автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Единый подход к изучению геометрических величин в курсе математики 6-8-х классов

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Кузнецова, Елена Павловна, 1984 год

Введение.

ЕША I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЕДИН СТО ПОДХОДА

К ИЗУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

§ I. Философско-методологические основания понятия величины и её измерения

§ 2. Теоретические основы геометрических величин и их измерения.

§ 3. Анализ современных методических направлений в изучении геометрических величин

§ 4. Психолого-педагогические основы единого подхода к изучению геометрических величин.

ГЛАВА П. МЕТОДИКА РЕАЛИЗАЦИИ ЕДИНОГО ПОДХОДА К ГЕОМЕТ

РИЧЕСКИМ ВЕЛИЧИНАМ В ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ

§ I. Анализ качества усвоения материала о геометрических величинах (по результатам констатирующего и поискового этапов педагогического эксперимента").

§ 2. Общие положения методики единого подхода к изучению геометрических величин

§ 3. Пропедевтика геометрических величин в 4 о-х классах.

§ 4. Методика изучения геометрических величин в 6-7-х классах. Ю

§ 5. Методика обобщения идеи величины в широком смысле и её измерения.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Единый подход к изучению геометрических величин в курсе математики 6-8-х классов"

Актуальность темы

В "Основных направлениях реформы общеобразовательной и профессиональной школы", составленных в соответствии с программными, установками июньского (1983 г.) Пленума ЦК КПСС, отмечается, что для совершенствования содержания образования необходимо предельно четко изложить основные понятия и ведущие идеи учебных дисциплин, обеспечить необходимое отражение в них новых достижений науки и практики, усилив при этом политехническую и мировоззренческую направленность содержания образования. В связи с этим проблемы совершенствования содержания учебных предметов, выявления единых теоретических основ в изучаемом материале различных дисциплин, в том числе и в математике, а также разработка методики обучения изучаемых предметов с учетом политехнизации в настоящее время являются актуальными .

Материал о геометрических величинах (длине, мере угла, площади, объеме) составляет, пожалуй, самую устойчивую и традиционную часть школьного курса геометрии. Им обеспечивается усвоение учащимися идеи метрики - может быть, одной из четырех главных идей всей геометрической науки (метрика, аксиоматический метод, геометрические преобразования, векторное пространство). Надо отметить, что именно с позиций задач общеобразовательного курса метрика наиболее тесно связана с реальной действительностью, с прикладными вопросами. Будучи употребительными именно метрические факты дольше других остаются в памяти от всего геометрического курса. Бесспорно, что материал о геометрических величинах относится к тому обязательному минимуму, который подлежит непременному усвоению всеми учащимися средней школы.

В учебно-методической литературе довольно подробно разработаны три из вышеуказанных четырех идей: аксиоматический метод, геометрические преобразования, векторное пространство. Самой выделенной для учебных геометрических курсов, так исторически сложилось, оказалась идея аксиоматического метода. Неслучайно, многие поколения школьников и учителей даже сами термины "аксиома", "теорема", "доказательство" связывали именно, и прежде всего, с геометрией. Одним из первых последовательно аксиоматических изложений курса геометрии у нас является учебник "Элементарная геометрия" Д.И.Перепелкина [из] , предназначенный для педвузов. Аксиоматическая направленность изложения является характерной особенностью и школьных учебных пособий по геометрии от времен Евклида до наших дней. Аксиоматики различных учебных курсов геометрии разделяются выбором основных понятий. Так, конгруэнтность (равенство) фигур является основным понятием, например у А.П.Киселева [74^(непоследовательно), у Д.И.Перепелкина [из] , Н.В.Ефимова [5б], ЯД.Трай-нина [l50] .На понятии движения (перемещения) фигур базируетставляют основу аксиоматик в учебных пособиях А.Н.Колмогорова [78] , А .В .По горелова [lI7] , Э.Э.Моиза и Ф.Л.Даунса[юз] . К нетрадиционным изложениям геометрии можно отнести книги Г.Шоке ческих курсов на векторной основе с использованием аксиоматики ся изложение, например, в учебных пособиях В.И.Костина А.И.Фетисова Метрические понятия в различных формах со

Имеется ряд изложений школьных геометри'

Г-Вейпя1.

Бесспорно, в последнее время, наряду с сохранением в преподавании геометрии аксиоматического подхода, явно усилилось внимание к идеям геометрических преобразований и векторных пространств, что объясняется плодотворностью использования этих идей в развитии математики. Что же касается изложения метрического материала в пособиях, предназначенных для школы, особенно заметных изменений в целом не произошло.Метрический материал в курсах геометрии сохраняет свое традиционное, отчасти второстепенное, место и в качестве главного в нем выделяются формулы и их использование. А ведь в идейном отношении метрика не менее плодотворна для развития фундаментальных разделов математики, чем геометрические преобразования и векторы. Об.этом свидетельствует, в частности, работа Г.Хадвиге-ра [l6o], в которой сложные вопросы общей интегральной геометрии эффективно излагаются на основе элементарной метрической системы, а именно через аксиоматику объема многогранника. В учебной отечественной литературе почти образцовое изложение метрических вопросов планиметрии имеется у Д.И.Перепелкина [из], предназначенное для студентов педвузов и, вполне понятно, малопригодное для школы. В едином духе изложены вопросы геометрических величин в книгах [l5j, [бб] и др. В школьных же

См., например: Дьедоне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия /Под ред. И.М.Яглома. Пер. с фр. - М.-.Наука, 1972. - 336 е.; Болтянский В.Г., Волович М.Б., Семушин А.Д. Векторное изложение геометрии (в 9 классе средней школы): Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1982. - 143 с. ; Рога-новский Н.М., Столяр А.А. Векторное построение стереометрии. -Мн.: Нар.асвета, 1974. - 128 с. учебных пособиях, как прежних, так и современных, метрические идеи в значительной мере остаются невыявленными, затерянными для учителей и учащихся. Это неслучайно. Практика показывает, что изложение и усвоение материала о геометрических величинах сопряжено со многими трудностями не только методического, но и математического и даже методологического характера. В целом проблемам геометрических величин и их измерениям посвящена обширная литература, авторами которой являются видные математики и методисты, такие как А.Лебег[89], В.Ф.Каган[б8] , Я.С.Дубнов [бз] , В.А.Рохлин [l29] , В.Г.Болтянский[22] , [24] , [25] ,Н.Я.Ви-ленкин [34], И.М.Яглом [l7o] и др.

Отдельно следует сказать о АДебеге. Почти все понятия, относящиеся к современной теории меры и интеграла в математической науке, восходят к работам АЛебега. Положения этой теории лежат в основе теории вероятностей, функционального анализа, статистической физики, топологической алгебры. Кроме того, острый критический анализ, данный Лебегом сложившейся практике преподавания геометрических величин в средних школах Франции, послужил толчком для переосмысления учебного изложения этих вопросов в других странах, в том числе и в СССР [зз] . В книге А.Лебега "Об измерении величин" [89] в центре внимания стоит борьба за возвращение математическим понятиям их первоначального материального содержания. В этой борьбе, по мнению А.Н.Колмогорова, основной интерес книги. Но, следует отметить, что А.Лебег несколько недооценивает самостоятельности математики, особенностей тех реальностей, которые она изучает.

Проблеме изложения материала о величинах в советской школе посвящены многочисленные диссертационные исследования. Так,общие вопросы методики преподавания геометрических величин в средней школе подняты в работах М.С.Мацкина (1949, [97] ), К .Ф.Рубина (1952, [l30] ); формированию понятий величины и.ме-ры в восьмилетней школе посвящена работа М.А.Журбаса (1963, [54]); изучение скалярных величин в 9-10 классах рассмотрено в исследовании З.И.Турлаковой (1964, [l5l]).

Методике изучения площадей и объемов в средней школе посвящены работы В.Н.Шишлянниковой (1954, [162] ), С.А.Алборова (1965, [il]), В.Юнгка (1968, [l67] ). Применению методов математического анализа при изложении геометрических величин посвящены исследования В.Ф.Филатова (1965, [153] ) и Б.П.Баева (1975, [18] ). Вопросы измерения длины окружности, площади круга* объема цилиндра рассмотрены,в работах П.А.Компанийца (1946, [79] ) и Н.Ф.Полищука (1951, [lI9] ). Проблемы прикладной направленности, развития практических умений, усиления политехнизма подняты в исследованиях А.Ф.Спасского (1955., [139^), И.С .Климова (1961[75] ), Р.В .Мочало ва (1962, [10б] ),П.С.Исакова (1963, [бб] ), И .М .Минькина (1965, [iOl] ).

Изучению геометрических величин посвящен ряд учебных и методических пособий, например, П.Р.Кантора, Ж.М.Раббота [б9], [70], А.И.Фетисова [99], [l52], В.Г.Прочухаева [l29] и др.

Однако все эти работы не касаются ныне действующих школьных программ и учебных пособий, в то время как состояние методики изучения метрических вопросов, на наш взгляд, не совсем благополучно.

