. Володарская, В.В. Давыдов, Н.Г. Салмина, М.М. Тоненкова. Представленные варианты применения знаково-символических средств раскрывают существенные характеристики моделирования как способа формирования умения решать задачи. Схемы, схематические чертежи, графы, пространственно-графическое представление текста задач позволяют выделять отношения, скрытые в текстах, производить преобразования и решать задачи. Поскольку существенные отношения и связи объекта, описанные в разнообразных ситуациях текстовых задач, выделяются и фиксируются сходными по используемым средствам схемами, они начинают выступать в качестве обобщенного способа анализа отношений между данными, данными и вопросом. Именно абстрактный материал согласно В.В.Давыдову ведёт к освоению общего способа действия при решении задач. Эту функцию наряду со схемами выполняют буквенные модели и обобщающие формулы, которые фиксируют результаты произведённых действий с объектами.

При создании различного типа моделей сложно, как показывал анализ практики, выделить какая информация должна быть включена в модель, какие средства (символы, знаки) будут употребляться для каждой составляющей текста, какие из них должны иметь одинаковую символику, а какие — различную. Это предполагает определённый уровень развития символической функции, поскольку модель структуры задач создаётся с помощью знаково-символических средств, обозначающих объекты, величины, их характеризующие, числовые значения (данные и искомые), соответствующие им, а также фиксирующих действия, необходимые для ответа на вопрос задачи.

Второй параграф представляет собой описание программы формирующего эксперимента, принципов его построения. Анализ структуры умения решать задачи и моделирования показал, что есть общие компоненты в деятельности решения задач и моделирования, что делает целесообразным параллельное формирование обоих умений. Это и составило первый принцип разработанной программы. В качестве следующего принципа - введение пропедевтической части, которая необходима как для обучения решению задач, так и для построения моделей. Содержание пропедевтической части составляют предварительные знания, которые имеют специфические и общие составляющие, с формирования которых должно начинаться обучение детей.

Программа пропедевтики и основного этапа в качестве предмета обучения выделяет структуру деятельности решения задач и структуру деятельности моделирования. Усвоение компонентов этих деятельностей должно сформировать у учащихся умение строить модели по тексту задачи и на его основе - обобщённое умение решать задачи;

Данные принципы определили этапы обучения учащихся младших классов анализу и решению задач на основе модельного подхода (подготовительный и основной этапы).

Третий параграф содержит описание подготовительного этапа, на котором у учащихся формируются: умения переводить различные ситуации на язык знаков и символов; общие логические приемы и действия; начальные математические понятия. Подготовительный этап включал задания на выявление признаков объектов, их упорядочение по выделенному основанию, сохранение количественных характеристик объектов при изменении их формы, кодирование множеств и декодирование, работу по усвоению знаково-символического языка. Символическая и логическая пропедевтика проходила параллельно, здесь же выполнялись задания на усвоение отношений между предметами и множествами предметов, работа со словами-кванторами, решение задач-примеров.

Процесс усвоения содержания (этап пропедевтики) начинался с организации предметной деятельности с реальными объектами или их заместителями с последующим переводом ее через использование знаков и символов в умственный план. Большое значение придавалось отработке речи учащихся, для чего применялись формы работы с проговариванием, обсуждением собственной деятельности. Усвоение каждого компонента подготовительного этапа было организовано через действие с реальными объектами, действие с реальными объектами в сочетании со схемами, символами и знаками и чисто символические действия (со схемами, символами, знаками).

Четвёртый параграф включает описание основного этапа, когда у учащихся на основе синтеза символических, логических и предметно-специфических знаний формируется обобщённое умение решать задачи. Л.М. Фридман придавал большое значение в обучении решению задач формированию действия моделирования. В.В. Давыдов видел в моделировании более общую роль - моделирование как учебное действие, которое необходимо формировать для овладения детьми теоретическим мышлением. Исходя из этих положений в нашей работе, направленной на исследование роли модели в обучении решению задач, формирование действия моделирования было построено следующим образом:

1 Использование моделей проводится при изучении математических понятий, необходимых для решения задач;

2)ученик должен осознавать значение каждого элемента модели, осуществляя переход от текста к модели и, наоборот, от модели к реальности.

3)учащиеся должны освоить различные виды моделей, научиться их строить в соответствии с типом задач, уметь переходить от одной модели к другой;

На основном этапе по каждому виду деятельности должны быть сформированы определённые умения, которые в итоге создают синтез символических, логических, предметно-специфических знаний: Предметно-специфические знания:

- функциональные зависимости величин (знание компонентов сложения, вычитания; прямых и обратных задач);

- умение анализировать текст; выделять данные; установление отношений; нахождение метода решения.

Логические умения:

- умение выделять свойства объектов;

- умение рассуждать при выделении существенных признаков;

- рассуждать от общего к частному и от частного к общему;

- умение доказывать, обосновывать ход и результаты решения;

- уметь выводить следствия. Символические умения:

-умение переводить объекты, отношения и связи на знаково-символический язык;

- умение моделировать ситуации с помощью различных видов моделей; -умение преобразовывать модели одного вида в модели другого вида; -умение читать схемы, структурировать изображения, переводить их на другой язык;

-умение обобщать способы работы и переносить их в другие условия.

Основной этап включал выполнение заданий в соответствии с этапами деятельности моделирования и этапами решения задач (см. табл.1): задания на предварительный анализ, на построение модели, на преобразование модели, на соотнесение результатов. Овладение учащимися структурными компонентами деятельности моделирования базируется на усвоении принципов, определяющих эффективность перевода текста на знаково-символический язык (адекватность, автономность, обобщённость, изоморфизм, структурность).

Этапы формирования обобщенного способа решения задач.

_Таблица 1

Этапы решения задачи Этапы моделирования

1этап. Формирование умения анализировать текст. части

/. Предварительный анализ или действие анализа текста:

[.¡.восстановление предметной ситуации; 1.2.проведение семантического анализа; 1.3.выделение основных единиц сообщения; о Р и

Н.Перевод текста на знаково-символический язык. н т

II. ¡.краткая запись; и

П.2.схема; 11.3.таблица. 1 1 О в

III. Установление между данными отношении между элементами О ч

III.¡.преобразование единиц ШЛ.работа с моделью: н

сообщения; \ / - анализ схемы; а

\ / - достраивание; я

ч -видоизменение;

- через анализ текста или модели при помощи

схемы рассуждений от данных к вопросу;

- через анализ текста или модели при помощи

схемы рассуждений от вопроса к данным.

2 этап. Составление плана решения

по тексту по модели

3 этап. Решение задачи. Исполн

итель-

ная

4 этап. Соотнесение результатов, полученных на модели, с текстом: Контро

I.перефразирование текста ¡.внесение полученного льно-

в обратную задачу. результата в модель. коррек

II.решение задачи другим способом. ти-

ровочн

ая

Таким образом, обобщённый способ решения задач объединяет два умения: построение моделей по тексту и решение задач. Операционный состав деятельности решения задач отрабатывается через усвоение приёмов выбора, конструирования, преобразования моделей на системе усложняющихся заданий.

В третьей главе «Процесс обучения младших школьников умению решать задачи на основе моделирования» описаны педагогические условия, ведущие к овладению учащимися начальной школы обобщённым умением решать текстовые задачи; описаны процесс обучения, показатели и уровни владения действием моделирования при анализе и решении задач; представлены результаты опытно-экспериментальной работы, их статистическая обработка. Первый параграф раскрывает основные результаты констатирующего этапа в котором на специально подобранных задачах выявлялась сформированность каждого компонента моделирования и решения задачи. На данном этапе исследования приняли участие 200 человек: учащиеся вторых классов школ г.Брянска. Метод исследования - анализ продуктов деятельности учащихся. На этом этапе выявлялись:

I. Умение строить модели по тексту задачи (умение воспроизводить содержание в схемах; умение переходить от одних средств изображения к другим; умение строить модели разных типов). Выявлены следующие трудности:

- Неадекватность использования знаково-символических средств, с точки зрения структуры построения модели, поскольку они не давали возможности дальнейшей работы с ними в силу их конкретности, большой степени детализации. Кроме того, наблюдались трудности в представлении знаками абстрактных понятий.

-Выделенные части задач в модели не везде соответствовали элементам задачи и их отношениям в тексте.

-Учащиеся, которые могли построить правильно модель к задачам, не всегда в дальнейшем могли построить модели других типов и не использовали модели при анализе и решении задач.

II. Умение решать задачи (умение выделять и анализировать структурные компоненты, подбирать способы решения задач, классифицировать задачи по способу решения, преобразовывать и составлять задачи). Выявленные трудности касались следующего:

-Выделения и анализа структурных компонентов задачи, соответствия хода решения и арифметических операций условию.

-Преобразования задач и нахождения различных способов решения с обоснованием оптимального, составления обратной задачи. -Классификации задач по способу решения, осознания общего подхода при анализе и решении задач.

-Подбора способов решения к задачам с нечётко выраженной структурой (наблюдалась стереотипность в подходе к анализу и решению задач), использование стереотипности в подходе к анализу и решению задач. -Составления и решения задач по знаково-символическим и математическим моделям (по графической модели, по выражению). -Решения задач, включающих несколько типов разных отношений.

В исследовании выделены уровни умения решать задачи и моделирования: высокий, средний, низкий.

В основу выделения уровней владения решением задач положено различие в степени освоенности компонентов, входящих в состав деятельности по решению задач:

низкий уровень - учащиеся выделяют структурные компоненты текста, составляют план решения и выполняют арифметические операции согласно условию для хорошо отработанных типов задач и под руководством учителя; средний уровень - учащиеся выделяют структурные компоненты текста, определяют ход решения и выполняют арифметические операции согласно условию для хорошо отработанных типов задач самостоятельно; могут преобразовывать и находить различные способы решения, составлять обратную задачу; решать задачи по знаково-символическим моделям; высокий уровень - учащиеся анализируют и выделяют структурные компоненты текста в задачах, включающих несколько типов разных отношений, преобразовывают и находят различные способы решения с обоснованием оптимального, составляют обратную задачу, классифицируют задачи по способу решения, осознают общий подход при решении; составляют и решают задачи по знаково-символическим и математическим моделям.

В основу выделения уровней овладения моделированием положено различие в степени освоенности компонентов, входящих в её состав, которые в целом совпадают с компонентами деятельности по решению задач: низкий уровень - учащиеся не владеют моделированием как способом решения задач, как универсальным учебным действием, выполняют отдельные действия; готовую модель - не используют для решения задачи; не видят отношений данных;

средний уровень - учащиеся выполняют часть действии и операции, входящих в структуру деятельности моделирования, т.е. переводят отдельные компоненты текста на язык символов, используя привычные способы построения моделей; при этом выбор и построение учебной модели происходит с помощью учителя, а самостоятельно только для простых или хорошо отработанных видов задач;

высокий уровень - учащиеся используют моделирование как способ, а модель как средство анализа и решения задач, т.е. переводят компоненты текста на язык символов и строят модели для разных типов задач, построение учебной модели, её преобразование происходит самостоятельно.

Отметим, что при первичной диагностике в контрольных и экспериментальных классах учащиеся имеют примерно одинаковый исходный уровень овладения умениями моделировать и умениями решать задачи (рис.1).

Ш низкии ■ средний □ высокий

мод-е реш.зад. мод-е реш.зад.

экспериментальные классы (ЮОчел.)

контрольные классы (ЮОчел.)

Рис. 1. Уровни овладения учащимися (2класс) учебным

моделированием и умением решать задачи (констатирующий этап)

Соотношение уровней владения моделированием и решения задач - 2класс (констатирующий этап).

Таблица 2

^Уротни Клас&ы^ III уровень (в.) II уровень (ср.) I уровень (н.)

Мод-е Реш.з. Мод-е Реш. з Мод-е Реш. з.

ЭК % 1 35 — -» 45 20— 25 45-«—- 30

кк % 35 35 15----► 25 50-«— 40

Констатирующий этап исследования показал, что при использовании моделирования как способа решения задач учащиеся контрольной и

экспериментальной групп в основном выполняли отдельные действия построения модели по заданному образцу и под руководством учителя; при оперировании моделью в большинстве случаев она выполняла иллюстративную функцию, модель не всегда выполняла функцию средства познания. В экспериментальных классах низкий уровень наблюдался у 45% учащихся по владению моделированием и по решению задач у 30%. В контрольных классах низкий уровень владения моделированием у 50% учащихся, по решению задач у 40% (табл.2).

Таким образом, школьники, показали на констатирующем этапе, в основной массе не владение моделированием как способом решения задач, а само решение задач также сформировано не у всех. Кроме того, в результате обследования были выявлены учащиеся, которые могли решать задачи, но не использовали моделирование, хотя могли построить модель(10% на высоком уровне и 5-10% на среднем уровне) и учащиеся, имеющие трудности при решении задач, могли построить схемы к некоторым задачам.

Второй параграф представляет собой описание программы формирующего экспериментального исследования, целью которой было организация деятельности учащихся по решению задач, которая бы переводила его в позицию субъекта собственной учебной деятельности.

В программу включены: характеристика принципов построения формирующей программы; программа формирования умения пользоваться моделями; программа формирования обобщённого умения решать задачи; этапы отработки данных умений с точки зрения деятельностного подхода. Программа включала два этапа формирования обобщенного способа решения задач в соответствии с выявленной структурой деятельности моделирования: подготовительный этап и основной. На каждом этапе использовались методические приёмы анализа, выбора, преобразования и конструирования через подбор математических заданий.

На подготовительном этапе главной задачей обучения было обеспечение необходимого уровня математического развития учащихся и создание условий для общего умственного развития. С одной стороны, эта задача реализовывалась на основе формирования умений, которые важны для овладения любыми знаниями, с другой - специфических умений конкретной (математической) области знаний. В соответствии с этим, на подготовительном этапе программа содержала в себе три составляющих: символическую пропедевтику, логическую пропедевтику и формирование начальных математических знаний. При формировании символического и логического компонентов предлагались задания, формирующие следующие умения: выделение объектов, их признаков и кодирование (декодирование) их; установление отношений между объектами и множествами объектов; решение задач на сохранение, сериацию, классификацию. Начальные математические представления или базовые математические операции связаны с пониманием количественных отношений и математических понятий. Базовыми операциями на данном этапе являются: взаимно - однозначное соотнесение, построение числового ряда, сравнение множеств, счёт (порядковый и количественный), выполнение арифметических действий.

На основном этапе стояла задача использования моделирования как способа, а модели как средства формирования обобщённого умения решать задачи. На этом этапе шло формирование действий, непосредственно относящихся к деятельности моделирования: предварительный анализ, перевод текста на знаково-символический язык, работа с моделью, соотнесение результатов. Для формирования и отработки каждого из этих действий (компонентов) предлагался ряд приемов со своим содержанием и типами заданий: выбора, преобразования, конструирования. Эти же приемы положены в основу обучения младших школьников умению анализировать и решать задачи, применяя модельный подход, т.к. данные этапы моделирования совпадают с этапами решения задач.

Программа формирования умения пользоваться моделями в каждом классе складывалась из двух основных направлений: формирования умения переводить отдельные элементы текста и их связи на знаково-символический язык; формирования умения декодировать информацию. Программа формирования умения анализировать и решать задачи на основе модельного подхода включала ряд частных умений в каждом классе. Знания и умения отрабатывались у учащихся по методике формирования умственных действий и понятий,

В третьем параграфе представлены результаты контрольного эксперимента (3 класс). После проведения формирующего эксперимента было осуществлено сравнение экспериментальной и контрольной групп по соотношению уровней владения учебным моделированием и решением задач (рис.2), рассмотрена динамика взаимосвязи сформированности этих уровней. Результаты исследования позволяют судить об эффективности построенной программы и значимости владения моделированием при формировании у младших школьников обобщённого умения решать задачи.

п

Р

о ц

е н т ы

ПЗ низкий ■ средний □ высокий

мод-е

реш.зад.

мод-е реш.зад.

экспериментальные классы (ЮОчел.)

контрольные классы (ЮОчел.)

Рис.2. Уровни овладения учащимися (Зкласс) учебным моделированием и умением решать задачи (контрольный этап)

Соотношение уровней владения моделированием и решения задач (Зкласс) (контрольный этап).

_Таблица 3

%Уровни Классик III уровень (в.) II уровень (ср.) I уровень (н.)

Мод-е Реш.з. Мод-е Реш. з Мод-е Реш. з.