Анализ теоретических основ идеи геометрической величины показал, что при продуманной методике изучения существует возможность более полного использования этого материала, как для формирования важных мировоззренческих идей, так и для усиления логического развития учащихся, в частности, для знакомства с аксиоматическим методом, с дескриптивным типом определения понятий, с операциями обобщения и конкретизации. Для более полного выявления мировоззренческой направленности этого материала принципиально важным является введение в обучение элементов теории измерения, то есть всестороннее рассмотрение самого процесса измерения как объекта изучения. Методологически ценно выработать взгляд на величины как на свойства реальных предметов, а на процесс их измерения — как на одно из важнейших средств познания окружающего мира. Нам представляется весьма существенным при проведении обобщений выделять не только моменты единства в многообразии измерительных актов, такие предложения имеются в методической литературе — [91 ], [92j, но и различия этих актов, иными словами, учить учащихся проводить классификацию измерений. Актуальность усиления мировоззренческих тенденций подтверждается заметным ростом числа философских исследований, связанных с методологическим анализом таких категорий, как "количество", "мера", "величина", "измерение", а также работ, посвященных процессу математизации в науке^. См., например, авторефераты дис. . канд.философ, наук: Аб-дуллаев С. Диалектика качества и количества в научном познании. - Алма-Ата, 1980; Абрамян А.О. Исследование философских основ математизации современного научного знания. - Ростов н/Д, 1973; Бушуева В.В. Категории "качество", "количество", "мера" как ступени развития познания и практики. - М., 1979; Полищук В.И. Природа и функции категории "мера" в познании. -М., 1980; Дикин В.А. Математизация научного знания — объективная закономерность НТР. - Киев, 1979; Цырендоржиева Д.Ш. Категория количества и абстрактные математические структуры.-М., 1979; Нечаева Г.А. Оценка и ее роль в познании, - Д., 1979 и др.

В настоящее время многие педагоги, психологи, методисты как советские, так и зарубежные высказываются о настоятельной необходимости существенной перестройки всей сложившейся практики обучения в школе. Основное направление предлагаемых изменений в содержании образования сводится к укрупнению единиц знания, выделению общих приемов, теорий, принципов, наиболее важных и существенных фактов. Систематичность, наличие завершенных цельных представлений, позволяющих верно ориентироваться в мире, в сочетании с научностью знаний — вот требования, которые отчетливо звучат в работах Ю.К.Бабанского, В.В.Давыдова, Н.А.Менчинской, Н.Ф.Талызиной, А.В.Брушлинского и др. Под . научностью содержания образования, по мнению Л.Я.Зориной ([6l] , зования, удовлетворяющего трем взаимосвязанным условиям, а имена) соответствие уровню современной науки; б) создание у учащихся верных представлений об общих методах научного познания (частные входят в предметное содержание); в) показ важнейших закономерностей процессов познания.

С учетом этих требований при изучении материала о геометрических величинах в школьном курсе представляется целесообразным: во-первых, найти место некоторым историческим и научным сведениям из метрологии и теории измерений; во-вторых, создать у учащихся верные представления о процессе измерения, как важнейшем методе научного познания; в-третьих, на примере обобщения понятия геометрической величины, сравнении разных видов величин и типов измерений показать такие закономерности процесса научного познания, как, например, абстрагирование и идеализация, восхождение от абстрактного к конкретному. Курс математики следует понимать качественную характеристику обрано: восьмилетней школы в этом отношении может быть усовершенствован. .

Таким образом, проблема исследования заключается в необходимости придать формированию обобщенных представлений о геометрических величинах и их измерении в курсе математики восьмилетней школы более целенаправленный характер, кроме того, требуется усилить развивающие и образовательные возможности данного материала, повысить его мировоззренческую ценность.

Объектом исследования является процесс обучения математике в восьмилетней школе, а его предметом — процесс изучения материала о геометрических величинах и их измерении в 6-8-х классах.

Цель нашего исследования состоит в разработке содержания и методики единого подхода к изучению геометрических величин в восьмилетней школе, реализация которого будет способствовать выработке.завершенных цельных представлений о геометрических величинах, величинах вообще и процессе их измерения.

Для достижения этой цели необходимо было решить следующие задачи.

1. Проанализировать философеко-методологические и теоретические основания понятий — величина, геометрическая величина и измерение величин и выделить существенные аспекты для разработки содержательной основы единого подхода к изучению геометрических величин в школе.

2. С учетом теоретического анализа психолого-педагогической литературы и методического анализа текущей практики преподавания геометрических величин сформулировать суть необходимых изменений при изучении данного материала в школьном курсе математики.

3. Разработать содержание и методику реализации единого подхода к изучению геометрических величин в восьмилетней школе и экспериментально проверить эффективность предлагаемых положений.

Гипотеза исследования состояла в следующем.

При изучении геометрических величин по действующим пособиям возможны ошибочные и нечеткие представления в восприятии этого материала учащимися. Если изменить подход к изучению геометрических величин, усилив использование в учебной деятельности имеющихся у них общих свойств, то это улучшит качество усвоения данного материала учащимися и увеличит возможности формирования научного мировоззрения в курсе математики.

В ходе работы нами были применены следующие методы исследования.

1. На этапе теоретического изучения состояния проблемы проводился анализ литературных источников из области философии, педагогики, психологии, математики и методики преподавания математики.

2. При изучении состояния практики преподавания вопросов геометрических величин в массовой школе использовались наблюдения,, беседы с учащимися и учителями, тестирование, анкетные опросы, диагностирующие контрольные работы.

3. В процессе разработки конкретной методики обучения применялись поисковый и обучающий педагогический эксперимент, экспертная оценка дидактических материалов.

4. На заключительном этапе исследования были использованы качественные и количественные методы обработки данных эксперимента, теоретическое обобщение результатов эксперимента.

Методологической основой исследования явились положения марксистско-ленинской теории познания.

При разработке методики единого подхода мы руководствовались основными фактами психологической теории П,Я.Гальперина [37J, [38]) о формировании понятий, в частности тем, что, во-первых, невозможно полноценное постижение понятия без выделения мысленной схемы между понятием и предметом; во-вторых, понятие не может быть постигнуто полностью вне рассмотрения его функциональных связей. В нашем случае в качестве мысленной схемы выступает набор свойств (аксиом), определяющих геометрическую величину, а функционирование понятия раскрывается через анализ процессов измерения.

Научную новизну результатов исследования мы видим в следующем:

1. Экспериментально выявлена и проанализирована типичная картина представлений учащихся о геометрических величинах, характерная для практики преподавания по имеющимся программам и учебным пособиям.

2. Видоизменен подход к изучению площадей многоугольников, что позволило упростить доказательства ряда теорем и решение некоторых задач курса планиметрии за счет введения формулы площади прямоугольника в качестве дополнительного свойства и корректировки порядка и сроков рассмотрения части учебного материала.

3. Впервые в практике школьного обучения свойства геометрических величин использованы как для обобщения понятия геометрической величины, так и для обучения учащихся сравнению различных величин, то есть как инструмент анализа величин.

4. Предложена методика анализа и обобщения процессов измерения, а также методика введения в курс геометрии 8-го класса элементов метрологии и теории измерений. Показана мировоззренческая ценность и доступность этого материала для учащихся.

Практическая значимость работы заключается в том, что в ней предложена конкретная методика единого подхода к изучению геометрических величин на уроках математики в 6-8-х классах, а также в пропедевтическом курсе 4-5-х классов. Существенным является то, что для реализации предлагаемых рекомендаций не требуется принципиальных изменений в курсе планиметрии, достаточно лишь откорректировать порядок и сроки изучения имеющегося в программе материала; затраты учебного времени остаются прежними. При этом улучшается структура курса в целом, облегчаются доказательства ряда теорем и решение задач. Обобщающие материалы по величинам и их измерениям, сведения из метрологии и теории измерений позволяют усилить мировоззренческую и прикладную направленность школьного курса математики, обогатить воспитательные, развивающие и образовательные возможности программы.

На защиту выносятся следующие положения

1. Изучение геометрических величин в курсе математики 6 -8-х классов в рамках единого подхода приводит к адекватному восприятию данного материала учащимися и способствует улучшению усвоения курса в целом за счет оптимального применения теории на практике и опоры на объективные закономерности процесса обучения.

2. Формирование у учащихся восьмилетней школы обобщенного понятия геометрической величины, понятия величины в широком смысле и представлений о различных типах измерений, наряду с введением некоторых элементов теории измерений и метрологии, приводит к усилению политехнической и прикладной направленности курса математики; при этом существенно увеличиваются возможности формирования научного мировоззрения на уроках математики.

На защиту также выносятся:

1) типология представлений учащихся по материалу геометрических величин;

2) содержание и методика реализации единого подхода к изучению геометрических величин в восьмилетней школе.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Результаты работы следующие. Все величины указаны правильно для первого и второго задания соответственно в 45 % и 44 % случаев. Одна-две величины указаны неверно, но не меньше четырех величин (из пяти-шести нужных) указаны правильно - 20 % и 22 % соответственно. Ошибочных величин названо на одну меньше, чем верных - 23 % и 25 %. Ошибочных ответов больше или столько же, сколько верных - 12 % и 9 %. Две последние группы мало чем отличаются друг от друга, эти данные свидетельствуют скорее о неусвоении приема классификации, так как близки к 50 #-му уровню случайных попаданий. Таким образом, можно считать, что задания выполнены успешно на 65 % и 66 % соответственно.

Мы сделали вывод, что учащимся довольно трудно, не видя перед собой списка свойств, "прогонять" мысленно по этим свойствам величины. Необходима материализованная ориентировочная основа действия классификации величин, например, в виде карточки с записью схематических формулировок свойств. Кроме того, и сам перечень из 15-ти величин оказался слишком громоздким, что также повлияло на качество выполнения задания. Недостатки, замеченные при проведении этой работы, были учтены в контролирующих экспериментах в 8-х классах.

По завершении обучающего эксперимента был проведен анкетный опрос следующего содержания:

1. Понятен ли тебе материал о свойствах величин и их сравнении?

2. Интересен ли тебе этот материал?

3. Узнал ли ты что-нибудь новое для себя?