ЭК % 65-« — 60 20----» 30 15-*---- 10

кк % 40-—» 41 25 25 35 34

Итоговая диагностика показала позитивные изменения в овладении учащимися умением решать задачи. Если в начале этапа преобладали низкие уровни владения моделированием и решения задач, то в конце обучения произошли качественные сдвиги в распределении младших школьников по уровням овладения моделированием и решения задач. В экспериментальных классах большинство учащихся достигли высокого уровня владения моделированием -65% и высокого уровня решения задач - 60%. Количество учащихся, повысивших свой уровень до высокого уровня, составило соответственно 30% и 15%. В контрольных классах высокого уровня владения моделированием достигли 40%, высокого уровня решения задач 41%, количество школьников, повысивших свой уровень, составило соответственно 5% и 6%.

При этом снова наблюдалось (как и в констатирующем эксперименте), что уровни умения моделировать и решать задачи у небольшой части учащихся продолжают не совпадать. При этом соотношение умений моделировать и решать задачи разное у учащихся разного уровня. У учащихся с высоким уровнем владения моделированием и решения задач в экспериментальных классах владение моделированием выше на 5%, со средним уровнем - уровень моделирования ниже на 10%, на низком уровне соотношение составляет 5%. На высоком уровне учащиеся допускали ошибки при определении порядка действия, процесс решения задачи не всегда выполнялся до конца, учащиеся самостоятельно строили модели для разных типов задач, но не всегда использовали их для дальнейшего исследования. У учащихся со средним уровнем в процессе решения использовались готовые модели; они могли построить модель, но не для всякой задачи; был автоматизирован навык перевода отдельных компонентов текста на знаково-символический язык; модели выступали знаковым изображением, не являясь средством дальнейшего исследования и поиска сущности, при решении выполнялись арифметические операции согласно условию для хорошо отработанных типов задач. У учащихся с низким уровнем модели выполняли иллюстративную функцию, готовую модель не использовали для решения задачи; не всегда могли перевести структурные компоненты текста на знаково-символический язык; не всегда выполняли решение, т.к. не сформирована система поиска решения.

В ходе анализа данных, приведенных в табл. 2, 3, была произведена статистическая обработка, а затем выдвигались и проверялись статистические

гипотезы. Расчеты проводились с применением программного обеспечения MS EXCEL и STATISTICA.

1. На первом этапе была проведена первичная статистическая обработка. Для количественной оценки результатов исследования уровням моделирования и решения задач «Высокий», «Средний», «Низкий» были присвоены численные значения по трехбалльной шкале, «5», «4», «3» соответственно. Такое соответствие основывается на общепринятой пятибалльной шкале школьных оценок и соображениях о том, что всем трем перечисленным уровням соответствовало, в принципе, успешное решение ставившихся задач, заслуживающее положительной оценки.

Для анализа были выделены, в общей сложности, N=8 выборок, для которых, по известным формулам математической статистики, определялись средние выборочные значения X и выборочные дисперсии 5?. Объем каждой выборки 77.=100. В табл. 4а собраны результаты первичной статистической обработки.

Таблица 4а

№ Группа Оцениваемый Момент X. S2

выборки показатель времени

1 эксперимент моделирование начало 3,90 0,413

2 эксперимент решение начало 4,15 0,736

3 эксперимент моделирование конец 4,50 0,745

4 эксперимент решение конец 4,50 0,455

5 контрольная моделирование начало 3,85 0,840

6 контрольная решение начало 3,95 0,760

7 контрольная моделирование конец 4,05 0,755

8 контрольная решение конец 4,07 0,753

Для проверки выдвигавшихся далее статистических гипотез предварительно было принято и подтверждено общее допущение о нормальном законе распределения внутри выборок.

2. Далее была выдвинута гипотеза о том, что предлагаемая в настоящей работе методика обучения дает значимые положительные результаты, причем отдельно проверялись гипотезы как для уровня моделирования, так и для уровня решения. Схема проверки соответствующих гипотез была принята следующая.

Все выборки были распределены на пары, состоящие из результатов на начало и конец периода эксперимента отдельно для моделирования и решения, экспериментальной и контрольной групп. Т.е. попарно сравнивались выборки с номерами 1 и 3, 2 и 4, 5 и 7, 6 и 8. Для каждой пары выборок предварительно по Р-критерию Фишера проверялась гипотеза об однородности дисперсий, а затем гипотеза о значимости различия средних значений - по критерию Стьюдента. Гипотеза об однородности дисперсий принималась при а гипотеза о

значимости разницы средних - при />/_,. Табличные значения критериев Фишера и Стьюдента принимались при уровне значимости а = о, 05и

19

соответствующем числе степеней свободы. В табл. 46 представлены результаты сопоставления выборок.

Таблица 46

Пара сравниваемых выборок Результат сравнения дисперсий Результат сравнения средних

1 иЗ 6,78 ; 1,57 неоднородны 7,5 ;1,96 разница значима

2 и4 1,62; 1,57 неоднородны 3,21; 1,96 разница значима

5 и 7 1,11 ; 1,57 однородны 1,77; 1,96 разница незначима

6 и 8 1,00; 1,57 однородны 1,12; 1,96 разница незначима

Результаты проверки гипотез, показанные в табл. 4а, 46, убедительно доказывают эффективность специального введения формирования моделирования для обучения решению задач. Разница между средними на начало и конец периода эксперимента оказалась статистически значима для экспериментальной группы, как для моделирования, так и для решения задач. В то же время в контрольной группе, несмотря на некоторое улучшение показателей к концу периода, что вызвано, видимо, общим повышением уровня школьников за время учебного года, разница средних все же статистически незначима.

Интересно также отметить, что по моделированию в экспериментальной группе в конце периода существенно повышалась дисперсия, в то время как по решению она также существенно сокращалась. Для контрольной группы этот эффект отсутствует, в ней дисперсии остаются примерно одинаковыми. Выявленная закономерность нуждается в дополнительном исследовании. Эти факты можно объяснить тем, что при формировании моделирования проявились большие индивидуальные различия в развитии символической функции, что обнаружилось в повышении дисперсии по моделированию в конце обучения. Поскольку уровни владения моделированием повысились у всех детей (хотя и по разному), это способствовало развитию умения решать задачи. Расхождения в уровнях решения задач и моделирования на начало обучения у некоторых учащихся можно объяснить тем, что они владели какими-то другими средствами решения задач.

3. Была выдвинута и проверена гипотеза о том, что между уровнем моделирования и уровнем решения задач существует взаимосвязь, и была проанализирована степень этой связи с помощью корреляционного анализа. Первичные данные были сгруппированы таким образом, чтобы можно было получить коэффициент корреляции между двумя вышеуказанными уровнями умений как двумя случайными величинами, т.е. объединялись все выборки, содержащие данные по моделированию и все выборки, содержащие данные по решению задач. Далее рассчитывался коэффициент корреляции.

В результате было получено значение коэффициента корреляции г=0,97, что говорит о наличии сильной, близкой к линейной, связи между уровнями моделирования и решения задач, т.е. чем выше уровень моделирования, тем выше уровень решения задач.

В то же время можно отметить, что все-таки не всегда умение моделировать позволяет на том же уровне решать задачи. Так, для экспериментальной группы на начало периода эксперимента разница между средними значениями соответствующих выборок оказалась при расчете по критерию Стьюдента и уровне значимости а =0,05 статистически значимой: г = 2,78; 1та6 = 1,96. Это свидетельствует о том, что не всегда те, кто хорошо решают задачи, хорошо моделируют.

_ев_бб_

□ низкий ■ высокий

□ конкретный ЕЭ обобщённый

ур.мод.,

у р.симв.

ур.мод.,

ур.симв.

экспериментальные классы

контрольные классы

Ш неправильно ■ правильно □ неадекватно И адекватно

ур.реш.,ур,адекв.

ур.реш.,ур.адекв.

экспериментальные классы

контрольные классы

Рис.З.Уровни овладения младшими школьниками моделированием, решением задач и уровнем символической функции (контрольный этап).

Произошли качественные сдвиги в уровнях овладения младшими школьниками символической функцией и уровнями моделирования и решения задач (рис.3). Высокий уровень моделирования в экспериментальном классе составляет 65%, уровень символизации (обобщённый) - 68%. В контрольном классе уровень моделирования составляет 40%, уровень символизации (обобщённый) - 34%. Учащиеся с низким уровнем моделирования и решения задач показали низкую степень адекватности моделей и символизации. В экспериментальном классе уровень решения задач, выполненных правильно,

составляет 90%, степень адекватности - 81%. В контрольном классе уровень решения задач составляет 66%, степень адекватности - 66,5%.. В целом результаты диагностики символической функции совпадают с результатами уровней моделирования и решения задач. Это позволяет констатировать, что учащиеся начальной школы, овладевая умением кодирования (декодирования) информации, умением пользоваться моделями, повышают тем самым свои возможности в усвоении математических знаний. В нашем случае можно сделать вывод, что умение строить модели и умение ими пользоваться является эффективным средством решения задач, а формирование деятельности моделирования существенно влияет на развитие символической функции.

Заключительная серия контрольного эксперимента проводилась в пятом и седьмом классах. Целью этого исследования являлась проверка обобщённости сформированного умения решать задачи, которая проверялась в переносе на задачи новых типов и более сложного уровня, кроме того, выявлялась устойчивость результатов, полученных в начальной школе, а также проводился анализ динамики достигнутых уровней развития умения решать задачи и моделирования. Анализ результатов в пятом классе показал, что количество решенных задач от общего числа предложенных в экспериментальной группе составил 55%, а в контрольной - 15%. В седьмом классе количество правильно решенных задач в экспериментальной группе составил 68%, а в контрольной - 10%. Уровень владения моделированием соответствовал уровню решения задач. Эти высокие показатели связаны с тем, что учащиеся экспериментальной группы в начальной школе достигли определённого уровня развития умения решать задачи на основе моделирования и знаково- символической деятельности, а в дальнейшие годы обучения продолжалась динамика развития этих умений.

Таким образом, результаты экспериментального исследования подтвердили выдвинутую гипотезу, что моделирование может выступать в качестве универсального способа формирования обобщённого умения решать задачи и уровень решения задач соответствует уровню владения моделированием. Поставленные на её основе задачи решены. В заключении отражены результаты, полученные в исследовании, и сделаны общие выводы:

1. Моделирование, являясь одним из видов знаково-символической деятельности, применяемого в обучении, может выступать способом исследования, познания и осмысления учебных фактов, увеличивающим возможности в усвоении математических знаний, и способом, повышающим общий уровень решения задач;

2. Обучение построению моделей и использованию их как средств при решении задач, начиная с начальной школы, позволяет изменить способ анализа задач у учащихся и существенно повысить успешность обучения;

3.На основе деятельностного подхода разработана система постепенно усложняющихся заданий, охватывающих состав деятельности моделирования, в основании которых используются методические приёмы выбора, преобразования, конструирования и моделей и текстовых задач.

4. Введение в процесс обучения решению задач этапов деятельности моделирования (анализ текста задач, перевод текста на язык моделей, работа с моделью, соотнесение результатов) позволило сформировать основные умения, составляющие обобщенный способ решения задач;

5. Осуществлённая нами программа педагогического эксперимента, включающая ряд взаимосвязанных этапов, подтвердила эффективность применения моделирования как способа формирующего обобщённое умение решать задачи при соблюдении определённых условий.

Основное содержание диссертации и результаты исследования отражены в следующих публикациях автора:

публикации в изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ:

1.Буренкова, Н.В. Общий подход в обучении решению текстовых задач /Н.В. Буренкова//Начальная школа плюс До и После. - 2007. - №10. - С.72-75. - ОД п.л.

Публикации в других изданиях:

2.Буренкова, Н.В. Моделирование как средство анализа и решения задач /Н.В.Буренкова //Деятелыюстный подход к построению процесса усвоения: Материалы научно - практической конференции. - Москва - Орёл, 2003. - С. 6. - 0,04 п.л.

3.Буренкова, Н.В. Использование метода моделирования анализа задач /Н.В. Буренкова //Актуальные проблемы современного образования: Материалы XII международной научно - практической конференции. — Брянск: Изд-во

Б ГПУ, 2005. - С.70 - 71. - 0,08 пл.

4.Буренкова, Н.В. Моделирование в обучении решению текстовых задач /Н.В. Буренкова //Детский сад - школа - вуз: проблемы и перспективы развития: Материалы III Межвузовской научно-практической конференции. -Брянск: Изд-во БГУ, 2005. - С.109-111.- 0,08 п.л.

5.Буренкова, Н.В. Как заинтересовать детей чтением? /Н.В. Буренкова //Брянская учительская газета. - 2005. - №43. - С.12. - 0,3 п.л.

6.Буренкова, Н.В. Использование метода моделирования при решении текстовых задач /Н.В. Буренкова //Славянские языки: системно-описательный и социокультурный аспекты исследования: Материалы международной научно-методической конференции. - Брест: Изд-во УО «БрГУ», 2005. - В 2ч. 4.2,С.187-190. - 0,1 п.л.

7.Буренкова, Н.В. Модель формирования у младших школьников навыка, связанного с грамматическими особенностями имени прилагательного /Н.В. Буренкова //Надзённыя праблемы лексшалогп i анамастыи славянсйх моу: Зборшк навуковых артыкулау. - Мазыр: УА «МДПУ», 2006. - С.245-247. -0,16п.л.

8.Буренкова, Н.В. Общий подход в обучении решению текстовых задач в начальный период обучения /Н.В. Буренкова //Машиностроение и техносфера XXI века. Сборник трудов XIII международной научно-технической

конференции. - Донецк: ДонНТУ, 2006. - В 5-и томах. Т. 1. - С. 179-183. - 0,16 п.л.

9.Буренкова, Н.В. Рассказ Ю.М. Нагибина «Зимний дуб» - образовательная среда для взрослого и ребёнка / Н.П. Шалатонова, Н.В. Буренкова //Начальная школа плюс До и После. - 2006. - №10. - С.45-49. - 0,2 п.л. (авт. вклад - 0,1 п.л.)

Ю.Буренкова, Н.В. Использование моделирования как средства обучения обобщённому способу решения задач /Н.В. Буренкова //Сборник научных статей Начальное образование XXI век. - Брянск: Изд-во БГУ, 2008. - С.7-8. -0,04 п.л.

Заказ № 125/04/09 Подписано в печать 22.04.2009 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 1,5

ООО "Цифровичок", тел. (495) 797-75-76; (495) 649-83-30 www.cfr.ru ; e-mail:info@cfr.ru

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Буренкова, Наталья Владимировна, 2009 год

Введение.

Глава 1. Теоретические основы моделирования.

§ 1.1.Сущность моделирования в философской и психолого-педагогической литературе.

1.1.1. Основные понятия «модель», «моделирование».

1.1.2. Характерные особенности учебных моделей и моделирования.

§1.2. Возможности использования моделирования в обучении.

1.2.1. Моделирование в содержании и построении учебной деятельности.

1.2.2. Использование моделирования при решении задач в существующей практике обучения.

1.2,З.Обзор методических подходов при формировании обобщённых умений и способов решения задач.

Глава 2. Программа обучения младших школьников обобщённому умению решать задачи на основе моделирования.

§2.1. Опыт использования знаково-символических средств при обучении решению задач в психолого-педагогической литературе.

§2.2,Основные принципы формирующей программы.

§2.3.Содержание и организация деятельности на подготовительном этапе.

§2.4.Содержание и организация деятельности на основном этапе.

Глава 3. Процесс обучения младших школьников умению решать задачи на основе моделирования.

§3.1. Констатирующий эксперимент и его результаты.

§3.2. Ход и результаты формирующего эксперимента.