Анкеты заполнили 92 учащихся 7-х классов. Ответили "да" на 1,2,3 вопросы соответственно 56 %$ 66 % и 88 % учащихся, "нет" — 8 3 $ и 9 По этим результатам можно утверждать, что материал по сравнению величин оказался для семиклассников действительно не очень простым, но, в целом, интересным и развивающим.

Итак, на основании проведенной нами работы, можно сделать следующие выводы:

I. Б курсе 6-го класса, учитывая специфику установки первого года обучения геометрии "все доказывать", целесообразно ограничиться только доказательством выводов формул прямоугольного и произвольного треугольника, используя при этом полный перечень свойств площади как набор аксиом. На примерах величин, встречающихся в геометрии учащиеся учатся сравнивать величины по свойствам, проверяя для каждой отдельной величины выполнимость или невыполнимость аксиом, сформулированных по аналогии с площадью многоугольника. Сам термин "определение площади многоугольника" и его особый характер здесь не акцентируется.

Принципиально важным является отчетливое разъяснение о дополнительном свойстве — принятом без доказательства утверждении о формуле площади прямоугольника. Выделяется то, что доказательство этого факта сложно.

2. Эксперимент показал, что ни выводы формул площадей, ни использование их в 6-7-х классах не вызывают затруднений у учащихся. Уровень усвоения этого материала в наших экспериментах был выше уровня обычной успеваемости учащихся, причем на изучение не требовалось дополнительного расхода учебного времени. Решение же ряда задач и доказательство некоторых теорем из курса 7-8-х классов при использовании площади многоугольника заметно упрощается.

В связи с изучением в курсе 7-го класса темы "Приближенные вычисления" важно выделить в материале по геометрическим величинам идеи теоретического (идеального) и практического (реального) измерения, разделяя эти процессы по уровню выполнимости свойств равенства и аддитивности — точных или приближенных. Формирование такого взгляда на измерение способствует и усилению прикладной направленности курса, и формированию научного мировоззрения.

4. На уровне 7-го класса уместно выделить определение площади многоугольника (длины отрезка, меры угла) в особый тип описательных (дескриптивных, аксиоматических, неявных) определений.

Обучение сравнению величин по свойствам эффективнее проводить с опорой на материализованную ориентировочную основу действий, например, в виде карточки с записью общих схем всех свойств. Эксперимент подтверждает привлекательность и развивающие возможности этого материала.

§ 5. Методика обобщения идеи величины в широком смысле и её измерения.

В курсе 8-го класса два-три урока отводятся на обобщение изученного материала по геометрическим величинам. Здесь напоминается, что для геометрических величин существуют два типа измерения и, соответственно, два вида измерительных средств: идеальные, лишь теоретически возможные, средства беспредельной точности измерения, и реальные, точность которых ограничена ценой деления прибора. Такими инструментами являются: линейка, транспортир, палетка, кубильяж. Для практических нужд используются, в основном, линейка и транспортир, иногда — палетка; в теоретических измерениях все эти средства равноправны. Уникальность геометрических величин как раз и состоит в том, что для них имеет место как теоретическое, идеальное измерение, которое по сути является конструктивным способом их определения,так и практическое, реальное. Для физических величин существует единственный способ их измерения — практический. Идеальное,не связанное с объективным процессом, определение физической величины невозможно. Как существенный признак реального объективного физического измерения выделяется наличие прибора. Затем в ознакомительном порядке дается представление о проблемах метрологии, об элементах теории измерений, приводятся конкретные примеры различных видов шкал. На наш взгляд, такое ознакомление необходимо. Подобно тому, как при изучении химии учащихся знакомят с основами химического производства, так и на уроках геометрии доджны быть приведены некоторые сведения из современного измерительного производства - метрологии. С учетом специфики предмета в своем эксперименте мы касались в основном измерения длины т и величины углов . Б работе использовался следующий материал.

Метрология - наука об измерениях. Основной задачей метрологических служб любого государства является обеспечение единства и точности измерения в стране. Современное эффективное производство невозможно без высокоразвитой измерительной техники и службы измерений. В промышленно развитых странах на процессы контроля и измерений расходуется в среднем около 15 % рабочего времени, в отраслях, определяющих научно-технический прогресс — до 50 %.

Измерение в метрологии понимают как экспериментальный процесс, с помощью которого определяется значение величины как часть или кратное выбранной для этой величины единицы. Воспроизведение и хранение единиц является основным условием обеспечения единства и правильности мер и измерений и главной задачей метрологии. Решение ее обеспечивают специальные эталоны.

В 1855 году было основано Международное общество для введения единообразной десятичной системы меры, веса и монеты. Почти двадцать стран, куда входила и Россия, заключили в 1875 году метрическую конвенцию. В 1889 году с двух точнейших эталонов метра и килограмма, изготовленных из сплава платины и иридия, были сняты более тридцати эталонов-копий для стран-участниц конвенции. Но в практику России метрическая система мер входила трудно и медленно. Узаконена она была лишь в 1918 году декретом Совета Народных Комиссаров. При измерении длин в России вплоть до 1918 года наряду с метром применялись такие меры,как аршин и сажень. Метр на первой Международной конвенции был определен как одна сорокамиллионная часть парижского меридиана. Система ознакомления учащихся с метрологическими знаниями на уроках физики рассмотрена в работе В.Г.Нижника [107] .

Впервые такое определение было дано во Франции в 1791 г. С развитием науки и техники (примерно с I960 года) метр стали определять как 1650763,73 длины волны оранжевой линии изотопа криптона 86. Размер метра, воспроизводимого новым эталоном, уменьшился на 2,5*10 м, при этом точность воспроизведения единицы повысилась в среднем в 1,5 раза и составляет З-Ю"® м. В дальнейшем точность воспроизведения метра планируется повысить за счет стабилизированного по частоте лазерного излучения. В СССР предусмотрено уменьшение погрешности воспроизведения единицы до Ю~10м [134, с. б]

Государственным эталонам отводится первостепенная роль в обеспечении единства измерений. Периодически производятся международные сличения эталонов. Эталоны подразделяют на государственные, эталоны-копии и рабочие эталоны. Размер единицы, воспроизводимой или хранимой первичным эталоном страны, не сличаемой с международным эталоном, принимается равным точно единице этой физической величины. Единица, хранимая рабочим эталоном, может быть несколько больше или меньше образцового. С 1975 года страны СЭВ начали переходить на единые международные стандарты, создана система эталонов СЭВ, что имеет важное значение для научно-технического прогресса стран-участниц. Эталон единицы длины СЭВ, утвержденный с 1975 года, хранится в СССР, погрешность о воспроизведения единицы этим эталоном составляет 5*10 м.

Эталонная база СССР является наиболее мощной в мире. Большинство государственных эталонов СССР не уступает, а в некоторых случаях и превосходит лучшие зарубежные аналоги. Так, например, погрешность государственного эталона СССР для измере

1 См. также: Качество и стандартизация. Под ред. Х.Лилие. - М.: Экономика, 1982, с. 69-78. ния плоского угла составляет 0,01", а лучшего зарубежного аналога США - 0,04" [l34 , с.24]. Согласно введенных в СССР с I января 1977 года международных стандартов утверждены 17 основных и 2 дополнительных (01 и 0) квалитетов^. Квалитет характеризует точность обработки деталей определенного размера в промышленности .

Учащиеся знакомились с понятием квалитета на примере обработки номинального размера 30 мм. Предварительно вводилось понятие одного микрометра: I мкм = Ю^мм = 0,001 мм = Ю^м = = 0,000 001 м.

Характеристика квалитетов обсуждалась по таблице 5.

Разъяснялось, что если требуется изготовить деталь с размером х = 30 мм по 8-му квалитету, то деталь будет считаться качественной при условии: 29,967 мм ^ х ^-30 мм. Для других квалитетов учащиеся выполняли расчеты самостоятельно. Сообщалось, что квалитеты от 01-го до 7-го применяются для производства измерительных средств и колибров. Б машиностроении используются в основном с 6-го по 9-й квалитеты (для сопрягаемых размеров). Квалитеты от 12го до 14-го употребляют при обработке неответственных несопрягаемых размеров. Соблюдение международных стандартов в промышленности весьма существенно влияет на ее развитие, на развитие торговли и экономики страны в целом.

Большое число проблем в практической деятельности связано не только с с алой процедурой измерения, но и с обработкой результатов измерения. Обработка данных реальных измерений представляет собой классический пример оперирования со случайными событиями, теоретической основой которого является теория ве

1 См.: Поля допусков и рекомендуемые посадки: ГОСТ 25347 - 82 (СТ СЭБ 144-75). - М.: Изд-во стандартов, 1982. - 52 с. роятностей и математическая статистика [165, с. I7J. В современном мире существует целая индустрия измерений. Каждое мгновение на Земле проводится громадное количество измерений, объем и точность которых непрерывно возрастает. На выполнение и обработку их затрачиваются огромные средства. Одни специалисты и коллективы проектируют и изготавливают измерительную аппаратуру, другие — проводят измерения, третьи — обрабатывают их и, наконец, четвертые используют полученные результаты в практических целях. Примерами могут служить определение элементов орбиты космического тела, определение параметров гравитационного поля Земли по геодезическим и гравиметрическим данным и т.д. [165, с.э].

Учащиеся с большим интересом воспринимают и информацию о профессиях, основным содержанием которых является измерение длин, величин углов, направлений, — о геодезистах, маркшейдерах, топографах, штурманах. В связи с проблемой измерения углов, вопросами тригонометрии уместно и обсуждение с математических позиций принципа триангуляции. Очень интересный иллюстративный материал для такого разговора можно найти в любом геодезическом справочнике, учебном пособии по топографии1.