§3.3. Результаты контрольного эксперимента.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Моделирование как способ формирования обобщённого умения решать задачи"

Актуальность исследования. Проблема моделирования в обучении младших школьников умению решать задачи всегда вызывала интерес, как в педагогике, так и в психологии. Именно оно многими рассматривается как важнейшее среди тех, которыми должны владеть учащиеся в средней школе. Это связано с возрастанием роли теоретических знаний в науке, что вызывает необходимость повышения теоретического уровня знаний, формируемых на разных этапах обучения. Из анализа литературы следует, что одним из путей формирования теоретических знаний является моделирование, использование моделей, которые выступают как «абстракции особого рода» (В.В .Давыдов), позволяющие выявить внутренние связи и , отношения объектов. Проведено большое количество исследований, посвященных проблемам моделирования, раскрывающих применение моделей и методов моделирования в отдельных науках: философии, психологии, педагогике. В философии средства познания рассматриваются с точки зрения их места, функций в процессе познания (Б.С.Грязнов, Б.С.Дынин, И.Б. Новик, В.А.Штофф и др.). В психолого-педагогических исследованиях решение этой проблемы определяется психологической теорией учения (П.Я. Гальперин, В.В.Давыдов, Д.Пойа, Н.Ф.Талызина, Л.М.Фридман). В психологии придается исключительное значение освоению знаковых систем в психическом развитии ребенка. JI.C. Выготский, А.Р. Лурия и др. писали об особенностях психического развития человека: «подобно тому, как в процессе исторического развития человек изменяет не свои естественные органы, а орудия, в процессе своего психического развития человек совершенствует работу своего интеллекта главным образом за счет развития особых технических вспомогательных средств мышления и поведения». Психическое развитие человека осуществляется через усвоение предшествующего опыта, культуры, включающей, в том числе, и различные знаково — символические системы. Несмотря на то, что моделирование используется в учебно-познавательном процессе современной начальной школы (учебники И.И.Аргинской, Э.А.Александровой, Т.Е.Демидовой, Н.Б.Истоминой, Г.Г.Микулиной, Л.Г.Петерсон и др.), в методических пособиях для начальной школы проблема обучения моделированию не нашла должного отражения. В системе Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова моделирование выделено в качестве учебного действия, входящего в состав учебной деятельности, которое должно быть сформировано к концу начальной школы. Анализ моделирования и его роль в развитии исследуется в теории поэтапного формирования умственных действий (П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина), теории учебной деятельности (Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов, И.И.Ильясов), проведены экспериментальные исследования на языковом и математическом материалах в начальных классах школы (Л.И.Айдарова, И.А.Володарская, Н.Г.Салмина, Л.М.Фридман, и др.). Вместе с тем специальных программ по формированию моделирования, как и экспериментальных исследований, показывающих роль моделирования в процессе обучения решению задач, недостаточно. Всё это выступило основанием для постановки исследования о роли моделирования при решении задач.

В условиях образования, ориентированного на развитие теоретического мышления у младших школьников, особое значение в обучении и, прежде всего, при решении задач, приобретает овладение действием моделирования, поскольку, как показали исследования В.В.Давыдова, оно способствует формированию обобщённых знаний. Это определяет и основные пути организации деятельности учащихся, направленных на развитие мышления в процессе анализа задачи и поиска плана решения на основе моделирования, формирование необходимых для осуществления этого умений и способов действий. Моделирование в данной работе рассматривается не только как способ формирования обобщённого умения решать задачи, но и как одна из целей обучения математике. Объект исследования - процесс обучения младших школьников умению решать задачи.

Предмет исследования - моделирование как способ формирования у младших школьников обобщённого умения решать задачи. Цель исследования - разработать способы и средства формирования обобщённого умения решать задачи на основе моделирования. Замысел и организация исследования предполагали проверку следующей гипотезы: при определённых условиях организации учебной деятельности моделирование может выступать в качестве универсального способа формирования обобщённого умения решать задачи. Задачи исследования:

1.Анализ проблемы обучения младших школьников умению решать задачи на основе моделирования в психолого-педагогической литературе.

2.Выявление возможностей моделирования в обучении.

3.Определение содержания действия моделирования в структуре общего метода решения задач.

4.Разработка программы по формированию у младших школьников обобщённого умения решать задачи на основе моделирования, экспериментальная проверка её эффективности. Методологической основой исследования является:

- современные представления об общих методах познания и их применении в практике обучения (В.А.Штофф, И.Б.Новик, В.В.Давыдов);

- теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина);

Для поставленных задач использовался комплекс методов исследования: теоретический анализ философской, психолого-педагогической, методической литературы; экспериментальные методы (психолого-педагогический эксперимент); методы изучения продуктов деятельности; методы статистической обработки данных.

Опытно-экспериментальная база. Экспериментальная работа проводилась на базе МОУ «Гимназия №2», МОУ «СОШ №55», МОУ «СОШ №63» г. Брянска. В эксперименте участвовало 200 учащихся.

Работа выполнялась в три этапа.

Первый этап (1998 - 1999г.) Анализ современного состояния проблемы моделирования в теории и практике с целью конкретизации задач исследования.

Второй этап (2000 - 2001г.) Разработка комплексной программы исследования.

Третий этап (2001 - 2008г.) Проведение констатирующего, формирующего и контрольного экспериментов. Новизна исследования:

-Исходя из структуры учебного моделирования (анализ текста задач, перевод текста на язык моделей, работа с моделью, соотнесение результатов) и типов трудностей учащихся при решении задач было определено содержание обобщённого умения решать задачи, в которое включены следующие действия, выступившие в качестве показателей сформированности этого умения: анализ структурных компонентов задач, осознание общих принципов при анализе и решении; решение задач с разными типами текстов; преобразование и нахождение различных способов решения с обоснованием оптимального, их классификация; составление и решение задач по знаково-символическим и математическим моделям (по графической модели, по выражению).

-Показано, что уже у младших школьников можно сформировать обобщённое умение решать задачи (по выделенным показателям). -Выявлена связь уровня сформированности учебного моделирования и общего умения решать задачи. Теоретическое значение исследования.

Проведенное исследование позволяет конкретизировать представления о моделировании как универсальном учебном действии, выступающем в качестве способа обучения решению задачи.

Содержащиеся в исследовании данные, теоретические положения и выводы расширяют имеющиеся представления о решении задач на основе моделирования, дают возможность выделить основные этапы и средства его формирования.

Практическое значение работы. Разработанная система обучающих заданий, направленных на формирование анализа, сравнения, выбора, преобразования, конструирования моделей и реализующих комплекс методических приемов, способствует формированию умения решать текстовые задачи обобщенным способом. Разработанная в диссертации программа и методические рекомендации по её реализации могут быть использованы в системе повышения квалификации педагогов, в практике работы учителей.

Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов и выводов обеспечиваются опорой на фундаментальные психологические исследования закономерностей и условий психического развития; применением комплекса методов, соответствующих цели, объекту, предмету, задачам, гипотезе исследования; проведением экспериментальной проверки разработанной методики. Положения, выносимые на защиту.

1.Учащиеся младшего школьного возраста могут овладеть обобщенным умением решать задачи, показателями которого являются: -умение проводить анализ и выделять структурные компоненты задач, решать задачи при соответствии хода решения и арифметических операций условию;

-умение преобразовывать задачи и находить различные способы решения с обоснованием оптимального;

-проводить классификацию задач по способу решения, осознавать общий подход при анализе и решении задач;

-уметь подбирать способы решения к задачам с нечётко выраженной структурой, включающих несколько типов разных отношений; -уметь составлять и решать задачи по знаково-символическим и математическим моделям (по графической модели, по выражению).

В роли способа формирования этого умения выступает моделирование как универсальное учебное действие, так как анализ структуры умения решать задачи и моделирования показал, что есть общие компоненты в деятельности решения задач и моделирования, что делает целесообразным параллельное формирование обоих умений.

2.Выявлена взаимосвязь между уровнем сформированности учебного моделирования и общим умением решать задачи: чем выше уровень моделирования, тем выше уровень решения задач. Однако степень умения моделировать не является безусловным фактором умения решать задачи.

В ходе исследования выявлены данные, позволяющие судить о несовпадении взаимосвязи (5 - 10%) между уровнем учебного моделирования и уровнем решения задач.

3.Разработана программа по формированию обобщённого умения решать задача, включающая предметно-специфическую, логическую, символическую пропедевтику, направленную на формирование обобщённых умений, необходимых не только для анализа и решения задач, построения моделей, усвоения математики, но и для изучения других учебных предметов;

Разработаны методические рекомендации к обучению, в основании которых -приёмы выбора, конструирования, преобразования моделей. Апробация и внедрение результатов исследования.

Основные положения и материалы исследования апробировались в работе отдельных школ г. Брянска (2000 - 2005г.г.), в работе на дневном и заочном отделениях социально-педагогического факультета Брянского государственного университета, в публикациях тезисов докладов и статей по теме исследования, на межвузовских и международных научно-практических конференциях г.Брянск, г.Орёл, г.Мозырь, г.Брест, г.Донецк. Структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Заключение диссертации научная статья по теме "Общая педагогика, история педагогики и образования"

Результаты работы второй серии контрольного эксперимента представлены в таблице 16

Заключение.

В диссертационном исследовании разработан один из путей формирования обобщенного способа решения задач при помощи моделирования. Данный подход к решению задачи, при котором процесс решения выступает как объект исследования, позволил предположить, что применение и использование в процессе решения текстовых задач моделирования позволит сформировать у младших школьников умение решать задачи обобщенным способом.

Целью исследования явилось рассмотрение приемов и системы заданий, обучающих младших школьников обобщённому умению решать задачи, используя модельный подход. Для достижения поставленной цели исследования были решены следующие задачи:

- раскрыто содержание учебного действия моделирования в структуре общего метода анализа задачи;

- выделены основные этапы деятельности моделирования, положенные в основу построения программы обучения младших школьников обобщенному умению решать задачи;

- обоснована необходимость использования моделирования как способа, а модели как средства обучения младших школьников решению задач;

- определены умения, необходимые для осуществления процесса решения задач.

Разработана методика обучения обобщенному умению решать задачи на основе модельного подхода в рамках теории поэтапного формирования умственных действий. Данная методика реализована в системе учебных заданий, направленных на формирование предметно-специфических знаний, связанных со структурой деятельности решения задач и модельных умений: умения переводить существенные признаки, свойства и отношения на знаково-символический язык; умения моделировать заданные ситуации с помощью различных видов моделей (предметных рисунков, условных рисунков, чертежей, схематических чертежей, схем, таблиц); умения преобразовывать модели заданного вида в модели другой конструкции; умения читать схемы, структурируя изображения и переводя его на другой язык; умения обобщать. Формирование данных умений происходит в процессе усвоения математических понятий и усвоения принципов знаково-символических средств: адекватности, автономности, обобщённости, изоморфизма, структурности. Эти принципы определяют основные линии работы, которые нужно проводить с целью формирования у учащихся умения переводить текст на знаково-символический язык:

- формирование умения переводить отдельные элементы текста и их связи на знаково-символический язык;

- формирование умения читать схемы.

Учебное моделирование играет важную роль в формировании умения решать задачи. Это можно объяснить тем, что модели:

-наглядно отображают каждый элемент отношения, что позволяет им оставаться простыми при любых преобразованиях данного отношения; -позволяют увидеть существенное в тексте в «чистом» виде, без отвлечения на частные конкретные характеристики (числовые значения величин, яркие изображения и др.);

-обладают свойствами предметной наглядности, конкретизируют абстрактные отношения, что нельзя увидеть, например, выполнив краткую запись задачи;

Процесс целенаправленного обучения моделированию должен осуществляться постепенно, отражая переход от конкретного к абстрактному.

В процессе формирования обобщённого умения решать задачи с применением модельного подхода необходимо ориентироваться на выделение подготовительного (пропедевтика) и основного этапов, при этом к осознанию деятельности по решению задач учащиеся приступают после того, как у них будут сформированы необходимые символические, логические, математические понятия и представления. Большое значение для усвоения общего приема анализа и решения задачи имеет модель, которая моделирует и учит понимать отношения между объектами (явлениями), являясь средством установления зависимостей и связей между ними, помогает легко составить план решения и выбрать наиболее рациональный путь его реализации. Не имеет значения, вещественные или графические объекты используются для перевода реальности или текста, главное — чтобы объект действия позволил раскрыть и зафиксировать процесс преобразования, ведущий к результату. Зачастую сам по себе перевод текста на знаково— символический язык делает обозримыми связи и отношения, скрытые в тексте, тем самым перевод становится средством решения. Обобщенный способ решения задач зависит от сформированности моделирования как средства выделения и отображения в модели структуры задачи и отношений между данными. В результате исследования модели, ее конструирования и преобразования учащиеся получают новую «скрытую» информацию об условии задачи. Роль и место модели в процессе решения задач подтверждает необходимость использования модели как средства выделения и отображения структуры задачи и отношений между данными, а в целом — как средства решения задач обобщённым способом.

Наша гипотеза о возможности сформировать общее умение решать задачи на основе моделирования подтвердилась. В исследовании представлены основные результаты экспериментальной проверки способов организации деятельности учащихся, направленных на овладение умениями, составляющими обобщенный способ решения задач на основе моделирования. Выявлена взаимосвязь между уровнем овладения учебным моделированием и общим умением решать задачи: чем выше уровень моделирования у учащихся, тем выше уровень решения задач. Это свидетельствует об эффективности предложенного варианта методики.

При этом необходимо отметить, что степень умения моделировать не является определяющим и безусловным фактором умения решать задачи. В ходе исследования выявлены данные, позволяющие судить о несовпадении взаимосвязи (5-10%) между уровнем владения учебным моделированием и умением решать задачи.

В процессе экспериментально-опытного исследования было обнаружено, что эффективность работы по формированию обобщенного способа решения задач на основе моделирования зависит от готовности к данной работе самого учителя, от его дидактического инструментария, профессиональной и психологической подготовки. Данная работа призвана помочь учителю в решении возникших проблем.

Итак, при специальной организации учебного процесса моделирование может стать для учащихся действенным способом, а модель средством решения задачи. Кроме того, данное действие способствует развитию умения рассуждать, учит последовательно и аргументировано излагать свои мысли, является важным средством развития теоретического мышления младших школьников. В исследовании мы попытались обосновать процесс обучения младших школьников решению задач как процесс творческий, требующий учета возрастных особенностей и уровня подготовки к обучению на модельной основе.

Проведенное исследование не является исчерпывающим в отношении формирования обобщенного умения решать задачи на основе моделирования, многие вопросы требуют дальнейшей разработки и уточнения. Однако даже в предъявленном виде опыт и результаты настоящей работы могут быть использованы для решения сходных проблем.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Буренкова, Наталья Владимировна, Москва

1. Айдарова Л.И. Психологические проблемы обучения младших школьников русскому языку. - М.: Педагогика, 1987. - 144с.

2. Аргинская И.И., Вороницына Е.В. Материалы курса «Особенности обучения младших школьников математике»: лекции 1-4. -М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 48с.

3. Аргинская И.И., Бененсон Е.П., Итина Л.С. Математика: Учебник для 1-го класса. В 4-х частях изд-е 3-е испр. и доп.- Самара: Корпорация «Фёдоров», Изд-во «Учебная лит-ра», 2005. 4.1,3,4 - 64с.; 4.2 - 48с.

4. Аргинская И.И., Ивановская Е.И. Математика: Учебник для 2-го класса -2-е изд. испр. и дополн. Самара: Корпорация «Фёдоров», Изд-во «Учебная лит-ра», 2003. - 192с.

5. Аргинская И.И., Ивановская Е.И. Математика: Учебник для 3 класса четырёхлетней начальной школы. Самара: Корпорация «Фёдоров», Изд-во «Учебная лит-ра», 2003. - 192с.

6. Аргинская И.И., Ивановская Е.И. Математика: Учебник для 4 класса начальной школы. — Самара: Корпорация «Фёдоров», Изд-во «Учебная лит-ра», 2003. — 192с.

7. Артёмов А.К. Обучение математике во втором классе. Программа развивающего обучения: Пособие для учителей. Пенза, 1996. - 115с.

8. Артёмов А.К. Теоретико- методические особенности поиска способов решения математических задач//Начальная школа. 1998. - №11,12. -С.43-53.

9. Архангельский С.И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы. — М.: Высшая школа, 1980. 368с.

10. Балл Г.А. Теория учебных задач: Психолого педагогический аспект. -М.: Педагогика, 1990. - 183с.

11. П.Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. М.: Просвещение, 1984. - 320с.

12. Белошистая А.В. Моделирование как основа курса «Математика и конструирование» в начальных классах. Дисс. канд. пед. наук. М.: 1992.

13. Большая Советская Энциклопедия в ЗОт./Гл. ред. A.M. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1974. Т.9. - 624с.

14. Большая Советская Энциклопедия в ЗОт./Гл. ред. A.M. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1974. Т. 16. - 616с.

15. Бородулько М.А., Стойлова Л.П. Обучение решению задач и моделирование//Начальная школа. 1996. - №8. - С.26-31.

16. Брушлинский А.В. Психология мышления и кибернетика. М.: Мысль, 1970.- 189с.