Этот фактический материал сообщался учащимся в нашем эксперименте при обсуждении ряда проблем метрологии. Главной целью мы считали — четкое разделение в сознании учащихся понятий измерения как теоретического идеального процесса и измерения как эмпирической процедуры. На примере измерения геометрических ве См., например, : Сироткин М.П. Справочник по геодезии для строителей. - М.: Недра, 1975. - 374 с.

Краткий топографо-геодезический словарь-справочник /Под ред. Б.С.Кузьмина. -М.: Недра, 1968. - 221 с. личин более полно, чем в 7-м классе, выделялись как сходство, так и различие этих процессов.

Сходство: I) наличие единицы измерения; 2) выражение измеряемой величины в виде определенного числа выбранных единиц.

Различие: I) в теоретических измерениях единица условна, зависит от принятого соглашения, не связана с материальными явлениями; в реальных — хранится в виде эталона, определяемого каким-либо физическим процессом;

2) в теоретических измерениях число может быть как рациональным, так и иррациональным^*, в реальных — результат может быть выражен только рациональным числом, которое существенно зависит от точности измерительного прибора.

Для геометрических величин часть их определяющих свойств в реальных измерениях выполняется лишь приблизительно. Реальное, конкретное измерение — это всегда действие, опосредствованное прибором. Понятие о реальном процессе измерения углубляется через введение понятия точности измерения. Так, учащимся предлагалось изобразить два-три отрезка длиной ЯО мм, а после этого обсуждался вопрос: "Равны ли все изображенные в одной тетра Отметим здесь, что в пособии [71, с. 24-25^ относительно курса геометрии А.В.Погорелова и использования в нем понятия "длина отрезка" говорится следующее: ". для нашего изложения предмета способ измерения не имеет никакого значения.Важны лишь свойства меры, отмеченные аксиомами". И далее: "Длина отрезка может выражаться иррациональным числом. Однако говорить этого учащимся не следует. Последующее знакомство учащихся с иррациональными числами и введение вещественных чисел исключает возможную, но маловероятную постановку учащимися вопроса о существовании длины". На наш взгляд, такая позиция в старших классах не совсем оправдана, поскольку затрудняет осознание учащимися как специфики математической идеи измерения, так и реального измерения. ди отрезки? Во всех тетрадях?" Обычно сами учащиеся довольно быстро начинали говорить о приближенном равенстве, о точности в I мм, о разнице в качестве изготовления линеек (мы предлагали сравнить имеющиеся в наличии инструменты наложением, предлагали измерить размер клеточек в тетрадях, сторона которых подразумевается обычно 0,5 см — результаты порой были весьма выразительны) и т.д. Учитель подкреплял этот разговор фактическим материалом, приведенным выше, о проблемах метрологии и стандартизации. Для размышления и обсуждения на следующем уроке предлагался ряд вопросов следующего содержания:

1. С какой точностью измеряются размеры фигуры человека для пошива костюма, платья?

2. С какой точностью должны быть обработаны гайка в винт; резьба на лампочке и патрон; детали для часов; детали для трактора? Ответы найти в справочниках, таблицах.

3. Привести примеры ситуаций, в которых допустимые отклонения при измерении длин могут составлять: ± 5 см; ± I см; 0,5 см; +1 мм и т.п.

4. Какова точность угломерных приборов, применяемых в геодезии, мореплавании, авиации?

Эти вопросы целесообразно предлагать в качестве индивидуальных или групповых заданий, прилагая к ним и информацию о необходимой литературе или же саму литературу.

Достаточно бегло затрагиваются в обсуждении проблемы измерения собственно физических величин (масса, температура, время, плотность, сила тока и т.д.), выделяется проблема прямых и косвенных измерений. Отмечается отсутствие фиксированной "точки отсчета" для ряда измерений, то есть произвольность выбора нуля, или фактическое его отсутствие (температура, время). Отчетлибо выделяется объективный характер, независимость от сознания человека результатов физических измерений, наличие строго определенного физического смысла в числовой информации, получаемой в результате измерений, где бы и кем бы они ни производились.

Для создания завершенных представлений у учащихся об измерении в его различных проявлениях целесообразно знакомить школьников и с измерениями типа оценки, то есть с понятием измерения в широком смысле. Основу для введения этого понятия составляет следующий материал.

По определению французского психолога М.Рёшлена, измерение есть ". операция, посредством которой числа приписываются вещам. Совершенно очевидно, что это приписывание может представлять интерес лишь при условии, если оно совершается в соответствии с определенными правилами" [l28e с. 195]. В зависимости от того, каковы эти правила, позволяющие вещам приписывать определенные числа» различают четыре вида шкал: I) наименований; 2)по-рядка или рангов; 3) интервалов; 4) отношений.

Предварительно с учащимися обсуждаются примеры из физики и математики, выясняется смысл числовых данных, полученных в результате измерений. Обращается внимание на то, что, измерив .например, длины отрезков АВ = 3 см и СД = 12 см, мы можем утверждать, что длина АВ меньше длины СД на 9 см или, что длина АВ меньше длины СЛ в 4 раза. Эта ситуация сопоставляется с процессом измерения температуры» Если сегодня температура воздуха + 5°С, а вчера была + Ю°С, то нельзя утверждать, что вчера было в два раза теплее, но можно сказать, что было теплее на 5°С. Точно так же нельзя сказать, что в 6 часов утра времени в три раза больше, чем в 2 часа ночи, но можно сказать, что 6 часов наступили на 4 часа позже, чем 2 часа. С учащимися выясняется, что следующие равенства являются верными: 7 см - 5 см = II см -9 см = 2 см; 5°С - 3°С ^ 9°С - 7°С = 2°С; 15 ч - 13 ч = 4 ч -2 ч = 2 ч,

Затем вводятся названия шкал: интервальная шкала и шкала отношений. Выделяется, что при измерении физических величин все шкалы являются интервальными, но не все — шкалами отношений. По шкале отношений измеряются, например, длины отрезков и вообще все геометрические величины, но не только они. Отличие этих двух шкал в том, что для измерений, характеризуемых интервальными шкалами, не имеет реального смысла отношение — результат деления измеренных величин, но имеет определенный смысл выяснение, на сколько один результат больше (меньше) другого. Во всей полноте смысл этих особенностей усваивается после сопоставления с измерениями, которым соответствует шкала наименований и порядка.

С учащимися обсуждается измерение в широком смысле как процесс приписывания чисел вещам. В качестве "вещей" мы рассматривали самих учащихся и сравнивали следующие процессы приписывания чисел каждому учащемуся: номер в журнальном списке, год рождения, номер варианта контрольной работы, оценка по математике за четверть, возраст, рост, вес и т.д. Выявлялся смысл чисел, получаемых в результате обозначенных измерений (в широком смысле) и соответствие, а точнее - несоответствие этих измерений какой-либо из двух уже известных шкал. Для качественно новых ситуаций вводятся шкалы наименований (для номера варианта, списка в журнале) и порядковая или рангов (для оценки за четверть, года рождения). Выделяются особенности измерений типа оценки, отмечается отсутствие реального смысла в сравнении разностей 3 -2 и 4-3, если, например, это оценки за четверть и, тем более, если это номера вариантов контрольной работы. Отмечается неаддитивный характер таких величин, С участием учащихся подбирается еще ряд примеров таких измерений: места, занятые спортсменами в соревновании; оценка мастерства катания фигуристов; цены на рынке, как оценка качества товара; заработная плата, как оценка затраченного труда; время, потраченное на приготовление уроков, как оценка качества их выполнения и т.п. Обсуждение подобных примеров встречается учащимися с большим интересом.

В заключение учитель отмечает, что все объекты в науке делятся на классификационные (шкалы наименований), сравнимые (шкала порядковая или рангов) и измеряемые (шкалы интервальная и отношений). По словам Д.И.Менделеева, наука начинается тогда, когда она начинает измерять. Бурный процесс математизации характеризуется все большим проникновением количественных методов в социальные науки: экономику, психологию, педагогику, социологию и др. Но, в силу неаддитивного характера большинства величин, измерения в этих сферах носят специфический характер. Пока в социальных науках нет измерения какой-либо специфической величины, которому бы соответствовала интервальная шкала. Это говорит о сложности объектов и качеств, исследуемых социальными науками, об их связанности с субъективными факторами. Количественная обработка информации ведется здесь с привлечением методов математической статистики.

Дополнительно учащимся можно предложить сделать сообщения: а) о шкале Мооса (минералогическая шкала твердости); б) о шкале Бофорта (шкала для оценки силы ветра); в) о шкале измерения РОЭ (реакции оседания эритроцитов); г) о шкале измерения давления крови и др.

Материал об этих шкалах имеется в энциклопедических и справочных изданиях.

Более подробный разговор о проблемах теории измерений проводило я на занятиях факультатива. Там же более подробно обсуждались исторические сведения о развитии метрологии, особенности конструктивных и дескриптивных определений в математике, проблема существования геометрических величин.

Обобщающие уроки по измерениям проводятся в самом конце курса геометрии 8-го класса, после прохождения пунктов о радианной мере угла, длине окружности и площади круга. На этих уроках повторяется и материал, связанный с площадями многоугольников, решаются задачи.

Остановимся на некоторых моментах методики изучения площади круга в восьмилетней школе, ориентируясь на учебное пособие А.В.Погорелова.