17. Верньё Ж. Ребёнок, математика и реальность. Проблемы преподавания математики в начальной школе. Пер. с франц. Е.С. Самойленко, А.П. Тарасова М.: Институт психологии РАН, 1998. -288с.

18. Володарская И., Салмина Н. Моделирование и его роль в решении задач//Первое сентября. Математика (учеб.- мет. газета). 2006. - №18.- С.2-7.

19. Володарская И., Салмина Н. Общий приём решения математических задач//Первое сентября. Математика (учеб.- мет. газета). 2005. - №23.- С.12-14.

20. Воронцов А.Б. Педагогическая технология контроля и оценки учебной деятельности. М.: Издатель Рассказов А.И., 2002. - 303с.

21. Гальперин П.Я. Введение в психологию: Учебное пособие для вузов.- М.: Книжный дом «Университет», 2002. 336с.

22. Гальперин П.Я., Данилова B.JI. Воспитание систематического мышления в процессе решения малых творческих задач//Вопросы психологии.- 1980.- №1. С. 31 - 38.

23. Гастев Ю.А. Содержательная и формальная математика. В кн.: О некоторых проблемах современной математики и кибернетики. М.: Просвещение, 1965. - 240с.

24. Глотова Г.А. Виды знаково — символической деятельности и их становление у ребёнка.: Автореф. дисс. канд. псих. наук. — М.: 1983. — 23с.

25. Глушков В.М. Кибернетика. Вопросы теории и практики. — М.: Наука, 1986.-477с.

26. Давыдов В.В. Варданян А.У. Учебная деятельность и моделирование. -Ереван: «Луйс», 1981.-220с.

27. Давыдов В.В. и др. Концепция российского начального образования (система Д.Б. Эльконина В.В. Давыдова). - М., 2002. - 80с.

28. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования. -М.: Педагогика, 1986. 240с.

29. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: ИНТОР,1996. -544с.

30. Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В., Табачникова Н.Л. Обучение математике, Зкласс 2-ое полугодие: Методическое пособие для учителей. М.:ИНТОР, 1996. - 144с.

31. Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В. Обучение математике. 1 класс: Методическое пособие для учителей трёхлетней начальной школы. -М.: МИРОС, Скрин, 1995. 192с.

32. Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В. Обучение математике. 2класс: Методическое пособие для учителей трёхлетней начальной школы. М.: МИРОС, 1995. - 224с.

33. Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В., Табачникова Н.Л. Обучение математике, Зкласс 1-ое полугодие: Методическое пособие для учителей. М.: ИНТОР, 1996. — 96с.

34. Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В., Табачникова H.JI. Математика, 3 класс 1-ое полугодие: учебник -тетрадь для учеников трёхлетней нач. школы. М.: ИНТОР, 1996. — 124с.

35. Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В., Табачникова H.JI. Математика, 3 класс 2-ое полугодие: учебник -тетрадь для учеников трёхлетней нач. школы. М.: ИНТОР, 1996. 160с.

36. Давыдов В.В., Савельева О.В., Микулина Г.Г., Горбов С.Ф. Математика. 1-й класс: Учебник — тетрадь для первоклассников. М.: МИРОС, 1995.-224с.: ил.

37. Давыдов В.В., Савельева О.В., Микулина Г.Г., Горбов С.Ф. Математика.2-й класс: Учебн. — тетрадь, 2класс. М.: МИРОС, 1995. — 256с.

38. Демидова Т.Е., Тонких А.П. Текстовые задачи и методы их решения. М.: Издательство МГУ, 1999. 262с.

39. Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. Моя математика.2-й класс: Методические рекомендации для учителя. М.: Баласс, Изд. Дом РАО, 2005. - 96с. (Образовательная система «Школа 2100»),

40. Епишева О.Б. Деятельностный подход как теоретическая основа проектирования методической системы обучения математике. Дисс.д -ра пед. наук. М.: 1999. - 460с.

41. Загородных К.А. Возможности использования графов при обучении в начальной школе//Начальная школа. 2004. - №11. - С.87.

42. Зак А.З. Как развивать творческое мышление у детей 5-6 лет. Серия: Выпуск 15. М.: Фолиум, 1994. - 56с.

43. Зак А.З. Развитие теоретического мышления у младших школьников. М.: Педагогика, 1984. - 152с.

44. Ильясов И.И. Структура процесса учения. М.: Изд-во МГУ, 1986. -198с.

45. Истомина Н.Б. и др. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов/Н.Б. Истомина, Л.Г. Латохина, Г.Г. Шмырёва. М.: Просвещение, 1986.- 176с.

46. Истомина Н.Б. Первые шаги в формировании умения решать задачи/УНачальная школа. -1981.-№11.- С.40 43.

47. Истомина Н.Б., Шикова Р.Н. Формирование умения решать задачи различными способами//Начальная школа. — 1985. №9. - С.50 — 54.

48. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1963. — 571с.

49. Каменская И.В. Профессиональная направленность подготовки учителей математики к обучению учащихся методу математического моделирования. Дисс. канд. пед. наук. Калуга, 2001. 195с.

50. Каптерев П.Ф. Избранные педагогические сочинения./Под ред. A.M. Арсеньева. М.: Педагогика, 1982. 704с.

51. Карпенко А.В. Обучение младших школьников моделированию как способу учебно-познавательной деятельности. Дисс. канд. пед. наук. Брянск: 2006. 245с.

52. Клаус Г. Кибернетика и философия. Перевод с нем. И.С. Добронравова, А.П. Куприяна, Л.А. Лейтес. — М.: Изд. иностр. лит., 1963.-531с.

53. Колмогоров А.Н. Величина. Математическая Энциклопедия./Под ред. И.М. Виноградова. -М.: Советская энциклопедия, 1977. Т.1. 1152стб.

54. Колмогорова Л.С. Особенности формирования действия при разных видах его материализации. Дисс. канд. пед. наук. М.: 1980. — 157с.

55. Кыверялг А.А. Методы исследования в профессиональной педагогике. Таллин: Валгус, 1980. - 334с.

56. Левенберг Л.Ш. Рисунки, схемы и чертежи в начальном курсе математики./Под ред. М.И. Моро. М.: Просвещение, 1978. - 126с.

57. Левенберг Л.Ш., Ибрагимов Р. Активизация познавательной деятельности младших школьников (на материале математики). -Ташкент: Фан, 1991. 113с.

58. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. 2-е изд. — М.: Политиздат, 1977. — 304с.

59. Леонтьев А.Н. Избранные психологические произведения. В 2-х т./Под ред. В.В. Давыдова и др. М.: Педагогика, 1983. Т.1. - 392с.

60. Лукашевич В.К. Модели и метод моделирования в человеческой деятельности. Минск: Наука и техника, 1983. - 120с.

61. Лурия А.Р. Цветкова Л.С. Нейропсихологический анализ решения задач. Нарушение процесса решения задач при локальных поражениях мозга. — М.: Просвещение, 1966. 291с.

62. Малыхина В.В. Методика формирования у младших школьников умения решать текстовые задачи в системе развивающего обучения. Дисс. канд. пед. наук. М.: 1996. — 140с.

63. Моделирование и познание./Под ред. В.А. Штоффа. — Минск: Наука и техника, 1974.— 211с.

64. Моделирование как метод научного исследования/Б.А. Глинский, Б.С. Грязнов, Б.С. Дынин, Е.П. Никитин. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1965.-248с.

65. Моро М.И., Пышкало A.M. Методика обучения математике в 1-3 классах: Пособие для учителя. 2-е изд. М.: Просвещение, 1978. -336с.

66. Морозов К.Е. Математическое моделирование в научном познании. -М.: Мысль, 1969.-212с.

67. Муртазина Н.А. Схематические модели как средство обучения младших школьников решению задач различными способами. Дисс. канд. пед. наук.- М.: 2001. 168с.

68. Новик И.Б. О моделировании сложных систем. М.: Мысль, 1965.-236с.

69. Образовательная система «Школа 2100». Сборник программ. Дошкольная подготовка. Начальная школа. Основная и старшая школа/ Под научной редакцией А.А.Леонтьева. — М.: Баласс, Изд. Дом РАО, 2004. 528с.

70. Общая психология. Учебное пособие для студентов пед. инст./Под ред. В.В. Богословского, А.А. Степанова, А.Д. Виноградовой и др. 3-е изд. М.: Просвещение, 1981. - 383с.