При рассмотрении материала пункта "Площадь круга" [lI7, с. I69-I7lJ важно отметить несводимость щ>уга методом разбиений к совокупности многоугольников, а потому и несостоятельность попыток обосновать вывод формулы круга аксиомами площади многоугольника, Таким образом, возникает необходимость новой аксиоматики, нового набора свойств для определения понятия "площадь криволинейной фигуры". Выясняется и необходимость новой математической операции — предельного перехода, которая позволит от многоугольников перейти к кругу. По нашему мнению, в восьмилетней школе можно ограничиться разъяснением формулы площади круга, приведенным в 5нм классе, а повторное изучение проводить на деист вительно более высокой ступени математического развития учащихся после изучения ими пределов последовательности. Иначе же уровень подачи материала в 8-м классе мало отличим от уровня 5-го класса ( [94, с. 175-176] ; [lI7, с. I69-I70])1,

Усвоение материала можно проверить по следующим вопросам:

1. Какой общий признак есть у всех измерений?

Выделяется наличие единицы измерения — идеальной дня теоретических измерений; имеющей определенный физический смысл для экспериментальных измерений физических величин; относительной, имеющей элемент случайности, субъективности для измерений типа оценки).

2. По каким признакам измерения можно разделить на три вида?

Желательно акцентировать выполнимость (или невыполнимость свойств равенства и аддитивности: точное - для теоретических измерений геометрических величин; приближенное - для измерения физических величин; невыполнимость - для измерения типа оценки).

3. Назвать типы шкал и привести конкретные примеры измерений, соответствующих каждому виду шкал.

Следует иметь в виду, что ответы на эти вопросы обсуждаются фронтально. Цель включения этого материала в содержание уроков — сформировать общие представления о проблемах измерения в окружающем мире, то есть цель методологическая, мщювоззренческая. Поэтому основные усилия учителя должны быть сосредоточены на понимании обсужда&мых вопросов, на возбуждении интереса к ним, а не на выработке какого-либо навыка. Контролю на уровне прочных навыков для всех учащихся подлежит усвоение и применение основных формул (длин, площадей), а также свойств геометрических величин.

Эксперимент в 8-х классах проводился в 1982/83 и 1983/84

На факультативных занятиях может быть рассмотрен способ вывода формул длины окружности и площади круга без применения предельного перехода, описанный в статье [64]. учебных годах в школах М 64, 116, 130 г. Минска. В проведении эксперимента принимали участие учителя математики И.Г.Гейфлан, Т.Н.Городничева, Н.ВЛещенко, М.М.Якуш.

Формирующий эксперимент проходил в течение трех уроков, на которых обобщался материал о сравнении величин и об измерении геометрических величин, приводились сведения по метрологии и по теории измерений. Часть материала рассматривалась на занятиях факультатива. Для проведения эксперимента нами использовались 8-е классы, прошедцпие подготовку по учебному пособию [78]*. Нам потребовалось прежде чем переходить к материалу, запланированному на 8-й класс, остановиться на обобщении идеи геометрической величины, на сопоставлении различных величин по свойствам. При этом были учтены выводы, полученные в поисковом эксперименте и в эксперименте с 7-ми классами.

Результаты самостоятельной работы по сравнению величин следующие. С работой справились 84 % учащихся из 140 писавших (в седьмых классах, как уже отмечалось, результаты усвоения были 65 - 66 %), Восприятие материала о разных типах измерений было проверено в ходе самостоятельной работы репродуктивного характера. Учащимся предлагалось привести по нескольку примеров, своих или из числа рассматривавшихся на уроках, измерений, определяемых интервальными шкалами и измерений типа оценки. С заданием успешно справились 123 человека ( 88 %). Некоторые ответы свидетельствуют о неверном восприятии сути теоретических идеальных измерений. Определенная часть учащихся ( 6 % ), ориентируясь на внешние обстоятельства, а не на выполнение свойства аддитивности, Мы сочли это возможным, так как в целом реализация идеи геометрических величин в пособиях [lI7] и [78] имеет сходную структуру. под теоретическими измерениями понимают расчеты по формуле, например, расстояния до Луны, что конечно, не лишено смысла. Это говорит о том, что для формирования правильных представлений о специфике идеально точных и реальных измерений нужен более длительный период, хотя бы с 7-го класса.

Нас интересовала эмоциональная оценка учащимися рассмотренного на уроках материала. На третьем по счету обобщающем уроке была проведена анкета, выявляющая отношение учащихся к материалу.

Предлагалось ответить на вопросы, используя следующий набор ответов: - да; "+" - скорее да, чем нет; - скорее нет, чем да;

- нет; не знаю. Содержание анкеты следующее:

1. Считаешь ли ты рассмотренный материал о сравнении величин и процессов измерения: а) легким для усвоения; б) важным для изучения других предметов; в) интересным?

2. Считаешь ли ты, что: г) задумывался об этом раньше; д) узнал что-то новое для себя?

Обработка результатов анкеты производилась следующим образом. Каждому из вариантов ответов было приписано определенное количество баллов, от единицы до пяти: "+" - 5; "+" - 4; не знаю - 3; "+" - 2; - I. Для каждого респондента были получены две оценки. Первая оценка — сумма баллов за ответы на вопросы а) и в) — эту оценку мы трактуем как показатель дидактической привлекательности материала по доступности и важности. Вторая оценка была получена после сложения баллов б) ид) и вычитания из этой суммы балла г) — эта оценка показывает, на наш взгляд, эмоциональную привлекательность материала (интересный, новый, вызвавший удивление, так как раньше об этом не задумывался). Полученные результаты представлены на диаграмме рассеяния (диагр. 3). Мы получили, что высоко оценивают содержание материала как по доступности и значимости, так и по эмоциональной привлекательности, 64 % учащихся. В этой группе учащихся близко к картине нормального распределения представлены все группы учащихся по уровню успеваемости: сильных — 18 %, хороших — 29 %, средних — 35 %, слабых — 19 %. Низкие оценки по обеим характеристикам обнаружены у 5 % учащихся. Таким образом 95 % испытуемых в общем положительно оценивают материал по обобщению знаний о величинах и процессах измерений хотя бы по одному из выделенных параметров. В зону АВСД — зону высокой привлекательности материала — попадает по результатам первого среза 67 %.

На диагр. 5 показано частотное распределение числа учащихся в зависимости от уровня успеваемости по математике в зоне АВСД (см. диаграммы 3, 4) по результатам двух срезов. Первый срез был проведен в 8-х классах в 1982/83 учебном году {Jf= 142) непосредственно после изучения материала обобщающих уроков'.второй - в 9-х классах в 1983/84 учебном году (Ж= ЮЗ) через шесть месяцев после рассмотрения темы. Характерно, что процент попадания в зону АВСД во втором срезе составил уже 82 % (диагр. 4). Это косвенно подтверждает наши предположения о том, что материалы обобщающих уроков обдумывались учащимися, обсуждались самостоятельно и потому сохранили положительную эмоциональную окраску и через довольно продолжительный период времени. В этой связи обращает на себя внимание некоторое увеличение представительства "слабых" и "средних" учеников в зоне АВСД. Показательно значительное совпадение тенденций частотного распределения числа учащихся в зависимости от типа оценки хотя бы одного из параметров привлекательности — дидактического или эмоционального (диагр. 6). На диагр. 7 дано частотное распределение качественных оценок учащимися введенного в 8-х классах учебного материала в зависимости от уровня успеваемости. Отчетливо видно, что существенное мировоззренческое влияние (заставляют задуматься над легким и неновым материалом) обобщающие уроки прежде всего "сразу" оказывают на сильных, хорошо успевающих по математике учеников. На остальные категории учащихся это влияние сказывается несколько позже (см. диагр. 5).

Схема размещения учебного материала по геометрическим величинам в восьмилетней школе при реализации единого подхода к их изучению показана на таблице 6.

Итак, по итогам экспериментальной работы, проведенной по материалам обобщающего этапа предлагаемой методики, можно сделать следующие выводы:

1. Материал по выработке обобщающих навыков сравнения величин и процессов измерения в целом доступен пониманию учащихся, хотя его не следует оценивать как совсем легкий.

2. Практика анализа свойств величин оказывает развивающее воздействие на учащихся, в частности, в этом материале для учащихся ощутимо реализуются межпредметные и внутрипредметные связи.

3. Знакомство учащихся с элементами теории измерений и метрологии приводит к качественно новому восприятию многих известных явлений окружающей действительности, способствуя тем самым усилению мировоззренческой направленности курса математики.

4. Постоянное целенаправленное использование свойств геометрических величин как средств анализа (сопоставления, сравнения) величин, выделение определяющей роли свойств геометрических величин способствует повышению логической и общей математической культуры учащихся. Более полно усваивается идея аксиоматического метода.

5. Опыт нашей работы показал необходимость разработки тематики и содержания факультативных занятий для учащихся 7-8-х классов, включающих в себя наряду с элементами теории измерений также сведения из метрологии и сообщения о проблемах стандартизации.

РИСУНКИ К ГЛАВЕ П А D

Y г 0 NJ К м

Рис.1

Рис.3 В

R=5cm А

Рис.2 —^ /

Рис.4

Рис .5

Рис.7

Рис.8

Рис .10

Рис.11

Рис.12

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенный нами теоретический анализ методологических, математических и методических проблем геометрических величин привел к необходимости детального экспериментального педагогического исследования практики преподавания вопросов геометрических величин в восьмилетней школе. Массовый констатирующий эксперимент позволяет утверждать, что основными недостатками в текущей практике обучения являются следующие: а) невнимание к вопросам существования геометрических величин; б) слабое формирование представлений о специфике геометрических объектов, идей размерности, актуальной и потенциальной бесконечности; в) невнимание к определяющей роли свойств геометрических величин даже там, где они сформулированы; г) отождествление физических реальных процессов измерения с математическими, идеально точными; д) отсутствие обобщающих материалов о геометрических величинах и их измерении; е) отсутствие элементов теории измерения и метрологии как объекта изучения.