71. Орлов Ю.М. Средства обучения. М.: Импринт - Гольфстрим, 1997.24с.

72. Папи А., Папи Ж. Дети и графы. М.: Педагогика, 1974. - 180с.

73. Педагогика. Учебное пособие для студентов/Под. ред.

74. П.И.Пидкасистого. М.: Педагогическое общество России, 1998. - 640с.

75. Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс. В 3-х частях. М.: «Баласс», «Синфо», 2001. -4.1 80с., 4.2,3 - 112с.

76. Пойа Д. Как решать задачу. Пособие для учителей. Перев. с англ.

77. В.Г. Звонарёвой, Д.Н. Белла/ Под ред. Ю.М. Гайдука. Изд.-е 2-е. М.:1. Учпедгиз, 1961. 207с.

78. Проблемы методологии и социального познания. Межвузовский сборник./Под ред. В.А. Штоффа. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1985.- 180с.

79. Программы общеобразовательных учреждений. Начальные классы (1 -3).М.: Просвещение, 1998. 346с.

80. Программы общеобразовательных учреждений. Начальные классы (15) по сист. Д.Б. Эльконина В.В. Давыдова. - М.: Просвещение, 1996. -144с.

81. Психологический словарь./ Под ред. В.В. Давыдова, А.В. Запорожца, Б.Ф. Ломова и др.; НИИ ОПП АПН СССР М.: Педагогика, 1983. -447с.

82. Пчёлко А.С. Методика преподавания арифметики в начальной школе. Пособие для учителей. Изд-во 5-е. М.: Учпедгиз, 1953.- 392с.

83. Российская педагогическая энциклопедия: В 2-х томах./Под ред. В.В.Давыдова. М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. - 672с.

84. Рубинштейн C.JI. Бытие и сознание. О месте психического во всеобщей взаимосвязи явлений материального мира. М.: Изд-во Акад. Наук СССР, 1957.-328с.

85. Рубинштейн С .Я. Методика экспериментальной патопсихологии. Методическое пособие. М., 1962. 80с

86. Салмина Н.Г. Виды и функции материализации в обучении. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. - 136с.

87. Салмина Н.Г. Знак и символ в обучении. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.-288с.

88. Салмина Н.Г. Структура, функции, формирование знаково — символической деятельности: Автореф. дисс. д-ра психол. наук. — Изд-во Моск. ун-та, 1988. 32с.

89. Салмина Н.Г., Колмогорова JI.C. Усвоение начальных математических понятий при разных видах материализации объектов и орудий действия//Вопросы психологии. 1980. - №1.- С.47-56.

90. Салмина Н.Г., Сильнова О.В., Филимонова О.Г. Путешествие в мир знаков. Учебник-тетрадь для 1 класса. М.: АРКТИ, 1999. - 104с.

91. Салмина Н.Г., Сохина В.П. Обучение математике в начальной школе (на основе экспериментальной программы)/Под ред. П.Я. Гальперина. -М.: Педагогика, 1975. 184с.

92. Салмина Н.Г., Сохина В.П. Обучение общему подходу к решению задач/В помощь учителю. — С. 151 -155.

93. Салмина Н.Г., Филимонова О.Г. Диагностика и коррекция готовности детей к изучению математики в начальной школе: Методическое пособие. М.: АНО Центр «Развивающее образование», 2001. - 44с.+ прил.- е 22с.

94. Салмина Н.Г., Фореро Навас И. Математика. Методическое пособие для учителей./Под ред. Н.Ф. Талызиной. М.: Изд-во «Дидакт», 1994. - 128с.

95. Средства обучения математике: Сб. статей/ Сост. A.M. Пышкало. М.: Просвещение, 1980.—208с.

96. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студентов высших пед-ких учебных заведений. М.: Изд. центр «Академия», 1999. —424с.

97. Стойлова Л.П., Пышкало A.M. Основы начального курса математики. -М.: Просвещение, 1988. 319с.

98. Сурикова С.В., Анисимова М.В. Использование графовых моделей при решении задач//Начальная школа. 2000. - №4. - С.56 - 63.

99. Таварткиладзе Р.К., Виленкин Н.Я. О путях совершенствования содержания и преподавания школьного курса математики. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1985. - 356с.

100. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология: Учеб. для студ. сред. пед. учеб. заведений. М.: Издательский центр «Академия», 2001. - 288с.

101. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. 343с.

102. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1988. — 175с.

103. Теории учения. Хрестоматия. Часть I. Отечественные теории учения/Под ред. Н.Ф. Талызиной, И.А.Володарской. — М.: Редакционно-издательский центр «Помощь», 1996.- 139с.

104. Тоненкова М.М. Графы и диаграммы Венна как средство повышения математической культуры учащихся I III классов.: Автореф. дисс. канд. пед. наук. -М.: 1967. - 18с.

105. Тридчикова Л.А. Активизация познавательной деятельности учащихся при работе над простой задачей//Начальная школа. — 1995. -№10. С.24-29

106. Трубников Н.Н. О категориях «цель», «средство», «результат». -М.: Высшая школа, 1968. 146с.

107. Турчин А.С. Моделирование как условие формирования теоретического мышления. Дисс. канд. психол. наук. — М.: 1986. —207с.

108. Уемов А.И. Логические основы метода моделирования. М.: Мысль, 1971.-311с.

109. Усвоение научных понятий в школе/Г. А. Буткин, И. А. Володарская, Н.Ф. Талызина. — М.: Полиграф сервис, 1999. 112с.

110. Философский энциклопедический словарь. М.:ИНФРА-М, 2002.-576с.

111. Фонин Д.С., Целищева И.И. Моделирование как важное средство обучения решению задач//Начальная школа. 1990. - №3. - С.33-37.

112. Формирование приёмов математического мышления./Под ред. Н.Ф. Талызиной. М.: ТОО «Вентана - Граф», 1995. - 230с.

113. Фридман Л.М. Волков К.Н. Психологическая наука учителю. -М.: Просвещение, 1985. - 224с.

114. Фридман Л.М. Дидактические основы применения задач в обучении.: Автореф. дисс. д-ра пед. наук.- Изд-во Моск. Унив., 1971. -54с.

115. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977. - 208с.

116. Фридман Л.М. Наглядность и моделирование в обучении. М.: Знание №6, 1984.-80с.

117. Фридман Л.М. Психолого педагогические основы обучения математике в школе. - М.: Просвещение, 1983. — 160с.

118. Фридман Л.М. Содержание, система и место задач в школьном курсе арифметики. Автореф. дисс. канд. пед. наук. Красноярск, 1953. -15с.

119. Фридман JI.M. Сюжетные задачи по математике: История, теория, методика: Учебное пособие для учителей и студентов пед. вузов и колледжей. М.: Школьная Пресса, 2002. - 204с.

120. Фридман JI.M. Теоретические основы методики обучения математике. М.: Моск. псих.- соц. инст-т: Флинта, 1998. - 216с.

121. Фридман JI.M., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. -М.: Просвещение, 1984. 175с.

122. Херсонский Б.Г. Метод пиктограмм в психодиагностике психических заболеваний. Киев: Здоровья, 1988. 104с.

123. Царёва С.Е. Формирование учебной деятельности младших школьников при обучении решению текстовых задач. Дисс. канд. пед. наук. — М.: 1985.- 174с.

124. Чилингирова JL, Спиридонова Б. Играя, учимся математике: Пособие для учителя: пер. с болг. М.: Просвещение, 1993. - 191с.

125. Штофф В.А. Гносеологические проблемы моделирования. JL: Изд-во Ленинградского ун-та, 1964. - 142с.

126. Штофф В.А. Моделирование и философия. М.: Наука, 1966. -301с.

127. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Теория и методика обучения математике в начальной школе. М.: Педагогика, 1988. - 204с.

128. Якиманская И.С. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979.- 144с.

129. Hesse, Mary Brenda. Models and analogies in science. By Mary B. Hesse. London New York, Sheed and Ward. - 1963. - 150p.

130. Teaching primary school mathematics/Desmond Broomes, Glenroy Cumberbatch, Agatha James, Osmond Petty. Kingston: Ian Randle publ: UNESCO, 1995,-VI, 2lip.

131. Komplexe Ubungen und Komplexaufgaben in der Mathematik/Wiss.Beard.G.Schlosser. Jena: Friedrich Schiller univ., 1990.- 128p.