По результатам теоретического поиска и констатирующего эксперимента нами было разработано содержание и методические рекомендации по реализации единого подхода к изучению геометрических величин в восьмилетней школе. Основные положения разработанной методики апробированы в ходе обучающего педагогического эксперимента.

Б целом по результатам исследования сформулированы следующие обобщающие положения.

I. В ходе теоретического анализа проблемы установлено, что существенное методологическое и мировоззренческое значение при изучении геометрических величин имеет формирование обобщенных представлений о процессе измерения как основном инструменте познания, причем измерение должно рассматриваться не только как метод эмпирического познания, но и с теоретических позиций.

Выявлено, что дескриптивный подход в применении к определению геометрических величин позволяет с единых позиций осуществить экспликацию (обоснование) понятий длины, величины (меры) угла, площади. При этом удается избежать трудностей восприятия предельного перехода, которые возникают при реализации конструктивного варианта определения геометрических величин. Кроме того, дескриптивное определение позволяет четко отделить теоретические измерения аддитивных величин от эмпирических.

2.Анализ современных концепций формирования учебной деятельности и психологических исследований по проблемам мышления позволяет выделить ведущую роль обобщающих теорий в дидактике и примат теоретических методов анализа учебного материала над эмпирическими, как наиболее способствующих развитию творческого и научного мышления учащихся. С этих позиций реализация современных тенденций общего образования требует доведения изучения любого учебного материала до выявления главных понятий, идей, методов. Для геометрических величин такое методологически важное обобщение возможно в рамках единого подхода к их изучению при выделении в учебном материале элементов теории измерений.

3. Суть разработанного в исследовании единого подхода к изучению геометрических величин состоит в следующем: а) все геометрические величины вводятся дескриптивно (аксиоматически) ; б) проблема существования геометрических величин решается на интуитивном уровне и пропедевтическом курсе геометрии 4-5-х классов; в) в процессе обучения постоянное внимание обращается на специфику геометрических объектов, их отличие от реальных, при этом выделяются идеи размерности, непрерывности, актуальной и потенциальной бесконечности; г) свойства геометрических величин систематически используются как инструмент теоретического анализа величин и выявления специфики различных процессов измерений; д) изучение геометрических величин и их измерения доводится до выделения основных понятий и некоторых идей общей теории измерений и метрологии,

4. В ходе поискового и обучающего эксперимента доказано,что разработанная методика единого подхода к изучению геометрических величин позволяет успешно формировать понятия длины, величины (меры) угла, площади, причем без отмеченных выше недостатков.Выяснено , что внедрение предлага&мой методики в учебный процесс не требует принципиальной перестройки программ и учебных пособий, но необходимы некоторые перестановки в порядке и сроках прохождения учебного материала, которые способствуют улучшению структуры курса в целом. В частности, упрощается решение ряда задач и доказательство некоторых теорем. Экспериментально обоснована и доступность для учащихся материала по обобщению геометрических величин, по сравнению величин, сведений о различных типах измерений. Доказана дидактическая и эмоциональная привлекательность элементов теории измерения и метрологии, развивающее воздействие этого материала на учащихся.

Выявлено также, что в методической литературе отсутствуют пособия, позволяющие учителю и учащимся познакомиться с элементами теории измерений и сведениями по метрологии. Специальная же литература малодоступна и неприемлема для использования в школе. Оставляет желать лучшего и качество подготовки по этим вопросам студентов педагогического вуза, будущих учителей физики и математики. В этих направлениях работа может быть продолжена.

ЛИТЕРАТУРА Произведения основоположников марксизма-ленинизма

1. Маркс К., Энгельс Ф. Экономические рукописи 1857-1859 годов. Часть I. - Соч., т. 46, ч. I, с. 3-48.

2. Ленин В.И. Конспект книги Гегеля "Наука логики". - Полн. собр.соч., т. 29, с. 77-218.

3. Ленин В.И. Материализм и эмпириокритицизм. Критические заметки об одной реакционной философии. - Полн.собр.соч., т.18, с. 7-384.

4. Ленин В.И. Еще раз о профсоюзах, о текущем моменте и об ошибках тт. Троцкого и Бухарина. - Полн.собр.соч., т. 42,с.264-304.

Официально-документальные материалы

5. Основные направления реформы общеобразовательной и профессиональной школы. - Правда, 1984, 14 апреля.

6. Актуальные вопросы идеологической, массово-политической работы партии. Постановление Пленума ЦК КПСС. - Правда, 1983, 16 июня.

7. 0 дальнейшем улучшении общественного дошкольного воспитания и подготовке детей к обучению в школе. Постановление Совета Министров СССР. - Правда, 1984, 19 мая.

8. 0 мерах по совершенствованию подготовки, повышению квалификации педагогических кадров системы просвещения и профессионально-технического образования и улучшению условий их труда и быта". Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР. - Правда, 1984, 15 мая.

Философско-методологическая и психолого-педагогическая

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Кузнецова, Елена Павловна, Минск

1. Абдуллаев С. Диалектика качества и количества в научном познании. Автореф.дис. . канд.философ.наук. - Алма-Ата, 1980.22 с.

2. Аванесов B.C. Тесты в социологическом исследовании. -М.: Наука, 1982. « 200 с.

3. Алборов С.А. Вопросы измерения площадей и объемов в старших классах средней общеобразовательной школы. Дис. .канд. пед.наук. М., 1963. - 221 с.

4. Алгебра: Учебник для 7-го класса средней школы. Под ред. А.И.Маркушевича. -М.: Просвещение, 1981. 256 с.

5. Андреев Э.П. Методы измерения в социологии. М.: Наука, 1977. - 183 с.

6. Андреев Э.П. Проблемы методологии измерения в социологии. Автореф. дис. . доктора философ, наук. М., 1978. -40 с.

7. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. -М.: Просвещение, 1966. 366 с. Гл. Ш. Геометрические величины, с. 131-207.

8. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения/ Общедидактический аспект. М.: Педагогика, 1977. - 256 с.

9. Бабанский Ю.К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований: (Дидактический аспект). -М.: Педагогика, 1982. 192 с.

10. Баев Б.П. Систама изложения теории площадей и объемовс применением элементов анализа в курсе математики средней школы. Автореф.дис. . канд.пед.наук. -Мн., 1975. 20 с.

11. Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1983. - 166 с.

12. Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии. -М.: Наука, 1969. 380 с.

13. Белл Макс С. Преподавание математики как инструмент решения задач. Перспективы (Вопросы образования) КНЕСКО; 1982, Je 1-2, с. II2-I20.

14. Болтянский В.Г. Длина кривой и площадь поверхности. -Энциклопедия элементарной математики, кн. У. М.: Наука, 1966,с. 89-141.

15. Болтянский В.Г. Ленинская теория познания и проблемы школьного математического образования. Математика в школе, 1981, Ш 2, с. 6-И.

16. Болтянский В.Г. 0 понятиях площади и объема. Квант, 1977, В 5, с. 2-9,

17. Болтянский В.Г. Равносоставленность многоугольников и многогранников. Энциклопедия элементарной математики, кн. У. -М.: Наука, 1966. - с. I42-I8I.

18. Болтянский В.Г., Волович М,Б., Семушин А.Д. Геометрия: Пробный учебник для 6-8 классов. -М.: Просвещение, 1979. -272 с.

19. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Выпуклые фигуры и тела. -Энциклопедия элементарной матаматики, кн. У. М.: Наука, 1966.-с. 182-269.

20. Брушшнский А.В. Психология мышления и проблемное обучение. М.: Знание, 1983. - 96 с.

21. Вавилов В. Число "пи" и роман "Война и мир:'. Квант, 1977, JE 2, с. 57.

22. Василевский АОбучение школьников поиску решения геометрических задач и доказательства теорем. В кн.: Актуальные проблемы сельской школы. Материалы конференции. - Мн.,1976.-с. 40-54.

23. Василевский А.Б. Устные упражнения по геометрии: У1 -X кл. Пособие для учителя. Мн.: Нар. асвета, 1983. - 80 с.

24. Веккер Л.М. Психические процессы. Том 3. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. - 327 с.

25. Виленюш Н.Я. Анри Лебег (к столетию со дня рождения).-Квант, 1975, й 8, с, 2-10.

26. Виленкин Н.Я. 0 понятии величины. Математика в школе, 1973, Аз 4, с. 4-7.

27. Владимиров B.C., Понтрягин Л.С., Тихонов А.Н. 0 школьном математическом образовании. Математика в школе, 1979, ЖЗ, с. 12-14.

28. Выготский Л.С. Мышление и речь. В кн. Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления. - М.: Изд-во Моск.ун-та, 1981. - с. 153-177.

29. Гальперин П.Я. 0 методе поэтапного формирования умственных действий. В кн.: Хрестоматия по возрастной и пед.психологии. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. - с. 97-101.

30. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. В кн.: Исследования мышления в советской психологии. - М.: Наука, 1966. - с. 259-276.

31. Гегель Г. Наука логики. Том I. М.:Мысль,1970.- 501 с.

32. Геометрия в 6 классе. Пособие для учителя /А.М.Абрамов, В.А.ТУсев, Г.Г.Маслова и др.). -М.: Просвещение, 1979. 112 с.

33. Геометрия. Пробный учебник для 6-8 классов средней школы. (Материалы для ознакомления). Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк. -М.: Просвещение, 1981. 480 с.

34. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Некоторые положения выборочного метода в связи с организацией изучения знаний учащихся /Методические рекомендации. М.: Педагогика, 1973, - 48 с.

35. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях (непараметрические методы). М.: Педагогика, 1977. - 136 с.

36. Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. -М.: Просвещение, IS82. 144 с.

37. Готтсданкер Р. Основы психологического эксперимента: Учебное пособие. Пер. с англ. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982.464 с.

38. ItyceB В.А., Иванов А.И., Шебалин О.Д. Изучение величин на уроках математики и физики в школе. М.: Просвещение ,1981.-79 с.

39. Давыдов В.В. Основные проблемы развития мышления в процессе обучения. В кн. Хрестоматия по возрастной и пед. психологии. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. - с. 203-207.

40. Давыдов В.В. Соотношение понятий -"формирование" и "развитие" психики. В кн. Обучение и умственное развитие /Материалы международного психологического симпозиума. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1966. - с. 35-48.

41. Давыдов ВЛЗ.(ред.К Психология обучения: Учебное пособие. М., Моск. обл.ин-<г им. Н.К.Крупской, 1978. - 68 с.

42. Давыдов В.В. Теоретико-методологические основы психологического исследования учебной деятельности. В кн. Формирование учебной деятельности школьников. - М.: Педагогика,1982, с. 10-20.

43. Дадаян А. А. Геометрия: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. ~ Мн.: Выш. школа, 1978. 256 с.

44. Дубнов Я.С, Беседы о преподавании математики. Сост. и ред. И.М.Яглома. -М.: Просвещение, 1965. 423 с.

45. Дубнов Я.С. Измерение отрезков. Под ред. и с дополн. И.М.Яглома. -М.: Физматгиз, 1962. 100 с.

46. Курбас М.А. Формирование у учащихся понятий величины и меры при изучении геометрии в восьмилетней школе. Дис. . канд. пед.наук. - Киев, 1963. - 250 с.

47. Егоров И.П. Геометрия: Спец.курс для студентов физ.-мат.фак.пед.ин-тов. -М.: Просвещение, 1979. 256 с.

48. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1978. -576 с.

49. Зависимость обучения от типа ориентировочной деятельности: Сборник статей/Под ред. П.Я.Гальперина и Н.Ф.Талызиной.-М.: Изд-во Моск. ун-та, 1968. 240 с.

50. Занков Л .В. Обучение и развитие. В кн. Хрестоматияпо возрастной и пед.психологии. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981 .с. 21-25.

51. Захарова А.Е. Система упражнений, направленных на формирование первых представлений об аксиоматическом методе. -Дис. . канд.пед.наук. -М., 1978. 178 с.

52. Звонкин А. Что такое вС ? Квант, 1978, $11, с. 28.

53. Зорина Л.Я. Дидактические основы формирования системности знаний у старшеклассников (на материале предаетов естественнонаучного цикла). : Автореф.дис. . доктора пед.наук. -М., 1979. 40 с.

54. Зорина Л.Я. Основание для отбора распределения основных и вспомогательных знаний в различных циклах учебных предметов. В кн„Теоретические основы содержания общего среднего образования. М.: Педагогика, 1983. - с. 211-223.

55. Зорина Л.Я. Отражение науки в содержании образования. -В кн. Теоретические основы содержания общего среднего образования. -М,: Педагогика, 1983. с. I04-II7.

56. Ивашев-Мусатов О.С. 0 длине окружности и площади круга.- Математика в школе, 1973, Л 3, с. 58-59.

57. Ивашев-Мусатов О.С. 0 площадях поверхностей. —Математика в школе, 1974, ,№ 2, с. 41-43.

58. Исаков П.С. Методика изучения мер и проведения измерительных работ в 3 и 4 классах восьмилетней школы. Дис. . канд.пед.наук. -М., 1963. - 431 с.

59. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М.: Просвещение, 1968. - 288 с.

60. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М.: Изд-во Моек.унта, 1963. - 571 с.

61. Кантор П.Р., Раббот Ж.М. Площади многоугольников. -Квант, 1972, If2, с. 36-41.

62. Кантор П.Р., Раббот Е.М. Площади многоугольников. Методические разработки для учащихся BSMDI. М.: АПН СССР, 1976.38 с.

63. Карнадевич Л.С., Грузин А.И. Изучение геометрии в 6 классе: Из опыта работы/Под ред. И.Ф.Тесленко. М.: Просвещение, 1983. - 128 с.

64. Кедров Б.М. Беседы о диалектике, -М.: Молодая гвардия,1983. 239 с.

65. Кедров Б.М. Число и мысль в истории науки (в научных исследованиях, открытиях и заблуждениях). В сб. Число и мысль.

66. Вып. 6. М.: Знание, 1983. - с.3-98.

67. Киселев А.П. Элементарная геометрия. Книга для учителя.-М.: Просвещение, 1980. 287 с.

68. Климов И.О. Измерения геометрических величин в средней школе и их практические приложения. Дис. . канд.пед,наук.-Пенза, 1961. - 553 с.

69. Колмогоров А.Н. Величина. БСЭ, т. 4. - М.: Советская энциклопедия, 1971. - с. 456.

70. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия: Учебное пособие для 6-8 классов средней школы. Под ред. А.Н.Колмогорова. М.: Просвещение, 1979. - 382 с.

71. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия: Учебное пособие для 6-8 классов средней школы. Под ред. Колмогорова А.Н. М.: Просвещение, 1981. - 384 с.

72. Компанийц П.А. Длина окружности, площадь круга, объем цилиндра от литровой кружки до модели объемов цилиндров. -Дис. . канд.пед .наук. Л., 1946. - 252 с.

73. Костин В.И. Основания геометрии. -М.: Учпедгиз, 1948. -304 с.

74. Кудрявцев Т.В. 0 проблемном обучении как способе умственного развития, В кн. Обучение и развитие. Материалы ХУШ Международного психологического симпозиума. -М.: Изд-ео Моск. ун-та, 1966. - с. 54-60.

75. Кузнецова Е.П, Об одном из способов формирования понятия площади многоугольника в школьном курсе геометрии. В: сб. Логическая структура учебного материала. - Мн.: МГПИ им.А.М.Горького, 1983. - с. 21-26.

76. Кузнецова Е.П. О некоторых проблемах изучения геометрических величин в педагогическом вузе. В сб. Тезисы докладов

77. У Республиканской конференции математиков Белоруссии. Часть I,-Гродно: Гродн.ун-т, 1980. с. 122.

78. Кузнецова Л.В., Монахов В.М., Фирсов В.В., Черкасов Р.С. Советско-английский семинар по математическому образованию. -Математика в школе, 1983, Je 2, с. 71-75.

79. Лебег А, Об измерении величин. -М.: Учпедгиз, 1960.204 с.

80. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. -М.: Педагогика, I981. 185 с.

81. Лурье И.А. Изучение измерений в старших классах средней школы. Отчет о научном исследовании за 1973 год. М.: АПН НИИ СиМО, Лаборатория прикладной математики, 1973. - 80 с.

82. Лурье И.А. Преемственность при изучении измерений в курсе математики. В сб. Преемственность в обучении математике. Пособие для учителей. -М.: Просвещение, 1978. - с. 41-51.

83. Маслова Г.Г. О школьном курсе математики и тенденциях дальнейшего его развития. Математика в школе, 1980, Jt6, с .4953.

84. Математика. Учебник для 5 класса средней школы. Под ред. А.И.Маркушевича. М.: Просвещение, 1980. - 224 с.

85. Математика. Учебник для 4 класса. Под ред. А.И.Маркушевича. -М.: Просвещение, 1975. 240 с.

86. Математика. Учебник для 4 класса среда ей школы. Под ред. А.И.Маркушевича. М.: Просвещение, 1982. - с.304.

87. Мацкин М.С. Методика преподавания учения о геометрических величинах в средней школе. Дис. . канд.пед.наук. -М., 1949. - 221 с.

88. Менчинская Н.А. Обучение и умственное развитие. В кн. Обучение и развитие. Материалы ХУШ Международного психологического симпозиума. -М.: Просвещение, 1966. - с. 5-8.

89. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы. Под ред. А.И.Фетисова. М.: Просвещение, 1967. -272 с. - Гл. У. Измерение геометрических величин, -с.200-269.

90. Методическое письмо: 0 преподавании математиков общеобразовательных школах в 1981/82 учебном году. Математика в школе, 1981, с. 12-19.

91. Минькин И.М. Усовершенствование постановки измерительных работ на местности в политехнической средней школе, повышающее интерес учащихся к геометрии и ее приложениям. Дис. . канд.пед.наук. - М., 1965. - 176 с.

92. Мищенко А.С., Понтрягин Л.С. О некоторых принципах преподавания математики в школе. Математика в школе, 1982,$2, с. 50-52.

93. Моиз Э.Э., Дауне Ф.Л. Геометрия. Под ред. И.М.Яглома.-М.: Просвещение, 1972. 622 с.

94. Молодший В.Н. Очерки по философским проблемам математики. М.: Просвещение, 1969. - 303 с.

95. Монахов Е.М. Методические проблемы осуществления всеобщего среднего образования. Математика в школе, 1983,с. 10-13.

96. Мочалов Р.В. Самостоятельная работа учащихся с измерительными приборами в процессе приобретения знаний (на уроках физики и математики в У-УШ классах). Дис. . канд.пед.наук.-М., 1962. - 194 с.

97. Нижник В.Г. Пути повышения эффективности формирования измерительных умений и навыков в процессе обучения физике в средней школе.: Автореф.дис. . канд.пед.наук. Киев,1980. - 24 с.

98. Никитин Е.П. Природа обоснования (Субстратный анализ).-М.: Наука, 1981. 176 с.

99. Обухова Л.Ф. Концепция Жана Пиаже: за и против. М.: Изд-во Моек .ун-та, 1981. - 191 с.

100. НО. Обухова Л.Ф. Этапы развития детского мышления (формирование элементов научного мышления у ребенка). М.: Изд-во Моск.ун-та, 1972. - 152 с.

101. О преподавании математики в 1У-тУП классах.: Методическое письмо. Мн.: Нар.асвета, 1976. - 95 с.

102. От Министерства просвещения СССР /Базисная программа.-Математика в школе, 1981, М, с. 4-12.

103. ИЗ. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Часть I. Геометрия на плоскости. ОГИЗ. Гостехиздат, 1948. - 344 с.

104. Пиаже Ж. Природа интеллекта. В кн. Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления. -М.: Изд-во Моск.ун-та, 1981. - с. 48-59.

105. Подгорецкая Н.А. Изучение приемов логического мышления у взрослых. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1980. - 150 с.

106. Погорелов А.В. Геометрия: Пробный учебник для 6-10 классов средней школы. М.'Просвещение, 1981. - 271 с.

107. Погорелов А.В. Геометрия. Учебное пособие для 6-10 классов средней школы. М.: Просвещение, 1984. - 288 с.

108. Погорелов А.В. Элементарная геометрия. М.: Наука, 1977. - 280 с.

109. Полищук Н.Ф. Теория длины окружности и площади кругав средней школе.: Автореф.дис. . канд.пед.наук. Тула,1951,-13 с.

110. Проблема единого уровня общеобразовательной подготовки учащихся в средних учебных заведениях: (на примере дисциплин естественно-математического цикла).Под ред. АПН чл.кор. АПН СССР В.М.Монахова. -М.: Педагогика, 1983. 144 с.

111. Программа воспитания в детском саду Al-во просвещения БССР/. Минск: Нар.асвета, 1982. - 228 с.

112. Программы I-Ш классов школ с русским языком обучения: на 1981/82 уч.год. Минск: Нар.асвета, 1981. - 225 с.

113. Программы по математике для восьмилетней и средней школы. Математика в школе. 1978, М, с. 7-32.

114. Программа по математике для IУ-Х классов средней общеобразовательной школы. /Проект. Математика в школе, 1979,с. 15-18.

115. Программа по математике для 1У-Х классов средней общеобразовательной школы. Математика в школе, 1979, с.7-12.

116. Прочухаев В.Г. Измерения в курсе математики средаей школы. Пособие для учителей. -М.: Просвещение, 1965. 140 с.

117. Пфанцагль И. при участии В.Бауманна и Г.Хубера. Теория измерений. Пер. с англ. В.Б.Кузьмина. Под ред. С.В.Овчинникова.-М.: Мир, 1976. 248 с.

118. Решлен М. Измерение в психологии. В кн. Экспериментальная психология. - М.: Прогресс, 1966. - с. 195-238.

119. Рохлин В.А. Площадь и объем. В'кн. Энциклопедия элементарной математики, кн. У. - М.: Наука, 1966. - с.7-88.

120. Глубин К.Ф. Обоснование учения о геометрических величинах (длинах прямолинейных отрезков, площадях простых многоугольников и объемах простых многогранников). Дис. . канд.пед.наук. - Киев, 1952. - 536 с.

121. Рубинштейн СЛ. 0 природе мышления и его составе. В кн. Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления. - М.: Изд-во Моек.ун-та, 1981. - 400 с.

122. Рузавин Г.И. 0 природе математического знания. (Очерки по методологии математики). -М.: Мысль, 1968. 302 с.

123. Садовский Д.Е., Садовский А.Д. Как измеряют площадь. -Квант, 1973, Ik 10, с. 22-29.

124. Сафанов Г.П., Селиванов М.Н. Эталоны и обеспечение единства измерений.: Обзорная информация. -М.: Госстандарт, ВНИИКИ, 1982. 40 с.

125. Салимбаев 0. Формирование измерительных умений и навыков учащихся на первой ступени обучения физике. Автореф. дис. канд.пед.наук. -М., 1980. 19 с.

126. Скаткин М.Н. Требования общества развитого социализма к содержанию общего образования. В кн. Теоретические основы содержания общего среднего образования. - М.: Педагогика, 1983, с. 59-61.

127. Следзинский И.Ф. Формирование понятий расстояния и метрического пространства у учащихся общеобразовательной средней школы. Дис. . канд.пед.наук. - Киев, 1973. - 240 с.

128. Современные основы школьного курса математики: Пособие для студентов пед.институтов. (Н.Я.Виленкин, К.И.Дуничев, Л.А.Калужнин, А.А.Столяр). -М.: Просвещение, 1980. 240 с.

129. Спасский А.Ф. Измерение геометрических величин на разных ступенях обучения в политехнической школе. Дис. . канд. пед.наук. - Калинин, 1955. - 334 с.

130. Стивене С.С. Математика, измерение и психофизика. В кн.: Экспериментальная психология. -М.: Изд-во иностр.лит., I960. - 19-92 с.

131. Столяр А.А. Логические проблемы преподавания математики. Мн.: Вышэйшая школа, 1965. - 256 с.

132. Столяр А.А. Педагогика математики: Курс лекций. Мн.: Вышэйшая школа, 1974. - 384 с.

133. Суппес П., Зинес Дж. Основы теории измерения. В кн.: Психологические измерения. Пер. с англ. -М.: Мир, 1967.с. 9-II0.

134. Талызина Н.Ф. Принципы советской психологии и проблемы психодиагностики познавательной деятельности. В кн.: Хрестоматия по возрастной и пед. психологии. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. - с. 285-290.

135. Талызина Н.Ф. Бути и проблемы управления познавательной деятельности человека. В кн.: Хрестоматия по возрастной и пед.психологии. -М.: Изд-во Моск.ун-та, 1981. - с.269-273.

136. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. -М.: Изд-во МГУ, 1975. 343 с.

137. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся. М.: Знание, 1983. - 96 с.

138. Теоретические основы содержания общего образования/Под ред. В.В.Краевского, И.ЯЛернера, -М.: Педагогика, I983.-352C.

139. Тесленко И.Ф. Формирование материалистического мировоззрения учащихся при изучении математики: Пособие для учителей.-М.: Просвещение, 1979. 136 с.

140. Трайнин Я.Л. Основания геометрии. -М.: Учпедгиз,1961.-326 с.

141. Турлакова З.И. Изучение скалярных величин в курсе математики 9 и 10 классов средней школы. Дис. . канд.пед.наук.-М., 1964. - 331 с.

142. Фетисов А.И. Геометрия. Учебное пособие по программе старших классов. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. - 300 с.

143. Филатов В.Ф. Измерение и вычисление геометрических величин в старших классах средней школы методами математического анализа и векторной алгебры. Дис. . канд.пед.наук. - Хабаровск, 1965. - 294 с.

144. Философы педагогам. (Формирование научного мировоззрения в процессе преподавания естественных и математических дисциплин в средней школе. Пер. с немец. Ю.С.Лебедева. М.Прогресс, 1976. - 212 с.

145. Фирсов В.В. Некоторые проблемы обучения теории вероятностей как прикладной дисциплины.-Дис,.канд.пед.наук. М., 1974. - 159 с.

146. Фирсов В.В. Пути повышения эффективности преподавания математики в современных условиях. Математика в школе, 1982,5, с.8-10.

147. Фридман Л.М. Количественный и качественный анализ учебной деятельности, В кн.: Формирование учебной деятельности школьников. М.: Педагогика, 1982. - с. 47-54.

148. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Части I и 2. М.: Просвещение, 1982-83 гг. - 192 с.

149. Фройденталь Г. (Фрейденталь X). Новая математика или новое образование? Перспективы (ЮНЕСКО, 1982, М-2, с.121-130.

150. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. Пер. с немецк. М.: Наука, 1966. - 416 с.

151. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра, Теория чисел; Геометрия /Пособие для студентов физ.-мат.фак. пед.ин-тов. Под ред. А.П.Юшкевича. -М.: Просвещение, 1976. -318 с.

152. Шипзлянникова В.Н. Измерение площадей фигур при изучении геометрии в средней школе. Дис. . канд. пед .наук. -М., 1954. - 228 с.

153. Шоке Г. Геометрия /Под ред. И.М.Яглома; пер. с франц./.- М.: Мир, 1970. 240 с.

154. Шгейнгауз Г. 0 математической строгости. В кн.: Г.Штейнгауз. Задачи и размышления. - М.: Мир, 1974. - 400 с,

155. Эльясберг П.Е. Измерительная информация: сколько ее нужно? Как ее обрабатывать? М.: Наука, 1983. - 207 с.

156. Юлиш Б., Гёте X. Проблемы методов исследования учебной деятельности. В кн.: Теоретические основы содержания общего среднего образования. - М.: Педагогика, 1983. - с.42-47,

157. Юнгк В, Вопросы измерения площадей и объемов в курсематематики средней школы (в условиях ГДР). Дис. . канд .пед. наук. - Д., 1968. - 266 с.

158. Яглом И.М. Аксиоматические обоснования евклидовой геометрии. В сб.: Новое в школьной математике. - М.: Знание, 1972. - с. 40-92,

159. Яглом И.М. Математические структуры и математическое моделирование. -М.: Советское радио, 1980. 145 с.

160. Яглом И.М. О площади многоугольника /Дополнение. В кн.: Я.С.Дубнов. Измерение отрезков. -М.: Физматгиз, 1962. -с. 79-100.